线性代数第二章2.1,2.2
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数第四版课后习题答案
线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。
本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。
1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。
第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。
3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。
通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。
华东理工大学线性代数习题答案-第二章
第二章 行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。
2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质， 得证。
线性代数2a
设 A aij
mn
b1 x1 ，X ， x b n m
则 AX
a11 x1 a1n xn b1 表示线性方程组 am1 x1 amn xn bm
线性代数
n
阶方阵， k 为数，则
（1） AT A
（2） kA k n A （3） AB A B
A 2 ，求 2 A 例6 设 A 为3阶矩阵，
例7 设 A, B 同为 n 阶方阵，如果 AB O ，证明: A 0 或 B 0
2.3
方阵的逆矩阵
一、可逆矩阵和逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵B ，使得
a11 a12 a21 a22 A a m1 a m 2
a1n a2 n amn
a11 a 12 T A a1n
a21 am1 a22 am 2 a2 n amn
（5）若 A可逆，则 A1 A
1
例2 A 为 n 阶可逆矩阵，A 为 A 的伴随矩阵，证明：
A A
*
n 1
A 可逆， 例3 设 n 阶矩阵A 满足A2 3 A I 0 ，试证：
并求 A1 。若条件改为 A2 3 A 2I 0 ，结论是否成立？
A I 可逆，并求 A I 。 又已知条件不变，试证：
k 个A
并且有： Ak Al Ak l
A
k
l
Akl
但是，若 A 、 B 均为 n 阶方阵：
AB
k
Ak B k
定义6 设变量 x 的 m次多项式为
工程线性代数第二章倍加矩阵水晶爱人
第二章 2.1初等倍加矩阵 (,())E i j k既可以看成把单位矩阵的第j 行k 倍加到第i 行； 也可以看成把单位矩阵的第i 列k 倍加到第j 列；例如：三阶初等倍加矩阵 100(2,3(5))01501E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦既可以看成把三阶单位矩阵的第3行5倍加到第2行；也可以看成把三阶单位矩阵的第2列5倍加到第3列；用初等倍加矩阵 (,())E i j k 左乘矩阵A 时，改变A 的第i 行； 用初等倍加矩阵 (,())E i j k 右乘矩阵A 时，改变A 的第j 列； 结论：左乘变行，右乘变列。
例如：二阶初等倍加矩阵 12(1,2(2))01E ⎛⎫=⎪⎝⎭1212710013434⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（左乘变行） 这时，把12(1,2(2))01E ⎛⎫=⎪⎝⎭看成： 二阶单位矩阵的第2行两倍加到第1行；1212143401310⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（右乘变列） 这时，把12(1,2(2))01E ⎛⎫=⎪⎝⎭看成： 二阶单位矩阵的第1列两倍加到第2列；以二阶初等矩阵为例，验证 1）1(,)(,)E i j E i j -=例如：二阶初等对换矩阵01(1,2)10E ⎛⎫=⎪⎝⎭010110(1,2)(1,2)101001E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1(1,2)(1,2)E E-∴= 2) 11(())(())E i k E i k-=例如：二阶初等倍乘矩阵0(1())01k E k ⎛⎫=⎪⎝⎭101001(1())(1())010101k E E k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11(1())(1())E k E k-∴= 3）1(,())(,())E i j k E i j k -=-例如：二阶初等倍加矩阵1(1,2())01k E k ⎛⎫=⎪⎝⎭1110(1,2())(1,2())010101k k E k E k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1(1,2())(1,2())E k E k -∴=-练习：求 2121010123001100456010001789100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解：2121010123001100456010001789100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121123(1,2)456(1,3)789E E ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦456654123(1,3)321789987E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123(1,2)456(1,3)789E E ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦定理2.2表明，任一m n A ⨯经过有限次初等变换，一定能化成标准型，标准型的特点是，四个子块中，左上角的子块是单位矩阵或零子块，其它三个子块都是零子块。
线性代数第二章 矩阵代数 S2矩阵的代数运算
(1) h( A) f ( A) g( A), s( A) f ( A)g( A).
(2) f ( A)g( A) g( A) f ( A).
24
4、n阶矩阵乘积的行列式
方阵对应着行列式，于是有如下定理：
定理：若 A，B是n阶方阵，则 |AB| = |A| |B|.
(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)
或 Al .
la11
lA
Al
la21
la12
la22
la1n
la2n
.
lam1 lam1 lamn
特别的，lE 称为数量矩阵.
6
2、线性运算的运算性质
矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性 运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.
运算性质
设A, B为同型矩阵，l, m为数，则 ➢ l(A + B) = l A + l B ➢ (l + m)A = l A+ m A ➢ l (m A) = (lm) A
0 bn2
bnn
29
a11 a12 a21 a22
A 0 an1 an2 E B 1 0
0 1
a1n c11 c12
c1n
a2n
c21
Cc22
c2n
ann cn1 cn2
cnn
0 00
0
0 00
0
00
1 0 0
0
AC
E 0
再利用拉普拉斯定 理按后n行展开
E (1)[(n1)(n2) 2n](12 n) C
(2) 由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.
如前面的A, B矩阵
A 1 1 ≠O, B 1 1 ≠ O,
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
线性代数 第2章 线性方程组
2.3.1几类特殊矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵 对角矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵 对称矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵 同型矩阵
相等矩阵
2.3矩阵
2.3矩阵
2.3.1几类特殊矩阵
邻接矩阵
①
④
②
③
2.3.2矩阵的运算 矩阵加法
其中：
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.2线性方程组的矩阵表示
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.3线性方程组的分类
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.3线性方程组的分类
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.3线性方程组的分类
2.2线性方程组的矩阵表示
2.2.4不定方程组及其矩阵表示
2.2线性方程组的矩阵表示
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
2.3矩阵
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
矩阵加法的运算规律如表2-1矩阵加法的运算所示。 表2-1 矩阵加法的运算
条件 交换律 结合律
其他
2.3.2矩阵的运算
2.3矩阵
数乘矩阵
数乘矩阵是算
2.3.2矩阵的运算
方阵的幂
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算 矩阵转置
2.3矩阵
2.3.2矩阵的运算
22..33矩矩阵阵
2.3.2矩阵的运算
22..33矩矩阵阵
2.3.2矩阵的运算
22..33矩矩阵阵
2.3.3矩阵的用途
2.3矩阵
线性代数第二章矩阵及其运算
ann 0
0
5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)． 即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n
第二章 解线性代数方程组的直接法(DOC)
第二章 解线性方程组的直接法本章研究的对象是n 阶线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a .........22112222212111212111 （2.1）其矩阵形式为b AX = （2.1）′其中，)(ij a A =是方程组的系数矩阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X ...21,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b b ...21分别为方程组的未知向量和常数向量。
所谓直接法，就是在不计舍入误差时，经过有限步运算能求得方程组精确解的方法。
下面介绍几种较实用的直接法。
2.1 Gauss 消去法 2.1.1 Gauss 顺序消去法高斯（Gauss ）消去法实质是消元法,只是步骤规范,便于编程。
它的基本做法是把方程组(2.1)转化成一个等价的三角方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n g x b g x b x b g x b x b x b 2222211212111 (2.2) 这个过程称为消元。
然后,逐个求出11,,,x x x n n -,这个过程称为回代。
(一) 高斯消去法的计算过程为了符号统一,把方程组(2.1)改写成下面形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++)1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1()1()1(2)1(1)1( (212)22221111211n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n(2.3)用矩阵表示为)1()1(b X A = (2.3)′其中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)1()1(2)1(1)1(2)1(22)1(21)1(1)1(12)1(11)1(nn n n nn a a a a aa a aa A, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()1()1()1(...21n b b b b 若0)1(11≠a ,用第二个方程减去第一个方程的)1(11)1(21/a a 倍,第三个方程减去第一个方程的)1(11)1(31/a a 倍,等等。
线性代数2.1-2.2
m2 (数i2 后比 i2 小的数的个数)
mn （ 或0） 1 1
0
例1： 解：
求排列 3，2，5，1，4 的逆序数。
前后
(32514) 2 1 2 0 0 5
例2： 求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序数。 9
例3：讨论 解 排列 n，n－1，· · · ，2，1的奇偶性.
i1 i2
(1)
( i1i2 in )
ai1 1ai2 2
ain n
例1 解
(1)写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
－a11a23a32a44 ,
a11a23a34a42.
试确定i与j，使该项带负号。
（2） a1i a21a33a4 j
解
该项行标排列是自然序的,列标排列
i,1,3, j,
( i1 ,i2 ,,in ) ( j1 , j2 ,.., jn ) ai j ai j ...ai j ( 2.6) 1 1 2 2 n n
行标
列标
则
(1) 是 | A | 的项.
证明
ai1 j1 ai2 j2 ...ain jn s次交换两数a1l a2l ...anl ,
1 2 n
a12 a22 a32
b1 b2 b3
a13 a23 ， a33
b1
D1
b2 b3
a12 a22 a32
a13 a23 , a33
b1 b2 b3
a11 D2 a21 a31
a13 a23 , a33
a11 D3 a21 a31
a12 a22 a32
.
a11 如果D a21 a31
线性代数(行列式新)
b b ba
将第 2,3,,n 列都加到第一列上,得
a n 1 b b b b
a n 1 b a b b
D a n 1 b b a b
a n 1 b b b a
-28-
1 b bb 1 a bb
a (n 1)b 1 b a b
1 b ba
1b bb
ri r1 a (n 1)b
-2-
a11 a12 a1n
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
例如：
a22 a23 a2n
M11
a32
a33
a3n
an2 an3 ann n1
A11 (1)11 M11
a21 a23 a2n
M12
a31
a33
a3n
an1 an3 ann n1
A12 (1)12 M12
-26-
推论5 由 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所构成
矩阵的转置矩阵 A11 A21 An1
A
A12
A22
An2
A1n
A2n
Ann
称为 A 的伴随矩阵。
由行列式展开定理
AA A A A E
伴随矩阵——研究可逆矩阵
-27-
例6 解
a bbb
ba bb计算 n 阶行源自式 D b b a ba11 a1k p11
设为 D1
p11 pkk
ak1 akk pk1 pkk
对 D2 作运算 ci kc j , 把 D2 化为下三角形行列式
b11 b1n q11
0
设为 D2
q11 qnn
bn1 bnn qn1 qnn
线性代数第二章2-1, 2-2
称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增 广 矩 阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作 ：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律 （设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn， 则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节 矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过 程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方 程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵 主对角线元素都是 1, 其他元素都是零 的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0
线性代数第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例4. 设有两个向量组 I: α1=[1, 1], α2=[1, −1], α3=[2, 1], II: β1= [1, 0], β2= [1, 2]. 1 β + 1β , α = 3 β − 1β , 则 α 1= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 β + 1β , α3= 2 1 2 2 即I可以由II线性表示. 可以由II线性表示 线性表示. 1 α + 1 α +0α , β = 3 α − 1 α +0α , β1= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 3 II可以由 线性表示. 可以由I 即II可以由I线性表示. 故向量组I II等价 等价. 故向量组I与II等价.
β2 = α2 + 2α3, β3 = α3 + 2α1.
证明: 证明: β1, β2, β3线性无关. 线性无关.
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向 组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由 例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由 但 线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
例1. n维基本单位向量组
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
线性代数入门
线性代数入门第一章：向量和线性方程组线性代数是高等数学中的一门重要学科，它研究的是向量空间及其上的线性变换。
在学习线性代数之前，我们首先要了解向量和线性方程组的概念。
1.1 向量向量是线性代数中最基本的概念之一。
它可以表示空间中的一个点、一个力的大小和方向、一组数据等。
向量可以用箭头表示，在数学中通常用加粗的小写字母或者带箭头的字母表示。
1.2 向量的基本运算向量的运算包括加法、减法、数量乘法和点积。
加法和减法的规则与平行四边形法则类似。
数量乘法是将向量的每个分量都与一个实数相乘。
点积是两个向量的对应分量相乘后再求和。
1.3 线性方程组及其解线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组。
解线性方程组就是寻找满足所有方程的变量值组成的集合。
线性方程组的解可以分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
第二章：矩阵和行列式矩阵和行列式是线性代数中另外两个重要的概念，它们在表示线性方程组和线性变换时起到了关键作用。
2.1 矩阵的基本操作矩阵是由一个个数排列成的矩形阵列，可以表示为一个矩形的二维数组。
矩阵的基本操作包括加法、减法、数量乘法和乘法。
其中矩阵的乘法是比较复杂的运算，需要注意乘法顺序的准确定义。
2.2 行列式及其性质行列式是一个标量，用于表示一个方阵的特征。
行列式有一些基本的性质，如行交换、行倍加等，这些性质在计算行列式和求解线性方程组时十分重要。
第三章：特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵和线性变换中的概念，它们在求解线性方程组的解和研究线性变换的特性时十分重要。
3.1 特征值和特征向量的定义特征值是一个标量，特征向量是与特征值对应的非零向量。
一个矩阵的特征值和特征向量可以通过求解矩阵方程来求得。
3.2 特征值分解特征值分解是将一个矩阵分解为特征值和特征向量的形式。
特征值分解在求解线性方程组和研究线性变换的性质时有重要的应用。
第四章：向量空间和线性变换向量空间是线性代数的核心概念之一，它描述了一组向量所满足的条件。
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新街口
马群
泰山新村
为了方便，常用下面的数表表示
发站
线性代数
其中√ 表示有航班. 为了便于计算,把表中 到站 仙林新街口马群泰山新村的√ 改成１,空白地方 0 1 1 0 填上０,就得到一个数表: 0 1 1 0 仙林 1 0 1 0 这个数表反映 0 0 1 新街口 1 了四城市间交 1 0 0 00 11 马群 1 通联接情况. 0 泰山新村 1 0 0 0 0 3 0
系数 aij i , j 1,2,, n(m ) , 的解取决于 常数项 bi i 1,2, , m
线性代数
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 a11 a12 a1n b1 a 对线性方程组的 a a b 22 2n 2 21 研究可转化为对 这张表的研究. am 1 am 2 amn bm
, ５、 若矩阵A和B的行数, 列数分别对应相等
称两矩阵同型. ６、 若 A (aij )mn , B (bij )mn ，且 aij bij ，
第二章 §2.1 §2.2
线性代数
称两矩阵相等.
6
二、几种特殊的矩阵
1.行矩阵
A1n [a1 , a2 ,, an ]
b1 b Bm1 2 b m
上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.
第二章 §2.1 §2.2
10 10
线性代数
7、对称矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，若 aij a ji ，那么 A
称为对称矩阵. 如
1 0 1 1 0 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 0
对称矩阵的特点是： 它的元素以主对角线 为对称轴对应相等.
第二章 §2.1 §2.2
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 3、线性方程组 am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
a12 a22 am 1
a1n a2 n amn
a ij 称为矩阵 A 的 ( i , j ) 元素.
第二章 §2.1 §2.2
5
线性代数
注： １、 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
２、 只有一行的矩阵称为行矩阵,
只有一列的矩阵称为列矩阵. ３、 行数与列数相等的矩阵称为ｎ阶方阵, ４、 A 称为方阵的行列式.
列矩阵
线性代数
第二章 §2.1 §2.2
7
2、零矩阵 m n 个元素全为零的矩阵称为零矩阵. 记作 Omn 或 O .
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
3、对角矩阵 主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵. 1 0 0 O 0 2 0 不全为0 O 0 0 n 记作 diag 1 , 2 , , n . 8
§2.1 、矩阵的引入 1、某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 稀饭
甲
乙 丙
4
0 4
2Hale Waihona Puke 0 920 8
1
0 6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1 0 0 0 0 4 9 8 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2
线性代数
第二章 §2.1 §2.2
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图 仙林
线性代数
第二章 §2.1 §2.2
12 12
思考题 矩阵与行列式的有何区别? 解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个 算式，一个数字行列式经过计算可求得其值， 而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以 不同.
线性代数
第二章 §2.1 §2.2
13 13
第二章
矩阵
• 矩阵是线性代数的主要研究对象, 是我们求解线性
方程组的一个有力工具, 在自然科学和社会科学的许 多领域都有广泛的应用.
• 所谓的矩阵, 就是由若干行和列的数字按一定顺序
排成的矩形数表.
•为什么这样的矩形数表这么重要呢？ 先看几个实际问题中应用矩阵的例子:
第二章 §2.1 §2.2
1
线性代数
第二章 §2.1 §2.2
线性代数
4、单位矩阵 主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵.
1 0 0 0 0 1 O 0 O 0 1
全为1
记作In 或 I
5、数量矩阵 主对角线上的所有元素全为 的对角阵称为数量阵. 0 0 0 O0
线性代数
记作 I
第二章 §2.1 §2.2
O 0 0
全为
9
6、三角矩阵 a11 a12 a22 形如 a11 a a22 21 形如 a n1 a n 2
a1n a2 n 的矩阵称为 上三角矩阵. ann 的矩阵称为 下三角矩阵. ann
线性代数
第二章 §2.1 §2.2
11 11
反对称矩阵 定义 设 A为 n 阶方阵，若 aij a ji ，那么 A
称为反对称矩阵. 0 1 2 1 反对称矩阵的主要特点是: 1 0 5 2 主对角线上的元素为0,其余 如 2 5 0 1 的元素关于主对角线互为相 反数. 1 2 1 0
第二章 §2.1 §2.2
4
§2.2
矩阵的概念
一.定义：
由mn 个数a ij ( i 1, , m , j 1, , n)排成的一个 m行n列的数表称为 m n的矩阵.
A ( aij )mn 记作：
Amn
(aij )
元素 行标 列标
a11 a 21 A am 1