B1算法评价和简单穷举
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
经典密码
一、经典密码
⑴．单表代换密码
只使用一个密文字母表，并且用密文字母表中的一 个字母来代换明文字母表中的一个字母。 明文字母表：A ＝{ a0 , a1 ,..., an-1 }
密文字母表：B ＝{ b0 , b1 ,..., bn-1 } 定义一个由A到 B的映射：f:A→B
–因此，单表代换密码可用统计分 析攻破。
三、经典密码的统计分析
• 英语的统计规律
–每个单字母出现的频率稳定。
最高频率字母
E
次高频率字母
TAOINSHR
中高频率字母
DL
低频率字母
CUMWFGYPB
最低频率字母 V K J X Q Z
三、经典密码的统计分析
• 英语的统计规律
–频率最高的双字母组： TH HE IN ER AN RE ED ON ES ST EN AT TO NT HA ND OU EA NG AS OR TI IS ET IT AR TE SE HI OF
三、经典密码的统计分析
• 英语的统计规律
–频率最高的三字母组： THE ING AND HER ERE ENT THA WAS ETH FOR DHT HAT SHE ION HIS ERS VER
其中THE的频率是ING的3倍！
三、经典密码的统计分析
• 英语的统计规律
–英字母的约占一
半。
–还有其它统计规律！
三、经典密码的统计分析
经得起统计分析是对近代 密码的基本要求！
一、经典密码
•(2)把明文按某一顺序排成一个矩阵， 然后
按另一顺序选出矩阵中的字母以形成密文， 最后截成固定长度的字母组作为密文。
例如：
Python算法学习_穷举
Python算法学习_穷举穷举算法是一种通过枚举所有可能的解决方案来解决问题的算法。
它通常适用于问题规模较小，且所有可能的解决方案数量不会过大的情况。
穷举算法的优势是简单直观，并且能够找到所有可能的解决方案。
穷举算法的核心思想是通过遍历所有可能的解决方案，找到满足问题条件的解。
在Python中，可以使用循环结构实现穷举算法。
下面以一个具体的例子来说明穷举算法的应用。
假设有一个问题：从1,2,3,...,9这9个数字中选取3个数字，使其和等于一些给定的目标值。
首先，可以使用三层嵌套的循环来遍历所有可能的解决方案：```for i in range(1, 10):for j in range(1, 10):for k in range(1, 10):if i + j + k == 目标值:print(i, j, k)```在上述代码中，`range(1, 10)`用于生成1到9的数字序列，`i`、`j`和`k`分别代表选取的三个数字。
通过遍历这三个数字的所有可能排列组合，判断其和是否等于目标值，如果等于则输出这三个数字。
需要注意的是，上述代码中的循环变量范围可以根据实际情况进行调整。
比如，如果题目要求选取4个数字使其和等于目标值，那么就需要增加一个循环变量和对应的嵌套循环。
穷举算法的时间复杂度取决于解空间的大小。
在上述例子中，由于数字的范围是1到9，因此解空间的大小为9的三次方，即729种可能的解决方案。
因此，上述代码的时间复杂度为O(729)。
如果数字范围更大，解空间的大小就更大，穷举算法的时间复杂度也会随之增加。
另外，穷举算法还可能存在优化的空间。
例如，在上述例子中，可以根据问题的特点进行剪枝优化，减少不必要的计算。
具体来说，在第一个循环中选取的数字大于目标值减去后两个数字之和时，就可以停止循环，因为后面的数字不可能满足条件。
综上所述，穷举算法是一种简单直观且有效的算法，适用于问题规模较小且解空间不会过大的情况。
穷举法详细
第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。
2019年上半年全国事业单位联考(综合应用能力)C类真题及答案解析
2019上半年全国事业单位联考（综合应用能力）C类真题及答案解析(1~8/共8题)材料分析题给定材料材料一1997年，国际象棋大师加里·卡斯帕罗夫败给了电脑“深蓝”；2016年，谷歌人工智能AlphaGo 又战胜了韩国棋手李世石，这标志着人工智能终于征服了它在棋类比赛中最后的弱项--围棋，谷歌公司的DeepMind团队比预期提前了整整10年达到了既定目标。
对计算机来说，围棋并不是因为其规则比国际象棋复杂而难以征服--与此完全相反，围棋规则更简单，它其实只有一种棋子，对弈的双方轮流把黑色和白色的棋子放到一个19×19的正方形棋盘中，落下的棋子就不能再移动了，只会在被对方棋子包围时被提走。
到了棋局结束时，占据棋盘面积较多的一方为胜者。
围棋的规则如此简单，但对于计算机来说却又异常复杂，原因在于围棋的步数非常多，而且每一步的可能下法也非常多。
以国际象棋作对比，国际象棋每一步平均约有35种不同的可能走法，一般情况下，多数棋局会在80步之内结束。
围棋棋盘共有361个落子点，双方交替落子，整个棋局的总排列组合数共有约10171种可能性，这远远超过了宇宙中的原子总数--1080！对于结构简单的棋类游戏，计算机程序开发人员可以使用所谓的“暴力”方法，再辅以一些技巧，来寻找对弈策略，也就是对余下可能出现的所有盘面都进行尝试并给予评价，从而找出最优的走法。
这种对整棵博弈树进行穷举搜索的策略对计算能力要求很高，对围棋或者象棋程序来说是非常困难的，尤其是围棋，从技术上来讲目前不可能做到。
“蒙特卡罗树搜索”是一种基于蒙特卡罗算法的启发式搜索策略，能够根据对搜索空间的随机抽样来扩大搜索树，从而分析围棋这类游戏中每一步棋应该怎么走才能够创造最好机会。
举例来说，假如筐里有100个苹果，每次闭着眼拿出1个，最终要挑出最大的1个，于是先随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小，拿的次数越多，挑出的苹果就越大。
穷举算法
分析
• 这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称 NOIP1998pj，以下同）。此题数据规模不大， 可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数 位为枚举对象，一位一位地去枚举： for a:=1 to 9 do for b:=1 to 9 do ……… for i:=1 to 9 do • 这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别 设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的 范围就减少为９３，在细节上再进一步优化， 枚举范围就更少了。
使用穷举的条件
• 可预先确定解的个数n • 解变量a1、a2、an的可能值为一个连续 的值域
算法归纳
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设：ai1-----解变量ai的最小值，aik----解变量ai的最大值（1《=i〈=n） a11<=a1<=a1k a21<=a2<=a2k ai1<=ai<=aik an1<=an<=ank 我们称解变量为穷举变量，即解题过程中需要列举出的变量（很明显，要列举出 变量的每个值，我们一般都使用for循环） 例如某问题的穷举变量有三个：a1，a2，a3，其中1〈=a1〈=2；2〈=a2〈=4；5 〈=a3〈=7 则可以列出本问题的所有可能解共18组（略） 在上述可能解的集合中，满足问题给定的检验条件的解元素就是问题的可能解 for a1:=a11 to a1k do for a2:=a21 to a2k do for a3:=a31 to a3k do for an:=an1 to ank do if (a1.a2.ai,an)满足检验条件 then 输出问题的解（a1,a2,ai,an）
•
(CHN,ENG) (CHN,FRH) (CHN,JPN) ( ENG,FRH) ( ENG,JPN)
noip讲义7-穷举法
例1、 1995年复赛题
设有下列的除法算式： 本题已给出了商 和余数，只要再知道 被除数或除数，就可 确定整个算式。枚举 除数枚举量较小，我 们选择枚举除数，而 被除数则可按公式 y=809*x+1计算得出。
我们不可能对14个格子 中的数都进行枚举，本题的 关键在于找出适当的元素进 行枚举。
请根据上述算式中的信息求出被除数和除数。
var x,y:integer; 枚举所有可能的除数 begin for x:=10 to 99 do begin y:=（ 809*x+1 ）; {计算出被除数} if y>9999 then break;｛优化语句｝ 验证 if （ (y>=1000) and (8*x<=99) and (9*x>=100) then writeln(y,' ',x); end; end. 运行结果： 9709 12
var i,m,n,r,s:longint; a:array[1..100] of longint;{保存-R进制数} begin readln(n,r); r:=-r; m:=1;{记录位数} for i:=1 to 100 do a[i]:=0; a[1]:=-1; repeat a[1]:=a[1]+1 ;{从0开始逐一穷举-R进制数} i:=1; {处理进位} while a[i]=r do begin a[i]:=0; i:=i+1; a[i]:=a[i]+1 end; if i>=m then m:=i;{修正位数} s:=0; for i:=m downto 1 do s:=s*(-r)+a[i]{算出对应的十进制数} until n=s; for i:=m downto 1 do if a[i]<=9 then write(a[i]) else write(chr(a[i]+55)); end.
《一、 穷举法概述》作业设计方案-高中信息技术人教版选修1
《穷举法概述》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次作业旨在帮助学生深入理解穷举法的概念，掌握穷举法的应用场景，并通过实践操作，提高编程能力。
二、作业内容1. 编写一个程序，实现一个简单的穷举法算法。
要求算法能够从1到n（n为给定数值）的范围内，对每个数字进行判断，是否为特定的特定数的倍数。
例如，给定特定数为3，程序需要判断数字n是否能被3整除。
2. 设计一个实际应用场景，利用穷举法解决问题。
例如，需要列举出所有可能的组合，或者寻找符合特定条件的所有结果等。
3. 分析两种常见的穷举法算法优化方法：部分穷举和条件过滤。
根据实际应用场景，说明如何选择合适的优化方法以提高效率。
三、作业要求1. 完成时间：作业需在本周内完成。
2. 提交方式：将代码和问题分析报告以电子版形式提交至学习平台。
3. 提交内容：a) 第一个作业要求提供完整的程序代码和问题描述。
b) 第二个作业要求写出详细的问题分析报告，包括应用场景、问题描述、穷举法应用过程、优化方法的选择等。
c) 第三个作业要求对两种优化方法进行比较分析，并提出在实际应用中的优缺点和适用范围。
4. 注意事项：a) 代码应符合编程规范，逻辑清晰，易于理解。
b) 问题分析报告应条理清晰，逻辑连贯，语言简练。
c) 请独立完成作业，禁止抄袭和作弊。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生提交的代码、问题分析报告和作业完成情况进行评价。
2. 分值标准：满分100分，包括以下部分：a) 代码质量和逻辑完整性（30分）b) 问题分析报告的条理和逻辑（25分）c) 作业完成情况和态度（20分）d) 创新性和实用性（15分）3. 评价方式：教师评价与小组互评相结合，重点考察学生对于穷举法的理解和应用能力。
4. 反馈机制：学生在提交作业后将收到来自教师和小组的评价反馈，以便进一步改进和提高。
五、作业反馈经过本次作业，学生应该能够更加深入地理解穷举法的概念和应用场景，并掌握一定的编程技巧和优化方法。
多重循环(穷举算法)
设公鸡x只，母鸡y只，小鸡z只，可以列出方程： x+y+z=100 ① 5x+3y+z/3=100 ② 由于无法直接用代数方法解，可以用“穷举法”来解此问题。 穷举范围:
X: 0~20 Y: 0~33 z:0~100
符合条件:
共有100只共花100元
即 ：x+y+z=100 5*x+3*y+z/3=100
四、拓展练习2：
有一道写于纸上的数学题被雨水淋湿，其中有两个数字 已模糊不清（3□＋42）×6＝47□ 你能设计找出这两个 数吗？
分析： （3□＋42）×6＝47□
穷举范围:
a:0~9
b:0~9
a
0~9
b
0~9 符合条件: 让等式成立 即 ：3□＋42）×6学问题）
多重循环应用---穷举算法：
情景： 某同学登录自己的QQ号时发现由于较长时间没有 使用已经记不清了 ，你能帮他设计程序找回密码吗， 他的密码是5位数，67xx8，其中百位数和十位数字他 不记得了，但他记得该密码能被67和78整除。
分析问题： 设计算法：
67xx8
a b
0~9 0~9
这个问题适合用穷举法进行搜索 分别用a、b表示这2位求知数字。 穷举范围： a:0~9 b:0~9 符合条件：首先要组成5位数x，然后判 断x能否同时被78和67整除，即可得到 结果。
注：不要把密码设置成123456，要把密码 设置成大小写、数字，要避免使用自己名字 的拼音、生日数字、电话号码等
四、拓展练习1：
我国古代数学家张丘建在《算经》中出了一道“ 百钱百鸡”题，题意是：公鸡五元一只，母鸡三元一只， 小鸡一元三只。用100元钱买100只鸡，问公、母、 小鸡各买多少只？编程输出所有满足条件的结果
2019年上半年全国事业单位联考C类《综合应用能力》真题及答案
2019年上半年全国事业单位联考C类《综合应用能力》真题及答案材料一1997年，国际象棋大师加里·卡斯帕罗夫败给了电脑“深蓝”;2016年，谷歌人工智能AlphaGo又战胜了韩国棋手李世石，这标志着人工智能终于征服了它在棋类比赛中最后的弱项——围棋，谷歌公司的DeepMind团队比预期提前了整整10年达到了既定目标。
对计算机来说，围棋并不是因为其规则比国际象棋复杂而难以征服——与此完全相反，围棋规则更简单，它其实只有一种棋子，对弈的双方轮流把黑色和白色的棋子放到一个19×19的正方形棋盘中，落下的棋子就不能再移动了，只会在被对方棋子包围时被提走。
到了棋局结束时，占据棋盘面积较多的一方为胜者。
围棋的规则如此简单，但对于计算机来说却又异常复杂，原因在于围棋的步数非常多，而且每一步的可能下法也非常多。
以国际象棋作对比，国际象棋每一步平均约有35种不同的可能走法，一般情况下，多数棋局会在80步之内结束。
围棋棋盘共有361个落子点，双方交替落子，整个棋局的总排列组合数共有约10171种可能性，这远远超过了宇宙中的原子总数——1080!对于结构简单的棋类游戏，计算机程序开发人员可以使用所谓的“暴力”方法，再辅以一些技巧，来寻找对弈策略，也就是对余下可能出现的所有盘面都进行尝试并给予评价，从而找出最优的走法。
这种对整棵博弈树进行穷举搜索的策略对计算能力要求很高，对围棋或者象棋程序来说是非常困难的，尤其是围棋，从技术上来讲目前不可能做到。
“蒙特卡罗树搜索”是一种基于蒙特卡罗算法的启发式搜索策略，能够根据对搜索空间的随机抽样来扩大搜索树，从而分析围棋这类游戏中每一步棋应该怎么走才能够创造最好机会。
举例来说，假如筐里有100个苹果，每次闭着眼拿出1个，最终要挑出最大的1个，于是先随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小，拿的次数越多，挑出的苹果就越大。
穷举算法
穷举算法穷举，又叫枚举法，指的是从可能的解的集合中一一枚举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是能使命题成立，即为其解。
应用到程序中，枚举有许多表现形式，比如把所有的组合都扫描一遍，找出符合要求的组合。
举个简单的例子，找素数。
1什么都不是，2是素数，3是，4不是，5是……，如此把所有的自然数（当然是不可能的，只能尽量多）都找一遍，就能找出所有的素数。
可以这么说，枚举是最简单，最基础，也是最没效率的算法，但是。
枚举拥有很多优点，以致于他能够活到现在而不被淘汰。
首先，枚举有超级无敌准确性，只要时间足够，正确的枚举得出的结论是绝对正确的。
其次，枚举拥有天下第一全面性，因为它是对所有方案的全面搜索，所以，它能够得出所有的解。
例：找偶数。
【题目一】把一元钞票换成一分、二分、五分硬币（每种至少一枚），有哪些种换法？【答案】461种提示：for i:=1 to 93 dofor j:=1 to 47 dofor k:=1 to 19 doif 100=i+2*j+5*k then n:=n+1;还有没有效率更高的算法呢？留给大家考虑。
【题目二】将1,2...9共9个数分成三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数构成1:2:3的比例,试求出所有满足条件的三个三位数.分析：这是1998年全国分区联赛普及组试题（简称NOIP1998pj，以下同）。
此题数据规模不大，可以进行枚举，如果我们不加思地以每一个数位为枚举对象，一位一位地去枚举：for a:=1 to 9 dofor b:=1 to 9 do………for i:=1 to 9 do这样下去，枚举次数就有9９次，如果我们分别设三个数为x,2x,3x，以x为枚举对象，穷举的范围就减少为９３，在细节上再进一步优化，枚举范围就更少了。
【题目三】：穷举法中穷举方案的选择：陈婷有一个E-MAIL邮箱的密码是一个5位数。
但因为有一段比较长的日子没有打开这个邮箱了，陈婷把这个密码给忘了。
np难问题常用算法
np难问题常用算法NP难问题是指非确定性多项式（Non-deterministic Polynomial）时间可解的问题集合，也就是说，这些问题可以在多项式时间内验证给定解的答案是否正确，但目前还没有找到一个多项式时间算法来解决这些问题。
因为NP难问题的解决困难程度，研究者们提出了许多常用算法来解决这些问题，下面将介绍其中的一些算法实现。
1. 穷举搜索算法穷举搜索算法是一种朴素的解决NP难问题的方法。
它通过尝试所有可能的解，从中寻找满足问题条件的最优解。
尽管这种方法在大多数情况下不太实用，但对于一些小规模问题仍然是可行的。
2. 贪婪算法贪婪算法是一种通过每次选择局部最优解来构建整体最优解的策略。
它们通常以一种基于贪婪选择的方式逐步构建解决方案，不进行回溯。
贪婪算法的思想简单且易于实现，但不一定能找到全局最优解。
3. 近似算法近似算法是为解决NP难问题提供近似最优解的算法。
它们通过在多项式时间内找到一个接近最优解的解决方案来减小计算复杂度。
近似算法通常以一种启发式的方式工作，利用一些特定的规则或启发式函数来指导搜索过程。
4. 动态规划动态规划是一种解决NP难问题的常见算法。
它将原问题分解为多个子问题，并通过存储子问题的解来避免重复计算，从而降低计算复杂度。
动态规划的关键是找到递推关系式和边界条件，并使用表格来保存中间计算结果。
5. 回溯法回溯法是一种通过试探和回退的方式来寻找问题解的方法。
它通过不断尝试各种可能的解决方案，并进行回溯来寻找最优解。
回溯法通常用于解决组合优化问题，如旅行商问题等。
6. 分支界限算法分支界限算法是一种通过将问题的解空间划分为多个子问题，并通过优先级队列实现剪枝操作来寻找最优解的方法。
它通过计算当前子问题的下界，并将下界高于当前最优解的子问题剪枝，从而减小搜索空间。
7. 模拟退火算法模拟退火算法是一种基于统计力学的随机优化算法，用于寻找问题的全局最优解。
它通过模拟金属退火过程中的粒子运动，逐步降低温度来实现对搜索空间的探索。
穷举法
穷举法
四、穷举法应用
begin e:=15-a-b-c-d;b0:=(e<>2) and (e<>3);
m:=bton(e=1)+bton(b=2)+bton(a=5)+bton(c<>1)+bton(d=1);
b0:=b0 and (m=-2); b1:=(e=1) and (a<>2); b1:=b1 or (a=5) and(c<>1) and(c<>2); b1:=b1 or (c<>1) and (d<>1) and (d<>2); b1:=b1 or (d=1) and (e<>2); b0:=b0 and not b1; if b0 then
穷举法
四、穷举法应用
分析：本题是一个逻辑判断题，一般的逻辑判断题都采 分析：本题是一个逻辑判断题， 用穷举法进行解决。 我们对5 用穷举法进行解决 。 我们对 5 所学校所得名次的各种可 能情况进行穷举。在每种情况中， 能情况进行穷举。在每种情况中，为了防止不同学校取 相同的名次，设立了逻辑数组x x[I]为false表示已有 相同的名次，设立了逻辑数组x，x[I]为false表示已有 某校取第I 某校取第I名。 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b0来 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b 描述这一条件，主要有两个条件： 校不是第2 描述这一条件，主要有两个条件：“E校不是第2名或第 只有第1名和第2 名的学校的人猜对” 3 名 ” 与 “ 只有第 1 名和第 2 名的学校的人猜对 ” ， 后一 条件要判断： 是否只有两人说法正确？ 条件要判断：1）是否只有两人说法正确？2）说得正确 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？ 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？要判断是否 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此，设立 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此， 了函数bton 将逻辑量数值化。 bton， 了函数bton，将逻辑量数值化。
穷举算法的自然语言 -回复
穷举算法的自然语言-回复穷举算法，即暴力搜索算法，是一种通过尝试所有可能的解来解决问题的方法。
它通常被用于解决一些具有有限状态空间的问题，其中每个状态都可以通过一系列的决策来到达下一个可能的状态。
在本文中，我们将对穷举算法进行详细的介绍，并解释其工作原理以及如何应用它来解决问题。
穷举算法的核心思想是通过枚举所有的可能解来找到问题的最优解。
它可以看作是一种朴素的方法，没有任何智能化的优化。
但正是因为它的朴素性，穷举算法的应用范围非常广泛，几乎可以用于解决任何问题。
在使用穷举算法解决问题之前，首先需要明确问题的定义和约束条件。
例如，如果我们要在一个整数数组中找到两个数的和等于给定值，那么问题的定义就是找到这两个数，并返回它们的索引。
约束条件可以是数组的长度、元素的取值范围等。
接下来，我们可以使用两层循环来遍历数组中的所有可能组合。
外层循环遍历第一个数的索引，内层循环则遍历第二个数的索引。
这样，我们可以通过计算两个数的和来检查是否等于目标值。
如果是，则返回它们的索引；如果不是，则继续遍历直到找到满足条件的组合或遍历完所有可能。
然而，穷举算法的时间复杂度非常高，通常为O(n^2)，其中n是问题的规模。
因此，在实际应用中，我们需要考虑如何优化穷举算法，以减少其执行时间。
一种常见的优化方法是使用剪枝技术。
剪枝技术通过在搜索过程中排除一些不可能的解来减少搜索空间。
例如，在解决八皇后问题时，我们可以在发现冲突的情况下立即回溯，而不是继续尝试所有可能的解。
这样可以大大减少搜索的时间。
另一种常见的优化方法是使用启发式搜索。
启发式搜索根据问题的特性和经验，选择最有可能导致最优解的路径。
例如，在解决旅行推销员问题时，我们可以通过选择最近的未访问城市作为下一个目的地来优化搜索路径。
这样可以避免遍历所有可能的解，从而提高求解效率。
此外，穷举算法还可以与其他算法相结合，以进一步提高性能。
例如，可以使用动态规划算法将问题划分为子问题，并通过存储中间计算结果来避免重复计算。
穷举（一）：穷举法的基本思想
穷举（⼀）：穷举法的基本思想穷举是⽤计算机求解问题最常⽤的⽅法之⼀，常⽤来解决那些通过公式推导、规则演绎的⽅法不能解决的问题。
采⽤穷举法求解⼀个问题时，通常先建⽴⼀个数学模型，包括⼀组变量、以及这些变量需要满⾜的条件。
问题求解的⽬标就是确定这些变量的值。
根据问题的描述和相关的知识，能为这些变量分别确定⼀个⼤概的取值范围。
在这个范围内对变量依次取值，判断所取的值是否满⾜数学模型中的条件，直到找到全部符合条件的值为⽌。
穷举法（枚举法）的基本思想是：列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些是符合问题所要求的条件，从⽽得到问题的全部解答。
它利⽤计算机运算速度快、精确度⾼的特点，对要解决问题的所有可能情况，⼀个不漏地进⾏检查，从中找出符合要求的答案。
⽤穷举算法解决问题，通常可以从两个⽅⾯进⾏分析。
（1）问题所涉及的情况：问题所涉及的情况有哪些，情况的种数可不可以确定。
把它描述出来。
应⽤穷举时对问题所涉及的有限种情形必须⼀⼀列举，既不能重复，也不能遗漏。
重复列举直接引发增解，影响解的准确性；⽽列举的遗漏可能导致问题解的遗漏。
（2）答案需要满⾜的条件：分析出来的这些情况，需要满⾜什么条件，才成为问题的答案。
把这些条件描述出来。
只要把这两个⽅⾯分析好了，问题⾃然会迎刃⽽解。
穷举通常应⽤循环结构来实现。
在循环体中，根据所求解的具体条件，应⽤选择结构实施判断筛选，求得所要求的解。
穷举法的程序框架⼀般为：cnt=0; // 解的个数初值为0for(k=<区间下限>；k<=<区间上限>；k++) // 根据指定范围实施穷举if (<约束条件>) // 根据约束条件实施筛选{cout<<(<满⾜要求的解>); // 输出满⾜要求的解cnt++; // 统计解的个数}【例1】硬币⽅案有50枚硬币，可能包括4种类型：1元、5⾓、1⾓和5分。
已知50枚硬币的总价值为20元，求各种硬币的数量。
穷举及其优化
如何来优化算法呢?
如果注意到b3和b6两个格子，与它们“相邻”的格子 有6个，也就是说，放入这两个格子中的数，必须和6个 数不连续，仅可以和一个数是连续的，这样的数只有2个， 即1和8。这样，b1，b3，b6，b8；4个格子中数的放 法仅有两种可能：2、8、1、7和7、1、8、2。而b2、 b4、b5、b7四个格子中的数仅需在3、4、5、6四个 数中选择。经过上述优化，可行解仅有：2×4！＝48个， 大大减少了计算量。并且检验是否符合要求， 也只需检查(b1，b2)， B1 (b1，b4)，(b2，b5)， B2 B3 B4 (b4，b7)，(b5，b8)， B5 B6 B7 (b7，b8)这6对数之差就可以了。
例 如 153(153=1*1*1+3*3*3+5*5*5) 是一个三位数的阿姆斯特朗数,8208则是一个四位 数的阿姆斯特朗数。
算法分析：
为了使得程序尽快运行出正确结果,程序中使 用了一个数组power存放所有数字的各次幂之值, power[i,j] 等 于 i 的 j 次 方 。 变 量 currentnumber存放当前要被验证的数,数组 digit 存 放 当 前 数 的 各 位 数 字 , 开 始 时 digit[3]=1,其它元素均为0,此时表示当前数为 100。 highest为当前数的位数。
begin
i:=1;
while digit[i]=10 do digit[i+1]:=digit[i+1]+1; digit[i]:=0; i:=i+1 end;
进位
if i>highest then highest:=i;
currentnumber:=currentnumber+1 end;
穷举法——精选推荐
第16章 穷举算法与实验穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
虽然穷举法效率并不高，但是适应一些没有明显规律可循的问题的解决。
因为穷举算法就是从所有可能的情况中搜索正确的答案，所以一般可按如下步骤： 第1步: 对于一种可能的情况，列举出来并计算其结果；第2步：判断结果是否满足要求，如果不满足则执行第1步来搜索下一个可能的情况，如果满足要求，则表示寻找到一个正确的答案，执行下一步操作，如寻找其他正确（合适）的答案或者中断循环。
16.1三角形数问题16.1.1 问题描述将 ,F ,E ,D ,C ,B ,A 这六个变量排成如图所示的三角形，这六个变量分别取[1，6]上的整数，且均不相同。
求使三角形三条边上的变量之和相等的全部解。
如图就是一个解。
A 6B C 3 1D F 2 4E 516.1.2 问题分析程序引入变量123456,,,,,i i i i i i ，代表,F ,E ,D ,C ,B ,A 并让它们分别顺序取1至6的正整数，在它们互不相同的前提条件下，测试由它们排成的如图所示的三角形三条边上的变量之和是否相等，如相等即为一种满足要求的排列，把它们输出。
当这些变量取尽所有的组合后，程序就可得到全部可能的解。
细节见下面的程序。
【程序1】%穷举法解三角形数 for i1=1:6 for i2=1:6 if i1==i2 continue;endfor i3=1:6if i1==i3 || i2==i3continue;endfor i4=1:6if i1==i4 || i2==i4 || i3==i4continue;endfor i5=1:6if i1==i5 || i2==i5 || i3==i5 || i4==i5continue;endfor i6=1:6if i1==i6 || i2==i6 || i3==i6 || i4==i6 || i5==i6continue;endif i1+i2+i4==i1+i3+i6 && i1+i2+i4==i4+i5+i6fprintf ('%6d\n',i1) ;fprintf ('%4d%4d\n',i2,i3) ;fprintf ('%2d%4d%4d\n\n',i4,i5,i6) ;endendendendendendEnd16.1.3 问题讨论按穷举法编写的程序通常不能适应变化的情况。
遍历迭代递归穷举
遍历迭代递归穷举
遍历、迭代、递归和穷举都是实现重复执行一段代码的方法。
其中，遍历是对数据结构中的每个元素进行检查；迭代是一个重复的过程，目的是为了输出一系列值（可能是无穷序列），每次重复的过程也叫一次“迭代”，一次迭代的结果，可以作为下一次迭代的输入；递归是一种自我调用的编程技巧，直到达到某个终止条件才停止调用自身；穷举则是将所有可能的情况都考虑到，然后逐一尝试，以找到问题的解。
例如，对于一个数组，穷举就是将数组中的所有元素都进行遍历。
在实际应用中，这些方法都有各自的优缺点。
遍历适用于对数据结构中的每个元素都需要进行处理的情况；迭代适用于需要输出一系列值的情况；递归适用于问题可以被分解为相同子问题的情况；穷举适用于所有可能情况较少的情况。
需要注意的是，在使用这些方法时，应该根据具体的问题特点选择合适的方法，并且要注意避免死循环和栈溢出等问题的发生。
同时，还应该注意代码的可读性和效率，尽可能地优化代码结构和算法。
算法评价的基本原则
算法评价的基本原则算法评价是计算机科学和软件工程领域中的一项重要任务，它旨在评估算法的性能、效率和可靠性。
在进行算法评价时，需要遵循一些基本原则，以确保评价结果的准确性和公正性。
本文将详细阐述算法评价的基本原则，并从多个角度进行分析和讨论。
一、问题适应性原则算法的评价首先要基于其解决问题的能力。
一个好的算法应该能够针对特定的问题提供有效的解决方案。
问题适应性原则要求评价者充分了解算法的应用场景和问题特性，以便对算法的优劣做出准确的判断。
例如，对于排序问题，不同的算法可能适用于不同规模的数据集和排序需求。
评价者需要根据实际情况选择最合适的算法，并对其性能进行评估。
二、时间复杂度原则时间复杂度是衡量算法效率的重要指标之一。
它表示算法执行时间与问题规模之间的关系。
一个好的算法应该具有较低的时间复杂度，以便在有限的时间内解决更大规模的问题。
在评价算法时，需要关注其时间复杂度的阶数，如O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)、O(n^2)等。
较低阶数的时间复杂度意味着算法具有更好的可扩展性和更高的执行效率。
三、空间复杂度原则空间复杂度是另一个衡量算法效率的重要指标。
它表示算法在执行过程中所需的存储空间与问题规模之间的关系。
一个好的算法应该具有较低的空间复杂度，以便在有限的内存资源下解决更大规模的问题。
在评价算法时，需要关注其空间复杂度的阶数，并结合实际应用场景进行权衡。
例如，在某些内存受限的环境中，可能需要选择空间复杂度较低的算法来确保程序的正常运行。
四、稳定性原则稳定性是指算法在输入数据发生微小变化时，输出结果是否保持一致的能力。
一个好的算法应该具有较好的稳定性，以便在实际应用中应对各种复杂情况。
在评价算法时，需要对算法的稳定性进行测试和分析，以确保其在不同场景下都能提供可靠的结果。
例如，在图像处理、机器学习等领域中，稳定性对于算法的性能至关重要。
五、可理解性原则可理解性是指算法是否易于理解和实现。
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复杂度计算举例
从代码中我们可以看到，我们定义了几个 简单变量和一个大小为n+1的数组，空间消 耗量的数量级就是n，因此空间复杂度是 O(n)。 在时间上，读入数据执行n+1次，s:=a[i]和 y:=y+s各执行n次，s:=s*x执行1+2+……+n 次，因此整个代码简单语句的执行次数约 为(n2-n)/2+3n，忽略掉系数、低阶项和常数 项，其时间复杂度为O(n2)。
时间复杂性
通常情况下，最佳时间复杂度和最差时间 复杂度是比较容易得到的，但意义不大。 平均时间复杂度计算比较繁琐，但可以比 较客观的衡量一个算法所需的运行时间级 别。
空间复杂性
算法在运行过程中所占用的存储空间的大 小被称为“算法的空间复杂性”。 它包括了算法中变量、常量所占用的存储 空间和系统为了实现递归而使用的堆栈空 间。 算法的空间复杂性一般也以关于数量规模n 的数量级形式给出。
由于算法的时间复杂度考虑的是对于问题 规模n的增长率，在实际计算的时候，一般 只需求出它关于n的增长率或阶乘即可，不 需要考虑常数项、低阶项和系数。
时间复杂性
for i := 1 to n-1 do for j := 1 to i-1 do x := x+1 语句x := x + 1的执行次数为(n-1)*(n-2)/2 = 0.5n2-1.5n+1
算法评价
例如：在下列三个程序段中， ① x:=x+1 ② for i:=1 to n do x:=x+1; ③ for j:=1 to n do for k:=1 to n do x:=x+1
含基本操作“x增1”的语句x:=x+1的频度分 别为1，n和 n2 ，则这三个程序段的时间复杂 度分别为O（1），O（n），O（n2 ），分别称 为常量阶、线性阶和平方阶。
复杂度计算举例
read(n, x); b[0] := 1; for i := 0 to n do read(a[i]); y := a[0]; for i := 1 to n do begin b[i] := b[i-1] * x; y := y + a[i] * b[i]; end; write(y);
算法的描述
自然语言描述 图形描述：如流程图、NS图等。 伪代码描述：包含程序设计语言的三大基 本结构及自然语言的一种语言。 类语言描述：类似高级语言的语言，如类C、 类Pascal等。
算法的设计要求
正确性
程序不含语法错误； 程序对几组输入数据能够得出满足规格要求的结果； 程序对精心选择的、典型的、苛刻的、带有刁难性的 几组输入数据能够得出满足规格要求的结果； 程序对一切合法的输入数据都能产生满足规格要求的 结果。
二、引入
例1、编一个程序找出三位数到七位数中 所有的阿姆斯特朗数。阿姆斯特朗数也叫水仙 花数,它的定义如下:若一个n位自然数的各位 数字的n次方之和等于它本身,则称这个自然数 为阿姆斯特朗数。例如 153(153=1*1*1+3*3*3+5*5*5)是一个三位数的 阿姆斯特朗数,8208则是一个四位数的阿姆斯 特朗数。
可读性：有助于阅读和交流、有助于对算法的理 解、有助于对算法的调试和修改。 高效率和低存储：处理速度快、存储容量小。
一个问题？
求 S=20+21+22+23……+2n
解法1：用循环求2i，再累加求和 解法2：利用2i=2i-1*2，再累加求和 解法3：公式2n+1-1
算法评价
有时求解同一个问题常常有多种可用 的算法，在一定的条件下当然要选择 使用好的算法。用什么方法评估算法 的好坏呢？通常使用算法复杂性这一 概念来评估算法。 包括时间复杂度和空间复杂度
算法评价
算法评价主要从算法的正确性、可读性和 复杂性三个方面考虑。
正确性是评价算法的首要条件。一个正确的算 法是指在合理的输入数据下，能在有限的运行 时间内得到正确的结果。 可读性有助于阅读程序、证明算法正确性、便 于编写、调试、修改程序。 复杂性分为时间复杂性和空间复杂性，用于评 价算法在运行时间和占用空间上的程度。
算法评价
泰州二附中 谢志锋
什么是算法
算法是在有限步骤内求解某一问题所使用 的一组定义明确的规则。是对特定问题求 解步骤的一种描述，它是指令的有限序列， 其中每一条指令表示一个或多个操作。
算法的特征
确定性：算法的描述必须无歧义，算法的 执行结果是确定的。 可行性：算法中所描述的操作都是可以通 过已经实现的基本运行执行有限次来实现。 有穷性：算法必须在有限步后结束。 输入：一个算法必须有零个或多个输入量。 输出：一个算法必须有一个或多个输出量， 没有输出的算法是毫无意义的。
复杂度计算举例
空间复杂度是O(n) 时间复杂度是O(3n)≈O(n)
复杂度计算举例
而如果你通过数学公式的转换，可以把原 式转为(…((an*x+an-1)*x+an-2)…+a1)*x+a0 的形式，这样的话，代码就可以变为 y:=a(n); for i := n-1 downto 0 do y := y * x + a(i); 这样一来，空间复杂度还是O(n)，而时间 复杂度（加上读入a(i)的代码）为 O(2n)≈O(n)。
穷举法求解的问题必须满足两个条件： ⑴可预先确定每个状态的元素个数n； ⑵状态元素a1，a2，…，an的可能值为一个 连续的值域。
设ai1—状态元素ai 的最小值；aik—状态元素ai 的 最 大 值 (1≤i≤n) ， 即 a11≤a1≤a1k ， a21≤a2≤a2k ， ai1≤ai≤aik，……，an1≤an≤ank for a1←a11 to a1k do fo a2←a21 to a2k do …………………… for ai←ai1 to aik do …………………… for an←an1 to ank do if 状态(a1，…，ai，…，an)满足检验条 件 then 输出问题的解；
寻找问题的本质，减少重复操作
编程复杂度
相对而言，“编程复杂度”的要求要 略低一些。但是在竞赛中，如果建立的算 法实现起来十分繁琐，自然不利于比赛。 所以，在建立模型时（特别是在竞赛中） 这点也要纳入考虑之中。
穷举
一、穷举法
穷举法是基于计算机特点而进行 解题的思维方式。一般是在一时找不 出解决问题的更好途径（即数学上找 不到求解公式或规则）时，根据问题 中的部分条件（约束条件），将所有 的可能解的情况列举出来，然后一一 验证是否符合整个问题的求解要求， 而得到问题的解。
算法评价
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循 环三种）和原操作（指固有数据类型的操 作）构成的，则算法时间取决于两者的综 合效果。 为了便于比较同一问题的不同算法，通过 的做法是，从算法中选取一种对于所研究 的问题（或算法类型）来说是基本运算的 原操作，以该基本操作重复执行的次数作 为算法的时间度量。
复杂度计算举例
O(n2)的代码效率还是比较低的，我们看看 有没有什么办法来加快一下。 我们容易发现，我们其实并不需要每次都 把xk重新计算一遍，而只需要把前一次得到 的xk-1在乘上一个x就可以了，因此我们就 可以考虑先把xk都生成好，然后再乘上系数， 最后累加一下就可以了。 我们来看代码。
算法复杂度的优化
空间换时间
一个算法中的时间复杂度和空间复杂度往往是 矛盾的，但在一定条件下也是可以相互转换的。 在空间允许的前提下，把一些需要反复计算的 数据直接存储起来，以提高程序的执行效率。 这是优化算法的一种常用方法。
尽可能的利用前面已有的结论
如数学公式、递推法、构造法、动态规划等策 略
我们在考察其时间复杂度的时候，只看它 的最高阶，忽略系数、低阶和常数，因此 它的时间复杂度为O(n2)。
时间复杂性
对于大多数算法而言，其时间复杂性会根 据输入数据的不同而不同
最佳时间复杂度：根据最优输入数据得到的最 小值。 最差时间复杂度：根据最差输入数据得到的最 大值。 平均时间复杂度：根据概率、统计计算出来的 对所有输入数据的平均值。
复杂度计算举例
从代码可以看到，由于加入了一个新的数 组b，因此空间消耗达到了2n，但空间复杂 度还是O(n)。 而时间上，读入ai还是需要执行简单指令 n+1次，但累加部分只需要执行简单指令2n 次，因此，总共需要执行简单指令3n+1次， 其时间复杂度为O(3n+1)≈O(n)
复杂度计算举例
s:=0; for a:=1 to n-2 do for b:=a to n-2 do for c:=b to n-2 do if (a+b>c) and (b+c>a) and (c+a>b) and (a+b+c=n) then s:=s+1; s:=0; for a:=1 to n-2 do for b:=a to n-2 do begin c:=n-a-b; if (a+b>c) and (b+c>a) and (c+a>b) and (c>=b) then s:=s+1; end;
细心的同学们可能已经发现了，b这个数组 不是必须的，我们只要用一个简单变量就 可以了。因此把代码修改如下：
复杂度计算举例
read(n, x); b := 1; for i := 0 to n do read(a[i]); y := a[0]; for i := 1 to n do begin b := b * x; y := y + a[i] * b; end; write(y);
时间复杂性
算法在计算机中运行需要耗费一定的时间， 它大致等同于计算机执行简单操作（如赋 值操作、比较操作等）所需的时间与算法 中进行简单操作的次数的乘积。 通常我们把算法中所包含的简单操作的次 数的多少称为“算法的时间复杂性”。