第三单元 质因数和分解质因数 第38页3
五年级下册数学补充习题答案
第1页答案 ⼀ 简易⽅程 等式和⽅程的含义 1．等式：90-x=30，80÷4=20，7y=63 20+30=50， y+17=38， 54÷x=9； ⽅程：9-x=3， 7y=63， y+17=38， 54÷x=9。
2．30+ x=80； 4 x=80； x+10=50, 3 x=20+50 3．52+ x=110； 第2页答案 1．-20；+54，+54。
2．解：x=70+35 x=105 解：x=84-48 x=36 解：x=50+50 x=100 解：x=100-27 x=73 解：x=70+20 x=90 解：x=9－3.6 x=5.4 3：⑴ x+16.5=25 x=25－16.5 x=8.5 ⑵ x+15=60 x=60－15 x=45 第3页答案 ⽤等式性质解⽅程(2) 1：⑴ ÷0.3 ⑵ x5 x5 2：１４ｘ＝７０ ｘ÷６０＝１２ ｘ÷４．５＝９ ｘ＝７０÷１４ ｘ＝１２×６０ ｘ＝４．５×９ ｘ＝５ ｘ＝７２０ ｘ＝４０．５ ５ｘ＝１．５ ０．２ｘ＝６ ｘ÷１．１＝３ ｘ＝１．５÷５ ｘ＝６÷０．２ ｘ＝３×１．１ ｘ＝０．３ ｘ＝３０ ｘ＝３．３ ３： ⑴ １２ｘ＝１８ ｘ＝１８÷１２ ｘ＝１．５ ⑵ ５ｘ＝６５ ｘ＝６５÷５ ｘ＝１３ 第4页答案 ⽤等式性质解⽅程练习 1. (1)x＝32 (2)x＝20 (3)x＝3 (4)x＝7 (5)x＝100 2：－ 36 ＋ 0.8 28 2.7 ÷ 3 x 1.6 15 3.2 3：ｘ＋３．８＝６．３ ０．４＋ｘ＝２．３ ｘ－１．８＝４ ｘ＝６．３－３．８ ｘ＝２．３－０．４ ｘ＝４＋１．８ ｘ＝２．５ ｘ＝１．９ ｘ＝５．８ １．６ｘ＝６．４ ｘ÷７＝０．３ ｘ÷３＝２．１ ｘ＝６．４÷１．６ ｘ＝０．３×７ ｘ＝２．１×３ 第5页答案 ４： ⑴ ｘ＋５．５＝１０ ｘ＝１０－５．５ ｘ=４．５ ⑵ ５ｘ＝６０ ｘ＝６０÷５ ｘ＝１２ ５： ⑴ ｘ－９８＝２ ｘ＝９８＋２ ｘ＝１００ ⑵ ｘ－４５＝１２８ ｘ＝１２８＋４５ ｘ＝173 ⑶2.8千⽶=2800⽶ ７ｘ＝2800 ｘ＝２800÷７ ｘ＝４００⽶ ⑷ ４ｘ＝３６ ｘ＝３６÷４ ｘ＝９ 第6页答案 列⽅程解决实际问题(1) 1：ｘ＋4.8＝7.2 ｘ－７．９＝２．６ ３ｘ＝１３２ ｘ＝7.2-4.8 ｘ＝２．６＋７．９ ｘ＝１３２÷３ ｘ＝2.4 ｘ＝１０．５ ｘ＝４．４ ２： 解设:昨天卖出x套。
3.3：质数、合数、分解质因数教学案及巩固练习
3.3：质数、合数及分解质因数【学习目标】:1、理解质因数和分解质因数的意义。
2、会把一个合数分解质因数。
3、在探索发现的过程中体验成功的乐趣，增强自己学好数学的信心学习重点:理解质因数和分解质因数的意义。
【学习重难】:会用短除法分解质因数。
【学习方法】:学习方法:独立思考与小组交流相结合【知识点1】质数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，也叫做这个合数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。
【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______，最小的合数是分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。
而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。
4是最小的合数（背会）2、39、47、57、83中为质数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。
3、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数（C）1既不是质数，也不是合数（D）2是最小的合数分析：记住1这个特殊情况。
4、两个质数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。
第3讲质数合数分解质因数
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、 17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97。
2、质因数： 一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数. 3、分解质因数： 把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质 因数相乘的形式表示出来。 4、互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。 5、自然数按约数的个数可分为：质数、合数还 有1.
84=3×7×4 7=3+4 这三个数是：3，4，7.
3、有四个孩子，恰好一个比一大一岁。它 们的年龄相乘的积等于3024，那么他们各 几岁？ 3024=2×2×2×2×3×3×3×7 因为7是质数，所以保留下来 2×2×2=8,2×3=6,3×3=9 所以分别是6，7,8，9岁
点击例题5 用216元钱去买一种拖鞋，正好将钱用完， 如果每双拖鞋便宜1元，则可多买3双，钱也正好 用完，求一共买了多少双拖鞋？ 216=2×2×2×3×3×3 216=（3×3）×（2×2×2×3） =9×24 =3×27 答：一共买了24双拖鞋。
第 3 讲
质数合数和分解质因数
研究目标：质数合数 分解质因数 一、质数与合数的概念 自然数可以按约数（即因数）的个数进行分类： ①质数：只能被1和自身整除的自然数叫质数，即质数只 有两个约数（即因数）：1和它本身。如2、3、5等 ②合数：除了能被1和自身整除外，还有能被其他整数整 除的自然数叫合数，即，合数的约数（即因数）多于2个， 除了1和它本身外，还有别的约数（即因数）。如4、6、8 等等 ③1 1不是质数也不是合数。既不是质数也不是合数的自 然数。 注意： 1不能质数也不是合数 2是最小的质数，也是质数中唯一的偶数 4是最小的合数
3、有这样一个质数，它分别加上2,8,14,26后， 得到的仍为质数，这个质数最小是多少？
五年级数学下册第三单元《质因数与分解质因数》课件
复习导入
下列各数哪些是质数？哪些是合数？ 5 13 19 27 58 87 83 97 57 92 17
比一比，看谁找得快！
探索新知 在5=1×5、28=4×7中，哪些数是5的因数 ？哪些数是28的因数？在这些因数中，哪 几个是质数？
如果一个数的因数是质数，这个因数 就是它的质因数。
上面的算式中，哪个数是哪个数的质因数？
质因数既是因数，又是质数。
学以致用
探索新知
把30用几个质数相乘的形式表示出来。
把一个合数用质因数相乘的形式表 示出来，叫作分解质因数。
学以致用
下列各式是分解质因数吗？为什么？
（1）8=2×4ຫໍສະໝຸດ （3）12=2+3+7
（2）15=3×5×1 （4）20=2×2×5
探索新知
用短除法分解质因数及书写格式 把“30”分解质因数：
学以致用
先圈出下面的合数，再用短除法把它们分解质因数。 7 9 13 16 20 25 29
课堂小结
每个合数都可以写成几个质数相乘的形 式，这几个质数叫作这个合数的质因数。质 因数既是因数，又是质数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出 来，叫作分解质因数。
2 30
3 15
5 30＝2×3×5
用短除法来分解质因数的方法是: （1）把要分解的数写在短除号里。 （2）用这个数的因数中的质数去除，一般从最 小的质数开始。 （3）直到商是质数为止。 （4）把除数和商写成相乘的形式。
易错提醒
错误解答：
26
2 28
3
14
28=2×14
2 60 2 30 15
60=2×2×15
质因数与分解质因数
一、基本知识1.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
将一个合数分解为若干质数的乘积称为分解质因数，此时分解式中因数称质因数。
例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。
二、第一组例题与练习例题1把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。
一共有多少种不同的分法？分析先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。
练习一1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。
有哪几种分法？2.195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？3.甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。
例题2有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。
共有多少种分法？分析先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。
练习二1.把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。
2.四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？3.把1、2、3、4、5、6、7、8、9九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3张。
分解质因数（精选13篇）
分解质因数（精选13篇）分解质因数篇1教学目的1.使学生理解质因数、的意义，初步会把一个合数.2.培养学生观察、比较、抽象、概括的能力.教学重点质因数和的意义.教学难点用短除式.教学过程一、引入1.在5、13、21、32中，哪些是质数？哪些是合数？为什么？2.把上面各数用两个自然数相乘的形式表示出来.5＝（）×（） 13＝（）×（）21＝（）×（） 32＝（）×（）教师：填出的这些数与原数有什么关系？3.以上几个自然数都可以用两个因数相乘的形式表示，其它的自然数行吗？教师：用一句话来概括，一个自然数可以用什么形式表示出来？板书：把一个自然数用两个因数相乘的形式表示出来.二、新授1.如果我们做一个规定，“1除外”（板书于因数外），也就是因数不能用1，这句话还能这么说吗？举例说明.教师：在因数不用1的前提下，什么数仍能用两个因数相乘的形式表示，什么数就不能？（合数能，质数不能）板书：把一个合数用两个因数（1除外）相乘的形式表示出来.2.根据这条结论把下面几个合数用两个因数相乘的形式表示出来.6、15、24、286＝2×3 24＝2×1215＝3×5 ＝3×8＝4×628＝4×7＝2×143.这些合数（指24、28）的因数中还有合数12、8、6……根据刚才的结论又可以用什么形式表示？现在不限制因数的个数（擦去结论中的“两个”）把这些合数用最多个因数相乘的形式表示出来.组织学生讨论汇报.24=2×2×2×3教师：6和15还能不能用更多个因数相乘的形式表示？为什么不能？明确：这些因数都是质数，根据这一特点，我们给它们起一个名字？（质因数）根据黑板上的例子说一说什么叫质因数？4.反馈练习6的质因数有（）.2和3是6的（）2和3还是谁的质因数？24的质因数有哪些？28的质因数有哪些？如果说3和5是质因数对吗？怎么改？（12、4、6……）这几个因数是不是质因数？5.现在我们是把一个合数用什么形式表示出来？教师根据学生回答在原结论中添上“质”字，去掉“1除外”.同步板书课题：.三、练习1.判断下面各题，对的画“√”，错的画“×”，并说明理由.（1）35是35＝1×5×7 （）（2）60是60＝2×3×10（）（3）27是27＝3×3×3 （）（4）14是2×7＝14 （）2.把下面各数.（1）口答：4、6、8、9、10.（2）笔答：16、18、54.3.把9、90、900，你发现什么？四、小结什么叫质因数？什么叫？时我们要注意哪些问题？五、作业1.把下面各数.8 12 16 24 54 722.下面的数是由哪几个质数相乘得到的.10 21 27 35 49 50六、板书设计分解质因数篇2教学内容:教科书第60页例3，练习十三的第5～9题.教学目的1.使学生理解质因数和的含义，初步掌握的方法.2.培养学生的观察能力、分析能力.教具准备:视频展示台.教学过程一、复习准备1.能被2、3、5整除的数的特征是什么？2.什么叫质数，什么叫合数？随学生回答，用视频展示台展示：质数只有1和它本身两个约数.合数除了1和它本身还有别的约数.3.说出20以内的质数和合数.4.下面哪些数是质数，哪些数是合数？它们各能被哪些数整除？3 6 21 28 53 60 75 97二、导入新课教师：这节课我们就在掌握上面这些知识的基础上，学习.板书课题：三、进行新课1.教学例3.教师：先和同学们玩一个游戏，玩游戏之前要交代几条游戏规则（用视频展示台出示）.（1）写成两个数相乘或连乘的形式，连乘的因数越多得分越高；（2）只能用自然数；（3）不能用1.教师：这几条规则明白没有？（明白了）好！现在以小组为单位进行比赛，由老师写一个数，你们把能写成几个数连乘的数写成几个数连乘，不能按游戏规则写成乘法算式的数就不要写了.例如：4＝2×2 12＝2×2×3 17＝ 22＝2×11教师：每正确写一个乘号得一分，如把12写成2×2×3得2分，而写成4×3得1分；写错一个乘号扣一分，如把17写成1×17，因为我们规定不能用1，所以要倒扣一分.最后哪组的分加起来最多这个小组获得胜利.这样的游戏规则弄懂没有？学生不清楚的地方可以提问，直到每个学生都弄懂了游戏规则再开始游戏.游戏开始，教师在视频展示台上出示下面的数.3＝ 6＝ 21＝ 48＝ 53＝ 50＝ 75＝ 97＝学生小组讨论把这些数按游戏规则写成乘法算式.写完后，在视频展示台上展示学生写的作业，按游戏规则加分后，评出得分最高的三个组，分别发给大红旗、小红旗和小红花.然后教师请学生观察自己的作业，问学生：哪些数能写成几个数相乘的形式，哪些数不能？随学生的回答，教师在视频展示台上展示：3、53、97不能写成几个数相乘的形式；6、21、48、50、75能写成几个数相乘的形式.教师：再观察，上一排数都是什么数？（质数）为什么质数不能按游戏规则写成几个数相乘的形式？引导学生讨论后说出：质数只有约数1和它本身，因而只能写成“1×这个数本身”，因为游戏规则不能用1，所以按游戏规则不能写成几个数相乘的形式.教师：下一排又是些什么数呢？（合数）为什么合数能按游戏规则写成几个数相乘的形式呢？引导学生说出：合数除了1和它本身以外，还有其它约数，如6除了1和6以外，还有约数2和3，所以可以写成6＝2×3.教师：对了.按照游戏规则，只有合数才能写成几个数相乘的形式，所以我们就重点研究如何把一个合数分解成几个数连乘的形式.看看下面这些数都分解成了两个数相乘的形式，但是它们有什么不同？（师板书）6 28/ ＼ 6＝2×3 / ＼ 28＝4×72 ×34 × 7学生讨论后回答：6分解成2×3后按游戏规则就不能再分解了；但是28分解成4×7后，4×7中的4还可以分解成2×2.教师：你是怎样发现4还能分解的呢？引导学生说出：因为4不是质数，所以很容易发现4还能分解.教师：那么我们在分解一个数时，要把这个数分解到什么时候为止呢？生：分解到都是质数就不再分解了.教师：请同学们帮助老师把28分解成质数连乘的形式.引导学生把28分解为： 28 28＝2×2×7/ ＼4 × 7/ ＼2 × 2教师：这样把一个数分解成质数相乘的形式，同学们会分解吗？（会）请同学们把60、84分解成质数相乘的形式.指导学生进行数的分解，分解完后将学生的作业在视频展示台上展示，请学生评一评，这样分解对不对.重点观察是否将这些数分解成了质数相乘的形式.教师：像这样每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数.（板书质因数的含义，学生默读两遍.）引导学生想一想，52＝13×4，13和4都是52的因数吗？都是52的质因数吗？52的质因数是多少？学生回答后，再请学生思考：刚才我们的游戏规则为什么“不能用1？”引导学生说出，因为1不是质数，所以也不能作为一个数的质因数.教师：从上面的例子中你能总结出什么叫吗？引导学生归纳出：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做.教师板书的意义，引导学生读两遍；然后指导学生完成练习十三的第7题，做完后集体订正.2.教学用短除法.教师：刚才我们学习了一步一步地，这样分解起来比较麻烦，为了简便，通常我们用短除法来.教师向学生说明短除法是笔算除法竖式的简化，并以6和28为例向学生具体介绍短除法的书写方法，被除数写在哪里，除数写在哪里，商又写在哪里？然后重点问学生用什么作除数？为什么要用这个数作除数.如：教师：用哪个数去除28呢？学生：根据的意义，应该用质数去除.教师：用哪个质数呢？学生：用2和7都可以.但是最好先用2作除数，因为28的个位数是8，一眼就能看出能被2整除.教师：对！用短除法时，通常先用一个最小的能整除这个合数的质数去除.（师板书：2| 28 14）教师：除完了吗？（没有）为什么？（因为商14还能被2整除）那就再商2.（师板书略）这次的商7还除不除？（不除了）为什么？启发学生说出因为7是质数，达到了的目的.或者说7除了1和它本身外，没有其它约数了.这时再指导学生把各个除数和最后的商写成连乘的形式.教师：谁能把用短除法的方法归纳一下？引导学生归纳出：写出短除式──用能整除这个合数的最小质数去除──商如果是合数，照上面的方法除下去，直到商是质数止──把除数和最后的商写成连乘的形式.教师：用这个方法把24、56.学生解答后，集体订正.四、巩固练习1.学生完成练习十三的第8题，做完后集体订正.2.指导学生阅读第62页下面的“你知道吗？”并让学生说一说读后知道了什么五、课堂小结师生共同小结以下内容：1.这节课学习了什么内容？2.什么叫质因数，什么叫？怎样用短除法？3.你还知道些什么？六、课堂作业练习十三第5题和第9题.板书设计6 28 2| 28/ ＼ / ＼ 2| 6 2| 142 ×34 × 7 3 7/ ＼2 × 26＝2×3 28＝2×2×7 6＝2×3 28＝2×2×7每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做.写出短除式──用能整除这个合数的最小质数去除──商如果是合数，照上面的方法除下去，直到商是质数为止──把除数和最后的商写成连乘的形式.说明本课从游戏入手，容易引起学生的好奇和注意，使学生乐于参与并主动参与学习活动，在活动中积极发挥自己的主体作用.实质上整个游戏的过程就是学生主动探究新知的过程，首先通过游戏，让学生发现有些数能按游戏规则写成几个数相乘的形式，而有些数则不能，这就为确定了研究范围；再通过怎样把一个合数分解成几个数连乘的形式的研究，让学生意识到6＝2×3不能再分了，而28＝4×7中的4还能再分成2×2，由此确定最终要分解成质数相乘的形式，初步形成了质因数和的概念.在此基础上教师用定义的形式直接揭示概念，肯定学生的探究成果，最后通过必要的练习强化质因数和的概念，提高学生对其概念的掌握水平.为了分散其难点，教学一开始没有向学生讲明时为什么不能用1的道理，而是通过游戏规则出示给学生，要求学生必须遵守这条规则.在学生理解了质因数和等概念后，再问学生为什么游戏规则不能用1，学生凭借掌握的概念，就能很清楚地说明其中的道理.在难点较为集中的情况下，用规则先呈现学生不能理解的知识，在学习的过程中帮助学生逐步理解，是分散学习难点的一种较好的方法.本课在教学用短除法时，首先说明用短除法要比一步一步地分解更简便适用，激起学生学习短除法的兴趣，然后重点放在对用短除法的原理的理解、书写方式和计算方法上，特别对用哪个数作除数，为什么要用较小的质数作除数等一系列问题进行了探讨，使学生能明确其算理，准确地掌握用短除法的方法，在此基础上对方法进行归纳，再指导学生把归纳的方法用于解题实践，提高学生对知识的掌握水平. 分解质因数篇3教学目的1.使学生理解质因数、的意义，初步会把一个合数.2.培养学生观察、比较、抽象、概括的能力.教学重点质因数和的意义.教学难点用短除式.教学过程一、引入1.在5、13、21、32中，哪些是质数？哪些是合数？为什么？2.把上面各数用两个自然数相乘的形式表示出来.5＝（）×（） 13＝（）×（）21＝（）×（） 32＝（）×（）教师：填出的这些数与原数有什么关系？3.以上几个自然数都可以用两个因数相乘的形式表示，其它的自然数行吗？教师：用一句话来概括，一个自然数可以用什么形式表示出来？板书：把一个自然数用两个因数相乘的形式表示出来.二、新授1.如果我们做一个规定，“1除外”（板书于因数外），也就是因数不能用1，这句话还能这么说吗？举例说明.教师：在因数不用1的前提下，什么数仍能用两个因数相乘的形式表示，什么数就不能？（合数能，质数不能）板书：把一个合数用两个因数（1除外）相乘的形式表示出来.2.根据这条结论把下面几个合数用两个因数相乘的形式表示出来.6、15、24、286＝2×3 24＝2×1215＝3×5 ＝3×8＝4×628＝4×7＝2×143.这些合数（指24、28）的因数中还有合数12、8、6……根据刚才的结论又可以用什么形式表示？现在不限制因数的个数（擦去结论中的“两个”）把这些合数用最多个因数相乘的形式表示出来.组织学生讨论汇报.24=2×2×2×3教师：6和15还能不能用更多个因数相乘的形式表示？为什么不能？明确：这些因数都是质数，根据这一特点，我们给它们起一个名字？（质因数）根据黑板上的例子说一说什么叫质因数？4.反馈练习6的质因数有（）.2和3是6的（）2和3还是谁的质因数？24的质因数有哪些？28的质因数有哪些？如果说3和5是质因数对吗？怎么改？（12、4、6……）这几个因数是不是质因数？5.现在我们是把一个合数用什么形式表示出来？教师根据学生回答在原结论中添上“质”字，去掉“1除外”.同步板书课题：.三、练习1.判断下面各题，对的画“√”，错的画“×”，并说明理由.（1）35是35＝1×5×7 （）（2）60是60＝2×3×10（）（3）27是27＝3×3×3 （）（4）14是2×7＝14 （）2.把下面各数.（1）口答：4、6、8、9、10.（2）笔答：16、18、54.3.把9、90、900，你发现什么？四、小结什么叫质因数？什么叫？时我们要注意哪些问题？五、作业1.把下面各数.8 12 16 24 54 722.下面的数是由哪几个质数相乘得到的.10 21 27 35 49 50六、板书设计分解质因数篇4教学目的1.使学生理解质因数、的意义，初步会把一个合数.2.培养学生观察、比较、抽象、概括的能力.教学重点质因数和的意义.教学难点用短除式.教学过程。
五年级数学下册课件-3 质因数和分解质因数1-苏教版(12张PPT)
1
把下面各数填到合适的圈内。 8 13 30 23 1 39 41 54 75
质数
合数
2
把5和28分别写成两个数相乘的形式。
5=1×5
28=1×28 28=2×14 28=4×7
1和5是5的因数。 1、28、2、14、4和7都是 28的因数。
5是5的质因数 2和7是28的质因数
3
35=5×7，5和7都是35的因数吗？ 都是35的质因数吗？为什么？
27=3×9，3和9都是27的因数吗？ 都是27的质因数吗？为什么？
4
找到30的质因数，看谁找的全。
5
把30用几个质数相乘的形式表示出来。 30
（ 2 ）×（ ） （ ）×（ ）
30=（ ）×（ ）×（ ）
6
把下面各数填到合适的圈内。
1
质数
13 23 41
合数
8 30 39 54 75
7
把下面各数分解质因数
15=（ ）×（ ） 26=（ ）×（ ） 42=（ ）×（ ）×（ ） 66=（ ）×（ ）×（ ）
8
先圈出下面的合数，再把他们分解质因数。 7 9 13 16 20 25 29
9
10
有四个小朋友，他们的年龄是四 个连续的自然数，他们年龄的乘 积是3024。你知道这四个小朋友 的年龄分别是多少吗？
11
12
分解质因数
• 2、有一个大正方形的拼图，它是由121个 小正方形拼成的，求大正方的边长需要几 个小正方形。
• 3、一个长方形的面积是375平方厘米，而 且长、宽都是整数，长比宽多10厘米，那 么，这个长方形的周长是多少？
• 4、（选做）有3250个桔子，平均分给一个 幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名 小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼 儿园有多少名小朋友？
第2讲 分解质因数
• 例1、有一个三位数,它的个位数与百位数之 和是10,且个位既是偶数又是质数，这三位 数可被21整除，求这个三位数?
• 举一反三：ABC×D=1673，在这个乘法算 式中，A、B、C、D代表不同的数字， ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？
• 例2、 一块正方形田地，面积是2304平方 米，这块田地的周长是多少米？
• 举一反三：一块正方体木块，体积是1331 立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少 厘米？
• 例3、 一个长方形的面积是315平方厘米， 长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。
• 举一反三：已知三个连续自然数的积为210， 求这三个自然数各是多少？
• 例4、 把15、22、30、35、39、44、52、 77、91这九个数平均分成三组，使每组三 个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？
• 举一反三：把14、30、33、75、143、169、 4445、4953这八个数分成两组，每组四个 数，要使各组数中四个数的乘积相等,求这 两组数。
• 例5 （选讲）、有四个学生，他们的年龄恰 好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘 的积是5040。四个学生的年龄分别乘积是462，求这两 个数。
苏教版五年级下册数学第三单元3-6《分解质因数》教学设计
苏教版五年级下册数学第三单元3-6《分解质因数》教学设计一. 教材分析苏教版五年级下册数学第三单元3-6《分解质因数》是本单元的重要内容，主要是让学生掌握分解质因数的方法，理解合数和质数的关系，培养学生的逻辑思维能力。
教材通过例题和练习题，让学生在实际操作中掌握分解质因数的方法，进而能够解决一些实际问题。
二. 学情分析五年级的学生已经掌握了整数的乘法和除法，对合数和质数有一定的认识，具备了一定的逻辑思维能力。
但是，学生在分解质因数的过程中，可能会遇到一些困难，如对质因数的概念理解不深，分解质因数的方法不够熟练等。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，进行详细的讲解和引导。
三. 教学目标1.让学生掌握分解质因数的方法，能够正确分解一个合数。
2.让学生理解合数和质数之间的关系，能够运用分解质因数的方法解决一些实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握分解质因数的方法，能够正确分解一个合数。
2.难点：让学生理解合数和质数之间的关系，能够运用分解质因数的方法解决一些实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，让学生在实际案例中掌握分解质因数的方法。
同时，采用小组合作学习法，让学生在小组讨论中，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入本节课的主题——分解质因数。
例题：一个数字的因数有1、2、3、4、6、12，请问这个数字是什么？引导学生思考，让学生认识到，有些数字的因数并不是那么容易找，因此需要找到一种方法，能够快速找出一个数字的所有因数。
2.呈现（10分钟）通过PPT，展示分解质因数的方法，以及合数和质数之间的关系。
讲解质因数的概念，解释合数和质数之间的关系，让学生明白，分解质因数的方法可以帮助我们快速找出一个合数的所有因数。
2_苏教版五年级数学下册知识点整理2017版
苏教版数学五年级下册知识点整理第一单元 简易方程一、知识点梳理（一）方程1．等式的意义：表示相等关系的式子叫做等式。
2．方程的意义：像x +50=150、2x =200 这样含有未知数的等式是方程。
3．方程与等式的关系:方程是等式，但等式不一定是方程，它们之间可以用右图表示：4．方程必须满足的条件：（1）必须是等式。
（2）必须含有未知数。
（二）解方程5．方程的解和解方程：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程叫做解方程。
6．等式的性质：（1）等式的两边加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
(即左右两边仍然相等)（2）等式的两边乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。
7.四则运算各部分的关系：一个加数=和-另一个加数 减数=被减数-差 被减数=减数+差一个因数=积÷另一个因数 除数=被除数÷商 被除数=商×除数8.解方程的常用方法:（1）等式的性质 （2）四则运算各部分的关系 （3）移项9.方程的检验：将方程的解代入原方程看方程左右两边是否相等。
（三）列方程解决问题10.一般步骤：（1）审：认真审题，理解题意，寻找等量关系。
（2）设：设未知数。
（一般设所求的未知数为x ，如果未知数有几个，可以设其中一个，然后根据关系表示其他未知数；也可以间接设某个量为x ，再通过这个量去求未知数。
）（3）列：根据题中所设的未知数和已知条件，按照等量关系式列出方程（4）解：求出所列方程的解。
（5）验：检验方程的解是否正确，检验方程的解是否符合题意。
（6）答：回答题目所问，写出答句。
11.注意点：（1）找到等量关系是列方程解决问题的关键。
（2）列方程解决问题时一般不把未知数x 单独放在一边。
（3）设未知数x 时要在后面写上单位名称，求出的x 的值不带单位名称。
等式 方程（四）其他相关知识点12.连续的自然数(或连续的奇数，连续的偶数)的和：3个连续自然数（或连续奇数、偶数）的和等于中间的一个数的3倍。
第三讲 质数、分解质因数
第三讲 质数、分解质因数“质数与合数”是我们之后学习“约数与倍数”的基础，分解质因数甚至是解决很多问题的出发点，因此不容忽视，需要掌握得非常熟练．而且质数本身来说就是奇妙无穷的，它包含一群没有直观规律，却具有一些简洁的内在规律的数，比如说著名的歌德巴赫猜想就是建立在质数(也称为素数)的概念之下的：(1)大于4的偶数都可以表达成两个奇素数之和，(2)大于7的奇数都可以表达成三个奇素数之和．这个猜想至今无法完全证明，更加使得我们为这个结论的简洁完美而惊叹．最基本的概念和性质，如下：1、质数与合数一个数除了l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．(同学们一定注意0这个数只有在做判断题时是自然数，平时做题目我们都不考虑0这个数。
)对于一个不很大的自然数n(n>1,n 为非完全平方数)，可用下面方法判断它是质数还是合数：先找出一个大于n 的最小的完全平方数2k ，再写出k 以内的所有质数；若这些质数都不能整除n ，则n 是质数；若这些质数中有一个质数能整除n ，则n 为合数。
2、质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．任意大于1的自然数都唯一的表示为1212n b b b nA a a a = 的形式(其中12,,n a a a 都是质因数)。
比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如：35423=⨯，其中2和3都是54的质因数．〖经典例题〗例1、两个质数的和是99，那么这两个质数的积是多少？分析：考虑到奇偶性，99=奇数＋偶数，而质数中唯一的偶数是2，所以99=2＋97，乘积为2×97=194.例2、有两个质数，它们的和与差都是质数，求这两个质数。
第三单元 第5课时 分解质因数(教学设计)五年级数学下册 苏教版(苏教版)
第一单元第5课时分解质因数教学设计合数：三、新知探究—习“方法”任务01：认识质因数，合数写成质因数相乘的形式师：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？课件出示：5=（）×5 28=（）×7师：在5=1×5、28=4×7中，哪些数是5的因数？哪些数是28的因数？反馈：5=1×5，1和5是5的因数。
28=4×7，4和7是28的因数。
师：在这些因数中，哪几个数是质数？反馈：在1、5、4、7中，5和7是质数。
师揭示：像这样一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
师：在上面的两个算式里，哪个数是哪个数的质因数？反馈：在5=1×5中，5是5的因数，又是质数，所以5是5的质因数；在28=4×7中，7是28的因数，又是质数，所以7是28的质因数。
师：1为什么不是5的质因数？而4为什么不也是28的质因数？反馈：1是5的因数，但不是质数，所以1不是5的质因数。
4是28的因数，但不是质数，所以4不是28的质因数。
师：那么一个数的质因数要符合哪几个条件？引导学生得出：一个数的质因数要符合两个条件：它是这个数的因数；它又是质数。
这时它就是这个数的质因数。
【设计意图：利用乘法算式，让学生逐步探究，让学生明确质因数必须要具备两个条件，它是这个数的因数；它又是质数。
整个过程的探究符合学生的认知规律，培养了学生观察、比较、总结、归纳等思维能力。
】任务02：掌握分解质因数的技能师：你能把30用几个质数相乘的形式表示出来。
课件出示：师：把30写成质数相乘的形式可以怎样做？反馈：把30写成几个质数相乘的形式，先写成2乘15；15是合数，再把它写成3乘5，这时乘数全部是质数。
师：接下来呢？师：看来要把一个合数写成几个质数相乘的形式，可采用逐步分解的方式。
像这样把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
【设计意图：根据课本出示的方法引导学生进行分解质因数，然后通过说一说，让学生亲身经历分解质因数的过程与方法，理解分解质因数的方法，掌握分解质因数的技能。
分解质因数课件
4、6、8、9、10、12……
（合数）
现在学习的是第41页，共50页
从上面的例子看出，每个合数都可以 写成几个质数相乘的形式。其中每个质数 都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因
数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 ，叫做分解质因数。
现在学习的是第42页，共50页
为了简便，通常用短除法来分解质因数。
现在学习的是第30页，共50页
例 6，28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？
6 23
6=2×3
28
2
14
28=2×2×7
2
7
60
2
30
60=2×2×3×5
2
15
3
5
现在学习的是第31页，共50页
1、请观察(指塔式分解式和算式)每个合数都写成什么形式？ 每个合数都写成了几个质数相乘的形式。
2、这些质数，在式子里与原来的合数是什么关系？
这些质数都是原来合数的因数。
3、像这样，把一个合数写成几个质数相乘的形式， 其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个 合数的质因数。
4、请说一说上面三个算式中谁是谁的质因数。
5、讲质因数时，要说出这个质数是哪个合数的质因数，
不能单独说一个数是质因数。
6、把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，
叫做分解质因数。
例3 6、28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？
6
2× 3
6 ＝2 X 3
现在学习的是第6页，共50页
28
4× 7
2×2 × 7
28 ＝ 2 X 2 X 7
现在学习的是第7页，共50页
60
6 × 10
2×3 × 2×5 60＝2X3X2X5
分解质因数——精选推荐
分解质因数自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。
把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。
例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。
为此，我们先将13824分解质因数：把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。
所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。
例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。
为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。
从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。
2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。
所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。
例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33×7×13×37。
五年级数学教案 质因数和分解质因数-“黄冈杯”一等奖
《质因数和分解质因数》教学设计【教学内容】苏教版小学数学五年级下册第 38页例7、例 8、“练一练”，第 39 页练习六第3～5 题。
【教学目标】1.理解质因数、分解质因数的意义，能将一个合数分解质因数。
2.在探索分解质因数的过程中，发展数感，培养观察、比较和抽象、概括的能力。
3.在探究分解质因数的方法中，体会数学学习的开放性，激发创新意识，培养学习兴趣。
【教学重点】理解质因数和分解质因数的意义，掌握分解质因数的方法。
【教学难点】用短除法分解质因数。
【教学过程】一、复习旧知同学们，上节课我们一起认识了质数和合数。
你能把下面各数填到相应的圈内。
8、13、30、23、1、39、41、54、75质数合数问：（指着第一个集合问）为什么说这些数是质数？什么是合数？(这几个数除了1和本身这两个因数外，还有其他的因数，因此叫它们合数) 1呢？二、认识质因数1．写出算式。
师：刚才，我们一起回顾了质数和合数的知识，接下来，我们来看这两个数。
要求：你能把5和28分别写成两个数相乘的形式吗？自己先写一写。
交流：你是怎样写的？(课件呈现：5=1×5 28=1×28 28=2×14 28=4×7) 2．认识质因数。
引导：根据这些算式，你能说出哪些数是5的因数？哪些数是28的因数? 同桌互相说一说。
（根据学生回答，课件呈现：1和5是5的因数……）问：5和28的这几个因数中，分别有哪些是质数？能快速找出来吗？（根据学生回答，课件上质数变成红色）明确概念：一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
（板书）3．强化认识。
追问：上面算式里，哪个数是哪个数的质因数？同桌相互说一说，谁来说一说，谁再来说一说。
（根据学生回答，课件呈现：5是5的质因数，2、7是28的质因数）继续追问：1为什么不是5的质因数? 14为什么不是28的质因数？4. 练习六第4题。
（1）35=5×7,5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？（2）27=3×9,3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？讨论：怎样的数才是一个数的质因数呢？需要满足哪些条件呢？先和同桌说一说。
第3讲 质数、合数与分解质因数(例题生)
北京大学附属小学 质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数就叫做质数（也叫做素数）。
合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数就叫做合数。
如何判断一个数是不是质数：用所有比它小的质数，从小到大地依次去除它，除到商比除数小时还除不尽，这个数就是质数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数就是这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数表示形式：N=a 1p1×a 2p2×a 3p3×a 4p4×……×a n pn其中，a 1、a 2、……a n 为合数N 的质因数。
注意：● 1既不是质数，也不是合数。
● 在自然数范围内，最小的质数是2，同时，2也是唯一的偶质数。
最小的合数是4。
● 我们可以按照一个数约数的个数，把自然数分成三类：1（只有一个约数），质数，合数。
● 牢记30以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。
● 两个质数的和、差、积的特点：奇质数与奇质数的和（差）一定是合数；偶质数与奇质数的和（差）可能是奇质数；质数相乘的积一定是合数。
例题指导 例1 判断269，437两个数是合数还是质数。
例2 在三张纸片上分别写上三个最小的连续的奇质数，如果随意从其中取出至少一张组成一个数，其中有几个是质数？将它们写出来。
例3小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果正好是2910。
”你能算出小明的名次、年龄与他的这次考试分数吗？例4下面算式里，四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字互不相同，求这四个数字之和是多少？□□×□□=1995北京大学附属小学 算式中A 、B 、C 分别代表不同的素数，当A 、B 、C 分别为何数时，能够使上面的算式成立。
例6将下列八个数40，44，45，63，65，78，99，105平分成两组，使这两组的乘积相等，可以怎样分？。
小学思维数学讲义：分解质因数(一)-含答案解析
分解质因数（一）1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯例题精讲 知识点拨 教学目标【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
常州市苏教版五年级数学下册第三单元第6课《分解质因数》教案
常州市苏教版五年级数学下册第三单元第6课《分解质因数》教案一. 教材分析本节课的内容是苏教版五年级数学下册第三单元第6课《分解质因数》。
这一节课的主要内容是让学生掌握分解质因数的方法，并能够运用该方法对一个合数进行分解。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握分解质因数的方法。
二. 学情分析五年级的学生已经掌握了因数和倍数的概念，也学习过简单的质数和合数。
但是对于分解质因数的方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过具体的例题和练习题，让学生逐步理解和掌握分解质因数的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握分解质因数的方法。
2.能够运用分解质因数的方法对一个合数进行分解。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握分解质因数的方法，并能够运用该方法对一个合数进行分解。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握分解质因数的方法。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握分解质因数的方法；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪和电脑。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的合数，如60，让学生尝试找出它的因数。
引导学生发现，60可以分解为2×2×3×5。
从而引出分解质因数的概念。
2.呈现（10分钟）通过PPT或者黑板，呈现分解质因数的方法。
用具体的案例，如60、84等，让学生观察和分析，如何将一个合数分解为几个质数的乘积。
引导学生理解，分解质因数的目的就是为了找到一个合数的质因数。
3.操练（10分钟）让学生分成小组，每组选一个合数，尝试用分解质因数的方法进行分解。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检测学生对分解质因数方法的掌握程度。
_质数、合数和分解质因数讲义
质数、合数和分解质因数讲义1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1不是质数，也不是合数。
2.质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例：把30分解质因数。
解：30＝2×3×5。
其中2、3、5叫做30的质因数。
又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。
二、例题例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.解：∵210=2×3×5×7∴可知这三个数是5、6和7。
例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：40=17+23=11＋29=3+37。
∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。
∴所求的最大值是391。
答：这两个质数的最大乘积是391。
例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？解：123456789是合数。
因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。
（a×b）×（b×c）×（a×c）=（2×3）×（3×5）×（2×5）∴a2×b2×c2=22×32×52∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2a×b×c=2×3×5＝30例5 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。