2017届高考数学一轮复习专题一选择填空题对点练10排列组合二项式定理课件理

9．任取三个互不相等的正整数，其和小于 100，则由这三个
数构成的不同的等差数列共有( )
A．528 个
B．1 056 个 C．1 584 个 D．4 851 个
解析：选 B 先确定等差数列的中间项，再确定第一、三项．设 这三个成等差数列的数分别为 a，b，c.由题意得 a＋b＋c≤100， 即 3b≤100，则 b 可以取 2,3，…，33，共 32 个数．第一类，当 b ＝2 时，a，c 的取值共有 2 个(a＝1，c＝3 和 a＝3，c＝1，对应 的是两个数列)；第二类，当 b＝3 时，a，c 的取值共有 4 个；…； 第三十二类，当 b＝33 时，a，c 的取值共有 64 个．根据分类加 法计数原理，可得满足题意的数列共有 2＋4＋…＋64＝1 056 个．
7．(1＋2 x)3·(1－3 x)5 的展开式中 x 的系数是(
A．－4
B．－2
C．展开式的通项分别为 Tr＋1＝Cr3 (2 x)r，Tk＋1＝Ck5(－3 x)k，故总的展开式的通项为 T＝(－1)k2rCr3Ck5 x2r＋k3，r＝0,1,2,3，k＝0,1,2,3,4,5，若2r＋k3＝1，则 r＝2，k＝0 或 r＝0，k＝3，所以 x 的系数为 4×3－10＝2.
以
a2＝12，解得
a＝±
2 2.
答案：±
2 2
15．用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色．若 要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不 同的涂色方案种数是________(用数字作答)．
解析：当不涂红色时，有 23＝8 种涂法；当 2 个方格涂红色 时，有 C13C12＝6 种涂法，所以一共有 14 种涂法．
时同类节目不相邻的排法种类是 6×4×2＝48；
第二种：因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空间必 须安排 2 个节目，将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有 A22＝ 2 种情况，排好后，有 6 个空位，相声类节目有 6 个空位可选， 即有 6 种情况，此时同类节目不相邻的排法种数是 6×2×6＝72， 则同类节目不相邻的排法种数是 48＋72＝120.
12．若对任意实数 x，都有(x－1)11＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2
＋a3(x－3)3＋…＋a11(x－3)11，则a1＋a3＋aa59＋a7＋a11＝(
)
311＋221 A. 220
311－221 B. 220
311－441 C. 440
311＋441 D. 440
11
解析：选 C (x－1)11＝[2＋(x－3)]11＝ Ck11211－k·(x－3)k，故
k＝0
a9＝C91122＝220.在已知等式中，令 x＝2，则 1＝a0－a1＋a2－a3＋…
＋a10－a11；令 x＝4，则 311＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a10＋a11.两式相
减得 a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝3112－1，故a1＋a3＋aa59＋a7＋a11＝
311－1
a1＋a3＋a5＋a9a7＋a9＋a11－1＝
11．一个五位自然数 a1a2a3a4a5，ai∈{0,1,2,3,4,5}，i＝1,2,3,4,5，
当且仅当 a1>a2>a3，a3<a4<a5 时称为“凹数”(如 32 014,53 134 等)，
则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为( )
A．110
B．137
C．145
D．146
解析：选 D 分四种情况进行讨论：①a3 是 0，a1 和 a2 有 C25 种排法，a4 和 a5 有 C25种排法，有 C25C25＝100 个；②a3 是 1，有 C24C24＝36 个；③a3 是 2，有 C23C23＝9 个；④a3 是 3，有 C22C22＝1 个．由分类加法计数原理知五位自然数中“凹数”共有 100＋36 ＋9＋1＝146 个．
10．现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡
片各 4 张，从中任取 3 张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜
色，且红色卡片至多 1 张，则不同取法的种数为( )
A．232
B．252 C．472
D．484
解析：选 C 由题意，不考虑特殊情况，共有 C316种取法，其 中每一种卡片各取 3 张，有 4C34种取法，2 张红色卡片，共有 C24C112 种取法，故所求的取法共有 C316－4C34－C24C112＝560－16－72＝472 种．
(3)各二项式系数的和 ①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n； ②C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝C1n＋C3n＋…＋C2nr＋1＋…＝12·2n＝2n－1.
[览规律技巧] 1．求解排列与组合问题的关键是判断所求问题是排列问题还 是组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序 性的是排列问题，无顺序性的是组合问题． 2．在二项式(a＋b)n 的展开式中，其通项 Tr＋1＝Crnan－r·br 是指 展开式的第 r＋1 项，因此展开式中第 1,2,3，…，n 项的二项式系 数分别是 C0n，C1n，C2n，…，Cnn－1，而不是 C1n，C2n，…，Cnn.而项 的系数是二项式系数与其他数字因数的积．
5．按照新的教学计划，学校面向全体高三学生利用周五下午 第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综四科的专题讲座，
每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，
则不同的安排方法共有( )
A．36 种
B．72 种
C．30 种
D．6 种
解析：选 C 由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科 在同一节，先从 4 个中任选 2 个看作一个整体，然后做 3 个元素 的全排列，共有 C24A33种方法，数学、理综安排在同一节的情形有 A33种方法，故总的方法种数为 C24A33－A33＝36－6＝30.
一、选择题
[练经典考题]
1．(1－x)10 展开式中所有项的二项式系数之和是( )
A．0
B．1
C．29
D．210
解析：选 D 所有项的二项式系数之和为 C010＋C110＋…＋C1100 ＝210.

2.

x－1x6 的展开式的常数项为(
A．15
B．－15 C．20
) D．－20
解析：选 A
6．若x＋21xn 的展开式中前 3 项的系数成等差数列，则(a＋
b)n 展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第 4 项
B．第 5 项
C．第 6 项
D．第 7 项
解析：选 B 由题知，2×12C1n＝C0n＋122C2n，即 n＝1＋nn8－1， 即 n2－9n＋8＝0，解得 n＝8(n＝1 舍去)．所以(a＋b)8 展开式中二 项式系数最大的项是中间项，即第 5 项．
14．已知(ax＋1)5 的展开式中 x2 的系数与x＋544 的展开式中 x3 的系数相等，则 a＝________.
解析：由二项式定理知(ax＋1)5 的展开式中 x2 的系数为 C35a2，
x＋544 的展开式中 x3 的系数为 C14×54，于是有 C35a2＝C14×54，所
A．180 种 B．220 种
C．240 种 D．260 种
解析：选 C 分两步，第一步，先确定甲分到的书，第二步， 再确定另外 3 人分到的书．因为有 2 本书不能发给甲同学，所以 甲只能从剩下的 4 本中分一本，然后再选 3 本分给另外 3 个同学， 故有 A14A35＝240 种．
4．国庆文艺联欢晚会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节
答案：14
16．用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左 右两端，2,4,6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位 数的个数为________(用数字作答)．
解析：从 2,4,6 三个偶数中任意选出 2 个看作一个“整体”， 方法有 C23A22＝6 种．先排 3 个奇数：①若 1 排在左端，方法有 A22 种，在“整体”和另一个偶数中选出一个插在 1 的左边，方法有 C12种，另一个偶数插在 2 个奇数形成的 3 个空中，方法有 C13种， 根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有 6A22C12C13 ＝72 个．
8．两个三口之家约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿车 结伴郊游，他们共有 4 个大人，2 个小孩，每辆车最多只能乘坐 4 人，其中两个小孩不能独坐一辆车，则不同的乘车方法种数是
() A．40
B．48
C．60
D．68
解析：选 B 由题意得，只需选出乘坐奥迪车的人员，剩余 的可乘坐捷达车，需要分三类：若奥迪车上没有小孩，则有 C24＋ C34＝10 种乘车方法；若有一个小孩，则有 C12×(C14＋C24＋C34)＝28 种乘车方法；若有两个小孩，则有 C14＋C24＝10 种乘车方法．故不 同的乘车方法种数为 10＋28＋10＝48.
目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数
是( )
A．72
B．120
C．144
D．168
解析：选 B 根据题意分两种情况分析，第一种：先将 3 个歌舞
类节目全排列，有 A33＝6 种情况，排好后，有 4 个空位，将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 C12A22＝4 种 情况，排好后，最后 1 个小品类节目放在两端，有 2 种情况，此
2 220
－1＝3114－40441.
二、填空题 13．五名男同学去参加某地高校自主招生考试，根据现有条 件要把他们安排在三个房间内住宿，要求甲、乙两人不住同一房 间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用 数字作答)． 解析：甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两 组，这时的方法总数是 C13A33＝18，而总的分配方法数是把五人分 为三组再进行分配，方法数是C15CA2422C22A33＝90，故不同的住宿安排 共有 90－18＝72 种． 答案：72