指标方程有特殊根时三阶线性方程的解
微分方程 09.6.15
上
下
停
积分因子： ( x, y) 0, 使
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
为恰当方程.
找 的方法：① 分项组合法
② 公式法
M( x, y)dx N ( x, y)dy 0 有积分因子 ( x)
1 (M N ) ( x), 且 ( x) e ( x)dx .
第十二章
微分方程
一、知识网络关系图
一阶方程
类型 1.可分离 变量方程 2.齐次方程 3.线性方程 4.伯努利方程 5.全微分方程
基本概念
高阶方程
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根
定 系
及其对应项
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
可降阶方程
线性微分 方程
解的结构
欧拉方程
目
回
上
下
停
一阶显示微分方程的初等积分法
(若已知其一个特解 y1( x)) (令 z y y1( x)，化为z的n 2的伯努利方程)
目
回
上
下
停
5º全微分方程： M( x, y)dx N ( x, y)dy 0
( 恰当)
u u( x, y), 使
d u(x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy (x, y) G
N y x
目
回
上
下
停
可降阶微分方程
1. y(n) = f (x) 型的微分方程
令 z y(n1),
因此
z f ( x)dx C1
即
同理可得 y(n2) f ( x)dx C1dx C2 f ( x)dx dx C1x C2
线性代数复习要点
线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。
-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。
-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。
2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。
矩阵的大小由行数和列数确定。
-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。
-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。
-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。
-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。
3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。
-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。
-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。
-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。
-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。
4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。
-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。
-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。
-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。
-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。
5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。
-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。
-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。
-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。
考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)
考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
非齐次线性微分方程的几种解法
非齐次线性微分方程的几种解法摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。
关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (7)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (10)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (12)2.3拉普拉斯变换法 (14)总结 (16)参考文选 (17)致谢 (19)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。
非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。
这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。
下面我们主要介绍求特解的方法。
1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（1）()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++=（2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。
定理2：方程（2）的基本解组一定存在。
方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。
定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。
定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。
目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。
下面我们研究几个例子。
例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x x y x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。
自动控制原理复习理论资料
⾃动控制原理复习理论资料第⼀章⾃动控制的⼀般概念本章作为绪论，已较全⾯地展⽰了控制理论课程的全貌，叙述了今后在课程的学习中要进⾏研究的各个环节内容和要点，为了今后的深⼊学习和理解，要特别注意本章给出的⼀些专业术语及定义。
1、基本要求（1）明确什么叫⾃动控制，正确理解被控对象、被控量、控制装置和⾃控系统等概念。
（2）正确理解三种控制⽅式，特别是闭环控制。
（3）初步掌握由系统⼯作原理图画⽅框图的⽅法，并能正确判别系统的控制⽅式。
（4）明确系统常⽤的分类⽅式，掌握各类别的含义和信息特征，特别是按数学模型分类的⽅式。
（5）明确对⾃控系统的基本要求，正确理解三⼤性能指标的含义。
2．内容提要及⼩结⼏个重要概念⾃动控制在没有⼈直接参与的情况下，利⽤控制器使被控对象的被控量⾃动地按预先给定的规律去运⾏。
⾃动控制系统指被控对象和控制装置的总体。
这⾥控制装置是⼀个⼴义的名词，主要是指以控制器为核⼼的⼀系列附加装置的总和。
共同构成控制系统，对被控对象的状态实⾏⾃动控制，有时⼜泛称为控制器或调节器。
⾃动控制系统校正元件执⾏元件放⼤元件⽐较元件测量元件给定元件控制装置（控制器）被控对象负反馈原理把被控量反送到系统的输⼊端与给定量进⾏⽐较，利⽤偏差引起控制器产⽣控制量，以减⼩或消除偏差。
三种基本控制⽅式实现⾃动控制的基本途径有⼆：开环和闭环。
实现⾃动控制的主要原则有三：主反馈原则——按被控量偏差实⾏控制。
补偿原则——按给定或扰动实⾏硬调或补偿控制。
复合控制原则——闭环为主开环为辅的组合控制。
（3）系统分类的重点重点掌握线性与⾮线性系统的分类，特别对线性系统的定义、性质、判别⽅法要准确理解。
线性系统??→?描述→→状态空间法时域法状态⽅程变系数微分⽅程时变状态⽅程频率法根轨迹法时域法状态⽅程频率特性传递函数常系数微分⽅程定常分析法分析法⾮线性系统（4）正确绘制系统⽅框图绘制系统⽅框图⼀般遵循以下步骤：①搞清系统的⼯作原理，正确判别系统的控制⽅式。
偏微分方程基本分类
偏微分方程基本分类偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）是数学领域中的一个重要学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等众多领域。
对于一个偏微分方程的分类，可以从多个角度进行划分，本文将介绍几种基本的分类方法。
1. 按照方程的阶数进行分类偏微分方程根据方程中各导数的最高阶数进行分类，可以分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
一阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂u/∂x + b(x, y)∂u/∂y = c(x, y)二阶偏微分方程的一般形式为：a(x, y)∂²u/∂x² + b(x, y)∂²u/∂x∂y + c(x, y)∂²u/∂y² = d(x, y)类似地，可以推广到更高阶的偏微分方程。
2. 按照方程的类型进行分类偏微分方程根据方程的类型进行分类，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程在物理学中描述了稳定状态，如静电场、热传导等问题；双曲型方程描述了波动传播问题，如声波、电磁波等；抛物型方程描述了扩散问题，如热传导方程、扩散方程等。
3. 按照边界条件进行分类偏微分方程根据边界条件进行分类，可以分为边值问题和初值问题。
边值问题是在给定区域上给出边界条件，需要求解在该区域上满足边界条件的解；初值问题是在给定初始条件下，需要求解在给定时间范围内的解。
4. 按照线性性质进行分类偏微分方程根据方程中的线性性质进行分类，可以分为线性方程和非线性方程。
线性方程满足叠加原理，如果 u1 和 u2 是其解，那么k1u1 + k2u2 也是其解；非线性方程则不满足叠加原理。
5. 按照解的形式进行分类偏微分方程根据其解的形式进行分类，可以分为解析解和数值解。
解析解是通过数学分析得到的解的表达式；数值解是通过数值计算方法得到的近似解。
6. 按照方程的系数性质进行分类偏微分方程根据方程中的系数性质进行分类，可以分为恒定系数方程和变系数方程。
三阶常系数线性微分方程特解的简单求法
Ｙ ：Ｈ （ ）ｅ ＋ａＨ（ｘ）ｅ从＝（Ｈ （ ）＋Ａ （ ））
ｅｈ
（７）
Ｙ”＝（月 （ ）＋２ＡＨ （ ）＋Ａ Ｈ（ ））ｅ肛 （８）
＝ （１１＇”（ ）＋３Ａ （ ）＋３Ａ Ｈ （ ）＋Ａ Ｈ
（ ））ｅ“
（９）
把 （７）式 、（８）式、（９）式代人微分方程（１）得 ：
（ ｆｒ，，（ ）＋３３￣Ｈ＇ （ ）＋３Ａ 日 （ ）＋Ａ 日（ ））ｅ从
Ｑ （ ）是与 Ｐ （ ）同次 （ｍ次 ）的待定 多项 式 。
微 分方程 （３）和方程 （４）的特解 。
收稿 日期 ：２００７－０３－２０ 作者简 介：周 坚（１９７６一），女 ，江苏宿迁人 ，讲师 ，硕士 ，主要从事微分方程的研究。
西华大学学报 ·自然科学版
２００８薤
２ 主要结果及其证 明
定理 １ 设 有三 阶常 系数非 齐 次线 性微 分 方 程
（１），方 程 （１）对 应 的齐次方 程 的特 征方 程记 为
ｒ ＋ ＋ｑｒ＋ｄ＝０
（５）
若令 ，）＝ｒ ＋ｐｒ２＋ ＋ｄ，且 Ｙ＝ｔｔ（ｘ）ｅ３．ｘ为微
分方程（１）的解 ，其 中 Ｈ（ ）为多项式函数，则 Ｈ（ ）
需满 足下列 恒 等式
万方数据西华大学学报?自然科学版年主要结果及其证明定理设有三阶常系数非齐次线性微分方程方程对应的齐次方程的特征方程记为若令八矿且日戈舡为微分方程的解其中戈为多项式函数则石需满足下列恒等式以日石厂毒业戈证由于茗故易算得广日髫月日日把式式式代入微分方程得日日算髫即髫厂戈二当土月菇茹
第 ２７卷第 ６期
Ｖｏ１．２７，Ｎｏ．６
到删繁就简的作用 ，而且对微分方程 的自由 ） 的特解 ，其 中 Ｐ，ｑ为实常 数 ，Ｐ ｘ）是 ｍ 次实 系数 多
关于三阶线性微分方程的一个求解公式
摘
要 对 于 ３阶非 齐 次 线 性 微 分方 程
ｑ｜ ｒ Ｙ ｙ： ｆ，
由它 对 应 齐 次 方 程 的 ２个 线 性 无 关特 解 ｙ ，。与其 Ｗ ｒｎｋ 行 列 式 叫， 用 降 阶 法 推 导 出 一 个 求 解 公 式 为 ，ｙ ｏ ｓｉ 应
ｆＳａ ｄ］ ｅ ｄ） ， ｚｆ ｚ
这 里 “＝ “ ｚ ， ６： ６ ） ｆ ＝ － ｚ （ ） （ ， 厂 ） （
（ ２ ）
是 Ｙ ， ｚ的 朗 斯 基 （ ｏ ｓ ｉ 。Ｙ Ｗｒｎ ｋ ）行 列 式 ， 恒 不 为 它
零 ， 。Ｃ ， ３ 任意 常数 ． Ｃ ，ｚＣ 为 证 明 将变换
例 １ 求方 程
ｚｙ 一 ３ Ｗ ｚ ＋ ６ｙ ｘ 一 ６ ＝ ３ ｙ ５ ＂
对应齐 次方 程有 特解
Ｙｌ＝ ｌ， Ｙ 一 。 ２ ．
应用 如上 推论知
一
． ｆ 青 Ｆ ｅ出 出＝ 红 『 ） ： 青 ＝
Ｊ（／ ｘｄｄ ｌＩＴ ２ｚｚ ２ － ｚ）一 ｚ ｘ３：
ｚ＋ ３ ＇ ＋ ３ ｙｉ ＇ ２ ｙ 十 Ｙｌ ｚ
给 一些特 殊 ３阶线性 方 程 的求 解带 来一 定便 利．
定 理 ｌ 对于 ３阶线性 微 分方 程
＋ ｐ ＋ ｑ ｒ — ｆ。 Ｙ ＋ ｙ （ ３ 可 得
ｙ ＝ Ｗ
代 人方 程 （ ） 并 注意 到 ３，
第 ｉ ４卷 第 ３期
２ｌ Ｏ １年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＯＬＬ ＥＳ Ｉ Ｃ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ Ｅ ＡＴＩ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ４． ． Ｉ ｌ Ｎｏ ３
三阶行列式与线性方程组图文
图形化表示方法
三阶行列式的图形化表示
通过几何图形（如立方体、平行六面体等）来表示三阶行列式的各个元素，使得行列式的求解过程更 加直观。
线性方程组的图形化表示
通过平面直角坐标系或空间直角坐标系，将线性方程组的解表示为图形上的点、线或面，使得方程组 的解更加直观。
直观理解两者关系
要点一
通过图形化表示，可以直观地看 出三阶行列式与线性方程组之…
线性方程组的概念
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，用于求解多个未知数的 值。
三阶行列式与线性方程组的关系
三阶行列式可以用于判断线性方程组是否有解，以及求解线性方程组 中的未知数。
常见误区及注意事项
将三阶行列式与二阶行列式混淆，导致计算错误。需 要注意三阶行列式的计算规则与二阶行列式有所不同。
列式相似。
矩阵理论
行列式是矩阵理论中的重要概念， 高阶行列式的研究有助于深入理
解矩阵的性质和运算。
线性代数
在线性代数中，行列式与矩阵、 线性方程组等概念紧密相关，高 阶行列式的研究有助于解决更复
杂的线性代数问题。
与其他数学分支的联系
01
微分学
在多元函数微分学中，雅可比行列式（一种特殊的三阶行列式）用于表
矩阵基础
了解矩阵的基本概念、运算和性质，如矩阵的加法、数乘 、转置等。这些知识将为学习三阶行列式打下基础。
代数运算
具备基本的代数运算能力，如加法、减法、乘法、除法等 ，以及因式分解、整式运算等技巧。这些技能在计算三阶 行列式时将发挥重要作用。
02 三阶行列式基础
三阶行列式定义
表示方法
通常使用双竖线 || 或方括号 [] 表示 ，如 |a11 a12 a13| 或 [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]。
三阶方程导数求解法
三阶方程导数求解法摘要：一、引言二、三阶方程的定义和背景三、三阶方程导数求解法的原理四、求解步骤与实例五、总结与展望正文：一、引言三阶方程在数学领域具有重要的研究价值。
本文将介绍一种求解三阶方程导数的方法，帮助读者更好地理解三阶方程的性质和特点。
二、三阶方程的定义和背景首先，我们需要了解三阶方程的定义。
三阶方程是指形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d为常数，且a≠0。
三阶方程在物理学、工程学等领域具有广泛的应用，例如在流体力学中，三阶方程可以描述流体的粘性特性。
三、三阶方程导数求解法的原理三阶方程导数求解法是利用三阶方程的导数与原方程之间的联系来求解原方程。
具体来说，我们先求出原方程的导数，然后将导数方程进行因式分解，得到一个可解的线性方程组。
通过求解这个线性方程组，我们可以得到原三阶方程的解。
四、求解步骤与实例1.求导：对原三阶方程求导，得到3ax^2+2bx+c的导数方程。
2.因式分解：将导数方程进行因式分解，得到(3x-1)(x-1)或者(3x+1)(x-1)。
3.解线性方程组：将上一步得到的因式分解式与原三阶方程相比较，得到关于x的两个线性方程。
解这个线性方程组，得到x的解。
4.检验：将求得的x值代入原三阶方程，检验是否满足原方程。
以一个具体的三阶方程为例，如x^3-2x^2-3x-6=0，我们按照上述步骤进行求解。
首先求导得到3x^2-2x-3的导数方程，然后因式分解得到(3x-1)(x-1)。
接着解线性方程组，得到x=1或者x=-1/3。
最后检验可知，x=1是原方程的增根，而x=-1/3是原方程的实根。
五、总结与展望本文介绍了三阶方程导数求解法，通过求解导数方程，我们可以得到原三阶方程的解。
这种方法在某些情况下可能比其他方法更简便。
当然，对于复杂的三阶方程，可能需要结合其他方法进行求解。
三阶微分方程三重根通解
三阶微分方程三重根通解
三阶微分方程三重根是在数学中非常重要的一个概念，它最早发源于完全不同
的有限学科中，如基本偏微分方程、复混沌等。
了解这一概念可以帮助我们更好地理解各类复杂的物理过程，也可以帮助我们掌握更多的核心数学思想。
三阶微分方程三重根有三种不同的情况，第一种情况是完全无根的情况，即方
程没有实数解，第二种情况是一重根的情况，即方程拥有一个实数解，最后一种情况是三重实数根的情况，即解拥有三个实根。
在解决三阶微分方程三重根时，首先要建立解析解，其次要找出方程的特征根。
有时根据不同的情况，可以采用不同的办法来求解，如拉格朗日方法，但也有不少类似的求解方法，如复合积分法和特殊函数方法。
总的来说，三阶微分方程三重根非常重要，它是数学研究的重要部分，也是现
代实际应用中广泛运用的数学模型之一。
因此，在探索它的原理与应用时必须深入仔细地研究，以便更好地收获其宝贵的经验教训。
常微分方程有解的条件
常微分方程有解的条件常微分方程有解的条件，这就像是一场神秘的探索之旅。
咱们就把常微分方程想象成一个神秘的宝藏盒子，而有解就像是找到打开这个盒子的钥匙。
对于一阶常微分方程，就好比是在一条简单的小路上行走。
像那种最基本的可分离变量的方程，你看，它就像是把不同颜色的珠子分开一样。
只要能把变量分离开来，写成一边是关于一个变量的函数，另一边是关于另一个变量的函数，那这个方程就很有希望有解。
这就像你要把乱成一团的红珠子和蓝珠子分开，只要你能按照颜色分开，那这个任务就有了方向，方程也是这个道理。
你说是不是这个理儿？再说说一阶线性常微分方程，这就像是盖房子，有一定的框架结构。
它的标准形式摆在那儿，只要符合这个形式，就好像是有了盖房子的蓝图。
我们可以根据这个蓝图找到一种通用的办法，就像建筑工人按照图纸施工一样，来找到它的解。
如果连这个基本的框架都不符合，那这房子可就难盖喽，方程的解也可能就没那么容易找了。
二阶常微分方程呢，稍微复杂一点，有点像给一个复杂的机器找运转的规律。
对于常系数的二阶线性常微分方程，它就像有固定模式的机器。
如果这个方程对应的特征方程有根，那就像是给这个机器找到了关键的零件。
不同类型的根就对应着不同的运转模式，也就是方程不同类型的解。
要是特征方程没有根，就好比这个机器缺了关键零件，那可就不好运转了，方程可能就没解或者解起来非常麻烦。
对于一些特殊类型的常微分方程，比如说全微分方程。
这就像是拼图，每一块都要刚刚好。
如果一个方程能满足全微分方程的条件，就像拼图的每一块都找到了自己合适的位置，那这个方程就有解。
要是有一块拼图怎么也放不进去，那这个方程可能就不符合有解的条件。
有时候我们可能会遇到看起来特别复杂、奇奇怪怪的常微分方程。
这就像在一个大雾弥漫的森林里迷路了一样，完全不知道方向。
但是不要慌，我们可以尝试把它转化成我们熟悉的形式，就像在森林里寻找那些熟悉的地标一样。
如果能够成功转化，那也许就能找到解的线索。
方程识别的阶条件(一)
方程识别的阶条件(一)方程识别的阶条件什么是方程识别？方程识别是一种数学上的技巧，用于判断一个给定方程的阶数。
方程的阶数指的是方程中最高次幂的指数。
为什么要进行方程识别？方程的阶数是解方程的重要指标之一。
通过识别方程的阶数，我们可以确定解方程的难度，以及选择合适的解题方法。
方程识别的阶条件方程的阶数是由方程中各项的最高次数决定的。
以下是一些常见方程的阶条件：1.一阶线性方程：方程形式为ax+b=0，其中a和b是实数且a≠0。
2.二阶二次方程：方程形式为ax2+bx+c=0，其中a、b和c是实数且a≠0。
3.三阶方程：方程中最高次项的指数为 3，其他次数的项的指数均小于等于 3。
4.高阶方程：方程中最高次项的指数大于 3。
如何确定方程的阶数？为了确定一个方程的阶数，我们可以按照以下步骤进行：1.将方程化简为标准形式，去除冗余的项和系数。
2.找到方程中各项的最高次数。
3.根据各项的最高次数，判断方程的阶条件。
4.得出方程的阶数。
结论方程识别的阶条件是判断一个方程阶数的重要工具。
通过识别方程的阶数，我们可以更好地选择解题方法，提高解方程的效率和准确性。
方程识别的阶条件不仅适用于一元方程，也适用于多元方程。
无论是线性方程还是非线性方程，方程的阶数都是重要的分析指标。
在解方程的过程中，我们应该根据方程的阶数，灵活运用不同的代数技巧和方法，以求得正确的解答。
希望本文能帮助读者更好地理解方程识别的阶条件，并在解题中受益。
方程识别的阶条件什么是方程识别？方程识别是一种数学上的技巧，用于判断一个给定方程的阶数。
方程的阶数指的是方程中最高次幂的指数。
为什么要进行方程识别？方程的阶数是解方程的重要指标之一。
通过识别方程的阶数，我们可以确定解方程的难度，以及选择合适的解题方法。
方程识别的阶条件方程的阶数是由方程中各项的最高次数决定的。
以下是一些常见方程的阶条件：•一阶线性方程: 方程形式为ax+b=0，其中a和b是实数且a≠0。
几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学几类三阶常微分方程的通解公式一、前言部分数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。
如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。
同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。
如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。
常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。
塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。
二、主题部分有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。
现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。
关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特解的常数变异法；（4）求一般二阶齐次线性微分方程的幂级数解法。
三阶线性常微分方程
三阶线性常微分方程何众琦【摘要】The linear ordinary diffenential equations of three order are solved with the power series method,the method of Frobenius,the synthesis method. Also the linear equations of higher order could be solved.% 推广的幂级数解法、推广的Frobenius方法、合成解法可用于解三阶线性方程，也可用于解高阶线性方程，所以线性常微分方程的求解原则上已解决。
【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2013(000)005【总页数】4页(P569-572)【关键词】幂级数解法;Frobenius方法;合成解法;正则奇点;极点【作者】何众琦【作者单位】平顶山学院，河南平顶山 467002【正文语种】中文【中图分类】O175.1有正则奇点的二阶线性方程用幂级数解法、Frobenius方法[1]、合成解法求解[2]，有极点的二阶线性方程用合成解法求广义解[3]，所以二阶线性方程的求解已解决.高阶线性方程有特解降阶法、乘子降阶法[4]，2008年出版的书[5]也只有特解降阶法.此外未见讨论这个问题的新文献.其特解或乘子的来源是个问题，而且它们只降阶，不能得解.所以，降阶法并非可行的一般方法.幂级数解法可解部分高阶线性方程.改进的合成解法扩大了求解范围，使线性方程原则上都可求解.本文主要讨论三阶线性方程的求解.任意方程其中α是任意非0实数.为叙述方便设α＞0.如果系数级数不含负幂项，z=0是方程的常点.如果系数级数至少含一个负幂项，z=0称为方程的正则奇点.方程（1）称为有正则奇点的三阶线性方程（包含了有常点的方程）.设方程（1）有级数解确定指标ρ，然后将（2）代入（1），确定dk，便得到方程（1）的解.如果指标方程（3）的三个根两两之差不是整数，可得三个线性无关解；如果只有两个指标根之差是整数（包括二重根），只能得两个线性无关解；如果三个根两两之差都是整数（包括三重根），只能得一个解.在后两种情形，需其他方法（如Frobnius方法）求其他解.几乎照搬文献［1］关于二阶线性方程的Frobenius方法，可得三阶线性方程的Frobenius方法.已知一系列基本方程由（7）确定r及dk，便得合成方程（5）及其解（6）.这样的方法称为合成解法. 这里对系列方程（4）施行合成法得解，而不是如文献［2-3］对方程的共轭方程施行合成求乘子.这样改进后，合成法还可用于高阶线性方程求解.注1 这里合成解法的结果与幂级数解法的结果相同.解的收敛域需具体讨论.其中因子exp（mz-α）反映极点的性质.施行合成法，将（15），（16）中的ρ改为ρ+k，得一系列基本方程及其解.设这些基本方程的合成确定ρ，由（20）确定dk.得广义解.注3 定理2可求有一阶极点、二阶极点、三阶极点的三阶线性方程的解.改变反映极点性质的因子，可求有高阶极点的三阶线性方程的解.这种情形用幂级数解法不能求解.注4指标方程（22）有二重根、三重根时，重根代入gk（m）=0.作适当变换求解，需另行讨论.三角形式、指数形式等三阶线性方程经自变量替换可化为代数形式的方程用定理1，2求解.如三角形式的Legendre方程化为代数形式.因而三阶线性方程基本上都可求解.【相关文献】［1］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：科学出版社，1979.［2］何众琦.系数是zα 的幂级数的二阶线性方程的合成解法［J］.河南科学，2009，27（5）：520-521.［3］马巧云，刘同生，何众琦.具有极点型奇点的二阶线性方程与广义解［J］.河南科学，2011，29（10）：1140-1144.［4］史捷潘洛夫B B.微分方程教程［M］.北京：高等教育出版社，1955：182-192.［5］方元道，薛儒英.常微分方程［M］.杭州：浙江大学出版社，2008.。
几种特殊类型方程解法的研究
毕业（设计）论文题目几种特殊类型方程的解法的研究学院专业班级学生姓名指导教师成绩2014年05 月31 日摘要从中世纪到19世纪初, 数学家门一直把代数学看成是解代数方程的学问.在生活和学习知识的过程中，方程更是非常重要的一个内容，在初等数学中，以初等函数的概念和解析式的运算为基础研究某些特殊形式的方程.综上鉴于特殊方程的多种解法的重要性, 本文主要研究了一元代数方程的解法, 其中包括一元三次方程、倒数方程、指数方程、对数方程等等.本文主要做了几个工作.以特殊方程的多种简便解法为线索, 介绍了几种特殊类型的方程, 以及在数学生活中的重要性, 并把几种特殊方程分类, 分块讨论.分别对几种方程举例, 力求最简便.关键词特殊方程;初等数学;多种解法;分类AbstractFrom the Middle Ages to the early nineteenth Century, mathematicians have the algebra as the solution of algebraic equations in learning, living and learning in the process of knowledge. The equation is a very important content, in elementary mathematics, the concept and formula of elementary function. Calculation based on the equation, some special form.So in view of the importance of special equation solution, this paper focuses on the element equation including: a three order equation、the equation、exponential、logarithmic equation etc···This paper mainly do the following several aspects of work:The first: a simple solution to a variety of special equation as a clue , introduces several special types of equations, as well as the importance in mathematics, in life;Second: put some special classification of equation, block discussion;Third: for some special equation for example, to the most convenient.Key word Special equation; Elementary mathematics; A variety of solution; Classification目录摘要 (I)Abstract (II)绪论 ........................................................... - 1 - 第1章方程的基本概念及同解性 .................................. - 2 - 第2章一元代数方程的解法 ...................................... - 9 -2.1倍根法 .................................................. - 9 -2.2 倒根法................................................. - 11 -2.3一元三次方程与倒数方程的解法 ........................... - 12 -2.3.1一元三次方程的解法................................ - 12 -2.3.2倒数方程的解法.................................... - 15 -2.4二项方程的解法 ......................................... - 18 -2.5解含有参数的方程 ....................................... - 19 - 第三章初等超越方程解法举例 ................................... - 21 -3.1指数的方程解法 ......................................... - 21 -3.2 对数方程的解法......................................... - 22 -3.3 三角方程的解法......................................... - 24 - 总结 .......................................................... - 27 - 参考文献 ...................................................... - 28 - 致谢 ........................................................ - 30 -绪论在生活中, 数学与我们密不可分, 而防方程更是数学中非常重要的内容, 我们从小学开始就接触学习方程, 并一直学习到大学, 对于普通方程的解法大学都是熟知的但对于类型较特殊的方程, 如一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程, 超越方程都没有较简单的解法, 这就需要我们的研究使特殊类型的方程得到更简便的多种解法, 并且在中学数学的研究中, 有更广泛的应用价值, 并对以后的中学数学教学工作有着重要的意义.本次论文主要研究的是特殊方程的解法, 而特殊方程的解法有很多种, 其中一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等更是重点中的重点, 在《高等函数学报（自然科学版）》2010年05其中付跟春教授就发表了一篇关于一元三次方程的另一种解法《考试周刊》2012年第20其中, 权小刚写了到了利用分解因式法解一元四次方程《数学通报》1980年第十二其中张君达教授对倒数方程及其应用有非常详细的研究, 且在国外, 当代数学家eibitzE对特殊L和uler类型的方程的解法详细研究.在对本文课题内容研究的过程中, 主要分为三个方面, 首先需了解方程的基本概念, 及同解性通过对定义、定理推论及其典型例题的研究, 加深方程的基本概念、及同解性. 其次, 在对多种类型特殊方程的多种解法中, 主要针对一元三次方程, 一元四次方程, 倒数方程等内容进行详细计算, 最后, 讨论超越方程的解法并进行举例, 基本分为指数函数. 对数方程, 和三角方程的特殊解法.采取的方法有文献资料法、举例法、探究法.在对特殊方程解法的研究中, 国内外关于特殊类型的方程应用比较多, 对于求解方面难以把握, 特别在竞赛数学中, 一般大的解法比较简单, 但应用比较少, 难点是去寻找解题的简单方法, 并且对于不同类型的特殊方程有特殊的解法研究, 在老师的指导下, 通过校图书馆查阅的书籍以及期刊并与同学不断的沟通使特殊方程的解法不只是降次一种方法而已, 能够更加简便的解特殊类型的方程.第1章 方程的基本概念及同解性定义1.1 等式f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为方程.其中，f()z y x ,,,g ()z y x ,,都是定义在数组集M 上的函数M 是这两个函数的定义域的交集, 并且把M 称为这个方程的定义域.定义2.1 如果数组集M 是方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的定义域, M内的一组数,,,c b a 满足这个方程, 即有f()z y x ,,=g ()z y x ,,. 那么称这一组数位这个方程的解.作为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的解的数组的集合S 称为这个方程的解集. 当MS =时，方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,又称为恒等方程.可表示成:f()z y x ,,=g ()z y x ,,.当S 时空集时方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,称为矛盾方程.定义3.1 函数f()z y x ,,与g ()z y x ,,的变数z y x ,,, 称为方程f()z y x ,,=g ()z y x ,,的未知元, 有几个变数的方程称为n 元方程.特别地, 把一元方程)()(x g x f =的解称为一元方程的根.关于方程的概念.为了叙述简便起见, 通常就一元方程进行讨论. 如果需要推向一般情形, 只需在叙述上做一些补充就可以了.同解性定义4.1 如果方程)1(1f 1)(g x =)(x 的任何一个解都是方程)2(2f 2)(g x =)(x 的解, 并且方程)2(的任何一个解也都是方程)1(的解. 那么方程)1(与)2(称为同解方程.两个同解方程显然是有相同的数集, 但对于解集相同的方程约定仅当每一个重根具有相同的重复次数时, 才认为它们是同解方程. 因此01=-x 与方程2)1(-x=不能认为是同解方程. 因此方程01=-x 与方程2)1(-x 0=不能认定是同解方程.两个无解方程认为是同解方程.因为方程的解集包含于方程的定义域内, 所以两个方程可能在某一个数域上同解, 而在另一个数域上是不同解的, 例如2x 01=+、014=+x、12=+nx在实数域上彼此同解, 因为它们的解集是空解.在复数域上, 它们的解集是各不相同的, 第一个方程有两个解, 第二个方程有四个解, 第三个方程有n 2个解. 它们显然不是同解方程.同解性定义5.1，如果方程)1(的每一个解都是方程)2(的解, 那么方程)2(称为方程)1(的结果（或称为推演式）.显然, 如果两个方程互为结果, 那么这两个方程便是同解方程. 定理1.1, 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f +=+同解.证：设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 从而有)()()()(1111x A x g x A x f +=+，这表明方程)2(是方程）（1的结果. 如果)()()()(1111x A x g x A x f +=+, 由))()()()()(111111x A x A x g x A x A x f （-+=-+,可得)()(11x g x f =，这表明方程)1(是方程）（2的结果. 方程）（1与方程)2(互为结果, 这两个方程式同解方程. 推论 任何方程)()(x g x f =均可表示成0)(=x F 的形式, 其中))()(x g x f x F （-=.定理2.1 如果函数)(x A 对于方程)()(x g x f =的定义域M 中的数都有意义,并且不等于零, 那么方程)1()()(x g x f =与方程)2()()()()(x A x g x A x f =同解. 证 设Mx ∈1, 且有)()(11x g x f =, 因为0)(1≠x A , 于是有)()()()(1111x A x g x A x f =, 这表明方程)2(是方程)1(的结果.如果)()()()(1111x A x g x A x f =将等式两端同除以)(1x A 即得:)()(11x g x f =.这表明方程)1(是方程)2(的结果.方程)1(与方程)2(互为结果这两个方程便是同解方程. 定理3.1 如果)()()()(21x f x f x f x F k =,那么方程0)(=x F 的解集等于下列各个方程:)(1=x f ,，0)(2=x f ,)(k =x f .的解集的并集, 并且其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集. 证：设)(x F 的定义域为M ,)(x f i 的定义域为),,2,1(k i Mi=, 因为)()()()(21x f x f x f x F k =, 所以KMMMM21=.又设()0=x F 的解集为A , Ax ∈1;()01=x f 的解集为()k iB ，，211=.因为MA x ⊆∈1, 所以KMMMx ⋂⋂∈21因为()01=x F ，于是有()()()011211=x f x f x f k .这个等式的左端至少有一个因式等于零，这表明KB B B x ⋃⋃⋃∈ 211.反之易证BB B B K ⊆⋃⋃⋃ 21定理1.4 如果()()()()x g x g x f x f 2121==，, 方程（1）()()x g x f 11=与方程（2）()()x g x f 22=的定义域都是数集M, 那么方程（1）方程（2）同解.证：设()()a g a f 11=，因此，Ma ∈.因为对于M 中任何数x ,()()x f x f 21=, ()()x g x g 21=, 所以()()a g a f 11=，()()a g a f 22=.因为()()a g a f 11=）, 所以()()a g a f 22=，这表明方程（2）是方程（1）的结果.同理可证, 方程（1）是方程（2）的结果.于是, 方程（1）与方程（2）同解.解方程时, 根据上述定理将原方程变形.或将原方程的任何一端在不改变方程定义域的前提下作恒等变形后所得到的方程与原方程是同解的, 这样的变形称为解方程的同解变形.在解方程时.除了利用同解变形外有时还要作以下几种变形.1. 方程()()x gx fnn=, 是方程()()x g x f =的结果；正整数n 是对函数()x f ，()x g 施行乘方运算的指数.2. 方程()()aa x g x f =是方程()()x g x f =的结果，不小于2的整数n 是对函数()x f ，()x g 施行开方运算的根指数（n 为偶数时，()0≥x f ，且()0≥x g ）.3. 如果()x g 1与()x g 2不等于零，那么方程()()()()x g x f x g x f 2211=是()()()()x f x g x f x g 2211=的结果4. 如果对于定义域中的数()()x g x f 11≠，且()()x g x f 22≠，那么方程()()()()()()()()x g x g x g x f x g x f x g x f 22221111-+=-+是方程()()()()x g x f x g x f 2211=的结果.5. 方程()()x g x f =是方程()()x g x f lg lg =的结果.6. 方程()()x g x f sin sin=是方程()()x g x f =的结果.经过上述变形, 作为原方程是的结果往往是与原方程不同解的.一般来说, 当在方程两端施行某一运算.而这种运算的逆运算的运算结果不是唯一确定的时候, 便将得到与原方程不同解的方程.由于方程变形后, 改变了（扩大或缩小）原方程的定义域, 定形厚的方程与原方程往往是不同解的.在不是同解变形的情况下解方程, 可能产生增解, 既不满足原方程但是满足原方程的结果的那些解;也可能失去原方程的部分解.在解一元方程时, 产生的增解又称为增根, 失去的解称为遗根.为了在解方程时剔除增解, 避免失去解, 可采取下列步骤.（1） 在方程变形过程中, 把由原方程的结果得到的解代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解.（2） 在方程变形过程中, 把原方程的定义域的扩大部分中的数代入原方程检验满足与否.以判断是不是增解. 例如, 由得：512+=-x x .2-=x 是后者的根. 而不是前者的根⑶在方程变形过程中，把原方程的定义域的缩小部分中的数代入原方程检验满足与否，以判断是不是原方程的解例如，由()()()()1312222++=+++-x x x xx x经合分比变形得()()()()x x x x 2242422-+=-+-. 因而失去原方程的解0=x.⑷在方程变形中，根据变形结果与原方程不同解的原因判断是否有增解和是否有可能失去解 例如方程 ()()x x x -=-+1arcsin1arccos arcsin ，变形为：()01arccosarcsin2=-+x x ， ⑴()x x --=1arccos arcsin 2 ⑵这两个方程与原方程都是同解的. 由()()[]x x --=1arccos cos arcsin2cos ⑶得：()xx -=1arcsin 2cos , 022=-x x从而得0=x，21=x.由方程⑵变形为方程⑶时，不是同解变形，因为满足方程⑵的未知数取值必然满足方程⑶，但满足方程⑶的未知数取值不一定满足方程⑵这是因为方程⑶还可以作为方程()x x -=1arccos arcsin 2的结果.经检验，21=x不满足原方程，但满足方程()x x -=1arccos arcsin 2.例1.1 解方程()()()()11429121-++=-+x x x x .解：方程两端同乘以最简公分母()()412+-x x，得：()()()()41941++-=++x x x x即0562=+-x x由此解得 51=x , 12=x .因为1=x , 使()()0412=+-x x ,所以1=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解分式方程时，为了将原方程的求解转化为整式方程的求解而在方程两端乘以原方程的最简公分母，由此所求得的解. 如果使公分母为零，那么这样的解便是原方程的增根.例1.2 解方程5462=++-x x解：方程两端平方后，再一次平方，以消去根号，得：08251702=+-x x解得51=x ， 1652=x .经检验165=x不是原方程的解，5=x 是原方程的解.在解无理方程时，除了前述在将方程两端边形时因扩大了原方程的定义域而引起增根外，由于方程两端引入了共轭因式也往往会因此而产生增根 例1.3 解方程()()443log 2log 22=-++x x . 解：将方程变形为()()4432log 2=-+x x ,从而得：()()16432=-+x x由此解得：()37311+-=x , ()37312--=x.这里只有1x 是原方程定义域内的数，因此2x 是增根. 于是原方程的解是()3731+-=x .例1.4． 解方程42log=xxx解：因为 2)2(loglog2log 2logx xx x xxx x==所以有42)2(log=x xx即4)2(2=x 由此解得11=x ， 12-=x1x 与2x 都使原方程失去意义，因此，原方程没有解. 例1.5 解方程2cos 2sin =-x x .解：设t x tg =⎪⎭⎫⎝⎛2，于是原方程变形为()()()211212222=---+t tt t.由此解得2=t ，即22=⎪⎭⎫⎝⎛x tg从而解得()z k k arctg x ∈+=,222π.第2章 一元代数方程的解法2.1倍根法使变形后的方程的各个根是原方程的各个根的k 倍. 方程0=⎪⎭⎫⎝⎛k y f 的各个根分别等于方程()0=x f 的各个根的k 倍.证：设()n ia i ,,3,2,1 =是n 次方程f （x ）=0的根.因为0)(f 1=a ,所以)()(i i a f kka f =0=.因此i Ka 是n 次方程0)(=ky f 的根.因为0)(=k y f 只有n 个根， 所以)(=k y f 的各个根分别是)(=x f 的各个根的k 倍.推论1：n 次方程0222110=++++--nn n n nka xk a kxa x a 的各个根分别是方程22110=++++--n n n na xa xa xa 的各个根的k 倍.例如:把1632166)(3561=-++-=x xx xx f ,表示成 0)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x ,那么)(1=x f 的各个根分别是:4123356=-++-x xx x的各个根的2倍.反过来说，把方程的04123356=-++-x x x x 各个根乘以2，对应的方程)2(412)2(2)2(3655556=-++-x x x x即1632166)(3561=-++-=x xxxx f .因此，推论1也可以说成是把n 次方程22110=++++--n n n na xa xa xa的各个根乘以k ，对应的方程是:222110=++++--nn n n nka xk a kxa xa .由推论1可直接推出下一个推论： 推论2:把n 次方程022110=++++--n n n na xa xa x a 的各个根变号对应的方程为:1--22110=++--n n n na xa xa xa ）（ .例1.2 已知方程0204234=--++x x x x 的四个根中, 有两个根的绝对值相等，符号相反, 解这个方程 解：解:设=)(x f 0204234=--++x xxx有四个根γβαα---,,,.将0)(=x f 的各个根变号后对应的方程是:=-)(x f 0204234=-++-x xxx.这个方程的根是γβαα---,,,，0)(=x f 与0)(=-x f 有公共根α±. 用辗转相除法求得)(x f 和)(=-x f 的最高公因式是42-x .因为54)(22++=-x xx x f ，所以原方程为0)5)(4(22=++-x x x .它的根是2,2-,2191,2191i i --+-.定理1.2:方程)(=+k y f 的各个根分别等于方程0)(=x f 的各个根减去k.证：设),,2,1(n ia i =是n 次方程)(=x f 的根, 因为)(=i a f , 所以])[(=+-k k a f i 的根,因此，ka i-是n 次方程)(=+k y f 的根.因为0)(=+k y f 只有n 个根，所有)(=+k y f 的各个根分别等于)(=x f 的各个根减去k . 例如68364)]1([3=++=-+y yy f 的各个根分别等于68)1(36)1(4)(3=++++=x x x f 的各个根减去1-.这里的10848124)(23+++=x x x x f , 反过来说，要做一个三次方程使它的各个根分别等于三次方程10848124)(23+++=x x x x f 0=的各个根减去1-，只要将)(x f 表示为)1(--x , 即1+x 的幂构成的三次多项式.如果要将多项式n n n na xa xa xx f ++++=-- 2211)(化为不含有1-n 次项的多项式, 那么只要将)(x f 表示为)(1na x--的幂构成的多项式，即作一个n 次多项式，使它的各个根分别等于)(x f 的各个根减去na 1-. 由此可见, 经过这样的根的变换, 可使方程变形为简单的形式.2.2 倒根法定理2.2：如果方程0)(=x f 没有等于零的根，那么方程)1(=yf 的各个根分别等于方程)(x f 的各个根的倒数. 证 设),,2,1(n i a i =是n 次方程0)(=x f 的根, 并且0≠ia . 因为)(=i a f ,所以)()11(==i ia f a f .因此，ia 1是)1(=y f 的根, 因为n 次方程只有n 个根,所以)1(=yf 的各个根分别是0)(f =x 的各个根的倒数.推论3 如果n 次方程0)(=x g 的各个根分别是n 次方程0)(1110=++++=--n n n na x a xa x a x f 的各个根的倒数, 那么)(0111=++++=--a x a xa xa x g n n nn .例2.2 已知方程0918131423=+--x xx 的三个根的倒数成等差数列, 解这个方程.解：根据上述推论可知方程01413189)(23=+--=x x xx f 的三个根成等差数列,设这三个根是,,,b a a b a+-于是23=a, 32=a.因此, 0)(=x f 的一个根是32.因为)73)(1(74323)(2-+=--=-x x x xx x f , 所以0)(=x f 的另外两个根是1-, 与37, 由此可知，原方程的根是1,23-与73.2.3一元三次方程与倒数方程的解法2.3.1一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是23=+++d cx bxax)0(≠a把它的各个根减去ab 3-, 并且设32322272792,33ada abc bq ab ac p +-=-=.就可以变成一个不含有二次项的方程的方程（未知元仍然用x 表示）03=++q px x )1(所以，研究三次方程的解法，只需要研究这种形式的方程. 设v u x +=于是uvx u v v u uv v u x 3)(333333++=+++=.即 0)(3333=+--v u uvx x )2( 从而有)(,333v u q uv p +-=-=.根据一元多项式根与系数的关系，可知3u ，3v 是二次方程02732=-+pqy y的两个根.解这个二次方程，得：2742u323pqq ++-=, 2742323pqq v---=. )3(并且满足3p uv -= )4(设1u 是)3(的任意一个解, 则u 的另外两个解分别为:21312,wu u w u u ==.这里w 是1的三次单位根.由)4(得与321,,u u u 相对应的v 的三个解是:wv v w v v u p v 1321211,,3==-=.因此，03=++q px x 的三个解的公式是33233211127422742pqq pqq v u x +--+++-=+=,332233222227422742pqq wpqq wv u x +--+++-=+=,332332233327422742pqq w pqq wv u x +--+++-=+=.根据)3(式中27432pq+的符号可以看出三次方程03=++q px x 的根的性质. （1）如果27432pq+, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu ≠,方程)1(有一个实数根和两个共轭虚根：111v u x +=, ,iv u v u v w wux 322-11111212-++=+=, iv u v u wvu w x 322-11111123--+=+=.(2)如果27432pq+=, 那么3u 和3v 都是实数, 并且33vu =, 方程(1)有三个实数根, 并且其中有两个根相等: 111v u x +=1u 2=,11212u u w wux -=+=,11123u wuu w x -=+=.(3)如果27432pq+, 那么3u 和3v 是共轭虚数.设 )sin (cos 3θθi r u +=, )sin (cos 3θθi r v -=,于是)3sin3(cos31θθi r u +=,)3sin3(cos31θθi r v -=.方程)1(有互相等的三个实数根: 3cos23111θr v u x =+=,=+=112wvwux -)3sin33(cos 3θθ+r )323cos(23πθ+=r , =+=1123wvu w x -)3sin33(cos3θθ-r )343cos(23πθ+=r .在这种情况下，方程)1(的三个实数根不能利用在根号下仅出现实数的根式由方程的系数来表示.而这一结论的证明已经完全超出课本的范围. 例3.2 解方程 011126223=-+-x xx .解 利用将n 次多项式简化为不含有1-n次项的方法可将方程化为：23)1(3)1(3--+-x x 0=.设1-=x y 原方程变换成方程2333=-+y y.因为3=p, 23=q, 所以162527432〉=+pq.设 1v u y+= 根据卡当公式得24,23131-==v u .于是 331114212-=+=v u y ,32312124212wwv w wuy -=+=, 33211234212wwwv u w y -=+=.因为1+=y x , 所以33142121-+=x ,iw w x )4324110821(44122114212166332332+++-=-+=, iw wx )4324110821(44122114212166333233+-+-=-+=.2.3.2倒数方程的解法在一元整式方程0)(=x f 中, 如果在多项式)(x f 中, 与首末两端等离的项的系数是相等的, 那么这种形式的方程称为倒数方程. 倒数方程有四种类型：)1(形如)0(0 (0012)2111122212120≠=++++++++++--+---a a x a xa xa xa xa xa xa x a m m mm m m m m m)1( 的方程称为第一种倒数方程.在方程)1(中, s x 项的系数等于s m x -2项的系数，这里ms2,,2,1,0 =. 显然0不是方程)1(的根.根据定理3的推论, 可知以方程)1(的各个根的倒数为根的m 2次方程仍是方程)1(, 因此, 方程)1(的根是m 对互为倒数的数.定理3.2 第一种偶次倒数方程=)(x f 0 (011)11112120=++++++++--+--a x a xa xa xa xa xa m m mm m m m m可以化为一个m 次方程. 证0)(...)()1()f(11112120=+++++++=-+--mm m m m m mxa xxa x xa xa x .因为0≠x，所以可以用mx 1乘)(x f , 得:)1(...)1()1()(.111110=+++++++=---m m m m mmma xx a xxa xxa x f x设yx x =+1, 于是有:22)1)(1(1222-=-++=+y xx x x xx ,y y xx x x xx xx 3)1()1)(1(132233-=+-++=+,24)1()1)(1(124223344+-=+-++=+y y xx xx xx xx ,······yxxxx xxxxm m m m mm=+-++=+----)1()1)(1(12211代入)(.1=x f xm, 得到的方程是y 的m 次方程.在证明这个定理的同时, 也给出了第一种偶次倒数方程的解法. 例2.4.解方程01256895612234=+-+-x x x x .解：将方程表示为089)(56)1(12234=++-+xx x x .因为0≠x, 将方程两端乘以21x, 得:89)1(56)1(1222=++-+xx xx ,设yxx =+1, 则21222-=+y xx ,从而有08956)2(122=+--y y ,由此得25=y 或613=y ,由251=+xx 或6131=+x x解得：32,23,21,2=x.因为1和1-的倒数是它的本身，还是1和1-, 所以如果方程0)(=x f 是第一种偶次倒数方程, 那么方程0)()1(=+x f x 和0)()1(=-x f x 除了两个根)11-或（的倒数就是本身之外, 其余的根是m 对互为倒数的数.方程0)f 1(2=-x x （）除了两个根)1(±的倒数就是本身以外.其余的根是m 对互为倒数的数.0)()1(=+x f x 称为第一种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=+++++++++b x b xb xb xb xb mm m m mm 0≠b (2))()1-(=x f x 称为第二种奇数倒数方程, 一般形式是： (011)21120=----++++c x c xc xc xc xc mm m m mm 0≠c (3))()1-(2=x f x称为第三种奇数倒数方程, 一般形式是： (012)121220=----++++++d x d xd xd xd xd mm m m m m 0≠d (4)这种形式的倒数方程没有中间项, 即没有1+m 次项.例5.2 解方程065444456)(2456=--+-+=x x x x x x f .解)(x f 是第二种偶次倒数方程, 必定有根1±.设)1()()(2-÷=x x f x g653856234++-+=x x x x38)(5)1(6234=-+++=xx x x .设yxx =+1, 因为0≠x , 将方程除以2x 得:38)1(5)1(622=-+++xx xx21222-=+y xx , 于是得:50562=-+y y由此得 25=y 或310-=y.由251=+x x 解得2=x或21=x .由3101-=+xx 解得3-=x 或31-=x . 所以0)(=x f 的根是31,3,21,2,1--±.某些特殊形式的方程, 有时也可以变换成倒数方程. 例6.2. 解方程062512256234=+++-x x x x解:将原方程变形为12)1(25)1622=+--+xx xx（.从而有024)1(25)1(62=+---xx xx .设yxx=-1. 于是得：242562=+-y y.由此解得 23=y 或38=y.由231=-x x , 解得21,2-=x . 由381=-xx, 解得31,3-=x.所以原方程的根是31,3,21,2--.2.4二项方程的解法形如0=-c x n的方程称为二项方程.解二项方程0=-c x n 只要将c 开n 次方, 在复数域上求一个数的n 次方根可采用复数的三角形式来计算.定理4.2如果)sin (cos θθi r c+=, 那么二项方程0=-c x n的根是)2sin2(cosn k i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.证. 因为n n nk i nk r )]2sin2(cos[πθπθ+++ci r =+=)sin (cos θθ.并且)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.表明共有n 个互不相等的值, 它们都是n 次方程0=-c x n的根, 而n 次方程有n 个根, 所以方程0=-c x n的根是:)2sin2(cosnk i nk r nπθπθ+++, 1,,2,1,0-=n k.因为1sin cos =+θθi 由定理4.2可知在复数域上的几个n 次方根是:1, ni nππ2sin2cos +，ni nππ22sin22cos⋅+⋅，···，nn i nn ππ2)1(sin2)1(cos -+-.根据实系数多项式的性质可知, 二项方程的虚数根都是成对出现的.例如方程083=+x 在复数域上的三根是:2)sin (cos 21-=+=ππi x ,ii x 31)3sin3(cos22+=+=ππ, ii x 31)32sin32(cos 23-=+=ππ . 例7.2 解方程016842234=++++x x xx .由此可得到一个二项方程 0255=-x . 解这个二项方程, 并排除方程02=-x 的根2=x 以后, 即得原方程的四个根)52sin52(cos21ππi x +=, )54sin 54(cos22ππi x +=,)54sin 54(cos 2)56sin 56(cos23ππππi i x -=+=, )52sin 52(cos 2)58sin 58(cos24ππππi i x -=+=.2.5解含有参数的方程在解含有参数的方程时, 必须对参数的每个容许值确定方程的解的集合. 例8.2 解关于未知数x 的方程21xa x-=-.解 这个方程的右端是非负数的, 因此左端也必须是非负数的, 应在02≥-x a 和1≥x 的条件下求解. 将方程两端平方得:1222=-+-a x x.这个方程必须在0)1(24)2(2≥-⋅--a 时，即21≥a时有实数解, 因此, 原方程的求解又增加了一个必要条件. 由这个一元二次方程解得: 21211-+=a x , 21212--=a x .2x 显然不满足条件11≥x , 因此, 它不是原方程的解.如果1x 是原方程的解，那么 12121≥-+a ,即 112≥-a .当1≥a时,112≥-a 是成立的, 但还要考虑, 021≥-xa 是否成立.经过计算, a 取任何值时, 021≥-xa 总能成立.综上所述，当1 a 时，原方程没有解.当1≥a原方程的解为2121-+=a x .在解含有参数的方程时, 不仅要考虑对于参数的某些取值, 原方程没有解, 而且考虑, 在参数取某个值的情况下，原方程可能成为恒等式.这时, 原方程在定义域内便有无限多个解.第三章 初等超越方程解法举例含有一个未知数的初等超越函数方程（简称超越方程）是指形如0)=x F （的方程，其中，)(x f 是初等超越函数.初等超越函数方程的求解最终都归结为最简超越方程的求解 最简超越方程是指形如cx f =)(的方程，其中，)(x F 是基本初等超越函数, c 是常数.3.1指数的方程解法)1()()(x g x f aa=, )1,0(≠a a类型例1.3解方程312)10(10001505---=x xx .解:原方程可变形为 661010-=x x, 66-=x x, 56=x.解这一类的指数方程是以对数的存在性和唯一性为根据的由于)()(x g x f a a =与)()(x g x f =是同解的，所以这一变形不会产生增根，也不会发生遗根.)2( )()(x g x f aa=（a 与b 都是不等于1的正实数，并且ba≠）类型.例2.3 解方程. 解：将方程两端取常用对数得:3lg )1(5lg )1(2-=+xx .这是一个一元二次方程，由此可解得:1-=x 或3lg 5lg 3lg +=x .这也就是原方程的根.解这类指数方程，因为0)( x f a , 0)( x g b ，方程两端取对数后得到的方程与原方程是同解，所以，这一边形不会产生增根和遗根.)3(0)(=xa F , )1,0(≠a a类型.例3.3 解方程xxx946=+.解：将方程两端分别除以x 9得:19432=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx.设yx=⎪⎭⎫ ⎝⎛32，则有012=-+y y ，由此解得:251+-=y, 或251--=y.后者因032 x⎪⎭⎫⎝⎛而舍去，再由21532-=⎪⎭⎫⎝⎛x可解得:3lg 2lg 2lg )15lg(---=x即为原方程.这种类型的指数方程通常采用换元法求解未知数. 为了将问题归结为最简指数方程的求解，往往需要将各个指数函数式化为相同的底数，由于底数都大于零，所以，在方程变形时不能破坏同解性.)4()()()(x F x f x g =类型.这种类型的方程成为幂指方程，如果是在底数大于零的条件下求解，那么可以通过两端取对数使方程变形.例4.3解方程 1lg 47lg 10++=x x x)0( x .解：因为方程两端都大于零，所以可在两端分别取对数，经过运算，化简可得：4lg 3)(lg 2=-+x x .有此可解得1lg =x 或4lg =x ，从而有10=x或410-=x，这就是原方程的解.3.2 对数方程的解法)1(cx g x f =)(log)(（c 为常数）类型.解这一种类型的方程通常是将对数形式化为指数形式.但解得的数值必须满足0)( x f ，与1)(≠x f 和0)( x g 的条件，否则便是增根. 例5.3 解方程22log)2(log8316=--x x.解 因为218log22log2188==，所以有2)316(21==-x x , 从而有 0122=--x x .由此解得4=x或3-=x, 后者使02 -x 于是方程的解只有4.)2()(log)(logx g x f aa= ()1,0≠a a .类型解这类方程时，根据对数的性质，可使得)()(x g x f =, 但由此解得的数值必须满足0)( x f 与0)( x g 否则便是增根.()3 0)(log=x F a)1,0(≠a a类型.解这类方程时，长采用换元法，将问题归结为解最简对数方程.)4( cx bx a=+log)1,0(≠a a类型.这类方程是在0x 的条件下求解的，当0≤c时，方程无解;当0c时，则有cx b x aaaloglog)(log=+. 即log log)x (log2=-+c x b aaa.这样变化为上一种类型，可用换元法求解 例6.3．已知1x 是方程42=+xx 的根，2x 是方程4log2=+x x的根.求21x x +. 因为1x 是方程42=+xx的根， 所以1x 是直线 x y +-=4与指数函数xy 2=图象交点P 的横坐标.因为2x 是方程4log2=+x x 的根，所以2x 是直线x y +-=4与对数函数xy2log=图象交点Q 的纵坐标.因为xy2=与xy2log=互为反函数，所以点P 与Q 关于其线对称， 且点P 与点Q 均在直线4+-=x y上，因为点P 与交点Q 的中点为)2,2(R . 所以421=+x x .3.3 三角方程的解法对于一般地三角方程来说，没有一般的简便的求解方法，对于其中某些类型的三角方程可用一定的解法求解，但对于同一个三角方程而言，解法往往不是唯一固定不变的的.凡是可以求解的三角方程，一般地说总是通过恒等变形将原方程的求解归为最简三角方程的求解. ）（1)]([)]([X F XF ϕϕ=类型（F表示某三角函数的符号）例如三角方程 x x 5sin 3sin =, )62()3(ππ-=+x tg x tg 都属于这一类型这类三角方程的基本解法是使方程一端为零，另一端化为积的形式，但也可利用下列具有相同的已知三角函数值的两弧之间的关系求解 )(sin )(sin 10x x ψϕ= 的交分必要条件是 πϕϕk x x k+-=)()1()( , )(z k ∈.︒2)(cos )(cos x x φϕ=的充分必要条件是:φ(x)=Ф(x)+2k π )(z k∈ .︒3 如果)()(x tg x tg φϕ=，那么πφϕk x x +=)()( )(z k∈ .例7.3 解方程 x x 3sin 5sin=.解：(1)将方程变形为:03sin 5sin =-x x .利用和差化积得:4cos sin 2=x x .从而得到最简三角方程:sin =x 或04cos =x .解：(2)由原方程可得:πk x x k+-=3)1(5 )(z k∈.等nk2=时，可解得:84ππ+=n x )(z n ∈.解）3(如果将a3sin与a5sin都用asin 表示，那么原方程便化成)1sin8sin 8(sin 224=+-x x a .由此可得最简正弦方程类型F 与G 表示不同的两个三角函数符号 例8.3 解方程yy 2cos 3sin =解)1(将原方程的两端化为相同名称的三角函数，可得：)22sin(3siny y -=π或yy 2cos )32(cos =-π.于是原方程的求解转化为前一种类型.解)2(使原方程的等式的一段化为零, 将另一端化为积. 解)3(利用倍角公式将方程两端都用ysin 表示.可得1sin 3sin2sin423=+--y y y左端分解因式后便可得最简正弦方程 (3) cy b y a =+cos sin , (c b a ,,都是常数，并且a 与b 都不等于零)类型如果 0≠c 并且222cb a =+，以a 除原方程的两端.得 ac y a b y =+cos sin因为+∞<<∞-ab ，于是可设ab arctg=ϕ，从而有 ac y y =+cos cos sin sinϕϕ又可化为ϕϕϕcos cos sin cos sin ac y y =+，即 ϕϕcos )sin(ac x =+因为222cba ≥+所以11cos 222222≤+=+=+=bac bac tg a c ac ϕϕ从而有πϕϕn ac y n+-=+)cos arcsin()1(， ϕϕπ--+=)cos arcsin()1(ac n yn)(z n ∈)4(关于ysin与ycos的齐次式的三角方程coscossincos sin sin 222110=++++--y a y a y y a y a nn n n n1如果0≠a ，则以ycos （ycos不等于零，若0cos=y ，则导致)0cos sin ==y y除方程的两端，于是得到与原方程同解得方程sin110=+++-n n na y a y tga这是关于tgy 的代数方程，由此可得tgy 的值，便得到以正切函数表示的最简三角方程2如果,0110====-k a a a 但0≠ka ，则方程可化为)coscos sinsin(cos11=+++---+-y a y y a y a y kn n k n k kn k k由此可得0cos =y 或coscos sin sin11=+++---+-y a y y a y a kn n k n k kn k这后一个方程可按01的方法求解.)5(方程中含有未知数的各项可化为同一未知数的同一个三角函数的三角方程例9.3 解xx x x 5sin 3sin 7sin sin=将原方程的两端化为三角数式的差 ， 得28cos 2cos 2cos8xcos6x xx -=-从而有 xx 2cos 6cos=这个方程可按)]([)]([x F x F ψϕ=类型的解法求解.。
线性方程组解题归纳
03
逆矩阵法适用于求解具有唯一解的线性方程组，但需要注意的是，不是所有的线性方程组都有逆矩阵。
基本原理
克拉默法则是一种基于行列式的线性方程组求解方法。它假定线性方程组具有唯一解，并且通过计算相应的行列式来确定未知数的值。
克拉默法则
基本步骤
使用克拉默法则求解线性方程组时，首先需要确定每个方程对应的行列式，然后根据行列式的值求解未知数。
3. 根据阶梯形矩阵，求出解。
应用场景：适用于中等规模线性方程组的求解。
三阶线性方程组解法
n阶线性方程组解法
01
02
03
04
05
06
04
线性方程组解的性质与定理
线性方程组解的性质
高斯消元法
通过消元和回代，将线性方程组转化为几个简单的方程式，从而求解。
逆矩阵法
利用逆矩阵的概念和性质，通过矩阵的乘法和一些简单的代数运算来求解线性方程组。
应用范围
克拉默法则适用于求解具有唯一解的线性方程组，但需要注意的是，不是所有的线性方程组都满足克拉默法则的条件。
பைடு நூலகம்
03
线性方程组解法实践
二阶线性方程组解法
01
02
03
04
05
06
定义：三阶线性方程组是由三个线性方程组成的方程组。
解题步骤
1. 写出系数矩阵和常数矩阵。
2. 对系数矩阵进行初等行变换，得到阶梯形矩阵。
线性方程组在经济学中的应用
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对于二维线性方程组，我们可以将其看作平面上的点(x,y)满足两个线性方程，这两个方程相当于两条直线。
对于三维线性方程组，我们可以将其看作空间中点的坐标(x,y,z)满足三个线性方程，这三个方程相当于三条直线。
非齐次线性常微分方程的降阶积分法
非齐次线性常微分方程的降阶积分法何众琦【摘要】用逐次降阶给出二阶、三阶非齐次线性方程的通解公式.逐次降阶法也适用于高阶非齐次线性方程.这是求解非齐次线性方程的不同于常数变易法的另一种方法.虽然方法不同,但所得结果相同.【期刊名称】《平顶山学院学报》【年(卷),期】2015(030)002【总页数】4页(P9-12)【关键词】非齐次线性方程;合成解法;降阶;积分解【作者】何众琦【作者单位】平顶山学院数学与信息科学学院,河南平顶山467099【正文语种】中文【中图分类】O175.1熟知，非齐次线性方程用常数变易法求一个特解，这个特解加对应的齐次方程的通解得到非齐次方程的通解.有人给出了常系数非齐次线性方程的直接积分法[1-3].对特殊的一类变系数线性方程也给出了积分公式解法[4].笔者用降阶积分法给出了一般的变系数线性方程解的积分公式.降阶是古老的概念，一直以来实际应用少.由于合成解法(包含了幂级数解法)解决了求变系数齐次线性方程的基本解组的问题[5-7].在这里才能充分体现降阶法的实际作用.其实，常数变易法也必须知道对应的齐次线性方程的基本解组，这也依赖于合成解法.所以，合成解法是求解非齐次线性方程的基础.给定非齐次线性方程及其对应的齐次线性方程设用合成法已求得齐次方程(2)的基本解组y1,y2.在方程(1)中作变换得v的一阶线性方程，积分得到以下定理.定理1 设齐次方程(2)的基本解组为y1，y2.则非齐次方程的通解是定理2 降阶积分法所得非齐次方程的特解与常数变易法所得特解相同.证明为了便于证明，将(3)中特解部分写成定积分形式：根据Liouville公式可得代入(4)，然后分部积分，得于是这正是常数变易法所求非齐次方程的特解.给定三阶非齐次线性方程及其对应的齐次线性方程设用合成法求得齐次方程(6)的基本解组是y1，y2，y3.在方程(5)中作变换其中v 待定，得(7)的齐次方程是再设方程(8)的基本解组是v1，v2,在(7)中作变换得除以v1y1，得乘以积分因子积分然后，得非齐次方程(5) 的解其中(-∫Pdx)dxdx是齐次方程(6)的解.它们线性无关，与y1一起构成(6)的基本解组.所以可将(10)简化成(11)右边的第一项就是非齐次方程的一个特解,其中v1是方程(8)的解.虽然可以用合成法求这个齐次方程的解,但增加了很多计算.用已求出的三阶齐次方程的解表示v1，可以简化.事实上，前面已指出是不同于y1的方程(6)的解.因而可令于是所以，公式(11)中的特解只需用方程(6)的解y1，y2表出.这里顺便指出也是方程(8)的解.(13)可代入(8)直接验证.并且用反证法易知与v1线性无关.所以，方程(8)的基本解组可以直接由原来的三阶方程的解得出.以上推导证明了以下定理. 定理3 设方程(6)的基本解组是y1，y2,y3,则方程(5)的解是例1 解非齐次线性方程xy″-(1+x)y′+y=x.解对应的齐次方程改写为如下形式用合成法得基本解组y1=ex，y2=1+x.代入公式(3)得非齐次方程的通解注1 这是有正则奇点的方程,也可以用幂级数解法求基本解组.注2 用1+x作为y1代入公式(3)，结果相同.用常数变易法求非齐次方程的特解结果也相同.例2 解非齐次线性方程解齐次方程是这是含一阶极点的方程.用幂级数解法不能求解.运用文献[5]的定理求得(16)的基本解组x.再由解公式(3)得非齐次线性方程(15)的解例3 解非齐次线性方程解将(17)改写为对应的齐次方程写成标准形式用推广的幂级数解法[6],设解为其中α=2.代入(19)得确定指标ρ的指标方程及解(20)的系数dk：由指标方程的根得3个解：然后将y1，y2，y3代入公式(14)得非齐次线性方程的解.变系数齐次线性方程的解一般都是级数，求解非齐次线性方程都要化为级数计算.【相关文献】[1]彭如海.高阶线性微分方程的直接积分[J].华东船舶工业学院学报,2003，17(3).[2]李长江.一类微分方程的积分形式特解的改进[J].高等数学研究,2008(1).[3]陈泽安.n阶非齐次线性常微分方程求特解新法[J].长沙水电师院学报:自然科学版,1996(2).[4]雷雪梅,雷明.线性微分方程的公式解法[J].辽宁大学学报：自然科学版,1995(3).[5]马巧云,刘同生,何众琦.具有极点型奇点的二阶线性方程与广义解[J].河南科学,2011(10).[6]何众琦.三阶线性常微分方程[J].河南科学,2013(5).[7]何众琦.指标方程有特殊根时三阶线性方程的解[J].平顶山学院学报,2013,28(5):18-20.。
用观察法解特殊方程
用观察法解特殊方程
闵孟斌
【期刊名称】《数学教学通讯：教师阅读》
【年(卷),期】1997(000)004
【摘要】所谓观察法就是通过观察发现方程的一个解,然后通过讨论分析,求出其它的解.请看下面三例.例1 解方程 x~x~x=1解:显然 x=1是其解当x>1时 x~2为增函数 x~x~x 也为增函数故 x~x~x>1,当0<x<1时(幂指函数定义域为正实数集),x~x 及x~x~x 为减函数,故x~x~x<1,所以 x=1为原方程的唯一解.例2 解方程3~x-2~x=19
【总页数】1页(P15-15)
【作者】闵孟斌
【作者单位】江苏宿迁师范学校 223800
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一类特殊三阶拟线性微分方程特殊非振动解的结构 [J], 杜娟
2.指标方程有特殊根时三阶线性方程的解 [J], 何众琦
3.变系数Helmholtz方程在特殊传输问题中解的唯一性证明 [J], 小巴桑次仁;赵蕾;陈佳莉
4.一些特殊不定方程的整数解 [J], 高志贤;杨标桂
5.特殊坐标系中特殊非牛顿流边界层方程的相似解 [J], M．禹儒索一;吴承平;张禄坤
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设 它 的根为 Ｐ ， Ｐ ： ， ｐ ， ．
（ １ ）
ｐ ［ （ ｐ 一１ ） （ ｐ ａ一２＋口 ０ ）＋６ ０ ］＋ ｃ ０＝０
１ ） 如果 Ｐ 。 一Ｐ ＝ｍ （ 固定 的非负整数 ） ， Ｐ 一 Ｐ ：≠ 整数． 因为 （ １ ）的级数解 的系数 的分母包含 因
１ ） 如果指标方程 （ ４ ） 有二重根 ， ０ ｃ ｍ ≠ｏ ｔ ｍ ：＝ｏ ｔ ｍ 。 ，由 ｍ 可得一个解 ． 然后用降阶法得二阶线性 方程 ， 再应用［ ５ ］ 求解．
２ ） 如 果 指标方 程 （ ４ ）有 三重 根 ｍ ． 这时， 为 了求 解 ， 在方 程 （ ３ ）中作 变量 变换 ＝ｕ ｅ ｘ ｐ （ 眦 方程（ ３ ）成 为
第５ 期
何众琦 ： 指标方程有特殊根 时三阶线性方程 的解
・ １ ９・
ｚ ＿ 。 ｔ 一 ｍ ［ 一 （ 口 ｍ ） ＋ ｍ ０ 一 一 ６ 一 ］ ｚ ｑ 一∑ ［ （ ｍ ） ＋ 一 ｍ ＋ 。 ］ ＋∑ｃ ｝
（ 文献［ １ ］中改写的 的 系 数 少写 因子ｚ ～ ． 另外， 在 （ ｐ＋ ｜ ｉ ｝ ） 的表达式中“ 一 ｃ ｊ ” 应该是“ ＋ ” ． 顺便在
（ ０ ［ ， ｎ ） （ ｏ ｏ一３ ａ一３ ）＋（ ＋Ｉ ） ０ ｃ ｍ 口 一 ｌ—ａ ｍｂ 一 １＋ｃ 一 ２ ， （ ｍ） ２ 口 ｌ＋ ｍ（ ＋１ ） （ 口 ０—０ ［ 一２ ）一ａ ｍｂ ｏ＋ｃ 一 １ ， （ ｍ） ＋ ２＋（ ＋１ ） ｍ ＋ ｌ一仅 ｍ ＋ １ ＋勺 （ ＿ ，＝０ ， １ ， ２ …）
可 以求解． 笔者解决 了这 些问题 ， 与文献 ［ １ ］ 一起构成 了三阶线性 方程 的完整解法．
关 键 词： 三阶线性方程 ； 指标 方程 ； 重根 ； 降阶法； 极点 ； 变量变换
中图分类号 ： ０１ ７ 编 号 ： １ ６ ７ ３—１ ６ ７ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ １ ８— ０ ３
二阶线性方程 ， 应用 ［ ４ ］ 求解． ２ ． 任意有三阶及低阶极点 的三阶线性方程
＋∑ 一 ” ＋∑ Ｉ ２ Ｗ ＋∑ ～ ＝ ０
Ｊ 一１ ＝ 一２ Ｊ 一 ３
（ ３ ）
（ ４ ）
应用文献 ［ １ ］中定理 ２ 求解 ， 先 由指标方程
何 众 琦
（ 平顶 山学院 数学与信 息科学学院， 河南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ９ ９ ）
摘 要： 用幂级数 解法或合成解法解有正则奇点的三阶线性方程 ， 它的指 标方程 的根之 差为整数 （ 包括
重根 ） 时， 不能求全部解． 但已 知 一个或两个解后 ， 用降阶法可求所缺 的解． 用合成解 法求解有极点 的三阶线性 方 程， 当指标 方程 有二 重根 时 ， 由非重根得一 个解． 然后利用 降阶法求所缺 的解 ； 指 标方程 有三 重根 时作 变量 变换
第２ ８ 卷第 ５期 ２ ０ １ ３年 ｌ ０月
平顶 山学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｉ ｎ ｇ ｄ ｉ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ０ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ５ ０ｃ ｔ ． ２ ０ １ ３
指 标 方 程有 特 殊 根 时 三 阶线 性 方 程 的解
＋∑ ＿ 。 ” ＋ （ Ｉ ２ ＋∑
＝
） ＋ （ 彳 Ｉ ２ ＋
－ ３ ＋∑ Ｉ ３ ） ＝ ０
（ ５ ）
其中 ＝３ ａ ｍ（ ＋１ ）一 ２ ａ ｅ ｒ ａ ｏ＋ｂ 一 １ ， ｂ ＝６ ｆ 一 ２ ０ ｃ ｍ 口 『 ＋ １ （ ＿ ， ＝０ ， １ ， ２ …）
一
ｔ ｏ ｍ［ 一（ ｏ Ｌ ｍ ） 。 ＋Ｏ ｔ ｍ Ｃ ｔ 一 １ 一ｂ 一 ２ ］：ｃ 一 ３
确定指标 ｍ， 再将（ ３ ）中 的系数写成
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３— ０ ８—０ ８
作者简介 ： 何众琦 （ １ ９ ３ ９ 一
） ， 男， 湖南省新邵县人 ， 平顶 山学 院数学与信息科学学院副教授
当 ｋ＝ｍ为 ０ ． 所以由Ｐ ， 不能得解． 将Ｐ 。 代Ａ（ ２ ） ， 得（ ＋ｍ ｔ ｏ ） （ Ｐ ｌ — Ｐ ２ ｔ＋ ｏ ） ．
无论 ｋ 取什么正整数都不为 ０ ． 由Ｐ 可得一个解． 由Ｐ ： 也可得一个解． 然后 ， 由这两个解用降阶法 － 。
可得第 ３ 个线性无关解． ２ ）设Ｐ 一 Ｐ ：＝ｚ （ 非负整数 ） ， Ｐ 。 一 Ｐ ＝ｍ （ 非负整数） ． 只能由Ｐ 。 得一个解． 用降阶法将方程（ １ ） 降为
这里 给 予更 正． ）由第 ２个指 标 方程
ｃ ２＝一［ （ ａ ｍ） ２ （ ３ ｐ 一３ ａ一３ ）一 ｍ ｎ 一 １ （ ２ ｐ 一０ ｃ 一１ ）＋ｂ ＿ ２ ｐ ｃ ￣ ］ 确定指标 ｐ ， 由文献 ［ １ ］ 定理 ２ 得广义解． 但指标方程（ ４ ） 有二重根或三重根时 ， 由重根不能得解．
式
ｐ ｔ（ ｏ ｐ ｔ一１ ｏ ）＋（ ２ ｐ ｔ一１＋尼 ｏ ） （ ｐ ｔ 一２＋口 ｏ ｏ＋ｋ － ）＋ｂ ０
（ ２ ）
将Ｐ 代入 （ ２ ） ，
Ｐ ３ ｔ Ｏ （ ｐ ３ ｔ 一１ Ｏ ）＋（ ２ ｐ ３ ｔ 一１＋ｋ Ｏ ａ ） （ Ｐ ３ ｔ 一２＋ｔ Ｏ ｌ ， ０＋ ０ ＝ ）＋ｂ ｏ＝ （ ｋ ｏ ｚ —ｍ ｏ ｔ ） （ Ｐ ３ —Ｐ ２ ｔ＋ Ｏ ）
文献［ １ ］ 指出有极点的三阶线性方程的指标方程有重根时求解需另行讨论． 笔者解决了这个问题．
１ 结论 及证 明
定理 １ 指标方程有特殊根时三阶线性方程用降阶法或作适 当变换可 以求解．
证明 １ ． 有正 则奇 点 的方程
＋∑ ～ ” ＋∑ｂ ｊ ｚ ／ ＝ － ２ Ｗ ＋∑ 一 Ｗ＝ ０ ｊ ＝ Ｏ ＝ １ ＝ Ｏ