中考数学真题分类解析汇编 39操作探究
中考数学专题复习——操作探究(详细答案)
中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。
2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系 的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关 系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25， 故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。
中考数学复习指导：中考试题中三角板问题的归类探析
中考试题中三角板问题的归类探析三角板的拼摆、叠放、平移、旋转，能使图形千变万化，运动着的三角板中蕴含着深厚的数学知识，这成为中考数学的一道亮丽风景，三角板问题操作性强，能较好地考查学生各种综合运用能力，同时也充分体现了新课标“动手实践和探究创新”的能力要求．下面就近几年中考数学中涉及到的三角板问题进行归纳整理和分类，并作简要赏析，以供参考．一、三角板的拼摆1．求拼出的图形中角的度数例1 一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图1中方式叠放，则∠α等于( )．(A)30°(B)45° (C)60° (D)75°简析在解答例1时，关键就是看考生是否能注意图形中隐含了相对两边的平行性，并利用这个平行性，将要求解的目标角进行集中，且与三角板角联系起来．如果考生抓住了这个隐含条件，就能顺利解答．2．求拼出的图形中的线段的长度例2 一副直角三角板如图2放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．简析在解答本题时，关键是要用好“平行线间距离处处相等”，再抓住三角板中边角关系即可．3．求拼出的图形的面积例3 将一副三角尺如图3所示叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是_______cm2．简析解答本题的关键是利用已知的两个三角板的特殊角，以此求出阴影部分三角形的边长，从而获解．4．判断拼出的图形形状及数量与位置关系例4 如图4，将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_________．例5 如图5，在Rt △ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．简析在本例中，三角板AED为我们提供了EA＝ED，∠EAD＝∠EDA＝45°，∠AED ＝90°，结合已知条件“在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点”，可以得到△EAB≌△EDC．因此有BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，从而∠BEC＝90°，所以BE＝EC，且BE⊥EC．二、三角板的平移、旋转以“三角板”的平移、旋转为背景的操作探究题，立意新颖、构思巧妙，为学生提供了实践操作的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力，逐渐成为中考命题的一个新的热点．例6 如图6，三角板ABC的斜边AB＝12cm，∠A＝30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转900至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A'B'C'平移的距离为( )．(A)6 cm (B)4 cm (C)(6－2) cm(D)(4－6)cm简析本题借助三角板的旋转与平移，综合考查考生利用三角板自身的角度与边长，求得平移的距离．例7 将一副三角板放置如图7那样，等腰直角三角板ACB的直角顶点A在直角三角板EDF的直角边DE上，点C,D,B,F在同一直线上，点D,B是CF的三等分点，CF＝6，∠F＝30°．(1)三角板ACB固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转至EF∥CB（如图8），试求DF旋转的度数；点A在EF上吗？为什么？(2)在图8的位置，将三角板EDF绕点D继续逆时针旋转15°，请问此时AC与DF有何位置关系？为什么？简析(1)EF∥CB时，旋转角∠FDB＝∠F＝30°．且线段AD与线段EF，CB均垂直，所以只要考虑两个直角三角形斜边上的高是否相等，即可判断点A与线段EF的位置关系，由题意易求两个直角三角形斜边上的高均为2．(2)由(1)知三角板EDF绕点D已经旋转了30°，再旋转15°后，总的旋转角就是45°了，从而∠FDB＝45°＝∠C，线段AC与DF的位置关系可得．三、在函数类试题应用例8 如图9，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（－1，0），点B在抛物线y＝ax2＋ax－2上．(1)点A的坐标为_______，点B的坐标为_______；(2)抛物线的关系式为_______；(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB'C'的位置，请判断点B'、C'是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．简析易求(1)(2)(3)答案：A(0，2)、B(－3，1)，关系式为y＝0.5x2＋0.5x－2．△DBC 的面积为1.875．第(4)问是一个开放性问题，必须借助旋转的性质及坐标特征、三角形全等来求得B'（1，－1），C'(2，1)在抛物线上．本例巧妙地将等腰直角三角板的旋转放置在平面直角坐标系中进行．先通过三角板的特殊角来计算点的坐标，求出抛物线的解析式，而后利用旋转的性质来确定旋转后的点的坐标．将旋转、全等三角形、平面直角坐标系及二次函数图象的相关知识有机的统一在一起，有效地考查了学生在运动变化过程中识别和处理复杂图形的能力．在中考试题中，三角板问题多以动态的形式展现，趣味性、操作性强，学生解答时必须动手动脑，创造性地去解答，这将有利于培养学生的实践能力和思维能力，充分体现生活、数学、活动、思考的数学新理念．。
中考数学专题四 操作探究型问题 (共55张PPT)
3．如图，在平面直角坐标系中，A(－ 8，－ 1)，B(－ 6，－ 9)， C( － 2，－ 9)， D(－ 4，－ 1)．先将四边 形 ABCD 沿 x 轴翻折，再向右平移 8 个 单位长度，向下平移 1 个单位长度后， 得到四边形 A1B1C1D1 ，最后将四边形 A1B1C1D1，绕着点 A1 旋转，使旋转后的 四边形对角线的交点落在 x 轴上，则旋 转后的四边形对角线的交点坐标为 ( A． (4， 0) C． (4， 0)或(－ 4， 0) ) 【导学号 32974411】 B． (5， 0) D． (5， 0)或 (－ 5， 0)
类型三：图形分割型动手操作题 图形分割型动手操作题就是按照要求把一个图形先分割成若 干块，再把它们拼接成一个符合条件的图形． 类型四：作图型动手操作题 作图型动手操作题就是通过平移、对称、旋转或位似等变换 作出已知图形的变换图形．
考点一
变换作图
例 1 (2017· 安徽 )如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组 成的网格中，给出了格点△ ABC 和 △ DEF(顶点为网格线的交点 ) 以及过格点的直线 l.
解：(1)如图所示，△ A′B′C′即为所求； (2)如图所示，△ D′E′F′即为所求；
(3)如图，连接 A′F′.
∵△ ABC≌△ A′B′C′， △ DEF≌△ D′E′F′， ∴∠ C＋∠ E＝∠ A′C′B′＋∠ D′E′F′＝∠ A′C′F′. ∵ A′C′＝ 1 ＋ 2 ＝ 5，A′F′＝ 1 ＋ 2 ＝ 5，C′F′＝ 1 ＋ 3 ＝ 10，∴ A′C′2＋ A′F′2＝ 5＋ 5＝ 10＝ C′F′2， ∴△ A′C′F′为等腰直角三角形， ∴∠ C＋∠ E＝∠ A′C′F′＝ 45° .
【答案】C
2． (2017· 呼和浩特 )图中序号(1)(2)(3)(4) 对应的四个三角形都 是 △ ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对 称得到的是 ( A )
2019-2020年中考数学试卷解析分类汇编：操作探究(可编辑修改word版)
2019-2020 年中考数学试卷解析分类汇编：操作探究1．（2014•四川南充，第 16 题，3 分）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A 落在BC 边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x 的取值范围是．分析：作出图形，根据矩形的对边相等可得BC=AD，CD=AB，当折痕经过点D 时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过点B 时，根据翻折的性质可得BA′=AB，此两种情况为BA′的最小值与最大值的情况，然后写出x 的取值范围即可．解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，AB=8，AD=17，∴BC=AD=17，CD=AB=8，①当折痕经过点D 时，由翻折的性质得，A′D=AD=17，在Rt△A′CD 中，A′C===15，∴BA′=BC﹣A′C=17﹣15=2；②当折痕经过点B 时，由翻折的性质得，BA′=AB=8，∴x 的取值范围是2≤x≤8．故答案为：2≤x≤8．点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出BA′的最小值与最大值时的情况，作出图形更形象直观．2.3.4.5.6.7.8.三、解答题1.（2014•浙江杭州，第 20 题，10 分）把一条 12 个单位长度的线段分成三条线段，其中一条线段成为 4 个单位长度，另两条线段长都是单位长度的整数倍．（1）不同分段得到的三条线段能组成多少个不全等的三角形？用直尺和圆规作这些三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求出（1）中所作三角形外接圆的周长．考点：作图—应用与设计作图．分析：（1）利用三角形三边关系进而得出符合题意的图形即可；（2）利用三角形外接圆作法，首先作出任意两边的垂直平分线，即可得出圆心位置，进而得出其外接圆．解答：解：（1）由题意得：三角形的三边长分别为：4，4，4；3，4，5；即不同分段得到的三条线段能组成 2 个不全等的三角形，如图所示：（2）如图所示：当三边的单位长度分别为 3，4，5，可知三角形为直角三角形，此时外接圆的半径为 2.5 当三边的单位长度分别为4，4，4．三角形为等边三角形，此时外接圆的半径为，∴当三条线段分别为 3，4，5 时其外接圆周长为：2π×2.5=5π；当三条线段分别为4，4，4 时其外接圆周长为：2π×= π．点评：此题主要考查了三角形外接圆的作法和三角形三边关系等知识，得出符合题意的三角形是解题关键．2.（2014•遵义 27．（14 分））如图，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点 C．若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标；（2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q 运动到 t 秒时，△APQ沿PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）将 A，B 点坐标代入函数 y=x2+bx+c 中，求得 b、c，进而可求解析式及 C 坐标．（2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆易得 E大致位置，设边长为 x，表示其他边后利用勾股定理易得 E 坐标．（3）注意到 P，Q 运动速度相同，则△APQ运动时都为等腰三角形，又由 A、D 对称，则 AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相等等性质可用 t 表示D 点坐标，又 D 在E 函数上，所以代入即可求 t，进而 D 可表示．解答：解：（1）∵二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0），∴，解得，∴y=x2﹣x﹣4．∴C（0，﹣4）．（2）存在．如图 1，过点 Q 作QD⊥OA 于 D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0）∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC==5，AQ=4．∵QD∥OC，∴，∴，∴QD=，AD=．①作 AQ 的垂直平分线，交 AO 于 E，此时 AE=EQ，即△AEQ 为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=AD﹣AE=﹣x，∴在Rt△EDQ中，（﹣x）2+（）2=x2，解得x=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．②以 Q 为圆心，AQ 长半径画圆，交 x 轴于 E，此时 QE=QA=4，∵ED=AD=，∴AE=，∴OA﹣AE=3﹣=﹣，∴E（﹣，0）．③当 AE=AQ=4 时，∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．综上所述，存在满足条件的点 E，点 E 的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）．（3）四边形APDQ 为菱形，D 点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：如图 2，D 点关于 PQ 与A 点对称，过点 Q 作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形 AQDP 为菱形，∵FQ∥OC，∴，∴，∴AF=，FQ=，∴Q（3﹣，﹣），∵DQ=AP=t，∴D（3﹣﹣t，﹣），∵D 在二次函数 y=x2﹣x﹣4 上，∴﹣=（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，∴t=，或t=0（与A 重合，舍去），∴D（﹣，﹣）．点评：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．3.（( 2014 年河南) 22.10 分）（1）问题发现如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A、D、E 在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB 的度数为60 ；（2）线段AD、BE 之间的数量关系是AD=BE 。
历年各地中考数学 操作探究试题与答案.docx
第40章操作探究一、选择题1.（2011广东广州市，8, 3分）如图1所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向回有对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开, 则打开后的展开图是（）【答案】D2.（2011安徽芜湖，9,4分）如图，从边长为（a+4） cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1） cm的正方形（a〉0）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）,则矩形的面积为（）.A. (2a2 +5cz)cm2B. (3<7 + 15)cm2C. (6a + 9)cm2D. (6a + 15)cm2二、填空题二、解答题1.（2011江西南昌，25, 10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下: 设ZBAC=0（0。
<0<90。
）.现把小棒依次摆放在两射线AB, AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点Ai开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2 为第1根小棒.数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：.（填“能”或“不能”）（2）设AAi=A I A2=A2A J= 1.①9=度；②若记小棒A2n.iA2n的长度为（〃为正整数，如活血=心拱泌4=心2,），求此时a2, a3的值,并直接写出a,,（用含n的式子表示）.图甲活动二：如图乙所示，从点A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中Ail为第1根小棒，且人仍2= AA”数学思考：（3） _____________________________________________________________________ 若已经向右摆放了3根小棒，则。
］=, 6*2=，。
3=_____________________________________ ；（用含。
的式子表示）（4）若只熊摆放4根小棒，求0的范围.【答案】解：（1）能(2)①22.5°②方法一：VAA1=A1A2=A2A3=1, A J A^XA^A J,:.AiA3=42 , AA3=1+V2 .又•.•A2A3_LA3A4, •••A1A2〃A3A4.同理：A3A4#A5A6, A ZA=ZAA2A I=ZAA4A3=ZAA6A5,.♦ AN疔N3A", AA.5=A.5Ag? ♦♦ a?= A3A4=AA3=1+A/^" ,a3=AA3+A3A5=a2+A3As. ♦AsAs= a^, .I a3=A5A6=AA5=a2+ V2 a2=( V2 +1)2.方法二：VAA I=A1A2=A2A3=1,A J A^XA^A J, .,.A1A3=V2 , AA3=1+V2 .XVA2A3±A3A4, /.A I A^^A J A^同理：A3A4#A5A6, AZA=ZAA2A I=ZAA4A3=ZAA6A5,.•.a2=A3A4=AA3=l + 41 ,又,/ZA2A3A4=ZA4A5A6=90O,ZA2A4A3=ZA4A6A5 ,Z\ A2 A3 A4 00 Z\ A4 A5 Ag,— = — , a3= =( V2 +1 )2.6^2 ^^3 1a n=(V2 +l)n-1.⑶ O x = 20, a = 30, 03 = 40)56><900(4)由题意得，•••15°<9W18°.2.(2011福建福州，21, 12分)已知，矩形ABCD中,AB = 4c〃z,BC = , AC的垂直平分线EF分别交A。
中考数学模拟试卷精选汇编：操作探究答案
图1图2操作探究一.选择题1．（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图1，⊙O 的半径为1，点O 到直线m 的距离为2，点P 是直线m 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是A ．1B ．3C ．2D ．5答案：B ；二.填空题1．（2015•山东滕州东沙河中学•二模）如图2，以点P （2，0）为圆心，3为半径作圆，点M （a ，b ）是⊙P 上的一点，则ab的最大值是____．答案：3；三.解答题1.（2015·江苏高邮·一模）（本题满分12分）数学课上，老师和同学们对矩形纸片进行了图形变换的以下探究活动：（1）如图1，若连接矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，则Rt △ADC 可由Rt △ABC经过旋转变换得到，这种旋转变换的旋转中心是点▲、旋转角度是▲°；（2）如图2，将矩形纸片ABCD 沿折痕EF 对折、展平．再沿折痕GC 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，这样能得到∠B ′GC ．求∠B ′GC 的度数．（3）如图3，取AD 边的中点P ，剪下△BPC ，将△BPC 沿着射线BC 的方向依次进行平移变换，每次均移动BC 的长度，得到了△CDE 、△EFG 和△GHI (如图4)．若BH ＝BI ，BC =a ，则：①证明以BD 、BF 、BH 为三边构成的新三角形的是直角三角形；②若这个新三角形面积小于5015，请求出a 的最大整数值．解：（1）点O 、180°……………………2分（2）连接BB'，由题意得EF 垂直平分BC ，故BB'＝B'C ，由翻折可得，AB CDO（图1）EF ADB CB ′G（图2）PBC （图3）B PCIE DG FHa （图4）ADB'C ＝BC ，∴△BB'C 为等边三角形．∴∠B'CB ＝60°，（或由三角函数FC ：B'C ＝1：2求出∠B'CB ＝60°也可以．）∴∠B'CG ＝30°，∴∠B'GC ＝60°……………………4分（3）①分别取CE 、EG 、GI 的中点P 、Q 、R ，连接DP 、FQ 、HR 、AD 、AF 、AH ，∵△ABC 中，BA ＝BC ，根据平移变换的性质，△CDE 、△EFG 和△GHI 都是等腰三角形，∴DM ⊥CE ，FQ ⊥EG ，HN ⊥GI ．在Rt △AHN 中，AH ＝AI ＝4a ，AH 2＝HN 2＋AN 2，HN 2＝154a 2，则DM 2＝FQ 2＝HN 2＝154a 2，AD 2＝AM 2＋DM 2＝6a 2，AF 2＝AQ 2＋FQ 2＝10a 2，新三角形三边长为4a 、6a 、10a ．∵AH 2＝AD 2＋AF 2∴新三角形为直角三角形．……………………4分（或通过转换得新三角形三边就是AD 、DI 、AI ，即求△GAI 的面积或利用△HAI 与△HGI 相似，求△HAI 的面积也可以）②其面积为126a 10a ＝15a 2．∵15a 2＜5015∴a 2＜50∴a 的最大整数值为7．……………………2分2．（2015·江苏江阴·3月月考）提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD ∥BC ），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．图1AB CD图2ABCD背景介绍：这条分割直线．．既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．尝试解决：ABCIEDGFHaMQN（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD ∥BC ，∠A =90°，AD <BC ，AB=4cm ，BC =6cm ，CD =5cm .请你找出梯形ABCD 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．答案：解：（1）作线段AD （或BC ）的中垂线即可.（2）小华不会成功．直线平分梯形ABCD 面积，则21(AE +BF )AB=21(ED +CF )AB ∴AE +BF =ED +CF ，又∵AB ＜CD ，∴此时AE +BF +AB ＜ED +CF +CD ∴小华不可能成功（3）可求得：S 梯形ABCD =18，C 梯形ABCD =18，由（2）可知直线分别交AD 、BC 于点E 、F 时不可能，只要分以下几种情况：①当直线分别交AD 、AB 于E 、F 时有S △AEF ≤S △ABD ，又∵S △ABD =6＜9，∴不可能同理，当直线分别交AD 、CD 于E 、F 时S △AEF ≤S △ACD ＜9,∴不可能②当直线分别交AB 、BC 于E 、F 时设BE =x ，则BF =9−x由直线平分梯形面积得：12x (9−x )=9求得：x 1=3，x 2=6＞4（舍去）∴BE =3③当直线分别交CD 、BC 于E 、F 时设CE =x ，可得：S △ECF =12×4x5×(9−x )=92x 2－18x +45=0此方程无解，∴不可能④当直线分别交AB 、CD 于、E 、F 时设CF =x ，可得：S BFEC =12×(3−x 5)(6−3x 5)+6x 225=9∴x1=0，与②同x2=5，BF=−2，舍去综上所述，符合条件的直线共有一条3．（2015·江苏江阴要塞片·一模）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P 上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧.（1）当r=①在P1（0，－3），P2（4，6），P3（2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是_______________；②若点P在直线2y x=-+上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方.①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．答案：解（1）10×1.5+（18﹣10）×2=31，········2分（2）①当x≤10时，y=1.5x，········3分②当10＜x≤m时，y=10×1.5+（x﹣10）×2=2x﹣5，········4分③当x＞m时，y=10×1.5+（m﹣10）×2+（x﹣m）×3=3x﹣m﹣5，········5分（3）①当40≤m≤50时，此时选择第二种方案，费用=2×40﹣5=75，符合题意，········6分②当20≤m＜40时，此时选择第三种方案，费用=3x﹣m﹣5，则：70≤3x﹣m﹣5≤90，········7分∴25≤m≤45，········9分综合①、②可得m的取值范围为：25≤m≤50．········10分4（2015·福建漳州·一模）动手操作：用两种不同的方法，将下图中一个等腰三角形分割成四个等腰三角形.解：答案：解：每画一个图正确得4分5（2015•山东滕州东沙河中学•二模）如图3，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，四边形AEDF为菱形．（1）求证：ΔABE≌ΔDCE；（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时，菱形AEDF为正方形?请说明理由答案：解：（1）略（2）AD=2AB．6.（2015•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图4-1，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，将正方形MNPQ绕点M顺时针旋转，在旋转过程中，射线MN与射线MQ分别交正方形ABCD的边于E、F两点。
中考数学真题分类解析汇编 39操作探究
操作探究一、选择题1.（2019•德州，第12题3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．∴四边形CFHE是菱形，故①正确；∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，即42+x2=（8﹣x）2，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8﹣3）﹣3=2，由勾股定理得，EF===2，故④正确；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选C．二.填空题三.解答题1. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥B C．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG==12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH=12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x=×20，∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH=12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．2. （2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．（1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．分析：（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC 的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C 的值．②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．解答：解：（1）设反比例函数的关系式y=．∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，∴k=2×1=2．∴反比例函数的关系式y=．（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．当x=0时，y=0+3=3，则点B的坐标为（0，3）．OB=3．当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，则点A的坐标为（3，0），OA=3．∵点A关于y轴的对称点为A′，∴OA′=OA=3．∵PC⊥y轴，点P（2，1），∴OC=1，PC=2．∴BC=2．∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，∴A′B=3，A′C=．∴△A′BC的周长为3++2．∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，∴BC•A′O=A′B•C D．∴2×3=3×C D．∴CD=．∵CD⊥A′B，∴sin∠BA′C===．∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．②当1＜m＜2时，作经过点B、C且半径为m的⊙E，连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，过点E作EG⊥OB，垂足为G，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．∵CP是⊙E的直径，∴∠PBC=90°．∴sin∠BPC===．∵sin∠BMC=，∴∠BMC=∠BP C．∴点M在⊙E上．∵点M在x轴上∴点M是⊙E与x轴的交点．∵EG⊥BC，∴BG=GC=1．∴OG=2．∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，∴四边形OGEH是矩形．∴EH=OG=2，EG=OH．∵1＜m＜2，∴EH＞E C．∴⊙E与x轴相离．∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．②当m=2时，EH=E C．∴⊙E与x轴相切．Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．∴点M与点H重合．∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，∴EG==．∴OM=OH=EG=．∴点M的坐标为（，0）．Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．③当m＞2时，EH＜E C．∴⊙E与x轴相交．Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，∴MH===．∵EH⊥MM′，∴MH=M′H．∴M′H═．∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，∴EG===．∴OH=EG=．∴OM=OH﹣MH=﹣，∴OM′=OH+HM′=+，∴M（﹣，0）、M′（+，0）．Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．3．（2014•浙江宁波，第25题12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．解：（1）如图2作图，（2）如图3 ①、②作△AB C．①当AD=AE时，∵2x+x=30+30，∴x=20．②当AD=DE时，∵30+30+2x+x=180，∴x=40．（3）如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE=AD=x，BD=CD=y，∵△AEC∽△BDC，∴x：y=2：3，∵△ACD∽△ABC，∴2x=（x+y）：2，所以联立得方程组，解得，即三分线长分别是和．第11页共11页。
各地中考数学解析版分类汇编(第2期)操作探究
操作探究一、 填空题1．（·山东省东营市·4分）如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝55cm ， 且tan∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长_____________cm ．【知识点】折叠（轴对称）——轴对称的性质、特殊平行四边形——矩形的性质、锐角三角函数——三角函数的求法、勾股定理【答案】36.【解析】∠∠AFE 和∠ADE 关于AE 对称，∠∠AFE ＝∠D ＝90°，AF ＝AD ，EF ＝DE .∠tan∠EFC ＝EC CF ＝34，∠可设EC ＝3x ，CF ＝4x ，那么EF ＝5x ， ∠DE ＝EF ＝5x .∠DC ＝DE ＋CE ＝3x ＋5x ＝8x .∠AB ＝DC ＝8x .∠∠EFC ＋∠AFB ＝90°, ∠BAF ＋∠AFB ＝90°,∠∠EFC ＝∠BAF .∠tan∠BAF ＝tan∠EFC ＝34，∠BF AB ＝34.∠AB ＝8x ,∠BF ＝6x .∠BC ＝BF ＋CF ＝10x .∠AD ＝10x .在Rt∠ADE 中，由勾股定理，得AD 2＋DE 2＝AE 2.∠(10x )2＋(5x )2＝(55)2.解得x ＝1. ∠AB ＝8x ＝8,AD ＝10x ＝10.∠矩形ABCD 的周长＝8×2＋10×2＝36.【点拨】折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对于线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解决问题.二、 解答题1.（·江西·6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：∠仅用无刻度直尺，∠保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．2.（·江西·10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，∠AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（∠AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°﹣\frac{180°}{n}（用含n的式子表示）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出∠APD∠∠AOD'，最后用旋转角计算即可；（2）先判断出Rt∠AEM∠Rt∠ABN，在判断出Rt∠APM∠Rt∠AON 即可；（3）先判断出∠AD′O∠∠ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；（4）先判断出∠APF∠∠AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出∠PAO是等边三角形；（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．【解答】解：（1）如图1，∠四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∠∠DAP=∠D'AO，∠∠APD∠∠AOD'（ASA）∠AP=AO，∠∠OAP=60°，∠∠AOP是等边三角形，（2）如图2，作AM∠DE于M，作AN∠CB于N．∠五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∠∠EAP=∠E'AO∠∠APE∠∠AOE'（ASA）∠∠OAE'=∠PAE．在Rt∠AEM和Rt∠ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，∠∠AE=AB ∠Rt∠AEM∠Rt∠ABN （AAS），∠∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt∠APM和Rt∠AON中，AP=AO，AM=AN∠Rt∠APM∠Rt∠AON （HL）．∠∠PAM=∠OAN，∠∠PAE=∠OAB∠∠OAE'=∠OAB （等量代换）．（3）由（1）有，∠APD∠∠AOD'，∠∠DAP=∠D′AO，在∠AD′O和∠ABO中，，∠∠AD′O∠∠ABO，∠∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∠∠DAB=90°，∠∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∠∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．（4）如图3，∠六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∠∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∠∠APF∠∠AE′F′，∠∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO∠∠PAO=∠FAO=60°，∠∠PAO是等边三角形．故答案为：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣故答案：60°﹣．3.（·湖北荆州·3分）请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．【分析】沿AB的中点E和BC的中点F剪开，然后拼接成平行四边形即可．【解答】解：如图所示．AE=BE，DE=EF，AD=CF．【点评】本题考查了图形的剪拼，操作性较强，灵活性较大，根据三角形的中位线定理想到从AB、BC的中点入手剪开是解题的关键．（·黑龙江龙东·8分）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O 为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由∠AOE∠∠COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明∠EOA∠∠GOC，∠OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∠AE∠PB，CF∠BP，∠∠AEO=∠CFO=90°，在∠AEO和∠CFO中，，∠∠AOE∠∠COF，∠OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∠AE∠BP，CF∠BP，∠AE∠CF，∠∠EAO=∠GCO，在∠EOA和∠GOC中，，∠∠EOA∠∠GOC，∠EO=GO，AE=CG，在RT∠EFG中，∠EO=OG，∠OE=OF=GO，∠∠OFE=30°，∠∠OFG=90°﹣30°=60°，∠∠OFG是等边三角形，∠OF=GF，∠OE=OF，∠OE=FG，∠CF=FG+CG，∠CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∠AE∠BP，CF∠BP，∠AE∠CF，∠∠AEO=∠G，在∠AOE和∠COG中，，∠∠AOE∠∠COG，∠OE=OG，AE=CG，在RT∠EFG中，∠OE=OG，∠OE=OF=OG，∠∠OFE=30°，∠∠OFG=90°﹣30°=60°，∠∠OFG是等边三角形，∠OF=FG，∠OE=OF，∠OE=FG，∠CF=FG﹣CG，∠CF=OE﹣AE．4．（·湖北黄石·12分）在∠ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：∠ADF∠∠ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DA E，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；（2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明∠ABD和∠ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明∠ABD和∠ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可．【解答】证明：（1）∠点D关于直线AE的对称点为F，∠∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∠∠BAC=2∠DAE，∠∠BAC=∠DAF，∠AB=AC，∠=，∠∠ADF∠∠ABC；（2）∠点D关于直线AE的对称点为F，∠EF=DE，AF=AD，∠α=45°，∠∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∠∠BAD=∠CAF，在∠ABD和∠ACF中，，∠∠ABD∠∠ACF（SAS），∠CF=BD，∠ACF=∠B，∠AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠B=∠ACB=45°，∠∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt∠CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；（3）DE2=BD2+CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，∠α=45°，∠∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∠∠BAD=∠CAF，在∠ABD和∠ACF中，，∠∠ABD∠∠ACF（SAS），∠CF=BD，∠ACF=∠B，∠AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠B=∠ACB=45°，∠∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt∠CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2．【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键．5. （2016·陕西）问题提出（1）如图∠，已知∠ABC，请画出∠ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图∠，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图∠，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作B关于AC 的对称点D，连接AD，CD，∠ACD即为所求；（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到结论；（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出∠AEF∠∠BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作∠EFG关于EG的对称∠EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作∠O，则∠EHG=45°的点在∠O上，连接FO，并延长交∠O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，∠ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∠AF′=6，AE′=8，∠E′F′=10，EF=2，∠四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∠在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：∠EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∠∠1=∠2，在∠AEF与∠BGF中，，∠∠AEF∠∠BGF，∠AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∠x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∠AF=BG=1，BF=AE=2，∠DE=4，CG=5，连接EG，作∠EFG关于EG的对称∠EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作∠O，则∠EHG=45°的点在∠O上，连接FO，并延长交∠O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∠C在线段EG的垂直平分线设，∠点F，O，H′，C在一条直线上，∠EG=，∠OF=EG=，∠CF=2，∠OC=，∠OH′=OE=FG=，∠OH′＜OC，∠点H′在矩形ABCD的内部，∠可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，这个部件的面积=EG•FH′=××（+）=5+，∠当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2．6.（2016·浙江省湖州市）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD （∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：∠∠BCE∠∠ACF，∠AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH∠AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t=．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）∠先证明∠ABC，∠ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．∠根据∠的结论得到BE=AF，由此即可证明．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，由∠ACE∠∠HCF，得=由此即可证明．（3）如图3中，作CN∠AD于N，CM∠BA于M，CM与AD交于点H．先证明∠CFN∠∠CEM，得=，由AB•CM=AD•CN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以= =，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问题．【解答】解；（1）∠∠四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，∠∠D=∠B=60°，∠AD=AB，∠∠ABC，∠ACD都是等边三角形，∠∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∠∠ECF=60°，∠∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∠∠BCE=∠ACF，在∠BCE和∠ACF中，∠∠BCE∠∠ACF．∠∠∠BCE∠∠ACF，∠BE=AF，∠AE+AF=AE+BE=AB=AC．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，∠AD=2AB=4x，∠AH=AD﹣DH=3x，∠CH∠AD，∠AC==2x，∠AC2+CD2=AD2，∠∠ACD=90°，∠∠BAC=∠ACD=90°，∠∠CAD=30°，∠∠ACH=60°，∠∠ECF=60°，∠∠HCF=∠ACE，∠∠ACE∠∠HCF，∠==2，∠AE=2FH．（3）如图3中，作CN∠AD于N，CM∠BA于M，CM与AD交于点H．∠∠ECF+∠EAF=180°，∠∠AEC+∠AFC=180°，∠∠AFC+∠CFN=180°，∠∠CFN=∠AEC，∠∠M=∠CNF=90°，∠∠CFN∠∠CEM，∠=，∠AB•CM=AD•CN，AD=3AB，∠CM=3CN，∠==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，∠∠MAH=60°，∠M=90°，∠∠AHM=∠CHN=30°，∠HC=2a，HM=a，HN=a，∠AM=a，AH=a，∠AC==a，AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a，∠==．故答案为．。
中考数学专题复习试卷分类汇编(解析版)：操作探究专题
操作探究一、填空题1．（2016·山东省东营市·4分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝55cm，且tan∠EFC＝34，那么矩形ABCD的周长_____________cm．【知识点】折叠（轴对称）——轴对称的性质、特殊平行四边形——矩形的性质、锐角三角函数——三角函数的求法、勾股定理【答案】36.【解析】∵△AFE和△ADE关于AE对称，∴∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD，EF＝DE.∵tan∠EFC＝ECCF＝34，∴可设EC＝3x，CF＝4x，那么EF＝5x，∴DE＝EF＝5x.∴DC＝DE＋CE＝3x＋5x＝8x.∴AB＝DC＝8x. ∵∠EFC＋∠AFB＝90°, ∠BAF＋∠AFB＝90°,∴∠EFC＝∠BAF.∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝34，∴BFAB＝34.∴AB＝8x,∴BF＝6x.∴BC＝BF＋CF＝10x.∴AD＝10x.在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2.∴(10x)2＋(5x)2＝(55)2.解得x＝1. ∴AB＝8x＝8,AD＝10x＝10.∴矩形ABCD的周长＝8×2＋10×2＝36.【点拨】折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对于线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解决问题.二、解答题1. （2016·江西·6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．【考点】作图—应用与设计作图．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．2. （2016·江西·10分）如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为“叠弦角”，△AOP为“叠弦三角形”．【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE′．【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15°，24°；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为60°﹣\frac{180°}{n} （用含n的式子表示）【考点】几何变换综合题．【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出△APD≌△AOD'，最后用旋转角计算即可；（2）先判断出Rt△AEM≌Rt△ABN，在判断出Rt△APM≌Rt△AON即可；（3）先判断出△AD′O≌△ABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；（4）先判断出△APF≌△AE′F′，再用旋转角为60°，从而得出△PAO是等边三角形；（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数．【解答】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°，∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA）∴AP=AO，∵∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形，（2）如图2，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．∵五ABCDE是正五边形，由旋转知：AE=AE'，∠E=∠E'=108°，∠EAE'=∠OAP=60°∴∠EAP=∠E'AO∴△APE≌△AOE'（ASA）∴∠OAE'=∠PAE．在Rt△AEM和Rt△ABN中，∠AEM=∠ABN=72°，AA AE=AB ∴Rt△AEM≌Rt△ABN（AAS），∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．在Rt△APM和Rt△AON中，AP=AO，AM=AN∴Rt△APM≌Rt△AON（HL）．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB（等量代换）．（3）由（1）有，△APD≌△AOD'，∴∠DAP=∠D′AO，在△AD′O和△ABO中，，∴△AD′O≌△ABO，∴∠D′AO=∠BAO，由旋转得，∠DAD′=60°，∵∠DAB=90°，∴∠D′AB=∠DAB﹣∠DAD′=30°，∴∠D′AD=∠D′AB=15°，同理可得，∠E′AO=24°，故答案为：15°，24°．（4）如图3，∵六边形ABCDEF和六边形A′B′C′E′F′是正六边形，∴∠F=F′=120°，由旋转得，AF=AF′，EF=E′F′，∴△APF≌△AE′F′，∴∠PAF=∠E′AF′，由旋转得，∠FAF′=60°，AP=AO∴∠PAO=∠FAO=60°，∴△PAO是等边三角形．故答案为：是（5）同（3）的方法得，∠OAB=[（n﹣2）×180°÷n﹣60°]÷2=60°﹣故答案：60°﹣．3. （2016·湖北荆州·3分）请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．【分析】沿AB的中点E和BC的中点F剪开，然后拼接成平行四边形即可．【解答】解：如图所示．AE=BE，DE=EF，AD=CF．【点评】本题考查了图形的剪拼，操作性较强，灵活性较大，根据三角形的中位线定理想到从AB、BC的中点入手剪开是解题的关键．（2016·黑龙江龙东·8分）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG 是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．4．（2016·湖北黄石·12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ADF∽△ABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由．【分析】（1）根据轴对称的性质可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；（2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可；（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理证明即可．【解答】证明：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，∵AB=AC，∴=，∴△ADF∽△ABC；（2）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；（3）DE2=BD2+CE2还能成立．理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2．【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键．5. （2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作B关于AC的对称点D，连接AD，CD，△ACD即为所求；（2）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到AF′=6，AE′=8，求出E′F′=10，EF=2即可得到结论；（3）根据余角的性质得到1=∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x根据勾股定理列方程得到AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG 关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，△ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF与△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG的垂直平分线设，∴点F，O，H′，C在一条直线上，∵EG=，∴OF=EG=，∵CF=2，∴OC=，∵OH′=OE=FG=，∴OH′＜OC，∴点H′在矩形ABCD的内部，∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，这个部件的面积=EG•FH′=××（+）=5+，∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2．6. （2016·浙江省湖州市）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．（1）初步尝试如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；（2）类比发现如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；（3）深入探究如图3，若AD=3AB，探究得：的值为常数t，则t= ．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，由△ACE∽△HCF，得=由此即可证明．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得=，由AB•CM=AD•CN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，想办法求出AC，AE+3AF即可解决问题．【解答】解；（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，∴∠D=∠B=60°，∵AD=AB，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，∵∠ECF=60°，∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，∴∠BCE=∠ACF，在△BCE和△ACF中，②∵△BCE≌△ACF，∴BE=AF，∴AE+AF=AE+BE=AB=A C．（2）设DH=x，由由题意，CD=2x，CH=x，∴AD=2AB=4x，∴AH=AD﹣DH=3x，∵CH⊥AD，∴AC==2x，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°，∴∠BAC=∠ACD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACH=60°，∵∠ECF=60°，∴∠HCF=∠ACE，∴△ACE∽△HCF，∴==2，∴AE=2FH．（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF=180°，∴∠AEC+∠AFC=180°，∵∠AFC+∠CFN=180°，∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，∴=，∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB，∴CM=3CN，∴==，设CN=a，FN=b，则CM=3a，EM=3b，∵∠MAH=60°，∠M=90°，∴∠AHM=∠CHN=30°，∴HC=2a，HM=a，HN=a，∴AM=a，AH=a，∴AC==a，AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a，∴==．故答案为．。
2013年中考数学第39课时操作探究题
图 39－9
第39讲┃ 操作探究题
解：(1)中线所在的直线 (2)法一：连接 BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形 ABEC 为平行 四边形．∴BE∥AC，∴△ABC 和△AEC.∴S 梯形 ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED. 法二：设 AE 与 BC 相交于点 F.∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF， ∠BAF＝∠CEF.又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF.∴S 梯形 ABCD＝S 四边
3 即 y 关于 x 的函数关系式是 y＝ x＋ 3. 2
第39讲┃ 操作探究题
类型三
图形分割操作题
分割问题通常是先给出一个图形(这个图形可能是规则的，
也有可能不规则)，然后让你用直线、线段等把该图形分割成面 积相同戒形状相同的几部分． 解决这类问题的时候可以借助对称 的性质、面积公式等进行分割．
∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠ACF.
∠AOE＝∠COF， 在△AOE 和△COF 中，AO＝CO， ∠EAO＝∠ACF，
15 ∴△AOE≌△COF.所以 OE＝OF，所以 EF＝2OE＝ . 4
第39讲┃ 操作探究题
4． 现有一张长和宽之比为 2∶1 的长方形纸片， 将它折两次(第 一次折后也可打开铺平再折第二次)，使得折痕将纸片分为面积相 等且不重叠的四个部分(称为一个操作)．如图 39－4(虚线表示折 痕)．除图 39－4 外，请你再给出三个不同的操作，规定：一个操 作得到的四个图形， 和另一个操作得到的四个图形， 如果能够“配 对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作(如图 39－4 所给出的看作是相同的操作)．
①
② 图 39－6
③
第39讲┃ 操作探究题
解：(1)如图①，点 P 为所求．理由：正方形对角线互相垂直． (2)如图②，圆上实线部分弧 EF 为所求 P 点．在同一圆中，等弦 对等角．若∠APB＝60° ，则 EF 上所有点均符合条件． (3)如图③，点 P、P′为所求．
四川省2020年九年级数学中考复习专题 操作探究型+最值问题(含答案)
操作探究型+最值问题1.如图,将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC .若点A ,D ,E 在同一条直线上,∠ACB ＝20°,则∠ADC 的度数是 ( )A .55°B .60°C .65°D .70°答案：C2.如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,把边BC 绕点B 逆时针旋转60°,得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则△MNC 的面积为 ( )A .212a B . 212a C . 214a D . 214a答案：C3.如图,Rt △ABC 中,∠B ＝90°,AB ＝3 cm ,AC ＝5 cm ,将△ABC 折叠,使点C 与A 重合,得折痕DE ,则△ABE 的周长等于 cm .答案：74.如图,把等边三角形ABC 沿着DE 折叠,使点A 恰好落在BC 边上的点P 处,且DP ⊥BC ,若BP ＝4 cm , 则EC ＝ cm .答案：2＋2√3 [解析] 根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD ＝8,再由勾股定理求得DP ＝4√3.根据折叠的性质可以得到∠DPE ＝∠A ＝60°,DP ＝DA ＝4√3,易得∠EPC ＝30°,∠PEC ＝90°,所以EC ＝12PC ＝12(8＋4√3－4)＝2＋2√3.5.如图,P 是等边三角形ABC 内一点,将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ,连接BQ .若PA ＝6,PB ＝8,PC ＝10,则四边形APBQ 的面积为 .答案：24＋9√3 [解析] 连接PQ ,如图,∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC ＝60°,AB ＝A C .∵线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ , ∴AP ＝AQ ＝6,∠PAQ ＝60°,∴△APQ 为等边三角形,∴PQ ＝AP ＝6.∵∠CAP ＋∠BAP ＝60°,∠BAP ＋∠BAQ ＝60°, ∴∠CAP ＝∠BAQ . ∴△APC ≌△AQB ,∴PC ＝QB ＝10,[来源:学|科|网]在△BPQ 中,∵PB 2＝82＝64,PQ 2＝62＝36,BQ 2＝102＝100,而64＋36＝100,∴PB 2＋PQ 2＝BQ 2, ∴△PBQ 为直角三角形,∠BPQ ＝90°,∴S 四边形APBQ ＝S △BPQ ＋S △APQ ＝12×6×8＋√34×62＝24＋9√3.6.如图,折叠矩形纸片ABCD 时,发现可以进行如下操作:①把△ADE 翻折,点A 落在DC 边上的点F 处,折痕为DE ,点E 在AB 边上;②把纸片展开并铺平;③把△CDG 翻折,点C 落在线段AE 上的点H 处,折痕为DG ,点G 在BC 边上.若AB ＝AD ＋2,EH ＝1,则AD ＝ .答案：.3＋2√37.如图,在边长为1的正方形ABCD 中,动点E ,F 分别在边AB ,CD 上,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ,D 重合),点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P ,设BE ＝x . (1)当AM ＝13时,求x 的值. (2)随着点M 在边A D 上位置的变化,△PDM 的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.(3)设四边形BEFC 的面积为S ,求S 与x 之间的函数表达式,并求出S 的最小值.解: (1)由折叠可知ME ＝BE ＝x ,∴AE ＝1－x . 在Rt △AEM 中,由AM ＝13, 得（13）2＋(1－x )2＝x 2.解得x ＝59. (2)不发生变化.如图,连接BM ,BP ,过点B 作BH ⊥MN ,垂足为H .∵EB ＝EM ,∴∠EBM ＝∠EM B .∵∠EBC ＝∠EMN ,∴∠MBC ＝∠BMN .∵AD ∥BC ,∴∠AMB ＝∠MBC ,∴∠AMB ＝∠BMN , 又∵∠A ＝∠MHB ,BM ＝BM ,∴△BAM ≌△BHM . ∴AM ＝HM ,BH ＝A B .∵BC ＝AB ,∴BH ＝B C . 又∵BP ＝BP ,∴Rt △BHP ≌Rt △BCP .∴HP ＝P C .∴△MDP 的周长＝MD ＋DP ＋MP ＝MD ＋DP ＋MH ＋HP ＝MD ＋AM ＋DP ＋PC ＝AD ＋DC ＝2. ∴△MDP 的周长为定值,周长为2.(3)如图,连接BM ,过点F 作FQ ⊥AB ,垂足为Q .则QF ＝BC ＝A B . ∵∠BEF ＋∠EBM ＝90°,∠AMB ＋∠EBM ＝90°, ∴∠BEF ＝∠AM B .又∵∠A ＝∠EQF ＝90°,∴△AMB ≌△QEF .∴AM ＝EQ .设AM ＝a ,则a 2＋(1－x )2＝x 2. ∴a ＝√2x －1.∴CF ＝QB ＝x －√2x －1.∴S ＝12(CF ＋BE )×1 ＝12(x －√2x －1＋x ) ＝12(2x －√2x －1).设√2x －1＝t ,则2x ＝t 2＋1.∴S ＝12(t 2＋1－t )＝12t －122＋38.∴当t ＝12,即x ＝58时,S 的最小值为38.8.如图,一副直角三角板满足AB ＝BC ,AC ＝DE ,∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°.【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上,再将三角板DEF 绕点E 旋转,并使边DE 与边AB 交于点P ,边EF 与边BC 交于点Q . 【探究一】在旋转过程中,(1)如图②,当CEAE ＝1时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系?并给出证明. (2)如图③,当CEAE＝2时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系?并说明理由.(3)根据你对(1),(2)的探究结果,试写出当CE AECEEA ＝m 时,EP 与EQ 满足的数量关系式为 ,其中m的取值范围是 (直接写出结论,不必证明). 【探究二】若CEAE＝2且AC ＝30 cm ,连接PQ ,设△EPQ 的面积为S (cm 2),在旋转过程中: (1)S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值;若不存在,说明理由. (2)随着S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化?求出相应S 的值或取值范围.答案:探究一:(1)EP ＝EQ .证明如下:连接BE ,根据E 是AC 的中点和等腰直角三角形的性质,得BE ＝CE ,∠PBE ＝∠C ,又∠BEP ＝∠CEQ , 则△BEP ≌△CEQ ,∴EP ＝EQ .(2)EQ＝2EP.如图,作EM⊥AB于M,EN⊥BC于N, 则∠EMP＝∠ENC,∵∠MEP＋∠PEN＝∠PEN＋∠NEF＝90°,∴∠MEP＝∠NEF,∴△MEP∽△NEQ,∴EP∶EQ＝EM∶EN＝AE∶CE＝1∶2.∴EQ＝2EP.(3)过E点作EM⊥AB于点M,作EN⊥BC于点N, ∵在四边形PEQB中,∠B＝∠PEQ＝90°,∴∠EPB＋∠EQB＝180°,又∵∠EPB＋∠MPE＝180°,∴∠MPE＝∠EQN,∴Rt△MEP∽Rt△NEQ,∴EPEQ ＝MEEN,∵CEEA＝m＝ENME,∴EPEQ＝1m,∴EP与EQ满足的数量关系式为EP∶EQ＝1∶m,∴0＜m≤2＋√6(当m＞2＋√6时,EF与BC不会相交).探究二:若AC＝30 cm,(1)设EQ＝x cm,则S＝14x2,所以当x＝10√2cm时,面积最小,是50 cm2;当x＝10√3cm时,面积最大,是75 cm2.(2)当x＝EB＝5√10cm时,S＝62.5 cm2,故当50＜S≤62.5时,这样的三角形有2个;当S＝50或62.5＜S≤75时,这样的三角形有一个.9．如图，∠MON＝90°，点B在射线ON上且OB＝2，点A在射线OM上，以AB为边在∠MON内部作正方形ABCD，其对角线AC、BD交于点P．在点A从O点出发，沿射线OM的运动过程中，下列说法正确的是（）A．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最小值等于2B．点P始终在∠MON的平分线上，且线段OP的长有最大值等于2C．点P不一定在∠MON的平分线上，但线段OP的长有最小值等于2D．点P运动路径无法确定解：作PE⊥ON、PF⊥OM垂足分别为E、F，∠PEB＝∠PFA＝90°，∵ABCD是正方形，∴PA＝PB，∵∠BOA＝∠BAC＝90°，∴∠DAM＝∠OBA，∠POD＝∠PBA＝45°，∴∠DMA＋∠POD＝∠PBA＋∠OBA，即∠PBE＝∠PAF，∴△PBE≌△PAF，∴PE＝PF，即P在∠MON的平分线上，当点A在点O时，OP最小，此时，OP是正方形ABCD的对角线的一半，而此时，正方形的边长为2，OP＝22OB＝2，10.如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________答案：取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F，连结OC、OP、OM、OE、OF、EF，如图，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝AB＝4，∴OC＝12AB＝2，OP＝12AB＝2，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为正方形，EF＝OC＝2，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长＝12•2π•1＝π．11.如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD 为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．答案：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′＝12BD＝2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE＝30°，DE BE＝，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠EDP＋∠HDF＝90°∵∠HDF＋∠DFH＝90°，∴∠EDP＝∠DFH，∴△DPE≌△FDH，∴FH＝DE＝∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1＝30°＋60°＝90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ＝AE＝10﹣2＝8，∴F1F2＝DQ＝8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．12.如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是________。
中考数学(苏科版全国通用)九级复习课件：第39课时操作探究型问题(共16张PPT)精品
2019
最新中小学课件
2
第39课时┃ 操作探究型问题
考向互动探究
探究一 折叠剪拼操作探究型问题
例 1 [2014· 临沂] 对一张矩形纸片 ABCD 进行折叠，具体操 作如下： 第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开； 第二步：再一次折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折 痕经过点 B，得到折痕 BE，同时，得到线段 BA′，EA′，展开， 如图 39－1①； 第三步：再沿 EA′所在的直线折叠，使 点 B 落在 AD 上的点 B′处，得到折痕 EF，同时得到线段 B′F，展开，如图②. 图39－1 (1)证明：∠ABE＝30°； (2)证明：四边形 BFB′E 为菱形．
2019
图 39－2
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第39课时┃ 操作探究型问题
【例题分层分析】
(1) 如何利用一条直线把一个圆分成两个面积相等的部 分？利用两条直线如何把一个圆分成四个面积相等的部分 呢？利用了圆的什么性质？ (2) 利用两条直线如何把一个正方形分成四个面积相等的 部分呢？利用了正方形的什么性质？如果正方形内有一点 M， 要求其中一条直线必须过点 M，如何分割呢？ (3)把正方形改为菱形呢？
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第39课时┃ 操作探究型问题
【解题方法点析】
解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对 应角、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平 分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明．
2019
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5
第39课时┃ 操作探究型问题
证明：(1)∵对折 AD 与 BC 重合，折痕是 MN， ∴M 是 AB 的中点，∴A′是 EF 的中点． ∵∠BA′E＝∠A＝90°，∴BA′垂直平分 EF， ∴BE＝BF，∴∠A′BE＝∠A′BF. 由翻折的性质，得∠ABE＝∠A′BE， ∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF， 1 ∴∠ABE＝ ×90°＝30°. 3 (2)∵沿 EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处， ∴BE＝B′E，BF＝B′F. ∵BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF， ∴四边形 BFB′E 为菱形．
中考数学试卷分类汇编操作探究含解析试题
操作探究本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一.选择题1．〔2021•临安•3 分.〕z 如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点分别是AB.BC的中点，假设沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅〞，那么图中阴影局部的面积是〔〕A．2 B．4 C．8 D．10【分析】此题考察空间想象才能．【解答】解：阴影局部由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影局部的两局部可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影局部的面积是16÷4=4．应选：B．【点评】解决此题的关键是得到阴影局部的组成与原正方形面积之间的关系%@z#step~.co&2. 〔2021••3分〕将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是〔〕A. 〔A〕B. 〔B〕C. 〔C〕D. 〔D〕【答案】A【解析】【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.应选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如此题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. 〔2021•广西•3分〕如图，矩形纸片ABCD，AB=4，BC=3，点P 在BC 边上，将△C DP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE.DE 分别交AB 于点O、F，且OP=OF，那么co s∠ADF 的值是〔〕A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出 DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP〔AAS〕，根据全等三角形的性质可得出OE=OB.EF=BP，设EF=x，那么BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出AF=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出co s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P〔AAS〕，∴OE=OB，EF=BP．设EF=x，那么BP=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在 Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即〔1+x 〕2+32=〔4﹣x 〕2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s ∠AD F=ADDF =1517．应选：C ．【点评】此题考察了全等三角形的断定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 AF=1+x ，求出 AF 的长度是解题的关键．4.〔2021••3 分〕如图 1，分别沿长方形纸片 ABCD 和正方形纸片 EFGH 的对角线 AC ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，假设中间空白局部四边形 OPQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，那么正方形 EFGH 的面积为〔 〕A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 PM=PL=NR=AR=a ，正方形 ORQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设 PM=PL=NR=AR=a ，正方形 ORQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+〔a+b 〕〔a ﹣b 〕=50，∴a 2=25，∴正方形 EFGH 的面积=a 2=25， 应选：B ．【点评】此题考察图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. 〔2021••4分〕折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进展如下操作：①把△ADE 翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE，点E 在AB 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG，点G 在BC 边上，假设AB=AD+2，EH=1，那么AD= 。
【九年级】2021年中考数学操作与探究分类试题汇编
【九年级】2021年中考数学操作与探究分类试题汇编2021中考全国120份试卷分类汇编经营与探索1、（13年北京5分22）下面材料：小明遇到了这样一个问题：如图1所示，AE=BF=CG=DH=1在边长为ABCD的正方形的每一侧被截取。
什么时候∠ AFQ=∠ BG=∠ CHN=∠ dep=45°，计算方形NPQ的面积。
小明发现：分别延长qe，f，ng，ph，交fa，gb，hc，ed的延长线于点r，s，t，w，可得△rqf，△sg，△tnh，△wpe是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答以下问题：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；（2）求平方NPQ的面积参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3所示，在等边的每一侧切割ad=be=CF△ ABC，然后交叉点D、e和F作为BC、AC和AB的垂直线，以获得等边值△ rpq。
如果，则ad的长度为_______。
解析：测试点：操作和探索（旋转、从正方形变为等边三角形、全等三角形）2、（2021成都市）如图，，为⊙上相邻的三个等分点，弧，点在弧上，为⊙的直径，将⊙沿折叠，使点与重合，连接，，.设，，.先探究三者的数量关系：发现当时，.请继续探究三者的数量关系：当时__;；当时,___（参考数据：，）3、（2021山西，21，8分）（本题8分）如图，在△abc中，ab=ac，d是ba延长线上的一点，点e是ac的中点。
（1）练习和操作：用直尺和量规按下列要求画图，并在图中标出相应的字母（保持图纸痕迹，不要书写）。
①作∠dac的平分线a。
②连接be并延长交a于点f。
[分析]解决方案：① 图纸正确，有痕迹。
②连接be并延长交a于点f。
（2）推测和证明：尝试推测AF和BC之间的位置和数量关系，并解释原因。
【解析】解：af∥bc且af=bc原因如下：≓ AB=AC，≓∠ABC=∠ C≓∠ DAC=∠ ABC+∠ C=2∠ C由作图可知：∠dac=2∠fac∴∠c=∠外交部。
中考数学考前热点冲刺指导《第39讲 操作探究题》课件
2021/12/10
图 39－4
第七页，共二十四页。
第39讲┃ 操作(cāozuò)探
究题
解：答案列举如下：
2021/12/10
第八页，共二十四页。
第39讲┃ 操作(cāozuò)探究
题
类型(lèixíng)二 平移和旋转型操作题
此类题目常涉及画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它 与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识 形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课 改的教育理念．
操作 探究题 (cāozuò)
2021/12/10
第一页，共二十四页。
┃考点(kǎo diǎn)自主梳理与热身反馈 ┃ 类型(lèixíng)一 折叠型操作题
折叠中蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就
是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对
称图形”．求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的
(3)如图 39－9②，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行，S △ADC＞S△ABC，过点 A 能否作出四边形 ABCD 的面积等分线？若 能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．
2021/12/10
图 39－9
第二十页，共二十四页。
第39讲┃ 操作(cāozuò)探究
题
解：(1)中线所在的直线 (2)法一：连接 BE，∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形 ABEC 为平行 四边形．∴BE∥AC，∴△ABC 和△AEC 的公共边 AC 上的高也相等， ∴S△ABC＝S△AEC.∴S 梯形 ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝S△ACD＋S△AEC＝S△AED. 法二：设 AE 与 BC 相交于点 F.∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠ECF， ∠BAF＝∠CEF.又∵AB＝CE，∴△ABF≌△ECF.∴S 梯形 ABCD＝S 四边 形 AFCD＋S△ABF＝S 四边形 AFCD＋S△ECF＝S△AED. 取 DE 的中点 G，AG 即为过点 A 的梯形 ABCD 的面积等分线，画法 如图①所示．
中考专题复习第39课时 操作探究型问题
第39课时┃ 操作探究型问题
∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ. 在 Rt△CPQ 中，PQ＝5x， ∵PD＝PC＝3x，∴DQ＝2x. ∵AQ＝12－4x， ∴12－4x＝2x，解得 x＝2. ∴CP＝3x＝6. (3)当点 E 落在 AB 上时，如图②：
第39课时┃ 操作探究型问题
第39课时┃ 操作探究型问题
解答折叠问题的一般思路：分清折叠前后的对应边、对应角 、对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找 相等的线段或角，进行相关的计算或证明．
第39课时┃ 操作探究型问题
探究2
平移旋转操作探究问题
例 2 [2015· 南 通 ] 如 图 39 － 2 ， 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点 P、 Q 分别在 BC、 AC 上， CP＝3x， CQ＝4x(0＜x＜3)． 把 △PCQ 绕 P 旋转，得到△PDE，点 D 落在 PQ 上． (1)求证：PQ∥AB； (2)若点 D 在∠BAC 的平分线上， 求 CP 的长； (3)若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为 T，且 12≤T≤16，求 x 的取值范围．
第39课时┃ 操作探究型问题
解：(1)在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2－BC2＝12. ∵CP＝3x，CQ＝4x，BC＝9， ∴CP∶CB＝CQ∶CA. ∴PQ∥AB.
(2)如图①，连接 AD，延长 AD 交 BC 于点 M，则 AM 平分 ∠BAC. ∵PQ∥AB，∴∠ADQ＝∠DAB. ∵点 D 在∠BAC 的平分线上，
∵PQ∥AB，∴∠DPE＝∠PEB. ∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B， ∴∠B＝∠PEB，∴PB＝PE＝5x， 9 ∴3x＋5x＝9，解得 x＝ . 8 以下分两种情况讨论： 9 ①当 0＜x≤ 时，T＝PD＋DE＋PE＝3x＋4x＋5x＝12x.此 8 27 时，0＜T≤ . 2 9 ②当 ＜x＜3 时，设 PE 交 AB 于点 G，DE 交 AB 于点 F. 8
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操作探究
一、选择题
1.（2014•德州，第12题3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：
①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH；
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=2．
以上结论中，你认为正确的有（）个．
，故④正确；
二.填空题
三.解答题
1. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥B C．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
=12
=12
=
=
==6
=12
2. （2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
（1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．
，然后把点，因此点
．
的图象上，=
=3．
+
=A
∴2×3=3
．
==
+的值为
==
，
=
=
．
的坐标为（
的坐标为（﹣
==
═
==
=
﹣
′=
﹣
（﹣′（﹣﹣
，）和（﹣
﹣（（﹣（﹣
3．（2014•浙江宁波，第25题12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
）
所以联立得方程组，
，
即三分线长分别是和．。