【2023】人教版中考数学压轴试题(及答案解析)

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题

（含答案）

1．（8分）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为d P．特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．当⊙O的半径为2时：（1）若点C（﹣，0），D（3，4），则d c= 1 ，d p= 4 ；

（2）若在直线y=2x+2上存在点P，使得d P=2，求出点P的横坐标；（3）直线y=﹣x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点A，B．若线段AB上存在点P，使得2≤d P＜3，请你直接写出b的取值范围．

【分析】（1）圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，由此即可解决问题；

（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，可以假设P（a，2a+2），根据PO=1，构建方程即可解决问题；

（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，分不清楚两圆与线段AB相切时b的值即可解决问题；

【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的d值=这个点到圆心距离的2倍，圆上或圆外的点的d值=圆的直径，所以d c=1，d p=4；故答案为1，4；

（2）根据题意，满足d p=2的点位于⊙O内部，且在以O为圆心半径为1的圆上，

∵点P在直线y=2x+2上，∴可以假设P（a，2a+2），

∵PO=1，

∴a2+（2a+2）2=1，

解得a=﹣1或﹣，

∴满足条件的点P的横坐标为﹣1或﹣．

（3）根据题意，满足2≤d P＜3的点位于点O为圆心外径为，内径为1的圆环内，

当线段与外环相切时，可得b=，

当线段于内环相切时，可得b=，

所以满足条件的b的值：≤b＜．

【点评】本题考查一次函数、圆、点P的“d值”定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时解决问题，学会利用特殊位置、寻找特殊点解决问题，所以中考压轴题．2．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．

观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，

当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，

∴满足条件的t的值为2＜t＜3．

【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．

3．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（﹣3，4）．

（1）求b的值；

（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C；

①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式；

②连结BC，求BC的最小值．

【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式求得b的值；（2）①根据对称的性质，结合点A的坐标求得点P的坐标，然后利用待定系数法求得直线解析式；

③以O为圆心，OA长为半径作⊙O，连接BO，交⊙O于点C，结合点

与坐标的性质，点与圆的位置关系求BC的最小值．

【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣3，4）

令x=﹣3，代入，则，

∴b=﹣1；

（2）①如图：

由对称性可知OA=OC，AP=CP，

∵AP∥OC，

∴∠1=∠2，

又∵∠AOP=∠2，

∴∠AOP=∠1，

∴AP=AO，

∵A（﹣3，4），

∴AO=5，

∴AP=5，

∴P1（2，4），

同理可得P2（﹣8，4），

∴OP的表达式为y=2x或．

②如图：

以O为圆心，OA长为半径作⊙O，连接BO，交⊙O于点C

∵B（12，4），

∴OB=，

∴BC的最小值为．

【点评】考查了二次函数综合题．掌握待定系数法求二次函数、一次函数解析式，对称是性质的应用，点的坐标与图形的性质以及点与圆的位置关系等知识点，综合性比较强，难度较大．

4．（5分）如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为20°，请你计算

旗杆的高度．（sin20°≈0.342，tan20°≈0.364，cos20°≈0.940，≈1.732，结果精确到0.1米）

【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边CE等价转换，解这两个三角形可得AE、BE的值，再利用AB=AE+BE，进而可求出答案．

【解答】解：根据题意，再Rt△BCE中，∠BEC=90°，tanα=，∴CE=≈=10米，

再Rt△ACE中，∠AEC=90°，tanβ=，

∴AE=CE•tan20°≈10×0.364=3.64米，

∴AB=AE+BE=17.32+3.64=20.96≈21.0米，

答：旗杆的高约为21.0米．

【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．

5．（5分）如图，李师傅想用长为80米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区ABCD．已知教学楼外墙长50米，设矩形ABCD 的边长AB为x（米），面积为S（平方米）．

（1）请写出活动区面积S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；（2）当AB为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？