统计力学笔记01之 遍厉各态原理与等概率原理
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和不确定性。
它广泛应用于统计学、信息论、物理学、经济学等领域。
概率论的研究对象是随机事件及其概率规律，而随机事件是不确定性事件的一种具体表现。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、概率分布以及条件概率等内容进行总结归纳。
首先是概率论的基本概念。
概率是随机事件发生的可能性大小的度量，常用0到1之间的数表示。
根据事件的性质，概率可以分为古典概率、几何概率和统计概率。
其中，古典概率适用于条件固定且等可能的情况，几何概率适用于几何模型，而统计概率则通过实验或观测数据进行统计。
其次是概率计算方法。
对于古典概率，在条件固定且等可能的情况下，可以通过“事件数量/总样本空间数量”来计算概率。
而对于几何概率，常用的计算方法有面积比和长度比。
统计概率则通过频数和频率进行计算，频数是某一事件发生的次数，频率是某一事件发生的相对次数。
然后是概率分布。
概率分布描述了随机变量可能取值的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布用来描述随机变量只能取有限个或可数个值的情况，常见的离散概率分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
而连续概率分布用来描述随机变量在某个区间内取值的概率，常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
最后是条件概率。
条件概率表示在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算需要使用条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。
条件概率在实际问题中具有很重要的应用，例如在医学诊断中，根据某个症状事件发生的条件下，判断某种疾病发生的概率。
综上所述，概率论是一门基础而重要的数学学科，涉及到许多理论和方法，应用于众多领域。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的概率计算方法，理解概率分布的特点以及条件概率的计算公式。
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《概率论与数理统计》 第一章随机事件及其概率§1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件： 二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性： §1.2 概率古典概型公式：P （A ）=所含样本点数所含样本点数ΩA 实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n 个球随机地放到n 个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A ：“每个盒子恰有1个球”。
求：P(A)=？Ω所含样本点数：nn n n n =⋅⋅⋅...Α所含样本点数：!1...)2()1(n n n n =⋅⋅-⋅-⋅n nn A P !)(=∴补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设A i ：“信箱中信的最大封数为i”。
(i =1,2,3)求：P(A i )=？Ω所含样本点数：6444443==⋅⋅A 1所含样本点数：24234=⋅⋅836424)(1==∴A P A 2所含样本点数： 363423=⋅⋅C1696436)(2==∴A P A 3所含样本点数：4433=⋅C161644)(3==∴A P 注：由概率定义得出的几个性质： 1、0<P （A ）<12、P(Ω)=1，P(φ) =0 §1.3 概率的加法法则定理：设A 、B 是互不相容事件（AB=φ），则： P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）推论1：设A 1、 A 2、…、 A n 互不相容，则P(A 1+A 2+...+ A n )= P(A 1) + P(A 2) +…+ P(A n )推论2：设A 1、 A 2、…、 A n 构成完备事件组，则 P(A 1+A 2+...+ A n )=1推论3： P （A ）=1－P （A ）推论4：若B ⊃A ，则P(B －A)= P(B)－P(A) 推论5（广义加法公式）：对任意两个事件A 与B ，有P(A ∪B)=P(A)+P(B)－P(A B) 补充——对偶律：n n A A A A A A ⋂⋂⋂=⋃⋃⋃......2121 n n A A A A A A ⋃⋃⋃=⋂⋂⋂ (2121)§1.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(B P AB P （P(B)≠0）P(B/A)= )()(A P AB P （P(A)≠0） ∴P （AB ）=P （A /B ）P （B ）= P （B / A ）P （A ）有时须与P （A+B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）中的P （AB ）联系解题。
各态历经假说
但在数学上已经证明这不成立！
因此我们做一个更自然更普遍、不需其它假定的选取，引入系综的概念：
统计系综(ensemble)：由大量处于相同宏观条件下，性质完全相同而各处于某一 微观状态、并各自独立的系统的集合。
对孤立系统：哈密顿量就是能量！能量 E 不随时间变化，系统只在 H(q,p) = E 确定的 2f-1维能量曲面上运动。 此外，对任意力学量 b(q,p) ，我们也有其运动方程:
上面后两式称为力学量b和H的泊松符号。
正则方程的简单推论：
给定初始代表点(q,p),对保守力学系统（H 不显含时间），相轨道的运动
这里N 是相空间中代表点或系统的总数。特别地，系综分布函数： 满足归一化条件。
通过系综分布函数，宏观物理量的测量值 和对应的微观量B(q,p)的关系可写为：
量子情形：
经典系统的刘维尔定理
当时间从t 变到t+dt 时，在 分布函数为:
的代表点将运动到
，在后一点的
我们发现，同一个相轨道邻域的系综分布函数在运动中不变 ，即
在固定的体积元dΩ=dqdp里，经过时间dt后，代表点的增加为
而通过平面 (对应的面积为
代表点为
通过平面
)进入的 走出的代表点为 （N是代表点的总数）：
因此净进入的代表点数为：
考虑所有 我们发现
利用正则方程及其推论：
我们有（刘维尔定理）：
经典系统在平衡态的情形
设
是此代表点所在的相轨道上的任意一点，它的邻域的分布函数：
V3N
(1)
2
(3N
)!
2
3N 为奇数时，单位 3N维球的体积
统计力学基本原理
ln tx n j g n j h n j 0
g nj N n0 n1 n2 nj N 0
h nj j U n00 n11 n22 nj j U 0
2. 物理意义
粒子在εj能级上出现的概率： n j N g j exp j kT q
(3-16)
两个能级上粒子数之比： ni n j gi exp i kT g j exp j kT (3-17)
若不考虑简并度，同时规定ε0 = 0 ，则： ni n0 exp i kT (3-18)
4. Boltzmann 熵定理
S = k㏑Ω
(3-3)
适用于处于热力学平衡态的孤立体系
3
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
1. Boltzmann 统计的适用范围
（1）近独立定域粒子体系 （2）等同性修正后的近独立非定域粒子体系(修正的Boltzmann 体系) （3）温度不是太低、密度不是太大、粒子质量不是太小的Fermi-Dirac
(3-6)
∑njεj = U
（3-5） (3-7)
6
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
三、统计力学的基本方法
(b) Lagrange未定乘子法 求满足两个宏观限制条件式(3-6)、（3-7）, 使（3-5）式具有极大值的方 法。 做一新函数：(㏑tx+ αg + βh)，满足：d(㏑tx + αg + βh)= 0 又满足式(3-6)、（3-7）即为所求的一套分布数
经典力学统计原理
热力学定律
热力学定律是经典力学中描述热现象的 基本规律，包括第一定律、第二定律和 第三定律。
热力学定律在能源、环境、化工等领域 有广泛应用，例如热力发电、制冷技术 等。
第三定律指出在绝对零度时，不可能通 过有限步骤将一个物体冷却到低于周围 介质温度的零度。
第一定律即能量守恒定律，指出系统能 量的增加或减少等于输入或输出的热量 加上系统作功的总和。
05 经典力学统计原理的挑战 与展望
当前面临的主要挑战
理论框架的局限性
经典力学统计原理在描述 微观粒子行为时存在局限 性，无法解释某些量子现 象。
实验验证的困难
由于量子现象的特殊性质， 对经典力学统计原理进行 实验验证较为困难。
复杂系统的描述
经典力学统计原理在描述 复杂系统时面临较大挑战， 需要发展更高级的理论框 架。
06 经典力学统计原理的实际 应用案例
分子动力学模拟
1 2 3
模拟分子运动轨迹
通过分子动力学模拟，可以模拟分子的运动轨迹， 研究分子的运动规律和相互作用机制。
预测材料性质
通过模拟不同材料中分子的运动，可以预测材料 的物理和化学性质，为新材料的研发提供理论支 持。
药物设计
在药物设计中，分子动力学模拟可以用来研究药 物与靶点之间的相互作用，为新药研发提供关键 信息。
气体分子速度分布
麦克斯韦分布定律描述了气体分子速度的分布规律，是气体动力学 中的基本原理之一。
气体流动特性
基于麦克斯韦分布定律，可以研究气体在流动过程中的各种特性， 如温度、压力、流速等的变化规律。
喷管设计
在喷管设计中，利用麦克斯韦分布定律可以优化喷管的结构和参数， 提高喷管的工作效率和推进性能。
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遍历性定理
1 2T
2
2T dt
0
2T 0
-t
R(t
)dv
=
lim
T ®¥
1 2T
2
2T (2T -t )R(t )dt
0
ò =
lim
T ®¥
1 T
2T 0
(1 -
t 2T
)R(t
)dt
。
ò lim 1
T®¥ T
2T (1 -
0
t 2T
)R(t )dt
=0
Û
X
=
EX
。
ò 推论 1. 若 +¥ R(t ) dt < ¥ ，则均值遍历性。 -¥
ò ò 解：当 0 £ t
£
2T
Þ
(1 -
t 2T
)
R(t
)
£
R(t )
Þ
1 T
2T 0
(1 -
t 2T
)R(t )dt
£
1 T
2T R(t ) dt
0
ò £
1 T
+¥ R(t ) dt ® 0(T ® ¥) 。
0
推论 2. 对平稳序列 X = {X n , n = 0, ±1, ±2,L} ，若：R(t ) ® 0(t ® ¥) ，则均值有遍历性。
= t - s，v
=t
+s，J
=
¶t ¶s
¶t
¶t
¶v ¶s
=
1 2
，
R(t
)
为偶函数。
¶v
ò ò òò òò VarX
=
lim
T ®¥
1 4T 2
T -T
T -T
统计力学基本原理
(c ) 求未定乘子α
将式 (3-11)代入式(3-9)得:
g je exp j N
e g j exp j N
e N g j exp j
定义：q g j exp j
(q 称作粒子的配分函数)
则：e N q
ln N q
(3-12)
(d) 求未定乘子β
将式(3-11) 代入(3-4)式并组成恒定封闭体系Gibbs方程相比较得
4. Boltzmann 熵定理
S = k㏑Ω
(3-3)
适用于处于热力学平衡态的孤立体系
4
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会议报告
三、统计力学的基本方法
1. Boltzmann 统计的适用范围
（1）近独立定域粒子体系 （2）等同性修正后的近独立非定域粒子体系(修正的Boltzmann 体系) （3）温度不是太低、密度不是太大、粒子质量不是太小的Fermi-Dirac
2
主讲人： 朱志昂
◎Nankai Unversity
会议报告
二、统计力学的基本定理
1. 概率（probability）定理
概率指某一件事或某一种状态出现的机会大小。概率定理是在一定宏观条件下， 体系的各个微观运动状态各以一定的概率出现。
2. 等概率定理
对于U, V 和 N 确定的处于热力学平衡态的孤立体系，任何一个可能出现的微观状 态，都有相同的数学概率，所以这个假定又称为等概率定理。
P1= P2 = P3 =… = PΩ= 1/Ω
(3-1)
Ω是宏观体系的总微态数，P1, P2,…是每一种微观状态 出现的数学概率。
3
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概率统计知识点总结
概率统计知识点总结作者: 日期:概率统计知识点汇总1 •分类加法计数原理完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m i 种不同的方法，在第二类方案中有 m 2 种不同的方法， ，在第 n 类方案中有 m n 种不同的方法，则完成这件事情，共有 N = m i + m 2+・・・+ m n 种不同的方法.2 •分步乘法计数原理完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m i 种不同的方法，完成第二步有 m 2 种不同的方法， ，完成第n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N =m i x m 2X^x m n 种不同的方法. 3 •两个原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区 别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这 件事才算完成.4 •排列与排列数公式 (1) 排列与排列数从n 个不同元 按照一定的顺序 素中取出m m w n 个元素 排成一列(2) 排列数公式A m = n(n — 1)( n — 2)…(n — m + 1)= n — m ! (3) 排列数的性质① A n = n !; ② 0!= 1. 5 •组合与组合数公式 (1) 组合与组合数 从n 个不同元 合成一组 素中取出 ------- :m m w n 个元素 (2) 组合数公式(3) 组合数的性质 ①c o = 1；②c m =c n —m ；③c m + c m —1= c m +1.所有不同---------- ＞组合数 组合的个数c m =A m =nn — 1 n — 2 …n — m + 1m !6. 排列与组合问题的识别方法7. 二项式定理⑴定理：(a + b)n= C n a n+ C n a n 1b+…+ C n a n k b k+ …+ C n b n(n € N*).(2) 通项：第k+ 1 项为：T k+1 = c S a n_k b k.(3) 二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：c n(k= 0,1,2，…，n).&二项式系数的性质对称性一与首末等距的两个二项式系数和等，即 __________9.概率与频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A) = 学为事件A出现的频率.(2) 对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A).11 •理解事件中常见词语的含义：(1) A, B中至少有一个发生的事件为 A U B;(2) A, B都发生的事件为AB ;(3) A, B都不发生的事件为A B ；(4) A, B恰有一个发生的事件为AB U AB；(5) A, B至多一个发生的事件为A B U AB U A B.12.概率的几个基本性质⑴概率的取值范围：0W P(A) < 1.(2) 必然事件的概率：P(E)= 1.(3) 不可能事件的概率：P(F)= 0.⑷概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A U B) = RA) + P(B).(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A) = 1 - P(B).13 •互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件.14.基本事件的特点』(1) 任意两个基本事件是互斥的.(2) 任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 15•古典概型(1) 定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. ② 每个基本事件出现的可能性相等.A 包含的基本事件的个数(2)古典概型的概率公式：P (A 戸 基本事件的总数—.16.几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. (2)几何概型的概率公式： P 构成事件A 的区域长度面积或体积P(A)—试验的 所构成的区域长度 面积或体积*17•条件概率及其性质(1)对于任何两个事件 A 和B ,在已知事件A 发生的条件下, (2)条件概率具有的性质： ① 0< P(B|A)W 1;② 如果B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A).18. 相互独立事件(1)对于事件A 、B ,若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 A B 是相互独立事件.⑵若A 与B 相互独立，则 P(B|A)= P(B), P(AB)= P(B|A)P(A)= P(A)P(B).⑶若A 与B 相互独立，则 A 与B , A 与B , A 与B 也都相互独立. ⑷若P(AB)= P(A)P(B)，则A 与B 相互独立. 19. 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 X , Y , E, n …表示.所有取值可以 - 列出的随机变量，称为离散型随机变量. 20. 离散型随机变量的分布列及其性质(1) 一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，X n , X 取每一个值 x i (i = 1,2,…,n)的概率 P(X = x i ) = p i ,则表事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号P(B| A)来表示，其公式为 P(B|A) =n ABn A(2)离散型随机变量的分布列的性质：n①P i > 0(i = 1,2,…，n); ②环=1.21. 常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p = P(X = 1)称为成功概率. (2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为(3)①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试 验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都 是一样的. ②在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为p ,贝U P(X = k)= Cp k (1— p)n —k (k = 0,1,2，…，n),此时称随机变量 X 服从二项分布，记为 X 〜B(n , p),并称p 为成功概率.22•离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为<1>均值：称E(X)= X 1p 1+ X 2p 2+・・・+ X i p i +・・・+ x n p n 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映 了离散型随机变量取值的平均水平.n<2>方差：称D(X) = p 1 (X i — E(X))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值E(X) 的平均偏离程度，其算术平方根 D X 为随机变量X 的标准差.<3>均值与方差的性质 1 E aX + b = _______(a , b 为常数).2 D aX + b = ______P(X = k)=k n kC M CN — M ,k = 0,1,2,…,m ,其中 m = min{ M , n},且 n < N , M < N , n , M , N €C NN *，称分布列为超几何分布列<4>两点分布与二项分布的均值、方差23. 正态曲线的特点⑴曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2) 曲线是单峰的，它关于直线x= □对称；1(3) 曲线在x =卩处达到峰值&2n ；⑷曲线与x轴之间的面积为1 ；⑸当b—定时，曲线随着卩的变化而沿x轴平移；⑹当□一定时，曲线的形状由b确定.b越小，曲线越"瘦高”，表示总体的分布越集中;(T 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(7)正态分布的三个常用数据(不需记忆)①Pg— b< X W 叶b= 0.682 6；②Pg—2 b< X W 卩+ 2 b= 0.954 4；③Pg—3b< X W 卩+ 3 b= 0.997 4.24. 简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n W N), 且每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样.(2)常用方法：抽签法和随机数表法.25. 系统抽样(1) 步骤：①先将总体的N个个体编号；②根据样本容量n,当N是整数时，取分段间隔k = N；n n③在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号1(1 W k)；④按照一定的规则抽取样本.(2) 适用范围：适用于总体中的个体数较多时.26. 分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. ⑵适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.27. 三种抽样方法的比较28(1) 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差).(2) 决定组距与组数.(3) 将数据分组.(4) 列频率分布表.(5) 画频率分布直方图.29. 频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.⑵总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.30. 茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指__________ 的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.31 .样本的数字特征(1) 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2) 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.a 1 + a2 +，■，+ a n⑶平均数：把n 称为a1, a2,…，a n这n个数的平均数.(4) 标准差与方差：设一组数据X1, X2, X3，…，x n的平均数为X，则这组数据标准差为S= " 1[ X1- X 2+ X2- x 2+・・・+ X n—X 2]方差为S2= 1[(X1—X )2+ (X2 —X )2+-+ (X n—X )2]32. 变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.33. 两个变量的线性相关(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.A A A⑵回归方程为y = bx+ a,其中⑶通过求Q=.工(y i- bx i- a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本［二I数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.(4) 相关系数：当r>0时，表明两个变量正相关;当r<0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.34. 独立性检验假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为｛x i, X2｝和｛y i ,2｝，其样本频数列联表(称为2X 2 列联表)为：K2=2n ad - bca +b a +c b +d c+ d (其中n = a+ b + c+ d为样本容量).A —— A——,a= y—b x .11。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2.样本空间、随机事件１．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件Ａ与事件B 的和事件,指当且仅当Ａ，B 中至少有一个发生时,事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A,B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生φ=⋂B A ,则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件Ａ与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率概率:设Ｅ是随机试验,Ｓ是它的样本空间,对于Ｅ的每一事件A 赋予一个实数，记为P(A ），称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件：(1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2）规范性：对于必然事件Ｓ 1)S (=P(3)可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( (n 可以取∞）2．概率的一些重要性质: (i) 0)(=φP(ｉi ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）(iii)设A,B 是两个事件若B A ⊂,则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件Ａ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）(vi ）对于任意事件A,B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素,试验中每个事件发生的可能性相同 若事件Ａ包含k个基本事件,即}{}{}{2]1k i i i e e e A =,里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义:设A,B 是两个事件,且0)(>A P ,称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件１。
简述等概率原理与微正则分布的区别与联系
简述等概率原理与微正则分布的区别与联系
等概率原理是概率论中的一项重要原理，它指的是对定义域内所有事件的可能性相同的情况下，该事件发生的概率相等。
即：每个事件都具有相同的发生概率。
而微正则分布是概率论和统计学中有关试验次数的一种经验分布，又叫泊松分布。
它以摩力(Morse)的物理说明为基础，用来表示一个不断重复试验发生特定事件的概率。
它表明：即在一定时间段内，特定事件发生次数小于某一数值n的概率为P(X<n)=α。
一、区别：
1、等概率原理是表示每个事件发生概率都是相同的；微正则分布是对一定时间内事件发生次数小于某一数n的概率。
2、等概率原理更多的是全局性的，即事件发生的概率都是相等的，而微正则分布则是有着见到一定时间内的局部性的，只针对事件发生的概率小于某一数值n的概率。
二、联系：
1、等概率原理和微正则分布的共同点在于都与概率有关，都用来表示某件事情发生的概率。
2、微正则分布可以由等概率原理来推得，等概率原理告诉我们已知N个相等概率的事件，它们在N个试验中出现在某次试验中的概率就是微正则分布。
统计力学笔记01之 遍厉各态原理与等概率原理
统计力学里面的研究方法都是一样的，什么近独立自由粒子的最概然分布，什么系综理论。
这个思想都是很自然的，然而是一个相当相当漂亮的，一个相当具有艺术性和数学技巧的研究方法。
中国的教育都没有教到重点上，统计力学的考试就是算几个费米统计的题目，算算算，考高数啊还是！！！我先来说一下什么是系综，系综就是将之前的分子理论模型进一步的实际化了的理论，要搞明白这个先看一下三种统计即：波尔兹曼统计，费米统计和波色统计。
这三种统计是在做一件什么事情呢。
他们是在计算一个宏观系统的微观状态数，这个有是统计的根本原理，统计热力学不纠结于热力学量的一些相互关系。
它从更加本质的层面来解释热力学平衡的一些现象。
我们先忘掉热力学，在统计里面我们做物理分析的模型基础还是分子运动理论的那些东西。
，这些组成宏观系统的粒子性质是完全不同的，比如说，颜色，大小，形状，相互作用模式，可不可以区分，等等。
但是热力学里面我们只关注这些粒子的有关性质，比如可不可分辨，粒子全不全同。
粒子的这个性质对于统计热力学来说的影响是至关重要的。
我们把粒子分成三种，一种是可以分辨的粒子，一种是不可以分辨的粒子，不可以分辨这个意思很深刻，我不懂。
不可分辨的粒子里面还分为两种，一种是每一个状态上面只可以有一个粒子，另外一种就是每一个状态上面可以有多个粒子。
所以统计热力学里面我们把粒子分成了，波尔兹曼粒子，费米子，还有波色子三种，因为我们在接下来计算微观状态数的时候就会发现我们不得不讨论粒子的这几个性质，不得不对粒子进行一个分类。
近独立粒子的最概然分布的问题是用不到相空间的那种方法的，因为在近独立粒子问题里面我们所研究的问题比实际的问题简化了很多很多，我们不考虑那个令我们最头疼的相互作用。
因而这些系统的性质变得相对的简单。
我们认为一个系统的宏观状态一定的情况下，还可以有很多满足这个宏观状态下的微观条件。
就是说一个系统如果只有这样的几个约束条件：能量为100j，体积为1立方米，温度为1k，有10000个粒子，这样的系统是不能完全确定的，我们要找出在这个宏观量确定的前提下，这个系统所能够有的所有的状态（就是说只要有一点我们能够区别的不同，那么两个系统的状态就不同）。
概率论知识点总结.ppt
************************ 典 型 问 题 ************************** 典型问题一: 事件的概率( 利用概率定义和运算法则计算 )
利用古典概型与加法定理计算
利用全概公式和贝叶斯公式计算 利用条件概率与乘法公式计算
典型问题一: 事件的概率( 利用随机变量的概率分布计算 )
概率论知识要点
随机 事件
概念 样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件 运算及关系 运算性质
概率 定义、 性质 条件概率
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、 独立、 独立重复试验
随机变量
定义 、性质、离散型/连续型、 n维 分布函数/分布律 概率密度 边缘分布、条件分布、 独立性
随机变量函数的分布
机 变
分布函数
量 及
性质
分
布
3)左连续
函
数 X落在区间内概率
定义
离
散
性质
型
与 连
与分布函数的关系
续
型
随
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机 变
X落在区间内概率
量
分布律
分布函数
6
边 边缘分布函数
缘
分
定义
布
条件分布函数
条
件
定义
分
布
P{ X = xi | Y = yj } P{ Y = yj | X = xi }
独
立
定义
性
7
r.v.的函数 的分布
所求概率
已知分布
已知分布律
已知分布密度
典型问题一: 事件的概率( 概率的近似计算 )
典型问题二: 随机变量及其函数的分布
第五章 统计力学基本原理
g n1
h n1
0
ln t
n j
g n j
h n j
0
满
g
nj N 0
j
足
h
nj j U 0
j
解得： n0* g0e e0 n1* g1e e1
通式: n*j g je e j
6 1 2 13
t
3h2 8mV 2 3
1040 J
112 221 9 2 1 23
(4)平动能是简并的 .
122
§5-2 预备知识
2. 刚性转子的转动能 双原子分子绕质心的转动
r
J (J 1)h2
8 2I
J－转动量子数， J=0,1,2,3…
式中： I r 2 , m1m2
( j 0,1, 2, )
下节可求得： 1
kT
求 : nj N
j
§5-3 近独立粒子体系的统计规律性
n*j g je e j g je e j kT N
j
j
j
e
N
N
g j exp( j / kT) q
ln N
q
j
二、研究对象：宏观物体 经典统计力学
处于热力学平衡态的宏观体系 平衡态统计力学 统计热力学
处于热力学非平衡态的宏观体系：非平衡态统计力学
三、研究方法： 微观方法 对分子的微观量求统计平均值
四、某些名词术语 1.粒子：微观粒子
§5-1 引言
⑴ 热力学
2.体系的分类
封闭体系 敞开体系 孤立体系
遍历性定理
-T
ò ò = a cos Q T coswtdt -a sin Q T sin wtdt = 2a sinwT cos Q 。
-T
-T
w
ò E 1 2T
T -T
X
(t )dt
-0
2
=
a2 w2
(sin wT T
)2
E2
cos Q
®
0(T
®
¥)
所以 X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的均值有遍历性。
X = {X (t),t Î (-¥, +¥)} 的均值有遍历性。
ò 证明： m =
EX (t) =
a
2p 0
1 2p
cos(wt +q )dq
= 0，
ò ò ò T X (t)dt = a T cos(wt + Q)dt = a T (coswt cos Q - sinwt sin Q)dt
-T
-T
XT
@
1 2T
T -T
X (t)dt ，
XT
@ lim T ®¥
1 2T
T X (t)dt-T源自ò ÞEX=
E lim T ®¥
XT
=
lim
T ®¥
EX
T
=
lim
T ®¥
1 2T
T EX (t)dt = m
-T
ò ò VarX
=
E[lim T ®¥
1 2T
T -T
(X (t) - m)dt]2
= lim T ®¥
解： R(t ) ® 0(t ® ¥) ，故由 Stoltz 定理知：
å lim
N ®¥
平稳各态遍历随机过程的概念
平稳各态遍历随机过程的概念在概率论和数理统计中，平稳各态遍历随机过程是一种重要的概念，它由平稳性和各态遍历性两个性质共同定义。
这种随机过程在许多实际应用领域，如物理学、经济学、生物学等，都有广泛的出现。
本文将详细介绍平稳各态遍历随机过程的概念，包括平稳性、各态遍历性、随机过程和遍历性等方面。
1. 平稳性平稳性是指随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。
换句话说，平稳随机过程在任何时间点的概率分布与时间无关。
例如，在金融市场中，如果一个股票价格的时间序列是平稳的，那么无论何时观察该股票价格，其均值和方差等统计特性都保持不变。
2. 各态遍历性各态遍历性是指随机过程在长时间内能够充分地展现出所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是各态遍历的，那么对于任何给定的时间间隔，在间隔内的任何时刻观察到的样本点都具有相同的概率分布。
例如，在气象学中，如果一个气候模型的时间序列是各态遍历的，那么可以通过观察该时间序列来预测未来任何时间点的气候状态。
3. 随机过程随机过程是指一系列随时间变化的随机变量。
例如，在金融市场中，股票价格可以看作是一个随机过程，它随时间变化，并且每个时刻的股票价格都是一个随机变量。
随机过程可以用来描述许多自然现象和人为现象，如天气变化、交通流量、人口增长等。
4. 遍历性遍历性是指一个随机过程能够覆盖所有可能的状态。
具体来说，如果一个随机过程是遍历的，那么在足够长的时间内，该过程可以展现出所有可能的状态。
例如，在密码学中，一个随机密钥生成器是遍历的，意味着在足够多的次数之后，该生成器能够产生所有可能的密钥。
总的来说，平稳各态遍历随机过程是指具有平稳性和各态遍历性的随机过程。
这种随机过程在许多领域都有广泛的应用，如预测气候变化、金融市场分析、密码学等。
通过对其概念的理解和研究，可以更好地应用这些方法来处理和分析实际问题。
大数定律与伯克霍夫遍历定理
大数定律与伯克霍夫遍历定理
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
偶然中包含着某种必然。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律。
伯克霍夫遍历定理(Birkhoff ergodic theorem)是遍历论的第一个重要结果。
遍历理论是研究保测变换的渐近性态的数学分支。
它起源于为统计力学提供基础的"遍历假设"研究，并与动力系统理论、概率论、信息论、泛函分析、数论等数学分支有着密切的联系。
伯克霍夫遍历定理(Birkhoff ergodic theorem)是遍历论第一个重要结果。
设(X，A，μ，T)是一个保测系统(即T为保测变换)，一个可测函数f：X→R代表对系统的一种测量，{f(x)，f(Tx)，…}给出了轨道{x，Tx，…}的一种信息。
在统计力学、信息论中，一个重要问题就是f随时间的平均值的极限。
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统计力学里面的研究方法都是一样的，什么近独立自由粒子的最概然分布，什么系综理论。
这个思想都是很自然的，然而是一个相当相当漂亮的，一个相当具有艺术性和数学技巧的研究方法。
中国的教育都没有教到重点上，统计力学的考试就是算几个费米统计的题目，算算算，考高数啊还是！！！
我先来说一下什么是系综，系综就是将之前的分子理论模型进一步的实际化了的理论，要搞明白这个先看一下三种统计即：波尔兹曼统计，费米统计和波色统计。
这三种统计是在做一件什么事情呢。
他们是在计算一个宏观系统的微观状态数，这个有是统计的根本原理，统计热力学不纠结于热力学量的一些相互关系。
它从更加本质的层面来解释热力学平衡的一些现象。
我们先忘掉热力学，在统计里面我们做物理分析的模型基础还是分子运动理论的那些东西。
，这些组成宏观系统的粒子性质是完全不同的，比如说，颜色，大小，形状，相互作用模式，可不可以区分，等等。
但是热力学里面我们只关注这些粒子的有关性质，比如可不可分辨，粒子全不全同。
粒子的这个性质对于统计热力学来说的影响是至关重要的。
我们把粒子分成三种，一种是可以分辨的粒子，一种是不可以分辨的粒子，不可以分辨这个意思很深刻，我不懂。
不可分辨的粒子里面还分为两种，一种是每一个状态上面只可以有一个粒子，另外一种就是每一个状态上面可以有多个粒子。
所以统计热力学里面我们把粒子分成了，波尔兹曼粒子，费米子，还有波色子三种，因为我们在接下来计算微观状态数的时候就会发现我们不得不讨论粒子的这几个性质，不得不对粒子进行一个分类。
近独立粒子的最概然分布的问题是用不到相空间的那种方法的，因为在近独立粒子问题里面我们所研究的问题比实际的问题简化了很多很多，我们不考虑那个令我们最头疼的相互作用。
因而这些系统的性质变得相对的简单。
我们认为一个系统的宏观状态一定的情况下，还可以有很多满足这个宏观状态下的微观条件。
就是说一个系统如果只有这样的几个约束条件：能量为100j，体积为1立方米，温度为1k，有10000个粒子，这样的系统是不能完全确定的，我们要找出在这个宏观量确定的前提下，这个系统所能够有的所有的状态（就是说只要有一点我们能够区别的不同，那么两个系统的状态就不同）。
这样的状态当然有很多，就相当于我只规定一个教室里面有50个人，教室里面的50个人可以有很多很多不同的坐法，坐法数目的多少取决于有多少个座位，有多少个人，这些人我能不能把他们区别开来。
注意我这里说的区别指的不是我们人不能把他们区别开来，而是这两个东西客观的说本来就不可以区别开来。
我们要计算这个东西，那么我们就必须要引入能级，简并度，等一些概念。
有了这几个概念之后我们对于这种近独立分布的系统的微观状态数的计算就有办法了。
这里不多说这个很好理解
然后我们算出了比如说这样一个满足宏观约束的系统的所有可能的状态数是50000个，依据等概率的原理，我们说这样的满足宏观物理量：能量为100j，
体积为1立方米，温度为1k，有10000个粒子的系统，他还可能有50000个不同的状态，那么现在我去找到一个这样的系统，它到底是处在这50000个状态中的那一个状态呢。
等概率原理告诉你，你不知道，因为每一个出现的概率都是一样的是1/50000.这个好像很OK，但是对事情没有多大的帮助。
不急!
接下来我们再依赖于我们的能级和简并度这两个概念来构造一些东西出来。
说明一点，能级和简并度是组成系统的粒子的一些性质，从量子的角度来说组成系统的是某种粒子他们的状态的变化不是连续的，比如他们所具有的能量，比如他们运动的方向。
打个比方，能量分离就像是你去拨一个开关一样，开关只能处在两个位置，你的力不够大，这个开关是不会动的，你的力再大，你也只能把它拨到另外一个档位上面去。
粒子具有怎样的能级，以及每一个能级能有多少简并度这个是粒子的性质。
比如一个费米子（不可分辨，同时一个粒子的状态上面只能有一个粒子），它只可以有1ev，和3ev这样两个能量的状态，这个就是能级，同时我们再看我们发现能量是1ev的状态下面这个粒子还可以有不同，比如5个不同的运动模式，那么这个5就叫做这个粒子的能级 1ev 的简并度。
这套离散的东西对于量子问题处理是好办的。
经典里面我们还是认为能量的取值是连续的，每一个能级的简并度也是有的，一会我们就可以算出来。
我们刚刚得到的，那个系统的可能的状态有50000个，这个好像对于问题没有什么帮助，现在我们依靠能级来给这50000个状态来分一下类别。
以便我们好下一步继续处理我们的问题。
我们发现这样的50000个状态里面有49856个状态他们有相同的地方（你可能会惊讶于怎么有高达百分之98的粒子都有共同点呢，这个是事实。
正是由于有这个事实才可以使得统计这套方法很有用）他们的处在同样一个能级E上面的粒子数是一样的，比如我现在有这样一批粒子，他们是波色子，他们都是相同的，每一个粒子只能取1，2，3，4，5，6，7，8，9，10（ev）这样十个能量的状态，在这个系统满足所规定的宏观状态之后，我们发现了一个规律，就是每一个能级之下的粒子数基本上都是确定的，比如总是只有400多个粒子有10ev的能量，总是只有8000个粒子有能量6ev，注意我的数字没有意义，只是便于理解。
就像每一个社会里面上层的人只有那么百分之几，十分落魄的人也只有那么百分之几，人们的数量会有一个分布。
中等的人总是最多的，超级天才只有那么一两个。
我们就发现这样一个具有能级的粒子，他们在满足宏观物理量的条件下平衡了之后，他们的粒子数关于能量都有一个确定的分布。
而我们上面做的工作可以告诉你这个分布是什么。
比如对于波尔兹曼系统，粒子有能级为ei，每个ei下面由wi个简并度的宏观状态是总能量是E，总粒子数是N，的系统来说，他们在平衡（即各项指标都不随时间变化）之后，有一个确定的粒子数关于能量的分布，是Ai（处在能级为ei下的粒子数）=wi*exp（-a1-ei*a2）其中a1，a2可以是由拉格朗日数乘法引入的两个参数，他们可以根据约束（ E=求和 Ai*ei，即总能量等于每个粒子的能量之和，N=求和Ai，总粒子数等于每个能级底下的粒子数之和）
所以三种统计都是在做同样的一件事情，就是找到这个平衡状态时候的分布。
其实我这样说不是很严谨，但是事实就是处理这样一个问题，就像一个社会一样，我想知道这个社会发展之后大概是一个什么样子，我们就求出这个社会所有可能的样子，比如我们只关心每个人有多少钱的话，有一种可能就是，每一个人都像比尔盖茨那么有钱，或者每一个人都落魄街头，在概率里面这两种社会是可能出项的，只是出现的概率很小很小，出现概率最大的是那种穷人不多，富人也不多，中间比上不足，比下有余的人比较多这种情况。
统计这个模型之下神奇的是我们可以精确的算出这种分布来。