高中数学必修四 课时作业26 人教版
人教版高中数学必修4课后习题答案详解
第二章 平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77）1、略.2、AB ，BA . 这两个向量的长度相等，但它们不等.3、2AB =， 2.5CD =，3EF =，22GH =4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题 A 组（P77） 1、（2）. 3、与DE 相等的向量有：,AF FC ；与EF 相等的向量有：,BD DA ； 与FD 相等的向量有：,CE EB .4、与a 相等的向量有：,,CO QP SR ；与b 相等的向量有：,PM DO ； 与c 相等的向量有：,,DC RQ ST5、33AD =. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题 B 组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与AM 同向的共有6对，与AM 反向的也有6对；与AD同向的共有3对，与AD 反向的也有6对；模的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算 练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）DA ； （2）CB .4、（1）c ； （2）f ； （3）f ； （4）g . 练习（P87）1、图略.2、DB ，CA ，AC ，AD ，BA .3、图略. 练习（P90） 1、图略.2、57AC AB =，27BC AB =-.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB 反向.3、（1）2b a =； （2）74b a =-； （3）12b a =-； （4）89b a =.4、（1）共线； （2）共线.5、（1）32a b -； （2）111123a b -+； （3）2ya . 6、图略.习题 A 组（P91）1、（1）向东走20 km ； （2）向东走5 km； （3）向东北走km ；（4）向西南走；（5）向西北走；（6）向东南走 2、飞机飞行的路程为700 km ；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示：AB 表示船速，AD 表示河水的流速，以AB 、AD 为邻边作□ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度.在Rt △ABC 中，8AB =，2AD =，所以228AC AB AD =+==因为tan4CAD ∠=，由计算器得76CAD ∠≈︒所以，实际航行的速度是km/h ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1）0； （2）AB ； （3）BA ； （4）0； （5）0； （6）CB ； （7）0.5、略6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略. 8、（1）略； （2）当a b ⊥时，a b a b +=-9、（1）22a b --； （2）102210a b c -+； （3）132a b +； （4）2()x y b -.10、14a b e +=，124a b e e -=-+，1232310a b e e -=-+. 11、如图所示，OC a =-，OD b =-，DC b a =-，BC a b =--.12、14AE b =，BC b a =-，1()4DE b a =-，34DB a =， 34EC b =，1()8DN b a =-，11()48AN AM a b ==+.13、证明：在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点，所以EF AC //且12EF AC =，即12EF AC =；同理，12HG AC =，所以EF HG =.习题 B 组（P92）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.2、不一定相等，可以验证在,a b 不共线时它们不相等.3、证明：因为MN AN AM =-，而13AN AC =，13AM AB =， 所以1111()3333MN AC AB AC AB BC =-=-=.4、（1）四边形ABCD 为平行四边形，证略 （2）四边形ABCD 为梯形.证明：∵13AD BC =，∴AD BC //且AD BC ≠ ∴四边形ABCD 为梯形. （3）四边形ABCD 为菱形.（第11题）（第12题）EHGFC AB丙乙（第1题）（第4题(2)）BCD证明：∵AB DC =，∴AB DC //且AB DC =∴四边形ABCD 为平行四边形 又AB AD =∴四边形ABCD 为菱形.5、（1）通过作图可以发现四边形ABCD 为平行四边形. 证明：因为OA OB BA -=，OD OC CD -= 而OA OC OB OD +=+所以OA OB OD OC -=- 所以BA CD =，即∥.因此，四边形ABCD 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100）1、（1）(3,6)a b +=，(7,2)a b -=-； （2）(1,11)a b +=，(7,5)a b -=-； （3）(0,0)a b +=，(4,6)a b -=； （4）(3,4)a b +=，(3,4)a b -=-.2、24(6,8)a b -+=--，43(12,5)a b +=.3、（1）(3,4)AB =，(3,4)BA =--； （2）(9,1)AB =-，(9,1)BA =-； （3）(0,2)AB =，(0,2)BA =-； （4）(5,0)AB =，(5,0)BA =-4、AB ∥CD . 证明：(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =.所以AB ∥CD .5、（1）(3,2)； （2）(1,4)； （3）(4,5)-.6、10(,1)3或14(,1)3-7、解：设(,)P x y ，由点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =，得32AP PB =-(,)(2,3)(2,3)AP x y x y =-=--，(4,3)(,)(4,3)PB x y x y =--=---∴3(2,3)(4,3)2x y x y --=---- ∴32(4)233(3)2x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩（第4题(3)）（第5题）∴815x y =⎧⎨=-⎩，所以点P 的坐标为(8,15)-.习题 A 组（P101）1、（1）(2,1)-； （2）(0,8)； （3）(1,2).说明：解题时可设(,)B x y ，利用向量坐标的定义解题. 2、123(8,0)F F F ++=3、解法一：(1,2)OA =--，(53,6(1))(2,7)BC =---=而AD BC =，(1,5)OD OA AD OA BC =+=+=. 所以点D 的坐标为(1,5).解法二：设(,)D x y ，则((1),(2))(1,2)AD x y x y =----=++，(53,6(1))(2,7)BC =---=由AD BC =可得，1227x y +=⎧⎨+=⎩，解得点D 的坐标为(1,5).4、解：(1,1)OA =，(2,4)AB =-. 1(1,2)2AC AB ==-，2(4,8)AD AB ==-，1(1,2)2AE AB =-=-. (0,3)OC OA AC =+=，所以，点C 的坐标为(0,3)； (3,9)OD OA AD =+=-，所以，点D 的坐标为(3,9)-； (2,1)OE OA AE =+=-，所以，点E 的坐标为(2,1)-. 5、由向量,a b 共线得(2,3)(,6)x λ=-，所以236x =-，解得4x =-. 6、(4,4)AB =，(8,8)CD =--，2CD AB =-，所以AB 与CD 共线. 7、2(2,4)OA OA '==，所以点A '的坐标为(2,4)；3(3,9)OB OB '==-，所以点B '的坐标为(3,9)-； 故(3,9)(2,4)(5,5)A B ''=--=- 习题 B 组（P101）1、(1,2)OA =，(3,3)AB =.当1t =时，(4,5)OP OA AB OB =+==，所以(4,5)P ； 当12t =时，13357(1,2)(,)(,)22222OP OA AB =+=+=，所以57(,)22P ； 当2t =-时，2(1,2)(6,6)(5,4)OP OA AB =-=-=--，所以(5,4)P --； 当2t =时，2(1,2)(6,6)(7,8)OP OA AB =+=+=，所以(7,8)P .2、（1）因为(4,6)AB =--，(1,1.5)AC =，所以4AB AC =-，所以A 、B 、C 三点共线；（2）因为(1.5,2)PQ =-，(6,8)PR =-，所以4PR PQ =，所以P 、Q 、R 三点共线；（3）因为(8,4)EF =--，(1,0.5)EG =--，所以8EF EG =，所以E 、F 、G 三点共线.3、证明：假设10λ≠，则由11220e e λλ+=，得2121e e λλ=-. 所以12,e e 是共线向量，与已知12,e e 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误，10λ=. 同理20λ=. 综上120λλ==.4、（1）19OP =（2）对于任意向量12OP xe ye =+，,x y 都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积 练习（P106）1、1cos ,86242p q p q p q ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=. 2、当0a b ⋅<时，ABC ∆为钝角三角形；当0a b ⋅=时，ABC ∆为直角三角形.3、投影分别为0，-图略 练习（P107）1、2(3)5a =-=，252b =+=35427a b ⋅=-⨯+⨯=-.2、8a b ⋅=，()()7a b a b +-=-，()0a b c ⋅+=，2()49a b +=.3、1a b ⋅=，13a =，74b =，88θ≈︒. 习题 A 组（P108）1、63a b ⋅=-222()225a b a a b b +=+⋅+=-25a b +=- 2、BC 与CA 的夹角为120°，20BC CA ⋅=-.3、22223a b a a b b +=+⋅+=，22235a b a a b b -=-⋅+=. 4、证法一：设a 与b 的夹角为θ.（1）当0λ=时，等式显然成立；（2）当0λ>时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为θ，所以()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==()cos a b a b λλθ⋅=()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅== 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；（3）当0λ<时，a λ与b ，a 与b λ的夹角都为180θ︒-，则 ()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=-()cos cos a b a b a b λλθλθ⋅==-()cos(180)cos a b a b a b λλθλθ⋅=︒-=- 所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； 综上所述，等式成立.证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，那么 11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+112212121212()(,)(,)()a b x y x y x x y y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+=+11221212()(,)(,)a b x y x y x x y y λλλλλ⋅=⋅=+所以 ()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；5、（1）直角三角形，B ∠为直角.证明：∵(1,4)(5,2)(6,6)BA =---=--，(3,4)(5,2)(2,2)BC =-=-∴6(2)(6)20BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（2）直角三角形，A ∠为直角证明：∵(19,4)(2,3)(21,7)AB =---=，(1,6)(2,3)(1,3)AC =-----=-∴2117(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯-=∴AB AC ⊥，A ∠为直角，ABC ∆为直角三角形（3）直角三角形，B ∠为直角证明：∵(2,5)(5,2)(3,3)BA =-=-，(10,7)(5,2)(5,5)BC =-=∴35350BA BC ⋅=-⨯+⨯=∴BA BC ⊥，B ∠为直角，ABC ∆为直角三角形6、135θ=︒.7、120θ=︒.22(23)(2)44361a b a b a a b b -+=-⋅-=，于是可得6a b ⋅=-，1cos 2a ba bθ⋅==-，所以120θ=︒.8、23cos 40θ=，55θ=︒. 9、证明：∵(5,2)(1,0)(4,2)AB =--=-，(8,4)(5,2)(3,6)BC =--=，(8,4)(4,6)(4,2)DC =-=-∴AB DC =，43(2)60AB BC ⋅=⨯+-⨯= ∴,,,A B C D 为顶点的四边形是矩形.10、解：设(,)a x y =，则2292x y yx⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得5x y⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.于是35(,55a =或35(55a =--. 11、解：设与a 垂直的单位向量(,)e x y =，则221420x y xy ⎧+=⎨+=⎩，解得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是5(,55e =-或5(,55e =-. 习题 B 组（P108）1、证法一：0()0()a b a c a b a c a b c a b c ⋅=⋅⇔⋅-⋅=⇔⋅-=⇔⊥- 证法二：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，33(,)c x y =.先证()a b a c a b c ⋅=⋅⇒⊥-1212a b x x y y ⋅=+，1313a c x x y y ⋅=+由a b a c ⋅=⋅得12121313x x y y x x y y +=+，即123123()()0x x x y y y -+-=而2323(,)b c x x y y -=--，所以()0a b c ⋅-= 再证()a b c a b a c ⊥-⇒⋅=⋅由()0a b c ⋅-=得 123123()()0x x x y y y -+-=， 即12121313x x y y x x y y +=+，因此a b a c ⋅=⋅2、cos cos cos sin sin OA OB AOB OA OBαβαβ⋅∠==+.3、证明：构造向量(,)u a b =，(,)v c d =.cos ,u v u v u v ⋅=<>，所以,ac bd u v +=<>∴2222222222()()()cos ,()()ac bd a b c d u v a b c d +=++<>≤++4、AB AC ⋅的值只与弦AB 的长有关，与圆的半径无关.证明：取AB 的中点M ，连接CM ，则CM AB ⊥，12AM AB =又cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，而AM BAC AC∠=所以212AB AC AB AM AB ⋅==5、（1）勾股定理：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，则222CA CB AB +=证明：∵AB CB CA =-∴2222()2AB CB CA CB CA CB CA =-=-⋅+. 由90C ∠=︒，有CA CB ⊥，于是0CA CB ⋅= ∴222CA CB AB +=（2）菱形ABCD 中，求证：AC BD ⊥证明：∵AC AB AD =+，,DB AB AD =-∴22()()AC DB AB AD AB AD AB AD ⋅=+⋅-=-.∵四边形ABCD 为菱形，∴AB AD =，所以220AB AD -= ∴0AC DB ⋅=，所以AC BD ⊥（3）长方形ABCD 中，求证：AC BD =证明：∵ 四边形ABCD 为长方形，所以AB AD ⊥，所以0AB AD ⋅=∴222222AB AB AD AD AB AB AD AD +⋅+=-⋅+.∴22()()AB AD AB AD +=-，所以22AC BD =，所以AC BD =（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题 A 组（P113）1、解：设(,)P x y ，11(,)R x y则1111(1,0)(,)(1,)RA x y x y =-=--，(,)(1,0)(1,0)AP x y x =-=-由2RA AP =得11(1,)2(1,)x y x y --=-，即11232x x y y=-+⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程得2y x =. 所以，点P 的轨迹方程为2y x =. 2、解：（1）易知，OFD ∆∽OBC ∆，12DF BC =, 所以23BO BF =.2211()()3323AO BO BA BF a b a a a b =-=+=-+=+（2）因为1()2AE a b =+所以23AO AE =，因此,,A O E 三点共线，而且2AOOE =同理可知：2,2BO CO OF OD ==，所以2AO BO COOE OF OD===3、解：（1）(2,7)B A v v v =-=-； （2）v 在A v 方向上的投影为135A Av v v ⋅=. 4、解：设1F ，2F 的合力为F ，F 与1F 的夹角为θ，则31F =+，30θ=︒； 331F =+，3F 与1F 的夹角为150°.习题 B 组（P113）1、解：设0v 在水平方向的速度大小为x v ，竖直方向的速度的大小为y v ，则0cos x v v θ=，0sin y v v θ=.设在时刻t 时的上升高度为h ，抛掷距离为s ，则001sin ,()2cos h v t gt g s v t θθ⎧=-⎪⎨⎪=⎩为重力加速度 所以，最大高度为220sin 2v gθ，最大投掷距离为20sin 2v gθ.2、解：设1v 与2v 的夹角为θ，合速度为v ，2v 与v 的夹角为α，行驶距离为d .则1sin 10sin sin v vvθθα==，0.5sin 20sin v d αθ==. ∴120sin d v θ=. 所以当90θ=︒，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1）(0,1)-ODFEABC（第2题）（第4题）解：设(,)P x y ，则(1,2)AP x y =--. (2,22)AB =-.将AB 绕点A 沿顺时针方向旋转4π到AP ，相当于沿逆时针方向旋转74π到AP ，于是7777(2cos 22sin ,2sin 22cos )(1,3)4444AP ππππ=+-=--所以1123x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得0,1x y ==-（2）32y x=-解：设曲线C 上任一点P 的坐标为(,)x y ，OP 绕O 逆时针旋转4π后，点P 的坐标为(,)x y ''则cos sin 44sin cos44x x y y x y ππππ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩，即2()2()2x x y y x y ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩又因为223x y ''-=，所以2211()()322x y x y --+=，化简得32y x=-第二章 复习参考题A 组（P118）1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.2、（1）D ； （2）B ； （3）D ； （4）C ； （5）D ； （6）B .3、1()2AB a b =-，1()2AD a b =+4、略解：2133DE BA MA MB a b ==-=-+2233AD a b =+，1133BC a b =+1133EF a b =--，1233FA DC a b ==-1233CD a b =-+，2133AB a b =-CE a b =-+5、（1）(8,8)AB =-，82AB =；（2）(2,16)OC =-，(8,8)OD =-； （3）33OA OB ⋅=.（第4题）6、AB 与CD 共线.证明：因为(1,1)AB =-，(1,1)CD =-，所以AB CD =. 所以AB 与CD 共线. 7、(2,0)D -. 8、2n =. 9、1,0λμ=-=.10、34cos ,cos 0,cos 55A B C ===11、证明：2(2)22cos6010n m m n m m -⋅=⋅-=︒-=，所以(2)n m m -⊥.12、1λ=-. 13、13a b +=，1a b -=. 14、519cos ,cos 820θβ==第二章 复习参考题B 组（P119）1、（1）A ； （2）D ； （3）B ； （4）C ； （5）C ； （6）C ； （7）D .2、证明：先证a b a b a b ⊥⇒+=-.222()2a b a b a b a b+=+=++⋅，222()2a b a b a b a b -=-=+-⋅.因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，于是22a b a b a b +=+=-. 再证a b a b a b +=-⇒⊥.由于222a b a a b b +=+⋅+，222a b a a b b -=-⋅+ 由a b a b +=-可得0a b ⋅=，于是a b ⊥所以a b a b a b +=-⇔⊥. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证a b c d =⇒⊥22()()c d a b a b a b ⋅=+⋅-=- 又a b =，所以0c d ⋅=，所以c d ⊥ 再证c d a b ⊥⇒=.由c d ⊥得0c d ⋅=，即22()()0a b a b a b +⋅-=-=所以a b = 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所（第3题）（第6题）示】4、12AD AB BC CD a b =++=+，1142AE a b =+而34EF a =，14EM a =，所以1111(4242AM AE EM a b a =+=++=5、证明：如图所示，12OD OP OP =+，由于1230OP OP OP ++=，所以3OP OD =-，1OD = 所以11OD OP PD == 所以1230OPP ∠=︒，同理可得1330OPP ∠=︒所以31260P PP ∠=︒，同理可得12360PP P ∠=︒，23160P P P ∠=︒，所以123PP P ∆为正三角形.6、连接AB .由对称性可知，AB 是SMN ∆的中位线，222MN AB b a ==-. 7、（18=（千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 沿与水流方向成90︒+的方向前进. 8、解：因为OA OB OB OC ⋅=⋅，所以()0OB OA OC ⋅-=，所以0OB CA ⋅= 同理，0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=，所以点O 是ABC ∆的垂心. 9、（1）2110200a x a y a y a x -+-=； （2）垂直；（3）当12210A B A B -=时，1l ∥2l ；当12120A A B B +=时，12l l ⊥，夹角θ的余弦cos θ=；（4）d =P 2（第5题）第三章 三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127）1、cos()cos cos sin sin 0cos 1sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+⨯=.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=⨯+⨯=.2、解：由3cos ,(,)52πααπ=-∈，得4sin 5α==；所以34cos()cos cos sin sin ()44455πππααα-=+=-+=3、解：由15sin 17θ=，θ是第二象限角，得8cos 17θ===-；所以8115cos()cos cos sin sin 33317217πππθθθ-=+=-⨯+=. 4、解：由23sin ,(,)32πααπ=-∈，得cos α==又由33cos ,(,2)42πββπ=∈，得sin β==所以32cos()cos cos sin sin ((()43βαβαβα-=+=⨯+⨯-=. 练习（P131）1、（1； （2） （3（4）2 2、解：由3cos ,(,)52πθθπ=-∈，得4sin 5θ==；所以413sin()sin cos cos sin ()333525πππθθθ+=+=⨯+-=. 3、解：由12sin 13θ=-，θ是第三象限角，得5cos 13θ===-； 所以5112cos()cos cos sin sin ()()66613213πππθθθ+=-=--⨯-=. 4、解：tan tan 314tan()241311tan tan 4παπαπα+++===--⨯-⋅.5、（1）1； （2）12； （3）1； （4）；（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602-︒︒-︒︒=-︒+︒=-︒=-；（6）原式=sin 20cos70cos20sin70(sin 20cos70cos20sin70)sin901-︒︒-︒︒=-︒︒+︒︒=-︒=-.6、（1）原式=cos cos sin sin cos()333x x x πππ-=+；（2）原式=1cos )2(sin cos cos sin )2sin()2666x x x x x πππ+=+=+；（3）原式=)2(sin cos cos sin )2sin()444x x x x x πππ=-=-；（4）原式=12(cos )cos sin sin )cos()2333x x x x x πππ=-=+.7、解：由已知得3sin()cos cos()sin 5αβααβα---=，即3sin[()]5αβα--=，3sin()5β-=所以3sin 5β=-. 又β是第三象限角，于是4cos 5β===-.因此55534sin()sin cos cos sin ()(()(44455πππβββ+=+=-+-=. 练习（P135）1、解：因为812παπ<<，所以382αππ<<又由4cos 85α=-，得3sin 85α=-，3sin385tan 484cos 85ααα-===- 所以3424sinsin(2)2sin cos 2()()48885525αααα=⨯==⨯-⨯-=2222437cos cos(2)cos sin ()()48885525αααα=⨯=-=---=2232tan23162484tan tan(2)3482771tan 1()84αααα⨯=⨯===⨯=-- 2、解：由3sin()5απ-=，得3sin 5α=-，所以222316cos 1sin 1()525αα=-=--=所以2221637cos2cos sin ()25525ααα=-=--=3、解：由sin2sin αα=-且sin 0α≠可得1cos 2α=-，又由(,)2παπ∈，得sin α=，所以sintan (2)cos ααα==-= 4、解：由1tan 23α=，得22tan 11tan 3αα=-. 所以2tan 6tan 10αα+-=，所以tan 3α=-5、（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=； （2）22cos sin cos 88πππ-==；（3）原式=212tan 22.511tan 4521tan 22.522︒⋅=︒=-︒； （4）原式=cos45︒=. 习题 A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222πππαααααα-=+=⨯+-⨯=-；（2）333sin()sin cos cos sin 1cos 0sin cos 222πππαααααα-=-=-⨯-⨯=-；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos παπαπαααα-=+=-⨯+⨯=-； （4）sin()sin cos cos sin 0cos (1)sin sin παπαπαααα-=-=⨯--⨯=.2、解：由3cos ,05ααπ=<<，得4sin 5α==，所以431cos()cos cos sin sin 666552πππααα-=+=⨯=.3、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由33cos ,(,)42πββπ=-∈，得sin β===，所以32cos()cos cos sin sin ()(43αβαβαβ-=+=-+⨯=.4、解：由1cos 7α=，α是锐角，得sin α=== 因为,αβ是锐角，所以(0,)αβπ+∈，又因为11cos()14αβ+=-，所以sin()αβ+===所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++1111()1472=-⨯= 5、解：由60150α︒<<︒，得9030180α︒<︒+<︒又由3sin(30)5α︒+=，得4cos(30)5α︒+=-所以cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=︒+-︒=︒+︒+︒+︒431552=-+⨯=6、（1）； （2） （3）2-7、解：由2sin ,(,)32πααπ=∈，得cos α===又由3cos 4β=-，β是第三象限角，得sin β==.所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-32()(43=--⨯=sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-23()((34=⨯--⨯=8、解：∵53sin ,cos 135A B ==且,A B 为ABC ∆的内角∴0,02A B ππ<<<<，124cos ,sin 135A B =±=当12cos 13A =-时，sin()sin cos cos sin AB A B A B +=+5312433()013513565=⨯+-⨯=-< A B π+>，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B ==∴cos cos()(cos cos sin sin )C A B A B A B =-+=--1235416()13513565-⨯-⨯=- 9、解：由3sin ,(,)52πθθπ=∈，得4cos 5θ==-.∴sin 353tan ()cos 544θθθ==⨯-=-. ∴31tan tan 242tan()311tan tan 111()42θϕθϕθϕ-+++===--⋅--⨯. 31tan tan 42tan()2311tan tan 1()42θϕθϕθϕ----===-+⋅+-⨯. 10、解：∵tan ,tan αβ是22370x x +-=的两个实数根.∴3tan tan 2αβ+=-，7tan tan 2αβ⋅=-.∴3tan tan 12tan()71tan tan 31()2αβαβαβ-++===--⋅--.11、解：∵tan()3,tan()5αβαβ+=-=∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαβααβαβαβαβ++-=++-=-+⋅-3541357+==--⨯tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()αβαββαβαβαβαβ+--=+--=++⋅-3511358-==-+⨯12、解：∵::2:3:6BD DC AD =∴11tan ,tan 32BD DC AD AD αβ====∴tan tan tan tan()1tan tan BAC αβαβαβ+∠=+=-⋅1132111132+==-⨯ 又∵0180BAC ︒<∠<︒，∴45BAC ∠=︒（第12题）13、（1）)6x π+； （23sin()3x π-； （3）2sin()26x π+；（47sin()12x π-； （5）2； （6）12； （7）sin()αγ+； （8）cos()αγ--； （9） （10）tan()βα-.14、解：由sin 0.8,(0,)2παα=∈，得cos 0.6α===∴sin22sin cos 20.80.60.96ααα==⨯⨯= 2222cos2cos sin 0.60.80.28ααα=-=-=- 15、解：由cos 270ϕϕ=︒<<︒，得sin ϕ===∴sin 22sin cos 2((ϕϕϕ==⨯⨯=22221cos2cossin ((3ϕϕϕ=-=-=- sin 2tan 2(3)cos 23ϕϕϕ==-=-16、解：设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以12cos 13B =. ∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B =︒-===⨯⨯=2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B B B B =︒-=-=--=--=-sin 120169120tan ()cos 169119119A A A ==⨯-=-17、解：22122tan 33tan 211tan 41()3βββ⨯===--，13tan tan 274tan(2)1131tan tan 2174αβαβαβ+++===-⋅-⨯. 18、解：1cos()cos sin()sin 3αββαββ+++=⇒1cos[()]3αββ+-=，即1cos 3α= 又3(,2)2παπ∈，所以sinα== ∴1sin 22sin cos 2(ααα==⨯⨯=222217cos2cos sin ()(39ααα=-=-=-∴7cos(2)cos2cos sin 2sin (4449πππααα+=-=-=19、（1）1sin2α+； （2）cos2θ； （3）1sin 44x ； （4）tan2θ.习题 B 组（P138） 1、略. 2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10x p x +++=，即210x px p +++=的两个实根∴tan tan A B p +=-，tan tan 1A B p ⋅=+ ∴tan tan[()]tan()C A B A B π=-+=-+tan tan 11tan tan 1(1)A B pA B p +-=-=-=--⋅-+由于0C π<<，所以34C π=. 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sin cos (30)sin cos(30)4αααα++︒++︒=（证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cos sin(30)cos 4αααα-︒++-︒=223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4αααα-︒++︒+-︒+︒=223sin cos sin cos 4αβαβ++=，其中30βα-=︒，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PA PP =，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ+-++=-++ 即22cos()22cos cos 2sin sin αβαβαβ-+=-+ 所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-3．2简单的三角恒等变换 练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x =. 最小正周期为2π，递增区间为[,],8282k k k Z ππππ-++∈，最大值为12；（2）cos 2y x =+. 最小正周期为2π，递增区间为[2,22],k k k Z ππππ++∈，最大值为3；（3）2sin(4)3y x π=+. 最小正周期为2π，递增区间为5[,],242242k k k Z ππππ-++∈，最大值为2.习题 A 组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用22sin cos ϕϕ+代替1，用2sin cos ϕϕ代替sin 2ϕ；（5）略； （6）提示：用22cos θ代替1cos2θ+；（7）提示：用22sin θ代替1cos2θ-，用22cos θ代替1cos2θ+； （8）略.2、由已知可有1sin cos cos sin 2αβαβ+=……①，1sin cos cos sin 3αβαβ-=……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin αβαβ=（2）把（1）所得的两边同除以cos cos αβ得tan 5tan αβ= 注意：这里cos cos 0αβ≠隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan 2θ=-. 于是2212()2tan 42tan 211tan 31()2θθθ⨯-===---- 1tan tan1142tan()1431tan tan 1()142πθπθπθ+-++===-⋅--⨯ ∴tan 24tan()4πθθ=-+4、由已知可解得sin x θ=，cos y θ=，于是2222sin cos 1x y θθ+=+=.5、()2sin(4)3f x x π=+，最小正周期是2π，递减区间为7[,],242242k k k Z ππππ++∈.习题 B 组（P143） 1、略.2、由于762790+⨯=，所以sin76sin(9014)cos14m ︒=︒-︒=︒= 即22cos 71m ︒-=，得cos7︒=3、设存在锐角,αβ使223παβ+=，所以23απβ+=，tan()2αβ+又tantan 22αβ=，又因为tantan 2tan()21tantan 2αβαβαβ++=-，所以tantan tan()(1tan tan )3222αααβββ+=+-=由此可解得tan 1β=， 4πβ=，所以6πα=.经检验6πα=，4πβ=是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sin sin ))22αβαβ++. 过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM βαααβ∠=-+=+.在Rt OMA ∆中，cos cos 22OM OA βααβ--==. 在1Rt OM M ∆中，11cos cos cos22OM OM MOM αβαβ+-=∠=11sin sin cos22M M OM MOM αβαβ+-=∠=.于是有 1(cos cos )cos cos222αβαβαβ+-+=， 1(sin sin )sin cos222αβαβαβ+-+= 5、当2x =时，22()sin cos 1f ααα=+=；当4x =时，4422222()sin cos (sin cos )2sin cos f ααααααα=+=+-211sin 22α=-，此时有1()12f α≤≤；当6x =时，662232222()sin cos (sin cos )3sin cos (sin cos )f ααααααααα=+=+-+231sin 24α=-，此时有1()14f α≤≤；由此猜想，当2,x k k N +=∈时，11()12k f α-≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55y x x x ϕ=+=+，其中34cos ,sin 55ϕϕ==所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5； （2）)y x ϕ+，其中cos ϕϕ==所以，y ；第三章 复习参考题A 组（P146）（第4题）1、1665. 提示：()βαβα=+- 2、5665. 提示：5sin()sin[()]sin[()()]44ππαβπαββα+=-++=-+--3、1.4、（1）提示：把公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-变形；（2； （3）2； （4）提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式4sin(3010)4sin 20︒-︒==︒；（2）原式=sin10sin 40(sin 40cos10︒︒=︒ =2sin 40cos40sin801cos10cos10-︒︒-︒==-︒︒；（3）原式=tan 70cos101)tan 70cos10︒︒=︒ =sin702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70︒-︒-︒⋅︒⋅==-︒︒︒；（4）原式=sin50(1sin50︒⋅= 2cos50sin100sin501cos10cos10︒︒=︒⋅==︒︒6、（1）95； （2）2425；（3）. 提示：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+-； （4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5αβ=，1sin sin 5αβ=，于是sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos21)αααα-++=++22242(cos21)2(2cos )8cos ααα=+===右边（2）左边=2222sin cos 2sin cos (sin cos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )αααααααααααα+++=++sin cos 11tan 2cos 22αααα+==+=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sin sin 2cos (cos sin )αβαβααβααβααααα+-+++-+=+sin()cos cos()sin sin sin sin αβααβαβαα+-+===右边（第12（2）题）（4）左边=222234cos22cos 212(cos 22cos21)34cos22cos 212(cos 22cos21)A A A A A A A A -+--+=++-++ 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A -===+=右边 9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222)24y x x x x x π=+++=++++递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈（222，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22)4f x x x x x x x x x x π=+--=-=+（1）最小正周期是π；（2）由[0,]2x π∈得52[,]444x πππ+∈，所以当24x ππ+=，即38x π=时，()f x 的最小值为2-()f x 取最小值时x 的集合为3{}8π.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22)14f x x x x x x x π=+=-+=-+（1）最小正周期是π21；（2）()f x 在[,]22ππ-上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x x x a x a π=++=++.（1）由21a +=得1a =-；（2）2{22,}3x k x k k Z πππ+∈≤≤.13、如图，设ABD α∠=，则CAE α∠=，2sin h AB α=，1cos hAC α=所以1212sin 2ABC h h S AB AC α∆=⋅⋅=，(0)2πα<<当22πα=，即4πα=时，ABC S ∆的最小值为12h h .第三章 复习参考题B 组（P147）1、解法一：由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，及0απ≤≤，可解得4sin 5α=， αh 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）13cos sin 55αα=-=，所以24sin 225α=，7cos225α=-，sin(2)sin 2cos cos2sin 44450πππααα-=-=. 解法二：由1sin cos 5αα-= 得21(sin cos )25αα-=，24sin 225α=，所以249cos 2625α=. 又由1sin cos 5αα-=，得sin()4πα-=.因为[0,]απ∈，所以3[,]444πππα-∈-.而当[,0]44ππα-∈-时，sin()04πα-≤；当3[,]444πππα-∈时，sin()4πα->所以(0,)44ππα-∈，即(,)42ππα∈所以2(,)2παπ∈，7cos225α=-.sin(2)4πα-=2、把1cos cos 2αβ+=两边分别平方得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=把1sin sin 3αβ+=两边分别平方得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=，即1322cos()36αβ+-=，所以59cos()72αβ-=-3、由sin()sin 3παα++= 可得3sin 2αα=4sin()65πα+=-. 又02πα-<<，所以366πππα-<+<，于是3cos()65πα+=.所以cos cos[()]66ππαα=+-4、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos x x x x x x x x x x x x x x +++==---1tan sin 2sin 2tan()1tan 4x x x x x π+==+-由177124x ππ<<得5234x πππ<+<，又3cos()45x π+=，所以4sin()45x π+=-，4tan()43x π+=-所以cos cos[()]cos()cos sin()sin 444444x x x x ππππππ=+-=+++=，sin 10x =-，7sin 22sin cos 25x x x ==, 所以2sin 22sin 281tan 75x x x +=--， 5、把已知代入222sin cos (sin cos )2sin cos 1θθθθθθ+=+-=，得22(2sin )2sin 1αβ-=.变形得2(1cos2)(1cos2)1αβ---=，2cos2cos2αβ=，224cos 24cos 2αβ= 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含θ的三角函数.考虑sin cos θθ+，sin cos θθ这两者又有什么关系及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法6、()21cos22sin(2)16f x x x m x m π=+++=+++.由 [0,]2x π∈ 得72[,]666x πππ+∈，于是有216m ++=. 解得3m =.()2sin(2)4()6f x x x R π=++∈的最小值为242-+=，此时x 的取值集合由322()62x k k Z πππ+=+∈，求得为2()3x k k Z ππ=+∈7、设AP x =，AQ y =，BCP α∠=，DCQ β∠=，则tan 1x α=-，tan 1y β=- 于是2()tan()()x y x y xyαβ-++=+-又APQ ∆的周长为2，即2x y +，变形可得2()2xy x y =+- 于是2()tan()1()[2()2]x y x y x y αβ-++==+-+-.又02παβ<+<，所以4παβ+=，()24PCQ ππαβ∠=-+=.8、（1）由221sin cos 5sin cos 1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，可得225sin 5sin 120ββ--=解得4sin 5β=或3sin 5β=-（由(0,)βπ∈，舍去）所以13cos sin 55ββ=-=-，于是4tan 3β=-（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan βββ表示的三角函数式的值，例如，sin()3πβ+，cos22β+，sin cos 2tan βββ-，sin cos 3sin 2cos ββββ-+，等等.。
高中数学课时作业(人教A版必修第一册)课时作业 1
课时作业1集合的概念基础强化1.下列语言叙述中，能表示集合的是()A．数轴上离原点距离很近的所有点B．德育中学的全体高一学生C．某高一年级全体视力差的学生D．与△ABC大小相仿的所有三角形2．下列结论不正确的是()A．0∈N B．2∉QC．0∈Q D．－1∈Z3．若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是() A．菱形B．平行四边形C．梯形D．正方形4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．65．(多选)下列说法中不正确的是()A．集合N与集合N*是同一个集合B．集合N中的元素都是集合Z中的元素C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素D．集合Q中的元素都是集合R中的元素6．(多选)下列说法正确的是()A．N*中最小的数是1B．若－a∉N*，则a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素7．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．8．已知集合A含有三个元素1，0，x，若x2∈A，则实数x的值为________．9．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈A，求实数x.10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值.能力提升11.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由59构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集12．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．513．(多选)已知集合M中的元素x满足x＝a＋2b，其中a，b∈Z，则下列选项中属于集合M的是()A．0 B．6C．11－2D．32－114．(多选)已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|的值所组成的集合为M，则下列判断错误的是()A．0∉M B．1∈MC．－2∈M D．2∈M15.已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0，1，2三个元素组成，且集合A 与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b ＋c＝________．16．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于集合A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．。
2022人教版高中数学必修四课时提升作业(五) 1.2.2 同角三角函数的基本关系
温馨提示：此套题为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。
关闭Word 文档返回原板块。
课时提升作业(五)同角三角函数的基本关系(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.sin α=√55，则sin 2α-cos 2α的值为( )A.-15B.-35C.15D.35【解析】选B.由于sin α=√55，所以cos 2α=1-sin 2α=45，则原式=15-45=-35.【延长探究】本题条件下，求sin 4α-cos 4α的值. 【解析】由sin 4α-cos 4α=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α =-35.2.(2021·福建高考)若sin α=-513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125B.-125C.512D.-512【解题指南】利用同角三角函数关系，“知一求二”.【解析】选D.由sin α=-513，且α为第四象限角可知cos α=1213，故tan α=sinαcosα=-512.3.(2021·葫芦岛高一检测)已知α是其次象限角，cos α=-13，则3sin α+tan α=( )A.-√2B.√2C.-1D.0 【解析】选D.由于cos α=-13，α是其次象限角，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−13)2=2√23. 所以tan α=sinαcosα=2√23−13=-2√2.所以3sin α+tan α=3×2√23-2√2=0. 4.(2021·重庆高一检测)已知角θ为第四象限角，且tan θ=-34，则sin θ- cos θ=( )A.15B.75C.-15D.-75【解析】选D.由已知得{sinθcosθ=−34,sin 2θ+cos 2θ=1,所以(−34cosθ)2+cos 2θ=1，cos 2θ=1625，又角θ为第四象限角，所以cos θ=45.所以sin θ=-34cos θ=-34×45=-35. 所以sin θ-cos θ=-35-45=-75.5.已知sin α-cos α=-√52，则tan α+1tanα的值为( )A.-4B.4C.-8D.8【解析】选C.tan α+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=1sinαcosα.由于sin αcos α=1−(sinα−cosα)22=-18，所以tan α+1tanα=-8.二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2021·北京高一检测)已知α是其次象限的角，且sin α=513，则cos α=________.【解析】由于α是其次象限的角，且sin α=513，所以cos α=-√1−sin 2α=-√1−(513)2=-1213.答案：-12137.若sin θ=k+1k−3，cos θ=k−1k−3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________.【解析】由于sin 2θ+cos 2θ=(k+1k−3)2+(k−1k−3)2=1，所以k 2+6k-7=0，所以k 1=1或k 2=-7.当k=1时，cos θ不符合，舍去. 当k=-7时，sin θ=35，cos θ=45，tan θ=34.答案：348.已知sinx=3cosx ，则sinxcosx 的值是________. 【解析】将sinx=3cosx 代入sin 2x+cos 2x=1中得9cos 2x+cos 2x=1，即cos 2x=110， 所以sin 2x=1-cos 2x=910， 由于sinx 与cosx 同号，所以sinxcosx>0， 则sinxcosx=√sin 2xcos 2x =310.答案：310三、解答题(每小题10分，共20分) 9.(2021·武汉高一检测)已知tan 2α1+2tanα=13，α∈(π2,π). (1)求tan α的值. (2)求sinα+2cosα5cosα−sinα的值.【解析】(1)由tan 2α1+2tanα=13，得3tan 2α-2tan α-1=0，即(3tan α+1)(tan α-1)=0，解得tan α=-13或tan α=1.由于α∈(π2,π)，所以tan α<0，所以tan α=-13.(2)由(1)，得tan α=-13，所以sinα+2cosα5cosα−sinα=tanα+25−tanα=−13+25−(−13)=516.【延长探究】本例条件下，计算sin 2α+sin αcos α的值.【解析】sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=(−13)2+(−13)(−13)2+1=-15.10.求证：3-2cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1.【证明】右边=3(tan 2α+1)−2tan 2α+1=3-2tan 2α+1=3-2sin 2αcos 2α+1=3-2cos 2αsin 2α+cos 2α=3-2cos 2α=左边，所以原式得证. 【一题多解】左边=3(sin 2α+cos 2α)−2cos 2αsin 2α+cos 2α=3sin 2α+cos 2αsin 2α+cos 2α=3tan 2α+1tan 2α+1=右边，所以原式得证.(20分钟 40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.化简sin 2α+cos 4α+sin 2αcos 2α的结果是( ) A.14B.12C.1D.32【解析】选C.原式=sin 2α+cos 2α(cos 2α+sin 2α)=sin 2α+cos 2α=1.【补偿训练】若sin α+sin 2α=1，则cos 2α+cos 4α等于________.【解析】由于sin α+sin 2α=1，sin 2α+cos 2α=1，所以sin α=cos 2α，所以cos 2α+cos 4α=sin α+sin 2α=1. 答案：12.(2021·宣城高一检测)已知sin θ=2cos θ，则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ等于( )A.-43B.54C.-34D.45【解题指南】关于sin θ，cos θ的齐次式，可用1的代换、化弦为切求值. 【解析】选D.由于sin θ=2cos θ，所以tan θ=sinθcosθ=2， sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ =sin 2θ+sinθcosθ−2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−2tan 2θ+1=22+2−222+1=45.二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2021·龙岩高一检测)化简：α为其次象限角，则cosα√1+tan 2α+√1+sinα1−sinα-√1−sinα1+sinα=__________.【解析】原式=cosα√1+2cos 2α+√(1+sinα)21−sin 2α-√(1−sinα)21−sin 2α=cosα·√1cos 2α+|1+sinαcosα|-|1−sinαcosα|.又由于α为其次象限角，所以cos α<0，1+sin α>0，1-sin α>0， 所以原式=1cosα·1−cosα-1+sinαcosα-(−1−sinαcosα)=-1-1+sinαcosα+1−sinαcosα=-1+−2sinαcosα=-1-2tan α.答案：-1-2tan α 【补偿训练】√1−2sin70°cos70°sin70°−√1−sin 270°=________.【解析】原式=√sin 270°+cos 270°−2sin70°cos70°sin70°−√cos 270°=√(sin70°−cos70°)2sin70°−|cos70°|=|sin70°−cos70°|sin70°−|cos70°|由于sin 70°>cos 70°>0， 所以原式=sin70°−cos70°sin70°−cos70°=1.答案：14.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正、余弦，则实数m 的值为________. 【解析】设直角三角形中的该锐角为β， 由于方程4x 2-2(m+1)x+m=0中， Δ=4(m+1)2-4·4m=4(m-1)2≥0， 所以当m ∈R 时，方程恒有两实根. 又由于sin β+cos β=m+12，sin βcos β=m4，所以由以上两式及sin 2β+cos 2β=1， 得1+2·m4=(m+12)2，解得m=±√3.当m=√3时，sin β+cos β=√3+12>0，sin β·cos β=√34>0，满足题意， 当m=-√3时，sin β+cos β=1−√32<0，这与β是锐角冲突，舍去. 综上，m=√3. 答案：√3三、解答题(每小题10分，共20分)5.(2021·盐城高一检测)已知sin α+cos α=12(0<α<π)，(1)求sin αcos α.(2)求sin α-cos α.【解析】(1)平方得1+2sin αcos α=14，所以sin αcos α=-38.(2)由(1)式知sin αcos α<0，0<α<π，所以π2<α<π，所以sin α-cos α>0，由于(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=74，所以sin α-cos α=√72.【补偿训练】在△ABC 中，sinA+cosA=15，求(1)sinA ·cosA. (2)tanA. 【解析】(1)由于sinA+cosA=15，所以(sinA+cosA)2=125，即1+2sinAcosA=125，所以sinAcosA=-1225.(2)由于sinA+cosA=15，①A ∈(0，π)，所以A ∈(π2,π)，所以sinA-cosA>0，又由于(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA =1-2×(−1225)=4925，所以sinA-cosA=75②联立①②解得，sinA=45，cosA=-35，所以tanA=sinAcosA=45−35=-43.6.已知sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，其中θ为锐角，求证：cos θ=√a 2−1b 2−1.【证明】由sin θ=asin φ，tan θ=btan φ，得sinθtanθ=asinφbtanφ，即acos φ=bcos θ，而asin φ=sin θ，得a 2=b 2cos 2θ+sin 2θ，即a 2=b 2cos 2θ+1-cos 2θ， 得cos 2θ=a 2−1b 2−1，而θ为锐角，所以cos θ=√a 2−1b 2−1.关闭Word 文档返回原板块。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第一章16
[学业水平训练]1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5·sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，电流I 为( ) A ．5 B.52C ．－52D ．－5 解析：选B.当t ＝1200时，I ＝5sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝5cos π3＝52. 2. 如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝12sin(2t ＋π2)，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )A.12，1πB ．2，1π C.12，π D ．2，π 解析：选A.当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π2＝π，故单摆频率为1π. 3．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：选C.注意图象所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |＞0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t 2(其中0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则车流量增加的时间段是( )A ．[0，5]B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]解析：选C.由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，由于0≤t ≤20， 所以0≤t ≤π或3π≤t ≤5π，从而车流量在时间段[10，15]内是增加的．5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是(6，0)，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4B ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4C ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4D ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4解析：选C.由题意，得A ＝3，14T ＝6－2＝4， 有T ＝16＝2πω，所以ω＝π8，得 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ， 最高点为(2，3)，有3sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝3， 得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1.又0＜φ＜π，所以φ＝π4， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4.6. 如图，是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．。
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：课时作业 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
解：(1)f(x)＝1＋sicno4sπ2＋xx2－sin2cπ4o－s2xx－1
＝
cos22x
sinπ4＋xcos4π＋x
＝si2ncπ2o＋s222xx＝2ccooss222xx＝2cos2x，
所以 f－1112π＝2cos－116π＝2cosπ6＝ 3.
(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝ 2sin2x＋π4. 因为 x∈0，π4，所以 2x＋π4∈4π，34π， 所以当 x＝π8时，g(x)max＝ 2， 当 x＝0 时，g(x)min＝1.
平方得 1＋2sinαcosα＝39＝13，
∴2sinαcosα＝－23.
∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝53.
∵α 是第二象限角，∴sinα>0，cosα<0.
∴cosα－sinα＝－ 315，
∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝－
(2)因为－π≤x≤0，所以－34π≤x＋π4≤π4.
当 x＋π4＝－π2，即 x＝－34π时，f(x)取得最小值．
所以 f(x)在区间[－π，0]上的最小值为
f－34π＝－1－
2 2.
——能力提升类——
12．已知 tanθ＝13，则 cos2θ＋12sin2θ 的值为( B )
A．－65
B．65
Hale Waihona Puke ＝2×cosxsi＋nxsinx＝
2×1＋tantaxnx＝
2 4.
11．已知函数 f(x)＝ 2sin2xcos2x－ 2sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间[－π，0]上的最小值．
解：(1)因为 f(x)＝ 22sinx－ 22(1－cosx) ＝sinx＋π4－ 22， 所以 f(x)的最小正周期为 2π.
高中数学课时作业(人教A版必修第一册)课时作业 35
课时作业35 对数的运算基础强化62 ＋3log 633 ＝( )A ．log 623B ．2C ．0D ．12．若lg 2＝m ，则lg 5＝( )A ．mB ．1mC ．1－mD ．10m3．若lg a 与lg b 互为相反数，则( )A ．a ＋b ＝0B ．ab＝1C ．ab ＝1D ．以上答案均不对4．已知log 3x ＝m ，log 3y ＝n ，则log 3xy ·3y用m 、n 可表示为( )A ．12 m －43 nB ．23 m －13nC ．m －3n 2 D ．12 m －23n5．(多选)以下运算错误的是( ) A ．lg 2×lg 3＝lg 6 B ．(lg 2)2＝lg 4 C ．lg 2＋lg 3＝lg 5 D ．lg 4－lg 2＝lg 26．(多选)若ab >0，则下列各式中，一定成立的是( ) A ．lg (ab )＝lg a ＋lg bB ．lg ab ＝lg a lg bC ．12 lg (a b )2＝lg a bD ．lg6（ab ）2 ＝13lg (ab )7．计算：log 2(24×34 )＝________．8．计算： log 525＋lg 1100＋ln e ＝________．9．设a ＝lg 2，b ＝lg 3，用a ，b 分别表示lg 6，lg 23，lg ，lg 12，lg 18.10．计算下列各式的值： (1)lg 1 000＋log 342－log 314；(2)(lg 5)2＋3lg 2＋2lg 5＋lg 2×lg 5.11.对任意大于) A ．y ＝x B ．y ＝2x C ．y ＝x 3 D ．y ＝log 2x12．若lg x －lg y ＝a ，则lg (x 2 )3－lg (y2)3＝( )A ．3aB ．32aC ．3a －2D ．a13．若10a ＝4，10b ＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab ＝2 D ．b －a >lg 614．(多选)已知log 13a ＋log 9b ＝0，则下列说法一定正确的是( )A ．(2a )2＝2bB ．a ·e ln a ＝bC ．b ＝a 2D ．log 2a ＝log 8(ab )15.已知log 918＝a ，9b ＝16，则3a－2的值为________．16．已知实数a ，b 满足3a ＝2，b log 34＝1. (1)用a 表示log 34－log 36；(2)计算9a ＋9－a ＋4b ＋4－b 的值．。
高中数学第一章三角函数课时作业41.2.1任意角的三角函数(第1课时)新人教A版必修4
课时作业(四) 1.2.1 任意角的三角函数（第一课时）1．(高考真题·湖南卷)cos330°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 C2.cos 2600°等于( ) A ．±32 B.32C ．－32D.12答案 D 解析cos 2600°＝|cos120°|＝|－12|＝12，故选D.3．点A(sin2 018°，cos2 018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 注意到2 018°＝360°×5＋(180°＋38°)，因此2 018°角的终边在第三象限，sin2 018°<0，cos2 018°<0，所以点A 位于第三象限，选C. 4．sin2 020°cos2 020°tan2 020°的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不存在 答案 A解析 由诱导公式一，得sin2 020°cos2 020°tan2 020°＝sin220°cos220°tan220°，因为220°是第三象限角，所以sin220°<0，cos220°<0，tan220°>0.所以sin2 020°·cos2 020°tan2 020°>0.5．设α为第三象限角，且|sin α2|＝－sin α2，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案 D解析 ∵α是第三象限的角，∴α2是二、四象限的角．又∵|sin α2|＝－sin α2，∴sin α2<0，∴α2是第四象限角．6．已知角α的终边与单位圆交于点(－32，－12)，则sin α的值为( ) A ．－32B ．－12C.32D.12答案 B解析 由任意角的三角函数定义易知：sin α＝y ＝－12，故选B.7．已知tanx>0，且sinx ＋cosx>0，那么角x 是第几象限角( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四答案 A解析 ∵tanx>0，∴x 是第一或第三象限角． 又∵sinx ＋cosx>0，∴x 是第一象限角．8．若角α终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P(m ，n)为角α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4答案 A解析 因为角α 终边与y ＝3x 重合，且sin α<0，所以α为第三象限角，∴P(m ，n)中m<0且n<0，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 9．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三角限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角答案 C解析 若cos θ·tan θ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，tan θ<0或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<0，tan θ>0.10．若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝35，则tan α＝( )A ．－34B.34C.43 D ．－43答案 D11．已知角α终边上一点P 的坐标为(cos π5，sin π5)，则α＝________．答案 2k π＋π5，k ∈Z解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝cos π5，sin α＝sin π5，∴α是与π5终边相同的角．∴α＝2k π＋π5，k ∈Z .12．已知角α的终边经过(2a －3，4－a)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________． 答案 a≤3213．(高考真题·江西卷)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案 －814．函数y ＝|sinx|sinx ＋cosx |cosx|＋|tanx|tanx 的值域是________．答案 {3，－1}解析 当x 是第一象限角时， 原式＝sinx sinx ＋cosx cosx ＋tanxtanx ＝3；当x 是第二象限角时， sinx>0，cosx<0，tanx<0.原式＝sinx sinx ＋－cosx cosx ＋tanx －tanx ＝－1；当x 是第三象限角时， sinx<0，cosx<0，tanx>0，原式＝sinx －sinx ＋－cosx cosx ＋tanx tanx ＝－1；当x 是第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，原式＝sinx －sinx ＋cosx cosx ＋tanx－tanx＝－1；综上可知，sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx|tanx|的值为3或－1.15．计算：(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°； (2)sin(－7π2)＋tan π－2cos0＋tan 9π4－sin 7π3.解析 (1)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin30°＋cos60°＋3tan45°－cos180° ＝12＋12＋3×1－(－1)＝5. (2)原式＝sin(－4π＋π2)＋tan π－2cos0＋tan(2π＋π4)－sin(2π＋π3)＝sin π2＋tan π－2cos0＋tan π4－sin π3＝1＋0－2＋1－32＝－32. 16．已知角θ终边上一点P(x ，3)(x≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值． 解析 ∵r＝x 2＋9，cos θ＝x r ，∴1010x ＝x x 2＋9.又x≠0，则x ＝±1.又y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.1．下列说法正确的是( )A ．对任意角α，如果α终边上一点坐标为(x ，y)，都有tan α＝yxB ．设P(x ，y)是角α终边上一点，因为角α的正弦值是yr ，所以正弦值与y 成正比C ．正角的三角函数值是正的，负角的三角函数值是负的，零的三角函数值是零D ．对任意象限的角θ，均有|tan θ|＋|1tan θ|＝|tan θ＋1tan θ|答案 D解析 对选项A ，x ＝0时不成立；对于选项B ，sin α仅是一个比值，与P 点选取无关，不随y 的变化而变化；对于选项C ，一全二正弦，三切四余弦；对于选项D ，对于象限角θ而言，tan θ和1tan θ同号．故选D.2．有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P(x ，y)是其终边上的一点，则cos α＝－x x 2＋y2.其中正确的命题是________． 答案 ①3．设α角属于第二象限，且|cos α2|＝－cos α2，则 α2角属于________象限．答案 三解析 ∵α是第二象限角， ∴2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z .∴k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .∴α2在第一，三象限，又|cos α2|＝－cos α2， ∴cos α2≤0.∴α2角属于第三象限． 4．已知P(－3，y)为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，求y 的值． 分析 本题主要考查的是三角函数的定义，y 的值可用方程方法解出． 解析 ∵P(－3，y)， ∴r ＝3＋y 2，sin β＝y 3＋y2.由已知得y 3＋y2＝1313.解方程得y ＝±12.经检验y ＝－12不合题意，应舍去，故y 的值为12.。
2019高一下学期数学(人教版必修4)第一章1.1.1课时作业
人教版高中数学必修精品教学资料[学业水平训练]1．下列说法中正确的是( )A ．120°角与420°角的终边相同B ．若α是锐角,则2α是第二象限的角C ．－240°角与480°角都是第三象限的角D ．60°角与－420°角有的终边关于x 轴对称解析：选D.对于A,420°＝360°＋60°,所以60°角与420°角终边相同,所以A 不正确； 对于B,α＝30°角是锐角,而2α＝60°角也是锐角,所以B 不正确；对于C,480°＝360°＋120°,所以480°角是第二象限角,所以C 不正确；对于D,－420°＝－360°－60°,又60°角与－60°角终边关于x 轴对称,所以D 正确．2．若角α满足α＝45°＋k ·180°,k ∈Z ,则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限解析：选A.当k 为奇数时,角α与225°角终边相同,在第三象限；当k 为偶数时,角α与45°角终边相同,在第一象限．3．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：选B.－330°角是第一象限角,但不能作为三角形的内角,故A 错；280°角是第四象限角,它是正角,故C 错；－100°角是第三象限角,它比钝角小,故D 错．4．已知α是第三象限角,则－α是第________象限角．( )A ．四B ．三C ．二D ．一解析：选C.∵α为第三象限角,∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°,k ∈Z .则－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°,k ∈Z .∴－α是第二象限角．5．若角α与β的终边相同,则角α－β的终边( )A ．在x 轴的非负半轴上B ．在x 轴的非正半轴上C ．在y 轴的非正半轴上D ．在y 轴的非负半轴上解析：选A.由已知可得α＝β＋k ·360°(k ∈Z ),∴α－β＝k ·360°(k ∈Z ),∴α－β的终边在x 轴的非负半轴上．6．在－360°～720°之间,与－367°角终边相同的角是________．解析：与－367°角终边相同的角可表示为α＝k ·360°－367°,k ∈Z .当k ＝1,2,3时,α＝－7°,353°,713°,这三个角都是符合条件的角．答案：－7°,353°,713°7．若时针走过2小时40分,则分针走过的角是________．解析：2小时40分＝83小时,－360°×83＝－960°,故分针走过的角为－960°. 答案：－960°8．有一个小于360°的正角,这个角的6倍的终边与x 轴的非负半轴重合,则这个角为________．解析：由题意知,6α＝k ·360°,k ∈Z ,所以α＝k ·60°,k ∈Z .又因为α是小于360°的正角,所以满足条件的角α的值为60°,120°,180°,240°,300°. 答案：60°,120°,180°,240°,300°9．求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角和最大负角．(1)－210°.(2)－1 484°37′.解：(1)因为－210°＝－360°＋150°,所以与－210°终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°,k ∈Z }．其中最小正角为150°,最大负角为－210°.(2)因为－1 484°37′＝－5×360°＋315°23′,所以与－1 484°37′终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋315°23′,k ∈Z },其中最小正角为315°23′,最大负角为－44°37′.10．在平面直角坐标系中,画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．(1){α|k ·360°≤α≤135°＋k ·360°,k ∈Z }．(2){α|k ·180°≤α≤135°＋k ·180°,k ∈Z }．解：[高考水平训练]1．如果角α与角γ＋45°的终边重合,角β与角γ－45°的终边重合,那么角α与角β的关系为( )A ．α＋β＝0°B ．α－β＝90°C ．α＋β＝2k ·180°(k ∈Z )D ．α－β＝2k ·180°＋90°(k ∈Z )解析：选D.由条件知α＝γ＋45°＋k 1·360°(k 1∈Z ),β＝γ－45°＋k 2·360°(k 2∈Z )．将两式相减消去γ,得α－β＝(k 1－k 2)·360°＋90°,即α－β＝2k ·180°＋90°(k ∈Z )．2．设集合A ＝{x |k ·360°＋60°＜x ＜k ·360°＋300°,k ∈Z },B ＝{x |k ·360°－210°＜x ＜k ·360°,k ∈Z },则A ∩B ＝________．解析：因为A ＝{x |k ·360°＋60°＜x ＜k ·360°＋300°,k ∈Z },B ＝{x |k ·360°＋150°＜x ＜k ·360°＋360°,k ∈Z },所以A ∩B ＝{x |k ·360°＋150°＜x ＜k ·360°＋300°,k ∈Z }．答案：{x |k ·360°＋150°＜x ＜k ·360°＋300°,k ∈Z }3．已知角α＝2 014°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z ,0°≤β＜360°)的形式,并指出它是第几象限角；(2)求θ,使θ与α终边相同,且－360°≤θ＜720°.解：(1)用2 014°除以360°商为5,余数为214°.∴k ＝5.∴α＝5×360°＋214°(β＝214°)．∴α为第三象限角．(2)与2 014°终边相同的角为k ·360°＋2 014°(k ∈Z ),令－360°≤k ·360°＋2 014°＜720°(k ∈Z ),解得－1 187180≤k ＜－647180(k ∈Z ),∴k＝－6,－5,－4.将k的值代入k·360°＋2 014°中,得角θ的值为－146°,214°,574°.4. 如图,分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°,k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°,k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°,k∈Z}．When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.When you are old and grey and full of sleep, And nodding by the fire, take down this book, And slowly read, and dream of the soft look Your eyes had once, and of their shadows deep; How many loved your moments of glad grace, And loved your beauty with love false or true, But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face; And bending down beside the glowing bars, Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from both Yet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart. The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.。
高一下学期数学(人教版必修4)第二章2.4.1课时作业
[学业水平训练]1．已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝()A．2B．－2C．4 D．－4解析：选D.由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a－b|的值为() A．1 B. 3C．2 3 D．3 2解析：选C.|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×2×2×cos 120°＋22＝12.∴|a－b|＝12＝2 3.3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－332，则a与b的夹角为()A．30°B．45°C．135°D．150°解析：选A.∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－332，∴a·b＝32.设夹角为θ，则cos θ＝a·b|a|·|b|＝32，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.4．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.5．(2014·石家庄质检)已知平面向量a、b，|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则向量a与向量a＋b的夹角为()A.π2B.π3C.π6D．π解析：选B.∵|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2＝7，|a|＝1，|b|＝3，∴4＋4a·b＋3＝7，a·b＝0，∴a⊥b.如图所示，a与a＋b的夹角为∠COA，∵tan∠COA＝|CA||OA|＝3，∴∠COA＝π3，即a与a＋b的夹角为π3.6．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120°，而a在e方向上的投影为－2，则|a|＝________．解析：∵|a|·c os 120°＝－2，∴|a|·(－12)＝－2，∴|a|＝4.答案：47．若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a ＋b)＝________．。
(word完整版)人教版高中数学必修4课后习题答案(2021年整理)
(word完整版)人教版高中数学必修4课后习题答案(word版可编辑修改) 编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(word完整版)人教版高中数学必修4课后习题答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(word完整版)人教版高中数学必修4课后习题答案(word版可编辑修改)的全部内容。
人教版高中数学必修4课后习题答案。
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试题(全册 共24课时 附解析 共122页)
最新人教版高中数学必修四课时跟踪测试（全册共24课时附解析共122页）课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M 中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k ·90°<360°，则－133<k <113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k ·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D ①－15°是第四象限角； ②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角； ④－350°＝－360°＋10°是第一象限角， 所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( ) A ．120°＋k ·360°，k ∈Z B ．120°＋k ·180°，k ∈Z C ．240°＋k ·360°，k ∈Z D ．240°＋k ·180°，k ∈Z解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k ·360°，k ∈Z ，则α＝120°＋k ·180°，k ∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的非负半轴上 B ．x 轴的非正半轴上 C ．y 轴的非负半轴上 D ．y 轴的非正半轴上解析：选A ∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z ， ∴其终边在x 轴的非负半轴上．4．设集合M ＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z}，N ＝{α|α＝90°＋k ·45°，k ∈Z}，则集合M 与N 的关系是( )A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．课时跟踪检测（二） 弧 度 制层级一 学业水平达标1．把50°化为弧度为( ) A ．50 B ．5π18 C ．185πD ．9 000π解析：选B 50°＝50×π180＝5π18. 2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝12lr ＝16.3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143πB ．－143π C ．718πD ．－718π解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π2＋k π，k ∈ZC ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k ·π2，k ∈Z D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋2k π，k ∈Z解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π4＋k π，k ∈Z .6．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________． 解析：－135°＝－135×π180＝－34π， 113π＝113×180°＝660°. 答案：－34π 660°7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.答案：π8．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <83.∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－56π，－π3，π6，23π9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R .联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.10．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z)． 解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z)，是第四象限角．层级二 应试能力达标1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD ．π12化成度是15°解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z)解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z)，∴α－β＝π2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π2＋2k π(k ∈Z)．4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3B ．2π3C ． 3D ．2解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR ＝ 3.5．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是____________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π106．已知一扇形的圆心角为π3rad ，半径为R ，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．解析：设扇形内切圆的半径为r ， ∵扇形的圆心角为π3，半径为R ，∴S 扇形＝12×π3R 2＝π6R 2.∵扇形内切圆的圆心在圆心角的角平分线上， ∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴r ＝R3.∵S 内切圆＝πr 2＝π9R 2，∴S 内切圆∶S 扇形＝π9R 2∶π6R 2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1 690°，(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋2518π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋2518π<4π. 解得－9736<k <4736(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.8．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求： (1)弧AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积． 解：(1)因为120°＝120180π＝23π，所以l ＝α·r ＝23π×6＝4π，所以弧AB 的长为4π.(2)因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点， 于是有S △OAB ＝12AB ·OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.所以弓形的面积为S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3.课时跟踪检测（三） 三角函数的定义与公式一层级一 学业水平达标1．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，32 B ．⎝⎛⎭⎫－12，32 C ．⎝⎛⎭⎫－32，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，－32解析：选B 设P (x ，y )，∵角α＝2π3在第二象限， ∴x ＝－12，y ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32， ∴P ⎝⎛⎭⎫－12，32.2．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22解析：选C ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r ＝12＋(－1)2＝2，∴cos α＝x r ＝12＝22.3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：选B ∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)， ∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角． 4．代数式sin 120°cos 210°的值为( ) A ．－34B ．34C ．－32D ．14解析：选A 利用三角函数定义易得sin 120°＝32， cos 210°＝－32，∴sin 120°cos 210°＝32×⎝⎛⎭⎫－32＝－34，故选A.5．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于( ) A ．±15B ．±55C ．±255D ．±12解析：选C 在α的终边上任取一点(－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P (1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－25 5.6．tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝________.解析：tan ⎝⎛⎭⎫－17π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案： 37．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α＝________. 解析：∵tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12.∴r ＝25＋a 2＝13. ∴sin α＝－1213，cos α＝513. ∴sin α＋cos α＝－713.答案：－7138．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0. 综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：09．求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4. 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3， ∴tan 19π3＝tan ⎝⎛⎭⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3. (3)∵－31π4＝－4×2π＋π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22. 10．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α和tan α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. ∵点M 在圆x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1， 即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. ∴cos α＝22或cos α＝－22， ∴tan α＝－1或tan α＝1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3.2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝⎛⎭⎫－π4>0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.故选B. 3．若tan x <0，且sin x －cos x <0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵tan x <0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x <0，∴角x 的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝( )A ．8B ．－8C ．4D ．－4解析：选B 由题意r ＝|OP |＝m 2＋(－6)2＝m 2＋36，故cos α＝m m 2＋36＝－45，解得m ＝－8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析：|OP |＝42＋y 2.根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－ 255，解得y ＝±8.又∵sin θ＝－255＜0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8.答案：－86．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋ cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. 答案：327．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4.解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0， ∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角，∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角．∴sin 4<0，tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0.8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限．(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，所以sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1， 得m ＝±45.又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.课时跟踪检测（四） 三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM解析：选D ∵7π8是第二象限角，∴sin7π8>0，cos 7π8<0， ∴MP >0，OM <0， ∴MP >0>OM .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度 为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是_________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 18．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________． 解析：由图可知sin 3π4＝22，sin3π2＝－1，22>sin θ>－1， 即sin θ∈⎝⎛⎭⎫－1，22. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)5π6；(2)－2π3. 解：(1)因为5π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，则有向线段MP ＝sin5π6，有向线段OM＝cos5π6，设过A (1,0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线． (2)因为－2π3∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示． 交单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′，OM ′，A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg⎝⎛⎭⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎫22－sin x 有意义，则22－sin x >0，所以sinx <22，所以角x 终边所在区域如图所示， 所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z. 所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π－π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cosα＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) A ．⎣⎡⎤－3π4，π4 B ．⎣⎡⎤－π2，π2 C ．⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝cos ⎝⎛⎭⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知： cos6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0. ∵|MP |<|AT |， ∴sin2π5<tan 2π5. 故cos6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π. 答案：⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－5π6 ＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－2π3 ≤θ<2k π－π6 或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z .8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ， ∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |，∴sin α<α<tan α.课时跟踪检测（五） 同角三角函数的基本关系层级一 学业水平达标1．(福建高考)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 因为sin α＝－513，且α为第四象限角， 所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角， ∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3．下列四个结论中可能成立的是( ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α解析：选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sin α＝0且cos α＝－1，故B 成立，而A 、C 、D 都不成立．4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35解析：选A sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－(1－sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.5．若α是三角形的最大内角，且sin α－cos α＝35，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析：选B 将sin α－cos α＝35两边平方，得1－2sin αcos α＝925，即2sin αcos α＝1625.又α是三角形的内角，∴sin α>0，cos α>0，∴α为锐角．6．若sin θ＝－22，tan θ>0，则cos θ＝________. 解析：由已知得θ是第三象限角， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－222＝－22.答案：－227．化简：1－2sin 40°cos 40°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40° ＝(sin 40°－cos 40°)2＝|cos 40°－sin 40°|＝cos 40°－sin 40°. 答案：cos 40°－sin 40°8．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝________.解析：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝－12＋1－12－1＝12－32＝－13.答案：－139．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°；(2)sin θ－cos θtan θ－1.解：(1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1.(2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.10．已知sin α＋cos α＝33，求tan α＋1tan α及sin α－cos α的值． 解：将sin α＋cos α＝33两边平方，得sin αcos α＝－13. ∴tan α＋1tan α＝1sin αcos α＝－3， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋23＝53，∴sin α－cos α＝±153. 层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则sin α的值是( ) A ．－55B ．55C ．255D ．－255解析：选A ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴sin α<0. 由tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝－55. 2．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：选A ⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α·(1－cos α)＝(1＋cos α)sin α·(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α.3．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 4．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．34B ．±310C ．310D ．－310解析：选C 由条件得sin θ＋cos θ＝2sin θ－2cos θ， 即3cos θ＝sin θ，tan θ＝3， ∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝31＋32＝310. 5．已知sin αcos α＝18，且π<α<5π4，则cos α－sin α＝________.解析：因为π<α<5π4，所以cos α<0，sin α<0.利用三角函数线，知cos α<sin α，所以cosα－sin α<0，所以cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2＝－1－2×18＝－32.答案：－326．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α(n ∈Z)的值为________． 解析：∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，当sin α＝0时，cos α＝1，此时有sin n α＋cos n α＝1； 当cos α＝0时，sin α＝1，也有sin n α＋cos n α＝1， ∴sin n α＋cos n α＝1. 答案：17．已知tan 2α1＋2tan α＝13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.(1)求tan α的值； (2)求sin α＋2cos α5cos α－sin α的值．解：(1)由tan 2α1＋2tan α＝13，得3tan 2α－2tan α－1＝0，即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0， 解得tan α＝－13或tan α＝1.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以tan α<0，所以tan α＝－13. (2)由(1)，得tan α＝－13，所以sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝－13＋25－⎝⎛⎭⎫－13＝516.8．求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α.证明：左边＝cos α(1＋cos α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1＋cos α)＝cos 2α－sin 2α＋cos α－sin α1＋sin α＋cos α＋sin αcos α ＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)12(cos α＋sin α)2＋sin α＋cos α＋12＝2(cos α－sin α)(cos α＋sin α＋1)(sin α＋cos α＋1)2＝2(cos α－sin α)1＋sin α＋cos α＝右边．所以原等式成立．课时跟踪检测（六） 诱导公式（一）层级一 学业水平达标1．sin 600°的值是( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32解析：选D sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( )A ．12B ．－12C ．－32D ．32解析：选B 由题知，sin α＝12，所以sin(4π－α)＝－sin α＝－12.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )A ．－255B ．－55C ．55 D ．255解析：选C ∵r ＝1，∴cos θ＝－55， ∴cos(π－θ)＝－cos θ＝55. 4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－233解析：选B ∵tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π3－α， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2π3＋α＝－13. 5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α＋3π)＋cos (π＋α)sin (－α)－cos (π＋α)的值等于( )A ．m ＋1m －1B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1解析：选A ∵tan(5π＋α)＝tan [4π＋(π＋α)]＝tan(π＋α)＝tan α，∴tan α＝m ，∴原式＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1，故选A. 6．求值：(1)cos 29π6＝______；(2)tan(－855°)＝______. 解析：(1)cos29π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.答案：(1)－32(2)1 7．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为________． 解析：sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 所以cos α＝1－sin 2α＝53，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：2558．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.解析：由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213. 答案：12139．求下列各三角函数值：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3；(2)cos 23π6；(3)tan 37π6. 解：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－8π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋4π3＝sin 4π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－sin π3＝－32.(2)cos 23π6＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32. (3)tan 37π6＝tan ⎝⎛⎭⎫6π＋π6＝tan π6＝33. 10．若cos α＝23，α是第四象限角，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．解：由已知cos α＝23，α是第四象限角得sin α＝－53，故sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝52. 层级二 应试能力达标1．已知cos(π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin(－2π－α)的值是( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35解析：选B ∵cos(π－α)＝－cos α，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴sin α>0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45.∴sin(－2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝－45.2．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 015)＝5，则f (2 016)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：选C ∵f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴f (2 016)＝a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.3．若α，β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos β C ．tan α＝tan βD ．sin α＝－sin β 解析：选A 法一：∵α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β＝π＋2k π或α＋β＝－π＋2k π，k ∈Z ， ∴α＝2k π＋π－β或α＝2k π－π－β，k ∈Z ， ∴sin α＝sin β.法二：设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )，且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则sin α＝sin β＝yr .4．下列三角函数式：①sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4；②cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6；③sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ④cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3. 其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：选C ①中sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋3π4＝sin 3π4≠sin π3；②中，cos ⎝⎛⎭⎫2n π－π6＝cos π6＝sin π3；③中，sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3＝sin π3；④中，cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6≠sin π3；⑤中，sin ⎣⎡⎦⎤(2n －1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝sin π3. 5．化简：cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是________．解析：原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2. 答案：2－26．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116的值为________． 解析：因为f ⎝⎛⎭⎫－116＝sin ⎝⎛⎭⎫－11π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＝sin π6＝12； f ⎝⎛⎭⎫116＝f ⎝⎛⎭⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎫－16－2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6－2＝－12－2＝－52.所以f ⎝⎛⎭⎫－116＋f ⎝⎛⎭⎫116＝－2. 答案：－2 7．计算与化简(1)tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)(－cos θ)sin (5π＋θ)；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θcos θsin θ＝tan θ.(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1.8．已知1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，求：[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)的值． 解：由1＋tan (θ＋720°)1－tan (θ－360°)＝3＋22，得(4＋22)tan θ＝2＋22， 所以tan θ＝2＋224＋22＝22，故[cos 2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin 2(θ－π)]·1cos 2(－θ－2π)＝(cos 2θ＋sin θcos θ＋2sin 2θ)·1cos 2θ＝1＋tan θ＋2tan 2θ ＝1＋22＋2×⎝⎛⎭⎫222＝2＋22.课时跟踪检测（七） 诱导公式（二）层级一 学业水平达标1．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ<0，且cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由于sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)的值是( )A ．15B ．－15C ．－265D ．265解析：选B cos(450°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－15.3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－33B ．33C ．－ 3D ． 3解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32.又|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23解析：选B sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.5．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A 2解析：选D ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin C ，故A ，B 错．∵A ＋C ＝π－B ，∴A ＋C 2＝π－B2， ∴cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＝sin B2，故C 错． ∵B ＋C ＝π－A ，∴sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2，故D 正确． 6．sin 95°＋cos 175°的值为________．解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：07．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos 2θ－sin 2θ＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝cos θ＝35，从而sin 2θ＝1－cos 2θ＝1625，所以cos 2θ－sin 2θ＝－725. 答案：－7258．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α9．已知sin(π＋α)＝－13.求：(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α.解：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α＝－13. (2)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝223.。
高一下学期数学必修4全册课时作业-第一章13
[学业水平训练]1．cos(－420°)的值等于( )A.32B ．－32 C.12 D ．－12 解析：选C.cos(－420°)＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝12. 2．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是( ) A.12 B ．－12C ．－32 D.32解析：选B.sin α＝12，sin(4π－α)＝－sin α＝－12. 3．已知cos α＝35，则sin(3π＋α)·cos(2π－α)·tan(π－α)等于( ) A ．±35 B ．±45C.925D.1625解析：选D.原式＝sin(π＋α)·cos(－α)·tan(π－α)＝(－sin α)·cos α·(－tan α)＝sin 2α，由cos α＝35，得sin 2α＝1－cos 2α＝1625. 4．已知角α和β的终边关于x 轴对称，则下列各式中正确的是( )A ．sin α＝sin βB ．sin(α－2π)＝sin βC ．cos α＝cos βD ．cos(2π－α)＝－cos β解析：选C.由α和β的终边关于x 轴对称，故β＝－α＋2k π(k ∈Z )，故cos α＝cos β.5．下列三角函数值：①sin(n π＋4π3)；②cos(2n π＋π6)；③sin(2n π＋π3)； ④sin[(2n ＋1)π－π3](n ∈Z )． 其中与sin π3数值相同的是( ) A ．①② B ．②③C ．②③④D ．①③④解析：选C.①sin(n π＋4π3)＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数）－sin π3（n 为偶数）； ②cos(2n π＋π6)＝cos π6＝sin π3；③sin(2n π＋π3)＝sin π3；④sin[(2n ＋1)π－π3]＝sin π3.故②③④正确． 6．sin(－17π3)＝________． 解析：sin(－17π3)＝sin(－6π＋π3)＝sin π3＝32. 答案：327．化简：cos （－α）tan （7π＋α）sin （π＋α）＝________. 解析：原式＝cos αtan α－sin α＝－sin αsin α＝－1. 答案：－18．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．解析：因为|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则|sin α|＝－sin α，sin α≤0，所以2k π－π≤α≤2k π(k ∈Z )．答案：{α|2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }9．已知cos α＝14，求sin （2π＋α）cos （－π＋α）cos （－α）tan α的值． 解：sin （2π＋α）cos （－π＋α）cos （－α）tan α＝sin α（－cos α）cos αtan α＝－cos α＝－14. 10．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5； (2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5＋cos 3π5 ＝⎣⎡⎦⎤cos π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－π5＋⎣⎡⎦⎤cos 2π5＋cos ⎝⎛⎭⎫π－2π5 ＝⎝⎛⎭⎫cos π5－cos π5＋⎝⎛⎭⎫cos 2π5－cos 2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)cos(－2×360°＋60°)＝sin60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝32×32＋12×12＝1. [高考水平训练]1．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9.其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C.sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0. ∴原式>0.2．已知sin α＝15，cos(α＋β)＝－1，则sin(2α＋β)＝________． 解析：由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2k π＋π(k ∈Z )，则2α＋β＝α＋(α＋β)＝α＋2k π＋π(k ∈Z )，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋2k π＋π)。
人教版高中数学-必修4课时作业26 简单的三角恒等变换
答案：tan
10．已知tan2θ＝－2 ，π＜2θ＜2π，求 .
解析： ＝ ＝ ，
∵tan2θBiblioteka －2 ，∴ ＝－2 .∴ tan2θ－tanθ－ ＝0.
∴tan2θ－ tanθ－1＝0.
∴tanθ＝ 或tanθ＝－ .
∵π＜2θ＜2π，∴ ＜θ＜π，∴tanθ＜0.
∴tanθ＝－ .
7．已知α是第三象限角，且sinα＝－ ，则tan 等于()
A．－ B.
C. D．－
解析：方法一：由2kπ＋π＜α＜2kπ＋ (k∈Z)知
kπ＋ ＜ ＜kπ＋ (k∈Z)，cosα＝－ ，
∴tan ＝－ ＝－ ＝－ .
方法二：由α为第三象限角及sinα＝－ 知cosα＝－ ，
∴tan ＝ ＝ ＝－ .
答案：C
4．已知角α在第一象限，且cosα＝ ，则 等于()
A. B.
C. D．－
解析：原式＝
＝
＝
＝2×(cosα＋sinα)
＝2×
＝ .
答案：C
5．设函数f(x)＝2cos2x＋ sin2x＋a(a为实常数)在区间 上的最小值为－4，那么a的值等于()
A．4B．－6
C．－4 D．－3
解析：f(x)＝2cos2x＋ sin2x＋a＝1＋cos2x＋ sin2x＋a＝2sin ＋a＋1.当x∈ 时，2x＋ ∈ ，∴f(x)min＝2· ＋a＋1＝－4.
答案：D
8．函数f(x)＝sin2x＋ sinxcosx在区间 上的最大值是()
A．1 B.
C. D．1＋
解析：由已知得f(x)＝ ＋ sin2x＝ ＋sin ，当x∈ 时，2x－ ∈ ，sin ∈ ，因此f(x)的最大值等于 ＋1＝ ，故选C.
人教A版精编高中数学必修4课时作业2弧度制 Word版含答案
课时作业2.弧度制时间：45分钟..分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．－120°化为弧度为(..) A ．－56π B ．－π2 C ．－23πD ．－34π解析：由于1°＝π180rad ，所以－120°＝－120×π180＝－2π3，故选C. 答案：C2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(..)A ．扇形面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 解析：∵l ＝|α|R ，∴|α|＝l R .当R ，l 均变为原来的2倍时，|α|不变．而S ＝12|α|R 2中，∵α不变，∴S 变为原来的4倍．答案：B3．用弧度制表示终边与角150°相同的角的集合为(..)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：150°＝150×π180＝5π6，故与角150°相同的角的集合为{β|β＝5π6＋2k π，k ∈Z }． 故选D. 答案：D4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是(..) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4D.3π4解析：∵－11π4＝－2π－3π4，∴－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．答案：A5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝(..)A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π} 解析：如图．P ∩Q ＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}． 答案：B6．已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是(..)A.π2B.3π2C.2π3D.4π3解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即π6，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是π6×4＝2π3.故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }8．已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝lr ＝1或4. 答案：1或49．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.解析：与α终边相同的角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋π3<4π，化简得：－136<k <116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1， ∴α＝－113π，－53π，π3，73π. 答案：－113π，－53π，π3，73π三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分) 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图①中以OB 为终边的角330°，可看成－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴{θ|2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z }． (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|2k π＋7π6<θ<2k π＋3π2，k ∈Z } ＝{θ|2k π＋π6<θ<2k π＋π2，k ∈Z }∪ {θ|(2k ＋1)π＋π6<θ<(2k ＋1)π＋π2，k ∈Z } ＝{θ|k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z }．11．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3rad ，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6rad ，求P 、Q 第一次相遇时所用的时间及P 、Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，所以第一次相遇所用的时间为4 s ，所以P 点走过的弧长为43π×4＝163π，Q 点走过的弧长为83π.12．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB ＝2π3，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积．解：设圆半径为r的长为m ，由题意，得m r ＝2π3.而∠AOD ＝π3，∴OD ＝12OA ＝r2. ∴CD ＝12OC ＝r2＝a .∴r ＝2a . ∴m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4πa 23. 又AB ＝2AD ＝23a ，S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.∴S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎪⎫4π3－3a 2.。
2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：2.6 习题课4
习题课(4)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( D ) A ．a ＝b B ．a ≠bC ．|a |＝|b |D ．a ＝b 或(a －b )⊥c解析：由a ·c ＝b ·c ，得(a －b )·c ＝0.∵c ≠0，∴a －b ＝0或(a －b )⊥c .故选D.2．设a ＝(1，－2)，b ＝(3,1)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )·(a －c )等于( A ) A ．11 B ．5 C ．－14 D ．10 解析：a ＋b ＝(4，－1)，a －c ＝(2，－3)，∴(a ＋b )·(a －c )＝2×4＋(－1)×(－3)＝11.3．设i 、j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 为( A )A ．－2B ．2C ．－12D ．不存在 解析：由题意知(a ＋b )·(a －b )＝[(m ＋2)i ＋(m －4)j ]·[m i －(m ＋2)j ]＝(m ＋2)m －(m －4)(m ＋2)＝4m ＋8＝0，故m ＝－2.故选A.4．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( D ) A ．－32a 2 B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2解析：由题意得|BD |＝3a ，BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos30°＝3a ·a ·32＝32a 2，选D.5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( C ) A.π6B.π4C.π3D.π2解析：由a ·(b －a )＝2，得a ·b －a ·a ＝2，即a ·b ＝3，故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，则其夹角为π3，故选项为C.6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π2(0<x <4)的图像如图所示，A 为图像与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图像交于C 、B 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( D )A ．－8B ．－4C ．4D ．8解析：由题中正切函数图像知|OA |＝2，A 为BC 的中点，所以(OB →＋OC →)·OA→＝2OA →2＝8.故选D. 7.如图，O ，A ，B 是平面上的三点，C 为线段AB 的中点，向量OA →＝a ，OB→＝b ，设P 为线段AB 的垂直平分线上任意一点，向量OP →＝p .若|a |＝4，|b |＝2，则p ·(a －b )等于( D )A ．1B ．3C ．5D ．6解析：由题图知CP →⊥BA →，则CP →·BA →＝0，p ＝OP →＝OC →＋CP →＝12(OA →＋OB →)＋CP →，则p ·(a －b )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(a ＋b )＋CP →·(a －b )＝12(a ＋b )·(a －b )＋CP →·(a －b )＝12(a 2－b 2)＋CP →·BA →＝12(|a |2－|b |2)＋0＝12×(42－22)＝6. 8．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π 解析：|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0.设向量a ，b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |≤14|a |212|a |2＝12，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π.故选B. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)9．已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |等于3.解析：因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3. 10．若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝2 5. 解析：法一：设OB→＝(x ，y )，由|OA →|＝|OB →|知， x 2＋y 2＝10，又OA →·OB →＝x －3y ＝0， 所以x ＝3，y ＝1或x ＝－3，y ＝－1. 当x ＝3，y ＝1时，|AB→|＝25； 当x ＝－3，y ＝－1时，|AB→|＝2 5.则|AB →|＝2 5. 法二：由几何意义知，|AB →|就是以OA →，OB →为邻边的正方形的对角线长，所以|AB→|＝2 5.11．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝－8或5.解析：由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb )，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b .由a ，b ，c 为单位向量，得a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分．写出必要的文字说明、计算过程或演算步骤)12．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b 且同向，求a ·b .(2)若向量a 与b 的夹角为135°，求|a ＋b |. 解：(1)若a ∥b 且同向，则a 与b 夹角为0， 此时a ·b ＝|a ||b |＝ 2.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋2＋22cos135°＝1.13．已知a ＝(3,4)，b ＝(4,3)，求使(x a ＋y b )⊥a ，且|x a ＋y b |＝1的x ，y 的值．解：∵a ＝(3,4)，b ＝(4,3)，∴x a ＋y b ＝(3x ＋4y,4x ＋3y )． 又∵(x a ＋y b )⊥a ，∴(x a ＋y b )·a ＝0，∴3(3x ＋4y )＋4(4x ＋3y )＝0，即25x ＋24y ＝0.① 又∵|x a ＋y b |＝1，∴|x a ＋y b |2＝1， ∴(3x ＋4y )2＋(4x ＋3y )2＝1. 整理得25x 2＋48xy ＋25y 2＝1， 即x (25x ＋24y )＋24xy ＋25y 2＝1. ② 由①②得24xy ＋25y 2＝1. ③ 将①变形代入③可得y ＝±57.当y ＝57时，x ＝－2435；当y ＝－57时，x ＝2435.∴⎩⎪⎨⎪⎧x＝2435，y ＝－57或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2435，y ＝57.14.如图，在△OAB 中，已知点P 为线段AB 上的一点，且|AP→|＝2|PB →|.(1)试用OA→、OB →表示OP →； (2)若|OA →|＝3，|OB →|＝2，且∠AOB ＝π3，求OP →·AB →的值． 解：(1)因为点P 在AB 上，且|AP →|＝2|PB →|， 所以AP→＝2PB →，OP →－OA →＝2(OB →－OP →)， 所以OP →＝13OA →＋23OB →.(2)OP →·AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·(OB →－OA →) ＝－13OA →2＋23OB →2－13OA →·OB →＝－13|OA →|2＋23|OB →|2－13|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝－13×9＋23×4－13×3×2cos π3＝－43.。
2020-2021学年数学人教A版必修4课件：课时作业 2-2-3 向量数乘运算及其几何意义
∈R，则点 P 一定在( B )
A．△ABC 内部
B．AC 边所在的直线上
C．AB 边所在的直线上 D．BC 边所在的直线上
解析：∵C→B＝λP→A＋P→B，∴C→B－P→B＝λP→A. ∴C→P＝λP→A.∴P、A、C 三点共线． ∴点 P 一定在 AC 边所在的直线上．
二、填空题
7．化简25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)＝ 0 .
(1)用 a，b 表示向量A→D，A→E，A→F，B→E，B→F. (2)证明：B，E，F 三点共线．
解：(1)如图所示，延长 AD 到 G，使A→D＝12A→G，连接 BG， CG，则四边形 ABGC 是平行四边形，则A→G＝A→B＋A→C＝a＋b，
所以A→D＝12A→G＝12a＋12b， A→E＝23A→D＝13a＋13b.
A.A→D＝－13A→B＋43A→C B.A→D＝13A→B－43A→C C.A→D＝43A→B＋13A→C D.A→D＝43A→B－13A→C
解析：A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋43B→C＝A→B＋43(A→C－A→B) ＝－13A→B＋43A→C，选 A.
6．点 P 是△ABC 所在平面内一点，若C→B＝λP→A＋P→B，其中 λ
解析：A→C＝A→B＋B→C＝4a＋(m＋1)b，C→D＝2a－b. ∵a，b 不共线，∴C→D≠0，又 A，C，D 三点共线， ∴A→C＝nC→D(n∈R)，即 4a＋(m＋1)b＝2na－nb， ∴4m＝＋21n＝，－n， ∴m＝－3.
9．如图所示，在▱ABCD 中，A→B＝a，A→D＝b，A→N＝3N→C，M
因为 F 是 AC 的中点，所以A→F＝12A→C＝12b. 所以B→E＝A→E－A→B＝13(a＋b)－a＝13b－23a， B→F＝A→F－A→B＝12b－a. (2)证明：由(1)可知B→E＝13(b－2a)，B→F＝12(b－2a)，所以B→E＝ 23B→F，即B→E，B→F是共线向量，且有公共点 B，所以 B，E，F 三点 共线．
《状元之路》人教B高中数学必修4 40分钟课时作业：2322
e2)·(－3e1＋2e2)＝( )
A．－8
9 B.2
C．－92
D．8
解析：由题意，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝cos60°＝12.
∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e12－2e22＋7e1·e2＝－8＋72＝－92.
答案：C
Hale Waihona Puke 4．在边长为 1 的等边△ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，
解：(1)∵x⊥y，∴x·y＝0. 即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0 ∴－ka2＋t(t－3)b2－k(t－3)a·b＋ta·b＝0. 由|a|＝2，|b|＝1，a·b＝0， ∴－4k＋t(t－3)＝0，得 k＝tt－4 3. ∵k，t 不同时为零，∴t≠0，即 k＝f(t)＝tt－4 3(t≠0)．
答案：π3
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 10．若|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 夹角 120°，且 c＝a＋2b，d＝2a ＋kb，求 k 的值，使之分别满足： (1)c⊥d； (2)c∥d.
解：∵a·b＝4×3·cos120°＝－6，
∴c·d＝(a＋2b)·(2a＋kb)＝8＋12k，
答案：B
二、填空题：每小题 5 分，共 15 分． 7．已知|a|＝3，|b|＝4，a 与 b 夹角 60°，则|a－2b|＝__________. 解析：a·b＝6，|a－2b|＝ a2－4a·b＋4b2＝ 9＋64－24＝7.
答案：7
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b 且 c⊥a，则向量 a 与 b 的夹角 为__________．
|c|＝ a＋2b2＝ a2＋4a·b＋4b2＝2 7，
|d|＝ 9k2－24k＋64，
2024-2025学年高中数学人教B版必修四课时作业2：余弦定理
2024-2025学年高中数学人教B 版必修四课时作业(二)余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则c ＝()A ．1B ．2C ．4D ．62．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝60°，b ＝3，△ABC的面积S ＝323，那么a 等于()A ．7B ．7C ．17D ．174．(多选)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有()A ．sin (B ＋C )＝sin AB ．cos (B ＋C )＝cos AC ．若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为直角三角形D ．若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为锐角三角形二、填空题5．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则∠B 的值为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则c sin C＝________．7．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝________.三、解答题8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＋sin B sin C ＝b －c b －a.(1)求角A ；(2)若a ＝6，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．9．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试判断△ABC的形状．[尖子生题库]10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A＋b sin B－c sin Csin B sin C－23a＝0.3(1)求角C；(2)若△ABC的中线CE的长为1，求△ABC的面积的最大值．答案解析1．解析：a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)，故选C.答案：C2．解析：设中间角为θ，则θ为锐角，由余弦定理得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°，所以三角形最大角与最小角的和是120°.答案：B3．解析：因为S ＝12bc sin A ＝33c 4＝332，所以c ＝2；又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以12＝9＋4－a 212，所以a ＝7，故选A.答案：A4．解析：依题意，△ABC 中，B ＋C ＝π－A ，sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ，A 正确；cos (B ＋C )＝cos (π－A )＝－cos A ，B 不正确；因a 2＋b 2＝c 2，则由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0，而0<C <π，即有C ＝π2，△ABC 为直角三角形，C 正确；因a 2＋b 2<c 2，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，而0<C <π，即有π2<C <π，△ABC 为钝角三角形，D 不正确．答案：AC5．解析：根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝π6.答案：π66．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，所以b ＝3，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案：27．解析：由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.答案：45°8．解析：(1)因为sin A ＋sin B sin C ＝b －c b －a ，所以a ＋b c ＝b －c b －a ，化简得c 2＋b 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝34bc ＝3，得bc ＝4.因为A ＝π3，a ＝6，所以b 2＋c 2－2bc cos π3＝6，整理得(b ＋c )2＝3bc ＋6＝18，解得b ＋c ＝32.故△ABC 的周长为6＋32.答案：(1)A ＝π3(2)6＋329．解析：方法一(利用边的关系判断)由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .∵2cos A sin B ＝sin C ，∴cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc＝c 2b ，∴c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab .∵a ＝b ，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(利用角的关系判断)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin (A ＋B ).∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin (A －B )＝0.∵0°<A <180°，0°<B <180°，∴－180°<A －B <180°，∴A －B ＝0°，即A ＝B .∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，∴C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．10．解析：(1)由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C －233a ＝0，得a ·a ＋b ·b －c ·c b ·sin C ＝233a ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理得cos C ＝33sin C ，所以tan C ＝3，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由余弦定理b 2＝1＋c 24－2×1×c 2·cos ∠CEA ①，a 2＝1＋c 24－2×1×c 2·cos ∠CEB ②，①＋②得，b 2＋a 2＝2＋c 22，即2(b 2＋a 2)＝4＋c 2，因为c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，所以a 2＋b 2＝4－ab ≥2ab ，所以ab ≤43，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×43×32＝33，即△ABC 面积的最大值为33.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课时作业26 两角和与差的正弦、余弦公式
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β的值为( )
A.1－m 2 B ．－1－m 2 C.m 2－1
D ．－m 2－1
解析：由条件，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sin β＝m ，∴sin β＝－m .
又∵β为第三象限角， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－
1－m 2.
答案：B
2．(2011·安庆高二检测)已知cos α＝－1
2，则sin(30°＋α)＋sin(30°－α)的值为( )
A ．－12
B ．－14 C.12
D.14
解析：sin(30°＋α)＋sin(30°－α)＝sin30°cos α＋cos30°sin α＋sin30°cos α－cos30°sin α＝cos α＝－12.
答案：A
3．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π
4)＝( ) A.75 B.15 C ．－75
D ．－15
解析：易得cos α＝4
5. 则2cos(α＋π
4)
＝2(cos αcos π4－sin αsin π4)＝1
5. 答案：B
4．函数f (x )＝sin x ＋cos x 的最小正周期为( ) A ．2π B.3π2 C ．π
D.π2 解析：f (x )＝sin x ＋cos x
＝2(22sin x ＋22cos x )＝2sin(x ＋π
4)， ∴最小正周期T ＝2π. 答案：A
5．若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形 解析：2cos B sin A ＝sin C
⇒2cos B sin A ＝sin(A ＋B )
⇒2cos B sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ⇒sin A cos B －cos A sin B ＝0 ⇒sin(A －B )＝0⇒A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形． 答案：C
6．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( )
A.π6
B.56π
C.π6或56π
D.π3或23π 解析：⎩⎨
⎧
3sin A ＋4cos B ＝6， ①3cos A ＋4sin B ＝1，
②
①2＋②2得9＋16＋24sin(A ＋B )＝37. 则sin(A ＋B )＝1
2.
∴在△ABC 中，sin C ＝12，∴C ＝π6或C ＝5
6π. 若C ＝56π，则A ＋B ＝π
6，∴1－3cos A ＝4sin B >0. ∴cos A <1
3. 又13<12，∴A >π3.
此时A ＋C >π，不符合题意，∴C ≠56π，∴C ＝π
6. 答案：A
二、填空题(每小题8分，共计24分) 7．sin 25π12cos 11π6－cos 11π12sin 5π
6＝________. 解析：sin 25π12cos 11π6－cos 11π12sin 5π
6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6
＝sin π12cos π6＋cos π12sin π6
＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π12＋π6
＝sin π4＝22. 答案：2
2
8．函数y ＝cos x ＋cos(x ＋π
3)的最大值是________． 解析：y ＝cos x ＋12cos x －3
2sin x ＝3(32cos x －1
2sin x ) ＝3sin(π
3－x )． 故最大值是 3. 答案： 3
9．已知sin α－cos β＝12，cos α－sin β＝1
3，则sin(α＋β)＝________.
解析：由sin α－cos β＝1
2两边平方得 sin 2
α－2sin αcos β＋cos 2
β＝1
4，①
由cos α－sin β＝1
3两边平方得 cos 2
α－2cos αsin β＋sin 2
β＝1
9，②
①＋②得：(sin 2α＋cos 2α)－2(sin αcos β＋cos αsin β)＋(cos 2β＋sin 2β)＝14＋19.
∴1－2sin(α＋β)＋1＝13
36. ∴sin(α＋β)＝59
72. 答案：5972
三、解答题(共计40分)
10．(10分)化简：sin(α＋β)cos α－1
2[sin(2α＋β)－sin β]． 解：原式＝sin(α＋β)cos α－1
2[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)] ＝sin(α＋β)cos α－1
2[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α－1
2×2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
11．(15分)已知cos(α－β2)＝－13，sin(α2－β)＝14，且3π2<α<2π，π
2<β<π，求cos α＋β
2的值．
解：∵3π2<α<2π，π
2<β<π， ∴π<α－β2<7π4，－π4<α2－β<π
2. 又cos(α－β2)＝－13，sin(α2－β)＝1
4， ∴sin(α－β2)＝－223，cos(α2－β)＝15
4. 则cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α
2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α
2－β) ＝－22＋1512
. 12．(10分)(2012·湖南卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π
2的部分图象如下图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π
12)的单调递增区间．
解：(1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2π
T ＝2. 因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0.即sin(5π
6＋φ)＝0.
又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6. 又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π
6＝1，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π
6)． (2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π
6] ＝2sin2x －2sin(2x ＋π
3) ＝2sin2x －2(12sin2x ＋3
2cos2x ) ＝sin2x －3cos2x
＝2sin(2x －π
3)．
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π
12]， k ∈Z .。