第10章变形能法

3P R P R 4GI p 4 EI
2 3 2 3
dj
j
m n
(b)
由此求得:
A
3PR PR 2GI p 2 EI
3 3
10.2 莫尔定理
莫尔定理是一种能够求 解在复杂载荷作用下的结构 任一处广义位移的有效工具。 现在以梁为例，利用变 形能的概念和特性来导出莫 尔定理。 假设梁在外力 , …… 1 2 a 作用下发生弯曲变形，如图 所示。今要确定在上述外力 作用下，梁上任意一点C的 挠度 。
p0
A
(b)
C
B
p
1
p
….
2
p
0
A
C
B

(c)
U1 U U 0 P0
因为在 P0 和 1， 2 …共同作用下的弯矩
为 M ( x) M 0 ( x) ，所以还可以表示为
[ M ( x) M ( x)] U1 dx l 2 EI
0 2
两式是相等的，即：
U U 0 0
M nl Mn M , j , GI p
2 n
a. Mn为恒值：圆轴的扭转变形能可写为
M l GI p 2 1 U W Mj j 2 2GI p 2l
b.若内力偶矩沿圆轴的轴线连续变化，即 M n M n ( x) ，可得到整个圆轴的变形能为
2 Mn ( x)dx U dU l l 2GI p
10.1 杆件变形能的计算
一、基本变形时的变形能
现在来研究在几种基本变形下的变形能 计算。 1.轴向拉伸或压缩 对于等直杆的轴向拉伸或压缩，在线弹 性范围内，外力与杆件的轴向变形量呈线性 关系。
p
A
p
o
p
(a)
Dl
B
Dl
(b)
1 W PDl 2
Nl N P, Dl EA
a. N为恒值：杆件的变形能为
3
l
C
4 Pl 3 3 (1 ) 3 EI 6400
上式括号内的第二项小于0.05%， Nhomakorabea在求 解抗弯杆件结构的变形或位移时，一般可 以不考虑轴力的影响。
例3:图示半圆形等截面曲杆位于 水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。
O
解：
由图b可以看出，截面mn上 的扭矩和弯矩分别为
U dU
l l
N 2 ( x)dx 2 EA
拉压杆件的单位体积内的变形能（比能 或能密度）为
dU 1 E 2 u dV 2 E 2 2
2
2.圆轴扭转
M
M
A
j
M
l
o
(a)
j
B
j
外力偶矩所做的功
1 W Mj 2
(b)
根据U=W，此功等于储存于圆轴中的扭 转变形能。圆轴只在两端受外力矩作用时， 扭矩为

2 3 2
dj
j
m n
(b)
整个曲杆的变形能:
U s dU
P R (1 cos j ) dj P R sin j dj 2GI p 2 EI 0 0
2 3

3P 2 R3 P 2 R3 4GI p 4 EI
例3:图示半圆形等截面曲杆位于 水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。 设A的竖直位移为 A ,在变形过 程中，外力所做的功在数值上 等于曲杆的变形能，即: 1 W P A U 2
A
P
dj
R
j
m n
(b)
M n PR(1 cos j )
M PR sin j
p
A
j
m
dj
R
例3:图示半圆形等截面曲杆位于 水平面内，在A点受铅垂力P的 作用，求A点的垂直位移。
变形能为: 2
dU
M n Rdj M 2 Rdj 2GI p 2 EI P 2 R 3 (1 cos j ) 2 dj P 2 R 3 sin j dj 2GI p 2 EI
M ( x)
M ( x)
M n ( x)
M n ( x)
N ( x)
N ( x)
两个端截面间的相对轴向位移、相对转角 dq 和 dj 。 和相对扭转角分别为 d (Dl ) 、 由于M n ( x)、 N ( x)和 M ( x)各自引起的变形是相互 独立的，那么按式（8-8），微段dx内的变形能 应为
例1:试求图所示的正方形桁架
结构的变形能，并求A、C两点 的相对位移。已知各杆的抗拉 压刚度EA相同。
p
A
l
B
外力做的功为
1 W P AC 2
D
C
p
因为U=W,故有
1 P 2l P AC (2 2) 2 EA
由此可以求出
AC
Pl (2 2) EA
例2:图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。
1 1 1 dU N ( x)d (Dl ) M ( x)dq M n ( x)dj 2 2 2 2 dx N 2 ( x)dx M 2 ( x)dx M n 2EA 2EI 2GI n
于是整个组合变形杆件的变形能为上式的 积分，即 2 Mn dx N 2 ( x)dx M 2 ( x)dq U dU （8-9） l l l l
(5)变形能总是正的
三、变形能的普遍表达式
p 1 p2 pm …..
1 2 m
表示广义力作用点沿其作用方向上的广义位 移，可以写成
i i1 i 2
ii
im
Pi 式中 i1代表由广义力 P 1引起的在 P i 的作用点沿 作用方向上的广义位移，余下类同。而 1 m为 与结构有关的常数。

s
M (s)M (s) ds EI
0
利用莫尔定理计算桁架节点位移公式
Ni N l EAi i 1
m
0 i i
（8-12）
计算组合变形结构位移的莫尔公式：

i 1 m l
M i ( x) M i 0 ( x) dx EIi
0 m M ni ( x)M ni ( x) Ni ( x) Ni0 ( x) dx dx l GI ni EAi i 1
A
Me
Me
M el q EI
q
l
q o
Me
q
B
(a)
(b)
集中力偶矩在梁变形过程中所作的功
1 W M eq 2
讨论：
a. 纯弯曲梁的变形能为
1 M l EI 2 U W M eq q 2 2EI 2l
2
(8-6a)
b.横力弯曲情况的变形能为
M 2 ( x)dx U dU l l 2EI
U U1 U 2
(2)变形能仅与外力和位移的最终值有关， 而与加载次序无关。 (3)当杆件的各段截面不相同或内力由不 同函数表示时，应分段计算变形能。 (4)杆件是满足虎克定律的线弹性体,如对 非线弹性体变形能将变为
U Nd (Dl ) M n dj Mdq
l l l
各载荷所作功之和在数值上等于结构的变 形能，即
1 U W Pi i i 1 2
m
(8-8)
这一结论称之为克拉贝隆原理。 它可叙述为线弹性体的变形能等于每一 外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。
四、组合变形时的变形能
利用变形能的普遍表达式，可得到承受弯曲、 扭转和轴向拉压联合作用的杆件变形能。 现于杆件中截取一长为dx的微段， 若两端横截面上的轴力、弯矩 M ( x) 和 M n ( x) 和扭矩分别 N ( x)、 M ( x)、N ( x)和 (对微段dx而言， M n ( x) 应看成外力) dx
l
B
X2
a
x1
p
A
A截面竖直位移：
Pa a Pl A (1 ) 2 EI 3 2 EA
2
C
若a=l,且各杆横截面为直径等于d的圆形，l=10d,
例2:图为一平面刚架，试求A端的竖直位移。 a 得： B 3 4 Pl Pl A 3 EI EA
X2
x1
p
A
4 Pl 3I (1 ) 2 3 EI 4 Al
2
l
[ M ( x) M ( x)] dx 2 EI
0 2
0 2 0
M ( x) [ M ( x)] 2 M ( x) M ( x) dx dx dx l 2 EI l l 2 EI 2 EI
考虑 0 1 可得： 0 M ( x) M ( x) P0 dx l EI 这就是莫尔定理也称莫尔积分。 莫尔定理还可以求解平面曲杆的弯曲变形， 对于小曲率曲杆，可把莫尔积分推而广之， 得到求曲杆弯曲变形的莫尔积分
第10章 变形能法
外部：外力做功W
内部： 势能
变形能U
U=W (8-1) 变形能原理：在整个加载过程中，物体 的变形能在数值上等于外力做的功。 变形能法:采用与变形能的概念有关的定 理和原理来解决问题的方法。
10、1 杆件变形能的计算
10、2 莫尔定理
10、3 计算莫尔积分的图形互乘法 10、4 卡氏定理 10、5 功的互等定理和位移互等定理
刚架的抗弯刚度与抗拉刚度 分别为EI和EA
B
X2
a
x1
A
解AB段：
M ( x1 ) Px1
p
N ( x1 ) 0
l
BC段：
M ( x2 ) Pa
N ( x2 ) p
C
变形能为：