数学归纳法浅谈
探究数学中的数学归纳法
探究数学中的数学归纳法数学归纳法是数学中的一个基本方法，可以解决许多重要的问题。
在本文中，我们将深入探讨数学归纳法，并展示一些归纳法的实际应用。
1. 数学归纳法的定义和原理数学归纳法是一种证明的方法，它可以证明一个有序集合的所有元素都满足某个性质。
它的基本原理是：(1) 证明基本情况，即证明第一个元素满足所要证明的性质；(2) 假设所有前面的元素都满足所要证明的性质，证明下一个元素也满足所要证明的性质。
这样，通过不断地“归纳”，可以得到整个集合中所有元素都满足所要证明的性质的结论。
2. 数学归纳法的例子我们来看一个简单的例子。
假设我们要证明：对于所有正整数n，1+2+...+n=n(n+1)/2。
首先，当n=1时，左边等于1，右边等于1×(1+1)/2=1，两边相等，基本情况得证。
接下来，假设当n=k时1+2+...+k=k(k+1)/2成立，要证明当n=k+1时1+2+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
我们首先把1+2+...+k+(k+1)拆分成1+2+...+k和(k+1)两部分，按照假设，前一部分等于k(k+1)/2，后一部分等于(k+1)。
于是1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k/2+1)=(k+1)(k+2)/2，即得证。
3. 数学归纳法的应用数学归纳法在证明数学定理、推导公式、证明算法复杂度等方面都有广泛的应用。
其中一个常见的应用是证明Fibonacci数列的性质。
Fibonacci数列是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...，它的第n个数等于其前两个数之和，即F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
我们可以用数学归纳法来证明这个公式。
首先当n=1和n=2时都满足公式，假设当n=k和n=k+1时公式成立，要证明当n=k+2时公式也成立。
根据假设，F(k+2)=F(k+1)+F(k)。
又因为F(k+1)=F(k)+F(k-1)，所以F(k+2)=F(k)+F(k-1)+F(k)=F(k+1)+F(k)=F(k+1)+F(k-1)+F(k-2)=F(k)+F(k-1)+F(k-2)+F(k-3)=F(k-1)+F(k-2)+F(k-3)+F(k-4)=F(k-1)+F(k-3)+F(k-4)+F(k-5)=...=F(2)+F(1)=1+1=2。
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用
浅谈数学归纳法在中学数学中的应用摘要：数学归纳法是建立在最小数原理基础上的一种用于证明和自然数有关的命题的常用方法，分为第一数学归纳法和第二数学归纳法。
本文介绍了数学归纳法基于最小数原理的理论背景，同时以例题的形式阐述了两种数学归纳法的使用方式，分析了其各自的特点，同时通过特殊例题浅要比较了两种归纳法本质的区别。
在文章的最后，浅要给出了数学归纳法在中学阶段教法和学法的建议。
一．绪论1.研究背景在高中数学中，像数列，不等式，以及一些求和公式，很多题目都会要求你证明和自然数有关的命题，而数学归纳法主要就是争对有关自然数的命题的一种高效简便的方法，如果能够熟练的掌握数学归纳法的概念及使用方法，并能够巧妙地应用在实际的问题当中，那很多时候一些很复杂的问题都可以得到一个很巧妙的解法。
在近几年的高考数学大题中，出现了很多以数列不等式为背景的证明题，数列本是一种定义在自然数集中的特殊函数，所以很多这种类型的题目都可以用数学归纳法巧妙解决。
同时，数学归纳法可以锻炼学生的归纳总结能力，类比推理能力，对高中生增加适当的数学归纳法的教学可以增加其数学修养。
数学归纳法是一套解决一大类问题的完美工具。
2.研究意义在大学四年数学专业课的学习中，像高等代数，初等数论，图论这样的课程中，在证明一些结论的时候都会用到数学归纳法，由此可见，数学归纳法的应用面非常的广泛。
同时，数学归纳法的解题步骤和里面的原理是很容易让高中阶段的学生理解的。
所以在教学过程中，对于一些合适的题讲述出用数学归纳法的解法是很有必要的。
数学是一门锻炼学生思维能力的学科，所以一味的让学生死记硬背的教学方法是不可取的，数学归纳法，主要是对相关数学知识进行合理地证明，以具体的命题为解题基础，能够使其在自然数的范围中成立，把有关于数学基础知识正确地应用在解题的过程中，从而对数学习题的求证。
二．数学归纳法的理论背景及使用方法1.数学归纳法的证明设 M 是自然数集的任一非空子集, 则必存在一个自然数m∈M, 使对一切n∈M, 都有m≤n。
浅谈数学归纳法的认识及应用
浅谈数学归纳法的认识及应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。
本文通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法的应用。
要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明命题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
【关键词】归纳法猜想证明方法(一）数学归纳法的概述归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在高中数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
[1]例如：大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？试验（1）从大球中取出5个小球，发现全是红色的。
推理大球中装的全是红球判断考察部分对象，得到一般结论的方法，叫做不完全归纳法。
不完全归纳法得到的结论不一定正确。
试验（2）从大球中取出所有的小球，发现全是红色的。
推理大球中装的全是红球判断考察全部对象，得到一般结论的方法，叫做完全归纳法。
完全归纳法一定是正确！[2]数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解高中数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法。
用数学归纳法证明命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n。
结论正确；(2)假设当n=k（k∈N，且k≥n。
）时，结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。
由（1）、（2）可知,命题对从n。
开始的所有正整数n都正确。
这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法沈梦婷教师教育学院10021149 【摘要】数学归纳法是一种常用的数学方法，在许多与自然数有关的数学问题的证明中有着不可替代的作用。
本文就数学归纳法的形式内容及对其的教与学做了一定的分析。
【关键字】数学归纳法，数学教学方法数学中的许多问题与自然数有关, 这类问题的求解及证明贯用的方法就是数学归纳法, 即首先考察特例, 发现某种相似性, 然后把这种相似性推广为一个可以明确表述的一般性命题, 从而得到一个猜想, 最后证明这个猜想。
数学归纳法的依据是自然数的皮亚诺公理中的归纳公理，他是演绎法的一种，与归纳法有本质区别。
绪论——数学归纳法的研究现状对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。
例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了学生对数学归纳法本质的理解：罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性；刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.除以上这些论文以外,一些论著也提到了数学归纳法，并把它作为一种证明方法进行了简洁的阐述。
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
浅议数学归纳法的应用
浅议数学归纳法的应用
数学归纳法是一种思维方式，它是从一般原理出发，到达特殊情况的规律性思维模型。
它具有可数的、可经验的推导，它的作用深远，在科学研究,学术分析及决策等方面都得到认可和应用。
下面就以列表的形式总结数学归纳法的应用：
一、在数学研究中的应用
1.可以从定理的初始情况开始，利用数学归纳法来证明定理，推导出新的定理。
2.可以根据定义形式推导出结论，从而解决问题。
二、在科学研究中的应用
1.可以利用它来构建模型。
2.可以用它来分析和预测实际问题，例如物理或营养等问题。
三、在社会学分析中的应用
1.可以用来解释不规则的社会现象，以及危机的滋生以及发展。
2.可以用它来探索社会变化规律并发现分布规律。
四、在计算机技术领域中的应用
1.可以用数学归纳法来识别微机程序的性质，从而优化程序的性能。
2.可以用数学归纳法来识别编程错误，从而及早改正错误并保证程序的安全运行。
总之，数学归纳法是一种有效的思维方式，它的作用不仅仅是在数学领域，而且还在科学研究、学术分析、社会学分析和计算机技术领域中都有其实际的应用，从而为社会的进步和发展做出了贡献。
浅谈数学归纳法
证明： 当 ① 一１ ｎ 一Ｉ 厂一 ， 时， 一￣ 猜想成立。 ｒ
③ 假 设当 —ｋ （ ＥＮ 且 ｋ １ 时猜 想 成 立 ， 是 ， ≥ ）
即 ａ 一 一 Ｔ，
课 本 例 习 题 是 诸 多 专 家 精 心 挑 选 的 ， 价 值 不 言 而 其
方法 ， 也是 中学 数 学 的重 难 点 之 一 ， 在 对 于开 阔 眼 它 界 ， 练推 理 能 力 等方 面都 有 很 大 的 帮 助． 中学 数 训 在
若 正方 体改 为长方 体 呢？
提 升 （ ） （ ０ ９年 全 国 卷 ） １ ２０
图 ２
学 中 ， 学归纳 法对 于许 多重 要 的 结论 ， 等 差数 列 、 数 如
等 比数列 的通项 公 式与 前 项 和 公 式 ， 二项 公 式 定理 等都 可 以用数 学归纳 法进 行 证 明 ， 而 可 以加 深 对教 进 材 以 及知识 的理 解 ． 当然 不 仅 在 中学 数 学 中 ， 进 一 在
纸制 的正 方 体 的 ６个 面 根 据 其
△
方位分 别 标 记 为 上 、 、 、 、 下 东 南
４ 规 律 总 结
在证 明 —ｋ １时命 题 成 立 ， 用 到 一些 技 巧 ， ＋ 要 如： 一凑 假设 ， 凑 结 论 ， 减 项 、 项 、 等 式 的放 二 加 拆 不
② “ ３ ” （ 有 ３ 基本 图形 ） ２ １型 共 种 ③ “ ２ ” （ 有 １种基 本 图形 ） ２２ 型 共 ④ “ ３ 型 （ 有 １ 基本 图形 ） ３” 共 种 探 究 ２ 如 图 ２有 一 正方 体 房 间在 房 间 内一 角 Ａ 处 有一 只 小虫 ， 它 想到 房 间 的 另 一 角 Ｂ处 去 吃 食 物 ， 采取 怎样 的行走路 线最 近 ？ 它
如何理解数学归纳法并运用它解决问题
如何理解数学归纳法并运用它解决问题
数学归纳法是一种证明方法，能够证明自然数上的所有陈述。
在解决问题时，运用数学归纳法能够更清晰地思考和展开论证。
归纳法的基本思想是：证明一个陈述对于所有自然数都成立，可以采用以下步骤：
第一步：证明基础情形。
第二步：假设某一个自然数满足该陈述，然后推导出下一个自然数也满足该陈述。
第三步：根据第一步和第二步，我们可以得出结果：所有自然数都满足该陈述。
这种证明方法的精髓在于，它建立在归纳的思想上，并且基于一个典型的单向推理。
数学归纳法可以简单易行地证明许多陈述，例如：1+2+3+...+n = n(n+1)/2，以及正整数n^3-n是3的倍数等。
以下是一个简单的例子，说明如何运用数学归纳法证明递推公式：假设有一个递推公式定义如下：a_0=1，a_n+1=3a_n+1。
我们想证明对于所有自然数n，有：a_n=2^(n+1)-1
首先我们证明基础情形，即n=0时成立。
根据定义，a_0=1，而
2^(1+0)-1=1，所以基础情形成立。
接下来，我们假设n=k时，a_k=2^(k+1)-1，然后证明当n=k+1时，
a_n=2^(n+1)-1也成立。
根据定义，a_k+1=3a_k+1。
由归纳假定，a_k=2^(k+1)-1，所以
a_k+1=3(2^(k+1)-1)+1=2^(k+2)-1
因此我们证明了当n=k+1时，a_n=2^(n+1)-1成立。
根据基础情形和归纳步骤，我们可以得出结论：对于所有自然数n，有a_n=2^(n+1)-1. 这是一个使用数学归纳法的典型证明。
浅谈数学归纳法
浅谈“数学归纳法”论文摘要：“观察—归纳—猜想—论证”的思想方法，既能发现问题，又能证明结论，还能激发学习兴趣，它是由揭露个别事物或某一对象的部分属性过渡到一般或整体的思维形式。
由于归纳推理的过程和人类认识进程的一致性，因而这种推理方法显得非常自然，容易被人接受，是认识数学真理的一个重要手段，其地位越来越重要，数学归纳法正是应用这一思想方法来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。
本文简单总结了一下它的基本依据和证明过程，以及它两个条件的内在联系，然后回顾了一下数学归纳法的各种其他形式，在原来的基础上拓宽了对数学归纳法的认识。
最后举例说明数学归纳法的应用，其中有代数、不等式方面的证明，也有几何方面的典型例子，从中可以窥见数学归纳法的强大功能。
正文：已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。
Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：（1）递推的基础：证明当n=1时表达式成立。
（2）递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。
如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。
数学归纳法的原理及应用
浅谈数学归纳法的原理及应用姓名：王磊峰单位：砀山县豆集学区范套小学浅谈数学归纳法的原理及应用摘要：数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种论证方法,也是数学证明中的一个强有力的工具，无论在初等数学还是高等数学中都有广泛的应用。
本文讨论了数学归纳法的理论依据、应用功能以及应用数学归纳法应注意的问题等。
关键词：数学归纳法；匹阿诺公理；应用；推理；命题；类型数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一，它在各个数学领域分支中都有极大的应用，因为使用面比较广，所以涉及的知识和技巧比较多，在本文中将介绍数学归纳法的产生、发展和确立并分别举例说明数学归纳法在各个方面的应用。
1数学归纳法的产生、发展和确立1.1数学归纳法的产生数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期，一般认为归纳推理可追溯公元六世纪的毕达哥拉斯时代。
这一时代杰出的数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行了探讨，利用经过剖分后的正方形的直观形象，他确信无疑地得出：135+++ (2)-=，这里n n(21)有明显的推理过程，但这种推理只是简单枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果，因此是不完全的归纳推理，或者说只是一种寻求结论的手段，它只是作为一种猜想或假说，而不是可靠的，尽管如此，他仍为数学归纳法的产生奠定了一定的基础。
可靠的归纳推理是欧几里得对系数个数无穷的证明，虽然其中递推过程不甚明显，但基本思想却是按递推归纳原理指导的。
肯定地说，这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供了原形，促使人们加深了对数学归纳法的理解。
16世纪，经过文艺复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性。
意大利数学家毛罗利科首先对全体自然数有关的命题的证明做了深入考察，他认为递归推理是指首先确定命题对于第一个自然数是真的，然后再去验证命题具有后继数也是真的。
于是，根据递推特性，命题对于第一个自然数的后继数为真，则对于第二个自然数也为真；对于第二个自然数为真，则对于第三个自然数也为真。
如何理解高中数学的数学归纳法证明
如何理解高中数学的数学归纳法证明数学归纳法是高中数学中一种常用的证明方法。
它的核心思想是通过证明当某个命题对一个自然数成立时，它在下一个自然数也成立，从而推出该命题对所有自然数成立。
数学归纳法涉及到三个步骤：基础步骤、归纳假设和归纳步骤。
深入理解数学归纳法证明的原理和过程，对于高中数学的学习和应用具有重要意义。
首先，我们来了解一下数学归纳法证明的基础步骤。
基础步骤就是证明当自然数为某个特定值时，命题成立。
通常情况下，这个特定值是最小的自然数，即1。
我们需要证明当n=1时，命题成立。
这个部分通常较为简单，可以通过直接计算或简单的推理来完成。
其次，我们来看归纳假设。
归纳假设是指我们假设当n=k时，命题成立。
这就是说我们假设命题对于任意一个自然数k都成立，然后利用这个假设来证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步是整个证明过程的关键，它连接了各个自然数的情况，从而将每个情况联系在一起，构成了完整的证明。
最后，我们需要进行归纳步骤。
归纳步骤就是利用归纳假设来证明当n=k+1时，命题成立。
通过归纳假设，我们可以将n=k+1的情况转化为n=k的情况，从而证明命题成立。
这一步的关键在于找到合适的方式将n=k+1的情况转化为n=k的情况，通常需要运用数学性质、公式或等式来实现。
通过以上三个步骤，我们可以完整地展示出数学归纳法证明的过程。
下面我们通过一个具体的例子来进一步理解这个证明方法。
假设我们要证明命题P(n)：1+2+3+...+n = n(n+1)/2 对于任意自然数n都成立。
首先，我们进行基础步骤的证明。
当n=1时，左边的和为1，右边的式子也为1(1+1)/2=1，因此命题在n=1时成立。
其次，我们假设当n=k时，命题成立。
即假设1+2+3+...+k =k(k+1)/2 成立。
最后，我们进行归纳步骤的证明。
首先，我们将命题中的n替换为k+1，并对等式进行变形：1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)然后，我们利用归纳假设将右边的式子进行替换：k(k+1)/2 + (k+1) = (k^2 + k + 2k + 2) / 2 = (k^2 + 3k + 2) / 2 =(k+1)(k+2)/2所以，我们得到了n=k+1时命题成立的结论。
浅谈数学归纳法在解题中的应用
数学归纳法是数学解题中一种重要的方法，它可以有效地推导出解决问题所需的结果。
它是通过观察某一系列的模式和规律，将总体规律推导出这一系列的总结，从而得出最终
的结论。
归纳法的最大特点是以前的结论会影响后续的推理，因此在解题的过程中，我们需要
一步一步深入地推导，逐步收集足够的信息，以此来检验我们的推理是否正确。
在实际的解题过程中，我们可以根据归纳法先将问题分解为有限个具体的问题，然后
根据它们的具体情况，从中推导出更宽泛的规律，最终得出结论。
例如，在解决等比数列
的问题时，我们可以先求出前几项的和，然后根据它们推导出等比数列的一般项和，从而
得出最终的结论。
另外，归纳法也可以用来证明某一定理的正确性，而不是只用来解决具体问题。
例如，我们可以先推导出一个定理的某些特殊情况，然后根据这些特殊情况来推导出这个定理的
一般情况，从而证明它的正确性。
总之，数学归纳法是数学解题中一种重要的方法，它可以有效地推导出解决问题所需
的结果，也可以用来证明某一定理的正确性。
只要在解题过程中认真地推理，就可以取得
好的效果。
浅谈数学归纳法应用的关键点
推 过程 中 ， 必须用 归纳假设 ， 不 用 归 纳 假 设 的证 明就不 是 数学 归 纳法． 本 题证 明 ｎ： ＝ ＝ ｋ ＋ １时若 利 用 数 列 求 和 中的拆 项 相消法 ， 即
＋ ＋ … ＋ １ ＋
所 以 一ｋ ＋１时 ， 不等 式也 成立 ． 由① ， ② 知， 对 一 切 大 于 １的 自然 数 ｎ ，
ｋ（ ２ ｋ３ － ３） － １ ３
一 一 —
２ 最 ＋ ３ 忌３ －１
化被 弄错 ．
干 一
２ 是 ＋３ ２ （ 是 －１ ３ ） －１ ３ ’
干
须要 用 的 ， 假 设 是 起 桥 梁作 用 的 ，桥 梁 断 了
就通 不过 去 了．
所 以当 ｎ —ｋ － １时 ， ３ 等式也 成立 ． 由① ， ② 可知 ， 对 一 切 ∈ Ｎ 等 式 都
十
，
十 … 十
二Ｔ 丽
一
则 当 － － ｋ －１ ３ 时，
一ｋ － １时成立 ，而不是 直接代 入 ， ３ 否则 一
是 ＋１ 时 也成 假设 了 ， 命 题并 没有得 到证 明．
应用数 学 归纳法 时 易犯 的错误 ：
＋ —Ｌ ＋ … ＋
１× ３
１
ｆ ９ 一 ＿１、 ｆ ６ ４ － 、
评析
（ １ ）用 数 学 归 纳 法 证 明 与 自然 数
明 问题最 重要 的环 节 ， 对 推导 的过 程 要把 步 有关 的一 些 等 式 ， 命题关 键在于“ 先看项 ” ， 弄清 等式 两边 的 构 成规 律 ， 等 式 的两 边各 有
多少 项 ， 项 的多少 与 的取 值 是否 有 关 ， 由
一 ，
浅谈数学归纳法
浅谈数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法。
它是通过证明当$n$满足某个条件时，$n+1$也满足这个条件来证明某个命题对所有自然数$n$成立的方法。
下面讨论一下数学归纳法的基本思想和应用。
1. 基本思想数学归纳法基于以下思想：如果我们能证明当$n=k$时某个命题成立，而且当$n=k+1$时这个命题也成立，那么我们可以推断这个命题对所有$n\\geq k$成立。
更具体地说，证明数学归纳法通常分为两步：第一步（基础情形）：证明当$n=1$时这个命题成立。
第二步（归纳步骤）：假设当$n=k$时命题成立，证明当$n=k+1$时命题也成立。
这样，我们就可以得出结论：命题对所有自然数$n\\geq 1$成立。
2. 应用数学归纳法在数学证明中应用广泛，特别是在数学中的递归定义、递归算法、无限级数等方面，其应用也非常方便。
例如，我们可以用数学归纳法证明：命题：$1+2+3+\\cdots+n = \\frac{n(n+1)}{2}$证明：（1）基础情形：当$n=1$时，$1=\\frac{1\\times 2}{2}$，命题成立。
（2）归纳步骤：假设当$n=k$时命题成立，即$1+2+3+\\cdots+k = \\frac{k(k+1)}{2}$。
证明当$n=k+1$时命题也成立，即$1+2+3+\\cdots+k+(k+1)=\\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
我们可以将左边的式子变形为：$$1+2+3+\\cdots+k+(k+1)=\\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\\frac{ (k+1)(k+2)}{2}$$因此，当$n=k+1$时，命题也成立。
根据数学归纳法，命题对所有自然数$n\\geq 1$成立。
综上所述，数学归纳法是一种非常有用的数学证明方法，可以帮助我们证明一些重要的数学结论。
归纳法浅谈
绪论数学归纳法是数学证明中的一种重要方法,它适用于可以递推的有关自然数的命题，在初等数学和高等数学中都有广泛的应用。
也是数学中证明与n(自然数)有关的命题的一个很好的工具，用它做这一类型证明题经常能达到事半功倍的效果。
但是它是由什么理论推导出来的，为什么可以用它来证明与n有关的命题却往往被人们忽略，而我们只是注重它的解题效果。
由于数学知识的完备性严密性，我们不仅要知其然，更要知其所以然。
下面就对数学归纳法的“来龙去脉”做一个详细介绍。
1 归纳法的介绍2 归纳法的历史及其发展数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，用于证明与自然数有关的命题。
一旦涉及无穷,总会花费人们大量的时间与精力,去研究它的真正意义。
数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念,自然也需要一个漫长的认识过程。
一般认为,归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代。
毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。
他由有限个特殊情况而作出一般结论,具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。
完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。
其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。
首先使用数学归纳法的是意大利数学家和工程师马奥罗修勒斯（Francesco Maurocyulus ，1494-1575），他在1575年的著作《算术》（Arithmetica ）中，用数学归纳法证明了前n 个正奇数之和是2n .帕斯卡（Blaise Pascal,1623-1662）在他关于算术三角形（现在称为帕斯卡三角形）的著作中使用了归纳法.在他1653年的著作《论算术三角形》（Traite du triangle arithmetique ）中，在证明用来定义他的三角形的基本性质时，帕斯卡清晰地解释了归纳法.德摩根在1838年的一篇关于证明方法的论文中，把这个原理命名为“数学归纳法”.前n 个正奇数之和的公式是什么？对1n =，2，3，4，5来说前n 个正奇数之和是11=，134+=，1359++=，135716+++=，1357925++++=根据这些值，有理由猜测前n 个正奇数之和是2n .假如事实上这个猜测是正确的，我们就需要一种方法来证明这个猜测是正确的.数学归纳法是证明这种类型的断言的极为重要的证明技术.16世纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F ·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。
浅谈数学归纳法
农家参谋基层教育-232-NONG JIA CAN MOU浅谈数学归纳法郭苗苗 李超峰（黄淮学院数学与统计学院，河南驻马店，463000）【摘 要】数学归纳法是数学学习中的一个最为基本的工具，它是数学上一种特殊方法用来证明与自然数N 有关的命题，它主要用来探讨与正整数有关的问题，在高中数学学习中常用它来证明数列通项公式成立和等式成立。
数学归纳法不仅在高中数学中是很重要的，而且在以后的高等教育有关数学学习中也是重要的数学证明方法，所以,对数学归纳法逻辑原理要加强理解,便于更好的学习和运用数学归纳法。
数学归纳法并不是太容易理解,为易于掌握理解这种方法,要先了解其概念方法,再加强分析其逻辑原理,最后通过实际应用理解掌握数学归纳法。
【关键词】数学归纳法；归纳分类；归纳原理；应用FrancescoMaurolico 的Arithmeticorumlibriduo（1575年）是已知最早使用数学归纳法的证明。
由“前n 个奇数的总和是”而揭开了数学归纳法之谜，它是Maurolico 利用递推关系证明出的。
数学归纳法无论在理论问题中还是在实际应用问题中,应用数学归纳法来解决会使问题凸显的异常地方便简单，对于许多关于自然数集的问题也是如此，甚至还有一些问题除了用数学归纳法来证明，其他方法还不能证明。
由此看出，数学归纳法确实很重要。
1 数学归纳法的概念数学归纳法是在自然数范围内用于证明某个命题的一种数学证明方法。
数学归纳法与其他数学方法相比较,数学归纳法是一种特殊的方法用来证明与自然数N 有关的命题，它主要用来说明与正整数有关的数学问题，数学归纳法的逻辑十分严谨,因此它的应用范围也非常广泛。
2 数学归纳法的分类数学归纳法大致分为第一数学归纳法，第二数学归纳法，倒推归纳法（反向归纳法），螺旋式归纳法。
2.1 第一数学归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题1）归纳的奠基:当n 取第一个值时命题成立；2）归纳的假设:假设当n=k （k 大于等于n，k 为自然数）时命题成立；3）归纳的递推:由归纳假设证明当n=k+1时命题也成立。
浅谈数学归纳法和在中学数学中的应用2
目录1、数学归纳法----------------------------------------------------------21.1归纳法定义 --------------------------------------------------------21.2数学归纳法表现的数学思想 -----------------------------------------3从特别到一般 ------------------------------------------------3递推思想 ----------------------------------------------------3 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧 -------------------------------------42.1重申 -------------------------------------------------------------4两条缺一不行 ------------------------------------------------42.2技巧 -------------------------------------------------------------5认真用好归纳假定 --------------------------------------------5学会重新看起 ------------------------------------------------5在起点上下功夫 ----------------------------------------------6正确选用起点和过渡 ------------------------------------------7选用适合的归纳假定形式 --------------------------------------8 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ----------------------------------------83.1证明有关自然数的等式 ---------------------------------------------83.2证明有关自然数的不等式 ------------------------------------------103.3证明不等式 ------------------------------------------------------103.4在函数迭代中的应用 ----------------------------------------------113.5在几何中的应用 --------------------------------------------------133.6在摆列、组合中的应用 --------------------------------------------153.7在数列中的应用 --------------------------------------------------153.8有关整除的问题 --------------------------------------------------16浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用福雄西南大学数学与统计学院，400715纲要 : 数学知识发生过程就是归纳思想应用过程，解题中应用归纳思想,不单能由此发现给定问题的解题规律，并且能在实践的基础上发现新的客观规律，提出新的命题．本文先表达了归纳的意义、种类，从而议论以归纳法为主要工具，去探究和发现数学识题的解题门路．数学归纳法作为由特别归纳出一般的一种思想方法，拥有两种基本义义，第一数学归纳法是一种推理方法，称为归纳推理，它能够为我们提出猜想，为论证供给基础和依照．其次归纳是一种研究方法，归纳是一种又创建性的探究式思想方法，能开发智力，拓宽思路，引出猜想，它在发现问题和探究解题门路的过程中起侧重要作用．数学归纳法可依照它的归纳事物能否完整分为两种基本形式——不完整归纳和完整归纳．本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思虑方法：利用归纳法发现和提出数学猜想，利用归纳法发现问题的结论，运用归纳法发现解题门路等．重点词：数学归纳法；不完整归纳法；完整归纳法The simple discussion about mathematical induction and using in highschool mathWei FuxiongSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract:The occurrence process of mathematical knowledge is precisely the application process of inductive ing inductive thinking in problem solving,not only can find a given law for this problem solving,but also can find new objective laws based on practise,put forward a new proposition.This article first describes the significance and type of induction,and then discuss induction as the main tool, to explore and discover mathematical problem solving approach. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type ofthinking, can develop intelligence, broaden thinking, leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Key words:Mathematical induction;incomplete induction ;complete induction1、数学归纳法1.1 归纳法定义大家知道，数学中的很多命题都和正整数 n 有关，这里所说的 n，常常是指随意的一个自然数，所以，这样的一个问题也就是一整数命题．在数学识题中，每一类问题都有一种特意的方法来解决．数学归纳法能够说是解决有关整数问题的一种工具．归纳法是从个其余论断归纳出一般结论的推理方法，一般性结论的正确性依靠于各个个别论断的正确性，它能够分为完整归纳法和不完整归纳法两种，完整归纳法只限制于有限个元素，而不完整归纳法得出的结论不必定拥有靠谱性，数学归纳法属于完整归纳法．归纳法的基础是察看与实践，它是人类认识自然、总结生活、生产经验、办理科学实验资料的一种十分重要而有广泛应用的思想方法．在生活和生产实质中，归纳法也有宽泛应用．流行于我国各地的农谚如“瑞雪兆丰年”、“霜下东风一日晴”等，就是农民依据多年的实践经验进行归纳的结果．物理学家、化学家的最基本的研究手段是实验和归纳．比如化学中的元素周期表，就是用归纳法发现真谛的典型例证．再比如气象工作者、水文工作者依照累积的历史资料作气象展望，水文预告，用的就是归纳法．这些归纳法却不可以用完整归纳法．数学归纳法是一种特别的论证方法，他使我们能够在一些个别实例的基础上，对某个广泛规律做出论断．固然说数学归纳法合用于有关整数的问题，但是它在好多半学识题中都有重要的作用，在中学数学中，好多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的成效．数学归纳法证明问题的步骤是：证明一个与正整数有关的命题重点步骤以下：(1)证明当 n 取第一个值n0时结论正确；(2)假定当n＝k ( k N ，k≥n0)时结论正确,证明当n＝k＋1时结论也正确．达成这两个步骤后 ,就能够判定数题对从ｎ开始的全部正整数n 都正确．1.2数学归纳法表现的数学思想从特别到一般“从特别到一般”与“由一般到特别”乃是人类认识客观世界的一个广泛规律，而在人类探究世界神秘的奋斗中出生和发展起来的任何一门学科，都将遇到这一规律的限制．数学自然也不例外，相同要被归入这一规律的模式之中．因为事物的特别性中包含着广泛性，即所谓共性存在于个性之中，而有关于“一般”而言，特别的事物常常显得简单、直观和详细，并为人们所熟知．另一方面，因为“一般”归纳了“特别”，“广泛”比“特别”更能反应事物的实质，因此当我们在办理问题的时候，若能置待解决的问题于更加广泛的情况中，从而经过对一般情况的研究去办理特别情况的思虑方式，不单是可行的，并且是必需的．正因为这样，实践和归纳成了数学家找寻真谛和发现真谛的主要手段．如勾股定理，多面体的面顶棱公式，前 n 个自然数的立方和公式，二项睁开式和辉三角形等，无一不是察看、实验和归纳的结果．伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学，相同需要察看、实验”．不足为奇，大数学家高斯也曾说过，他的很多定理都是靠归纳法发现的，证明不过一个补行的手续．纵观古今，科学的发展史其实也是一部察看史、一部猜想史，更是一部论证史．数学的发展更是这样的．科学结论的获得大概包含以下几个阶段：察看、实践→推行→猜想一般性结论→论证结论．而数学归纳法恰好是论证结论的最正确方法．这与数学大师所说的“先从少量的案例中探究出规律来，再从理论上论证这一规律的一般性，这是人们认识自然的客观法例之一”的看法大概相同．递推思想此中（ 1）是递推的基础，没有它归纳假定就失掉了依照，递推就没有奠定．（2）是递推的依据，有了它无穷次递推成为可能．所以数学归纳法的两个步骤缺一不行．数学归纳法证题的两个步骤固然都是重要的但在证题时第一步较易第二步证明较难．解决的重点就是做从 k 到 k＋ 1 的转变工作 , 而这类转变工作常常波及到代数、三角、几何等知识 , 有时还要用不一样的方式进行．学生常常感觉很困难 , 苦思冥想都难以达成这一步．针对这个问题本文把中学数学教材及一些常赐教课参照资料顶用数学归纳法证明的各样问题进行整理分类并以若干比较典型、比较困难的问题作为示例,商讨数学归纳法在中学数学中的应用．2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧2.1重申两条缺一不行在这里，一定重申一下，在数学归纳法的步骤里，两条缺一不行．不要认为，一个命题在 n＝1 的时候，正确；在 n＝2 的时候，正确；在 n＝3 的时候也正确，就正确了．老实说，不要说当 n＝ 3 的时候正确还不算数，就算当 n＝1000 的时候正确，或许 1 万的时候正确，能否是对全部自然数都建立，还得证了然再说．不如举两个例子：例 1 费马（ Fermat）是 17 世纪法国有名的数学家，他曾认为，当n ∈N 时，2n n＝，，，，作了考证后获得的．因为当2 ＋１必定都是质数，这是他对01234n ＝ 0，1，2，3，4 时，它的值分别等于3，5，17，257，65537．这五个数都是素数．后225＋１＝ 4 294 967 297＝来， 18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证了然6 700 417×641，从而否认了费马的推断．没想到当 n＝5 这一结论便不建立．以后，有人还证了然当 n＝ 6， 7，8，9 的时候，式子的值也都不是素数．因而可知，数学归纳法的第（ 2）步是至关重要的．例2全部的正整数都相等．这个命题明显是荒唐的，但是当我们丢开“当n＝ 1 的时候，这个命题是正确的”无论，那么能够用数学归纳法来“证明”它．这里，第k 号命题是：“第k－ 1个正整数等于第k 个正整数”，就是k－1＝k，两边都加上1，获得k＝k＋1．这就是说第k 个正整数等于第k＋1 个正整数，这不就证了然全部的正整数都相等吗？错误就在于我们没有考虑当n＝ 1 的状况．因而可知，考证初始值对数学归纳法证明问题时是特别重要的．2.2技巧认真用好归纳假定假如说在用数学归纳法证题时．归纳过渡是解题的重点，那么归纳假定就是过渡的基础，数学归纳法之所以显得有生命力，就是因为它避开了直接接触n 的随意性，而把证明过程变为为一个“连环套”，使得人们在考证当n＝ｎ建立以后，要再在“n＝k已建立”的假定基础上，证出“当 n＝k＋1 时，命题也建立”就行了．这就意味着只需要再往前迈出一步就够了，因此大大减少了论证中的不确立性，既然这样，运用归纳假定自然极为重要．我们甚至能够说，“如何想方设法地创建条件以利用归纳假定？”的问题，正是论证者们在此应多考虑的最中心的问题．例 3 在一块平川上站有 n 个人．对每一个人来说，他到其余人的距离均不相问．每人郁有一支水枪．当发出火灾信号时，每人都用水枪击中距他近来的人．证明，当 n 为奇数时，此中起码有一人身上是干的．证 : n ＝1 时，结论明显建立．设命题对“n＝2k 一 1 建立，要证当 n＝2k 十 1 时命题也建立．设 A 与 B 两人之间的距离在全部的两人间的距离中为最小．取消A，B 两人，则由归纳假定知，在剩下的2k 一 1 个人中间，起码有一人 C 的身上是干的．再把A,B 两人加进去，因为 AC AB，BC AB,所以 A， B 两人都不会用水枪去击C，从而 C 身上仍旧是干的．所以对全部奇数n 命题都建立．在这个问题中，先撤出两人是为了使用归纳假定( 依照老例，这叫做“退” ) ．但在退出以后，还应再进；因为我们的目标是解决k 十 1 的情况．既然“退”是为“进”服务的，所以在“退”的时候就应该为“进”作好安排．我们之所以撤出 A 和 B，而不撤出他人，就是为了能方便地将他们再加进去．学会重新看起为了实现归纳过渡，一定利用归纳假定．但是，为了归纳假定，有时需要各样技巧．那么，如何才能知道该使用什么技巧呢？这里用得着数学大师华罗庚教授的话：“擅长‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失掉重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”在数学归纳法中，最原始而不失重要性的地方，即是最开头的几步，往常也就是n＝1，2，3 的情况．凡是有些经验的人都知道，像这些简单的情况议论是最合算也是最靠谱的．事实上，在好多问题中，假如真实把这些最开头的几步看破了，弄清楚了，想认真了，那么解决整个问题的方法也就有了．例 4 设正数数列｛ a ｎ ｝知足关系式 a n 2≤ a ｎ －aｎ＋１ ，证明，对全部正整数 n 有a ｎ ＜１．ｎ证明： n ＝1 的情况明显，而当 n ＝2 时，因为，１2（1－２ 1），a ２ ≤ a １ － a 1 ＝ ４ － 2a１＜2知断言也建立．假定当n＝ｋ的时候，断言建立，即a ＜１．则当＝ｋ＋1的时ｋｋn2１－（ 1２１1 １ ２ k －１ k －１１ ．知候，有，aｋ＋１ ≤ a ｋ － a k＝ 2 －a ｋ）≤ －（ 2 － ）＝ ２ ＜ ２ ＝４ ４ ｋ kk －１ k ＋１１ 断言也建立．所以由数学归纳法原理知对全部正整数n ，都有 a n ＜．ｎ在上边的论证中，“ n ＝2”并未在归纳过渡中发挥作用，所以按理说来是不用考证2 这一步的．但是，它却启迪了我们如何将（a １ － a １）改写成一种便于使用归纳假定的形式，而这类启迪对推行归纳过渡是特别重要的．在起点上下功夫起点状况的重要性其实不不过表此刻为归纳过渡供给启迪， 因此应该注意愿起点状况议论．之所以重申向起点状况议论，不过因为，一般来说起点状况多属详细考证，难度往常不大，所以简单忽视对以后面的归纳过渡的启迪意义．但是有时，我们也会碰到一些问题，在归纳的第一步上就很难，需要特别认真的下一番功夫．这时，常常需要宽阔思路，找寻合理的切入点，有时还需用到一些其余的知识．例 5证明，对全部自然数 n ，都存在自然数 x ｎ 和 y ｎ 使得２ ２ ｎx ｎ ＋ y ｎ ＝ 1993证明：当 n ＝1 时，取 １ ， １ 即可，此因x ＝43y ＝1222 184914419934312假定当 n ＝ｋ时，存在自然数 xk 和yｋ ，使得xk2＝ 1993ｋ，2＋ y k（1993x２21993k 2）（1993 y ）＝．那么明显就有ｋ＋ｋ足见可取xk 2＝1993xk，yk 2＝1993 yk，这就是说只需 n＝ｋ时断言建立，即可推得n＝k+2 断言也建立．但因为我们只证了然n＝ 1 时断言建立，所以联合“ n＝k”“ n＝k＋2”，我们仅证了然 n 为奇数时断言建立．为了得出 n 为偶数时的结论，我们还应证明 n＝2 时断言建立．注意到 432122199322，所以只需令x2＝ 4312 ＝1705 ，y2＝ 2 43222212＝1032 ，那么就有x2＋y2＝ 17051032222＝ 4312＋ 4 432 122＝ 432122 219932可见当 n＝ 2 时断言也建立，于是联合“ n＝ｋ”“n＝ｋ＋ 2”，便知断言对全部偶自然数 n 也建立．综合上述，知对全部自然数n 断言都建立．这个例子告诉我们：为了便于归纳，能够不限制于“ n＝k” “n＝ k＋1”（即一步一跨），而能够因题制宜，采纳大跨度跳跃，但此时应注意相应地增加起点，一般来说，采纳多大跨度，就应该设多少个起点．正确选用起点和过渡我们已经知道，在数学归纳法的基本形式之下，第一次往常是由考证n＝n0做起，这叫做“起步”，ｎ叫做“起点”，在往常状况下，起点一般只有一个，第二步则是由“ n＝k”跨到“ n＝k＋1”，即每次跨一步．换句话说，往常是以“跨度” 1 行进，那么这能否是说，这类安排起点和跨度的方式就必定是不可以改变的呢？其实不是的！人们完整能够依据问题的需要，对起点和跨度作灵巧和适合的安排，可是需要注意的是，绝对不可以造成逻辑上的破绽．起点是特别重要的，对起点及起点邻近的一些命题的观察，不单能够考证 n＝ｎ时建立．并且能帮我们发现推行归纳过渡的方法．而选用起点方法好多，需要视详细问题而定，在此就不阐述了．例 6随意n条直均能重合成一条直．个命是荒的，当 n＝ 2 就不可以建立．但假如我忽了一点，而采纳以下的“ 明”，那么就有可能陷于荒而于解脱：当 n＝ 1 ，命然建立．假当 n＝ k ，命已建立．那么当 n＝ k＋ 1 ，能够先此中 k 条直重合一条直，再条直同剩下的一条重合一条直，即知命也可建立．所以随意 n 条直均能重合成一条直．个“ 明”中的上的破绽，就在于在行渡，需要用到“可将随意两条直重合一条直”的断，而一断倒是未加明，并且在事上也是不可以加以明的．由此可，真观察起点邻近的命，并其建立与否，是何等之重要！但是，能否是在每一个的明中，都需要第一起点邻近的一命，其实不是的．终究能否需要以及需要几个，完整取决于命自己的特色，特别是取决于在行渡的需要．取适合的假形式我已知道，在数学法的基本形式中，假是以“假当n＝k ，命建立”的形式出的．其，其实不是假的独一形式．在必需的候，能够将假中的“ n＝ k”改写“ n≤ k”．事上，在好多的明中，人就是么做的，有些人把采纳种假形式的数学法称作第二法．第二数学法在好多的明中我来方便．因为第二数学法在中学教材中并未说起，高考也不作要求，不过在中有所要求，所以在此不例子．若感趣，可参照《漫数学法用技巧》一．3、数学归纳法在中学数学中的应用3.1证明有关自然数的等式例 7明前 n 个自然数的和s1n ＝1＋2＋3＋⋯＋n＝n n 1．2明：1、 s11＝1＝1 1 1，命建立．２2、假s1n ＝1＋2＋3＋⋯＋n＝n n 1，2s1n1＝ 1＋2＋3＋⋯＋ n ＋（ n ＋1）＝n n 1＋（ n ＋1）2n 1 n2＝２n 1n1 1＝２．命 明完 ．例 8明前 n 个自然数的平方和 s 2n ＝ 12 ＋ 22＋⋯n2＝ n n 1 2n 1 ．６明： 1、 s 21２ ＝ 1 1 1 2 1．＝１６2、假 s 2n＝ n n1 2n 1 ，６s n 1＝ n n 1 2n 12 ＋ n 12６＝ n 1 n 11 2 n 1 1 ，６命 明完 ．２２例 9明：前 n 个自然数的立方和 s 3nｎ（ｎ＋１）＝４．121 2明： 1、 s 31 ＝ 131＝．４２ ２2、假 s 3n ＝ ｎ（ｎ＋１），４２２3s 3 n1ｎ（ｎ＋１）＋n＝４1n 1 2 n 1 1 2＝４，命 明完 ．3.2 证明有关自然数的不等式n例 10（ 奴利不等式）用数学 法 明： 1等于 0，n 是大于 1 的自然数．n ， 里且不明： 1、 于 n ＝ 2，因2，故不等式是正确的．2、假 不等式 于n=k 是正确的， 里ｋ是某一个自然数，就是 ，k，由假得，1，从而有1ｋ， 当 n=k+1k11是正确的， 可由不等式两 各乘以 111 k获得，上不等k12k 2，便可式可改写1k1 k，将上边不等式右 舍去正知所求 不等式是正确的．例 11n 大于 1 的自然数，求 ：1 ＋ 1 ＋⋯＋11 ．n 1 n 2 nn 24明： 1、当 n ＝2 ，1121 ．命 建立．2 222 、假 当 n ＝ｋ ，命 建立， 当 n ＝k+1 ，1 ＋ 1 ＋⋯＋ 1nn 1 n 2 n＝ 1 ＋ 1 ＋⋯1kk 1 k 11 1 k1 2＝（1＋ 1＋⋯＋1 ）＋（1 ＋ 1 －1）k 1k 2k k2k 1 2k 2 k 1 ＝（ 1＋ 1 2 ＋⋯＋ 1 ）＋（1 － 1 ）k 1 k k k2k 1 2k 2由 假 知1 ＋ 1＋⋯＋ 11 ，而 1 － 1，k 1 k 2k k 24 2k 1 2k 2所以1 ＋ 1 ＋⋯1 1 ，k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 24此即 明当 n ＝ k ＋ 1 ，命 也建立，所以 于任何大于 1 的自然数命 都建立．3.3 证明不等式例 12aaL a０ b bL b０．（ n>1）１２ｎ和 １ ２ｎ求证：a 1b 1a 2b2La nb n a 1 b n a 2 b n 1 L a n b 1证明： 1、当 n ＝2 时，因a－ a０ bb０，所以１ ２， １ － ２a 1 a 2b 1 b 2０，即a 1b 1a 2b 2a 1b 2a 2 b1，命题明显建立．当 n ＝ 3 时，由 a1 a 3 b 1 b 3．可知命题也建立．2、假定当 n=k的 时 候 命 题 成 立 ， 则 当 n=k+2 时 ，a a k 2bbk 2０ ，即 a 1 b 1ak 2 b k 2a 1bk 2ak 2b1，可 以推 出，１ １a 1b 1 a 2 b 2 La k 1 bk 1＝ a 1b 1a k 2 bk 2a 2b 2 a 3b 3 La k 1bk 1a 1bk 2a k 2b1a 2bk 1a 3b k La k 1b2故当 n=k+2 时，命题建立，于是关于随意大于1 的自然数 n ，原不等式建立．3.4 在函数迭代中的应用一些比较简单的函数，它的 n 次迭代表达式，能够依据定义直接代入计算，归纳出一般规律后，再用数学归纳法予以证明．所以，直接求法的实质，就是数学归纳法．其n中，重点是经过不完整归纳法，找出fx的一般表达式．n例 13 f xqx ，求fx．解：由定义，f xqx ．22fx f f xq qxq x，3223f x f fxf q xq x ．一般地，由不完整归纳可猜想，nx nx ．f q事实上，因为假定上式建立，则有，n 1x f f nf xnf q xnq q xn 1q x．n所以，由数学归纳法知，f x例 14 f x x2，求 f nx．解：由定义， f x x2，f 2f f xxf 3f f2x xq n x对全部的自然数n 都建立．f222x22x x，f2223x x，一般地，可猜得，f n2nx x ．假定上式建立，则有f n 1n xx f ff x2n2 n 1．xnx2n由数学归纳法知，f x对全部自然数 n 都建立．3.5在几何中的应用例 15Ａ、一条直被它的n 个点分红几个部分？解：用F1n表示所分部分的个数，然有F1nn 1 ．Ｂ、一个平面被它上边的n 条直分红多少个部分？（里每两条直订交，但每三条直没有交点，即n 条斜交直）解： 1、一条直将平面分红两个部分．2、假我已知道n 条斜交直将平面分红F2n个部分，而考，n＋1 条斜交直的状况．原来的 n 条将平面区分红F2n个部分；第 n＋1 条直 l ，依据假，与其余 n 条直订交于 n 个不一样的点，些交点将直 l 区分 n＋1 个部分（Ａ）．直l 切割平面上原有的n＋1 个部分，所以在原有的基上又增添了F 1n＝n＋1个．所以，F2n 1＝F2n＋F1n＝F2n＋n＋1．我用数 n－ 1， n－ 2，⋯， 2，1 取代等式中的 n，获得：F 2n＝F2n 1＋n，F 2n 1＝F2n 2＋n－1，⋯⋯⋯F 23＝F22＋3，F 22＝F21＋2．将以上等式相加，因F21＝2，我有，F 2n＝F21＋［n＋（n－1）＋⋯＋2］＝1＋［ n＋（ n－1）＋⋯＋ 2＋1］＝1＋n n 12ｎ2+ｎ+２＝２．Ｃ、空 被 n 个平面（ 些平面每三个订交于一点，但每四个没有交点，即n 各斜交平面）区分红多少个部分？解： 1、一个平面将空 分红两个部分．2 、假 我 已 知道空 被n 个斜交平面区分红F 3nn ＋ 1 个斜交平面的情况．原来的 n 个平面将空 区分F3n个部分，而后考个部分， n 个平面ｎ2+ｎ +２与第 n ＋1 个平面订交于 n 条斜交 ，所以将它区分Fn ＝２个部分（2Ｂ）．所以，我 获得以下关系：２ｎ＋ｎ＋２F 3n 1＝F 3n＋F 2n＝F3 n ＋２我 用 n －1，n －2，⋯， 2，1 取代 n ，有：F 3 n ＝ F3 n 1 ＋ n 1 2+ n 1 + ２２F 3n 1＝F3 n 2 ＋n 2 2+ n 2 +２２⋯⋯ ⋯２F 3 ＝F2 ＋ ２ +２ +２２33２F 2 ＝ F1１＋１＋２＋２33将 些等式相加，得：F 3 n ＝ F3 1 ＋ 1２２ ２］＋2 ［（ｎ－１）＋（ｎ－２） ＋⋯＋１1［（ n －1）＋（ n － 2）＋⋯＋ 1］＋12ｎ22n n 1 2n 1＋n n 1 ＋n －1＝2＋４12n 1n2n 6＝６．3.6 在摆列、组合中的应用因为数学 法能够解决有关自然数的 ， 而摆列 合与自然数亲密有关， 所以，在摆列 合的多 ，都能够用数学 法来 明．比方教材中出 的摆列数公式、合数公式、自然数 n 的 乘公式，二 式定理等重要公式，都能用数学 法加以 明．下边我 一个 的例子．例 16 明： n 个元素的全摆列的种数能够按以下公式求得：Pn ＝ 1 2 3 ⋯ nn ! （ n 是自然数）．明： 1、 于 n ＝1，上式 然是正确的， P 111! ．2、假 于 n ＝ k ，它是正确的，即 Pkk ! ．当 n=k+1 ，假定我 已 成了 k 个元素的全部可能的全摆列， 它 的种数是 Pk 种，在每一种 k 个元素的全摆列中，我 加入第 k ＋1 个元素， 第 k ＋ 1 个元素的放法有k ＋ 1 种 ， 由 分 步数 原 理 ， 可 得 ： k ＋ 1 个 元 素 的 全 排 列 数 Pk 1＝Pk k 1k !k 1k1 ! ．从而，当 n ＝ｋ＋ 1 上式也正确．所以， 全部自然数 n 它都正确，命 明完 ．3.7 在数列中的应用数列是中学数学的一个重要容，此中等差数列、等比数列尤 重要，它与高中数学中的好多知 都有 系，作 解决整数 的数学 法，同 能够用来解决一些有关数列的知 ．如等差数列、等比数列的通 公式以及前n 和公式的 明都需要用数学法，下边我 看几个例子．例 17明：等比数列 ｛ a n ｝的通 公式 a n ＝ a 1qn 1．（此中 a1 是数列的首 ，q 公比）明： 1、当 n ＝1 ，等式建立，因 a1 ＝a 1q＝ a1 ．2、假 ， 于 n ＝ k 它能建立： ak k1a 1 q．当 n=k+1 ，由等比数列的定 可得，k 1ak 1= q ak ＝ｑ a 1q＝ a 1 q k．从而，通项公式对全部自然数n 都建立．证明完成．例 18试证明：等差数列的前 n 项和由以下公式表示：n n 1 dSn ＝na1 ＋．2证明： 1、当 n ＝1 时，公式是正确的， S 1 ＝ a1 ．2、假定当 n ＝ｋ时公式正确，即k k 1 dSk ＝ka1 ＋2，当 n ＝k+1 时，S k 1 ＝ S k ＋ak 1kak k1 d＝ 1 ＋a＋ kd＋ １2k1 a 1 k k 1 d＝ ＋．2所以，对全部自然数 n 的值，前 n 项和公式都是建立的．3.8有关整除的问题例 19求证：关于整数 n0 下边的式子能被 133 整除；n212 2 n111证明： 1、当 n ＝0 时，上式等于 133，明显能被 133 整除．2、假定当 n ＝k 时， k 2 2k 11112能被 133 整除．当 n ＝k+1 时，我们有，k1 22 k 1 1111211k21＋122 k 11＝ 1111k22 k1144k22 k 12 k 1＝ 111111 12133 12＝ 11 11 k 2122 k 1133 122 k 1依据我们所作的假定，第一个加数能被133 整除，第二个加数里面含有因数133，所以，他们的和，也就是原表达式在n＝ k+1 的时候也能被 133 整除．结论证明完成．因为整除问题在中学数学中不是常有题型，只有在比赛中有所表现，所以我们不在列举其余例子，其实，这一类问题的解题模式都可拜见上例．感兴趣的能够参照比赛方面的书本，在里面能够找到好多这方面的问题．参照文件：[1] 史久一，朱梧槚著．化归与归纳·类比·猜想．理工大学，2008.[2]华罗庚著．数学归纳法．教育，1964．[3](联 ) 索明斯基著．数学归纳法．中国青年，1954.[4]淳著．漫话数学归纳法．中国科学技术大学，2001.[5]L· J·格拉维娜 ,I · M·雅格咯姆著．莫斯科米尔，1979.[6]吴志翔著．证明不等式．人民，1982.[7]吴之季，严镇军，杜锡录等著．归纳·递归·迭代. 人民教育， 1990.[8](联 ) 伊·亚·杰朴著 . 数学归纳法 . 人民教育， 1958.致：经过半年的繁忙和工作，本次毕业设计已经靠近结尾，作为一个本科生的毕业设计，因为经验的贫乏，不免有很多考虑不周到的地方，假如没有导师的敦促指导，以及一同工作的同学们的支持，想要达成这个设计是难以想象的．在这里第一要感我的导师天然老师．老师平常里工作众多，但在我做毕业设计的每个阶段，从出门实习到查阅资料，题目确实定和改正，草稿中期检查，后期详尽设计，最后定稿等整个过程中都赐予了我尽心的指导．我的思路较为复杂烦杂，但是老师仍旧仔细地纠正论文中的错误．除了敬重老师的专业水平外，他的治学谨慎和科学研究的精神也是我永久学习的楷模，并将踊跃影响我此后的学习和工作．其次要感和我一同作毕业设计的同组同学，他们在本次设计中勤劳工作、战胜困难的精神感动了我，也给了我设计好毕业论文的动力．假如没有他们的努力工作，此次论文设计的达成将变得特别困难．最后还要感大学四年来全部的老师，为我们打下数学专业知识的基础；同时还要感全部的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓舞．此次毕业论文设计才会顺利达成．。
《数学归纳法》教法浅探(全文)
《数学归纳法》教法浅探(全文)【【数学归纳法是中师数学的教学难点和教研重点，原因是这部分知识对于学生来说，他们的知识准备不足，然而他们具有足够的生活经验。
正因为如此，从日常生活经验中体验数学归纳法，为突破难点提供了感性材料。
教材不可能提供大量的事例，这就要求教师在备课时深入挖掘，准备足够的材料一、设悬置疑巧引入学习兴趣盎然来例1、某主妇养小鸡十只，公母各半。
她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。
天天早晨她拿米喂鸡。
到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。
”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。
这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。
我们不妨把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。
我们介绍以上资料，不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来.实质上：不完全归纳只是验证了有限个事件，所验证的各项与其后面的项不存在因果关系，故并不能保证其后各项都成立。
也就不能保证命题的成立。
所以用不完全归纳法可能给出错误的结论。
师生共同回顾等差数列通项公式推导过程：等差数列的通项公式也是由有限个特殊事例归纳出来的，也可能不正确，一但错误，我们已建立的数列大厦必将倒塌，必须对其进行抢救性证明，如何证明这类有关正整数的命题呢？然而对于“无限”的命题，我们又不可能将其一一验证，数学归纳法则巧妙地解决了这一问题。
数学归纳法则呼之欲出。
二、创设情景共探讨柳暗花明又一村教师可以利用多媒体播放多米诺骨牌倒下片断，以及放鞭炮的片断。
看过之后教师提问学生多米诺骨牌游戏操作的方法？教师引导学生总结出两个条件：第一，必须推倒第一块，第二个条件是假如前面一块倒下，要保证它倒下时会撞倒下一块。
若上述两个条件都满足，我们可以断定什么结论？学生回答：全部的骨牌都倒下。
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数学归纳法浅谈
数学归纳法是一种重要的数学思想方法，利用数学归纳法可以解决一些相对比较复杂的问题。
同时，归纳法在数学研究中发挥了重要的作用，它是有着丰富内涵的思想工具，有着其他方法所不能替代的作用。
华罗庚先生在《数学归纳法》一书中指出：“数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。
”人类为了把握无限到有限的飞跃，离不开数学归纳法。
本文从数学归纳法的理论基础着手，阐述了归纳法的原理及其表现形式，继而分析了归纳步骤的证明思路，提出一些粗略的认识，供大家研究探讨。
一、数学归纳法的理论基础
数学归纳法的发现、发展到应用几乎经历了整个数学的发展历程，是一段漫长的历史。
16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科（f·maurolycus）对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。
法国数学家r.帕斯卡（pascal）在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法，对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。
并用其证明了“帕斯卡三角形”口项展开式系数表，中国称为“贾宪共角性”或“杨辉三角形，”等命题。
但“数学归纳法”这一名称的提出，最早见于英国数学家a德·摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中。
他指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。
虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑
基础都是不明确的。
1889年意大利数学家皮亚诺（gyeano）建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。
至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法。
二、数学归纳法的原理
用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：
第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；
第二步：假设当n=k（k∈n）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。
这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础：第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。
这两个步骤密切相关，缺一不可。
如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而论断的普遍性是不可靠的。
反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。
初学者对于上述思想往往缺乏深刻的认识，对用数学归纳法证题，总觉得不大放心，以为这种证法流于形式，证与不证似乎没有什么两样。
这种疑虑是进一步学习的绊脚石。
只有弄清实质，理解原理，才能学好数学归纳法。
三、数学归纳法的标准形式
由归纳公理，立刻可以得到，设p（n）是关于自然数n的命题，若
1°（奠基）p（n）在n=1时成立；
2°（归纳）在到p（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数都成立。
这就是数学归纳法的标准形式通常称作第一数学归纳法。
适当变换第一数学归纳法中奠基与归纳步骤中的内容，有第一数学归纳法的基本变形。
设p（n）是关于自然数n（n≥n°，n°∈n）的命题，若
1° p（n）在n=n°时成立；
2°在p（k）（k是不小于n°的自然数）成立的假定下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对不小于n°的一切自然数都成立。
设p（n）是关于自然数n的命题，若
1°p（n）在n=1，2…时成立；
2°在p（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出p（k+l）成立，则p（n）对一切自然数n都成立。
能否改变第一数学归纳法中归纳假设的内容，例如在一些情况下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。
四、归纳步骤的证明思路
用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。
因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分
必要的。
就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型。
1.能直接应用归纳假设来证明的。
证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。
2.不能直接应用归纳假设来证明的。
这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+l带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证得结论；（2）利用其他数学知识，建立p（k）（第k号命题）与p（k+1）（第k+l号命题）的联系，从而得到结论成立。
对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。
五、运用“多米诺骨牌效应”模型，建立直观具体的形象
多米诺骨牌是理解数学归纳法的最好模型。
人类的许多（游戏）活动也充分展示了数学归纳法中重要的递推特征。
如中国古代的烽火台，在古代，没有现代通讯技术，中国只能通过烽火台一个接一个的接力传递，把发生敌情的紧急消息传递给王府，从而赢得宝贵时间，从容应对敌人。
中国人逢年过节、喜庆热闹之时放的长长鞭炮，也形象地表现出数学归纳法的重要特征：递归关系。
还有我们喜闻乐见的多米诺骨牌，也形象地表征了递推关系。
据记载，英国迈克·凯尼曾经用了169713块骨牌竖立了6900米长的骨牌长龙，即多米诺骨牌。
在众人面前，他轻轻推倒第一块，出现了连锁反应，半小时内6900块多米诺骨牌纷纷倒下，全场轰动，创下了一项多
米诺骨牌的吉尼斯纪录。
而后，美国约翰·维克汉和埃勒丝·克莱恩花了35天用了255389块骨牌，摆下了壮观的多米诺骨牌，电视台直播了长达53分钟多米诺骨牌倾倒的过程，气势壮观，创下了多米诺骨牌的团体纪录（夏兴国，1993）。
综上所述，数学归纳法是一种证明与自然数有关命题的极为科学有效的方法，纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很大的进步，通过数学归纳法，我们可以从个别事实中找出一般性规律，但对于它的更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。
因此，了解数学归纳法发现、发展的历史，是我们掌握数学归纳法的基础；对数学归纳法的基本原理的准确理解，是我们运用数学归纳法解题的关键。