数学归纳法浅谈

数学归纳法浅谈

数学归纳法是一种重要的数学思想方法，利用数学归纳法可以解决一些相对比较复杂的问题。同时，归纳法在数学研究中发挥了重要的作用，它是有着丰富内涵的思想工具，有着其他方法所不能替代的作用。华罗庚先生在《数学归纳法》一书中指出：“数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。”人类为了把握无限到有限的飞跃，离不开数学归纳法。本文从数学归纳法的理论基础着手，阐述了归纳法的原理及其表现形式，继而分析了归纳步骤的证明思路，提出一些粗略的认识，供大家研究探讨。

一、数学归纳法的理论基础

数学归纳法的发现、发展到应用几乎经历了整个数学的发展历程，是一段漫长的历史。16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科（f·maurolycus）对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家r.帕斯卡（pascal）在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法，对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。并用其证明了“帕斯卡三角形”口项展开式系数表，中国称为“贾宪共角性”或“杨辉三角形，”等命题。但“数学归纳法”这一名称的提出，最早见于英国数学家a德·摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中。他指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。

虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑

基础都是不明确的。1889年意大利数学家皮亚诺（gyeano）建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法。

二、数学归纳法的原理

用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：

第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；

第二步：假设当n=k（k∈n）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础：第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上的，所以仍然不能断定原命题是否正确。初学者对于上述思想往往缺乏深刻的认识，对用数学归纳法证题，总觉得不大放心，以为这种证法流于形式，证与不证似乎没有什么两样。这种疑虑是进一步学习的绊脚石。只有弄清实质，理解原理，才能学好数学归纳法。

三、数学归纳法的标准形式

由归纳公理，立刻可以得到，设p（n）是关于自然数n的命题，若

1°（奠基）p（n）在n=1时成立；

2°（归纳）在到p（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对一切自然数都成立。

这就是数学归纳法的标准形式通常称作第一数学归纳法。

适当变换第一数学归纳法中奠基与归纳步骤中的内容，有第一数学归纳法的基本变形。

设p（n）是关于自然数n（n≥n°，n°∈n）的命题，若

1° p（n）在n=n°时成立；

2°在p（k）（k是不小于n°的自然数）成立的假定下可以推出p（k+1）成立，则p（n）对不小于n°的一切自然数都成立。

设p（n）是关于自然数n的命题，若

1°p（n）在n=1，2…时成立；

2°在p（k）（k是任意自然数）成立的假定下可以推出p（k+l）成立，则p（n）对一切自然数n都成立。

能否改变第一数学归纳法中归纳假设的内容，例如在一些情况下，可以假定n≤k成立，代替假定n=k成立。

四、归纳步骤的证明思路

用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键，又在于合理应用归纳假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分

必要的。就中学教材而论，应用数学归纳法证明的命题大致有两种类型。

1.能直接应用归纳假设来证明的。证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中是比较常见的。

2.不能直接应用归纳假设来证明的。这类命题解题时，一般通过下面两种途径，为应用归纳假设创造条件：（1）先将n=k+l带入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而证得结论；（2）利用其他数学知识，建立p（k）（第k号命题）与p（k+1）（第k+l号命题）的联系，从而得到结论成立。对于这种类型题目在中学数学的学习中，特别是在高考大题中的出现概率是比较高的。

五、运用“多米诺骨牌效应”模型，建立直观具体的形象

多米诺骨牌是理解数学归纳法的最好模型。人类的许多（游戏）活动也充分展示了数学归纳法中重要的递推特征。如中国古代的烽火台，在古代，没有现代通讯技术，中国只能通过烽火台一个接一个的接力传递，把发生敌情的紧急消息传递给王府，从而赢得宝贵时间，从容应对敌人。中国人逢年过节、喜庆热闹之时放的长长鞭炮，也形象地表现出数学归纳法的重要特征：递归关系。还有我们喜闻乐见的多米诺骨牌，也形象地表征了递推关系。据记载，英国迈克·凯尼曾经用了169713块骨牌竖立了6900米长的骨牌长龙，即多米诺骨牌。在众人面前，他轻轻推倒第一块，出现了连锁反应，半小时内6900块多米诺骨牌纷纷倒下，全场轰动，创下了一项多

米诺骨牌的吉尼斯纪录。而后，美国约翰·维克汉和埃勒丝·克莱恩花了35天用了255389块骨牌，摆下了壮观的多米诺骨牌，电视台直播了长达53分钟多米诺骨牌倾倒的过程，气势壮观，创下了多米诺骨牌的团体纪录（夏兴国，1993）。

综上所述，数学归纳法是一种证明与自然数有关命题的极为科学有效的方法，纵观科学技术迅猛发展的当今时代，我们对数学归纳法的研究已经取得了很大的进步，通过数学归纳法，我们可以从个别事实中找出一般性规律，但对于它的更加优越的性质和更广泛的应用仍需要我们继续努力钻研。因此，了解数学归纳法发现、发展的历史，是我们掌握数学归纳法的基础；对数学归纳法的基本原理的准确理解，是我们运用数学归纳法解题的关键。