数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文

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数学归纳法在逻辑证明中的应用与局限性

数学归纳法在逻辑证明中的应用与局限性

数学归纳法在逻辑证明中的应用与局限性数学归纳法是一种常用的数学证明方法,它在逻辑推理中扮演着重要的角色。

本文将探讨数学归纳法在逻辑证明中的应用以及其局限性。

一、数学归纳法的应用数学归纳法是一种通过证明基本情况成立,再证明若第n个情况成立,则第(n+1)个情况也成立的方法。

它在数学领域中的应用广泛,特别适用于证明一类具有递推性质的命题。

例如,我们可以使用数学归纳法来证明自然数的等差数列的和公式。

首先,我们证明当n=1时,等差数列的和公式成立。

接着,假设当n=k时,等差数列的和公式成立。

然后,我们通过数学归纳法证明当n=k+1时,等差数列的和公式也成立。

通过这种递推的方式,我们可以得出结论:对于任意自然数n,等差数列的和公式都成立。

数学归纳法还可以用于证明一些与自然数相关的性质。

例如,我们可以使用数学归纳法来证明斐波那契数列的性质。

首先,我们证明当n=1和n=2时,斐波那契数列的性质成立。

接着,假设当n=k和n=k+1时,斐波那契数列的性质成立。

然后,我们通过数学归纳法证明当n=k+2时,斐波那契数列的性质也成立。

通过这种递推的方式,我们可以得出结论:对于任意自然数n,斐波那契数列的性质都成立。

二、数学归纳法的局限性尽管数学归纳法在逻辑证明中有着广泛的应用,但它也存在一定的局限性。

首先,数学归纳法只适用于具有递推性质的命题。

对于一些非递推性质的命题,数学归纳法无法进行证明。

例如,如果我们想证明某个数是质数,数学归纳法就无法给出有效的证明方法。

其次,数学归纳法需要明确的基本情况。

如果基本情况没有被正确地证明,那么整个数学归纳法的证明过程就会出错。

因此,在使用数学归纳法时,我们需要特别注意基本情况的证明。

此外,数学归纳法只能证明自然数的性质,无法推广到其他领域。

例如,如果我们想证明某个命题对于实数也成立,数学归纳法就无法进行证明。

最后,数学归纳法的证明过程通常是一种“自上而下”的思维方式,它不能提供直接的构造性证明。

数学归纳法及其应用

数学归纳法及其应用

玉林师范学院本科生毕业论文数学归纳法及其应用Mathematical Induction and Application数学归纳法及其应用摘要理解数学证明思想方法和原理在数学学习中十分重要.证明原理不理解,就很难切实有效的理解概念、掌握知识内容、解决问题.数学归纳法是高中的一个重要的证明思想方法之一.高中新课程标准要求学生了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.本文是对高中数学归纳法的研究,通过对数学归纳法在最近10年全国高考和最近3年全国各地高考所出现的情况进行统计分析,确定数学归纳法的地位,使大家认识到数学归纳法的重要性.同时列举数学归纳法的各种题型,以便大家能更方便的学习数学归纳法.关键词:归纳,数学归纳法,分析,证明Mathematical Induction and applicationMathematics and applied mathematics2004-2 Chen Jin-rongSupervisor Zhao QiangAbstractUnderstood that mathematics proof thinking method and the principle are very important in mathematics study, if you don’t understood the proof principle, you may be difficult to understand concept, to grasp the knowledge content, to solve the problem. The Mathematical Induction is one of important proof thinking methods in high school. New curriculum standard requests the student to understand that the principle of Mathematical Induction,And requests they can use the mathematical induction to prove some simple mathematics proposition. This article is research the Mathematical Induction in high school,The Mathematical Induction 's status is through statistical analysis the situation which appears at the recent 10 year national and the recent 3 year different area college entrance examination, It makes everybody to realize to the mathematical induction importance.And enumerates a kind of topic of the Mathematical Induction, so that everybody can more convenient to study Mathematical Induction.Key words:Induction, mathematical induction, analysis, proof目录1引言 (1)1.1问题的起源 (1)1.2问题的阐述 (1)2基本概念 (2)2.1归纳 (2)2.2数学归纳法 (2)3数学归纳法的地位作用 (5)4数学归纳法的应用 (7)4.1证明恒等式 (7)4.2证明整除性 (8)4.3证明不等式 (9)4.4在证明数列题中的应用 (11)4.5在证明排列和组合中的应用 (16)4.6在几何中的应用 (17)5结束语 (17)5.1总结 (17)5.2建议 (18)致谢 (18)参考文献 (19)玉林师范学院本科生毕业论文(设计)1引言1.1问题的起源数学归纳法的产生经历了一个较长的历史时期,一般认为,归纳推理可追溯到公元6世纪的毕达哥拉斯时代,小亚西亚西岸米利都城的泰勒斯开创了证明的几何学,证明几何学的重要意义之一在于泰勒斯为几何定理本身提供了某种逻辑推理,尽管这种推理还没建立在自然数的公理系统之上,它还是标志着证明数学的诞生.这一时代杰出的数学家毕达哥拉斯利用点子数对级数求和问题进行探讨.他确信无疑地得出:22+++-+2(n=5)131n毕达哥拉斯可能以为这就是一种证明,他的几乎所有的有关点子数的命题,都是由有限个特殊情况而作出一般的结论,但这种推理只是简单的枚举而没有碰到矛盾事实的归纳结果,因此是不完全的归纳推理.尽管如此,他仍为数学归纳法的确定奠定了一定的基础.早期的数学归纳法是欧几里得对系数个数无穷的证明,他指出若有n个系数,就必有1n个系数,这一关于系数个数无穷的具体证明为后人对数学归纳法的认识提供+了原形.欧几里得以后,印度的拜斯迦罗和法国的莱维本热尔松用数学归纳法讨论级数求和,及从n个东西中取r个的组合数.16世纪,经过文化复兴洗礼的欧洲学者越来越意识到数学的重要性.1575年,意大利的数学家莫罗利科在他所著的《算术》一书中,提出了这样的一个递归推理思想,它首先确定命题对于第一个自然数是真的,然后再去确证命题具有后续数也是真的.这是一个重大的突破,它是现代数学归纳法表述的模式.应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了,但数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的.直到1889年,意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》.他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发,建立起关于自然数的五条公理,其中第五条归纳公理:若有一个由自然数组成的集合S含有1,又若当S含有任一数a 时,它一定也含有a的后继者,则S就含有全部自然数.自然数理论的建立,标志着数学归纳法逻辑基础的奠定,也就是严格意义下的数学归纳法的进一步明确.1.2问题的阐述从上一小节我们可以知道数学归纳法和归纳法有一定的联系,普通归纳法为数学陈金荣 数学归纳法及其应用归纳法奠定了一定的基础.我们应注意的是,虽然数学归纳法和普通归纳法有相似之处,但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的,在这种方法里,它的前提只是已被考察过的部分对象的属性,而结论却是关于同类对象全体的.因此,由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如,法国数学家费马曾根据655371225712171251243212222=+=+=+=+,,,都是素数而提出如下猜想:“任何形如)(122N n n=+的数(即费马数,记为n F )都是素数.”然而,半个世纪后,欧拉给出当5=n 时,670041764142949729712525⨯==+=F ,推翻了费马猜想.归纳法不能用来作为严格的、科学的证明,仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性.然而,数学归纳法则不同.它的基础是递归推理原理,隐含着推向无穷的可能.归纳法能导致错误这个道理太明显了(归纳在一定意义上是以偏概全),而且出现错误的机会占据了绝大多数.所以笔者在本文章中没有过多的介绍普通归纳法,但普通归纳法有时能够导出真理.本文会出现用归纳法归纳出来的结论再用数学归纳法进行证明.笔者主要是对高中的数学归纳法进行研究,所以本文是介绍高中数学归纳法的定义、地位、作用和应用的方式方法.2基本概念本论主要研究数学归纳法的应用,所以这里有必要先呈现一些关键的概念:归纳、归纳法和数学归纳法. 2.1归纳所谓归纳,郑毓信认为是指通过特例的观察和综合去发现一般的规律.而波利亚在《数学与猜想》中认为归纳是指从特殊例子推出一般规律或者从提出事实到证明一般命题的过程.“归纳”一词可以包含三种意思.它是一种研究方法,用以由两个或几个单称判断或特称判断得出一个新的全称判断(结论).它是一种研究方法,当需要研究某一对象(或者某一现象)时,用它可以研究各个对象(情况),从中找出整个对象集所具有的性质.它也可以是一种叙述的形式,借以表述从个别情况到一般情况的过渡.玉林师范学院本科生毕业论文(设计)简而言之,归纳法是由个别(特殊)到一般的推理方法,是由个别或特殊场合的知识推出一般原理的推理方法.归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法两种. 2.1.1 不完全归纳法不完全归纳法是根据事物或现象中出现的部分或特殊性质,推理其整体或一般的性质的方法.其一般推理模式为:1S 具有性质P , 2S 具有性质P ,……………n S 具有性质P , )},,({21S S S S n ,则S 中所以元素都具有性质P]2[.不完全归纳法包括枚举归纳法和因果关系归纳法,然而两种不完全归纳法,都只是寻找真理与发现真理的一种手段,对其所作的猜想,必须补充严格的证明方能成为真命题.尽管如此,不完全归纳法对于发现问题的结论和探索解题的思路中有着它的独特的作用.书上有些公式和定理,常用不完全归纳法给出.例如,等差数列与等比数列的通项公式在教材中就是如此处理的,很多数列的题目,都是用不完全归纳法在探索得到结论,而后再用数学归纳法加以证明. 2.1.2 完全归纳法完全归纳法即是在考察某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况后得到该类事物的普遍命题或一般结论.其一般的推理模式为:1S 具有性质P , 2S 具有性质P ,……………n S 具有性质P ,陈金荣 数学归纳法及其应用)},,,({21S S S S n = ,则S 中所以元素都具有性质P]2[.完全归纳法又包括穷举归纳和类分法. 2.2数学归纳法我们知道完全归纳法是在研究一切情况得到普遍命题或一般结论的推理方法.数学中作为完全归纳法的“数学归纳法”,在数学解题中有着广泛的应用.下面介绍数学归纳法的几种形式. 2.2.1 第一数学归纳法数学归纳法的理论基础是皮亚诺公理,它包括以下五条: (1)1是自然数.(2)若x 是自然数,则x 的后继数(记作+x )也是自然数. (3)对任意1,≠+x x . (4)若++=y x ,则y x =.(5)任意一个自然数的集合,如果包含1;另外,假设集合中包含x 也必然包含+x ,那么这个集合包含所有的自然数.其中第(5)条公理就是数学归纳法的根据,称为数学归纳法原理,可用符号表述如下:若S 是自然数N 的一个子集,且满足 (1)S ∈1;(2)S k S k ∈+⇒∈1;则N S =.据此得到第一归纳法的推理格式,它分两个步骤:(1)归纳基础,即验证)1(P 为真,这里“1”指使命题成立的最小自然数; (2)归纳递推,即设)(k P 为真,推出)1(+k P 为真]3[. 2.2.2 第二数学归纳法第二数学归纳法的步骤为:玉林师范学院本科生毕业论文(设计)(1)验证1=n 是命题成立(1为起始值);(2)假设当k n ≤≤1时命题成立,推出当1+=k n 时命题成立.据(1)、(2)知对N n ∈命题)(n P 成立.第二数学归纳法的理论根据是最小数原理;自然数非空集合A 一定含有最小者,即A 中存在一个自然数a ,对于A 中任意x 都有x a ≤]3[. 2.2.3跳跃归纳法跳跃归纳法的步骤为(1)验证当l n ,2,1=时命题成立;(2)假设当k n =时命题成立,推出当l k n +=时命题成立. 当项数中出现“间隔型”,即宜用跳跃归纳法]3[. 2.2.4反向归纳法反向归纳法是由于在归纳递推中采用反向递推而得名.其主要的步骤为: (1)证明有无穷多个自然数使命题成立;(2)假设当1+=m n 时命题成立,推出当m n =时命题成立.其中(1)的证明常常取)(2N k n k ∈=加以过渡.可以证明,反向归纳法与第一,第二数学归纳法是等价的,在解题时可把反向归纳法和其他归纳法变通使用.一些有名的不等式(如凹、凸函数定理、平均不等式等)都可以用反向归纳法加以证明]3[. 2.2.5跷跷扳归纳法当有一些与自然数有关的命题难以直接应用前面的数学归纳法证明时,可以根据具体情形,主动加强命题,设计一个更一般性的新命题,通过新命题的证明来确定原命题的正确性,这就是跷跷扳归纳法的初衷.其形式简述为“两个与自然数有关的命题1,,A B A n n 成立”,假设“k A 成立k B ⇒成立;k B 成立1+⇒k A 成立”,那么“n n B A ,正确”]2[.跷跷扳归纳法它适用于两个相关命题的证明.3数学归纳法的地位作用陈金荣数学归纳法及其应用归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法,是寻找真理和发现真理的主要手段,科学上的无数定理、定律都是归纳的结果.而数学归纳法则是对定理、定律的证明.在高中新课程标准明确要求要高中学生掌握数学归纳法,能用数学归纳法证明一些命题.本文主要研究的是高中数学归纳法在试题中的应用,我们研究数学归纳法的地位作用时,主要是对数学归纳法在历年全国高考题和最近这几年全国各地高考题所出现的情况进行统计分析.下面几个表就是关于数学归纳法在最近10年全国高考题和最近这3年全国各地高考题所出现的情况(其中√表示有出现数学归纳法的试题,○表示没有出现).表3.1最近10年全国高考Table3.1 the recent 10 year national college entrance examination表3.2 2005年全国各地高考Table3.2 National college entrance examination in 2005表3.3 2006年全国各地高考Table3.3 National college entrance examination in 2006表3.4 2007年全国各地高考对于上面4个表,作出以下说明和总结:(1)、全国历年统一高考中,2004年后每年都出了4份试卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,每份又分理科和文科.而本文只是对试卷Ⅰ理科进行统计,但发现有些年份试卷Ⅰ没有出现数学归纳法时,在其他卷出现了,比如2006年试卷Ⅰ没有出现数学归纳法,但在试卷Ⅱ却出现了.(2)、全国各地高考中,独自命题的省份(除了江苏和广东)所出的试卷都分为理科和文科(2007年广东也分文理卷).而本文也只是对理科进行统计.(3)、从上表来看,出题情况:最近10年高考,有5年出现数学归纳法,占50%;2005年全国各地高考14省有8省出现数学归纳法,占57%;2006年全国各地高考16省有4省出现数学归纳法,占25%;2006年全国各地高考16省有8省出现数学归纳法,占50%.(4)、从上面的数据看,数学归纳法在高考占有比较大的地位,这说明在高中必须掌握数学归纳法,特别要能灵活运用数学归纳法证明各种体型.4数学归纳法的应用数学归纳法在证明等式和不等式、数列中通项公式的探索、代数中的整除问题以及在数学领域中得到广泛的应用.当用数学归纳法证题要注意下面几点:(1)证题的两个步骤缺一不可,要认真完成第一步的验证过程.(2)成败的关键在于第二步对一时的证明:①要突破对“归纳假设”的运用;②要用好命题的条件;③要正确地运用与命题有关的知识及变换技巧.用数学归纳法证明有关的命题,关键是“一凑一证”,常用比较法、作差法、分析综合法、放缩法等方法完成.4.1证明恒等式例4.1.1 用数学归纳法证明 *)()1(25312N n n n ∈=+++++ .分析 应用数学归纳法解题时,第一个步骤中的初始值0n 是使命题成立的最小正整数, 在本题这个正整数是1,所以第一步可以直接验证1=n 时命题的正确性.证明 (1)当1=n 时,左边1=,右边1=,等式成立.(2)假设当k n =时等式成立,就是2)12(531k k =+++++ ,则当1+=k n 时, 22)1(12]1)1(2[)12(531+=++=-+++++++k k k k k ,即 1+=k n 时,等式成立.根据(1)、(2)可知,等式对任何*N n ∈都成立.例4.1.2 用数学归纳法证明: *)(212111211214131211N n nn n n n ∈+++++=--++-+- . 分析 这种等式的左边、右边都是数列的和的题目,我们证明时要注意的是,当k n = 到1+=k n 时,等式两边会增加多少项,增加怎么样的项,并要注意项的合并.证明(1)当1=n 时,左边21211=-=,右边21=,命题成立. (2)假设当k n =时命题成立,即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-,那么当1+=k n 时, 左边221121211214131211+-++--++-+-=k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k 2211213121++++++++=k k k k上式表明当1+=k n 时命题成立.由(1)、(2)可知,命题对一切正整数都成立.4.2证明整除性例4.2.1 设n 是任何的正整数,求证:n n 53+能被6整除.分析:与正整数有关的整除问题,常用数学归纳法解决,在这题的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”,即把1+=k n 代入被除式,然后再设法证明“剩余部分”.证明(1)当1=n 时,61513=⨯+,命题显然成立.(2)假设当k n =时,k k 53+能被6整除.由于6)1(3)5(55133)1(5)1(3233++++=+++++=+++k k k k k k k k k k .因为两个连续的正整数)1(+k k 是偶数,所以)1(3+k k 能被6整除.同时由假设我们知道k k 53+能被6整除.因此6)1(3)5(3++++k k k k 能被6整除,即1+=k n 时,命题成立.根据(1)、(2)可知,命题成立.例4.2.2 试证当n 为正整数时,983)(22--=+n n f n 能被64整除.分析:这道题目也可以和例4.2.1一样,拼凑出“归纳假设”,再证明“剩余部分”.在这里我们可以将归纳假设转化变通,我们可以令m k k 6498322=--+,当把1+=k n 代入)(n f 时,能够更容易解题.证明(1)当1=n 时,64983)1(4=--=f ,命题显然成立.(2)假设当k n =时,983)(22--=+k k f k 能被64整除.由归纳假设,设m k k 6498322=--+(m 为大于1 的正整数),将9864322++=+k m k 代入到)1(+k f 中,得 )19(649)1(8)9864(9)1(++=-+-++=+k m k k k f ,∴1+=k n 时命题也成立.根据(1)、(2)知,对于任意*N n ∈,命题都成立.4.3证明不等式例4.3.1 比较12+n 与2n 的大小*)(N n ∈.分析:解本题我们要注意的是,本题先归纳,然后再用数学归纳法对其归纳的结果进行证明,题中当1=n 时,212n n >+;当2=n 时,212n n >+;当3=n 时,212n n =+ ;当3>n 时,212n n >+.所以用数学归纳法证明时,第(1)步应令4=n ,而不是令3≤n 的整数.解::当1=n 时,21112>+,即212n n >+;当2=n 时,22212>+,即212n n >+;当3=n 时,23312=+,即212n n =+;当4=n 时,24412>+,即212n n >+;当5=n 时,25512>+,即212n n >+;…………猜想:当4≥n 时,212n n >+.下面用数学归纳法证明猜想成立.证明(1)当4=n 时,有上面可知猜想成立.(2)假设)4(≥=k k n 时,命题成立,即212n n >+.∴222221)1()12(212212+=++>+=>+=+••+k k k k k k k k ,即1+=k n 时命题成立.根据(1)、(2)知,当4≥n 时,212n n >+.例4.3.2 若*N n ∈,且1>n ,求证:241321312111>+++++++n n n n . 分析:(1)20=n ;(2)注意由k n =变化到1+=k n 时,不等式左边不是单纯增加)1(21+k ,而是增加了221121+++k k ,又减少了11+k . 证明(1)当2=n 时,241324141274131>==+,∴不等式成立. (2)设n n n n S n 21312111)(+++++++= .假设k n =时,有2413)(>n S 成立,那么,因221121213121)1(+++++++++=+k k n n n S k +=)(k S 221121+++k k 11+-k 2413)1)(12(21)()(>>+++=k k S k k S ∴1+=k n 时,原不等式也成立.根据(1)、(2)知原不等式对1*,>∈n N n 均成立.例4.3.3 求证*)(12131211222N n n n ∈-≤++++ . 分析:数学归纳法证题关键是第二步,难点也是第二步,我们不能象证等式那样,将不等式式中右边k 12-和2)1(1+k 相加,一般来说,这两项相加并不恰好等于112+-k ,这正是难点所在,所以经常利用归纳假设结合分析法、求差法、比较法和放缩法等,从k n =推出1+=k n 时命题成立.证明(1)当1=n 时,1121-≤,命题成立 (2)假设k n =时,命题成立,即 k k12131211222-≤++++ ,当1+=k n 时,22222)1(112)1(1131211++-≤++++++k k k k 11211112)1(112+-=+-+-=++-≤k k k k k k k ,命题成立. 根据(1)、(2)知,原不等式当*N n ∈时成立.例4.3.4 用数学归纳法证明 ).()1211)(21(2N n n nn ∈≥++++++ 分析:本题可能由于大家不够仔细,很容易作出以下错误的证明证明(1)当1=n 时,左边111=⨯=,右边1=,原式成立.(2)假设k n =时,原式成立,即.)1211)(21(2k k k ≥++++++ 立.于是有]111211)][1(21[++++++++++k k k k )21(11)1211)(21(k k k k +++++++++++=)11)(1()1211)(1(++++++++k k k k 123)1(2)1(112++++++≥••k k k k k 22)1(1232+=+++≥k k k k . 即当1+=k n 时,原式成立. 根据(1)、(2)知,原不等式均成立.不知大家看到了没有,上述证明忽略了在第一步验证0n n =后,第二步中所考虑的k 必须满足0n k ≥的一切自然数,然而以上证明的第二步用的不等式关系231211≥+++k 却默认了1>k 而不允许1=k ,因而第二步所形成的递推就失去了基础,所以上述证明是错误的.正确的证明:应在上述证明的第一步中加上验证2=n 不等式也成立,这样归纳 假设中可以取2≥k .4.4在证明数列题中的应用本小节数学归纳法在数列}{n a 的应用,它包括一些等式、不等式证明和归纳通项公式,再加以证明等等.高考中这一类题型是命题的重点.例4.4.1(2007年天津高考)在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ;分析:这类先归纳再证明的题目,并不是很难的题,类似等式的证明.归纳时多加小心就可以了.解(Ⅰ)22222(2)22a λλλλ=++-=+,2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+,3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+.由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+.以下用数学归纳法证明.(1)当1n =时,12a =,等式成立.(2)假设当n k =时等式成立,即(1)2k k k a k λ=-+,那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k k k λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+.这就是说,当1n k =+时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式(1)2n n n a n λ=-+ 对任何n *∈N 都成立.(Ⅱ)略.例4.4.2 对于数列}{n a ,若nn a a a a a a a a 1),1,0(1111-=≠>+=+且. (1)求,,32a a 并猜想n a 的表达式;(2)用数学归纳法证明你的猜想;分析:这类题题目很明确n n a a 和1+有直接的关系的,当由k n =推到1+=k n ,直接把假设k a 代到关系式kk a a a 111-=+中去,即可. 解(1)∵,1,1111nn a a a a a a -=+=+∴)1(111111122422112+++=+-+=+-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a )1(11)1(11242462422213+++++=+++-+=-=a a a a a a a a a a a a a a a . 猜想)1(11111)1(1222222224222222--=----=++++++=++---•n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a . (2)(ⅰ)当1=n 时,右12241)1(1a a a a a a =+=--=,∴等式成立. (ⅱ)假设当*)(N k k n ∈=时,等式成立,即,)1(1222--=+k k k a a a a 则当1+=k n 时,)1()1()1)(1(1)1(112222222222211----+=---+=-=++++k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a )1(1)1(2)2(2--=++k k a a a . 也就是说,当1+=k n 时,等式也成立.根据(ⅰ)、(ⅱ)知,对于一切)1(1*,222--=∈+n n n a a a a N n . 例4.4.3 设,1,1,101a a a a a a nn +=+=<<求证:对一切自然数1,>n a n 有 . 分析:设k n =时,1>k a 成立;则当1+=k n 时,a a a k k +=+11.因1>k a ,11<k a ,故无法由a a a k k +=+11推出11>+k a .怎么办呢?要想证11>+k a ,只要证11>+a a k ,即证a a k -<11,只要把命题加强为aa -<<111即可完全归纳过渡. 证明 (1)当1=n 时,111>+=a a ,又由112<-a 可得a a -=+111,∴aa -<<1111.(2)假设aa N k k n k -<<∈=111,)(时,那么当a a a k n k k +=+=+1,11时,假设得,111<<-k a a ∴a a a a k -<+<+<11111,∴aa k -<<+1111. 根据(1)、(2)知对任意自然数n ,都有a a n -<<111,从而有)(1N n a n ∈>. 例4.4.4(2005年江西高考)已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ 证明;,21N n a a n n ∈<<+分析:此题当由k n =推到1+=k n 时,从)4(211k k k a a a -=+很容易知道21<+k a ,但要判断1+<k k a a 就很难,所以在这里我们可以运用求差法,即作差1+-k k a a ,看是大于0还是小于0,即可.证明(1)当n=1时,,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ,命题正确.(2)假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 )4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=----- 而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a 又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时,命题正确.由1°、2°知,对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a例4.4.5已知数列}{n a ),2,1( =n ,若对任意自然数n ,都有120+-≤>n n n a a a a 及,试证:)(1N n na n ∈<. 分析:此题证明时,由假设当k n =时不等式成立,即.1k a k <当1+=k n 时,由于12+-≤k k k a a a ,即有)1(1k k k a a a -≤+.显然110<-<k a ,从而有k k a a <+1,因此,若有11,111+<<+<+k a a k a k k k 则,但k a k 1<,所以我们要另外考虑ka k k 111<≤+.证明(1)当1=n 时,由021212>-≤a a a a ,且,可得1101<<a ,所以不等式立. (2)假设k n =时,命题成立,现在证+<⇒<+k a k a k k 111. 鉴于k a 的不确定性,需分类讨论.①11)1(,1101+<<-≤+<<+k a a a a k a k k k k k 时当. ②11)111(1)1(1111+=+-<-≤<≤++k k k a a a k a k k k k k 时,当. 根据(1)、(2)可知,)(1N n n a n ∈<成立. 例4.4.6(1998年高考全国卷)已知数列{b n }是等差数列, b 1=1, b 1 + b 2 + ⋅⋅⋅+ b 10 = 145.(Ⅰ)求数列{b n }的通项b n ;(Ⅱ)设数列{a n }的通项a n =log a (1+ 1/ b n ) (其中a>0, 且a ≠1), 记S n 是数列{a n }的前n 项和.试比较S n 与13log a b n+1 的大小 ,并证明你的结论. 分析:由(Ⅰ)我们易得到,23-=n b n 并分别代入n S 与13log a b n+1整理后知,只要比较313)2311()411)(11(+-+++n n 与 的大小.这显然是与自然数有关的问题,取,3,2,1=n 可以发现前者大于后者. 由此我们可以猜测313)2311()411)(11(+>-+++n n (*) 下面我们对其进行证明(1)当1=n 时,不等式成立;(2)假设当k n =时,不等式(*)成立,即313)2311()411)(11(+>-+++k k ,那么,当1+=k n 时,)1311(13)1311)(2311()411)(11(3+++>++-+++•k k k k 32)13(23++=k k(若继续用综合法顺推,则放缩难度很大,此时应瞄准特征的结论,改用分析法探路)要证33243)23(23+>++k k k ,只要证23)13)(43()23(++>+k k k ,由其结构特征,运用均值不等式知233)13()13()43()13)(13)(43(3+=+++++<+++k k k k k k k 故23)13)(43()23(++>+k k k综上可知,当1+=k n 时,不等式)(*成立.又由于对数函数的单调性知,当1>a 时,31>n S ㏒1+n a b ; 当10<<a 时,31<n S ㏒1+n a b 点评:面对综合能力要求比较强的题目,“综合与分析”是利用归纳假设的常用方法,一般地,由归纳假设导出的式子与特征的式子联系较弱,不易证明,往往采用分析法.4.5在证明排列和组合中的应用数学归纳法最简单的应用之一,是用来研究排列和组合的公式.例4.5.1 证明)!(!!m n m n C m n -=. ① 分析:首先,,11=nC 这是显然的,如果再能证明当n m <<1的时候,111---+=m n m n m n C C C ,那么,式子①也就可用数学归纳法来证明.证明(1)当1=n 时,式子①显然成立我们假定有n 个不同的元素n a a a ,,,21 ,每次取出m 个元素的组合里,可以分为两类:一类含有1a ,一类不含有1a ,含有1a 的组合数,就等于从n a a a ,,,21 里取1-m 个元素的组合数,它等于11--m n C ;不含有1a 的组合数,就等于n a a a ,,,21 里取m 个的组合数,它等于m n C 1-,所以111---+=m n m n m n C C C(2)假设当1+=k n 时,式子①成立,那么有)1()!(!!)!()!1()!1()!1(!)!1(111k m m k m k m k m k m k m k C C C m k m k m k <<-=---+---=+=---这里玉林师范学院本科生毕业论文(设计)所以k n =时,式子①也成立根据(1)、(2)可知,)!(!!m n m n C m n -=成立. 4.6在几何中的应用例 4.6.1 在同一平面内有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点,证明这n 个圆将平面分成22+-n n 个部分.证明(1)当1=n 时,22112=+- ,即把平面分成两个部分,结论成立.(2)假设k n =时,k 个圆把平面分成22+-k k 个部分.若再增加一个圆,它与原来的k 个圆相交,共有k 2个交点,这些点把第1+k 个圆分成k 2段弧,而每段弧把它所在的那块平面分成两块,即增加了一个部分,因此总数增加了k 2个部分.所以,当1+=k n 时,平面被分成了2)1()1(2)2(22++-+=++-k k k k k 个部分,即1+=k n 时命题成立.根据(1)、(2)知,N n ∈时结论成立.5结束语本章主要是对文章进行一个总结,并当教师学生在教学学习数学归纳法时,给出一些的建议,以供大家参考.5.1总结本论文主要研究数学归纳法的定义、作用和应用.第二章研究了近年来高考情况,只是对数学归纳法是否出现在高考作出了一些统计分析,但没有更深入的了解研究在高考中数学归纳法的题型,以及其特征.而且在论述数学归纳法的地位只单一表现在高考上,这是不足之处;第三章阐述了数学归纳法的几种定义,但本文主要是对第一数学归纳法应用进行研究,而其他几种归纳法只是让大家知道,在本文就没有过多的论述;第四章是研究数学归纳法的应用,本文以数学归纳法的应用作为研究的重点,而数学归纳法在数列}{n a 和不等式中的应用又是本文章的重中之重,从第四章可以看出,所列出的应用题型中,数列包含着不等式,不等式包含着数列.陈金荣 数学归纳法及其应用5.2建议以下是作者对教师和学生提出的几点建议:(1)、教师在数学归纳法的教学中,通过探究,让学生经历观察、猜想、证明等过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,体验创造性工作的真实过程,领会归纳时的科学研究方法.(2)、教师应对数学归纳法有正确的认识.在课堂教学中教师引导着整节课的方向,教师对数学的认识决定和影响了具体的教学过程.首先教师要意识到数学归纳法在中学数学教学过程中的重要地位,同时教师应该对数学归纳法进行一个系统地整理,特别把数学归纳法应用中经典题型进行整理分类.(3)、学生在学习数学归纳法时,要了解重点所在.对于常规的数学问题中,并不是仅仅要求你给出一个证明,而是要求先通过归纳得出一个结论,再用数学归纳法证明,这里就要求正确的归纳,或者说归纳出一个正确的结论.就像归纳出一个通项公式、一个等式或其他公式,因此在归纳出一个结论后,要先做验证工作,否则“证明”是得不到好结果的.(4)、在数学归纳法的证明中,有时要用到各部分的知识、综合性较强.比如上面例4.4.6中,它还要求你懂对数函数、均值不等式知识,并能灵活的运用.所以说有时一个命题不会证明,并不是因为不熟悉数学归纳法,而是综合能力较弱.(5)、学生在用数学归纳法证明时,不能死套数学归纳法证明了两个步骤.有时命题在证明之前宜将形式作些变化,以便于证明与叙述.例如,用数学归纳法证明等差数列的前n 项的和的公式)(21n n a a n S +=,宜改成])1(2[21d n a n S n -+=.又如,在证明:当n 为奇数时,22y x +一定能被y x +整除;n 是偶数时,22y x -一定被y x -整除.宜将n n n n y x y x -+与改写成1212--+n n y x 及*)(22N n y x n n ∈-.致谢四年的学习生活即将结束,回首往事,难以忘怀在这四年的学习和生活中给予我关怀和支持的老师和同学们.我在玉林师范学院数学与计算机科学系学习期间,得到了系领导和其他老师的帮助,尤其是赵强老师,他在我的毕业论文写作过程中倾注了大量的精力,指导我顺利完成毕业论文写作.在此,谨向辛勤培育我的各位老师致以最诚挚的谢意.。

谈谈数学归纳法 本科论文

谈谈数学归纳法  本科论文

本科生毕业论文(设计)册作者姓名:指导教师:所在学部:信息工程学部专业:数学与应用数学班级(届):2014届2班二〇一四年五月十日学位论文原创性声明本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》,是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的原创性成果。

除文中已经注明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。

本声明的法律后果由本人承担。

论文作者(签名):指导教师确认(签名):年月日年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解河北师范大学汇华学院有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅。

本人授权河北师范大学汇华学院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。

(保密的学位论文在年解密后适用本授权书)论文作者(签名):指导教师(签名):年月日年月日河北师范大学汇华学院本科毕业论文(设计)任务书编号:2014230302099学部:信息工程学部专业:数学与应用数学班级: 2014届2班学生姓名:学号: 2010511882 指导教师:张硕职称:副教授1、论文(设计)研究目标及主要任务通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习,灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧,并给出自己的建议与思考.2、论文(设计)的主要内容(1)数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型;(2)研究数学归纳法解决的常见题型;(3)剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧;(4)数学归纳法的推广应用.3、论文(设计)的基础条件及研究路线基础条件:学校拥有大型图书馆和校园网,到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料,在写作的过程中有指导老师的指导.研究路线:通过对数学归纳法基本内容的学习研究,归纳总结其在解决问题中的应用方法,并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧,提出自己的思考建议.4、主要参考文献[1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999,(2):102-106.[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38.[3]余元希等.初等代数研究(上册)[M].高等教育出版社,2010:8-11.[4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社,2014:183-201[5]吴志翔著.证明不等式[M].河北人民出版社,1982:56-59.指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学汇华学院本科生毕业论文(设计)开题报告书河北师范大学汇华学院本科生毕业论文(设计)文献综述本科生毕业论文设计谈谈数学归纳法学部:信息工程学部专业:数学与应用数学班级:2010级2班学生:指导教师:张硕论文编号:2014230302099目录中文摘要、关键词 ........................................................................................................ 错误!未定义书签。

毕业论文:数学归纳法及其应用论文

毕业论文:数学归纳法及其应用论文

数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法,它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法.数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处.对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解,是掌握这种证明方法的关键.要熟练的掌握及应用数学归纳法,首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤,而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要.数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等.n时表示一个命题,正整数是无穷的.一个与正整数N有关的命题,当1n时又表示一个命题,如此等等,无穷无尽.因此,一个与正整数N有关当2的命题本质上包含了无穷多个命题.假如我们对于这无穷多个命题,按部就班地一个一个去证,那么不管我们的证题速度有多快,也是今生今世都证不完的.在一个与正整数N有关的命题面前,作为万物之灵的人,发明了一种方法,叫做“数学归纳法”.人们运用此法,只需寥寥几步,像变戏法似的,便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1].数学归纳法是数学论证的一个基本工具,是一种非常重要的数学证明方法,它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的,或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的.最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立,这种方法是由下面两步组成,第一步是递推的基础: 证明当1n时表达式成立.第二步是递推的依据: 证明如果当n k时成立,那么当1n k时同样成立.(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设.不要把整个第二步称为归纳假设.) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的,然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的.如果这两步都被证明了,那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中.1数学归纳法的概述1.1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致,数学中研究问题的方法一般有以下分类:1.1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理,它又称演绎法.1.1.2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳推理,它又称归纳法.根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部,归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法.不完全归纳法所得到的命题并不一定成立,所以这种方法并不能作为一种论证方法.但是,不完全归纳法是研究数学的一把钥匙,是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中,为了寻求一般规律,往往先考察一些特例,通过对这些特例的不完全归纳形成猜想,然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索,对提高数学能力十分重要.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又叫做枚举法.与不完全归纳法不同,用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时,采用完全归纳法[2].1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与正整数有关的数学问题.1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家,名叫皮亚诺(G.Peano,1858-1932),他总结了自然数的有关性质,并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理,后人称之为“皮亚诺公理”.皮亚诺公理的内容如下:任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数.在这个集合中,某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系(或者叫做“直接后继”关系)并且满足以下五条公理:Ⅰ.0N(即“0是自然数”).Ⅱ.对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从'a(我们用符号'a 表示a的随从,以下类同).Ⅲ. 0不是N中任何一个元素的随从.a b可以推出a b(这就是说,N中的每个元素只能是某一个元Ⅳ.由''素的随从,或者根本不是随从).Ⅴ.设M是自然数的集合,若它具有下列性质:(1)自然数0属于M;(2)如果自然数a属于M,那么它的随从'a也属于M;则集合M包含一切自然数[1].自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知,0是自然数关于“后继”的起n n,…,则始元素,如果记'01,'12,'23,…,'1{0,1,2,,,}N n皮亚诺公理与最小数原理是等价的,我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 (最小数原理) 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合,即{|,}Mn nN nm mA 且对任意由于A 非空,至少有一自然数a A ,而1()a a 不在M 中,所以M N .从而必存在自然数0m M ,且01m M .因为若不然,就有(1)0M (0不大于任一自然数); (2)若m M ,则1m M .根据归纳原理,集合M 包含一切自然数.此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数,因为对任何aA ,都有0m a ;而且0m A .事实上,若0m A ,则有01m a ,对任意a A ,于是01m M ,这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 (数学归纳法原理)一个与自然数有相关的命题()T n ,如果(1)00()(0)T n n 为真;(2)假设0()()T n nn 为真,则可以推出(1)T n 也为真.那么,对所有大于等于0n 的正整数n ,命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真,则0{|,()}Mm mN mn T m 且不真非空.根据定理1,M 中有最小数0m .由(1),00m n ,从而001m n 且0(1)T m 为真.由(2),取01nm 即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲,皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据,因此,第五条公理也称做数学归纳法原理。

浅谈数学归纳法的认识及应用

浅谈数学归纳法的认识及应用

浅谈数学归纳法的认识及应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法,它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。

本文通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法的应用。

要熟练的应用数学归纳法,首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤,而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。

最后我们在通过用数学归纳法证明命题的过程中,可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。

【关键词】归纳法猜想证明方法(一)数学归纳法的概述归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在高中数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

[1]例如:大球中装有若干个小球,以下是试验过程和推理,其结论是否正确?试验(1)从大球中取出5个小球,发现全是红色的。

推理大球中装的全是红球判断考察部分对象,得到一般结论的方法,叫做不完全归纳法。

不完全归纳法得到的结论不一定正确。

试验(2)从大球中取出所有的小球,发现全是红色的。

推理大球中装的全是红球判断考察全部对象,得到一般结论的方法,叫做完全归纳法。

完全归纳法一定是正确![2]数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解高中数学题中有着广泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法。

用数学归纳法证明命题的步骤:(1)证明:当n取第一个值n。

结论正确;(2)假设当n=k(k∈N,且k≥n。

)时,结论正确,证明当n=k+1时结论也正确。

由(1)、(2)可知,命题对从n。

开始的所有正整数n都正确。

这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。

关于数学归纳法的论文

关于数学归纳法的论文

数学归纳法在问题求解中的应用作者:管国策指导老师:张胜摘要数学归纳法是一种常用的证明方法,在不少数学问题的证明中,它都有着其他方法所不能替代的作用.甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景,本文首先阐述数学归纳法的理论依据以及表现形式,然后通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学以及中学数学竞赛中的应用,最后详细叙述对数学归纳法的认识和使用中应该注意的问题.关键词数学归纳法数列行列式离散数学树数学竞赛1、数学归纳法的理论依据归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法;不完全归纳法是非逻辑方法,只适用于数学发现规律,不适用于数学严谨证明.数学归纳法既不是归纳法,也不是演绎法,是一种递归推理,其理论依据是下列归纳公理:(1)存在一个自然数0∈N.(2)每一个自然数a有一个后继元素'a,如果'a是a的后继元素,则a叫做'a的生成元素.(3)自然数0无生成元素.(4)如果'a='b,则a=b.(5)(归纳公理)自然数N的每个子集M,如果M含有0,并且含有M内每个元素的后继元素,则M=N.自然数就是满足上述公理的集合N中的元素,关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论.由以上公理可知,0是自然数关于“后继”的起始元素.如果记'0=1,'1=2,'2=3,…,'n=n+1,…,则N={0,1,2,…,n,…}.由以上公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数在本质上是一致的.20世纪90年代以前的中学数学教材将自然数的起始元素视作1,则自然数集即为正整数集.现在已统一采用上面的证法,即将0作为第1个自然数.为了阐述数学归纳法,我们首先介绍一下正整数集的最小数原理.最小数原理:正整数集中≤,的任意一个非空子集必含有一个最小数.也就是说,存在数a∈S,对于∀x∈S都有a x最小数原理也就是数学归纳法的理论依据.2、数学归纳法的表现形式2.1.第一数学归纳法在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法,介绍如下:原理:设有一个与正整数n有关的命题()P n .如果:(1)当n =1时命题成立(2)假设n =k 时命题成立(3)若能证明n =k +1时命题也成立.证明:反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合,那么S ≠∅.于是由最小数原理,S 中有最小数a .因为命题对于n =1时成立,所以1a ≠, a >1.从而a -1是个正整数.又由于条件(3),当n =a 时命题也成立.因此a S ∉,导致矛盾.因此该命题对于一切正整数都成立.定理证毕.在应用数学归纳法时,有些命题不一定从c 开始的,这时在叙述上只要将n =1换成n =c 即可.第一数学归纳法主要可概括为以下三步:(1)归纳基础:证明c 时命题成立(2)归纳假设:假设n =k 时命题成立(3)归纳递推:由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.2.2.第二数学归纳法第二数学归纳法与第一归纳法是等价的.在有些情况下,由归纳法“假设n =k 时命题成立”还不够,而需要更强的假定.也就是说,对于命题()P n ,在证明(1)P k +成立,不仅依赖()P k 成立,而且依赖于前面各步成立,这时一般要选用第二数学归纳法.原理:设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果:(1)当n =1时命题成立(2)在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时(3)若能证明n =k +1时命题也成立.则这个命题对于一切正整数n 都成立.其证明方法与上述证明方法类似,在这个地方不再赘述.第二数学归纳法可概括为一下几个三步:(1)归纳基础:证明n =1时命题成立(2)归纳假设:假设n k ≤时命题成立(3)归纳递推:由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.3.反向归纳法反向数学归纳法是数学家柯西最先使用的,下面我们就来介绍一下.原理:设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果:(1)命题()P n 对于无限多个正整数n 成立(2)假设n =k 时命题成立(3)若能证明n =k -1时命题也成立,则这个命题对一切正整数n 都成立.证明:反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令A 表示使该命题不成立的正整数作成的集合,那么A ≠∅.任取a A ∈,由条件(1)知必有正整数b >a ,使()P b 成立.令这样的正整数b 组成的集合为B .因为集合B ≠∅,故必有最小数,设这个最小数为m ,显然m >1,由条件(3)知:(1)P m -成立,由a 的取法知:3、数学归纳法的应用数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用,它不仅可以用来证明与自然数n 有关的初等代数问题,在高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出.在用数学归纳法解决以上问题时,不仅思路清晰、大大降低了问题的复杂性,又能找出相应的递推关系,非常有效.下面重点谈谈它在初等代数、高等数学、离散数学以及数学竞赛中的应用. 3.1.数学归纳法在初等代数中的应用数学归纳法在恒等式问题、整除问题、三角函数问题、数列问题以及不等式问题中均有着广泛的应用.例1.求证:3n +5n (n N +∈)能被6整除证明:(1)当n =1时,31+51⨯=6能被6整除,命题成立(2)假设n =k 时,命题成立,即3k +5k 能被6整除当n =k +1时,有3(1)k ++5(1)k +=(3k +32k +3k +1)+(5k +5) =(35k k +)+3(1)k k ++6 因为两个连续的正整数的乘积(1)k k +是偶数,所以3(1)k k +能被6整除 则(35k k +)+3(1)k k ++6能被6整除,即当n =k +1时命题也成立 综上所述,对一切正整数n 命题都成立.例2.已知在各项均为正整数的数列{}n a 中,它的前n 项和n S 满足n S =11()2n na a +,试猜想数列{}n a 的通项公式,并有数学归纳法证明你的猜想. 解:1S =1111()2a a + 21a ∴=1n a >0 1a ∴=12S =1a +2a =2211()2a a +即22a +22a -1=0又n a >0 ∴2a-13S =1a +2a +3a=1+(1+3a =331()a a +即23a+3a -1=0 又n a >0 ∴3a…猜想:n an N +∈)下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当n =1时,1a=1,命题成立(2)假设n k =(1k ≥)时,k a1n k =+时,有:1k a +=1k S +-k S =1111()2k k a a +++-11()2k ka a +,即1k a +=1111()2k k a a +++-12=1111()2k k a a +++21k a +∴1k a +-1=0又n a >0 1k a +∴∴当1n k =+时,命题也成立.由(1)(2)可知:当n N +∈时,n a 例3:已知数列{}n b 是等差数列, 1b =1,1b +2b +…10b =145 (1)求数列{}n b 的通项公式n b (2)设数列{}n a 的通项n a =1log(1)nb +(a >0且1a ≠),记n S 是数列{}n a 的前n 项和,试比较n S 与11log 3a nb +的大小并证明你的结论. 解:(1)设数列{}n b 的公差为d 由题意知:1b =1;1b +10(101)2d -=145 解得:d =3 ∴n b =3n -2(2)由n b =3n -2知:n S =log (11)a ++1log (1)4a ++ (1)log (1)32a n +- =1log [(11)(1)4a ++ (1)(1)]32n +-而11log 3a nb +=log an S 与11log 3a nb +的大小,就是要比较1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-的大小取n =1,有(1+1)取n =2,有1(11)(1)4++推测:1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-()* (1)当n =1时,已验证()*式成立(2)假设n k =(k >1且k N +∈)时()*式成立.即1(11)(1)4++ (1)(1)32k +-则当1n k =+时,1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)3(1)2k ++-1(1)31k ++=3231k k +-33332(31k k +-+=322(32)(34)(31)(31)k k k k +-+++=294(31)k k ++>0从而1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)31k ++即当n =1k +时()*式也成立由(1)(2)知:()*式对任意正整数n 都成立于是当a >1时,n S >11log 3a n b +;当0<a <1时,n S <11log 3a nb +3.2.数学归纳法在高等数学中的应用证明是高等数学的一个重要的组成部分,它的重要性,不仅表现在数学命题需要严格的推理证明,才能确定其真实性,更重要的还在于通过数学证明有助于学生弄清命题的条件与结论之间的本质联系,加强对数学问题的认识,有助于学生深刻理解数学本质,养成严谨的思考问题的习惯,从而自觉掌握数学规律,从根本上提高分析问题和解决问题的能力.例4:如果对一切实数x 和y ,等式()f x y +=()f x +()f y 成立,试证对一切有理数r ,有()f rx =()rf x证:令x =y ,则由已知条件有: (2)f x =()f x +()f x =2()f x (3)f x =()f x +(2)f x =3()f x用数学归纳法可证,对一切自然数n 有()f nx =()nf x另外,对正分数p q (,p q 互质且q >1)有:()pf x =()f px =()p f q x q =()p qf x q()p f x q ∴=()()pf x q令x =y =0,有(0)f =2(0)f ∴(0)f =0接着令y =x -,有()f x +()f x -=0 ∴()f x -=-()f x 同理,对负数p q -(,p q 互质且p >0, q >1)有:()p f x q-=pq -()f x因此,可知对一切有理数r 命题成立. 例5.证明211arctan2n n ∞=⋅∑收敛 证:令n a =21arctan2n ⋅ 求出该数列的部分和n S 1S =1arctan22S =1arctan 2+21arctan 22⋅=2211222arctan111222+⋅-⋅⋅=2arctan 3 3S =1a +2a +3a =2S +3a =2arctan 3+21arctan 23⋅=3arctan 4猜想:n S =arctan 1nn +下面用数学归纳法证明: 假设1k S -=1arctank k-,将上式两边同时加上k a ,得: k S =1k S -+k a =1arctan k k -+21arctan 2k ⋅=23(221)arctan 21k k k k k -+-+=arctan 1k k + 证出等式在n =k 时成立. 因此n S =arctan1nn + 又lim 1n n n →∞+=1,arctan1=4π,证得级数211arctan 2n n ∞=⋅∑收敛 S =4π例6:证明:n D =cos 10012cos 100012cos 012cos aa aa=cos na证:对n 施第二数学归纳法 (1)当n =2时,cos 112cos a a=22cos a -1=cos2a(2)假设<n 时结论成立,则当n 时n D =cos 1012cos 10012cos 001aa a -+21cos n aD - =2n D --+12cos n aD -=cos(2)n a --+2cos cos(1)a n a ⋅- =cos(2)n a --+2cos[(2)]cos n a a a -+⋅=cos(2)n a --+2[cos(2)cos sin(2)sin ]cos n a a n a a a -⋅--⋅ =cos(2)n a --+22cos(2)cos 2sin(2)cos sin n a a n a a a -⋅--⋅⋅=2cos(2)(2cos 1)sin(2)sin 2n a a n a -⋅---⋅ =cos(2)cos 2sin(2)sin 2n a a n a a -⋅--⋅ =cos[(2)2]n a a -+=cos na3.3.数学归纳法在离散数学中的应用随着计算机科学的发展,离散数学在计算机的研究中的作用越来越大,而离散数学中(特别是图论中)的许多命题的论证,数学归纳法不失为一种行之有效的方法.例7.设R 是集合X 上的关系,则()t R =1i i R ∞==R ⋃2R ⋃3R ⋃…证明:用第一归纳法先证明1i i R ∞=⊆()t R ;(1)当n =1时,根据传递闭包定义R ⊆()t R ; (2)假设1n ≥时,nR ⊆()t R .设(,)x y ⊆1n R+,因为1n R+⊆n R ⋃R ,故必有某个c x ∈,使(,)x c ∈n R ,(,)c y ∈R由归纳假设,有(,)x c ∈()t R ,(,)c y ∈()t R ,即(,)x y ∈()t R 1n R+∴⊆()t R故对任意的自然数n ,有nR ⊆()t R ,因而1i i R ∞=⊆()t R再证()t R ⊆1i i R ∞=设(,)x y ∈1ii R ∞=,(,)y z ∈1i i R ∞=,则必存在整数,s t ,使得(,)x y ∈s R ,(,)y z ∈t R这样(,)x z ∈s R ⋃tR ,即(,)x z ∈1i i R ∞=∴1i i R ∞=是传递的由传递闭包的定义可知:()t R =1i i R ∞=例8:设T 为任意一颗完全二元树,m 为边数,t 为树叶数,试证明m =22t -,这里2t ≥证明:对树叶数t 进行证明当t =2时,结点树为3,边数m =2,故m =22t -成立假设t =k (2)k ≥时,结论成立,下面证明t =1k +时结论也成立由于T 为二元数,因此T 中一定存在都是兄弟结点12,v v ,设v 是12,v v 的父亲,在T中删除12,v v ,得到'T ,'T 仍为二元完全树,这时结点v 成为树叶,树叶数't =21t -+=11k +-=k ,边数'm =2m -由归纳假设知:'m ='22t -所以2m -=2(21)2t -+-,故m =22t -3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用我们知道中学数学竞赛里有的知识解决需要用的数学归纳法,它方便了我们的解题,下面举几个例子看看它在数学竞赛里是如何运用的.例9.数列{}n a 中有1a =2a =1,1n a +=1n a -+n a (2)n ≥,请你证明:n a =]n n -(这个数列叫做斐波那契数列,它的前12项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144)证明:(1)当1n =时,11522--=5(1)T ∴成立当2n =时,2211(]522+-=33(544+--=5(2)T ∴成立(2)假设n k =和1n k =+时,()T k ,(1)T k +都成立即k a ]k k -且1k a +11]k k ++- 则当2n k =+时,2k a +=k a +1k a +]k k -11]k k ++-(1(1k k +-+k k=221111[(()((]52222k k ⋅-⋅=2211[()(]522k k ++- (2)T k ∴+也成立.由(1)(2)可知:对一切正整数,n a =11()]522n n--恒成立. 例10.设x +1x =2cos θ(其中x 为复数),请用θ的三角函数式表示nx +1n x(n 是正整数),并用数学归纳法证明你的结论.解:(1)当1n =时,x +1x=2cos θ 当2n =时,2x +21x=21()2x x +-=22(2cos 1)θ-∴2x +21x=2cos2θ当3n =时,3x +31x =22111()()()x x x x x x++-+=2cos 2cos22cos θθθ⋅-=2cos32cos 2cos θθθ+- =2cos3θ 猜想:nx +1n x=2cos n θ (2)假设1n k =-时,1k x -+11k x -=2cos(1)k θ-n k =时,kx +1k x=2cos (2)k k θ≥ 那么1n k =+时,1k x ++11k x+=11111()()()k k k k x x x x x x --++-+=2cos 2cos 2cos(1)k k θθθ⋅--=2cos(1)2cos(1)2cos(1)k k k θθθ++--- =2cos(1)k θ+ (1)T k ∴+成立由(1)(2)知,对一切n 恒有nx +1n x=2cos n θ(其中n 为正整数) 4、对数学归纳法的认识数学归纳法有时也叫逐次归纳法或者完全归纳法.前面两种叫法最早见于英国数学家德摩根1838年所写的《小百科全书》的引言中.因为在使用这个方法论证的时候,有一个形式上的归纳步骤,即确证命题对于第一项为真时,并由此归纳得出命题对于第n 项为真,“这个和通常的归纳程序有极其相似之处”.所以德摩根赋予它“逐次归纳法”的名称.也许是由于这种方法主要被用来数学中的证明的缘故.在《引言》的结尾处,德摩根又提出“数学归纳法”这个名称.比起逐次归纳法,人们似乎更喜欢数学归纳法,因为后者更能表明它论证的可靠性.此后,1887年,德国数学家戴德金又称此法为“完全归纳法”.有一个时期,这个叫法在德国很流行,后来由于逻辑学上完全归纳法专指“从列举对应的一切特殊的前提中,推出关于全部对象的一般结论的一种推理方法”,所以与“数学归纳法”不完全等价了.虽然数学归纳法和普通归纳法有着相似之处,但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的.在这种方法里,它的前提只是已被考察过的部分对象的属性,而结论却是关于同类对象全体的.因此,由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如,从1到40个自然数中,归纳出素数公式是“n 2-n+41”,这个公式对于n=1,2,…,40是正确的,可是当n=41时,得出的412确不是素数,看来归纳法不能用来作为严格的、科学的证明,仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性.然而,数学归纳法则不同,它的基础是递归推理原理,隐含着推向无穷的可能.由于数学归纳法包括着一串有穷多个三段论,每一个三段论自身都是一致的,所以从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发展了的形式,其严密性与演绎推理相同.庞加莱很彻底地指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别.他说:“我们必须承认,这(数学归纳法)和通常的归纳法程序有极其相似的不同,归纳法,当其应用于自然科学时,常是不确定的,因为它的基础是相信宇宙中有一种普通顺序,一种在我们之外的顺序.相反,数学归纳法,即递归证法,把自身视为一种必然,因为它不过是心灵本身的一种性质……”庞加莱十分推崇数学归纳法,称它“是数学中全部优点的根源”,“我们只能循着数学归纳法前进,只有它能交给我们新的东西.如果没有这种与自然(普通)归纳法不同但却同样极为有用的归纳法的帮助,演绎法是无法去创造出一种科学来的."应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了,它在数学中的地位已经完全确立.其实不然,仔细想来,数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的.数学归纳法是说“一个对1真的命题,如果它对任一数为真的,对其后继数也为真,则这个命题对于一切数都是真的.”人们不禁要问,何以断定每一个数都有后继数呢?这个问题不解决,自然也就谈不到数学归纳法的可靠性,所以归纳法的逻辑基础问题,与自然数理论密切联系.有趣的是,数的推展是由自然数向着有理数、实数、复数的方向进行的;然而,数的逻辑基础的奠定却循着一个相反的方向.自然数理论建立以后,与有理数数论一起建立起来的.1889年,意大利数学家皮亚诺发表《算数原理新方法》,他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发,建立起关于自然数的五条公理,即:(1)1是自然数;(2)1不是任何自然数的后继者;(3)每一个自然数a 都是一个后继者;(4)若a 和b 的后继者相等,则a 和b 也相等;(5)(归纳公理)若有一个由自然数组成的集合S 含有1,又若当S 中含有一个数a 时,它一定也含有a 的后继者,则S 就含有全部自然数.这样,皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继者的存在,而且为用数学归纳法推证的结果对全体自然数的有效性作了保证.皮亚诺把数学归纳法原理奠基在下述事实的基础上:在任一整数a 之后接着便有下一个a+1,从而从整数1出发,通过有限次这种步骤,便能达到选定的整数n.自然数理论的简历,标志着数学归纳法逻辑基础的奠定,也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确.对于数学归纳法的深入研究,重在运用它去解决或证明一些问题,在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当然,我们在重视它的应用的同时,也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自然界中所有美的集合,也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分.5.数学归纳法在应用中要注意的问题5.1在应用第一数学归纳法时,只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.例11.设n =k ,等式2+4+…+2n =2n +n +1成立,即:2+4+…+2k =2k +k +1(1)两边同时加上2(1)k +,则有:2+4+…+2(1)k +=2(1)k ++(1)k ++1成立,即:如果n =k 时,等式(1)成立,则n =k +1时,等式也成立.由此得出结论:对于一切自然数n ,等式(1)是成立,这是错误的.因为n =1时,有2=3的错误. 5.2在应用第一数学归纳法时,只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.例12.在函数()f n =2n +n +17中,由(1)f =19,(2)f =23,(3)f =29,…,(15)f =257等都是质数,便说:“n 为任何自然数时()f n =2n +n +17的值都是质数”便是错误的.因为:(16)f =216+16+17=16(16+1)+17=17(16+1)=217=289就不是质数如果缺少了第2步,则不论对于多少个自然数来验证命题()T n 的正确性,都不能肯定命题对所有自然数都正确.例如:歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”,虽然对大量偶数进行了具体验证,但因缺少第2步归纳递推,所以仍只停留在归纳的第1步,至今只是个猜想而已.第2步在证明(1)T n +为真时,一定要用到归纳假设,即要由()T n 为真,推出(1)T n +为真;或由“0()T n ,0(1)T n +,…,(1)T k -为真,推出()T k 为真”的实质蕴含真正体现出来,否则不是数学归纳法证明.5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明,而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.结 束 语数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法,第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到,而反向归纳法在数学的证明中不是很常见.通过数学归纳法去证明与自然数有关的命题,可降低证明过程中的复杂性,使推理过程简单、清晰、也保证了推理的严谨性.正如华罗庚先生在《数学归纳法》一书中提到的:“数学归纳法整数体现了人的认识从有限到无限的飞跃.”参考文献[1]吉米多维奇,数学分析习题集题解[M],济南,山东科学技术出版社,1983.[2]王仁发,代数与解析几何[M],长春,东北师范大学出版社,1999年9月第一版.[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,《高等代数》(第三版).高等教育出版社.[4]左孝凌等《离散数学》[M],上海科学技术文献出版社,1982.[5]卢开澄,卢明华,图论及其应用[M],北京,清华大学出版社1995.[6]KAWAHIGASHIY.Generalized Longo-Rehren subfactors and A-induction[J],Comm Math Phys,2002,26(2),269-287[7]苏淳《数学奥赛辅导丛书,漫谈数学归纳法》[M],中国科学技术大学出版社,2009.4Mathematical induction application in problem solvingAuthor: Guan guoce Supervisor: Zhang ShengAbstract Mathematical induction is a kind of common methods of proof.In the proof of many mathematics problems ,it has the function which cannot be replaced by other methods,it has broad prospects even in physics,biology and so on.This paper firstly state the theoretical basis of Mathematical induction and its form of expression,then mainly discuss the Mathematical induction in elementary mathematics,higher mathematics,discrete mathematics and the application of mathematical contest through some representatively typical examples.Finally give an account of the cognition to Mathematicalinduction in detail and the problem when using it.Keywords Mathematical induction sequence determinant discrete mathematics tree mathematical contest。

数学归纳法教学的几点思考范文

数学归纳法教学的几点思考范文

数学归纳法教学的几点思考在高中数学课程中,数学归纳法并不是一个“教师容易教,学生容易学”的单元。

在教学实践中,教师们往往迫于教学进度的压力,在学生尚未领会这个方法的精髓时,就提供复杂多样的题目供学生练习,“两个步骤一个结论”的格式套用成了教学的重点.至于学生对数学归纳法原理是否理解,往往得不到足够的重视,对于数学归纳法的两个步骤,学生是“理解要执行,不理解也要执行,在执行中加深理解”。

但最终导致的结果是,学生在利用数学归纳法的过程中并不能得心应手,诸如“忽视奠基步骤的作用”“没有利用归纳假设”等错误更是屡见不鲜。

本次研究课的两位执教老师不仅重视了数学归纳法“两个步骤一个结论”的程序性知识的教学,而且能够借助于多米诺骨牌等实例模型加深学生对数学归纳法的理解,注重了概念的发生过程和数学归纳法的精神实质,给与会代表留下了深刻的印象,也引发了大家诸多的思考,以下笔者结合课题研讨提供的课例,谈几点反思后的想法。

1. 数学归纳法概念的两重性Thompson(1985),Greeno(1983),Hiebert(1986)等人早在80年代就已经指出,数学内容可以区分为过程和对象两个侧面。

所谓过程,就是指具备了可操作性的法则、公式、原理等。

而对象则是数学中定义的结构关系。

在近年的研究中,Sfard(1994)等人进一步认为,数学中,特别是代数中,许多概念既表现为一种过程操作,又表现为一种对象、结构。

概念往往兼具这样的二重性。

就数学归纳法而言,同样具有过程和对象、结构的两重性,但是从教学实际看,广大教师往往重视概念的过程侧面,将数学归纳法的概念异化为程序化的操作过程,对于概念的另一个侧面却重视不够,这样做的结果,可能造成的结果是,学生对数学归纳法的理解,只停留在两个步骤的操作程式上,他们很可能会利用数学归纳法解决一些数学证明问题,但是却会出现这样那样的错误,究其原因,大多是因为学生只是从操作的层面认识数学归纳法,但是对作为一个完整数学对象的数学归纳法,却没有深刻的认识。

数学论文 浅谈数学归纳法的应用

数学论文 浅谈数学归纳法的应用

浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法,应用广泛.在最近几年的高考试卷中体现的特别明显,以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。

一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时,由到时,首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除,这是数学归纳法证明问题的一大技巧。

例1、是否存在正整数m ,使得f (n )=(2n +7)·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.证明:解:由f (n )=(2n +7)·3n +9,得f (1)=36, f (2)=3×36, f (3)=10×36, f (4)=34×36,由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明:(1)当n =1时,显然成立.(2)假设n =k 时, f (k )能被36整除,即f (k )=(2k +7)·3k +9能被36整除;当n =k +1时,[2(k +1)+7]·3k +1+9=3[(2k +7)·3k +9]+18(3k --1-1),由于3k -1-1是2的倍数,故18(3k -1-1)能被36整除.这就是说,当n =k +1时,f (n )也能被36整除.由(1)(2)可知对一切正整数n 都有f (n )=(2n +7)·3n +9能被36整除,m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题,在由证等式也成立时,应及时把结论和推导过程对比,也就是我们通常所说的两边凑的方法,以减小计算的复杂程度,从而发现所要证明的式子,使问题的证明有目的性.例2、是否存在常数c b a ,,,使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立?并证明你的结论.解:假设存在c b a ,,,使得题设的等式成立,则当时3,2,1=n 也成立,代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ,于是对3,2,1=n ,下面等式成立:)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立,即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说,等式当1+=k n 时也成立.综上所述,当10,11,3===c b a 时,题设的等式对一切自然数n 都成立. 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时,推导“n =k +1”时成立,有时要进行一些简单的放缩,有时还要用到一些其他的证明不等式的方法,如比较法、综合法、分析法、反证法等等.例3.已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+,数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=(Ⅰ)用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ; (Ⅱ)证明.332<n S 证明:解:(Ⅰ)证明:当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1,所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b (1)当n=1时,b 1=13-,不等式成立,(2)假设当n=k 时,不等式成立,即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以,当n=k+1时,不等也成立。

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数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题摘要在处理数学问题时,经常涉及与任意自然数有关的一些命题,这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的,我们往往不能逐一验证,这时,数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法,为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢?因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法,华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的:“我们采用形式上的讲法,也就是:有一批编了号码的数学命题,我们能够证明第1号命题是正确的;如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候,第K+1号命题也是正确的,那么,这一批命题就全部正确.”其实,数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明,他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题.关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限数学归纳法(Mathematical Induction,通常简称为MI)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。

是用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式(不等式)成立和数列通项公式成立。

数学归纳法一般分为以下几种常见的方式:(一)第一数学归纳法:一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。

n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

(二)第二数学归纳法:对于某个与自然数有关的命题P(n),(1)验证n=n0时P(n)成立;(2)假设n0≤n<=k时P(n)成立,并在此基础上,推出P(k+1)成立。

综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

(三)倒推归纳法(反向归纳法):(1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立,(2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立,综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

(四)螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n ),Q(n ),(1)验证n=n0时P(n )成立;(2)假设P(k )(k>n0)成立,能推出Q(k )成立,假设 Q(k )成立,能推出 P(k+1)成立;综合(1)(2),对一切自然数n (≥n0),P(n ),Q(n )都成立。

我们知道数学归纳法是建立在“潜无限”的观念基础上的,它的证明过程是一个有限的过程,但是在逻辑上却能够保证命题对“一切自然数”都成立,这是一种将“无限”化为”有限“,自然数系公理(皮亚诺公理)保证了数学归纳法的合理性,它是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题。

现在我们先来看下数学归纳法在证明等式(不等式)成立和数列通项公式成立上的应用。

在等式(不等式)的应用例一:证明下面这个公式成立(命题):其中 n 为任意自然数。

证明第一步第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。

我们有左边 = 1,而右边 = 11=+1*()/21,所以这个公式在 n = 1 时成立。

第二步第二步我们需要证明如果假设 n = m 时公式成立,那么可以推导出 n = m+1 时公式也成立。

证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。

即(等式 1)然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到(等式 2)这就是 n = m+1 时的等式。

我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。

通过因式分解合并,等式 2 的右边(1)2(1)(2)(1)(1)[(1)1]=2222m m m m m m m ++++++++== 也就是说这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。

证明至此结丛,结论:对于任意自然数 n ,P(n) 均成立。

例二:已知m 为正整数,用数学归纳法证明:当1x >-时,(1)1m x mx +≥+. 证:(1) 当m=1时,原不等式成立,当m=2时,左边=21+2x+x ,右边=1+2x ,因为2x 0≥,所以左边≥右边,原不等式成立;(2) 假设当m=k 时,不等式成立,即(1)1k x kx +≥+;则当m=k+1时,因为1x >-,所以10x +>,于是在不等式(1)1k x kx +≥+两边同乘以1x +得(1)(1)(1)(1)k x x kx x +⋅+≥+⋅+21(1)1(1)k x kx k x =+++≥++所以1(1)1(1)k x k x ++≥++.即当m=k+1时,不等式成立.综合(1)、(2)知,对一切正整数m ,不等式成立.我们再看一个例子:例三:已知数列{}n a 中,1221a 0,1,()n n n a a a a n N +++===+∈,求证:数列{}n a 的第41()t t N ++∈项能被3整除.证:(1)当t=1时,因为321432101,112,a a a a a a =+=+==+=+=,得543213,a a a =+=+=能被3整除.(2)假设(1)t k k =≥时,41k a +能被3整除,当1t k =+时,4(1)1454344k k k k a a a a +++++==+42414342()()k k k k a a a a ++++=+++424142412()k k k k a a a a ++++=+++424132k k a a ++=+由于41k a +能被3整除,故4(1)1k a ++也能被3整除,由(1)和(2)知,对一切t N +∈,41t a +能被3整除.解释在这两个证明中,归纳推理的过程如下:首先证明 P(1) 成立,即公式在 n = 1 时成立。

然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。

(这里实际应用的是演绎推理法)根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1),也就是 P(2) 成立。

继续推导,可以知道 P(3)成立。

从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。

不断重复推导下一命题成立的步骤。

(这就是所谓“归纳”推理的地方) 我们便可以下结论:对于任意自然数 n ,P(n) 成立。

当然在应用,数学归纳法也常常需要采取一些变化来适应实际的需求。

下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从 0 以外的数字开始如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有大于等于某个数字 b 的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改:1. 第一步,证明当 n = b 时命题成立。

2. 第二步,证明如果 n = m (m ≥ b ) 成立,那么可以推导出 n = m +1 也成立。

只针对偶数或只针对奇数如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改:奇数方面:1. 第一步,证明当 n = 1 时命题成立。

2. 第二步,证明如果 n = m 成立,那么可以推导出 n = m +2 也成立。

偶数方面:1. 第一步,证明当 n = 0或2 时命题成立。

2. 第二步,证明如果 n = m 成立,那么可以推导出 n = m +2 也成立。

总之,数学归纳法巧妙的将有限与无限联系起来,把有限蕴含到无限当中,当然在应用数学归纳法药注意的得当,不然就会出现问题,这需要我们引以为戒的。

下面我们看看数学归纳法在应用中存在的一些问题(我们以例子进行说明):数学归纳法应用中常见的问题例1:若,a b 是两个不相等的正整数,则记max(,)a b 为,a b 中较大的一个,若a b =,则记max(,)a b a b ==.命题n A :若a 和b 为任何两个正整数,使得max(,)a b n =,则a b =.证 (1)当1n =时,命题A 显然为真,因为若max(,)1a b =,由于假设,a b 为正整数,最大值是1的正整数只能是1a b ==;(2)假定命题k A 为真,即设max(,)a b k =时,a b =为真(其中,a b 为正整数),求证命题1k A +也真,即求证当max(,)1a b k =+时,a b =也真.现考察两个整数:1,1a b αβ=-=- (1) 而由于式子max(,)1a b b =+ (2)与 max(1,1)a b k --= (3)显然是等价的,因此,由(1)式得max(,)max(1,1)a b k αβ=--=而由归纳法假设k A 为真,则得αβ=,即11a b -=-,所以a b =,又由于(2)式与(3)式得等价性,即证得1k A +为真.由数学归纳法知,对一切自然数r ,r A 为真,对特殊的n ,当然有n A 为真,所以有a b =.仔细检查上述证明,发现假设k A 成立,递推到1k A +成立的推导过程是正确的,那么。

问题出现在哪里?其实我们仔细,就会发现,αβ是包括零在内的,但我们欲证得起始数是1,问题就出现在这里.例二:求证:所有人的年龄是一样的.证:当n=1时,命题显然成立.现设命题对n 成立,即对任何n 个人,其年龄一样,那么可证对任何n+1个人,命题也对.设将这n+1个人编号,记为1,2,…n ,n+1.于是1,2,…,n-1,n 总共n 个,由归纳法假定,有相同年龄A ;同时2,3…,n ,n+1总共也是n 个,也具有相同年龄B ,于是2,3,…n 和1同为A ,又和n+1同为B.这样,例如编号为2的年龄是A 又是B ,于是A=B.即假设由()p n 成立,推到(1)p n +也成立.我们仔细的发觉,发现这是出现矛盾的,但这似乎一连串合理的推论,这到底错在哪里呢?其实当n=2时,命题是不成立的,因此由n=1成立,推不出n=2成立,即递推中断.例三: 求证:!!()!k n n C k n k =- 证:当n=1时,命题显然成立.假设当n=k 时,!1!()!k k k C k k k ==-,当n=k+1时,一方面,11k k C k +=+,这是因为从k+1个元里每次取出k 个元的组合种数,显然为k+1. 另一方面:1(1)!(1)!1![(1)]!!1!k k k k C k k k k k +++===++-. 因此,对一切自然数n ,这个命题是正确的.但实际上在证明11k k C k +=+时,丢开了!1!()!k k k C k k k ==-的假设,这充其量只是把一个特殊值代入欲证的公式加以验证而已,上述证明中更严重的错误还在于,混淆了n 、k 中哪一个变量作为归纳的对象.在这里,我们应该把n 看做常数,对变量k 进行归纳,因为否则,当1k >时,就无法讨论n=1时的情况. 正确的证法是:当k=1时,1n C n =;另一方面,!1!(1)!n n n =-,这时命题正确. 现设当k=r 时,命题正确,即!(1)...(1)!()!!r nn n n n r C r n r r --+==-,则当k=r+1时,1(1)...(1)()!1!(1)(1)!(1)!r r n n n r n n n r n r n C C r r r r n r +---+-===+++-- (11r r n n n r C C r +-=+成立的说明:欲求n 个元中每次取出r+1个元的组合种数,可看做先从n 个元中每次取出r 个元的组合种数,然后再从n-r 个元中任选一个元添加进去,这样,共有n-r 个搭配,因此,总共有组合数(n-r )r n C 种,但是必须去掉重复计算的组合数.例如12,,...,r a a a 添加1r a +与1211,,...,,r r a a a a -+添加r a ,这r+1个元所有的组合实际上是同一个组合,因此 1()1r r n n n r C C r +-=+ 由此可以证明结论是正确的.通过以上一些例子,我对数学归纳法应用中常见的问题进行简单的说明1、错把欲证的起始数弄错,正确确定数学归纳法的欲归纳的起始数很关键。

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