河北省石家庄二中2018届高三上-期中考试数学(文)试卷(含答案)
河北省石家庄二中2018届高三三模文科数学试题(A)(精编含解析)
2018届高三3.0模数学（文）试题（A）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先化简集合A,再求A∩B.详解：由题得，所以，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力. (2)本题是一道易错题，错误得到，错选C,因为它没有考虑到分母2-x≠0,解答函数的问题必须注意定义域优先的原则.2. 已知为虚数单位，若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算求出复数z得解.详解：由题得.故答案为：A点睛：本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的运算能力.3. 已知双曲线的一个焦点为，且双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依题意，双曲线的一个焦点为，∴，∵双曲线离心率为，∴，∴，∵，∴，∴渐近线方程为.故选D.4. 五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分，求得x取值范围，再根据古典概形求得概率。
解析：由径叶图可得高三（1）班的平均分为，高三（2）的平均分为，由，得10>x>5,又，所以x可取，6，7，8，9，概率为，选D.点睛：求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.5. 已知等差数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据已知求出或,再求得解.详解：由题得，，所以或,当时，当时，故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)等差数列中，如果,则,注意这个性质的灵活运用.6. 函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.详解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B、D；又由当时，函数，排除C，故选A.点睛：点本题主要考查了函数的图象的识别，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用和函数值的估算的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先通过三视图找到几何体原图，进一步求出几何体的表面积．详解：根据三视图，该几何体是边长为2的正方体，在右前方切去一个边长为1的正方体，则表面积没有变化．故S=6•2•2=24．故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的表面积的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)得到几何体原图后，逐一计算出表面积也可以，但是观察到，虽然是正方体切去了一个小正方体，但是几何体的表面积没有变，提高了解题效率，意在考查学生的空间想象能力和观察能力.8. 将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先化简函数f(x),再利用函数的周期求w的值，最后求平移后的函数的解析式.详解：由题得，因为函数f(x)的周期为，所以将函数的图象向右平移个单位后所得的函数解析式为.故答案为：A点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查函数图像的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.9. 已知实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知表示可行域内的点到点的距离的平方，所以．故选A．10. 给出个数：，，，，，，…，要计算这个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（）A. ？和B. ？和C. ？和D. ？和【答案】D【解析】试题分析：由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30即①中应填写i≤30；又由第1个数是1；第2个数比第1个数大1即1+1=2；第3个数比第2个数大2即2+2=4；第4个数比第3个数大3即4+3=7；…故②中应填写p=p+i考点：程序框图11. 已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：先确定函数的单调性，单调递减，单调递增；由题可知当或时，根据函数的性质解不等式。
数学---河北省石家庄二中2018届高三(上)8月模拟试卷(文)(解析版)
河北省石家庄二中2018届高三（上）8月模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，1，3}，，则A∩B=（）A．{﹣3} B．{3} C．{1，3} D．{﹣1，1，3}2．（5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），ln x0=1﹣x0，则命题p的真假及￢p依次为（）A．真；∃x0∈（0，+∞），ln x0≠1﹣x0B．真；∀x∈（0，+∞），ln x≠1﹣x C．假；∀x∈（0，+∞），ln x≠1﹣x D．假；∃x0∈（0，+∞），ln x0≠1﹣x0 3．（5分）设复数z满足（1+i）z=3+i，则=（）A．2+i B．﹣2﹣i C．1+i D．﹣1﹣i4．（5分）已知命题p：x＞y＞1，命题q：3x＞3y＞1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知，若存在非零实数λ，使得，则t=（）A．6 B．﹣6 C．D．6．（5分）点是角660°终边上一点，则a=（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．（5分）已知α为锐角，且，则sin（π﹣α）=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，点D为BC边上一点，且BD=2DC，则=（）A．3 B．2 C．D．9．（5分）已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是（）A．B．C．D．10．（5分）函数的部分图象如图所示，若方程f（x）=a在（0，x0）上有两个不同的实数解x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）的取值范围是（）A．{0} B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设，若g（ln2017）=2018，则=（）A．2017 B．2018 C．﹣2016 D．﹣201512．（5分）已知对∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，则的最大值是（）A．1 B．﹣1C．e D．﹣e二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．14．（5分）已知函数f（x）=（2﹣x）cos x+b，若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为ax﹣y+1=0，则a﹣b=．15．（5分）已知平行四边形ABCD，AB=AD=1，BC=CD，∠BCD=60°，则四边形ABCD面积的最大为．16．（5分）已知f（x）=，若函数g（x）=f（2|x|）﹣a有零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+c）cos B+b cos C=0．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a=3，点D在AC边上且，求c．18．（12分）结合命题p：函数在（﹣∞，0）上是减函数；命题q：函数的值域为[0，+∞）．（Ⅰ）若p为真命题，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．19．（12分）已知=（sin x+cos x，sin（x+）），=（sin x，2cos x（x+）），．（Ⅰ）求f（x）的最小值及f（x）取得最小值时x的取值集合；（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．20．（12分）已知函数f（x）=x e x﹣（x+1）2．（Ⅰ）求f（x）在[﹣1，2]上的最大值与最小值；（Ⅱ）若x＜0，求证：f（x）＜﹣x﹣1．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若a=1，且f（x）是偶函数，求b的值；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=4，且A={x|f（x）=（b+1）（x+1）}=∅，求实数b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣ln x（a∈R）．（Ⅰ）若a＜0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），使得直线AB的斜率k≥﹣2a成立，求实数a的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】集合A={﹣1，1，3}，={x|x＞0且x≠1}，∴A∩B={3}．故选：B．2．B【解析】由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x0∈（0，+∞），ln x0=1﹣x0，当x0=1时，ln x0=0，1﹣x0=0，ln x0=1﹣x0，则P为真命题．P的否定为；∀x∈（0，+∞），ln x≠1﹣x，故选：B．3．A【解析】∵（1+i）z=3+i，∴z====2﹣i，∴=2+i，故选：A4．A【解析】由命题q：3x＞3y＞1，可得x＞y＞0，∴由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．5．B【解析】=（2，2+t）．∵存在非零实数λ，使得，∴3（2+t）﹣2t=0，解得t=﹣6．故选：B．6．A【解析】tan660°=tan（360°+300°）=tan（360°﹣60°）=﹣tan60°=﹣，∴=﹣，∴a=﹣3，故选：A7．A【解析】α为锐角，∴＜α+＜，又，∴cos（α+）=±；当cos（α+）=时，sin（π﹣α）=sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣×=＜0，不合题意，舍去；当cos（α+）=﹣时，sin（π﹣α）=sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣（﹣）×=＞0，满足题意；综上，sin（π﹣α）=．故选：A．8．D【解析】由题意可知D为BC的靠近C的三等分点，∴==+==，∴===+×1×2×cos120°=．故选D．9．B【解析】由函数的图象可知函数是偶函数，选项A函数是奇函数不成立．x=0，函数没有意义，所以选项C的函数不成立；x＞1时，f（x）==，函数是减函数，所以选项D不成立；故选：B．10．C【解析】由已知函数图象得到x=0时，cosφ=，φ∈（0，），所以φ=，由函数周期为2，所以x0=，方程f（x）=a在（0，x0）上有两个不同的实数解x1，x2，f（x1）=f（x2），则x1f（x1）+x2f（x2）=f（x1）（x1+x2）=，x1∈（0，），f（x1）∈（﹣1，），所以x1f（x1）+x2f（x2）的取值范围是（﹣）；故选C．11．D【解析】∵函数f（x）满足对任意实数m，n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）﹣1，设令m=m=0，则f（0）=2f（0）﹣1，解得：f（0）=1，令m=x，n=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x）﹣1，即f（x）+f（﹣x）=2，∵，∴=，故g（x）+g（﹣x）=f（x）+f（﹣x）+1=3，∴g（ln2017）+=2018+=3，即=﹣2015，故选：D．12．C【解答】解法一：当n≤0时，不等式不可能恒成立，故n＞0，若∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，则当x=n时，ln n+1≥m﹣1即可，故ln n+2≥m，即，令g（n）=，则g′（n）=，当n∈（0，）时，g′（n）＞0，g（n）为增函数，当n∈（，+∞）时，g′（n）＜0，g（n）为减函数，故当n=时，g（n）取最大值e，故的最大值是e，故选：C．解法二：∵对∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，∴对∀x∈（0，+∞），不等式恒成立，令f（x）=，则f′（x）=，故当x=n时，函数f（x）取最小值ln n+2，故ln n+2≥m，即，令g（n）=，则g′（n）=，当n∈（0，）时，g′（n）＞0，g（n）为增函数，当n∈（，+∞）时，g′（n）＜0，g（n）为减函数，故当n=时，g（n）取最大值e，故的最大值是e，故选：C．二、填空题13．【解析】设幂函数f（x）=xα，把点代入函数的解析式可得（）α=，解得α=，故函数的解析式为f（x）=．故答案为：．14．0【解析】∵函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为ax﹣y+1=0，则切点坐标为（0，1），故，即，解得：即：a﹣b=0，故答案为：0．15．【解答】解已知四边形ABCD为平行四边形，AB=AD，BC=CD，∠BCD=60°，则四边形ABCD为菱形．由于AB=AD=1，BC=CD，∠BCD=60°，所以：AC=，BD=1．所以：．故答案为：．16．[﹣1，2]∪[3，+∞）【解析】∵2|x|≥1，∴函数g（x）=f（2|x|）﹣a有零点等价于方程f（x）=a在[1，+∞）上有解，（1）若a≤1，则当x∈[1，+∞）时，f（x）=x2﹣2≥﹣1，∴﹣1≤a≤1．（2）若a＞1，当x∈[1，a）时，f（x）=x+2，∴3≤f（x）＜a+2，∴3≤a＜a+2，解得：a≥3，当x∈[a，+∞）时，f（x）=x2﹣2≥a2﹣2，∴a≥a2﹣2，又a＞1，解得1＜a≤2．综上，a的取值范围是[﹣1，2]∪[3，+∞）．故答案为：[﹣1，2]∪[3，+∞）．三、解答题17．解：（Ⅰ）由（2a+c）cos B+b cos C=0及正弦定理，可得2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C=0，即2sin A cos B+sin（B+C）=0，由A+B+C=π可得sin（B+C）=sin A，所以sin A（2cos B+1）=0，因为0＜A＜π，sin A≠0，所以．（Ⅱ）由得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，又因为BD⊥AC，所以△ABC的面积，把，带入得，所以，解得c=5．18．解：（Ⅰ）若p为真命题，则在（﹣∞，0）上是减函数；因为x∈（﹣∞，0）且，所以，故在（﹣∞，0）上是减函数；所以要使在（﹣∞，0）上是减函数，应满足3a＞1，由得，即实数a的取值范围是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若p为真命题，则，若q为真命题，则函数的值域为[0，+∞），所以42﹣20a≥0，解得，所以，若q为真命题，则．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假．若p真q假，则有，所以；若p假q真，则有，所以．故实数a的取值范围为．19．解：∵（Ⅰ）因为，所以，=++sin（2x+）=++cos2x=，所以当时，f（x）取得最小值，此时，即，所以f（x）取得最小值时，x的取值集合为．（Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+）+的图象向右平移个单位后，得到的图象，所以当，即时，g（x）单调递增，所以，g（x）的单调递增区间是．20．解：（Ⅰ）因为f（x）=x e x﹣（x+1）2，所以f'（x）=（x+1）e x﹣2（x+1）=（x+1）（e x﹣2），令f'（x）=0得x1=﹣1，x2=ln2，f'（x），f（x）的变化如下表：﹣f（x）在[﹣1，2]上的最小值是﹣（ln2）2﹣1，因为，所以f（x）在[﹣1，2]上的最大值是2e2﹣9．（Ⅱ）f（x）﹣（﹣x﹣1）=x（e x﹣x﹣1），因为x＜0，所以f（x）＜﹣x﹣1⇔e x﹣x﹣1＞0，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x＜0时，g'（x）＜0所以g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，g（x）＞g（0）=0，所以e x﹣x﹣1＞0，即x＜0时f（x）＜﹣x﹣1．21．解：（Ⅰ）当a=1时，，若f（x）是偶函数，则f（x）﹣f（﹣x）=0，即，即2x+2bx=0，所以b=﹣1．（Ⅱ）f（x）在（﹣∞，﹣1）上有意义，则对任意x∈（﹣∞，﹣1），1+2x+1+4x a＞0恒成立，即对任意x∈（﹣∞，﹣1），恒成立，设，由指数函数单调性易得g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，所以g（x）＜g（﹣1）=﹣8，由a＞g（x）恒成立得a≥﹣8，即实数a的取值范围是[﹣8，+∞）．（Ⅲ）当a=4时，，由A=∅可得方程无实根，因为，所以，当b+1＜log26，即b＜log23时A=∅，故实数b的取值范围是（﹣∞，log23）．22．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a＜0时，=，（ⅰ）若，即时，f'（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是减函数；（ⅱ）若，即时，时f'（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（ⅲ）若，即，时，f'（x）＞0，f（x）是增函数，时，f'（x）＜0，f（x）是减函数，x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；综上可得，当时，f（x）的减区间是（0，+∞），无增区间，当时，f（x）的增区间是，减区间是，当时，f（x）的增区间是，减区间是．（Ⅱ）假设f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），使得直线AB的斜率k≥﹣2a成立，则对f（x）的图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），都有k＜﹣2a成立，即恒成立，即恒成立，因为x1＞x2，所以f（x1）+2ax1＜f（x2）+2ax2，所以g（x）=f（x）+2ax=ax2+x﹣ln x是减函数，恒成立，因为x＞0，所以恒成立，因为，所以．即若对f（x）的图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），都有k＜﹣2a成立，则，所以若f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2），使得直线AB的斜率k≥﹣2a成立，则，即实数a的取值范围是．。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二数学文上学期期末试题含解析
【分析】
将 用 表示出来，然后根据 的范围求解即可得到结论．
【详解】∵b＝1，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，整理得 ，
解得 ．
∴ ，
∴长轴长的取值范围为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查椭圆中基本量间的运算，解题时注意灵活运用 和 间的关系，属于基础题．
13.对于函数 ， ，若对于任意 ，存在唯一的 ，使得 ，则称函数 在 上的几何平均数为 ．那么函数 ，在 上的几何平均数 __________．
，又 ，∴ .………………6分
（Ⅱ）∵b=2 ，∴由 可知， ，
即 ，∴ ，……………………8分
∵ ，∴ ………………10分
∴ .
∴△ABC面积的最大值为 ．…………………………12分
22.为了解某校高二学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高二学生的视力情况，得到频率分布直方图，如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为 ，视力在4.6到5.0之间的学生数为 . (1)求 的值
【解答】解：∵F1（﹣1，0）、F2（1，0），
∴|F1F2|=2，
∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，
即|PF1|+|PF2|=4，
∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，
∵2a=4，a=2
c=1
∴b2=3，
∴椭圆的方程是
故选C．
4.从装有 个红球和 个黑球的口袋内任取 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
参考答案：
C
略
10.已知F1,F2是椭圆 的左、右焦点，点P在椭圆上，且 记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )
石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．2． 已知变量,x y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是（ ）A ．9[,6]5B ．9(,][6,)5-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]3． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log zz -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 4． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π105． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ． BC. 12D．26．某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ）A ．80＋20πB ．40＋20πC ．60＋10πD ．80＋10π7． 设集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z }，B ＝{x |（x ＋2）（x －3）＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{－1，0，1，2} B ．{－1，1} C ．{1}D ．{1，3}8． 直线l ⊂平面α，直线m ⊄平面α，命题p ：“若直线m ⊥α，则m ⊥l ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39． 设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（ ） A ．(2)(3)f a f +> B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定 10．函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[]2,4C ．(,2]-∞D ．[]0,2 11．对于复数,若集合具有性质“对任意,必有”,则当时,等于 ( )A1 B-1 C0 D12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．若函数2(1)1f x x +=-，则(2)f = ． 14．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．15．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．16．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差是2，另一组数据1ax ，2ax ，3ax ，4ax ，5ax （0a >）的标准差是a = ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2018-2019学年 数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.抛物线22x y =的焦点坐标是（ ）A ．1(,0)8B ．1(0,)8C ．1(0,)2D ．1(,0)22.以双曲线2213x y -=的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程可以是（ ）A ．()2224x y -+=B ．()2222x y +-=C ．()2222x y -+= D ．()2224x y +-=3.下列命题中是假命题的是（ ） A ．方程222450x x y y -+++=表示一个点B ．若0m n >>，则方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆C ．已知点()2,0M -、()2,0N ，若4PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线的一支D ．以过抛物线()220y px p =≠焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是相切4.双曲线22221x y a b-= ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=0y ±= D ．0x ±=5.椭圆()222210x y a b a b+=>>的两顶点为()(),0,0,A a B b ，且左焦点为F ，FAB ∆是以B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A B D 6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．128B ．127 C.64 D ．637.“函数()3f x a x =-在[)1,+∞上为单调递减函数”是“3a =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分又不必要条件8.已知点()2,1A -，24y x =-的焦点是F ，P 是24y x =-上的动点，为使PA PF +取得最小值，则P 点坐标为（ ）A ．1(,1)4-B ．(2,- C.1(,1)4-- D ．(2,-- 9.设P 为椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 是该椭圆的两个焦点，若12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．510.已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一点，12,F F 是该双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若12212PF F IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为（ ）A B D 11.设:01p x <<，()():20q x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦，若p 是q 的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,0-B ．()1,0- C.(][),01,-∞+∞U D ．()(),10,-∞-+∞U 12.已知双曲线()2210mx y m -=>的右顶点为A ，若双曲线右支上存在两点,B C 使得ABC ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A．( B ．()1,2C. ( D ．()1,3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“020,log 0x R x ∃∈≤”的否定为 ．14.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C，且过点(，则曲线C 的方程为 ．15.过点()2,0A 且与圆224320x x y ++-=内切的圆的圆心的轨迹方程为 ．16.抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且23AFB π∠=，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M '，则MM AB'的最大值为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其中左焦点为()2,0F -（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若直线y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点M 在圆221x y +=外，求m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数()()()311,01,0x x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎪-+≤⎩， （I ）求函数()f x 的最小值；（II ）已知m R ∈，命题p ：关于x 的不等式()222f x m m ≥+-对任意的x R ∈恒成立；命题q ：指数函数()21xy m =-是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形侧面PAD ⊥底面ABCD ，F 为BD 中点，2PA PD AD ===（I ）在线段PA 上是否存在点E ,使得EF //平面PBC ，指出点E 的位置并证明； （II ）求二面角E DF A --的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知直线2y =-上有一个动点Q ，过点Q 作直线1l 垂直于x 轴，动点P 在1l 上，且满足OP OQ ⊥（O 为坐标原点），记点P 的轨迹为C . （I ）求曲线C 的方程；（II ）若直线2l 是曲线C 的一条切线，当点()0,2到直线2l 的距离最短时，求直线2l 的方程. 21. （本小题满分12分）如图，已知ABC ∆与BCD ∆所在的平面互相垂直，且90BAC BCD ∠=∠=o ，AB AC =，CD CB =，点,P Q 分别在线段,BD CD 上，沿直线PQ 将PQD ∆向上翻折，使D 与A 重合.（I ）求证：AB CQ ⊥；（II ）求直线AP 与平面ACQ 所成的角. 22. （本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在原点O ，左焦点1F ，左顶点1A ，上顶点1B ，11FOB ∆的周长为3+，11OA B ∆（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k R =+∈使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ADCBB 6-10:BBACB 11、12：AA 二、填空题13.2,log 0x R x ∀∈> 14. 221y x -= 15.22195x y +=三、解答题17.（I ）由题得：22222c a c a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………2分解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为22184x y +=…………………………………………3分29680m ∆=->，m ∴-<<6分120223x x m x +∴==-，003my x m =+=…………………………7分 ()00,M x y Q 在圆221x y +=外222()()133m m ∴-+>，所以m <m >9分所以m -<<m <<10分 18.（I ）由()()()311,01,0x x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎪-+≤⎩得函数()f x 的最小值为1………………4分 （II ）由（I ）得2221m m +-≤对任意x R ∈恒成立 即2230m m +-≤，解得31m -≤≤∴命题:31p m -≤≤……………………………………………6分命题:q 指数函数()21xy m =-是增函数，∴211m ->∴命题:q m m <->…………………………8分由“p 或q ”为真，“p 且q ”为假分两种情况：若p 真q假，则31m m -≤≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩21m -≤≤………………………10分若p 假q真，则31m m m m <->⎧⎪⎨<->⎪⎩或3m m <->或所以实数m 的取值范围为()),31⎡⎤-∞--+∞⎣⎦U U…………………………………12分19.（I ）存在点E ，为线段PA 的中点…………………1分 证明：如图，连结AC因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分 又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点 所以//EF PC ………………………………3分 又因为EF PBC ⊄平面，PC PBC ⊂平面 所以//EF PBC 平面…………………………5分 （II ）取AD 中点O在PAD ∆中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD I 面ABCD AD = 所以PO ABCD ⊥面因为OF ABCD ⊂面，所以PO OF ⊥又因为F 是AC 的中点，所以OF AD ⊥……………………7分 如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系因为2PA PD AD ===，所以OP =，则()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,1,2,0O A B C -()(()11,0,0,,,0,1,02D P E F ⎛- ⎝于是()()30,2,0,,1,1,02AB DE DF ⎛=== ⎝uu u r uuu r uuu r 因为OC ABCD ⊥面，所以(OP =uu u r是平面FAD 的一个法向量………………9分设平面FED 的一个法向量是()000,,n x y z =r………………11分因为00n DF n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uuu r g r uuu r g，所以00000302x y x z +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即0000y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =，则(1,1,n =-r所以cos ,OP n 〈uu u r r 由图可知，二面角E DF A --为锐角，所以二面角E DF A --的余弦值为……………12分 20.（I ）设点(),P x y ，点(),2Q x -因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ =uu u r uuu rg ，即22x y =当0x =时，,,P O Q 三点共线，不合题意，故0x ≠ 所以曲线C 的方程为()220x y x =≠…………4分（II ）直线2l 与曲线C 相切，所以直线2l 的斜率存在 设直线2l 的方程为y kx b =+ 由22y kx bx y=+⎧⎨=⎩得2220x kx b --=……………6分Q 直线2l 与曲线C 相切，22480,2k k b b ∴∆=+=∴=-……………8分点()0,2到直线2l 的距离1122d =≥⨯=k ==时等号成立，此时1b =-……………11分所以直线2l10++10y y --==……………12分 21.（I ）证明：ABC BCQ ⊥Q 面面，又CQ BC ⊥CQ ABC ∴⊥面，CQ AB ∴⊥…………4分（II ）取BC 中点O ，BD 中点E如图，以OB 所在直线为x 轴，以OE 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系……………5分不妨设2BC =，则()()()0,0,1,1,2,0,,1,0A D P x x --……………6分 由AP DP =,即()()()2222111x x x x +-=+++ 解得0x =，所以()0,1,0P ……………8分故()0,1,1AP =-uu u r……………9分设(),,n x y z =r为平面ACQ 的一个法向量， 因为()()1,0,1,1,0,1AC CQ OE λλ=--==-uuu r uu u r uu u r由00n AC n CQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩r uuu r g r uu u rg ，即00x z y λ--=⎧⎨=⎩，所以()1,0,1n =-r ……………10分 设直线AP 与平面ACQ 所成的角为α，则1sin cos 2AP α=〈=uu u r ，所以6πα=即直线AP 与平面ACQ 所成的角为6π……………12分22.（I ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c依题意11FOB ∆的周长为3a b c ++=11OA B ∆的面积为12ab =又2223b a c =-=，所以2,1a b c ===所以椭圆C 的方程为22143x y +=……………3分 （II ）存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立……………4分利用如下：由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=()()()22284344120km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>……………6分设()()1122,,,A x y B x y ，在21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++ 若22OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r 成立，即2222OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r等价于0OA OB =uu r uu u rg ，所以12120x x y y +=……………7分()()()()22121212120,10x x kx m kx m k x xkm x x m +++=++++=()()()22212122241280,103434m km x x kx m kx m k km m k k-+++=+++=++ 化简得，2271212m k =+……………9分将2222713412k m k m =-+>代入中，2273+4(1)12m m -> 解得234m >……………10分又由2271212m k =+，2127m >……………11分从而2127m >，m m ≥≤所以实数m 的取值范围是(,)-∞+∞U ……………12分。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案(1)
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 在数列{}n a 中，115a =，*1332()n n a a n N +=-∈，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是（ ）A ．21a 和22aB ．22a 和23aC ．23a 和24aD ．24a 和25a 2． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位： 小时）间的关系为0e ktP P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8B.10C. 15D. 18【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.3． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.4． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形， 则该几何体的体积为（ ）A ．64B ．32C ．643 D ．3235． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则s i n :s i n C A =（ ） A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．6． 若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 7． 已知集合{}2|10A x x =-=，则下列式子表示正确的有（ ） ①1A ∈；②{}1A -∈；③A ∅⊆；④{}1,1A -⊆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++= 9． 设集合3|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,集合(){}2|220B x x a x a =+++>,若 A B ⊆,则的取值范围 （ ）A ．1a ≥B ．12a ≤≤ C.a 2≥ D ．12a ≤< 10．执行下面的程序框图，若输入2016x =-，则输出的结果为（ ）A ．2015B ．2016C ．2116D ．204811．满足下列条件的函数)(x f 中，)(x f 为偶函数的是（ ）A.()||x f e x =B.2()x x f e e =C.2(ln )ln f x x = D.1(ln )f x x x=+【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识，意在考查分析求解能力.12．二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知圆C 的方程为22230x y y +--=，过点()1,2P -的直线与圆C 交于,A B 两点，若使AB最小则直线的方程是．14．已知,x y 满足41y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22223y xy x x -+的取值范围为____________. 15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元. 16．三角形ABC 中，23,2,60AB BC C ==∠=，则三角形ABC 的面积为 .三、解答题（本大共6小题，共70分。
(全优试卷)河北省石家庄二中高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
2017-2018学年第一学期期中考试高三数学（理）一．选择题（每题5分，共计60分）1. .设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则=（）A．{x|0< x<2} B．{x|} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|x>0}2.已知z∈C，若，则z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设p：在（2，+∞）内单调递增，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（）A．B．4 C．2 D．35.S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{b n}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（）A．B．﹣C．±D．无法确定6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B． C．D．7.设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A．1 B．C．D．8. 已知周期为2的函数在区间上的解析式为．若在区间[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．（1，2）9.如图，在四棱锥C﹣AB OD中，CO⊥平面AB OD，AB∥OD，O B⊥OD，且AB=2OD=12，A D=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．10.如图是函数y=A sin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜）在区间[－] 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cos x（x∈R）的图象上的所有的点（）A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变11.已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）是偶函数D．函数f（x）的图象关于直线对称12.已知函数f（x），若对，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜2 C．D．二．填空题（每题5分，共计20分）13.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”.比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的_________14.若直线始终平分圆M：的周长，则的最小值为_________.15. 已知△是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为______________16.已知，分别是双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点，若为锐角，则双曲线离心率的取值范围是_____________三．解答题（共6个题，共计70分）17.（满分10分）设.(1)求的单调递增区间；(2)锐角中，角的对边分别为，若，，，求的值.18.（满分12分）已知数列的前项和，且是与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.（满分12分）如图和均为等腰直角三角形，，，平面平面，平面，，（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.20.（满分12分）已知函数，（）. （1）若，恒成立，求实数的取值范围；（2）设函数，若在上有两个零点，求实数的取值范围.21.（满分12分）已知椭圆过点，其离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与相交于两点，在轴上是否存在点，使为正三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.22.（满分12分）设函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：对任意，都有．期中考试答案（理科数学）一．选择题（每题5分，共计60分）1---5 CABCC; 6--10 ADACC; 11--12 DA二．填空题（每题5分，共计20分）13.丁酉年14. 16; 15.; 16.三．（共计70分）17.解析：（1）由题意知，……………………………………………….3分由可得所以函数的单调递增区间是…………………5分（2）由得，又为锐角，所以……………6分由余弦定理得：，即，.………………….8分即，而，所以………………….10分18. 解析：（1）∵a n是2与S n的等差中项，∴2a n＝2＋S n，①∴2a n－1＝2＋S n－1，(n≥2) ②.………………….2分①－②得，2a n－2a n－1＝S n－S n－1＝a n，即＝2(n≥2)．.………………….4分在①式中，令n＝1得，a1＝2．∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………………5分∴a n＝2n. . …………………………………………………………………………………………………. 6分（2）b n＝＝．所以T n＝＋＋＋…＋＋，①则T n＝＋＋＋…＋＋，②.………………….7分①－②得，T n＝＋＋＋＋…＋－…………………8分＝＋2(＋＋＋…＋)－＝＋2×－＝－．.………………….10分所以T n＝3－．.………………….12分19.解析：（1）证明：设的中点为，连结，因为为等腰直角三角形，，所以，又，所以平面.………………….2分因为平面⊥平面，平面平面，平面，所以⊥平面又平面，所以.所以可确定唯一确定的平面. .………………….4分又平面,. .…………………5分（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，. .………………….6分设平面的法向量，则，即，令，得，.…………………8分设平面的法向量，则，即，令，得， (10)分设二面角平面角为，则， (11)分所以二面角的余弦值为．.………………….12分20. （1）由题意，得的定义域为，. ….………………….2分，∴、随的变化情况如下表：所以. ….…………………4分在上恒成立，∴.….………………….5分（2）函数在上有两个零点，等价于方程在上有两个解.化简，得. ….………………….6分设. 则，，、随的变化情况如下表:………8分且，，，. ….………………….10分所以，当时，在上有两个解.故实数的取值范围是.….………………….12分21`.答案：解析（1）设椭圆的焦距为，由题意可得：解得，，，故椭圆方程为：.…………….4分（2）由椭圆的对称性，此定点必在轴上，…………….6分设定点，直线的方程：，由可得，又直线与椭圆有且只有一个公共点，故，即.……………8分由得，同理得.…………….9分则，，则以线段为直径的圆恒过定点或，即是椭圆的两个焦点.…….12分22.解析：（1），定义域为，．………………………………………………2分①当时，，故函数在上单调递减；②当时，令，得综上所述，当时，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．…………………………5分（2）当时，由第一问可知，函数在上单调递减，显然，，故，所以函数在上单调递减，………………7分因为对任意，都有，所以．所以，即，……………9分所以，即，所以，即，所以．…………………………………………12分。
【真题】2018年河北省石家庄二中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2017-2018学年河北省石家庄二中高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题（每题5分，共计60分）1．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＞﹣3}C．{x|﹣3＜x＜0}D．{x|x＞0}2．（5分）已知z∈C，若z•（1+i）=i，则z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）设p：f（x）=x2+mx+1在（2，+∞）内单调递增，q：m＞﹣4，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（）A．B．4 C．2 D．35．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{b n}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（）A．B．﹣C．±D．无法确定6．（5分）如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知sin（）=，则cos（）=（）A．B．﹣C．D．8．（5分）已知周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式为f（x）=2|x|．若在区间[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（1，2）9．（5分）如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．72πB．128πC．84πD．168π10．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有的点（）A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变11．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）是偶函数D．函数f（x）的图象关于直线对称12．（5分）f（x）=alnx+x2﹣b（x﹣1）﹣1，若对，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜2 C．D．二．填空题（每题5分，共计20分）13．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的．14．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=EF，则的值为．15．（5分）已知x＞0，y＞0，ln2x+ln8y=xln4y，则x+y的最小值是．16．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2+a n，则[++…+]=．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的单调区间；（2）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a=1，，求b+c的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且a n是2与S n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD 为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．（1）求证：PQ∥平面SCD．（2）若SA=SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数f（x）=﹣2x﹣3lnx，g（x）=x2﹣6x﹣a（a∈R）．（1）若∀x＞0，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若F（x）在[1，5]上有两个零点，求实数a的取值范围．21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥平面PAB，E为PD的中点．（1）证明：BE⊥PA；（2）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．22．（12分）设函数f（x）=alnx+．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：对任意0，x，都有（1+）x+a＜e．2017-2018学年河北省石家庄二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（每题5分，共计60分）1．（5分）设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|x＞﹣3}C．{x|﹣3＜x＜0}D．{x|x＞0}【解答】解：∵集合A={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}，B={x|x＜0}，∴A∩B={x|﹣3＜x＜0}．故选：C．2．（5分）已知z∈C，若z•（1+i）=i，则z所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z•（1+i）=i，得，∴z在复平面内对应的点的坐标为（），在第一象限．故选：A．3．（5分）设p：f（x）=x2+mx+1在（2，+∞）内单调递增，q：m＞﹣4，则p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）=x2+mx+1在（2，+∞）内单调递增，∴﹣≤2，解的m≥﹣4，故则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（）A．B．4 C．2 D．3【解答】解：作出实数x，y满足条件表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由，解得A（2，0），设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值，∴z=F（2，0）=2．最小值故选：C．5．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{b n}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（）A．B．﹣C．±D．无法确定【解答】解：在等差数列中，利用等差中项的性质，得S9=9×=9×a5=﹣36，a5=﹣4，S13=13×（a1+a13）×=13×a7=﹣104，∴a7=﹣8．===．故选：C．6．（5分）如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：首先把几何体的三视图复原成立体图形根据三视图中的线段长，得知：AD=，CE=3，AC=2，由于俯视图是边长为2的正三角形，进一步求得：AB=2，AF=1所以BF=根据三视图的特点得知：BF⊥底面DACE，VB﹣DACE=SDACE•BF=×=；故选：A．7．（5分）已知sin（）=，则cos（）=（）A．B．﹣C．D．【解答】解：∵sin（）=cos[﹣（）]=cos（+α）=，∴cos（）=cos2（+α）=2cos2（+α）﹣1=2×（）2﹣1=．故选：D．8．（5分）已知周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式为f（x）=2|x|．若在区间[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（）D．（1，2）【解答】解：画出函数f（x）的图象：实线部分．画出函数g（x）=a（x+2）的图象（虚线部分）．∵在区间[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，可知：函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有4个不同的交点．则实数a的取值满足：，即，解得．∴实数a的取值范围是．故选：A．9．（5分）如图，在四棱锥C﹣ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB=2OD=12，AD=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．72πB．128πC．84πD．168π【解答】解：由条件可知AB∥OD，所以∠CDO为异面直线CD与AB所成角，故∠CDO=30°，而OD=6，故OC=ODtan30°=2，在直角梯形ABOD中，易得OB=6，以OB，OC，OD为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R即为所求的球的半径，由（2R）2=（2）2+62+62=84，故R=．该球的表面积为S=4πR2=84π故选：C．10．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）在区间[﹣]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cosx（x∈R）的图象上的所有的点（）A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：根据函数的图象：由于A＞0，ω＞0，0＜φ＜，得到：①A=1，②=，解得：T=π，故：ω=2．③根据函数的图象得：（k∈Z），解得：φ=k（k∈Z），当k=1时，φ=．故函数的关系式为：y=sin（2x+）．所以要得到y=sin（2x+）的图象只需将y=cosx=sin（x+）的图象向右平移个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变即可得到．故选：C．11．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件，且函数是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）是偶函数D．函数f（x）的图象关于直线对称【解答】解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知A，B是正确的选项，D不对故选：D．12．（5分）f（x）=alnx+x2﹣b（x﹣1）﹣1，若对，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜2 C．D．【解答】解：∵f（1）=0，1∈[，+∞），对，f（x）≥0恒成立．∴f（x）≥f（1），对，恒成立，即x=1是一个极小值点，f′（x）=+2x﹣b，x∈．可得f′（1）=a+2﹣b=0，∴b=a+2，∴f′（x）=+2x﹣b=，①当时，f（x）在（），（1，+∞）递增，在（）递减，则只需，解得；②当时，f（x）在（，1）递减，在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）即可，而f（1）=0，∴符合题意．③当时，f（x）在（，1）（，+∞）递增，在（1，）递减，f（）＜f（1）=0，不符合题意．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，e+﹣2]，故选：A．二．填空题（每题5分，共计20分）13．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．比如2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年．【解答】解：2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，故答案为：丁酉年14．（5分）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=EF，则的值为．【解答】解：=（）•=+==•（）=﹣=﹣=．故答案为：．15．（5分）已知x＞0，y＞0，ln2x+ln8y=xln4y，则x+y的最小值是2．【解答】解：x＞0，y＞0，ln2x+ln8y=xln4y，可得：2x+3y=22xy，可得x+3y=2xy，所以=1，x+y=（x+y）（）=+2≥2+2=2+．当且仅当x=3y，x+3y=2xy时，等号成立．则x+y的最小值是：2+．故答案为：2+．16．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3]=3，[1.2]=1，[﹣1.3]=﹣2．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n2+a n，则[++…+]=2016．【解答】解：∵a1=1，a n+1=a n2+a n＞1，∴==﹣，∴=﹣，∴=++…+=1﹣∈（0，1）．又=1﹣．∴++…+=2017﹣，∴[++…+]==2016．故答案为：2016．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的单调区间；（2）锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a=1，，求b+c的值．【解答】解：（1）由题意知=由可得由可得所以函数f（x）的单调递增区间是；单调递减区间是（2）由得，又A为锐角，所以．由余弦定理得：，即，即=（b+c）2﹣1，而，所以．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且a n是2与S n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n是2与S n的等差中项，∴S n+2=2a n，即S n=2a n﹣2，当n=1时，a1=2a1﹣2，∴a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，∴a n=2a n﹣1，∴{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n=2n．（2）b n=，∴T n=+++…+，①∴=+++…+，②①﹣②得：=++++…+﹣=+﹣=﹣，∴T n=3﹣．19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四边形ABCD 为正方形，且点P为AD的中点，点Q为SB的中点．（1）求证：PQ∥平面SCD．（2）若SA=SD，点M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN ⊥平面ABCD？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）取SC的中点R，连QR，DR．由题意知：PD∥BC且PD=BC．在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，所以QR∥BC且QR=BC．所以QR∥PD且QR=PD，则四边形PDRQ为平行四边形．…．…．（3分）所以PQ∥DR．又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，所以PQ∥平面SCD..…．…．（5分）（2）存在点N为SC中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．…．…（6分）连接PC、DM交于点O，连接PM、SP，因为PD∥CM，并且PD=CM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以PO=CO．又因为N为SC中点，所以NO∥SP．…．…（8分）因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，所以SP⊥平面ABCD，…．…．（10分）所以NO⊥平面ABCD，又因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．…．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=﹣2x﹣3lnx，g（x）=x2﹣6x﹣a（a∈R）．（1）若∀x＞0，f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若F（x）在[1，5]上有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，得f（x）的定义域为：（0，+∞），f′（x）=x﹣2﹣==．…．…．（2分）∵x＞0，∴f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：所以f（x）min=f（x）=﹣﹣3ln3．…．…（4分）∵f（x）≥m在（0，+∞）上恒成立，∴m．…．…．（5分）（2）函数F（x）=f（x）﹣g（x），在[1，5]上有两个零点，等价于方程f（x）﹣g（x）=0在[1，5]上有两个解．化简，得．…．…．（6分）设h（x）=．则h′（x）=x﹣4+=，∵x＞0，∴h′（x）、h（x）随x的变化情况如下表：…．…．…．…..…．…．…．…．…（8分）且h（1）=﹣，h（3）=3ln3﹣，h（5）=3ln5﹣，h（5）﹣h（1）=3ln5﹣4=ln53﹣lne4＞0．…．…．（10分）所以，当3ln3﹣时，在[1，5]上有两个解．故实数a的取值范围是[3ln3﹣，﹣]．…．…．（12分）21．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥平面PAB，E为PD的中点．（1）证明：BE⊥PA；（2）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．【解答】（1）证明：取PA中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，EF∥AD，又AD∥BC，BC⊥平面PAB，∴EF⊥平面PAB，∴PA⊥EF．又∵△PAB为等边三角形且F为PA中点，∴PA⊥BF，∴又BF∩EF=F，∴PA⊥平面BEF，∴PA⊥BE．（2）解：取AB的中点H，则PH⊥平面ABCD，又，∴，由（1）知PA⊥平面BCEF，∴PA⊥FC，又∴，设点D到平面PAC的距离为d，∵V P=V D﹣PAC，﹣ACD∴=，解得：．∴点D到平面PAC的距离为．22．（12分）设函数f（x）=alnx+．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）求证：对任意0，x，都有（1+）x+a＜e．【解答】解：（1）函数f（x）=alnx+，定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣=．①当a≤0时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a＞0时，令f′（x）=0，得x=．综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，由（1）可知，函数f（x）在上单调递减，显然，＞2，故（1，2）⊆，所以函数f（x）在（1，2）上单调递减，因为对任意x∈，都有＜1，所以＜2．所以f（1），即aln+﹣1＜0，所以＜，即＜，所以＜1，所以（1+）x+a＜e．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义yxo第21页（共21页）①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2018年高三最新 河北省石家庄第二中学(数学) 精品
河北省石家庄第二中学2018—2018学年度第一学期高三年级期中（2）考试数 学 试 题本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题。
本试卷满分为50分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．标记（理）的试题仅供理科考生做，标记（文）的试题仅供文科生做，没有标记的试题所有考生都做。
2．本次考试解答题部分设定答题区，考生的解答只能写在指定的答题区内，凡是没有写在规定答题区内的试题解答一律视为无效。
3．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。
4．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚。
5．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔致谢写在试卷上。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知βαsin sin >，那么下列命题成立的是（ ）A ．若βαβαcos cos ,>是第一象限角，则B ．若βαβαtan tan ,>是第二象限角，则C ．若βαβαcos cos ,>是第三象限角，则D ．若βαβαtan tan ,>是第四象限角，则2．已知数列{a n }中，,3,,,3,1*2131≥∈-===--n N n a a a a a n n n 则这个数前200项之和为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．－13．已知△ABC 中，点D 在BC 上，且n m n m ++==则,,2的值是（ ）A ．1B ．34C ．－3D ．04．已知bb a a b a )2(4,0-+>≥则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（理）若απαπααα则),22(cot tan sin <<->>的取值范围是（ ）A ．)4,2(ππ--B ．)0,4(π-C ．)4,0(πD ．)2,4(ππ （文）已知集合E F E 那么},sin tan |{},20,sin cos |{θθθπθθθθ<=≤≤<=∩F 为（ ）A ．),2(ππB ．)43,4(ππ C ．)23,(ππ D ．)45,43(ππ 6．已知函数,0)()(,0)()()(2cos )()(=+-=++∈⋅=x F x F x F x F R x xx f x F π满足则函数f （x ）可能是（ ）A ．cos2xB ．sinxC ．2sinx D ．cosx7．在等边三角形ABC 中，设||||,,,c b b a +⋅+=== （ ）A ．23 B ．23-C ．0D ．38．将)62cos(2)(π-=x x f 的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍，同时将纵坐标缩短到原来的21倍，得到函数y=g （x ）的图象，再将函数y=g （x ）的图象按向量平移，得到函数x y 的图象，则1cos +=可以是（ ）A ．)1,6(πB ．)1,6(π-C ．)1,12(-πD ．)1,6(--π9．（理）已知数列{a n }通项为1)10(+><<⋅=n n n n a a a a n a 且对所有正整数n 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ． )1,0(eB ．)21,0(C ．)1,1(eD ．)1,21[（文）已知数列{a n }通项公式是}{,,*2n n a N n bn n a 且其中∈+=为递增数列，则实数b 的取值范围是（ ）A ．（－2，+∞）B ．（－3，+∞）C ．),2[+∞-D ．),3[+∞-10．已知函数],[)0,0)(sin()(b a A x A x f 在区间>>+=ωϕω上为单调函数，且f （a ）=－A ，f （b ）=A ，则函数],[)cos()(b a x A x g 在区间ϕω+=上 （ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．取得最大值AD ．取得最小值－A11．设命题P ：非零向量)()(||||,,+⊥-=是的充要条件；命题Q ：在△ABC中，若3:2:1)(:)(:)(=⋅⋅⋅，则△ABC 为锐角三角形 （ ） A ．P 且Q 为真命题 B ．P 或Q 为假命题C ．非P 且Q 为假命题D ．非P 或Q 为真命题12．已知向量2|,|4||.,,),sin ,(cos ),,(λθθθ<⋅=∈==R n m n m 则当若其中恒成立时，实数λ的取值范围是（ ）A ．22-<>λλ或B ．λ＞2或λ＜－2C ．22<<-λD ．－2＜λ＜2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知)611()611()0(1)1()0(sin )(f f x x f x x x f +-⎩⎨⎧>--<=则π的值为 .14．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若)(,2||+⋅=则的最小值为 .15．设a ＞0，且a ≠1，若函数)32l g (2)(+--=x xa x f 有最小值，则关于x 的不等式0)9(lo g 2>+-x x a 的解集为 .16．设函数)22,0)(tan()(πϕπωϕω<<->+=x x f 给出以下四个结论：①它的周期为π； ②它的图象那向量)0,3(π-=平移，可使其图象关于原点成中心对称；③它的图象关于点)0,3(π对称；④在区间)0,6(π-上是增函数.以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题： . （注：填上你认为是正确的一种答案即可）三、解答题（本大题工6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）已知向量)1,32(),cos ,(cos ),cos ,sin 3(=-==c x x x x①若xxx 2cos 1cos 2sin ,//2+-求的值；②若x f x ⋅=≤<)(30求函数π的值域.18．（本小题满分12分）设函数6|)(|,4)(<+-=x f x b x x f 的不等式若关于的解集为 （－1，2）. （1）求b 的值； （2）解关于x 的不等式0)(4>+x f mx .19．（本小题满分12分）设函数.8)0(2)(1)2sin(πϕπϕ=<<-=++x x f x 直线的图象的一条对称轴为（1）求ϕ；（2）求函数y=f （x ）的递增区间；（3）说明函数y=f （x ）的图象可由函数x y 2sin 2=的图象作怎样的变换得到. 20．（本小题满分12分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）.设),(*N j i a ij ∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j 个数，如a 42=8. （1）求a 83的值；（2）若j i a ij ,,2006求=的值；（3）记三角形数表从上往下数第n 行各数的和为b n ，设),2(*N n n nb nc n n ∈≥-=，c 1=1.若数列{c n }的前n 项和为T n ，求n n T ∞→lim 的值.（文科学生只需求出T n ）21．（本小题满分12分）（理）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量.//),sin sin ,(),sin ,(B A c a C b a 且--=+= （1）求向量θ和；（2）已知点O 为△ABC 的外心，点H 在△ABC 所在平面上，8,=⋅++=求AC 边上的高h 的最大值.（文）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，0),sin sin ,(sin ),,(=⋅+=-+=C B A c b c a 且（1）求向量θ的夹角和BC AB ； （2）若b =3，求AC 边上的高h 的最大值.22．（本小题满分14分）设平面上的动向量),,1(),,(2k t b t s a --==其中s ，t 不同时为0，k ≥0，且.⊥（1）求函数关系式s =f （t ）；（2）若上述函数f （t ）在（1，+∞）上单调递增，求k 的范围；（3）对上述f （t ），当k =0时，存在正项数列{a n }满足221)(...)()(n n S a f a f a f =++，其中).(21...11:).(....*22221*21N n a a a N n a a a S nn n ∈<+++∈+++=证明参考答案一、选择题DBDCB （A ） CBBB （B ）C DB 二、填空题13．－2 14．－2 15．（2，3）∪（3，4） 16．①②⇒③④，①③⇒②④ 三、解答题17．解（Ⅰ）.2tan ,cos 32sin 3,//==∴x x x 2分2321221t a n c o s 2c o s s i n 21c o s 21c o s c o s s i n 22c o s 1c o s 2s i n 222=-=-=-=-+-=+-∴x x x x x x x x x x x .6分（Ⅱ）)2cos 1(212sin 23cos sin 3)(2x x x cox x x x f +-=-=⋅= )62sin(21π-+-=x 9分 23)(1,1)62s i n (21,2626,30≤≤-≤-≤-≤-<-≤<x f x x x 于是则πππππ ， 故函数f （x ）的值域为]23,1[- 12分18．（1）∵|f （x ）|＜6的解集为（－1，2）2246146=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-∴b b b 得 4分 （2）由0)21)(4(0244<-+>+-+x m x x m x 得，6分①当;4212,214m x m m -<<-<>-时，即 ②当时，无解；即2,214-==-m m ③当2142,214<<-->-<-x m m m 时，即；10分∴当m ＜－2时，原不等式的解集为（);4,21m - 当m=－2时，原不等式的解集为空集； 当m>－2时，原不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-21,4m . 12分 19．（1）函数)2sin(2)(ϕ+=x x f )0(<<-ϕπ图象的一条对称轴为直线.所以当8π=x 时,函数取得最值。
石家庄市2018届高三第二次模拟考试数学(文科)试题含答案
石家庄市2017-2018学年高中毕业班第二次模拟考试试题文科数学答案一. 选择题:1-5 ACAAD 6-10CBBCD 11-12DD二.填空题:13. 3π 14. 52- 15. 9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦16. 112π 三、解答题17.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ …………………………….(2分)sin in cos sin Bs A A B ∴= ………………………………………………….(4分)sin 0sin cos B A A ≠∴=(0,)4A A ππ∈∴= ………………………………………………….(6分)(Ⅱ)11sin 2422ABC S bc A bc bc ===∴=-………………………………………………….(8分)又22222cos 2()(2a b c bc Ab c bc =+-∴=+-+………………………………………………….(10分) 所以，2()4, 2.b c b c +=+=……………………………………………….(12分)...........................................2分根据列联表中的数据，得到.............................4分所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。
..............................6分(Ⅱ)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，.............................8分其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种，........................10分所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求事件的概率710p =. ...............................12分19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC .∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB . ┈┈┈┈┈2分∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD .∵PB ⊂平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD . ┈┈┈┈┈5分（Ⅱ）取BC 的中点O ，连接OP 、OE .∵PB ⊥平面PCD ，∴PB ⊥ PC ，∴OP =BC 21=1. ┈┈┈┈┈6分 ∵PB=PC ，∴PO ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，PO ⊂平面PBC ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD ,∴PO ⊥AE .∵∠PEA =90O , ∴PE ⊥AE .∵PO ∩PE=P ，∴AE ⊥平面POE ，∴AE ⊥OE . ┈┈┈┈┈8分∵∠C=∠D =90O , ∴∠OEC =∠EAD ,∴Rt ∆OCE ∽Rt ∆EDA ,∴.ADCE ED OC = ∵OC =1,AD =2,CE =ED ,∴CE =ED =2,∴OP ED AD OP S V V AED AED P PED A ⋅⋅⨯=⋅==--213131 ┈┈┈┈┈11分 321222131=⨯⨯⨯⨯=┈┈┈┈┈12分P C B A E D O20.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =-- ，(,2)PH PF x y +=-- ， ..............................2分()0HF PH PF += ，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =. ...............4分（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+， 由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x k x x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，..............................6分 112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+ MA MB ⊥ ，0MA MB ∴= ， 即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=， 22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -， ..............................8分∴212||||2(1)AB x x k =-==+， ∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==..............................10分3221||(1)2MAB S AB d k ∆==+=，解得1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=...............................12分 法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E 则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ 直线'l 的方程为012y x x =+， .............................6分 过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x -........................8分 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+ ..............................10分由2011||2(22MAB S AB d x ==⨯+= 01x =±所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+ ..............................12分21. 【解析】(Ⅰ)'21()()x x x x e xe x f x e e --==，令'()0f x =，则1x =，..........................2分 当(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，则函数()f x 的增区间为（-∞，1），减区间为（1，+∞）. ..........................4分 （Ⅱ）由可得()()1e 0x f x x -¢=-=，所以()y f x =的极值点为01x =. 于是，0122e x x x +>等价于122e x x +>,由()()12f x f x =得1212e e x x x x --=且1201x x <<<.由1212e e x x x x --=整理得，1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-. 等价于()()()1212122ln ln e x x x x x x +-<-，①.........................6分 令12x t x =，则01t <<.式①整理得()()21ln e 1t t t +<-，其中01t <<.设()()()21ln e 1g t t t t =+--,01t <<.只需证明当01t <<时，()max 0g t <.又()12ln 2e g t t t ¢=++-，设()=t h ()12ln 2e g t t t ¢=++-， 则()221212t t t t t h -=-=' 当10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0<'t h ，()t h 在10,2骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递减； 当1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0>'t h ，()t h 在1,12骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增. 所以,()min 142ln 2e 02g t g 骣÷çⅱ==--<÷ç÷ç桫；..........................8分 注意到，()22221e 2ln e 2e e 2e 0e g ---¢=++-=-->，()13e 0g ¢=->，所以，存在12110,,,122t t 骣骣鼢珑挝鼢珑鼢珑鼢桫桫，使得()()120g t g t ⅱ==， 注意到，10e g 骣÷ç¢=÷ç÷ç÷桫，而110,e 2骣÷çÎ÷ç÷ç÷桫，所以e 1t 1=.于是，由()0g t ¢>可得10e t <<或21t t <<；由()0g t ¢<可得21et t <<. ()g t 在()210,,,1e t 骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递增，在21,e t 骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递减. ..........................10分于是，()()max 1max ,1e g t g g 戽鳇镲镲÷ç=÷睚ç÷ç镲桫镲铪，注意到，()10g =，12e 20e e g 骣÷ç=--<÷ç÷ç桫， 所以，()max 0g t <，也即()()21ln e 1t t t +<-，其中01t <<. 于是，0122e x x x +>. ..........................12分（二）选考题：22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23，则曲线2C 的直角坐标方程为4)32(22=+y x ，............................2分整理得19422=+yx ，∴曲线2C 的参数方程.........................5分（2）将直线l 的参数方程化为标准形式为''1222x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t '为参数），将参数方程带入19422=+yx 得19)2333(4)212(22='++'--t t 整理得03618)(472=+'+'t t ........................7分 77221='+'=+t t PB PA ，714421=''=t t PB PA ....................8分 21714477211==+=+PBPA PB PA PB PA ..............................10分 23.解:（1）61313)(<-++=x x x f 当31-<x 时，x x x x f 61313)(-=+---=，由66x -<解得1x >- 311-<<-∴x ...........................1分当3131≤≤-x 时，21313)(=+-+=x x x f ，62<恒成立 。
河北省石家庄市第二中学2017-2018学年高三上学期联考第三期(期中)考试数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年 文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合2{|320}M x x x =-+>，集合{|2}N x x =≤-，则MN =（ ）A ．{|2}x x >-B ．{|2}x x ≤-C ．{|1}x x >-D ．{|2}x x ≥- 2.复数12,z z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则12z z =（ ） A ．1251313i + B ．1251313i -+ C ．1251313i -- D ．1251313i - 3.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ） A ． 105 B ． 16 C ．1 D ．154.若点58(sin,cos )63ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） AB．12- D ．125.已知点(1,2),(1,2),(3,1),(3,4)A B C D --，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）ABC. D． 6.吴敬《九章算法比类大全》中描述：遥望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？类比等比数列的知识可得灯塔的灯数为（ ）A ． 1B ．2 C. 3 D ．47.已知直线:10l x y --=是圆22:210C x y mx y ++-+=的对称轴，过点(,1)A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则||AB =（ ）A ． 2B ．．8.已知实数,x y 满足203010y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则264x y x +--的取值范围是（ ）A ．17[1,0)[,)7-+∞B ．17[1,0)[0,)7- C. 17(,1][,)7-∞-+∞ D ．17[1,]7- 9.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的侧面积为（ ） A．6+B ．2+C. 6+．4++10.如图是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ） A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C. 5()cos(2)6g x x π=+ D ．()cos(2)6g x x π=-11.抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且倾斜角为6π的直线与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF ∆的面积是（ ）A ． 4B ． C. 1 D ．812.若实数,a b 分别是方程lg 6x x +=，106x x +=的解，函数2()2,0()2,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是（ ）A ． 3B ． 2 C. 1 D ．4第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin()4πθ-=，则sin 2θ= ． 14.定义在R 上的奇函数()f x ，满足当0x ≥时，2()f x x =，则不等式(12)(3)f x f -<的解集是 ．15.在正三棱锥S ABC -中，4AB BC AC ===，D 是AB 中点，且SD 与BC 所成角的，则三棱锥S ABC -外接圆的表面积为 ． 16.如图，ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3C π=，cos cos a Bb A=，在ABC ∆内取一点P ，使得3PB =，过点P 分别作直线,BA BC 的垂线,PM PN ，垂足分别是,M N ，则||||PM PN +的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^^^y b x a =+； （2）据此模型预报广告费用为7万元时的销售额.附：^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，^^^a yb x =-．18. （本小题满分12分）数列{}n a 满足11a =，11122()n n n n n n a a a a n N ++++∙+=∈．（1）证明：数列2{}nna 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)(1)n n b n n a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC ∠=，O 为,AC BD 的交点，且PO ⊥平面ABCD ，PO =，点M 为侧棱PD 上一点，且满足PD ⊥平面ACM ．（1）若在棱PD 上存在一点N ，且//BN 平面AMC ，确定点N 的位置，并说明理由； （2）求点B 到平面MCD 的距离．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过点，且焦距为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A 为椭圆的下顶点，经过点(1,1)的直线与椭圆C 交于不同两点,M N （均异于点A ），证明：直线AM 与AN 的斜率之和为定值，并求出定值．21. （本小题满分12分）已知函数()ln ()af x x x a R x=-∈，32()23g x x x =-． （1）若m 为正实数，求函数()y g x =，1[,]x m m∈上的最大值和最小值；（2）若对任意的实数1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≤，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为：3sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），将曲线1C 上每一点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标缩短为原来的13倍，得到曲线C ，直线l 的参数方程为：212x y t⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于,A B 两点． （1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的普通方程； （2）若P 点的坐标为(2,1)P ，求||||PA PB ∙的值． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =+（1）求不等式()(4)f x f ≥-的解集；（2）设函数()(5)g x k x =-，k R ∈，若()()f x g x >对任意x R ∈都成立，求k 的取值范围．试卷答案一、选择题（1）B （2）D （3）D （4）B （5）A （6）C （7）C （8）D（9）A（10）C（11）B（12）A二、填空题 13．14．(1)-+∞， 15. π24 16.3三、解答题17. 解：（1）1(4235) 3.54=+++=x ，1(49263954)424=+++=y ................. （2分）41()()(4 3.5)(4942)(2 3.5)(2642)(3 3.5)(39-42)(5-3.5)(54-42)47=--=--+--+-+=∑ii i xx y y 4222221()(4 3.5)(2 3.5)(3 3.5)5-3.55=-=-+-+-+=∑（）ii xx...................................... （4分） ∴479.45==b ，429.4 3.59.1=-=-⨯=a y bx .......................................................（6分） 所以y 关于x 的线性回归方程为9.49.1=+y x ......................................................... （8分） （2）当x =7时，9.479.174.9=⨯+=y 万元 ......................................................... （12分）18．（1）证明略.21n n a n =+ ..................................................................................... （6分）（2）62)32(1+⨯-=+n n n S ………………………………………….………..（12分）1DM CDM 3CDP 21cos PCD =∆=∠∴=∠∆中，中，余弦定理可得RT CDP π∴M 为边PD 的三等分点 …………………………………………….…（3分）N 为PM 的中点， …………………………………………………………（4分）M 为边PD 的三等分点，∴MO 为△BND 的中位线，∴MO ∥BN ，⊂MO 面AMC ，⊄BN 面AMC ，∴BN ∥面AMC ……（6分）（2） PO ⊥面ABCD ， M 为边PD 的三等分点，363PO ABCD M ==∴的距离到平面 ………………………….…（7分） 3BCD =∆SMCDB BCD M V V --==⨯⨯=3236331 ………………………………….…（9分） 2321D =⨯=∆DM CM S MC 又 ∴B 到面MCD 的距离为362 ……………………………………………..（12分）20.解：（1）由题意知1,2==c a ，综合222a b c =+，解得1=b ，……（2分）所以，椭圆的方程为1222=+y x …………………………………………….（4分)（2）当直线MN 斜率不存在时，)22,1(),22,1(-N M 此时，2=+AN AM k k …………………………………………………....…（5分) 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=， 由已知0∆>得02>-<k k 或，设),(),,(2211y x N y x M ，120x x ≠ 则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k--+==++， ………………………………..…（7分) 从而直线AM 与AN 的斜率之和221122112211x kkx x k kx x y x y k k AN AM -++-+=+++=+ ………………..…（8分) 121212112(2)2(2)x xk k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-………………………（11分)所以直线AM 与AN 的斜率之和为2 ………………………………………….…（12分) 21．解：（1）()()26661g x x x x x '=-=-，又10m m <<，∴1m >，∴()g x 在1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,m 上递增， ∴()()()()min max 111,max ,g x g g x g g m m ⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭……………………….（3分）令()32321112323g g m m m m m m ⎛⎫-=--+⎪⎝⎭， 32232211111123213m m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21112321112210m m m m m m m m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()()32max 23g x g m m m ==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（2）由题得：问题等价于当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max min 1f s g x ≤=-．．．．．．．．．．．．．（8分）令1s =，则()11f a =≤-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分） 下面证明：当1a ≤-时，()1f x ≤-成立， ∵()1ln ln a f x x x x x x x =-≤--，故只需证1ln 1x x x --≤-，即1ln 1x x x +≥， 令()11ln ,,22h x x x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则()()23112ln 1,0h x x h x x x x '''=-+=+>又()10h '=，所以()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[]1,2上递增， 所以()()11h x h ≥=．所以实数a 的取值范围为1a ≤-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）22.解：（1）由题意得曲线C的参数方程为cos sin sin x y y θθθθ=⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩=⎩①②， (2)2+①②，得1222=+y x ，所以曲线C 的标准方程为：1222=+y x…………………………..…（3分）直线l 的标准方程为：0323=+--y x ……………………..……（5分）（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 211232（t 为参数）， …（7分） 代入椭圆方程得：016)13(852=+++t t ， 所以51621==⋅t t PB PA……………………………….……（10分）23．【解析】（1）|5||4|2510168)(22-++=+-+++=x x x x x x x f∴()f x ≥)4(-f 即|5||4|-++x x 9≥ ................................................................ （2分）∴⎩⎨⎧≥+----≤9544x x x ，解得4-≤x ；或⎩⎨⎧≥+-+≤<-95454x x x ，解得54≤<-x ；或⎩⎨⎧≥-++>9545x x x ，解得5>x 所以()(4)f x f ≥的解集为R ． ................................................................................... （5分） （2）()()f x g x >即|5||4|)(-++=x x x f 的图象恒在()(5)=-g x k x 图象的上方由⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<--≤+-=-++=5,1254,94,12|5||4|)(x x x x x x x x f)5()(-=x k x g 图象为恒过定点)0,5(P 且斜率k 变化的一条直线，作函数(),()y f x y g x ==图象如图，其中2PB k =，(4,9)-A ，∴1PA k =- 由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方∴实数k 的取值范围为12k -<≤． ........................................................................ （10分）。
河北省石家庄市第二中学高三数学上学期期中联考试题
河北省石家庄市第二中学2017届高三数学上学期期中联考试题理（扫描版）石家庄市第二中学2017届高三第三次联考第三期理科数学参考答案 1-5 DBCAD 6-10 DBCAD 11-12 AB 13 -10 14 4 15 5 16 ②③④17(1)因为cos cos cos sin sin sin C A BC A B+=+ 所以cos sin cos sin sin cos sin cos C A C B C A C B +=+ 即cos sin sin cos sin cos cos sin C A C A C B C B -=-得sin()sin()A C C B -=- ……………………………3分所以()A C C B A C C B π-=--=--或不可能 即2C A B =+得3C π=.……………………………5分（2）因为 2c =，所以 2222241cos 222a b c a b C ab ab +-+-=== 224a b ab +-=.……………………………………………………8分24,4ab ab ab -≤∴≤（当且仅当2a b ==取等号） 113sin 4322ABC S ab C ∆=≤⨯⨯= ……………………10分18.解析（1）由132,2n n a a n +=-≥可得113(1),2n n a a n +-=-≥，{}1n a ≥-当n 2时，是首项为2，q=3的等比数列， (4)分2231,2n n a n -=⨯+≥则27,1,231, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩ ………………………………………………5分（2）由2113,3,22n n n a b b n --===≥及1,1,2, 2.n n c n n =⎧=⎨-≥⎩可得23,1(2)3,2n n n n c b n n -=⎧=⎨-⨯≥⎩………………………………………………7分012323031323(3)3(2)3n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯++-+-L . ①21232133031323(3)3(2)3n n n T n n --=+⨯+⨯+⨯++-+-L ②①-②：1221260333(2)3n n n T n ---=-+++++--L (10)分213(13)26(2)313n n n T n ----=-+---12515()344n n n T --=+……………………………………………12分19．（1）证明：连接1AC 交1A C 于点G ，连接DG .在三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形，∴1AG GC =. ∵AD DB =， ∴DG ∥1BC . ………………………2分 ∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC . …………………………5分 （2）几何体11ABB C C 为四棱锥，,E F 分别为11,BC B C 的中点，连接,,AE AF EF则32AE =,2222111013222AF AB B F ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………7分又因为222AEF AE AF EF ∆+=中AE AF ∴⊥111,,BC BB BC AE AE EF E AEF BC BB C C⊥⊥⋂=⊂Q 1，BB ∥EF ，∴BC ⊥EF,又∴BC ⊥平面又平面 ⊥11平面AEF 平面BB C C (10)分过A AH ⊥11点作平面BB C C ,则34AE AF AH EF ⨯==1113331344ABB C C V =⨯⨯=…………………………………12分 20（Ⅰ）证明：由已知,四边形ABCD 是边长为2的正方形,因为,DA AF DA AE ⊥⊥，AE AF A =IDA ABE ⊥面,所以平面ABCD ⊥平面ABE ,…………2分又CB AB ⊥，所以CB AE ⊥………3分又点B 在面AEC 的射影在线段EC 上,设为H ,则AE BH ⊥BADCFGH所以AE BCE ⊥面,又BE BCE ⊂面,所以AE EB ⊥……………4分（Ⅱ）以A 为原点，垂直于平面ABCD 的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系A xyz -，由已知AF AEBG BEλ==，假设存在λ，使二面角B AC E --的余弦值为33． 设(,,0)E a b ，则(,,0)AE a b =u u u r ，(0,2,2)AC =u u u r法一：设平面AEC 的一个法向量(,,)n x y z =r，则00AE n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r r u u u r r r ，即0220ax by y z +=⎧⎨+=⎩，解得,b x y a z y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．……………………5分令y a =，得(,,)n b a a =--r是平面EAC 的一个法向量．又平面BAC 的一个法向量为(1,0,0)m =u r，由223cos ,32b m n m n m n a b ⋅===⋅+u r ru r r u r r ，化简得22a b =①………7分 又因为AE ⊥平面BCE ，所以AE BE ⊥，所以0AE BE ⋅=u u u r u u u r ，即2(2)0a b b +-=②， …………………9分联立①②，解得0b =（舍），1b =． 由22AE a b =+，22(2)BE a b =+-，所以AE BE =．所以当1λ=时，二面角B AC E --的余弦值为33． …………………12分 法二：如图，作EM AB ⊥于M , EN AC ⊥于N ,连接MN ,则MNE ∠为二面角E AC B --的平面角，3cos tan 2由MNE MNE ∠=∠= ………………7分 由AF AEBG BE λ==,可得212λλ+=AE ,212λ+=BE , ……………9分 于是得到22221212λλλλ+=⇒+=MN AM ,212λλ+=ME ,……………11分 所以122tan =⇒===∠λλMN ME MNE ． ……………12分21解: （1）若一切线垂直x 轴，则另一条切线垂直于y 轴，这样的00(,)P x y 点有4个，它们的坐标分别为)(3,1±，若两切线都不垂直坐标轴，设切线方程为00()y y k x x -=-，zyxBADCFGEHBADCF GE H N M联立0022()13y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩即()2220000(31)6()310k x k y kx x y kx ⎡⎤++-+--=⎣⎦……………………3分依题意，()22200000,k ()121(31)0y kx y kx k ⎡⎤∆=----+=⎣⎦2即（6） 2220000(3)210x k x y k y --+-=20122011,13y k k x -=-∴=--Q ，即22004x y += ……………………6分)(22003,14x y ±±+=Q 在上224P x y ∴+=点的轨迹方程为 ……………………7分（2）若过Q 点的直线斜率不存在，则直线为2x =，交224x y +=于()()2,2,2,2CD-则22CD =符合题意； ………………………………………………………8分 若过Q 点的直线斜率存在，设直线方程为l ：()22y k x -=-，圆224x y +=圆心()0,0到l 的距离为()222212211k k d kk----===++…………………………………………………………9分()2211+k k -=0k =，所以直线方程为2y =， …………………………………………………………11分综上l 的方程为：2,2y x ==. ………………………………………………………12分22.解析：（Ⅰ）因()()(1)(1)xf x F x a x e ax =+-=-，()(1)xf x e ax a '=+-.所以，当0a =时，()0f x '<在R 上恒成立，即()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；……………………………1分当0a >时，()0f x '>的解为1|1x x a ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ ， 即()f x 在1(1,)a -+∞上单调递增，在1(,1)a-∞-上单调递减； …………………………3分当0a <时，()0f x '>的解为1|1x x a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭， 即()f x 在1(,1)a -∞-上单调递增，在1(1,)a-+∞上单调递减. …………………………5分(Ⅱ) 方法一： 若有多于两个整数),,2,1(n i x i Λ= ，使得0)(<i x F 成立，则()x xe x xe a <+-1有两个以上整数解.因为()11+-=xe x y ，当0>x 时，01>-x e ，()011>+-xe x ； 当0< x 时，01<-x e ，()011>+- xe x ，…………………………………………………………7分所以，1+-<x xe e a x x有两个以上整数解.设1)(+-=x xe e x g xx，则2)1()2()(+---='x xe e x e x g x x x ， 令()xe x x h --=2，则()01<--='xe x h ， 又()()011,010<-=>=e h h，所以()1,00∈∃x ，使得()00=x h ， ∴()x g 在()0,-x ∞为增函数, 在()+∞,0x 为减函数， …………………………………………10分 ∴1+-<x xe e a x x有两个以上整数解的充要条件是221(1),(2)2121e a g a g e e <-=<=--或解得2221e a e <-. …………………………………………12分方法二：()(1)(1)0xF x e ax a x =---< (1)(1)x e ax a x ⇔-<-设()(1)g x a x =-，问题转化为()()i i f x g x <，有三个或三个以上整数i x 的解(1,2,3,,3)i n n =≥L当0a =时，()xf x e =-，g()0x =，此时()()f xg x <的解集为R ，此情况成立；…………………7分当0a <时，(0)1(0)f g a =-<=-，(1)(1)(1)0f e a g =-<=，2(2)(21)(2)f e a g a =-<=.可见()()f x g x <的解集不仅仅两个整数解，此情况成立； …………………8分当0a >时， 由（Ⅰ）可知()f x 的极值点为11a-， 又(0)1f =-，g(1)0=，11(1)()aa f e a a--=-，而且，()f x 仅有一个零点1a .若101a <≤，即1a ≥时，由（Ⅰ）知()f x 的单调性，以及11(1)()0aa f e a a --=-<,有()f x 与()g x 的草图如下：因1110a-<-<,所以在(,1]-∞-上()f x 单调递减，()g x 单调递增,所以min 1()(1)a f x f e+=-=-.max ()(1)2g x g a =-=-,所以在(,1]-∞-上()()f x g x >恒成立.又(0)1(0)f g a =->=-，在[1,)x ∈+∞上，又1a ≥，所以，1x e >，10ax -≥， 所以()(1)x f x e ax =-1(1)1(1)()ax a x a a x g x >-=-+-≥-=所以在1a ≥时，在R 上没有使得()()f x g x <的整数解存在；若11a>，即01a <<时，()f x 与 ()g x 的草图如下： 因为(0)1(0)f a g =-<-=，(1)(1)0(1)f e a g =-<=，(1)g(1)(2)(2)f f g -<-<或 成立即可，解得 22021e a e <<-.综上所述：2221e a e <- …………………12分。
河北省石家庄市第二中学2018届高三上学期第一次月考数
河北省石家庄市第二中学2018届高三第一次联合测试数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、11ii+- 等于 A ．i B ．i - C ．2i D ．2i -2、已知全集{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于 A ．MN B ．()()U U C M C N C ．()()U U C M C N D ．MN3、若()f x 是(),a b 定义在上的任意一个初等函数，则“存在一个常数M 使任意(),x a b ∈都有()f x M ≤成立”是“()f x 在(),a b 上存在最大值”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．必要不充分条件D ．充要条件 4、若01,1a b c <<>>，则 A ．()1ab c< B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a < 5、已知1cos 3α=，则A ．sin 3α=B ．tan α=．1sin()23πα+= D ．1cos()3απ-=6、原先要求,,A B C 三人共同完成某项工作中的9道工序（每道工序的工作量一样，每人完成其中的3到工序），A 完成了此项工作中的5到工序，B 完成了此项工作中的另外4道工序，C 因事未能参加此项工作，因此他需付出90元补贴90元补贴A 和B ，则A 应分得这90元中的 A ．45元 B ．50元 C ．55元 D ．60元7、已知点(1,2)P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线上，则C 的离心率是A ．8、如图是一个算法流程图，若输入n 的值是13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤ 9、设函数()cos(2)3f x x π=+，则下列结论错误的是A ．()f x 是一个周期可为2π-B ．()f x 的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在(,)42ππ 上单调递减 D ．()f x 的一个零点为12x π= 10、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥11P A B A -的左视图可能为11、函数()142(1)x f x ex +=-+ 的图象大致为12、在数列{}n a 中，已知1)n a n N ++=∀∈，则数列{}n a 满足：1()n n a a n N ++<∀∈ 的充要条件为A ．11a >-B ．13a >C ． 11a <-或13a >D ．113a -<<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
石家庄二中2018届高三3.0摸
石家庄二中2018届高三3.0模数学（文）试题A 卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合02x A xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ）A ．{}1,0,3-B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,2,3 2.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()1z i i i -=+，则z =（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-3.已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的一个焦点为()2,0，且双曲线C 的离心率为则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．2y x =±C ．y x =D ． y = 4.五四青年节活动中，高三（1）、（2）班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三（2）班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字x 具有随机性，那么高三（2）班的平均得分大于高三（1）班的平均得分的概率为（ ） A ．34 B ．13 C.35 D ．255.已知等差数列{}n a 满足3514a a +=，2633a a =，则17a a =（ ） A ．33 B ．16 C.13 D ．126.函数()()21cos x x f x xπ-=的部分图象大致为（ ）A B C D7.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．25B ．24 C.23 D ．228.将周期为π的函数()()cos 066f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移3π个单位后，所得的函数解析式为（ ）A ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．2cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2sin 2y x = D ．22cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭9.已知实数x ，y 满足约束条件3020220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+-≤⎩，则()221z x y =-+的最小值为（ ）A ．12 B．2C.1 D10.给出30个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和执行框②处可以分别填入（ ）A ．30i ≤？和1p p i =+-B ．31i ≤？和1p p i =++ C. 31i ≤？和p p i =+ D ．30i ≤？和p p i =+ 11.已知函数()11x x f x e e --=+，则满足()11f x e e --<+的x 的取值范围是（ ）A ．13x <<B ．02x << C.0x e << D ．1x e <<12.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足132a =，()1233n n a S n N *++=∈，若2n nS M S +≤对任意的n N *∈恒成立 ，则实数M 的最小值为（ ） A．．176 C.4112D ．4 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是 ．14.已知向量()2,1a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b = ．15.已知正四面体P ABC -的棱长均为a ，0为正四面体P ABC -的外接球的球心，过点0作平行于底面ABC 的平面截正四面体P ABC -，得到三棱锥111P A B C -和三棱台111ABC A B C -，那么三棱锥111P A B C-的外接球的表面积为 ．16. 点()3,2M 到抛物线()2:0C y ax a =>准线的距离为4，F 为抛物线的焦点，点()1,1N ，当点P 在直线:2l x y -=上运动时，1PN PF-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知sin A C =，且ABC ∆的面积为232c . （1）求B ；（2）若D 是BC边上的一点，且cos ADB ∠=，求sin BAD ∠及BD CD 的值.18. 在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2CD AB =，AC 与BD 相交于点M ，点N 在线段AP 上，()0AN AP λλ=>，且//MN 平面PCD .（1）求实数λ的值；（2）若1AB AD DP ===，PA PB ==60BAD ∠=，求点N 到平面PCD 的距离.19. 下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码x =年份2013-.（1销售额；（2）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：1221ni ii n i i x y nxy b x nx==-=-∑∑，a y bx=-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++20. 设椭圆()222:11x E y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，且11e OF OA FA+=，其中O 为坐标原点，e 为椭圆的离心率. （1）求E 的方程；（2）设过F 且斜率不为零的直线l 与E 交于M ，N 两点，过M 作直线2:m x a =的垂线，垂足为1M ， 证明：直线1M N 恒过一定点，并求出该定点的坐标.21. 已知函数()1ln f x a x x x=+-，其中a 为实常数. （1）若12x =是()f x 的极大值点，求()f x 的极小值； （2）若不等式1ln a x b x x -≤-对任意502a -≤≤，122x ≤≤恒成立，求b 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(),1P a，其参数方程为12x a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求已知曲线1C 和曲线2C 交于A ，B 两点，且3PA PB =，求实数a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()2223f x x x =-++ （1）求不等式()15f x <的解集；（2）若()2f x a x x ≥-+对于x R ∈恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BADDC 6-10: ABAAD 11、12：AC二、填空题13. E 14.5 15.22732a π 16.24三、解答题17.解：（1）在锐角ABC ∆中，由正弦定理得a =，又22113sin sin 222ABC S ac B B c ∆==⨯=，故sin B =又02B π<<，所以4B π=.（2）因为cos ADB ∠=，所以sin ADB ∠==， 又()BAD ABD ADB π∠=-∠+∠，故()sin sin 22BAD ABD ADB ∠=∠+∠==在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即5BD AB ===，又BC =，所以CD =，所以2BDCD=. 18.解法一：（1）因为//AB CD ，所以12AM AB MC CD ==，即13AM AC =. 因为//MN 平面PCD ，MN ⊂平面PAC ， 平面PAC 平面PCD PC =， 所以//MN PC ，所以13AN AM AP AC ==，即13λ=.（2）因为AB AD =，60BAD ∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==，又因为1PD =，PA PB =，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+， 所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D =，所以PD ⊥平面ABCD .因为PD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD .作ME CD ⊥于E ，因为平面PCD 平面ABCD CD =，所以ME ⊥平面PCD . 又因为//MN 平面PCD ，所以ME 即为N 到平面PCD 的距离. 在ABD ∆中，设AB 边上的高为h，则h = 因为23MD MC BD AC ==，所以23ME h ==，即N 到平面PCD. 解法二、（1）同解法一.（2）因为AB AD =，60BAD ∠=，所以ABD ∆为等边三角形，所以1BD AD ==， 又因为1PD =，PA PB =，所以222PB PD BD =+且222PA PD AD =+， 所以PD BD ⊥且PD DA ⊥，又因为DA DB D =，所以PD ⊥平面ABCD . 设点N 到平面PCD 的距离为d ，由13AN AP =得23NP AP =， 所以2233N PCD A PCD P ACD V V V ---==， 即2193ACD PCD PD S d S ∆∆⋅=⋅.因为1sin 2ACD S AD DC ADC ∆=⋅⋅∠=，112PCD S PD CD ∆=⋅=，1PD =，所以2193d，解得d =，即N 到平面PCD19.（1）由题意得 2.5x =,200y =，42130ii x==∑，412355i i i x y ==∑，所以4122421423554 2.520035571304 2.554i i i i i x y xy b x x==--⨯⨯====-⨯-∑∑， 所以20071 2.522.5a y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为7122.5y x =+.由于201820135-=，所以当5x =时，71522.5377.5y =⨯+=， 所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.故2K 的观测值()10510304520 6.10955503075k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关. 20.解：（1）设椭圆E 的半焦距为c ， 依题意得：()11cc a a a c +=-， 即222a c =，又221a c =+，即22a =，所以E 的方程为2212x y +=； （2）由（1）得，()1,0F ，又直线l 的斜率不为零，故可设l 的方程为1x ty =+，由221,21,x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222210t y ty ++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，又直线m 为2x =，所以()112,M y ，则1222=2t y y t +-+，1221=2y y t -+，所以1212=2y y ty y +，又直线1M N 的方程为()211222y y y x y x -=-+-，又221x ty =+，所以()()1211212121211222121121222211222y y y y y y y y y y y y y x ty ty ty y y y y y -----=====----+-， 所以1M N 的方程为()11132222y y x y y x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，故直线1M N 恒过定点302⎛⎫⎪⎝⎭，.21.详解：（Ⅰ）()221x ax f x x ++'=，因为0x >. 由102f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，得2111022a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以52a =-，此时()51ln 2f x x x x=-+-.则()()222152122x x x x f x x x ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭'==所以()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，在[)2,+∞上为增函数.所以2x =为极小值点，极小值()35ln 2222f =-.（Ⅱ）不等式1ln a x b x x-≤-即为()f x b ≤，所以()max b f x ≥.i ）若12x ≤≤，则ln 0x ≥，()1113ln 222f x a x x x x x =+-≤-≤-=.当0a =，2x =时取等号；ii ）若112x ≤<，则ln 0x <，()151ln ln 2f x a x x x x x x=+-≤-+-.由（Ⅰ）可知()51ln 2g x x x x =-+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.所以当112x ≤≤时，()153ln 2222g x g ⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭.因为53533ln 2122222-<-=<，所以()max 32f x =于是min 32b =.22.解：（1）1C的参数方程212x a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消参得普通方程为10x y a --+=，2C 的极坐标方程化为222cos 3cos 0ρθρθρ+-=即23y x =； （2）将曲线1C的参数方程标准化为21x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a R ∈）代入曲线22:3C y x =得2260t a +-=，由(()241260a ∆=-⨯->，得13a >，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，由题意得123t t =即123t t =或123t t =-，当123t t =时，121212326t t t t t t a=⎧⎪+=⎨⎪=-⎩，解得131483a =<（舍）， 当123t t =-时，121212326t t t t t t a=-⎧⎪+=⎨⎪=-⎩解得712a =，综上：712a =.23.解：（1）∵()341,2322235,1241,1x x f x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎪⎪⎩，当32x ≤-时，有4115x --<，解得4x >-，即342x -<≤-；当312x -<<时，515<恒成立，即312x -<<；当1x ≥时，有4115x +<，解得72x <，即712x ≤<.综上，解集为74,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）由()2f x a x x ≥-+恒成立得22223a x x x x ≤-+++-恒成立，∵()()222322235x x x x -++≥--+=，当且仅当()()22230x x -⋅+≤，即312x -≤≤是等号成立； 又因为214x x -≥-，当且仅当12x =时等号成立，又因为13,122⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 所以21192223544x x x x -+++-≥-=，所以194a ≤.2 1。
河北省石家庄市第二中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题(精品解析含答案)
2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．42．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=14．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8B．9C．10D．128．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，}C．{0，}D．{1，，0}10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=011．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为．15．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，现以F2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的长轴长为．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．19．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线l：y=k（x+1）相交于A、B两点，点O为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB的面积等于，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程．（Ⅱ）当a=1时，已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．2018-2019学年河北省石家庄二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据题意，将双曲线的方程变形可得标准方程，分析可得其a的值，由双曲线实轴的定义计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线方程为：2x2﹣y2=8，则其标准方程为：﹣=1，其中a==2，则其实轴长2a=4；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意要现将其方程变形为标准方程．2．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．3．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（3，0），点（0，﹣3）在椭圆上，则椭圆的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【分析】由条件根据椭圆的标准方程和简单性质可得a2﹣b2=9，0+=1，求得a2和b2的值，可得椭圆的方程．【解答】解：由题意可得a2﹣b2=9，0+=1，∴a2=18，b2=9，故椭圆的方程为+=1，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和简单性质，属于基础题．4．双曲线﹣y2=1的顶点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的顶点坐标（，0），其渐近线方程为x±y=0，所以所求的距离为=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为（）A．1B．2C．D．【分析】求出，点A到平面α的距离：d=，由此能求出结果．【解答】解：∵平面α的一个法向量为=（1，2，2），A=（1，0，2），B=（0，﹣1，4），A∉α，B∈α，∴=（1，1，﹣2），点A到平面α的距离：d===．故选：C．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．已知直线l1：4x﹣3y+7=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．【解答】解：如图所示，过点F（1，0）作FQ⊥l1，交抛物线于点P，垂足为Q，过点P作PM⊥l2，垂足为M．则|PF|=|PM|，可知：|FQ是|抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值．|FQ|==．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．椭圆的焦点F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为（）A．8B．9C．10D．12【分析】先设出|PF1|=m，|PF2|=n，利用椭圆的定义求得n+m的值，平方后求得mn和m2+n2的关系，代入△F1PF2的勾股定理中求得mn的值，即可求出△F1PF2的面积．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可知m+n=2a，∴m2+n2+2nm=4a2，∴m2+n2=4a2﹣2nm由勾股定理可知m2+n2=4c2，求得mn=18，则△F1PF2的面积为9．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的应用，椭圆的简单性质和椭圆的定义．考查了考生对所学知识的综合运用．8．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．【解答】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN=AB1=，NP=BC1=；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ=AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC=，∴MQ=；在△MQP中，MP==；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP===﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【解法二】如图所示，补成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；BC1=，BD==，C1D=，∴+BD2=，∴∠DBC1=90°，∴cos∠BC1D==．故选：C．【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．9．若直线l：y=ax﹣1与抛物线C：y2=（a﹣1）x恰好有一个公共点，则实数a的值构成的集合为（）A．{﹣1，0}B．{﹣1，}C．{0，}D．{1，，0}【分析】讨论若a=1，当a=﹣1时，将直线方程代入曲线方程，运用判别式为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：若a=1，则曲线C为y=0，直线l：y=x﹣1，即有直线与曲线的交点为（1，0），满足题意；若a=0，则曲线C为y2=﹣x，直线l：y=﹣1，即有直线与曲线的交点为（﹣1，﹣1），满足题意；若a≠1，a≠0时，则抛物线y2=（a﹣1）x的对称轴为x轴，由y=ax﹣1与抛物线y2=（a﹣1）x相切，可得：a2x2﹣（3a﹣1）x+1=0，由判别式为0，可得（3a﹣1）2﹣4a2=0，解得a=（a=1舍去），综上可得，a=0，1或．故选：D．【点评】本题考查直线与曲线的交点的个数问题，注意讨论直线与曲线相切或与对称轴平行，考查运算能力，属于中档题和易错题．10．直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A，若点A是双曲线﹣=1的一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x+4y﹣10=0B．2x﹣y﹣2=0C．4x+y﹣10=0D．4x﹣y﹣6=0【分析】求出定点A（2，2），设A是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法能求出以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程．【解答】解：直线kx﹣y﹣2k+2=0恒过定点A（2，2），双曲线﹣=1方程可化为：4x2﹣y2=8，设A（2，2）是弦P1P2的中点，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=4．∵P1，P2在双曲线上，∴，∴4（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴4×4（x1﹣x2）=4（y1﹣y2），∴k==4，∴以A（2，2）为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：y﹣2=4（x﹣2），整理得4x﹣y﹣6=0．故选：D．【点评】本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法和根的判别式的合理运用．11．如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．12．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点F1，F2，且在第一象限的交点为P，满足2•=2（其中O为原点）设C1，C2的离心率分别为e1，e2当3e1+e2取得最小值时，e1的值为（）A．B．C．D．【分析】由2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=，由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒e1e2=2，3e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即．【解答】解：∵2•=2，故||=2||cos∠POF2，即x P=由焦半径公式可得：PF1=a+=x P+m⇒2c2=am⇒e1e2=23e1+e2取，当且仅当3e1=e2时取等号，即故选：A．【点评】本题考查了双曲线离心率，属于中档题．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共20分）13．设椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为﹣=1．【分析】在椭圆C1中，由题设条件能够得到a，b，曲线C2是以F1（﹣5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为4的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程．【解答】解：在椭圆C1中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为26，a=13，c=5，b=12，椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），椭圆方程为：．曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于4，a=2，则c=5，则b=．故C2的标准方程为：，故答案为：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，注意区分椭圆和双曲线的性质．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱AA1的中点，则直线D1B与平面MBC所成角的正弦值为 ．【分析】设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D 1B 与平面MBC 所成角的正弦值．【解答】解：设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为2，如图建立空间直角坐标系， 则D 1（0，0，2），B （2，2，0），M （2，0，1），C （0，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，1），=（﹣2，0，0），设平面MBC 的法向量=（x ，y ，z ），则，取y =1，得=（0，1，2），设直线D 1B 与平面MBC 所成角为θ，则sin θ===．故直线D 1B 与平面MBC 所成角的正弦值为．故答案为：．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．15．已知F 1，F 2分别是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，现以F 2（1，0）为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的长轴长为+1．【分析】由题意画出图形，利用椭圆定义可得|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理求得a，则答案可求．【解答】解：如图，由题意可知，|MF2|=c=1，则|MF1|=2a﹣1，则Rt△F1MF2中，由勾股定理可得（2a﹣1）2+12=4，解得：a=．∴椭圆的长轴长为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l交双曲线的左支于点A，过F2作直线l的垂线交双曲线的左支于点B，若直线AB过F1，则△ABF2的内切圆圆心到F2的距离为2．【分析】设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，运用内角平分线定可得ABF2为等腰直角三角形，运用勾股定理和三角形的等积法，可得半径r，即可得到所求距离．【解答】解：设内切圆的圆心为I，由直线AF2和直线BF2垂直，可得I在x轴上，====1，可得三角形ABF2为等腰直角三角形，设|AF2|=m，则设|BF2|=m，|AB|=m，即有内切圆的半径r满足r•（4m﹣4）=m2，又m=2m﹣4，解得r=2，m=4+2，即有|IF2|=r=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意定义法和内角平分线定理的运用，考查三角形的等积法和勾股定理的应用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x轴上，离心率e=，短轴长为4．（I）求椭圆的方程（Ⅱ）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，求AB的中点坐标及弦长|AB|．【分析】（Ⅰ）由已知，=，2b=4，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），直线AB方程为：y=2（x﹣1），由，得3x2﹣5x=0，由此能求出A（0，﹣2），B（），进而能求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由已知，=，2b=4，∴b=2∵b2=a2﹣c2=5c2﹣c2=4c2=4，∴c2=1，a2=5，∴椭圆的标准方程为：+=1．……………………（4分）（Ⅱ）椭圆的右焦点为（1，0），∴直线AB方程为：y=2（x﹣1）…………………………设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得3x2﹣5x=0，解得x1=0，x2=，…………………………（7分）设AB中点坐标为（x0，y0），则=，，所以AB的中点为（），…………………………（9分）∵A（0，﹣2），B（），∴|AB|==．…………………………（10分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查椭圆、直线方程、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．（12分）在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．（1）求证：MN∥平面BDE；（2）求二面角CEMN的正弦值．【分析】（1）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（2）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值．【解答】（1）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M 为AD 中点，∴MF ∥BD ，∵BD ⊂平面BDE ，MF ⊄平面BDE ，∴MF ∥平面BDE ． ∵N 为BC 中点，∴NF ∥AC ，又D 、E 分别为AP 、PC 的中点，∴DE ∥AC ，则NF ∥DE ． ∵DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ，∴NF ∥平面BDE ． 又MF ∩NF =F ．∴平面MFN ∥平面BDE ，则MN ∥平面BDE ； （2）解：∵PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90°．∴以A 为原点，分别以AB 、AC 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵PA =AC =4，AB =2，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），M （0，0，1），N （1，2，0），E （0，2，2），则=（1，2，﹣1），=（0，2，1），设平面MEN 的一个法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z =2，得=（4，﹣1，2）．由图可得平面CME 的一个法向量为=（1，0，0）．∴cos ＜，＞==．∴二面角CEMN 的余弦值为，则正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题．19．（12分）已知抛物线y 2=﹣x 与直线l ：y =k （x +1）相交于A 、B 两点，点O 为坐标原点．（1）求的值；（2）若△OAB 的面积等于，求直线l 的方程．【分析】（1）联立直线与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系求出A ，B 两点的横纵坐标的和与积，直接运用数量积的坐标运算求解； （2）直接代入三角形面积公式求解即可【解答】解：（1）设，由题意可知：k ≠0，∴，联立y 2=﹣x 得：ky 2+y ﹣k =0显然：△＞0， ∴，∴=（﹣y 12）（﹣y 22）+y 1y 2=（﹣1）2+1=0，（2）∵S △OAB =×1×|y 1﹣y 2|===，解得：k =±，∴直线l 的方程为：2x +3y +2=0或2x ﹣3y +2=0．【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了平面向量数量积的坐标运算，训练了三角形面积的求法，是中档题．20．（12分）已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，则：（Ⅰ）求双曲线C 的渐进线方程．（Ⅱ）当a =1时，已知直线x ﹣y +m =0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上，求m 的值．【分析】（Ⅰ）由题意通过离心率推出c 2=3a 2，得到，然后求解双曲线的渐近线方程．（Ⅱ）当a =1时，双曲线C 的方程为x 2﹣．设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解m 即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得，∴c2=3a2∴b2=c2﹣a2=2a2，即∴所求双曲线C的渐进线方程………………（Ⅱ）由（1）得当a=1时，双曲线C的方程为x2﹣．……6分设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0（判别式△＞0），∴x0==m，y0=x0+m=2m，…………（10分）∵点M（x0，y0），在圆x2+y2=5上，∴m2+4m2=5，∴m=±1．……（12分）（本题学生用“点差法”也给分）【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的．由此能求出四边形OACB的面积最小值．距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，．…（9分）所以四边形OACB的面积等于2S△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．22．（12分）已知动点M到定直线x=﹣4的距离是它到定点F1（﹣1，0）的距离的2倍．（Ⅰ）求动点M的轨迹方程．（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与动点M的轨迹相交于不同的两点A，B，满足•=？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，由此能求出动点M的轨迹方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出存在直线l满足条件，其方程为x﹣2y=0．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y）（x＞﹣4），由题意得==|x+4|=2+，…………………………（2分）整理得动点M的轨迹方程为：=1．…………………………（4分）（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，由题意知直线斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，由，消去y得（4k2+3）x2﹣8（2k2﹣k）x+8（2k2﹣2k﹣1）=0，由△=64（2k2﹣k）k2﹣32（4k2+3）（2k2﹣2k﹣1）＞0，得6k+3＞0，解得k＞﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=，…………………………（8分）由，得（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）=，则（x1﹣2）（x2﹣2）（k2+1）=，即[x1x2﹣2（x1+x2）+4]（k2+1）=，所以[﹣+4]（k2+1）=，整理得=，解得k=，…………………………（10分）又k＞﹣，所以k=，故存在直线l满足条件，其方程为y=，即x﹣2y=0．…………………………（12分）【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．。
石家庄市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题
石家庄市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A ．-5B ．-4 C.-2 D ．3 2． 已知函数1)1(')(2++=x x f x f ，则=⎰dx x f 1)(（ ）A ．67-B ．67C ．65D ．65- 【命题意图】本题考查了导数、积分的知识，重点突出对函数的求导及函数积分运算能力，有一定技巧性，难度中等.3． 若圆心坐标为()2,1-的圆在直线10x y --=上截得的弦长为 ） A ．()()22210x y -++= B ．()()22214x y -++= C ．()()22218x y -++= D ．()()222116x y -++= 4． 已知函数()e sin xf x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 5． 若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A．＞B．＞C ．|a|＞|b|D ．a 2＞b 26．函数的零点所在区间为（ ）A ．（3，4）B ．（2，3）C ．（1，2）D ．（0，1）7． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布． A．B．C．D．8． 在平面直角坐标系中，向量＝(1，2)，＝(2，m)，若O ，A ，B 三点能构成三角形，则（ ）A ．B ．C ．D ．9． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={2，3，4}，N={0，1，4}，则集合{0，1}可以表示为（ ） A ．M ∪NB ．（∁U M ）∩NC ．M ∩（∁U N ）D ．（∁U M ）∩（∁U N ）10．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．只有一条，在平面α内C ．有两条，不一定都在平面α内D ．有无数条，不一定都在平面α内11．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13 B ．23C ．1D ．2 12．设集合{}|22A x R x =∈-≤≤，{}|10B x x =-≥，则()R A B =ð（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤<C. {}|21x x -≤≤D. {}|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.二、填空题13．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2﹣2x+y 2=0相切，则m= ． 14．已知tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则42sin cos 335cos sin 66ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .15．曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线与曲线y ＝ax ＋ln x 相切，则a ＝________． 16．设函数f （x ）=则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．17()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．三、解答题18．（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平 面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点． （1）证明：直线//MN 平面ABCD ；（2）若点Q 为PC 中点，120BAD ∠=︒，PA =1AB =，求三棱锥A QCD -的体积．20．（本小题满分10分）已知函数f （x ）＝|x －a |＋|x ＋b |，（a ≥0，b ≥0）． （1）求f （x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （2）若f （x ）的最小值为2，求证：f （x ）≥a ＋b .21．如图的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结BC ′，证明：BC ′∥面EFG ．22．（本小题满分10分）选修41-：几何证明选讲如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，过点P 的割线交圆于C B ,两点，弦AP CD //，BC AD ,相 交于点E ，F 为CE 上一点，且EC EF DE ⋅=2． （Ⅰ）求证：P EDF ∠=∠；（Ⅱ）若2,3,2:3:===EF DE BE CE ，求PA 的长．23．（本小题满分10分）已知曲线22:149x yC+=，直线2,:22,x tly t=+⎧⎨=-⎩（为参数）.（1）写出曲线C的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与夹角为30的直线，交于点A，求||PA的最大值与最小值.石家庄市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31y 22x z =+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 2． 【答案】B3． 【答案】B 【解析】考点：圆的方程.1111] 4． 【答案】B【解析】由题意设()()e sin xg x f x kx x kx =-=-，且()0g x ≥在[0,]2x π∈时恒成立，而'()e (sin cos )x g x x x k =+-．令()e (sin cos )x h x x x =+，则'()2e c o s 0xh x x =≥，所以()h x 在[0,]2π上递增，所以21()h x e π≤≤．当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2e k π≥时，'()0g x ≤，()g x 在[0,]2π上递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21e k π<<时，()g x '为一个递增函数，而'(0)10g k =-<，2'()e 02g k ππ=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞，故选B ．5． 【答案】A 【解析】解：∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a|＞|b|，a 2＞b 2，即，可知：B ，C ，D 都正确， 因此A 不正确． 故选：A ．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．6． 【答案】B 【解析】解：函数的定义域为（0，+∞），易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f （2）=log 32﹣1＜0，f （3）=log 33﹣＞0， ∴函数f （x ）的零点一定在区间（2，3），故选：B ．【点评】本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题．7． 【答案】D【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d 尺布m则由题意知，解得d=．故选：D ．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．8． 【答案】B【解析】【知识点】平面向量坐标运算【试题解析】若O ，A ，B 三点能构成三角形，则O ，A ，B 三点不共线。
河北省石家庄市第二中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
石家庄二中2017-2018学年第一学期期中考试高一数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，又则故选C2. 下列幂函数中过点，的偶函数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】对于A，定义域为，不关于原点对称，所以A不具有奇偶性，不对；对于B，是过点，的偶函数，B对；对于C，定义域为不过点，不对；对于D，过点，但它为奇函数，不对；故选B3. 已知，对应值如表：则的值为（）A. B. C. D. 无法确定【答案】C【解析】=1，则则故选C4. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为令g（x）=x3-22-x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．故选B．5. 已知，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，所以可得，故选择C考点：比较大小6. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)排除A，当x>0时,，故y>0，当x<0时,，故y>0，排除B，当x趋向于无穷大时,x3增长速度不如3x−1增长的快，故所对应的y的值趋向于0，排除D.只有C符合，本题选择C选项.7. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】可变成①或②∵f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数，∴在（-∞，0）上也是增函数；又f（2）=0，∴f（-2）=f（2）=0；∴解不等式组①变成得-2＜x＜0，解不等式组②变成解得0＜x＜2；∴原不等式的解集是（-2，0）∪（0，2）．故选：B．8. 已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令g（x）=，因为函数在区间上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g（x）=在区间上是增函数，且g（x）>0在上恒成立；故选D9. 已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为函数f（x）的定义域为[0，2]，所以0≤2x≤2，所以0≤x≤1，所以f（2x）的定义域为[0，1]，则函数的定义域是（0，1]，故选：D．10. 设偶函数在上递增，则与的大小关系是（）A. B.C. D. 不确定【答案】B【解析】因为函数f（x）=log a|x-b|，所以对定义图内任意实数x都有f（-x）=f（x），即log a|-x-b|=log a|x-b|，所以|-x-b|=|x-b|，所以b=0，∴f（x）=log a|x|，∵偶函数f（x）=log a|x|在（-∞，0）上单调递增，y=|x|在（-∞，0）上单调递减，∴0＜a＜1，∴1＜a+1＜b+3=3，∴log a|a+1|＞log a3，∴f（a+1）＞f（b+3）；综上，f（a+1）＞f（b+3）．故选：B．11. 已知函数若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D故实数k的取值范围是（1，2）；故选：D．点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．12. 定义一种运算令（为常数），且，则使函数的最大值为3的的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】y=3+2x-x2在x∈[-3，3]上的最大值为3，所以由3+2x-x2=3，解得x=2或x=0．所以要使函数f（x）最大值为3，则根据定义可知，当t＜1时，即x=2时，|2-t|=3，此时解得t=-1．当t＞1时，即x=0时，|0-t|=3，此时解得t=3．故t=-1或3．故选C．点睛：本题主要考查新定义的理解和应用，利用数形结合是解决本题的关键，考查学生的分析能力，根据定义，先计算y=3+2x-x2在x∈[-3，3]上的最大值，然后利用条件函数f（x）最大值为4，确定t的取值即可．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数恒过定点，则此定点为__________.【答案】【解析】令得此时故此定点为故答案为14. 是偶函数，定义域为，则的值域是__________.【答案】【解析】∵f（x）=ax2+bx+3a+b为偶函数，∴b=0，且a-1+2a=0解得b=0，∴f（x）= x2+1，定义域为，由二次函数的性质知，当x=0时，有最小值1，当x=或-时，有最大值∴f（x）的值域为故答案为15. 已知，，若有，则的取值范围是__________.【答案】【解析】∵f（x）=e x-1，在R上递增，∴f（a）＞-1则g（b）＞-1；∵g（x）=-x2+4x-2=-（x-2）2+2≤2，又f（a）=g（b），∴g（b）∈（-1，2]，即-b2+4b-2＞-1，整理，得b2-4b+1＜0解得故答案为16. 设函数则满足的的取值范围是__________.【答案】【解析】令f（a）=t，则f（t）=2t，当t＜1时，3t-1=2t，由g（t）=3t-1-2t的导数为g′（t）=3-2t ln2，在t＜1时，g′（t）＞0，g（t）在（-∞，1）递增，即有g（t）＜g（1）=0，则方程3t-1=2t无解；当t≥1时，2t=2t成立，由f（a）≥1，即3a-1≥1，解得a≥，且a＜1；或a≥1，2a≥1解得a≥0，即为a≥1．综上可得a的范围是a≥故答案为点睛：本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，令f（a）=t，则f（t）=2t，讨论t＜1，运用导数判断单调性，进而得到方程无解，讨论t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式即可得到所求范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ，.（1）求，；（2）求，.【答案】(1)，；(2)，. 【解析】试题分析：（1）由，则，故，而，试题解析：（1）由，则，故，而，，等价于则即.（2），因为. 18. 设函数若，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并指出函数的定义域、值域、单调区间.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得16-4b+c=3，4-2b+c=-1，解方程可得b，c，进而得到f （x）的解析式；（2）由分段函数的画法，可得f（x）的图象，进而得到定义域、值域、单调区间．试题解析：（1）∵，，∴，，解得，，∴（2）图象见图所示：由图像可知，函数的定义域为，值域为.单调增区间为，单调减区间为和.19. 已知函数（，），在区间上有最大值4，最小值1，设函数.（1）求，的值及函数的解析式；（2）若不等式在时有解，求实数的取值范围.【答案】(1)，，；(2).【解析】试题分析：（１）因为对称轴x=1不在定义区间内，所以函数单调，根据单独递增与单独递减分类讨论，解得a,b的值，代人可得函数f(x)的解析式（２）先分离变量得,只需求出函数最小值，即得实数k的取值范围试题解析：(1)对称轴x=1.由题意得：，或解得或（舍去)故所以(2)不等式即即设所以又因故20. 已知是偶函数，是奇函数，且.（1）求和的解析式；（2）设（其中），解不等式.【答案】(1)，；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的性质利用方程组法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）即，讨论当当时，即，对应方程的两个根为，，比较与-3的大小，进行讨论；试题解析：（1）由题意，即，又联立得，.（2）由题意不等式即，当时，即，解得；当时，即，对应方程的两个根为，，故当时，易知，不等式的解为；当时，若，即时，不等式的解为或；若，即时，不等式的解为；若，即时，不等式的解为或；综上所述，当时，不等式的解为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.点睛：本题主要考查根据奇偶性的定义利用方程组法求函数解析式及求含参的一元二次不等式解集；在讨论时从二次项系数等于0，不等于0入手，当不等于0时，往往先对式子进行因式分解得出对应二次方程的根，然后比较根的大小，讨论要不重不漏.21. 已知函数，其中为常数.（1）判断函数的单调性并证明；（2）当时，对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：（1）根据函数单调性的定义证明即可（2）当时，，则，∴函数是奇函数，对于任意，不等式恒成立，等价为对于任意，不等式恒成立，即，在恒成立，即，在恒成立，设，则等价为即可.讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解.试题解析：（1）函数在上是增函数.证明如下：任取，，且，则，∵，∴，，，∴，∴，∴函数在上是增函数.（2）由（1）知函数在定义域上是增函数，当时，，则，∴函数是奇函数，则对于任意，不等式恒成立，等价为对于任意，不等式恒成立，即，在恒成立即，在恒成立，设，则等价为即可.即，当，则函数的最小值为，得，不成立，当，则函数的最小值为，得，当，则函数的最小值为，得.综上.点睛：本题考查了用定义证明函数的单调性及不等式恒成立问题，在解决本题中恒成立时，移项得所以肯定先要研究函数的奇偶性，从而利用单调性去掉转化为二次不等式恒成立，找最值即得解.22. 已知函数（）是偶函数.（1）求的值；（2）若函数，，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在得最小值为0.【解析】试题分析：（1）根据函数为偶函数，则满足，即可求出的值；（2）利用换元法令，则函数则可变为，结合二次函数的图像和性质，分类讨论，可得的值．试题解析：（Ⅰ），即对于恒成立．（Ⅱ）由题意,令开口向上，对称轴当，，当，，（舍去）当，，（舍去）存在得最小值为考点：函数奇偶性的性质【名师点睛】遇到函数奇偶性的问题，一定要熟记奇函数和偶函数的性质，只有了解这些性质才能更快更准确的解题．本题中题设为偶函数，则函数一定满足，从而可以求出所求参数的值．而第二问中，涉及到这类问题时，一般我们都采用换元法的方式去解题，但换元时一定要注意新元的取值范围，不然一定会出现错误，在解题中还要充分利用好二次函数的性质．。
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石家庄二中2018届高三上学期期中考试
数学（文）
一．选择题（每题5分，共计60分）
1.设集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={x|x＜0}，则=（）
A．{x|0< x<2} B．{x|} C．{x|﹣3＜x＜0} D．{x|x>0}
2.已知z∈C，若，则z所对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3.设p：在（2，+∞）内单调递增，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为（）
A．B．4 C．2 D．3
5.S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，等比数列{b n}中，b5=a5，b7=a7，则b6等于（）
A．B．C．D．无法确定
6.如图，某几何体的三视图中，俯视图是边长为2的正三角形，正视图和左视图分别为直角梯形和直角三角形，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
8.已知周期为2的函数在区间上的解析式为．若在区间
[﹣2，3]上关于x的方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．（1，2）
9.如图，在四棱锥C﹣AB OD中，CO⊥平面AB OD，AB∥OD，O B⊥OD，且AB=2OD=12，
A D=6，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为（）
A．B．C．D．
10.如图是函数y=A sin（ωx+ϕ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜）在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=cos x（x∈R）的图象上的所有的点（）
A．向右平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变。