新课标I数学(文)卷文档版(有答案)-2014年普通高等学校招生统一考试

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（ ）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α（3）设i iz ++=11，则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 26 C. 25D. 1（5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，学科网则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，学科网则输出的M =( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，学科网则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. （18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数（I ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品学科网符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？19(本题满分12分)如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1zxxk 的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高.20.（本小题满分12分）已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点.（1）求M 的轨迹方程；（2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积21（12分）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，zxxk 曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0 （1）求b;（2）若存在01,x ≥使得()01af x a <-，求a 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（I ）证明：D E ∠=∠；（II ）设AD 不是O 的直径，AD 的中点为M ，zxxk 且MB MC =，学科网证明：ABC ∆为等边三角形.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=ty t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，学科网求PA 的最大值与最小值.（24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （I ）求33b a +的最小值；（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.文科数学试题答案一、选择题（1）B （2）A （3）B （4）D （5）A （6）C （7）C （8）B （9）D （10）C （11）B （12）A 二、填空题（13）23 （14）A （15）(,8]-∞ （16）150三、解答题 （17）解：（I ）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242, 3.a a == 设数列{}n a 的公差为d ，则422,a a d -=故1,2d =从而13,2a = 所以{}n a 的通项公式为112n a n =+ ……6分 （II ）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为,n s 由（I ）知12,22n n n a n ++=则 2313412...,2222n n n n n s +++=++++341213412 (22222)n n n n n s ++++=++++ 两式相减得31213112(...)24222n n n n s +++=+++- 123112(1).4422n n n -++=+--所以142.2n n n s ++=- ……12分（18）解： （I ）（II ）质量指标值的样本平均数为x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为22222(20)0.060.26+0.38+100.22200.08s =-⨯+⨯⨯+⨯（-10）=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.……10分 （III ）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. ……12分（19）解：（I ） 连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点.因为侧面11BB C C 为菱形，所以11.B C BC ⊥又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO. 由于AB ⊂平面ABO ，故1.B C AB ⊥ ……6分（II ） 作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD.作OH AD ⊥，垂足为H. 由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥.又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.因为160CBB ∠=︒，所以1CBB ∆为等边三角形，又BC=1，可得OD =.由于1AC AB ⊥ ，所以111.22OA B C ==由OH AD OD OA ⋅=⋅，且AD =OH =又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面 A BC 的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7.（20）解：（I ）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4， 设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-，(2,2)MP x y =--，由题设知0CM MP ∙=，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=. ……6分（II ）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N .由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥. 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+.又||||OP OM ==，O 到l ，||5PM =，所以POM ∆的面积为165.……12分 （21）解： （I ）'()(1)af x a x b x=+--， 由题设知'(1)0f =，解得1b =. ……4分 （II ）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-， '1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a-=+--=--- （ⅰ）若12a ≤，则11aa≤-，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增， 所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1a f a <-，即1121a aa --<-，解得11a <<. （ii ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1ax a∈-时，'()0f x <；当(,)1a x a ∈+∞-时，'()0f x >，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a+∞-单调递增. 所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <--，而2()ln 112(1)11a a a a af a a a a a a =++>-----，所以不合题意. （iii ）若1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-.综上，a 的取值范围是(11)(1,)+∞.……12分（22）解：（I ）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠， 由已知得CBE E ∠=∠，故.D E ∠=∠……5分（II ）设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB=MC 知MN BC ⊥，故O 在直线MN 上.又AD 不是O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即.M N A D ⊥ 所以AD BC ，故.A CBA ∠=∠又CBE E ∠=∠，故.A E ∠=∠由（I ）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.……10分（23）解：（I ） 曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，，（θ为参数）直线l 的普通方程为260.x y +-= ……5分 （II ） 曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )p θθ到l 的距离为3sin 6.d θθ=+-则)6sin 30d PA a θ==+-︒，其中a 为锐角，且4tan .3α=当sin()1θα+=-时，PA当sin()1θα+=时，PA ……10分 （24）解：（I 11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==时等号成立.故33a b +≥≥a b =时等号成立.所以33a b +的最小值为 ……5分（II ）由（I ）知，23a b +≥≥由于6>，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……10分。