人教A版高中数学必修二暑期学案空间几何体的表面积新(1)
高中数学人教A版必修2教案：1.3.2空间几何体的表面积和体积(教学设计)
1.3空间几何体的表面积和体积（第二课时）【教学目标】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.4.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识【重点难点】1．会求棱台和圆台的表面积和体积．(重点)2．理解棱台和圆台的表面积和体积的求法．(难点)【教学策略与方法】讲述，练习【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：问题导入类比棱柱、棱锥，思考：棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它的展开图是什么？如何计算它的表面积？结合已有知识进行思考，引出新知识新旧知识建立联系环节二：探究过程棱台侧面展开图探究几种方法，找出公式背后的理论依据形成归纳、猜想和证明的科学思维习惯圆台的上、下底面半径分别为r，r′，母线为l，其表面积S＝__________________.根据台体的特征，如何求台体的体积？由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式．类比得出圆台的体积环节二：例题讲解例1 、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取3.14,结果精确到1毫升，可用计算器）？例3：下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想象对应的几何体，并求出它的表面积学生做题总结思考，笔记教师讲解通过做题可以加深学生对基础知识的记忆与利用.教师结合实际情况适当讲解环节三：课堂演练1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留π)2．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A．81π B．100πC．14π D．169π3.一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为( )A．23B．2C．32D．12学生自主做题，思考讨论的同时，可以加深本节知识点的记忆，加强应用方面的方法技巧，加深对知识的认识.通过演练直击本节知识点，起到巩固作用.环节四：归纳总结,知识回顾棱台的侧面展开是什么图形？圆台的侧面展示是什么图形？棱台和圆台的侧面积和体积公式学生整理反思，深化认识环节五：作业与测试练习与测试独立完成作业限时完成测试通过作业与测试巩固知识提升应用能力。
1.空间几何体的表面积与体积(通用)-人教A版必修二教案
1.空间几何体的表面积与体积（通用）-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解空间几何体的定义及分类，并掌握它们的表面积与体积公式。
2.能够运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
二、教学重点和难点1.教学重点：空间几何体的定义及分类、表面积与体积的公式。
2.教学难点：如何运用所学知识计算空间几何体的表面积与体积。
三、教学过程1. 空间几何体的定义及分类1.引入空间几何体的概念，定义几何体。
2.给出空间几何体的常见分类：点、线、面、体。
3.介绍不同空间几何体的定义和特点。
2. 空间几何体的表面积公式1.引入空间几何体的表面积概念，定义表面积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的表面积公式，并进行计算演示。
3. 空间几何体的体积公式1.引入空间几何体的体积概念，定义体积。
2.分别介绍正方体、长方体、正棱柱、正棱锥、球的体积公式，并进行计算演示。
4. 计算练习1.给出一些空间几何体的基本参数，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.教师进行现场指导和解答，强调运用公式的方法。
四、教学评估1.给出一些空间几何题目，要求学生自行计算其表面积和体积。
2.对学生的计算结果进行点评和总结，引导同学们继续加强实践和掌握。
五、教学拓展1.引导同学们了解空间几何体中的其他几何体类型，例如多面体、四面体、棱锥等，拓宽知识面。
2.提供更多计算练习，让学生运用公式娴熟地计算各种空间几何体的表面积和体积。
六、教学反思教学中应注意具体问题具体分析，让学生感受到所学知识的实际应用。
此外，在计算时也要避免公式的生搬硬套，而应注重运用创新思维。
人教版数学高一 1.3《空间几何体的表面积和体积》学案(新人教版A版必修2)
【学习目标】了解柱体、锥体、台体、球的表面积和体积的计算公式 【学习重点】计算简单几何体的表面积和体积 【学习难点】柱、锥、台体积公式之间的关系.第一课时【自主质疑】（一）阅读课本第23-243页，然后填空:1．棱柱的侧面展开图是一组 ，棱锥的侧面展开图是一组 ，梭台的侧面展开图是一组 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求矩形面积、圆面积和 、面积。
3.课本第24页例1练习：已知四棱锥底面是正方形，所有棱长为1cm ，求其表面积。
【合作探究】1.圆台的表面积计算公式:)''22rl l r r r S +++=（圆台表面积πr 1为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长2．圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
【精讲点拨】课本第25页例2练习：课本第27页练习1.2 【知识梳理】本节课学习了柱、锥、台的表面积公式及其应用。
【巩固拓展训练】课本第28页习题1.2.第二课时【课前回顾】1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是一组 、 、 。
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 。
3. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：＝＝ ，＝ ，圆台圆锥圆柱S S S【自主质疑】几何体的体积是几何体所占空间的大小，柱、锥、台、球的体积公式为：h S V ＝柱体（S 为底面积，h 为柱体高） ＝锥体V （S 为底面积，h 为锥体高）＝台体V （S ’,S 分别为上、下底面积，h 为台体高） ＝球V ＝球S 。
（其中R 为球的半径）【合作探究】1.锥体与柱体的体积之间的关系：一个棱柱可以分解为三个体积 的棱锥。
2.台体、柱体、锥体体积之间的关系：(s ’,s 分别台体上下底面面积，h 为台体高)【精讲点拨】1.课本第26页例3练习：长方体底面积为S,体积为V ，则高为 2. 课本第27页例4练习：课本第28页练习1.2. 3.一个空间几何体的正视图、侧视图、 俯视图如右图示，单位：㎝。
人教A版高中数学必修二学案空间几何体的表面积与体积新
1.3.1 空间几何体的表面积与体积一、知识导学：1、了解求多面体表面积的方法；2、理解柱、锥、台、球的表面积、体积计算公式，并能灵活运用相关公式进行计算和解决有关实际问题。
二、基础知识： 1、（1）边长为a 的正方体表面积等于__________；体积等于_________。
（2）长、宽、高分别为a 、b 、c 的长方体的表面积等于____________；体积等于________________。
一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求多面体的表面积。
例1 棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC 的表面积为________。
体积为___________.2等底、等高的圆锥、棱锥之间的体积比为____________。
（2）柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。
因此只要分别令S ’=S 和S ’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。
从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。
另外：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式也可以统一为圆台的侧面积公式。
3、球的表面积： 24SR p =； 球的体积：343V R p =。
例2 一个圆台上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，则圆台的表面积为_____________，体积为_____________.例3 已知过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=CA=2，求球的表面积和体积。
EC A B三、达标训练：1、长方体共顶点的三个面的面积分别是2cm 2，6cm 2，9cm 2，那么这个长方体的体积为（ ） A ．3cm B ．3cm C ．37cm D ．38cm2、把球大圆面积扩大到原来的2倍，那么它的体积扩大到原来的（ ） A ．2倍 B ．4倍 C ．倍 D ．8倍 3、三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的体积与其它两球体积和的比是（ ） A ．1：1 B ．2：1 C ．3：1 D ．4：14、如果夹在两个平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影为等圆， 那么它们的体积比为（ ） A．1::．1：2：3 C ::1 D ．1：2：4 5、体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是S 1、S 2、S 3， 则它们的大小关系是（ ）A ．S 1 ＜ S 2 ＜ S 3B ．S 1 ＜ S 3 ＜ S 2C ．S 2 ＜ S 3 ＜ S 1D ．S 2＜ S 1 ＜ S 3 6、半球内有一个内接正方体，则这个半球的的体积与内接正方体的体积之比为（ ） ABC D 7、长方体的12条棱的总长度为56cm ，表面积为112cm 2，那么长方体的对角线长为_______________。
人教A版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积学案(1)
例谈空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下． 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用．例1粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图1），它的两底面边长分别是mm 80和mm 400，高是mm 200，计算制造这一下料斗所需铁板是多少？分析：问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高．解：如图1所示，1O O 、是两底面中心，则1OO 是高，设1EE 是斜高，OE F E ⊥1，在直角梯形E E OO 11中，2211EF F E EE += 21121)(O E EO OO -+=)(269)280440(20022mm ≈-+=， 因为边数4=n ，两底边长269,80,440//===h a a 斜高，////)(21)(21h a a n h c c S +=+=∴正棱台侧 )(108.2269)80440(42125mm ⨯≈⨯+⨯⨯=． 答：制造这一下料斗约需铁板25108.2mm ⨯．评注：正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为//)(21h c c S +=正棱台侧，其中//h c c 为两底面周长，、是正棱台的斜高． 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、台台的表面积和体积都要依靠公式计算，其底面半径、高、母线三元素之间的互求主要依赖于两个图形：轴截面图形、侧面展开图．例2已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，其中有一个高为x 的内接圆柱．求 （1）圆柱的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？此时，圆柱的体积是多少？ 分析：注意圆柱和圆锥的联系，找出未知量和已知量的关系．解：做圆锥的轴截面，如图2所示．设所求圆柱的底面半径为r ，则其侧面积为rx S ⋅=π2圆柱侧．OF E1O 1E 图1因为HxH R r -=， x HRR r ⋅-=∴，x S π2=∴圆柱侧)(x H R R ⋅-222x HR Rx ⋅-=ππ． （2）圆柱侧S 的表达式中2x 的系数小于零，所以该二次函数有最大值，此时圆柱的高为：2222HHR R x =⋅--=ππ，底面半径为：22R H H R R r =⋅-=． H R H R x r V 22282)2(⋅=⋅==∴πππ圆柱．3、球的表面积和体积球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的充分应用．例3在球内有相距cm 1的两个平行截面，截面面积分别是2285cm cm ππ、，球心不在截面之间，求球的面积和体积．分析：可以用球的截面的性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解决．解：画出轴截面，如图3．圆O 是球的大圆，2211B A B A 、分别是两条平行于截面圆的直径，过O 作1111C B A OC 于⊥，222C B A 于交．由于2211//B A B A ，所以222B A OC ⊥．由圆的性质可得，21C C 、分别是2211B A B A 、的中点． 设两平行平面的半径分别为2121r r r r >，且、，由题意得：ππππ8,52221==r r ，8,52221==∴r r ．又21OA OA 、都是球的半径R ，522121-=-=∴R r R OC ，822222-=-=R r R OC ，--∴52R ，182=-R ，解得：92=R ．1图3RH rx图2)(3634),(3643322cm R V cm R S ππππ====∴球球．4、体积变换问题体积变换包括体积割补或等积变换，体积割补的目的是为了应用公式计算体积，等积变换的目的是为了以体积为中间媒介，计算相关元素．例4在长方体1111D C B A ABCD -中，截下一个棱锥11DD A C -，求棱锥11DD A C -的体积与剩余部分的体积之比． 分析：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方题和棱锥体积的差来求剩余部分的体积．解：已知长方题可以看成直四棱柱，设它的地底面11A ADD 的面积为S ，高为h ，则它的体积为Sh V =．而棱锥11DD A C -的底面积为S 21，高为h ，故三棱锥11DD A C -的为： Sh h S V DD A C 61)21(3111==-，余下部分体积为：Sh Sh Sh 6561=-．所以棱锥11DD A C -的体积与剩余部分的体积之比5:1．5、“切”、“接”问题“切”、“接”问题即指一个几何体切于其他几何体或其他几何体内接于这个几何体两种情形，求解这类问题的关键是借助于空间图形或轴截面图形，建立两个几何体基本量之间的联系，从而由已知量求出未知量．例5一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？解：设球未取出时高h PC =，球取出后水面高x PH =，如图5．因为r PC r AC 3,3==，所以以AB 为底面直径的圆锥容积为：32233)3(3131r r r PC AC V ⋅=⋅=⋅=πππ圆锥，334r V ⋅=π球．球取出后水面下降到EF ，水的体积为：320291)30tan (3131r PH PH PH EH V ⋅=⋅⋅=⋅=πππ水，而球圆锥水V V V -=， 即33334391r r r ⋅-⋅=⋅πππ，r x 315=∴， 故球取出后水平面的高为r 315．A BCD1A 1B 1C 1D图4 PB 图5体积计算中的常用方法例析一、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M AB =，112A N ND =，1134A P A A =（如图1），试求三棱锥1A MNP -的体积．分析：若用公式13V Sh =直接计算三棱锥1A MNP -的体积，则需要求出MNP △的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥1A MNP -的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥1P A MN -的体积，便能很容易的求出其高和底面1A MN △的面积，从而代入公式求解． 解：11131111111112313323223424A MNP P A MN A MN V V S h A M A N A P a a a a --===⨯=⨯⨯=△·······．评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．例2 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 分析：截面11EB C F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台111AEF A B C -；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．则三角形AEF 的面积为14S ． 由于1111734212AEF A B C SS V hS Sh -⎛⎫=++= ⎪⎝⎭··，则剩余不规则几何体的体积为111751212AEF A B C V V V Sh Sh Sh -'=-=-=， 所以两部分的体积之比为111:7:5AEF A B C V V -'=．评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．。
高中数学 空间几何体的表面积导学案 新人教A版必修2
高中数学人教版必修2导学案：空间几何体的表面积总课题空间几何体的表面积和体积总课时第15课时分课题空间几何体的表面积分课时第 1 课时教学目标了解柱、锥、台、球的表面积的计算公式．重点难点柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用．引入新课棱台时，才有斜高．平行六面体：．直平行六面体：．长方体：．正方体：．2．直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式：=直棱柱侧S，其中c指的是．=正棱锥侧S，其中h'指的是．=正棱台侧S．3．圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式：=圆柱侧S=．=圆台侧S=．=圆锥侧S=．例题剖析例1 设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是m85.0，底面的边长是m5.1，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（结果保留两位有效数字）．S1.5O0.85E例 2 一个直角梯形上底、下底和高之比为5:4:2．将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．例3．有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少厘米？（精确到0.1cm ）巩固练习1．已知正四棱柱的底面边长是cm 3，侧面的对角线长是cm 53，则这个正四棱柱的侧面积为 ．2．求底面边长为m 2，高为m 1的正三棱锥的全面积．3．如果用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多少？课堂小结柱、锥、台、球的表面积计算公式的运用．课后训练班级：高二（____）班 姓名：____________一 基础题1．棱长都为1的正三棱锥的全面积等于________________________．2．正方体的一条对角线长为a ，则其全面积为_________________．3．在正三棱柱C B A ABC '''-中，B B AB '=，且3=∆ABC S ，则正三棱柱的全面积为_____________________．4．一张长、宽分别为cm 8、cm 4的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱， 则此四棱柱的对角线长为___________________．5．已知四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则棱锥的侧面积为____________________．6．已知圆台的上、下底面半径为6、8，圆台的高为5，则圆台的侧面积为_______．二 提高题7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为cm 3和cm 6，高是cm 23，求三棱台的侧面积．8．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为cm 8和cm 18，侧棱长为cm 13， 求它的侧面积．三 能力题9．已知六棱锥ABCDEF P -，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是 正六边形的中心O 点，底面边长为cm 2，侧棱长为cm 3，求六棱锥ABCDEF P - 的表面积．思考：在长宽高分别是5米，4米，3米的长方体房间里，一只蚂蚁要从长方体的顶点A 沿表面爬行到顶点C 1 ，怎样爬行路线最短？最短路程是多少?B B 1 A D CD 1 C 1 A 1。
人教课标版高中数学必修2《空间几何体的表面积和体积(第1课时)》教学设计
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积（一）一、教学目标 （一）核心素养通过感受柱体、锥体、台体的表面积计算过程，学会将空间问题转化为平面 问题进行解决的数学思想方法，培养学生空间想象能力和思维能力． （二）学习目标1．通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台的表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系． （三）学习重点理解和掌握柱体、锥体、台体的表面积的构成形式，以便从度量的角度认识空间几何体（四）学习难点用联系、类比、运动变化的思想推导柱体、锥体、台体的表面积 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第23页至第25页，填空：多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积． 棱长为a 的正方体的表面积计算公式为26a ．长、宽、高分别为c b a 、、的长方体的表面积的计算公式为bc ac ab 222++． 如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？展开成平面图形，各面面积和． 圆柱的侧面积rl π2，表面积rl r S ππ222+=． 圆锥的侧面积rl π，表面积rl r S ππ+=2．圆台的侧面积l r rl 'ππ+，表面积()22''S r r r l rl =π+++（1）各面都是边长为10的等边三角形的正四面体ABC S -的表面积为_______. 【答案】3100【知识点】棱锥表面积【解题过程】∵正四面体有四个面，每个面为等边三角形，则表面积=11042⨯⨯=3100 【思路点拨】确定该棱锥有多少个面.（2）底面半径为2，母线长为2的圆锥的侧面积为________. 【答案】π4【知识点】圆锥的侧面积公式【解题过程】圆锥的侧面积公式为rl π，则该圆锥侧面积=4r l π⨯⨯=π 【思路点拨】只求圆锥的侧面积.（3）一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线长为10，则此圆台的表面积为________. 【答案】π800【知识点】圆台的表面积公式【解题过程】()()2222102010101020800''S r r r l rl ===π+++π++⨯+⨯π台【思路点拨】圆台表面积=上底面+下底面+侧面 (二)课堂设计 1．知识回顾（1）已认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）如何画简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，及通过三视图还原几何图，用斜二侧法画几何体的直观图.（3）通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 2．问题探究探究一 寻找几何体展开图与其表面积的关系 活动 互动交流、初步实践在初中，我们就学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道它们的展开图与其表面积的关系吗？多面体的表面积就是各个面的面积和，也就是展开图的面积．【设计意图】（1）复习表面积的概念；（2）介绍利用平面展开图求面积的方法，求立体图形的表面积.探究二 棱柱、棱锥、棱台表面积的求法 活动① 分组合作、讨论交流提出问题：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？分析处理：（1）以五棱柱、四棱锥、三棱台的模型，同学们分组合作，把模型展开，它们的展开图，表面积如何？（2）当学生得出结论后，教师反问：对于其他的棱柱、棱锥、棱台，结论又会如何？我们能否找到他们的共性？ 活动② 概括总结底侧棱柱的表面积S S S 2+=，底侧棱锥的表面积S S S += ，下底上底侧棱台的表面积S S S S ++=让学生明确棱柱的侧面展开图是若干个平行四边形，棱锥的侧面展开图是若干个三角形，棱台的侧面展开图是若干个梯形，这样就可以把空间几何体的表面积问题转化为平面图形的面积问题.【设计意图】这样设计教学程序，能使学生在探究过程中产生认知冲突，激发他们探究新知的欲望和必要性，通过解决特殊问题，让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，符合学生的认知结构特征，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般.通过学生对以上问题的解答，真正把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识.活动③ 巩固基础、检查反馈例1 一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm )，则这个正三棱柱的表面积为（ ）A ．1638+B ．2438+C ．1634+D ．2434+ 【知识点】棱柱 【解题过程】243834224432+=⨯⨯+⨯⨯ 【思路点拨】利用三视图还原原图，求上下底面面积及侧面积，相加即得. 【答案】2438+同类训练一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10，则其表面积为___________. 【知识点】棱柱 【解题过程】12038341024432+=⨯⨯+⨯⨯ 【思路点拨】求上下底面面积及侧面积，相加即得. 【答案】12038+例2 已知棱长为a ，各边均为等边三角形的三棱锥ABC S -，则它的 ①底面积为_______；②侧面积为_______；③表面积为_______. 【知识点】棱锥【解题过程】底面积2432321a a a =⋅⋅；侧面积243332321a a a =⋅⋅⋅；表面积222343343a a a =+【思路点拨】直接应用公式解答 【答案】243a ；2433a ；23a 同类训练 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为cm 1，cm 2，cm 3，则此棱锥的表面积为_____. 【知识点】棱锥【解题过程】侧面积211312132212121=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯；底面积：65654135210-135cos =⋅+=θ； 6565765161cos 1sin 2=-=-=∴θθ 276565713521=⨯⨯⨯=∴S表面积:921127=+【思路点拨】直接应用公式解答 【答案】9例3六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是cm 8和cm 18，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为cm 13，求它的表面积. 【知识点】棱台【解题过程】依题意，易知52818=-=a ，1251322=-=h . 则()29361228186cm S =⨯+⨯=侧面积， ()()20396660sin 8821cm S =⨯⨯⨯⨯=上底， ()()203486660sin 181821cm S =⨯⨯⨯⨯=下底.所以，表面积为()235829363486396936cm+=++，【思路点拨】直接应用公式解答【答案】()23582936cm+同类训练已知正三棱台的上、下底面边长分别为cm3和cm6，高为cm23，求此正三棱台的表面积.【知识点】棱台【解题过程】侧面的高()cmh32332322=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=，()()2224399643343363213cmSSS=⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+=底侧表则，【思路点拨】直接应用公式解答【答案】()24399cm【设计意图】巩固检查学生对柱体、椎体、台体表面积计算方法的掌握．探究三圆柱、圆锥、圆台的表面积公式活动①互动交流、初步实践圆柱、圆锥、圆台是如何形成的？它们的展开图如何？通过几何画板演示旋转体的形成过程，大家猜想一下他们的侧面展开图如何？充分认识圆锥、圆柱、圆台的侧面展开图为矩形、扇环.若知道了圆柱、圆锥的底面圆半径r ，母线长l ，圆台的上、下底面半径分别是r '，r ，母线长为l ，你能计算出它们的表面积吗？推到出公式：圆柱的表面积)(2222l r r rl r S +=+=πππ， 圆锥的表面积)(2l r r rl r S +=+=πππ， 圆台的表面积)(22l r rl r r S '++'+=π。
人教A版高中数学必修二空间几何体的表面积与体积教案
关实际问题.教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式的由来.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？二、讲授新课：1. 教学表面积计算公式的推导：① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和） ② 练习：求各面都是边长为10的等边三角形的正四面体S-ABC 的表面积.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高（母线），S 圆柱侧=2rl π，S 圆柱表=2()r r l π+，其中为r 圆柱底面半径，l 为母线长。
圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为0360rlθ=⨯，S 圆锥侧=rl π， S 圆锥表=()r r l π+，其中为r 圆锥底面半径，l 为母线长。
圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为0360R r lθ-=⨯，S 圆台侧=()r R l π+，S 圆台表=22()r rl Rl R π+++.④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积. （变式：求切割之前的圆锥的表面积）2. 教学表面积公式的实际应用：① 出示例：一圆台形花盆，盘口直径20cm ，盘底直径15cm ，底部渗水圆孔直径1.5cm ，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？ 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？列式 → 计算 → 变式训练：内外涂② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm 、440mm ，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.3. 小结：表面积公式及推导；实际应用问题三、巩固练习：1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD ，求其表面积.2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. （变式：r 、R ；比为p:q ）3. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，求这个圆锥的表面积.*4. 圆锥的底面半径为2cm ，高为4cm ，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.5. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？6. 作业：P30 2、P32 习题1、2题.和解决有关实际问题.教学重点：运用公式解决问题.教学难点：理解计算公式之间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？二、讲授新课：1. 教学柱锥台的体积计算公式：① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(g èng ，祖冲之的儿子)原理，教材P34） ② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？→给出柱体体积计算公式：V Sh =柱 （S 为底面面积，h 为柱体的高）→2V Sh r h π==圆柱③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？ ④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？→给出锥体的体积计算公式：13V Sh =锥 S 为底面面积，h 为高） ⑤ 讨论：台体的上底面积S ’，下底面积S ，高h ，由此如何计算切割前的锥体的高？ → 如何计算台体的体积？⑥ 给出台体的体积公式：'1()3V S S h =台 （S ，'S 分别上、下底面积，h 为高）→ '2211()()33V S S h r rR R h π==++圆台 （r 、R 分别为圆台上底、下底半径） ⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。
人教版高中数学必修二学案：1.3空间几何体的表面积与体积
1.3 空间几何体的表面积与体积1． 3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积预习课本P23～ 27，思虑并达成以下问题1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面睁开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有如何的关系？[ 新知初探 ]1．柱体、锥体、台体的表面积公式图形表面积公式多面体的表面积就是各个面的面积多面体的和，也就是睁开图的面积旋底面积：S 底＝πr2圆柱转侧面积：S 侧＝ 2πrl体表面积： S ＝ 2πrl ＋ 2πr 2底面积： S 底 ＝ πr 2圆锥侧面积： S 侧 ＝ πrl 表面积： S ＝ πrl ＋ πr 22上底面面积： S 上底 ＝ πr ′ 下底面面积： S 下底 ＝ πr 2圆台侧面积： S 侧 ＝ πl(r ＋ r ′)22表面积： S ＝ π(r ′＋r ＋ r ′l ＋ rl )2．柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式 V ＝ Sh( S 为底面面积， h 为高 )；1锥体的体积公式 V ＝3Sh(S 为底面面积， h 为高 )；1台体的体积公式 V ＝3(S ′＋ S ′S ＋ S)h.[点睛 ] (1) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：[ 小试身手 ]1．判断以下命题能否正确．(正确的打 “√”，错误的打 “×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积( )(2)台体的体积可转变为两个锥体的体积之差 ()答案： (1) × (2) √2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的表面积是 ()A. 3＋ 3 2B. 3 24 a4 aC. 3＋ 3 2D. 6＋ 3 22 a4a分析：选A∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于2 a ，∴ S 表 ＝3 212 4a ＋ 3×222＝ 3＋ 32× 2 a4 a .3．若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则圆锥的体积是 ________．分析：由已知圆锥的高h＝ 4，12所以 V 圆锥＝3π×34＝ 12π.答案： 12π柱、锥、台的表面积[典例 ]现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积．[解 ]如图，设底面对角线AC＝a， BD ＝ b，交点为 O，对角线A1C＝ 15， B1D ＝ 9，∴a2＋52＝ 152， b2＋ 52＝ 92，∴a2＝ 200， b2＝ 56.∵该直四棱柱的底面是菱形，2AC 2BD 2a2＋ b2200＋ 56∴AB ＝＋＝＝＝ 64，∴ AB＝ 8.2244∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝ 160.(1)求几何体的表面积问题，往常将所给几何体分红基本几何体，再经过这些基本几何体的表面积进行乞降或作差，从而获取几何体的表面积，此外有时也会用到将几何体睁开求其睁开图的面积从而得表面积．(2)联合三视图考察几何体的表面积是高考的热门，解决此类问题的重点是正确地察看三视图，把它复原为直观图，特别要注意从三视图中获取几何体的有关量，再联合表面积公式求解．[ 活学活用 ]1． (陕西高考 )一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为()A ． 3πB ． 4πC． 2π＋ 4 D ．3π＋ 4分析：选D由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图以下图．12表面积为2×2＋ 2×2×π×1＋π× 1×2＝4＋ 3π.2．圆台的上、下底面半径和高的比为 1 ∶ 4 ∶ 4 ，若母线长为10，则圆台的表面积为()A ． 81πB ． 100 πC． 168 π D ．169 π分析：选 C 先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解．圆台的轴截面以下图，设上底面半径为r ，下底面半径为R，则它的母线长为l＝h2＋R－ r2＝r2＋r2＝5r＝10，所以r＝2， R＝ 8.故 S 侧＝π(R＋ r)l ＝π(8＋2) ×10＝ 100π，S 表＝ S 侧＋πr2＋πR2＝ 100π＋ 4π＋ 64π＝ 168π.[典例 ]柱体、锥体、台体的体积一空间几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为()A ． 2π＋ 2 3B ． 4π＋ 232323C． 2π＋3 D ．4π＋3[分析 ]该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥构成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为 2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为1223，所以该几何体的体3×(2)× 3＝3积为 2π＋233.[答案 ]C空间几何体体积问题的常有种类及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求以三视图为背景的几何体的体积．应先依据三视图获取几何体的直观图，而后依据条件求解．[ 活学活用 ]1．已知某圆台的上、下底面面积分别是π， 4π，侧面积是 6π，则这个圆台的体积是________．分析：设圆台的上、下底面半径分别为r 和 R ，母线长为 l ，高为 h ，则 S 上＝ πr 2＝ π，S 下21 2 2 ＝ πR ＝ 4π，∴ r ＝ 1 ， R ＝ 2 ， S 侧 ＝ π(r ＋ R)l ＝ 6π，∴ l ＝ 2 ，∴ h ＝ 3，∴ V ＝ 3 π(1＋ 2 ＋1×2) × 3＝ 7 33π.答案：733 π2.若某几何体的三视图以下图，则此几何体的体积等于________．分析：依据三视图，可知题中的几何体是由一个三棱柱削去一个三棱锥获取的，体积1 1 1V ＝ ×3×4×5－ × ×4×3×3＝ 24.23 2答案： 24几何体体积的求法题点一：等积变换法1.以下图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， E 为线段 B 1C 上的一点，则三棱锥 A-DED 1 的体积为 ________．1 1 1 .分析： V 三棱锥 A-DED 1＝ V 三棱锥 E-DD 1A ＝ × ×1×1×1＝3 26答案：162.以下图，三棱锥的极点为P ，PA ， PB ，PC 为三条侧棱，且 PA ，PB ， PC 两两相互垂直，又 PA ＝ 2，PB ＝3， PC ＝ 4，求三棱锥 P-ABC 的体积 V.1解：三棱锥的体积V ＝ 3Sh ，此中 S 为底面积， h 为高，而三棱锥的随意一个面都能够作为底面，所以本题可把B 看作极点，△ PAC 作为底面求解． 1 1 1故 V ＝S△PAC ·PB ＝ × ×2×4×3＝ 4.332题点二：切割法3.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 4 的正方形， EF ∥ AB ， EF ＝ 2，EF 上随意一点到平面 ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积．解：如图，连结 EB ， EC.四棱锥 E-ABCD 的体积V 四棱锥E-ABCD＝1×42×3＝ 16.3∵AB ＝ 2EF ，EF∥AB ，∴ S△EAB＝ 2S△BEF.∴ V 三棱锥F-EBC＝V1111三棱锥C-EFB ＝V三棱锥 C-ABE＝V三棱锥 E-ABC＝× V 四棱锥E-ABCD＝ 4.2222∴多面体的体积V＝ V 四棱锥E-ABCD＋ V 三棱锥F-EBC＝ 16＋ 4＝ 20.题点三：补形法4．如图，一个底面半径为 2 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为 2 和 3，求该几何体的体积．解：用一个完整同样的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱2的体积为π×25＝20π，故所求几何体的体积为10π.5．已知四周体ABCD 中， AB＝ CD＝13， BC＝AD ＝ 25， BD ＝ AC＝ 5，求四周体ABCD 的体积．解：以四周体的各棱为对角线复原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x， y， z，则{ x2＋y2＝13，y2＋z2＝20，x2＋z2＝25，∴{ x＝3，y＝2，z＝4.11∵VD-ABE＝DE·S△ABE＝ V 长方体，361同理， V C-ABF＝ V D-ACG＝ V D -BCH＝6V 长方体，1 1∴V 四周体ABCD＝ V 长方体－4×6V 长方体＝3V 长方体．而 V 长方体＝ 2×3×4＝ 24，∴ V 四周体ABCD＝ 8.(1)三棱锥又称为四周体，它的每一个面都可看作底面来办理，这一方法叫作体积转移法(或称等积法 )．(2)当所给几何体形状不规则时，没法直接利用体积公式求解，这时可经过切割或补形，将原几何体切割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．层级一学业水平达标1．已知某长方体同一极点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为()A ．22B ．20C ． 10D ．11分析：选 A所求长方体的表面积S ＝2×(1 ×2)＋ 2×(1 ×3)＋ 2×(2 ×3)＝ 22.2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 ()A ．1∶2B ．1∶ 3C ．1∶ 5D. 3∶2分析：选 C设圆锥底面半径为r ，则高 h ＝2r ，∴其母线长 l ＝ 5r.∴S 侧 ＝ πrl ＝ 5πr 2， S底＝ πr 2，S 底∶ S 侧＝ 1∶ 5.3.如图是一个几何体的三视图，此中正视图是腰长为2 的等腰三角 形，俯视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的体积是 ()4 3 3 A.3 πB. 6 π13 C.2πD. 3 π1 1分析：选 B 由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为 × 2 323×π×1 3＝ 6 π.4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为 ()A ． 7B ． 6C ． 5D ．3分析：选 A设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r .由 S 侧 ＝ 3π(r ＋ 3r )＝84π，解得 r ＝ 7.5.如图， ABC -A ′B ′C ′是体积为 1 的棱柱，则四棱锥 C-AA ′B ′B 的体 积是 ()1 1 A. 3B. 223 C.3D.4分析：选 C∵ V′′′＝1′′′＝1，∴ V′′＝ 1－1＝ 2C-A BC3V ABC-A B C3 C-AA B B 3 3.6．棱长都是 3 的三棱锥的表面积S 为 ________．分析：由于三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以 32＝9 3.S ＝ 4××34答案：9 37．若圆锥的侧面睁开图为一个半径为2 的半圆，则圆锥的体积是________．分析：易知圆锥的母线长l＝ 2，设圆锥的底面半径为r，则 2πr＝1× 2π×2，∴ r＝ 1，∴圆2锥的高 h＝22＝3，则圆锥的体积123π.l－ r V＝πr h＝33答案：3 3 π8．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3 3，则 a＝ ________.分析：由三视图，可知几何体为一个放倒的直三棱柱，则该几何体的体积V＝3×12×2×a＝3 3，所以 a＝ 3.答案： 39．如图，在四边形ABCD 中，∠ DAB ＝ 90°，∠ ADC ＝ 135 °， AB ＝5， CD＝ 22， AD＝2，若四边形ABCD 绕 AD 旋转一周成为几何体．(1)画出该几何体的三视图；(2)求出该几何体的表面积．解： (1) 以下图．(2)过 C 作 CE 垂直 AD 延伸线于 E 点，作CF垂直 AB于F点．由已知得： DE＝2， CE＝ 2，∴CF ＝ 4， BF＝5－ 2＝ 3.∴BC＝ CF2＋ BF2＝ 5.∴下底圆面积S1＝ 25π，台体侧面积S2＝π×＋(2 5) ×5＝ 35π，锥体侧面积 S 3＝ π× 2×2＝ 4 2π，故表面积 S ＝S 1 ＋S 2＋ S 3＝ (60＋ 4 2) π.10.如图，已知正三棱锥S-ABC 的侧面积是底面积的 2 倍，正三棱锥的高 SO ＝ 3，求此正三棱锥的表面积．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为 h ′，过点 O 作 OE⊥ AB ，与 AB 交于点 E ，连结 SE ，则 SE ⊥ AB ， SE ＝ h ′.∵ S 侧＝2S 底，∴1·3a ·h ′＝ 3 a 2×2.2 4 ∴ a ＝ 3h ′.∵ SO ⊥ OE ，∴ SO 2＋OE 2＝ SE 2.23 2 2∴ 3＋6 ×3h ′ ＝ h ′.∴ h ′＝ 2 3，∴ a ＝ 3h ′＝ 6.∴ S ＝3 23 ×6 2＝2S ＝18 3.底 4 a ＝4 ＝9 3，S侧底∴S 表＝S 侧＋S 底＝18 3＋9 3＝27 3.层级二 应试能力达标1．正方体的表面积为 96，则正方体的体积为()A ．48 6B ．64C ． 16D ．96分析：选 B 设正方体的棱长为a ，则 6a 2＝ 96，∴ a ＝ 4，故 V ＝ a 3＝ 43＝64.2.已知高为3 的棱柱 ABC -A 1B 1C 1 的底面是边长为 1 的正三角形，如图，则三棱锥 B-AB 1C 的体积为 ()11A. 4B. 23 3 C. 6D. 4分析：选 D11 × 3 ×3＝ 3VB-AB 1C ＝VB 1-ABC ＝ S △ ABC ×h ＝4 4.333．圆柱的一个底面积是 S ，侧面睁开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A ． 4πSB ． 2πS23C ． πSD. 3 πS分析：选 A底面半径是S，所以正方形的边长是 2πS＝2 πS ，故圆柱的侧面积是ππ(2 πS)2＝ 4πS.4.一个几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为()A.53B.43 33C.53D.36分析：选 A由三视图可知，该几何体是正三棱柱的一部分，以下图，其中底面三角形的边长为2，故所求的体积为32132534×2 ×2－3×4×2 ×1＝3 .5．已知一个长方体的三个面的面积分别是2， 3 ，6 ，则这个长方体的体积为 ________．解析：设长方体从一点出发的三条棱长分别为 a ， b ， c ，则{ ab＝2，ac＝3，bc＝6，三式相乘得 (abc)2＝ 6，故长方体的体积V＝abc＝ 6.答案：66．用一张正方形的纸把一个棱长为 1 的正方体礼物盒完整包住，不将纸扯开，则所需纸的最小面积是 ________．分析：如图①为棱长为1 的正方体礼物盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为22，其面积为 8.答案： 87．以下图，已知某几何体的三视图以下( 单位： cm)．(1)画出这个几何体(不要求写画法 )；(2)求这个几何体的表面积及体积．解： (1) 这个几何体以下图．(2)这个几何体可当作是正方体AC1及直三棱柱B1 C1Q-A1D1P 的组合体．由 PA1＝ PD 1＝ 2， A1D1＝ AD ＝ 2，可得 PA1⊥ PD 1.故所求几何体的表面积2＋1×(2)2＝(22＋42)cm2，S＝ 5×22×2× 2＋ 2×2所求几何体的体积V＝23＋1×(2)2×2＝ 10(cm 3)．28．一个圆锥的底面半径为 2 cm，高为 6 cm，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)求圆锥的侧面积．(2)当 x 为什么值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．解： (1) 圆锥的母线长为62＋22＝210(cm) ，∴圆锥的侧面积 S1＝π× 2×210＝42 10 π(cm)．(2)画出圆锥的轴截面以下图：设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知r ＝ 6－ x，26∴ r ＝6－ x2π26x)＝－2π2－ 9]，，∴圆柱的侧面积 S2＝ 2πrx＝(－ x ＋[(x－ 3)333∴当 x＝ 3 时，圆柱的侧面积获得最大值，且最大值为2 6π cm.1． 3.2球的体积和表面积预习课本P27～ 28，思虑并达成以下问题1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式是什么？[ 新知初探 ]1．球的表面积设球的半径为 R，则球的表面积 S＝ 4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的 4 倍．2．球的体积设球的半径为 R ，则球的体积V ＝ 4πR 3.3[ 小试身手 ]1．判断以下命题能否正确． (正确的打 “√”，错误的打 “×”) (1)两个球的半径之比为1∶ 3，则其表面积之比为 1∶ 9()(2)经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径( )答案： (1) √ (2) √2．若球的过球心的圆面圆周长是C ，则这个球的表面积是()C 2C 2 C 2 2A. 4πB. 2πC. πD ． 2πC2分析：选 C由 2πR ＝ C ，得 R ＝ C，∴ S 球面 ＝ 4πR 2＝ C2ππ.3．若一个球的直径是 10 cm ，则它的体积为 ________ cm 3.分析：由题意知其半径为R ＝10＝ 5(cm) ，故其体积为 V ＝43＝4 3＝5003πR×π×5π (c m2333)．答案：5003 π球的体积与表面积[典例 ](1) 球的体积是 32 π)3 ，则此球的表面积是 (A ． 12πB ． 16π16π 64π C. 3D. 3(2)一个空间几何体的三视图以下图，此中正视图和侧视图都是半径为1 的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．[分析 ](1) 设球的半径为 R ，则由已知得4πR 3＝32 π 3，解得 R ＝2.3故球的表面积 S 表 ＝ 4πR 2＝ 16π.(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．由于R ＝ 1，所以 S ＝ 3212＋ 2×＝ 4π.4× 4×π×1 2×π×1[答案 ] (1)B (2)4 π求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，一定知道半径R 或许经过条件能求出半径 R ，而后辈入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最重点因素，掌握住了这两点，计算球的表面积或体积的有关题目也就十拿九稳了．(3) 由三视图计算球或球与其余几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是复原组合体，并弄清组合体的构造特点和三视图中数据的含义．依据球与球的组合体的构造特点及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径同样的圆．[活学活用 ]某几何体的三视图以下图，则其表面积为________．分析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1 的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即 12 2＋ π×1＝ 3π.2× 4π×1答案： 3π球的截面问题[典例 ] 如图，有一个水平搁置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内灌水，当球面恰巧接触水面时测得水 深为 6 cm ，若不计容器厚度，则球的体积为( )500 πcm 3B. 866 π3A. 33 cmC. 1 372 π 3D. 2 048 π 3 3 cm3 cm1 1[分析 ] 如图，作出球的一个截面，则 MC ＝ 8－6＝ 2(cm) ， BM ＝ 2AB ＝ 2×8＝ 4(cm) ．设球的半径为 R cm ，则 R 2＝OM 2＋ MB 2＝ (R － 2)2＋ 42 ，∴ R ＝ 5.∴ V 球＝43＝50033π×53π (cm)．[答案 ]A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转变为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离 d 构成的直角三角形，即 R2＝ d2＋ r2.[ 活学活用 ]一平面截一球获取直径为 2 5 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是 ()33A ． 12π cmB ． 36π cmC． 6433 6π cm D ．108 π cm分析：选 B设球心为 O，截面圆心为O1，连结 OO1，则 OO 1垂直于截面圆 O1，以下图．在 Rt△OO1A 中， O1A＝ 5 cm，OO 1＝ 2 cm，∴球的半径 R＝ OA＝22＋52＝ 3(cm)，∴球的体积 V＝433＝ 36π(cm3×π×3)．与球有关的组合问题题点一：球的外切正方体问题1．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为() 4π2πA. 3B. 33ππC. 2D.6分析：选 A 由题意知，此球是正方体的内切球，依据其几何特点知，此球的直径与正434π方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是3×π×1＝3 .题点二：球的内接长方体问题2．一个长方体的各个极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．分析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R ＝ 12＋ 22＋ 32＝ 14，所以球的表面积 S ＝ 4πR 2＝ 14π.答案： 14π题点三：球的内接正四周体问题3．若棱长为 a 的正四周体的各个极点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积． 解：把正四周体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝ 2x ，由题意 2R ＝ 3x ＝3× 2a ＝ 622 a ， ∴ S 球 ＝4πR 2＝ 6a π＝3a π.4 2题点四：球的内接圆锥问题4．球的一个内接圆锥知足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．分析：以下图，设球半径为r ，则球心到该圆锥底面的距离是r，于22r23r3r是圆锥的底面半径为r － 2 ＝ 2，高为 2 .该圆锥的体积为13r 2 3r 3 34 3，∴该圆锥的体3×π×× ＝ πr ，球体积为πr22833πr 39积和此球体积的比值为8＝43 32.πr3答案： 932题点五：球的内接直棱柱问题5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a ，极点都在一个球面上，则该球的表面积为 ()272A ． πa B. 3πa11 22C. 3 πaD ．5πa分析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为2 3 3 1a.如图， P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝3×2 a ＝ 3 a ， OP ＝ 2a ，23 2 1 2 7 2 27 2 所以球的半径R ＝OA 知足 R ＝ 3a＋ 2a＝ 12a，故 S 球 ＝ 4πR ＝ 3πa .(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r 1＝ a ，过在一个2平面上的四个切点作截面如图(1) ．(2)长方体的外接球长方体的八个极点都在球面上，称球为长方体的外接球，依据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一极点的三条棱长为 a ， b ， c ，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r 2＝1a 2＋b 2＋c 2，如图 (2)．2(3)正四周体的外接球正四周体的棱长a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a.层级一 学业水平达标1．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 ()8π 32π A. 3B. 3C ． 8π8 2πD. 3分析：选 C 设球的半径为 R ，则截面圆的半径为R 2－ 1，∴截面圆的面积为S ＝(R 2－ 1 ) 2＝ (R 2－ 1) π＝ π，∴ R 2＝ 2，∴球的表面积 S ＝4πR 2＝ 8π.π2．已知各极点都在一个球面上的正四棱锥的高为 3，体积为6，则这个球的表面积为()A ． 16πB ． 20πC ． 24πD ．32π分析：选 A设正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，由1226.由题V ＝ a h ＝ a ＝6，得 a ＝3意，知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为 r ，则 (3 －r )2＋ ( 3)2 ＝r 2，解得 r ＝ 2，则 S 球 ＝4πr 2＝ 16π故.选 A.3．某几何体的三视图以下图，它的体积为 ( )A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ．24π分析：选 C由三视图可知几何体由一个半球和倒立的圆锥构成的组合体． 1 21 4 3＝ 30 π.V ＝π×34＋ × π×332 34．等体积的球和正方体的表面积 S 球与 S 正方体 的大小关系是 ()A ．S 正方体 >S 球B ．S 正方体 <S 球C ．S 正方体 ＝S 球D ．没法确立分析：选A 设正方体的棱长为a ，球的半径为 R ，由题意，得V ＝ 4πR 3＝ a 3，∴ a ＝33V ， R ＝3 3V，∴ S 正方体 ＝ 6a 2＝ 6 3V 2＝ 3216V 2， S 球＝ 4πR 2＝ 336πV2< 3216V 2.4π5．球的表面积 S 1 与它的内接正方体的表面积S 2 的比值是 ()π πA. 3B. 4πC.2D ． π分析：选 C 设球的内接正方体的棱长为a ，球的半径为 R ，则 3a 2＝ 4R 2 ，所以 a 2＝4R 2，3224 2 2S 1 π球的表面积 S 1＝ 4πR，正方体的表面积 S 2＝ 6a ＝ 6× R＝ 8R ，所以S 2＝ .326．已知正方体的棱长为 2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是 ________．分析：过正方体的对角面作截面如图．故球的半径 r ＝2，2∴其表面积 S ＝4π×(2) ＝ 8π.7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a ，则球的表面积为 ________．分析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形 ) 的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，所以有 2r a ，所以 S 1＝ 4πr 221＝ a ， r 1＝1＝ πa .2答案：πa28．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球淹没于容器的水中，若拿出这个铁球，测得容器的水面降落了52 3cm，则这个铁球的表面积为________ cm .分析：设该铁球的半径为r，则由题意得432533πr＝π× 10，解得 r ＝ 5，∴ r ＝ 5，∴这个铁3×322球的表面积 S＝ 4π×5＝ 100π(cm)．答案： 100π9．若三个球的表面积之比为1∶4∶ 9，求这三个球的体积之比．解：设三个球的半径分别为R1， R2， R3，∵三个球的表面积之比为1∶ 4∶9，∴4πR21∶ 4πR22∶ 4πR23＝ 1∶ 4∶ 9，即 R21∶ R22∶ R23＝1∶ 4∶ 9，∴R1∶R2∶ R3＝ 1∶ 2∶ 3，得 R31∶ R32∶R33＝ 1∶ 8∶27，∴V1∶V2∶ V3＝43πR31∶43πR32∶43πR33＝ R31∶R32∶ R33＝ 1∶8∶ 27.10．某组合体的直观图以下图，它的中间为圆柱形，左右两头均为半球形，若图中r ＝ 1， l＝ 3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积2243＋πr2432 S＝ 4πr＋ 2πrl ＝ 4π×1＋ 2π× 1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr l ＝π×1＋π×13＝3313π3.层级二应试能力达标1．在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰巧与棱锥的四个面都接触，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()分析：选B正三棱锥的内切球球心在高线上，与侧面有公共点，与棱无公共点．应选B.2．一平面截一球获取直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4 cm，则该球的体积是()A.100 πcm3 B. 208π333cm500 π341613π3C.3cmD.3cm分析：选 C依据球的截面的性质，得球的半径R＝32＋42＝ 5(cm) ，所以 V球＝43＝3πR500 π33 (cm )．3．一个几何体的三视图以下图，则此几何体的表面积S＝()A ． 32＋πB ． 32＋ 2πC． 28＋ 2π D ．28＋π分析：选A由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积1S＝ 4π×＋ 4×2×3＋2×2＋ 2×2－π＝ 32＋π.24.(新课标全国卷Ⅰ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )构成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图以下图．若该几何体的表面积为16＋ 20π，则r ＝ ()A ． 1B ． 2C． 4 D ．8分析：选 B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆柱的底面半径为r，高为 2r，则表面积S＝12＋πr2＋ 4r2＋πr·2r＝ (5 π＋ 4)r2 2× 4rπ.又 S＝ 16＋ 20π，∴(5 π＋ 4)r2＝ 16＋20π，∴r2＝ 4， r＝ 2，应选 B.5.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，假如该组合体的正视图、侧视图、俯视图均以下图，且图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该球的表面积是________．分析：依题意得，该几何体是球的一个内接正方体，且该正方体的棱长为 2.设该球的直径为2R，则2R＝22＋ 22＋ 22＝ 23，所以该几何体的表面积为4πR2＝ 4π(3)2＝ 12π.答案： 12π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是32π，3那么这个三棱柱的体积是________．分析：设球的半径为r ，则43 ＝322r ＝ 4.又正三棱柱的底面三3πr3 π，得 r ＝ 2，柱体的高为角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4 3，所以正三棱柱的体积32V ＝ 4 ×(4 3) ×4＝ 48 3.答案： 48 37．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm ，求球的体积．解：如右图所示，作出轴截面，O 是球心，与边 BC ， AC 相切于点D ，E.连结 AD ， OE ，∵△ ABC 是正三角形，∴ CD ＝1AC.2∵ Rt △AOE ∽ Rt △ ACD ，OE CD∴AO＝AC.∵ CD ＝1 cm ，∴ AC ＝ 2 cm ， AD ＝ 3 cm ，设 OE ＝ r ，则 AO ＝ ( 3－ r)，∴r＝ 1，∴ r ＝33－ r23 cm ，球43 3＝4 33 Vπ3 π (c m＝327 )，即球的体积等于4 3 327 π cm.8．在半径为 15 的球 O 内有一个底面边长为 12 3的内接正三棱锥 A-BCD ，求此正三棱锥的体积．解：①如图甲所示的情况，明显OA ＝ OB ＝OC ＝ OD ＝ 15.设 H 为△ BCD 的中心，则 A ，O ，H 三点在同一条直线上．2 3∵ HB ＝HC ＝ HD ＝ 3×2 ×12 3＝ 12， ∴ OH ＝ OB 2－ HB 2＝ 9，∴正三棱锥A-BCD 的高 h＝ 9＋ 15＝24.32又 S△BCD＝4×(12 3) ＝ 108 3，1∴V 三棱锥A-BCD＝3×108 3×24＝ 864 3.②关于图乙所示的情况，同理，可得正三棱锥A-BCD 的高h′＝ 15－ 9＝ 6 ， S△BCD＝108 3，1∴V 三棱锥A-BCD＝3×108 3×6＝ 216 3.综上，可知三棱锥的体积为864 3或 216 3.(时间 120 分钟满分150分)一、选择题 (本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 )1．以下说法中正确的选项是()A．棱柱的侧面能够是三角形分析：选B棱柱的侧面一定是平行四边形，侧棱长相等，但底面只要为多边形，且边长也不需要与侧棱长相等，故 A 、D 不正确；球的表面不可以为平面图形，故 C 不正确．2．以下图的组合体，其构成形式是()A．左侧是三棱台，右侧是圆柱B．左侧是三棱柱，右侧是圆柱C．左侧是三棱台，右侧是长方体D．左侧是三棱柱，右侧是长方体分析：选D依据三棱柱和长方体的构造特点，可知此组合体左侧是三棱柱，右侧是长方体．3.如图是长和宽分别相等的两个矩形．给定以下三个命题：①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正视图、俯视图如图．此中正确命题的个数是()A ． 3B ． 2C． 1 D ．0分析：选 A底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面搁置在水平面上时，它的正视图和俯视图能够是全等的矩形，所以①正确；若长方体的高和宽相等，则存在知足题意的正视图和俯视图，所以②正确；当圆柱侧放，即侧视图为圆时，它的正视图和俯视图能够是全等的矩形，所以③正确．应选 A.4．已知圆锥的表面积是其底面面积的 3 倍，则该圆锥的侧面睁开图的圆心角为() A．120°B．150°C． 180 ° D ．240 °分析：选 C设圆锥的底面半径为R，母线长为 L .由题意，πR2＋πRL＝ 3πR2，∴ L＝ 2R，圆锥的底面圆周长l ＝ 2πR.睁开成扇形后，设扇形圆心角为n ，则扇形的弧长l ＝nπL＝180 °nπ×2R2nπR180°.，∴ 2πR＝，∴ n＝ 180°，即睁开后扇形的圆心角为180 °180 °5.某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中能够作为该几何体的俯视图的是()A ．①③B ．①③④C．①②③ D ．①②③④分析：选A若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延伸线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不同样，故图④不合要求，①③都是能切合要求的几何体，应选 A.6.(福建高考 )某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积等于()A．8＋22B．11＋22C．14＋22D ． 15分析：选 B由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面积为 2×(4＋ 2)＝ 8＋ 2 2，两底面的面积和为1×1×(1＋ 2)＝3，所以该2×2几何体的表面积为 8＋ 2 2＋ 3＝ 11＋ 2 2.7.一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如右图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为( )1 1 A. 8B. 71 1 C.6D.5分析：选 D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角 ”后节余的部分，以下图，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为1 1 1V 1＝ × ×1×1×1＝ ，3 2631 5 节余部分的体积V 2＝1 － 6＝ 6.1V 161所以＝＝，应选D.6π 8． (山东高考 )在梯形 ABCD 中，∠ ABC ＝ ， AD ∥ BC ， BC ＝ 2AD ＝ 2AB ＝2.将梯形 ABCD2绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()2π 4π A. 3B. 35πC. 3D ．2π分析：选 C过点 C 作 CE 垂直 AD 所在直线于点 E ，梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段 AB 的长为底面圆半径，线段 BC 为母线的圆柱挖去以线段 CE 的长为底面圆半径， ED 为高的圆锥，以下图，该几何体的体积为21 2 212V ＝ V 圆柱 － V 圆锥 ＝ π·AB ·BC －·π·CE ·DE ＝π×12－ π×1＝335π，应选 C.3二、填空题 (本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．请把正确答案填在题中的横线上 )9．某几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为 ________．分析：由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一构成的，所以该几何体的体积 V ＝ 1V 圆柱1 V 球 1 21 4 3＝ 4π.2 ＋＝ ×π×12＋ × π×13424 3答案： 43π10．已知底面边长为 1，侧棱长为2的正四棱柱的各极点均在同一个球面上，则该球的体积为 ________，表面积为 ________．分析：由于该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径r ＝ 122 2 2 2＝ 1，所以 V 球＝4π 34π 21 ＋ 1 ＋3×1 ＝，S 球 ＝ 4π×1＝ 4π.34答案： 3π 4π11．一个几何体的三视图如图，此中正视图和侧视图是同样的等腰三角形，俯视图由半圆和一等腰三角形构成．则这个几何体能够当作是由________和 ________ 构成的，若它的体积是 π＋2，则a ＝________.6分析：由三视图可知该几何体能够当作是由一个三棱锥和半个圆锥构成的．半圆锥的底面半径为 1，高为 a ，三棱锥的底面是以2为直角边长的等腰直角三角形，高为a ，所以该几1 1 1 π＋ 2何体的体积为3×2π＋ 2× 2× 2 a ＝6 ，解得 a ＝ 1.。
1.3.1空间几何体的表面积(2014年人教A版数学必修二导学案)
8．已知六棱锥 P ABCDEF ，其中底面 ABCDEF 是正六边形，点 P 在底面的投 影 是 正 六 边 形 的 中 心 O 点 ， 底 面 边 长 为 2cm ， 侧 棱 长 为 3cm ， 求 六 棱 锥 P ABCDEF 的表面积．
/ /
【课堂研讨】
例 1、设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是 0.85 m ，底面的边长是 1.5m ，制造这种 塔顶需要多少平方米铁板？（结果保留两位有效数字） ．
S 0.85
O 1.5
E
例 2、一个直角梯形上底、下底和高之比为 2 : 4 : 5 ．将此直角梯形以垂直于底的腰 为轴旋转一周形成一个圆台，求这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比．
姓名：
学号：
第
学习小组
3．如果用半径为 r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是多少？
4、一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3cm 和 6cm ，高是 面积．
3 cm ，求三棱台的侧 2
/ /
备课大师：免费备课第一站！
S直棱柱侧 S正棱锥侧 S正棱台侧
，其中 c 指的是 ，其中 h 指的是
．
．
．
3．圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式：
S圆柱侧
．
S圆台侧
S圆锥侧
． ．
/ /
备课大师：免费备课第一站！
【课外作业】 1．棱长都为 1 的正三棱锥的全面积等于________________________．
2．正方体的一条对角线长为 a ，则其全面积为_________________． 3．在正三棱柱 ABC AB C 中， AB BB ，且 S ABC 3 ，则正三棱柱的全面 积为_____________________． 4．一张长、宽分别为 8cm 、 4cm 的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四 棱柱，则此四棱柱的对角线长为___________________． 5． 已知四棱锥底面边长为 6 ， 侧棱长为 5 ， 则棱锥的侧面积为____________________． 6． 已知圆台的上、 下底面半径为 6 、8 ， 圆台的高为 5 ， 则圆台的侧面积为_______． 7．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为 8cm 和 18 cm ，侧棱长为 13cm ， 求它的侧面积．
高中数学(人教A版)必修二课件：1.3.1空间几何体的表面积与体积
的球面上，且正方体的表面积为a2，求
球O的表面积和体积.
C′
o
A
例3 有一种空心钢球，质量为142g （钢的密度为7.9g/cm3），测得Байду номын сангаас外径 为5cm，求它的内径（精确到0.1cm）.
例4 已知A、B、C为球面上三点， AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M 的距离等于球半径的一半，求这个球的 表面积和体积.
思考3:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 面，侧面都是曲面，怎样求它们的侧面 面积？
思考4:圆柱的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆柱的底面半径为r，母线长 为l，那么圆柱的表面积公式是什么？
思考5:圆锥的侧面展开图的形状有哪些 特征？如果圆锥的底面半径为r，母线长 为l，那么圆锥的表面积公式是什么？
知识探究（一）柱体、锥体、台体的表面积
思考1:面积是相对于平面图形而言的， 体积是相对于空间几何体而言的.你知道 面积和体积的含义吗？
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
思考2:所谓表面积，是指几何体表面的 面积.怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面 积？
各个侧面和底面的面积之和 或展开图的面积.
体积
，这是一个正确的结论，你
能提出一些证明思路吗？
知识探究（二）:球的表面积
思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它 是怎样得出来的？
a4
a3
an
a1 a2
思考2:把球面任意分割成n个“小球面 片”，它们的面积之和等于什么？
o
思考3:以这些“小球面片”为底，球心 为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥， 那么这些小棱锥的底面积和高近似地等 于什么？它们的体积之和近似地等于什 么？
高中数学1.1空间几何体的表面积与体积教学设计新人教A版必修2
空间几何体的表面积和体积的教学设计目标：能根据空间几何体的三视图还原几何体的结构特征，并能求解几何体的表面积和体积 过程：一.课前学生独立完成学案 二.课上环节（一）.公布答案，学生自纠自查（二）.根据再现题组梳理知识（公式），主要是提问的方式完成。
1．棱长为2的正四面体的表面积是( )A. 3 B ．4 C ．4 3 D ．162．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________．3.一个球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩大为原来的______倍；体积扩大为原来的______倍．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．5．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是________．6．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，且正方形ABCD 的边长为2.沿图中虚线折起来，它所围成的几何体的体积为_____。
DC BA EF知识梳理一、多面体的面积和体积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_____________________(2)棱柱的体积公式_________________________ 棱锥的体积公式_________________________棱台的体积公式_________________________ 二、旋转体的面积和体积：侧 面 积 表 面 积 体 积 圆柱圆锥圆台球（三）.学生讨论巩固题组和提高题组的题目，汇总问题 7、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 28、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( C ). A.223π+B. 423π+C. 2323π+D. 2343π+22侧(左)视图22 2正(主)视图俯视图9、平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) A.6π B ．43π C ．46π D ．63π 10．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π311.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12. 已知圆锥SO 底面圆半径为2，母线SA=6，M 为SA 的中点，从点A 沿圆锥侧面一周到点M 绕一条绳子，则绳子的最短长度为_________________________13.如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大？（四）.聚焦问题展开讲解，主要以学生展示，学生点评，教师点拨纠正的方式完成。
人教A版高中数学必修二暑期学案空间几何体的表面积新(1)
第17课时空间几何体的表面积(2)一、【学习导航】学习要求1．理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单旋转体的表面积.【课堂互动】自学评价1. 圆柱侧面积公式：互助参考中（以下同）．２. 圆锥侧面积公式：３. 圆台侧面积公式：４. 三个公式之间的关系：【精典范例】例1：有一根长为5cm , 底面半径为1cm的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少厘米? (精确到0.1cm)【解】互助参考．例2：(1)等边圆柱的母线长为4,则其等边圆柱的表面积为π24．(2) 等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表面积为π12．(3) 圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为π)2810(+．例3. 已知一个圆锥的底面半径为R , 高为h , 在其中有一个高为x 的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x 为何值时, 圆柱的侧面积最大? 并求出最大值.解：（１）设圆锥底面半径为r,则h x h R r -= 得R hx h r -= 所以侧面积＝R hx h x -⋅⋅π2 ＝)(22x hx hR -π （２）由（１）知，当2h x =时，侧面积最大，为2Rh π．思维点拨 1．空间问题平面化，会用侧面展开图解题．２．记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式．自主训练1． △ABC 的三边长分别为AC=3 , BC=4 , AB=5 , 以AB 所在直线为轴, 将此三角形旋转一周, 求所得旋转体的表面积.答案：表面积＝π584．２．圆锥形烟囱帽的底半径是40cm , 高是30cm , 已知每平方米需要油漆150g , 油漆50个这种烟囱帽(两面都漆), 共需油漆多少千克?(精确到1kg)简答：一个圆锥侧面积＝22000cm π50个双面的面积为)(202m π共用油漆=kg g 42.915020=⨯π答共需10kg.３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为r 和R, 求证：截得这个圆台的圆锥的侧面积为222R S R r -．法基本量证略.【学习延伸】侧面积综合题选讲四棱锥P —ABCD 的底面是面积为9的矩形，PA ⊥平面ABCD ，侧面PBC 、侧面PDC 与底面所成的角分别是60°和30°，求四棱锥的全面积。
高中数学1.16空间几何体的表面积(1)暑期学案新人教A必修2
第16课时空间几何体的表面积(1)一、【学习导航】知识网络学习要求1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单多面体的表面积.【课堂互动】自学评价1.侧面展开图:互助参考中（以下同）．2.直棱柱：3.直棱柱侧面积公式：4.正棱柱：5.正棱锥：6.正棱锥侧面积公式：7.正棱台：8.正棱台侧面积公式：9.三个公式之间的关系：【精典范例】例1：一个正六棱柱的侧面都是正方形,底面边长为a,求它的表面积.【解】侧面积＝26a 底面积＝22334362a a 所以表面积为2)336(a ．空间多面体正棱锥关系正棱台定义及侧面积公式定义及侧面积公式直棱柱定义及侧面积公式例2：设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶, 高是0.85m , 底面的边长是 1.5m , 制造这种塔顶需要多少平方米铁板? (保留两位有效数字)【解】互助参考中．思维点拨记清记准各种侧面积公式，然后结合几何体性质解题．自主训练1．下列图形中，不是正方体的展开图的是（Ｃ）ＡＢＣＤ２．如图，Ｅ，Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？ＡＤＦ答案：三棱锥（其中有一条侧棱垂直于底面）．３．已知正四棱柱的底面边长为３，侧面的对角线长为53，则这个正四棱柱的侧面积为72 ．４．一个正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面边长为 a , 求它的表面积.略解: 侧面积=2'4321a ch ,底面积=243a 所以表面积为2433a .５．一个正六棱台的两个底面的边长分别等于8cm 和18cm , 侧棱长等于13cm , 求它的侧面积.略解: 侧面积=22)2818(13)18686(21=9362cmＢＣＥ。
高中数学 1.3.1空间几何体的表面积导学案 新人教A版必修2
第1页 共3页 第一章1.3.1柱体、锥体、台体的表面积【学习目标】知识与技能：通过学习掌握柱、锥、台表面积、球的表面积计算公式并会灵活运用，会求简单组合体的表面积过程与方法：通过对柱、锥、台、球表面积公式的探究学习,体会观察、类比、归纳的推理方法。
情感态度与价值观：培养学生从量的角度认识几何体，培养学生的空间想象能力和思维能力。
【学习重点】柱、锥、台、球的计算公式。
难点是：利用相应公式求柱、锥、台、球表面积【知识链接】1.在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及他们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？你知道圆的定义吗？圆的面积与那个量有关系呢？2. 直棱柱、正棱锥、正棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？球的表面积如何计算3. 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？【基础知识】直棱柱的底面周长为c 高为h ，则=直棱柱侧S ch ，=直棱柱表S ch+2底S正棱锥的底面周长为c ，斜高为h ，则=正棱锥侧S ch 21 ，=正棱锥表S 底S ch 21+正棱台的上下底周长分别为1c ，2c 斜高为h ，则=正棱台侧S h )c c (2121+ ，=正棱台表S 下底上底侧S S S ++圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式？圆柱底面半径为r ，母线长l ，则圆柱侧面积是：S=rl 2π ， 表面积是：S=)(2l r r +π圆锥的底面半径为r ，母线长是l ，则它的侧面积是：S=rl π ， 它的表面积是：S =)(l r r +π圆台的两底面半径分别是21r ,r 母线长是l ，则侧面积是：S=l )r r (21+π， 表面积是：S=)l r l r r r (212221+++π 球的表面积是：S=2r 4π【例题讲解】例1：已知棱长为a ，各面都是等边三角形的四面体S —ABC ，求它的表面积？例2：如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm ，盆底直径为15cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长15cm ．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1 ）？第2页 共3页 例3 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。
高中数学 空间几何体的表面积学案 新人教A版必修2 学案
某某省某某市高中数学空间几何体的表面积学案新人教A版必修2学习目标1.了解柱体、锥体、台体表面积的计算公式，2.会求简单几何体的表面积；3.通过对空间图形展开成平面图形体现转化的思想方法。
一、自主学习1、边长为a的正方形的面积为2、边长为a的正三角形的面积为3、半径为R，弧长为L的扇形面积公式为探究一：棱柱、棱锥、棱台的表面积1、正方体和长方体的展开图如下图，它们的展开图与其表面积有什么关系吗？2、如下图，棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？3、结论：4、练习：1）．若正方体的边长为a，则它的表面积S=__ ___；若长方体的长为a，宽为b，高为c，则表面积S=________________。
2）．若棱柱的底面为等边三角形,棱柱侧面是全等的正方形，侧棱长为3cm,则此棱柱的表面积为。
探究二：圆柱、圆锥、圆台的表面积1.根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形，你能画出来吗。
它们的表面积等于什么？你能推导它们的表面积的计算公式吗设圆柱的底面半径为r ，母线长为l，则圆柱的表面积为： S=设圆锥的底面半径为r ，母线长为l，则圆锥的表面积为：S=2．联系圆锥的展开图，你能想象圆台的展开图的形状，并画出它吗？设圆台的上、下底面半径分别为',r r，母线长为l，则它的侧面积为；表面积S=。
四、巩固练习：1）. 已知圆柱的底面直径为4cm，母线长为3cm，那么圆柱的上底面的面积为_____；S________。
侧面积为__ ___；因此圆柱的表面积2）．已知圆台的上、下底面半径分别是r和R，且侧面面积等于两底面面积之和，求圆台的母线长。
五、点拨总结1、2、六、布置作业1、必做题：教科书P27练习1、2 P28习题1.3 第一题2、选做题：推导圆台的侧面积公式七、课后反思。
人教版高中数学必修二第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积知识导航学案
1.3 空间几何体的表面积与体积知识梳理1.圆柱的侧面睁开图是矩形,圆锥的侧面睁开图是扇形,圆台的侧面睁开图是扇环.2.几何体的表面积是指几何体表面的大小 ,棱柱、棱锥、棱台的表面积就是求各个面的面积和 ,圆柱、圆锥、圆台的表面积就是求侧面和底面的面积和.3.设直棱柱的底面周长为 C,高为 h 则 S 直棱柱侧 =Ch.4.设正棱锥的底面周长为 1Ch ′.C,斜高为 h ′,则S 正棱锥侧 =215.设正棱台的上、下底面的周长分别为C 、C ′,斜高为 h ′,则S 正棱台侧 =(C+C ′ )h ′.26.设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,则圆柱的侧面积S 侧 =2π rl,圆柱的表面积 S=2π rl+2 2πr .7.设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则圆锥的侧面积S 侧 =π rl,圆锥的表面积 S=π rl+ 2πr18.设圆台的上、下底面的半径分别为 r 1、 r 2,母线长为 l,则圆台的侧面积 S 侧 =π (r 1+r 2 )l,圆台的表面积 S=π(r 1+r 2)l+2 2 ).3π1(r+r 219.设柱体的底面积为 S,高为 h,则 V 柱体 =Sh;设锥体的底面积为S,高为 h,则 V 锥体 = Sh;设S 上,S 下 ,高为 h,则 V 台体 =13台体的上、下底面的面积分别为(S 上+S 下+S 上 S 下 )h.342310.球的表面积和体积都是半径R 的函数 ,此中 S=4πR ,V=πR球面球3知识导学要学好本节内容 ,可从我们熟习的长方体、正方体的睁开图下手,解析睁开图与表面积的关系 .表面积是各个面的面积之和 ,求多面体表面积时 ,只要将它们沿着若干条棱剪开后展成平面图形 ,利用平面图形求面积的方法 ,求多面体的表面积.求旋转体的表面积时 ,可从回想旋转体的生成过程及其几何特点下手 ,将其睁开求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面睁开图中的边长关系 .几何体据有空间部分的大小,叫做几何体的体积.这里的 “大小 ”没有比较大小的含义 ,而是要用详细的 “数”来定量的表示几何体据有了多大的空间 .同样几何体的体积相等 ,但体积相同的几何体不必定同样 .疑难打破1.怎样获得台体的体积公式？解析 :如图 1-3-1,设台体 (棱台或圆台 )上、下底面面积分别是S ′、S,高是 h,设截得台体时去掉的锥体的高是 x,则截得这个台体的锥体的高是 h+x,则图 1-3-11 1 1［ Sh+(S-S ′)x ］ ,而S x 2 V 台体 =V 大锥体 -V 小锥体 = S(h+x)-3S ′ x= S( h x) 233因此S x,于是有 x=S h代入体积表达式得V 台体=1h［ S+(S-S′)S］S h x SS3S S 1SS ′+S］′.= h［ S+3因为台体是由锥体截得的,因此 ,我们经常采纳“还台为锥”的思想方法来研究台体的几何性质 ,即台体的体积可转变为两个锥体的体积之差.于棱台 ,因为截面与截面相像,因此其面积等于对应的平方比,同时也等于截得的棱锥的高与原棱锥高的平方比.能够据此确立有关变量的值,关于圆台 ,可经过轴截面的一半去研究有关量 .种化未知为已知、化生分为熟习的思想方法是我们研究几何问题常用的思想方法.台体的体积只与两底面的面积和它的高有关.2.棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式、体积公式有何联系与差别,可否一致？解析 :棱台侧面积公式:c′ =0时 ,棱锥能够看作上底周长为0 的棱台 .S 上 =0 时 ,棱锥能够看作上底面面积为0 的棱台 ;S 下 =S 上时 ,棱柱能够看作上底面等于下底面的棱台.图 1-3-2柱体、锥体、台体的侧面积与体积是由柱体、锥体、台体之间的关系决定的,表面积公式思路是立体几何问题转变为平面问题.曲面转变成平面,这是解决立体几何的主要出发点.记忆口诀 :要求柱锥台 ,先把侧面来睁开.要解三棱锥 ,先把勾股关系推.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第17课时空间几何体的表面积(2)
一、【学习导航】
学习要求
1．理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单旋转体的表面积.
【课堂互动】
自学评价
1. 圆柱侧面积公式：互助参考中（以下同）．
２. 圆锥侧面积公式：
３. 圆台侧面积公式：
４. 三个公式之间的关系：
【精典范例】
例1：有一根长为5cm , 底面半径为1cm的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,
并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少厘米? (精确到
0.1cm)
【解】
互助参考．
例2：(1)等边圆柱的母线长为4,则其等边圆
柱的表面积为π24．
(2) 等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表面积为π12．
(3) 圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为π)2810(+．
例3. 已知一个圆锥的底面半径为R , 高为h , 在其中有一个高为x 的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x 为何值时, 圆柱的侧面积最大? 并求出最大值.
解：（１）设圆锥底面半径为r,则
h x h R r -= 得R h
x h r -= 所以侧面积＝R h
x h x -⋅⋅π2 ＝)(22x hx h
R -π （２）由（１）知，当2h x =时，侧面积最大，为2
Rh π．
思维点拨 1．空间问题平面化，会用侧面展开图解题．
２．记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式．
自主训练
1． △ABC 的三边长分别为AC=3 , BC=4 , AB=5 , 以AB 所在直线为轴, 将此三角形旋转一周, 求所得旋转体的表面积.
答案：表面积＝
π5
84．
２．圆锥形烟囱帽的底半径是40cm , 高是30cm , 已知每平方米需要油漆150g , 油漆50个这种烟囱帽(两面都漆), 共需油漆多少千克?(精确到1kg)
简答：一个圆锥侧面积＝2
2000cm π
50个双面的面积为)(202m π
共用油漆=kg g 42.915020=⨯π
答共需10kg.
３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为r 和R, 求证：截得这个圆台的圆锥的侧面积为222
R S R r -．
法基本量证略.
【学习延伸】
侧面积综合题选讲
四棱锥P —ABCD 的底面是面积为9的矩形，PA ⊥平面ABCD ，侧面PBC 、侧面PDC 与底面所成的角分别是60°和30°，求四棱锥的全面积。
思路：:先证后算．把四个侧面三角形的面积求出后再与底面积相加即可． 答案：全面积＝3918+．
思维点拨
在综合题中，遇到的不一定就是能直接套用公式的几何体．于是要利用几何体的性质与线面关系来解决问题．这就要求我们不但要发展定势思维，而且还要发展发散思维．本题中所用方法就是比较原始的方法，即把几何体各个面的面积求出后相加来求出几何体的表面积． 自主训练
4，求它的侧面与下底面所成二面正三棱台上、下底面边长分别为1，3，侧面积为3
角的大小．
60
答案；。