辽宁省大连市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 文 精
2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末数学理试题(解析版)
大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线y2=12x的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合抛物线的标准方程可得：抛物线y2=12x的准线方程为.本题选择A选项.2. 命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论，所以命题：“”的否定是��?/m:t>>0,x2−x<0.本题选择C选项.3. 若a b>0，则ba +ab的最小值是（）A. 1B. 2C. 2D. 22【答案】C【解析】，等号当且仅当ba =ab,即a=b时等号成立.则ba+ab的最小值是2.本题选择C选项.4. 已知a n是等差数列，a1+a2=4,a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A. 64B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】解：设公差为d，则由已知得2a1+d="4" 2a1+13d=28 ⇒ a1="1" d=2 ⇒S10=10×1+10×9 =100，故选B．5. 命题，命题，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于命题q，求解有显然命题p对应的集合为命题q对应集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件.本题选择A选项.6. 已知实数x,y满足，则的最小值是（）A. 5B.C. 5D.2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中，由，将直线l：y=2x进行平移，观察y轴上的截距变化，可得：当l经过点A��?/m:t>,3时，目标函数达到最小值，∴z最小值为本题选择B选项.7. 已知ΔA B C的顶点B,C在椭圆x2+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在B C边上，3则ΔA B C的周长是（）A. 23B. 6C. 43D. 12【答案】C∴|A B|+|B C|+|C A|=4a+y2=1∵椭圆方程为x23∴a=3∴ΔA B C的周长为4故选C8. 平行六面体中，向量两两的夹角均为600，且，,则等于（）A. 5B. 6C. 4D. 8【答案】A【解析】如图所示，∵平行六面体中，向量两两的夹角均为60°，且，本题选择A选项.9. 已知直线y=x+1与曲线y=ln x+a相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D. 【答案】B【解析】由直线y=x+1与曲线y=l n x+a相切，设切点坐标是(x0,y0)，则有y0=x0+1y0=ln x0+a，由曲线y=ln x+a可得y��?//=1x+a ，所以切线的斜率是1x0+a，据此有：y0=x0+1y0=ln x0+ax0+a=1，求解方程组有：.本题选择B选项.点睛：(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．10. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A. B. 1,2 C. D.【答案】D【解析】,由于解决为,故a<0,且,故的开口向下,两个根为1,2,所以解集为x<1,x>2.故选D.11. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线焦点为(1,0)，所以双曲线中c=1，，双曲线方程为考点：双曲线抛物线方程及性质12. 若f x的定义域为R，f��?//x<2恒成立，f��?/m:t>=2，则f x>2x+4的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，因为f��?/m:t><2恒成立,所以即函数F(x)在R上单调递减.因为f��?/m:t>=2,所以，则不等式即，据此可得：.所以，即不等式f x>2x+4解集为.本题选择B选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
大连市2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(含答案)
3 3 , a=- (舍去) ..........4 分 2 2
②若 a e ,则 x a 0 ,即 f x 0 在 1, e 上恒成立, 此时 f x 在 1, e 上为减函数, ∴ f x min =f(e)=1-
a 3 e = , a=- (舍去)............6 分 e 2 2
f 极小 x
16 16 a 0或f 极大 x a 03 3 .........12 分 m 45 ， m 25 ，则从女生中抽取 20 人，所 500 500 400
20、解： （Ⅰ）设从高二年级男生中抽出 m 人，则
a 2 <x .又 x 0, a xln x x 3 ， x
∴ f x 0 , 故 f x 在 0, 上是单调递增函数.......2 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知, f x =
xa . x2
①若 a 1 ,则 x a 0 ,即 f x 0 在 1, e 上恒成立, 此时 f x 在 1, e 上为增函数, ∴ f x min =f(1)=-a=
, 2
2
0
2, 2
+
2
0
2,
-
16 a 3
16 a 3
f 极小 x f 2
16 16 a f 极大 x f 2 a 3 3 .........8 分
当 x 时函数值无限变大，x -时函数值无限变小 所以当函数只有一个零点时
2017～2018 学年第二学期期末考试 高二数学（文科）答案
一、选择题：DBAC 二、填空题：13、4 三、解答题： 17、证明：假设 a CBBC 14、 ABAD
20172018学年大连五校高二上期末数学试卷(文科)含答案解析
2021-2021 学年辽宁省大连五校高二〔上〕期末数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. ．〔分〕对于常数、，“＞〞是“方程mx 2﹣ny2 的曲线是双曲线的〔〞〕1 5 m n mn 0 =1 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．〔5 分〕假设 a＜b＜0，那么以下不等式中错误的选项是〔〕A．B．C．| a| ＞ | b| D． a2＞b2 3．〔5 分〕以下函数中，最小值为 4 的是〔〕A．y=log3x+4log x3B． y=e x+4e﹣xC．y=sinx+〔0＜x＜π〕D． y=x+4．〔 5 分〕实数 x，y 满足，那么目标函数z=x﹣2y的最小值是〔〕A．﹣ 9 B．15 C．0D．﹣ 105．〔5 分〕以下命题中，说法错误的选项是〔〕A．“假设 p，那么 q〞的否命题是“假设?p，那么 ?q〞B．“p∧q 是真命题〞是“p∨ q 是真命题〞的充分不必要条件C．“? x＞2，x2﹣2x＞0〞的否认是“? x≤2，x2﹣2x≤0〞D．“假设 b=0，那么 f〔x〕=ax2+bx+c 是偶函数〞的逆命题是真命题6．〔5 分〕设 a＞0，b＞ 0，假设是3a与32b的等比中项，那么的最小值为〔〕A．5B．6C．7D．87．〔5 分〕 F1，F2分别是椭圆+=1 的左、右焦点， P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠ PF2F1，那么这个椭圆的离心率是〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．8．〔5 分〕设 S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和， a2﹣ 8a5=0，那么=〔〕A．B．C．2D．17n}中，S n 是其前n项和，，那么 S11〔〕9．〔5 分〕等差数列 { a =A．﹣ 11B．11 C． 10D．﹣ 1010．〔 5 分〕设 F1， F2分别是双曲线的左右焦点，点M〔 a， b〕．假设∠ MF1F2=30°，那么双曲线 C 的离心率为〔〕A．B．C．2D．11．〔 5 分〕设 { a n} 为等差数列，假设，且它的前n项和S n有最小值，那么当 S n取得最小正值时的n 值为〔〕A．18 B．19 C．20D．2112．〔5 分〕定义在 R 上的奇函数 f〔x〕的导函数为 f'〔 x〕，当 x＜0 时，f〔x〕满足， 2f〔 x〕+xf'〔 x〕＜ xf〔x〕，那么f〔x〕在R 上的零点个数为〔〕A．5 B．3 C．1 或3 D．1二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13．〔 5 分〕函数的递增区间为．．〔分〕在数列n}中，a2 ， 3 n+1}是等比数列，那么a n=．14 5 { a = a = ，且数列 { na15．〔 5 分〕函数，假设函数 f〔 x〕在区间 [ 2，4] 上是单调增函数，那么实数 a 的取值范围是．16．〔 5 分〕抛物线 y2=2px〔p＞0〕的焦点为 F，点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠ AFB=120°．过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为N，那么的最大值为．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 70 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕17．〔 10 分〕假设数列 { a n} 满足．〔 1〕求证：数列 { a n﹣1} 是等比数列，并求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕设 b n=log2〔1﹣a n〕，假设数列的前 n 项和为 T n，求证： T n ＜1．18．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=ax2﹣〔 a+1〕x+1〔a≠0〕．（1〕假设 f 〔x〕≤ 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2〕解关于 x 的不等式 f 〔x〕＜ 0．19．〔 12 分〕过点 A〔﹣ 4，0〕的动直线 l 与抛物线 G：x2=2py〔p＞0〕相交于 B、C 两点，当直线的斜率是时，．（1〕求抛物线 G 的方程；（2〕设线段 BC的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．20．〔 12 分〕数列 { a n} ， { b n} ， S n为数列 {a n} 的前 n 项和， a2=4b1，S n =2a n﹣2，．〔 1〕求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕证明为等差数列．〔 3〕假设数列 { c n} 的通项公式为，令p n=c2n﹣1+c2n．T n为{ p n} 的前 n 项的和，求 T n．21．〔 12 分〕椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于 B，C 两点．〔Ⅰ〕求该椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设直线 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M ， N，问： x 轴上是否存在定点P 使得 MP⊥NP？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，说明理由．22．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=blnx，g〔x〕=ax2﹣ x〔a∈R〕〔 1〕假设曲线 f〔 x〕与 g〔x〕在公共点 A〔1，0〕处有相同的切线，求实数a，b 的值；〔 2〕假设 a＞0，b=1，且曲线 f〔 x〕与 g〔x〕总存在公共的切线，求正数 a 的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 . ．〔分〕对于常数、，“＞〞是“方程mx 2﹣ny2 的曲线是双曲线的〔〞〕1 5 m n mn 0 =1 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：假设方程 mx2﹣ ny2 =1 的曲线是双曲线，那么 mn ＞0，即“mn＞0〞是“方程 mx2﹣ ny2=1 的曲线是双曲线〞的充要条件，应选： C2．〔5 分〕假设 a＜b＜0，那么以下不等式中错误的选项是〔〕A．B．．＞| b|2＞b2 C | a| D． a【解答】解：∵ a＜b＜0，∴＞，| a|＞| b|，a2＞ab＞b2．因此 A，C，D 正确．对于 B：a＜b＜0 时，可得＜，因此 B 不正确．应选： B．3．〔5 分〕以下函数中，最小值为 4 的是〔〕3x x+4e﹣ xA．y=log x+4log 3 B． y=eC．y=sinx+〔0＜x＜π〕D． y=x+【解答】解：＜x＜1 时， y＜ 0，不正确B．∵ e x＞0，∴=4，当且仅当 x=ln2 时取等号，正确．C．令 sinx=t∈〔0，1〕，那么 y=f〔 t〕=t+ ，y′ =1﹣＜0，因此函数 f〔t 〕在〔0，1〕上单调递减，∴ f〔t 〕＞ f 〔1〕=5，不正确．D．x＜0 时， y＜ 0，不正确．应选： B．4．〔 5 分〕实数 x，y 满足，那么目标函数z=x﹣2y的最小值是〔〕A．﹣ 9 B．15 C．0D．﹣ 10【解答】解：如图作出阴影局部即为实数x，y 满足的可行域，由 z=x﹣2y，得 y= x﹣z，平移直线 y= x﹣z，由图象可知当直线y= x﹣z 经过点 A，直线 y= x﹣z 的截距最大，此时z 最小，由得点 A〔3，6〕，当 x=3，y=6 时， z=x﹣2y 取最小值为﹣9．应选： A．5．〔5 分〕以下命题中，说法错误的选项是〔〕A．“假设 p，那么 q〞的否命题是“假设?p，那么 ?q〞B．“p∧q 是真命题〞是“p∨ q 是真命题〞的充分不必要条件C．“? x＞2，x2﹣2x＞0〞的否认是“? x≤2，x2﹣2x≤0〞2D．“假设 b=0，那么 f〔x〕=ax +bx+c 是偶函数〞的逆命题是真命题【解答】解：对于 A，“假设 p，那么 q〞的否命题是“假设 ?p，那么 ?q〞，故 A 正确；对于 B，假设 p∧q 是真命题，那么 P、 q 均为真命题，那么 p∨q 是真命题；反之， p ∨ q 是真命题， p 与 q 不一定都是真命题，那么 p∧q 不一定是真命题，∴“p∧q 是真命题〞是“p∨q 是真命题〞的充分不必要条件，故 B 正确；对于 C，“? x＞2，x2﹣2x＞0〞的否认是“? x＞2，x2﹣2x≤0〞，故 C 错误；对于 D，命题“假设 b=0，那么 f 〔x〕=ax2+bx+c 是偶函数〞的否命题为：“假设b≠0，那么f〔x〕=ax2+bx+c 不是偶函数〞，是真命题，那么“假设 b=0，那么 f〔x〕=ax2+bx+c 是偶函数〞的逆命题是真命题，故D 正确．应选： C．2b 的等比中项，那么的最小值为〔〕．〔分〕设＞，＞，假设 a 与 36 5 a 0 b 0 是 3A．5B．6C．7D．8【解答】解： a＞0，b＞0，是 3a与 32b的等比中项，∴ 3a 2b ．?3 = =3∴a+2b=1．那么=〔a+2b〕=4+ +≥4+2=8，当且仅当 a=2b=时取等号．应选： D．7．〔5 分〕 F1，F2分别是椭圆+=1 的左、右焦点， P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠ PF2F1，那么这个椭圆的离心率是〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵ P是以 F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△ PF1F2为直角三角形，且∠ P=90°，∵∠ PF1F2=2∠PF2F1，∴∠ PF °，，1F2=60 F1F2=2c∴PF1=c，PF2 = c，由椭圆的定义知， PF+PF =c+c=2a，1 2即==﹣1∴离心率为﹣ 1．应选： A8．〔5 分〕设 S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和， a2﹣ 8a5=0，那么=〔〕A．B．C．2D．17【解答】解：根据题意，等比数列 { a n } 中 a2﹣8a5=0，即a2=8a5，那么有 a1q=8a1q4，即有 q3 = ，解可得 q=，那么 = ==1+q4 〔〕4= ；=1+ 应选： A．9．〔5 分〕等差数列n}中，S n 是其前n项和，，那么 S11〔〕{ a =A．﹣ 11 B．11 C． 10 D．﹣ 10【解答】解：，得，由，得，d=2，，∴S11=﹣11，应选 A10．〔 5 分〕设 F1， F2分别是双曲线的左右焦点，点M〔 a， b〕．假设∠ MF1F2=30°，那么双曲线 C 的离心率为〔〕A．B．C．2 D．【解答】解：由题意可得 F1〔﹣ c， 0〕，M 〔 a， b〕，直线 MF1的斜率为 tan30 °= ，即有=，即 a+c= b，平方可得〔 a+c〕2=3b2=3〔 c2﹣ a2〕=3〔c+a〕〔c﹣a〕，化简可得 a+c=3〔c﹣a〕，即为 c=2a，可得 e= =2．应选： C．11．〔 5 分〕设 { a n} 为等差数列，假设，且它的前n 项和S n有最小值，那么当 S n取得最小正值时的n 值为〔〕A．18 B．19 C．20D．21【解答】解：∵ S n有最小值，∴ d＞ 0，故可得 a10＜ a11，又：S20=10〔a1+a20〕 =10〔a10+a11〕＞ 0，S19=19a10＜ 0∴S20为最小正值应选 C12．〔5 分〕定义在 R 上的奇函数 f〔x〕的导函数为 f'〔 x〕，当 x＜0 时，f〔x〕f〔x〕在R 上的零点个数为〔〕满足， 2f〔 x〕+xf'〔 x〕＜ xf〔x〕，那么A．5 B．3 C．1 或3 D．1【解答】解：构造函数F〔 x〕 = 〔x＜0〕，所以 F〔′x〕==[ 2f〔x〕+xf'〔 x〕﹣ xf〔 x〕] ，因为 2f〔 x〕 +xf 〔′x〕＜ xf〔x〕， x＜ 0，所以 F′〔x〕＞ 0，所以函数 F〔 x〕在 x＜ 0 时是增函数，又 F〔0〕 =0 所以当 x＜ 0， F〔x〕＜ F〔 0〕 =0 成立，因为对任意 x＜0，＞0，所以 f〔 x〕＜ 0，由于 f 〔x〕是奇函数，所以x＞0 时 f〔 x〕＞ 0，即 f〔 x〕=0 只有一个根就是0．应选： D．二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13．〔 5 分〕函数的递增区间为．【解答】解：函数，f 〔′x〕=﹣2x2+3x﹣1，令 f ′〔x〕≥ 0，即﹣ 2x2+3x﹣ 1≥ 0，解得：x≤ 1，故函数在递增，故答案为：．14．〔 5 分〕在数列 { a n} 中， a2=，a3=，且数列{ na n+1}是等比数列，那么a n= ．【解答】解：∵数列 { a n } 中， a2=，a3=，且数列{ na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4， 3a3+1=7+1=8，∴数列 { na n+1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴，解得 a n ．=故答案为：．15．〔 5 分〕函数，假设函数f〔x〕在区间[ 2，4]上是单调增函数，那么实数 a 的取值范围是[ ﹣e2，+∞〕．【解答】解∵函数 f 〔x〕在区间 [ 2，4] 上是单调递增函数，∴ f ′〔 x〕≥ 0 在区间 [ 2，4] 上恒成立，即〔 x﹣ 1〕 e x+a≥0 在区间 [ 2，4] 上恒成立，记 g〔x〕 =〔 x﹣ 1〕 e x+a，那么 g〔 x〕min≥0，g′〔 x〕=xe x，∵ x∈[ 2， 4] ，∴ g′〔x〕＞ 0，故 g〔x〕在 [ 2， 4] 递增，故 g〔x〕min=g〔 2〕 =e2+a≥0，解得： a≥﹣ e2，故实数 a 的范围是： a≥﹣ e2．故答案为： [ ﹣e2，+∞〕．16．〔 5 分〕抛物线 y2=2px〔p＞0〕的焦点为 F，点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠ AFB=120°．过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为N，那么的最大值为．【解答】解：设 | AF| =a， | BF| =b，连接 AF、 BF，由抛物线定义，得 |AF|=|AQ| ， |BF|=|BP| ，在梯形ABPQ 中，2| MN| =| AQ|+| BP| =a+b．由余弦定理得，| AB| 2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得， | AB| 2=〔 a+b〕2﹣ ab，又∵ ab≤〔〕2，∴〔 a+b〕2﹣ab≥〔 a+b〕2﹣〔a+b〕2=〔a+b〕2得到 | AB| ≥〔a+b〕．∴≤=，即的最大值为．故答案为：．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 70 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕17．〔 10 分〕假设数列 { a n} 满足．〔 1〕求证：数列 { a n﹣1} 是等比数列，并求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕设 b n=log2〔1﹣a n〕，假设数列的前 n 项和为 T n，求证： T n ＜ 1．【解答】证明：〔1〕∵ a n =2a n﹣1﹣1∴a n﹣1=2〔a n﹣1﹣1〕，又∵ a1=﹣1，∴ a1﹣ 1=﹣2∴数列 { a n﹣1} 是首项为﹣ 2，公比为 2 的等比数列∴，∴．〔 2〕由〔 1〕知：∴，∴，所以．18．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=ax2﹣〔 a+1〕x+1〔a≠0〕．（1〕假设 f 〔x〕≤ 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2〕解关于 x 的不等式 f 〔x〕＜ 0．【解答】解：〔1〕∵ f〔 x〕≤ 2 在 R 上恒成立，即 ax2﹣〔 a+1〕 x﹣1≤ 0 在 R 上恒成立，所以；（2〕 f〔x〕＜ 0? ax2﹣〔 a+1〕x+1＜0? 〔ax﹣1〕〔 x﹣1〕＜ 0〔 * 〕当 0＜a＜1 时，〔* 〕式等价于；当 a=1 时，〔* 〕式等价于〔 x﹣1〕2＜ 0? x∈?；当 a＞1 时，〔* 〕式等价于；当 a＜0 时，〔* 〕式等价于或 x＞1综上，当 0＜a＜ 1 时，f 〔x〕＜ 0 的解集为；当 a=1 时， f〔 x〕＜ 0 的解集为 ?；当 a＞1 时， f 〔x〕＜ 0 的解集为；当 a＜0 时， f 〔x〕＜ 0 的解集为．19．〔 12 分〕过点 A〔﹣ 4，0〕的动直线 l 与抛物线 G：x2=2py〔p＞0〕相交于 B、C 两点，当直线的斜率是时，．（1〕求抛物线 G 的方程；（2〕设线段 BC的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．【解答】解：〔1〕设 B〔x1， y1〕， C〔 x2，y2〕，当直线 l 的斜率是时，l的方程为，即x=2y﹣4，由得 2y2﹣〔 8+p〕y+8=0，∴，又∵，∴ y2=4y1，由这三个表达式及p＞0 得 y1=1，y2=4，p=2，那么抛物线的方程为 x2=4y〔5 分〕〔 2〕设 l： y=k〔x+4〕，BC的中点坐标为〔 x0，y0〕由得 x2﹣ 4kx﹣16k=0∴，线段的中垂线方程为，∴线段 BC的中垂线在 y 轴上的截距为： b=2k2+4k+2=2〔k+1〕2，由△ =16k2+64k＞0 得 k＞0 或 k＜﹣ 4，∴ b∈〔 2，+∞〕〔7 分〕20．〔 12 分〕数列 { a n} ， { b n} ， S n为数列 {a n} 的前 n 项和， a2=4b1，S n =2a n﹣2，．〔 1〕求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕证明为等差数列．〔 3〕假设数列 { c n} 的通项公式为，令 p n 2n﹣1+c2n．T n为{ p n}=c的前 n 项的和，求 T n．【解答】解：〔1〕当 n＞1 时，? a n=2a n﹣1当 n=1 时， S1=2a1﹣ 2? a1=2，综上， { a n} 是公比为 2，首项为 2 的等比数列，那么：．（2〕证明：∵ a2=4b1，∴ b1=1，∵，∴综上，是公差为 1，首项为 1 的等差数列．〔 3〕由〔 2〕知：∴ p n 2n ﹣ 1+c2n ，=c =∴，两式相减得：，∴∴．21．〔 12 分〕椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于 B，C 两点．〔Ⅰ〕求该椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设直线 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M ， N，问： x 轴上是否存在定点P 使得 MP⊥NP？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【解答】解：〔Ⅰ〕由椭圆方程可得， a=2，b=，从而椭圆的半焦距．∴椭圆的离心率为；〔Ⅱ〕解：依题意，直线BC的斜率不为 0，设其方程为 x=ty+1．将其代入，整理得〔 4+3t2〕y2+6ty ﹣9=0．设 B〔x1，y1〕，C〔x2， y2〕，∴，．直线 AB 的方程是，从而可得M〔4，〕，同理可得．假设 x 轴上存在定点 P〔p，0〕使得 MP⊥NP，那么有．∴．将 x1=ty1+1， x2=ty2 +1 代入上式，整理得．∴，即〔 p﹣4〕2﹣9=0，解得 p=1，或 p=7．∴ x 轴上存在定点 P〔 1， 0〕或 P〔7，0〕，使得 MP⊥NP 成立．22．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=blnx，g〔x〕=ax2﹣ x〔a∈R〕〔 1〕假设曲线 f〔 x〕与 g〔x〕在公共点 A〔1，0〕处有相同的切线，求实数a，b 的值；〔 2〕假设 a＞0，b=1，且曲线 f〔 x〕与 g〔x〕总存在公共的切线，求正数 a 的最小值．【解答】解：〔1〕函数 f〔x〕=blnx， g〔x〕=ax2﹣x〔a∈ R〕，f 〔x〕=，g〔x〕=2ax﹣1；曲线 f 〔x〕与 g〔x〕在公共点 A〔1，0〕处有相同的切线，依据题意：〔 2〕当 a＞0，b=1 时， f〔 x〕=lnx，在点〔t，lnt〕处的切线方程为：，即由得：①∵ f〔x〕，g〔 x〕总存在公切线，∴①的，即关于 t 的方程②总有解．∵左边＞ 0，a＞0，∴ 1﹣ lnt＞0? 0＜t ＜e，于是，②式令，那么当 t∈〔 0，1〕时， h'〔 t 〕＜ 0；当 t ∈〔1，e〕时， h'〔t〕＞ 0，∴h〔t 〕在〔0，1〕递减，〔1，e〕递增．∴h〔 t〕min =h〔1〕=4，∴要使②有解，须 4a≥4，即 a≥1，故 a min=1．。
2016-2017学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学（文）试题一、选择题1．设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题的概念，选.点睛：全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量．全称命题：含有全称量词的命题．存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词.存在性命题：含有全称量词的命题．全称命题的否定是特称命题.2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A. 1B. 3C. 9D. 81【答案】C【解析】依题意有.3．若命题为真命题，则下列说法正确的是（）A. 为真命题，为真命题B. 为真命题，为假命题C. 为假命题，为真命题D. 为假命题，为假命题【答案】D【解析】由于为真命题，所以为假命题，故均为假命题.4．抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，故准线方程为.5．在等差数列中，则（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】依题意有.6．已知的两个顶点，周长为22，则顶点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意的轨迹为椭圆，不包括左右顶点.其中，，所以椭圆方程为.7．函数，则（）A. 为函数的极大值点B. 为函数的极小值点C. 为函数的极大值点D. 为函数的极小值点【答案】A【解析】，故当时函数单调递增，当时，函数单调递减，故为函数的极大值点. 8．过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设双曲线方程是，将代入上式，解得，故双曲线的方程为.9．已知数列，＝1，，则的值为（）A. 5B.C.D.【答案】D【解析】依题意，，以此类推，.10．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,在R上是单调函数，恒成立，，。
2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学(文)试题word版含答案
大连市2017 2018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“031,>⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀x R x ”的否定是（ ） A ．031,<⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃x R x B ．031,≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀x R x C ．031,<⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀x R x D ．031,≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃x R x 2.在等比数列{}n a 中，44=a ，则=⋅62a a （ ）A ．4B ．16C ．8D ．323.命题1:>x p ，命题11:<xq ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≤8422y x y x y ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．8B ．12 C. 14 D ．205.双曲线()014222>=-b b y x 的离心率等于b 33，则该双曲线的焦距为（ ） A ．52 B ．8 C. 6 D ．626.R b a ∈,，且b a >，则下列结论正确的是（ ）A ．22b a >B ．1<a b C.()ba b a ->-1lg lg D ．b a --<33 7.21,F F 为椭圆1:2222=+by a x C 左右焦点，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且三角形21F AF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A ．12-B ．2 C.2 D ．22-8.数列{}n a 的前n 项和n n S n 3022-=，当n S 取最小值时n 的值为（ ）A ．7B ．8 C. 87或 D ．99.已知直线a x y +=与曲线x y ln =相切，则a 的值为（ ）A ．1B ．2 C. 1- D ．2-10.关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()1,-∞-，则关于x 的不等式()()02<+-b ax x 的解集为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1 C.()()+∞-∞-,21, D ．()()+∞∞-,21,11.P 为双曲线136422=-y x 上的任意一点，则P 到两条渐近线的距离乘积为（ ） A ．518 B ．2 C.536 D ．1 12.已知函数()()⎩⎨⎧>+≤+-=0,1ln 0,2x x x x x x f ，若()ax x f ≥，则a 的取值范围为（ ）A ．(]0,∞-B ．[]0,1- C.(]1,∞- D ．[]0,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知ab b a b a ,2,0,0=+>>的最大值为．14.函数()()xe x xf 3-=的单调递增区间是． 15.已知抛物线x y =2和点()0,4A ,质点M 在此抛物线上运动，则点M 与点A 距离的最小值为． 16.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和为分别为n S 和n T ，若1223+-=n n T S n n ，则=66b a ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 过抛物线px y E 2:2=的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于()()2211,,,y x Q y x P 两点. 求证：.221p y y -=18.已知函数().4313a x x x f +-=（1）当2=a 时，求()x f 的极大值；（2）当a 为何值时，函数()x f 有3个零点.19.已知()1,0-是椭圆C 的一个顶点，焦点在x 轴上，其右焦点到直线：22+=x y 的距离等于.3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，若P 为MN 中点，求直线l 方程.20.已知数列{}n a 的前n 项和210n n S n -=，数列{}n b 的每一项都有n n a b =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 前n 项和.21.已知函数().ln 2x x x f =（1）求()x f 的单调区间；（2）当0>x 时，若x xm ln 2≤恒成立，求m 的取值范围. 22.已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长22，焦点()0,c F ，点⎪⎭⎫⎝⎛-0,10c c A ，且.2FA OF = （1）求椭圆C 的标准方程； （2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相交于Q P ,两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: DBACB 6-10:DACCD 11、12：AB二、填空题13. 1 14.()+∞,2 15.215 16.2331 三、解答题17.解：当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则221p y y -=成立，当直线不与x 轴垂直时，设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2p x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=px y p x k y 222得0222=--p py ky 所以221p y y -= .18.解：（1）2()=4,f x x '-由2()=40,f x x '-≥解得2x ≥或-2x ≤，2()=40,f x x '-≤解得22x -≤≤所以当2x =-时()f x 有极大值22(2)3f -= （2）由2()=40,f x x '-=解得122, 2.x x =-=()f x 的单调增区间是(]--2∞，和[)2+.∞，当[]2,2x ∈-时，()f x 是减函数；()f x 的极大值16(2)3f a -=+极小值为16(2)3f a -=- 所以1603a +>且1603a -<所以161633a -<< 19.解：（1）由题知1b =，223,2cd +==22+32, 2.c c ==所以所以2222, 3.a b c a =+=由得22 1.3x y +=所以椭圆的标准方程为 （2）1122,x y x y 设M （），N （,），则有221122221313x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ()()()()121212120,3x x x x y y y y -++-+=所以 所以12122+103y y x x -⋅=-.12122.3y y k k x x -==--由，得 所以直线方程为()12123y x -=--，即4670x y +-=.（其他方法可参考给分）20.解：（1）111112(2),9n n n a S S n n a S -=-=-≥==又112()n a n n N +=-∈所以（2）56112(),10,10,n a n n N a a +=-∈=>=-<由于易得25,10;n n n n n b a T S n n ≤===-所以当时，5,n n n b a >=-当时，225250(10)1050n n T S S n n n n =-=--=-+2210(5)1050(5)n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+>⎩即 21.解：（1）f (x )定义域为(0,)+∞，312ln '()x f x x -=， '()0f x >，解得120x e <<，'()0f x <，解得12x e >，∴f (x )在12(0,)e 上是增函数，在12(,)e +∞上是减函数；（2）不等式等价于2ln A x x ≤，令2()ln g x x x =，'()2ln (2ln 1)g x x x x x x =+=+， '()0g x >，解得12x e ->，'()0g x <，解得120x e -<<，∴g (x )在12(0,)e-上是减函数，在12(,)e -+∞上是增函数， g (x )在12x e -=时取最小值121()2g e e -=-，∴12m e ≤-， 故A 的最佳取值为1(,]2e-∞- 22.解：（1）由题意知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,10,0,,2c c A c F b ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0,210,0,c c FA c OF 由FA OF 2=，得c c c 420-=，解得：.2=c ∴=+=∴,6222c b a 椭圆的方程为12622=+y x 离心率为3662=（2）()0,3A ，设直线PQ 的方程为()3-=x k y联立()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126322y x x k y ，得()062718312222=-+-+k x k x k 设()()2211,,,y x Q y x P ，则2221222131627,3118k k x x k k x x +-=+=+ ()[]22222222121221313931543162793k k k k k k k x x x x k y y +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=++-= 由已知得OQ OP ⊥，得02121=+y y x x ，即03163031331627222222=+-=+++-k k k k k k 解得：55±=k ， 符合∴>∆,0直线PQ 的方程为()355-±=x y .。
2017-2018年大连市普兰店高二上期末数学试卷理科有答案
2017-2018年辽宁大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．C．i D．2．（5分）演绎推理是（）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到一般的推理D．一般到特殊的推理3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A．1+a+a2+a3+a4B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a34．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=17．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．18．（5分）已知函数f（x）=x2（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）9．（5分）已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]10．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为．15．（5分）若函数f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx= ．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C到平面A1BD的距离．20．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，y）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证．2017-2018学年辽宁省大连市普兰店高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．﹣i B．C．i D．【解答】解：∵z（1+i）=1﹣i，∴z===﹣i，∴z的共轭复数=i．故选C．2．（5分）演绎推理是（）A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到一般的推理D．一般到特殊的推理【解答】解：根据题意，演绎推理的模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，是从一般到特殊的推理．故选：D．3．（5分）用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为（）A．1+a+a2+a3+a4B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a3【解答】解：∵等式“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”左端和式中a的次数由0次依次递增，当n=k时，最高次数为（2k+1）次，∴用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=，（a≠1）”，在验证n=1时，左端计算所得项为1+a+a2+a3，故选：D．4．（5分）双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点是（0，﹣3），可知k＜0，并且：=3，解得k=﹣1．故选：B．5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AD的中点，则异面直线C1E与BC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图设正方体的棱长为2，得C1（0，2，2），E（1，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）∴=（1，﹣2，﹣2），=（﹣2，0，0）因此，得到||==3，||=2，且•=1×（﹣2）+（﹣2）×0+（﹣2）×0=﹣2∴cos＜，＞==﹣∵异面直线C1E与BC所成的角是锐角或直角∴面直线C1E与BC所成的角的余弦值是故选：C6．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．7．（5分）曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1【解答】解：函数的导数为f′（x）=e x﹣1+xe x﹣1=（1+x）e x﹣1，当x=1时，f′（1）=2，即曲线y=xe x﹣1在点（1，1）处切线的斜率k=f′（1）=2，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=x2（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx，因为函数在x=2时有极值，所以f′（2）=12a+4b=0即3a+b=0①；又直线3x+y=0的斜率为﹣3，则切线的斜率k=f′（1）=3a+2b=﹣3②，联立①②解得a=1，b=﹣3，令f′（x）=3x2﹣6x＜0即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2．故选B9．（5分）已知函数f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，5] B．（﹣∞，5） C． D．（﹣∞，3]【解答】解：f′（x）=9x2﹣2ax+1∵f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增∴f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立．即，即a≤5，故选A10．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【解答】解：∵函数f（x）满足，∴令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，F（2）=4•f（2）=．由，得f′（x）=，令φ（x）=e x﹣2F（x），则φ′（x）=e x﹣2F′（x）=．∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．∴φ（x）≥0．又x＞0，∴f′（x）≥0．∴f（x）在（0，+∞）单调递增．∴f（x）既无极大值也无极小值．故选D．11．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），λμ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ=1，λ﹣μ=，解得λ=，μ=，又由λμ=得=，解得=，∴e==故选C．12．（5分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即Fmin（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是 1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1 ．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．故答案为：x=﹣1．15．（5分）若函数f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx= ﹣．【解答】解：设f（x）dx=c，则f（x）=x2+2c，所以f（x）dx=（x2+2c）dx==c，解得c=；故答案为：﹣．16．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆的上顶点，B是直线 AF2与椭圆的另一个交点，且∠F1AF2=60°，△AF1B的面积为40，则a的值是10 ．【解答】解：∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=a．△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°⇔×a×（a+a）×=40⇔a=10，故答案为：10．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知动圆C过点A（﹣2，0），且与圆M：（x﹣2）2+y2=64相内切求动圆C的圆心的轨迹方程．【解答】解：定圆M圆心M（2，0），半径r=8，因为动圆C与定圆M内切，且动圆C过定点A（﹣2，0），|MA|+|MB|=8．所以动圆心C轨迹是以B、A为焦点，长轴长为8的椭圆．c=2，a=4，b2=12，动圆心轨迹方程．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣，x=1处都取得极值（1）求a，b的值与函数f（x）的单调递减区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵=f′（1）=0，∴+2a×+b=0，3+2a+b=0，联立解得a=，b=﹣2．f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，∴f′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），令f′（x）=（3x+2）（x﹣1）≤0，解得．∴函数f（x）的单调递减区间为．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣x2﹣2x+c，对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立⇔＜c2﹣c，令g（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，∴g′（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），由（1）可得：函数g（x）在，[1，2]上单调递增，在区间上单调递减．而=，g（2）=2．∴g（x）max=2．∴c2﹣c＞2，即c2﹣c﹣2＞0，解得c＞2，或c＜﹣1．∴c的取值范围（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．19．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．建立如图的空间直角坐标系．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值；（3）求点C 到平面A 1BD 的距离．【解答】法一、（Ⅰ）证明：取BC 中点O ，连结AO ， ∵△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ．在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， ∵平面ABC ⊥平面BCC 1B 1， ∴AO ⊥平面BCC 1B 1，连结B 1O ，在正方形BCC 1B 1 中， ∵O ，D 分别为BC ，CC 1 的中点， ∴B 1O ⊥BD ，则AB 1⊥BD ． 在正方形ABB 1A 1 中， ∵AB 1⊥A 1B ， ∴AB 1⊥平面A 1BD ；（Ⅱ）解：设AB 1 与A 1B 交于点G ，在平面A 1BD 中，作GF ⊥A 1D 于F ， 连结AF ，由（Ⅰ）得AB 1⊥平面A 1BD ．∴AF ⊥A 1D ，则∠AFG 为二面角A ﹣A 1D ﹣B 的平面角． 在△AA 1D 中，由等面积法可求得，又∵，∴sin．∴二面角A ﹣A 1D ﹣B 的正弦值为；（Ⅲ）在△A1BD中，，，∴，S△BCD=1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1到平面BCC1B1的距离为．设点C到平面A1BD的距离为d．由，得，∴d=．∴点C到平面A1BD的距离为．法二：（Ⅰ）证明：取BC中点O，连结AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），∴，，．∵，，∴AB1⊥BD，AB1⊥BA1．∴AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）解：设平面A1AD的法向量为．，．由，取z=1，得．由（Ⅰ）知为平面A1BD的法向量．∴cos＜＞=．D﹣B的正弦值为；∴二面角A﹣A1BD法向量，（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，为平面A1∵，．BD的距离d=．∴点C到平面A120．（12分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证：取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．…（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．…（4分）（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD．∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（6分）又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE．又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．…（8分）（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，则C（0，﹣1，0），．…（9分）设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则令z=1，则n=（0，﹣1，1）．…（10分）显然，m=（0，0，1）为平面ACD的法向量．设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，则．α=45°，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°．…（12分）21．（12分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上一动点P（x0，y）关于直线y=2x的对称点为P1（x1，y1），求3x1﹣4y1的取值范围．【解答】解：（1）依题意知，2a=4，∴a=2．∵，∴．∴所求椭圆C的方程为．（2）∵点P（x0，y）关于直线y=2x的对称点为，∴解得：，．∴3x1﹣4y1=﹣5x．∵点P（x0，y）在椭圆C：上，∴﹣2≤x0≤2，则﹣10≤﹣5x≤10．∴3x1﹣4y1的取值范围为[﹣10，10]．22．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（2）设m，n∈R，且m≠n，求证．【解答】解：（1）f′（x）=﹣==，因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立即x2+（2﹣2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立，当x∈（0，+∞）时，由x2+（2﹣2a）x+1≥0，得：2a﹣2≤x+，设g（x）=x+，x∈（0，+∞），则g（x）=x+≥2=2，当且仅当x=即x=1时，g（x）有最小值2，所以2a﹣2≤2，解得a≤2，所以a的取值范围是（﹣∞，2]；（2）设m＞n，要证，只需证＜，即ln＞，即ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，由（1）知h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又＞1，所以h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0成立，得到．。
辽宁省大连市高二数学上学期期末考试试题 文
2016～2017学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科）注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设命题21:,04p x x x ∀∈-+≥R ，则p ⌝为 （ ） A.21,04x x x ∃∈-+≥R B.21,04x x x ∃∈-+<RC.21,04x x x ∃∈-+≤RD.21,04x x x ∀∈-+<R2.已知椭圆2215x y k +=的一个焦点坐标为(2,0)，则k 的值为 （ ） A ．1 B ．3 C ．9 D ．813.若命题()p q ⌝∨为真命题，则下列说法正确的是 （ ） A ．p 为真命题，q 为真命题 B ．p 为真命题，q 为假命题C ．p 为假命题，q 为真命题D ．p 为假命题，q 为假命题 4.抛物线214x y =的准线方程是 （ ） A ．116y =-B ．116x =-C ．116y = D. 116x = 5.在等差数列{}n a 中，134561,20,a a a a a =+++=则8a = （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．106.已知ABC ∆的两个顶点()()5,0,5,0A B -，周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．2213611x y +=B ．()22103611x y y +=≠C ．221916x y +=D ．()2210916x y y +=≠7.函数()ln xf x x=，则 （ ） A ．x e =为函数()f x 的极大值点 B ．x e =为函数()f x 的极小值点 C ．1x e =为函数()f x 的极大值点 D ．1x e=为函数()f x 的极小值点 8.过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有共同渐近线的双曲线方程是（ ） A ．22124y x -= B ．22142x y -= C.22142y x -= D ．22124x y -=9.已知数列{}n a ，1a ＝1，122nn n a a a +=+，则10a 的值为 （ ） A.5 B. 15 C. 112D. 21110.若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3-∞ 11.已知(),0,x y ∈+∞，且满足1112x y+=，那么4x y +的最小值为 （ ） A．3- B．6．3+．612.已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于P ，Q 两点，且四边形12PF QF 为矩形，则双曲线的离心率为 （ ） A．2+2第II 卷二、填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知函数()sin f x x x =，则4f π⎛⎫' ⎪⎝⎭=______． 14.在等比数列{}n a 中，12332,,2a a a 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为_______． 15.椭圆C 的中心在坐标原点，左、右焦点12,F F 在x 轴上，已知,A B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率为_____. 16.已知(,)f x y ax by =+，若1(1,1)2f ≤≤且-1(1,1)1f ≤-≤，则(2,1)f 的取值范围为______．三、解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 已知集合{}22310A x x x =-+≤，集合{}2(21)(1)0B xx a x a a =-+++≤.若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=，n ∈+N ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ）已知{}n b 是等差数列，且满足12b a =，3123b a a a =++，求数列{}n b 的通项公式.19.(本小题满分12分)已知抛物线()220y px p =>，焦点到准线的距离为4，过点()1,1P -的直线交抛物线于,A B 两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点P 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．20.（本小题满分12分）已知函数()34f x ax bx =-+，当2x =时，函数()f x 取得极值43-. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若方程()f x k =有3个不等的实数解，求实数k 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，右顶点为(2,0)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0的直线l 交椭圆于,B D 两点，设直线AB 斜率为1k ，直线AD 斜率为2k ，求证：12k k 为定值.22.（本小题满分12分） 设函数()2x f x x e =．（Ⅰ）求曲线()f x 在点()1,e 处的切线方程；（Ⅱ）若()f x ax <对(),0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求整数n 的值，使函数()()1F x f x x=-在区间(),1n n +上有零点．2016～2017学年度第一学期期末考试高二数学（文科）参考答案一．选择题1．B 2. C 3. D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.A 9.D 10.C 11.C 12.D二．填空题13.28+ 14.1或2 15.5 16.71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三．解答题17.解：根据题意得，1|12A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，…………………………………………………2分{}|1B x a x a =≤≤+， (4)分A B ⊆1211a a ⎧≤⎪∴⎨⎪+≥⎩ …………………………………………………………………………………6分102a ∴≤≤………………………………………………………………………………10分18.解：（Ⅰ）由题设可知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，………………………2分所以13n n a -=， (4)分1331132n n n S --==- (6)分（Ⅱ）设数列{}n b 的公差为d12312333,13b a b a a a S ===++==，31102b b d ∴-==，5,d ∴= (10)分52n b n ∴=- (12)分19.解：（Ⅰ）由题设可知4p =，所以抛物线方程为28y x =……………………………4分（Ⅱ）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=-又21122288y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，相减整理得1212128842y y x x y y -===--+-…………………………………8分所以直线AB 的方程是4(1)1y x =---，即430x y +-=.…………………………12分 方法二：由题设可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)1y k x =--，1122(,),(,)A x y B x y ，由28(1)1y x y k x ⎧=⎨=--⎩，消去x ，得28880ky y k ---=，…………………………………6分易知2132()5602k ∆=++>，128y y k+=， 又122y y +=-所以82k=-，4k =-………………………………………………………8分所以直线AB 的方程是4(1)1y x =---，即430x y +-=.……………………………12分20.解：（Ⅰ）因为2()3f x ax b '=-，所以(2)1204(2)8243f a b f a b '=-=⎧⎪⎨=-+=-⎪⎩，解得1,43a b ==.…………………………………4分所以函数的解析式为31()443f x x x =-+.………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知31()443f x x x =-+， 所以2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在(2,2)-上递减，在(2)+∞，上递增，……………8分所以()f x 在2x =-时取得极大值283，在2x =时取得极小值43-，…………………10分因为方程()=f x k 有3个不等的实数解，所以42833k -<<.……………………………12分21. 解：（Ⅰ）由题意得22222a b c ca a ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………………………………4分（Ⅱ）方法一：由题意知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为1x m y =+，1122(,),(,)B x y D x y由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得22(4)230m y my ++-=， 易知216480m ∆=+>，得12122223,44m y y y y m m --+==++ (8)分12121212212121212(2)(2)(1)(1)()1y y y y y y k k x x my my m y y m y y ===-----++222333244m m m -==--+++．所以1234k k =-为定值………………………………12分方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，(1,,(1,)22B D -所以1232212124k k =⋅=---………………………………………………………………6分（ⅱ）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)B x y D x y由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得2222(14)8440k x k x k +-+-=， 易知248160k ∆=+>，22121222844,1414k k x x x x k k-+==++ ……………………………8分[]22121212121212121212()1(1)(1)(2)(2)(2)(2)2()4k x x x x y y k x x k k x x x x x x x x -++--===-----++ 2222222(44814344164164k k k k k k k --++==---++）．所以1234k k =-为定值…………………………12分22.解：（Ⅰ）()()22x f x x x e '=+，∴()13f e '=，∴所求切线方程为()31y e e x -=-，即32y ex e =-…………………4分（Ⅱ）∵()f x ax <，对(),0x ∈-∞恒成立，∴()x f x a xe x<=对(),0x ∈-∞恒成立. 设()()(),1xxg x xe g x x e '==+，令()0g x '>，得1x >-，令()0g x '<得1x <-， ∴()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， ∴()()min 11g x g e =-=-，∴1a e<-………………………………………………………8分（Ⅲ）令()0F x =得()1f x x =，当0x <时，()210,0xf x x e x=><， ∴()F x 的零点只能在()0,+∞上， (10)分()221(2)x F x x x e x '=++在()0,+∞上大于0恒成立，∴函数()F x 在()0,+∞上递增. ∴()F x 在()0,+∞上最多有一个零点.∵()1110,F 202F e ⎛⎫=->=< ⎪⎝⎭， ∴由零点存在的条件可得()F x 在()0,+∞上有一个零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴0n =………………………………………………………………………………………12分。
2016-2017学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学(文)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设命题p :∀x ∈R ,x 2−x +14≥0，则¬p 为（ ） A. ∃x ∈R ,x 2−x +14≥0 B. ∃x ∈R ,x 2−x +14<0C. ∃x ∈R ,x 2−x +14≤0D. ∀x ∈R ,x 2−x +14<02．已知椭圆x 2k +y 25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k 的值为（ ）A. 1B. 3C. 9D. 813．若命题¬(p ∨q )为真命题，则下列说法正确的是（ ） A. p 为真命题，q 为真命题 B. p 为真命题，q 为假命题C. p 为假命题，q 为真命题D. p 为假命题，q 为假命题4．抛物线x 2=14y 的准线方程是（ ）A. y =−116B. x =−116C. y =116D. x =1165．在等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 4+a 5+a 6=20,则a 8=（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106．已知ΔA B C 的两个顶点A (5,0),B (−5,0)，周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A. x 236+y 211=1B. x 236+y 211=1(y ≠0)C.x 29+y 216=1 D. x 29+y 216=1(y ≠0) 7．函数f (x )=ln x x ，则（ ）A. x =e 为函数f (x )的极大值点B. x =e 为函数f (x )的极小值点C. x =1e 为函数f (x )的极大值点D. x =1e 为函数f (x )的极小值点8．过点(2,−2)且与双曲线x 22−y 2=1有共同渐近线的双曲线方程是（ ）A. y22−x24=1 B. x24−y22=1 C. y24−x22=1 D. x22−y24=19．已知数列{a n}，a1＝1，a n+1=2a na n+2，则a10的值为（）A. 5B. 15C. 112D. 21110．若函数f(x)=x3+x2+m x+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A. (13,+∞) B. (−∞,13) C. [13,+∞) D. (−∞,13]11．已知x,y∈(0,+∞)，且满足1x +12y=1，那么x+4y的最小值为（）A. 3−22B. 6+2C. 3+22D. 6−212．如图，F1，F2是双曲线C:x2a −y2b=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点，若直线y=x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1Q F2为矩形，则双曲线的离心率为（）A. 2+6B. 2+6C. 2+2D. 2+2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知函数f(x)=x sin x，则f′(π4)=______．14．在等比数列{a n}中，2a1,32a2,a3成等差数列，则等比数列{a n}的公比为_______．15．椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1,F2在x轴上，已知A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2//A B，则此椭圆的离心率为_____. 16．已知f(x , y)=a x+b y，若1≤f(1 , 1)≤2且-1≤f(1 , −1)≤1，则f(2 , 1)的取值范围为______．三、解答题17．已知集合A={x|2x2−3x+1≤0}，集合B={x|x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0}.若A⊆B，求实数a的取值范围.18．设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式. 19．已知抛物线y2=2p x(p>0)，焦点到准线的距离为4，过点P(1,−1)的直线交抛物线于A,B两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点P恰是线段A B的中点，求直线A B的方程．20．已知函数f(x)=ax3−b x+4，当x=2时，函数f(x)取得极值−43.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若方程f(x)=k有3个不等的实数解，求实数k的取值范围．21．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，右顶点为A(2,0).（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点(1,0)的直线l交椭圆于B,D两点，设直线A B斜率为k1，直线A D斜率为k2，求证：k1k2为定值.22．设函数f(x)=x2e x．（Ⅰ）求曲线f(x)在点(1,e)处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)<a x对x∈(−∞,0)恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求整数n的值，使函数F(x)=f(x)−1x在区间(n,n+1)上有零点．参考答案1．B【解析】根据全称命题的否定是特称命题的概念，选B .点睛：全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量．全称命题：含有全称量词的命题．存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词.存在性命题：含有全称量词的命题．全称命题的否定是特称命题.2．C【解析】依题意有k −5=22,k =9.3．D【解析】由于¬(p ∨q )为真命题，所以p ∨q 为假命题，故p ,q 均为假命题.4．A【解析】依题意，2p =14,p =18，故准线方程为y =−116. 5．C【解析】依题意有4a 1+14d =20,d =87,a 8=a 1+7d =1+8=9. 6．B【解析】依题意C 的轨迹为椭圆，不包括左右顶点.其中2a =22−10=12,a =6,c =5，b = 62−52= 11，所以椭圆方程为x 236+y 211=1(y ≠0).7．A【解析】f ′(x )=1−ln x x ，故当0<x <e 时函数单调递增，当x >e 时，函数单调递减，故x =e 为函数的极大值点.8．A【解析】设双曲线方程是x 22−y 2=γ，将(2,−2)代入上式，解得γ=−2，故双曲线的方程为y 22−x 24=1.9．D【解析】依题意，a 2=23,a 3=24,a 4=25，以此类推，a 10=211.10．C【解析】f ′(x )=3x 2+2x +m ,∵f (x )在R 上是单调函数，∴f ′(x )≥0恒成立，∴Δ=22−4×3×m ≤0，∴m ≥13。
2017-2018学年大连五校高二上期末数学试卷(文科)含答案解析
2017-2018学年辽宁省大连五校高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b23．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3x+4log x3 B．y=e x+4e﹣xC．y=sinx+（0＜x＜π）D．y=x+4．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．﹣9 B．15 C．0 D．﹣105．（5分）下列命题中，说法错误的是（）A．“若p，则q”的否命题是“若¬p，则¬q”B．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的充分不必要条件C．“∀x＞2，x2﹣2x＞0”的否定是“∃x≤2，x2﹣2x≤0”D．“若b=0，则f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的逆命题是真命题6．（5分）设a＞0，b＞0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．87．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，P是以F1F为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠PF2F1，则这个椭圆的离心率是（）A．﹣1 B．2﹣C．D．8．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2﹣8a5=0，则=（）A．B．C．2 D．179．（5分）等差数列{a n}中，S n是其前n项和，，则S11=（）A．﹣11 B．11 C．10 D．﹣1010．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2 D．11．（5分）设{a n}为等差数列，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时的n值为（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f'（x），当x＜0时，f（x）满足，2f（x）+xf'（x）＜xf（x），则f（x）在R上的零点个数为（）A．5 B．3 C．1或3 D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）函数的递增区间为．14．（5分）在数列{a n}中，a2=，a3=，且数列{na n+1}是等比数列，则a n=．15．（5分）已知函数，若函数f（x）在区间[2，4]上是单调增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）若数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n﹣1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2（1﹣a n），若数列的前n项和为T n，求证：T n ＜1．18．（12分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1（a≠0）．（1）若f（x）≤2在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式f（x）＜0．19．（12分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线G：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点，当直线的斜率是时，．（1）求抛物线G的方程；（2）设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明为等差数列．（3）若数列{c n}的通项公式为，令p n=c2n﹣1+c2n．T n为{p n}的前n项的和，求T n．21．（12分）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于B，C两点．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线AB和AC分别与直线x=4交于点M，N，问：x轴上是否存在定点P使得MP⊥NP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a，b 的值；（2）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公共的切线，求正数a的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线，则mn＞0，即“mn＞0”是“方程mx2﹣ny2=1的曲线是双曲线”的充要条件，故选：C2．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式中错误的是（）A．B．C．|a|＞|b|D．a2＞b2【解答】解：∵a＜b＜0，∴＞，|a|＞|b|，a2＞ab＞b2．因此A，C，D正确．对于B：a＜b＜0时，可得＜，因此B不正确．故选：B．3．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A．y=log3x+4log x3 B．y=e x+4e﹣xC．y=sinx+（0＜x＜π）D．y=x+【解答】解：A.0＜x＜1时，y＜0，不正确。
辽宁省大连市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
辽宁省大连市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且点M 在椭圆上，|MF 1|=2，则|MF 2|为（ ） A ．3B ．7C ．8D ．42．与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（ ）A ． =1B ． =1C ． =1D ． =13．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（ ）A ．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本 4．抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．8D ．﹣85．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）A．B．C．D．6．阅读如图的算法程序，此程序的功能是（）A．计算3×10的值B．计算310的值C．计算39的值D．计算1×2×3×…×10的值7．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量由表中数据得到线性回归方程=）A．68度B．52度C．12度D．28度8．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．1210．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点的坐标为（3，y 1）时，△AEF 为正三角形，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．某单位抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，则该代表中奖的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 2﹣e 1的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．（0，）D ．（，）二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=120°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率______．14．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为______，平均数为______．15．下列说法正确的是______（填上所有正确说法的序号）①残差平方和越大的模型，拟合效果越好；②用相关指数R 2来刻画回归效果时，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高．④一个样本的方差，则这组数据等总和等于60；⑤数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的方差为4σ2．16．设F 1、F 2分别为双曲线C ：=1（a ，b ＞0）的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为______．三、解答题：17．直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为1500，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值． 18．已知圆的参数方程为（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线C 1；以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点 P 与曲线C 2上点的距离的最小值，并求此时P 点的坐标． 19．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，距据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上，若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表．（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人”的概率．K 2=．20．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin （θ+），曲线C 2的参数方程为，t 为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣，θ=φ+与曲线C 1分别交异于极点O的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求α的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．21．点F 1（0，﹣），F 2（0，），动点M 到点F 2的距离是4，线段MF 1的中垂线交MF 2于点P ． （1）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（2）若斜率为的动直线l 与轨迹G 相交于A 、B 两点，Q （1，）为定点，求△QAB 面积的最大值．22．已知椭圆C ： =1的离心率为，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为，抛物线D 以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点． （Ⅰ）求椭圆C 与抛物线D 的方程；（Ⅱ）已知A ，B 是椭圆C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，判定原点O 到直线AB 的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．辽宁省大连市2017-2018学年高二上学期期末试卷文科数学参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且点M 在椭圆上，|MF 1|=2，则|MF 2|为（ ）A ．3B ．7C ．8D ．4 【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其定义即可得出．【解答】解：由椭圆，可得a=5．∵点M在椭圆上，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，∴|MF2|=10﹣|MF1|=8．故选：C．2．与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A． =1 B． =1 C． =1 D． =1【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出λ的值即可．【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．3．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本【考点】收集数据的方法．【分析】根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．【解答】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在所给的四个抽样中，从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，它们都是一个简单随机抽样；对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，这是一个最适宜用系统抽样法的．故选C．4．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8【考点】抛物线的定义．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．5．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．故选：A．6．阅读如图的算法程序，此程序的功能是（）A．计算3×10的值B．计算310的值C．计算39的值D．计算1×2×3×…×10的值【考点】伪代码．【分析】逐步分析框图中的各框语句的功能，可知程序的功能．【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能，变量从1到10，共10个数相乘，输出其结果，即程序的功能是计算1×2×3×…×10的值．故选D．7．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量由表中数据得到线性回归方程=）A．68度B．52度C．12度D．28度【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得==10，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴=﹣2x+60，当x=﹣4时， =﹣2×（﹣4）+60=68．故选：A．8．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【考点】极差、方差与标准差．【分析】由频率分布条形图可知，A的9个数据都是5，方差为0，B和C数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大，D数据主要分布在2和8处，距离平均数是最远的一组，得到最后一个频率分步直方图对应的数据的方差最大，即标准差最大．【解答】解：由所给的几个选项观察数据的波动情况，得到方差之间的大小关系，A的9个数据都是5，方差为0，B和C数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大，D数据主要分布在2和8处，距离平均数是最远的一组，∴最后一个频率分步直方图对应的数据的方差最大，则标准差最大，故选：D．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n 值为7， 故选：C10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点的坐标为（3，y 1）时，△AEF 为正三角形，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【考点】抛物线的简单性质．【分析】过F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点，利用A 点坐标为 （3，y 1），可求p ． 【解答】解：如图所示，过F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点， 因为A 点坐标为 （3，y 1），所以AE=3+，EH=p ，所以2p=3+， 所以p=2． 故选：A ．11．某单位抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，则该代表中奖的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】程序框图．【分析】确定满足0≤x ≤1，0≤y ≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：由已知0≤x ≤1，0≤y ≤1，点（x ，y ）在如图所示的正方形OABC 内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x ﹣y ﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x ，y ∈[0，1]时满足2x ﹣y ﹣1≤0的区域的面积为S 阴=×（1+）×1=，∴该代表中奖的概率为： =．故选：C ．12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 2﹣e 1的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．（0，）D ．（，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1=r 1，PF 2=r 2．利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c 的范围即可求出e 2﹣e 1的取值范围．【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c ，|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2． 由题意知r 1=10，r 2=2c ，且r 1＞r 2，2r 2＞r 1， ∴2c ＜10，2c+2c ＞10， ∴2.5＜c ＜5，∴e 1==；e 2==．∴e 2﹣e 1=﹣==＞，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=120°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率．【考点】几何概型．【分析】以菱形ABCD 的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均大于1．因此算出菱形ABCD 的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：分别以菱形ABCD 的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示． 在菱形ABCD 内任取一点P ，则点P 位于四个圆的外部时， 满足点P 到四个顶点的距离均大于1，即图中的阴影部分区域∵S 菱形ABCD =AB•BCsin120°=4×4×=8，∴S 阴影=S 菱形ABCD ﹣S 空白=8﹣π×12=8﹣π．因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P==，故答案为：．14．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为 155 ，平均数为 156.8 ．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据频率分布直方图中的数据，求出该组数据的中位数与平均数即可． 【解答】解：根据频率分布直方图，得； （0.005+0.015）×20=0.4＜0.5， 0.4+0.020×20=0.8＞0.5， ∴中位数落在[150，170）， 设中位数为x ，则0.4+（x ﹣150）×0.020=0.5， 解得x=155；该组数据的平均数为=0.005×20×120+0.015×20×140+0.020×20×160+0.005×20×180+0.003×20×200+0.002×20×220=156.8． 故答案为：155、156.8．15．下列说法正确的是 ③④⑤ （填上所有正确说法的序号）①残差平方和越大的模型，拟合效果越好；②用相关指数R 2来刻画回归效果时，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高．④一个样本的方差，则这组数据等总和等于60；⑤数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的方差为4σ2．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①②③④直接利用定义可直接判断；⑤设出数据的平均数，根据表达式得出数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的平均数为2m+1，分别计算方差可得．【解答】解：①残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故错误；②用相关指数R 2来刻画回归效果时，R 2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故错误；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，正确．④一个样本的方差，可知平均数为3，故这组数据等总和等于60，故正确；⑤数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2， 设平均数为m ，偏差为a n ﹣m则数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的平均数为2m+1，偏差为2a n +1﹣2m ﹣1=2（a n ﹣m ）， 故方差为4σ2．故正确． 故答案为③④⑤16．设F 1、F 2分别为双曲线C ：=1（a ，b ＞0）的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M ，N 的坐标，再利用余弦定理，求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：设以F 1F 2为直径的圆与渐近线y=x 相交与点M 的坐标为（x 0，y 0）（x 0＞0）， 根据对称性得N 点的坐标为（﹣x 0，﹣y 0），∴；解得M （a ，b ），N （﹣a ，﹣b ）； 又∵A （﹣a ，0），且∠MAN=120°，∴由余弦定理得4c 2=（a+a ）2+b 2+b 2﹣2•bcos 120°，化简得7a 2=3c 2，∴e==．故答案为：．三、解答题：17．直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为1500，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为150°，利用斜率计算公式及其同角三角函数基本关系式即可得出可得l 的参数方程．由曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15，利用即可得出直角坐标方程．（2）把l 的参数方程代入C 得：，设A ，B 对应参数t 1，t 2，利用|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|=，即可得出．【解答】解：（1）直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为150°，即斜率为tan150°==，可得l 的参数方程为：为参数）．∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15， ∴直角坐标方程C 为：x 2+y 2﹣2x ﹣15=0．（2）把l 的参数方程代入C 得：，设A ，B 对应参数t 1，t 2，则，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|===．18．已知圆的参数方程为（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线C 1；以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点 P 与曲线C 2上点的距离的最小值，并求此时P 点的坐标． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由已知可得曲线C 1的参数方程为，消去参数θ可得，由三角函数公式可化极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=8，可得x+y=8；（Ⅱ）由题意可得距离d==，由三角函数的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得曲线C 1的参数方程为，消去参数θ可得+y2=1，的极坐标方程为，∵曲线C2∴ρcosθ+ρsinθ=8，即x+y=8；上的动点，（Ⅱ）设P（cosθ，sinθ）为曲线C1：x+y=8上点的距离d==，则点P与曲线C2当sin（θ+）=1即θ=时，d取最小值3，此时P（，）19．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，距据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上，若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表．（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人”的概率．K2=．【考点】独立性检验的应用；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知可得2×2列联表；（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K2=≈13.333，与临界值比较，即可得出结论；（III）利用列举法确定基本事件，即可求出事件A“选出的2人均是青年人”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：200×0.9=180人经常使用微信的有180﹣60=120人，其中青年人：120×=80人所以可列下面2×2列联表：（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K 2=≈13.333＞10.828 …所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．…（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有=4人，中年人有2人设4名青年人编号分别1，2，3，4，2名中年人编号分别为5，6， 则“从这6人中任选2人”的基本事件为： （1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共15个 … 其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6个 …故P （A ）=． …20．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin （θ+），曲线C 2的参数方程为，t 为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣，θ=φ+与曲线C 1分别交异于极点O的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求α的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用即可把曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程，由于曲线C 1关于曲线C 2对称，可得圆心在C 2上，即可解出．（2）由已知可得|OA|=2sin （φ+），|OB|=2sin （φ+），|OC|=2sin φ，|OD|=2sin（φ+），化简整理即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin （θ+），展开为（ρsin θ+ρcos θ），可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x+2y ，化为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2，∵曲线C 1关于曲线C 2对称，∴圆心（1，1）在C 2上，∴，化为tan α=﹣1，解得α=．∴C 2：为y ﹣3=﹣1（x+1），化为x+y ﹣2=0．（2）|OA|=2sin （φ+），|OB|=2sin （φ+），|OC|=2sin φ，|OD|=2sin （φ+），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin φsin （φ+）+8cos φsin （φ+）=8sin φsin （φ+）+8cos φcos （φ+）=8cos=4．21．点F 1（0，﹣），F 2（0，），动点M 到点F 2的距离是4，线段MF 1的中垂线交MF 2于点P ． （1）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（2）若斜率为的动直线l 与轨迹G 相交于A 、B 两点，Q （1，）为定点，求△QAB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）连接PF 1，推导出|PF 1|+|PF 2|=4＞|F 1F 2|=2，由此利用椭圆的定义能求出动点P 的轨迹G 的方程．（2）设直线l 的方程为y=，代入椭圆方程，得4x 2+2+m 2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△QAB 面积的最大值． 【解答】解：（1）如图，连接PF 1， ∵|MF 2|=4，∴|PM|+|PF 2|=4，又∵|PM|=|PF 1|，∴|PF 1|+|PF 2|=4＞|F 1F 2|=2，由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 是以F 1（0，﹣），F 2（0，）为焦点、以2为长轴的椭圆，∴设椭圆方程为=1，（a ＞b ＞0），则，∴b=，∴动点P 的轨迹G 的方程为．（2）设直线l 的方程为y=，代入椭圆方程，得（）2+2x 2=4，即4x 2+2+m 2﹣4=0，由△=8m 2﹣16（m 2﹣4）=8（8﹣m 2）＞0，得m 2＜8．又点Q 不在直线l 上，则m ≠0.0＜m 2＜8．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，．∴|AB|=|x 1﹣x 2=•=•=．可得，点Q 到直线l 的距离d=，则S △QAB =|AB|d=×=．∵≤=4，则S，当且仅当m 2=4，即m=±2时取等号．故△QAB 面积的最大值为．22．已知椭圆C ： =1的离心率为，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为，抛物线D 以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．（Ⅰ）求椭圆C 与抛物线D 的方程；（Ⅱ）已知A ，B 是椭圆C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，判定原点O 到直线AB 的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率a=2c ，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=，求解解得a ，c ，求出p ，即可得到椭圆C 的方程，抛物线D 方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 与x 轴垂直时，设AB ：x=m ，则，利用OA ⊥OB ，求出m ，推出原点到直线AB 的距离．当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m 代入3x 2+4y 2﹣12=0，利用韦达定理以及判别式大于0，利用向量数量积为0，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知=，即a=2c ，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=，∴=，解得b=，∴a 2=，解得a 2=4，∴c=1，∴=1，∴p=2，∴椭圆C 的方程为，抛物线D 方程为y 2=4x ； 5分（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 与x 轴垂直时，设AB ：x=m ，则，∵OA ⊥OB ，∴=x 1x 2+y 1y 2==0，解得m=，∴原点到直线AB 的距离为． 7分． 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m 代入3x 2+4y 2﹣12=0整理得，（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，则△=（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，即4k 2﹣m 2+3＞0，x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）==，∵OA ⊥OB ，∴=x 1x 2+y 1y 2=+=0，即7m 2=12（k 2+1），且满足△＞0，10分∴原点到直线AB 的距离为=，11分故原点O 到直线AB 的距离为定值，定值为． 12分．。
2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末数学文试题(解析版)
大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题,故选D.2. 在等比数列a n中，a4=4，则（）A. 4B. 16C. 8D. 32【答案】B【解析】等比数列的性质可知,故选B.<1，则p是q的（）3. 命题p:x>1，命题q:1xA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A<1，反之不成立，所以p是q的充分不必要条件【解析】试题分析：当x>1时可得到1x考点：充分条件与必要条件4. 已知实数x,y满足，则z=2x+y的最大值为（）A. 8B. 12C. 14D. 20【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点6,2处取得最大值为14,故选C.5. 双曲线的离心率等于33b，则该双曲线的焦距为（）A. 25 B. 8 C. 6 D. 26【答案】B【解析】依题意可知a=2,ca =33b,c=233b,,故选B.6. ，且a>b，则下列结论正确的是（）A. a2>b2B. ba<1 C. D.【答案】D【解析】令,代入验证,排除A.令,代入验证,排除B,C,故选D.7. F1,F2为椭圆C:x2a +y2b=1左右焦点，A为椭圆上一点，A F2垂直于x轴，且三角形A F1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. 2 C. 2 D. 2��?/m:t>【答案】A【解析】由于轴,所以A F2=b2a,依题意可知b2a=2c,即,两边除以a2得,解得.故选A.8. 数列a n的前n项和，当S n取最小值时n的值为（）A. 7B. 8C. 7��?/m:t>8D. 9【答案】C【解析】二次函数的开口向上,对称轴为x=152,故当n=7或n=8时,取得最小值.故选C.9. 已知直线y=x+a与曲线y=ln x相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】本题考查导数的运算，导数的几何意义及导数的应用.10. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A. B. 1,2 C. D.【答案】D【解析】,由于解决为,故a<0,且,故的开口向下,两个根为1,2,所以解集为x<1,x>2.故选D.11. P为双曲线上的任意一点，则P到两条渐近线的距离乘积为（）A. 185B. 2 C. 365D. 1【答案】A【解析】不妨设P2,0,双曲线渐近线为.点P到的距离为d=610=3105,故成绩为d2=9025=185.【点睛】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查双曲线上的点到渐近线的距离的成绩为定值.由于本题是一个定值问题,再结合题目是一个选择题,故可以采用特殊点,计算点到渐近线的距离然后相乘,即可得到所求的结果.双曲线的渐近线是令求解出来.12. 已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出函数f x的图象如下图所示.由图可知,当y=a x和相切时,斜率取得最小值,将y=a x代入,化简得,判别式,所以的取值范围是,故选B.【点睛】本小题主要考查函数图象与性质,考查含有绝对值函数图象的画法,考查直线和二次曲线相切的表示方法,即判别式为零. 应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知a>0,b>0,a+b=2,a b的最大值为___．【答案】1【解析】由基本不等式得.14. 函数的单调递增区间是___．【答案】【解析】,由题意，解得x>2，所以函数的递增区间是.15. 已知抛物线y2=x和点A4,0,质点M在此抛物线上运动，则点M与点A距离的最小值为___．【答案】152【解析】设M m 2,m ,由两点间的距离公式得.16. 等差数列 a n 与 b n 的前n 项和为分别为S n 和T n ，若，则a6b 6=___．【答案】3123【解析】a 6b 6=2a 62b 6=a 1+a 11b 1+b 11=S11T 11=3123.【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式,考查等差数列的性质. 这些题都是等差数列的性质的应用,熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．另外注意不能直接代入6计算.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 过抛物线E :y 2=2p x 的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点. 求证：【答案】证明见解析【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得P 1,P 2两点的坐标,可得y 1y 2=−p 2成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去x ,用韦达定理证明. 【试题解析】当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则y 1y 2=−p 2成立， 当直线不与x 轴垂直时，设y =k x −p2y =k x −p2 y 2=2p x得k y 2−2p y −p 2=0所以y 1y 2=−p 2 . 18. 已知函数（1）当a =2时，求f x 的极大值； （2）当为何值时，函数f x 有3个零点. 【答案】(1)323；(2).【解析】【试题分析】(1)a =2时,对函数求导,写出单调区间,可得到极大值.(2)对函数求导,得到函数的单调区间和极大值与极小值,只需要极大值大于零,极小值小于零就符合题意,由此解得的取值范围. 【试题解析】 （1）f ′(x )=x 2−4,由解得x ��?/m :t >2或解得所以当x =−2时f (x )有极大值f (−2)=223 （2）由f ′(x )=x 2−4=0,解得x 1=−2,x 2=2.f (x )的单调增区间是和当x ��?/m :t >时，f (x )是减函数；f (x )的极大值f (−2)=a +163极小值为f (−2)=a −163所以a +163>0且a −163<0所以−163<a <16319. 已知 0,?��1 是椭圆C 的一个顶点，焦点在x 轴上，其右焦点到直线：y =x +2 2的距离等于3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 1,12 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，若P 为MN 中点，求直线方程. 【答案】(1)x 23+y 2=1；(2).【解析】【试题分析】(1)由题知b =1,利用焦点到直线的距离求出,进而得到和椭圆的标准方程.(2)设出M ,N 两点的坐标,代入椭圆方程,利用点差法求得直线的斜率,用点斜式得到直线方程. 【试题解析】（1）由题知b =1，d =2+ 2=3,（2）x 123+y 12=1x 223+y 22=1所��?/m:t>+y1−y2y1+y2=0,所以.所以直线方程为y−12=−23x−1，即4x+6y−7=0.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离公式,考查点差法求解有关中点弦的问题. 处理直线与圆锥曲线相交时候的相交弦长和中点问题时，利用根与系数的关系或者中点坐标公式，涉及弦的中点，还可以利用点差法．设点的坐标,并没有求出来,这就是设而不求的思想.20. 已知数列a n的前n项和，数列b n的每一项都有b n=a n.（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列b n前n项和.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)数列前5项为正数,从第6项起为负数,故将n分成n��?/m:t>5,n>5两类,求解出数列的前n项和.【试题解析】（1）（2）T n=2S5−S n=50−(10n−n2)=n2−10n+5021. 已知函数f x=ln xx.（1）求f x的单调区间；（2）当x>0时，若恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)f(x)在(0,e12)上是增函数，在上是减函数；(2).【解析】【试题分析】(1)求函数的定义域,求导后写出单调区间.(2)原不等式等价于m��?/m:t>ln x恒成,构造函数g(x)=x2ln x,利用导数求得函数g x的最小值,由此求得实数m的取值范围.【试题解析】（1）f(x)定义域为，f′(x)=1−2ln xx3，f′(x)>0，解得0<x<e12，f′(x)<0，解得x>e12，∴f(x)在(0,e12)上是增函数，在上是减函数；（2）不等式等价于A��?/m:t>ln x，令g(x)=x2ln x，g′(x)=2x ln x+x=x(2ln x+1)，g′(x)>0，解得x>e−12，g′(x)<0，解得0<x<e−12，∴g(x)在(0,e−12)上是减函数，在上是增函数，g(x)在x=e−12时取最小值g(e−12)=−12e ，∴m��?/m:t>−12e，故A的最佳取值为【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,函数导数与不等式恒成立问题的解法. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．22. 已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长22，焦点F c,0，点，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P,Q两点，且以线段P Q为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线P Q的方程；不存在，说明理由.【答案】(1)x26+y22=1；(2)答案见解析.【解析】【试题分析】(1)利用列方程,可求得c=2,由题意可知b=2,由此求得,且出去椭圆的标准方程.(2)设直线P Q的方程为y=k x−3,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得k的值.【试题解析】（1）由题意知，b=,F c,0,A10c−c,0由，得c=20c−4c，解得：c=2.椭圆的方程为x26+y22=1离心率为6=63（2）A3,0，设直线P Q的方程为y=k x−3联立y=k x−3x26+y22=1，得1+3k2x2−18k2x+27k2−6=0设P x1,y1,Q x2,y2，则x1+x2=18k21+3k2,x1x2=27k2−61+3k2y1y2=k2x1x2−3x1+x2+9=k227k2−61+3k2−54k21+3k2+9=3k21+3k2由已知得，得x1x2+y1y2=0，即27k2−61+3k2+3k21+3k2=30k2−61+3k2=0解得：，符合直线P Q的方程为.。
大连市2017-2018高二第二学期数学文科试卷(含答案)
表二中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为 a ， b ，
c ，尚待改进的2人为 A ， B ，则从这5人中任选2人的所有可能结果为 a, b ，
a, c ， b, c ， A, B ， a, A ， a, B ， b, A ， b, B ， c, A ， c, B ，共10种，..........4分
1 3 x 1 即9 x 3 y 10 0 .........4分 3
（Ⅱ） f ' x x 2 4 x 2 x 2
，令
f ' x 0 x 2或x 2
x
f ' x f x
, 2
2
1 1 1 19、解：（Ⅰ）当 a 4 时， f x x 3 4 x 4 f (1) A 1, 3 3 3
A k f ' 1 3 f ' x x 2 4 在点处切线的斜率
切线方程为y
.......2分
2017～2018学年第二学期期末考试 高二数学（文科）答案
一、选择题：DBAC CBBC ABAD 二、填空题：13、4 14、 三、解答题： 17、证明：假设 a
4 9 16 b c 都小于6，......2分 b， c， a 4 9 16 即a 6 b 6 c 6 b c a ， ， 4 9 16 a b c 18 .................6分 b c a
6 6 2
且 i61 x i yi 47.64 ，
∑ (������������ ‒ ������)
大连市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试卷(含答案)
……………………….4 分 ……………………….5 分
（2 不等式等价于 A x ln x ，令 g ( x ) x ln x ， g '( x ) 2 x ln x x x (2 ln x 1) ，
g '( x ) 0 ，解得 x e ， g '( x …………….8 分
………………….2 分 ………….4 分
所以an 11 2n( n N )
（2）
由于an 11 2n(n N ), 易得a5 1 0, a6 1 0, 所以当n 5时，bn an , Tn Sn 10n n2 ;
当n 5时，bn an ,
Tn 2 S5 S n 50 (10n n 2 ) n 2 10n 50
……………………….6 分 ……………………….8 分 ……………………….10 分 ………………….12分
10n n2 (n 5) 即Tn 2 n 10n 50( n 5)
19.解： （1）由题知 b 1 ， d …………10 分 …………12 分
2 2 c 2
3,
……………….2 分
所以2 2+c 3 2, 所以c 2. 由a 2 b 2 c 2 , 得a 2 3. 所以椭圆的标准方程为 x2 y 2 1. 3
…………….5 分
x12 y12 1 3 （2） 设M（x1 , y1），N（x2 ,y2），则有 2 x2 y 2 1 2 3
………………………7 分
所以
x1 x2 x1 x2
3
y1 y2 y1 y2 0,
辽宁省大连市2017-2018学年高二下学期期末考试理科数学试题(word版)
大连市2017～2018学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）命题人：赵文莲安玉德徐雪莲校对人：赵文莲第I卷选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数A.2+iB.1-iC.1+iD.2-i2．设x为随机变量，x～B（n，），若随机变量x的数学期望E(x)=2，则P(X=2)=( ) A．B．C． D3．某单位为了解办公楼用电量y（度）与气温x(℃)之间的关系，随机统计了四个工作日用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为-4℃时，预测用电量为( )A. 68度B．52度C．12度D．28度4．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有( )A. 60种B．120种C．240种D．480种5．设a，b，c都为正数，那么，用反证法证明“三个数至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是( )A.这三个数都不大于2 B．这三个数都不小于2C．这三个数至少有一个不大于2 D．这三个数都小于26．将两枚骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同），B={至少出现一个3点}，则P(B|A)= ( )A．B．C．D．7．若展开式中各项系数之和为32，则展开式中含x3项的系数为( ) A． 5 B．5 C．405 D．4058．(x-1)3 =a o+a1x+a2x2+a3x3，则(a o+a2)2- (a1+a3)2的值为( )A．2 B． 2 C．8 D．89．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N (102，42)，则114分以上的成绩所占的百分比为( )A.0.3%B.0.23%C.0.13%D.1.3%10．将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法总数为( )A. 240种B．480种C．720种D．960种11.某班数学课代表给全班同学出了一道证明题．甲说：“丙会证明．”乙说：“我不会证明．”丙说：“丁会证明．”丁说：“我不会证明．”以上四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( )A．甲B．乙C．丙D．丁12.如图所示的五个区域中，中心区E域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为( )A．56 B．72 C．64 D．84第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现从98件正品和2件次品共100件产品中，任选3件检查，恰有一件次品的抽法有种．14.若复数z= (x2—2x-3)+(x+1)i为纯虚数，则实数x的值为15．观察以下各等式：，分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式为．16.某一部件由四个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N (1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）求证：mn m n m n C C C 11+-=+18.（本小题满分12分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字． (I)求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；(Ⅱ)记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 19．（本小题满分12分）某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，采用A ， B 两种不同的学习方式分别在甲、乙两个班进行实验，为了解实验效果，期末考试后，对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如下图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；(Ⅱ)判断能否在犯错误的概率不超过0. 05的前提下认为：“成绩优秀”与学习方式有关？20.（本小题满分12分）数列{a n}满足S n=2n-a n(n∈N*)．(I)计算a1，a2，a3，并由此猜想通项公式a n；(Ⅱ)用数学归纳法证明（I）中的猜想．21.（本小题满分12分）甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为p，乙每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．(I)若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；(Ⅱ)若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X，求X的分布列和数学期望，请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程直角坐标系中，以原点为极点，z轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2(sinθ＋cosθ)，直线Z的参数方程为．（t为参数）．(I)写出圆C和直线l的普通方程；(Ⅱ)点P为圆C上动点，求点P到直线Z的距离的最小值．23.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知关于x的不等式|x-3|+|x-2|<a.(I)当a=3时，解不等式；(Ⅱ)如果不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．2017～2018学年第二学期期末考试答案高二数学（理）一．选择题1.C . 2．A 3．A. 4．C.5．D. 6．A 7．C 8.D 9. C 10．B 11.B 12．D 二．填空题 13.9506 . 14.3 15.()()223sin cos 30cos 304n n sinn n ︒+︒+︒+︒︒+︒=16.169. 三．解答题17．.(本小题满分12分)（法一）)!1()!1(!)!(!!1+--+-=+-m n m n m n m n C C m n m n ----------（4分）=)!1(!!)1(!+-++-m n m mn m n n ---------（6分）=)!1(!)1(!+-+m n m n n ------------------（8分）=]!)1[(!)!1(m n m n -++------------------（10分）=mn C 1+ ------------------（12分）（法二）一般地，从（n+1)个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第一类取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个，有mn C 个；-----------------（5分）第二类取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取（m-1）个后再取出元素a,有1-m nC 个-----------------（10分）根据分类加法计数原理可得mn m n m n C C C 11+-=+-----------------（12分）18.(本小题满分12分)27391.4C P C ==Ⅰ取出的这三个数字中最大数字是8的概率解（）； ------------------（6分）（Ⅱ）随机变量ξ的分布列---------------------------------------------------------------------（10分）ξ的数学期望53E ξ=. ------------------------------- （12分）19(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46.---------（6分）（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，计算()221001246438 4.76216845050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯---（10分）由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．---------（12分） 20.(本小题满分12分)解：（1）123371,,.24a a a ===，由此猜想1212n n n a --=； ------------------------------- （5分）（2）证明：当1n =时，11a =，结论成立； ------------------------------- （6分）假设n k =（1k ≥，且k N +∈），结论成立，即1212k k k a --= -------------------- （7分）当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以111(+1)12122212222k k k k k k a a +-+--++-===，这就是说,当1n k =+时，结论成立， ------------------------------- （11分）根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即1212n n n a --=()n N +∈-------------------------------（12分）21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由题意，()31127p -=，解得23p =.----- （2分） 设“甲投篮3次，至少2次命中”为事件A ，则()22322133P A C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333220327C ⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭.------------------ （6分） （Ⅱ）由题意X 的取值为0，1，2，3，4.()22211013236P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()1112221133P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦220212123C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2121126C ⎡⎤⎛⎫⨯⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；()2211122122213233P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦221212123C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222113236C ⎡⎤⎛⎫⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；()221221332P X C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11212221113323C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()222114329P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故X 的分布列为---------------- （10分）()111301236636E X =⨯+⨯+⨯11734393+⨯+⨯=.---------------- （12分） （22）（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)由已知ρ＝2(sin θ＋cos θ)得 ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，所以x 2＋y 2＝2y ＋2x ，即圆C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 由得y ＝－1＋(x －2)，所以直线l 的普通方程为x －y －3＝0.---------5分(Ⅱ)由圆的几何性质知点P 到直线l 的距离的最小值为圆心C 到直线l 的距离减去圆的半径，令圆心C 到直线l 的距离为d ，则d ＝＝>，所以点p 到直线l 的距离的最小值为－＝22.-----------------10分 23. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲 解：（Ⅰ）原不等式变为233x x -+-<.当2x <时，原不等式化为523x -<，解得1x >，∴12x << 当23x ≤≤时，原不等式化为13<，∴23x ≤≤.当3x >时，原不等式化为253x -<，解得4x <，∴34x <<. 综上，原不等式解集为}{|14 x x <<.--------------------5分（Ⅱ）解法一：作出23y x x =-+-与y a =的图象-----------------7分 若使23x x a -+-<解集为空集，只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合，∴1a ≤，所以a 的范围为(],1-∞.-----------------10分解法二：23y x x =-+-=()()()253123522x x x x x -≥⎧⎪≤≤⎨⎪-<⎩-----------------7分当3x ≥时，1y ≥， 当23x ≤<时，1y =， 当2x <时，1y >，综上1y ≥，原问题等价于()min23a x x ≤-+-，∴1a ≤.-----------------10分解法三：∵23231x x x x -+-≥--+=-----------------7分 ，当且仅当()()230x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.-----------------10分。
辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）2．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣23．已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．144 D．2975．已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件7．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．8．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．10．设m ，n ∈R ，若直线（m+1）x+（n+1）y ﹣2=0与圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（A ．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞） B ．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C ．[2﹣2，2+2] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）11．已知函数f （x ）=asinx ﹣bcosx （a ，b 常数，a ≠0，x ∈R ）在x=处取得最小值，则函数y=f （﹣x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C ．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D ．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．已知f （x ）为偶函数，且f （x ）=f （x ﹣4），在区间[0，2]上，f （x ）=，g （x ）=（）|x|+a ，若F （x ）=f （x ）﹣g （x ）恰好有4个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，）B ．（2，3）C ．（2，]D ．（2，3]二、填空题（每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=，a 4+a 5=6，则S 6= ．14．椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为 ．15．设直线x ﹣3y+m=0（m ≠0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A ，B ．若点P （m ，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是 ． 16．下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC 唯一确定，则0＜b ≤4．（2）若点（1，1）在圆x 2+y 2+mx ﹣y+4=0外，则m 的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k 的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos （2x ﹣）（x ∈R ）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x 的图象．（5）已知双曲线方程为x 2﹣=1，则过点P （1，1）可以作一条直线l 与双曲线交于A ，B两点，使点P 是线段AB 的中点．正确的是 （填序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=1时，解不等式f （x ）＜3； （Ⅱ）若f （x ）的最小值为1，求a 的值．18．已知函数f （x ）=2cos 2x+sin （2x ﹣）（1）求函数f （x ）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x 的取值集合；（2）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f （A ）=，b+c=2，求实数a 的取值范围．19．已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n 项和公式S n ；（3）证明：当n ≥2时，S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PD=PA ，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．21．已知F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A ，B 两点， （1）求点P 坐标；（2）求证：直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值．22．已知函数f （x ）=（1）当a ≥1时，求f （x ）在[0，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a ，问：曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ （O 为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？辽宁省大连市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1．设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁UM）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞） C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，先求出CU M，再由集合N能够求出N∩（∁UM）．【解答】解：∵全集U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}=[0，2]，∴CUM=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵x2+3x＞0，解得x＞0或x＜﹣3∴集合N=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）∴N∩（∁UM）=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故选C．2．抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2 C．y=D．y=﹣2【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，即可其准线方程．【解答】解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．3．已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【考点】轨迹方程．【分析】先计算|MN|，从而有|PM|﹣|PN|=|MN|，故可确定点P的轨迹．【解答】解：由题意，|MN|=3﹣1=2∵|PM|﹣|PN|=2∴|PM|﹣|PN|=|MN|∴点P的轨迹是射线NP故选D．4．等差数列{an }中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{an}前9项的和S9等于（）A．99 B．66 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得S9=，代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{an }前9项的和S9====99故选：A5．已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinβ的值，进而利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sin=，∴sin（β﹣α）=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=．故选：B．6．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据面面平行和线面垂直的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若a⊥b，∵b⊥β，∴a∥β或a⊂β，此时α∥β或α与β相交，即必要性不成立，若α∥β，∵b⊥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，即充分性成立，故α∥β是a⊥b的充分不必要条件，故选：A．7．在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的平方即为模的平方，可得=0，再由向量的三角形法则，以及向量共线的知识，化简即可得到所求．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选B．8．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π【考点】球内接多面体．【分析】确定∠BAC=120°，S△ABC=，利用三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，可得D 到平面ABC的最大距离，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则∵AB=BC=，AC=3，∴∠ABC=120°，S△ABC=，∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，可得其体积．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选D．10．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n 的取值范围是（A．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）B．（﹣∞，2]∪[2，+∞）C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据题意可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，整理得mn=m+n+1，由可求得m+n的范围．【解答】解：由直线与圆相切，可得圆心（1，1）到直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0的距离等于半径，即=1，化简可得|m+n|=，整理得mn=m+n+1，由可知，m+n+1≤，解得m+n∈（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞），故选：A．11．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【考点】正弦函数的对称性；三角函数中的恒等变换应用．【分析】根据函数f（x）在x=处取得最小值，求得a=b，f（x）=asin（x﹣），可得f（﹣x）=asinx，从而得出结论．【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，] D．（2，3]【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x﹣4），则f（x）=f（﹣x），函数的周期为4，求得在区间[﹣2，0]上，f （x ）的解析式，作出f （x ）和g （x ）的图象，通过平移，即可得到所求a 的范围．【解答】解：由函数f （x ）为偶函数且f （x ）=f （x ﹣4）， 则f （x ）=f （﹣x ），函数的周期为4，则在区间[﹣2，0]上，有f （x ）=，分别作出函数y=f （x ）在[﹣2，2]的图象， 并左右平移4个单位，8个单位，可得y=f （x ）的图象，再作y=g （x ）的图象，注意上下平移．当经过A （1，）时，a==2，经过B （3，）时，a=2，5﹣=．则平移可得2＜a ＜时，图象共有4个交点，即f （x ）﹣g （x ）恰好有4个零点，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分）13．已知等比数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=，a 4+a 5=6，则S 6= ． 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由于，即a 1+a 1q=，a 1q 3+a 1q 4=6，两式相除，可得，q=2，a 1=．则S 6==．故答案为：14．椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2=8y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意设椭圆C 的标准方程为，a ＞b ＞0，由已知得，由此能求出椭圆C 的标准方程．故答案为：．【解答】解：由题意设椭圆C 的标准方程为，a ＞b ＞0，∵抛物线x 2=8y 的焦点为F （0，2），∴由已知得，解得a=4，b=2，∴椭圆C 的标准方程为．故答案为：．15．设直线x ﹣3y+m=0（m ≠0）与双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．16．下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x 2﹣=1，则过点P （1，1）可以作一条直线l 与双曲线交于A ，B两点，使点P 是线段AB 的中点．正确的是 （2），（5） （填序号） 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由正弦定理求得sinB ，举例说明（1）错误；把点的坐标代入圆的方程说明（2）正确；由双曲线的方程可得关于k 的不等式，求得k 值说明（3）错误；由函数图形的平移可得（4）错误；利用点差法求出直线l 的方程说明（5）正确．【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC 唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x 2+y 2+mx ﹣y+4=0外，则12+12+m ﹣1+4＞0，即m ＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k ）（1﹣k ）＜0，解得k ＞1或k ＜﹣4，即k 的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos （2x ﹣）（x ∈R ）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos （2x+），故（4）错误；对于（5），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，两式作差得：，∴，∴k AB =2，此时直线方程为y ﹣1=2（x ﹣2），即y=2x ﹣3，联立，得2x 2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）． 故答案为：（2），（5）．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）＜3的解集即可；（Ⅱ）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…18．已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．【考点】三角函数的最值；正弦函数的单调性．【分析】（1）化简可得解析式f（x）=sin（2x+）+1，从而可求函数f（x）的单调增区间；函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简可求得A的值，在△ABC中，根据余弦定理，由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．又由b+c＞a得a＜2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x 的取值集合为{x|x=k π+，k ∈Z}．…（2）由题意，f （A ）=sin （2A+）+1=，化简得sin （2A+）=．∵A ∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣bc=（b+c ）2﹣3bc ． 由b+c=2，知bc ≤1，即a 2≥1． ∴当b=c=1时，取等号． 又由b+c ＞a 得a ＜2．所以a 的取值范围是[1，2 ）．…19．已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n 项和公式S n ；（3）证明：当n ≥2时，S 1+S 2+S 3+…+S n ＜． 【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）当n ≥2时，，S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1，由此能证明数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，能求出前n 项和公式S n ．（3）由==，利用裂项求和法能证明S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足a n =，（n ≥2）∴当n ≥2时，，S n ﹣1﹣S n =2S n S n ﹣1，∴当n ≥2时，，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．解：（2）由（1）得=1+（n ﹣1）×2=2n ﹣1，∴S n =．证明：（3）由（2）知：当n ≥2时，==，∴S 1+S 2+S 3+…+S n ＜1+（1﹣）＜﹣＜．∴S 1+S 2+S 3+…+S n ＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PD=PA ，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ；（2）当三角形PAD 为正三角形时，点M 在线段PC （不含线段端点）上的什么位置时，二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）通过证明BD ⊥平面PAD ，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面MBD ⊥平面PAD ．（2）以OA 、OE 、OP 为x ，y ，z 轴，建空间直角坐标系，求出点O ，A ，D ，B ，P ，C 的坐标，设（0＜λ＜1），平面PAD 的法向量可取：，求出平面MAD 的法向量为，利用空间向量的数量积，结合二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为．求出．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：因为BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=10， 所以有AD 2+BD 2=AB 2，即AD ⊥BD ，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，所以PD ⊥平面PAD ， BD ⊂平面BDM ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（2）由条件可知，三角形PAD 为正三角形，所以取AD 的中点O ，连PO ，则PO 垂直于AD ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO 垂直于平面ABCD ，过O 点作BD 的平行线，交AB 于点E ，则有OE ⊥AD ，所以分别以OA 、OE 、OP 为x ，y ，z 轴，建空间直角坐标系所以点O （0，0，0），A （3，0，0），D （﹣3，0，0），B （﹣3，8，0），P （0，0，3），由于AB ∥DC 且AB=2DC ，得到C （﹣6，4，0），设（0＜λ＜1），则有，因为由（1）的证明可知BD ⊥平面PAD ，所以平面PAD 的法向量可取：，设平面MAD 的法向量为，则有，即有由由二面角P ﹣AD ﹣M 的大小为． ==，解得故当M 满足：PM=PC 时符合条件．21．已知F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，P 是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A ，B 两点， （1）求点P 坐标；（2）求证：直线AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出椭圆的两焦点坐标，设P （x ，y ），（x ＞0，y ＞0），由数量积坐标公式和点在椭圆上，列出方程，解出，即可得到P 的坐标；（2）设出直线PA ，PB 的方程，联立椭圆方程，消去y ，得到x 的二次方程，运用韦达定理，即可解得A ，B 的横坐标，再由直线方程，得到纵坐标，再由斜率公式，即可得证；（3）设出直线AB 的方程，联立椭圆方程，消去y ，得到x 的方程，运用韦达定理，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由面积公式，运用基本不等式，即可得到最大值．【解答】（1）解：F 1，F 2是椭圆=1的两焦点，则c==，即有F 1（0，），F 2（0，﹣），设P （x ，y ），（x ＞0，y ＞0），则由=1，得x 2+y 2=3，又=1，解得，x=1，y=．则有点P 的坐标为；（2）证明：由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设直线PB 的斜率为k ，则直线PB 的方程为，由于过点P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB ，则直线PA ：y ﹣=﹣k （x ﹣1）．由，消去y ，得，设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），由韦达定理，得1+x B =，即有，y B =同理可得，y A =，所以为定值．（3）解：由（2）可设直线AB 的方程为，联立方程，得，消去y ，得，由判别式8m 2﹣16（m 2﹣4）＞0，得，x 1+x 2=﹣m ，x 1x 2=，|AB|==易知点P 到直线AB 的距离为，所以，当且仅当m=±2时取等号，满足，所以△PAB 面积的最大值为．22．已知函数f （x ）=（1）当a ≥1时，求f （x ）在[0，e]（e 为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a ，问：曲线y=f （x ）上是否存在两点P ，Q ，使得△POQ （O 为坐标原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？ 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当0≤x ＜e 时，求导函数，可得f （x ）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f （x ）上存在两点P 、Q 满足题设要求，则点P 、Q 只能在y 轴两侧．设P 、Q 的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上存在两点P 、Q ，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．。