【配套K12】浙江省2016届高三数学专题复习 客观题限时练(1)理
【小初高学习】浙江省2016届高三数学专题复习 客观题限时练(2)理
客观题限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题1．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0)D ．(－1，0]2．已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a3．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )4．偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)＜f (2＋x 2)对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－23，2) B ．(－2，2) C ．(－23，23) D ．(－2，23)5．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D.346．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－127．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点(3，0)，且一条渐近线被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±255xC ．y ＝±663x D ．y ＝±26x8．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π二、填空题9．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n＝0的两个根，则b 10＝________． 10．函数f (x )＝11－ln （x －1）的定义域为________．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的体积为________．12．若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 13．在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O (0，0)，A (1，1)，且OA →·OC →＝1，则AB →·AC →等于________．14．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为______．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a的取值范围为________．客观题限时练(二)1．B [集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}． 又∵N ＝{x |0≤x ≤5}，∴M ∩N ＝{x |0≤x ＜4}，故选B.]2．C [0＜a ＝2－13＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝log 1213＞log 1212＝1，即0＜a ＜1，b ＜0，c ＞1，所以c ＞a ＞b .]3．A [∵命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题，故选A.]4．B [由题意得|ax －1|＜2＋x 2在定义域R 上恒成立．化简后得x 2＋ax ＋1＞0且x 2－ax ＋3＞0恒成立，通过判别式Δ＜0可得a 的范围．]5．D [取K ，L 中点N ，则MN ＝12，因此A ＝12.由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，∴φ＝π2，∴f (x )＝12cos πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.]6．D [如图作出可行域，平移l 0：y －x ＝0，过点A 时，z 取最小值，此时x ＝－2k，y ＝0，所以0＋2k ＝－4，解得k ＝－12.]7．B [在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，c ＝3，且bx －ay ＝0是一条渐近线，又bx －ay ＝0被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，∴圆心(3，0)到bx －ay ＝0的距离d ＝8－22＝2，则|3b |a 2＋b2＝2，即3b c ＝2，b ＝2.从而a ＝c 2－b 2＝5，故渐近线y ＝±b a x ＝±255x .]8．A [如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO .由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD .由于平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AE ⊥BD ，AE ⊂平面ABD ，所以AE ⊥平面BCD .因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12.所以OA ＝32.在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32，所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.故选A.]9．64 [依题意，知a n ·a n ＋1＝2n，a n ＋a n ＋1＝b n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，故a n ＋2a n＝2.因此a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，故b 10＝a 10＋a 11＝64.]10．(1，1＋e) [⎩⎪⎨⎪⎧1－ln （x －1）＞0，x －1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1）＜1，x ＞1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜e ，x ＞1⇒1＜x ＜e ＋1，从而f (x )的定义域为(1，1＋e)．]11.23 3 [由三视图可知，该三棱锥是一个底面是等腰三角形(顶角为2π3，底边为23)，高为2的三棱锥．从而其体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×1×2＝23 3.] 12．(－∞，2] [f (x )＝cos 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x由已知f ′(x )＝－2sin 2x ＋a cos x ≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即－4sin x cos x ＋a cos x ≤0在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即a ≤4sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立．令g (x )＝4sin x ，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4sin π6＝2. ∴a ≤2.]13．1 [依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝|OA →||OC →|·cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC→＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝1.]14.12 [由4＝2a ＋b ≥22ab ，得ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立．]15．(1，2) [画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点，故a ＜2.当y ＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1＜a＜2.]。
2016届浙江省高三调研考试数学(理)试题
2016届高三测试卷数 学(理科)姓名______________ 准考证号______________本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。
满分150分, 考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共40分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式24πS R =球的体积公式343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．直线1y =+的倾斜角是A.π6B. π3C. 2π3D.5π62．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的 体积等于A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 33．已知,a b 为异面直线．对空间中任意一点P ，存在过点P 的 直线A. 与,a b 都相交B. 与,a b 都垂直C. 与a 平行，与b 垂直D. 与,a b 都平行4．为得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2cos2y x =的图象A. 向左平移π4单位B. 向右平移π4单位C. 向左平移π8单位D. 向右平移π8单位5．已知(),(),()f x g x h x 为R 上的函数，其中函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，则 A. 函数(())h g x 为偶函数 B. 函数(())h f x 为奇函数 C. 函数(())g h x 为偶函数D. 函数(())f h x 为奇函数6．命题“0x ∃∈R ，010x +<或2000x x ->”的否定形式是A. 0x ∃∈R ，010x +≥或2000x x -≤B. x ∀∈R ，10x +≥或20x x -≤C. 0x ∃∈R ，010x +≥且2000x x -≤D. x ∀∈R ，x 27．如图，A ，F 分别是双曲线2222C 1 (x ya a b-=：顶点、右焦点，过F 的直线l 与C 和y 轴分别交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则CA B C ． D ．8．已知函数()()2()ka x f x a -=∈R ，且(1)(3)f f >，(2)(3)f f >．A. 若1k =，则12a a -<-B. 若1k =，则12a a ->-C. 若2k =，则12a a -<-D. 若2k =，则12a a ->-非选择题部分 (共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。
【33份】考前100天2016高考数学(浙江专用理科)小题大题自选模块及回扣专项练
【33份】考前三个月2016高考数学（浙江专用理科）小题大题自选模块及回扣专项练目录回扣专项练1集合与常用逻辑用语 (2)答案精析 (4)回扣专项练2函数 (6)答案精析 (8)回扣专项练3三角函数、平面向量 (11)答案精析 (13)回扣专项练4数列 (17)答案精析 (19)回扣专项练5不等式与线性规划 (23)答案精析 (25)回扣专项练6立体几何 (29)答案精析 (32)回扣专项练7解+析+几何 (37)答案精析 (39)回扣专项练8复数与导数 (45)答案精析 (47)回扣专项练9计数原理 (52)答案精析 (54)回扣专项练10概率 (56)答案精析 (58)解答题专项规范练1 (60)答案精析 (62)解答题专项规范练2 (66)答案精析 (69)解答题专项规范练3 (76)答案精析 (78)解答题专项规范练4 (82)答案精析 (84)解答题专项规范练5 (88)答案精析 (90)解答题专项规范练6 (96)答案精析 (98)解答题专项规范练7 (102)答案精析 (104)小题精练1 (107)答案精析 (109)小题精练2 (113)答案精析 (115)小题精练3 (117)答案精析 (119)小题精练4 (121)答案精析 (124)小题精练5 (126)答案精析 (128)小题精练6 (132)答案精析 (134)小题精练7 (138)答案精析 (140)小题精练8 (143)答案精析 (145)自选模块模拟练1 (148)答案精析 (150)自选模块模拟练2 (151)答案精析 (152)自选模块模拟练3 (153)答案精析 (154)自选模块模拟练4 (156)答案精析 (157)自选模块模拟练5 (159)答案精析 (160)自选模块模拟练6 (163)答案精析 (164)自选模块模拟练7 (166)答案精析 (167)自选模块模拟练8 (169)答案精析 (170)回扣专项练1集合与常用逻辑用语1.如图所示，I是全集，A，B，C是I的子集，则阴影部分表示的集合是( )A．(A∩B)∩C B．(A∩∁I B)∩CC ．(A ∩B )∩(∁I C )D ．(∁I B )∪A ∩C2．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0，给出命题p ：l 1∥l 2的充要条件是a ＝－3或a ＝2；命题q ：l 1⊥l 2的充要条件是a ＝－35.对于以上两个命题，下列结论中正确的是( )A ．“p ∧q ”为真B ．“p ∨q ”为假C ．“p ∨(綈q )”为假D ．“p ∧(綈q )”为真3．给出如下四个命题：①若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”； ③“∀x ∈R ，x 2＋x ≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0≤1”； ④“x >0”是“x ＋1x ≥2”的充要条件．其中假命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．①③D ．③④ 4．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”B ．“x >1”是“|x |>0”的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”，则綈p ：“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0” 5．若集合A ＝{x |log 2x ≤12}，B ＝{x |4x －3＋1≤0}，则B ∩(∁R A )等于( )A ．(－1，2)B ．(－1,0)∪[2，＋∞)C ．[－1,0]∪(2，3)D ．(2，3) 6．若p ：a ∈R ，|a |<1，q ：关于x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知集合M ，若a ∈M ，则a ＋1a －1∈M ，则称a 为集合M 的“亮点”，若M ＝{x ∈Z |44－x≥1}，则集合M 中的“亮点”共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．1个D ．0个9．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈Z |y ＝1x (5－x )}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．10．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________________． 11．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若BA ，则实数m 的取值集合是_____．12．已知命题p ：存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________.答案精析回扣专项练回扣专项练11．B [根据“阴影部分涉及谁就交谁，不涉及谁就交其补集”，则阴影部分表示的集合是A ∩C ∩∁I B .故选B.]2．C [对于命题p ，因为当a ＝2时，l 1与l 2重合，故命题p 为假命题；当l 1⊥l 2时，2a ＋3a ＋3＝0，解得a ＝－35，当a ＝－35时，l 1⊥l 2，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，故命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为假命题．]3．C [①若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 不一定都是真命题，所以①不正确；②“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为“若a ≤b ，则2a ≤2b －1”，所以②正确；③“∀x ∈R ，x 2＋x ≥1”的否定是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0<1”，所以③不正确；④“x >0”是“x ＋1x ≥2”的充要条件，所以④正确．故选C.]4．C [A 显然正确；对B ，“x >1”，则必有“|x |>0”，故是充分条件，“|x |>0”，则x 可取负数，这时“x >1”不成立，故不是必要条件．所以B 正确；对C ，若p ∧q 为假命题，则有可能p 、q 中一真一假，故C 不正确．对D ，因为命题：“∃x ∈A ，q ”的否定为“∀x ∈A ，綈q ”，所以命题p “∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是綈p ：“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，是正确的．]5．C [由log 2x ≤12，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ≤212＝2，即0<x ≤ 2.故A ＝{x |0<x ≤2}，由补集的定义，可知∁R A ＝{x |x ≤0或x >2}．由4x －3＋1≤0，即x ＋1x －3≤0，解得－1≤x <3，故B ＝{x |－1≤x <3}．所以B ∩(∁R A )＝[－1,0]∪(2，3)．]6．A [p ：a ∈R ，|a |<1⇔－1<a <1⇒a －2<0，可知满足q 的方程有两根，且两根异号，条件充分；条件不必要，如a ＝1时，方程的一个根大于零，另一个根小于零．也可以把命题q 中所有满足条件的a 的范围求出来，再进行分析判断，实际上一元二次方程两根异号的充要条件是两根之积小于0，对于本题就是a －2<0，即a <2.] 7．C [由|a·b |＝|a||b |⇒a 与b 共线， ∴a ∥b .当a ∥b 时，夹角为0°或180°， 所以|a·b |＝|a||b |.]8．A [解不等式44－x ≥1，即44－x －1≥0，整理得x4－x ≥0，解得0≤x <4，所以M ＝{x ∈Z |44－x≥1}＝{0,1,2,3}． 若a ＝0，则a ＋1a －1＝－1∉M ；若a ＝1，则a ＋1a －1不存在；若a ＝2，则a ＋1a －1＝3∈M ；若a ＝3，则a ＋1a －1＝2∈M .由定义，可知2,3都是集合M 的“亮点”，故集合M 中共有2个“亮点”．] 9．4【详细分析】因为A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，所以A ＝{1,2}； 因为B ＝{x ∈Z |y ＝1x (5－x )}；所以B ＝{x ∈Z |x (5－x )>0}＝{x ∈Z |0<x <5}＝{1,2,3,4}．因为A ⊆C ⊆B ，所以集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，所以集合C 的个数为4. 10．对∀x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠011．{－12，0，13}【详细分析】由已知，易得A ＝{－3,2}．∵B A ，∴B ＝{－3}或{2}或∅.若B ＝{－3}，由－3m ＋1＝0，得m ＝13；若B ＝{2}，由2m ＋1＝0得m ＝－12；若B ＝∅，由mx ＋1＝0无解，得m ＝0.∴m ＝13或m ＝－12或m ＝0.故所求的集合是{－12，0，13}．12．0<a <1【详细分析】方法一 当命题p 是真命题时，有(x 2＋2ax ＋a )min ≤0，即a －a 2≤0，得a ≥1或a ≤0，故当命题p 是假命题时，有0<a <1.方法二 若命题p 是假命题，则不存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立，即对于任意的实数x ，不等式x 2＋2ax ＋a >0恒成立，从而Δ＝4a 2－4a <0，得0<a <1.回扣专项练2函数1．函数f (x )＝ln(x 2＋2)的图象大致是( )2．(2015·长沙模拟)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝e x －1，则f (2 015)＋f (－2 016)等于( ) A ．1－e B ．e －1 C ．－1－eD ．e ＋14．已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c 5．(2015·南昌模拟)设函数F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ，且⎣⎡⎦⎤－π，－π2是函数F (x )的一个单调递增区间．将函数F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π，－π2 B.⎣⎡⎦⎤－π2，0 C.⎣⎡⎦⎤π2，πD.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 6．函数f (x )的定义域为A ，若当x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时，总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列结论：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中正确结论的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 7．(2015·北京昌平模拟)若偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 8．(2015·浙江)计算：log 222＝______________， 2log 23＋log 43＝________. 9．若不等式(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围是______．10．(2015·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是_____．11．如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为1；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量，设移动距离d ＝100，面积S ＝32.(1)写出y 的表达式；(2)若0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．12．(2015·陕西西安铁一中国际合作学校一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)满足条件：①f (x )＝f (－x －2)；②函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切． (1)求函数f (x )的解+析+式；(2)若不等式πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx在|t |≤2时恒成立，求实数x 的取值范围．答案精析回扣专项练21．D [由f (－x )＝f (x )可得函数f (x )为偶函数，又ln(x 2＋2)≥ln 2，故选D.]2．D [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0.因为f (x ＋2)为偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，故f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝1.]3．B [由f (x ＋2)＝f (x )知f (x )是周期为2的周期函数，∴f (2 015)＝f (1)＝e －1，又∵f (x )为奇函数，∴f (－2 016)＝－f (2 016)＝－f (0) ＝－(e 0－1)＝0.∴f (2 015)＋f (－2 016)＝e －1.]4．A [∵a ＝312>1，b ＝log 1312＝log 32，则0<b <1，c ＝log 213<0，∴a >b >c .]5．D [∵F (x )＝f (x )＋f (－x )，x ∈R ， ∴F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )，∴F (x )为偶函数，∴⎣⎡⎦⎤π2，π为函数F (x )的一个单调递减区间．将F (x )的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G (x )的图象，则G (x )的一个单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π2，2π.] 6．A [由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同．依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确．] 7．3【详细分析】因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 8．－12 3 3【详细分析】log 222＝log 22－12＝－12，2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2332＝3 3. 9．－2<m <3【详细分析】(m 2－m )2x －⎝⎛⎭⎫12x <1可变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则原条件等价于不等式m 2－m <t ＋t 2在t ≥2时恒成立，显然t ＋t 2在t ≥2时的最小值为6，所以m 2－m <6，解得－2<m <3. 10．[－2,0]【详细分析】∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，∴由|f (x )|≥ax ，分两种情况：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2； (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln (x ＋1)≥ax 恒成立，根据函数图象可知a ≤0.综合(1)(2)，得－2≤a ≤0.11．解 (1)由题意知， E 移动时单位时间内的淋雨量为32|v －c |＋12，从而y ＝100v (32|v －c |＋12)＝50v (3|v －c |＋1)．当0<v ≤c 时，y ＝50v [－3(v －c )＋1]＝50v [－3v ＋(3c ＋1)]＝50(－3＋3c ＋1v )； 当v >c 时，y ＝50v [3(v －c )＋1] ＝50v [3v ＋(1－3c )]＝50(3＋1－3c v )． 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50(－3＋3c ＋1v )，0<v ≤c ，50(3＋1－3cv )，v >c .(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，因为3c ＋1>0，所以y 是关于v 的减函数， 当v ＝c 时，y min ＝50(－3＋3c ＋1c )＝50c. 当c ≤v ≤10时，y ＝50(3＋1－3cv )，若1－3c <0，即c >13，则y 是关于v 的增函数，当v ＝c 时，y min ＝50c； 若1－3c ≥0，即0<c ≤13，则0<c <13时，y 是关于v 的减函数，当v ＝10时，y min ＝5(31－3c )． c ＝13时，y ＝150. 在0<c ≤13时，50c －5(31－3c )＝5c (10－31c ＋3c 2) ＝5c (c －10)(3c －1)≥0， 即50c≥5(31－3c )． 综上所述，当0<c ≤13时，在v ＝10时总淋雨量y 有最小值155－15c ；当13<c ≤5时，在v ＝c 时总淋雨量y 有最小值50c. 12．解 (1)由①可知，二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)的图象的对称轴方程是x ＝－1，∴b ＝2a .又∵函数f (x )的图象与直线y ＝x 相切，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋bx ，y ＝x 有且只有一解，即方程ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实根，∴b ＝1，a ＝12，∴函数f (x )的解+析+式是f (x )＝12x 2＋x .(2)∵π>1，∴πf (x )>⎝⎛⎭⎫1π2－tx 等价于f (x )>tx －2，即不等式12x 2＋x >tx －2在|t |≤2时恒成立．问题等价于一次函数g (t )＝xt －⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ＋2<0在|t |≤2时恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<0，g (－2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4>0，x 2＋6x ＋4>0.解得x <－3－5或x >－3＋5，故所求实数x 的取值范围是(－∞，－3－5)∪(－3＋5，＋∞)．回扣专项练3三角函数、平面向量1．若f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则( ) A ．f (－1)>f (0)>f (1) B ．f (－1)>f (1)>f (0) C ．f (1)>f (－1)>f (0) D ．f (1)>f (0)>f (－1)2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6等于( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－123．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题( ) p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3)p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π]p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3)p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 44．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π65．已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2 C.2＋1D.2＋26．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝cos2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度7．若cos x cos y ＋sin x sin y ＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝23，则sin(x ＋y )＝________.8．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________. 9．(2015·河南师大附中模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2＋b 2＝2 017c 2，则2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )的值为________．10．在锐角△ABC 中，m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)，m·n ＝1. (1)求角A 的大小；(2)求cos 2B ＋4cos A sin B 的取值范围．11.已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sinB ＝2sinA ，求a 、b 的值．12．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．答案精析回扣专项练31．A [易知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上单调递减．由于－π4<0<π4<1<3π4，所以f (0)>f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，即f (1)<0<f (0)．而f (－1)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎫1－π4>0，f (0)＝cos π4，0<1－π4<π4<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫1－π4>cos π4，即f (－1)>f (0)．因此有f (－1)>f (0)>f (1)．] 2．A [∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f (23π6)＝f (4π－π6)＝f (－π6)，f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A.]3．A [将|a ＋b |>1(|a |＝|b |＝1)两边平方可得a ·b >－12⇒cos θ>－12，由余弦函数图象(或性质)可得θ∈[0，2π3)；同理|a －b |>1⇔θ∈(π3，π]．]4．A [根据正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ．将它们代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，整理得sin A cos C ＋cos A sin C ＝12，即sin(A ＋C )＝12，又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin B ＝12，因为a >b ，所以B 必为锐角，所以B ＝π6.] 5．C [条件|c －a －b |＝1，可以理解成如图的情况，而|a ＋b |＝2，向量c 的终点在单位圆上动，故|c |的最大值为2＋1.]6．D [显然A ＝1，又ω×π3＋φ＝π，ω×7π12＋φ＝3π2，解得ω＝2，φ＝π3，故函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解+析+式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，又g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，设平移单位为φ，则由2(x ＋φ)＋π3＝2x ＋π2，知只要φ＝π12即可．故要把函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度．]7.23【详细分析】cos(x －y )＝12，sin 2x ＋sin 2y ＝2sin(x ＋y )cos(x －y )＝23，故sin(x ＋y )＝23.8．2【详细分析】由c ＝t a ＋(1－t )b ， 得b·c ＝t a·b ＋(1－t )b 2＝0， 解得t |a||b |cos 60°＋(1－t )|b |2＝0， 化简得12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.9．2 016【详细分析】2tan A tan Btan C (tan A ＋tan B )＝2sin A sin B cos A cos Bsin C cos C ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin A sin B cos A cos Bsin C cos C ·sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B ＝2sin A sin B cos C sin C sin (A ＋B )＝2sin A sin B cos C sin 2C ＝2ab c 2×a 2＋b 2－c 22ab＝2 016c 2c 2＝2 016.10．解 (1)由题意：m·n ＝3sin A －cos A ＝1，所以2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12，因为0<A <π2， 所以－π6<A －π6<π3，所以A －π6＝π6，即A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以cos 2B ＋2sin B ＝1－2sin 2B ＋2sin B ＝－2⎝⎛⎭⎫sin B －122＋32. 因为△ABC 为锐角三角形， 所以B ＋C ＝2π3，C ＝2π3－B <π2，所以B >π6，又0<B <π2，所以π6<B <π2，所以12<sin B <1，所以1<cos 2B ＋2sin B <32.11．解 (1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12 ＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z .得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π (k ∈Z )．(2)由f (C )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6＝1， ∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵sin B ＝2sin A ， 由正弦定理，得ba＝2.①由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.12．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，又0<β<α<π，cos β＝－cos α＝cos(π－α)，则β＝π－α， sin α＋sin(π－α)＝1， sin α＝12，α＝π6或α＝5π6，当α＝π6时，β＝5π6(舍去)当α＝5π6时，β＝π6.综上，α＝5π6，β＝π6.回扣专项练4数列1．(2015·大连模拟)已知等差数列{a n }的公差d <0，若a 4·a 6＝24，a 2＋a 8＝10，则该数列的前n 项和S n 的最大值为( )A ．50B ．40C ．45D ．352．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－11，a 5＋a 6＝－4，S n 取得最小值时n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．93．已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m4．(2015·德州模拟)定义数列{x n}：x1＝1，x n＋1＝3x3n＋2x2n＋x n；数列{y n}：y n＝11＋2x n＋3x2n；数列{z n}：z n＝2＋3x n1＋2x n＋3x2n；若{y n}的前n项的积为P，{zn}的前n项的和为Q，那么P＋Q等于( ) A．1 B．2 C．3 D．不确定5．数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝2a n＋1，b n＝⎪⎪⎪⎪a n＋2a n－1，n∈N*，则数列{bn}的通项公式b n＝________.6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．7．设数列a n＝log(n＋1)(n＋2)，n∈N*，定义使a1·a2·a3·…·a k为整数的实数k为中国梦吉祥数，则在[1，2 016]内的所有中国梦吉祥数之和为________.8．设a1，a2，…，a50是从－1、0、1这三个整数中取值的数列，若a1＋a2＋a3＋…＋a50＝9，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a50＋1)2＝107，则a1，a2，…，a50中是数字0的个数为______ __．9．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{ai1，ai2，...，ai k}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中xi1＝xi2＝...＝xi k＝1.其余项均为0，例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前三项和等于_________________________；(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．10．设数列{a n}的前n项和为S n,4S n＝a2n ＋2a n－3，且a1，a2，a3，a4，…，a11成等比数列，当n≥11时，a n>0.(1)求证：当n≥11时，{a n}成等差数列；(2)求{a n}的前n项和S n.11.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.12．(2015·深圳模拟)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S2n－(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)<13.答案精析回扣专项练41．C [∵a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝10，a 4·a 6＝24，d <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝6，a 6＝4. ∴d ＝a 6－a 46－4＝－1，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝10－n .∴当n ＝9或10时S n 取到最大值，S 9＝S 10＝45.] 2．A [∵a 5＋a 6＝a 1＋a 10＝－11＋a 10＝－4，∴a 10＝7，∴－11＋9d ＝7，∴d ＝2， ∴a 7＝a 10－3d ＝1>0，a 6＝a 10－4d ＝－1<0，故选A.]3．C [显然，{b n }不可能是等比数列；{c n }是等比数列；证明如下： c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2…a m (n －1)＋m ， c n ＋1＝a mn ＋1·a mn ＋2…a mn ＋m ， c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2…a mn ＋ma m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2…a m (n －1)＋m ＝q m q m …q m ＝(q m )m ＝qm 2.] 4．A [由题设可得：y n ＝x n x n ＋1，所以P ＝y 1y 2…y n ＝x 1x 2·x 2x 3·x 3x 4…x n x n ＋1＝x 1x n ＋1.z n ＝2＋3x n1＋2x n ＋3x 2n ＝y n (2＋3x n )＝x n (2＋3x n )x n ＋1＝2x n ＋3x 2n x n ＋1＝2x n ＋3x 2n ＋1－1x n ＋1＝1x n －1x n ＋1.所以Q ＝⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 3＋⎝⎛⎭⎫1x 3－1x 4＋…＋⎝⎛⎭⎫1x n －1x n ＋1＝1x 1－1x n ＋1. 所以P ＋Q ＝x 1x n ＋1＋1x 1－1x n ＋1＝1x n ＋1＋11－1x n ＋1＝1.故选A.巧解：取n ＝1，可得P ＋Q ＝1，故选A.] 5．2n ＋1【详细分析】由条件得b n ＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1＋2a n ＋1－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a n＋1＋22a n＋1－1＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋2a n－1＝2b n，且b 1＝4，所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n ＝4·2n －1＝2n ＋1.6．6【详细分析】每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a 1＝2，q ＝2.则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(2n －1)≥100，即2n ＋1≥102.∴n ≥6，∴最少天数n ＝6. 7．2 026【详细分析】a 1·a 2·a 3·…·a k ＝log 23·log 34·…·log (k ＋1)(k ＋2)＝log 2(k ＋2)，仅当k ＝2n －2时，上式为中国梦吉祥数．其和：21－2＋22－2＋…＋210－2＝2 026.8．11【详细分析】(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则(a 21＋a 22＋…＋a 250)＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，故a 1，a 2，…，a 50中数字0的个数为50－39＝11.9．(1)2 (2)17【详细分析】(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0，…，0.故该数列前3项的和为2.(2)E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100中，由于p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1(1≤i ≤99)，因此集合P 中必含有元素a 1.又当i ＝1时，p 1＋p 2＝1，且p 1＝1，故p 2＝0.同理可求得p 3＝1，p 4＝0，p 5＝1，p 6＝0，….故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0，…，1,0，即P ＝{a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99}．E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100中，由于q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1(1≤j ≤98)，因此集合Q 中必含有元素a 1.又当j ＝1时，q 1＋q 2＋q 3＝1，当j ＝2时，q 2＋q 3＋q 4＝1，当j ＝3时，q 3＋q 4＋q 5＝1，…，故q 1＝1，q 2＝q 3＝0，q 4＝1，q 5＝q 6＝0，q 7＝1，….所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，0,1，即Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}．因为100＝1＋(n －1)×3，故n ＝34，所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，a 19，…，a 97}，共有17个元素．10．(1)证明 由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3， 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥11时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2， 所以当n ≥11时，{a n }成等差数列．(2)解 由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1. 又a 1，a 2，a 3，a 4，…，a 11成等比数列， 所以a n ＋1＋a n ＝0 (n ≤10)，q ＝－1， 而a 11>0，所以a 1>0，从而a 1＝3.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1(1≤n ≤10)，2n －19 (n ≥11)，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ](1≤n ≤10)，n 2－18n ＋80(n ≥11).11．(1)证明 当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5. (2)解 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1,4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． 因为a 2，a 5，a 14构成等比数列，a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由(1)可知，4a 1＝a 22－5＝4，a 1＝1，又因为a 2－a 1＝3－1＝2，则{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． 数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (3)证明 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11·3＋13·5＋15·7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12[⎝⎛⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1] ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<12. 12．(1)解 令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)解 由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *得，[S n －(n 2＋n )](S n ＋3)＝0.又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2也满足上式， 所以a n ＝2n ，n ∈N *.(3)证明 ∵4k 2＋2k －(3k 2＋3k ) ＝k 2－k ＝k (k －1)≥0，k ∈N *， ∴4k 2＋2k ≥3k 2＋3k ，∴1a k (a k ＋1)＝12k (2k ＋1)＝14k 2＋2k≤13k 2＋3k ＝13(1k －1k ＋1)．∴1a 1(a 1＋1)＋1a 2(a 2＋1)＋…＋1a n (a n ＋1)≤13(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝13(1－1n ＋1)<13. 回扣专项练5不等式与线性规划1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 32．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩(∁R B )＝RD ．A ⊆B3．若直线2ax ＋by －2＝0 (a 、b ∈R )平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a＋1b的最小值是( ) A ．1 B ．5 C ．4 2D ．3＋2 2 4．在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2 B.83 C.223D ．25．已知a ，b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过点(0,1)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．3＋2 2B ．3－2 2C ．4D ．26．若不等式x 2＋x －1<m 2x 2－mx 对任意的x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－1，53 B ．(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－1，53 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(1，＋∞) 7．已知关于x 的不等式ax ＋b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax －b x －2>0的解集是________．8．(2015·绍兴模拟)设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．9．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，求2a ＋3b 的最小值为________．10．(2015·湖南长沙长郡中学检测)已知三个正数a ，b ，c 满足b <a ＋c ≤2b ，a <b ＋c ≤2a ，则ab 的取值范围是__________．11．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＋3＝xy ，若对任意满足条件的x ，y ，都有(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0成立，则实数a 的取值范围为______________． 12．设P (x ，y )为函数y ＝x 2－1(x >3)图象上一动点，记m ＝3x ＋y －5x －1＋x ＋3y －7y －2，则当m 最小时，点P 的坐标为________．13．O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，2x －y ≥0，y ≥0，则OM →·ON→的最大值为________．14．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |ax 2＋bx ＋c ≤0}，若A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，A ∪B ＝R ，则b 2a ＋ac 2的最小值为________．15．(2015·重庆模拟)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.答案精析回扣专项练51．C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)． 目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y ＝－x 2＋u 2，u2表示纵截距)结合题意知p 1，p 2正确．] 2．A [A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.]3．D [直线平分圆，则必过圆心．圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11. ∴圆心C (1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1.∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，故选D.] 4．B [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)，通过解方程组可得A ⎝⎛⎭⎫－23，13， B (2,3)，C (0，－1)，E (0,1)，如图可知，S △ABC ＝S △ACE ＋S △BCE ＝12×CE ×(x B －x A )＝83.]5．A [由已知得2a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (2a ＋b ) ＝3＋2a b ＋ba≥3＋2 2.]6．B [原不等式可化为(1－m 2)x 2＋(1＋m )x －1<0，当1－m 2＝0时，得m ＝1或m ＝－1. ①当m ＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；②当m ＝1时，不等式可化为2x －1<0，解得x <12，故不等式的解集不是R ，不合题意；③当1－m 2≠0时，由不等式恒成立可得⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2<0，Δ＝(1＋m )2＋4(1－m 2)<0， 解得m <－1或m >53.综上，m 的取值范围为 (－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞.] 7．(－1,2)【详细分析】由已知得a <0，b ＝－a ，ax －b x －2>0，即为ax ＋a x －2>0，得x ＋1x －2<0，解得－1<x <2.8．27【详细分析】由题设知，实数x ，y 均为正数，则条件可化为lg 3≤lg x ＋2lg y ≤lg 8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg 9.令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg 3≤a ＋2b ≤3lg 2，2lg 2≤2a －b ≤2lg 3.设t ＝x 3y 4，则lg t ＝3lgx －4lg y ＝3a －4b .令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2.lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg 3＋4lg 3＝lg 27，所以t ≤27.所以x 3y 4的最大值为27.9.256【详细分析】作出可行域可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12，∴2a ＋3b ＝6，从而有2a ＋3b＝16⎝⎛⎭⎫2a ＋3b (2a ＋3b ) ＝16⎝⎛⎭⎫6ba ＋4＋9＋6ab ＝136＋16⎝⎛⎭⎫6b a ＋6a b ＝136＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥136＋2b a ·a b ＝256. 10.⎝⎛⎭⎫23，32【详细分析】∵三个正数a ，b ，c 满足b <a ＋c ≤2b ，a <b ＋c ≤2a ，∴b a <1＋c a ≤2b a ，1<b a ＋c a ≤2，∴－2b a ≤－1－c a <－b a .不等式的两边同时相加，得1－2b a <b a －1<2－ba，∴⎩⎨⎧1－2b a <ba －1，b a －1<2－ba ，解得⎩⎨⎧b a >23，b a <32，∴⎩⎨⎧a b <32，a b >23，∴23<a b <32. 11.⎝⎛⎦⎤－∞，376 【详细分析】要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )，即a ≤(x ＋y )＋1x ＋y恒成立．由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时，等号成立，即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，函数y ＝(x ＋y )＋1x ＋y＝t ＋1t 在t ≥6时单调递增，所以y ＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤376，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，376. 12．(2,3)【详细分析】m ＝3x ＋x 2－6x －1＋x ＋3x 2－10x 2－3＝6＋x 2－3x －1＋x －1x 2－3≥6＋2x 2－3x －1·x －1x 2－3＝8，当且仅当x 2－3x －1＝x －1x 2－3，即x ＝2时，m 取得最小值，此时点P 的坐标为(2,3)．13．2 2【详细分析】如图，点N 在图中阴影区域内，当O 、M 、N 共线时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，OM →·ON →＝(1,1)·(2，2)＝2 2.14.32【详细分析】∵x 2－2x －3>0，∴x <－1或x >3. ∵A ∩B ＝{x |3<x ≤4}，A ∪B ＝R ， ∴B ＝{x |－1≤x ≤4}，∴－1和4是ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴－1＋4＝－b a ，(－1)×4＝ca ，∴b ＝－3a ，c ＝－4a ，且a >0， ∴b 2a ＋ac2≥2b 2c 2＝2b c ＝－6a －4a ＝32， 当且仅当b 2a ＝ac 2时，取等号．15．[－1，12]【详细分析】设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；回扣专项练6立体几何1．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A ．m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β D ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β2．已知空间中有不共线的三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面 C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交 3．平面α与平面β平行的条件可以是( ) A ．α内有无穷多条直线与β平行 B ．直线a ∥α，a ∥βC ．直线a ⊂α，直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥αD ．α内的任何直线都与β平行4.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →≥1的概率p 等于( )A.34B.23C.12D.145.如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∉α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则△ABC 为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定6.如图，A，B，C，D为空间中的四个不同点．在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2.等边三角形ADB以AB为轴运动．当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝________.7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．8．已知点P、A、B、C是球O表面上的四个点，且P A、PB、PC两两成60°角，P A＝PB＝PC ＝1 cm，则球的表面积为________ cm2.9．如图①所示，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且CD＝BE＝2，O为BC的中点，将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′—BC DE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值是________．10.如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝1 2AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为CC 1，AD 的中点，F 为BB 1上的点，且B 1F ＝3BF .(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)若AC ＝22，CC 1＝2，BC ＝2，∠ACB ＝π3，求二面角B —AD —C 的大小．12.如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是P A 的中点．(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；(2)求平面PBC 与平面P AD 所成锐二面角的余弦值．答案精析回扣专项练61．B [设m 与n 相交，m 、n 都在平面γ内，γ∥α，γ∥β时，满足A 的条件，∴A 错；若m ⊥α，α⊥β，则m ⊂β或m ∥β，又n ⊥β，∴n ⊥m ，∴B 正确；若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，结合n ⊂β得不出α⊥β，故C 错；当m ∥n 且满足D 的条件时，得不出α∥β，故D 错．]2．D [若三条线段共面，则直线AB 与CD 相交或平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线．]3．D [当α∩β＝l 时，α内与l 平行的直线都与β平行，∴A 错；当α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β时，满足B 的条件，∴B 错；当α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l 时，有a ∥β，b ∥α，∴C 错，故选D.] 4．A [可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→上的投影大于或等于12.由几何概型的求法知，p＝⎝⎛⎭⎫2－12×2×22×2×2＝34.]5．B [因为PB ⊥α，所以PB ⊥AC .又因为PC ⊥AC ，PC ∩PB ＝P ，所以AC ⊥平面PBC .所以AC ⊥BC .所以△ABC 为直角三角形．]6．2 [取AB 的中点E ，连接DE ，CE . 因为△ADB 是等边三角形，所以DE ⊥AB .当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ⊥平面ABC ， 故DE ⊥CE .由已知可得DE ＝3，EC ＝1， 在Rt △DEC 中， CD ＝DE 2＋EC 2＝2.] 7.533【详细分析】由几何体的三视图可知，该几何体的底面是边长为2的正三角形，三条侧棱分别垂直于底面，且两条侧棱的长度是2，一条侧棱的长度为1，故其体积为12×2×3×1＋13×2×1×3＝533. 8.3π2【详细分析】如图所示，P 、A 、B 、C 四点可以看成如图正方体的四个顶点，则三棱锥P —ABC 的外接球就是该正方体的外接球，易得正方体的边长a ＝22，球的半径R ＝12a 2＋a 2＋a 2＝64，∴S 球＝4πR 2＝3π2.9.24【详细分析】如图，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，连接A ′H .∵A ′O ⊥平面BCDE ，A ′O ⊂平面A ′BC ， ∴平面A ′BC ⊥平面BCDE . 又平面A ′BC ∩平面BCDE ＝BC ， ∴DH ⊥平面A ′BC .∴∠DA ′H 即为A ′D 与平面A ′BC 所成的角．又DH ＝1，A ′D ＝32－2＝22， ∴sin ∠DA ′H ＝DH A ′D ＝24，∴A ′D 与平面A ′BC 所成角的正弦值为24. 10．证明 (1)如图，连接AC ，BE ，设AC ∩BE ＝O ， 连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点．又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF ， 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC ， 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE ， 因为四边形ABCE 为菱形，所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，且AP ⊂平面P AC ， AC ⊂平面P AC ，所以BE ⊥平面P AC .11.(1)证明 设AC 的中点为O ，连接EO ，OB ，由题意知EO ∥CC 1，且EO ＝14CC 1，BF ∥CC 1，且BF ＝14CC 1，∴EO ∥FB ，且EO ＝FB . ∴四边形EFBO 是平行四边形． ∴EF ∥OB .又EF ⊄平面ABC ，BO ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)解 作BG ⊥AC ，BH ⊥AD ，连接GH ，∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴BG ⊥平面AA 1C 1C . ∵AD ⊂平面AA 1C 1C ， ∴BG ⊥AD .又BH ∩BG ＝B ，∴AD ⊥平面BHG .∴HG ⊥AD .∴∠BHG 为二面角B —AD —C 的平面角． 由已知得△ABC 为直角三角形，AB ＝ 6.在Rt △ABC 中，由S △ABC ＝12AB ·BC ＝12BG ·AC ，得BG ＝62，在Rt △ABD 中，由S △ABD ＝12AB ·BD ＝12AD ·BH ，得BH ＝2，在Rt △BHG 中，sin ∠BHG ＝BG BH ＝32，则∠BHG ＝π3.。
教育最新K12浙江省2016届高三数学专题复习 专题六 导数过关提升 理
专题六 导 数专题过关·提升卷 第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．(2015·鲁迅中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．当x ＝32时函数取得极小值B ．f (x )有两个极值点C ．当x ＝2时函数取得极小值D ．当x ＝1时函数取得极大值 4．若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x2 D ．x 2e x 1＜x 1e x25．当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]6．(2015·学军中学模拟)设函数f (x )＝x 22＋m x，若函数f (x )的极值点x 0满足x 0f (x 0)－x 30>m 2，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，2)7．定义一种运算(a ，b )*(c ，d )＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1*(cos x ，x 2)，设f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(x )的大致图象是( )8．(2015·镇海中学模拟)已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ）ex>1的解集为( )A ．(－2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题 9．曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．10．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 11．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 12．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1，3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________．13．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是______．14．(2015·湖南高考改编)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为________．(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)15．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．三、解答题16．(2015·台州中学模拟)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．17．(2015·北京高考)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．18．(2015·安徽高考)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值； (2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ；(3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足D ≤1时的最大值．19．(2015·广东高考)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x－a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e－1.20．(2015·嘉兴一中三模)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )，g (x )＝f ′(x )． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线3x －y －1＝0平行，求实数a 的值； (2)若函数F (x )＝g (x )＋12x 2有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)<－1<f (x 1)．专题过关·提升卷1．D [∵f (x )＝ax －ln (x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1， ∴f (0)＝0且f ′(0)＝a －1＝2，解得a ＝3，故选D.] 2．B [y ′＝x －1x，且x ＞0，令y ′＝x －1x≤0，解之得0＜x ≤1.∴函数的单调减区间为(0，1]．]3．A [从图象上可以看出：当x ∈(0，1)时， f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有A 不正确．] 4．C [A ，B 中构造函数f (x )＝e x－ln x ， ∴f ′(x )＝e x－1x，在(0，1)上有零点，故A ，B 错；C ，D 中令g (x )＝exx，∴g ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x（x －1）x2＜0， ∴g (x )在(0，1)单调递减， 又∵x 2＞x 1，∴12e 1e 2x x x x >，故选C.] 5．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max .设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x2x6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0， ∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0， 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.]6．C [由f (x )＝x 22＋m x ，得f ′(x )＝x －mx2，又x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，解之得x 0＝3m ， 因此x 0f (x 0)－x 30＝x 302＋m －x 30＝m2，所以m 2>m 2，解之得0<m <12.]7．A [f (x )＝14x 2＋cos x ，则f ′(x )＝12x －sin x ，∴f ′(x )为奇函数，排除选项B ，D.又[f ′(x )]′＝12－cos x ，令12－cos x ＝0，则x ＝2k π±π3，k ∈Z .当0<x <π3时，[f ′(x )]′＝12－cos x <0.∴函数y ＝f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3内是减函数，图象A 适合．]8．C [令F (x )＝g （x ）ex－1，则F ′(x )＝g ′（x ）e x －e x g （x ）（e x）2＝[g ′(x )－g (x )]·1ex .∵g ′(x )－g (x )<0，∴F ′(x )<0，则函数F (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． 又函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1，从而F (0)＝g （0）e－1＝0.故F (x )>0⎝ ⎛⎭⎪⎫即g （x ）e x >1的解集为(－∞，0)．]9．5x ＋y －3＝0 [∵y ′＝－5e －5x，∴k ＝－5×e 0＝－5，∴切线方程为y －3＝－5x ，即5x＋y －3＝0.]10．[－2，＋∞) [∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝ax＋1.又∵f (x )在[2，3]上单调递增，∴a x＋1≥0在x ∈[2，3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)．]11.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [f ′(x )＝3x 2－6b ， 若f (x )在(0，1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0， 即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12.]12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 [设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1. ∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2.∵y 0＝f (x 0)＝x 2－x 0＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34， ∵x 0∈[0，2]，∴34≤y 0≤3，故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.] 13．(－1，0)∪(0，＋∞) [对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意，得f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a >0且方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根，∴a >－1，又∵a ≠0， ∴－1<a <0或a >0.]14.89π [该三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截得的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1A O 2B ，即h 2＝r1，则h ＝2r .长方体的体积为V ＝abc ＝ab (2－2r )≤a 2＋b 22×(2－2r )＝2r 2(2－2r )＝4r 2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r <1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r <1)，则y ′＝8r －12r 2.由y ′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y ′>0，得0<r <23.由y ′<0，得23<r <1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627，即V max ＝1627.∴原工件材料的利用率为162713π×12×2＝89π.]15．①④ [设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确；对于③由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x－x 2－ax ， 则h ′(x )＝2x·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，得2x·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故不正确；对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2xln 2＋2x ＋a ， 由F ′(x )＝0，得2xln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故正确． 故①④正确．]16．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上单调递减．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．17．(1)解 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ）2.(2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ）2.因为f (x )存在零点，所以k （1－ln k ）2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 18．解 (1)f (sin x )＝sin 2x －a sin x ＋b＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2. [f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2. 因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2. ①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值．②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值．③对于－2<a <2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0， 使得2sin x 0＝a .－π2<x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减； x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增；因此，－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值， f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24. (2)－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b －b 0|. 当(a 0－a )(b －b 0)≥0时，取x ＝π2，等号成立． 当(a 0－a )(b －b 0)<0时，取x ＝－π2，等号成立． 由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋ |b －b 0|.(3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1. 取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1. 由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1. 19．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a－a ，∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0，∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增，∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点，∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e－a ， ∴k OP ＝a －2e . f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e，令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上增．令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上减．∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1.∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e≥(m ＋1)3. ∴m ＋1≤ 3a －2e ，即m ≤ 3a －2e －1. 20．(1)解 ∵f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1， ∴f ′(1)＝1－2a ，因为3x －y －1＝0的斜率为3.依题意，得1－2a ＝3，则a ＝－1.(2)证明 因为F (x )＝g (x )＋12x 2＝ln x －2ax ＋1＋12x 2， 所以F ′(x )＝1x －2a ＋x ＝x 2－2ax ＋1x(x >0)， 函数F (x )＝g (x )＋12x 2有两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2， 即h (x )＝x 2－2ax ＋1在(0，＋∞)上有两个相异零点x 1，x 2.∵x 1x 2＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4>0，x 1＋x 2＝2a >0，∴a >1. 当0<x <x 1或x >x 2时，h (x )>0，F ′(x )>0.当x 1<x <x 2时，h (x )<0，F ′(x )<0.所以F (x )在(0，x 1)与(x 2，＋∞)上是增函数，在区间(x 1，x 2)上是减函数．因为h (1)＝2－2a <0，所以0<x 1<1<a <x 2，令x 2－2ax ＋1＝0，得a ＝x 2＋12x ， ∴f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －12x 3－12x ， 则f ′(x )＝ln x －32x 2＋12， 设s (x )＝ln x －32x 2＋12，s ′(x )＝1x －3x ＝1－3x 2x， ①当x >1时，s ′(x )<0，s (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而函数s (x )在(a ，＋∞)上单调递减，∴s (x )<s (a )<s (1)＝－1<0，即f ′(x )<0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减．故f (x )<f (1)＝－1<0.又1<a <x 2，因此f (x 2)<－1.②当0<x <1时，由s ′(x )＝1－3x 2x >0，得0<x <33. 由s ′(x )＝1－3x 2x <0，得33<x <1，所以s (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上单调递增，s (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上单调递减，∴s (x )≤s ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0， ∴f (x )在(0，1)上单调递减，∴f (x )>f (1)＝－1，∵x 1∈(0，1)，从而有f (x 1)>－1.综上可知：f (x 2)<－1<f (x 1)．。
【5份】2016年高考数学(浙江理科专用)二轮专题复习精练：规范练
【5份】2016年高考数学二轮专题复习精练（浙江理科专用）规范练目录规范练一三角问题 (1)规范练二立体几何问题 (4)规范练三函数问题 (10)规范练四解析几何问题 (14)规范练五数列问题 (18)规范练一三角问题1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3sin 2A＝1－cos 2A.(1)求角A的值；(2)若a＝1，B＝π4，求b的值．解(1)由3sin 2A＝1－cos 2A，得3·2sin A cos A＝1－(1－2sin 2A)，即23sin A cos A＝2sin 2A，因为0<A<π，所以sin A>0，从而有3cos A＝sin A，则有cos A≠0(若cos A＝0，由上式知sin A＝0，这与A为△ABC的内角矛盾)．于是有tan A＝3，又0<A<π，所以A＝π3.(2)由正弦定理，得asin A＝bsin B，即b ＝a sin B sin A ＝1×sin π4sin π3＝2232＝63.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角A ＝π3 sin B ＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 解 (1)因为A ＝π3， 所以B ＋C ＝2π3， 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ， 即32cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C ，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2， 又∵a ＝7，∴c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.3．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A sin x 3，A ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，cos x 3，f (x )＝m ·n ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (3α＋π)＝3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3β－7π2＝－85，求cos (α＋β)的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A sin x 3，A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，cos x 3＝3A sin x 3＋A cos x 3 ＝2A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝2A sin π4＝2A ， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，∴A ＝1.(2)由(1)，得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6从而f (3α＋π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos α＝3017，∴cos α＝1517，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3β－72π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－76π＋π6＝－2sin β＝－85，∴sin β＝45，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin α＝817，cos β＝35.故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1517×35－817×45＝1385.4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋φ2cos ωx ＋φ2＋sin 2ωx ＋φ2(其中ω>0,0<φ<π2)．其图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.(1)函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝5，S △ABC ＝25，角C 为锐角．且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝76，求c 的值．解 (1)f (x )＝32sin (ωx ＋φ)＋12[1－cos (ωx ＋φ)]＝ sin ωx ＋φ－π6＋12.∵两个相邻对称中心的距离为π2， 则T ＝π，∴2π|ω|＝π，∵ω>0，∴ω＝2，又f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＋φ＋12＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝12， ∴cos φ＝12，又∵0<φ<π2， ∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＋π6＋12＝sin C ＋12＝76，∴sin C ＝23， 又∵0<C <π2，∴cos C ＝53.又a ＝5，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×5×b ×23＝25， ∴b ＝6，由余弦定理，得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝5＋36－25×6×53＝21， ∴c ＝21.规范练二 立体几何问题1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∠ABC ＝60°，N 是BC 的中点，将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC ′D ′.(1)求证：AC ⊥平面ABC ′； (2)求证：C ′N ∥平面ADD ′； (3)求二面角A －C ′N －C 的余弦值．(1)证明 ∵AD ＝12BC ，N 是BC 的中点，∴AD ＝NC ，又AD ∥BC ，∴四边形ANCD 是平行四边形，∴AN ＝DC ，又∠ABC ＝60°，四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝BN ＝AD ，∴四边形ANCD 是菱形，∴∠ACB ＝12∠DCB ＝30°，∴∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB ，又平面C ′BA ⊥平面ABC ，平面C ′BA ∩平面ABC ＝AB ，∴AC ⊥平面ABC ′.(2)证明 ∵AD ∥BC ，AD ′∥BC ′，AD ∩AD ′＝A ，BC ∩BC ′＝B ， ∴平面ADD ′∥平面BCC ′，又C ′N ⊂平面BCC ′， ∴C ′N ∥平面ADD ′.(3)解 ∵AC ⊥平面ABC ′， AC ′⊥平面ABC .如图建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,0,0)，C (0，3，0)，C ′(0,0，3)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，∴BC →′＝(－1,0，3)，CC →′＝(0，－3，3)，设平面C ′NC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →′＝0，n ·C ′C →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0，－3y ＋3z ＝0，取z ＝1，则x ＝3，y ＝1，∴n ＝(3，1,1)．∵AC ′⊥平面ABC ，∴平面C ′AN ⊥平面ABC ，又BD ⊥AN ，平面C ′AN ∩平面ABC ＝AN ，∴BD ⊥平面C ′AN ，BD 与AN 交于点O ，则O 为AN 的中点，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0，∴平面C ′AN 的法向量OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－34，0.∴cos 〈n ，OB →〉＝n ·OB →|n ||OB →|＝55，由图形可知二面角A -C ′N -C 为钝角， 所以二面角A -C ′N -C 的余弦值为－55.2．如图，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AD ＝12PD .(1)求证：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)若二面角Q －BP －C 的余弦值为－155，求ABAD 的值．(1)证明 设AD ＝1，则DQ ＝2，DP ＝2，又∵PD ∥QA ，∴∠PDQ ＝∠AQD ＝45°，在△DPQ 中，由余弦定理可得PQ ＝ 2.∴DQ 2＋PQ 2＝DP 2，∴PQ ⊥DQ ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥DC ，∵CD ⊥DA ，DA ∩PD ＝D ，∴CD ⊥平面ADPQ .∵PQ ⊂平面ADPQ ，∴CD ⊥PQ ，又∵CD ∩DQ ＝D ，∴PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)解 如图，以D 为坐标原点，DA ，DP ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz .设AD ＝1，AB ＝m (m >0)．依题意有D (0,0,0)，C (0,0，m )，P (0，2,0)， Q (1,1,0)，B (1,0，m )，则CB→＝(1,0,0)， BP→＝(－1,2，－m )，PQ →＝(1，－1,0)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CB →＝0，n 1·BP →＝0，即⎩⎨⎧x 1＝0，－x 1＋2y 1－mz 1＝0.因此可取n 1＝(0，m,2)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面PBQ 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BP →＝0，n 2·PQ →＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋2y 2－mz 2＝0，x 2－y 2＝0，可取n 2＝(m ，m,1)．又∵二面角Q －BP －C 的余弦值为－155， ∴|cos 〈n 1，n 2〉|＝|－155|. ∴m 2＋2m 2＋4·2m 2＋1＝155.整理得m 4＋7m 2－8＝0. 又∵m >0，解得m ＝1. 因此，所求ABAD 的值为1.3．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，且AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O ，PO ⊥底面ABCD ，PO ＝2，AB ＝2CD ＝22，E ，F 分别是AB ，AP 的中点．(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求二面角F －OE －A 的余弦值． (1)证明 E ，F 分别是AB ，AP 的中点． ∴EF 是△APB 的中位线， ∴EF ∥PB ，由已知可知PO ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥AC ，又∵AC ⊥BD ， 又BD ∩OP ＝O ，∴AC ⊥面POB .又PB ⊂平面POB ， ∴AC ⊥PB ，∴AC ⊥EF .(2)解 如图建立空间直角坐标系．依题意知，OA ＝OB ＝2，OC ＝OD ＝1，则A (0，－2,0)，B (2,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，P (0,0,2)，∴OE→＝(1，－1,0)，OF →＝(0，－1,1)，设平面OEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·OE→＝0，m ·OF →＝0，可取m ＝(1,1,1)．平面OAE 的法向量为n ＝(0,0,1)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33.故二面角F －OE －A 的余弦值为33.4．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AA 1＝3，点D 为AC 的中点，点E 在线段AA 1上．(1)当AE ∶EA 1＝1∶2时，求证DE ⊥BC 1；(2)是否存在点E ，使二面角D －BE －A 等于60°，若存在求AE 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 连接DC 1，因为ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱，所以△ABC 为正三角形，又因为D 为AC 的中点，所以BD ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥DE .因为AE ∶EA 1＝1∶2，AB ＝2，AA 1＝3，所以AE ＝33，AD ＝1，所以在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，在Rt △DCC 1中，CC 1＝3，CD ＝1，所以∠C 1DC ＝60°，所以∠EDC 1＝90°，即ED ⊥DC 1，又BD ∩DC 1＝D ，所以ED ⊥平面BDC 1，BC 1⊂面BDC 1，所以ED ⊥BC 1.(2)解 假设存在点E 满足条件，设AE ＝h .取A 1C 1的中点D 1，连接DD 1，则DD 1⊥平面ABC ，所以DD 1⊥AD ，DD 1⊥BD ，分别以DA ，DB ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，E (1,0，h )，所以DB→＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →＝(0,0，h )，设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DB →＝0，n 1·DE →＝0，⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋hz 1＝0，令z 1＝1，得n 1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB →＝0，n 2·AE →＝0，⎩⎨⎧－x 2＋3y 2＝0，hz 2＝0.∴n 2＝(3，1,0)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝|－3h |h 2＋1·2＝cos 60°＝12.解得h ＝22<3，故存在点E ，当AE ＝22时，二面角D －BE －A 等于60°.规范练三 函数问题1．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵x ＞0时，g (x )＝x ＋e 2x ≥2x ·e 2x ＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．法二 作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象如图：可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x >0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，联想到g (x )＝x ＋1x 的单调性，猜想到求f (x )的最值可先证明f (x )的单调性．任取1≤x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2，∵1≤x 1＜x 2， ∴x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0. 又x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax＞0恒成立，则⎩⎨⎧ x 2＋2x ＋a ＞0，x ≥1，⇔⎩⎨⎧a ＞－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．只需求函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值． φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴当x ＝1时，φ(x )最大值为φ(1)＝－3.∴a ＞－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．3．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间 [－1,1]上的最大值．(1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值． (1)证明 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得|－a2|≥1， 故f (x )在[－1,1]上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}． 当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4， 得max{f (1)，－f (－1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4， 得max{f (－1)，－f (1)}≥2， 即M (a ，b )≥2.综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)解 由M (a ，b )≤2得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2， |1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2， 故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3.由|a |＋|b |＝⎩⎨⎧|a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab ＜0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在[－1,1]上的最大值为2. 即M (2，－1)＝2. 所以|a |＋|b |的最大值为3.4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 (1)每吨平均成本为yx 万元． 则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元． 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000 ＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)． ∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时， R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．规范练四 解析几何问题1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到直线l 1：3x ＋4y ＝0的距离为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (km ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点恰好在直线l 1上，求△OAB 的面积S 的最大值(其中O 为坐标原点)． 解 (1)由题意，得e ＝c a ＝12.∴右焦点(c,0)到直线3x ＋4y ＝0的距离为35，∴3c5＝35，∴c ＝1，∴a ＝2. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 2：y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 因此x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m4k 2＋3. ∴AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km4k 2＋3，3m 4k 2＋3， 又点M 在直线l 1上，得3×－4km 4k 2＋3＋4×3m4k 2＋3＝0， ∴k ＝1，故x 1＋x 2＝－8m 7，x 1x 2＝4m 2－127，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4677－m 2，原点O 到AB 的距离为d ＝|m |2＝22|m |，∴S ＝237m 2(7－m 2)≤237×m 2＋(7－m 2)2＝3，当且仅当m 2＝72时取到等号，经检验此时Δ>0成立．故△OAB 的面积S 的最大值为 3.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心， 以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝4，证明：直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.(1)解 ∵等轴双曲线离心率为2，∴椭圆C 的离心率e ＝22.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2.∵由x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，得 b ＝1，∴a 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 ①若直线AB 的斜率不存在， 设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)． 由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12.此时AB 方程为x ＝－12，显然过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.②若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ， 依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 则x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由已知k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4，∴kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －kmm ＋1＝2，∴k ＝2(m ＋1)， ∴m ＝k 2－1.故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1， 即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1.∴直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.综上，直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.3．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)上两点，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m ·n ＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)试问△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．解 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32. ∴a ＝2，c ＝ 3.故椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)①当直线AB 斜率不存在时，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 由m ·n ＝0，得x 21－y 214＝0⇒y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1.②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 24＋x 2＝1，得(k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.有Δ＝(2kb )2－4(k 2＋4)(b 2－4)＝16(k 2－b 2＋4)>0，x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由已知m ·n ＝0得x 1x 2＋y 1y 24＝0⇔x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )4＝0，代入整理得2b2－k 2＝4，代入Δ中可得b 2>0满足题意， ∴S ＝12|b |1＋k2|AB |＝12|b | (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1.综上，所以△ABC 的面积为定值．4．如图，已知A 是圆x 2＋y 2＝4上的一个动点，过点A 作两条直线l 1，l 2.它们与椭圆x 23＋y 2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M ，N .(1)若A (－2,0)，求直线l 1，l 2的方程；(2)①求证：对于圆上的任一点A ，都有l 1⊥l 2成立； ②求△AMN 面积的取值范围．(1)解 设过点A 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 23＋y 2＝1得(1＋3k 2)x 2＋12k 2x ＋12k 2－3＝0， 由Δ＝0得，k 2－1＝0，设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，得k 1＝1，k 2＝－1. ∴直线l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2，y ＝－x －2.(2)①证明 (ⅰ)当l 1，l 2斜率都存在时，设点A (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4.设经过点A (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝k (x －x 0)＋y 0， 代入x 23＋y 2＝1化简得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3(y 0－kx 0)2－3＝0，由Δ＝0化简整理得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0， ∵x 20＋y 20＝4，∴(3－x 20)k 2＋2x 0y 0＋x 20－3＝0.设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，∵l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，∴k 1，k 2是方程(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋x 20－3＝0的两个根，即k 1k 2＝－1，∴l 1，l 2垂直．(ⅱ)当l 1，l 2其中有一条直线斜率不存在时，设l 1斜率不存在．∵l 1与椭圆只有一个公共点，∴其方程为x ＝±3， 当l 1方程为x ＝3时，此时l 1与圆交于点(3，±1)， ∴l 2方程为y ＝1(或y ＝－1)； 显然直线l 1，l 2垂直；同理可证l 1方程为x ＝－3时，直线l 1，l 2垂直． 综上，对于圆上的任意一点A ，都有l 1⊥l 2成立．②解 记原点到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则△AMN 的面积S ＝2d 1d 2＝2|y 0－k 1x 0|1＋k 21·|y 0－k 2x 0|1＋k 22＝2|y 20－x 20－(k 1＋k 2)x 0y 0|2＋k 21＋k 22＝(12－2x 20)29－2x 20＝9－2x 20＋99－2x 20＋6. ∵9－2x 20∈[1,9]，∴S ∈[23，4]． ∴△AMN 面积的取值范围为[23，4]．规范练五 数列问题1．已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列． (1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和． 解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1， 故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12； 当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n2.所以，{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1. 设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.2．已知{a n }为等差数列，且a 2＝－1，a 5＝8. (1)求数列{|a n |}的前n 项和； (2)求数列{2n ·a n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－1，a 5＝8，所以⎩⎨⎧a 1＋d ＝－1，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，因此|a n |＝|3n －7|＝⎩⎨⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3记数列{|a n |}的前n 项和为S n ，当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4，当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5，当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.又当n ＝2时满足此式，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.(2)记数列{2n a n }的前n 项和为T n则T n ＝2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n,2T n ＝22a 1＋23a 2＋24a 3＋…＋2n a n －1＋ 2n ＋1a n ，所以－T n ＝2a 1＋d (22＋23＋…＋2n )－2n ＋1a n由(1)知，a 1＝－4，d ＝3，a n ＝3n －7，所以－T n ＝－8＋3×4(1－2n －1)1－2－(3n－7)×2n ＋1＝－20－(3n －10)×2n ＋1， 故T n ＝20＋(3n －10)×2n ＋1.3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N*,且a 2，a 5，a 14构成等比数列． (1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.(1)证明 当n ＝1时，4a 1＝a 22－5，a 22＝4a 1＋5，又a n >0，∴a 2＝4a 1＋5.(2)解 当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，又a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，∴当n ≥2时，{a n }是公差为2的等差数列． 又a 2，a 5，a 14成等比数列．∴a 25＝a 2·a 14，即(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3. 由(1)知a 1＝1.又a 2－a 1＝3－1＝2，∴数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴a n ＝2n －1.(3)证明 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)21 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 4．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值． 解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n＝12n ， 所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n ＞1 000， 因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.。
【配套K12】浙江省2016届高三数学专题复习 中档题满分练(3)理
中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3 时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2.如图，在底面是菱形的四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝60°，PA ＝AC ＝1，PB ＝PD ＝2，点E 在PD 上，且PE ＝2ED .(1)求二面角P －AC －E 的大小；(2)试在棱PC 上确定一点F ，使得BF ∥平面AEC .3．(2015·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)，g (x )＝ax 2－x ＋5，其中a ∈R .(1)若函数f (x )，g (x )存在相同的零点，求a 的值．(2)若存在两个正整数m ，n ，当x 0∈(m ，n )时，有f (x 0)<0与g (x 0)<0同时成立，求n 的最大值及n 取最大值时a 的取值范围．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12， ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3， 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×sin π3＝ 3. 2．解 (1)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴AB ＝AD ＝AC ＝1，在△PAB 中，由PA 2＋AB 2＝2＝PB 2，知PA ⊥AB .同理，PA ⊥AD ，且AB ∩AD ＝A ，∴PA ⊥平面ABCD .建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，P (0，0，1)，D (0，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13. ∴AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13. 设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧32x ＋12y ＝0，23y ＋13z ＝0. 取y ＝－3，则n ＝(1，－3，23)．同理，平面ACP 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，0， ∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1×32＋3×324×3＝12， ∴〈n ，m 〉＝60°.故二面角P －AC －E 的大小为60°.(2)设PF →＝λPC →(0＜λ＜1)，∵PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，－1，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1， ∴BF →＝BP →＋PF →＝BP →＋λPC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32λ，12λ，－λ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32（λ－1），12（λ＋1），1－λ， 由BF ∥平面AEC ，知BF →⊥n ，∴32(λ－1)×1＋12(λ＋1)×(－3)＋(1－λ)×23＝0， 解得λ＝12. ∴当点F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .3．解 (1)解方程x 2－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝0得：x ＝－4，或x ＝a ＋5，由函数f (x )，g (x )存在相同的零点，则－4，或a ＋5为方程ax 2－x ＋5＝0的根，将－4代入ax 2－x ＋5＝0：得16a ＋9＝0，解得：a ＝－916， 将a ＋5代入ax 2－x ＋5＝0得：a 3＋10a 2＋24a ＝0，解得：a ＝－6，或a ＝－4，或a ＝0，综上a 的值为－916，或－6，或－4，或0. (2)令f (x )<0，则－4<x <a ＋5，∵正整数m ，n ，∴a ＋5>0，即a >－5，即N ＝(0，a ＋5)，令g (x )<0，即ax 2－x ＋5<0的解集为M ，则由题意得区间(m ，n )⊂M ∩N .①当a <0时，因为g (0)＝5>0，故只能g (a ＋5)＝a [(a ＋5)2－1]<0，即a >－4，或a <－6，又因为a >－5，所以－4<a <0，此时n ≤a ＋5<5.∵正整数m ，n ，∴m <n ≤4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧－4<a <0，4≤a ＋5<5，g （3）＝9a ＋2≤0，即－1≤a ≤－29时，n 的最大值为4. ②当a ＝0时，M ∩N ＝∅，不合题意，③当a >0时，因为g (0)＝5>0，所以g (a ＋5)＝a [(a ＋5)2－1]>0，故⎩⎪⎨⎪⎧0<12a <a ＋5，Δ＝1－20a >0无解，综上，n 的最大值为4，a 的取值范围是－1≤a ≤－29. 4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1. (2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1. ∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*) 则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**) (*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n . ∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1. ②16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ， 解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4. 所以n 的最大正整数为4.。
【K12教育学习资料】浙江省2016届高三数学专题复习 自选模块 理
[自选模块](供选用)1．“复数与导数”模块(10分)(1)设i 是虚数单位.z －是复数z 的共轭复数．若z ·z －i ＋2＝2z ，求复数z .(2)设函数f (x )＝3x 2＋ax e x (a ∈R )． ①若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；②若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．2．“计数原理与概率”模块(10分)(1)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n展开式中只有第六项的二项式系数最大，求展开式中的常数项． (2)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．①求三种粽子各取到1个的概率；②设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 分别取0，1，2的概率．自选模块1．解 (1)设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，代入z ·z －i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，因此z ＝1＋i. (2)①对f (x )求导得f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）e x （e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a ex ， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6x e x ，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化简得3x －e y ＝0. ②由①知f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a e x . 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2＋366， x 2＝6－a ＋a 2＋366. 当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，故f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，故f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92， 故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 2．解 (1)依题意知：n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r ·x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2， ∴常数项为C 21022＝180.(2)①令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14. ②P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.。
配套K12新(浙江专用)2016高考数学二轮专题突破 大题纵横练(一)理
高考大题纵横练(一)1．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3，x ∈R .(1)求函数y ＝f (－3x )＋1的最小正周期和单调递减区间； (2)已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若锐角A 满足f (A 2－π6)＝3，且a ＝7，sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．2．(2015·嘉兴质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2－(2n＋1)a n (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n n }是等比数列；(2)设数列{2n a n }的前n 项和为T n ，A n ＝1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ，试比较A n 与2na n的大小．3．如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、G 分别为PC 、CB 的中点，F 是PD 上的点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .(1)若F 是PD 的中点，求证：AP ∥平面EFG ；(2)当二面角G －EF －D 的大小为π4时，求FG 与平面PBC 所成角的余弦值．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．5．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一鱼塘中，为了治污，根据环保部门的建议，现决定在鱼塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 168－x －1(0≤x ≤4)5－12x (4<x ≤10)，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4)答案精析高考大题纵横练(一)1．解 (1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(2cos 2x －1)＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin(2x ＋π3)， ∴y ＝f (－3x )＋1＝2sin(－6x ＋π3)＋1 ＝－2sin(6x －π3)＋1， ∴y ＝f (－3x )＋1的最小正周期为 T ＝2π6＝π3， 由2k π－π2≤6x －π3≤2k π＋π2得：13k π－π36≤x ≤13k π＋5π36，k ∈Z ， ∴y ＝f (－3x )＋1的单调递减区间是[13k π－π36，13k π＋5π36]，k ∈Z . (2)∵f (A 2－π6)＝ 3. ∴2sin(A －π3＋π3)＝3， ∴sin A ＝32. ∵0<A <π2，∴A ＝π3. 由正弦定理得：sin B ＋sin C ＝b ＋c a sin A ， 即13314＝b ＋c 7×32，∴b ＋c ＝13， 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得：a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，即49＝169－3bc ，∴bc ＝40，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×40×32＝10 3.2．(1)证明 a 1＝S 1＝2－3a 1得a 1＝12， 当n ≥2时，由a n ＝S n －S n －1得a n n＝12×a n －1n －1， 所以{a n n }是首项和公比均为12的等比数列． (2)解 由(1)得a n n ＝12n ，于是2n ·a n ＝n ， T n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12. 所以1T n ＝2(1n －1n ＋1)， 于是A n ＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1， 而2na n ＝2n ＋1n 2，所以问题转化为比较2nn 2与nn ＋1的大小．设f (n )＝2n n 2，所以问题转化为比较2nn 2与n n ＋1的大小． 设f (n )＝2n n 2，g (n )＝n n ＋1， 当n ≥4时，f (n )≥f (4)＝1，而g (n )<1，所以f (n )>g (n )．经验证当n ＝1,2,3时，仍有f (n )>g (n )．因此对任意的正整数n ，都有f (n )>g (n )，即A n <2na n .3．(1)证明 F 是PD 的中点时，EF ∥CD ∥AB ，EG ∥PB ，∴AB ∥平面EFG ，PB ∥平面EFG ，AB ∩PB ＝B ，∴平面PAB ∥平面EFG ，又∵AP ⊂平面PAB ，∴AP ∥平面EFG .(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G (1,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0)，设F (0,0，a )，GF →＝(－1，－2，a )，GE →＝(－1，－1,1)，设平面EFG 的一个法向量n 1＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －x －2y ＋a ＝0，－x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－a ，y ＝a －1， ∴n 1＝(2－a ，a －1,1)．取平面EFD 的一个法向量n 2＝(1,0,0)，依题意，cos 〈n 1，n 2〉＝2－a－a 2＋a －12＋1＝22， ∴a ＝1，于是GF →＝(－1，－2,1)．设平面PBC 的一个法向量n 3＝(m ，n,1)，PC →＝(0,2，－2)，BC →＝(－2,0,0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2n －2＝0，－2m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1.∴n 3＝(0,1,1)．设FG 与平面PBC 所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈GF →，n 3〉|＝16·2＝36， 故有cos θ＝336. 4．(1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2， ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)解 由题意可知，直线l 与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝k x －1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2， OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2(4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k2＋1) ＝－5k 2－123＋4k2＝－2，解得k ＝±2， 故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或 y ＝－2(x －1)， 即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.(3)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ ＋k 28k23＋4k22－44k 2－123＋4k 2 ＝12k 2＋13＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2， |AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43＋k23＋4k 2， ∴|AB |2|MN |＝48＋k23＋4k 212k 2＋13＋4k 2＝4，为定值．5．解 (1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 648－x －4≤x ≤420－2x x ≤10.由当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4， 解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4；当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，可得0≤x ≤8，即一次投放4个单位的药时，有效治污时间可达8天．(2)当6≤x ≤10时，y ＝2×(5－12x )＋a [168－x －6－1]＝10－x ＋16a 14－x－a ＝(14－x )＋16a 14－x－a －4， 因为14－x ∈[4,8]，1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 取得最小值8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。
2016年浙江高考数学理科试题(Word版)
2016年浙江高考数学理科试题(Word版)D4、命题“2*,,x n N n R x ≥∈∃∈∀使得”的否定形式是（ ） A 、2*,,x n N n R x <∈∃∈∀使得 B 、2*,,x n N n R x <∈∀∈∀使得 C 、2*,,x n N n R x <∈∃∈∃使得 D 、2*,,x n N n R x <∈∀∈∃使得5、设函数c x b x x f ++=sin sin )(2，则)(x f 的最小正周期（ ） A 、与b 有关，且与c 有关 B 、与b 有关，且与c 无关 C 、与b 无关，且与c 无关 D 、与b 无关，且与c 有关6、如图，点列{}{}nnB A ,分别在某锐角的两边上，且*2211*2211,,,,N n B B B B B B N n A A A A A A n n n n n n n n n n n n ∈≠=∈≠=++++++++（Q P ≠表示点P 与Q 不重合）若nnnB A d =，nS 为1+∆n nnB B A 的面积，则（ ） A 、{}nS 是等差数列 B 、{}2nS 是等差数列 C 、{}nd 是等差数列 D 、{}2nd 是等差数列123nn+1A n+1A nA 3A 2A 17、已知椭圆)1(1:2221>=+m y mx C 与双曲线)0(1:2222>=-n y nx C 的焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则（ ） A 、121>>e e n m 且 B 、121<>e e n m 且 C 、121><e e n m 且 D 、121<<e e n m 且8、已知实数c b a ,,（ ）A 、若122≤+++++c b a c b a ，则100222<++c b a B 、若122≤-++++c b a c b a ，则100222<++c b a C 、若122≤-++++c b a c b a ，则100222<++c b a D 、若122≤-++++c b a c b a ，则100222<++c b a二、填空题9、若抛物线x y 42=上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y轴的距离是________10、已知)0()sin(2sin cos 22>++=+A b x A x x ϕω，则=A ________；=b ________11、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是________；体积是________222222俯视图侧视图正视图12、已知1>>b a 。
2016年高考浙江卷数学(理)试题含解析
2016年高考浙江卷数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1。
已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=RA ．[2,3]B ．( —2,3 ]C ．[1,2）D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】根据补集的运算得．故选B ．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l 。
若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥， 则 A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C3. 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x +y -2=0上的投影构成的线段记为AB ,则│AB │= A ．22 B ．4 C ．32 D ．6 【答案】C【解析】如图∆PQR 为线性区域,区域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段''R Q ，即AB ，而''=R Q PQ ,由3400-+=⎧⎨+=⎩x y x y 得(1,1)-Q ，由20=⎧⎨+=⎩x x y 得(2,2)-R ，22(12)(12)32==--++=AB QR ．故选C ．4。
命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ,使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 5。
设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B6. 如图，点列｛A n }，｛B n ｝分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N , 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）。
2016年浙江省高考数学理科试题含答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是. 10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是 cm 3.12.已知，若，则a=，b=. 13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
【全套】全国新课标通用2016年高考数学(理)专题复习：题型专训
【全套】全国新课标通用2016年高考数学（理）专题复习题型专训目录第二部分题型专训 (1)客观题限时练(一) (1)客观题限时练(二) (5)客观题限时练(三) (10)客观题限时练(四) (14)中档题满分练(一) (18)中档题满分练(二) (20)中档题满分练(三) (22)压轴题突破练 (25)参考答案 (27)第二部分题型专训 (27)第二部分题型专训客观题限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本小题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A＝{y|y＝x，0≤x≤4}，B＝{x|x2－x＞0}，则A∩B＝() A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，2)C．∅D．(1，2]2．(2015·青岛模拟)已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则实数t等于()A.34B.43 C ．－43 D ．－343．(2015·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．在△ABC 中，若sin A －sin A cos C ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．(2015·西安质检)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频数分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o ＜xC ．m e ＜m o ＜xD ．m o ＜m e ＜x6．(2015·日照调研)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34B.14C.211 D ．47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)8．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种9．(2015·菏泽模拟)若函数f (x )＝（2－m ）x x 2＋m的图象如图所示，则m 的范围为()A ．(－∞，－1)B ．(－1，2)C ．(0，2)D ．(1，2)10．设数列{a n }是首项为－12，公差为d (d ≠0)的等差数列，S n 是其前n项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则公差d 的值为( )A ．－1B ．－12 C.18 D.1211．(2015·衡水中学质检)当向量a ＝c ＝(－2，2)，b ＝(1，0)时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．512．(2015·郑州一中模拟)设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.x 23－y 2＝1B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.y 212－x 24＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．设随机变量ξ～N (μ，σ2)，且P (ξ＜－1)＝P (ξ＞1)，P (ξ>2)＝0.3，则P (－2＜ξ＜0)＝________．14．(2015·莱芜调研)直线y ＝x ＋1被圆x 2－2x ＋y 2－3＝0所截得的弦长等于________．15．(2015·西安调研)某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为π3的扇形，则该几何体的体积为________．16．(2015·莱芜质检)设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω＞0，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f (x )＝4x ；②f (x )＝x 2＋2；③f (x )＝2x x 2－2x ＋5；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．客观题限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题(本小题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝( ) A. 2B.223 C ．2 2 D ．12．(2015·济南模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0}，N ＝{x |x ＞a }．若∁R M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x＋3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－32B ．－52C ．－72D ．－24．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110B.25C.3010D.225．(2015·青岛质检)已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π12个单位后，得到函数g (x )的图象，则“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．(2015·济南调研)某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝8.5x ＋7.5，则表中的m 的值为( )A.50 B ．55 C ．6 0 D ．657.如果执行下侧的程序框图，那么输出的S 的值为( )A ．1 740B ．1 800C ．1 860D ．1 9848．(2015·北京东城区质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－129．(2015·南昌模拟)函数f (x )＝x ＋9x的最小值为n ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x n 的展开式中x 的系数为( )A ．1 215B ．81C ．15D ．3610．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是方程x 2－b n x ＋2n ＝0的两个根，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．6411．(2015·济南调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点(3，0)，且一条渐近线被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±255xC ．y ＝±663xD ．y ＝±26x 12．若直角坐标系中有两点P ，Q 满足条件：(1)P 、Q 分别在函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象上，(2)P 、Q 关于点(1，0)对称，则对称点对(P ，Q )是一个“和谐点对”．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象中“和谐点对”的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．如图，长方形的四个顶点为O (0，0)，A (2，0)，B (2，4)，C (0，4)，曲线y ＝ax 2经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．14．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB→＝________． 15．在椭圆x 216＋y 29＝1内，通过点M (1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为________．16．(2015·德州二模)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)－x 2在区间(1，2)内任取两个实数p ，q ，且p ≠q ，不等式f （p ＋1）－f （q ＋1）p －q＜1恒成立，则实数a 的取值范围为________．客观题限时练(三)(限时：40分钟)一、选择题(本小题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)→对应的复数为z，则复数z2·i＝() 1．如图所示，在复平面内，向量OAA．－3－4i B．5＋4iC．4＋3i D．3－4i2．设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}3．(2015·莱芜调研)在数列{a n}中，已知S1＝1，S2＝2，且S n＋1＋2S n－1＝3S n(n≥2且n∈N*)，则此数列为()A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列4．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件f (x )＝f (－x )和f (x －π)＝f (x )的函数是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝sin x cos xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝cos 2x －sin 2x5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC→的值等于( ) A ．－94 B.94 C.274 D ．96．(2015·日照质检)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．7B ．9C ．11D ．137．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π49．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．510．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2 11．(2015·西安质检)(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中含x 2项的系数为250，则实数m 的值为( )A ．±5B ．±5 C. 5 D ．512．设函数f (x )的定义域为D ，若任取x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 满足f （x 1）＋f （x 2）2＝M ，则称M 为函数y ＝f (x )在D 上的均值，给出下列五个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝4sin x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝e x ，则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为( )A ．①③B ．①④C ．①④⑤D ．②③④二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2015·南京调研)如图是某电视台青年歌手大奖赛上七位评委给某选手打出的分数茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，若这组数据的中位数与平均数相等，则m ＝________．14．(2015·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．15．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a ＞0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．16．(2015·大连模拟)若曲线y ＝－1b e ax (a ＞0，b ＞0)在点x ＝0处的切线与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b 的最大值为________．客观题限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本小题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足i z＝2＋4i，则z在复平面内对应的点的坐标是() A．(4，2) B．(2，－4)C．(2，4) D．(4，－2)2．已知集合M＝{x|y＝lg(2x－x2)}，N＝{x|x2＋y2＝1}，则M∩N＝() A．[－1，2) B．(0，1) C．(0，1] D．∅3．(2015·临沂模拟)下列结论中正确的是()A．“x≠1”是“x(x－1)≠0”的充分不必要条件B．随机变量ξ服从正态分布N(5，1)，且P(4≤ξ≤6)＝0.7，则P(ξ＞6)＝0.15C．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化D．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.23π＋6B.113πC.116πD.23＋6π5．(2015·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝1的相邻交点之间的距离为π，f (x )的图象向左平移π6个单位后，得到函数y＝g (x )的图象，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π3上单调递减 6．(2015·日照质检)学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一年级4个班级，每班1个，则不同的发放方法共有( )A ．10种B ．156种C ．60种D ．120种7．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，AD ＝kAC (k 为常数，且0＜k ＜1)，BD ＝l 为定长，则△ABC 的面积最大值为( )A.l 21－k 2 B.l 1－k 2C.l 22（1－k 2）D.l 2（1－k 2）8．(2015·衡水调研)a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则 cos(a π－θ)的结果是( )A ．cos θB ．－cos θC ．sin θD ．－sin θ9．(2015·济南模拟)若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，5]B ．[－5，5]C ．[4，5]D ．[－5，4]10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.2＋12 B.2＋1 C.3＋12 D.3＋111．(2015·北京海淀区调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点，则∠B 的范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 12．已知函数f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，且f (y 2－2y ＋3)＋f (x 2－4x ＋1)≤0，则当y ≥1时，y x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，43 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．已知不共线的平面向量a ，b 满足a ＝(－2，2)，(a ＋b )⊥(a －b )，那么|b |＝________．14．(2015·潍坊质检)在数列{a n }中，已知a 2＝4，a 3＝15，且数列{a n ＋n }是等比数列，则a n ＝________．15．(2015·菏泽模拟)已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝2x ＋y的最大值与最小值的比为________．16．(2015·南京调研)定义域是R 的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是R 上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②f (x )＝x 2是一个“λ的相关函数”；③“12的相关函数”至少有一个零点；④若y ＝e x是“λ的相关函数”，则－1＜λ＜0.其中正确的命题序号是________．中档题满分练(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 22A B cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求B 和c .2．(2015·青岛模拟)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里，已知甲、乙乘车不超过6公里的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．3.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，且交PD 于点E .(1)证明：CF ⊥平面ADF ；(2)求二面角D －AF －E 的余弦值．4．(2015·济南模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝12，且满足2S n ＋1＝4S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当1≤i ≤n ，1≤j ≤n (i ，j ，n 均为正整数)，求如下图所示a i 和a j 的所有可能的乘积a i a j 之和．a 1a 1，a 1a 2，a 1a 3，…，a 1a na 2a 1，a 2a 2，a 2a 3，…，a 2a n…a n a 1，a n a 2，a n a 3，…，a n a n中档题满分练(二)1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.(2015·日照模拟)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．4．某公司为了提高员工的演讲能力与加强员工之间的互动，在2016年元旦举行“我是演说家”活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么不接受挑战，并且不能重复参加该活动．若被邀请者接受挑战，则他需在公司的网络上发布自己演讲不超过10分钟的视频内容，公司给予一定的资金，然后他便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．(1)若某个被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？(2)假定(1)中被邀请到的3个人中恰有2人接受挑战，根据活动规定，记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列、期望和方差．中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3 时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2.某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况(单位：万元)，将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)求直方图中x 的值；(2)如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1 200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；(3)从企业中任选4个，这4个企业年上缴税收少于20万元的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)3．等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12(如图)，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1－DE －B 成直二面角，连接A 1B 、A 1C .(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n . ①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·济南质检)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，g (x )＝e x ·f ′(x )，其中e 为自然对数的底数．(1)求曲线y ＝g (x )在点(0，g (0))处的切线方程；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，不等式g (x )≥x ·f (x )＋m 恒成立，求实数m 的取值范围；(3)试探究当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，方程g (x )＝x ·f (x )解的个数，并说明理由．2．(2015·潍坊模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆D ：x 23＋y 2m ＝1的离心率为33，F 1，F 2分别为左，右焦点，过点P (3，0)作直线交椭圆D 于A ，B (B 在P ，A 两点之间)两点，且F 1A ∥F 2B ，A 关于原点O 的对称点为C .(1)求椭圆D 的方程；(2)求直线P A 的方程；(3)过F 2任作一直线交过A ，F 1，C 三点的圆于E ，F 两点，求△OEF 面积的取值范围．3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，其中a 是实数，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2.(1)当x ＜0时，讨论函数g (x )＝f (x )·f (e x )的单调性；(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，半焦距为c ，B (0，1)为其上顶点，且a 2，c 2，b 2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e ；(2)P ，Q 为椭圆上的两个不同的动点，且k BP ·k BQ ＝e 2.(ⅰ)试证直线PQ 过定点M ，并求出M 点坐标；(ⅱ)△PBQ 是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ 的斜率；否则请说明理由．参考答案第二部分 题型专训客观题限时练(一)1．D [易知A ＝[0，2]，B ＝{x |x ＜0或x ＞1}．∴A ∩B ＝(1，2]．]2．A [求出z 1·z 2的虚部，令其为0，∵复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，∴z 1·z 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，∵z 1·z 2是实数，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]3．D [将直线类比到平面，可知①、④正确．]4．A[∵sin A －sin A cos C ＝cos A sin C ，∴sin A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )．由于A ，A ＋C ∈(0，π)．所以A ＝π－(A ＋C )，又B ＝π－(A ＋C )，因此A ＝B ，△ABC 为等腰三角形．]5．D [由频数分布直方图知，众数m o ＝5，中位数m e ＝5＋62＝5.5，平均数x ＝2×（3＋8＋9＋10）＋3×（4＋7）＋10×5＋6×630＝17930≈5.97.因此x ＞m e ＞m o .]6．B [先画出x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a 的可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得C (a ，a )，平移直线2x ＋y ＝0，当直线过点C (a ，a )时，目标函数z ＝2x ＋y 有最小值，且z min ＝3a ；当直线过点B (1，1)时，函数z ＝x ＋y 取最大值，且z max ＝3.依题意，得3＝4×3a ，则a ＝14.]7．D [当x ＞0时，2x －1＝0，得x ＝12，依题意知，当x ≤0时，e x ＋a＝0必须有实根．∴x ＝ln(－a )≤0，则1≥－a ＞0，所以－1≤a ＜0.]8．B [(1)当甲排在最前面，有A 55种排法；(2)当乙排在最前面，再排甲有C 14种排法，剩余4人全排列，共有1·C 14·A 44种排法．∴由分类加法计数原理，共A 55＋C 14·A 44＝216(种)排法．]9．D [易知f (x )＝（2－m ）x x 2＋m为奇函数，且0＜m ＜2，由图象知，当x ＞0时，f (x )有极大值，且极大值点x 0＞1，f (x )＝（2－m ）x x 2＋m ＝2－m x ＋m x，又x ＋m x ≥2m ，当且仅当x ＝m 时取等号．∴x ＝m 时，f (x )有极大值，则m ＞1，m ＞1.所以1＜m ＜2.]10．A [∵{a n }是首项为－12的等差数列，∴S n ＝－12n ＋n （n －1）2d ， 又S 1，S 2，S 4成等比数列．∴(－1＋d )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－2＋6d )， 即d 2＋d ＝0，解之得d ＝0，或d ＝－1，由于d ≠0，从而d ＝－1.]11．C [执行一次循环后，i ＝1，c ＝(－2，2)＋(1，0)＝(－1，2)； 执行两次循环后，i ＝2，c ＝(－1，2)＋(1，0)＝(0，2)；执行第三次循环后，i ＝3，c ＝(0，2)＋(1，0)＝(1，2)；执行第四次循环后，i ＝4，c ＝(1，2)＋(1，0)＝(2，2)；此时a·c ＝(－2，2)·(2，2)＝0，输出i ＝4.]12．C [抛物线x 2＝8y 的焦点为F (0，2)，∴双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝2，显然A 、B 不满足，验证选项C 、D ，方程y 2－x 23＝1满足．] 13．0.2 [因为P (ξ＜－1)＝P (ξ＞1)，所以正态分布曲线关于y 轴对称，又P (ξ＞1)＝0.3，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2×0.32＝0.2.] 14．22 [圆(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，半径r ＝2，∴圆心C (1，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1－0＋1|2＝2， 因此所求弦长为2r 2－d 2＝2 2.]15．2π [由三视图知，该几何体是底面为扇形面的柱体(如图)．∵S 底＝12·r 2·α＝12×22×π3＝2π3，∴V 柱体＝3·S 底＝2π.]16．①③④ [显然①f (x )＝4x 满足|f (x )|＝4|x |，f (x )为“条件约束函数”． ②f (x )＝x 2＋2，取|x |＞ω时，|f (x )|＝x 2＋2＞ω|x |＋2＞ω|x |，∴②中f (x )不是“条件约束函数”．③中，x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，则|f (x )|≤|2x |4＝12|x |，满足条件． ④中，由于y ＝f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，令x 1＝x ，x 2＝0，则|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|⇒|f (x )|≤4|x |.综上可知①③④中函数为“条件约束函数”．]客观题限时练(二)1．D [⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 32＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝1.] 2．A [由x 2－2x －3≥0，得x ≥3或x ≤－1，∴M ＝{x |x ≥3或 x ≤－1}，则∁R M ＝{x |－1<x <3}．由于∁R M ⊆N ，得a ≤－1.]3．B [由于f (x )在R 上为奇函数，且当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x ＋3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝－52.] 4．C [法一 补成正方体，利用向量的方法求异面直线所成的角． 由于∠BCA ＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC ＝CA ＝CC 1，可将三棱柱补成正方体，建立如图(1)所示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A (0，0，0)，B (2，2，0)，M (1，1，2)，N (0，1，2)，∴BM→＝(1，1，2)－(2，2，0)＝(－1，－1，2)，AN →＝(0，1，2)，∴cos 〈BM →，AN →〉＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝0－1＋4（－1）2＋（－1）2＋22×02＋12＋22＝36×5＝3010.法二 通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据余弦定理求解，如图(2)，取BC 的中点D ，连接MN ，ND ，AD ，由于MN 綊12B 1C 1綊BD ，因此有ND 綊BM ，则ND 与NA 所成角即为异面直线BM 与AN 所成角．设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，因此cos ∠AND ＝ND 2＋NA 2－AD 22ND ·NA ＝3010.]5．A [依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，g (x )为偶函数⇔π6＋φ＝k π，φ＝k π－π6，k ∈Z ，所以“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．]6．C [由表格知：x ＝5，y ＝190＋m 5.又回归直线y ^＝8.5x ＋7.5过点(x ，y )．∴190＋m 5＝8.5×5＋7.5，解得m ＝60.]7．C [由程序框图知，输出的S ＝4(1＋2＋3＋…＋30)＝4×（1＋30）×302＝1 860.] 8．D [如图作出可行域，平移l 0：y －x ＝0，过点A 时，z 取最小值，此时x ＝－2k ，y ＝0，所以0＋2k ＝－4，解得k ＝－12.]9．A [因为x ＞0，所以f (x )＝x ＋9x ≥2x ·9x＝6(当且仅当x ＝9时等号成立)，所以n ＝6，所以展开式通项为T r ＋1＝C r 6(x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x r ＝C r 69r x3－r ，令3－r ＝1，则r ＝2，所以展开式中x 的系数为92×C 26＝1 215.] 10．D [依题意，知a n ·a n ＋1＝2n ，a n ＋a n ＋1＝b n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1，故a n ＋2a n ＝2.因此a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，故b 10＝a 10＋a 11＝64.] 11．B [在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，c ＝3，且bx －ay ＝0是一条渐近线，又bx －ay ＝0被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，∴圆心(3，0)到bx－ay ＝0的距离d ＝8－22＝2，则|3b |a 2＋b 2＝2，即3b c ＝2，b ＝2.从而a ＝c 2－b 2＝5，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±255x .]12．C [依题意，若P (x ，y )，则Q (2－x ，－y )，(P ，Q )为“和谐点对”．∵点P 、Q 分别在y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)，y ＝11－x的图象上．∴y ＝2sin πx ，－y ＝1x －1⎝⎛⎭⎪⎫即y ＝－1x －1， 在同一坐标系中，作y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)与y ＝－1x －1的图象，可知，两图象有4个交点，故“和谐点对”(P ，Q )有4个．]13.23 [∵点B (2，4)在y ＝ax 2的图象上，∴4＝a ·22，则a ＝1.又S OABC＝2×4＝8，S 曲边梯形OAB ＝⎠⎛02x 2d x ＝83.∴质点落在图中阴影区域的概率P ＝1－S 曲边梯形OAB S OABC＝1－13＝23.] 14．－29 [如图所示，∵CM →＝13CB →＋12CA →，∴MA →＝CA →－CM →＝12CA →－ 13CB →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →.又CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 60°＝12，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →－13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA → ＝－14CA →2－29CB →2＋12CA →·CB →＝－29.]15．9x ＋16y －25＝0 [设过点M (1，1)的弦交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减（x 1－x 2）（x 1＋x 2）16＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9. 又x 1＋x 2＝2，且y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝ －9（y 1＋y 2）16（x 1＋x 2）＝－916. 故所求直线的方程为y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0.]16．(－∞，15] [由f （p ＋1）－f （q ＋1）p －q＜1恒成立 ⎝ ⎛⎭⎪⎫即f （p ＋1）－f （q ＋1）（p ＋1）－（q ＋1）＜1恒成立. 所以f (x )＝a ln(x ＋1)－x 2在区间(2，3)内f ′(x )＜1恒成立，则f ′(x )＝a x ＋1－2x ＜1在x ∈(2，3)内恒成立， 即a ＜(2x ＋1)(x ＋1)＝2x 2＋3x ＋1，x ∈(2，3)，由于二次函数y ＝2x 2＋3x ＋1在(2，3)上单调递增，则2x 2＋3x ＋1＞2×22＋3×2＋1＝15，故a 的取值范围为(－∞，15]．]客观题限时练(三)1．C [由复数的几何意义，OA →对应复数z ＝－2＋i ，∴z 2·i ＝(－2＋i)2·i＝(3－4i)·i ＝4＋3i.]2．B [A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]3．D [∵S n ＋1＋2S n －1＝3S n (n ≥2)，∴S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1), 即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 2－S 1＝1≠0，∴当n ≥2时，{a n }为等比数列，且公比为2，又a 1＝1，a 2＝1，则a 2a 1≠2，因此D 正确．]4．D [由f (x )＝f (－x )知f (x )为偶函数，又f (x －π)＝f (x )，∴f (－x －π)＝f (－x )，则f (x ＋π)＝f (x )，∴y ＝f (x )的最小正周期为π.在选项D 中，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 为偶函数，且最小正周期为π.]5．C [由于|AB →|＝|BC →|，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．∴|AD →|＝|AB →|sin 60°＝332，且〈AD →，AC →〉＝30°，因此AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 30°＝332×3×32＝274.]6．C [由程序框图知，S ＝lg 13＋lg 35＋lg 57＋…＋lg k k ＋2＝lg 1k ＋2，令S ＝lg 1k ＋2＜－1，解得k ＞8(k ∈N *)，此时k ＋2＞10，即k ＝11(k ∈N *)．] 7．B [当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能．当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a ，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a .所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a 之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 是不可能的．故选B.]8．B [根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.]9．D [不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又2|PF 1|＝|PF 2|＋2c ，②联立①，②得|PF 1|＝2c －2a ，则|PF 2|＝2c －4a ，依题意∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，即4(c －a )2＋4(c －2a )2＝4c 2.则(c －a )(c －5a )＝0，∴c ＝5a ，故离心率e ＝c a ＝5.]10．B [法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.] 11．B [在⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5的展开式中，T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－r (－mx )r ＝C r 5(－m )r x 3r－10，令3r －10＝2，得r ＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中x 2的系数为5m 4，又⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中不含常数项．故(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中含x 2项的系数为2×5m 4＝10m 4. 因此10m 4＝250，解之得m ＝±5.]12．B [由于y ＝x 2，y ＝e x 的值域分别为[0，＋∞)和(0，＋∞)， 当f (x 1)＞4时，则f (x 2)＝4－f (x 1)＜0，x 2不存在．因此②y ＝x 2，⑤y ＝e x 不满足均值为2.又③y ＝4sin x 为周期函数，则x 2不唯一，③不满足．由于①y ＝x 与④y ＝ln x 的值域为R ，且在(－∞，＋∞)上单调，因此①④满足．]13．0 [由茎叶图知，中位数为86.根据题意，有78＋84＋85＋86＋87＋92＋90＋m 7＝86，解得m ＝0.] 14．－14 [因为2sin B ＝3sin C ，所以2b ＝3c ，联立b －c ＝14a ，解得b＝3c 2，a ＝2c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]15.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞) [由f (x －1)＝f (x ＋1)知y ＝f (x )的最小正周期T ＝2，在同一坐标系中作y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象，由于方程f (x )＝|log a |x ||在x ∈[－2，3]上有5个根，∴y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象有5个交点．根据图象特征，应有|log a 3|≤1，则a ≥3或0＜a ≤13.]16.2 [由y ＝－1b e ax ，得y ′＝－a b e ax ，又x ＝0时，得y ＝－1b ，且y ′|x ＝0＝－a b ，∴曲线在点x ＝0处的切线y ＋1b ＝－a b x ，即ax ＋by ＋1＝0.切线与x 2＋y 2＝1相切，∴|0＋0＋1|a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝1，又a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，则a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立．此a ＋b 的最大值为 2.]客观题限时练(四) 1． D [∵z ＝2＋4i i ＝4＋2i ＝4－2i ，∴复数z 对应的点的坐标是(4，－2)．]2．C [由2x －x 2＞0，得0＜x ＜2，则M ＝(0，2)．又N ＝{x |x 2＋y 2＝1}＝{x |x 2≤1}＝[－1，1]，所以M ∩N ＝(0，1]．]3．B [“x ≠1”⇒/ “x (x －1)≠0”，则选项A 不正确；显然C 不正确；选项D 中应采用分层抽样，只有B 正确．事实上，由ξ～N (5，1)知，正态分布关于μ＝5对称，所以P (ξ＞6)＝1－P （4≤ξ≤6）2＝1－0.72＝0.15.]4．C [由三视图可知，该几何体为半圆柱与半圆锥的组合体(如图)．∵S 底＝12×π×12＝π2，所以几何体的体积V ＝3×π2＋13×2×π2＝116π.]5．C [由T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，则f (x )＝sin 2x ，依题意，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0≠±1， ∴选项A 、B 不正确．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上是增函数．] 6．A [(1)取1个篮球，3个排球分给4个班，有C 14种方法．(2)取2个篮球，2个排球分给4个班，有C 24种方法．∴由分类加法原理，共有C 14＋C 24＝10(种)不同的发放方法．]7．C [如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系，设A (x ，y )，y ＞0.∵AB ＝AC ，∴AD ＝kAC ＝kAB ，即AD 2＝k 2AB 2， ∴(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)，整理得：y 2＝－（1－k 2）x 2＋2lx －l 21－k 2＝－x 2＋2l 1－k 2x －l 21－k 2≤k 2l 2（1－k 2）2，即y max ＝kl 1－k 2，∵BD ＝l ， ∴(S △ABC )max ＝1k (S △ABD )max ＝l 22（1－k 2）.]8．B [根据执行语句a ＝11－a 及a ＝2知，a 的取值具有周期性，且最小正周期T ＝3.当i ＝2 014时，执行循环体，a ＝－1，则i ＝2 015，这时i ＝2 015不满足条件i ＜2 015，输出a ＝－1，因此cos(a π－θ)＝cos(－π－θ)＝－cos θ.]9．A [若m ＝－5时，由x 2≤4－|2x －m |(x ≥0)，得x 2≤4－(2x ＋5)，则x 2＋2x ＋1≤0，∴(x ＋1)2≤0在[0，＋∞)上无解，m ＝－5不满足．若m ＝－4时，由条件，得x 2≤4－(2x ＋4)，∴x 2＋2x ≤0，则－2≤x ≤0在[0，＋∞)上有解x ＝0.∴当m ＝－4时，满足题设要求，比较选项，可知A 正确．]10．D [∵(OP →＋OF →2)·F 2P →＝0，且F 2P →＝OP →－OF →2，∴OP →2－OF →22＝0，则|OP →|＝|OF →2|. 在△F 1PF 2中，|OP →|＝|OF →2|＝|OF →1|， 则∠F 1PF 2＝90°.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|，得|PF 2|＝2a 3－1＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a .由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴[(3＋1)2＋(3＋3)2]a 2＝4c 2，则c 2＝(4＋23)a 2.因此e ＝c a ＝4＋23＝3＋1.]11．C [f ′(x )＝x 2＋2bx ＋a 2＋c 2－ac ，且f (x )有极值点， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等实根，Δ＝4b 2－4(a 2＋c 2－ac )＞0， 则ac ＞a 2＋c 2－b 2.由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＜12，又y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，因此π3＜B ＜π.]12．A [f (x )＝x ＋sin x 为奇函数，又f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )在R 上是增函数，由f (y 2－2y ＋3)＋f (x 2－4x ＋1)≤0，即f (y 2－2y ＋3)≤f (4x －x 2－1)．∴y 2－2y ＋3≤4x －x 2－1，则(x －2)2＋(y －1)2≤1(*)．(*)式表示以C (2，1)为圆心，以1为半径的圆及其内部，当y ≥1时，(*)式表示半圆及内部(如图)，yx ＋1表示阴影部分内的点与点A (－1，0)的连线的斜率，则k AB ＝13－（－1）＝14，此时，直线斜率最小．当直线l 与曲线相切时，由k ＝yx ＋1，得kx －y ＋k ＝0.∴点C (2，1)到l 的距离|2k －1＋k |k 2＋1＝1， 即4k 2－3k ＝0，解之得k ＝34(k ＝0舍去)．此时直线斜率最大，故yx ＋1的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34.]13．22 [∵(a ＋b )⊥(a －b )，且a ＝(－2，2)， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0， 则a 2＝b 2，|b |＝|a |＝2 2.]14．2·3n －1－n [由a 2＝4，a 3＝15， 得a 2＋2＝6，a 3＋3＝18. 又数列{a n ＋n }是等比数列， ∴公比q ＝a 3＋3a 2＋2＝3，首项a 1＋1＝63＝2.因此a n ＋n ＝2·3n －1，故a n ＝2·3n －1－n .]15．2∶1 [作可行域如图所示(阴影部分)．易知点A (1，1)，点B (2，2)．平移直线2x ＋y ＝0过点A ，B 时，直线在y 轴上的截距分别取得最小值和最大值．∴z max ＝2×2＋2＝6，z min ＝2×1＋1＝3，故z 的最大值与最小值的比为2∶1.]16．③④ [①不正确，设f (x )＝c (常数)，则c ＋λc ＝0.∴当λ＝－1时，f (x )＝c 均是R 上的“λ相关函数”．②不正确，假设f (x )＝x 2是“λ的相关函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即x 2(1＋λ)＋2λx ＋λ2＝0对x ∈R 恒成立，应有1＋λ＝0且2λ＝0，无实解．③正确，当λ＝12时，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0. 若f (x )＝0，则y ＝f (x )有零点． 若f (x )≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝－12f (x )， ∴f (x )·f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0. 从而y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋12内有零点．④当f (x )＝e x 时，依题意e x ＋λ＋λe x ＝0对x ∈R 恒成立． ∴λ＝－e λ，则λ＜0，从而－e λ＞－1， 因此－1＜λ＜0，命题④正确． 综合①②不正确，③④正确．]中档题满分练(一)1． 解 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35.即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35.因此，cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，a ＝42，b ＝5，所以sin B ＝b sin A a ＝22. 由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，整理得c 2＋6c －7＝0，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．2．解 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为14，13，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝13，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1 ＝1－13＝23.(2)由题意可知，ξ＝6，7，8，9，10.则P (ξ＝6)＝14×13＝112，P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝14，P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝13，P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝14， P (ξ＝10)＝14×13＝112. 所以ξ的分布列为则E (ξ)＝6×112＋7×14＋8×13＋9×14＋10×112＝8.3．(1)证明 ∵PD ⊥平面ABCD ， ∴PD ⊥AD .在正方形ABCD 中，CD ⊥AD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PCD ，则AD ⊥PC . 又AF ⊥PC ，AF ∩AD ＝A ，∴PC ⊥平面ADF ，即CF ⊥平面ADF .(2)解 设AB ＝1，则Rt △PDC 中，CD ＝1，又∠DPC ＝30°，∴PC ＝2，PD ＝3，由(1)知CF ⊥DF .∴DF ＝32， AF ＝AD 2＋DF 2＝72. ∴CF ＝AC 2－AF 2＝12，又FE ∥CD ，∴DE PD ＝CF PC ＝14，则DE ＝34. 同理EF ＝34CD ＝34.如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系，则A (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，0，P (3，0，0)，C (0，1，0)．设m ＝(x ，y ，z )是平面AEF的法向量，则⎩⎨⎧m ⊥AE→，m ⊥EF →，又⎩⎨⎧AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，－1，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，所以⎩⎨⎧m ·AE →＝34x －z ＝0，m ·EF →＝34y ＝0，令x ＝4，则z ＝3，m ＝(4，0，3)．由(1)知平面ADF 的一个法向量PC→＝(－3，1，0)． 设二面角D －AF －E 的平面角为θ，可知θ为锐角． cos θ＝|cos 〈m ，PC →〉|＝|m ·PC →||m |·|PC →|＝4319×2＝25719. 4．解 (1)∵2S n ＋1＝4S n ＋1(n ∈N *)， ∴2S n ＝4S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)．两式相减，得a n ＋1＝2a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)．由2S 2＝4S 1＋1，得2(a 1＋a 2)＝4a 1＋1， 又a 1＝12，∴a 2＝1，则a 2a 1＝2，因此数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列． 所以a n ＝a 1·q n －1＝12×2n －1＝2n －2.(2)由(1)知，a i a j ＝2i ＋j －4(1≤i ，j ≤n )．则构成的图表为： 21＋1－4，21＋2－4，21＋3－4，…，21＋n －4 22＋1－4，22＋2－4，22＋3－4，…，22＋n －4 23＋1－4，23＋2－4，23＋3－4，…，23＋n －4……2n ＋1－4，2n ＋2－4，2n ＋3－4，…，2n ＋n －4 设上表第一行的和为T 1， 则T 1＝14（1－2n ）1－2＝14(2n －1)．故各项的和T ＝T 1(1＋2＋22＋…＋2n －1) ＝14(2n－1)·1－2n 1－2＝14(2n －1)2.中档题满分练(二)1．解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝3a ，由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1， 由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，tan φ＝ 3. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )． 故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.2．解(1)∵b n＝3n，则b n＋1＝3n＋3＝b n＋3，由“M类数列”定义，得p＝1，q＝3.(2)∵c n－c n＋1＝2n(n∈N*)，∴c n＋1－c n＝－2n(n∈N*)，则c2－c1＝－2，c3－c2＝－4，c4－c3＝－8，…∴c n－c n－1＝－2n－1(n≥2)，以上式子累加得c n＝－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝1－2n(n≥2)，其中c1＝－1也满足上式．因此c n＝1－2n(n∈N*)，则c n＋1＝1－2n＋1＝2(1－2n)－1＝2c n－1，{c n}是“M类数列”．3．(1)证明由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，如图所示取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，BO平分∠ABC. 又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∴∠EBF＝60°，易求得EF＝DO＝3，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴DE ∥OF ，又DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ， ∴DE ∥平面ABC .(2)解 建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，可知平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，E (0，3－1，3)，∴BC→＝(－1，－3，0)，BE →＝(0，－1，3)，设平面BCE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·BC→＝0，n 2·BE →＝0，可求得n 2＝(－3，3，1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1313，又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E －BC －A 的余弦值为1313.4．解 因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，所以每个人接受挑战的概率为12，不接受挑战的概率也为12.(1)设事件M 为“这3个人中至少有2个人接受挑战”， 则P (M )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝12. (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.因为X 为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12.所以P (X ＝0)＝C 06⎝ ⎛⎭⎪⎫120⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164，P (X ＝1)＝C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫12·⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝664＝332，P (X ＝2)＝C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝1564，P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝2064＝516， P (X ＝4)＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫124·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1564，P (X ＝5)＝C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫125·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝664＝332， P (X ＝6)＝C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝164.故X 的分布列为所以E (X )＝6×12＝3，D (X )＝6×12×12＝32. 故所求的数学期望为3，方差为32.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，因此f (x )的取值范围是[－3，2]．。
2016届高三下学期高考模拟试卷(浙江卷)理数卷(无答案)
2016届高三下学期高考模拟试卷（浙江卷）理数卷第Ⅰ卷（共40分）一．选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}2230M x x x =+-=，{}1,1,3N =-，则M N =U （ ） A ．{}1,3- B ．{}1,1,3- C ．{}1,1,3,3-- D ．{}1,1,3--2.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ）A.2B.92 C.32 D.33.设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+， 则74S S =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 4.已知命题p ：(0,+)x ∃∈∞，sin x x =，命题q ：x R ∀∈，1x e >，则以下为真命题的是（ ）A.p q ∨B.p q ∧C.()p q ∧⌝D.()p q ⌝∨5.设集合{1,2,,2016}S =⋅⋅⋅，若X 是S 的子集，把X 中所有元素之和称为X 的“容量”，（规定空集容量为0），若X 的容量为奇（偶）数，则称X 为S 的奇（偶）子集，记S 的奇子集个数为m ，偶子集个数为n ，则m ，n 之间的关系为（ ）A ．m n =B ．m n >C ．m n <D ．无法确定6.P 为ABC ∆内部一点，且满足||2||2PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（ ）A.98B.43C.1D.657.如图所示，直线l 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于点P ，Q 两点，由P ，Q 分别作抛物线的切线交于M ，如果||PF a =，||QF b =，则||MF 的值为( )A. a b +B. 1()2a b +C. abD.8.若三棱锥的一条棱长为x ，其余棱长均为1，则该三棱锥的体积（ ）A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值也无最小值第Ⅱ卷（共110分）二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.双曲线1222=-y x 的渐近线方程是_______，离心率是________． 10.设函数1, 1()2, 1x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩， 则[(2)]f f =_______，不等式1()2f a >的解集是________．11.设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，则()f x 的定义域为 ，(sin )6f π的值为______. 12.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积为_______，若lg lg()y x a -+的最大值是1，则正数a 的值是_____.13.如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD = .14.设4()24xxf x =+，记[]m 表示不超过实数m 的最大整数，例如[1.2]1=，[0.5]1-=-，[2]2=，则函数11[()][(1)]22y f x f x =-+--的值域为 ． 15.设x ，,,y z w R ∈，且满足22221x y z w +++=，则2P xy yz zw=++的最大值是_________．三．解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边长分别是a ，b ，c ，cos (cos )cos 0B A A C +=．（1）求C 的值；（2）若2c =，求2a b +的取值范围．17.（本题满分15分）如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且点B 在平面ACE 上的射影F 恰好落在边CE 上．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）当二面角B AC E --时，求BAE ∠的大小．18.（本题满分15分）已知定义在R 上的二次函数()f x 为偶函数，且满足(1)6f =，(3)2f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 在区间[,]a b 上值域为[2,2]a b ，试求所有符合题意的[,]a b19.（本题满分15分）如图所示，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> 的右焦点为2(1,0)F ，点(3,0)H 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M 在圆222x y b +=上，且M 在第一象限，过M 作圆 222x y b +=的切线交椭圆于P ，Q 两点，求证：2PF Q ∆的周长是定值．20.（本题满分15分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1n n S a =-(*n N ∈).（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11111n n n b a a +=-+-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对于任意的*n N ∈， 1224n n T n -<≤.。
【配套K12】浙江省2016届高三数学专题复习 专题五 解析几何模拟演练 理
专题五 解析几何经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·浙江名校联考)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝02．(2015·台州模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．23．(2015·瑞安模拟)等轴双曲线x 2－y 2＝a 2(a >0)的左、右顶点分别为A 、B ，P 是双曲线上在第一象限内的一点，若直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，且β＝2α，那么β的值是( ) A.π3 B.π4C.π6D.π124．(2015·湖州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．45．(2015·大庆质检)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F ()－25，0为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x225＋y25＝1 B.x236＋y216＝1 C.x 230＋y 210＝1 D.x 245＋y 225＝16．(2015·石家庄质检)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a2－y 2＝1的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0二、填空题7．(2015·北京东城调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为5，则C 的渐近线方程为________．8．(2015·杭州高级中学三模)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与圆(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切，则圆C 的方程为________．9．(2015·石家庄质检)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O 、F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________． 三、解答题10．(2015·绍兴一中模拟)椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且短轴长与长轴长的比是32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m ，0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．11．(2015·萧山中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)设P 是曲线E 上的动点，点B ，C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，求△PBC 面积的最小值．12．(2015·北仑中学三模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，点O 为坐标原点，椭圆C 与曲线|y |＝x 的交点分别为A ，B (A 在第四象限)，且OB →·AB →＝32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)定义：以原点O 为圆心，a 2＋b 2为半径的圆称为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C 于M ，N 两点，交其“伴随圆”于P ，Q 两点，且以MN 为直径的圆过原点O .证明：|PQ |为定值．经典模拟·演练卷1．A [易知点A (1，1)是一个切点．由圆的几何性质，过点(3，1)、(1，0)的直线与直线AB 垂直．∴k AB ＝－11－03－1＝－2.所以直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.] 2．C [如图所示，过点Q 作直线l的垂线，垂足为E .由FP →＝4FQ →，得|FP ||FQ |＝4.所以|EQ ||AF |＝34.由抛物线C ：y 2＝8x 知|AF |＝p ＝4， ∴|EQ |＝3，根据抛物线定义，|FQ |＝|EQ |＝3.] 3．A [由β＝2α，得∠APB ＝α， 则|PB |＝|AB |＝2a ，设P (x ，y )．∴x ＝a ＋2a cos β，y ＝2a sin β，则P (a ＋2a cos β，2a sin β)， 代入双曲线方程(a ＋2a cos β)2－(2a sin β)2＝a 2，cos 2β＋cos β＝0. ∴2cos 2β＋cos β－1＝0，则cos β＝12，cos β＝－1(舍去)，故β＝π3.]4．B [由∠APB ＝90°，知点P 在以线段AB 为直径的圆上，设该圆的圆心为O ，则O (0，0)，半径r ＝m ，由圆的几何性质，当圆C 与圆O 相内切时，圆的半径取得最大值． ∴|OC |＝32＋42＝m －1，∴m ＝6. 故m 的最大值为6.]5．B [设椭圆C 的右焦点为F ′，连接PF ′.在△PFF ′中，|OP |＝|OF |＝|OF ′|＝25，知∠FPF ′＝90°. 又|PF |＝4，∴|PF ′|2＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝64，则|PF ′|＝8， 因此2a ＝|PF |＋|PF ′|＝12，a ＝6. 由c ＝25，得b 2＝a 2－c 2＝36－20＝16， 故椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.]6．A [依题意，不妨设点M 在第一象限，且M (x 0，y 0)， 由抛物线定义，|MF |＝x 0＋p2，得5＝x 0＋2.∴x 0＝3，则y 20＝24，所以M (3，26)， 又点M 在双曲线上，∴32a 2－24＝1，则a 2＝925，a ＝35， 因此渐近线方程为259x 2－y 2＝0，即5x ±3y ＝0.]7．y ＝±2x [由题意知：c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，则ba＝2，所以渐近线的方程为y ＝±2x .]8．(x ＋1)2＋y 2＝2 [由题设，圆C 的圆心C (－1，0)，设半径为r ，又圆C 与圆C ′：(x －2)2＋(y －3)2＝8相外切， ∴|CC ′|＝22＋r .又|CC ′|＝[2－（－1）]2＋32＝32，则r ＝2， 故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.] 9．y 2＝16x [由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线x ＝－p2，设满足条件的圆心为C ′，圆的半径为r . 由πr 2＝36π，得r ＝6.又圆C ′与抛物线的准线x ＝－p2相切， ∴p 4＋p2＝6，∴p ＝8.故抛物线方程为y 2＝16x .] 10．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由焦点F (－2，0)知c ＝2. ∴a 2＝4＋b 2，① 又b a ＝32，② 联立①，②得a 2＝16，b 2＝12. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设P (x ，y )为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x 216＋y 212＝1.故－4≤x ≤4.由点M (m ，0)在椭圆的长轴上，则－4≤m ≤4.①由MP →＝(x －m ，y )，所以|MP →|2＝(x －m )2＋y 2＝(x －m )2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216 ＝14x 2－2mx ＋m 2＋12＝14(x －4m )2＋12－3m 2. ∵当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点．∴当x ＝4时，|MP →|2取得最小值． 由于x ∈[－4，4]，故4m ≥4，则m ≥1，② 由①，②知，实数m 的取值范围是[1，4]．11．解 (1)∵动圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且与直线x ＝－12相切， ∴动圆的圆心到定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离等于到定直线x ＝－12的距离．根据抛物线定义，圆心的轨迹方程为y 2＝2x . (2)设点P (x 0，y 0)，B (0，b )，C (0，c )， 则直线PB 的方程为(y 0－b )x －x 0y ＋x 0b ＝0， 又△PBC 的内切圆方程为(x －1)2＋y 2＝1， ∴圆心(1，0)到直线PB 的距离为1. 则|y 0－b ＋x 0b |（y 0－b ）2＋（－x 0）2＝1，整理得(x 0－2)b 2＋2y 0b －x 0＝0，同理，得(x 0－2)c 2＋2y 0c －x 0＝0，因此，b ，c 是方程(x 0－2)x 2＋2y 0x －x 0＝0的两根， 所以b ＋c ＝－2y 0x 0－2，bc ＝－x 0x 0－2.依题意，得bc <0，即x 0>2. 则(b －c )2＝4x 20＋4y 20－8x 0（x 0－2）2，因为y 20＝2x 0，所以|b －c |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0x 0－2.因此△PBC 的面积S ＝12|b －c ||x 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20x 0－2＝x 0＋2＋4x 0－2＝(x 0－2)＋4x 0－2＋4 ≥2（x 0－2）·4x 0－2＋4＝8， 当且仅当x 0－2＝2，即x 0＝4时上式等号成立． 故△PBC 面积的最小值为8.12．(1)解 由椭圆的对称性，知点A 、B 关于x 轴对称．依题意，设点A (x ，－x )，B (x ，x )，则AB →＝(0，2x )． 由OB →·AB →＝(x ，x )·(0，2x )＝32，且x >0.∴2x 2＝32，x ＝32，因此B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，代入椭圆方程，得34a 2＋34b 2＝1.①又e ＝c a ＝63，∴69＝c 2a 2＝a 2－b 2a2② 联立①，②，得b 2＝1，a 2＝3. 所以椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)证明 由题意可得“伴随圆”方程为x 2＋y 2＝4，①当直线l 斜率不存在时，设l ：x ＝n ，代入椭圆方程得M ⎝⎛⎭⎪⎫n ，1－n 23，N ⎝⎛⎭⎪⎫n ，－1－n 23， 由OM →·ON →＝0得n ＝±32，代入x 2＋y 2＝4得y ＝±132， 所以|PQ |＝13.②当直线l 斜率存在时，设l 方程为y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )且与椭圆的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， Δ＝36k 2m 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，即m 2<3k 2＋1， ∵x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k2，可得y 1·y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－3k 21＋3k2，由OM →·ON →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即3m 2－31＋3k 2＋m 2－3k 21＋3k 2＝4m 2－3k 2－31＋3k2＝0， 所以m 2＝34(k 2＋1)，代入验证Δ>0成立．则原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2＝m 21＋k2＝32， ∵“伴随圆”的半径为2，∴|PQ |＝24－34＝13， 综合①，②知，|PQ |为定值13.。
推荐学习K12浙江省2016届高三数学专题复习 仿真卷(1)理
高考仿真卷(1)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |y ＝lg 2－xx}，N ＝{x |x ＜1}则M ∪N ＝( )A ．(0，1)B ．(0，2)C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)2．已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M ＝2a，N ＝5－b，P ＝ln c ，则M ，N ，P 的大小关系为( ) A ．P ＜N ＜M B ．P ＜M ＜N C ．M ＜P ＜ND ．N ＜P ＜M3．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝ln 2－x2＋xC ．f (x )＝－|x ＋1|D ．f (x )＝12(e x －e －x)4．已知变量x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y的最大值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 25．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.3＋12D.5＋126．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和为S n ＝42，则n ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．37．已知点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，点A 、B 是抛物线上的两点，且AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为( )A.83 B ．2 C.43 D.538．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ＜1时，f (x )＝x ，则函数g (x )＝f (x )－ln |x |的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把正确答案填在题中的横线上)9．双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是________．10．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________． 11．计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________．12．设O 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知边b ＝2，c ＝7，则BC →·AO →＝______．13．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．14．已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，且f (a k )＝0，则k 的值为________．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知b ＝a cos C ＋c sin A ，cos B ＝45.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝10，D 为AB 的中点，求CD 的长．17．(本小题满分15分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AB ＝2CB ＝2.在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且AC ＝2EF ，EC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥AF ；(2)若二面角D －AF －C 为45°，求CE 的长．18．(本小题满分15分)已知函数f (x )＝x |x －a |－2. (1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0，3]上的最大值和最小值； (2)若对任意x ∈[0，1]恒有f (x )<0，求实数a 的取值范围；(3)f (x )是否存在三个零点，若存在，求实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．19．(本小题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x ＋y ＋1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆C 上一点，若过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →＋OT →＝tOP →(O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．20．(本小题满分15分)已知等差数列{a n}的公差d＞0.设{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及S n；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得a m＋a m＋1＋a m＋2＋…＋a m＋k＝65.[自选模块](供选用)1．“复数与导数”模块(10分)(1)已知i是虚数单位，a，b∈R，复数z＝1＋a i满足z2＋z＝1＋b i，求a2＋b2的值．(2)设函数f(x)＝(x2＋2x－2)e x(x∈R)，求f(x)的单调递减区间．2．“计数原理与概率”模块(10分)(1)已知n为正整数，在(1＋x)2n与(1＋2x3)n展开式中x3项的系数相同，求n的值．(2)设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球，从袋中随机取出3个球，求取出的白球比红球多的概率．1．C [∵M ＝{x |y ＝lg 2－xx}＝(0，2)，N ＝{x |x ＜1}，∴M ∪N ＝(0，2)∪(－∞，1)＝(－∞，2)．]2．A [∵M ＝2a＞20＝1，P ＝ln c ＜0，又N ＝5－b，0＜b ＜1，知0＜N ＜1，因此M ＞N ＞P .] 3．B [f (x )＝sin x ，f (x )＝12(e x －e －x )在[－1，1]上均是增函数，且f (x )＝－|x ＋1|为非奇非偶函数，只有f (x )＝ln2－x2＋x是奇函数，且在[－1，1]上是减函数．] 4．A [作出可行域如图所示(阴影部分)．设t ＝2x ＋y ，当直线t ＝2x ＋y 过点A (1，2)时，t ＝2x ＋y 有最大值t max ＝2×1＋2＝4，因此z ＝(2)2x ＋y 的最大值为(2)4＝4.]5．D [不妨设双曲线为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点F (－c ，0)，虚轴的顶点B (0，b )．又直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直，∴b －00－（－c ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，则b 2＝ac ， ∴c 2－a 2＝ac ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－ca－1＝0，则e ＝c a＝5＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝1－52舍去.] 6．D [由等比数列的性质，a 1·a n ＝a 3·a n －2＝64， ∴a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根． 又数列{a n }递增， ∴a 1＝2，a n ＝32， 从而S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q1－q＝42，则q ＝4. 又a n ＝32＝a 1·q n －1，∴2·4n －1＝32＝25，n ＝3.]7．A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且F (1，0)．∵AF →＝3FB →，∴(1－x 1，－y 1)＝3(x 2－1，y 2)，因此x 1＝4－3x 2，且y 1＝－3y 2，又y 21＝4x 1，知9y 22＝16－12x 2，代入y 22＝4x 2，得x 2＝13，从而x 1＝3，由抛物线定义，弦AB 的中点到准线的距离d ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋3＋1＝83.]8．B [∵f (x ＋1)＝－f (x )，且0≤x ＜1时，f (x )＝x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ＜1，1－x ，1≤x ＜2.又易知y ＝f (x )的最小正周期T ＝2，在同一坐标系中作y ＝f (x )与y ＝ln |x |的图象(如图)．由图象知，两函数图象有3个交点，因此函数g (x )＝f (x )－ln |x |有3个零点．] 9．2 3 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3， ∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .] 10．π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋ 2k π，k ∈Z ，解得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]11．－12 3 3 [log 222＝log 22－12＝－12，2log23＋log43＝2log23＋12log 23＝2log2332＝3 3.]12．－1 [设M 为边BC 的中点，则AO →＝23AM →，又BC →＝AC →－AB →，AM →＝12(AB →＋AC →)，所以BC →·AO →＝(AC →－AB →)·13(AB →＋AC →)＝13(AC →2－AB →2)．由于AC →2＝b 2＝4，AB →2＝c 2＝7. 所以BC →·AO →＝13(4－7)＝－1.]13.78[如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点，∴MK ∥AN ， ∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴MK ＝ 2.在Rt △CKN 中，CK ＝（2）2＋12＝ 3. 在△CKM 中，由余弦定理，得cos ∠KMC ＝（2）2＋（22）2－（3）22×2×22＝78.]14．10 [f (x )＝x ＋sin x 为奇函数，∴f (0)＝0.又等差数列{a n }中有19项，且a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，由f (a k )＝0，知a k ＝0.∵f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a k )＋…＋f (a 19)＝0， ∴f (a 10)＝0，则a k ＝a 10，从而k ＝10.]15．－12 26－6 [因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f [f (－2)]＝f (4)＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0.当x ＞1时，f (x )＝x ＋6x－6≥26－6，当且仅当x ＝6时“＝”成立．∵26－6＜0，∴f (x )的最小值为26－6.]16．解 (1)由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理，得sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C sinA ，则cos A sin C ＝sin C sin A ，由于0<C <π知sin C ≠0，∴tan A ＝1，又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.又cos B ＝45，B ∈(0，π)，知sin B ＝35，∴cos C ＝cos(π－A －B )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－B ＝cos 34πcos B ＋sin 34πsin B ＝－210.(2)由(1)可得sin ∠ACB ＝1－cos 2∠ACB ＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin A＝ABsin ∠ACB，则AB ＝14. 在△BCD 中，BD ＝12AB ＝7，根据余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝72＋102－2×7×10×45＝37，所以CD ＝37.17．(1)证明 在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 60°＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，由勾股定理知∠ACB ＝90°，所以BC ⊥AC .又因为EC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥EC .又因为AC ∩EC ＝C ，所以BC ⊥平面ACEF .又AF ⊂平面ACEF ，所以BC ⊥AF .(2)解 因为EC ⊥平面ABCD ，又由(1)知BC ⊥AC ，所以以点C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CE ＝h ，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，h ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0. ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，0， AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，h . 设平面DAF 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n 1＝0，AF →·n 1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－32x －12y ＝0，－32x ＋hz ＝0.令x ＝3，所以n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3，－3，32h . 又平面AFC 的法向量n 2＝(0，1，0)，所以cos 45°＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝22，解得h ＝64.所以CE 的长为64.18．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x |x －a |－2＝x |x －2|－2， 0<x <2时，f (x )＝－(x －1)2－1，∴－2<f (x )≤－1； 2≤x ≤3时，f (x )＝(x －1)2－3，∴－2≤f (x )≤1. ∴函数f (x )在[0，3]上的最大值为1、最小值为－2. (2)要使函数小于0，则x |x －a |<2，而x ∈[0，1]，∴只要|x －a |<2，这样即使x 取最大值1时，整个式子也成立， ∴x －2<a <x ＋2，∴－1<a <2.(3)x >a 时，f (x )＝x |x －a |－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24－2，x <a 时，f (x )＝x |x －a |－2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－2，∵f (x )存在三个零点，则f (a )<0，a 24－2>0且a >0，∴a >2 2.19．解 (1)由题意，以椭圆C 的右焦点为圆心，以长半轴长为半径的圆的方程为(x －c )2＋y 2＝a 2.∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|c ＋1|2＝a (*)∵椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b ＝c ，a ＝2b ＝2c ，代入(*)式得b ＝c ＝1，所以a ＝2b ＝2，故所求的椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝k (x －2)，设P (x 0，y 0)，将直线方程代入椭圆方程得：(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)＝－16k 2＋8＞0，则k 2＜12.设S (x 1，y 1)．T (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2.由OS →＋OT →＝tOP →，①当t ＝0时，直线l 为x 轴，P 点在椭圆上适合题意．②当t ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧tx 0＝x 1＋x 2＝8k 21＋2k2，ty 0＝y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2－4）＝－4k1＋2k 2，∴x 0＝1t ·8k 21＋2k 2，y 0＝1t ·－4k 1＋2k 2， 代入椭圆方程，得32k 4t 2（1＋2k 2）2＋16k 2t 2（1＋2k 2）2＝1. 从而得t 2＝16k 21＋2k 2.由k 2＜12，知0＜t 2＜4，则－2＜t ＜2且t ≠0.综上①②知，实数t 的取值范围为(－2，2)． 20．解 (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.自选模块1．解 (1)由题意得(2－a 2)＋3a i ＝1＋b i ， 解得a 2＝1，b ＝3a ， 故a 2＋b 2＝10.(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝(x 2＋4x )e x， 由f ′(x )<0，解得 －4<x <0，所以f (x )的单调递减区间为(－4，0)．2．解 (1)(1＋x )2n中x 3项的系数为C 32n ，(1＋2x 3)n中x 3项的系数为2n ， 由C 32n ＝2n 得2n （2n －1）（2n －2）3×2×1＝2n ，解得n ＝2.推荐学习K12资料推荐学习K12资料 (2)从袋中取出3个球，总的取法有C 37＝35种； 其中白球比红球多的取法有C 33＋C 23·C 14＝13种．因此取出的白球比红球多的概率为1335.。
【配套K12】浙江省2016届高三数学专题复习 第三周规范练 理
第三周规范练[题目15] 在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ；且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．2016年____月____日(周一)[题目16] 已知函数f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值；(2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．2016年____月____日(周二)[题目17] 已知函数y ＝3x ＋134的图象上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，其中数列{x n }为等差数列，满足x 2＝－72，x 5＝－132. (1)求点P n 的坐标；(2)若抛物线列C 1，C 2，…，C n 分别以点P 1，P 2，…，P n 为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y 轴，C n 与y 轴的交点为A n (0，n 2＋1)，记与抛物线C n 相切于点A n 的直线的斜率为k n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1k n ＋1k n 前n 项的和S n .2016年____月____日(周三)[题目18] 如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．2016年____月____日(周四)[题目19] 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线l 交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求l 的方程． 2016年____月____日(周五)[题目20] 已知关于x 的函数f (x )＝ln x ＋a (x －1)2(a ∈R )．(1)求函数f (x )在点P (1，0)处的切线方程；(2)若函数f (x )有极小值，试求a 的取值范围；(3)若在区间[1，＋∞)上，函数f (x )不出现在直线y ＝x －1的上方，试求a 的最大值． 2016年____月____日(周六)[题目21] 一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率．2016年____月____日(周日)[题目15] 解 (1)在△ABC 中，b ＝4，A ＝π3，S ＝23， ∴S ＝12bc sin A ＝12×4c ×32＝23，则c ＝2， 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝16＋4－2×4×2cos π3＝12， ∴a ＝12＝2 3.(2)由正弦定理，得a sin A ＝csin C. ∴sin C ＝c ·sin A a ＝2sin π323＝12. 又由c <a ，得0<C <A ＝π3，∴C ＝π6， 则f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －cos π3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －sin π6cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 将函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， 故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． [题目16] 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25. (2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. [题目17] 解 (1)设数列{x n }的公差为d ，则x 5－x 2＝3d ，∴－132－⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝3d ，则d ＝－1，x 1＝－52. 故x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32， y n ＝3x n ＋134＝－3n －54.因此点P n 的坐标为P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54. (2)由题意，设C n 的方程为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54. 将A n (0，n 2＋1)代入上式，整理得(a －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋3n ＋94＝0， ∴a ＝1.∴C n 的方程为：y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1.所以y ′＝2x ＋2n ＋3，由导数的几何意义，k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3.因此1k n ＋1k n ＝1（2n ＋5）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5 ∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n k n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋5＝n 10n ＋25. [题目18] 解 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE →＝(1，1，0)．(1)证明 当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0. 于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m·n ＝(λ－2，2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0， 解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． [题目19] 解 (1)∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，则b 2＝a 2－c 2＝3c 2， 则椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1. 又椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∴14c 2＋912c2＝1，c 2＝1，c ＝1， 则a ＝2，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知F 1(－1，0)，①当l 的倾斜角是π2时，l 的方程为x ＝－1， 交点A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，此时S △ABF 2＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227，不合题意．②当l 的倾斜角不是π2时，设l 的斜率为k ，则其直线方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1），消去y 得：(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， ∴S △F 2AB ＝S △F 1F 2B ＋S △F 1F 2A ＝12|F 1F 1|(|y 1|＋|y 2|) ＝12×2|y 1－y 2|＝|k (x 1＋1)－k (x 2＋1)| ＝|k ||x 1－x 2|2＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4×4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3， 又已知S △F 2AB ＝1227，∴12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227⇒17k 4＋k 2－18＝0⇒(k 2－1)(17k 2＋18)＝0⇒k 2－1＝0解得k ＝±1，故直线l 的方程为y ＝±1(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.[题目20] 解 (1)易知，f ′(x )＝1x＋2a (x －1)，x >0. ∴f ′(1)＝1，且f (1)＝0.所以f (x )在点P (1，0)处的切线方程为y ＝x －1.(2)f ′(x )＝2ax 2－2ax ＋1x，x >0. 令g (x )＝2ax 2－2ax ＋1(x >0)．①当a ＝0时，f ′(x )＝0无实根，f (x )无极小值，②当a <0时，g (0)＝1，则g (x )＝0有唯一正实根，设为x 0.当0<x <x 0时，g (x )>0，f ′(x )>0；x >x 0时，g (x )<0，f ′(x )<0.此时f (x )没有极小值．③当a >0时，g (0)＝1>0.且函数g (x )图象关于x ＝12对称． 要使函数f (x )有极小值，则Δ＝4a 2－8a >0，∴a >2.此时g (x )＝0有两解x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)．当x 1<x <x 2时，g (x )<0，f ′(x )<0；当x >x 2时，g (x )>0，f ′(x )>0.∴f (x )有极小值f (x 2)．综合①②③知，实数a 的取值范围为(2，＋∞)．(3)依题意，当x ≥1时，f (x )≤x －1，即ln x ＋a (x －1)2≤x －1.下面证明：ln x ≤x －1(x ≥1)．设h (x )＝ln x －(x －1)＝ln x －x ＋1(x ≥1)．则h ′(x )＝1x －1＝1－x x而h ′(x )≤0，h (x )在[1，＋∞)上递减． 故h (x )≤h (1)＝0，即ln x ≤x －1.①当a ≤0时，a (x －1)2≤0，则f (x )≤ln x ≤x －1.②当a >0时，取x >1＋1a， 则f (x )＝ln x ＋a (x －1)2>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1(x －1)>ln 1＋x －1＝x －1，与题设矛盾． 因此a ≤0，故a 的最大值为0.[题目21] 解 (1)设2个白球分别为白1、白2，则有放回地连续取两次所包含的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的总数为16.设事件A 为“连续取两次都是白球”，则事件A 所包含的基本事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4种，所以，P (A )＝416＝14.(2)法一 由(1)知，连续取两次的事件总数为16，设事件B 为“连续取两次分数之和为0分”．则P (B )＝116， 设事件C 为“连续取两次分数之和为1分”．则P (C )＝416＝14，设事件D 为“连续取两次分数之和大于1分”，则P (D )＝1－P (B )－P (C )＝1116. 法二 设事件B 为“连续取两次分数之和为2分”，则P (B )＝616；设事件C 为“连续取两次分数之和为3分”，则P (C )＝416；设事件D 为“连续取两次分数之和为4分”，则P (D )＝116； 设事件E 为“连续取两次分数之和大于1分”，则P (E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1116.。
[推荐学习]浙江省2016届高三数学专题复习 客观题限时练(4)理
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客观题限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，3}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1，3，4} B ．{3，4} C ．{3}D ．{4}2．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.5603B.5803C ．200D ．2404．(2015·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝1的相邻交点之间的距离为π，f (x )的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π3上单调递减5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域为M ，若直线kx －y －3k ＝0与平面区域M有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 7．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.2＋12 B.2＋1 C.3＋12D.3＋18．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝⎛⎦⎥⎤72，2 二、填空题9．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．10．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．11．已知定义在R 上的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，则函数f (x )在区间[0，6]上的零点个数为________．12．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC的面积为________．14．在Rt △ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，已知点P 是△ABC 内一点，则PC →·(PA →＋PB →)的最小值是________．15．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．客观题限时练(四)1．D [因为A ∪B ＝{1，2，3}，全集U ＝{1，2，3，4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D.] 2．C [将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n”．]3．C [由三视图还原的几何体为两底面为梯形的直棱柱，梯形的面积为12(2＋8)×4＝20，所以棱柱的体积为20×10＝200.]4．C [由T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，则f (x )＝sin 2x ，依题意，g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0≠±1，∴选项A 、B 不正确．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上是增函数．]5．D [当x >0时，2x －1＝0，得x ＝12，依题意知，当x ≤0时，e x＋a ＝0必须有实根．∴x＝ln(－a )≤0，则1≥－a >0，所以－1≤a <0.]6．A [直线kx －y －3k ＝0过定点(3，0)，要使直线与平面区域M 有公共点，移动直线，可知其经过点(1，0)和(0，1)这两点之间的范围时与M 有公共点，代入得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，0.] 7．D [∵(OP →＋OF →2)·F 2P →＝0，且F 2P →＝OP →－OF →2，∴OP →2－OF →22＝0，则|OP →|＝|OF →2|.在△F 1PF 2中，|OP →|＝|OF →2|＝|OF →1|， 则∠F 1PF 2＝90°.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|，得|PF 2|＝2a3－1＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a . 由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴[(3＋1)2＋(3＋3)2]a 2＝4c 2，则c 2＝(4＋23)a 2.因此e ＝c a＝4＋23＝3＋1.] 8．D [设B 1(cos α，sin α)，B 2(cos β，sin β)，A (x ，y )，O (0，0)．由AB 1→⊥AB 2→，得cos(α－β)－x (cos α＋cos β)－y (sin α＋sin β)＋x 2＋y 2＝0①OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB 1→＋AB 2→＝(cos α＋cos β－x ，sin α＋sin β－y )．而|OP →|<12，则0≤|OP →|2<14，整理得0≤x 2＋y 2＋2＋2cos(α－β)－2x (cos α＋cos β)－2y (sin α＋sin β)<14，②将①代入②，得0≤x 2＋y 2＋2－2(x 2＋y 2)<14，即0≤2－(x 2＋y 2)<14，整理得74<x 2＋y 2≤2.所以|OA →|2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤74，2，即|OA →|∈⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2.] 9．24 [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·eb＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b＝18×192＝24.]10．64 [因为a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 22＝a 1·a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，d ＝2.所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S 8＝（a 1＋a 8）×82＝4×(1＋15)＝64.]11．9 [由f (x )为奇函数，且T ＝3，因此考查区间可缩小至32.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝sin πx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝0，因此在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32上有两个零点，则在(0，6]上有8个零点，加上f (0)＝0，共9个零点．]12.32[由题分别设甲乙两个圆柱的底面半径和高分别为r 1、h 1，r 2、h 2，则有2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1，又因为S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32，则V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 1r 2＝32.]13.1547 [cos A ＝34，则sin A ＝74，sin C ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝378，则cos C ＝18，因此sin B ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝5716.根据正弦定理，可得c ＝6.因此S △ABC ＝12bc sin A ＝1547.]14．－1 [以点C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2，0)，B (0，2)，设点P 坐标为(x ，y )．从而PC →·(PA →＋PB →)＝(－x ，－y )·[(2－x ，－y )＋(－x ，2－y )]＝(－x ，－y )·(2－2x ，2－2y )＝2(x 2－x ＋y 2－y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122－1.因而原题转化成求△ABC 内一点到点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的最小距离． 显然就取点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，在△ABC 内，此时PC →·(PA →＋PB →)的最小值为－1.] 15.52 [双曲线渐近线方程为y ＝b a x ，y ＝－bax ，分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组， 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b .由|PA |＝|PB |得，设AB 中点为Q ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2，又PQ 与已知直线垂直，解得a 2＝4b 2，∴a 2＝4(c 2－a 2)，即c 2a 2＝54，即e ＝52.]。
2016年高考浙江理科数学试题与答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2016 年浙江，理1，5 分】已知集合P x R|1 x 3 ， 2Q x R | x 4 ，则P e R Q （）（A）2,3 （B）2,3 （C）1,2 （D）, 2 1,【答案】 B【解析】 2Q x R x x R x 或x ，即有e R Q x R| 2 x 2 ，则P e R Q 23,，故选B．| 4 | 2 2【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．（2）【2016 年浙江，理2，5 分】已知互相垂直的平面，交于直线l ．若直线m ，n 满足m / / ，n ，则（）（A）m / /l （B）m / /n（C）n l （D）m n【答案】 C【解析】∵互相垂直的平面，交于直线l ，直线m ，n 满足m / / ，∴m / / 或m 或m ，l ，∵n ，∴n l ，故选C．【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．（3）【2016 年浙江，理3，5 分】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由x 2 0区域x y 0 中的点在直线x y 2 0 上的投影构成的线段记为AB ，则AB （）x 3y 4 0（A）2 2 （B）4 （C）3 2 （D） 6【答案】 C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x y 2 0上的投影构成线段R Q ，即SAB ，而R Q RQ ，由x3y 4 0x y 0 得xy 11，即Q 1,1 ，由x 2x y得xy22，即R 2, 2 ，则 2 2AB QR 1 2 1 2 9 9 3 2 ，故选C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．（4）【2016 年浙江，理4，5 分】命题“x R，n N ，使得 2n x ”的否定形式是（）（A）x R，n N ，使得 2n x （B）x R，n N ，使得2 n x（C）x R，n N ，使得 2n x （D）x R，n N ，使得2 n x【答案】 D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x R，n N ，使得 2n x ”的否定形式是：x R，n N ，使得 2n x ，故选D．【点评】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．（5）【2016 年浙江，理5，5 分】设函数 2f x sin x bsin x c，则 f x 的最小正周期（）（A）与 b 有关，且与 c 有关（B）与b 有关，但与 c 无关（C）与 b 无关，且与 c 无关（D）与b 无关，但与 c 有关【答案】 B【解析】∵设函数 2f x sin x bsin x c ，∴c 是图象的纵坐标增加了 c ，横坐标不变，故周期与 c 无关，1当b 0 时， 2 1 1f x sin x b sin x c cos2 x c 的最小正周期为2 22T ，当b 0 时，21 1cos2 sinf x x b x c ，∵y cos2x的最小正周期为，y b sin x的最小正周期为 2 ，2 2∴ f x 的最小正周期为 2 ，故 f x 的最小正周期与 b 有关，故选B．【点评】本题考查了三额角函数的最小正周期，关键掌握三角函数的图象和性质，属于中档题．（6）【2016 年浙江，理6，5 分】如图，点列A、Bn 分别在某锐角的两边上，且nA A A A ，A n A n 1 ，n N ，B n B n 1 B n 1B n 2 ，B n B n 1 ，n N ，（P Qn n 1 n 1 n 2表示点P与Q 不重合）若d A B ，S n 为A n B n B n 1 的面积，则（）n n n（A）S n 是等差数列（B） 2S 是等差数列n（C）d n 是等差数列（D） 2d 是等差数列n【答案】 A【解析】设锐角的顶点为O ，O A a ，OB1 b ，A n A n 1 A n 1 A n2 b ，1B B B B d ，由于a，b 不确定，则d n 不一定是等差数列，n n 1 n 1 n 22d 不一定是等差数列，设A n B n B n 1 的底边B n B n 1 上的高为h n ，由三角n形的相似可得h OAa n 1 bn nh OA a nbn 1 n 1，h OAa n 1 bn 2 n 2h OA a nbn 1 n 1，两式相加可得，h h 2a 2nbn n 2h a nbn 12 ，即有h n h n 2 2h n 1 ，由1S d h ，可得S n S n 2 2S n 1 ，n n2即为S n 2 S n 1 S n 1 S n ，则数列S n 为等差数列，故选A．【点评】本题考查等差数列的判断，注意运用三角形的相似和等差数列的性质，考查化简整理的推理能力，属于中档题．（7）【2016 年浙江，理7，5 分】已知椭圆2x2C1 : 2 y 1 m 1m与双曲线2x2C y nn1 :2 1 0的焦点重合，e1 ，e 分别为C1 ，C2 的离心率，则（）2（A）m n 且e1e2 1 （B）m n 且e1e2 1 （C）m n 且e1e2 1 （D）m n 且e1e2 1 【答案】 A2 2x x2 2【解析】∵椭圆C1 : 2 y 1 m 1 C1 : 2 y 1 n 0与双曲线m n2 2 2 02 2即m n ，∴m n ，则m n ，排除C，D，则的焦点重合，∴满足2 2 1 22212cnn，则cm．c m m ，c n ，e1cm， 2ecn，则e e1 22c c cm n mn，则2 22 2 2 2m 1 n 1c c c c2ee1 2 2 2 2 2m n m n m n2 2 2 2 2 2m n m n 1 m n 1 2 1 11 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2m n m n m n m n，∴e1e2 1 ，故选A．【点评】本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断，根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．（8）【2016 年浙江，理8，5 分】已知实数a，b ，c （）（A）若a2 b c a b2 c 1 ，则 2 2 2 100a b c （B）若2 | 2 | 1a b c a b c ，则2 2 2 100a b c（C）若 2 | 2 | 1a b c a b c ，则2 2 2 100a b c （D）若2 | 2 | 1a b c a b c ，则2 2 2 100a b c【答案】 D【解析】A．设a b 10 ，c 110 ，则 2 2 0 1 2 2 2 100a b c a b c ，a b c ；B．设a 10 ，b 100 ，c 0 ，则 2 | 2 | 0 1a b c a b c ，2 2 2 100a b c ；C．设a 100 ，b 100 ，c 0，则2 | 2 | 0 1a b c a b c ，2 2 2 100a b c ，故选D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，由于正面证明比较复杂，故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．2第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．（9）【2016 年浙江，理9，6 分】若抛物线【答案】92 4y x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是．【解析】抛物线的准线为x 1 ，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x 1 的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9．【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．（10）【2016 年浙江，理10，6 分】已知2cos2 x sin 2x A s in x b A 0 ，则A ，b ．【答案】 2 ；1【解析】∵ 2 2 22cos sin 2 1 cos2 sin 2 1 2 cos2 sin 2 1 2 sin 2 1x x x x x x x ， A 2 ，2 2 4b 1 ．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．（11）【2016 年浙江，理11，6 分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．【答案】72；32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为 22，其体积为2 24 6 72cm34 2 32 ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．（12）【2016 年浙江，理12，4 分】已知a b 1，若o g o l 5b aa b ，则a ，b ．l g a b b a ，2 【答案】4；25 1 5 12【解析】设log 2t 5 t 2 0 ，解得t 2 或t a ，由a b 1知t 1 ，代入log a b log b a 得t ，即t b2 t 2 2 2 b a2 b a 2（舍去），所以log 2b a ，即a b ，因为a b ，所以 b b ，则a 2b b ，解得 b 2 ，a 4 ．【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．*（13）【2016 年浙江，理13，4 分】设数列a n 的前n 项和为S n ，若S2 4 ，a n 1 2S n 1，n N ，则a1 __，S __．5【答案】1；121【解析】由n 1时，a S ，可得a2 2S1 1 2a1 1，又S2 4 ，即a1 a2 4 ，即有3a1 1 4 ，解得a11；1 1由a n 1 S n 1 S n ，可得S n 1 3S n 1 ，由S2 4 ，可得S3 3 4 1 13 ，S4 3 13 1 40 ，S5 3 40 1 121 ．【点评】本题考查数列的通项和前n 项和的关系：n=1 时，a1=S1，n＞1 时，a n=S n﹣S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．（14）【2016 年浙江，理14，4 分】如图，在A BC 中，AB BC 2 ，ABC 120 ．若平面ABC 外的点P 和线段A C 上的点 D ，满足P D DA ，PB BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是．【答案】1 2【解析】如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM 3 时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A到BD 的距离，即图中AE ，DM 3 t ，由ADE ∽BDM ，可得2h t1 23 t 1 ，ht23 t 13 3 t1 1 t 1，V 2 3 t 1 ,t 0, 32 23 2 63 t 1 3 t 1②当AD t AM 3 时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A到BD 的距离，3即图中AH，DM t3，由等面积，可得11AD BM BD AH，∴22112t1t31，222∴ht23t1，∴33t11t1V23t1,t3,23223263t13t1，综上所述，233t1V,t0,23263t1，令2m3t11,2，则V1462mm，∴m1时，1 V．max2【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．（15）【2016年浙江，理15，5分】已知向量a，b，a1，b2，若对任意单位向量e，均有a e b e6，则a b的最大值是．【答案】1 2【解析】∵a b e a e b e a e b e6，∴a b e a b6，平方得：22a b2a b6，即22122a b6，则1a b，故a b的最大值是212．【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2016年浙江，理16，14分】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b c2a cos B．（1）证明：A2B；（2）若ABC的面积2aS，求角A的大小．4解：（1）由正弦定理得sin B sin C2sin A cos B，2sin A cos B sin B sin A B sin B sin A cos B cos A sin B，于是sin B sin A B．又A,B0,，故0A B，所以B A B或B A B，因此A（舍去）或A2B，所以，A2B．（2）由2aS得421aab sin C，故有241sin B sin C sin2B sin B cos B，因sin B0，得sin C cos B．2又B,C0,，所以C B．当2B C时，2A；当2C B时，2A．综上，4A或2【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．（17）【2016年浙江，理17，15分】如图，在三棱台ABC DEF中，已知平面BCFE平面ABC，ACB90，BE EF FC1，BC2，AC3．（1）求证：EF平面ACFD；（2）求二面角B AD F的余弦值．解：（1）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE平面ABC，且A C B C，；所以，AC平面BCK，因此，BF AC．又因为EF//BC，BE EF FC1，BC2，所以BCK 为等边三角形，且F为CK的中点，则BF CK．所以BF平面ACFD．（2）解法1：过点F作FQ AK，连结BQ．因为BF平面ACK，所以BF AK，则AK 平面BQF，所以BQ AK．所以，BQF是二面角B AD F的平面角．在Rt ACK中，AC3，CK2，得313313FQ．在Rt BQF中，FQ，BF3，得1313c o s3BQF．4所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为34．4解法2：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形．取BC的中点O，则KO BC，又平面BCFE平面ABC，所以，KO平面ABC．以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．由题意得B1,0,0，C1,0,0，K0,0,3，A1,3,0，13E,0,，2213F,0,．22因此，AC0,3,0，AK1,3,3，AB2,3,0．设平面ACK的法向量为m x1,y1,z1，平面ABK的法向量为n x2,y2,z2．由A C mAK m 0，得3y01x3y3z0111，取m3,0,1；由A B nAK n 0，得2x3y022x3y3z0222，取n3,2,3．于是，cos m,nm nm n34．所以，二面角B AD F的平面角的余弦值为34．【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．（18）【2016年浙江，理18，15分】已知a3，函数2F x min2x1,x2ax4a2，其中min p,q p,p q q,p q．（1）求使得等式2242F x x ax a成立的x的取值范围；（2）（i）求F x的最小值m a；（ii）求F x在0,6上的最大值M a．解：（1）由于a3，故当x1时，22x2ax4a22x1x2a12x0，当x1时，22422122x ax a x x x a．所以，使得等式2242F x x ax a成立的x的取值范围为2,2a．2242（2）（i）设函数f x2x1，g x x ax a，则2f x min f10，g x min g a a4a2，所以，由F x的定义知m a min f1,g a，即m a 0,3a222a4a2,a22．（ii）当0x2时，F x f x max f0,f22F2，当2x6时，F x g x max g2,g6max2,348a max F2,F6．所以，M a 348a,3a4 2,a4．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．2x2（19）【2016年浙江，理19，15分】如图，设椭圆C:y1a12a（1）求直线y kx1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）；．（2）若任意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．y kx1解：（1）设直线y kx1被椭圆截得的线段为AP，由2x2a2y1得22221a k x2a kx0，故x10，22a k x2221a k ．因此22a k22 AP1k x x1k12221a k．（2）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足AP AQ．5记直线AP，AQ的斜率分别为k，k2，且k1，k20，k1k2．由（1）知，1AP222a k1k11122a k1，AQ222a k1k22122a k2，故22222a k1k2a k1k112222221a k1a k12，所以22222222k1k21k1k2a2a k1k20．由于k k，k1，k20得122222221k k a2a k k0，因此12121122111a a222k k12①因为①式关于k，k2的方程有解的充要条件是：1221a a21，所以a2．因此，任意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a2，由e21c a a a 得，所求离心率的取值范围为02e．2【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想以及计算能力．（20）【2016年浙江，理20，15分】设数列满足an11,a n N．n2（1）求证：1*n﹣﹣；a2a2n Nn1n （2）若3a，n2*n N，证明：a n2，*n N．解：（1）由a1n11a得a a11，故n n n22a an n11n n1n222，n，所以a a a a a a a a1n1223n1n1n1223n1n22222222111121n1，222因此n1a2a2．n1（2）任取n，由（1）知，对于任意m n，a a a a a a a a n m n n1n1n2m1m n m n n1n1n2m1m 22222222 a11111113m na21n n1m11n n m n mn，故1222222222mn2m3n．224m从而对于任意m n，均有232a．由m的任意性得2na①否则，存在n0，有n n4a，02n取正整数a2nm log且m0n0，则03n204a2nm log033320nm n42020a2，与①式矛盾．n440专业资料综上，对于任意n，均有a n2．【点评】本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式，放缩法证明不等式，难度较大．6专业资料。
2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟浙江卷
2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟（浙江卷）数学（理科）1．【答案】B【解析】由[]2{9}3,3A x y x ==-=-，(){2,0}1,xB y y x ==>=+∞有[]()(]3,31,1,3A B ⋂=-⋂+∞= 2．【答案】B 【解析】 由已知[)():,,:0,2a αβ+∞βα⇒()[)0,2,0a a ∴⊆+∞⇒≤3．【答案】 D【解析】 各个判断：A ，面面平行推不出线线平行；B ，面面垂直结合线面平行推不出线面垂直；C ，线面垂直，线线平行，线面平行推不出线面平行；D ，正确 4．【答案】 C【解析】显然由22212112222222(log )(log )log log (log )(log )(log )(log )2(log )2(log )(log )2(1)2(1)(1)f a f a a a f a f a f a f a f f f f a f a f a ≤≤⇒+=-∴+=+≤-=∴由偶函数性质：()()()f x f x f x -==，注意到0x >时，()f x 为增函数，故 2221(log )(log )log 122(1)(1)f a f a f a a f ≤⇒⇒≤≤≤≤⇒ 所以则a 的最小值是125．【答案】A 【解析】如图易知242;,02612333T E πππππππωϕπϕω⎛⎫⎛⎫=+==⇒=⇒⨯+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故填A 6.【答案】B 【解析】0::l y kx l y kx z==+移动l 易知13k k k <<7． 【答案】Bx yDEBO CA【解析】()1,0F c -关于直线by x a =-的对称点P 2222,c a ab c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭在双曲线上，有2222222222c a ab b a a bc c ⎛⎫-⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒5e =故选B8．【答案】A【解析】本题用间接做法教容易，观察选择支：若18a =，推算结果与题意不符；在取14a =，推算结果符合题意，故选A非选择题部分（共110分）二、 填空题 ：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分。
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客观题限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题1．集合A ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，B ＝{x |x 2－x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，1]∪(2，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，2) C ．∅D ．(1，2]2．“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．14．若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω≠0)对任意实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝ f ⎝⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫π3－πω的值等于( )A ．－1B ．1 C. 2D ．－ 25．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34 B.14 C.211D ．46．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．37．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.948．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D.355113二、填空题9．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．10. 空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．11．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．12．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．13．已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2a －b的最小值为________．14．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．15．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0.对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)客观题限时练(一)1．D [易知A ＝[0，2]，B ＝{x |x ＜0，或x ＞1}．∴A ∩B ＝(1，2]．]2．B [ln (x ＋1)<0⇔0<x ＋1<1⇔－1<x <0，而(－1，0)是(－∞，0)的真子集，所以“x <0”是“ln (x ＋1)<0”的必要不充分条件．]3．B [∵S △ABC ＝12a ·c sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝2＋1－22×1×22＝1，∴b ＝1，∴△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝5，∴b ＝5，故选B.]4．A [由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，∴令x ＝π6，则有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ3＋π4＝sin π4＝22， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－πω＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ3＋π4－π＝－1.] 5．B [先画出x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a的可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得C (a ，a )，平移直线2x ＋y ＝0，当直线过点C (a ，a )时，目标函数z ＝2x ＋y 有最小值，且z min ＝3a ；当直线过点B (1，1)时，函数z ＝2x ＋y 取最大值，且z max ＝3.依题意，得3＝4×3a ，则a ＝14.]6．C [法一 (方程思想)设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＝a 1q 3，5＝a 1q 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝52，a 1＝16125，∴a n ＝16125⎝ ⎛⎭⎪⎫52n －1，∴lg a n ＝lg 16125＋(n －1)lg 52，∴lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝8lg 16125＋(0＋1＋2＋…＋7)lg 52，＝8(lg 16－lg 125)＋28(lg 5－lg 2)＝4lg 2＋4lg 5 ＝4(lg 2＋lg 5)＝4. 法二 (活用性质)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1a 2…a 8)而a 1a 2…a 8＝(a 4a 5)4＝104，∴lg(a 1a 2…a 8)＝lg 104＝4.]7．D [易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.]8．B [由题意知L ＝2πr ，13Sh ≈275L 2h ，即13·πr 2·h ≈275(2πr )2·h ，∴13π≈875π2，解得π≈258.选B.]9．4 [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22＋c 2－（7－c ）24c ＝－14，解得c ＝3，b ＝7－c ＝4.]10．2 [由三视图我们可以知道该空间几何体是一个四棱锥，底面是一个上、下底分别为1和2，高为2的直角梯形，四棱锥的高为2， ∴体积＝13×（1＋2）×22×2＝2.]11.22 [把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.] 12．0或6 [圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1，2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6.]13．2 2 [∵a ＞b ＞0，ab ＝1，∴a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋2ab a －b ＝（a －b ）2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b≥2 2.当且仅当：a －b ＝2时取等号．]14.16 [由A ＝π6，AB →·AC →＝tan A ，得|AB →|·|AC →|·cos A ＝tan A ， 即|AB →|·|AC →|×32＝33，∴|AB →|·|AC →|＝23，∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.]15．(1)x (2)x [(1)令f (x )＝x (x >0)，则经过点(a ，a )，(b ，－b )的直线方程为y －a ＝a ＋ba －b(x －a )， 令y ＝0，解得x ＝ab ，∴当x >0，f (x )＝x 时M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数ab .(2)设f (x )＝x (x >0)，则经过点(a ，a )，(b ，－b )的直线方程为y －a x －a ＝－b －ab －a，令y ＝0，所以c ＝x ＝2aba ＋b， 所以当f (x )＝x (x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b.]。