化归思想在数列通项求解中的应用
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。
数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。
数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。
笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。
笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。
首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。
简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。
其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。
研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。
但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。
大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。
然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。
这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。
并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。
最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。
一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。
本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。
一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。
它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。
在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。
这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。
例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。
2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。
例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。
3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。
这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。
例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。
二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。
通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。
在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。
这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。
例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析高中数学是学生学习数理知识的关键阶段，也是培养学生思维能力和逻辑推理能力的重要阶段。
在数学解题过程中，化归思想起着至关重要的作用。
化归思想是一种将问题进行简化、归纳和类比的思维方式，它可以帮助学生在解题过程中找到规律，做到举一反三，提高求解问题的能力。
本文将从化归思想的概念、在高中数学解题中的应用以及化归思想对学生数学思维的培养等方面进行分析和探讨。
一、化归思想的概念化归思想是指将一个有困难的问题转化成为一个相对简单的问题，然后利用简单问题的解题方法解答复杂问题的一种思维方式。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它可以帮助学生把握问题的本质，从而更好地理解和解决问题。
化归思想的核心是找到问题之间的联系和规律，将复杂的问题简化成易解的问题，从而为解决问题提供了思维途径和方法。
化归思想是高中数学解题中十分重要的一环。
在学习数学的过程中，学生们往往会遇到各种各样的难题，有些问题看似复杂，但经过化归思想的分析和转化，往往可以找到解题的新思路，大大提高解题效率。
1. 几何证明在高中数学的几何学中，几何证明是一个十分重要的内容。
几何证明需要学生具备严密的逻辑推理能力和丰富的几何知识。
很多几何证明问题在表面上看似复杂，但通过化归思想可以将其简化成一些基本的几何知识和定理，从而能够更好地解决问题。
在证明一个定理时，学生可以利用化归思想将大问题分解成一系列小问题，逐个地进行推导和证明，从而逐步解决整个问题。
这种分而治之的思维方式，有助于学生更好地理解和掌握几何知识，提高学生的证明能力。
2. 代数方程解题在高中数学学习中，代数方程是一个重要的内容，学生需要具备解方程的能力。
有些代数方程问题看似复杂，需要学生有一定的数学思维和技巧才能解决。
在解决代数方程问题时，学生可以运用化归思想将问题简化，找出方程中的规律和特点，从而更好地解题。
对于一个复杂的代数方程问题，学生可以尝试将其化简成一系列简单的代数方程，逐步解决每一个小问题，最终得到整体的解答。
化归思想在初中数学教学中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用初中数学作为中学阶段的重要学科之一，对学生的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养有着重要影响。
而化归思想作为一种重要的数学思维方法，其应用在初中数学教学中能够帮助学生更好地理解和运用数学知识，提升他们的数学思维能力和解题能力。
本文将探讨化归思想在初中数学教学中的应用，从基本概念、解题方法和实例三个方面进行详细阐述。
一、基本概念化归思想是指通过将一个复杂的问题转化为一个相对简单的问题来进行求解的思维方法。
在数学中，化归思想常常是通过引入适当的变量、改变问题的形式或结构，从而使问题具有一定的规律性和可操作性，使其能够被解决。
化归思想的基本概念有以下几点：1.归纳化归纳化是将一个复杂的问题转化为一个特殊情形的简单问题。
通过观察和归纳，找到问题中的规律和特点，并将其简化为一般情形的问题来解决。
例如，在教学中可以通过选取特殊值，或将复杂的运算过程简化为特殊情况的运算，引导学生理解和掌握抽象问题的解题方法。
2.类比化类比化是将一个难以处理的问题转化为一个相似但更易处理的问题。
通过找到与已知问题相似的问题，运用类似的解题思路和方法来解决未知问题。
例如，在求解几何问题时，可以借鉴已知几何形状的性质和解题方法，运用到未知问题中，帮助学生理解和掌握几何问题的解题方法。
3.延伸化延伸化是将一个已知的问题扩展或推广为一个更一般的问题。
通过对已知问题的分析和推广，找到问题的共性和普遍性，从而解决更一般的问题。
例如，在求解等差数列的问题时，可以通过找到问题的一般规律和通项公式，进一步推广到求解任意项、任意和的问题，拓展学生对等差数列知识的理解和应用。
二、解题方法基于化归思想，我们可以运用多种解题方法来辅助教学，使学生能够更好地理解和应用数学知识。
1.通过特例法解题特例法是一种常用的运用化归思想的解题方法。
通过选取适当的特殊值，使复杂的问题简化为特殊情况的问题，从而找到问题的规律和解题方法。
例如，在教学中，可以通过选取一个特殊的数值，如0、1或2，来简化计算过程，帮助学生理解和掌握一般性问题的解题思路和方法。
“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用
“转化与化归”的思想方法在数学教学中应用作者：章传科来源：《文理导航·教育研究与实践》 2014年第8期浙江省苍南县桥墩高级中学章传科转化与化归思想是高中数学最重要的思想之一，它的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，数学问题的解决基本上是通过转化为已知或已解决问题实现的。
从这个意义上讲，一个数学问题的解答过程就是一个从未知向已知转化的过程。
数学思想的作用是无声的，蕴涵于一个个具体的数学问题的解答过程中，要寻找它的踪迹，也必须先深入到数学问题中。
现在让我们在一些具体的问题中去体会“转化化归”的思想方法。
一、在函数与不等式问题中的应用。
函数与不等式的内容在每年的高考中几乎占去了三分之二，函数与不等式问题的内容丰富多变，解法灵活多样，是高考考查的重点也是难点。
函数的三要素中定义域和值域都与不等式紧密相连，很多函数问题与不等式问题是相互交错的，一些特定的函数问题和不等式问题直接求解相对比较困难，可运用转化的方式进行等价求解。
如解分段函数的“最值”问题或求方程解的个数问题。
例如：“证明不等式，其中x≥1”这种问题，如果按照常规的思维用不等式的证明方法如比较法﹑分析法等很难下手，但是转换一个角度，将它视作要证明函数：的值恒大于0，只需要利用导数考查函数的单调性，求最小值，问题就很解决了。
证明一个数学命题，实际上是由假设经过推理以得出结论，当直接处理不容易时，往往我们会先考虑它的等价命题或者辅助命题，去寻求解题的思路。
原命题的等价命题或辅助命题的证明必须是我们所熟悉的知识和方法。
这种运用等价问题法和构造函数法在解答一些直接处理很难下手的函数或不等式问题时非常有用，体现了“转化与化归”思想的熟悉化原则和简单化原则。
从新课改的课程内容设计来看，作为数学的基础性内容，函数、不等式和方程仍然是比重最大的一块，这三者的关系密不可分，三者之间问题的相互转化也是其问题设计的一个重要指导思想，“转化与化归”的思想方法有着大量的运用和体现。
化归与转化思想在解题中的应用
化归与转化思想在解题中的应用主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正．应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化．常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口．2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决．3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举．4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始．5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转化，可把问题由一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见．6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化．7、函数与方程的转化二、典例剖析例1．函数极限的值为（）.A．B．C．D．分析：依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化.解：由导数的定义可知．故选C．点评：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查对导数定义的正确理解，因而转化为求函数在处的导数．例2．数列中，，，则＝______________.解：通过求猜想，从而达到解决问题的目的，也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，选C.点评：利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.例3．（2005年湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）A．B．C．D．分析：以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成56个三角形，从这56个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用“正与反的相互转化”，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题较易解决．解析：以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形共有个，从中随机取出两个三角形共有＝28×55种取法，其中两个三角形共面的为，故不共面的两个三角形共有(28×55－12×6)种取法，∴以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为，选(A)．点评：当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，将不符合条件的情况去掉（这在排列组合、概率题中常用），或验证问题的反面不成立（反证法），从而使问题得以解决．B1C1中，底面为直角三角形，∠例4．（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．分析：这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，因此需利用“高维与低维的相互转化”把立体问题转化为平面问题来解决．解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A1C1B＝90°又∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝.点评：此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化．各种转化策略的运用，是解决立几问题的法宝．例5．已知函数的部分图象如图(，且)．(1)求的值；(2)若关于的方程（，且）有两个不等实数根；①若证明在（－π，）内有两个不等实数根；②上述①的逆命题是否成立，并证明．解：(1）由图象易知函数的周期为（π）=2π．∴，上述函数的图象是由的图象沿轴负方向平移个单位得到的，其解析式为．∴(2）①由得||≤∴＞－1．同样||≤∴＜１．令，显然而二次函数的对称轴∈(－1,1)．∴二次方程两实根在（－1，1）中．∴关于的方程在（－，）内有两个不同实根．②逆命题不成立．反例，关于的方程为．显然方程在（－，）内有两个不等的实根，并=＋=1．例6．（2007安徽卷理）设，．（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有．分析：（1）讨论在内的单调性并求极值只需求出的导数即可解决；（2）要证当时，恒有，可转化为证时，亦即转化为时恒成立；因，于是可转化为证明，即在上单调递增，这由（1）易知．解：（1）根据求导法则有，故，于是，列表如下：极小值故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．（2）证明：由知，的极小值．于是由上表知，对一切，恒有．从而当时，恒有，故在内单调递增．所以当时，，即．故当时，恒有．点评：对于证明在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明在区间上恒成立，令，即可转化为在上，这样只需求出在区间上的最小值即可解决之．这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用到．例7．（2007年全国Ⅱ理）设数列的首项．（1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．分析：（1）已知数列的递推公式，求数列的通项，常通过变形使之转化为形式的等差或等比数列来解决；（2）比较与的大小，这里由于式子里含有根号，因此可通过平方化无理为有理，比较与的大小．解：（1）由整理得．又，所以是首项为，公比为的等比数列，得．（2）方法一：由（1）可知，故．那么，又由（1）知且，故，因此为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由可得，即.两边开平方得．即为正整数．点评：数列是每年高考的必考内容．已知数列的递推公式或已知数列前n项和与的关系求数列通项也是常考内容．若已知数列的递推公式为（）的形式，求数列的通项时常通过变形使之转化为形式的等比数列来解决；若已知数列前n项和与的关系式求数列通项，则常用将与的关系式化归转化为与（或与）间的递推关系再进一步求解．例8．（2007年全国卷II理）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．分析：（1）通过求导得出切线的斜率，从而由点斜式较易写出切线方程；（2）由（1）易得过点的曲线的切线方程，曲线有三条切线可转化为方程有三个相异的实数根，即函数有三个零点，故只需的极大值大于零且的极小值小于零．解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型．例9．已知函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．（1）求证：；（2）设，是函数的两个极值点．①若，求函数的解析式；②求的取值范围．解：（1）三个函数的最小值依次为1，，，由，得．∴，故方程的两根是，．故，．，即．∴．（2）①依题意是方程的根，故有，，且△，得．由．；得，．由（1）知，故，∴，．∴．②（或）．由（1）知．∵，∴，又，∴，，（或）．∴．例10．（2007年福建理）已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．分析：（1）求出的导函数，易得的单调区间；（2）易知是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进一步转化为在上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围．解：（1）由得，所以．由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是．（2）由可知是偶函数．于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（3），，，由此得，．故.点评：利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（2）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间上问题来讨论．例11．已知、是方程（）的两个不相等实根，函数的定义域为．（1）求；（2）证明：对于（），若，则有．解：（1）设，则因为、是方程（）的两个不相等实根，所以，即，从而有，所以函数在区间上是增函数，由此及，得；（2）证明：当且仅当，即（）时取得等号，从而，而，当且仅当时取得等号，故有．冲刺练习一、选择题1．定义集合运算：A⊙B=｛z|z= xy(x＋y)，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．182．设是R上的一个运算，A是R的非空子集，若对任意有，则称A对运算封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（）A．自然数集B．整数集C．有理数集D．无理数集3．从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆的个数是（）A. 43B. 72C. 86D. 904．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A.5B.4C.3D.25．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A.48B. 18C.24D.366．点P到点A(，0)，B(，2)及到直线x＝－的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（）A. B.C.或D.－或7．如果二次方程x2－px－q=0(p，q∈N*) 的正根小于3，那么这样的二次方程有（）A. 5个 B. 6个C. 7个D. 8个8. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（）A. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个9．计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0－9和字母A－F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E＋D=1B，则（）A.6EB.72C.5FD.B010．设P是△ABC内任意一点，S△ABC表示△ABC的面积，λ1＝，λ2＝，λ3＝，定义f(P)=(λ1，λ2，λ3)，若G是△ABC的重心，f(Q)＝（，，），则（）A. 点Q在△GAB内B. 点Q在△GBC内C. 点Q在△GCA内D. 点Q与点G重合[提示]二、填空题11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形．不必证明．类比性质叙述如下：_____________________．12．规定记号“”表示一种运算，即. 若，则函数的值域是_____________________．13．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：则第9行中的第4个数是_____________________．14．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为_____________________．15．设函数f (x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0，]上的面积为___________；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为______________.16．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为______________．（写出所有正确结论的编号）[答案]三、解答题17．设函数．y=f(x)图像的一条对称轴是直线．（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3）证明直线与函数的图像不相切．[答案]18．某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正、反面的概率都是．棋盘上标有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站；若掷出反面，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或第100站(失败大本营)时，该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为．(1)求P0，P1，P2；(2)求证:．(3)求玩该游戏获胜的概率．[答案]19．如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.（1）分别用不等式组表示W1和W2；（2）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（3）设不过原点O的直线l与（2）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合.[答案]20．设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：①且＝＋；②且＝．（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有＜M 成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．提示：1、当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18，选D．2、A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1÷2＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C．3、根据题意，是不大于10的正整数、是不大于8的正整数．但是当时是圆而不是椭圆．先确定，有8种可能，对每一个确定的，有种可能．故满足条件的椭圆有个．选B．4、由题意至少可得f(0)=f(2)=f(－2)=f(3)=f(－3)=f(－5)=f(5)=f(1)=f(4)=0，即在区间（0，6）内f(x)=0的解的个数的最小值是5，选(D)．5、正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；选D．6、（思路一）点P在抛物线y2=2x上，设P(，y)，则有（＋）2=（－）2＋(y－2)2，化简得(－)y2－4y＋2＋=0，当=时，符合题意；当a≠时，Δ=0，有－＋＋=0，( ＋)(2－＋)=0，=－．选D.（思路二）由题意有点P在抛物线y2=2x上，B在直线y=2上，当a=－时，B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D.7、由△=p2＋4q>0，－q<0，知方程的根为一正一负．设 f(x)=x2－px－q，则 f(3)=32－3p－q>0，即 3p＋q<9.由于p，q∈N*，所以 p=1，q≤5 或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．8、设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n，直线 m、n 确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面α有无数多个．故选D．9、∵A=10，B=11，又A×B=10×11=110=16×6＋14，∴在16进制中A×B=6E，∴选A．10、由题f(p)=若G为.而与之比较知．．故选A．11．（下列答案中任一即可，答案不唯一）（1）从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（2）从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面的的距离之比为定值．（3）在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值．（4）在空间，射线上任意一点到射线、、的距离之比不变．（5）在空间，射线上任意一点到平面、、的距离之比不变．12．13．25914．(0.1＋p)a 15．16．①③④⑤提示：12、由得，解得k=1，所以f(x)=，f(x)在（0，＋∞）内是增函数，故f(x)＞1，即f(x)的值域为．13、第1行第1个数为1＝，第2行第1个数为2＝，第3行第1个数为4＝，…，第9行第1个数为＝256，所以第9行第4个数为256＋3＝259．14、设保险公司要求顾客交x元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为Eξ=x(1－p)＋(x－a)·p=x－ap．为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x－ap=0.1a，故可得x=(0.1＋p)a．即顾客交的保险金为(0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a．15、由题意得：y=sin3x在上的面积为，在上的图象为一个半周期，结合图象分析其面积为．16、B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤．17．（1）解：∵是函数y=f(x)的图象的对称轴，∴，∴，∵－，∴．（2）由（1）知，因此．由题意得，所以函数的单调增区间为．（3）证明：∵｜｜=|(|=||≤2．所以曲线y=f(x)的切线的斜率取值范围是[－2，2]，而直线5x－2y＋c＝0的斜率为＞2，所以直线5x－2y＋c＝0与函数的图象不相切．18．解：(1)依题意，得P0=1，P1=，.(2)依题意，棋子跳到第n站(2≤n≤99)有两种可能：第一种，棋子先到第n－2站，又掷出反面，其概率为；第二种，棋子先到第n－1站，又掷出正面，其概率为．∴．∴．即．(3)由(2)可知数列{}(1≤n≤99)是首项为公比为－的等比数列，于是有=．因此，玩该游戏获胜的概率为.19．解：（1）（2）直线直线，由题意得即由知所以即所以动点P的轨迹方程为（3）当直线与轴垂直时，可设直线的方程为由于直线、曲线C 关于轴对称，且与关于轴对称，于是的中点坐标都为，所以的重心坐标都为，即它们的重心重合.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为由，得由直线与曲线C有两个不同交点，可知，且设的坐标分别为则设的坐标分别为由从而所以所以于是的重心与的重心重合.20．解：（1）．．（2），（3）．∴，，．，，等．即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切都有＜M成立．。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
化归思想在高中数列通项公式中的应用
化归思想在高中数列通项公式中的应用数列是数学中的基础概念，它所研究的是按一定规律排列的一列数。
而数列的公式则是数列的核心之一，它可以表达数列的通项公式，将数列中的每一项都使用一个公式代替。
高中数学中，我们通常通过化归思想来推导数列的通项公式，下面将介绍化归思想在高中数列通项公式中的应用。
一、化归思想的概念化归是指将一个复杂问题转化为一个简单问题的思想和方法。
在数学中，化归思想也称作“约化方法”。
化归思想的主要作用是将复杂的计算问题简化，从而更方便解决。
在高中数学中，我们通常将化归思想应用于数列、函数等问题中，通过简化问题，更加轻松地解决问题。
在高中数学中，求解数列通项公式是重要的任务之一。
在这个过程中，化归思想可以帮助我们简化我们要解决的问题。
下面，我们将介绍化归思想在高中数列通项公式中的应用。
1.等差数列等差数列是指数列中每一项与它前一项的差值相等的数列。
比如：1，3，5，7，9，…… 就是一个等差数列，它的公差为2。
对于一个等差数列，我们可以使用化归思想来推导出它的通项公式。
下面以1，3，5，7，9，……为例：第n项：an=2n-1也就是说，这个等差数列的任意一项可以表示为2n-1。
其中n代表着它在数列中的位置。
3.斐波那契数列通项公式：an = (1/sqrt(5)) * ( ((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n )三、总结化归思想在高中数学中是非常重要的，这种思想可以使我们更好地理解和认识数学中的问题。
对于数列通项公式的推导，化归思想可以帮助我们简化问题，从而得出更加简单易懂的公式。
通过不断练习化归思想，相信大家可以更好地掌握数学知识，取得更好的成绩。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是中学数学中非常重要的一种解题思想，它可以将已知的问题转化为不同但等价的形式，使问题更加简单易懂，从而有助于提高解题的效率和质量。
针对不同的中学数学题型，化归思想都有其相应的应用方法，下面就分别进行讨论。
1. 代数式求值问题代数式求值问题是中学数学中较为基础的题型之一，通过对已知代数式进行化归，可以大大简化计算过程，提高解题效率。
例如，对于求$A+B$、$A-B$、$A\times B$及$A\div B$的值给定$A=3$，$B=4$，可以分别将其化归为如下形式：$A+B=3+4=7$,$A\times B=3\times4=12$$A\div B=\frac{3}{4}$。
化归后的代数式只需简单计算即可得到答案，相比于直接计算，这种方法更加简便。
2. 几何问题通过化归思想，可以将几何问题转化为代数问题，以达到解题的目的。
例如，已知等腰三角形底角的度数为$60^\circ$，求其顶角的度数。
可以将此问题化归为求等腰三角形底角度数的问题，由于已知底角的度数为$60^\circ$，根据等腰三角形的性质，可得顶角的度数为$180^\circ-2\times60^\circ=60^\circ$。
这种化归方法不仅简化了计算过程，而且能够使复杂的几何问题更加清晰直观，易于解决。
3. 数列问题对于数列问题，化归思想可以通过寻找数列的通项公式来解决。
例如，已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10个数的值。
可以利用等差数列通项公式$an=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$表示数列中第n项的值，$a_1$表示首项的值，$d$表示公差，将问题化归为代数问题，计算得到第10个数的值为$3+(10-1)4=39$。
通过化归方法，可以将数列问题转化为代数问题，更加直观，易于解决。
综上所述，化归思想在中学数学解题中有着广泛的应用，可以帮助我们将问题转化为易于理解和计算的形式，提高解题效率和质量。
化归思想在高中数学解题中的应用分析
化归思想在高中数学解题中的应用分析作者：莫京宇来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第08期摘要：数学对于高中课程当中尤为重要，学习数学的关键在于对数学知识的掌握和拥有良好且正确的解题思想。
在数学解题应用中，如等价交换思想、数形结合思想、函数思想等这些良好的解题思想我们都可以称之为化归思想。
本文就化归思想在高中数学解题中的实际应用作出简要分析。
关键词：化归思想；高中数学；应用前言：化归思想，一种化熟悉为陌生，化未知为己知的思想。
这种思想在生活中被我们习惯性地应用着，一个人的成长离不开化归思想，它是我们思考一切问题的基本习惯。
同样，在高中数学领域也离不开化归思想，关于它在高中数学解题中的应用，我认为可以分为五个方面进行，即在不等式中的应用，在数列中的应用，在函数中的应用和在几何中的应用。
一、化不等式为等式化归思想在不等式当中的应用表现最为明显的是化不等式为等式。
因为等号两端的数值相同，根据这一点我们可以进行具体的运算，进而得出答案。
举个例子：题目为若不等式kx-4=2的解集是x1≤x≤3，则实数k是多少。
通过观察题目可以解析出kx-4=2的两个根为1，3 即k-4=23k-4=2 ，可以解得k=2。
在这个问题中，我们利用化归思想将端点之进行带入，在等号成立的情况下将题解开。
在所有高中数学的不等式的问题之中，只要我们能够找到不等式之间的关系，将不等式转化为等式，问题就都能够被解开[1]。
二、转化为等差数列或等比数列数列是高中数学学习当中的重点，同时也是高考数学的必考内容。
同样，化归思想在高中数学数列题型当中也有很好的应用，主要是根据题目内容将其转化为等差数列或等比数列，然后利用所学习的公式求得答案[2]。
1.在等差数列当中的应用在高中数学的等差数列习题当中，经常出现的像an-an-1=fn这种等差数列的递推公式，我们通常可以利用叠加方法来进行解题。
举个例子。
题目为已知an-an-1=n-1，求an。
探讨化归思想在高中数学解题中的应用
数理化解题研究2021年第07期总第500期探讨化归思想在高中数学解题中的应用傅永忠(浙江省东阳市外国语学校322100)摘 要：化归思想是重要的数学思想，通过问题转换顺利解决问题，提高数学解题效率.数学解题中应用 化归思想，要结合实际情况进行选择，切实发挥化归思想的作用.本文结合数学解题实践，分析数学解题中如 何有效应用化归思想，提高数学教学质量.关键词:数学解题；化归思想；函数中图分类号：G632文献标识码:A 文章编号：1008 -0333(2021)07 -0008 -02数学解题能力，即通过数学知识进行数学运算的能 力，这也是高中数学教学的重要任务.需要数学教师在讲 解习题基础上，理解与掌握数学思想，灵活解决数学问 题，形成良好解题能力，顺利落实教学目标，促进课堂教 学质量与效率的提升.一、 动静转化函数解题中运用化归思想,直接表现为动与静的转 换.函数反映生活中的变量关系,属于典型数学模型，体 现事物运动与变化的规律.学生学习函数知识时,要引导 学生利用发展眼光看待变量间的关系，从题干中提取出 数学因素与变量间的关系.利用化归思想将静态文字描述转化为动态的变量关系,通过运动观点对函数性质进 行研究，顺利解决数学问题.例1比较吨2与呃厶的大小.解题思路 解决这道题目可以运用化归思想,通过 函数静与动的转化解决问题.数学教师先让学生观察两个函数，明确其静止数值，通过化归思想构造相应的函 数.也就是对比两个数值的形式差异,构造对数函数/( % )-log 3%，将其看成自变量2到5之间的对应函数值,数值呈现动态化.最后，通过函数/ (% ) - log 3 %在定义域(0,+8 )为单调递增，顺利解决问题.即log 3 1 < log 35.二、 数形转化数学化归思想的表现形式就是数形结合.数形转化, 也就是有效结合函数解析式与函数图象,将抽象难以理 解的函数问题转为直观性强、可以观察的数学解题方法. 数学思维有许多常用的方法,而形和数与思维的结合具有数学学科的特殊性，是解决许多数学问题的有效方法. 抽象定量关系的可视化是直观的，易于理解和接受.将视觉数 字量化并将其转换为数学运算通常会降低难度,使数学知识更加容易理解.数形结合法的最大特点就是直观与简洁，同时 还更为形象，符合高中生的思维特点与接受能力与传统高中数学教学方法相比,数形结合方法更能吸引学生注意力，快 速、准确解决高中数学问题.例2已知两个函数：y 1 -3sin %,y 2 - ―^,%取值范围为2 - %(-1W %W5),两个函数所有交点横坐标的和为( ).解题思路 求函数y 1 - 3sin %和y 2 - 一在(- 1 W %2 - %W5)的交点和，最常用的方法就是构建方程组，求出方程 3sin % -^^的解.这个方程中有分式和三角函数,运算时难度较大,无法求出交点横坐标.如果利用图1画出函数 图象，可以直接观察到在区间内函数交点共有6个,6个 交点和点(2,0)形成3组对称点,也就是对称点的中点, 利用中点坐标公式直接求出横坐标的和.三、拓展延伸很多学生学习数学概念时,并未做出相应的延伸与 探究，满足于简单掌握概念的表面含义，没有主动对其进收稿日期：2020 -12 -05作者简介:傅永忠(1974. 10 -)，从事数学教学研究.—8—2021年第07期总第500期数理化解题研究行深层次的延伸，解题时无法灵活运用数学定理与概念.(3a-1)%+4a,%<1,、例3已知函数/(%)-'在区间lo g a%，%》1(-8,+s)为减函数，那么实数a的取值范围().A.(O’1)B.[o’；)C.[7’；)D.[7，1)解答这道题目时,很多学生受到各方面因素影响直接选择B.这种错误情况的出现,根本原因在于学生没有熟练掌握函数单调性的性质,没有对函数整体单调性进行考虑，实质就是学生没有理解函数单调性.当%》1时，函数/(%)-log a%单调递减=>0<a<1,当%<1时,/(%)-(3a-1)%+4a单调递减=a<：，此时’函数在定义域内呈现单调递减’当%-1时，(3a-1)%+4a M log a%=a M 1，得出最终答案；W a<1，因此C为正确答案•我们要注意一个问题，数学解题并不是简单地获得最终答案，而是可以从解题过程中逐步领会与掌握新的数学知识点，对自身数学知识体系进行完善.实际上，中学生最容易忽视反思这一步骤.大部分学生只觉得做题正确即可,但做题后需要总结与反思解题思路，检查与回顾整个思路，深入理解这类题目.此外，很多数学题都存在“一题多解”的情况，但一些学生并没有理会这一情况,并未寻求多角度解决问题，小知识点混淆,容易出现错误•这就需要学生继续整理与归纳，逐步形成完整的知识脉络,提高数学素养水平,大幅度提升数学解题效率.四、转化递推公式高中数学试题中最常见的一类习题就是特征方程，这类题型可以运用相应技巧解决，如a“+1-也+他j二阶递推式计算通项公式，可以将特征方程%2-p%+q进行快速求解如果方程本身存在两个不相同的实数根%1,%2,可以据此构造出两个等比数列：｛a”+1-%1a”｝与｛a”+1-%2a”｝，求出通项：｛a”+1-%1a”｝与｛a”+1-%2a”｝，并将a”+1，a”当做未知数求出相应的表达式，最后再用待定系数法求出a”的表达式•如，教师为激发学生数学学习兴趣,特意设计了一组数列，且该数列具有以下特点：例4已知数列为1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8, 16,…，可以发现,数列第一项为1,紧连两项为1,2,之后三项为1,2,4等•现知N为该数列的前”项和,且N为2的整数幂，求最小整数N为以下哪一个().A.440B.330C.220D.110解决这道数学题目时,常规解题方式首先要对其中的规律进行观察，与数列计算公式结合起来,通过计算大量数据得到最终的答案,对学生运算能力要求较高•但这时引入构造方程方法，可以将复杂问题简单化处理,这是培养学生数学思维能力与提高运算能力的有效途径.五、构造函数法高中数学日常习题练习，要熟练运用各类解题技巧•1.求导法高中数学解题时最常见的方法就是求导法,这个方法最常用于函数问题的解决.例5求函数/(%)二2%+4-%+3的值域.求解函数值域时,要充分利用函数的各类性质,如图象、单调性及奇偶性等，本题函数带根号,利用图象求解困难,可以借助求导的方式进行解答.2%+4M0,因为｛解得%M-2,函数/(%)的定义域为%+3M0,[-2,+8),所以厂(％)二1-—」.丿2%+42%+32丿2%+4%+3所以当广(%)>0时，有%>-4,所以函数(%)在定义区间[-2,+8)上单调递增/(%)mm-/(-2)--1.所以函数/(%)值域为[-1,+8)•2.构造法该法是高中解题时最常用的一种方法，主要用来构造方程、向量、坐标等，是解题的关键•学生需要凭借自己敏锐的观察力和经验寻找解题突破口,根据题目要求构造出合适的函数,满足解题需要,完成构造,正确解答.比如在学习三角函数时,主要锻炼学生对公式、定律的选取和应用，对其属性实现灵活转换,再配以三角定律，实现对学生数学建模能力的培养•数学教师要在课堂上引导学生利用三角函数知识解决数学问题.如,数学教师可以结合相关知识点设计相应数学问题：例6函数f(%)-sin2%-cos2%-23sin%cos%(%e R),求函数f(%)的最小正周期及单调递增区间•解决这道题目过程中，引导学生构建出相应的函数模型,并利用①-2,函数/(%)最小周期为罗,求出函数单调递增区间.总之，高中数学解题中应用化归思想可以丰富学生的解题思路，推动学生数学知识体系的建设•化归思想的应用，可以简化解题过程,提高数学解题效率，为类似研究提供借鉴.参考文献：[1]苏昀昕.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].学周刊，2019(32)：103.[2]于美芳.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[J].数学学习与研究，2019(13)：134.[3]吴必潜.高中数学解题中的化归方法及其教学模式初探[J].数学学习与研究，2019(01)：130.[责任编辑:李璟]—9—。
浅谈求数列通项公式中的构造与化归思想
＋ ０ （ ≥１ ， 。 ＜ ｎ ） 求
） ，
数列 ｛ ｝ ｎ 的通 项 公 式 ． 解 析 从 题 目条 件 中 转 化 得 １ 。 ＝ 一 ２
． 转 化 为 基 本 列 一 ， 用 即 利
解析 由 ：
＋ ， ： ｎ 令
，
！ 得旦： ． 一 三
％ ｂ
（一 ： ， ６＝ 一 则 ６ ＝２ｂ 即 构 １ 。） 令 １。 ，
数 列 ． 化 为 一 阶 线 性 递 推 数 列 ， 而 转 从
易 求 ．再 如 ， 已知 数 列 ｛ ｝ ，ｌ １ ｌ 中 ａ＝ ， ＝ ＋
１
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．
设ｃ ：— ５
２ ｌ，数 ｛的 ：一 求 列６ ６— ２ ｝
，
试 研 试 探 ． 题 究） 题 究 ……… …… 一 … 一 － 数学教学通讯（ ． 教师版 ）
基 ＝ 形 ＿ ’利 本列 如』 ， ） ‘ 用
ｌ ０＝ （ｔ Ⅱ ｌ ０ ｆ≠０） ，
型 ． 上 方 法 同 样 适 用．例 如 在 数 列 ｛ ｝ 以 ａ ｎ
中 ， １ １ ｌ￣ ｎＣ （ ｎ １ （ Ｎ ， 口 ， ￣ ａ＋ ２ ＋ ） ｎ∈ ） 其 ＝ － 中实 数ｃ ≠０ 求 数 列 ｛ 的通 项 公 式． ， ％｝
ｐａ ＋ ￣ｑ
即
（ｒ ， ｐ ≠０ ％≠０ ， 类 数 列 求 通 项 公 式 的 ）此 处 理 方 法 为 两 边 取 倒 数 或 两 边 同 时 除
构 造 新 数 列 将 数 列 转 化 为 两 个 基 本 列
的 问 题．
（ ）ｎＣ ． ｎ一１ Ｃ＋
以 ａ， 化 为 类 型 一 ， 构造 新 数 列 求 ｎ转 再
投 箱 取 ｖ）６脚ｍ ， … 一 … 数学教学通 讯（ 师版 ） 稿邮 ＠ ｉ１３ … ｆ ＝ ， … 教
浅谈化归与转化思想专题复习——以数列问题为例
1“. 自主学习”阶段。分为两步：即“目
标导学”和“自学生疑”。利用自习课的时 间，借助导学案把学习任务呈现给学生， 学生先独学，认真阅读教材，完成“自学生 疑”中的相关内容，再在小组内讨论独自 不能解决或生成的问题。
究。学生动脑、独立思考尝试解答，并参与
编题，加深学生对此类题型的印象。合理
转化，渗透定义法、加 K 法、倒数法、叠加
法、累乘法等。
例 2．设 Sn 是数列{an}的前项和，且 an+1=2Sn，a1=-1，求 Sn
追问 1. 若把条件 an+1=2Sn 改为条件 an+1=SnSn+1 ，其他条件不变，怎么转化？
的等比数列问题进行处理。这符合学生的
认知规律，激发学生探索的热情。让学生
全面看待问题，学会合理转化。
二、问题探究
例 1.以下递推公式怎么转化？
（1）an+1=4an+2n
（2）an+1=
4an an+4
学生自编题目如下：
（3）an+1=an+
1 n（n+1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）an+1=an·n+n1
构建研究的整体框架，再展开具体研
52 数学教育 杂匀哉载哉耘允陨粤韵再哉
摘要：在当前能力立意和素养立意的 高考命题中，对数学思想方法的考查日益 突出，化归与转化思想是数学思想的精 髓，是历年高考考查的重点。本文以数列 为例，从四个方面阐述化归与转化思想在 高三数列专题复习中的应用，以期达到串 “点”成“线”的目的，促进学生的发展，切 实提高复习的有效性。
高中数学教学中化归思想的应用案例分析(北师大版)
高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）【摘要】本文主要探讨了高中数学教学中化归思想的应用案例分析。
在通过背景介绍和研究目的为读者提供了研究的背景和目的。
在通过具体案例分析，展示了化归思想在解决直线与平面的交点问题、数列求和问题、概率问题等问题中的应用，并探讨了教学实践中的启示。
在结论部分对本文进行总结分析，并展望了未来高中数学教学中化归思想的发展方向。
通过本文的研究，可以更深入地理解化归思想在高中数学教学中的重要性，为教学实践提供理论支持和启示。
【关键词】高中数学教学，化归思想，应用案例分析，直线与平面的交点，数列求和，概率问题，教学实践，启示，总结分析，未来展望1. 引言1.1 背景介绍随着教育教学改革的不断深化，高中数学教学也在不断完善和创新。
化归思想的应用成为了当前数学教学的一个热点话题。
通过案例分析，可以更好地了解化归思想在高中数学教学中的实际应用，从而为教师提供更好的教学方法和教学思路。
本文将通过具体的案例分析，探讨化归思想在高中数学教学中的应用，从而为教育教学实践提供参考和启示。
1.2 研究目的研究目的是通过对高中数学教学中化归思想的应用案例进行分析，探讨化归思想在数学教学中的实际作用和效果。
通过深入研究不同领域的案例，揭示化归思想在解决不同类型问题时的普遍性和灵活性，为教师在教学实践中运用化归思想提供参考和借鉴。
通过对教学实践中的启示进行总结和分析，为提高学生的数学学习效果和教学质量提供有益的建议和指导。
通过本研究，可以进一步推动高中数学教学的改革和创新，促进学生数学思维能力的培养和提升，为数学教育的发展贡献力量。
2. 正文2.1 化归思想在高中数学教学中的应用化归思想在高中数学教学中的应用是非常重要的，它能够帮助学生更好地理解和解决数学问题。
化归思想的核心是将一个复杂的问题化简为一个简单的问题，然后通过逻辑推理和数学方法来解决。
在高中数学教学中，化归思想常常被运用于解决各种不同类型的数学问题，包括几何、代数、概率等方面。
试析化归思想在初中数学教学中的应用
试析化归思想在初中数学教学中的应用化归思想是数学中的一种重要思维方式，对于初中数学教学具有重要的指导意义。
化归思想是指将一个问题逐步归约为更加简单、易于解决的问题的方法，通过对问题的逐步分解和递归求解，最终达到解决整个问题的目的。
在初中数学教学中，化归思想的应用可以帮助学生提高问题解决能力、培养逻辑思维能力、促进数学知识的联系和迁移，同时也可以激发学生对数学的兴趣，使数学教学更加生动有趣。
本文将从化归思想的含义、在初中数学教学中的应用及具体案例等方面进行分析，以期更好地探讨化归思想在初中数学教学中的实际应用。
一、化归思想的含义化归思想源自于数学的证明方法，它是通过将一个复杂的问题逐步简化为较为简单的问题，并通过类似的方法递归求解，最终得出对整个问题的解决。
化归思想要求对问题进行逐步分解，将一个看似无法解决的复杂问题分解为一系列相对简单的子问题，然后逐个解决这些子问题，最终再将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
这种思维方式可以帮助学生提高问题分解和归纳能力，提高解决复杂问题的能力。
化归思想也符合数学中的归纳法原则，通过对特殊情况的分析和归纳，得出一般情况的结论。
在初中数学中，化归思想的应用体现在如何将一个复杂的问题化归为简单的问题，并通过数学方法逐步求解。
这既需要学生具备扎实的数学知识，又需要培养学生较强的逻辑思维和解决问题的能力。
1. 数列问题中的化归思想应用在初中数学学习中，学生会接触到一些数列问题，如等差数列、等比数列等。
这些数列问题常常需要通过找规律、递归等方法进行求解。
在解决数列问题时，化归思想可以帮助学生将一个复杂的数列问题化归为计算前n项和或通项的简单问题，从而提高学生解决数列问题的能力。
对于一个等差数列，学生可以通过递推公式将前n项和的计算化归为一个简单的求和问题，然后再求解之，最终得出原等差数列的前n项和。
通过以上几个方面的案例可以看出，化归思想在初中数学教学中的应用是非常广泛的。
高中数学教学中化归思想的应用案例分析(北师大版)
高中数学教学中化归思想的应用案例分析（北师大版）化归思想是数学中非常重要的一个概念，在高中数学教学中有着广泛的应用。
下面，我们以北师大版高中数学教材为例，分析一下其中的一些应用案例。
已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x)+1，求证f(x)=x。
这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求解。
我们可以取n为任意正整数，然后可以得到f(x+n)=f(x)+n。
接下来，我们可以通过数学归纳法来证明f(x)=x。
这个例子就很好地展示了化归思想在函数方程中的应用。
已知数列{a_n}的通项公式为a_n=n^2-n+1，求证{n(n+1)a_n}为等差数列。
在这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求证。
我们可以得到{n(n+1)a_n}=[n(n+1)][n^2-n+1]=n(n+1)(n^2-n+1)。
接下来，我们可以将{n(n+1)(n^2-n+1)}进行化简，得到{n(n+1)(n^2-n+1)}=[(n^2+n)(n^2-n+1)]=[(n^2+n)(n^2+n)-(n^2+n)]=[(n^2+n)^2-(n^2+ n)]-[n^2+n]=[(n^2+n-1)^2-n^2]-(n^2+n)=[(n^2+n-1)^2-(n^2+n)], 由此可知{n(n+1)(n^2-n+1)}是一个等差数列。
这个例子展示了化归思想在数列问题中的应用。
最后是在数和问题中的应用。
数和是高中数学中的一类问题，也可以通过化归思想来进行求解。
在北师大版高中数学第二册的《数和》一章中，有一个案例是这样的：已知正整数n的各位数字之和为15，求n的最小值。
在这个例子中，我们可以通过化归的思想来进行求解。
我们可以假设n的各位数字依次为a_1，a_2，...，a_m。
由于n的各位数字之和为15，所以有a_1+a_2+...+a_m=15。
接下来，我们可以通过数学推导来得到n的最小值为105。
这个例子展示了化归思想在数和问题中的应用。
数列问题重在“归”——化归、归纳
(1)证明 当 n＝1 时，S2＝λS1＋λ，即 a2＝λ2，aa21＝λ， 当 n≥2 时，Sn＝λSn－1＋λ，an＋1＝Sn＋1－Sn＝λ(Sn－Sn－1)＝λan，所以aan＋n 1＝λ. 故数列{an}是首项为 λ，公比为 λ 的等比数列.
n（n＋1）
(2)解 根据(1)得 an＝λn，所以 a1·a2…an＝λ1＋2＋…＋n＝λ 2 ， 从而 bn＝1nlogλλn（n2＋1）＝n＋2 1，
@《创新设计》
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@《创新设计》
探究提高 1.(1)归纳：通过条件归纳出 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝n－4 1(n≥2)， 进而得出{an}的通项公式. (2)化归：把数列的通项分拆，利用裂项相消法求和. 2.破解策略：“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思 想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基 本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思 想，将其转化为这两种数列.
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@《创新设计》
(2)由(1)得 bn＝24nn＋an1＝2n1＋1，(化归) 所以 bnbn＋1＝（2n＋1）1（2n＋3）＝122n1＋1－2n1＋3， 故 Tn＝1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3＝1213－2n1＋3＝6nn＋9.
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数列问题重在“归”——化归、归纳
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@《创新设计》
等差数列与等比数列是两个基本数列，是一切数列问题的出发点与归宿.对于不是等差 或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归 纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明.由于数列 是一种特殊的函数，也可根据题目的特点，将数列问题化归为函数问题来解决.
运用化归思想求二阶线性递推数列通项
运用化归思想求二阶线性递推数列通项陈立章;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2017(000)007【总页数】1页(P1)【作者】陈立章;童嘉森【作者单位】山东省东平高级中学;北京市第八十中学【正文语种】中文将一个问题由难化易、由繁化简的过程称为化归,它是转化和归结的简称．对于求二阶线性递推数列通项问题，目前采用的多为特征方程法,普通高中生虽然没有接受过类似的知识,但是可以通过化归思想,用最基本的知识求二阶线性递推数列通项．对于二阶线性递推数列{an}:a1=α,a2=β,an=pan-1+qan-2.我们先对其进行如下整理:设an-ran-1=s(an-1-ran-2),即因为an=pan-1+qan-2，所以这样原数列就被化归成了一个等比数列,an-ran-1=s(an-1-ran-2),an-1-ran-2=s(an-2-ran-3),an-2-ran-3=s(an-3-ran-4),……a3-ra2=s(a2-ra1).于是得到即这就意味着只需知道p、q以及前2项a1=α、a2=β，即可求的二阶线性递推数列通项．斐波那契数列是最典型的二阶线性递推数列,我们可以用它来验证该通项的正确性．在斐波那契数列中,a1=a2=1,an=an-1+an-2,即p=q=1,故知解得与r的解可以互换,因为s与r是齐次的).于是结果正确,说明该通项正确．这就意味着,普通高中生即使没学过特征方程,只要有扎实的数学功底,也是可以求出二阶线性递推数列通项的.综上,对于二阶线性递推数列{an}:a1=α,a2=β,an=pan-1+qan-2的通项可用化归思想求得已知p、q以及前2项a1=α、a2=β，即可利用该公式求得二阶线性递推数列通项)．变式在数列{an}中,a1=0, a2=1, an+2=an+1+6an,求通项an.根据式①,有解得或者若则于是于是其通项为若取则于是于是其通项为显然这2个结果是一样的.当然本题读者也可以利用二阶线性递推数列的特征方程,求出特征根的方法计算出同样的结果,但这个方法超出了中学课本的范围,故笔者认为本文的方法更接中学生的“地气”.。
巧用化归思想求递推数列通项公式
巧用化归思想求递推数列通项公式
卞宏根
【期刊名称】《中学生数理化（学研版）》
【年(卷),期】2011(000)002
【摘要】近几年来，数列方面的题目在高考和高考模拟试卷中频频出现，之所以如此，是因为数列与其他知识联系较多，在解决一些数列问题时用到的数学思想方法也较多，出这样的题目可以较好地考查学生的数学能力．求递推数列的通项公式是数列问题中的一类基本而重要的题目，它常常是许多数列综合题中的一个关键部分，它不仅类型多，而且解题方法灵活多变．我们仔细观察，不难发现，求递推数列的通项公式很多情况下实际上可以化归为等差数列或者等比数列的问题去解决．下面是笔者归纳总结出的三类题目和解题方法，希望对大家学习数学能有所帮助．
【总页数】1页(P16)
【作者】卞宏根
【作者单位】江苏省宝应县安宜高级中学
【正文语种】中文
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5.紧扣递推公式,巧用待定系数法求四类数列通项公式
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浅谈“化归与转化思想”在高中数学解题中的应用
龙源期刊网 浅谈“化归与转化思想”在高中数学解题中的应用作者：詹依婷来源：《文理导航》2017年第02期【摘要】在高中数学的学习过程中，总会出现各种各样的数学问题，掌握解题方法从而高效的解题是数学学习的目标，但是数学习题是无止境的。
因此我们高中生只有把握精准的数学解题方法才能够解决不同的多样的数学问题。
在高中数学的学习阶段，我们必须掌握化归转化思想，例如数形结合、等价代换等，熟练运用化归思想解题是高中阶段数学学习的良好途径。
【关键词】高中数学；解题；转化与化归化归和转化思想是高中阶段数学解题的精髓思想。
在我们的高中学习中，数学课程具有起点较高、难度较大、课容量较大以及课时较紧张的特点，因此若是不能很好地掌握并运用化归思想及转化思想，很可能出现跟不上教师的课堂进度的状况，因此我们要更加注重数学思想方法的学习，以便提升自身的数学水平和解题能力。
1.转化思想的解题运用转化思想在高中的数学中有着十分重要的地位。
所谓转化，就是把问题元素从一种形式转移到另一种形式的过程，可以是图文转化，也可以是向符号的转化，我们在高中数学的解题过程中会十分频繁的用到转化方法。
例如，在三角函数问题中，我们可以把一些复杂的陌生的函数关系转化为更加简单地熟悉的三角函数。
例如，若直线3a+4b+z=0与圆的参数方程，x=cosα+1，y=sinα-2没有交点，则直线方程中实数z的取值范围是多少？一般的思想需要通过大量的计算，并且在计算过程中还很容易出现失误，但是如果运用代入的思想，可以将一个方程带入另一个方程，从而得到3cosα+4sinα=-z+5，并且题目中又有已知条件，两个曲线并没有交点，通过计算可以得到4sinα+3cosα的绝对值≤5，因此通过解不等式很容易可以算出z的取值为大于10或小于0。
除了这样的简单带入思想之外，还要注意有关三角函数的转化公式，例如诱导公式、两角和差公式、倍角公式、半角公式，和差化积公式、积化和差公式。
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化归思想在数列通项求解中的应用
摘要：数列是高中数学的重要内容，求数列通项公式又是数列的重要内容，会求数列的通项公式是学好数列知识的基本要求，也是解答数列问题的前提。
本文就高中数列通项公式求解中若干种不同形式的类型化归为等比数列类型进行讨论。
关键词：数列；通项公式；划归思想
高中数列通项公式的求解常可以转化为等差数列和等比数列两种类型，本文就转化为等比数列的若干种常见类进行讨论。
所谓等比数列即：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
由等比数列的定义可知，要转化为等比数列最为关键的是转化成后一项与前一项的比要是同一个“常数”。
类型1 递推公式为
解法：把原递推公式转化为：，利用叠乘法求解。
例1. 已知数列满足，求。
解：∵
∴
此类型粗一看，比值并不是一个常数，但细看会发现比值还是有一定的规律性的。
故也可以化归为等比数列类型，利用等比数列的本质思想求解。
类型2 递推公式为（其中p，q均为常数，）。
解法：把原递推公式转化为：其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
例2. 已知数列满足，求。
解：∵，则，
令，则，且
∴
∴
此类型粗看多了一个常数，但两边只要用待定系数法“凑”上一个适当的常数，就可以化归为等比数列，这种类型也是最为常见的类型。
类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。
解法：该类型较类型3要复杂一些。
一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。
例3. 已知数列满足，求。
解：由，两边同除以得
令，则，且，
令，得
以下的解法同例3（略）
此类型和类型3具有相似性，只要把后面的数转化为一个常数即和类型3相同了。
因此只要理解类型3的化归为等比数列的思想，也就不难对该类型进行转化了。
类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。
解法：两边取倒数得，引入辅助数列（其中），得：，再应用类型3的方法解决。
例4. 已知数列满足，求。
解：由，两边取倒数得
令，则，
由得，
以下的解法同例3（略）
此类型不容易找到突破口，难就难在如何想到两边取倒数。
类型5 递推公式为（）。
解法：两边取对数转化为类型3，再应用类型3的方法解决。
例5. 已知数列满足，求。
解：由两边取对数得
令，则，由得
以下的解法同例3（略）
此类型不容易找到突破口，难就难在如何想到两边取对数。
以上五种不同类型的数列递推式均不是真正的等比数列，但只要理解等比数列的本质思想，再进行适当的转化，都可以利用等比数列的知识进行求解。
注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。