大学物理实验教案-驻波法测振动频率

实验名称：驻波法测振动频率 实验目的：
1、求出弦线线密度；
2、观察弦线上的驻波；
3、绘出弦线上横波波长与张力的关系；
4、测出弦振动的频率。

实验仪器：
电振音叉（频率约为Hz 100） 弦线 滑轮 砝码托 砝码（5个） 钢卷尺 螺丝刀 电子天平
实验原理：
1、 弦线上横波传播速度（一） 如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉的一个叉子顶端上，另一端绕过滑轮挂上砝码。

闭合电源K 后，调节音叉断续器的接触点螺丝k '，使音叉维持稳定的振动，并将其振动沿弦线向滑轮一端传播，形成横波。

当横波到达B 点后产生反射，由于前进波与反射波能够满足相干条件，在弦线上形成驻波，而任意两个相邻的波节（或波腹）间的距离都为波长的一半。

适当调节砝码重量或弦长（音叉端到滑轮轴间的线长），在弦上将出现稳定的强烈的振动，即弦与音叉共振（弦振动频率应当和音叉的频率f 相等）。

弦共振时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n 个半波区，则
n l 2=λ，弦上的波速v 则为： 图1
f v λ= （1）
即：f n
l
v 2= （1’） 2、 弦线上横波传播速度（二）
若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取ds AB =的微元段加以讨论（图2）。

设弦线的线密度（即单位长质量）为ρ，则此微元段弦线ds 的质量为ds ρ。

在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为1T F 、2T F ，其方向为沿弦线的切线方向与x 轴交成1α、2α角。

由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作
用在微元段ds 上的张力的x 分量应该为零，即：0cos cos 1122=-ααT T F F （2） 又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为：
221122sin sin dt
y
d ds F F T T ραα=- （3）
对于小的振动，可取dx ds ≈，而1α、2α都很小，所以1cos 1≈α，1cos 2≈α， 11sin ααtg ≈
，
x
y
图
2
22sin ααtg ≈。

又从导数的几何意义可知x dx dy tg ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1α， dx
x dx dy tg +⎪
⎭⎫
⎝⎛=2α，式（2）将成为012=-T T F F ，即T T T F F F ==21表示张力不随时间和地点而变，为一定值。

式（3）将成为： 22dt y d dx dx dy F dx dy F x
T ds x T ρ=⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （4）
将dx x dx dy +⎪⎭⎫ ⎝⎛按泰勒级数展开并略去二级微量，得： dx dx y d dx dy dx dy x
x dx x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+22
将此式代入式（4），得： 2222dt y d dx dx dx y d F x
T ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即：x T
dx y d F dt y d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2222ρ （5） 将式（5）与简谐波的波动方程22
222dx
y d v dt y d =相比较可知：在线密度为ρ、张力为T F 的弦线上，横波传播速度v 的平方等于： ρ
T
F v =2
即： ρ
T
F v =
（6）
3． 弦振动规律
将式（1）代入式（6），得出： ρ
λT
F f v =
= 即： ρ
λT
F f
1
=
（7）
又将式（1’）代入式（6），整理后可得： ρ
T
F l n f 2=
（8）
式（7）表示，以一定频率f 振动的弦，其波长λ将因张力T F 或线密度ρ的变化而变化的规律。

式（8）又表示出对于弦长l 、张力T F 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于
3,2,1=n 的 321,,f f f 等多种频率，1=n 的频率称为基频，3,2=n 的频率称为第一、第二谐频，但基频较
其他谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定它的音色。

振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是弦线上存在，而是普遍的现象。

但基频相同的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同，所以音色不同。

例如具有同一基频的弦线和音叉，其音调是相同的，但听起来声音不同就是这个道理。

当弦线在频率为f 的音叉策动下振动时，适当改变T F 、l 和ρ，则可能和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三、…谐频，这时弦上出现 4,3,2个半波区。

实验内容
1、 测量弦的线密度
将所用弦线取下来，用钢卷尺测出其长度，在分析天平上称其质量m ，求出线密度ρ。

或由（8）计算出线密度ρ。

2、 观察弦上的驻波
根据音叉频率f 和已知线密度ρ，求弦长在20~30cm 附近，若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力?=T F 参照上述计算的FT 值，选适当的砝码挂在弦上（弦长在130cm 左右），给电振音叉的线圈上通以Hz 50，1~2V 的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下的观测：
（1） 使弦长从20cm 左右开始逐渐增加，当在4,3,2,1=n 个半波区几种情况下，弦共振时，分别测出弦长并算出波长λ。

（2） 使弦长l 大于1=n 共振时的弦长，小于2=n 共振时的弦长，从这种情况振动的弦上，测出波长λ，
并和上面的测量相比较（注意，此时音叉端不是弦的节点）。

3、 弦上横波的波长与张力的关系 增加砝码的质量，再细调弦长使出现共振，测出弦长l ，算出波长λ。

重复测量取平均值。

T F 值改变6~8次。

将式（7）两侧取对数，得： T F f ln 21
1ln ln +⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=ρλ （9） 即λln 与T F ln 间是线性关系。

利用测量值，作T F ln ~ln λ图线，求出图线的纵轴截距和斜率，将截距和
)1
ln(
ρ
f 相比较，斜率和21
相比较，说明其差异是否过大？
4、 比较两种波速计算值
从以上测量中，选取合适的数据，代入式（1）和式（6）中，计算出理论上应当相等的两个速度值，说明其差异是否显著？
从测量记录中，选一组数据代入式（8），计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频率的差异是否显著。

实验数据记录
1. 波长与张力的关系
弦线密度m kg /1018.14
-⨯=ρ， 重力加速度2
/795.9s m g =，音叉频率Z H f =
最小二乘法求斜率和截距。

比较斜率b 是否等于1/2。

截距a 是否等于 =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛ρf 1ln 实验数据处理
1、作图： λln ～T F ln 图
2、利用上表中的有关数据，最小二乘法求出斜率和截距，与公式（9）中的斜率和截距比较，说明差异是否过大。

3、用公式（1’）、（6）两种方法算出波速。

4、算出振动频率并与仪器标牌上的标称值相比较。