高中数学_1[1].4.1_正弦函数、余弦函数的性(最值)
人教版高一数学必修四第一章正、余弦函数的单调性与最值
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝12sinx 的最大值为 1.(
)
(2)存在 x∈[0，2π]，满足 cosx＝ 2.( )
(3)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )
答案：(1)× (2)× (3)×
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第一章 三角函数
在下列区间中，使函数 y＝sinx 为增函数的是( )
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比较三角函数值的大小
第一章 三角函数
比较下列各组数的大小． (1)sin1107π 与 sin1117π； (2)cos－78π与 cos67π； (3)sin194°与 cos160°.
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第一章 三角函数
【解】 (1)因为函数 y＝sinx 在π2，π上单调递减， 且π2＜1107π＜1117π＜π，所以 sin1107π＞sin1117π. (2)cos－78π＝cos78π， 因为 0＜67π＜78π＜π，y＝cosx 在(0，π)上是减函数， 所以 cos78π＜cos67π.
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第一章 三角函数
正、余弦函数的单调性
求下列函数的单调递减区间： (1)y＝12cos2x＋π3； (2)y＝2sinπ4－x.
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第一章 三角函数
【解】 (1)令 z＝2x＋π3，而函数 y＝cosz 的单调递减区间是[2kπ， 2kπ＋π](k∈Z)． 所以当原函数单调递减时，可得 2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，解 得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)． 所以原函数的单调递减区间是kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．
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(2)y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4.
第一章 三角函数
令 z＝x－π4，则 y＝－2sinz，求 y＝－2sinz 的单调递减区间，即求
正、余弦函数奇偶性、单调性、最值(最新)
例3， 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最 大值、最小值时自变量x的集合.
（1）y=cosx＋1，x∈R； （2）y=－3sin2x，x∈R.
[例 4]
(12 分)求下列函数的值域：
π π (1)y＝cos(x＋ )，x∈[0， ]； 6 2 (2)y＝cos2x－4cos x＋5.
[思路点拨] π (1)先求 x＋ 的范围，再由 y＝cos x 的图像求出值域； 6 (2)可以令 t＝cos x ∈[－1，1]，转化为二次函数求值域．
y 探究（二）：正、余弦函数的最值
1
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
y -1
1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
-3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
思考 1 ：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦 存在 函数是否存在最大值和最小值？ _________ 若存在，其最大值为_____ 1 和最小值为_____. -1
2k , k Z 思考2：正弦函数y=sinx当且仅当x=_________ 2
2k , k Z 时取最 时取最大值 1, 当且仅当 x=__________ 2
小值-1
y
1 -3
5 2
余弦曲线
2
-2
3 2
-
2
o
-1
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是它们非常重要的性质之一。
在本文中，我们将详细讨论正弦函数和余弦函数的单调性，希望能帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的特性。
让我们来回顾一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作sin(x)，它表示的是单位圆上一个点的纵坐标，即sin(x) = y。
余弦函数记作cos(x)，它表示的是单位圆上一个点的横坐标，即cos(x) = x。
正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集合R，值域是[-1, 1]。
接下来，我们将分别讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
首先讨论正弦函数的单调性。
在定义域内，正弦函数的单调性与其自变量的取值有关。
我们知道，在单位圆上，正弦函数表示的是一个点的纵坐标，而单位圆的纵坐标是在[-1, 1]之间变化的。
我们可以得出结论：正弦函数的单调性是周期性的。
具体地说，正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的。
这是因为在单位圆上，随着自变量从0增加到π/2，正弦函数的取值是逐渐增大的；而当自变量从π/2增加到π时，正弦函数的取值则逐渐减小；接着在从π增加到3π/2的过程中又是逐渐增大的；最后在从3π/2增加到2π时，又是逐渐减小的。
我们可以得出结论：正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的，是一个周期函数。
总结一下，正弦函数和余弦函数的单调性都是周期性的。
在每个周期内，正弦函数都是先增后减或者先减后增的；而余弦函数则是先减后增或者先增后减的。
这些性质使得正弦函数和余弦函数在数学建模、物理学、工程等领域中有着广泛的应用。
掌握正弦函数和余弦函数的单调性是非常重要的。
希望本文的讨论能够帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质，为进一步的学习和研究打下良好的基础。
正弦函数、余弦函数的性质(全)
当且仅当 x 2k， （ k Z） 时 ， (cos x)min 1.
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
ycox(sxR)
例题
求使函数
y3cos2x( )
取得最大值、最小值的
2
自变量的集合，并写出最大值、最小值。
y
1
3 5 2
而在每个闭区间[ 2k , 3 2k ](k Z )上都是
2
2
减函数，其值从1减小到－1。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
当x在区间 [3 , 2 ]、[，0]、[，2 ][3 , 4 ] 上时，
4
5 6 x
y=cosx (xR)
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
注：1正、T弦要是函非数零常是数周期函数，2k(kZ且 k0)，最小
其值从 1减至-1
五、余弦函数的单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
o - 2
2
-1
x - … …
2
cosx -1
0
(最新整理)正弦函数余弦函数的单调性奇偶性最值
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知识预览
1．正、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
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∴cosπ8<cosπ9，即
17π 37π cos 8 <cos 9 .
2021/7/2632人教A版必Fra bibliotek四·新课标·数 学
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正、余弦函数的最值问题 【例 4】 求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝3＋2cos(2x＋π3)； (2)y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈[π3，23π]； (3)y＝ssiinnxx－ ＋12.
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规律归纳 关于三角函数值大小比较的方法 (1)比较同名三角函数值的大小，关键是考查同一单调区间 上的同名三角函数的单调性，由自变量的大小确定函数值的大 小． (2)比较不同名的三角函数的大小，应先根据诱导公式化为 同名三角函数，然后再进行比较．
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2.求函数 y＝3cos(3x－4π)的单调区间． 解：令 2kπ＋π≤3x－π4≤2kπ＋2π，则 2kπ＋54π≤3x≤2kπ ＋94π，即23kπ＋51π2≤x≤23kπ＋34π，于是函数的单调递增区间 为[23kπ＋51π2，23kπ＋34π]，k∈Z，同理可求得其单调递减区间 为[23kπ＋1π2，23kπ＋51π2]，k∈Z.
【高中数学必修四】第1章 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)学习目标 1.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．知识点一 正弦、余弦函数的定义域、值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线． 正弦曲线：余弦曲线：可得如下性质：由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是[－1,1]． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ，有：当且仅当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1.对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ，有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1. 知识点二 正弦、余弦函数的单调性思考1 观察正弦函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π2的图象．正弦函数在⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？答案 观察图象可知：当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考2 观察余弦函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象．余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 答案 观察图象可知：当x ∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？答案 y ＝sin x 的增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，减区间为⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z . y ＝cos x 的增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，减区间为[2k π，π＋2k π]，k ∈Z . 梳理 解析式y ＝sin xy ＝cos x图象值域[－1,1] [－1,1]单调性在⎣⎡ －π2＋2k π，π2 ]＋2k π，k ∈Z 上递增，在⎣⎡ π2＋2k π，3π2＋ ]2k π，k ∈Z 上递减 在[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z 上递增， 在[2k π，π＋2k π]，k ∈Z 上递减 最值当x ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x＝－π2＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－1当x ＝2k π，k ∈Z 时，y max ＝1；当x ＝π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－11．正弦函数在定义域上是单调函数．( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数． 2．正弦函数在第一象限是增函数．( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝⎛⎭⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝⎛⎭⎫－5π3>sin π6. 3．存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4．余弦函数y ＝cos x 在[0，π]上是减函数．( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确．类型一 求正弦、余弦函数的单调区间 例1 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z .因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的单调递增区间，即求sin z 的单调递减区间， 即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 反思与感悟 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．跟踪训练1 求函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递增区间． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 解 令－π＋2k π≤2x －π6≤2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .类型二 正弦、余弦函数单调性的应用命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与cos 156°； (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上是增函数， ∴sin 16°<sin 66°，从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 cos 1>cos 2>cos 3解析 由于0<1<2<3<π，而y ＝cos x 在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3. 命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围例3 已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上是增函数，求ω的取值范围． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 解 由－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(k ∈Z )，ω>0，得－π2ω＋2k πω≤x ≤π2ω＋2k πω，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω，k ∈Z . 根据题意，得⎣⎡⎦⎤－π3，π4⊆⎣⎡⎦⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k πω(k ∈Z )， 从而有⎩⎨⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4，ω>0，解得0<ω≤32.故ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，32.反思与感悟 此类问题可先解出f (x )的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．跟踪训练3 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊈⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D.类型三 正弦、余弦函数的值域或最值例4 求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6的值域． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，则f (x )可化为y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎫t ＋122－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以当t ＝12时，y min ＝1，当t ＝1时，y max ＝72，故f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1，72. 反思与感悟 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如y ＝sin(ωx ＋φ)的三角函数，令t ＝ωx ＋φ，根据题中x 的取值范围，求出t 的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y ＝sin t 的最值(值域)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)的三角函数，可先设t ＝sin x ，将函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)化为关于t 的二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． (3)对于形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )的函数的最值还要注意对a 的讨论．跟踪训练4 已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－π3≤x ≤2π3，∴－32≤sin x ≤1.若a ＝0，不满足题意．若a ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.故a ＝12－63，b ＝－23＋123或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.1．函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．－2 D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1,1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2. 2．函数y ＝sin 2x 的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[]π＋2k π，3π＋2k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )． 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 (－π，0]解析 因为y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π<a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．5．求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 解 ∵－1≤sin 12x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z 时，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }； 当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的方法把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用方法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围.一、选择题1．当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3有( ) A ．最大值1，最小值－1 B ．最大值1，最小值－12C ．最大值2，最小值－2D ．最大值2，最小值－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值 答案 D解析 因为－π2≤x ≤π2，所以－π6≤x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2. 2．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 A3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 C解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.∴由正弦函数的单调性，得sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.4．(2017·九江高一检测)y ＝2sin xsin x ＋2的最小值是( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 B解析 由y ＝2sin x sin x ＋2＝2－4sin x ＋2，当sin x ＝－1时，y ＝2sin xsin x ＋2取得最小值－2.5．(2017·全国Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为() A.65 B ．1 C.35 D.15考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 A 解析 ∵⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋⎝⎛⎭⎫π6－x ＝π2， ∴f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤65. ∴f (x )max ＝65. 故选A.6．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的最大值与最小值之和等于( ) A.4π3 B.8π3C ．2πD ．4π 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 C解析 作出y ＝sin x 的一个简图，如图所示，∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－1，12， 且sin π6＝sin 5π6＝12，sin 3π2＝－1， ∴定义域[a ，b ]中，b －a 的最小值为3π2－5π6＝2π3， 定义域[a ，b ]中，b －a 的最大值为2π＋π6－5π6＝4π3， 故可得，最大值与最小值之和为2π.7．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的值可为( )A.32B.23 C ．2 D ．3考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 A解析 由题意知，T 4＝π3，即T ＝4π3，4π3＝2πω， ∴ω＝32. 二、填空题8．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________．考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用答案 sin 3<sin 1<sin 2解析 ∵1<π2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2.9．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3， ∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 10．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断答案 ⎣⎡⎦⎤2π3，π解析 原式可化为y ＝－13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， ∵x ∈[0，π]，∴－π6≤x －π6≤5π6. 要求函数的单调递增区间，只需求f (x )＝13sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调递减区间． 则π2≤x －π6≤5π6， 即2π3≤x ≤π. ∴y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，π. 11．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________. 考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数的最大值与最小值答案 34解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，即0≤x ≤π3，且0<ω<1， ∴0≤ωx ≤ωπ3<π3， ∵f (x )max ＝2sinωπ3＝2， ∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4， 即ω＝34. 三、解答题12．求下列函数的单调递增区间．(1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. 考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z .∴y ＝1－sin x 2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)要求函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间，即求使y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3>0且单调递减的区间．∴2k π＋π2≤x 2－π3<2k π＋π，k ∈Z ，整理得4k π＋5π3≤x <4k π＋8π3，k ∈Z .∴函数y ＝12log sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫4k π＋5π3，4k π＋8π3，k ∈Z .13．求下列函数的最大值和最小值．(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；(2)f (x )＝－2cos 2x ＋2sin x ＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值题点 正弦函数、余弦函数最值的综合问题解 (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，由函数图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫－π6，sin π2＝⎣⎡⎦⎤－12，1.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值分别为1，－12.(2)f (x )＝－2(1－sin 2x )＋2sin x ＋3＝2sin 2x ＋2sin x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋12.因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6，所以12≤sin x ≤1.当sin x ＝1时，y max ＝5；当sin x ＝12时，y min ＝52.所以，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π6上的最大值和最小值分别为5，52.四、探究与拓展14．已知奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则() A ．f (cos α)>f (cos β) B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (sin α)>f (cos β)D ．f (sin α)<f (cos β)考点 正弦函数、余弦函数的单调性题点 正弦函数、余弦函数单调性的应用 答案 D解析 由题意，得α＋β>π2，∴π2>α>π2－β>0， ∴sin α>sin ⎝⎛⎭⎫π2－β，即1>sin α>cos β>0，∴－1<－sin α<－cos β<0.∵奇函数f (x )在[－1,0]上单调递减，∴f (－sin α)>f (－cos β)，∴－f (sin α)>－f (cos β)，∴f (sin α)<f (cos β)．15．已知函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b (a ＞0)．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为3，最小值是－2，求a 和b 的值．考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 正弦函数的最大值与最小值解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1， 又a >0，∴f (x )max ＝a ＋b ＝3，f (x )min ＝－32a ＋b ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，－32a ＋b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2＋ 3.。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和物理中都有着广泛的应用。
在学习正弦函数和余弦函数时，了解它们的性质是非常重要的。
单调性是其中一条重要的性质。
在本文中，我们将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，帮助读者更好地理解这两个函数。
让我们先来了解一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数和余弦函数都是周期函数，其定义域是实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的定义如下：\[ y = \sin(x) \]而余弦函数的定义如下：\[ y = \cos(x) \]接下来，让我们来探讨正弦函数和余弦函数的单调性。
我们来看正弦函数的单调性。
正弦函数的图像是一条波浪线，其周期为2π。
从图像上可以直观地看出，正弦函数在0到2π的区间上是单调递增的。
在0到π之间，正弦函数的值是逐渐增大的，而在π到2π之间，正弦函数的值是逐渐减小的。
我们正弦函数在0到2π的区间上是单调的。
根据正弦函数的奇函数的性质，我们可以推断出，正弦函数在整个定义域上都是奇函数，即在任何一个对称的区间上，正弦函数都是单调的。
除了图像直观地展示了正弦函数和余弦函数的单调性之外，我们还可以通过导数来证明它们的单调性。
我们知道，函数的导数可以表示函数的增减性。
通过计算正弦函数和余弦函数的导数，我们可以得出它们的单调性。
通过以上的探讨，我们可以得出结论：正弦函数和余弦函数在其定义域上都是单调的。
这是它们的一个重要性质，对于学习和应用这两个函数都有着重要的意义。
在物理学中，正弦函数和余弦函数经常用于描述周期性变化。
在机械振动学中，正弦函数和余弦函数分别可以描述弹簧振子和单摆的运动规律。
在电磁学中，正弦函数和余弦函数也可以用来描述电流和电压的变化规律。
在工程技术中，正弦函数和余弦函数也有着广泛的应用，比如在通信领域中的信号处理和调制解调领域。
三角函数的最值与极值
三角函数的最值与极值三角函数是数学中重要的一类函数，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将探讨三角函数的最值与极值，介绍其定义、性质以及求解方法。
一、定义与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义如下：1. 正弦函数（sin）：在单位圆上，对于任意实数x，都存在一个点P(x, y)与圆心O(0, 0)连接，那么正弦函数的值等于点P的纵坐标y。
2. 余弦函数（cos）：在单位圆上，对于任意实数x，同样存在一个点P(x, y)与圆心O(0, 0)连接，那么余弦函数的值等于点P的横坐标x。
3. 正切函数（tan）：正切函数的定义为tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x不能是90度的倍数。
三角函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
2. 最值：正弦函数和余弦函数的取值范围在[-1, 1]之间，正切函数的最大值为正无穷，最小值为负无穷。
二、最值的求解方法1. 最大值与最小值的存在性：三角函数在一个周期内是连续函数，因此必定存在最大值与最小值。
2. 求解最大值与最小值的方法：a) 根据函数的周期性，我们只需考虑一个周期内的最大值与最小值。
b) 对于正弦函数和余弦函数，最大值是1，最小值是-1。
这是因为在单位圆上，最远点的纵坐标和横坐标就是1和-1。
c) 对于正切函数，它的极值点在θ=π/2 + πn，其中n是整数。
可以通过导数的方法求出极值点的具体数值。
三、举例说明下面我们以正弦函数为例，来说明最值与极值的求解过程：1. 考虑正弦函数sin(x)在区间[0, 2π]内的最值与极值。
2. 根据周期性，我们可以只考虑在该区间内的最值与极值。
3. 观察正弦函数的定义域，最大值1对应于x=π/2，最小值-1对应于x=3π/2。
4. 对于极值的求解，我们需要对正弦函数进行求导，得到导数cos(x)。
然后，令导数等于0，解方程cos(x)=0，可得极值点x=π/2 + πn。
1.4.1_正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数：y sin x
xR
正弦曲线
y
1
-1
x
余弦函数：y cos x
(2 ,1)
( , 1)
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
第一章 三角函数
题型探究
五点作图法
•
例1
用“五点法”作出下列函数的简图． y＝sinx+1，x∈[0，2π]．
x
sinx 1+sinx
y 2 1
0
0 1
π 2 1 2
π
0 1
3π 2 -1 0
2π
0 1
y=1+sinx，x[0, 2]
第一章 三角函数
函数图象的应用
例4 (本题满分 10 分)根据正弦函数的图象， 1 求满足 sinx≥ 的 x 的范围． 2
1 【解】 在同一坐标系内画出 y＝sinx 和 y＝ 2 的图象，如图所示： 3分
第一章 三角函数
由图看到在 x∈[0，2π]内， 1 π 5π 满足 sinx≥ 的 x 为 ≤x≤ . 2 6 6 7分
描点作图法的步骤： （1）列表（2）描点（3）连线
沙漏试验
探究一:函数y sin x, x 0, 2 图象的作法
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; y
第一章 三角函数
(3) 平移; (4) 连线.
1P 1
/ p1
o1
6
M1
-1A
人教A版高中数学必修四课件第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象
随堂检测
1、下列函数中，最小正周期为 π 的函数是( D )
A．y＝sin2x
B．y＝cos2x
C．y＝cosx
D．y＝cos2x
2、x 轴与函数 y＝cosx 的图象的交点个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
随堂检测
3、方程 sin x lgx 根的个数是_3___.
y
1
2 3
2
高一必修4
1.4.1 正弦函数、余弦函数 的图象
情景导入
当我们检查心脏做心电图时，医生会用仪器打印出一条 曲线图，根据曲线图形就可以判断心脏是否有问题．在 一摇摆的沙漏下面放一张均匀行进的纸，沙子落在纸上 形成一条曲线，这些都给我们以正弦曲线和余弦曲线的 形象．这样我们就有必要研究正弦函数和余弦函数的图 象，从图象上能直观形象地得出正弦函数、余弦函数的 一些重要性质，如最大值、最小值、单调区间、对称性 等，同时研究函数图象的过程也为培养学生化归的数学 思想有促进作用．
[解析] 先用“五点法”原理作出函数y＝cosx的图象，如图虚线所示， 然后横坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍，再把伸长后的图象向上 平移3个单位长度就得到函数的图象.
x
0
π 2
π
3π 2
Байду номын сангаас
2π
cosx 1 0 －1 0 1
3＋2cosx 5 3 1 3 5
典例精析
题型二、三角函数的图象变换
例2、利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y＝1－cosx，x∈[0,2π]． (2)y＝|sinx|，x∈[0,4π]．
练一练
练习 2、利用图象变换作出函数 y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图． [解析] ∵y＝sin|x|＝－sinx －2π≤x<0 为偶函数，∴首先用
高中数学 弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修第一册
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期 函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？ 提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合 周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加 以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
正弦函数、余弦函数的性质(经典)
sin2x=2sinxcosx，cos2x=cos²x-sin²x。
半角恒等式用于计算一个角的一半角的三角函数值，例如
sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]，cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]。
三角函数的积分
三角函数的积分是数学中一类特殊的积分，主要涉及到三角函数的积分计算。通过三角函数的积分， 可以求得三角函数值的面积、体积和其他物理量。
三角函数与复数
三角函数与复数之间有着密切的联系 ，复数可以用三角函数的形式表示， 而三角函数也可以用复数进行计算和 分析。
在复平面上，复数可以用极坐标形式表 示为z=r(cosθ+i sinθ)，其中r是模长， θ是辐角。这个表示方法与三角函数的 定义非常相似，因此可以将复数的运算 转化为三角函数的运算。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
正弦函数满足$f(-x) = -f(x)$，即对于 任何实数x，都有$sin(-x) = -sin(x)$。 相反，余弦函数满足$f(-x) = f(x)$， 即对于任何实数x，都有$cos(-x) = cos(x)$。
最值和零点
总结词
正弦函数图像是一个周期函数，其基本周期为$2pi$。
在一个周期内，正弦函数图像呈现先上升后下降的趋势，且在$[0, pi]$区间内是单调递增的。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1，且在$x=frac{pi}{2}+2kpi$（$k in Z$）处取得最大 值，在$x=2kpi$（$k in Z$）处取得最小值。
三角函数在复数域中有许多重要的性 质和应用，例如：傅里叶变换、拉普 拉斯变换、Z变换等。这些变换在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的 应用。
高一数学必修第一册正弦函数、余弦函数的性质课件
上都单调递减，其值从1减小到-1.
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
+ ( ∈ ) 时取得最大值1，
当且仅当 = − + ( ∈ ) 时取得最小值-1；
①正弦函数当且仅当 =
②余弦函数当且仅当 = ( ∈ ) 时取得最大值1，
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量 的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
事实上，令 = + ，那么由 ∈ 得 ∈ ，且函数 = , ∈ 及函数
= , ∈ 的周期都是.
因为 + = + + = +
+ ，所以自变量增加 ，函数值
+ ,
+ ( ∈ ) 上都单调递减，其值从1减小到-1.
单调性
−
−
−
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
余弦函数在每一个闭区间
在每一个闭区间
− + , ( ∈ ) 上都单调递增，其值从-1增大到1；
, + ( ∈ )
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
高中数学 第一章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象讲义1 新人教A版必修4
【解题探究】1.典例1中，不等式应首先变形为什么形式？如何利用正
弦曲线解此不等式？
提示：先变形为sinx≤ ，2 正弦曲线在直线y= 下2 方的点的横坐标
2
2
的取值范围.
2.典例2中，画函数y=sinx，x∈[ 0 ， 3 ]有哪几个关键点？
2
提示：(0， 0)， ( 2， 1)， (， 0)， (32， 1).
【总结提升】 1.函数y=sinx，x∈[0，2π ]与y=sinx，x∈R的图象的关系 (1)函数y=sinx，x∈[0，2π ]的图象是函数y=sinx，x∈R的 图象的一部分. (2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx， x∈[2kπ ，2(k+1)π ]，k∈Z且k≠0的图象与函数y=sinx，x∈[0，2π ] 的图象形状完全一致，因此将y=sinx，x∈[0，2π ]的图象向左、右平 行移动(每次移动2π 个单位长度)，就可得到函数y=sinx，x∈R的图象.
4
4
C.{x|2k 5 x 2k ， k Z}
4
4
D.{x|2k 5 x 2k 7 ， k Z}
4
4
2.如果直线y=a与函数y=sinx，x∈[ 0 ， 3 ]的图象有且只有一个交点，
则a的取值范围是________.
2
3.根据函数图象解不等式：sinx>cosx，x∈[0，2π ].
(2π ，1)
【即时小测】
1.判断
(1)函数y=cosx，x∈[2kπ ，2(k+1)π )，k∈Z且k≠0的图象与函数
y=cosx，x∈[0，2π )的图象的形状完全一致.( ) (2)函数y=sinx，x∈[ ， 5 ]的图象与函数y=cosx，x∈[0，2π ]的图
正弦、余弦函数的性质
复习回 顾
奇偶性 小结
单调性
正弦、余弦函数的图象和性质 正弦、
y
1 -4π π -3π π -2π π -π π
o
-1
π
2π π
3π π
4π π
5π π
6π π
x
y=sinx (x∈R) (x∈
定义域 x∈R 值 域
y∈[ - 1, 1 ]
y=cosx (x∈R) (x∈
y
1 -4π π -3π π -2π π -π π
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
x
sinx
π
2
…
0
…
π
2
…
π 0
…
3π 2
-1
0
1
-1
y=sinx (x∈R) ∈ 增区间为 [ 减区间为 [
π
2
，
π
2
] ]
其值从- 增至1 其值从-1增至1 减至其值从 1减至-1
π
2
3π ， 2
正弦函数的单调性
y
1 -3π
5π 2
-2π
3π 2
-π
π
2
o
-1
π
2
π
3π 2
2π
5π 2
x
3π
7π 2
4π
x
sinx
π
2
…
0 0
…
π
2
…
π 0
…
3π 2
-1
1
-1
y=sinx (x∈R) ∈ 增区间为 [ +2kπ, 2 +2kπ],k∈Z 其值从-1增至1 π π ∈ 其值从- 增至1 减区间为 [
正弦函数余弦函数的性质高一数学系列_1
正弦函数和余弦函数的图像和性质之最值
1、求三角函数的最值或值域．
2、利用三角函数解决实际问题中的最值问题， 注意定义域． 3、求三角函数的定义域，解三角不等式．
ex1、求下列函数的最值． (1) y sin 2 x cos2 x (2) y 3 sin x cos x (3) y sin x cos2 x (4) y cos2 x sin 2 x ex2、已知函数y a b cos x的最大值为，最小值 1
y
3 2 1
y 2 sin x，x [0， ] 2
3 2
． 0
-1
．
2
π
．
．
2π
．
y sin x 1，x [0， ] 2 y 3 sin x，x [0， ] 2
x
二、正弦函数与余弦函数的性质
根据正弦函数和余弦函数的定义和图像， 你可得到函数的哪些性质？
y
为 7．求y b a sin x的最大值． 2 2a ex3、求使 3 cos x sin x 有意义的实数 a 1 a 的取值范围． ex 5、Book / P86的ex 4 ex4、求下列函数的定义域 ． 1 2 (2) y log sin x ( cos x) (1) y 1 2 cos x 4
2
ex4、求函数y 1 2 sin 2 x 6 cos x的最值． 2 解： y 1 2(1 cos x) 6 cos x 2 cos 2 x 6 cos x 1 令t cos x [1， 1]
3 2 11 则y 2t 6t 1 2(t ) t [1， 1] 2 2 当t 1即cos x 1，x 2k (k Z )时，ymax 7
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任意x R
f ( x ) cos( x ) cos x
f ( x)
f ( x ) cos x , x R 为偶函数
2.奇偶性
探究
y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
1
y
1
2
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当
x 0 2k 时， 有最大值 y 1
x
有最小值 y 1 2k 时，
最小值：当
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
y
1
2 自变量的集合，并写出最大值、最小值。
3 5 2 3 O 3 2 5 3 2 2 2 2 2 2 1
) 取得最大值、最小值的
x
分析：令 z 2 x
化未知为已知
2 则 y 3 sin z
小结
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
方法：利用正余弦函 数的的最大（小）值
解： 这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
2
y
1
P
2
P
' 2
O
1
3 2
2
5 2
3
x
x 对称轴：
5 3 1 1 3 , , , , 2 2 2 2 2 x
2
k , k Z
对称中心：
( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
余弦函数的图象
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
练习
求使函数 y 3 cos( 2 x
3.最值
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当
x
2
有最大值 y 1 2k 时， 有最小值 y 1 2k 时，
最小值：当x
2
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2
k , k Z
对称中心：
( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) ( k ,0) k Z
余弦函数的图象
3 5 2
' P 2 3
y
1
2
O
2
2
1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x
,0, , 2 x k , k Z
2x
的对称轴为 z
3
2
k , k Z
2
k
x
解得：对称轴为
(2) y sin z
12
k
2
,k Z
的对称中心为 ( k ,0) , k Z
2x
z k
3
k
x
6
k
2
对称中心为 (
6
k
2
,0) , k Z
练习
1 • 求 y cos( x ) 函数的对称轴和对称中心 2 4
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数的图象
问题：它们的图象有何对称性？
正弦函数的图象
3 5 2
2 3
2
y
1
P
2
P
' 2
O
1
3 2
2
5 2
3
x
x 对称轴：
5 3 1 1 3 , , , , 2 2 2 2 2 x
对称中心：
(
3 5 ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
练习
• 为函数 y sin(2 x ) 的一条对称轴的是（ ）
3
4 A. x 3 B. x
2
y
1
O
C.x
12
D. x 0
3 5 2
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质 （二）
2.奇偶性
(1) f ( x ) sin x , x R
任意x R
f ( x ) sin( x ) sin x f ( x )
f ( x ) sin x , x R 为奇函数 (2) f ( x ) cos x , x R
3 5 2
' P 2 3
y
1
2
O
2
2
1
3 2
2
P
5 2
3
x
对称轴： x
,0, , 2 x k , k Z
对称中心：
(
3 5 ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
小结
1.能根据图象说出函数的最值。
2. y A sin(x ) y A sin z
化未知为已知
作业
P46 A组 2、（3）（4）
2 3
2
2
1
2
3 2
2
5 2
3
x
ห้องสมุดไป่ตู้
解：经验证，当
x
x
12
时
2x
3
2
12
为对称轴
• 求 y sin(2 x ) 函数的对称轴和对称中心
3
例题
3
解（1）令
z 2x
则
y sin(2 x
3
) sin z
y sin z
-1+1=0.
例3.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R 取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是