【详解】江苏省七市(南通、泰州扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第二次调研考试数学试题含答案

2019年5月2019届高三第二次调研测试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.a的值为____．【答案】4【分析】a值即可a=4故答案为4【点睛】本题考查集合的交集，熟记交集的概念与运算是关键，是基础题2.____．【答案】【分析】由复数运算化简为z=a+bi的形式，则实部可求故实部为【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题3.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．【答案】35【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．4.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为____．【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【详解】随机选派2种，甲、乙两人中恰有1种，【点睛】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键，是基础题5.执行如图所示的伪代码，则输出的S的值为____．【答案】30【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S的值，模拟程序的运行即可得解．【详解】模拟程序的运行，可得i＝1，S＝2满足条件i＜7，执行循环体，S＝2×1＝2，i＝3满足条件i＜7，执行循环体，S＝2× 3=6，i＝5满足条件i＜7，执行循环体，S＝6×5＝30，i＝7此时，不满足条件i＜7，退出循环，输出S的值为30．故答案为30【点睛】本题考查流程图，根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，②建立数学模型，③解模，确定何时结束流程是关键，是基础题6.___．【分析】由4x﹣16≥0即可求得函数的定义域．【详解】∵4x﹣16≥0，∴4x≥16，∴x≥2，故答案为[2，+∞）．【点睛】本题考查函数定义域及其求法，重点考查指数函数的性质的应用，属于基础题．7.___．【分析】先由平移得f(x)的解++析式求值即可【详解】=2sin(3x+【点睛】本题考查图像平移，考查三角函数值求解，熟记平移原则，准确计算是关键，是基础题8.的右顶点b的值为___．【答案】2【分析】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，根据点到直线的距离公式，求出b，即可求出结果．【详解】右顶点为A（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣2y＝0，b＝2故答案为2【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，熟记双曲线基本概念，准确计算点线距是关键，是基础题9.在△ABC中，已知C 120°，sinB 2 sinA，且△ABC的面积为则AB的长为____．【分析】由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．可得S△a，b,再利用余弦定理可得AB【详解】在△ABC中，由sinB＝2sinA，利用正弦定理可得：b＝2a．∴S△．∴b＝4．∴c2＝b2+a2﹣2bacosC＝16+4﹣°＝28，解得即【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，则球O的表面积为____m2．【分析】由已知中P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，构造以PA,PB,PC为棱的长方体，易求出球O的半径，进而求出球O的表面积．【详解】∵P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，则球的直径等于以PA，PB，PC长为棱长的长方体的对角线长∵PA 2 m，PB 3 m，PC 4 m，∴2R则球O的表面积S＝4πR2＝29π【点睛】本题考查的知识点是球的表面积，及球的内接多面体，其中根据已知条件构造长方体，计算出球O的半径，是解答本题的关键，是基础题11.定义在R___．【答案】5【分析】4，又函数f(x)关于（2,0）中心对称，又f(x)与g(x)在同一个坐标系的图像如图所示：故交点有5个故答案为5【点睛】本题考查函数与方程，明确函数f(x)的周期性奇偶性，准确画出图像是关键，是基础题12.已知关于，b，) 的解集为{ x | 3 < x < 4}的最小值为___．【分析】由不等式解集知a<0,将b,c分别用a利用基本不等式求最小值即可【详解】由不等式解集知a<0,，当且仅当-24a=即取等【点睛】本题考查基本不等式的应用，二次不等式解法，根与系数的关系，求得a,b,c的关系是关键，是中档题13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B在圆P（3，1），M的横坐标为x0，则x0的所有值为____．【分析】设AB中点为求出M的轨迹方程；【详解】设AB中点为②，立得故答案为【点睛】本题考查圆的轨迹方程，向量的坐标运算，圆的弦长公式，确定AB中点的轨迹是突破点，向量坐标化运算是关键，是中档题14.已知集合中取出个不同元素，其和记为最大值为____．【答案】44【分析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取到2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,mt=22附近取值，只有t=21,m=22和t=23,m=20,成立，则问题得解.【详解】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则m=t=22时取等，∵t最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为4344故答案为44【点睛】本题考查不等式的应用，数列求和问题，分析转化能力和计算求解能力，是中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.（1）若（2【答案】（1）；（2【分析】（1）由向量共线的坐标表示可求进而求出，（2）由将【详解】（1）因为∥，，所以．解得．（2）因为，所以，，解得【点睛】本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，向量共线坐标运算，熟记三角基本公式，准确计算是关键，是中档题16.如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解+析；（2）见解+析【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE∥AB，即可证明DE∥平面ABB1A1；（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1,进而BB1⊥A1B1,证得A1B1⊥平面BCC1B1，进而A1B1⊥BC1，又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．进一步证明平面BC1⊥平面A1B1C即可．【详解】（1）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1∩B1C1 B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．【点睛】本题考查线面平行的证明，线面垂直的判定，熟记判断定理，准确推理是关键，是基础题.17.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM 5 m，BC 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH（1）求屋顶面积S（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m值时，总造价最低？【答案】（1（2【分析】（1）由题知FH⊥HM，在Rt△FHM中，所以面积；（2）别墅总造价为=令【详解】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM 平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM 5因此△FBC所以S)．（2）在Rt△FHM，所以主体高度为记，所以，，得列表：为时该别墅总造价最低．【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S求最值要准确，是中档题18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1C2：C2与C1（1）求椭圆C2的标准方程；（2C2上一点．C1，且直线C1均有且只有一个为定值．【答案】（1（2）①见解+析，②见解+析.【分析】（1）由题所求椭圆b即可；（2）①当直线OP斜率不OP斜率存在时，设直线OP，同理，直线的方程为，记C1P在椭圆上化简即可【详解】（1）设椭圆C2的焦距为2cC2（2）①1°当直线OP斜率不存在时，2°当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为代入椭圆C1的方程，消去y，由题意，同号，所以为定值．，所以直线的方程为代入椭圆C1的方程，消去yC1有且只有一个公共点，k．又点在C2上，所以【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，定值问题，熟练运用韦达定理，及构建二次方程思想是关键，要求较高的计算能力，是中档题19.已知函数（1时，求函数的极值；（2）设函数的值；（3）是否存在一条直线与函数【答案】（1（2（3）见解+析【分析】（1列极值表，即可求的极值；（2）设切线方程为，从即求（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同分别写出得整理得消去得，，令构造函数，求导求得，推出矛盾，说明假设不成立，则不存在【详解】（1）的定义域为，令得，或1（2变形得在，，，从而，所以（3）假设存在一条直线与函数的方程为：整理得，消去得，．，由与，得，，则所以为上的单调减函数，所以的切点．【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值，切线问题，转化与化归能力，准确计算是关键，第三问转化为函数与方程的关系是难点，是较难的题目.20.已知数列n项和为S n，n项和为T n，且（1（2（3的所有值．【答案】（1（21为首项，（3）0 【分析】（1）令n=1,n=2（2①，③n=1 成立，即可3）由（2代入不等式，由适合，讨论，当为奇数时恒成立，和恒成立，通过证明单调减，*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有【详解】（1，因为（2①②④又由（1，1为首项，为公比的等比数列．（3）由（2．，对任意的，当为奇数时，，因为所以，所以（*），时，有，所以，当为奇数时，时，有不符．综上，实数的所有值为0．【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，准确计算是关键，是难题21.【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m是矩阵3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy( t为参数)，椭圆C的参数设直线与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x，y，z【答案】A B C：见解+析【分析】A由矩阵的运算求解即可；B坐标，由弦长公式求得AB的长；C．由柯西不等式证明即可【详解】A矩阵的特征多项式，解得矩阵的另一个特征值为B椭圆C由①②联立，解得，．C．由柯西不等式得，，所以当且仅当“”时取等号．【点睛】本题考查矩阵运算，直线的参数方程，弦长公式，柯西不等式证明不等式，熟练掌握矩阵运算，柯西不等式是关键，是基础题【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．22.中，底面是矩形，AB 1，AP AD 2.（1）求直线（2）若点M，N分别在AB，PC M，N的位置．【答案】（1（2）M为AB的中点，N为PC的中点【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．以PCD（2）设PCD，所以确定M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．设平面PCD不妨取则．所以平面PCD设直线PB与平面PCD所成角为即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（21）知，平面PCD的一个法向量为PCD所以M为AB的中点，N为PC的中点．【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题23.证明：（1（2【答案】（1）见解+析；（2）见解+析【分析】（1可；（2）运用数学归纳法证明即可【详解】（1时，因为，…，（2）①当时，由（1）可知，命题成立；所以也就是说，当时命题也成立．【点睛】本题考查数学归纳法证明不等式，基本不等式证明问题，准确计算，严密的推理是关键，是中档题- 21 -。