概率论公式总结38377
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。
在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。
下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。
(整理)概率论公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
概率论核心概念及公式(全)
二项分布 泊松分布 超几何分布
在n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的 次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为0,1,2,, n 。
P( X
k)
Pn(k
)
C
k n
p k q nk ，
其中
q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ，
P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b] 的概率。分布函数
F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
（2）连 续型随机 变量的分 布密度
（3）离 散与连续 型随机变 量的关系 （4）分 布函数
（5）八 大分布
设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。 f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概率 密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
ba
f
(x)
b
1
a
,
0,
a≤x≤b
其他，
指数分布
则称随机变量 X 在[a，b]上服从均匀分布，记为 X~U(a，b)。
分布函数为
0，
x<a，
x
F (x) f (x)dx
xa, ba 1，
a≤x≤b x>b。
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x1, x2 ）内的概率为
概率论重要公式大全必看
概率论重要公式大全必看概率论是数学的一个分支，研究随机事件的概率性质和随机现象的数学模型。
在概率论中有许多重要的公式，下面是一些概率论中常用的重要公式的介绍。
1.加法法则加法法则是计算两个事件一起发生的概率的公式。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
P(A∩B)=P(A)×P(B，A)=P(B)×P(A，B)其中P(B，A)表示已知事件A发生下事件B发生的概率。
3.全概率公式全概率公式是计算一个事件的概率的公式，通过将事件分解为若干个互斥事件并计算其概率，然后加权求和得到事件的概率。
P(A)=ΣP(A∩Bi)=ΣP(Bi)×P(A，Bi)其中Bi为一组互斥事件，且它们的并集为样本空间。
4.贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义，计算事件的后验概率的公式。
P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中P(A，B)为已知事件B发生下事件A发生的概率。
5.随机变量与概率分布随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
概率分布则是随机变量取不同值的概率的分布情况。
6.期望和方差期望是描述随机变量平均值的概念，可以通过加权平均的方式计算。
E(X)=Σx×P(X=x)方差是描述随机变量离散程度的概念，用来衡量随机变量取值与其期望值之间的偏差。
Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ (x - E(X))^2 × P(X=x)7.二项分布二项分布是描述重复进行n次独立实验中成功次数的概率分布。
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，p为单次实验的成功概率，n为实验次数，k为成功次数。
8.泊松分布泊松分布是描述事件在一定时间或空间范围内发生的次数的概率分布。
P(X=k)=(λ^k/k!)×e^(-λ)其中λ为单位时间或单位空间范围内事件发生的平均次数，k为事件发生的次数。
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Ai Ai
德摩根率： i1
i 1
AB A B，A B AB
（7）概率 的公理化 定义
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满
足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，…有
P Ai P(Ai) i1 i1
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
P( X
k)
CMk
•
C nk N M
,
k
0,1,2
,l
CNn
l min(M , n)
随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几分布，记为 H(n,N,M)。
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 B1, B2, , Bn 满足
1° B1, B2, , Bn 两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2, , n) ，
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
概率统计公式大全
概率统计公式大全概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科，其核心就是用数学方法来描述和分析随机现象。
在概率统计的理论体系中，有很多重要的公式和定理，下面对一些常用的公式进行介绍。
1.概率公式：(1)加法规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A和B为事件，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
(2)乘法规则：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2.条件概率公式：(1)贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率。
(2)全概率公式：P(B)=ΣP(Ai)×P(B，Ai)，其中B是一个事件，Ai是样本空间的一个划分，即Ai是互不相容且并集为样本空间的一组事件。
3.期望公式：(1) 离散型随机变量的期望：E(X) = ΣxiP(X=xi)，其中X是一个离散型随机变量，xi是X的取值，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫xf(x)dx，其中X是一个连续型随机变量，f(x)是X的概率密度函数。
4.方差公式：(1) 离散型随机变量的方差：Var(X) = Σ(xi-E(X))^2P(X=xi)，其中Var(X)表示随机变量X的方差，xi是X的取值，E(X)是X的期望，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的方差：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx，其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)是X的期望，f(x)是X的概率密度函数。
概率论与数理统计公式汇总应用广泛解题利器
概率论与数理统计公式汇总应用广泛解题利器概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学以及工程技术等。
在解决实际问题时，概率论与数理统计的公式是我们的利器之一。
本文将概括总结概率论与数理统计中常用的公式，并探讨其在实际问题中的应用。
一、概率论公式汇总1. 加法公式：对于两个事件A和B，其和事件的概率为P(A ∪ B) = P(A) + P(B) -P(A ∩ B)。
该公式适用于求两个或多个事件的并的概率。
2. 条件概率公式：事件A在已知事件B发生的条件下发生的概率为P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)。
该公式适用于求已知条件下事件的概率。
3. 乘法公式：对于两个事件A和B，其交事件的概率为P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)。
该公式适用于求两个事件的交的概率。
4. 全概率公式：对于一组两两互斥的事件B1、B2、...、Bn，事件A的概率为P(A)= P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)。
该公式适用于求事件A的概率。
5. 贝叶斯公式：对于一组两两互斥的事件B1、B2、...、Bn，已知事件A发生，事件Bi发生的概率为P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / [P(A|B1) * P(B1) +P(A|B2) * P(B2) + ... + P(A|Bn) * P(Bn)]。
该公式适用于求已知事件A发生的条件下事件Bi发生的概率。
二、数理统计公式汇总1. 样本均值公式：对于样本X1、X2、...、Xn，其样本均值为X = (X1 + X2 + ... + Xn) / n。
该公式适用于求样本的均值。
2. 总体均值公式：对于总体X1、X2、...、Xn，其总体均值为μ = (X1 + X2 + ... + Xn) / n。
该公式适用于求总体的均值。
3. 样本方差公式：对于样本X1、X2、...、Xn，其样本方差为S² = [(X1 - X)² + (X2 - X)² + ... + (Xn - X)²] / (n - 1)。
概率论公式总结
概率论公式总结概率论是数学中重要的分支，研究随机事件发生的概率及其规律。
在实际应用中，概率论经常被用于风险评估、统计分析、决策制定等领域。
本文将总结概率论中一些常用的公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1. 基本概率公式基本概率公式是概率论的基础，它描述了某个事件发生的概率。
对于某个事件A，其概率可以通过如下公式计算：P(A) = n(A) / n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A所包含的样本点个数，n(S)表示样本空间S中的样本点个数。
2. 互补事件概率公式互补事件是指两个事件中至少有一个发生的情况。
对于事件A的互补事件的概率公式如下：P(A') = 1 - P(A)其中，P(A')表示事件A的互补事件发生的概率。
3. 加法公式加法公式用于计算两个事件中至少有一个发生的概率。
对于两个事件A和B，加法公式可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，乘法公式可以表示为：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
5. 独立事件公式当两个事件A和B相互独立时，它们的乘法公式可以简化为：P(A∩B) = P(A) * P(B)这意味着两个独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积。
6. 条件概率公式条件概率公式用于计算在某个条件下，另一个事件发生的概率。
对于事件A和事件B，条件概率公式可以表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
7. 全概率公式全概率公式用于计算某个条件下的事件发生的总概率。
概率论公式总结
概率公式整理1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)(AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=ni ini iA A 11=== ni ini iA A 11===2．概率的定义及其计算:)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B ， 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A ， B ， 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n nnk j i kjinj i jini i ni i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率 ()=A B P)()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式∑==ni i AB P A P 1)()()()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k =∑==ni iik k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布 分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k（2) 二项分布 ),(p n B 若P （ A ） = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理0lim >=∞→λn n np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p C kkn n k nk n n λλ（3） Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ6．连续型随机变量 （1) 均匀分布),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b ax x F（2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ (3） 正态分布 N （μ ， σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt t ex F d 21)(222)(σμσπ*N (0，1） — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x tex xt d 21)(22π7。
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P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
3．条件概率 PB A P(AB) 乘法公式 P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P( A)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An1
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n
全概率公式 P(A) P(ABi ) i 1
n
P(Bi ) P( A
i 1
Bi ) Bayes 公式 P(Bk
A) P( ABk ) P( A)
P(Bk )P( A Bk ) n P(Bi )P( A Bi ) i 1
4．随机变量及其分布
分布函数计算 P(a X b) P(X b) P(X a)
f (x, y)dx
fY X ( y x) f X (x)dx
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX (x) fY ( y)
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
fX Y (x y) fY ( y) fX (x)
10. 随机变量的数字特征
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
E(X kY l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E( X E( X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
E
(X
E( X ))(Y E(Y D( X ) D(Y )
f (x, v)dv
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
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精品文档第1章随机事件及其概率泊松分布设随机变量X的分布律为P（X 二k）二kk产，’°，k®2，则称随机变量X服从参数为，的泊松分布，记为X —: (■)或者P( ■)。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，n T®)。
超几何分布_CM*C壮k = 0,1,2 …，1C N l =min(M ,n)P（X 二k）几何分布k _1P(X 二k)二q - p,k 二1,2,3, ，其中p> 0, q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布A 设随机变量X的值只落在［a，b］内，其密度函数f(X)在［a，b］上为常数 --------- ，即b — aa w x w b指数分布f （x） = < b- a0,其他,则称随机变量X在［a，b］上服从均匀分布，记为X~U(a，b)分布函数为C0，x —ax € b — aF（x）=打（x）dx =1，x<a，a w x w bx>b。
当a w X1VX2W b时，X落在区间(x1,x2)内的概率为P（x〔：：：X ::: X2）-X2 - X1b - a广 & e _'Xf(X)=YI 0,其中’•0，则称随机变量X的分布函数为)x^Ox ：：05X服从参数为’的指数分布x<0 o记住积分公式:x n e_X dx = n!如果二维随机向量 t ( X ，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对( x,y)，则称©为离散型随 机量。
设'=(X ，Y)的所有可能取值为 化，y j )(i, j =1,2，…)，且事件{ ' =(x i , y j )}的概率为 p ij,,称P{(X,Y)=(X j ,y j )} =P j (i,j =1,2, )为.=(X ，Y)的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。
联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：这里P ij 具有下面两个性质 (1)P j >0 (i,j=1,2,…)；(2)一一 P m =1.i j对于二维随机向量 '=(X,Y)， 如果存在非负函数f (x, y)(一二x 工•：：，_：： ：::y ::)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<xvb,cvyvd} 有P{( X ，丫) D}二 f (x, y)dxdy,D则称'为连续型随机向量；并称 f(x,y)为'=(X ，Y)的分布密度或称为 X 和Y 的联合分布密度。
概率论与数理统计必背公式
概率论与数理统计必背公式在概率论与数理统计中，掌握好一些重要的公式是非常重要的，这些公式可以帮助我们解决问题、推导证明以及计算概率和统计量。
下面将介绍一些必须掌握的概率论与数理统计的重要公式。
一、概率论公式：1.加法定理：如果事件A和B是互不相容的（即A和B不会同时发生），则它们的和事件的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
2.条件概率公式：对于两个事件A和B，A在给定B发生的条件下发生的概率定义为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.乘法定理：对于两个事件A和B，其交事件的概率可以通过条件概率公式来计算，即P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。
4.全概率公式：如果事件B1，B2，...，Bn是一组互不相容的且其并集为样本空间（即事件B1∪B2∪...∪Bn=S），则对于事件A，它的概率可以通过条件概率公式和全概率公式来计算，即P(A)=P(A，B1)*P(B1)+P(A，B2)*P(B2)+...+P(A，Bn)*P(Bn)。
5.贝叶斯公式：贝叶斯公式是条件概率公式的推广，对于事件A和B，其交事件的概率可以通过贝叶斯公式来计算，即P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)。
二、数理统计公式：1.期望：对于一组随机变量X，其期望（也称为均值）定义为E(X)=ΣX*P(X)，即随机变量X乘以其概率的和。
2. 方差：对于一组随机变量X，其方差定义为Var(X) = E((X - μ)^2)，其中μ为X的期望。
3. 协方差：对于两组随机变量X和Y，其协方差定义为Cov(X,Y) = E((X - μx)(Y - μy))，其中μx和μy分别为X和Y的期望。
4. 标准差：对于一组随机变量X，其标准差定义为σ = √Var(X)，即方差的平方根。
5. 协方差矩阵：对于多组随机变量X1，X2，...，Xn，其协方差矩阵定义为Cov(X) = [Cov(Xi,Xj)]，其中i和j分别表示第i组和第j组随机变量。
概率论公式大全
1概率论与数理统计一、随机事件和概率加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+条件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式 ∑==ni iiA B P A P B P 1)()()(贝叶斯公式 （逆概率公式）∑∞==1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P二、随机变量及其分布1、离散型随机变量分布名称 分布律数学期望方差0–1分布),1(p B1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kkp)1(p p - 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n kk n,,1,0,)1()( =-==- np)1(p np - 泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλλλ2、连续型随机变量分布名称 密度函数数学期望 方差均匀分布),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f2ba + 12)(2a b -指数分布)(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπμ2σ三、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E =; )()(X CE CX E =; )()()(Y E X E Y X E ±=± (2)若XY 相互独立，则：)()()(Y E X E XY E = 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D )()(2X D a b aX D =±(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立，则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立，则：0),(=Y X Cov 6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质 (1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++四、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-, 或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-. 2、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有：⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dt ex p np npP )(21})1({lim 22πη。
概率论与数理统计公式整理(超全版)
概率论与数理统计
第一章随机事件及其概率 (2)
第二章随机变量及其分布 (5)
第三章二维随机变量及其分布 (9)
第四章随机变量的数字特征 (15)
第五章大数定律和中心极限定理 (19)
第六章样本及抽样分布 (21)
第七章参数估计 (23)
第八章假设检验 (27)
第一章随机事件及其概率
第二章随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。
概率论及统计学的重要公式和解题思路
一、基本概率公式及分布 1、概率常用公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ;P(A-B)=P(A)-P(AB) ; 如A 、B 独立，则P(AB)=P(A)P(B) ; P(A )=1-P(A) ; B 发生的前提下A 发生的概率==条件概率 ：P(A|B)=P(AB)P(B);或记 ： P(AB)=P(A|B)*P(B) ;2、随机变量分布律、分布函数、概率密度 分布律：离散型X 的取值是x k (k=1,2,3...), 事件X=x k 的概率为： P{X=x k }=P k , k=1,2,3...; --- 既 X 的分布律；X 的分布律也可以是上面的表格形式，二者都可以。
分布函数：F(x)=P(X ≤x ), -∞<x <+∞ ; 是概率的累积！ P(x1<X<x2)=F(x2)-F(x1) ;离散型rv X; F(x)= P{X ≤x}=∑p k x k <x ;(把X<x 的概率累加） 连续型rvX ；F(x)=∫f (x )dx x−∞, f(x)称密度函数；既分布函数F(X)是密度函数f(x)和X 轴上的(-∞,x)围成的面积！ 性质：F(∞)=1; F(−∞)=0;二、常用概率分布：①离散：二项分布：事件发生的概率为p,重复实验n 次，发生k 次的概率（如打靶、投篮等）,记为B(n,p)P{X=k}=(n k)p k (1−p)n−k，k=0,1,2,...n; E(X)=np, D(X)=np(1-p); ②离散：泊松分布：X ～Π(λ) P{X=k}=λk e −λk!,k=0,1,2,...; E(X)=λ, D(X)=λ ;③连续型：均匀分布：X 在(a,b)上均匀分布，X ～U(a,b),则：密度函数：f(x)={1b−a,a <x <b 0,其它分布函数F(x)=∫f (x )dx x−∞={0, x <a x−ab−a1,x ≥b,a <x <b④连续型：指数分布，参数为θ，f(x)= {1θe −xθ,0<x 0,其它F(x)={1−e−x θ,x >0 ;⑤连续型：正态分布：X ～N(μ,σ2),most importment!密度函数f(x),表达式不用记！一定要记住对称轴x=µ, E(X)=µ,方差D(X)= σ2; 当µ=0，σ2=1时，N(0,1)称标准正态，图形为：分布函数F(x)为密度函数f(x)从(-∞,x)围成的面积。
概率与统计学公式集锦整理速查
概率与统计学公式集锦整理速查以下是概率与统计学领域中常见的公式集锦，方便您在需要时进行查阅和使用。
1. 概率公式1.1 事件的概率：P(A) = n(A) / n(S)1.2 互斥事件的概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)1.3 两独立事件的概率：P(A ∩ B) = P(A) × P(B)1.4 随机事件的和：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)1.5 随机事件的差：P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)1.6 互补事件的概率：P(A') = 1 - P(A)2. 统计学公式2.1 定义方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2]2.2 方差的性质：Var(aX) = a^2 × Var(X)2.3 协方差：Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]2.4 相关系数：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) × √(Var(Y)))2.5 二项分布期望：E(X) = n × p2.6 二项分布方差：Var(X) = n × p × (1 - p)2.7 正态分布的标准差：Var(X) = σ^23. 概率函数与密度函数3.1 二项分布概率函数：P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 - p)^(n - k)3.2 二项分布累积概率函数：P(X ≤ k) = Σ(i=0 to k) C(n, i) × p^i × (1 - p)^(n - i)3.3 正态分布概率密度函数：f(x) = (1 / (σ × √(2π))) × exp(-(x - μ)^2 / (2σ^2))3.4 正态分布累积概率函数：P(X ≤x) = Φ((x - μ) / σ)4. 估计与假设检验4.1 样本均值的抽样分布：X ～N(μ, σ^2/n)，其中 X 为样本均值，μ 为总体均值，σ 为总体标准差，n 为样本容量。
概率论核心概念及公式(全)
x2 )
x2 b
x1 a
。
f (x)
ex ,
0,
x 0, x 0,
其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。
X 的分布函数为
F(x)
1 ex , 0,
x 0,
x<0。
记住积分公式：
x nex dx n!
0
z.
.
正态分布
.
..
设随机变量 X 的密度函数为
f (x)
1
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
z.
.
.
..
（15） 全概公 式
设事件B1, B2,, Bn 满足 1° B1, B2,, Bn 两两互不相容，P(Bi) 0(i 1,2,, n) ，
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
为事件 A 发生条件下，事件 B 发
P( A)
生的条件概率，记为P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1P( B /A)=1-P(B/A)
（13） 乘法公式：P(AB) P(A)P(B / A)
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
系与运 算
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。 互斥未必对立。
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概率公式整理
1．随机事件及其概率吸收律：A
AB A A A A =⋃=∅⋃Ω
=Ω⋃)(
A
B A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)()(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i
n i i
A A 1
1
=== n
i i
n i i
A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算：)(1)(A P A P -= 若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒ 对任意两个事件A , B , 有
)()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
)()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑
3．条件概率 ()=A B P
)
()
(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式
∑==n
i i AB P A P 1
)
()(
)
()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式
)(A B P k )
()
(A P AB P k =
∑==
n
i i
i
k k B A P B P B A P B P 1
)
()()
()(
4．随机变量及其分布 分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
(2) 二项分布
),(p n B 若
P ( A ) = p
n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==-
*Possion 定理
0lim >=∞
→λn n np 有
,2,1,0!)
1(lim ==---∞
→k k e
p p C k
k
n n k n
k
n n λλ
(3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!
)(===-k k e
k X P k
λλ
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布
),(b a U ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a a b x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=1,,
0)(a b a
x x F
(2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,
00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x
λ (3) 正态分布 N (
, 2 )
+∞<<∞-=
--
x e x f x 2
22)(21
)(σμσ
π
⎰
∞
---
=
x
t t e
x F d 21
)(2
22)(σμσ
π
*N (0,1) — 标准正态分布 +∞
<<∞-=-x e x x 2
221
)(π
ϕ
+∞<<∞-=
Φ⎰
∞
--
x t
e
x x
t d 21
)(2
2π
7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数
⎰
⎰
∞-∞
-=x y
dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数
⎰
⎰
∞-+∞
∞
-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞
∞
-=dv v x f x f X ),()(
⎰
⎰
∞-+∞
∞
-=y Y dudv v u f y F ),()(
⎰
+∞
∞
-=du y u f y f Y ),()(
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U
( G )
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1
),(G
y x A y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-+------
y x e
y x f y y x x ,121
),(222
2212121212)())((2)()1(212
2
1σμσσμμρσμρρ
σπσ
9. 二维随机变量的 条件分布
0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X
0)()
()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰
⎰
+∞∞
-+∞∞
-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()(
⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(
)(y x f Y X
)()
,(y f y x f Y =
)
()()(y f x f x y f Y X X Y =
)(x y f X Y
)()
,(x f y x f X =
)
()()(x f y f y x f X Y Y X =
10.随机变量的数字特征 数学期望∑+∞
==1
)(k k k p x X E
⎰+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 )(k X E X 的 k 阶绝对原点
矩
)|(|k X E
X 的 k 阶中心矩
)))(((k X E X E - X 的 方差 )()))(((2X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
)(l k Y X E
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
()l
k Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩
)(XY E X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方
差()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--)()())())((( X 的方差D (X ) = E ((X - E (X ))2) )()()(22X E X E X D -=
协方差 ()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)()()(Y E X E XY E -=
())()()(2
1
Y D X D Y X D --±±
= 相关系数
)
()(),cov(Y D X D Y X XY =
ρ。