湘教版2019-2020年八年级数学下册同步练习：2.5.1 矩形的性质2
2020年春湘教版八年级数学下册精品试题2.5.2 矩形的判定2
D A C FO EB2.5.2 矩形的判定1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ．对角线相等D ．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，正确的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形是矩形B ．三个角是直角的多边形是矩形C ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形D ．有三个角是直角的四边形是矩形4．如图1所示，矩形ABCD 中的两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=4cm ，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相等，且互相平分于点O ，则四边形ABCD 是_____形，若∠AOB=60°，那么AB ：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD 周长为24cm ，对角线交于点O ，OE⊥DC 于点E ， OF⊥AD 于点F ，OF-OE=2cm ，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于E ，F ，G ，H ，试说明四边形EFGH 是矩形．8．如图所示，△ABC 中，CE ，CF 分别平分∠ACB 和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE 于E，DAC F P EAF⊥CF 于F ，直线EF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P 为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE 是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架， 你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）13．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块， 再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图214．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再过点D 折叠，使AD 落在折痕BD 上，得另一折痕DG ，若AB=2，BC=1，求AG 的长度．参考答案1．C 2．B 3．D 4．8cm 5．矩；1：2 6．8cm ；4cm7．解：∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH 是矩形．8．解：四边形AECF 是矩形．∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°， 12点拨： 本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．9．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．图1又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．图2．解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，四边形HEDC是矩形．所以EH= PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．10．解：是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又DE∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形， 所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．11．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．12．D13．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）14．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得-1，BG= AB-AG=2-AG，设AG=EG=x，则BG=2-x．在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=）2+x2，解得。
湘教版八年级数学下册2.5.1矩形的性质
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=BD.
即矩形的对角线相等.
图2-42
结论
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
做一做
在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来， 怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这 个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图 形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
F
A
D
O
B
C
E
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.
由于
OB
=
12 BD
=
1 2
AC
=OC
，因此△OBC是等腰三角
形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.F来自ADO
B
C
E
由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是 线段AD的垂直平分线.
平行四边形 有一个角是直角 矩形
结论
可以知道：
矩形的四个角都是直角，对边相等， 对角线互相平分.
结论
由于矩形是平行四边形，因此
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心.
动脑筋
如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角 线AC与DB相等吗？
图2-42
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
F
A
D
M
O
N
B
C
E
结论
由此得到： 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点
的直线都是矩形的对称轴.
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于 直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
湘教版八年级数学下册 矩形知识点分类训练(Word版含答案)
湘教版八年级数学下册《2-5矩形》知识点分类训练（附答案）一．矩形的性质1．一次数学课上,老师请同学们在一张长为18厘米,宽为16厘米的长方形纸板上,剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形,且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合,其它两个顶点在长方形的边上,则剪下的等腰三角形的面积为（）平方厘米．A．50或60B．40或50或80C．30或40或50D．30或50或80 2．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC：∠EDA＝1：2,且AC＝8,则EC的长度为（）A．2B．2C．4D．3．如图,在矩形ABCD中,点F为边AD上一点,过F作EF∥AB交边BC于点E,P为边AB上一点,PH⊥DE交线段DE于H,交线段EF于Q,连接DQ．当AF＝AB时,要求阴影部分的面积,只需知道下列某条线段的长,该线段是（）A．EF B．DE C．PH D．PE4．如图,E、F分别是矩形ABCD边上的两点,设∠ADE＝α,∠EDF＝β,∠FDC＝γ,若∠AED＝α+β,下列结论正确的是（）A．α＝βB．α＝γC．α+β+2γ＝90°D．2α+γ＝90°5．在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F．若AD＝,AB＝1,则AF2＝（）A．8﹣4B．10﹣4C．8+4D．10+46．如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝6,点F是AB的中点,E为BC边上一点,且EF⊥ED,连接DF,M为DF的中点,连接MA,ME．若AM⊥ME,则AE的长为（）A．5B．C．D．7．如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,∠BAD的平分线交BC于E,若∠EAC＝15°,则∠COE＝（）A．45°B．60°C．75°D．30°8．已知点P是矩形ABCD内一点,连接AP、BP、CP、DP,若S△ABP+S△CDP＝S△ADP+S△BCP,则关于点P的位置,正确的说法是（）A．一定是对角线交点B．一定在对角线上C．一定在对边中点的连线上D．可以是任意位置9．如图是一块矩形ABCD的场地,长AB＝102,宽AD＝51,从A、B两处入口的中路宽都为1,两小路汇合处路宽为2,其余部分种植草坪,则草坪面积为（）A．5050B．4900C．5000D．499810．如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E是边AB上一点,且OE⊥AC．设∠AOD ＝α,∠AEO＝β,则α与β间的关系正确的是（）A．α＝βB．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°11．如图,矩形ABCD中,E,F是CD上的两个点,EG⊥AC,FH⊥AC,垂足分别为G,H,若AD＝2,DE＝1,CF＝2,且AG＝CH,则EG+FH＝（）A．+1B．C．3D．12．如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC于点E,DF平分∠ADC,交EB的延长线于点F,BC＝6,CD＝3,则为（）A．B．C．D．13．如图所示,P是矩形ABCD内的任意一点,连接P A,PB,PC,PD,得到△P AB,△PBC,△PCD,△PDA,设它们的面积分别是S1,S2,S3,S4,给出如下结论：①S1+S4＝S2+S3；②S2+S4＝S1+S3；③若S3＝2S1,则S4＝2S2；④若S1＝S2,则S3＝S4,其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图,在矩形ABCD中,AD＝AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF,其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．矩形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一部分是平行四边形,依照图中标注的数据,图中空白部分的面积为．16．如图,矩形ABCD中,,连结对角线AC,E为AC的中点,F为边AB上的动点,连结EF,作点C关于直线EF的对称点C′,连结C′E,C′F,CF,若△EFC′与△ACF 重叠部分面积等于△ACF面积的,则AG EG（填“＞”、“＝”或“＜”）,BF ＝．17．如图,在矩形ABCD中,点P在对角线AC上,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于点E,F,连接PB,PD．若PB＝2,PD＝6,图中阴影部分的面积为9,则矩形ABCD的周长为．18．如图,在矩形ABCD中对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交AB于点E,连接OE,若AD＝6,AB＝8,则OE＝．19．将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状,并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计）,则这个平行四边形的最小内角为度．20．如图,在平行四边形ABCD中,点G,H分别是AB,CD的中点,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C处同时出发相向而行,到C,A时停止运动．若两动点的速度均为1cm/s,AB ＝14cm,BC＝18cm,AC＝24cm,经t秒后,四边形GFHE为矩形,则此时t的值为．21．已知矩形ABCD的对角线AC,BD的长度是关于x的方程x2﹣px+p+3＝0的两个实数根,则此矩形面积的最大值是．22．如图,一块长为a米,宽为b米的矩形土地被踩出两条小路（过A,B间任意一点作AD的平行线,被每条小路截得的线段长都是2米）．若小路①,②的面积分别为S1,S2,则S1,S2的大小关系是s1s2．23．如图所示,图形的周长为厘米．24．如图,在矩形ABCD中,E,F分别为AD,AB上一点,且EF＝EC,EF⊥EC,若DE＝2,矩形ABCD 的周长为24,则矩形ABCD的面积为．25．如图,长方形ABCD中,AB＝4,AD＝3,长方形内有一个点P,连接AP,BP,CP,已知∠APB＝90°,CP＝CB,延长CP交AD于点E,则AE＝．26．如图,矩形ABCD的面积为16cm2,它的两条对角线交于点O1,以AB、AO1为邻边作▱ABC1O1,设▱ABC1O1的对角线交于点O2,同样以AB、AO2为邻边作▱ABC2O2,…,依此类推,则▱ABC6O6的面积为cm2．27．小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①,AD＞CD）沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,求矩形ABCD长与宽的比值．28．如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,DF⊥AE于点F,设＝λ（λ＞0）．若λ＝1,求证：CE＝FE；29．如图,将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠,已知AF∥BE,DF∥CE,CE交AF于点G,过点G作GH∥EF,交线段BE于点H．（1）判断∠CGH与∠DFE是否相等,并说明理由；（2）①判断GH是否平分∠AGE,并说明理由；②若∠DF A＝52°,求∠HGE的度数．30．如图,在▱ABCD中,点E,F是直线BD上的两点,DE＝BF．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若BD⊥AD,AB＝5,AD＝3,四边形AFCE是矩形,求DE的长．二．矩形的判定31．已知Rt△ABC,∠ABC＝90°,小明按如下步骤作图,①以A为圆心,BC长为半径作弧,以C 为圆心,AB长为半径作弧,两弧相交于点D；②连接DA,DC,则四边形ABCD为．32．如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE＝DC,连接AE,交BC于点F,连接AC、BE．（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；（2）若∠AFC＝2∠ADC,求证：四边形ABEC是矩形．33．如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,AD∥BC,∠ADC＝∠ABC,OA＝OB．（1）如图1,求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2,P是AD边上任意一点,PE⊥BD,PF⊥AC,E、F分别是垂足,若AD＝12,AB＝5,求PE+PF的值．34．已知：如图,D是△ABC的边AB上一点,CN∥AB,DN交AC于点M,MA＝MC．①求证：AD＝CN；②若∠BAN＝90度,求证：四边形ADCN是矩形．35．如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,过A点作AF∥BC,且AF＝BD,连接CF交AD于点E．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝AC,试判断四边形AFBD形状,并说明理由．36．如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA 的角平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．37．已知：如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AC＝EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论．三．矩形的判定与性质38．如图,在△ABC中,∠A＝90°,AC＝8,AB＝6,点D是BC边上的动点（不与B,C重合）过点D作DE⊥AB于点E,作DF⊥AC于点F,则EF的最小值是（）A．3B．C．5D．39．如图,平行四边形ABCD中,AC＝6,BD＝8,点P从点A出发以每秒1cm的速度沿射线AC 移动,点Q从点C出发以每秒1cm的速度沿射线CA移动．（1）经过几秒,以P,Q,B,D为顶点的四边形为矩形？（2）若BC⊥AC垂足为C,求（1）中矩形边BQ的长．40．如图,已知▱ABCD,延长AB到E,使BE＝AB,连接BD,ED,EC,若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC,若AD＝6,CD＝3,求AC的长．41．矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4．点E,F在对角线AC上,点M,N分别在边AD,BC上．（1）如图1,若AE＝CF＝1,M,N分别是AD,BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．（2）如图2,若AE＝CF＝0.5,AM＝CN＝x（0＜x＜2）,且四边形EMFN为矩形,求x的值．42．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO＝BO,DE 平分∠ADC交BC于点E,连接OE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2,求△OEC的面积．43．如图,在平行四边形ABCD中,点M,N是AD边上的点,BM,CN交于点O,AN＝DM,BM＝CN．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形．（2）若∠BOC＝90°,MN＝1,AM•MD＝12,求矩形ABCD的面积．44．如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,且AE＝DF．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠BAE：∠EAD＝2：3,求∠EAO的度数．参考答案一．矩形的性质1．解：分三种情况讨论：①如图1所示：BE＝BF＝10,等腰三角形的面积＝10×10÷2＝50（cm2）；②如图2所示：BE＝16﹣10＝6（cm）,BF＝＝8（cm）,等腰三角形的面积＝10×8÷2＝40（cm2）；③如图3所示：DE＝18﹣10＝8（cm）,DF＝＝6（cm）,等腰三角形的面积＝10×6÷2＝30（cm2）．故选：C．2．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC＝90°,AC＝BD＝8,OA＝OC＝AC＝4,OB＝OD＝BD＝4,∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠OCD,∵∠EDC：∠EDA＝1：2,∠EDC+∠EDA＝90°,∴∠EDC＝30°,∠EDA＝60°,∵DE⊥AC,∴∠DEC＝90°,∴∠DAC＝30°,∴DC＝AC＝4,∴EC＝DC＝2,故选：B．3．解：过点P作PM⊥EF于点M,如图：∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠C＝90°,∵EF∥AB,∴EF∥DC,∴∠EDC＝∠DEF,∵PH⊥DE,PM⊥EF,∴∠PMQ＝∠EHQ＝90°,又∵∠PQM＝∠EQH,∴∠QPM＝∠DEF＝∠EDC,在△PMQ和△DCE中,,∴△PMQ≌△DCE（ASA）,∴PQ＝DE,∴阴影部分的面积＝S△PDE﹣S△QED＝×DE×PH﹣DE×QH＝DE2,∴故选：B．4．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠A＝∠ADC＝90°,∵∠ADE＝α,∠EDF＝β,∠FDC＝γ,∴α+β+γ＝90°,∵∠AED+α＝90°,∠AED＝α+β,∴2α+β＝90°,∴α+β+γ＝2α+β,∴α＝γ,故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD＝1,BC＝AD＝,∵点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,∴AB＝BE＝1,CE＝CF＝﹣1,∴DF＝CD﹣CF＝2﹣,∴AF2＝AD2+DF2＝3+7﹣4＝10﹣4,故选：B．6．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAF＝90°,∵EF⊥DE,∴∠DEF＝90°,∵FM＝DM,∴AM＝EM＝DF＝×＝,∵AM⊥ME,∴∠AME＝90°,∴AE＝＝＝2,故选：B．7．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AO＝BO,∠BAD＝∠ABE＝90°,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝45°,又∵∠CAE＝15°,∴∠BAO＝45°+15°＝60°,∴△ABO是等边三角形,∴AB＝BO,又∵∠BAE＝45°＝∠AEB,∴AB＝EB,∴BO＝BE,∴∠BOE＝＝75°,∴∠COE＝180°﹣∠AOB﹣∠BOE＝180°﹣60°﹣75°＝45°,故选：A．8．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC,AB＝CD,作PE⊥AD于E,延长EP交BC于F,如图所示：则PF⊥BC,EF＝AB,∵△ADP的面积+△BCP的面积＝AD•PE+BC•PF＝BC（PE+PF）＝BC•EF＝BC•AB,∴△ADP的面积+△BCP的面积＝矩形ABCD的面积,同理：△ABP的面积+△CDP的面积＝矩形ABCD的面积,∴△ADP的面积+△BCP的面积＝△ABP的面积+△CDP的面积；故选：D．9．解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后,草坪正好可以拼成一个新的矩形,且它的长为：102﹣2＝100,宽为51﹣1＝50．所以草坪的面积应该是长×宽＝100×50＝5000．故选：C．10．解：∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OD,∴∠OAD＝∠ODA,∵∠AOD＝α,∴∠OAD＝（180°﹣α）,∵OE⊥AC,∴∠AOE＝90°,∵∠AEO＝β,∠DAE＝90°,∴∠OAD＝∠AEO,∴（180°﹣α）＝β,∴α+2β＝180°．故选：D．11．解：过点E作EM⊥AB于M,延长EG交AB于Q,则△EQM是直角三角形．∵EG⊥AC,FH⊥AC,∴∠CHF＝∠AGQ＝90°,∵矩形ABCD中,CD∥AB,∴∠FCH＝∠QAG,在△FCH和△QAG中,,∴△FCH≌△QAG（ASA）,∴AQ＝CF＝2,FH＝QG,∵∠D＝∠DAM＝∠AME＝90°,∴四边形ADEM是矩形,∴AM＝DE＝1,EM＝AD＝2,∴MQ＝2﹣1＝1,∴Rt△EMQ中,EQ＝＝＝,即EG+QG＝EG+FH＝．故选：B．12．证明：∵四边形ABCD为矩形,∴AC＝BD,∠ADC＝90°,OA＝OD,∴∠COD＝2∠ADO,又∵BE⊥AC,∴∠EOB+∠EBO＝90°,∵∠EBO＝∠BDF+∠F,∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝90°,又∵DF平分∠ADC,∴∠ADO+∠BDF＝∠ADC＝45°,∴2∠ADO+∠BDF+∠F＝45°+∠ADO+∠F＝90°,∴∠ADO+∠F＝45°,又∵∠BDF+∠ADO＝45°,∴∠BDF＝∠F,∴BF＝BD,∴AC＝BF,∵BC＝6,CD＝3,∴AD＝6,∴BF＝AC＝＝3,∵S△ABC＝AC•BE＝AB•BC,∴BE＝,∴＝＝,故选：C．13．解：如图,过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边,∴此时两三角形的高的和为AB,即可得出S1+S3＝矩形ABCD面积；同理可得出S2+S4＝矩形ABCD面积；∴②S2+S4＝S1+S3正确；当点P在矩形的两条对角线的交点时,S1+S2＝S3+S4．但P是矩形ABCD内的任意一点,所以该等式不一定成立．故①不一定正确；③若S3＝2S1,只能得出△APB与△PDC高度之比,S4不一定等于2S2；故此选项错误；∵S2+S4＝S1+S3；若S1＝S2,则S3＝S4,∴④正确．故选：B．14．解：∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE＝45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE＝AB,∵AD＝AB,∴AE＝AD,在△ABE和△AHD中,,∴△ABE≌△AHD（AAS）,∴BE＝DH,∴AB＝BE＝AH＝HD,∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣45°）＝67.5°,∴∠CED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°,∴∠AED＝∠CED,故①正确；∵AB＝AH,∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°,∠OHE＝∠AHB（对顶角相等）,∴∠OHE＝67.5°＝∠AED,∴OE＝OH,∵∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°,∠ODH＝67.5°﹣45°＝22.5°,∴∠DHO＝∠ODH,∴OH＝OD,∴OE＝OD＝OH,故②正确；∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°,∴∠EBH＝∠OHD,在△BEH和△HDF中,,∴△BEH≌△HDF（ASA）,∴BH＝HF,HE＝DF,故③正确；∵HE＝AE﹣AH＝BC﹣CD,∴BC﹣CF＝BC﹣（CD﹣DF）＝BC﹣（CD﹣HE）＝（BC﹣CD）+HE＝HE+HE＝2HE．故④正确；∵AB＝AH,∠BAE＝45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故⑤错误；综上所述,结论正确的是①②③④共4个．故选：C．15．解：∵矩形ABCD的面积是ab,阴影部分的面积是：ac+bc﹣c2,∴图中空白部分的面积是：ab﹣（ac+bc﹣c2）＝ab﹣bc﹣ac+c2．故答案为：ab﹣bc﹣ac+c2．16．解：∵AB＝4,BC＝2,∴AC＝＝＝2,∵E为AC的中点,∴AE＝EC＝,∴S△AEF＝S△ECF,∵点C关于直线EF的对称点C′,∴△CEF≌△C'EF,CE＝C'E＝,∴S△CEF＝S△C'EF,∵△EFC′与△ACF重叠部分面积等于△ACF面积的,∴S△EFG＝S△AEF＝S△CEF＝S△C'EF,∴AG＝EG,FG＝C'G,在△C'EG和△F AG中,,∴△C'EG≌△F AG（SAS）,∴AF＝C'E＝,∴BF＝AB﹣AF＝4﹣,故答案为：＝,4﹣．17．解：作PM⊥AD于M,交BC于N．则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴AM＝PE＝BN,AE＝MP＝DF,MD＝PF＝NC,BE＝PN＝FC,S△ADC＝S△ABC,S△AMP＝S△AEP,S△PBE＝S△PBN,S△PFD＝S△PDM,S△PFC＝S△PCN,∴S△EBP＝S△DPF,且S△EBP+S△DPF＝9,∴EP×BE＝PF×DF,且EP×BE+PF×DF＝9,∴EP×BE＝PF×DF＝∵BE2+EP2＝BP2＝20,PF2+DF2＝PD2＝36,∴BE+EP＝,PF+DF＝3∴BE+EP+PF+DF＝+3∴AB+AD＝+3∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2+6故答案为：2+618．解：过点O作OM⊥AB于点M,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC＝∠DAB＝90°,OA＝OB＝OC＝OD,又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE＝45°,∴△DAE为等腰直角三角形,∴AE＝DA,∵AD＝6,AB＝8,∴AE＝6,BE＝2,在Rt△DAB中,AC＝＝＝10,∴OA＝OB＝5,∵OM⊥AB,∴AM＝MB＝4,∴OM＝＝＝3,又∵ME＝MB﹣EB＝4﹣2＝2,在Rt△OME中,OE＝＝＝,故答案为：．19．解：过点C作AB的垂线垂足是E,如图所示：∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状,并使其面积为矩形木框的,∴BC＝CE,∵sin∠CBE＝＝,∴∠CBE＝∠A＝45°．故答案为：45．20．解：连接GH,如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵点G,H分别是AB,CD的中点,∴BG＝CH,BG∥CH,∴四边形BCHG是平行四边形,∴GH＝BC＝18,当EF＝GH＝18时,平行四边形GFHE是矩形,分两种情况：①AE＝CF＝t,EF＝24﹣2t＝18,解得：t＝3；②AE＝CF＝t,EF＝24﹣2（24﹣t）＝18,解得：t＝21；综上所述：当t为3s或21s时,四边形EGFH为矩形；故答案为：3或21．21．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD,∵矩形ABCD的对角线AC,BD的长度是关于x的方程x2﹣px+p+3＝0的两个实数根,∴Δ＝p2﹣4×1×（p+3）＝0,解得：p1＝6,p2＝﹣2（不符合题意,舍去）,则方程为x2﹣6x+9＝0,即AC＝BD＝3,由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2＝9,∵S＝AC×BD,∴S≤AC×BD＝,故答案为：．22．解：∵过A,B间任意一点作AD的平行线,被每条小路截得的线段长都是2米,∴S1＝2b平方米；S2＝2b平方米．∴S1＝S2．故答案为：＝．23．解：仔细观察可看出,右下方的阶梯的水平方向的线段的和等于6厘米,垂直方向的线段的和等于8厘米．则其周长刚好等于矩形的周长＝2×（8+6）＝28厘米．故答案为28．24．解：∵四边形ABD是矩形,∴AB＝CD,AD＝BC,∠A＝∠D＝90°,∵EF⊥EC,∴∠FEC＝90°,∴∠AEF+∠DEC＝90°,∵∠DCE+∠DEC＝90°．∴∠AEF＝∠DCE,在△AEF和△DCE中,,∴△AEF≌△DCE（AAS）．∴AE＝CD,AF＝DE＝2,∴AD＝AE+DE＝AE+2,∵矩形ABCD的周长为24,∴2（AE+ED+CD）＝24,∴2（2AE+2）＝24,解得：CD＝AE＝5,∴AD＝7,∴矩形ABCD的面积＝AD×CD＝7×5＝35,故答案为：35．25．解：延长AP交CD于F,∵∠APB＝90°,∴∠FPB＝90°,∴∠CPF+∠CPB＝90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB＝∠ABC＝90°,BC＝AD＝3,∴∠EAP+∠BAP＝∠ABP+∠BAP＝90°,∴∠EAP＝∠ABP,∵CP＝CB＝3,∴∠CPB＝∠CBP,∴∠CPF＝∠ABP＝∠EAP,∵∠EP A＝∠CPF,∴∠EAP＝∠APE,∴AE＝PE,∵CD2+DE2＝CE2,∴42+（3﹣AE）2＝（3+AE）2,解得：AE＝,故答案为：．26．解：∵四边形ABCD是矩形,∴O1A＝O1C,O1B＝O1D,AC＝BD,∴O1A＝O1C＝O1B＝O1D,∴＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×16cm2＝4cm2,∵四边形ABC1O1是平行四边形,O1A＝O1B,∴四边形ABC1O1是菱形,∴AC1＝2O2A,O1B＝2O1O2＝2O2B,AC1⊥BO1,∴平行四边形ABC1O1的面积是AC1×BO1＝×2AO2×BO1＝2××AO2×BO1＝2×4cm2＝8cm2,∴△ABO2的面积是＝2cm2,同理平行四边形ABC2O2的面积是4cm2,平行四边形ABC3O3的面积是2cm2,平行四边形ABC4O4的面积是1cm2,平行四边形ABC5D5的面积是cm2,平行四边形ABC6O6的面积是cm2,故答案为：．27．解：连接DE,如图：∵沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,∴四边形ABEF为正方形,∴∠EAD＝45°,由第二次折叠知,M点正好在∠NDG的平分线上,∴DE平分∠GDC,∴∠GDE＝∠CDE,∵DG为折痕,∴∠DGE＝90°＝∠C,而DE＝DE,∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS）,∴DC＝DG,∵∠EAD＝45°,∠DGA＝90°,∴△AGD为等腰直角三角形,∴AD＝DG＝CD,∴矩形ABCD长与宽的比值为,故答案为．28．解：（1）证明：连接DE,如图：∵四边形ABCD为矩形,∴∠C＝90°,AD∥BC,∴∠ADE＝∠CED,∵DF⊥AE,∴∠DFE＝90°,∴∠DFE＝∠C,∵＝λ＝1,∴AD＝AE,∴∠ADE＝∠FED,∴∠FED＝∠CED,在△DFE和△DCE中,,∴△DFE≌△DCE（AAS）,∴CE＝FE；29．解：（1）∠CGH＝∠DFE,理由：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴CG∥DF,∵GH∥EF,∴∠AGC＝∠AFD,∠AGH＝∠AFE,∵∠CGH＝∠AGC+∠AGH,∠DFE＝∠DF A+∠AFE,∴∠CGH＝∠DFE；（2）①GH平分∠AGE；理由如下：∵GH∥EF,∴∠AGH＝∠AFE,∠HGE＝∠GEF,∵CE∥DF,∴∠1＝∠GEF,∵∠1＝∠GFE,∴∠GFE＝∠GEF,∴∠AGH＝∠EGH,∴GH平分∠AGE；②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠,∴∠EFG＝∠1,∵∠DFG＝52°,∴∠EFG＝64°,∵GH∥EF,∴∠AGH＝∠AFE＝64°,∵∠EGF＝∠DFG＝52°,∴∠HGE＝64°．30．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC．∴∠ADB＝∠CBD．∴∠ADE＝∠CBF．又DE＝BF,∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴AE＝CF,∠AED＝∠CBF．∴AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形；（2）∵BD⊥AD,AB＝5,AD＝3,∴BD＝＝4,连接AC交EF于O,∴DO＝BD＝2,∴AO＝＝,∵四边形AFCE是矩形,∴AC＝EF,AO＝AC,EO＝EF,∴AO＝EO＝,∴DE＝EO﹣DO＝﹣2．二．矩形的判定31．解：四边形ABCD为矩形．理由：∵AD＝BC,AB＝DC,∵∠ABC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形．故答案为：矩形．32．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵CE＝DC,∴AB＝EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形；（2）∵由（1）知,四边形ABEC是平行四边形,∴F A＝FE,FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠ADC,∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC+∠BAF,∴∠ABC＝∠BAF,∴F A＝FB,∴F A＝FE＝FB＝FC,∴AE＝BC,∴四边形ABEC是矩形．33．证明：（1）∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD＝180°,∠ADC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD＝∠BCD,∴OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∵OA＝OB,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形；（2）如图,连接OP,∵AD＝12,AB＝5,∴BD＝＝＝13,∴BO＝OD＝AO＝CO＝,∵S△AOD＝S矩形ABCD＝×12×5＝15,∴S△AOP+S△POD＝15,∴××FP+××EP＝15,∴PE+PF＝．34．证明：①∵CN∥AB,∴∠DAC＝∠NCA,在△AMD和△CMN中,∵,∴△AMD≌△CMN（ASA）,∴AD＝CN,又∵AD∥CN,∴四边形ADCN是平行四边形,∴AD＝CN；②∵∠BAN＝90度,四边形ADCN是平行四边形,∴四边形ADCN是矩形．35．证明：（1）连接DF．∵D是BC边上的中点,∴BD＝DC,∵AF∥BC,且AF＝BD,∴AF∥DC,且AF＝DC,∴四边形ACDF是平行四边形,∴AE＝ED；（2）四边形AFBD是矩形,理由如下：由（1）得,四边形ACDF是平行四边形,∵AB＝AC,BD＝DC．∴AD⊥BC,即∠ADB＝90°．∴平行四边形AFBD是矩形．36．（1）证明：∵CE平分∠ACB,∴∠1＝∠2,又∵MN∥BC,∴∠1＝∠3,∴∠3＝∠2,∴EO＝CO,同理,FO＝CO,∴EO＝FO．（2）解：当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形．理由：∵EO＝FO,点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形,∵CF平分∠BCA的外角,∴∠4＝∠5,又∵∠1＝∠2,∴∠2+∠4＝×180°＝90°．即∠ECF＝90°,∴四边形AECF是矩形．37．（1）证明：在△ADF和△CDE中,∵AF∥BE,∴∠F AD＝∠ECD．又∵D是AC的中点,∴AD＝CD．∵∠ADF＝∠CDE,∴△ADF≌△CDE．∴AF＝CE．（2）解：若AC＝EF,则四边形AFCE是矩形．证明：由（1）知：AF＝CE,AF∥CE,∴四边形AFCE是平行四边形．又∵AC＝EF,∴平行四边形AFCE是矩形．三．矩形的判定与性质38．解：∵Rt△ABC中,∠A＝90°,AC＝8,BA＝6,∴BC＝10,连接AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴四边形EAFD是矩形,∴EF＝AD,当AD最小时,则EF最小,根据垂线段最短可知当AD⊥BC时,则AD最小,∴EF＝AD＝＝,故选：B．39．解：（1）当时间t＝7秒时,四边形BPDQ为矩形．理由如下：当t＝7秒时,P A＝QC＝7,∵AC＝6,∴CP＝AQ＝1∴PQ＝BD＝8∵四边形ABCD为平行四边形,BD＝8∴AO＝CO＝3∴BO＝DO＝4∴OQ＝OP＝4∴四边形BPDQ为平形四边形,∵PQ＝BD＝8∴四边形BPDQ为矩形,（2）由（1）得BO＝4,CQ＝7,∵BC⊥AC∴∠BCA＝90°BC2+CQ2＝BQ2∴BQ＝．40．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵BE＝AB,∴BE＝CD,∴四边形BECD是平行四边形,∵AD＝BC,AD＝DE,∴BC＝DE,∴▱BECD是矩形；（2）如图,∵CD＝3,∴AB＝BE＝3．∵AD＝6,∠ABD＝90°,∴BD＝＝＝3,∴CE＝3,∴AC＝＝＝3．41．（1）证明：连接MN,如图1所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD＝BC,∠B＝90°,∴∠EAM＝∠FCN,AC＝＝＝5,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴AM＝DM＝BN＝CN,AM∥BN,∴四边形ABNM是平行四边形,又∵∠B＝90°,∴四边形ABNM是矩形,∴MN＝AB＝3,在△AME和△CNF中,,∴△AME≌△CNF（SAS）,∴EM＝FN,∠AEM＝∠CFN,∴∠MEF＝∠NFE,∴EM∥FN,∴四边形EMFN是平行四边形,又∵AE＝CF＝1,∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝3,∴MN＝EF,∴四边形EMFN为矩形．（2）解：连接MN,作MH⊥BC于H,如图2所示：则四边形ABHM是矩形,∴MH＝AB＝3,BH＝AM＝x,∴HN＝BC﹣BH﹣CN＝4﹣2x,∵四边形EMFN为矩形,AE＝CF＝0.5,∴MN＝EF＝AC﹣AE﹣CF＝4,在Rt△MHN中,由勾股定理得：32+（4﹣2x）2＝42,解得：x＝2±,∵0＜x＜2,∴x＝2﹣．42．（1）证明：∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD＝180°,∠ADC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD＝∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC,OB＝OD,∵OA＝OB,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形．（2）解：作OF⊥BC于F,如图所示．∵四边形ABCD是矩形,∴CD＝AB＝2,∠BCD＝90°,AO＝CO,BO＝DO,AC＝BD,∴AO＝BO＝CO＝DO,∴BF＝FC,∴OF＝CD＝1,∵DE平分∠ADC,∠ADC＝90°,∴∠EDC＝45°,在Rt△EDC中,EC＝CD＝2,∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．43．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝DC,AB∥DC,AD∥BC,∴∠A+∠D＝180°,∵AN＝DM,∴AM＝DN,在△ABM和△DCN中,,∴△ABM≌△DCN（SSS）,∴∠A＝∠D,∵∠A+∠D＝180°,∴∠A＝∠D＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形．（2）解：∴△ABM≌△DCN,∴∠AMB＝∠DNC,∵AD∥BC,∴∠AMB＝∠OBC,∠DNC＝∠OCB,∴∠OBC＝∠OCB,∵∠BOC＝90°,∴△OBC是等腰直角三角形,∴AMB＝∠OBC＝45°,∴△ABM是等腰直角三角形,∴AB＝AM,∵AM•MD＝12,AN＝DM,∴AM（AM﹣1）＝12,解得：AM＝4,或AM＝﹣3（舍去）,∴AB＝AM＝4,MD＝3,∴AD＝AM+MD＝7,∴矩形ABCD的面积＝AD×AB＝7×4＝28．44．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∵AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F,∴∠AEO＝∠DFO＝90°,在△AEO和△DFO中,,∴△AEO≌△DFO（AAS）,∴OA＝OD,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形．（2）解：由（1）得：四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝∠BAD＝90°,OA＝OB,∴∠OAB＝∠OBA,∵∠BAE：∠EAD＝2：3,∴∠BAE＝36°,∴∠OBA＝∠OAB＝90°﹣36°＝54°,∴∠EAO＝∠OAB﹣∠BAE＝54°﹣36°＝18°。
八下第2章四边形2-5矩形2-5-1矩形的性质习题新版湘教版
【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°.
∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，
∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，
∴BE2＋CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴S△BCE＝12×BE×CE＝12×6×8＝24，
第2章 四边形
2.5 矩 形 2.5.1 矩形的性质
1．有一个角是___直__角___的平行四边形叫作矩形，也称为 长方形．
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2．矩形的四个角都是____直__角____，对边__平__行__且__相__等__，对 角线__互__相__平__分__且__相__等___．
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3．矩形是中心对称图形，__对__角__线__的__交__点__是它的对称中 心．矩形是轴对称图形，_过__每__一__组__对__边__中__点___的直线 都是矩形的对称轴．
由题易知S矩形ABCD＝2S△BCE.∴S矩形ABCD＝2×24＝48.
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13．[张家界永定区期中]如图，在矩形ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，DE∥AC交BA的延长线于点E.
(1)求证：DB＝DE；
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD. 又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形， ∴DE＝AC，CD＝AE，∴DB＝DE.
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4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已 知AC＝8，则OB的长度为( B ) A．2 B．4 C．6 D．8
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5．[中考·怀化]如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点 O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( C ) A．4 B．6 C．8 D．10
湘教版八年级数学下册2.5.1 矩形的性质2
2.5 矩形2.5.1 矩形的性质【知识与技能】1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.【过程与方法】经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合理推理的意识；掌握几何思维方法.并渗透运动联系、从量变到质变的观点.【情感态度】培养严谨的推理能力，以及自主学习的精神，体会逻辑推理的思维价值.【教学重点】矩形的性质.【教学难点】矩形的性质灵活应用.一、创设情境，导入新课在小学，我们初步认识了长方形，你能举出日常生活中有关长方形的例子吗？观察教材图2-41的长方形，它是平行四边形吗？它有什么特点呢？我们这节课就来学习它.【教学说明】用学生身边熟悉的例子入手，同时以提问的方式引起学生的思考和注意，激发学生的求知欲望，让他们愉快地投入到学习中去.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知问题1 矩形的定义做一做用教具演示活动平行四边形的变化过程，当变化到有一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？引出矩形的定义.【教学说明】这里既复习了四边形的不稳定性，又通过演示操作观察得出矩形的概念，学生一目了然.问题2 矩形的性质提问 ①当□ABCD 变为矩形时，它的四个角有什么变化？对边、对角有什么关系？②沿矩形对边中点折叠，你有什么发现？绕着对角线的交点旋转180°呢？【教学说明】让学生经历知识形成的过程，动手操作得出的结论既直观，印象又深刻，更易于理解.思考 教材第59页“动脑筋”【教学说明】利用三角形全等得出矩形的另一条性质对角线相等，让学生明白它的由来.例：教材第59页“例1”【教学说明】利用所学的矩形的性质进行有关的证明与计算，一方面学生熟练运用，另一方面加深理解.三、运用新知，深化理解1.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，∠AOB=60°，AB=5，则AD 的长是（ ） A.52 B.53C.5D.102.如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D′处，若AB=3，AD=4，则ED 的长为（）A.23 B.3 C.1 D.43 3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD=5cm ，则EF=cm.4.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足为E，连接DF.求证：（1）△ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分线.【教学说明】让学生自主完成，加深对所学知识的理解和运用以及检查学生的掌握情况，对有困难的学生及时给予帮助，及时纠正出现的错误，并加以强化.在完成上述题目后，让学生完成练习册中本课时的对应训练部分.答案：1.B 2.A 3.54.证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠DEA=∠B=90°，∵AF=BC，∴AF=AD，∴△ABF≌△DEA.（2）由（1）知△ABF≌△DEA，∴DE=AB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，DC=AB，∴DC=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DCF(HL)，∴∠EDF=∠CDF，即DF是∠EDC的平分线.四、师生互动，课堂小结通过今天的学习，你掌握了矩形的哪些性质？还有什么心得与大家共享?存在哪些困难?与大家共同讨论.【教学说明】引导学生回顾所学知识点，加深印象，相互学习，共同提高.1.布置作业：习题2.5中的第1、5题.2.完成练习册中本课时练习的作业部分.通过学生动手操作，观察实验得出结论，既有理性思考，又能让数学活动与知识的学习有机的结合.在教学中要注意学生的薄弱环节，对于学习中出现的问题及时矫正，同时进行必要的补充.。
湘教版八年级数学下册 矩形同步练习题(Word版含答案)
湘教版八年级数学下册《2-5矩形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,D为边AC上一动点,DE⊥AB于点E,DF⊥BC 于点F,则EF的最小值为（）A．4.8B．C．D．132．如图,四边形ABCD中,以对角线AC为斜边作Rt△ACE,连接BE、DE,BE⊥DE,AC,BD互相平分．若2AB＝BC＝4,则BD的值为（）A．2B．C．3D．43．如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA＝OB,若AD＝4,∠AOD＝60°,则AB 的长为（）A．4B．2C．8D．84．如图,点P是矩形ABCD的边上一动点,矩形两边长AB、BC长分别为15和20,那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．6B．12C．24D．不能确定5．如图,矩形ABCD中,点E在BC上,且AE平分∠BAC,AE＝CE,BE＝2,则矩形ABCD的面积为（）A．24B．24C．12D．126．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,若∠COD＝50°,那么∠CAD的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题7．如图,在矩形纸片ABCD中,边AB＝12,AD＝5,点P为DC边上的动点（点P不与点D,C 重合）,将纸片沿AP折叠,则CD′的最小值为．8．如图,四边形ABDE是长方形,AC⊥DC于点C,交BD于点F,AE＝AC,∠ADE＝62°,则∠BAF的度数为．9．如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE ＝15°,则∠BOE的度数等于．10．如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,已知∠AOD＝120°,AB＝1,则BC的长为．11．如图,矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,点P在对角线BD上,且BP＝BA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为．三．解答题12．如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H,求证：四边形EFGH是矩形．13．在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上,AF＝CE,连接DF,CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时,若CE＝3,BC＝5,求CD的长．14．如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点A作AF⊥CD,垂足为F,延长DC到点E,使CE＝DF,连接BE．（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）若AB＝5,CF＝2,AC⊥BD,连接OE,求OE的长．15．如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO＝CO,BO＝DO,且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）DF⊥AC,若∠ADF：∠FDC＝2：1,则∠BDF的度数是多少？16．如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°．（1）求作点D,使四边形ABCD是矩形；（要求：尺规作图,不写作法,保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下,连接BD,若AB＝3,BC＝1,求BD的长．17．如图,平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE＝DF,∠AEC＝90°．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接BF,若AB＝4,∠ABC＝60°,BF平分∠ABC,求平行四边形ABCD的面积．18．如图,在▱ABCD中,过点D作DF⊥BC于点F,点E在边AD上,AE＝CF,连结BE、CE．（1）求证：四边形BFDE是矩形．（2）若DE＝AB,∠ABC＝130°,求∠DEC的度数．19．如图,已知点E是▱ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF＝BC．（1）求证：四边形ABFC为矩形；（2）若△AFD是等边三角形,且边长为6,求四边形ABFC的面积．20．如图,已知四边形ABCD是平行四边形,延长AB到E,使BE＝AB,连接BD、ED、EC．若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连结AC、若AD＝5,CD＝2,求AC的长．参考答案一．选择题1．解：如图,连接BD,∵∠B＝90°,AB＝12,BC＝5,∴AC＝＝＝13,∵DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,∴四边形DEBF是矩形,∴EF＝BD,由垂线段最短可得BD⊥AC时,线段BD最短,则EF最小,此时,S△ABC＝BC•AB＝AC•BD,即×12×5＝×13•BD,解得：BD＝,∴EF的最小值为．故选：B．2．解：连接OE,如图所示：∵2AB＝BC＝4,∴AB＝2,∵AC,BD互相平分,∴OA＝OC,OB＝OD,四边形ABCD是平行四边形,∵以AC为斜边作Rt△ACE,∴OE＝OA＝OC＝AC,∵BE⊥DE,∴OE＝OB＝OD＝BD,∴AC＝BD,∴四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC＝4,∠BAD＝90°,∴BD＝＝＝2,故选：A．3．解：∵四边形ABCD为平行四边形,∴OD＝OB＝BD,OA＝OC＝AC,∵OA＝OB,∴OA＝OD,AC＝BD,∴▱ABCD是矩形,又∵∠AOD＝60°,∴△AOD为等边三角形．∴∠ADB＝60°．∴tan∠ADB＝＝．∴AB＝AD＝4．故选：A．4．解：连接OP,如图所示：∵四边形ABCD是矩形,∴AC＝BD,OA＝OC＝AC,OB＝OD＝BD,∠ABC＝90°,S△AOD＝S矩形ABCD,∴OA＝OD＝AC,∵AB＝15,BC＝20,∴AC＝＝＝25,S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75,∴OA＝OD＝,∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75,∴PE+PF＝12．∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12．故选：B．5．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,∴∠BAC+∠BCA＝90°,∵AE平分∠BAC,AE＝CE,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA,∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°,∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°,∴AE＝CE＝2BE＝4,AB＝2,∴BC＝BE+CE＝6,∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．6．解：∵矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∴DB＝AC,OD＝OB,OA＝OC,∴OA＝OD,∴∠CAD＝∠ADO,∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO,∴∠CAD＝25°,故选：B．二．填空题7．解：连接AC,当点D'在AC上时,CD'有最小值,∵四边形ABCD是矩形,AB＝12,AD＝5,∴∠D＝∠B＝90°,AD＝BC,∴AC＝,由折叠性质得：AD＝AD'＝5,∠AD'P＝∠D＝90°,∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8,故答案为：8．8．解：∵四边形ABDE是矩形,∴∠BAE＝∠E＝90°,∵∠ADE＝62°,∴∠EAD＝28°,∵AC⊥CD,∴∠C＝∠E＝90°∵AE＝AC,AD＝AD,∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴∠EAD＝∠CAD＝28°,∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°,故答案为：34°．9．解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC＝BD,OA＝OC,OB＝OD,∠BAD＝90°,∴OA＝OB,∠DAE＝∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE＝45°＝∠AEB,∴AB＝BE,∵∠CAE＝15°,∴∠DAC＝45°﹣15°＝30°,∠BAC＝60°,∴△BAO是等边三角形,∴AB＝OB,∠ABO＝60°,∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°,∵AB＝OB＝BE,∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）＝75°．故答案为75°．10．解：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC＝90°,OA＝AC,OB＝BD,AC＝BD,∴OA＝OB,∵∠AOD＝120°,∴∠AOB＝60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA＝AB＝1,∴AC＝2OA＝2,∴BC＝＝＝；故答案为：．11．解：∵矩形ABCD中,AB＝5,AD＝12,∠BAD＝∠BCD＝90°,∴BD＝＝13,∵BP＝BA＝5,∴PD＝BD﹣BP＝8,∵BA＝BP,∴∠BAP＝∠BP A＝∠DPQ,∵AB∥CD,∴∠BAP＝∠DQP,∴∠DPQ＝∠DQP,∴DQ＝DP＝8,∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3,∴在Rt△BCQ中,根据勾股定理,得BQ＝＝＝3．故答案为：3．三．解答题12．证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD＝180°,∵BH,CH分别平分∠ABC与∠BCD,∴∠HBC＝∠ABC,∠HCB＝∠BCD,∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°,∴∠H＝90°,同理∠HEF＝∠F＝90°,∴四边形EFGH是矩形．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵AF＝CE,∴FB＝ED．∴四边形DFBE是平行四边形,∵BE⊥CD,∴∠BED＝90°．∴四边形DFBE是矩形；（2）解：由（1）得：四边形DFBE是矩形,∴DE＝BF,∵CF平分∠DCB,∴∠DCF＝∠BCF,∵AB∥CD,∴∠DCF＝∠CFB,∴∠BCF＝∠CFB,∴BF＝BC＝5,∴DE＝BF＝5,∴CD＝DE+CE＝5+3＝8．14．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵CE＝DF,∴CE+CF＝DF+CF,即EF＝CD,∴AB＝EF,∴四边形ABEF是平行四边形,又∵AF⊥CD,∴∠AFE＝90°,∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴OB＝OD,平行四边形ABCD是菱形,∴AD＝CD＝AB＝5,∴DF＝CD﹣CF＝5﹣2＝3,∵AF⊥CD,∴∠AFD＝90°,∴AF＝＝＝4,由（1）得：四边形ABEF是矩形,∴∠BEF＝90°,BE＝AF＝4,∵CE＝DF＝3,∴DE＝CD+CE＝8,∴BD＝＝＝4,又∵OB＝OD,∴OE＝BD＝2．15．（1）证明：∵AO＝CO,BO＝DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC＝∠ADC,∵∠ABC+∠ADC＝180°,∴∠ABC＝∠ADC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：由（1）得：∠ADC＝90°,四边形ABCD是矩形,∵∠ADF：∠FDC＝2：1,AC＝BD,∴∠FDC＝30°,∵DF⊥AC,∴∠DCO＝90°﹣30°＝60°,∵AO＝CO,BO＝DO,∴OC＝OD,∴∠ODC＝∠DCO＝60°,∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝30°．16．解：（1）如图所示：四边形ABCD就是所求作的矩形．（2）在Rt△ABC中,AB＝3,BC＝1,∴AC＝＝＝,∵四边形ABCD是矩形,∴BD＝AC＝．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC＝AD,BC∥AD,又∵BE＝DF,∴BC﹣BE＝AD﹣DF,即EC＝AF,∴四边形AECF为平行四边形,又∵∠AEC＝90°,∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵∠AEB＝90°,∠ABE＝60°,∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°,∴BE＝AB＝2,∴AE＝＝＝2,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFB＝∠CBF,∵BF平分∠ABC,∴∠ABF＝∠CBF,∴∠AFB＝∠ABF,∴AF＝AB＝4,∵四边形AECF是矩形,∴EC＝AF＝4,∴BC＝BE+EC＝2+4＝6,∵∠AEC＝90°,∴AE⊥BC,∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝6×2＝12．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴ED∥BF．∵ED＝AD﹣AE,BF＝BC﹣CF,AE＝CF,∴ED＝BF．∴四边形BFDE是平行四边形．∵DF⊥BC,∴∠DFB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,∠ADC＝∠ABC＝130°,∵DE＝AB,∴DE＝CD,∴．19．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AB∥CD,∴∠BAE＝∠CFE,∵点E是▱ABCD中BC边的中点,∴BE＝CE,∵∠AEB＝∠FEC,∴△ABE≌△FCE（AAS）,∴AB＝FC,∵AB∥FC,∴四边形ABFC是平行四边形,又∵AF＝BC,∴平行四边形ABFC为矩形；（2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形,∴∠ACF＝90°,∵△AFD是等边三角形,∴AF＝DF＝6,CF＝DF＝3,∴AC＝＝＝3,∴四边形ABFC的面积＝AC×CF＝3×3＝9．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∵BE＝AB,∴BE＝CD,∴四边形BECD是平行四边形,∵AD＝BC,AD＝DE,∴BC＝DE,∴平行四边形BECD是矩形；（2）解：∵CD＝2,∴BE＝AB＝CD＝2．∴AE＝2AB＝4,由（1）得：四边形BECD是矩形,∴CE＝BD,∠DBE＝90°,∴∠ABD＝90°,∴CE＝BD＝＝＝,在Rt△ACE中,由勾股定理得：AC＝＝＝．。
新湘教版初中数学八年级下册2.5.1矩形的性质2精编习题
ODCBAON M DC BA 25 矩形251 矩形的性质1 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A 对边相互平行B 对角线相等 对角线相互平分 D 对角相等 2 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等 ．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直3 在矩形ABD 中 对角线交于O 点，AB=6 B=8 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________4 一个矩形周长是16c 对角线长是7c 那么它的面积为__________________5 如图 矩形ABD 的对角线交于O 点 若OA=1 B= 那么∠BD 的大小为________________6 如图 矩形ABD 对角线交于O 点 且满足AM=BN 给出以下结论 ①MN //D; ②∠DMN=∠MN; ③OMDONCS S= 其中正确的是______________PHD CBAEDCBAOEDC BA7 如图 在矩形ABD 中 AE 平分∠BAD ∠AE=15︒ 那么∠BOE 的度数为__________________8 在矩形ABD 中 AB=3 B=4 P 为形内一点 那么PA+PB+P+PD 的最小值为__________________9 在△AB 中 AM 是中线 ∠BA=90︒ AB=6c A=8c 那么AM 的长为_______10. 如图 在矩形ABD 中DE ⊥A 于点E B=那么E=________；BE=_________11. 如图 在矩形ABD 中 AP=D PH=P （1）求证：△ABH ≌△PAD ； （2）求证 PB 平分∠BHF EDCB AFE D CBA12 如图， 在矩形ABD 中 △EF 为等腰直角三角形 （1）求证：AE=AB ；（2）若矩形ABD 的周长为16c DE=2c 求△EF 的面积13. 如图 在矩形ABD 中 AD=12 AB=7 DF 平分∠AD AF ⊥EF （1）求证：AF=EF ； (2)求EF 长;14.如图，在矩形ABD中，AB=3，B=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△1DE（2）求图中阴影部分的面积★15 如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC=，F是AE中点．求证：BF DF⊥．CC1D ABAB CEFD。
湘教版八下数学2.5.1《矩形的性质》说课稿
湘教版八下数学2.5.1《矩形的性质》说课稿一. 教材分析湘教版八下数学2.5.1《矩形的性质》是本册教材中的重要内容，学生在学习了《平行四边形的性质》的基础上，进一步研究矩形的性质。
矩形是日常生活中常见的图形，具有广泛的应用价值。
本节课通过研究矩形的性质，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用意识。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了平行四边形的性质，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。
但是，对于矩形的性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和操作来加深理解。
此外，学生对于数学证明可能还存在一定的困难，因此在教学过程中，需要引导学生参与证明过程，提高他们的证明能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握矩形的性质，能运用矩形的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、证明等过程，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和数学证明能力。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与生活的紧密联系，增强学生对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的性质及其应用。
2.教学难点：矩形性质的证明，以及如何运用矩形性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论式教学法和探究式教学法，引导学生主动参与教学过程，提高学生的思维能力和证明能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，增强学生的直观感受和空间想象能力。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的矩形实例，引导学生关注矩形，激发学生的学习兴趣。
2.探究矩形的性质：让学生观察矩形的特征，引导学生发现矩形的性质，并通过小组合作，共同探讨矩形性质的证明。
3.证明矩形的性质：引导学生利用平行四边形的性质，证明矩形的性质，培养学生的数学证明能力。
4.矩形的应用：让学生运用矩形的性质解决实际问题，体会数学与生活的紧密联系。
5.总结提升：对本节课的内容进行总结，强化学生对矩形性质的理解和记忆。
湘教版八下数学第2章四边形.1矩形的性质习题课件
题组二：直角三角形斜边上的中线定理
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的
长是( )
A.20
B.10
C.5
D. 5
2
【解析】选C.∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB
边
1
2
上的中线，∴CD= AB=5.
2.著名画家PPT不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.
2.5 矩 形 2.5.1 矩形的性质
1.了解矩形的定义,理解矩形与平行四边形的区分和联系.(重 点) 2.会用矩形的性质进行计算或证明.(重点、难点) 3.掌握矩形的轴对称性和中心对称性.(重点)
一、矩形的定义 有一个角是_直__角__的平行四边形. 二、矩形的性质 在矩形ABCD中,∠BAD=90°,对角线AC与BD相交于点O.
提示:视察图形时,误认为四边形为矩形而出现错误.
∠AOD＝120°，则AB的长为( )
A. 3 cm
B.2 cm
C.2 3 cm
D.4 cm
【解析】选D．∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝ 1AC＝4 cm．
2
3.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC
【自主解答】∵在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D, ∴△ADC是直角三角形.∵E是AC的中点, ∴DE=1 AC(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半),
2
又∵DE=5,∴AC=2DE=10, ∵AB=AC,∴AB=10. 答案:10
【总结提升】直角三角形斜边上中线的性质及应用 1.性质: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (2)直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角 形. 2.应用: (1)证明线段的平行、相等或倍分关系. (2)证明角相等.
湘教版八年级数学下册矩形的性质1同步练习题
2.5 矩形2.5.1 矩形的性质要点感知1 有一个角是__________角的平行四边形叫作矩形.预习练习1-1四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的定义，添加一个条件：_______________，可使它成为矩形.要点感知2 矩形的四个角都是__________，对边相等，对角线__________，对角线__________.预习练习2-1 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°要点感知3矩形是中心对称图形，__________是它的对称中心.矩形是轴对称图形，__________都是矩形的对称轴.预习练习3-1 矩形是轴对称图形，矩形的对称轴有__________条.知识点1 矩形的定义1.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件可以是__________.2.如图，在2×3的矩形方格图中，矩形个数有__________个.3.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图1)，使AB=CD，EF=GH；(2)摆放成如图2所示的四边形，则这时窗框的形状是__________，根据数学道理是：____________________；(3)将直角尺紧靠窗框的一个角(如图3)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4)，说明窗框合格，这时窗框是__________形，根据的数学道理是：____________________.知识点2 矩形的性质4.如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°第4题图第5题图第6题图5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，则四边形CODE的周长是( )A.4B.6C.8D.106.如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( )A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC.△AOD≌△EODD.△AOD≌△BOC7.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为__________.第7题图第8题图第9题图8.如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC,BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是__________.9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD 的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长=__________cm.10.已知:如图，在矩形ABCD中,E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF.求证：AF=CE.11.已知矩形ABCD的周长为20 cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O 作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F(不与顶点重合)，则以下关于△CDE 与△ABF判断完全正确的一项为( )A.△CDE与△ABF的周长都等于10 cm，但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等，且周长都为10 cmC.△CDE与△ABF全等，且周长都为5 cmD.△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定12.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C 与点A重合，则折痕EF的长为( )A.6B.12C.25D.45第12题图第13题图13.如图，矩形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，连接DE和BF，分别取DE,BF的中点M,N，连接AM,CN,MN，若2，3的面积为__________.14.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长.15.如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6.(1)求证：△EDF≌△CBF；(2)求∠EBC.16.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证：BD＝BE；(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积.参考答案要点感知1直预习练习1-1 答案不唯一，如∠ABC＝90°要点感知2 直角互相平分相等预习练习2-1 B要点感知3 对角线的交点过每一组对边中点的直线预习练习3-1 21.答案不唯一，如∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°2.183.（2）平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）矩有一个角是直角的平行四边形是矩形4.C5.C6.A7.108.4个9.910.证明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠D=∠B=90°，∵BE=DF，∴△ADF≌△CBE.∴AF=CE.11.B 12.D 13.14.∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴△AOB是等边三角形.∴AO=AB=4.∴AC=2AO=8.15.(1)证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，∠DFE=∠BFC，∠E=∠C，DE=BC，∴△DEF≌△BCF(AAS).(2)在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6.∴∠ABD=30°.由折叠的性质可得：∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.16.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形.∴BE ＝AC. ∴BD ＝BE.(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AO ＝OC ＝BO ＝OD ＝4，即BD ＝8. ∵∠DBC ＝30°， ∴∠ABO ＝90°-30°＝60°.∴△ABO 是等边三角形，即AB ＝OB ＝4， 于是AB ＝DC ＝CE ＝4.在Rt △DBC 中，DC=4，BD=8，BC . ∵AB ∥DE ，AD 与BE 不平行，∴四边形ABED 是梯形，且BC 为梯形的高.∴四边形ABED 的面积＝12·(AB+DE)·BC ＝12·(4+4+4)·＝. 考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x 2－4x ＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝kx (k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠013．B 14.k≥1。
20春八数下(湘教版)2.5.1 矩形的性质2 同步练习
ODCB AONM DCBA E DCBAOEDCB A 2.5 矩形 2.5.1 矩形的性质1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对边相互平行B. 对角线相等C. 对角线相互平分D. 对角相等 2. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A ．对角线互相平分且相等 B ．四个角相等 C ．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直3. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=6, BC=8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.4. 一个矩形周长是16cm, 对角线长是7cm, 那么它的面积为__________________.5. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若OA=1,, 那么∠BDC 的大小为________________.6. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMD ONC S S =V V . 其中正确的是______________.7. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.8. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.9. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_______. 10. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,BC=, CD=2, 那么CE=________；BE=_________PH DCBA FED C B AFED CB A11. 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, （1）求证：△ABH ≌△PAD ； （2）求证: PB 平分∠CBH.12. 如图， 在矩形ABCD 中, △CEF 为等腰直角三角形, （1）求证：AE=AB ；（2）若矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm,求△CEF 的面积.13. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, （1）求证：AF=EF ； (2)求EF 长;14.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD重叠，（1）求证：△ABE≌△C1DE（2）求图中阴影部分的面积.★15.如图矩形ABCD中，延长CB到E，使CE AC=，F是AE中点．求证：BF DF⊥．CD ABAB CEFD。
2019-2020学年八年级数学下册2.5.1矩形的性质课时作业新版湘教版 .doc
2019-2020学年八年级数学下册2.5.1矩形的性质课时作业新版湘教版一、选择题1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对边相等C 、对角相等D 、对角线互相平分2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）A.对角线相等B.四个角相等C.是轴对称图形D.对角线互相垂直3、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分。
B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形4、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm二、填空题1、矩形的一组邻边长分别是3cm 和4cm 则它的对角线长是 。
2、矩形ABCD 的对角线的长为2，∠BDC=300,则矩形ABCD 的面积为______.3、矩形两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为3.6cm ，则对角线的长为_____cm.4、矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，AB=6，BC=8，则△ABO 的周长为_____5、在Rt △ABC 中，斜边AC 上的中线和高分别是6cm 和5cm ，则Rt △ABC 的面积是 。
6、已知矩形的一条对角线的长度为2cm ，两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的各边长是 .三、解答题1、如图，矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，ED=5cm ，EC=3cm ，求矩形的周长。
2矩形ABCD 中，AB=2BC ，AE=AB ，求∠EBC 的度数。
3如图，矩形AEFG 和矩形ADCB 的大小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L 型图案，已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。
4如图，已知矩形ABCD 中，F 是BC 上一点，且AF=BC ，DE ⊥AF ，垂足是E ，连接DF ．求证：（1）△ABF ≌△DEA ；（2）DF 是∠EDC 的平分线．A D CB E A BCDE A B GF E D C 1 2 第1题第2题 第3题 第4题参考答案：一、1、A；2、D；3、B；4、C；二、1、5cm；23、7.2cm；4、16,；5、30cm2；6、1cm；三、1、CD=4=AB，又AE平分∠BAD ∴BE=AB，BC=7矩形的周长=2(4+7)=22；2、∵AE=AB， AB=2BC， AD=BC，∴AE=2AD，△ADE是直角三角形，∴∠AED=30°=∠EAB ，∵AE=AB，∴∠AEB=75°=∠ABE ，∴∠EBC=15°；3、∠1=45 °,∠2=15 °；4、提示：（1）由AAS得证结论。
八年级数学下册2.5.1矩形的性质同步练习湘教版
2.5。
1矩形的性质同步练习一、选择题（本大题共8小题)1。
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )A.30°B.60° C。
90° D.120°2. 如图,点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点,且AD=DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是( ）A.△AOB≌△BOCB.△BOC≌△EODC。
△AOD≌△EOD D.△AOD≌△BOC3. 如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB,则∠AOB的大小是（ )A。
30° B.45°C。
60° D.90°4。
如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°,AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C．2 D．45。
如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b,∠1=60°，则∠2的度数为( ）A．30°B．45° C．60° D．75°6. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（)A． B． C． D．7. 如图,在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点,且DE=DA，AF⊥DE,垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF8。
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4。
8 B．5 C．6 D．7.2二、填空题（本大题共6小题）9. 已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．10。
如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．11. 如图,矩形ABCD中,对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB= ．12. 如图,在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD 的长为．13。
2020-2021学年湘教版数学八年级下册2.5.1《矩形的性质》同步练习(含答案)
湘教版数学八年级下册2.5.1《矩形的性质》同步练习一、选择题1.下列关于矩形的说法，正确的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分2.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠一次，则图中全等三角形有（）A.2对B. 3对C. 4对D.5对3.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′=60°，则∠AED的大小是（）A.60°B.50°C.75°D.55°4.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5．过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE长是（）A.1.6B.2.5C.3D.3.45.如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A.10cmB.8cmC.6cmD.5cm6.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分7.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°8.如图，矩形ABCD中，E在AD上，EF⊥EC，EF=EC，DE=2，矩形周长为16，则AE长是( )A.3B.4C.5D.7二、填空题9.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，则∠AEF=______．10.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm.11.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，EF⊥AD交AD于点F，若EF=3，AE=5，则AD= ．12.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是_____三、解答题13.如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的。
湘教版数学八年级下册(课时训练)2.5.1矩形的性质.docx
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初中数学试卷
桑水出品
2.5.1矩形的性质
1．填空
（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．
（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为 cm，cm， cm， cm．
2．选择
（1）下列说法错误的是（）．
（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等
（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．
（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对
（3）矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm，较短边的长为（）．
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
3.解答
（1）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．
（2）．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．
（3）．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE。
求证：∠CBE的度数．
（4）．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°。
求∠AEO的度数．
桑水。
八年级数学下册 2.5.1《矩形的性质》课时作业 湘教版(2021学年)
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《矩形的性质》一、选择题1。
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分2．下面性质中，矩形不一定具有的是（）A。
对角线相等B。
四个角相等 C.是轴对称图形D。
对角线互相垂直3、下列叙述错误的是( )Ａ。
平行四边形的对角线互相平分。
B。
平行四边形的四个内角相等。
Ｃ.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90º的平行四边形是矩形４、矩形ABＣD的对角线相交于点O,如果ABC∆的周长大1０cｍ，则AＤ的∆的周长比AOB长是（）A、5cｍB、7.5cmC、１0cmD、12.5cm二、填空题1、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm则它的对角线长是。
2、矩形ＡBCＤ的对角线的长为2,∠BDC＝300，则矩形ABＣD的面积为____＿_。
3、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短的边长为3。
6cｍ，则对角线的长为＿_＿__cm。
4、矩形ABCD中,AC、ＢD相交于点O，ＡB=６，BC=8,则△AＢO的周长为＿____5、在Rｔ△AＢＣ中，斜边AC上的中线和高分别是6cｍ和5cｍ，则Rｔ△AＢC的面积是。
6、已知矩形的一条对角线的长度为2cm,两条对角线的一个夹角为６0°,则矩形的各边长是。
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O
D
C
B A
O
N
M D
C
B
A E D
C
B
A
O
E
D
C
B A 2.5 矩形 2.5.1 矩形的性质
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对边相互平行
B. 对角线相等
C. 对角线相互平分
D. 对角相等 2. 在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ） A ．对角线互相平分且相等 B ．四个角相等 C ．是轴对称图形 D ．对角线互相垂直
3. 在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=6, BC=8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______________.
4. 一个矩形周长是16cm, 对角线长是7cm, 那么它的面积为__________________.
5. 如图, 矩形ABCD 的对角线交于O 点, 若OA=1,
, 那么∠BDC 的大小为________________.
6. 如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②
∠DMN=∠MNC; ③OMD
ONC
S
S
=. 其中正确的是______________.
7. 如图, 在矩形ABCD 中, AE 平分∠BAD, ∠CAE=15︒, 那么∠BOE 的度数为__________________.
8. 在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为__________________.
9. 在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_______. 10. 如图, 在矩形ABCD 中,DE ⊥AC 于点E,
BC=, CD=2, 那么CE=________；
BE=_________
11. 如图, 在矩形ABCD
中, AP=DC, PH=PC,
P
H D
C
B
A F
E
D C B A
F
E
D C
B A
（1）求证：△ABH ≌△PAD ； （2）求证: PB 平分∠CBH.
12. 如图， 在矩形ABCD 中, △CEF 为等腰直角三角形, （1）求证：AE=AB ；
（2）若矩形ABCD 的周长为16cm, DE=2cm,求△CEF 的面积.
13. 如图, 在矩形ABCD 中, AD=12, AB=7, DF 平分∠ADC, AF ⊥EF, （1）求证：AF=EF ； (2)求EF 长;
14. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD 重叠，
（1）求证：△ABE ≌△C 1DE
C
D
A
（2）求图中阴影部分的面积.
★15. 如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点． 求证：BF DF ⊥．
A
B
C
E
F
D。