浙江省杭州市拱墅区2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版)
2017浙教版九年级数学期末试题及答案
34．若 y 关于 x 的反比例函数 y 2m 5 经过点（ x3， -7） ，则它不经过的点是（ ▲ ）5. 已 知 圆 锥 的 母 线 长 为 6cm ， 底 面 圆 的 半 径 为3cm ，12 2 (x 1) ，④ y 5x (x 0) 中， y 随 x 的 2增大而增大的函数有（ ▲ ）7．如图，若 P 为△ ABC 的边 AB 上一点（ AB > AC ） ，则下列条件不能推出△ ACP ∽△ ABC 的有（ ▲ ） 10 小题，每题 3 分，共30 分）的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答卷中相应的格子内 .注意可以用多种不同的方法来选取正确答案 k 1．已知反比例函数 y k （k 0） 的图象经过点（ x3， 2） ，那么该 反比例函数图象经过（ ▲ ） 2．下列各组中四条线段成比例的是（ A ．第一、三象限 C ．第一、四象限 A. 4cm 、 2cm 、 1cm 、 3cm C. 25cm 、 35cm 、 45cm 、 55cm 3．已知 CD 是 Rt △ ABC 斜边 AB 上的高， A. 4 5 B. 34 B ．第二、四象限 D ．第二、三象限 B. 1cm 、 D. 1cm 、 AC ＝ 8， BC ＝ 6， C. 2cm 、 3cm 、 4cm 2cm 、 20cm 、 40cm 则 cos ∠ BCD 的值是（▲） D. 3 5A ． ( -3,7 )B ． ( -7,3 )C ． 1 (17 , 9)D ． ( -3,-7 ) ▲) 2A ． 18 cm 2B ． 36 cm 2C ． 24 cm 2 2D ． 27cm 2 A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④ 则此圆锥的表面展开图的面积为6. 下列函数：① x 1 ，③ y39． Rt △ ABC 中，∠C ＝ 90o ， a 、 b 、 c 分别是∠ A 、∠ B 、∠C的对边，那么 c 等于（ ▲ ）A ．∠ ACP ＝∠B B ．∠ APC ＝∠ ACB AC APC ．AB ACD ．PC AC BCAB8．在平面直角坐标系中，如果抛物线 那么在新坐标系下抛物线的解析式是（A ． y 2（x 3）2 322x 不动，而把 x轴、y 轴分别向上、向右平移 3 个单位，九年级数学期末试题卷二（第 B ． D ． y 2(x 3) y 2(x 3)1 页，共 4 页）3A. acosA bsin BB. asin A bsin BC. a bD. a bsin A sin BcosA sin B10．下列命题中，正确的命题个数有（ ▲ ）①平分一条弦的直径一定垂直于弦； ②相等的两个圆心角所对的两条弧相等； ③两个相似梯形的面积比是 1:9 ，则它们的周长比是 1:3 ； ④在⊙ O 中，弦 AB 把圆周分成1∶ 5 两部分，则弦 AB 所对的圆周角是 30o ；1⑤正比例函数 y 2x 与反比例函数 y 的图象交于第一、三象限；x⑥△ ABC 中， AD 为 BC 边上的高，若 AD ＝ 1 ， BD ＝1 ，CD ＝ 3 ，则∠BAC 的度数为 105A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个二、认真填一填（本题有6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案 .11 ．抛物线y （x 2） 2 5 顶点坐标是 ▲ .12k12.若双曲线 y 的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是 ▲ .13．如图，A 、B 、C 为⊙O 上三点，∠ACB ＝ 25o ，则∠ BAO的度数为 ▲ .14．△ ABC 中， D 是 AB 的中点， DE ⊥ AB 交 AC 于点 E ，若AB ＝ 10cm ，cosA ＝ 0.8，则 DE ＝ ▲ .15．已知二次函数 y （x 3m ）2 m 1 （ m 为常数） ，当 m 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系” . 该抛物线系中所有抛物线的顶点都在一条直线上，那么这条直线的解析式是 y ▲ .16．如图，在钝角△ABC 中，AB ＝ 6cm ， AC ＝ 12cm ，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点E 从 C 点出发到 A 点止．点 D 运动的速度为 1cm/秒，点 E 运动的速度为 2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点 A 、 D 、 E 为顶点的三角形与△ ABC 相似时，运动的时间是 ▲秒 .三、全面答一答（本题有7 小题，共 66 分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 . 如果觉得有的题目 有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.九年级数学期末试题卷二（第2 页，共 4 页）17．（本小题满分 6 分）已知扇形的圆心角为240o，面积为π cm2.1）求扇形的弧长；2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？18．（本小题满分8 分）（1）计算：2sin 30 （2011 ）0 3 tan60 cos2 60 ；（2）已知x ∶ y∶ z＝2∶ 3∶ 4，求x 2y z 的值.x y 3z19．（本小题满分8 分）如图，已知A、B、C、 D 是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（ 1 ）求证：△ABE∽△ABD；（2）已知BE＝3，ED＝6，求BC的长.20．（本小题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b （k ≠ 0）的图象与反比例函数y （m ≠ 0）xA、 B 两点.1 ）根据图象分别求出反比例函数和一次函数的解析式；2）根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值；3）在反比例函数图象上取点 C 1 ,2 ，求三角形ABC的面积。
拱墅区初三期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. πD. 0.1010010001……2. 已知a=3，b=-2，那么a² - b²的值为（）A. 5B. -5C. 7D. -73. 下列各图中，能表示y=kx+b（k≠0）的是（）4. 在直角坐标系中，点A（2，3），点B（-3，-1），那么AB的中点坐标是（）A. (-1, 1)B. (-1, 2)C. (1, 2)D. (1, 1)5. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，4，7，那么第10项an的值为（）A. 19B. 22C. 25D. 286. 若a，b，c是等比数列，且a+b+c=12，ab+bc+ca=36，则abc的值为（）A. 6B. 8C. 12D. 247. 已知函数f(x)=x²-2x+1，那么f(2x)的值为（）A. 4x²-4x+1B. 4x²-8x+1C. 4x²-4xD. 4x²-8x8. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，那么∠C的度数是（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°9. 已知等腰三角形ABC中，底边BC=8，腰AB=AC=10，那么三角形ABC的面积是（）A. 40B. 50C. 60D. 8010. 下列各数中，无理数是（）A. √16B. √-25C. πD. 0.3333……二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a=3，b=-2，那么a² + b²的值为________。
12. 已知等差数列{an}的第4项为10，第7项为18，那么该数列的首项a₁为________。
13. 在直角坐标系中，点P（-2，3），点Q（4，-1），那么PQ的长度是________。
14. 已知等比数列{an}的第3项为8，第6项为32，那么该数列的公比q为________。
2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级(上)期末数学试卷
2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列哪些事件是必然事件（）A．5月1日前一天是4月30日B．一匹马的奔跑速度是70米/秒C．射击运动员一次命中10环D．明年元旦是晴天2．（3分）抛物线y=5（x+2）2﹣3图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）3．（3分）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，AB=4，则tanA的值为（）A．B．C．D．4．（3分）有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是（）？A.3根B.4根C.5根D.6根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（）A．，1 B．，C．1，D．，5．（3分）将抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（）A．y=2（x+4）2+5 B．y=2（x﹣4）2+5 C．y=2（x+4）2﹣5 D．y=2（x﹣4）2﹣56．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E．若DE=4，=，则下列选项中错误的是（）A．△ADE∽△ABCB．BC=10C．=D．=7．（3分）下列有关圆的一些结论：①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．（3分）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A．πB．1 C．πD．29．（3分）如图，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，点D是边AC上一点，且满足BC2=CD•AC，DE与AB相交于点F，则图中有（）对相似三角形．A．6 B．7 C．8 D．910．（3分）如图，抛物线y=﹣x2+20的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成20等份，设分点分别为P1，P2，…，P19，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，记△OP1Q1，△P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，S19，则S12+S22+…+S192的值为（）A．47 B．47.5 C．48 D．48.5二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）己知=，那么的值为．12．（4分）已知抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a的值是，当x≤0时，y随x的增大而．13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=20°，则∠C的大小为度．14．（4分）如图，点P到坐标原点O的距离OP=6，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα=，则点P的坐标为．15．（4分）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为．16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB 于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D1，过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，记S△BDE为S1，S记为S2，S记为S3，…，若S△ABC面积为1，则S2= ；S n= （用含n代数式表示）．三、全面答一答（本大题共7小题，共66分）17．（6分）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．18．（8分）如图，已知等边△ABC．（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；（2）若AB=4，求△ABC的外接圆半径R．19．（8分）某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．20．（10分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．21．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点．若EC=2，tan∠CEB=2．（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；（2）求⊙O的面积．22．（12分）如图，已知一张直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D 处，已知AE=2.5，求△AEF的面积．（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．①试证明：四边形AEMF是菱形．②求CM的长．23．（12分）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），过点A的直线AD∥BC，交抛物线于另一点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线AD的解析式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在；求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列哪些事件是必然事件（）A．5月1日前一天是4月30日B．一匹马的奔跑速度是70米/秒C．射击运动员一次命中10环D．明年元旦是晴天【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、5月1日前一天是4月30日是必然事件；B、一匹马的奔跑速度是70米/秒是不可能事件；C、射击运动员一次命中10环是随机事件；D、明年元旦是晴天是随机事件，故选：A．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）抛物线y=5（x+2）2﹣3图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．【解答】解：∵y=5（x+2）2﹣3，∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3），故选D．【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．3．（3分）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，AB=4，则tanA的值为（）A．B．C．D．【分析】在直角△ABC中首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用正切函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，BC===，则tanA==．故选C．【点评】本题考查了三角函数的定义与勾股定理，理解三角函数的定义是关键．4．（3分）有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是（）？A.3根B.4根C.5根D.6根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（）A．，1 B．，C．1，D．，【分析】根据共有四个选项，在这四个选项中只有一个正确，在不知道的情况下，答对的概率是；在知道的情况下，答对的概率就是1．【解答】解：∵共有4种情况，四个选项中只有一个正确，∴在不知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，答对的概率是；在知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率是1；故选A．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．（3分）将抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（）A．y=2（x+4）2+5 B．y=2（x﹣4）2+5 C．y=2（x+4）2﹣5 D．y=2（x﹣4）2﹣5【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：函数y=2x2先向右平移4个单位，得：y=2（x﹣4）2；再向上平移5个单位，得：y=2（x﹣4）2+5；故选：B．【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．6．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E．若DE=4，=，则下列选项中错误的是（）A．△ADE∽△ABCB．BC=10C．=D．=【分析】根据题意可以得到△ADE∽△ABC，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故选项A正确，∴=，，∵DE=4，=，∴，∴AB=10，=，=，故选项B正确，选项C错误，∴，故选项D 正确，故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用相似三角形的性质解答问题．7．（3分）下列有关圆的一些结论：①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②、③进行判断；根据扇形的面积公式对④进行判断．【解答】解：弦的垂直平分线经过圆心，正确，∴①正确；∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，错误，∴②错误；∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦的弦心距才相等，∴③错误；∵等弧所在的扇形面积都相等，∴④正确；即正确的个数为2，【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和扇形的面积计算．8．（3分）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A．πB．1 C．πD．2【分析】根据扇形的面积公式S=lr，其中l=r，求解即可．【解答】解：∵S=lr，∴S=×2×2=2，故选D．【点评】本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半．9．（3分）如图，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，点D是边AC上一点，且满足BC2=CD•AC，DE与AB相交于点F，则图中有（）对相A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先根据△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形可得出ABC∽△EBD，再由BC2=CD•AC可得出△BCD∽△ABC，∠CBD=∠ABD=∠A=36°，故可得出△BCD∽△EBD；同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD；△ADF∽△EBF∽△ABD．【解答】解：∵△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，∴ABC∽△EBD．∵BC2=CD•AC，∴△BCD∽△ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=36°，∴△BCD∽△EBD；同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD，△ADF∽△EBF∽△ABD．故选D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理与等腰三角形的性质是解答此题的关键．10．（3分）如图，抛物线y=﹣x2+20的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成20等份，设分点分别为P1，P2，…，P19，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，记△OP1Q1，△P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，S19，则S12+S22+…+S192的值为（）A．47 B．47.5 C．48 D．48.5【分析】根据等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P18P19=1，再利用抛物线解析式求出P1Q1，P2Q2，…，P19Q19的平方的值，利用三角形的面积表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．【解答】解：∵P1，P2，…，P19将线段OA分成20等份，∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P18P19=1，∵过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，∴﹣x2+20=1，解得x2=19，∴S12=（×1×P1Q1）2=×19，同理可得S22=×18，S32=×17，…S192=×1，∴w=S12+S22+S32+…+S192=×19+×18+×17+…+×1=×=47.5，故选B．【点评】本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键．二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）己知=，那么的值为．【分析】根据题意令a=3，b=4，代入即可得出答案．【解答】解：∵=，∴令a=3，b=4，∴原式==，故答案为．【点评】本题考查了分式的值，掌握分式值的求法是解题的关键．12．（4分）已知抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a的值是 3 ，当x ≤0时，y随x的增大而减小．【分析】把（﹣1，3）代入抛物线y=ax2（a≠0），可得a；根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．【解答】解：把（﹣1，3）代入抛物线，有（﹣1）2a=3，即a=3；∵a=3＞0，∴抛物线开口向上，∵对称轴x=0，∴当x≤0时，y随x的增大而减小．故答案为：3，减小．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握a决定开口方向，a和对称轴决定增减性是解答此题的关键．13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=20°，则∠C的大小为70 度．【分析】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA、三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理求即可得∠C的度数．【解答】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=20°，∴∠OBA=20°；∴∠AOB=180°﹣2×20°=140°；而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=70°，故答案是：70．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、圆周角定理．解答此类题目时，经常利用圆的半径都相等的性质，将圆心角置于等腰三角形中解答．14．（4分）如图，点P到坐标原点O的距离OP=6，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα=，则点P的坐标为（4，2）．【分析】过点P作PA⊥x，垂足为A，由cosA、OP可求出P点的横坐标OA，再由勾股定理求出P点的纵坐标PA．【解答】解：过点P作PA⊥x，垂足为A．∵cosA=，OP=6，∴0A=4．在Rt△OPA中，PA==2．所以点P的坐标为（4，2）故答案为：（4，2）【点评】本题主要考察了解直角三角形的相关定义．理解余弦的意义构造直角三角形是解决本题的关键．15．（4分）已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为或．【分析】首先根据题意画出图形，然后作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：如图，作OM⊥AB与M，∵AB=8，∴BM=AB=×8=4，∵PB=3，∴PM=1，P′M=7，在直角△OBM中，OM==3；在Rt△OPM中，OP==．在Rt△OMP′中，OP′==．∴OP=或OP=．故答案是：或．【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．16．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB 于E，连接BE交AD于D1；过D1作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D1，过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，记S△BDE为S1，S记为S2，S记为S3，…，若S△ABC面积为1，则S2= ；S n=（用含n代数式表示）．【分析】根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出S1=，S2=，得出规律，即可得出结果．【解答】解：∵D是边BC的中点，DE∥AB，∴E为AC的中点，设△ABC的高是h，过E作EM⊥BC于M，∵BD=DC，DE∥AB，∴AE=EC，∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴AD∥EM，∴DM=MC，∴EM=AD=h，∴S1=•BC•AD==，∵DE∥AB，D1E1∥AB，∴=2=，∴S2=•AE•h﹣•AE•h==，同理S3==，…S n=，故答案为：；．【点评】本题主要考查对三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据求出的结果找出规律是解此题的关键．三、全面答一答（本大题共7小题，共66分）17．（6分）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．18．（8分）如图，已知等边△ABC．（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；（2）若AB=4，求△ABC的外接圆半径R．【分析】（1）分别作出AC和BC的垂直平分线，两线的交点就是圆心O的位置，再以CO长为半径画圆即可；（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，首先根据等腰三角形三线合一的性质计算出∠OCF=30°，再根据勾股定理计算出CO的长度即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，连接AO，CO，∵△ABC是正三角形，AF⊥BC，∴∠FAC=∠BAC=30°，CF=BC=2，∵AO=CO，∴∠ACO=30°，∴∠OCF=60°﹣30°=30°，∴OF=OC，设OC=2x，则OF=x，x2+（2）2=（2x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），∴R=2OF=4．【点评】此题主要考查了三角形外接圆以及利用勾股定理，基本作图，关键是掌握如何确定三角形外接圆的圆心：其中两条边的垂直平分线的交点．19．（8分）某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长，进而由BC=AC﹣AB得解．【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，∠BAD=90°，AB=3m，∴AD=3m．在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°=，∴AC=3．∴BC=AC﹣AB=（3﹣3）m．答：路况显示牌BC的高度是（3﹣3）m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．20．（10分）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的顶点式即可得；（2）求得h=0时t的值即可；（3）根据h的最大值即可得．【解答】解：（1）∵h=20t﹣5t2=﹣5（t﹣2）2+20，∴t=2时，h最大，最大值为20m，答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米；（2）令h=0，得：20t﹣5t2=0，解得：t=0或t=4，∴足球从开始踢至回到地面需要4秒；（3）由（1）知足球的最大高度为20米，∴0≤m＜20．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．21．（10分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点．若EC=2，tan∠CEB=2．（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；（2）求⊙O的面积．【分析】（1）由圆周角定理得出∠A=∠D，∠B=∠C，即可得出△ABE∽△DCE；连接BC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由三角函数定义得出BC=2EC=4，由勾股定理求出BE即可；（2）由已知得出，得出DC=BC=4，由相似三角形的性质得出，求出AB=4，得出AO=2，由圆的面积公式即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE∽△DCE；连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠CEB==2，∴BC=2EC=4，∴BE===2；（2）解：∵C为弧BD的中点，∴，∴DC=BC=4，∵△ABE∽△DCE，∴，即，∴AB=4，∴AO=2，∴⊙O的面积=π•（2）2=20π．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、圆的面积公式；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．22．（12分）如图，已知一张直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D 处，已知AE=2.5，求△AEF的面积．（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．①试证明：四边形AEMF是菱形．②求CM的长．【分析】（1）首先证明△AEF∽△ABC，可得=（）2=（）2=，由此即可解决问题．（2）①只要证明AE=EM=MF=AF即可．②设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，由四边形AEMF为菱形，推出EM∥AB，推出△CEM∽△CAB，可得=，即=，求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由折叠可知，EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∴S△AEF=××3×4=．（2）如图2中，①由折叠可知，AE=EM，AF=FM，∠AFE=∠MFE，∵MF∥CA，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF是菱形．②设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CEM∽△CAB，∴=，即=，解得x=，∴AE=EM=，CE=，∴CM==．【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用此时构建方程解决问题，属于中考常考题型．23．（12分）如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），过点A的直线AD∥BC，交抛物线于另一点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线AD的解析式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在；求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；解方程组得D（4，﹣5）；（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，只要当=或=时，△PBC∽△ABD，求出AD=5，AB=4，BC=3，代入比例式解得BP的长度，即可得到P（，0）或P（﹣，0）．【解答】解：（1）∵次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，∴0=1+b，∴b=﹣1，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1．由，得或，∴D（4，﹣5）；（3）①∵BC∥AD，∴∠DAB=∠CBA，又∵D（4，﹣5），∴∠ABD≠45°，点P在点B得到左侧，∴只可能△ABD∽△BPC或△ABD∽△BCP，∴=或=，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（4，﹣5），∵AD=5，AB=4，BC=3，即=或=，解得BP=或BP=，∵3﹣=，3﹣=﹣，∴P（，0）或P（﹣，0）．【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值的求法，相似三角形的判定和性质，解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解或错解．。
浙江省杭州市滨江区2017-2018学年九年级(上)期末数学试卷 含解析
2017-2018学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）2．下面事件是随机事件的是（）A．掷一枚硬币，出现反面B．在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾C．实数的绝对值不小于零D．如果a，b是实数，那么a•b＝b•a3．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，∠ACD的正弦值是，则的值是（）A．B．C．D．5．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm 7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下面结论正确的是（）A．a＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，c＜0，b2﹣4ac＜08．已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）A．r＞6 B．6＜r＜8C．6＜r＜10 D．6＜r＜8或8＜r＜109．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E在AB上，AE＝2，HF是CE的垂直平分线，交CD 的延长线于点F，连结EF交AD于点G，则的值是（）A．B．C．D．10．下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：①当x＝0时，y有最小值6；②若n为实数，且n＞1，则x＝2+n时的函数值大于x＝n时的函数值；③若n＞2，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的函数值有（2n﹣2）个；④若函数图象过点（a，y0），（b，y0+1），则a ＜b，其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④二、填空题（每小题4分，共24分）11．计算：cos60°+sin245°﹣tan30°•tan60°＝．12．⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离d＝10，则⊙O与直线l的位置关系是．13．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：请用频率估计概率的方法估计这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是．14．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝．15．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆与点D，以C为圆心，CD 为半径画弧DE交AB于E点，若AB＝4cm，则图中阴影部分面积为cm2．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝2，∠B＝30°，正六边形DEFGHI完全落在Rt△ABC内，且DE在BC边上，F在AC边上，H在AB边上，则正六边形DEFGHI的边长为，过I作A1C1∥AC，然后在△A1C1B内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n个正六边形的边长为．三、解答题（本大题共有7个小题，共66分）17．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．19．如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm，D、E、F分别是边AB、BC、CA（含端点）上的点，设BD＝CE＝AF＝x（cm），△DEF的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）求△DEF的面积y的最大值和最小值．20．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱下滑至如图所示位置时，AB＝2m，已知木箱高BE ＝1m，斜面坡角为32°．（参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480，tan32°＝0.6249）（1）求点B到AC的距离．（精确到0.1m）（2）求木箱端点E距地面AC的高度．（精确到0.1m）21．如图，已知一块等边三角形钢板ABC的边长为60厘米．（1）用尺规作图能从这块钢板上截得的最大圆（作出图形，保留作图痕迹），并求出此圆的半径．（2）用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？22．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣4ax，其中为常数且a＜0．（1）若函数y＝ax2﹣4ax的图象经过点（2，4），求此函数表达式；（2）若抛物线y＝ax2﹣4ax的顶点在双曲线上，试说明k的符号；（3）已知（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），（0＜m＜1）都是抛物线y＝ax2﹣4ax（a＜0）上的点，请判断y1，y2，y3的大小，并说明理由﹒23．如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为∠α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数的度数猜想：、、∠α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若∠α＝60°，AB＝2，CD＝1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒①求弦CG的长；②求圆O的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x+1）2﹣2的顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：由y＝（x+1）2﹣2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2），故选：D．2．下面事件是随机事件的是（）A．掷一枚硬币，出现反面B．在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾C．实数的绝对值不小于零D．如果a，b是实数，那么a•b＝b•a【分析】直接利用随机事件以及不可能事件和必然事件的定义分析得出答案．【解答】解：A、掷一枚硬币，出现反面，是随机事件，符合题意；B、在标准大气压下，水加热到8℃时会沸腾，是不可能事件，不合题意；C、实数的绝对值不小于零，是必然事件，不合题意；D、如果a，b是实数，那么a•b＝b•a，是必然事件，不合题意；故选：A．3．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．4．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，∠ACD的正弦值是，则的值是（）A．B．C．D．【分析】利用直角三角形的性质及三角函数的定义可得sin∠B＝sin∠ACD，即可求出的值．【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，因而∠B＝∠ACD，∴sin∠B＝sin∠ACD＝＝．故选：B．5．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°【分析】首先把它们转换成相同的锐角三角函数；再根据余弦值是随着角的增大而减小，进行分析．【解答】解：∵sin30°＝cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故选：C．6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm 【分析】点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BE＝AB＝20，再利用勾股定理计算出OE＝15，然后分别计算出DE和CE即可．【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝20，在Rt△OAE中，∵OA＝25，AE＝20，∴OE＝＝15，∴DE＝OD+OE＝40，CE＝OC﹣OE＝10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，下面结论正确的是（）A．a＜0，c＜0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，c＞0，b2﹣4ac＜0C．a＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，c＜0，b2﹣4ac＜0【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可判断a和c的符号，根据与x轴交点的个数可判断△的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交点在x轴下方可判断c＜0，∵图象与x轴交于两点，∴b2﹣4ac＞0，故选项A正确；故选：A．8．已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是（）A．r＞6 B．6＜r＜8C．6＜r＜10 D．6＜r＜8或8＜r＜10【分析】先求出矩形对角线的长，然后由A，C，D与⊙B的位置，确定⊙B的半径的取值范围．【解答】解：因为AB＝6，BC＝8，所以根据矩形的性质和勾股定理得到：BD＝．∵BA＝6，BC＝8，BD＝10，而A，C，D中至少有一个点在⊙B内，且至少有一个点在⊙B外，∴点A在⊙B内，点D在⊙B外．因此：6＜r＜10．故选：C．9．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E在AB上，AE＝2，HF是CE的垂直平分线，交CD 的延长线于点F，连结EF交AD于点G，则的值是（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理计算出CE＝，再利用HF是CE的垂直平分线得到CH＝，接着证明Rt△FCH∽Rt△CEB，利用相似比计算出FC＝，所以DF＝，然后证明△FDG∽△EAG，从而利用相似比可得到的比值．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AE＝2，∴BC＝4，CD＝3，BE＝1，∴CE＝＝，∵HF是CE的垂直平分线，∴CH＝CE＝，FH⊥CE，∵CF∥AB，∴∠FCH＝∠CEB，∴Rt△FCH∽Rt△CEB，∴＝，即＝，∴FC＝，∴DF＝﹣3＝∵DF∥AE，∴△FDG∽△EAG，∴＝＝＝．故选：C．10．下列关于函数y＝x2﹣4x+6的四个命题：①当x＝0时，y有最小值6；②若n为实数，且n＞1，则x＝2+n时的函数值大于x＝n时的函数值；③若n＞2，且n是整数，当n≤x≤n+1时，y的函数值有（2n﹣2）个；④若函数图象过点（a，y0），（b，y0+1），则a ＜b，其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．②④【分析】分别根据二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标公式及抛物线的增减性对各选项进行逐一分析．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴当x＝2时，y有最小值2，故①错误；当x＝2+n时，y＝（2+n）2﹣4（2+n）+6，当x＝2﹣n时，y＝（n﹣2）2﹣4（n﹣2）+6，∵（2+n）2﹣4（2+n）+6﹣[（n﹣2）2﹣4（n﹣2）+6]＝0，∴n为任意实数，x＝2+n时的函数值等于x＝2﹣n时的函数值，大于x＝n时的函数值，故②正确；∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，a＝1＞0，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＝n+1时，y＝（n+1）2﹣4（n+1）+6，当x＝n时，y＝n2﹣4n+6，（n+1）2﹣4（n+1）+6﹣[n2﹣4n+6]＝2n﹣3，∵n是整数，∴2n﹣3是整数，∴y的整数值有（2n﹣2）个；故③正确；∵抛物线y＝x2﹣4x+6的对称轴为x＝2，1＞0，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，∴无法判断a＜b，故④错误，故选：B．二．填空题（共6小题）11．计算：cos60°+sin245°﹣tan30°•tan60°＝0 ．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．【解答】解：原式＝+（）2﹣×，＝+﹣1，＝0．故答案为：0．12．⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离d＝10，则⊙O与直线l的位置关系是相切．【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系：当d＝r时，则直线和圆相切．故答案为相切．13．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：请用频率估计概率的方法估计这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是0.90 ．【分析】对于不同批次的某种菜籽的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．【解答】解：＝（2+4+9+60+116+282+639+1339+1806+2715）÷（2+5+10+70+130+310+700+1500+2000+3000）＝6972÷7727≈0.90，当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.90，故用频率估计概率，这批油菜籽在相同条件下的发芽概率是0.90．故答案为：0.90．14．如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：EC＝9：2，则CD＝2．【分析】先利用勾股定理得到BD2＝180，设BE＝9x，EC＝2x，利用射影定理得到BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，于是CD2＝CE•CB＝2x•11x＝40，从而得到CD的长．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，设BE＝9x，EC＝2x，∵DE⊥BC，∴BD2＝BE•BC，即180＝9x（9x+2x），解得x2＝，∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22×＝40，∴CD＝2．故答案为2．15．如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆与点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB＝4cm，则图中阴影部分面积为+cm2．【分析】阴影部分的面积＝S半圆﹣（S ADC+S扇形CDE）＝S半圆﹣（S扇形OAD﹣S△CDO+S扇形CDE）．【解答】解：连接AD，OD，BD，可得△ACD∽△CDB，有CD2＝AC•CB，∴CD＝cm，OC＝1cm，tan∠COD＝：1，∴∠AOD＝60°，即△AOD是等边三角形，∴S扇形OAD＝cm2，S△CDO＝CO•CD＝cm2．∴S ADC＝S扇形OAD﹣S△CDO＝（﹣）cm2，S扇形CDE＝×π（）2＝πcm2．∴阴影部分的面积＝S半圆﹣（S ADC+S扇形CDE）＝（+）cm2．故答案为：+16．如图，Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝2，∠B＝30°，正六边形DEFGHI完全落在Rt△ABC内，且DE在BC边上，F在AC边上，H在AB边上，则正六边形DEFGHI的边长为，过I作A1C1∥AC，然后在△A1C1B内用同样的方法作第二个正六边形，按照上面的步骤继续下去，则第n个正六边形的边长为（）n﹣1×（）n．【分析】如图，连接AG，延长HG交AC于J．则易知AJ＝JF＝CF，设EF＝a，则EC＝a，CF＝a．构建方程求出a，探究规律利用规律即可解决问题；【解答】解：如图，连接AG，延长HG交AC于J．则易知AJ＝JF＝CF，设EF＝a，则EC ＝a，CF＝a．∴3CF＝AC，∴a＝AC，在Rt△ABC中，∵AB＝2，∠B＝30°，∴AC＝AB＝1，∴a＝，易知A1C1＝a，∴第二个正六边形边长为：××＝（）1×（）2，同法可得第三个正六边形的边长为：＝（）2×（）3，∴第n个正六边形的边长为：（）n﹣1×（）n，故答案为：，（）n﹣1×（）n；三．解答题（共7小题）17．袋中装有3红1白除颜色外一样的球，一次随机取出两只球，请用列表或画树状图的方法求摸出两球是一红一白的概率．【分析】画树状图展示所有种等可能的结果数，再找摸出两球是一红一白的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸出两球是一红一白的结果数为6，所以摸出两球是一红一白的概率＝＝．18．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为AC边上一点，且（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）求△ADE与四边形DBCE的面积比．【分析】（1）根据已知求出＝＝，根据相似三角形的判定定理得出即可；（2）根据相似三角形的性质求出△ADE和△ABC的面积之比，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵，∴＝＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；（2）解：∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝（）2＝，∴△ADE与四边形DBCE的面积比是4：5．19．如图，一张正三角形的纸片的边长为2cm，D、E、F分别是边AB、BC、CA（含端点）上的点，设BD＝CE＝AF＝x（cm），△DEF的面积为y（cm2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；（2）求△DEF的面积y的最大值和最小值．【分析】（1）根据题意可知△AEG≌△BEF≌△CFG三个三角形全等，且在△AEG中，AE ＝x，AG＝2﹣x；可得△AEG的面积y与x的关系；（2）利用二次函数的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵AF＝BD＝CE＝x，且等边△ABC的边长为2，∴BE＝CF＝AD＝2﹣x，∵AB＝BC＝AC，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）．在△ADF中，AF＝x，AD＝2﹣x，∵S△DEF＝AD×AF×sin A＝x（2﹣x）；∴y＝S△ABC﹣3S△AEG＝﹣3×x（2﹣x）＝﹣x+（0≤x≤2）．（2）∵y＝﹣x+∴其图象为二次函数，且开口向上，∵0≤x≤2，∴≤y≤，∴△DEF的面积的最大值为，最小值为．20．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱下滑至如图所示位置时，AB＝2m，已知木箱高BE ＝1m，斜面坡角为32°．（参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480，tan32°＝0.6249）（1）求点B到AC的距离．（精确到0.1m）（2）求木箱端点E距地面AC的高度．（精确到0.1m）【分析】（1）作BH⊥AC与H．根据sin32°＝计算即可；（2）作EN⊥AC与N交AB与M．分别求出EM、MN即可；【解答】解：（1）作BH⊥AC与H．∵sin32°＝，∴BH＝2×0.5299≈1.1（m）．∴点B到AC的距离为1.1m．（2）作EN⊥AC与N交AB与M．在Rt△EMB中，∠MEM＝32°，∴EM＝≈1.18（m），BM＝EB•tan32°≈0.62，∴AM＝AB﹣BM＝0.38（m），∴MN＝AM•sin32°≈0.73（m），∴EN＝EM+MN＝1.18+0.73≈1.9（m）．∴木箱端点E距地面AC的高度为1.9m．21．如图，已知一块等边三角形钢板ABC的边长为60厘米．（1）用尺规作图能从这块钢板上截得的最大圆（作出图形，保留作图痕迹），并求出此圆的半径．（2）用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？【分析】（1）作AM⊥BC垂足为E，BF⊥AC，AM交BF与点O，以O为圆心OE为半径画圆即可；（2）OB的长即为外接圆的半径；【解答】解：（1）⊙O如图所示；在Rt△BOE中，BE＝30cm，∠OBE＝30°，∴OE＝BE•tan30°＝10（cm），∴⊙O的半径为10（cm）．（2）在Rt△BOE中，OB＝2OE＝20（cm），用一个圆形纸板完全覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是20cm．22．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2﹣4ax，其中为常数且a＜0．（1）若函数y＝ax2﹣4ax的图象经过点（2，4），求此函数表达式；（2）若抛物线y＝ax2﹣4ax的顶点在双曲线上，试说明k的符号；（3）已知（m，y1）、（m+1，y2）、（m+2，y3），（0＜m＜1）都是抛物线y＝ax2﹣4ax（a＜0）上的点，请判断y1，y2，y3的大小，并说明理由﹒【分析】（1）把点（2，4）代入y＝ax2﹣4ax中，可得a的值，由此得函数表达式；（2）将抛物线的解析式配方后可得顶点坐标，代入反比例函数解析式，可得k的符号；（3）根据抛物线对称轴和开口方向可得增减性，根据0＜m＜1，可确定m和m+1在对称轴的左侧，m+2在对称轴的右侧，根据对称性和增减性可得结论．【解答】解：（1）把点（2，4）代入y＝ax2﹣4ax中得：4a﹣8a＝4，a＝﹣1，∴此函数表达式为：y＝﹣x2+4x；（2）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x+4﹣4）＝a（x﹣2）2﹣4a，∴顶点（2，﹣4a），∵顶点在双曲线上，∴k＝2×（﹣4a）＝﹣8a，∵a＜0，∴k＞0；（3）∵a＜0∴抛物线开口向下，∵抛物线对称轴是x＝2，∴当m＜2时，y随x的增大而增大，且x＝m+2与x＝2﹣m对称，∵m＜m+1＜2，∴y1＜y2，（2﹣m）﹣（m+1）＝1﹣2m，当0＜m＜时，2﹣m＞m+1，y3＞y2＞y1，当m＝时，y3＝y2＞y1；当＜m＜1时，m+1＞2﹣m＞m，y2＞y3＞y1．23．如图1，圆O的两条弦AC、BD交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为∠α（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：的度数的度数猜想：、、∠α的度数之间的等量关系，并说明理由﹒（2）如图2，若∠α＝60°，AB＝2，CD＝1，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D重合，同时B落在圆O上的点，连接CG﹒①求弦CG的长；②求圆O的半径．【分析】（1）连接BC，如图1，先利用三角形外角性质得到∠α＝∠B+∠C，再利用圆周角与它所对弧的度数之间的关系得到∠B＝的度数，∠C＝的度数，所以∠α＝（的度数+的度数）；（2）①连接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如图2，利用旋转的性质得＝，AB＝DG＝2，利用由（1）的结论得到的度数为120°，则∠COG＝120°，关键圆周角定理计算出∠CDG＝120°，则∠GDF＝60°，于是通过解直角三角形可计算出CG的长；②利用垂径定理得到CH＝GH＝，然后通过解直角三角形求出OG即可．【解答】解：（1）∠α＝（的度数+的度数）．理由如下：连接BC，如图1，∠α＝∠B+∠C，而∠B＝的度数，∠C＝的度数，∴∠α＝（的度数+的度数）；（2）①连接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如图2，∵将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点G，∴＝，AB＝DG＝2，由（1）得的度数+的度数＝2∠α＝120°，的度数+的度数＝2∠α＝120°，即的度数为120°，∴∠COG＝120°，∴∠CAG＝60°，而∠CAG+∠CDG＝120°，∴∠CDG＝120°，∴∠GDF＝60°，在Rt△GDF中，DF＝DG＝1，GF＝DF＝，在Rt△CFG中，CG＝＝；②∵OH⊥CG，∴CH＝GH＝CG＝，∵∠OGH＝（180°﹣120°）＝30°，∴OH＝GH＝×＝，∴OG＝2OH＝，即圆O的半径为．。
2016~2017学年浙江杭州西湖区初三上学期期末数学试卷(解析)
∠A = α
BC = m
教师版
答案版
∴ ， BC sin α =
AB
∴ ， m AB = sin α
故选A．
编辑
8. 下列语句中，正确的是（ ）．
①三个点确定一个圆．②同弧或等弧所对的圆周角相等．③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．④圆内接平行四
边形一定是矩形．
A. ①②
B. ②③
C. ②④
故选A．
编辑
D. −4
D. 2 y = −x − 2
3. 小明的妈妈让他在无法看到袋子里糖果的情形下从袋子里抽出一颗糖果．袋子里有三种颜色的糖果，它们的大小、形状、质 量等都相同，其中所有糖果的数量统计如图所示．小明抽到红色糖果的概率为（ ）．
A. 5
18
B. 1
3
C. 2
15
D. 1
15
答案 B
解析
=
， 1 x
2
当 时， ， x = 2
1 y= ×2=1
2
11 ∴点C 在线段OA上，
12/ ∵AB，C D都垂直于x轴，且C D = 、 1 AB = 3，
18/ ∴ ， △OC D ∽ △OAB
0 2
2 ∴ ， S△OCD
CD
1
=(
)=
m S△OAB
AB
9
.co 则△OCD与四边形ABDC 的面积比为1 : 8 ，
A. −− 2√10
B. 12
C. −− 2√10 + 10
D. 或 −− 12 2√10 + 10
答案 D
解析
∵ ， ， ， ， ∠A = ∠A AD = EC BD = 10 AE = 4
杭州市拱墅区九年级上期末考试数学试题及答案
九年级(上)数学(Z)杭州市拱墅区期末统考卷满分：120分 考试时间：100分钟一 选择题：每小题3分，共10小题，共30分。
1.超市有4个入口和2个出口，小方从进人超市到走出超市，一共有（ ）种不同的出入路线的可能.A.2B.4C.6D.82.在Rt △ABC 中，已知∠C=90°,AC=1，BC=2,则sin B 的值是（ ） A.55 B.552 C.21 D.33 3.已知二次函致y=ax2 (a ≠o)的图象经过(2,-3),则a 的值是( )A.43B.43-C.32-D.92- 4.已知一个扇形的半径为R,圆心是n °，当这个扇形的面积与一个直径为R 的圆面积相等时，这个扇形的圆心角的度数是（ ）A.180°B.120°C.90°D.60°5.如图，线段AB//CD ，连结AD ，BC 交于点O ，若CD=2AB.则下列选项中错误的是（ ）A.△AOB ∽△DOCB.21=OC AOC.41=∆∆的面积的面积DOC AOBD.21=∆∆的周长的周长DOC AOB6.下列有关圆的一些结论:①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆中同弦所对的圆周角相等；④圆内接四边形对角互补.其中正确结论的个数是（ ）A.0B.1C.2D.37.如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，AC=3 cm ，BC=4 cm ，判断下列结论：①圆心在∠B 的平分线上，且与BC ，BA 都相切的圆只有一个；②以C 为圆心，2.4 cm 为半径作⊙C ，则⊙C 与直线AB 相切；③以B 为圆心，3 cm 为半径作⊙B ，则⊙B 与直线CD 相交；④BC 是△ACD 的外接圆的切线.则以上结论正确的是（ ）A.①②B.②③C.②④D.①③④8.有长度分别为1cm ，3cm ，5cm ，7cm ，9cm 的五条线段，从中任选三条作边，能构成三角形的概率为（ ） A.52 B.92 C.31 D.103 9.已知关于x 的函致y=(x-1)[(k-1)x+(k-2)](k 是常数).设k 分别取0,1.2时，所对应的函教为y 0,y 1,y 2，某学习小组通过画图、探索，得到以下结论：①函教y 0,y 1,y 2的用象郁经过点(1，0)；②满足y 1>y 2的取值范围是-1 <x<1； ③不论k 取何实数，y=(x-1)[(k-1)x+(k-2)]的图象都经过点（1,0）和点（-1,2）.则以上结论正确的是（ ）A.①B.②③C.①②D.①②③10.如图，在⊙0中，AB 是直径，点C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作⊙O 的切线CE ，过点B 作BD//CE ，交⊙O 于点D ，交AC 于点F ，连结DC.以下结论:①弧CD=弧BC ；②AC=BD ；③∠CAB=∠DBA ；.④当AB=8,AC=7时,8157 BF .其中正确结论的个数是（ ）二 填空题：每小题4分， 共6小题，共24分。
2017-2018学年浙江省杭州市余杭区九年级(上)期末数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意画一个三角形，其内角和为180°D．任意一个二次函数图象与x轴必有交点3．（3分）函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3分）如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB＝36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°5．（3分）已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A．B．C．D．6．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2 7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．C．8D．9．（3分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD＝α，则的值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．tan﹣2α10．（3分）一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A．①②④B．①③④C．②D．①②③④二、填空题11．（4分）若7x＝3y，则＝．12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan B＝．13．（4分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．14．（4分）如图，AB是圆O的直径，∠A＝30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD ＝6，则CE的长为．15．（4分）若函数y＝（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．16．（4分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝．三、解答题17．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．18．（8分）如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）19．（8分）如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD＝h为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．20．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y＝x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．21．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD＝2，BC＝6，AB＝8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD＝a，BC＝b，AB＝m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP ∽△BPC？并说明理由．22．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx+c（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．23．（12分）已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE ＝CD＝8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．2017-2018学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：sin30°＝，故选：A．2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意画一个三角形，其内角和为180°D．任意一个二次函数图象与x轴必有交点【解答】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次，是随机事件，故此选项错误；C、意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项正确；D、任意一个二次函数图象与x轴必有交点，是随机事件，故此选项错误；故选：C．3．（3分）函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵y＝x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5，∴抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣5），∴顶点在第三象限，故选：C．4．（3分）如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB＝36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝72°，故选：D．5．（3分）已知AB＝2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A．B．C．D．【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP＝×2＝﹣1．故选：B．6．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣2＜0，∴x＝﹣2时，函数值最大，又∵1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【解答】解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．8．（3分）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．C．8D．【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP＝，故选：B．9．（3分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD＝α，则的值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．tan﹣2α【解答】解：连接AD，BD，∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD＝α，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵∠ODB+∠OBD＝90°，∴∠ODB＝∠BAD＝α，在Rt△AOD中，AO＝＝，在Rt△BOD中，OB＝OD•tan∠ODB＝OD•tanα，∴＝＝tan2α．故选：C．10．（3分）一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A．①②④B．①③④C．②D．①②③④【解答】解：如图由题意A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（，0）．①当CA＝CB时，B（1，0），即＝1，k＝2；②当AC＝AB′＝时，B′（﹣1，0），即＝﹣1，k＝；③当B″A＝B″C时，（+1）2＝4+（）2，解得k＝，故选：B．二、填空题11．（4分）若7x＝3y，则＝．【解答】解：7x＝3y两边都除以7y得，＝．故答案为：．12．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan B＝．【解答】解：如图，因为sin B＝＝所以设AC＝2a、AB＝3a，则BC＝＝a，所以tan B＝＝＝，故答案为：．13．（4分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为20个．【解答】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：＝0.2，解得：n＝20，故答案为：20．14．（4分）如图，AB是圆O的直径，∠A＝30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD ＝6，则CE的长为3．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∴∠D＝∠CBD，∴CD＝CB＝6，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴EC＝BC•sin60°＝3，故答案为3．15．（4分）若函数y＝（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为﹣2或2或3．【解答】解：∵函数y＝（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣2）（a+1）＝0，解得：a1＝﹣2，a2＝3，当函数为一次函数时，a﹣2＝0，解得：a＝2．故答案为：﹣2或2或3．16．（4分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC＝．【解答】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF＝DC，OF＝OC，∴OD垂直平分线段CF，∴CK＝KF＝＝，OK＝＝，∵OB＝OC，CK＝KF，∴BF＝2OK＝，∵BC是直径，∴∠BFC＝90°，∵∠CBH＝90°，∴∠CBF+∠FCB＝90°，∠HBF+∠FBC＝90°，∴∠HBF＝∠FCB，∵∠BFH＝∠BFC＝90°，∴△BFH∽△CFB，∴BF2＝CF•FH＝．故答案为．三、解答题17．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．18．（8分）如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）【解答】解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于F点，并交海面于H点．已知AB＝2000（米），∠BAC＝30°，∠FBC＝60°，∵∠BCA＝∠FBC﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠BCA．∴BC＝BA＝2000（米）．在Rt△BFC中，FC＝BC•sin60°＝2000×＝1000（米）．∴CH＝CF+HF＝100+600（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（1000+600）米．19．（8分）如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD＝h为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．【解答】解：由题意：CO＝R﹣h＝6﹣3＝3（cm）在△BCO中，∵cos∠COB＝＝＝，∴∠COB＝60°，∴∠AOB＝60°×2＝120°，则＝＝4π（cm）．S弓形ADB＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣•6•3＝12π﹣9．20．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y＝x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2，把B（8，9）代入得a（8﹣2）2＝9，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）①把B（8，9）代入y＝x+m得8+m＝9，解得m＝1，所以直线AB的解析式为y＝x+1，设P（x，x2﹣x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），∴h＝x+1﹣（x2﹣x+1）＝﹣x2+2x（0＜x＜8）；②S△ABP＝S△APQ+S△BPQ＝•PQ•8＝﹣4（x2﹣2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，当x＝4时，△ABP面积有最大值，最大值为16．21．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD＝2，BC＝6，AB＝8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD＝a，BC＝b，AB＝m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP ∽△BPC？并说明理由．【解答】解：（1）设AP＝x．∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当＝时，＝，解得x＝2或6．②当＝时，＝，解得x＝2，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或6；（2）设P A＝x，∵△ADP∽△BPC，∴＝，∴＝，整理得：x2﹣mx+ab＝0，由题意△≥0，∴m2﹣4ab≥0．∴当a，b，m满足m2﹣4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．22．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx+c（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．【解答】解：（1）由y＝1得x2+2bx+c＝1，∴x2+2bx+c﹣1＝0∵△＝4b2﹣4b+4＝（2b﹣1）2+3＞0，则存在两个实数，使得相应的y＝1；（2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+2bx+b+2，其对称轴为x＝﹣b，①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣2时取最小值为﹣3，此时﹣3＝（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b＝3；②当x＝﹣b≥2时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3，此时﹣3＝22+2×2b+b+2，解得b＝﹣，不合题意，舍去，③当﹣2＜﹣b＜2时，则＝﹣3，化简得：b2﹣b﹣5＝0，解得：b1＝（不合题意，舍去），b2＝．综上：b＝3或．23．（12分）已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE ＝CD＝8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．【解答】解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为R，∵AE＝8，∴OE＝8﹣R，∵直径AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，CE＝CD＝4，在Rt△CEO中，根据勾股定理得，R2﹣（8﹣R）2＝16，∴R＝5，即：⊙O的半径为5；（2）如图2，连接BG，∴∠ADG＝∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠ADG+∠BAG＝90°，∵AB⊥CD，∴∠BAG+∠F＝90°，∴∠ADG＝∠F，∵∠DAG＝∠F AD，∴△ADG∽△AFD；（3）如图3，在Rt△ADE中，AE＝8，DE＝CD＝4，根据勾股定理得，AD＝4，连接OG交AD于H，∵点G是的中点，∴AH＝AD＝2，OG⊥AD，在Rt△AOH中，根据勾股定理得，OH＝，在Rt△AHG中，HG＝OG﹣OH＝5﹣，根据勾股定理得，AG2＝AH2+HG2＝50﹣10，∵点G是的中点，∴DG2＝AG2＝50﹣10，∴∠DAG＝∠ADG，由（2）知，∠ADG＝∠F，∴∠DAG＝∠F，∴DF＝AD＝4，由（2）知，△ADG∽△AFD，∴＝（）2＝＝＝．。
2017学年第一学期期末教学质量监测九年级数学试卷及详细解答
2017学年第一学期期末教学质量监测九年级 数学试卷考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷两部分。
满分100分,考试时间90分钟。
2.答题前,必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场、座位码。
3.所有答案都必须做在答题卷标定的位置上,务必注意试题序号和答题序号对应。
4.考试结束后,只需上交答题卷。
试题卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.两个相似三角形的面积比为2:3，则这两个三角形的面积比为（ ） A. 2:3B.2：3C. 4:9D. 9:42.已知圆O 的半径为2，点P 在同一平面内，PO=3，那么点P 与圆O 的位置关系是（ ） A. 点P 在圆O 内 B. 点P 在圆O 上 C. 点P 在圆O 外 D. 无法确定3.下列函数中有最小值的是（ ） A. y=2x -1 B.y=x3-C.y=-2x +1 C.y=22x+3x4.“a 是实数,|a|⩾0”这一事件是( ) A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件5.在Rt △ABC 中，∠C=90∘, ∠B=58∘,BC=3 , 则AB 的长为( ) A. ︒58sin 3B.︒58cos 3C. 3sin58∘D. 3cos58∘6.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（ ） A. 4π B.2π C. 4 D.27.如图，圆O 是△ABC 的外接圆，BC 的中垂线与弧AC 相交于D 点，若∠A =60°，∠C =40°，则弧AD 的度数为( ) A. 80°B. 70°D. 30°8.如图，在相同的4×4的正方形网格中，三角形相似的是（）A.①和②B.②和④C.②和③D.①和③9.定义符号min{a ，b}的含义为：当a ≥b 时，min{a ，b}=b ；当a ＜b 时，min{a ，b}=a.如：min{5，-2}=-2，min{-6，-3}=-6，则min{2-x+3，x}的最大值是（ ）A.2131+ B.2131+- C.3 D.213-1-10.如图，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF ：FD=3:7，连接AF 并延长交圆O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF=3，AF=3，给出下列结论：①FG=2; ②tan ∠E=55 ③S △DEF=6549 其中正确的有（ ）个。
浙江省杭州市 九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知AB=2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A. B. C. D.2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则的值为（）A.B.C.D.3.下列事件中，属于必然事件的是（）A. 打开电视机正在播放广告B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C. 任意画一个三角形，其内角和为D. 任意一个二次函数图象与x轴必有交点4.函数y=x2+2x-4的顶点所在象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A. B. C. D.6.如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A.B.C.D.7.如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（）A. 6B.C. 8D.8.已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=，则tan B=______．10.若函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．11.如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC=______．12.若7x=3y，则=______．13.如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）14.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）15.如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）16.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．17.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y=x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．18.如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD=h为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．19.已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c-2，y在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值．20.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=×2=-1．故选：B．根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP 的长度．本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．2.【答案】C【解析】解：连接AD，BD，∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD=α，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠ODB+∠OBD=90°，∴∠ODB=∠BAD=α，在Rt△AOD中，AO==，在Rt△BOD中，OB=OD•tan∠ODB=OD•tanα，∴==tan2α．故选：C．首先连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=α，又由AB是半圆的直径，可得∠ADB=90°，然后根据同角的余角相等，求得∠ODB=∠BAD=α，再利用三角函数的定义，求得OB与OA，继而可求得的值．此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．3.【答案】C【解析】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次，是随机事件，故此选项错误；C、意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项正确；D、任意一个二次函数图象与x轴必有交点，是随机事件，故此选项错误；故选：C．直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．此题主要考查了随机事件，正确把握相关事件的定义是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵y=x2+2x-4=（x+1）2-5，∴抛物线顶点坐标为（-1，-5），∴顶点在第三象限，故选：C．把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】B【解析】解：如图由题意A（-1，0），C（0，-2），B（，0）．①当CA=CB时，B（1，0），即=1，k=2；②当AC=AB′=时，B′（-1，0），即=-1，k=；③当B″A=B″C时，（+1）2=4+（）2，解得k=，故选：B．画出图形分三种情形分别求解即可．本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=36°，∴∠AOB=72°，故选：D．根据圆周角定理计算即可；本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.【答案】B【解析】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE=BE，CF=DF，∠OFP=∠OEP=90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，∴∠FPE=90°，OB=10，BE=8，∴四边形OEPF是矩形，OE=6，同理可得，OF=6，∴EP=6，∴OP=，故选：B．根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-2，∵a=-2＜0，∴x=-2时，函数值最大，又∵1到-2的距离比-4到-2的距离大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．求出抛物线的对称轴为直线x=-2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．9.【答案】【解析】解：如图，因为sinB==所以设AC=2a、AB=3a，则BC==a，所以tanB===，故答案为：．由sinB==可设AC=2a、AB=3a，利用勾股定理求得BC=a，继而根据正切函数的定义可得．本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的定义．10.【答案】-2或2或3【解析】解：∵函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a-2）（a+1）=0，解得：a1=-2，a2=3，当函数为一次函数时，a-2=0，解得：a=2．故答案为：-2或2或3．直接利用抛物线与x轴相交，b2-4ac=0，进而解方程得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．11.【答案】【解析】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF=DC，OF=OC，∴OD垂直平分线段CF，∴CK=KF==，OK==，∵OB=OC，CK=KF，∴BF=2OK=，∵BC是直径，∴∠BFC=90°，∵∠CBH=90°，∴∠CBF+∠FCB=90°，∠HBF+∠FBC=90°，∴∠HBF=∠FCB，∵∠BFH=∠BFC=90°，∴△BFH∽△CFB，∴BF2=CF•FH=．故答案为．连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．12.【答案】【解析】解：7x=3y两边都除以7y得，=．故答案为：．等式两边都除以7y即可得解．本题考查了比例的性质，主要是两内项之积等于两外项之积的应用，比较简单．13.【答案】3【解析】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠D=∠CBD，∴CD=CB=6，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴EC=BC•sin60°=3，故答案为3．首先证明∠D=∠CBD=30°，推出CD=CB=6，在Rt△ECB中，根据EC=BC•sin60°即可解决问题．本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】解：（1）设AP=x．∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当=时，=，解得x=2或8．②当=时，=，解得x=2，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或8；（2）设PA=x，∵△ADP∽△BPC，∴=，∴=，整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，∴m2-4ab≥0．∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．【解析】（1）分两种情形构建方程求解即可；（2）由△ADP∽△BPC，可得=，即=，整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15.【答案】解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于F点，并交海面于H点．已知AB=2000（米），∠BAC=30°，∠FBC=60°，∵∠BCA=∠FBC-∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=2000（米）．在Rt△BFC中，FC=BC•sin60°=2000×=1000（米）．∴CH=CF+HF=100+600（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（1000+600）米．【解析】易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCF中，利用正弦函数求出CF即可解决问题．．本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．16.【答案】解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为R，∵AE=8，∴OE=8-R，∵直径AB⊥CD，∴∠CEO=90°，CE=CD=4，在Rt△CEO中，根据勾股定理得，R2-（8-R）2=16，∴R=5，即：⊙O的半径为5；（2）如图2，连接BG，∴∠ADG=∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ADG+∠BAG=90°，∵AB⊥CD，∴∠BAG+∠F=90°，∴∠ADG=∠F，∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD；（3）如图3，在Rt△ADE中，AE=8，DE=CD=4，根据勾股定理得，AD=4，连接OG交AD于H，∵点G是的中点，∴AH=AD=2，OG⊥AD，在Rt△AOH中，根据勾股定理得，OH=，在Rt△AHG中，HG=OG-OH=5-，根据勾股定理得，AG2=AH2+HG2=50-10，∵点G是的中点，∴DG=AG=50-10，∴∠DAG=∠ADG，由（2）知，∠ADG=∠F，∴∠DAG=∠F，∴DF=AD=4，由（2）知，△ADG∽△AFD，∴=（）2===．【解析】（1）先表示出OE=8-R，再求出CE=4，利用勾股定理求出R，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等，判断出∠ADG=∠F，即可得出结论；（3）先利用勾股定理求出AD，进而得出DF=AD，再利用勾股定理求出AG，即可得出DG，最后用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是利用勾股定理建立方程，解（2）的关键是判断出∠ADG=∠F，解（3）的关键是求出DG．17.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）2，把B（8，9）代入得a（8-2）2=9，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x-2）2，即y=x2-x+1；（2）①把B（8，9）代入y=x+m得8+m=9，解得m=1，所以直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，x2-x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），∴h=x+1-（x2-x+1）=-x2+2x（0＜x＜8）；②S△ABP=S△APQ+S△BPQ=•PQ•8=-4（x2-2x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，当x=4时，△ABP面积有最大值，最大值为16．【解析】（1）设顶点式y=a（x-2）2，然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）①把B点坐标代入y=x+m中求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，x2-x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），用Q点的纵坐标减去P点的纵坐标可得到h与x的关系式；②根据三角形面积公式，利用S△ABP=S△APQ+S△BPQ 得到S△ABP=4（x2-2x），然后利用二次函数的性质解决问题．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．18.【答案】解：由题意：CO=R-h=6-3=3（cm）在△BCO中，∵cos∠COB===，∴∠COB=60°，∴∠AOB=60°×2=120°，则==4π（cm）．S弓形ADB=S扇形AOB-S△AOB=-•6•3=12π-9．【解析】首先求得弦心距CO是6-3=3，则在直角三角形中，根据锐角三角函数，可以求得∠AOB=60°×2=120°．再根据弧长公式即可计算．本题考查扇形的面积公式、弧长公式、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：（1）由y=1得x2+2bx+c=1，∴x2+2bx+c-1=0∵△=4b2-4b+4=（2b-1）2+3＞0，则存在两个实数，使得相应的y=1；（2）由b=c-2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，①当x=-b≤-2时，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，此时-3=（-2）2+2×（-2）b+b+2，解得b=3；②当x=-b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=22+2×2b+b+2，解得b=-，不合题意，舍去，③当-2＜-b＜2时，则=-3，化简得：b2-b-5=0，解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．综上：b=3或．【解析】（1）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；（2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b＜2和-b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．20.【答案】解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为=．【解析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．。
浙江省杭州市萧山区良才学校2017届九年级上学期期末考试数学试题(扫描版)(附答案)$769856
2016-2017学年第一学期期末考试九年级数学试题参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.）二、填空题﹙本大题共4个小题,每小题填对最后结果得4分,满分16分.﹚11. x ²－x －2=0（此处答案不唯一）13.10001 14. 负数（或＜0） 三、解答题（本大题共8个小题，满分74分，依据每小题的做题步骤给分，每题的解题方法不唯一，根据学生做题情况灵活给分）15.解：（2x －1）²－4（2x －1）=0……………………………………………………………1分 （2x －1）（2x －1－4）=0 ……………………………………………………………2分 （2x －1）（2x －5）=02x －1=0或2x －5=0 ……………………………………………………………4分211=x ，252=x ……………………………………………………………………5分16.解：根据题意画出图形：∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC =BC =2cm. ……………………1分 ∵点O 为AC 的中点，∴OA =OC =1cm. ……………………………2分 又∵等腰Rt △ABC 以点O 为旋转中心，旋转180°得到△AB´C. ∴Rt △ABC ≌△AB´C ，OB =OB´.…………………………………………4分 ∴BC =B´A =2cm ，∠ACB =∠CAB´=90°.…………………………………5分 在Rt △AB´O 中，521222'2'=+=+=AB OA OB …………………………7分又∵OB =OB´，∴BB ´=2OB ´=25cm ……………………………………………………8分17. 解：（1）∵OB =2，△AOB 的面积为1， ∴B （﹣2，0），OA =1，∴A （0，﹣1） ……………………………………………………………1分 ∴，……………………………………………………………3分∴，∴y =-x21－1 ……………………………………………………………4分又∵OD =4，OD ⊥x 轴，∴C （﹣4，y ）， 将x =-4代入y =-x21－1得y =1，∴C （﹣4，1） ……………………………………………………………6分 ∴41-=m ， ∴m =-4， ∴xy 4-= ……………………………………………………………8分 （2）当x ＜0时，kx ＋b －kb ＞0的解集是x ＜-4． ………………10分18. （1）解：连接AE ，∵AB 为直径 ∴∠AEB =90°………………1分 又∵AB =AC AE ⊥BC ∴BE =CE ∴53==AC CE AC BE…………………………………………2分 在Rt △ACE 中 ∵53==AC CE AC BE，AC =5 ∴CE =3 ………………3分第18题图∴BC =6 ………………………………………………………………………4分 （2）连接OE ，∵O 为AB 中点 E 为BC 中点 ∴OE 为△ABC 的中位线……5分 ∴OE ∥AC ……………………………………………………………………6分 又∵ED ⊥AC ∴∠EDC =90°∴∠OED =∠EDC =90°∵点E 在⊙O 上 ∴DE 为⊙O 切线………………………………………………7分 （3）在Rt △AEC 中：4352222=-=-=CE AC AE ……………………8分 CE AE DE AC S ABC ∙=∙=∆2121 …………………9分 ∴CE AE DE AC ∙=∙∴5·DE =4×3 ∴DE =2.4…………………………10分19. 解：指针所指两个数字之和情况列表如下：共有12种可能出现的结果，两个数的和为6的有3种可能，……………………3分 所以41123)(==甲获胜P ，43129)(==乙获胜P ， ……………………………………5分 所以该游戏不公平.如果将游戏规则改为：自由转动转盘A 与B ，转盘停止后，指针指向一个数字，将指针 所指的两个数字相加，如果和不大于6，则甲胜；如果和大于6，乙胜；该游戏就公平 了.（此游戏规则的答案不唯一）.答对即得满分.20.解：设台布垂下部分的长度为x m ，根据题意列出方程，得………………………1分 246)24()26(⨯⨯=+∙+x x …………………………………………………………4分 解方程，得1x =1，2x =-6（不合题意，舍去）.………………………………………7分 ∴这块桌布的长为6＋2=8（m ）,宽为4＋2=6(m)……………………………………8分答：这块桌布的长为8米，宽为6米.…………………………………………………9分 21. 解：（1）由题意得：11060∙-=x y ∴1060x y -=………………………2分（2）z =200＋x －20 ∴ z =180＋x ……………………………………4分 （3）)1060)(180(x x w -+=…………………………………………………………7分∴w =-0.1x ²+42x +10800……………………………………………………………8分 ∵ a =-0.1＜0 ∴当2.0422--=-=a b x =210时，w 有最大值……………………9分 最大值w =-0.1×210²+42×210+10800=15210（元）………………………………10分∴当房间的定价定为410元时，w 有最大值，最大值是15210元.……………11分 22. 解：（1）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点∴设抛物线解析式为：))((21x x x x a y --= ∵A (1,0) B (3,0) ∴y =a (x －1)(x －3)…………………………………2分 又∵抛物线过C （0,4）∴4=a (0－1)(0－3)解得a =34………………………3分∴抛物线的解析式为：)34(342+-=x x y ……………………………………4分 （2）由（1）得，该抛物线的解析式为)34(342+-=x x y , ∴4316342+-=x x y ………………………………………5分 ∴该抛物线的对称轴为23423162=⨯--=-=a b x ，……………………………7分 ∴当x =2时，34)3242(342-=+⨯-=y ，∴该抛物线的顶点坐标为：（2，34-）………………………………………9分(3) ∵抛物线是轴对称图形∴点A与点B关于对称轴对称则连接AD交对称轴于点P，此时PB+PD的值即为最小值.………………10分∵点A点B关于对称轴对称∴P A=PB……………………………………11分∴PD+PB=P A+PD=AD∴AD=2243 =5∴PB+PD的最小值为5 ………………………………………………………12分。
2017年浙江省杭州市初中毕业生学业考试数学试题(附答案解析)
2017年浙江省杭州市初中毕业生学业考试数学试题一．选择题1．（3分）﹣22=（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．42．（3分）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（）A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×1073．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．4．（3分）|1+|+|1﹣|=（）A．1 B．C．2 D．25．（3分）设x，y，c是实数，（）A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=ycC．若x=y，则D．若，则2x=3y6．（3分）若x+5＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜127．（3分）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.88．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（）A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：49．（3分）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜010．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21二．填空题11．（4分）数据2，2，3，4，5的中位数是．12．（4分）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= ．13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是．14．（4分）若•|m|=，则m= ．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．16．（4分）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉千克．（用含t的代数式表示．）三．解答题17．（6分）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m）频数1.09～1.1981.19～1.29121.29～1.39A1.39～1.4910（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．18．（8分）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．19．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．20．（10分）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？21．（10分）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a ≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x的取值范围．23．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB 交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．参考答案一．选择题1．（3分）（2017•杭州）﹣22=（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4分析#根据幂的乘方的运算法则求解．解答#解：﹣22=﹣4，故选B．点评#本题考查了幂的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则．2．（3分）（2017•杭州）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米，数据150 000 000用科学记数法表示为（）A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×107分析#科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答#解：将150 000 000用科学记数法表示为：1.5×108．故选A．点评#此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．分析#根据题意得出△ADE∽△ABC，进而利用已知得出对应边的比值．解答#解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵BD=2AD，∴===，则=，∴A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．点评#此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出对应边的比是解题关键．4．（3分）（2017•杭州）|1+|+|1﹣|=（）A．1 B．C．2 D．2分析#根据绝对值的性质，可得答案．解答#解：原式1++﹣1=2，故选：D．点评#本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．5．（3分）（2017•杭州）设x，y，c是实数，（）A．若x=y，则x+c=y﹣c B．若x=y，则xc=ycC．若x=y，则D．若，则2x=3y分析#根据等式的性质，可得答案．解答#解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；B、两边都乘以c，故B符合题意；C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；故选：B．点评#本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键．6．（3分）（2017•杭州）若x+5＞0，则（）A．x+1＜0 B．x﹣1＜0 C．＜﹣1 D．﹣2x＜12分析#求出已知不等式的解集，再求出每个选项中不等式的解集，即得出选项．解答#解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；故选D．点评#本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键．7．（3分）（2017•杭州）某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1+x）=16.8 B．16.8（1﹣x）=10.8C．10.8（1+x）2=16.8 D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8分析#设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．解答#解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8（1+x）2=16.8，故选：C．点评#本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．8．（3分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则（）A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2 B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4 D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4分析#根据圆的周长分别计算l1，l2，再由扇形的面积公式计算S1，S2，求比值即可．解答#解：∵l1=2π×BC=2π，l2=2π×AB=4π，∴l1：l2=1：2，∵S1=×2π×=π，S2=×4π×=2π，∴S1：S2=1：2，故选A．点评#本题考查了圆锥的计算，主要利用了圆的周长为2πr，侧面积=lr求解是解题的关键．9．（3分）（2017•杭州）设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0 B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m+1）a+b＞0 D．若m＜1，则（m+1）a+b＜0分析#根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．解答#解：由对称轴，得b=﹣2a．（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b（m﹣1）a﹣2a=（m﹣1）a＞0．故选：C．点评#本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键．10．（3分）（2017•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（）A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9 C．3x﹣y2=15 D．4x﹣y2=21分析#过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．解答#解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，∴==y，BQ=CQ=6，∴AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，∴EM=3y，∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，即2x﹣y2=9，故选B．点评#本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键．二．填空题11．（4分）（2017•杭州）数据2，2，3，4，5的中位数是 3 ．分析#根据中位数的定义即中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，即可求出答案．解答#解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，位于最中间的数是3，则这组数的中位数是3．故答案为：3．点评#本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．12．（4分）（2017•杭州）如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT=40°，则∠ATB= 50°．分析#根据切线的性质即可求出答案．解答#解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°，故答案为：50°点评#本题考查切线的性质，解题的关键是根据切线的性质求出∠ATB=90°，本题属于基础题型．13．（4分）（2017•杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出都是红球的概率是．分析#根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是红球的情况个数，即可求出所求的概率大小．解答#解：根据题意画出相应的树状图，所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，∴两次摸出都是红球的概率是，故答案为：．点评#此题考查了列表法与树状图，根据题意画出相应的树状图是解本题的关键．14．（4分）（2017•杭州）若•|m|=，则m= 3或﹣1 ．分析#利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．解答#解：由题意得，m﹣1≠0，则m≠1，（m﹣3）•|m|=m﹣3，∴（m﹣3）•（|m|﹣1）=0，∴m=3或m=±1，∵m≠1，∴m=3或m=﹣1，故答案为：3或﹣1．点评#本题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题的关键．15．（4分）（2017•杭州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE ⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78 ．分析#由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得出答案．解答#解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，∵AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，∴BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78．点评#本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键16．（4分）（2017•杭州）某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价为6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．若该店第二天销售香蕉t千克，则第三天销售香蕉30﹣千克．（用含t的代数式表示．）分析#设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据三天的销售额为270元列出方程，求出x即可．解答#解：设第三天销售香蕉x千克，则第一天销售香蕉（50﹣t﹣x）千克，根据题意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，则x==30﹣，故答案为：30﹣．点评#本题主要考查列代数式的能力，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数．三．解答题17．（6分）（2017•杭州）为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别（m）频数1.09～1.19 81.19～1.29 121.29～1.39 A1.39～1.49 10（1）求a的值，并把频数直方图补充完整；（2）该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数．分析#（1）利用总人数50减去其它组的人数即可求得a的值；（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解．解答#解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，；（2）该年级学生跳高成绩在1.29m（含1.29m）以上的人数是：500×=300（人）．点评#本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了样本估计总体．18．（8分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．分析#利用待定系数法求一次函数解析式得出即可；（1）利用一次函数增减性得出即可．（2）根据题意得出n=﹣2m+2，联立方程，解方程即可求得．解答#解：设解析式为：y=kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n=﹣2m+2，∵m﹣n=4，∴m﹣（﹣2m+2）=4，解得m=2，n=﹣2，∴点P的坐标为（2，﹣2）．点评#本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，求得解析式上解题的关键．19．（8分）（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．分析#（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可知．解答#解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=点评#本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．20．（10分）（2017•杭州）在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．（1）设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；（2）圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？分析#（1）①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；（2）直接利用x+y的值结合根的判别式得出答案．解答#解：（1）①由题意可得：xy=3，则y=；②当y≥3时，≥3解得：x≤1，故x的取值范围是：0＜x≤1；（2）∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，∴x+=3，整理得：x2﹣3x+3=0，∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；所以圆圆的说法不对．∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，∴x+=5，整理得：x2﹣5x+3=0，∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，∴矩形的周长可能是10，所以方方的说法对．点评#此题主要考查了反比例函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出y与x之间的关系是解题关键．21．（10分）（2017•杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．分析#（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．解答#解：（1）结论：AG2=GE2+GF2．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）过点A作AH⊥BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠GBF=45°，∵GF⊥BC，∴∠BGF=45°，∵∠AGF=105°，∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°，在Rt△ABH中，∵AB=1，∴AH=BH=，在Rt△AGH中，∵AH=，∠GAH=30°，∴HG=AH•tan30°=，∴BG=BH+HG=+．点评#本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（12分）（2017•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0，m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．分析#（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；（3）根据二次函数的性质，可得答案．解答#解：（1）函数y1的图象经过点（1，﹣2），得（a+1）（﹣a）=﹣2，解得a1=﹣2，a2=1，函数y1的表达式y=（x﹣2）（x+2﹣1），化简，得y=x2﹣x﹣2；函数y1的表达式y=（x+1）（x﹣2）化简，得y=x2﹣x﹣2，综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．点评#本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．23．（12分）（2017•杭州）如图，已知△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上（不与点A，B重合），点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，（1）点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．分析#（1）由圆周角定理即可得出β=α+90°，然后根据D是BC的中点，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性质即可得出∠CED=α，从而可知O、A、E、B四点共圆，由圆内接四边形的性质可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，所以，根据勾股定理即可求出AE、AC的长度，从而可求出AB的长度，再由勾股定理即可求出⊙O的半径r；解答#解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣（180°﹣2α），∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，∴O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；（2）当γ=135°时，此时图形如图所示，∴α=45°，β=135°，∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，由（1）可知：O、A、E、B四点共圆，∴∠BEC=90°，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴，∴，设CE=3x，AC=x，由（1）可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，∴CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，x=，∴BE=CE=3，AC=，∴AE=AC+CE=4，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，∴AB=5，∵∠BAO=45°，∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：AB2=2r2，∴r=5，∴⊙O半径的长为5．点评#本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．。
2017学年拱墅区九上期末考试试卷
2017学年杭州市拱墅区九年级第一学期期末数学测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1、一个布袋里装有2个红球，3个黑球，4个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是( ) A . 摸出的是白球B . 摸出的是黑球C . 摸出的是红球D . 摸出的是绿球2、已知225x y y -=，则xy 的值为( ) A . 54 B . 45C .512D .125 3、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ：BC =3：4，则cos B 的值是( )A . 35B . 45C . 34D .434、如图，正八边形ABCDEFGH 内接于O ，则∠ADB 的度数为( )A . 45°B . 25°C . 22.5°D . 20°5、将函数2y x =-的图象用下列方法平移后，所得到的函数图象能经过点(2，9-)的是( )A . 向上平移1个单位B . 向下平移1个单位C . 向左平移1个单位D . 向右平移1个单位6、如图，直线1l ∥2l ∥3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ；直线DF 分别交1l ，2l ，3l 于点D ，E ，F ，AC 与DF 相交于点G . 若DE =2，EG =1，GF =3，则( ) A .23AB BC = B .23AG GC = C .23CG AC = D .23BC AC =7、已知(-8，1y )，(-2，2y )，(3.5，3y )是函数228y x x m =++图象上的点，则( )A . 132y y y >>B . 312y y y >>C . 123y y y >>D . 231y y y >>8、如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =70°，以AB 为直径作O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则( )A . BD 的度数为35°B . AE 的度数为40°C . DE 的度数为55°D . AD 的度数为55°9、如图，已知点E 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB =12，EF =9，DF =6，连结AD ，AE ，若△ABC 的面积为S ，则( )A . 34CEF S S ∆=B . 12CDF S S ∆=C . 54ADCE S S =四边形D . 34ADEB S S =四边形 10、点A ，C ，为半径是6的O 上两点，点B 为AC 的中点，以线段BA ，BC 为邻边作菱形ABCD ，使点D 落在O 内(不含圆周上)，则下列结论：①直线BD 必过圆心O ；②菱形ABCD 的边长a 的取值范围是010a <<；③若点D 与圆心O 重合，则∠ABC =120°；④若DO =2，则菱形ABCD 的边长为其中正确的是( ) A . ①③B . ②③④C . ①③④D . ①②③④二、填空题(每小题4分，共24分)11、有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9的一个正整数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数不是3的倍数的概率是____________.12、如图，D ，E 分别是△ABC 的AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，23AD DB =，BC =9，则DE 的长为____________.13、若sin α=︒，则锐角α=____________.14、如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形(如图中阴影部分)，然后量得弦AB的长为4cm ，这个弓形的高为1cm ，则这个轮子的直径长为____________cm .15、在△ABC 中，AB =AC =10，BC =12，D 是BC 边上的一点(不与B ，C 重合)，DE ⊥AC 于点E ，设CD =x ，四边形ABDE 的周长为y ，则y 与x 之间的函数表达式为____________，其中x 的取值范围是____________. 16、已知关于x 的二次函数22(1)(0)y ax a a a =--≠的图象过点(m ，0).若23m <<，则a 的取值范围是____________.三、解答题(本大题共有7个小题，共66分)17、(本小题6分)如图，小慧家对面是一幢商业大厦，小慧在自家窗口从C 处测得商业大厦顶部D 的仰角40︒，商业大厦底部B 的俯角25︒，量得两幢楼之间的距离为36m ，求商业大厦的高度和小慧家的高度(结果精确到1m )参考数据：sin400.6︒≈；cos400.8︒≈；tan400.8︒≈；sin250.4︒≈；cos250.9︒≈；tan250.5︒≈18、(本小题8分)已知二次函数223y x x =--+的图像与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，图像的顶点为点D .(1)求点A 、B 、D 的坐标； (2)画出这个函数的大致图像；(3)利用图像判断，当x 满足什么条件时，03y ≤≤？同时自由转动如图甲、乙两个转盘(两个转盘中指针落在每个数字上的机会均等)，转盘停止后，甲转盘上指针指向的数字为m ，乙转盘上指针指向的数字为n . (如果指针恰好落在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止)(1)用列表法或画树状图求出所有的数对(m ，n )； (2)小明和小聪利用这两个转盘设计了一个游戏：若m ，n 的积为正数，则小明获胜；若m ，n 的积为负数，则小聪获胜. 你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.20、(本小题10分)如图，已知⊙O 半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC ，并交OC 于点D . (1)求弦AB 的长；(2)求弧AB 的长，并求出图中阴影部分面积.21、(本小题10分)如图，在△ABC 中，AC =16，BC =20，点D ，E 分别在边AC 、BC 上，AD =6，180B ADE ∠+∠=︒，连结AE(1)求证：△EDC ∽△ABC ； (2)求BE 的长；(3)若AB =12，求△ABE 的面积.在平面直角坐标系中，设二次函数2123y ax ax =++(0a ≠). (1)若函数1y 的图象经过点(-1，4)，求函数1y 的表达式；(2)若一次函数2y bx a =+(0b ≠)的图象经过1y 图象的顶点，探究实数a ，b 满足的关系式； (3)已知点P (1，m )和Q (0x ，n )在函数1y 的图象上，若m n >，求0x 的取值范围.23、(本小题12分)如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，C 为BD 的中点,AC 与BD 相交于点E ， (1)求证：2DC CE AC =⋅； (2)若AE =2，CE =1，求⊙O 的半径；(3)若AB =8，tan ACD ∠=，求四边形ABCD 的面积.。
浙教版九年级数学上学期期末试题(含答案)
1浙教版九年级上学期期末数学试题及答案一、单选题1．若，则的值是（）A ．2B ．3C ．D ． 【答案】C【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．【详解】解：∵3x ＝2y ，∴x ：y ＝2：3，故选：C ．【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．2．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ）A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件【答案】B【详解】随机事件.根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B.3．如图所示，A ，B ，C 是上的三点，若，则的度数为（）A ．23°B ．26°C ．29°D ．32°【答案】C【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到答案．【详解】解：∵∠AOB =58°，∴∠ACB =29°，故选C ．【点睛】本题考查圆周角定理的运用，解题的关键是根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答．4．抛物线与y 轴交点的坐标是（）A ．（0，3）B ．（3，0）C ．（1，0）D ．（0，1） 【答案】A【分析】将代入抛物线，求得即可．【详解】解：将代入抛物线得，，即与y 轴交点的坐标是，故选：A【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴的交点，解题的关键掌握与与y 轴交点，横坐标为0．5．如图，在矩形中，，．若以点B 为圆心，以4cm 长为半径作OB ，则下列选项中的32x y =:x y 2332O 58O ∠=︒C∠243y x x =-+0x =y 0x =243y x x =-+3y =(0,3)ABCD 3cm AB =4cm AD =各点在外的是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】D【分析】根据勾股定理求出BD 的长，进而得出点A ，C ，D 与⊙B 的位置关系．【详解】解：连接BD ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∵∠B ＝90°，∴BD 5，∵AB ＝3＜4，BD ＝5＞4，BC ＝4，∴点D 在⊙B 外，点C 在⊙B 上，点A 在⊙B 内．故选：D ．【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握点与圆的位置关系：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：①如果点P 在圆外，那么d ＞r ；②如果点P 在圆上，那么d ＝r ；③如果点P 在圆内，那么d ＜r ．反之也成立．6．二次函数的图象如图所示，则该函数在所给自变量的取值范围内，函数值y 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据二次函数是顶点式，开口向上，可求出二次函数的最小值，然后结合函数图像求出最大值即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为，1＞0， ∴当时，二次函数有最小值， ∵由函数图像可知，二次函数的最大值为3，∴当时，， 故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．B ==23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()13x ≤≤1y ≥13y ≤≤334y ≤≤03≤≤y 23324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()13x ≤≤32x =3413x ≤≤334y ≤≤37．从分别标有号数1到10的10张除标号外完全一样的卡片中，随意抽取一张，其号数为3的倍数的概率是（）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】用3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率．【详解】解：∵1到10的数字中是3的倍数的有3，6，9共3个，∴卡片上的数字是3的倍数的概率是． 故选：C ．【点睛】本题考查概率的求法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．如图，D 是等边△ABC 外接圆上的点，且∠CAD =20°，则∠ACD 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．45°【答案】C【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D=180°-∠B=120°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∴∠B =60°，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠D =180°−∠B =120°，∴∠ACD =180°−∠DAC −∠D =40°，故选C.9．如图，抛物线y ＝﹣（x+m ）2+5交x 轴于点A ，B ，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C ，则点C 的纵坐标为（）A ．B ．C ．3D ． 【答案】B【分析】将抛物线y ＝﹣（x+m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x+m ﹣3）2+5，然后联立组成方程组求解即可．【详解】解：将抛物线y ＝﹣（x+m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x+m ﹣3）2+5，根据题意得：， 解得：， 71012310110310AC 5211413422()5{(3)5y x m y x m =-++=-+-+32{114x m y =-=∴交点C 的坐标为（，）， 故选：B ．【点睛】考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的解析式．10．如图，在面积为144的正方形ABCD 中放两个正方形BMON 和正方形DEFG ，重合的小正方形OPFQ 的面积为4，若点A ，O ，G 在同一直线上，则阴影部分面积为（）A ．36B ．40C ．44D ．48【答案】D【分析】先求出AB =12，OQ =2，设正方形BMON 的边长为x ，则AN =12-x ，NO =x ，QG =12-x ，然后证明△ANO ∽△OQG ，得到，即，求出x =8，由此即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为144，正方形OPFQ 的面积为4，∴AB =12，OQ =2，设正方形BMON 的边长为x ，则AN =12-x ，NO =x ，QG =12-x ，∵四边形BMON 和四边形OPFQ 都是正方形，∴∠ANO =∠BNO =∠OQF =∠OQG =∠POQ =90°，∴AN ∥OQ ，∴∠NAO =∠QOG ，∴△ANO ∽△OQG ，∴，即， 解得：或（舍去），∴BN =8，∴EF =12-x +2=6，∴阴影部分面积=144-82-62+4=48，故选D ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 a 、b 的比例中项，且a ＝4，b ＝9，则x ＝_____．32m -114=AN NO OQ QG12=212x x x--=AN NO OQ QG 12=212x x x--8x =18x =5【答案】6【分析】根据已知线段a ＝4，b ＝9，线段x 是a ，b 的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．【详解】解：∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4，b ＝9，∴＝， ∴x 2＝ab ＝4×9＝36，∴x ＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点睛】本题考查了成比例线段，理解比例的性质是解题的关键．12．若二次函数的图象经过点，则的值为______________．【答案】10【分析】直接把点代入到二次函数解析式中求解即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴，故答案为：10．【点睛】本题考查了求二次函数的函数值，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的函数值的求解方法．13．已知圆中40°圆心角所对的弧长为3π，则这个圆的周长_____．【答案】27π．【分析】圆周角等于360°，先求得圆周角与40°的圆心角之间的倍数关系，再乘以40°的圆心角所对的弧长．【详解】解：×3π=27π， 故这个圆的周长是27π，故答案为：27π．【点睛】主要考查了圆的周长与弧长之间的关系．14．如图，在中，E 为CD 上一点，连结BE 并延长交AD 延长线于点F ．如果，那么____________．【答案】4【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD ＝AB ．∴△DFE ∽△AFB ，∴． ∵DE ：EC ＝2：3，∴DE ：DC ＝DE ：AB ＝2：5，∴ a x x b23y x x =+()2,P a a ()2,P a 23y x x =+()2,P a 22324610a =+⨯=+=36040ABCD □:2:3DE EC =:DEF ABF S S =△△2()DEF ABF S DE S AB=:425DEF ABF S S =：△△故答案为：4：25或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．15．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1～7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是_________．【答案】. 【详解】试题分析：将图中剩余的编号为1-7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑3，4，7，1，6有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形（如图），故其概率是.考点：1.轴对称图形；2.几何概率．16．如图，半圆的直径，将半圆绕点B 顺时针旋转45°得到半圆，与AB 交于点P ，那么AP 的长为_____________．【答案】【分析】连接，由题意可得，，为直径，可得，可得为等腰直角三角形，即可求解．【详解】解：连接，如下图：由题意可得，，∵为直径， 4255757O 10AB =O O '10-A P '45A BP '∠=︒A B '90A PB '∠=︒A BP 'A P '45A BP '∠=︒A B '7∴，∴为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，解得故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．17．如图，一张扇形纸片OAB ，，，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为__________．【答案】【分析】根据阴影部分的面积等于S 扇形OBD 面积减去S 弓形OD 面积计算即可．【详解】解：由折叠可知，S 弓形AD＝S 弓形OD ，DA ＝DO ，∵OA＝OD ，∴AD ＝OD ＝OA ，∴△AOD 为等边三角形，∴∠AOD ＝60°，∠DOB ＝60°，∵AD ＝OD ＝OA ＝6，∴CD＝，∴S 弓形AD ＝S 扇形ADO ﹣S △ADO 6π﹣， ∴S 弓形OD ＝6π﹣，阴影部分的面积＝S 扇形BDO ﹣S 弓形OD （6π﹣ 故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键．18．如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆O 上一点，C 是的中点，连结AC 交BD 于点E ，连结AD ，若BE ＝4DE ，CE ＝6，则AB 的长为_____．【答案】【分析】90A PB '∠=︒A BP 'A P PB '=222A P A B ''=BP A P '==AP AB BP =-=10-120AOB ∠=︒6OA =260613602π⋅=-⨯2606360π⋅=-BD如图，连接OC 交BD 于K ．设DE ＝k ．BE ＝4k ，则DK ＝BK ＝2.5k ，EK ＝1.5k ，由AD ∥CK ，推出AE ：EC ＝DE ：EK ，可得AE ＝4，由△ECK ∽△EBC ，推出EC 2＝EK•EB ，求出k 即可解决问题．【详解】解：如图，连接OC 交BD 于K ．∵，∴OC ⊥BD ，∵BE ＝4DE ，∴可以假设DE ＝k ．BE ＝4k ，则DK ＝BK ＝2.5k ，EK ＝1.5k ，∵AB 是直径，∴∠ADK ＝∠DKC ＝∠ACB ＝90°，∴AD ∥CK ，∴AE ：EC ＝DE ：EK ，∴AE ：6＝k ：1.5k ，∴AE ＝4，∵△ECK ∽△EBC ，∴EC 2＝EK•EB ，∴36＝1.5k×4k ，∵k ＞0，∴k，∴BC＝，∴AB＝故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题1、1、2，乙同学口袋中也有三张卡片，分别写着数字 1、2、2，两人各自从自己的口袋中随机摸出一张卡片，若两人摸出的卡片上的数字之和为偶数，则甲胜；否则乙胜．求甲胜的概率．【答案】． 【分析】先列出表格，从而可得两人摸出的卡片上的数字之和的所有可能结果，再找出两人摸出的卡片上的数字之和为偶数的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．【详解】解：由题意，所有可能的结果列表如下：CD BC =36499由表可知，一共有9种等可能结果，其中，两人摸出的卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，则甲胜的概率为， 答：甲胜的概率是． 【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确利用表格列出所有可能的结果是解题关键．20．如图，在的正方形网格中，网线的交点称为格点，点，，都是格点．已知每个小正方形的边长为1．（1）画出的外接圆，并直接写出的半径是多少．（2）连结，在网络中画出一个格点，使得是直角三角形，且点在上．【答案】（1；（2）作图见解析【分析】（1）作AB 和BC 的垂直平分线，交点即为点O 的位置，在网格中应用勾股定理即可求得半径；（2）只能是或，直接利用网格作图即可．【详解】解：（1）作AB 和BC 的垂直平分线，交点即为点O ，如图：，；（2）当是直角三角形时，且点在上，只能是或，利用网格作图如下：49P =4966⨯A B C ABC O O AC P PAC △P O 90PAC ∠=︒90PCA ∠=︒=PAC △P O 90PAC ∠=︒90PCA ∠=︒．【点睛】本题考查尺规作图、确定圆的条件，掌握三角形外接圆圆心是三边线段垂直平分线的交点是解题的关键． 21．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB=6，AE=9，DE=2，求EF 的长.【分析】利用相似三角形的对应边成比例，求出DF 的长度，在直角三角形DEF 中，利用勾股定理求出斜边EF 长【详解】解：∵△ABE ∽△DEF ，∴ ， ∴DF=3在矩形ABCD 中，∠D=90°． ∴在Rt △DEF 中，22．如图，AB 是的直径，弦于点M ，连结CO ，CB ．（1）若，，求CD 的长度；（2）若平分，求证：．【答案】（1）8；（2）证明见详解【分析】（1）根据垂径定理得出CM ＝DM ，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt △OCM 中，由勾股定理得出CM 即可，从而得出CD ；（2）过点O 作ON ⊥BC ，垂足为N ，由角平分线的性质得出OM ＝ON ，从而得出CB ＝CD ．【详解】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CM ＝DM ，∵AM ＝2，BM ＝8，∴AB ＝10，∴OA ＝OC ＝5，在Rt △OCM 中，OM 2+CM 2＝OC 2， AB AE DE DF692AB AE DE ===，，69=2DF∴EF DE =O CD AB ⊥2AM =8BM =CO DCB ∠CD CB =11∴CM 4，∴CD ＝8；（2）过点O 作ON ⊥BC ，垂足为N ，∵CO 平分∠DCB ，∴OM ＝ON ，∵CO =CO∴Rt △COM ≌Rt △CON∴CM =CN∴CB ＝CD ．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．23．我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中．请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额．．．．．为元，试写出与之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润．．?最大利润是多少?【答案】（1）（1≤x ≤110，且x 为整数）；（2）这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30000元．【分析】（1）根据等量关系“销售总金额=（市场价格+0.5×存放天数）×（原购入量6×存放天数）”列出函数关系式； （2）根据等量关系“利润=销售总金额收购成本各种费用”列出函数关系式并求最大值．【详解】解：（1）由题意y 与x 之间的函数关系式为：y =（10+0.5x ）（2000-6x ）=3x 2+940x +20000（1≤x ≤110，且x 为整数）；（2）设利润为w ，由题意得w =3x 2+940x +2000010×2000340x=3（x 100）2+30000∵a =3＜0，∴抛物线开口方向向下，∴x =100时，w 最大=30000，∴李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30000元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值求法，根据函数关系式求出以及最值公式求出是解题关键． 24．如图直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y=﹣x 2+6x+3交y 轴于点A ，过A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，连结OB ．点P 为抛物线上AB 上方的一个点，连结PA ，作PQ ⊥AB 垂足为H ，交OB 于点Q ．（1）求AB 的长；（2）当∠APQ=∠B 时，求点P 的坐标；（3）当△APH 面积是四边形AOQH 面积的2倍时，求点P 的坐标．=x y yx 2394020000y x x =-++----------【答案】（1）AB=6；（2）P （4，11）；（3）P （4，11）或P （3，12）．【分析】（1）先求得点A （0，3），令，解得x=0或6，故点B （6，3），即可求解；（2）证明△ABO ～△HPA ，则，即可求解； （3）当△APH 的面积是四边形AOQH 的面积的2倍时，则2（AO+HQ ）=PH ，即可求解．【详解】解：（1）对于，令x=0，则y=3，故点A （0，3），令，解得x=0或6，故点B （6，3），故AB=6；（2）设P （，），∵∠APQ=∠B ，∠AHP=∠OAB=90°，∴△ABO ～△HPA ，故， ∴， 解得m=4．∴P （4，11）；（3）当△APH 的面积是四边形AOQH 的面积的2倍时，则2（AO+HQ ）=PH ，∵HQ ∥OA ，∴，即， ∴HQ=， ∴， 解得：m 1=4，m 2=3，∴P （4，11）或P （3，12）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，图形的面积计算等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2633y x x =-++=HP AH AB AO=263y x x =-++2633y x x =-++=m 263m m -++HP AH AB AO =2663m m m -+=HQ BH AO AB =636HQ m -=62m -262362m m m -⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭。
2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级(上)期末数学试卷
2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列哪些事件是必然事件（ ） A.5月1日前一天是4月30日 B.一匹马的奔跑速度是70米/秒 C.射击运动员一次命中10环 D.明年元旦是晴天2. 抛物线y =5(x +2)2−3图象的顶点坐标是（ ） A.(−3, −2) B.(2, 3) C.(−2, 3) D.(−2, −3)3. 在Rt △ABC 中，已知∠C =90∘，AC =3，AB =4，则tan A 的值为（ ） A.34B.43C.√73D.√744. 有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是（ ）？A.3根 B.4根 C.5根 D.6根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（ ）A.14，1B.14，14C.1，14D.14，125. 将抛物线y =2x 2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（ ） A.y =2(x +4)2+5 B.y =2(x −4)2+5C.y =2(x +4)2−5 D .y =2(x −4)2−56. 如图，在△ABC 中，DE // BC ，分别交AB 、AC 于点D ，E ．若DE =4，ADDB=23，则下列选项中错误的是（ ）A.△ADE ∽△ABCB.BC =10C.△ADE 的周长△ABC 的周长=23D.△ADE 的面积四边形DBCE 的面积=4217. 下列有关圆的一些结论：①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.48. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（ ） A.π B.1C.23πD.29. 如图，已知△ABC 与△BED 都是顶角为36∘的等腰三角形，点D 是边AC 上一点，且满足BC 2=CD ⋅AC ，DE与AB 相交于点F ，则图中有（ ）对相似三角形．A.6B.7C.8D.910. 如图，抛物线y =−x 2+20的图象与y 轴正半轴的交点为A ，将线段OA 分成20等份，设分点分别为P 1，P 2，…，P 19，过每个分点作y 轴的垂线，分别与抛物线交于点Q 1，Q 2，…，记△OP 1Q 1，△P 1P 2Q 2，…的面积分别为S 1，S 2，…，S 19，则S 12+S 22+...+S 192的值为（ ）A.47B.47.5C.48D.48.5二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）己知ab =34，那么aa+b 的值为________．已知抛物线y =ax 2(a ≠0)过点(−1, 3)，则a 的值是________，当x ≤0时，y 随x 的增大而________．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=20∘，则∠C的大小为________度．如图，点P到坐标原点O的距离OP=6，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα=23，则点P的坐标为________．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为________．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE // AB于E，连接BE交AD于D；过D1，作D1E1 // AB于E1，连接BE1交AD于D1，过D2作D2E2 // AB于E2，…，如此继续，记S△BDE为S1，S△BD1E1记为S2，S△BD2E2记为S3，…，若S△ABC面积为1，则S2=________；S n=________（用含n代数式表示）．三、全面答一答（本大题共7小题，共66分）一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．如图，已知等边△ABC．（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；（2）若AB=4√3，求△ABC的外接圆半径R．某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60∘和45∘，求路况显示牌BC的高度．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度ℎ（米）适用公式ℎ=20t−5t2(0≤t≤4)．（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点．若EC=2，tan∠CEB=2．（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；（2）求⊙O的面积．如图，已知一张直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，已知AE=2.5，求△AEF的面积．（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF // CA．①试证明：四边形AEMF是菱形．②求CM的长．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(−1, 0)和点B，与y轴交于点C(0, 3)，过点A的直线AD // BC，交抛物线于另一点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线AD的解析式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在；求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1.【答案】A【考点】随机事件【解析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、5月1日前一天是4月30日是必然事件；B、一匹马的奔跑速度是70米/秒是不可能事件；C、射击运动员一次命中10环是随机事件；D、明年元旦是晴天是随机事件，故选：A．2.【答案】D【考点】二次函数的性质【解析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．【解答】解：∵y=5(x+2)2−3，∴其顶点坐标为(−2, −3)，故选D．3.【答案】C【考点】锐角三角函数的定义【解析】在直角△ABC中首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用正切函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，BC=√AB2−AC2=√42−32=√7，则tan A=BCAC =√73．故选C．4.【答案】A 【考点】概率公式【解析】根据共有四个选项，在这四个选项中只有一个正确，在不知道的情况下，答对的概率是14；在知道的情况下，答对的概率就是1．【解答】解：∵共有4种情况，四个选项中只有一个正确，∴在不知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，答对的概率是14；在知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率是1；故选A．5.【答案】B【考点】二次函数图象与几何变换【解析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：函数y=2x2先向右平移4个单位，得：y=2(x−4)2；再向上平移5个单位，得：y=2(x−4)2+5；故选：B．6.【答案】C【考点】相似三角形的性质与判定【解析】根据题意可以得到△ADE∽△ABC，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵在△ABC中，DE // BC，∴△ADE∽△ABC，故选项A正确，∴ADAB=DEBC=△ADE的周长△ABC的周长，△ADE的面积△ABC的面积=(ADAB)2，∵DE=4，ADDB=23，∴ADAB=25，∴AB=10，△ADE的周长△ABC的周长=25，△ADE的面积△ABC的面积=(ADAB)2=425，故选项B正确，选项C错误，∴△ADE的面积四边形DBCE的面积=421，故选项D正确，故选C．7.【答案】B【考点】垂径定理扇形面积的计算【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②、③进行判断；根据扇形的面积公式对④进行判断．【解答】解：弦的垂直平分线经过圆心，正确，∴ ①正确；∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，错误，∴②错误；∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦的弦心距才相等，∴ ③错误；∵等弧所在的扇形面积都相等，∴ ④正确；即正确的个数为2，故选B．8.【答案】D【考点】扇形面积的计算弧长的计算【解析】根据扇形的面积公式S=12lr，其中l=r，求解即可．【解答】解：∵S=12lr，∴S=12×2×2=2，故选D．9.【答案】D【考点】相似三角形的判定等腰三角形的判定与性质【解析】先根据△ABC与△BED都是顶角为36∘的等腰三角形可得出ABC∽△EBD，再由BC2=CD⋅AC可得出△BCD∽△ABC，∠CBD=∠ABD=∠A=36∘，故可得出△BCD∽△EBD；同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD；△ADF∽△EBF∽△ABD．【解答】解：∵△ABC与△BED都是顶角为36∘的等腰三角形，∴ABC∽△EBD．∵BC2=CD⋅AC，∴△BCD∽△ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=36∘，∴△BCD∽△EBD；同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD，△ADF∽△EBF∽△ABD．故选D．10.【答案】B【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】根据等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=...=P18P19=1，再利用抛物线解析式求出P1Q1，P2Q2，…，P19Q19的平方的值，利用三角形的面积表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．【解答】解：∵P1，P2，…，P19将线段OA分成20等份，∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=...=P18P19=1，∵过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，∴−x2+20=1，解得x2=19，∴S12=(12×1×P1Q1)2=14×19，同理可得S22=14×18，S32=14×17，…S192=14×1，∴w=S12+S22+S32+...+S192=14×19+14×18+14×17+...+14×1=14×19×(19+1)2=47.5，故选B．二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）【答案】37【考点】分式的值【解析】根据题意令a=3，b=4，代入即可得出答案．【解答】解：∵ab =34，∴令a=3，b=4，∴原式=33+4=37，故答案为37．【答案】3,减小【考点】二次函数的性质二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质待定系数法求二次函数解析式【解析】把(−1, 3)代入抛物线y=ax2(a≠0)，可得a；根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．【解答】解：把(−1, 3)代入抛物线，有(−1)2a=3，即a=3；∵a=3>0，∴抛物线开口向上，∵对称轴x=0，∴当x≤0时，y随x的增大而减小．故答案为：3，减小．【答案】70【考点】三角形的外接圆与外心【解析】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA、三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理求即可得∠C的度数．【解答】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=20∘，∴∠OBA=20∘；∴∠AOB=180∘−2×20∘=140∘；而∠C=12∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=70∘，故答案是：70．【答案】(4, 2√5)【考点】解直角三角形坐标与图形性质【解析】过点P作PA⊥x，垂足为A，由cos A、OP可求出P点的横坐标OA，再由勾股定理求出P点的纵坐标PA．【解答】解：过点P作PA⊥x，垂足为A．∵cos A=OAOP=23，OP=6，∴0A=4．在Rt△OPA中，PA=√OP−0A=2√5．所以点P的坐标为(4, 2√5)故答案为：(4, 2√5)【答案】√10或√58【考点】垂径定理勾股定理【解析】首先根据题意画出图形，然后作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：如图，作OM⊥AB与M，∵AB=8，∴BM=12AB=12×8=4，∵PB=3，∴PM=1，P′M=7，在直角△OBM中，OM=√OB2−BM2=3；在Rt△OPM中，OP=√OM2+PM2=√10．在Rt△OMP′中，OP′=√OM2+MP′2=√58．∴ OP =√10或OP =√58． 故答案是：√10或√58． 【答案】19,1(n+1)2【考点】相似三角形的性质与判定 等腰三角形的判定与性质【解析】根据D 是边BC 的中点，过D 作DE // AB ，得到E 为AC 的中点，BE ⊥AC ，设△ABC 的高是ℎ，根据三角形的面积公式求出S 1=14，S 2=19，得出规律，即可得出结果．【解答】解：∵ D 是边BC 的中点，DE // AB ， ∴ E 为AC 的中点，BE ⊥AC ， 设△ABC 的高是ℎ，过E 作EM ⊥BC 于M ，∵ BD =DC ，DE // AB ， ∴ AE =EC ，∵ AD ⊥BC ，EM ⊥BC ， ∴ AD // EM ， ∴ DM =MC ， ∴ EM =12AD =12ℎ，∴ S 1=12⋅12BC ⋅12AD =14=122， ∵ DE // AB ，D 1E 1 // AB ， ∴BD 1D 1E=AB DE =2=AE 1E 1E，∴ S 2=12⋅13AE ⋅ℎ−12⋅13AE ⋅13ℎ=19=132， 同理S 3=116=142，…S n =1(n+1)2，故答案为：19；1(n+1)2．三、全面答一答（本大题共7小题，共66分） 【答案】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=34；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， 所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率=616=38．【考点】列表法与树状图法 【解析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=34； （2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6， 所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率=616=38． 【答案】 解：（1）如图所示：⊙O 即为所求；（2）当△ABC 是正三角形时，BC 的垂直平分线过A 点， 连接AO ，CO ，∵ △ABC 是正三角形，AF ⊥BC ，∴ ∠FAC =12∠BAC =30∘，CF =12BC =2√3， ∵ AO =CO ， ∴ ∠ACO =30∘，∴ ∠OCF =60∘−30∘=30∘，∴OF=12OC，设OC=2x，则OF=x，x2+(2√3)2=(2x)2，解得：x=2或x=−2（舍），∴R=2OF=4．【考点】作图—复杂作图等边三角形的判定方法三角形的外接圆与外心【解析】（1）分别作出AC和BC的垂直平分线，两线的交点就是圆心O的位置，再以CO长为半径画圆即可；（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，首先根据等腰三角形三线合一的性质计算出∠OCF= 30∘，再根据勾股定理计算出CO的长度即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，连接AO，CO，∵△ABC是正三角形，AF⊥BC，∴∠FAC=12∠BAC=30∘，CF=12BC=2√3，∵AO=CO，∴∠ACO=30∘，∴∠OCF=60∘−30∘=30∘，∴OF=12OC，设OC=2x，则OF=x，x2+(2√3)2=(2x)2，解得：x=2或x=−2（舍），∴R=2OF=4．【答案】路况显示牌BC的高度是(3√3−3)m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长，进而由BC=AC−AB得解．【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45∘，∠BAD=90∘，AB=3m，∴AD=3m．在Rt△ADC中，∠CDA=60∘，∴tan60∘=CAAD，∴AC=3√3．∴BC=AC−AB=(3√3−3)m．【答案】经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米；（2）令ℎ=0，得：20t−5t2=0，解得：t=0或t=4，∴足球从开始踢至回到地面需要4秒；（3）由（1）知足球的最大高度为20米，∴0≤m<20．【考点】二次函数的应用【解析】（1）根据抛物线的顶点式即可得；（2）求得ℎ=0时t的值即可；（3）根据ℎ的最大值即可得．【解答】解：（1）∵ℎ=20t−5t2=−5(t−2)2+20，∴t=2时，ℎ最大，最大值为20m，答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米；（2）令ℎ=0，得：20t−5t2=0，解得：t=0或t=4，∴足球从开始踢至回到地面需要4秒；（3）由（1）知足球的最大高度为20米，∴0≤m<20．【答案】（1）证明：∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE∽△DCE；连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∵ tan ∠CEB =BC CE=2，∴ BC =2EC =4，∴ BE =√EC 2+BC 2=√22+42=2√5； （2）解：∵ C 为弧BD 的中点，∴ DĈ=BC ̂， ∴ DC =BC =4， ∵ △ABE ∽△DCE ， ∴DC AB=EC EB，即4AB=2√5，∴ AB =4√5， ∴ AO =2√5，∴ ⊙O 的面积=π⋅(2√5)2=20π． 【考点】相似三角形的性质与判定 圆周角定理 解直角三角形【解析】（1）由圆周角定理得出∠A =∠D ，∠B =∠C ，即可得出△ABE ∽△DCE ；连接BC ，由圆周角定理得出∠ACB =90∘，由三角函数定义得出BC =2EC =4，由勾股定理求出BE 即可；（2）由已知得出DĈ=BC ̂，得出DC =BC =4，由相似三角形的性质得出DC AB=EC EB，求出AB =4√5，得出AO =2√5，由圆的面积公式即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵ ∠A =∠D ，∠B =∠C ，∴ △ABE ∽△DCE ； 连接BC ，如图所示： ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB =90∘， ∵ tan ∠CEB =BCCE =2， ∴ BC =2EC =4，∴ BE =√EC 2+BC 2=√22+42=2√5； （2）解：∵ C 为弧BD 的中点，∴ DĈ=BC ̂， ∴ DC =BC =4， ∵ △ABE ∽△DCE ，∴ DC AB =EC EB ，即4AB =2√5，∴ AB =4√5， ∴ AO =2√5，∴ ⊙O 的面积=π⋅(2√5)2=20π．【答案】 解：（1）如图1中，由折叠可知，EF ⊥AB ，△AEF ≅△DEF ， ∴ ∠AFE =∠ACB =90∘， ∵ ∠A =∠A ，∴ △AEF ∽△ABC ，∴ S △AEF S △ABC=(AE AB )2=(2.5√32+42)2=14，∴ S △AEF =14×12×3×4=32．（2）如图2中，①由折叠可知，AE =EM ，AF =FM ，∠AFE =∠MFE ，∵ MF // CA ，∴ ∠AEF =∠MFE ， ∴ ∠AEF =∠AFE ， ∴ AE =AF ，∴ AE =EM =MF =AF ， ∴ 四边形AEMF 是菱形．②设AE =x ，则EM =x ，CE =4−x ， ∵ 四边形AEMF 为菱形， ∴ EM // AB ，∴ △CEM ∽△CAB ， ∴ CECA =EMAB，即4−x 4=x 5，解得x =209，∴ AE =EM =209，CE =169，∴ CM =√(209)2−(169)2=43． 【考点】四边形综合题 【解析】（1）首先证明△AEF ∽△ABC ，可得S △AEF S △ABC=(AE AB )2=(√32+42)2=14，由此即可解决问题．（2）①只要证明AE =EM =MF =AF 即可．②设AE =x ，则EM =x ，CE =4−x ，由四边形AEMF 为菱形，推出EM // AB ，推出△CEM ∽△CAB ，可得CECA =EMAB，即4−x 4=x5，求出x 的值，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由折叠可知，EF ⊥AB ，△AEF ≅△DEF ， ∴ ∠AFE =∠ACB =90∘， ∵ ∠A =∠A ，∴ △AEF ∽△ABC ，∴ S △AEF S △ABC=(AE AB )2=(√32+42)2=14，∴ S △AEF =14×12×3×4=32．（2）如图2中，①由折叠可知，AE =EM ，AF =FM ，∠AFE =∠MFE ，∵ MF // CA ，∴ ∠AEF =∠MFE ， ∴ ∠AEF =∠AFE ， ∴ AE =AF ，∴ AE =EM =MF =AF ， ∴ 四边形AEMF 是菱形．②设AE =x ，则EM =x ，CE =4−x ， ∵ 四边形AEMF 为菱形， ∴ EM // AB ，∴ △CEM ∽△CAB ， ∴CE CA=EM AB，即4−x 4=x 5，解得x =209，∴ AE =EM =209，CE =169，∴ CM =√(209)2−(169)2=43．【答案】解：（1）∵ 次函数y =ax 2+2x +c 的图象经过点A(−1, 0)和点C(0, 3)， ∴ {0=a −2+c 3=c ，解得 {a =−1c =3，∴ 二次函数的表达式为y =−x 2+2x +3；（2）在y =−x 2+2x +3中，令y =0，则−x 2+2x +3=0， 解得：x 1=−1，x 2=3， ∴ B(3, 0)，由已知条件得直线BC 的解析式为y =−x +3， ∵ AD // BC ，∴ 设直线AD 的解析式为y =−x +b ， ∴ 0=1+b ， ∴ b =−1，∴ 直线AD 的解析式为y =−x −1． 由{y =−x 2+2x +3y =−x −1，得{x =−1y =0或{x =4y =−5， ∴ D(4, −5)；（3）①∵ BC // AD ， ∴ ∠DAB =∠CBA ， 又∵ D(4, −5)，∴ ∠ABD ≠45∘，点P 在点B 得到左侧，∴ 只可能△ABD ∽△BPC 或△ABD ∽△BCP ， ∴ BCAD =PBAB 或BCAB =PBAD ，∵ A(−1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)，D(4, −5)， ∵ AD =5√2，AB =4，BC =3√2， 即 BP4=√25√2或3√24=5√2，解得BP =125或BP =152，∵ 3−125=35，3−152=−92，∴ P(35, 0)或P(−92, 0)．【考点】二次函数综合题 【解析】（1）把A(−1, 0)，C(0, 3)代入y =ax 2+2x +c 即可得到结果；（2）在y =−x 2+2x +3中，令y =0，则−x 2+2x +3=0，得到B(3, 0)，由已知条件得直线BC 的解析式为y =−x +3，由于AD // BC ，设直线AD 的解析式为y =−x +b ，即可得到结论；解方程组{y =−x 2+2x +3y =−x −1得D(4, −5)；（3）①由BC // AD ，得到∠DAB =∠CBA ，只要当BCAD =PBAB 或BCAB =PBAD 时，△PBC ∽△ABD ，求出AD =5√2，AB =4，BC =3√2，代入比例式解得BP 的长度，即可得到P(35, 0)或P(−92, 0)．第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 【解答】解：（1）∵ 次函数y =ax 2+2x +c 的图象经过点A(−1, 0)和点C(0, 3)， ∴ {0=a −2+c 3=c ，解得 {a =−1c =3，∴ 二次函数的表达式为y =−x 2+2x +3；（2）在y =−x 2+2x +3中，令y =0，则−x 2+2x +3=0， 解得：x 1=−1，x 2=3，∴ B(3, 0)，由已知条件得直线BC 的解析式为y =−x +3， ∵ AD // BC ，∴ 设直线AD 的解析式为y =−x +b ， ∴ 0=1+b ，∴ b =−1，∴ 直线AD 的解析式为y =−x −1． 由{y =−x 2+2x +3y =−x −1，得{x =−1y =0或{x =4y =−5，∴ D(4, −5)；（3）①∵ BC // AD ，∴ ∠DAB =∠CBA ，又∵ D(4, −5)，∴ ∠ABD ≠45∘，点P 在点B 得到左侧，∴ 只可能△ABD ∽△BPC 或△ABD ∽△BCP ， ∴ BC AD =PB AB 或BC AB =PB AD ，∵ A(−1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)，D(4, −5)， ∵ AD =5√2，AB =4，BC =3√2， 即 BP 4=√252或3√24=52，解得BP =125或BP =152，∵ 3−125=35，3−152=−92，∴ P(35, 0)或P(−92, 0)．。
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2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列哪些事件是必然事件（）A．5月1日前一天是4月30日B．一匹马的奔跑速度是70米/秒C．射击运动员一次命中10环D．明年元旦是晴天2．抛物线y=5（x+2）2﹣3图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）3．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，AB=4，则tanA的值为（）A．B．C．D．4．有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是（）？A.3根B.4根C.5根D.6根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（）A．，1 B．，C．1，D．，5．将抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（）A．y=2（x+4）2+5 B．y=2（x﹣4）2+5 C．y=2（x+4）2﹣5 D．y=2（x﹣4）2﹣56．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E．若DE=4，=，则下列选项中错误的是（）A．△ADE∽△ABCB．BC=10C．=D．=7．下列有关圆的一些结论：①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A．πB．1 C．πD．29．如图，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，点D是边AC上一点，且满足BC2=CD•AC，DE与AB相交于点F，则图中有（）对相似三角形．A．6 B．7 C．8 D．910．如图，抛物线y=﹣x2+20的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成20等份，设分点分别为P1，P2，…，P19，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，记△OP1Q1，△P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，S19，则S12+S22+…+S192的值为（）A．47 B．47.5 C．48 D．48.5二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．己知=，那么的值为．12．已知抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a的值是，当x≤0时，y 随x的增大而．13．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=20°，则∠C的大小为度．14．如图，点P到坐标原点O的距离OP=6，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα=，则点P的坐标为．15．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP 长为．16．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D；过D1，作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D1，过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，记S△BDE为S1，S记为S2，S记为S3，…，面积为1，则S2=；S n=（用含n代数式表示）．若S△ABC三、全面答一答（本大题共7小题，共66分）17．一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．18．如图，已知等边△ABC．（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；（2）若AB=4，求△ABC的外接圆半径R．19．某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．20．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．21．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点．若EC=2，tan∠CEB=2．（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；（2）求⊙O的面积．22．如图，已知一张直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D 处，已知AE=2.5，求△AEF的面积．（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA．①试证明：四边形AEMF是菱形．②求CM的长．23．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3），过点A的直线AD∥BC，交抛物线于另一点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线AD的解析式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在；求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．下列哪些事件是必然事件（）A．5月1日前一天是4月30日B．一匹马的奔跑速度是70米/秒C．射击运动员一次命中10环D．明年元旦是晴天【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、5月1日前一天是4月30日是必然事件；B、一匹马的奔跑速度是70米/秒是不可能事件；C、射击运动员一次命中10环是随机事件；D、明年元旦是晴天是随机事件，故选：A．2．抛物线y=5（x+2）2﹣3图象的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣2）B．（2，3） C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的顶点式容易得出其顶点坐标．【解答】解：∵y=5（x+2）2﹣3，∴其顶点坐标为（﹣2，﹣3），故选D．3．在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=3，AB=4，则tanA的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】在直角△ABC中首先利用勾股定理求得BC的长，然后利用正切函数的定义求解．【解答】解：在直角△ABC中，BC===，则tanA==．故选C．4．有这样一道选择题：熊猫一只前掌趾的根数是（）？A.3根B.4根C.5根D.6根四个选项中只有一个正确，在你不知道熊猫前掌趾根数或者知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率分别是（）A．，1 B．，C．1，D．，【考点】概率公式．【分析】根据共有四个选项，在这四个选项中只有一个正确，在不知道的情况下，答对的概率是；在知道的情况下，答对的概率就是1．【解答】解：∵共有4种情况，四个选项中只有一个正确，∴在不知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，答对的概率是；在知道熊猫前掌趾根数的情况下，任选一个选择支，你答对的概率是1；故选A．5．将抛物线y=2x2先向右平移4个单位，再向上平移5个单位，得到的新抛物线的解析式为（）A．y=2（x+4）2+5 B．y=2（x﹣4）2+5 C．y=2（x+4）2﹣5 D．y=2（x﹣4）2﹣5【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：函数y=2x2先向右平移4个单位，得：y=2（x﹣4）2；再向上平移5个单位，得：y=2（x﹣4）2+5；故选：B．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D，E．若DE=4，=，则下列选项中错误的是（）A．△ADE∽△ABCB．BC=10C．=D．=【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据题意可以得到△ADE∽△ABC，然后根据题目中的条件即可推出选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故选项A正确，∴=，，∵DE=4，=，∴，∴AB=10，=，=，故选项B正确，选项C错误，∴，故选项D正确，故选C．7．下列有关圆的一些结论：①弦的垂直平分线经过圆心；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的两条弦的弦心距相等；④等弧所在的扇形面积都相等，其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】垂径定理；扇形面积的计算．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②、③进行判断；根据扇形的面积公式对④进行判断．【解答】解：弦的垂直平分线经过圆心，正确，∴①正确；∵平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，错误，∴②错误；∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦的弦心距才相等，∴③错误；∵等弧所在的扇形面积都相等，∴④正确；即正确的个数为2，故选B．8．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A．πB．1 C．πD．2【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．【分析】根据扇形的面积公式S=lr，其中l=r，求解即可．【解答】解：∵S=lr，∴S=×2×2=2，故选D．9．如图，已知△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，点D是边AC上一点，且满足BC2=CD•AC，DE与AB相交于点F，则图中有（）对相似三角形．A．6 B．7 C．8 D．9【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．【分析】先根据△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形可得出ABC∽△EBD，再由BC2=CD•AC可得出△BCD∽△ABC，∠CBD=∠ABD=∠A=36°，故可得出△BCD ∽△EBD；同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD；△ADF∽△EBF∽△ABD．【解答】解：∵△ABC与△BED都是顶角为36°的等腰三角形，∴ABC∽△EBD．∵BC2=CD•AC，∴△BCD∽△ABC，∴∠CBD=∠ABD=∠A=36°，∴△BCD∽△EBD；同理，△BDF∽△BCD∽△ABC∽EBD，△ADF∽△EBF∽△ABD．故选D．10．如图，抛物线y=﹣x2+20的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成20等份，设分点分别为P1，P2，…，P19，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，记△OP1Q1，△P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，S19，则S12+S22+…+S192的值为（）A．47 B．47.5 C．48 D．48.5【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P18P19=1，再利用抛物线解析式求出P1Q1，P2Q2，…，P19Q19的平方的值，利用三角形的面积表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．【解答】解：∵P1，P2，…，P19将线段OA分成20等份，∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P18P19=1，∵过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，∴﹣x2+20=1，解得x2=19，∴S12=（×1×P1Q1）2=×19，同理可得S22=×18，S32=×17，…S192=×1，∴w=S12+S22+S32+…+S192=×19+×18+×17+…+×1=×=47.5，故选B．二、认真填一填（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．己知=，那么的值为．【考点】分式的值．【分析】根据题意令a=3，b=4，代入即可得出答案．【解答】解：∵=，∴令a=3，b=4，∴原式==，故答案为．12．已知抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a的值是3，当x≤0时，y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．【分析】把（﹣1，3）代入抛物线y=ax2（a≠0），可得a；根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．【解答】解：把（﹣1，3）代入抛物线，有（﹣1）2a=3，即a=3；∵a=3＞0，∴抛物线开口向上，∵对称轴x=0，∴当x≤0时，y随x的增大而减小．故答案为：3，减小．13．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=20°，则∠C的大小为70度．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA、三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理求即可得∠C的度数．【解答】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；又∵∠OAB=20°，∴∠OBA=20°；∴∠AOB=180°﹣2×20°=140°；而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠C=70°，故答案是：70．14．如图，点P到坐标原点O的距离OP=6，线段OP与x轴正半轴的夹角为α，且cosα=，则点P的坐标为（4，2）．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】过点P作PA⊥x，垂足为A，由cosA、OP可求出P点的横坐标OA，再由勾股定理求出P点的纵坐标PA．【解答】解：过点P作PA⊥x，垂足为A．∵cosA=，OP=6，∴0A=4．在Rt△OPA中，PA==2．所以点P的坐标为（4，2）故答案为：（4，2）15．已知⊙O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为或．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先根据题意画出图形，然后作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：如图，作OM⊥AB与M，∵AB=8，∴BM=AB=×8=4，∵PB=3，∴PM=1，P′M=7，在直角△OBM中，OM==3；在Rt△OPM中，OP==．在Rt△OMP′中，OP′==．∴OP=或OP=．故答案是：或．16．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，过D作DE∥AB于E，连接BE交AD于D；过D1，作D1E1∥AB于E1，连接BE1交AD于D1，过D2作D2E2∥AB于E2，…，如此继续，记S△BDE为S1，S记为S2，S记为S3，…，面积为1，则S2=；S n=（用含n代数式表示）．若S△ABC【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】根据D是边BC的中点，过D作DE∥AB，得到E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，根据三角形的面积公式求出S1=，S2=，得出规律，即可得出结果．【解答】解：∵D是边BC的中点，DE∥AB，∴E为AC的中点，BE⊥AC，设△ABC的高是h，过E作EM⊥BC于M，∵BD=DC，DE∥AB，∴AE=EC，∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴AD∥EM，∴DM=MC，∴EM=AD=h，∴S1=•BC•AD==，∵DE∥AB，D1E1∥AB，∴=2=，∴S2=•AE•h﹣•AE•h==，同理S3==，…S n=，故答案为：；．三、全面答一答（本大题共7小题，共66分）17．一个不透明的布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．（1）从布袋中任意摸出1个球，求摸出是红球的概率；（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）从布袋中任意摸出1个球，摸出是红球的概率=；（2）画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，所以两次摸出的球恰好颜色不同的概率==．18．如图，已知等边△ABC．（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；（2）若AB=4，求△ABC的外接圆半径R．【考点】作图—复杂作图；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）分别作出AC和BC的垂直平分线，两线的交点就是圆心O的位置，再以CO长为半径画圆即可；（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，首先根据等腰三角形三线合一的性质计算出∠OCF=30°，再根据勾股定理计算出CO的长度即可．【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求；（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，连接AO，CO，∵△ABC是正三角形，AF⊥BC，∴∠FAC=∠BAC=30°，CF=BC=2，∵AO=CO，∴∠ACO=30°，∴∠OCF=60°﹣30°=30°，∴OF=OC，设OC=2x，则OF=x，x2+（2）2=（2x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），∴R=2OF=4．19．某市备受关注的地铁六号线正紧张施工，为了缓解一些施工路段交通拥挤的现状，交警队设立了如图所示的交通略况显示牌，已知立杆AB的高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】在Rt△ABD中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边AD的长；同理在Rt△ABC中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边AC的长，进而由BC=AC﹣AB得解．【解答】解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，∠BAD=90°，AB=3m，∴AD=3m．在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°=，∴AC=3．∴BC=AC﹣AB=（3﹣3）m．答：路况显示牌BC的高度是（3﹣3）m．20．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h=20t﹣5t2（0≤t≤4）．（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？（2）足球从开始踢至回到地面需要多少时间？（3）若存在两个不想等的实数t，能使足球距离地面的高度都为m（米），请直接写出m的取值范围．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据抛物线的顶点式即可得；（2）求得h=0时t的值即可；（3）根据h的最大值即可得．【解答】解：（1）∵h=20t﹣5t2=﹣5（t﹣2）2+20，∴t=2时，h最大，最大值为20m，答：经过2s足球能到达最大高度，最大高度是20米；（2）令h=0，得：20t﹣5t2=0，解得：t=0或t=4，∴足球从开始踢至回到地面需要4秒；（3）由（1）知足球的最大高度为20米，∴0≤m＜20．21．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，且C为弧BD的中点．若EC=2，tan∠CEB=2．（1）求证：△ABE∽△DCE，并求出BE的长；（2）求⊙O的面积．【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）由圆周角定理得出∠A=∠D，∠B=∠C，即可得出△ABE∽△DCE；连接BC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，由三角函数定义得出BC=2EC=4，由勾股定理求出BE即可；（2）由已知得出，得出DC=BC=4，由相似三角形的性质得出，求出AB=4，得出AO=2，由圆的面积公式即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE∽△DCE；连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵tan∠CEB==2，∴BC=2EC=4，∴BE===2；（2）解：∵C为弧BD的中点，∴，∴DC=BC=4，∵△ABE∽△DCE，∴，即，∴AB=4，∴AO=2，∴⊙O的面积=π•（2）2=20π．22．如图，已知一张直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是AC、AB边上的点，连接EF．（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D 处，已知AE=2.5，求△AEF的面积．（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA．①试证明：四边形AEMF是菱形．②求CM的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）首先证明△AEF∽△ABC，可得=（）2=（）2=，由此即可解决问题．（2）①只要证明AE=EM=MF=AF即可．②设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，由四边形AEMF为菱形，推出EM∥AB，推出△CEM∽△CAB，可得=，即=，求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，由折叠可知，EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴∠AFE=∠ACB=90°，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，=××3×4=．∴S△AEF（2）如图2中，①由折叠可知，AE=EM，AF=FM，∠AFE=∠MFE，∵MF∥CA，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF是菱形．②设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CEM∽△CAB，∴=，即=，解得x=，∴AE=EM=，CE=，∴CM==．23．如图，二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C（0，3），过点A的直线AD∥BC，交抛物线于另一点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）求直线AD的解析式及点D的坐标；（3）在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在；求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）代入y=ax2+2x+c即可得到结果；（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=﹣x+b，即可得到结论；解方程组得D（4，﹣5）；（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，只要当=或=时，△PBC∽△ABD，求出AD=5，AB=4，BC=3，代入比例式解得BP的长度，即可得到P（，0）或P（﹣，0）．【解答】解：（1）∵次函数y=ax2+2x+c的图象经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，解得，∴二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵AD∥BC，∴设直线AD的解析式为y=﹣x+b，∴0=1+b，∴b=﹣1，∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1．由，得或，∴D（4，﹣5）；（3）①∵BC∥AD，∴∠DAB=∠CBA，又∵D（4，﹣5），∴∠ABD≠45°，点P在点B得到左侧，∴只可能△ABD∽△BPC或△ABD∽△BCP，∴=或=，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），D（4，﹣5），∵AD=5，AB=4，BC=3，即=或=，解得BP=或BP=，∵3﹣=，3﹣=﹣，∴P（，0）或P（﹣，0）．2017年4月16日。