最新中考数学精选三角形和圆
2023年数学中考真题：圆的有关计算及证明精选(一)
圆的有关计算及证明2023年数学中考试题精选（一）1.（2023.营口23题）如图，在△ABC中，AB=BC，以BC为直径作圆O与AC将于点D，过点D作DE⊥AB，交CB延长线于点F，垂足为点E.（1）求证：DF为圆O的切线；，求BF的长。
（2）若BE=3，cosC=452.（2023.本溪铁岭辽阳24题）如图，AB是圆O的直径，点C，E在圆O上，∠CAB=2∠EAB，点F在线段AB的延长线上，且∠AFE=∠ABC.（1）求证：EF与圆O相切；，求BC的长。
（2）若BF=1，sin∠AFE=453.(2023.沈阳22题)如图，BE是圆O的直径，点A和点D是圆O上的两点，过点A作圆O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求圆O半径的长.4.(2023.大连市23题)如图1，在圆O中，AB为圆O的直径，点C为圆O上一点，AD为∠CAB的平分线交圆O于点D，连接OD交BC于点E.（1）求∠BED的度数；（2）如图2，过点A作圆O的切线BC延长线于点F，过点D作DG ∥AF交AB于点G.若AD=2√35,DE=4，求DG的长。
5.(2023.湖北省恩施州23题)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，点O为AB的中点，连接CO交圆O于点E，圆O与AC 相切于点D.（1）求证：BC是圆O的切线；（2）延长CO交圆O于点G，连接AC交圆O于点F，若AC=4√(2)，求FG的长.6.（2023.贵州省23题）如图，已知圆O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交圆O于点E，连接EA，EB.（1）写出图中一个度数为30°的角；____，图中与△ACD全等的三角形是______；（2）求证：△AED∽△CEB;（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由。
7.(2023.江苏省24题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交边AC于点D，连接BD，过点C作CE∥AB.（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点B作圆O的切线，交CE 于点F；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：BD=BF.8.(2023.江西省20题)如图，在△ABC中，AB=4,∠C=64°，以AB为直径的圆O与AC相交于点D，E为优弧ABD上一点，且∠ADE=40°.（1）求BE的长；（2）若∠EAD=76°，求证：CB为圆O的切线.9.(2023.沈阳22题)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上的一点（点C不与点A，B重合），连接AC，BC，点D是AB上的一点，AC=AD，BE交CD的延长线于点E，且BE=BC.（1）求证：BE是圆O的切线；（2）若圆O的半径为5，tanE=1，则BE的长为_____.210.(2023.扬州市25题)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、上一点，且∠BCD=12D两点.（1）试判断直线AB与圆O的位置关系，并说明理由；，圆O的半径为3，求AC的长.（2）若sinB=3511.(2023.广西壮族自治区23题)如图，PO平分∠APD，PA与圆O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.（1）求证：PB是圆O的切线；（2）若圆O的半径为4，OC=5，求PA的长.12.（2023.广东省22题）如图1，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A`，连接AA`交BD于点E，连接CA`.（1）求证：AA`⊥CA`；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.①如图2，圆O与CD相切，求证：AA`=√3CA`；②如图3，圆O与CA`相切，AD=1，求圆O的面积.13.(2023.安徽省20题)已知四边形ABCD内接于圆O，对角线BD是圆O的直径.（1）如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分⊥BCD; （2）如图2，E为圆O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB，若BD=3√3，AE=3.求弦BC的长.14.(2023.湖北黄冈市20题)如图，⊥ABC 中，以AB 为直径的圆O 交BC 于点D ，DE 是圆O 的切线 ，且DE⊥AC ，垂足为E ，延长CA 交圆O 于点F.（1）求证：AB=AC ；（2）若AE=3，ED=6，求AF 的长。
【精编版】数学中考专题训练——相似三角形与圆的综合
中考专题训练——相似三角形与圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．参考答案与试题解析1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是的中点，E为OD延长线上一点，且∠CAE＝2∠C，AC与BD交于点H，与OE交于点F．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径10，，求线段DH的长．【分析】（1）由垂径定理得出OD⊥AC，进而得出∠F AO+∠AOF＝90°，由圆周角定理结合已知条件得出∠AOF＝∠CAE，得出∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；（2）连接AD，利用解直角三角形得出tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，由⊙O的半径10，得出AB＝5x＝20，求出x＝4，求出AD＝12，BD＝16，继而证明△ADH∽△BDA，利用相似三角形的性质即可求出DH的长．【解答】（1）证明：如图1，∵D是的中点，∴OD⊥AC，∴∠AFO＝90°，∴∠F AO+∠AOF＝90°，∵∠AOF＝2∠C，∠CAE＝2∠C，∴∠AOF＝∠CAE，∴∠F AO+∠CAE＝90°，即∠OAE＝90°，∵OA是半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，∵∠C＝∠B，，tan B＝，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan B＝＝，设AD＝3x，则BD＝4x，AB＝5x，∵⊙O的半径10，∴AB＝5x＝20，∴x＝4，∴AD＝3×4＝12，BD＝4×4＝16，∵D是的中点，∴AD＝CD＝12，∴∠DAC＝∠C，∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B，∵∠ADH＝∠BDA∴△ADH∽△BDA，∴，即，∴DH＝9．2．如图，AD是⊙O的弦，PO交⊙O于点B，∠ABP＝∠ABD，且AB2＝PB•BD，连接P A．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若P A＝2PB＝4，求BD的长．【分析】（1）延长BO交⊙O于点E，连接AE，先证明△PBA∽△ABD，得出∠P AB＝∠ADB，由圆周角定理得出∠P AB＝∠E，由等腰三角形的性质得出∠OAE＝∠E，进而得出∠P AB＝∠OAE，由圆周角定理得出∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，进而得出∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，即可证明P A是⊙O的切线；（2）延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，利用勾股定理列方程求出⊙O的半径为3，进而得出OA＝3，OP＝5，BE＝6，再证明△P AO∽△EDB，利用相似三角形的性质即可求出BD的长度．【解答】（1）证明：如图1，延长BO交⊙O于点E，连接AE，∵AB2＝PB•BD，∴，∵∠ABP＝∠ABD，∴△PBA∽△ABD，∴∠P AB＝∠ADB，∵∠ADB＝∠E，∴∠P AB＝∠E，∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠E，∴∠P AB＝∠OAE，∵BE为直径，∴∠BAE＝∠BAO+∠OAE＝90°，∴∠BAO+∠P AB＝∠P AO＝90°，∵OA是半径，∴P A是⊙O的切线；（2）解：如图2，延长BO交⊙O于点E，连接AE，DE，∵P A＝2PB＝4，∴PB＝2，设OA＝OB＝x，则OP＝x+2，∵∠P AO＝90°，∴P A2+AO2＝OP2，即42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OA＝3，OP＝2+3＝5，BE＝3+3＝6，∵△PBA∽△ABD，∴∠P＝∠BAD，∵∠BAD＝∠BED，∴∠P＝∠BED，∵BE为直径，∴∠BDE＝90°，∴∠P AO＝∠EDB＝90°，∴△P AO∽△EDB，∴，即，∴BD＝．3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点H，点B是弧CD的中点，过点A作AE∥CD，交射线DO于点E，DE与⊙O交于点F，BF与CD交于点G．（1）求证：AE是⊙O的切线．（2）已知AO＝5，AE＝，求BG的长．【分析】（1）利用垂径定理的推论得到AB⊥CD，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）过点F作FM⊥AB于点M，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求出线段OE，OM，MF的长，利用全等三角形的判定与性质求得线段BH的长，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．【解答】（1）证明：∵点B是弧CD的中点，AB为⊙O的直径，∴AB⊥CD，∵AE∥CD，∴AE⊥OA．∵OA为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FM⊥AB于点M，如图，∵AO＝5，AE＝，AE⊥OA，∴OE＝＝．∵AE⊥AB，FM⊥AB，∴FM∥AE，∴△OMF∽△OAE，∴，∴，∴OM＝3，MF＝4．∴BM＝OB+OM＝5+3＝8，∴BF＝＝4．在△OFM和△ODH中，，∴△OFM≌△ODH（AAS），∴OM＝OH＝3，∴BH＝OB﹣OH＝2．∵FM⊥AB，AB⊥CD，∴CD∥FM，∴△BGH∽△BFM，∴，∴，∴BG＝．4．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点，且，过点D的直线DE⊥AC交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F，连接AD、OE交于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，证明DE是⊙O的切线，关键是证明OD⊥DE；（2）连接BD，根据（1）中OD∥AE得△OGD∽△AEG，从而求出AE的长，再根据△AED∽△ADB求出AD的长，再利用三角函数求出DF的长，利用S阴影＝S△DOF﹣S扇形DOB求出阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图所示，连接OD，∵，∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD//AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图所示，连接BD，∵OD//AE，∴△OGD∽△EGA，∴，∵，⊙O的半径为2，∴，∴AE＝3．∵AB是⊙O的直径，DE⊥AE，∴∠AED＝∠ADB＝90°，∵∠CAD＝∠DAB，∴△AED∽△ADB，∴，即，∴，在Rt△ADB中，，∴∠DAB＝30°，∴∠EAF＝60°，∠DOB＝60°，∴∠F＝30°，∵OD＝2，∴，∴．5．某数学小组在研究三角形的内切圆时，遇到了如下问题：如图①，已知等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，如何在这个等腰三角形中画出其内切圆？小红同学经过计算，在高CD上截取DO＝3，以点O为圆心，以3为半径作的圆即为所求．（1）小红的方法是否正确？如果正确，给出理由；如果不正确，请给出你的方法．（2）如图②，在图①的基础上，以AB为边作一个正方形ABEF，连接FC并延长与BE 交于点G，则BG：GE的值为．【分析】（1）过点O作OH⊥AC于点H，由等腰三角形的性质得出AD＝BD＝6，OC＝5，由勾股定理得出AC＝10，证明△CHO∽△CDA，，由相似三角形的性质得出OH＝3，继而得出AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，AB是⊙O的切线，即可得出⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）延长DC交FE于点M，由正方形的性质得出BE＝AB＝12，EF∥AB，由CA＝CB，CD⊥AB，得出AD＝BD＝6，DM⊥EF，继而得出FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，由三角形中位线的性质得出GE＝8，进而得出BG＝4，即可求出BG：GE的值．【解答】解：（1）小红的方法正确，理由如下：如图①，过点O作OH⊥AC于点H，∵等腰△ABC的底边AB为12，底边上的高CD为8，OD＝3，∴AD＝BD＝6，OC＝CD﹣OD＝8﹣3＝5，∴AC＝＝＝10，∵∠CHO＝∠CDA＝90°，∠HCO＝∠DCA，∴△CHO∽△CDA，∴，即，∴OH＝3，∵OH⊥AC，∴AC是⊙O的切线，同理，BC是⊙O的切线，∵OD⊥AB，OD＝3，∴AB是⊙O的切线，∴⊙O是等腰△ABC的内切圆；（2）如图②，延长DC交FE于点M，∵四边形ABEF是正方形，AB＝12，∴BE＝AB＝12，EF∥AB，∵CA＝CB，CD⊥AB，∴AD＝BD＝6，DM⊥EF，∴FM＝ME＝6，DM＝BE＝12，∴MC是△EFG的中位线，MC＝DM﹣CD＝12﹣8＝4，∴GE＝2CM＝2×4＝8，∴BG＝BE﹣GE＝12﹣8＝4，∴，故答案为：．6．如图，AB是⊙O的直径，CD是一条弦．过点A作DC延长线的垂线，垂足为点E．连接AC，AD．（1）证明：△ABD∽△ACE．（2）若，BD＝5，CD＝9．①求EC的长．②延长CD，AB交于点F，点G是弦CD上一点，且∠CAG＝∠F，求CG的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质求得∠ACD+∠ABD＝180°，推出∠ABD＝∠ACE，即可证明；（2）①由△ABD∽△ACE，推出AE＝3CE，在Rt△ADE中，利用勾股定理求解即可；②证明△EAG∽△EDA，利用三角形的性质求解即可．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AE⊥CE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∴∠ACD+∠ABD＝180°，又∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE；（2）解：①在Rt△BDA中，AB＝5，BD＝5，∴AD＝＝15，∵△ABD∽△ACE，∴，即，∴AE＝3CE，在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴152＝（3CE）2+（9+CE）2，解得：CE＝﹣（舍去）或CE＝3；∴EC的长为3；②∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，∵∠CAG＝∠F，∠EAG＝∠CAE+∠CAG，∠EDA＝∠BAD+∠F，∴∠EAG＝∠EDA，∴△EAG∽△EDA，∴，∴AE2＝GE•ED，即AE2＝（EC+CG）•ED，∵CE＝3，∴AE＝3CE＝9，∴92＝（3+CG）×12，∴CG＝．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是直径，AD平分∠BAC交于点D，EF切⊙O于D，BF ⊥AB交EF于F．（1）求证：四边形BCEF为平行四边形．（2）若BF＝，AB＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OD，证明BF∥AE，BC∥EF，可得结论；（2）根据平行四边形的性质可得CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，证明四边形CODG是正方形，△ABC∽△GCE，列比例式可得AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BAC+∠ABF＝180°，∴BF∥AE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BC⊥OD，∵EF切⊙O于D，∴EF⊥OD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF为平行四边形；（2）解：由（1）知：四边形BCEF为平行四边形，∴CE＝BF＝，如图，连接OD，过点C作CG⊥EF于G，∴∠COD＝∠ODG＝∠CGD＝90°，∵OC＝OD，∴四边形CODG是正方形，∴CG＝OC，∠BCG＝90°，∴∠ACB+∠ECG＝90°，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠CGE＝∠BAC＝90°，∴△ABC∽△GCE，∴＝，设⊙O的半径是r，则BC＝2r，∴＝，∴r＝（负值舍），∴BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AE＝AC+CE＝2+＝．8．如图，AB为⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O．点D为的中点，对角线AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF交BD的延长线于点F，切点为A．（1）求证：AE＝AF；（2）若AB＝4，BF＝5，求sin∠BDC的值．【分析】（1）由点D为的中点，可得∠CBD＝∠ABD，根据AB为⊙O的直径，有∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，又AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，有∠F＝90°﹣∠ABD，即得∠AEF＝∠F，AE＝AF；（2）证明△ADF≌△ADE，得AE＝AF，DE＝DF，由勾股定理求得AF，由三角形面积公式求得AD，进而求得DE，BE，再证明△BEC∽△AED，得BC，进而求得sin∠BAC 便可．【解答】（1）证明：∵点D为的中点，∴＝，∴∠CBD＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AEF＝∠BEC＝90°﹣∠CBD，∵AF是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠ABD，∴∠AEF＝∠F，∴AE＝AF；（2）∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝∠BAD+∠F AD＝90°，∴∠ABD＝∠F AD，∵∠ABD＝∠CAD，∴∠F AD＝∠EAD，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（ASA），∴AF＝AE，DF＝DE，在Rt△ADE中，AB＝4，BF＝5，∴AF＝＝3，∴AE＝AF＝3，∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AD，∴AD＝＝＝，∴DE＝＝＝，∴BE＝BF﹣2DE＝，∵∠AED＝∠BEC，∠ADE＝∠BCE＝90°，∴△BEC∽△AED，∴＝，∴BC＝＝，∴sin∠BAC＝＝，∵∠BDC＝∠BAC，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°∴sin∠BDC＝．9．如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．（1）求证：DF与半圆相切；（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）连接OF，证明△DAO≌△DFO（SAS），可得∠DAO＝90°＝∠DFO，即可得DF与半圆O相切；（2）连接AF，证明△AOD∽△FBA，可得＝，DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝，即可得矩形ABCD的面积是．【解答】（1）证明：连接OF，如图：∵＝，∴∠DOA＝∠FOD，∵OA＝OF，OD＝OD，∴△DAO≌△DFO（SAS），∴∠DAO＝∠DFO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO＝90°＝∠DFO，∴OF⊥DF，又OF是半圆O的半径，∴DF与半圆O相切；（2）解：连接AF，如图：∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆直径，∴∠AFB＝90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF，∴∠AOD＝∠ABF，∵∠OAD＝∠AFB＝90°，∴△AOD∽△FBA，∴＝，即＝，∴DO＝，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，答：矩形ABCD的面积是．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与⊙O相交于E，F两点，P在OE延长线上，且满足∠PCA＝∠ABC，连接P A，PC，AF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）证明：PE•OD＝DE•OE．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形性质及圆周角定理可得∠PCO＝90°，然后由切线的判定定理可得结论；（2）连接EC，FC，OC，证明Rt△ECD∽Rt△CFD，得出CD2＝DE•DF，继而得出CD2＝DE•OD+DE•OE，同理得出CD2＝OD•DE+OD•PE，进而得出DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，即可证明PE•OD＝DE•OE．【解答】证明：（1）如图1，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠PCA＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO+∠PCA＝90°，即∠PCO＝90°，∵OC是圆O的半径，∴PC是圆O的切线；（2）如图2，连接EC，FC，OC，∵EF是直径，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠CFE＝90°，∵D是AC的中点，EF是直径，∴AC⊥EF，∴∠CEF+∠ECD＝90°，∠EDC＝∠CDF＝90°，∴∠ECD＝∠CFD，∴Rt△ECD∽Rt△CFD，∴，∴CD2＝DE•DF，∴CD2＝DE（OD+OF）＝DE（OD+OE）＝DE•OD+DE•OE，同理Rt△PCD∽Rt△COD，∴，∴CD2＝OD•PD＝OD（PE+DE）＝OD•DE+OD•PE，∴DE•OD+DE•OE＝OD•DE+OD•PE，∴PE•OD＝DE•OE．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为直径作⊙O，过点B的切线交AC延长线于点D，点E为上一点，且BC＝EC，连接BE交AC于点F．（1）求证：BC平分∠DBE；（2）若AB＝2，tan E＝，求EF的长．【分析】（1）因为BD是⊙O的切线，所以∠∠CBD＝∠A，因为BC＝EC，所以∠E＝∠EBC，由同弧所对的圆周角相等可得，∠A＝∠E，所以∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）由（1）可知，tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以tan A＝＝，即AC＝2BC，由AB＝2结合勾股定理可得，BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，解得BC＝2，AC＝4，又因为tan∠EBC＝＝，所以CF＝1，AF＝3，BF＝，易证△ABF∽△ECF，所以AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解之即可．【解答】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠∠CBD＝∠A，∵BC＝EC，∴∠E＝∠EBC，∵∠A＝∠E，∴∠EBC＝∠CBD，即BC平分∠DBE．（2）解：由（1）知，∠A＝∠E＝∠EBC，∴tan E＝tan A＝tan∠EBC＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴tan A＝＝，即AC＝2BC，∵AB＝2，∴BC2+AC2＝AB2，即BC2+4BC2＝AB2，∴BC＝2，AC＝4，∵tan∠EBC＝＝，∴CF＝1，AF＝3，BF＝，∵∠A＝∠E，∠ABF＝∠ECF，∴△ABF∽△ECF，∴AF：EF＝BF：CF，即3：EF＝：1，解得EF＝．12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠F AC＝∠BDC．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若BC＝6，sin B＝，求⊙O的半径及OD的长．【分析】（1）作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，利用直角三角形斜边上中线的性质得AD ＝CD，再通过导角得出AC是∠F AB的平分线，再利用角平分线的性质可得OH＝OE，从而证明结论；（2）根据BC＝6，sin B＝，可得AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，利用Rt△AOE∽Rt△ABC，可得r的值，再利用勾股定理求出OD的长．【解答】（1）证明：如图，作OH⊥F A，垂足为H，连接OE，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AD＝，∴∠CAD＝∠ACD，∵∠BDC＝∠CAD+∠ACD＝2∠CAD，又∵∠F AC＝，∴∠F AC＝∠CAB，即AC是∠F AB的平分线，∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E，∴OE⊥AB，且OE是⊙O的半径，∴OH＝OE，OH是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin B＝，∴可设AC＝4x，AB＝5x，∴（5x）2﹣（4x）2＝62，∴x＝2，则AC＝8，AB＝10，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，∵Rt△AOE∽Rt△ABC，∴，即，∴r＝3，∴AE＝4，又∵AD＝5，∴DE＝1，在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD＝．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．（1）求证：∠D＝∠EBC；（2）若CD＝2BC，AE＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质可得∠DAO＝90°，从而可得∠D+∠ABD＝90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC＝90°，从而可得∠ACB+∠EBC＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；（2）根据已知可得BD＝3BC，然后利用（1）的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB＝3EC，然后根据AB＝AC，进行计算即可解答．【解答】（1）证明：∵AD与⊙O相切于点A，∴∠DAO＝90°，∴∠D+∠ABD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠ACB+∠EBC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠D＝∠EBC；（2）解：∵CD＝2BC，∴BD＝3BC，∵∠DAB＝∠CEB＝90°，∠D＝∠EBC，∴△DAB∽△BEC，∴＝＝3，∴AB＝3EC，∵AB＝AC，AE＝3，∴AE+EC＝AB，∴3+EC＝3EC，∴EC＝1.5，∴AB＝3EC＝4.5，∴⊙O的半径为2.25．14．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的角平分线AF交BC于点D，交⊙O于点E，连接BE和BF，∠F＝∠ABE．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AC＝5，AB＝13，求CD的长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝∠AEB＝90°，进而得出∠F+∠FBE＝90°，由∠F＝∠ABE，得出∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，即可证明BF是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点G，由∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，得出BC＝12，，由圆周角定理得出，进而得出OE垂直平分BC，即可求出，OG是△ABC的中位线，得出，求出EG＝4，由∠CAE＝∠CBE，得出tan∠CAD＝tan∠EBG，得出，即可求出．【解答】（1）证明：如图1，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∴∠F+∠FBE＝90°，∵∠F＝∠ABE，∴∠ABE+∠FBE＝90°，即∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OE交BC于点G，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，，∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE垂直平分BC，∴，OG是△ABC的中位线，∴，∴EG＝OE﹣OG＝﹣＝4，∵∠CAE＝∠CBE，∴tan∠CAD＝tan∠EBG，∴，即，∴．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，以AD为直径作⊙O交AC于点F，点B恰好落在⊙O上，过D点作⊙O的切线DE交AC于点E，连接DF．（1）求证：∠FDE＝∠CDE；（2）若AB＝12，tan∠C＝，求线段DE的长．【分析】（1）由切线的性质及圆周角定理得出∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，证明△F AD≌△BAD，得出∠ADF＝∠ADB，即可证明∠FDE＝∠CDE；（2）由解直角三角形得出BC＝16，由勾股定理得出AC＝20，由全等三角形的性质得出AF＝AB＝12，进而得出CF＝8，由解直角三角形得出DF＝6，进而得出BD＝DF＝6，由勾股定理得出AD＝6，证明△EAD∽△DAB，由相似三角形的性质得出AE＝15，再利用勾股定理即可求出DE＝3．【解答】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，AD为直径，∴AD⊥DE，∴∠ADF+∠FDE＝90°，∠ADB+∠CDE＝90°，∵AD是直径，∴∠AFD＝∠ABD＝90°∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠BAD，在△F AD和△BAD中，，∴△F AD≌△BAD（AAS），∴∠ADF＝∠ADB，∴∠FDE＝∠CDE；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝12，tan∠C＝，∴BC＝＝＝16，∴AC＝＝＝20，∵△F AD≌△BAD，∴AF＝AB＝12，∴CF＝AC﹣AF＝20﹣12＝8，在Rt△CDF中，DF＝CF•tan∠C＝8×＝6，∴BD＝DF＝6，∴AD＝＝＝6，∵∠ABD＝∠ADE＝90°，∠EAD＝∠DAB，∴△EAD∽△DAB，∴，即，∴AE＝15，∴DE＝＝＝3．16．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，点D为BE的中点．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若直线l切⨀O于点D，与AC及AB的延长线分别交于点F、点G．∠BAC＝45°，求的值．【分析】（1）连接AD，由AB为⊙O的直径可得出AD⊥BC，由点D为弧BE的中点利用圆周角定理可得出∠BAD＝∠DAC，利用等角的余角相等可得出∠ABD＝∠ACD，进而可证出△ABC为等腰三角形；（2）连接OD，则OD⊥GF，由OA＝OD可得出∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，利用“内错角相等，两直线平行”可得出OD∥AC，根据平行线的性质可得出＝、∠GOD ＝∠BAC＝45°，根据等腰直角三角形的性质可得出GO＝DO＝BO，进而可得出＝＝＝．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：连接AD，如图1所示．∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC．∵点D为弧BE的中点，∴＝，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠ABD＝∠ACD，∴△ABC为等腰三角形．（2）连接OD，如图2所示．∵直线l是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥GF．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD＝∠DAC，∴OD∥AC，∴＝，∠GOD＝∠BAC＝45°，∴△GOD为等腰直角三角形，∴GO＝DO＝BO，∴＝＝＝．∴＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）CD2＝CE•CA．【分析】（1）连接OD，证DO∥AB，得出∠ODB＝90°即可得出结论；（2）连接DE，证△CDE∽△CAD，根据线段比例关系即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAO，∵OD＝OA，∴∠DAO＝∠ODA，∴∠DAO＝∠ADO，∴DO∥AB，而∠B＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DE，∵BC是⊙O的切线，∴∠CDE＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴，∴CD2＝CE•CA．18．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且弧CD＝弧CB，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，连接AC交BD于F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AE于H点，CH交BD于M，若CA＝CE＝6，求CH和BF的长．【分析】（1）连接OC，由垂径定理的推论得出OC⊥BD，由CE∥BD，得出OC⊥CE，即可证明CE是⊙O的切线；（2）连接OC，BC，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝∠E，由圆周角定理得出∠BOC ＝2∠E，由OC⊥CE，得出∠BOC+∠E＝90°，求出∠E＝30°，进而求出CH＝3，EH ＝3，由等腰三角形的性质得出∠CAB＝30°，AE＝6，由圆周角定理得出∠ACB ＝90°，由解直角三角形求出AB＝4，由CE∥BD，得出，代入计算即可求出BF＝4，得出答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵弧CD＝弧CB，OC是半径，∴OC⊥BD，∵CE∥BD，∴OC⊥CE，∵OC是半径，∴CE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接OC，BC，∵CA＝CE＝6，∴∠CAB＝∠E，∵∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2∠E，∵OC⊥CE，∴∠BOC+∠E＝90°，∴2∠E+∠E＝90°，∴∠E＝30°，∵CH⊥AE，∴CH＝CE＝×6＝3，EH＝＝＝3，∵CA＝CE＝6，CH⊥AE，∴∠CAB＝∠E＝30°，AE＝2EH＝6，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，∴AB＝＝＝＝4，∵CE∥BD，∴，即，∴BF＝4，∴CH的长为3，BF的长为4．19．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）求证：CF是⊙O的切线；（3）若，BE＝6，求⊙O的半径长．【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABC＝90°，由∠A＝40°，得出∠ACB＝50°，由点D是的中点，即可求出∠DCB＝∠ACB＝25°；（2）由圆周角定理得出∠BCD+∠CEF＝90°，由点D是的中点，得出∠DCB＝∠DCA，由等腰三角形的性质得出∠FCE＝∠FEC，进而得出∠ACF＝90°，即可证明CF 是⊙O的切线；（3）由解直角三角形得出＝，设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，由勾股定理得出方程（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解方程求出x＝3，得出BC＝12，CF＝15，BF＝9，再证明△CFB∽△AFC，利用相似三角形的性质求出AC＝20，即可求出⊙O的半径长为10．【解答】（1）解：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA＝∠ACB＝×50°＝25°；（2）证明：∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BCD+∠CEF＝90°，∵点D是的中点，∴∠DCB＝∠DCA，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠DCA+∠FCE＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥CF，∵AC是直径，∴CF是⊙O的切线；（3）解：在Rt△CBF中，sin∠F＝，∵，BE＝6，∴＝，∴设BC＝4x，则CF＝5x，BF＝5x﹣6，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+（5x﹣6）2＝（5x）2，解得：x＝3或（不符合题意，舍去），∴BC＝12，CF＝15，BF＝9，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠CFB＝∠AFC，∴△CFB∽△AFC，∴，即，∴AC＝20，∴OA＝AC＝×20＝10，∴⊙O的半径长为10．20．已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB＝AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM＝CN，AM＜AN，联结OM、ON．（1）求证：OM＝ON；（2）当∠BAC为锐角时，如果AO2＝AM•AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．【分析】（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，利用圆心角，弦，弧，弦心距之间的关系定理可得OE＝OF，AE＝CF＝AB，利用等式的性质可得EM＝FN，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；（2）连接OB，利用相似三角形的判定与性质得到∠AOM＝∠B，利用同圆的半径线段，等腰三角形的性质和角平分线性质定理的逆定理得到∠AOM＝∠OAC，则得OM∥ON，利用等腰梯形的定义即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，如图，∵AB＝AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，AE＝CF＝AB．∵AM＝CN，∴AE﹣AM＝FC﹣CN，即：EM＝FN．在△OEM和△OFN中，，∴△OEM≌△OFN（SAS）．∴OM＝ON；（2）连接OB，如图，∵AO2＝AM•AC，AC＝AB，∴AO2＝AM•AB，∴．∵∠MAO＝∠OAB，∴△OAM∽△BAO，∴∠AOM＝∠B．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠OAB＝∠AOM，∴OM＝AM．∵OM＝ON，∴AM＝ON．∵OE＝OF，OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠AOM＝∠OAC，∴OM∥AN．∵AM＜AN，∴OM＜AN，∴四边形AMON为梯形，∵AM＝ON，∴四边形AMON为等腰梯形．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：BF＝BD；（2）若CF＝1，tan∠EDB＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵AC是⊙O的切线，∴OE⊥AC．∵AC⊥BC，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠F．∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∴∠BDE＝∠F，∴BD＝BF；（2）解：连接BE，如图，∵∠BDE＝∠F，∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，∵CF＝1，tan∠F＝，∴CE＝2．∵BD是⊙O直径，∴∠BED＝90°，∴BE⊥EF．∵EC⊥BF，∴△ECF∽△BCE，∴，∴EC2＝BC•CF．∴BC＝4．∴BF＝BC+CF＝5．∴BD＝BF＝5，即⊙O的直径为5．22．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证：△CED∽△BAD；（2）当DC＝2AD时，求CE的长．【分析】（1）由对顶角的性质，圆周角定理得出∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，即可证明△CED∽△BAD；（2）过点D作DF⊥EC于点F，由等边三角形的性质得出∠A＝60°，AC＝AB＝6，由DC＝2AD，得出AD＝2，DC＝4，由相似三角形的性质得，得出EC＝3DE，由含30°角的直角三角形的性质得出DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，进而得出FC＝5x，利用勾股定理得出一元二次方程（x）2+（5x）2＝42，解方程求出x的值，即可求出EC的长度．【解答】（1）证明：如图1，∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，∴△CED∽△BAD；（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，∵△ABC是边长为6等边三角形，∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，∵DC＝2AD，∴AD＝2，DC＝4，∵△CED∽△BAD，∴，∴EC＝3DE，∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝2EF，设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，∴FC＝5x，在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，∴（x）2+（5x）2＝42，解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），∴EC＝6x＝．23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AE＝12，，求⊙O的半径和EF的长．【分析】（1）连接OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠AEO+∠OEB＝90°，再利用角平分线和等腰三角形的性质可得∠CAE＝∠AEO，从而可得∠BEF＝∠AEO，然后可得∠BEF+∠OEB＝90°，从而求出∠OEF＝90°，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠BEF＝∠EAO，从而可证△FEB∽△F AE，然后利用相似三角形的性质可求出BE的长，再在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB的长，从而求出EF 的长，即可解答．【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEO+∠OEB＝90°，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠CAB，∴∠EAO＝∠CAE，∴∠CAE＝∠AEO，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵∠BEF＝∠AEO，∠EAO＝∠AEO，∴∠BEF＝∠EAO，∵∠F＝∠F，∴△FEB∽△F AE，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝6，∴AB＝＝＝30，∴＝，∴EF＝20，∴⊙O的半径为15，EF的长为20．。
2024中考备考数学重难点05 圆的综合压轴题(6大题型+满分技巧+限时分层检测
重难点05 圆的综合压轴题中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
考向一：圆中弧长与面积的综合题1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.（1）求OC的长．操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中．（2）操作后水面高度下降了多少？（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小．2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：；（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．①请在图中作出点O；②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．考向二：圆与全等三角形综合题1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．（1）如图①，求证：BC＝2OH；（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F 作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM ⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为．考向三：圆的综合证明问题1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD ⊥DA，AC交BF于点P．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：AC•PC＝BC2；（3）已知BC2＝3FP•DC，求的值．2．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．（1）若BE＝1，求GE的长．（2）求证：BC2＝BG•BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．3．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．4．（2023•广东）综合探究如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连接AA′交BD于点E，连接CA′．（1）求证：AA'⊥CA'；（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．①如图2，⊙O与CD相切，求证：；②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．考向四：圆与等腰三角形的综合1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求的值．3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾（1）如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC＝8，求BC的长；逆向思考（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD＝CB﹣CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．考向五：圆的阅读理解与新定义问题1．（2023•青海）综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C 到BD的距离d1．（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到BD的距离d2（结果保留根号）．（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD＝．此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算C 到BD的距离d3＝（结果保留根号）．（4）归纳推理：比较d1，d2，d3大小：，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离（填“越大”或“越小”）．（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d＝.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，点P到水面AB的距离PH＝8m．点P1，P2均在上，＝，且P1P2＝10m，在点P1，P2处各装有一个照明灯，图中△P1CD和△P2EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P1，P2左右转动，且光束始终照在水面AB上．即∠CP1D，∠EP2F可分别绕点P1，P2按顺（逆）时针方向旋转（照明灯的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP1D＝∠EP2F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．考向六：圆与特殊四边形综合1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B，C，交射线ON 于点D，E，连接AB，AC，AD．（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝AF．2．（2023•益阳）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC＝120°，D为⊙O上一点且的中点为M，连接AD，CD．（1）求∠ACB的度数；（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若AC＝6，求的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于点C，AB＝4，PB＝3．（1）填空：∠PBA的度数是，PA的长为；（2）求△ABC的面积；（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交于点F，G，求的值．2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长；（2）如图2，当，时，求的值；（3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值．3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•CN；（3）当AB＝6，sin∠DCA＝时，求AM的长．4．（2023•丽水）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结AD交CF于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．（1）求证：AD∥HC；（2）若＝2，求tan∠FAG的值；（3）连结BC交AD于点N，若⊙O的半径为5．下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．①若OF＝，求BC的长；②若AH＝，求△ANB的周长；③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC ＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC 的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧上）．（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tan D）2的值；（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•＝y，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG ＝∠AFC．（1）求∠BGC的度数．（2）①求证：AF＝BC．②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．（建议用时：80分钟）1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE 平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5B．4C．3D．22．（2023•鹿城区校级三模）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作DE ⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝；当EF＝GH时，CD＝．3．（2023•湖北模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7，下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF2＝PB•PA；③若BC＝OP，则阴影部分的面积为；④若PC＝24，则tan∠PCB＝；其中，所有正确结论的序号是．4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，OC．（1）求证：∠BCO＝∠ABD．（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若⊙O的半径为5，，求AB的长．5．（2024•常州模拟）对于⊙C和⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q 可以与点P重合，且，则点P称为点A关于⊙C的“阳光点”．已知点O为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A（﹣1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标；（2）若点B是点A关于⊙O的“阳光点”，且，求点B的横坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“阳光点”，请直接写出b的取值范围是或．6．（2024•广东一模）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D在劣弧BC上，CE ⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE～△BCD；（2）若cos∠ABC＝m，求；（用含m的代数式表示）（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝，求OG的长．7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径作⊙O，连结AN交⊙O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．（1）求证：∠MAD＝∠MHC；（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．8．（2024•浙江一模）如图，在⊙O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是的三等分点，直径CE交AB于点F，连结BD交CF于点G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．（1）求证：FG＝CG．（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．（3）若⊙O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设⊙O的半径为r．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．10．（2024•福建模拟）已知：如图，⊙O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为⊙O半径，连接AC、BD．（1）求证：∠OAC＝∠BCD；（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝HF＝，CL＝8，BE＝2PF时，求⊙O的半径．11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC 于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．（1）求证：DF∥AB．（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，①求tan∠CDF的值；②求BC的长．（3）如图2，延长AD交⊙O于点G，若，求的值．12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示，⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PQ，使PQ与⊙O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B 分别位于直线OP的上下两侧）；（2）作直线AB，AB交OP于点C；（3）以点C为圆心，CO为半径作⊙C，⊙C交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．【问题】（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；（2）结合图形，说明PQ是⊙O切线的理由；（3）若⊙O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画⊙A分别交AB于点E．交AD于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系：．（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？请说明理由．（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为；②在旋转过程中，CF的最大值是．14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①，⊙O的半径为4，弦AB＝4，则点O到AB的距离是．问题探究：（2）如图②，⊙O的半径为5，点A、B、C都在⊙O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD 区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S△PAB +S△PCD的最小值）15．（2024•碑林区校级一模）问题探究（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件⊙A、⊙B按如图1所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是⊙A上一点，N是⊙B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出PM+PN的最小值．问题解决（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中米，BC＝30米，点E、F为花园的两个入口，米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边AB的距离；若不存在，请说明理由．16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．问题解决（3）有一个直径为60cm的圆形配件⊙O，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；若不存在，请说明理由．17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，DB 满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是；（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝AB时，求CD的长；（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画⊙O，P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A．（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点C 作CE⊥AD于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；（3）在（2）的条件下，若点F是⊙O上一点（不与A、B、C重合），求的值．。
圆与三角形结合的中考题型
圆与三角形结合的中考题型在中考数学考试中，圆与三角形结合的题型常常出现。
这类题目要求考生在理解和运用圆和三角形的基本概念的基础上，解决与其相关的问题。
本文将介绍几种常见的圆与三角形结合的中考题型，并提供解题思路。
一、圆与三角形的位置关系1. 判断位置关系常见的题目类型是给定一个圆和一个三角形，要求判断三角形与圆的位置关系，即三角形是在圆的内部、外部还是与圆相切。
解决这类题目的关键是运用圆与三角形的性质。
例如，已知一个圆的圆心为O，半径为r；已知一个等边三角形ABC，边长为a。
要判断这个等边三角形与圆的关系，可以通过计算等边三角形的边长和圆的半径之间的大小关系来解决。
当a<r时，等边三角形ABC在圆的内部；当a=r时，等边三角形ABC与圆相切；当a>r时，等边三角形ABC在圆的外部。
2. 求面积另一种常见的题目类型是给定一个圆和一个三角形，要求计算三角形的面积。
解决这类题目的关键是建立适当的几何关系，并利用相关公式进行计算。
例如，已知一个圆的半径为r，一个等腰直角三角形ABC，其中AB和BC为直角边，要求计算三角形ABC的面积。
首先，由于等腰直角三角形的性质，可以得知角A和角C为45°。
由于直角三角形ABC是等腰的，所以边AB和边BC的长度相等，设为x。
根据勾股定理，可以得到x^2 + x^2 = r^2，化简得到2x^2 = r^2解出x = r/√2。
由此可知，三角形ABC的面积为(1/2) * AB * BC = (1/2) * x * x =(1/2) * r/√2 * r/√2 = r^2/2。
二、圆与三角形的相似性1. 判断相似题目要求判断两个图形是否相似，其中包括一个圆和一个三角形。
解决这类题目的关键是观察图形的形状，并运用相似三角形的性质进行判断。
例如，给定一个圆和一个直角三角形ABC，其中C为直角点，要判断这两个图形是否相似。
观察可知，三角形ABC是一个直角三角形，而圆可以看作是一个半径为r的正圆。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的外接圆与外心
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的外接圆与外心1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．2．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊙DC交DC的延长线于点E．（1）求证：⊙1=⊙BAD；（2）求证：BE是⊙O的切线．3．如图，在⊙ABC中，⊙B=45°，⊙ACB=60°，AB=3 √2，点D为BA延长线上的一点，且⊙D=⊙ACB，⊙O为⊙ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．4．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）.（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点⊙DEF，使⊙DEF ⊙⊙ABC，且相似比为2⊙1；（2）求⊙ABC中AC边上的高；（3）若⊙ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为5．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线和⊙ABC的外接圆相交于点D，连接BE（1）若⊙CBD＝35°，求⊙BAC及⊙BEC的度数（2）求证：DE＝DB6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的⊙ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）.（1）在如图的方格纸中把⊙ABC以点O为位似中心扩大，使放大前后的位似比为1：2，画出⊙A1B1C1（⊙ABC与⊙A1B1C1在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是A1，B1，C1）.（2）利用方格纸标出⊙A1B1C1外接圆的圆心P，P点坐标是，⊙P的半径=.（保留根号）7．如图，在边长为1的正方形网格中，⊙ABC的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（5，3）、B（5，1）．（1）①在图中标出⊙ABC外心D的位置，并直接写出它的坐标；②将⊙ABC绕点C逆时针方向旋转90°后，得到⊙A′B′C，画出旋转后的⊙A′B′C；（2）求⊙ABC旋转过程中点A经过的路径长．8．如图，在等腰直角⊙ABC中，⊙ACB=90°，AC=BC= √2（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）̂的长（2）在（1）所作的圆中，圆心角⊙BOC=°，圆的半径为，劣弧BC为．9．八上教材给出了命题“如果△ABC≅△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，那么AD=A′D′”的证明，由此进一步思考……（问题提出）（1）在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，如果BC= B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，AD=A′D′，那么△ABC和△A′B′C′全等吗？（i）小红的思考如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A′B′C′，作法如下：①作△ABC的外接圆O②过点A作AA′//BC，与O交于点A′③连接A′B′（点B′与C重合），A′C′（点C′与B重合），得到△A′B′C′请说明小红所作的△A′B′C′≅△ABC.（ii）小明的思考如图，对于满足条件的△ABC，△A′B′C′和高AD，A′D′；小明将△A′B′C′通过图形的变换，使边C′B′与BC重合，A′B′，AB相交于点M，连接A′A，易证A′A//BC接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格.（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明.如图，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，（AD<A′D′），且∠BAC=∠B′A′C′，ADA′D′=BCB′C′，求证：△ABC∼△A′B′C′ .10．如图，⊙ABC是半径为2的⊙O的内接三角形，连接OA、OB，点D、E、F、G分别是CA、OA、OB、CB的中点．（1）试判断四边形DEFG的形状，并说明理由；（2）填空：①若AB=3，当CA=CB时，四边形DEFG的面积是；②若AB=2，当⊙CAB的度数为时，四边形DEFG是正方形．11．如图，点P为抛物线L：y＝a（x﹣2）（x﹣4）（其中a为常数，且a＜0）的顶点，L与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线，与L交于点A，过点A作x轴的垂线，与射线OP交于点B，连接OA（1）a＝﹣2时，点P的坐标是，点B的坐标是；（2）是否存在a的值，使OA＝OB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由（3）若⊙OAB的外心N的坐标为（p，q），则①当点N在⊙OAB内部时，求a的取值范围；②用a表示外心N的横坐标p和纵坐标q，并求p与q的关系式（不写q的取值范围）．12．如图，⊙ABC内接于⊙O，AC是直径，BC=BA，在⊙ACB的内部作⊙ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊙AC于点H，连接BF．̂的长；（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求AG（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．13．如图，⊙O为⊙ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊙CD交AD 于E，连接BD.（1）求证：⊙ACE⊙⊙BCD.（2）若CD＝2，BD＝3 √2，求⊙O的半径.（3）若点F为DE的中点，连接CF，FO，设CD＝a，BD＝b，求CF+FO.（用含有a，b的代数式表示）14．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线.与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan⊙CAO＝3，sin⊙CBO＝√22（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点.①当⊙BCD的外接圆的圆心在⊙BCD的边上时，求点D的坐标；②若⊙BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.15．如图，抛物线y=ax2−2ax−3a(a>0)与x轴交于A，B两点（点B在点A的左边），与y轴交于点C，且OA=OC.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是直线AC上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足AE=OA，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为(t，0)，0<t<3，△AEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值.16．如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，I是⊙ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交⊙O于E，连接BE，BI．若IB平分⊙ABC，EB=EI．（1）求证：AE平分⊙BAC；（2）若BA= √5，OI⊙AD于I，求CD的长．答案解析部分1．【答案】（1）解：先作弦AB的垂直平分线，再在弧AB上任取一点C，连接AC，然后作弦AC 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，以OA为半径画圆即为所求图形.如图.（2）解：过O作OE⊙AB于D，交弧AB于E，连接OB，∴BD=12AB，又∵AB=16cm，∴BD=8cm，又∵ED=4cm，设半径为xcm，则OD=（x-4）cm，在Rt⊙BOD中，∴（x-4）2+82=x2，∴x=10，故答案为：10cm.2．【答案】（1）证明：∵BD=BA，∴⊙BDA=⊙BAD，∵⊙1=⊙BDA，∴⊙1=⊙BAD；（2）证明：连接BO，∵⊙ABC=90°，又∵⊙BAD+⊙BCD=180°，∴⊙BCO+⊙BCD=180°，∵OB=OC，∴⊙BCO=⊙CBO，∴⊙CBO+⊙BCD=180°，∴OB⊙DE，∵BE⊙DE，∴EB⊙OB，∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．3．【答案】（1）解：过点A作AE⊙BC，垂足为E，∴⊙AEB=⊙AEC=90°，在Rt⊙ABE中，∵sinB= AE AB，∴AE=ABsinB=3 √2sin45°=3 √2× √22=3，∵⊙B=45°，∴⊙BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt⊙ACE中，∵tan⊙ACB= AE EC，∴EC=AEtan∠ACB=3tan60∘=√3= √3，∴BC=BE+EC=3+ √3（2）解：连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt⊙ACE中，∵⊙EAC=30°，EC= √3，∴AC=2 √3，∵⊙D=⊙M=60°，∴sin60°= ACAM=2√3AM= √32，解得：AM=4，∴⊙O的半径为24．【答案】（1）解：如图所示：⊙DEF即为所求；（2）解：设AC边上的高为x，由题意可得：12×1×2=12x×√10解得x= √105（3）（2，6）5．【答案】（1）解：在外接圆中，∵⊙CBD=35°，∵⊙CAD=35°，∵点E是⊙ABC的内心，∴⊙BAC=2⊙CAD=70°，∴⊙EBC+⊙ECB=（180°-70°）÷2=55°，∴⊙BEC=180°-55°=125°（2）证明：∵E是⊙ABC的内心，∴⊙BAD=⊙CAD，⊙EBA=⊙EBC，∵⊙DEB=⊙BAD+⊙EBA，⊙DBE=⊙EBC+⊙CBD，⊙CBD=⊙CAD，∴⊙DEB=⊙DBE，∴DE=DB.6．【答案】（1）如图，⊙A1B1C1为所作；（2）（3，1）；√107．【答案】（1）解：①如图，点D为所作，D点坐标为（3，2）；②如图，⊙A'B'C为所作；（2）解：CA =√22+42=2√5，所以⊙ABC旋转过程中点A经过的路径长＝90×π×2√5180=√5π8．【答案】（1）解：如图所示，⊙O即为所求；（2）90；1；12π9．【答案】（1）解：（i ）∵AA ′//BC ，∴∠A ′AB =∠ABC ， ∵∠A ′AB =∠A ′B ′C ′ ， ∴∠A ′B ′C ′=∠ABC ，又∵∠B ′A ′C ′=∠BAC ， B ′C ′=BC ， ∴△A ′B ′C ′≅△ABC ，（ii ）根据相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质解题：①AM CM =MA ′MC；②△A ′MC ′∼△AMC ；③∠A ′B ′C ′=∠ABC ；（拓展延伸）（2）解：如图，在 A ′D ′ 上截取 A ′E =AD ，过点 E 作 FG//B ′C ′ ，分别交 A ′B ′ ， A ′C ′ 于 F ， G ，∵FG//B ′C ′ ，∴∠A ′EG =∠A ′D ′C ′ ， △A ′FG ∼△A ′B ′C ′ ， ∵A ′D ′ 是 △A ′B ′C ′ 的高， ∴A ′D ′⊥B ′C ′ ，∴∠A ′EG =∠A ′D ′C ′=90° ，∴A ′E ⊥FG ，即 A ′E 是 △A ′FG 的高，又∵△A ′FG ∼△A ′B ′C ′ ， A ′E ， A ′D ′ 分别是 △A ′FG ， △A ′B ′C ′ 的高，∴A ′EA ′D ′=FGB ′C ′，又 AD A ′D ′=BCB ′C ′ ， A ′E =AD ，∴FG B ′C ′=BCB ′C′ ， ∴FG =BC ，在 △ABC 和 △A ′FG 中， AD ， A ′E 分别是 △ABC 和 △A ′FG 的高， BC =FG ， ∠BAC =∠FA ′G ， AD =A ′E ， 由（1）可知 △A ′FG ≅△ABC ， ∴△ABC ∼△A ′B ′C ′ .10．【答案】（1）解：四边形DEFG 是平行四边形．∵点D 、E 、F 、G 分别是CA 、OA 、OB 、CB 的中点， ∴DG⊙AB ，DG= 12 AB ，EF⊙AB ，EF= 12 AB ，∴DG⊙EF ，DG=EF ，∴四边形DEFG 是平行四边形； （2）32；75°或15°11．【答案】（1）（3，2）；（6，4）（2）解：不存在a 的值使OA ＝OB ，理由如下：∵抛物线L ：y ＝a （x ﹣2）（x ﹣4）＝ax 2﹣6ax+8a ＝a （x ﹣3）2﹣a ∴顶点P （3，﹣a ），C （0，8a ）∴直线OP 解析式为：y ＝﹣ a3 x∴A （6，8a ）∴y B ＝﹣ a3 ×6＝﹣2a∵a≠0∴|y A |≠y B ，即x 轴不平分AB ∴OA≠OB（3）解：①∵⊙OAB 的外心N 在其内部 ∴⊙OAB 是锐角三角形∴⊙AOB ＜90° ∴OA 2+OB 2＞AB 2∵A （6，8a ），B （6，﹣2a ） ∴62+（8a ）2+62+（﹣2a ）2＞（8a+2a ）2 解得：﹣ 32＜a ＜0②∵外心N 在AB 的垂直平分线上，AB⊙x 轴 ∴q ＝ −2a+8a 2＝3a∴N （p ，3a ），a ＝ q3∵ON ＝AN ，即ON 2＝AN 2∴p 2+（3a ）2＝（6﹣p ）2+（8a ﹣3a ）2 整理得：p ＝ 34a 2+3把a ＝ q3 代入得：p ＝ 427q 2+312．【答案】（1）解：连接OG ．∵⊙AOG=2⊙ACF=60°，OA=4，∴AĜ 的长= 60⋅π⋅4180 = 43π （2）解：结论：BF 是⊙O 的切线．理由：连接OB ．∵AC 是直径，∴⊙CBA=90°，∵BC=BA ，OC=OA，∴OB⊙AC，∵FH⊙AC，∴OB⊙FH，在Rt⊙CFH中，∵⊙FCH=30°，∴FH= 12CF，∵CA=CF，∴FH= 12AC=OC=OA=OB，∴四边形BOHF是平行四边形，∵⊙FHO=90°，∴四边形BOHF是矩形，∴⊙OBF=90°，∴OB⊙BF，∴BF是⊙O的切线．13．【答案】（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴⊙ACB＝90°，∵CE⊙CD，∴⊙ECD＝90°，∴⊙ACE＝90°﹣⊙ECB＝⊙BCD，在⊙ACE和⊙BCD中，{∠ACE=∠BCDAC=BC∠CAE=∠CBD，∴⊙ACE⊙⊙BCD（ASA）（2）解：∵⊙ACE⊙⊙BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊙CD，∴⊙ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3 √2，∴DE＝2 √2，AE＝3 √2，∴AD＝5 √2，∵AB为⊙O直径，∴⊙ADB＝90°，∴AB＝√AD2+BD2＝2 √17，∴⊙O的半径为√17（3）解：法一：过O作OH⊙AD于H，如图：∵⊙ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝√2a，CF＝√22a，∵F为DE的中点，∴CF＝DF＝12DE＝√22a，∵⊙ACE⊙⊙BCD，∴AE＝BD＝b，∴AD＝ED+AE＝√2a+b，∵OH⊙AD，⊙ADB＝90°，∴OH⊙BD，∵AO＝OB，∴OH＝12OB＝12b，DH＝12AD＝√22a+ 12b，OH＝12BD＝12b，∴HF＝DH﹣DF＝（√22a+ 12b）﹣√22a＝12b，在Rt⊙OHF中，FO＝√OH2+HF2＝√22b，∴CF+FO＝√22a+ √22b.法二：延长AD至点H，使DH＝AE，连接BH，如图：由（1）得⊙ACE⊙⊙BCD，∴BD＝AE＝DH，∵AB为直径，∴⊙ADB＝⊙BDH＝90°，∴⊙BDH为等腰直角三角形，∵BD＝b，∴BH＝√2b，∵⊙ECD是等腰直角三角形，CD＝a，∴ED＝√2a，CF＝√22a＝DF＝EF，而DH＝AE，∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，∴F为AH中点，∵O为AB中点，∴FO＝12BD＝√22b，∴CF+FO＝√22a+ √22b.14．【答案】（1）解：由题意可知，⊙COA=90°，∴tan∠CAO=OCOA=3，sin∠CBO=√22∴OC=3OA，⊙CBO=45°，∴OC=OB，∵抛物线y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，∴C（0，n），抛物线对称轴为x=−−4m2m=2，∴OC=n，∴OA=13n，OB=n，∴A（13n，0），B（n，0），∴n+13n2=2，∴n=3，∴C（0，3），B（3，0），A（1，0），∴把A（1，0）代入抛物线解析式得：m−4m+3=0，∴m=1，∴抛物线解析式为y=x2−4x+3；（2）解：①当⊙BCD的外接圆圆心在⊙BCD边上时，⊙BCD是直角三角形，∵D为抛物线对称轴上的一点，∴设D（2，a）∵C（0，3）B（3，0），∴CD2=(2−0)2+(a−3)2=a2−6a+13，BD2=(2−3)2+(a−0)2=a2+1，BC2= (3−0)2+(0−3)2=18，当C为直角顶点时，DC2+BC2=BD2即a2−6a+13+18=a2+1，解得a=5，∴D（2，5）；当D为直角顶点时，DC2+BD2=BC2即a2−6a+13+a2+1=18，解得a=3±√172，∴D（2，3+√172）或（0，3−√172）；当B为直角顶点时，BC2+BD2=CD2即a2−6a+13=18+a2+1，解得a=-1，∴D（2，-1）；∴综上所述：D（2，5）或D（2，3+√172）或（0，3−√172）或D（2，-1）；②由图形可知当D在D1和D3之间或D4与D2之间时，⊙BCD是锐角三角形，其中D1是C为直角顶点时D点的位置，D3是D为直角顶点D的位置，D4和D2分别是以B和D为直角顶角的位置，∴3+√172<n<5或−1<n<3−√172.15．【答案】（1）解：在 y =ax 2−2ax −3a(a >0) 中，令y ＝0，得： ax 2−2ax −3a =0 ， 解得：x 1＝3，x 2＝−1， ∴B （−1，0），A （3，0）， ∴OA ＝3， ∵OA ＝OC ， ∴OC ＝3， ∴C （0，−3）， ∴−3a ＝−3， ∴a ＝1，∴抛物线解析式为： y =x 2−2x −3 （2）解：设直线AC 解析式为y ＝kx ＋b ， ∵A （3，0），C （0，−3）， ∴{3k ＋b ＝0b ＝−3 ，解得： {k ＝1b ＝−3 ， ∴直线AC 解析式为：y ＝x−3， 设M 点坐标为（m ，m 2−2m−3）， ∵PM⊙x 轴， ∴P （m ，m−3），∴PM ＝m−3−（m 2−2m−3）＝−m 2＋3m ，∵OA＝OC，⊙AOC＝90°，∴CA＝√2OA，∴CP＝√2m，∵⊙PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，∴⊙PCM＝⊙NCM，∵PM⊙y轴，∴⊙NCM＝⊙PMC，∴⊙PCM＝⊙PMC，∴PC＝PM，∴√2m=−m2＋3m，解得：m1＝0（舍去），m2＝3− √2，∴当m＝3− √2时，m−3＝− √2，∴P（3−√2，−√2）；（3）解：作⊙OAI的外接圆⊙M，连接OM，AM，MI，CM，过M作MH⊙y轴于H，∵EF⊙x轴，∴⊙AFE＝90°，∴⊙FAE＋⊙FEA＝90°，∵⊙AEF的内心为I，∴AI，EI分别平分⊙FAE，⊙FEA，∴⊙IAE＝12⊙FAE，⊙IEA＝12⊙FEA，∴⊙IAE＋⊙IEA＝12（⊙FAE＋⊙FEA）＝45°，∴⊙AIE＝135°在⊙AIO和⊙AIE中，{OA＝EA∠OAI＝∠EAIAI＝AI，∴⊙AIO⊙⊙AIE（SAS），∴⊙AIO＝⊙AIE＝135°，∵⊙M是⊙OAI的外接圆，∴⊙OMA＝2×（180°−⊙AIO）＝90°，∴OM＝AM＝√22OA＝3√22，∴MI＝OM＝3√22，∴⊙MOA＝⊙MOH＝45°，∵MH⊙y轴，∴⊙HOM＝⊙HMO＝45°，∴OH＝HM＝√22OM＝32，∴CH＝OH＋OC＝32＋3＝92，∴CM＝√HM2+CH2=3√102，∵CI≥CM−MI，当且仅当C、M、I三点共线时，CI取得最小值，∴CI的最小值为3√102−3√2 2.16．【答案】（1）证明：∵EB=EI，∴⊙EBI=⊙EIB，∵IB平分⊙ABC，∴⊙ABI=⊙DBI，又⊙EBI=⊙EBD+⊙DBI，⊙EIB=⊙ABI+⊙BAI，∴⊙EBD=⊙BAI，又⊙EBD=⊙CAD，∴⊙BAI=⊙CAD，即AE平分⊙BAC（2）解：∵OI⊙AD，AB为圆O直径，∴⊙OIA=⊙E=90°，∴OI⊙BE，∴⊙OIB=⊙EBI∵EB=EI，∴⊙EBI=⊙EIB，∴⊙OIB=⊙DIB，∵IB平分⊙ABC，∴⊙ABI=⊙DBI，在⊙BDI和⊙BOI中{∠DIB=∠OIB BI=BI∠DBI=∠OBI∴⊙BDI⊙⊙BOI（ASA），∴AO=BO=BD= √5，∴AB=2AO=2 √5又AI=EI=EB，∴在Rt⊙ABE中，由勾股定理可得AB2=BE2+AE2，即（2 √5）2=（2AI）2+AI2，解得AI=2，∴OI=ID= 12BE=12AI=1，∴AD=AI+DI=2+1=3，在Rt⊙ACD中，由勾股定理可得AC2=AD2﹣CD2，在Rt⊙ABC中，由勾股定理可得AC2=AB2﹣BC2，即{AC2=9−CD2AC2=(2√5)2−(CD+√5)2，解得CD= 3√55。
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《三角形的内切圆与内心》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦CD AB ，交于点P ，则PD PC PB PA ⋅=⋅。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P ，则PB PA PD PC ⋅==22。
2. 弦切角定理：（1）弦切角的定义：如图像∠ACP 这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
等于这条弧所对的圆周角。
即∠PCA=∠PBC 。
3. 切线长定理：（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
4. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
5. 三角形的内切圆与内心：内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
练习题1、（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形CEOD的面积﹣⊙O面积的，代入数据计算即可．【解答】解：作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，如图，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四边形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴图中阴影部分的面积为：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案为：5﹣π．2、（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．【分析】连接BO，CO，结合内心的概念及平行线的判定分析可得当DE＝CD+BE时，DE∥BC，从而利用相似三角形的判定和性质分析计算．【解答】解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，∵O为△ABC的内心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，则DE＝CD+BE，设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵点O为△ABC的内心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案为：2或．3、（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）【分析】根据角A的度数和内切圆的性质，得出圆心角DOE的度数即可得出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案为：．4、（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．【分析】如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于AB的一元二次方程解决问题．【解答】解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，则四边形EODC为正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面积为49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（负值舍去），∴大正方形的面积为289．故答案为：289．。
中考数学直角三角形内切圆答题技巧
中考数学直角三角形内切圆答题技巧 中考数学直角三角形内切圆答题技巧我们知道利用面积法可以解决直角三角形内切圆半径的问题，在此基础上发现假设有两个等圆内切于直角三角形中，也可按面积法求解，具体过程如下。
：在Rt⊿ABC中，⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB 于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点，假设AC=4,BC=3，求⊙O1与⊙O2的半径。
解：连接O1 A, O1 D, O1 E, O1 C, O1 O2, O2 C, O2 F, O2 B, O2 G, O1 G,过C作CIAB交AB于I,交O1 O2于J设⊙O1与⊙O2的半径为r∵⊙O1,⊙O2两等圆外切于H, ⊙O1切AC、AB于D、E两点，⊙O2切BC、AB于F、G两点O1 DAC , O1 EAB, O2 GAB, O2 FBCS⊿AO1C=ACO1D=2r S⊿BO2C=BCO2F=1.5rS⊿AO1G+S⊿O2GB =AGO1E+GBO2G=r(AG+ GB)=2.5r又∵CIAB交AB于I,交O1 O2于JCJ+ O2G = CJ+JI=CI CI==2.4S⊿CO1 O2+ S⊿O1 O2G =O1 O2CJ+O1 O2O2G=O1 O2CI=2.4r即S⊿ABC=S⊿AO1C+S⊿BO2C+S⊿AO1G+S⊿O2GB+S⊿CO1O2+ S⊿O1 O2G==68.4r=6 , r=现推广到一般情况在Rt⊿ABC中C=90，⊙O1,⊙O2⊙On(n为正整数)两两等圆外切, ⊙O1切AC、AB,⊙On切BC、AB, 假设AC=b,BC=a,求⊙O1，⊙O2,⊙On的半径。
解：用类比思想我们可以知道,设⊙O1，⊙O2,⊙On的半径为r S⊿ABC = S1+ S2+ (S3+ S4)+ (S5+ S6)=br+ar+r+2(n-1)r又∵S⊿ABC =abr=。
中考数学圆中圆与三角形之间的关系专题(2).doc
中考数学圆中圆与三角形之间的关系专题（2）一、三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
三角形与圆的关系图（1）说明：①锐角△的外心在△的形内（如图①）；②直角△的外心在斜边的中点（如图②）；③钝角△的外心在△的形外（如图③）。
例题1、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝DE，BC＝CE.(1)求∠ACB的度数；(2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长．例题1图（2）解：（1）求∠ACB的度数：例题1解答过程（3）（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB的长。
例题1解答过程（4）例题1解答过程（5）二、三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆可以作一个，并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
例题2、如图，若△ABC的三边长分别为AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为(A)A．5 B．10C．7.5 D．4解：设AF＝x，CF＝y，BE＝z，则：x + y = 6 , y + z = 5 ，z + x = 9 ;解得：x = 5, y = 1, z = 4 。
所以AF = 5 。
例题2图（6）例题3、．如图，在△ABC中，AB＝AC，内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F，∠BAC＝120°，BF＝2√3 ，则内切圆⊙O的半径为？例题3图（7）解：例题3解答过程（8）。
中考数学专题练习--圆与三角形问题的综合
2023年中考数学专题练习--圆与三角形问题的综合一、综合题1．如图， AB 是半圆 O 的直径， C 是 AB 的中点，点 D 在 AC 上， AC ， BD 相交于点 E ，点 F 是 BD 上的一点，且 BF AD = ．（1）求证： CF CD ⊥ ；（2）连接 AF ，若 2CAF ABF ∠=∠ ．①求证： AC AF = ；②当 ACF ∆ 的面积为 12 时，求 AC 的长．2．如图，已知 AB 是 O 的直径，C ，D 是 O 上的点， //OC BD ，交 AD 于点E ，连结 BC .（1）求证： AE ED = ；（2）若 6AB = ， 30ABC ∠=︒ ，求图中阴影部分的面积.3．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且AC ＝CF ，∠CBF ＝∠CFB ．（1）求证：直线BF 是⊙O 的切线；（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长和扇形DOE的面积；（3）在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为．4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．5．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．6．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．7．如图，点 P 在 x 轴上，以点 P 为圆心的圆，交 x 轴于 D 、 C 两点，交 y 轴于 A 、 B 两点， AB =， 3OC = .（1）求圆心 P 的坐标；（2）将 ADC 绕点 P 旋转 180︒ ，得到 ECD .请在图中画出线段 ED 、 EC ，判断四边形 ACED 的形状，请说明理由，并直接写出点 E 坐标.（3）设点 F 为 DBE 上一个动点，连接线段 CF 与 DE 相交于点 G ，点 M 为 CG 的中点，过点 G 作 GH DC ⊥ 于 H ，连接 HM 、 EM .在点 F 的运动过程中 HME ∠ 的大小是否变化？若不变，求出 HME ∠ 的度数；若变化，请说明理由.8．如图，在 ABC 中， AB AC = ，以 AB 为直径的 O 分别与 BC ， AC 交于点 D 、 E ．过点 D 作 DF AC ⊥ 交 AC 于点 F ．（1）求证： DF 是 O 的切线；（2）若 O 的半径为5， 22.5CDF ∠=︒ ，求阴影部分的面积．9．如图，点O 是Rt ABC 的斜边AB 上一点，⊙O 与边AB 交于点A ，D ，与AC 交于点E ，点F 是弧DE 的中点，边BC 经过点F ，连接AF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AF=8，求AC 的长.10．如图，A 、B 是 O 上的两点， 120AOB ∠=︒ ，点D 为劣弧 AB 的中点.（1）求证：四边形AOBD 是菱形；（2）延长线段BO 至点P ，交 O 于另一点C ，且BP=3OB ，求证：AP 是 O 的切线. 11．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点C ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若AC ＝6，DE ＝4，求⊙O 的半径．12．如图，△ABC 内接与⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于AC 点E ，交PC 于点F ，连接AF.（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长.13．如图，已知等边△ABC ，AB ＝12．以AB 为直径的半圆与BC 边交于点D ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，连结GD ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）求FG 的长；（3）求△FDG 的面积．14．如图， AB 为 O 的直径，点P 为 AB 延长线上的一点，过点P 作 O 的切线 PE ，切点为M ，过 A B 、 两点分别作 PE 的垂线 ,AC BD ，垂足分别为 ,C D ，连接 AM ．求证：（1）AM 平分 CAB ∠ ；（2）若 4,30AB APE =∠= ，求 BM 的长．15．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 为AB 上的一点，DE ＝DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB ＝5，EB ＝3.（1）求证：AC 是⊙D 的切线；（2）求线段AC 的长．16．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC＝6，tan∠ABC＝43，求AD的长.17．在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．19．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：OD∥BC；（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．20．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵AB 是直径，90ACB ∴∠=︒ ． C 是 AB 的中点，AC BC ∴= ．CD CD = ，CBF CAD ∴∠=∠ ．又 BF AD = ，∴()CBF CAD SAS ≅ ，BCF ACD ∴∠=∠ ，BCF FCE ACD FCE ∴∠+∠=∠+∠ ，90FCD ACB ∴∠=∠=︒ ，即 CF CD ⊥（2）解：①设 ABF α∠= ，则 ACD ABF α∠=∠= ， 2CAF α∠= ． 90FCD ∠=︒ ，90ACF α∴∠=︒- ，∴ 在 ACF 中， ()180********AFC ACF CAF ααα∠=︒-∠-∠=︒-︒--=︒- ． ACF AFC ∴∠=∠ ，AC AF ∴= ．②过点 A 作 AG CF ⊥ 于点 G ，过点 B 作 BH CF ⊥ 交 CF 的延长线于点 H ，则 90BHC CGA ∠=∠=︒ ，90CAG GCA ∴∠+∠=︒ ．90BCH GCA ∠+∠=︒ ，BCH CAG ∴∠=∠ ．又 CB CA = ，()BCH CAG AAS ∴≅ ，CH AG ∴= ， BH CG = ．由（1）可知 CF CD = ，又 90FCD ∠=︒ ，45CFD CDF ∴∠=∠=︒ ，45BFH CFD ∴∠=∠=︒ ．90BHF ∠=︒ ，45HBF BFH ∴∠=∠=︒ ，BH HF ∴= ，HF CG ∴= ，AC AF = ， AG CF ⊥ ，2CF CG ∴= ，3AG CH CG ∴== ．设 CG x = ，则 2CF x = ， 3AG x = ， 则 11231222ACF S CF AG x x ∆=⋅=⨯⋅= ， 解得： 12x = ， 22x =- （舍去）． 2CG ∴= ， 6AG = ．∴在 Rt AGC 中， AC == ． 2．【答案】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°，∵OC ∥BD ，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC ⊥AD ， 又∵OC 为半径，∴AE=ED ；（2）解：连接CD ，OD ，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD=30°，∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，∴∠AOD=120°，∵AB=6，∴BD=3，，∵OA=OB，AE=ED，∴OE＝12BD＝32，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD=212031336022π⨯-⨯ = 34π- .3．【答案】（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB ∴CB＝CF 又∵AC＝CF∴CB＝AC＝CF∴以C为圆心AC长为半径的⊙C过A、B、F∴∠ABF＝90°∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：连接DO，EO，∵点D，点E分别是弧AB的三等分点∴∠AOD＝60°又∵OA＝OD∴△AOD是等边三角形∴∠OAD＝60°，AB=10在Rt△ABF中，∠ABF＝90°,∠BAF＝60°, AB=10∴BF ＝ .tan AB BAF ∠=2605253606S ππ⨯⨯==（3）5 ＜r ＜ 54．【答案】（1）解：连接OC ，∵OA=OC ，∴∠OAC=∠OCA ，∵AC 平分∠BAE ，∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ，∴OC ∥AE ，∴∠OCD=∠E ，∵AE ⊥DE ，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ，∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径，∴CD 是圆O 的切线（2）解：在Rt △AED 中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt △OCD 中，∵∠D=30°， ∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ，∴DB=OB=OC= 13AD=4，DO=8，∴ ，∴S △OCD = 2CD OC ⋅ = 42，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S 扇形OBC = 16 ×π×OC 2= 83π ，∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC∴S 阴影= 83π ，∴阴影部分的面积为 83π ．5．【答案】（1）解：BC ∥MD ．理由：∵∠M=∠D ，∠M=∠C ，∠D=∠CBM ， ∴∠M=∠D=∠C=∠CBM ， ∴BC ∥MD ；（2）解：∵AE=16，BE=4，∴OB= 1642=10，∴OE=10﹣4=6，连接OC，∵CD⊥AB，∴CE= 12CD，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，∴CD=2CE=16；（3）解：如图2，∵∠M= 12∠BOD，∠M=∠D，∴∠D= 12∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D= 13×90°=30°．6．【答案】（1）解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P=60°（2）解：如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°．又∵△PAC是等边三角形，∴．7．【答案】（1）解：连接AP，设半径为r，则PO=3-r，∵AB ，AB⊥CD，∴在Rt△AOP 中，AP2=AO2+OP2，∴r2=（）2+（3-r）2，解得r=2∴PO=1∴圆心P点坐标为（1，0）；（2）解：连接AP，延长AP交⊙P于点E，连接ED、EC. 如图所示，线段ED、EC即为所求作.四边形ACED是矩形.理由如下：∵△ECD由ADC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACED是平行四边形.∵CD是⊙P的直径，∴∠CAD＝90°.∴平行四边形ACED是矩形.过点E作EH⊥CD，垂足为H，如图所示.在△EHP和△AOP中，∵∠EHP＝∠AOP=90°，∠HPE＝∠OPA，EP＝AP，∴△EHP≌△AOP.∴MH＝OA＝，PH＝PO＝1.∴OH＝2.∴点M的坐标为（2，）.∠的大小不变.（3）解：在旋转过程中HME∵四边形ACED是矩形，∴∠DEC＝90°.⊥，∵GH DC∴∠GHC＝90°.∴∠GHC＝∠GEC＝90°.∵点M是GC的中点，∴HM＝GM＝ME＝CM.∴点E、G、H、C在以点M为圆心，CM为半径的圆上，如图所示.∴HME ∠ ＝2∠HCE.∵∠ODA ＝90°，OD ＝1，OA ＝，∴tan ∠ODA ＝OAOD= . ∴∠ODA ＝60°. ∴∠HCE ＝∠ODA ＝60°. ∴HME ∠ ＝120°. ∴在旋转过程中 HME ∠ 的大小不变，始终等于120°. 8．【答案】（1）证明：连接 OD AD ， ．∵AB 是 O 的直径， ∴90ADB ∠=︒ ，∵90AB AC ADB =∠=︒， ， ∴BD CD = ， ∵AO BO = ，∴OD 是 ABC 的中位线， ∴OD AC ， ∵DF AC ⊥ ， ∴半径 OD DF ⊥ ， ∴DF 是 O 的切线（2）解：连接 OE ． ∵22.5DF AC CDF ︒⊥∠=， ， ∴67.5C ︒∠= ， ∵AB AC = ， ∴67.5C B ︒∠=∠= ， ∴45BAC ∠=︒ ， ∵OA OE = ， ∴90AOE ∠=︒ ， ∴252542AOEAOE S S Sπ=-=-阴影扇形 9．【答案】（1）证明：连接OF ，∵OA=OF ， ∴∠OAF=∠OFA ， ∵点F 是弧DE 的中点， ∴∠DAF=∠CAF ， ∴∠OFA=∠CAF ， ∴OF ∥AC ， ∴∠OFB=∠C=90o ， 即OF ⊥BC ， ∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：连接DF ， ∵AD 为⊙O 的直径， ∴∠AFD=90o ， ∴∠AFD=∠C ， 又∠DAF=∠CAF ，∴△DAF ∽△FAC ，∴AD AFAF AC = ， ∴1088AC= ， ∴AC=6.4．10．【答案】（1）证明：连接OD.D 是劣弧 AB 的中点， 120AOB ∠=︒ 60AOD DOB ∴∠=∠=︒ 又∵OA=OD ，OD=OB∴△AOD 和△DOB 都是等边三角形 ∴AD=AO=OB=BD ∴四边形AOBD 是菱形 （2）解：连接AC. ∵BP=3OB ，OA=OC=OB ∴PC=OC=OA12060AOB AOC ∠=︒∴∠=︒ OAC ∴ 为等边三角形∴PC=AC=OC ∴∠CAP=∠CPA 又∠ACO=∠CPA+∠CAP30CAP ∴∠=︒90PAO OAC CAP ∴∠=∠+∠=︒又OA 是半径PA 是 O 的切线11．【答案】（1）证明：连接OD ，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAD=∠DAB∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA∴∠EAD=∠ODA，∴AE∥OD∵DE⊥AC，∴∠DEA=90º，∴∠ODE=90º又∵OD是半径（或D是半径的外端点），∴DE是⊙O的切线。
中考数学圆与三角形
中考数学圆与三角形在数学的世界里，圆与三角形是两个最基本的几何形状。
它们不仅具有独特的美丽和规律，而且在解决各种实际问题时也扮演着至关重要的角色。
在中考数学中，圆与三角形的概念和性质是必须掌握的重点内容。
我们来探讨圆的世界。
圆是一个没有起点和终点的闭合曲线，它把平面上所有的点均匀地分散在各个方向。
圆的特性使其在许多实际问题中都有应用，例如在物理学中的转动问题，或者在日常生活中看到的圆形钟表等。
在中考数学中，我们需要掌握圆的基本性质，如圆心、半径、直径、圆周率等，同时还需要掌握与圆有关的定理和公式，如垂径定理、圆周角定理等。
接下来，我们进入三角形的世界。
三角形是一种由三条直线段围成的封闭图形，这三条直线的端点被称为三角形的顶点。
三角形具有稳定性，这一特性使其在工程和建筑设计中得到广泛应用。
在中考数学中，我们需要了解三角形的分类，如等腰等边、直角等，同时还需要掌握与三角形有关的性质和定理，如三角形的内角和定理、勾股定理等。
在掌握圆与三角形的基本概念和性质后，我们还需要学会如何运用这些知识来解决实际问题。
这需要我们具备一些基本的数学技能，如代数运算、几何证明、函数分析等。
在中考数学中，这类问题的解决通常需要综合运用我们所学的各种数学知识。
圆与三角形是中考数学中非常重要的内容，它们不仅涉及到许多基础概念和性质，而且还提供了解决各种实际问题的方法。
通过深入理解圆与三角形的性质和定理，我们可以更好地理解这两个形状的世界，并且能够更好地运用它们来解决生活中的各种问题。
因此，我们应该用心去探索和学习这一部分内容，以期在中考数学中取得优异的成绩。
三角形的稳定性：在几何中，三角形是一种基本的图形，它具有很强的稳定性。
在现实生活中，我们也可以看到很多应用三角形的实例，比如自行车框架，屋顶等。
三角形的稳定性在于它的三个边长确定后，这个三角形的形状和大小就固定了，不会因为任何外部力量的改变而改变。
三角形的内角和：在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。
2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用及参考答案
2024年中考数学高频压轴题训练——圆与三角形的综合应用1．定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”.（1）如图①，在ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3AC =，则BC 边上的伴随圆的半径为.（2）如图②，ABC 中，5AB AC ==，6BC =，直接写出它的所有伴随圆的半径.（3）如图③，ABC 中90ACB ∠=︒，点E 在边AB 上，2AE BE =，D 为AC 的中点，且90CED ∠=︒.①求证：CED 的外接圆是ABC 的AC 边上的伴随圆；②DE CE 的值为▲.2．定义：有两边之比为1的三角形叫做智慧三角形．（1）如图1，在智慧三角形ABC 中，2AB BC AD ==，为BC 边上的中线，求AD AC的值；（2）如图2，ABC 是O 的内接三角形，AC 为直径，过AB 的中点D 作DE OA ⊥，交线段OA 于点F ，交O 于点E ，连结BE 交AC 于点G ．①求证：ABE 是智慧三角形；②如图3，在（2）的条件下，当53AF FG =：：时，则EG EF ＝▲．（直接写出结果）3．定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为偏等三角形．（1）如图1，点C 是弧BD 的中点，DAB ∠是弧BD 所对的圆周角，AD AB >，连接AC 、DC CB 、，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形．（2）如图2，ABC 与DEF 是偏等三角形，其中A D AC DF BC EF ∠=∠==，，，猜想结论：一对偏等三角形中，一组等边的对角相等，另一组等边的对角．请填写结论，并说明理由．(以ABC 与DEF 为例说明)；（3）如图3，ABC 内接于63045O AC A C ∠∠==︒=︒ ，，，，若点D 在O 上，且ADC 与ABC 是偏等三角形，AD CD >，求AD 的值．4．如图1，已知ABC 是O 的内接三角形，AB 为直径，38A ∠=︒，D 为 AB 上一点.图1图2（1）当点D 为 AB 的中点时，连接DB ，DC ，求ABC ∠和ABD ∠的大小；（2）如图2，过点D 作O 的切线，与AB 的延长线交于点P ，且DP AC ，连接DC ，OC ，求OCD ∠的大小.5．定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形.（1）如图1，四边形ABCD 内接于O ，AD AB ＞，点C 是弧BD 的中点，连接AC ，试说明ACB 与ACD 是偏等三角形.（2）如图2，ABC 与ABD 是偏等三角形，AD BC =，30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，求AB 的长.（3）如图3，ABC 内接于O ，8AC =，30A ∠=︒，45C ∠=︒，若点D 在O 上，且ADC 与ABC是偏等三角形，AD CD ＞，求AD 的值.6．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若13AB AC =时，求BF BC的值．7．如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形.如图1，AD ABC 是的中线，则ABD 和ACD 就是互补三角形.（1）根据定义判断下面两个命题的真假（填“真”或“假”）①互补三角形一定不全等.命题②互补三角形的面积相等.命题（2）如图2，ABC 和ADE 为互补三角形，AB AE AC AD AF ＝，＝，是ABC 的中线.求证：12AF DE ＝；（3）如图3，在（2）的条件下，若B E D ，，三点共线，连结CE ，CD ，四边形ABEC 为圆内接四边形.当120BAE ∠ ＝时，求BD AF CD -的值.8．如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠ABC=2∠ACB ，点D 平分 AC ，连接AD ，BD ，CD ．（1）求证：AB=CD ．（2）过点D 作DG ∥AB ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，交⊙O 于点G ．①若AD=a ，BC=b ，求线段EF 的长(用含a ，b 的代数式表示)．②若∠ABC=72°，求证：FG 2=EF·DF ．9．已知钝角三角形ABC 内接于O E D ，、分别为AC BC 、的中点，连接DE .（1）如图1，当点A D O 、、在同一条直线上时，求证：12DE AC =.（2）如图2，当A D O 、、不在同一条直线上时，取AO 的中点F ，连接FD 交AC 于点G ，当2AB AC AG +=时.①求证：DEG 是等腰三角形；②如图3，连OD 并延长交O 于点H ，连接AH .求证：AH FG .10．如图，在1111⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出△ABC 关于直线l 对称的111A B C ；（2）作出△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得到的22A B C ；（3）在（2）的案件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，O 为底边BC 的中点，AB 切O 于点D ，连接OD ，O 交BC 于点M ，N .（1）求证：AC 是O 的切线；（2）42B ∠=︒，①若4OD =，求劣弧DM 的长；②如图2，连接DM ，若4DM =，直接写出OD 的长.（参考数据：sin24︒取0.4，cos24︒取0.9，tan 24︒取0.45）12．如图，ABC 是O 的内接三角形，CD 为O 的直径，过点A 的直线交CD 的延长线于点E ，连接AD ，且AD DE =，DAB ACD ∠=∠．（1）求证：AE 是O 的切线；（2）若2DE =，=60B ∠︒，75BAC ∠=︒，求AB 和BC 的长度．13．如图，ABC 为O 的内接三角形，P 为BC 延长线上一点，PAC B ∠=∠，AD 为O 的直径，过C 作CG AD ⊥交AD 于E ，交AB 于F ，交O 于G ．（1）判断直线PA 与O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：2AG AF AB =⋅；（3）若O 的直径为10．AC =AB =AE FG ⋅的值．14．如图，ABC 是O 的内接三角形，60ACB ∠=︒，AD 经过圆心O 交O 于点E ，连接BD ，30ADB ∠=︒.（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，求图中阴影部分的面积.15．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作O 交斜边AB 于点D ，点M 是 CD中点，过点M 作直线ME AB ⊥于点E ，交AC 于点F.（1）证明：EF 是O 的切线；（2）若ME =.16．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，D 是AB 上任意一点，以D 为圆心，DB 为半径作D ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，过点F 作FG AC ⊥，垂足为G .（1）判断直线FG 与D 的位置关系并证明.（2）若2AE =，3BC =，2BF CG=，求D 的半径.17．如果三角形的两个内角α与β满足290αβ+=︒，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若ABC 是“准互余三角形”，9060C A ∠>︒∠=︒，，则B ∠=.（2）如图（1），AB 是半圆的直径，106AB BC C ==，，是半圆上的点，D 是 AC 上的点，BD 交AC 于点E.①若D 是 AC 的中点，则图中共有▲个“准互余三角形”；②当DEC 是“准互余三角形”时，求CE 的长；③如图（2）所示，若F 是 BC 上的点（不与B C 、重合），G 为射线AF 上一点，且满足2CBG CAB ∠=∠.当ABG 是“准互余三角形”时，求AG 的长.18．已知，锐角三角形ABC 内接于⊙O.（1）如图1，当点A 是 BAC的中点时，①求证：AO BC ⊥.②若BC ＝8，AB =，求⊙O 的半径.（2）如图2，当AB AC >时，连接BO 并延长，交边AC 于点D.若45A ∠= ，23OD OB =，求AD DC.19．如图1，ABC 是圆内接等腰三角形，其中AB AC =，点P 在 BC上运动（点P 与点A 在弦BC 的两侧），连接PA PB PC ，，，设αBAC ∠=，PB PC y PA+=，小明为探究y 随α的变化情况，经历了如下过程：（1）若点P 在 BC 的中点处，α90=︒时，y 的值是；（2）小明探究α变化获得了一部分数据，并以表中各组对应值为点的坐标在如图2平面直角坐标系中进行描点，并画出函数图象.从图象或表格中可知，y 随着α的变化情况是；y 的取值范围是.α…25°50°75°100°125°150°170°…y …0.430.85 1.221.53 1.55 1.93 1.99…（3）从变化趋势上看，当α=▲时，PB PC PA +=.并证明你的结论.20．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD BC ⊥于点D ，直径AE 平分∠BAD ，交BC 于点F ，连接BE ．（1）求证：AEB AFD ∠=∠；（2）若10AB =，5BF =，求AD 的长；（3）若点G 是AB 的中点，当点O 在DG 上时，探究BF 与FD 存在的数量关系，并说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）2（2）解：ABC 的伴随圆的半径分为83或209或12049.（3）解：①证明：如图（4）连接OE 、OB ，∵CED 为直角三角形，∴CED 的外接圆圆心O 在CD 中点上，设O 的半径为r ，则2DC r =，3OA r =，∴23AD AO =，∵2EA BE =，∴23EA AB =，∴AD EA AO AB =，∴PD OB ，∴12∠=∠，3=4∠∠，∵OE OD =，∴32∠=∠，∴14∠=∠，在BCO 和BEO 中O =O ∠1=∠4O =O ，∴BCO BEO ≌，∴90BEO BCO ∠=∠=︒，∴AB 是O 的切线.∴CED 的外接圆是ABC 某一条边上的伴随圆；②222．【答案】（1）解：AD 是BC 的中线，2AB BC ==，，12BD BC ∴==，22BD AB AB BC ∴==，B B ∠=∠ ，ABD CBA ∴~ ，2AD BD AC AB ∴==；（2）解：①如图，连结OE ，设ABE α∠=，22AOE ABE α∴∠=∠=，OA OE = ，()11802902OAE αα∴∠=︒-=- ，DE OA ⊥ ，90AED OAE ∴∠+∠=︒，9090AED α∴∠+︒-=︒，AED ABE a ∴∠=∠=，EAD BAE ∠=∠ ，ADE AEB ∴ ∽，AE AD AB AE ∴=，2AE AD AB ∴=⋅，D 是AB 的中点，12AD AB ∴=，2212AE AB ∴=，AB ∴=，即1AE AB =：，ABE ∴ 是智慧三角形；②83．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC=CD ，BAC DAC ∠=∠．又∵AC=AC ，∴ACB 与ACD 是偏等三角形（2）解：互补；如图，在线段DE 上取点G ，使DG=AB ，连接FG．由题意可知在ABC 和DGF 中AB DG A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABC DGF ≅ ，∴B DGF ∠=∠，BC GF =．∵BC EF =，∴GF EF =，∴E FGE ∠=∠．∵180DGF FGE ∠+∠=︒，∴180B E ∠+∠=︒，即另一组等边的对角互补．（3）解：分类讨论：①当BC=CD时，如图，∵BC=CD ，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠>∠，∴AD>CD 符合题意，∴AD=AC=6；②当AB=CD 时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB=CD ，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠>∠，∴AD CD >，符合题意．设CE=x ，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即6x =+，∴1)x =，∴1)9AE DE ===-∴(9AD ==-=．综上可知AD 的值为6或-．4．【答案】（1）解：如图1，连接OD ，图1∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒.∵38BAC ∠=︒，∴9052ABC BAC ∠=︒-∠=︒.∵D 为 AB 的中点，∴ AD AD =.∴1180902AOD BOD ∠=∠=⨯︒=︒.∴1452ABD AOD ∠=∠=︒.（2）解：如图2，连接OD ，图2∵OA OC =，OC OD =，∴38OAC OCA ∠=∠=︒，OCD ODC ∠=∠.设OCD ODC x ∠=∠=︒.∴()38ACD OCA OCD x ∠=∠+∠=+︒.∵DP 为O 的切线，∴OD DP ⊥.∴()9090CDP ODC x ∠=︒-∠=-︒.∵DP AC ，∴CDP ACD ∠=∠.即9038x x -=+，解得：26x =.∴26OCD ∠=︒.5．【答案】（1）解：∵点C 是弧BD 的中点，∴BC CD =，BAC DAC ∠=∠，又∵AC AC =，∴ACB 与ACD 是偏等三角形；（2）解：作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，∵30BAC ABD ∠=∠=︒，8BD =，12AC =，∴4DE =，6CF =，∴AF ==，BE ==，∵设EF x =，∴AE x =，BF x =，∵AD BC =，∴2224)6)x x +=+，∴1033x =，∴3AB AE EF BF =++=；（3）解：①当BC CD =时，如图，∵BC CD =，30CAB ∠=︒，∴30DAC ∠=︒，∵180105ABC CAB ACB ∠=︒-∠-∠=︒，∴180********ADC ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴180180307575ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ADC ACD ∠=∠，ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞符合题意，∴8AD AC ==；②当AB CD =时，如图，过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵AB CD =，45ACB ∠=︒，∴45DAC ∠=︒，∴AE DE =，180180457560ACD DAC ADC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴ACD DAC ∠∠＞，∴AD CD ＞，符合题意，设CE x =，则AE DE ==，∵AC AE CE =+，即8x =+，∴1)x =，∴12AE DE ==-，∴AD ==综上可知AD 的值为8或6．【答案】（1）证明：∵将△ABC 绕点A 逆时针转至△AED∴BC=DE ，∠BAC=∠EAD ∴ BCCD =所以BC=CD∴DE=CD（2）解：∵∠F=∠ACB∠AMF=∠BMC∴△AMF ∽△BMC ∴AM AF BM BC=由题间可知BC=DEAC=AD∵BF ∥CD ∴AM AN AC AD=∴AM=AN∴AN AF AD DE=即AN·DE=AF·BM（3）解：设AB 为a ，则AC 为3a 由△CDE ∽△CAD 可得，CD CE CA CD=即CD 2=3a·2a=6a 2∵CD>0∴a∵AC=AD∴ AC AD=∵BF ∥CD ∴ BCFD =∴ AB AF=∴AB=AF∴∠ABF=∠AFB=∠ACB ∴△ABM ∽△ACB ∴AB AM BM AC AB BC==即3a AM a a ==∴AM=13a BM=63a 根据据对称轴可知FN=63a 由△AMN ∽△ACD 可得∴AM MN AC CD=即133a a =∴MN=9∴a∴79BF CD ==7．【答案】（1）假命题；真命题（2）证明：延长BA 至点G ，使AG ＝AB ，连结CG ，又∵F 为BC 的中点，∴12AF CG =∵∠BAC ＋∠DAE ＝∠BAC ＋∠CAG ＝180°，∴∠DAE ＝∠CAG ，∵AB ＝AE ，AB ＝AG ，∴AG ＝AE ，∵AD ＝AC ，∴△ADE ≌△ACG （SAS ），∴DE ＝CG ，∴12AF DE =（3）解：∵∠BAC ＋∠DAE ＝180°，∴∠BAE ＋∠DAC ＝180°，∵∠BAE ＝120°∴∠DAC ＝60°∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝30°，∴BE =，∠ACB ＝∠AEB ＝30°，∴BC 是AD 的垂直平分线∴BD ＝AB ∴1152ABC DBC ABE ∠=∠=∠=︒，∴∠AEC ＝∠ABC ＝15°，∴∠DEC ＝45°，∵∠ACE ＝180°－∠ABE ＝150°，∠ACD ＝60°∴∠DCE ＝90°，∴∠EDC ＝45°＝∠DEC ，∴DC ＝CE ，设AF a =，由（2）知，22DE AF a ==，∴CE DC ==，∵BE =，BE=BD+DE ，BD=AB ，∴)3112BD DE a +===∴162a aBD AF CD --=8．【答案】（1）证明：∵点D 平分 AC ，∴ AD CD=∴12ABD CBD ABC ∠=∠=∠.∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠CBD ．∴ AB CD=，∴AB=CD.（2）解：①∵ AD CD=∴∠ADB ＝∠DBC ，∴AD ∥BC ．又∵DG ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．由（1）得 AB CDAD ==∴AB ＝AD ．∴四边形ABFD 是菱形．∴AB ＝BF ＝DF ＝AD ＝a ．∴CF ＝b －a ．∵DG ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ．∴EF CF AB BC=，∴2ab a EF b-=.②连接CG ．∵∠ABC ＝72°，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ACB ＝36°，∵DG ∥AB ，∴∠BDG ＝∠ABD ＝36°．∵∠BCG ＝∠BDG ，∠DGC ＝∠DBC ，∴∠BCG ＝∠DGC ，∴FC ＝FG ．∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝108°．∵在菱形ABFD 中，∠ADG ＝∠ABC ＝72°，∴∠FDC ＝36°，∴∠ACB ＝∠FDC ．又∵∠DFC ＝∠CFE ，∴△CDF ∽△ECF ，∴FC DF EF FC=，∴2FC EF DF =⋅，∴2FG EF DF =⋅.9．【答案】（1）证明：∵D 是BC 的中点，点A D O 、、在同一条直线上，∴OD BC ⊥，∴ AB AC =，∴AB AC =，∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴DE 是ABC 的中位线，∴12DE AB =，∴12DE AC =.（2）证明：①∵E D 、分别为AC BC 、的中点，∴22AB DE AC AE ==，，∵2AB AC AG +=，∴222DE AE AG +=，∴DE AE AG +=，∵AE EG AG +=，∴DE EG =，∴DEG 是等腰三角形.②延长HO 交O 于点N ，连接OB OC BN CN ，，，，∵DE EG =，∴EDG EGD ∠=∠，∴2AED EDG EGD EGD ∠=∠+∠=∠，∴12EGD AED ∠=∠，∵DE AB ，∴180BAC AED ∠+∠=︒，∵180BAC BNC ∠+∠=︒，∴AED BNC ∠=∠，∵HO BC ⊥，∴2BOC COH ∠=∠，∵2BOC BNC ∠=∠，∴COH BNC ∠=∠，∵1122CAH COH BNC ∠=∠=∠，∴CAH EGD ∠=∠，∴AH FG .10．【答案】（1）解：如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）解：如图，设C 点为原点，则A （-3，-2），B （-1，-4），A 点绕C 点顺时针旋转90°后A 2的坐标为（-2，3），B 点绕C 点顺时针旋转90°后B 2的坐标为（-4，1），连接相应顶点，22A B C 即为所求；（3）解：勾股定理可得BC ==，∴B ，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90π1717π1802︒⨯=︒．11．【答案】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于点E ，连接OA ，如图，AB AC = ，O 为底边BC 的中点，AO ∴为BAC ∠的平分线，OD AB ⊥ ，OE AC ⊥，OD OE ∴=，OD 为O 的半径，OE ∴为O 的半径，∴直线AC 到圆心O 的距离等于圆的半径，AC ∴是O 的切线（2）解：①∵AB 切O 于点D ，∴90ODB ∠=︒，∵42B ∠=︒，∴48BOD ∠=︒，∵4OD =，∴劣弧DM 的长为4841618015ππ⨯⨯=；②过点O 作OF DM ⊥于点F ，如图，OF DM ⊥ ，122DF MF DM ∴===，OD OM = ，OF DM ⊥，OF ∴为DOM ∠的平分线，1242DOF BOD ∴∠=∠=︒.在Rt ODF 中，sin DF DOF OD ∠=，2sin 24OD ∴︒=，225sin 240.4OD ∴=≈=︒.12．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，90CAO OAD ∴∠+∠=︒，OA OC = ，CAO ACD ∴∠=∠，DAE ACD ∠=∠ ，DAE CAO ∴∠=∠，90DAE OAD ∴∠+∠=︒，90OAE ∴∠=︒，OA 是O 的半径，AE ∴是O 的切线；（2）解：如图，过点A 作AF BC ⊥于点F ，60B ∠=︒ ，30BAF ∴∠=︒，75BAC ∠=︒ ，45FAC ∴∠=︒，AFC ∴ 是等腰直角三角形，CD 为O 的直径，90CAD ∴∠=︒，2AD DE == ，60ADC ∠=︒，AC ∴=，在Rt AFC 中，AF CF ==，3BF AF ∴==2AB BF ∴==，BC BF CF =+=．13．【答案】（1）解：PA 与O 相切，理由：连接CD ，AD 为O 的直径，90ACD ∴∠=︒，90D CAD ∴∠+∠=︒，B D ∠=∠ ，PAC B ∠=∠，PAC D ∴∠=∠，90PAC CAD ∴∠+∠=︒，即DA PA ⊥，点A 在圆上，PA ∴与O 相切．（2）证明：如图2，连接BG ，AD 为O 的直径，CG AD ⊥，∴ AC AG =，AGF ABG ∴∠=∠，GAF BAG ∠=∠ ，AGF ∴ ∽ABG ，AG ∴：AB AF =：AG ，2AG AF AB ∴=⋅；（3）解：如图3，连接BD ，AD 是直径，90ABD ∴∠=︒，2AG AF AB =⋅ ，AG AC ==AB =2AG AF AB∴==CG AD ⊥ ，90AEF ABD ∴∠=∠=︒，EAF BAD ∠=∠ ，AEF ∴ ∽ABD ，AE AF AB AD ∴=，510=，解得：2AE =，1EF ∴=，4EG == ，413FG EG EF ∴=-=-=，236AE FG ∴⋅=⨯=．14．【答案】（1）解：直线BD 与O 相切，理由：如图，连接BE ，∵60ACB ∠=︒，∴60AEB C ∠=∠=︒，连接OB ，∵OB OC =，∴OBE 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，∵30ADB ∠=︒，∴180603090OBD ∠=︒-︒-︒=︒，∴OB BD ⊥，∵OB 是O 的半径，∴直线BD 与O 相切；（2）解：如（1）中图，∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∵AB =∴433602AB sin AEB sin AE AE ∠=︒===，∴8AE =，∴4OB =，∵OB BD ⊥，30ADB ∠=︒∴3303OB tan ADB tan BD ∠=︒==，∴3BD =，∴图中阴影部分的面积2160π48π423603OBD BOES S ⨯=-=⨯⨯= 扇形.15．【答案】（1）证明：连接OM 、BM∵点M 是弧CD 中点，∴DBM OBM∠=∠∵OB OM=∴OMB BMO∠=∠∴DBM BMO∠=∠∴BE OM（2）解：连接CD 交OM 于点N 、连接OD∵BC 是直径，∴CD BD ⊥，∵ABC ∆是等腰直角三角形，∴45B ∠=︒，∴BDC ∆也是等腰直角三角形，∴BD CD =，OD CD ⊥.∵OM EF ⊥，EF BE ⊥，CD BD ⊥，∴四边形MNDE 是矩形，∴DN EM =，∵ME =DN =∵OM CD ⊥，∴2CD DN ==∴4BC =∴2OD OB ==，∵OBDBOD S S S ∆=-阴影扇形∴90π4122π23602S ⋅=-⨯⨯=-阴影16．【答案】（1）解：直线FG 是D 的切线；证明：连接DF ，如图所示：∵在ABC 中，AB AC =，∴B C ∠=∠.∵DB DF =，∴DBF DFB ∠=∠，∴DFB C ∠=∠，∴DF AC ，∴180DFG AGF ∠+∠=︒，∵FG AC ⊥于点G ，∴90AGF ∠=︒，∴90DFG ∠=︒，∴DF FG ⊥，∵DF 是D 的半径，∴直线FG 是D 的切线.（2）解：连接EF ，如图所示：∵BE 是D 的直径，∴90BFE ∠=︒，∵90FGC ∠=︒，∴BFE FGC ∠=∠，∵B C ∠=∠，∴BFE CGF ∽，∴BF BE CG CF =，∵2BF CG =，∴2BE CF =，设D 的半径为x ，则2BE x =，BD CF x ==，∵DF AC ，∴BF BD CF AD=，∵2AE =，∴2AD x =+，∴2BF x x x =+，∴22x BF x =+，∴222222x x x BC BF FC x x x +=+=+=++.∵3BC =，∴22232x x x +=+，解得：2x =或32x =-（舍去），经检验，2x =是原方程的根，∴D 的半径为2.17．【答案】（1）15°（2）解：①1；②由题意AB 是半圆的直径，106AB BC ==，，∴∠ACB=90°，∴8AC ==，根据题意△DEC 是“准互余三角形”时分两种情况：当∠D+2∠DCE=90°时，∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴∠CAB+2∠ABE=90°，又∠CAB+∠ABC=90°，∴∠CBA=2∠CBD ，即BD 平分∠ABC ，过E 作EF AB ⊥于F （如图（1）），∴EF=CE ，∵∠BCE=∠BFE ，∠CBE=∠FBE ，∴CBE FBE ∆≅∆（AAS ），∴BC=BF ，由勾股定理即知：222AF EF AE +=，∴()()222AB BF CE AC CE -+=-，即()()2221068CE CE -+=-，解得CE=3；当2∠D+∠DCE=90°时（如备用图），∵A ，B ，C ，D 在同一圆上，∴∠D=∠CAB ，∠DCE=∠DBA ，∴2∠CAB+∠ABE=90°，连接AD ，∵∠DAC=∠CBE ，∴ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即86AD CE BE -=，∵2∠CAB+∠ABE=90°，又∠DAB+∠ABE=90°，∴∠DAE=∠CAB ，∴ADE ABC ~ ，∴84105AD AC AE AB ===，又∵ADE BCE ~ ，∴AD AE BC BE =，即AD BC AE BE =，故645BE =，∴152BE =∴由勾股定理得92CE ==；③如图将ABC 沿AB 翻折得到ABM ，∵2CBG CAB ∠=∠，∴CBG CAM ∠=∠，∵∠CAB+∠CBA=90°，∴∠MAB+∠MBA=90°，∴∠CAM+∠CBM=180°，∴∠CBM+∠CBG=180°，∴M 、B ，G 三点共线，∵ABG 是“准互余三角形”，∴2∠CAB+∠G=90°或∠CAB+2∠G=90°，∵∠CAM+∠G=90°，∵∠CAB<∠BAM ，∴290CAB G ∠+∠≠︒，故∠CAB+2∠G=90°，∴∠CAM+∠G=∠CAB+2∠G ，∴∠BAM =∠G ，又∠M =∠M ，∴AMB GMA ∆~∆，∴AM MB MG AM =，即868MG =，解得：323MG =，由勾股定理得：403AG =；18．【答案】（1）解：①证明：连接OB ，OC ，设AB 与BC 交于点P ，∵点A 是 BAC的中点，∴ AB AC=，∴AB ＝AC ，又∵OB ＝OC ，∴AO 是BC 的垂直平分线，∴AO ⊥BC ；②∵AB ＝AC ，AP ⊥BC ，∴BP ＝CP ＝4，∴AP 8=，∵BO 2＝OP 2＋BP 2，∴BO 2＝（8−OB ）2＋16，∴BO ＝5，∴⊙O 的半径为5；（2）解：延长BD 交⊙O 于点H ，连接CH ，CO ，AH ，∵23OD OB =，∴设BO ＝3a ＝OC ＝OH ，OD ＝2a ，∴DH ＝a ，∵∠BAC ＝45°，∴∠BOC ＝2∠BAC ＝90°，∴CD=，CH=，∵BH 是直径，故∠BAH=90°，∵∠BAC ＝∠BHC ＝45°∴∠CAH=90°-∠BAC ＝45°=∠CHD又∵∠ACH ＝∠DCH ，∴△ACH ∽△HCD ，∴AC CH CH CD=，=，∴AC∴AD ＝AC−CD，∴ADCD＝513AD CD ==.19．【答案】（1（2）y 随着α的增大而增大；0＜y ＜2（3）解：60°；当α60=︒时，PB PC PA +=，证明如下：如图所示，延长BP 到D ，使得PD CP =，连接CD，∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴180120BPC BAC ∠=︒-∠=︒，∴18060CPD BPC ∠=︒-∠=︒，∴CPD 是等边三角形，∴60CP CD PD PCD ∠===︒，，∵α60BAC AB AC ∠==︒=，，∴ABC 是等边三角形，∴60AC BC ACB ∠==︒，，∴ACB BCP DCP BCP ∠∠∠∠+=+，即BCD ACP ∠=∠，∴()SAS BCD ACP ≌，∴AP BD =，∵BD BP PD BP CP =+=+，∴AP BP CP =+，∴当α60=︒时，PB PC PA +=.20．【答案】（1）证明：∵AE 是⊙O 的直径，∴90ABE ∠=︒，∴90BAE AEB ∠+∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AFD DAF ∠+∠=︒，∵AE 平分∠BAD ，即BAE ∠=，∴AEB AFD ∠=∠；（2）解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴AEB BFE ∠=∠，∴5BE BF ==，∴在Rt ABE 中，AE ==如图，过点B 作BH EF ⊥于点H ，∴1122ABE S AB BE AE BH =⋅=⋅ ，即105BH ⨯=，解得：BH =∴在Rt BHE 中，EH ==，∴EF =，AF AE EF =-=，∵BFH AFD ∠=∠，BHF ADF ∠=∠，∴BHF ADF ∽，∴BF BH AF AD =AD=，解得：6AD =；（3）解：BF =，理由如下：∵G 是AB 的中点，O 是AE 的中点，∴OG BE ，∴OG AB ⊥，∴AD BD =，∵AD BC ⊥，∴ABD 是等腰直角三角形，∴45ABD ∠=︒，过点F 作FP AB ⊥于点P ，∵AF 平分∠BAD ，∴FD FP =，∵45ABD ∠=︒，∴BF ==．。
中考数学专题复习：几何综合题
【考点总结】四、全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等． 3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
三角形专题
1，掌握三角形相关基础知识（2课时）
目标
2，掌握三角形有关模型的全等或相似证明（3课时） 3，完成三角形有关模型的全等或相似证明（3课时）
三角形
模型
手拉手模型
三垂直模型
相似模型
三角形有关的知识
【考点总结】一、三角形中的重要线段 1．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做 三角形的高线，简称高． 特性：三角形的三条高线相交于一点． 2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角 形的三条中线交于一点． 3．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半 4．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线 段叫做三角形的角平分线． 特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心． 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合(含答案)
2023年中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的△O交BC于点E，过点C作CG△AB交AB于点G，交AE于点F，过点E作EP△AB交AB 于点P，△EAD＝△DEB．（1）求证：BC是△O的切线；（2）求证：CE＝EP；（3）若CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．2．已知：AB是△O的直径，BD是△O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE△AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为△O的切线．3．如图，AB是△O的直径，C是弧AB的中点，延长AC至D，使CD＝AC，连接DB.E是OB的中点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交△O于点H，连接BH.（1）求证：BD是△O的切线；（2）△O 的直径为2，求BH 的长.4．如图，在 O 中，半径 OA ⊥ 弦 BC 于点 H ，点 D 在优弧 BC 上.（1）若 50AOB ∠=︒ ，求 ADC ∠ 的度数；（2）8BC = ， 2AH = ，求 O 的半径.5．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°.（1）求证：BD=CD ；（2）若圆O 的半径为3，求 BC 的长.6．如图，在△ABC 中，△C = 90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接OD ，点E 在BC 上， B E=DE ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若BC =6，求线段DE 的长；（3）若△B =30°，AB =8，求阴影部分的面积（结果保留 π ）．7．如图在Rt△ABC 中，△C=90°，BD 平分△ABC ，过D 作DE△BD 交AB 于点E ，经过B ，D ，E 三点作△O ．（1）求证：AC与△O相切于D点；（2）若AD=15，AE=9，求△O的半径．8．如图，△I是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F．（1）若△B＝50°，△C＝70°，求△DFE的度数．（2）若△DFE＝50°，求△A的度数．（3）连接DE，直接判断△DFE的形状为．9．如图，△O是△ABC的外接圆，BC为△O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE 并延长交△O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为△O的切线．10．如图所示，已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB△CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：△ACO＝△BCD；（2）若EB＝2cm，CD＝8cm，求圆O的直径．11．如图，直线PA 与O 相切于点A ，弦AB OP ⊥于点C ，OP 与O 相交于点D ．30APO ∠=︒，4OP =．（1）求弦AB 的长；（2）求阴影部分的周长．12．如图，AB 是△O 的直径，CD 是弦，AB 与CD 相交于点E ，连接AC 、AD ，AC ＝AD ．（1）求证：AB△CD ．（2）若AB ＝12，BE ＝2，求CD 的长．13．如图，ABC 内接于O ，AC 是O 的直径，点D 是O 上一点，连接CD 、AD ，过点B 作BE AD ⊥，交DA 的延长线于点E ，AB 平分CAE ∠.（1）求证：BE 是O 的切线；（2）若30ACB ∠=︒，O 的半径为6，求BE 的长.14．如图，在半径为5的扇形AOB 中，△AOB=90°，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD△BC ，OE△AC ，垂足分别为D 、E ．（1）当BC=6时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．15．已知AB 是△O 的直径，BD 为△O 的切线，切点为B ．过△O 上的点C 作CD AB ，交BD 点D ．连接AC ，BC ．（1）如图①，若DC 为△O 的切线，切点为C ．求△BCD 和△DBC 的大小； （2）如图②，当CD 与△O 交于点E 时，连接BE ．若△EBD ＝30°，求△BCD 和△DBC 的大小．16．如图，AB 是△O 的直径，AC 与△O 交于点C ，△BAC 的平分线交△O 于点D ，DE△AC ，垂足为E ．（1）求证：DE 是△O 的切线；（2）若直径AB ＝10，弦AC ＝6，求DE 的长．17．如图,在 Rt ABC ∆ 中, 90C ∠= , 在 AC ，上取一点 D ,以 AD 为直径作 O ,与 AB 相交于点 E ,作线段 BE 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 N ,连接 EN .（1）求证: EN 是 O 的切线;（2）若 3,4AC BC == ， O 的半径为 1 .求线段 EN 与线段 AE 的长.18．如图， ,,A B C 是 O 上的三个点， AB AC = ，点D 在 O 上运动（不与点 ,,A B C 重合），连接 DA ， DB ， DC ．（1）如图1，当点D 在 BC 上时，求证： ADB ADC ∠=∠ ；（2）如图2，当点D 在 AB 上时，求证： 180ADB ADC ∠+∠=︒ ； （3）如图2，已知 O 的半径为 254 ， 12BC = ，求 AB 的长． 19．如图，AB 是O 的直径，点P 是O 外一点，PA 切O 于点A ，连接OP ，过点B 作BC OP 交O 于点C ，点E 是AB 的中点，且106AB BC ＝，＝.（1）PC 与O 有怎样的位置关系？为什么？（2）求CE 的长.20．如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的△O 上的四个点，C 是劣弧 BD 的中点，AC与BD交于点E．（1）求证：DC2=CE•AC；（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C作△O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH 的面积．答案解析部分1．【答案】（1）证明：连接OE，∵OE＝OD，∴△OED＝△ADE，∵AD是直径，∴△AED＝90°，∴△EAD+△ADE＝90°，又∵△DEB＝△EAD，∴△DEB+△OED＝90°，∴△BEO＝90°，∴OE△BC，∴BC是△O的切线．（2）证明：∵△BEO＝△ACB＝90°，∴AC△OE，∴△CAE＝△OEA，∵OA＝OE，∴△EAO＝△AEO，∴△CAE＝△EAO，∴AE为△CAB的角平分线，又∵EP△AB，△ACB＝90°，∴CE＝EP；（3）解：连接PF，∵CG＝12，AC＝15，∴AG＝＝＝9，∵△CAE＝△EAP，∴△AEC＝△AFG＝△CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG△AB，EP△AB，∴CF△EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝PE，∴四边形CFPE是菱形，∴CF＝EP＝CE＝PF，∵△CAE＝△EAP，△EPA＝△ACE＝90°，CE＝EP，∴△ACE△△APE（AAS），∴AP＝AC＝15，∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，∵PF2＝FG2+GP2，∴CF2＝（12﹣CF）2+36，∴CF＝152，∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝152×6＝45．【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出直径定理得出△AED＝90°，△DEB＝△EAD，由余角的性质得出△DEB+△OED＝90°，进而得出△BEO＝90°，即可得出结论；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质可证AE为△CAB的角平分线，由角平分线的性质得出CE＝EP；（3）连接PF，先证出四边形CFPE是菱形，可得出CF＝EP＝CE＝PF，由AAS可证△ACE△△APE，可得AP＝AC＝15，由勾股定理求出CF的长，即可求解。
中考数学三角形的内切圆
（1）B
、OC分别平分
O
∠BAC、
∠ABC、
C ∠ACB； （3）内心在三
角形内部．
3. 什么是三角形的内切圆？ 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边 形叫做圆的外切多边形． （三）应用与反思
例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°“， 点O是三角形的内心 求∠BOC的度数.
（4）圆心I确定后半径如何找？
NIM
D
C
结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作 出一个．
（二）新课
1. 什么是三角形的内切圆？ 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角 2形、．想一想，三角形内心和外心的区别？
漫地改革出缕缕光雾……紧接着腾赫瓜大副又连续使出四百五十五门八鳄车厢舞，只见他弯曲的脑袋中，威猛地滚出五簇耍舞着『黄影疯魔野象语录』的肥肠状的手掌 ，随着腾赫瓜大副的耍动，肥肠状的手掌像花篮一样念动咒语：“九脚咐啊喝，高粱咐啊喝，九脚高粱咐啊喝……『黄影疯魔野象语录』！仙家！仙家！仙家！”只见 腾赫瓜大副的身影射出一片青远山色奇影，这时正南方向飘然出现了六串厉声尖叫的亮灰色光猴，似银辉一样直奔青古磁色鬼光而来。，朝着壮扭公主扁圆的如同天边 小丘一样的蒜瓣鼻子横抓过来……紧跟着腾赫瓜大副也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向壮扭公主横抓过来壮扭公主超然秀了一个，颤鸽闹钟滚两千一百六十度外加猴 吼扣肉转十三周半的招数！接着又整出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。接着像雪白色的银脸部落鸽一样大嚎了一声，突然使了一套蹲 身闪烁的特技神功，身上顿时生出了七只活似牛头形态的土黄色大腿。紧接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出 紫红色的丝丝惨烟……酷似钢铁般的手臂窜出深黄色的阵阵疑寒！最后抖起异常结实的酷似钢铁般的手臂一闪，酷酷地从里面窜出一道银辉，她抓住银辉痴呆地一耍， 一件光溜溜、森幽幽的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边闪烁，一边发出“喇喇”的奇音！。骤然间壮扭公主旋风般地念起咿咿呀呀的宇宙 语，只见她熏鹅一样的银剑雪峰服中，快速窜出六串摆舞着¤雨光牧童谣→的小星星状的海胆，随着壮扭公主的转动，小星星状的海胆像羊粪一样在身后浪漫地改革出 缕缕光雾……紧接着壮扭公主又连续使出一百五十七招狠驼海马睡，只见她奇如熨斗的手掌中，飘然射出五道甩舞着¤雨光牧童谣→的引擎状的脑袋，随着壮扭公主的 甩动，引擎状的脑袋像航标一样念动咒语：“原野嘤嘱啭，肥妹嘤嘱啭，原野肥妹嘤嘱啭……¤雨光牧童谣→！公主！公主！公主！”只见壮扭公主的身影射出一片亮 白色神光，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的浓黑色光狗，似妖影一样直奔暗白色亮光而去……，朝着腾赫瓜大副肥壮的暗绿色金钵形态的鼻子横抓过去…… 紧跟着壮扭公主也窜耍着咒符像虎尾般的怪影一样向腾赫瓜大副横抓过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了暗橙色、景物 变成了青兰花色、天空变成了亮黄色、四周发出了壮丽的巨响。壮扭公主扁圆的如同天边小丘一样的蒜瓣鼻子受到震颤，但精神感觉很爽！再看腾赫瓜大副短小的耳朵 ，此时正惨
(名师整理)最新数学中考专题复习《圆与直角三角形 》考点精讲精练课件
课后精练
解：(1)证明：如图，连接 OE，∵EG 是⊙O 的切 线，∴OE⊥EG.∵BF⊥GE，∴OE∥AB.∴∠A＝∠ OEC.∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠C.∴∠A＝∠C.∵∠ ABG＝∠A＋∠C，∴∠ABG＝2∠C.
课堂精讲
【解】(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°. ∴AE 是⊙O 的直径，AE 的中点是圆心 O. 如图，连接 OD，则 OA＝OD， ∴∠1＝∠ODA. ∵AD 平分∠BAC，∴∠2＝∠1＝∠ODA. ∴OD∥AC. ∴∠BDO＝∠ACB＝90°. ∴BC 是⊙O 的切线．
课堂精讲
(2)先根据勾股定理求出 OE，OD，AD 的长，证明 Rt△AOD∽Rt △ACB，得出比例线段即可求出 AC 的长．
课堂精讲
【解】(1)证明：如图，连接 OC， ∵CE 与⊙O 相切，点 C 是⊙O 的半径， ∴OC⊥CE. ∴∠OCA＋∠ACE＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∴∠ACE＋∠A＝90°. ∵OD⊥AB，∴∠ODA＋∠A＝90°. ∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CDE＋∠A＝90°. ∴∠CDE＝∠ACE.∴EC＝ED.
图1
图2
备用图
课后精练
解：(1)∵OD⊥AC，
∴
，∠AFO＝90°.
又∵AC＝BD，∴
，
即
.
∴
.∴
.
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°.
∵AB＝2，∴AO＝BO＝1.
∴AF＝AO·sin∠AOF＝1×23＝ 23.则 AC＝2AF＝ 3.
课后精练
(2)如图，连接 BC，∵AB 为直径，OD⊥AC，∴∠AFO ＝∠ C＝90°.∴ OD∥BC.∴ ∠ D＝ ∠EBC.∵ DE＝ BE， ∠ DEF ＝ ∠BEC，∴△DEF≌△BEC(ASA)．∴BC＝DF，EC＝EF.又 ∵AO＝OB，∴OF 是△ABC 的中位线．设 OF＝t，则 BC＝
2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用
2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用一、综合题1．如图，等边△ABC 内接于△O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接AP 、BP ，过点C 作CM△BP 交PA 的延长线于点M ．（1）求△APC 和△BPC 的度数． （2）求证：△ACM△△BCP ．（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM 的面积2．如图， AB 是O 的直径，弦 CD AB ⊥ 于点E ，G 是 AC 上一点， AG ， DC 的延长线交于点F.（1）求证： FGC AGD ∠=∠ .（2）当 DG 平分 AGC ∠ ， 45ADG ∠=︒ ， 6AF =，求弦 DC 的长.3．如图，△ABD 是O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是O 外一点且△DBC=△A ，连接OE延长与圆相交于点F ，与BC 相交于点C ．（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若 O 的半径为6，BC=8，求弦BD 的长．4．如图，四边形 ABCD 内接于△O ， AC 是△O 的直径， E 是 AB 上一点，30AEO DAC ∠=∠=︒ ，连接 BD .（1）求证： OAE CDB ≌ ；（2）连接 DE ，若 DE AB ⊥ ， 2OA = ，求 BC 的长.5．如图，在ABCD 中，E 是AD 上一点，延长CE 到点F ，使得 FBC DCE ∠=∠ .（1）求证： D F ∠=∠ ；（2）请用无刻度直尺与圆规在AD 上求作一点P ，使 BPC D ∠=∠ .（保留作图痕迹，不写作法）6．如图：△ABC 是△O 的内接三角形，△ACB=45°，△AOC=150°，过点C 作△O 的切线交AB 的延长线于点D ．（1）求证：CD=CB；（2）如果△O的半径为2，求AB的长．7．如图，AB是△O的直径，弦EF△AB于点C，点D是AB延长线上一点，△A＝30°，△D＝30°．（1）求证：FD是△O的切线；（2）取BE的中点M，连接MF，若△O的半径为2，求MF的长．8．如图，△ABC内接于△O，△B＝60°，CD是△O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：PA是△O的切线；（2）若AB＝4+ 3，BC＝2 3，求△O的半径．OC BD，交AD于点E，9．如图，已知AB是O的直径，,C D是O上的点，//连结BC.（1）求证： AE ED = ；（2）若 10,36AB CBD =∠=︒ ，求扇形 OAC 的面积.10．如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连结BD ，△BAD=105°，△DBC=75°．（1）求证：BD=CD ； （2）若圆O 的半径为3，求的长．11．如图，ABC 的外角 BAM ∠ 的平分线与它的外接圆相交于点E ，连接 BE ， CE ，过点E 作 //EF BC ，交 CM 于点D求证：（1）BE CE = ； （2）EF 为△O 的切线．12．如图，△O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD=BA ，BE△DC 交DC 的延长线于点E ．（1）求证：△1=△BAD ； （2）求证：BE 是△O 的切线．13．如图， AB 、 AC 是O 的两条弦，且 AB AC = ，点 D 是弧BC 的中点，连接并延长 BD 、 CD ，分别交 AC 、 AB 的延长线于点 E 、 F .（1）求证： DF DE = ； （2）若 BD 6= ， CE 8= ，求O 的半径.14．如图，AB 为△O 的直径，点C 在△O 上，延长BC 至点D ，使DC=CB ，延长DA 与△O 的另一个交点为E ，连接AC ，CE ．（1）求证：△B=△D ；（2）若AB=4，BC ﹣AC=2，求CE 的长．15．如图，AB 是△O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，弦AF 与弦CD 相交于点G ，且AG CG =，过点C 作BF 的垂线交BF 的延长线于点H ．（1）判断CH 与△O 的位置关系并说明理由； （2）若24FH BF ==，，求弧CD 的长．16．已知如图，以Rt△ABC 的AC 边为直径作△O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF ．（1）求证：EF是△O的切线；（2）若△O的半径为3，△EAC=60°，求AD的长．17．如图，AB为△O的直径，点E在△O上，C为BE的中点，过点C作直线CD△AE于D，连接AC、BC.（1）试判断直线CD与△O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝2，AC 6，求AB的长.18．如图，点O是矩形ABCD中AB边上的一点，以O为圆心，OB为半径作圆，△O交CD边于点E，且恰好过点D，连接BD，过点E作EF△BD.（1）若△BOD＝120°，①求△CEF的度数.②求证：EF是△O的切线.（2）若CF＝2，FB＝3，求OD的长.19．已知△O中，弦AB=AC，点P是△BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：△ACP+△ACQ=180°；（2）如图②，若△BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若△BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．⊥于点F，连接20．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF ABOF，且1AF=．（1）求证：DF是O的切线；（2）求线段OF的长度．答案解析部分1．【答案】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴△BAC=△ABC=60°， 由同弧所对的圆周角相等可得：△APC=△ABC=60°，△BPC=△BAC=60°。
2025年中考数学考点分类专题归纳之 圆
2025年中考数学考点分类专题归纳圆知识点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.备注：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.备注：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）3．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.4．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.备注：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.知识点二、与圆有关的位置关系1．判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.备注：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点A1，A2……A n在同一个圆上的方法当A1O=A2O=……=A n O=R时，A1，A2……A n在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.知识点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.备注：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.知识点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.备注：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.1．（2024•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．2．（2024•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm3．（2024•襄阳）如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2C．D．24．（2024•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm5．（2024•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．86．（2024•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm7．（2024•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．8．（2024•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸9．（2024•日照）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED 的正切值等于（）A．B．C．2 D．10．（2024•巴中）如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝4，则半径OB 等于（）A．B．2 C．2D．311．（2024•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝130°，则∠C的度数是（）A．50°B．60°C．25°D．30°12．（2024•盘锦）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC＝50°，则∠ADB的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°13．（2024•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°14．（2024•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°15．（2024•铜仁市）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（）A．55°B．110°C．120°D．125°16．（2024•通辽）已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°17．（2024•咸宁）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5D．518．（2024•陇南）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°19．（2024•盐城）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°20．（2024•邵阳）如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100°D．90°21．（2024•泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．822．（2024•牡丹江）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．223．（2024•自贡）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为（）A．B．C．D．24．（2024•湘西州）已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定25．（2024•湘西州）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD＝8，则弦AC的长为（）A．10 B．8 C．4D．426．（2024•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50°，则∠BOD等于（）A．40°B．50°C．60°D．80°27．（2024•宜昌）如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°28．（2024•重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．2C．3 D．2.529．（2024•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D 在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_______．30．（2024•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_________．31．（2024•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是______cm．32．（2024•广元）如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C 与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为___cm．33．（2024•舟山）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为________cm．34．（2024•毕节市）如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为_____．35．（2024•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝____度．36．（2024•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝_____．37．（2024•吉林）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝____度．38．（2024•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝_____．39．（2024•绥化）如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是________（结果用含π的式子表示）．40．（2024•常州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°，的长是，则⊙O的半径是___．41．（2024•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是__．42．（2024•临沂）如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______cm．43．（2024•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28＝410b，则△ABC的外接圆半径＝_．44．（2024•益阳）如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝____度．45．（2024•枣庄）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．46．（2024•徐州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝6，求的长．。
中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合
中考数学专题专练--圆与三角形问题的综合1．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，CA＝CD．（1）连接BC，求证：BC＝OB；（2）E是AB中点，连接CE，BE，若BE＝4，求CE的长．2．如图，半径为6的⊙O与Rt⊙ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，⊙B=90°，连结OD，AD．（1）若⊙ACB=20°，求AD的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分⊙BDO．3．如图，已知⊙O的半径为5，⊙ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，.过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊙BD，垂足为D.（1）求证：⊙BAD+⊙C＝90°（2）求线段AD的长.于点E，连接AC、OC、BC. 4．如图，AB为O的直径，CD是弦，且AB CD（1）求证： ACO BCD ∠=∠ . （2）若 6EB = ， 20CD = ，求O 的直径.5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是对角线，⊙CAB ＝90°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作⊙A ，交BC 边于点E ，交AC 于点F ，连接DE ．（1）求证：DE 与⊙A 相切；（2）若⊙ABC ＝60°，AB ＝6，求阴影部分的面积．6．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF⊙BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ；（1）判断AF 与⊙O 的位置关系并说明理由． （2）若⊙O 的半径为4，AF=3，求AC 的长．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC⊙BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE=ED ；（2）若AB=10，⊙CBD=36°，求 AC 的长．8．如图，在 Rt ABC 中， 90C ︒∠= ，点O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆O 交 AB 于点D ，交 AC 于点E ，过点D 作半圆O 的切线 DF ，交 BC 于点F.（1）求证： BF DF = ；（2）若 4AC = ， 3BC = ， 1CF = ，求半圆O 的半径长.9．如图，在 Rt ABC 中， 90ACB ︒∠= ，以斜边 AB 上的中线 CD 为直径作O ，与 BC 交于点M ，与 AB 的另一个交点为E ，过M 作 MN AB ⊥ ，垂足为N.（1）求证： MN 是 O 的切线；（2）若O 的直径为5， 3sin 5B =，求 ED 的长. 10．如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．11．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，⊙C ＝120°，点E 在弧AD 上，连接OA 、OD 、OE 、AE 、DE.（1）求⊙AED 的度数；（2）当⊙DOE ＝90°时，AE 恰好为⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值.12．如图，AD 为⊙ABC 外接圆的直径，AD⊙BC ，垂足为点F ，⊙ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．（1）求证：BD=CD ；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由．13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若⊙CBD=39°，求⊙BAD 的度数； （2）求证：⊙1=⊙2．14．如图，在ABC 中， AB AC = ，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点D ，过点D 的直线 EF 交 AC 于点F ，交 AB 的延长线于点E ，且 2BAC BDE ∠=∠ .（1）求证： DF 是⊙O 的切线；（2）当 2,3CF BE == 时，求 AF 的长.15．如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE⊙OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．16．如图， AB 是圆 O 的直径， AC 是圆 O 的切线， BC 交圆 O 于点D ，点E 是 AC 的中点，连接 OD .（1）求证： OD DE ⊥（2）求证： ,,,O A E D 四点共圆（3）ABC ∆ 满足什么条件时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切？并说明理由.17．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6 ，0)与点B(0，－2 )，点D 在劣弧 OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且⊙COD ＝⊙CBO.（1）求⊙M 的半径； （2）求证：BD 平分⊙ABO ；（3）在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标.18．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD⊙AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ．（1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由； （2）①求证：CF=OC ；②若半圆O 的半径为12，求阴影部分的周长．19．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A （4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，⊙ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A，B，D三点的⊙M交于点E，DE平分⊙ADC，连结AE，BD．显然⊙DCE，⊙DEF，⊙DAE是半直角三角形．（1）求证：⊙ABC是半直角三角形；（2）求证：⊙DEC=⊙DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），①求AE的长；②记BC与AD的交点为F，求ΔACF与ΔBCA的面积之比．20．已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．（1）若PA=6，求⊙PCD的周长；（2）若⊙P=50°，求⊙DOC．答案解析部分1．【答案】（1）解：如图，连接OC，AE，过点A作AM⊙CE，垂足为M，∵PC是⊙O的切线，∴⊙CAB＝⊙DCB，又∵CA＝CD，∴⊙CAB＝⊙CDB，∴⊙DCB＝⊙CDB，∴BC＝BD，又∵AB是⊙O的直径，∴⊙ACB＝90°，∴⊙CAB+⊙CBA＝90°，∵⊙CBA＝2⊙CDB＝2⊙CAB，∴⊙CBA＝90°× 23＝60°，∵OC＝OB，∴⊙OBC是正三角形，∴BC＝OB；（2）解：连接AE，过点A作AM⊙CE，垂足为M，∵E是AB中点，∴AE＝BE＝4，⊙ACE＝⊙BCE＝12⊙ACB＝12×90°＝45°，在Rt⊙AEM中，AE＝4，⊙AEM＝⊙CBA＝60°，∴EM＝12AE＝2，AM＝3AE＝2 3，在Rt⊙ACM中，AM＝2 3，⊙ACM＝45°，∴CM＝AM＝2 3，∴CE＝EM+CM＝2+2 3，答：CE 的长为2+23 ．2．【答案】（1）解：连结OA ，∵⊙ACB ＝20°， ∴⊙AOD ＝40°， ∴180n rAD π=， 406180π⨯⨯=43π=． （2）证明：∵AB 切⊙O 于点A ， ∴OA⊙AB ， ∵⊙B ＝90°， ∴OA⊙BC ， ∴⊙OAD ＝⊙ADB ， ∵OA=OD ， ∴⊙OAD ＝⊙ODA ， ∴⊙ADB ＝⊙ODA ， ∴AD 平分⊙BDO ．3．【答案】（1）证明：∵BD 为⊙O 的切线，∴⊙C ＝⊙ABD ， ∵AD⊙BD ， ∴⊙ADB ＝90°， ∴⊙BAD+⊙ABD ＝90°， ∴⊙C+⊙BAD ＝90°（2）解：连接OB ，过O 作OE⊙AB 于E ，∴AE ＝BE ＝12AB ＝4， 由勾股定理得：OE ＝ 22OB BE -＝ 2254-＝3，∵BD 为⊙O 的切线， ∴OB⊙BD ， ∴⊙OBD ＝90°， ∵⊙ADB ＝90°， ∴AD⊙OB ， ∴⊙DAB ＝⊙ABO ， ∵⊙D ＝⊙OEB ＝90°， ∴⊙OEB⊙⊙BDA ， ∴BE OBAD AB = ， ∴458AD = ， ∴AD ＝325； 则线段AD 的长为325. 4．【答案】（1）证明：∵AB CD ⊥ ，∴BC BD = ， ∴BCD BAC ∠=∠ ， ∵OA OC = ， ∴OAC ACO ∠=∠ ， ∴ACO BCD ∠=∠ （2）解：设O 的半径为 r ，∴OC r = ， 6OE OB EB r =-=- ，∵AB CD ⊥ ， ∴11201022CE DE CD ===⨯= ， 在 Rt OCE 中， 222OE CE OC += ， 即， 222(6)10r r -+= ， 解得， 343r = ， 所以直径为683. 5．【答案】（1）证明：连接AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD⊙BC ， ∴⊙DAE ＝⊙AEB ，∵AE ＝AB ，∴⊙AEB ＝⊙ABC ，∴⊙DAE ＝⊙ABC ， ∴⊙AED⊙⊙BAC （AAS ）， ∴⊙DEA ＝⊙CAB ，∵⊙CAB ＝90°，∴⊙DEA ＝90°，∴DE⊙AE ， ∵AE 是⊙A 的半径，∴DE 与⊙A 相切 （2）解：∵⊙ABC ＝60°，AB ＝AE ＝6，∴⊙ABE 是等边三角形，∴AE ＝BE ，⊙EAB ＝60°， ∵⊙CAB ＝90°，∴⊙CAE ＝90°﹣⊙EAB ＝90°﹣60°＝30°， ⊙ACB ＝90°﹣⊙B ＝90°﹣60°＝30°， ∴⊙CAE ＝⊙ACB ，∴AE ＝CE ，∴CE ＝BE ，∴S ⊙ABC 12= AB•AC 16631832=⨯⨯= ， ∴S ⊙ACE 12=S ⊙ABC 1183932=⨯=，∵⊙CAE ＝30°，AE ＝6，∴S 扇形AEF 2230πAE 30π6360360⨯⨯=== 3π ，∴S 阴影＝S ⊙ACE ﹣S 扇形AEF ＝93 3π ．6．【答案】（1）解：证明：连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径， ∴⊙BCA=90°， ∵OF⊙BC ，∴⊙AEO=90°，⊙1=⊙2，⊙B=⊙3， ∴OF⊙AC ， ∵OC=OA ， ∴⊙B=⊙1， ∴⊙3=⊙2，在⊙OAF 和⊙OCF 中，32OA OCOF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴⊙OAF⊙⊙OCF （SAS ）， ∴⊙OAF=⊙OCF ， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴⊙OCF=90°， ∴⊙OAF=90°， ∴FA⊙OA ，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：∵⊙O 的半径为4，AF=3，⊙OAF=90°， ∴OF=22AF OA += 2234+=5∵FA⊙OA ，OF⊙AC ，∴AC=2AE，⊙OAF的面积= 12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=5×AE，解得：AE= 125，∴AC=2AE= 245．7．【答案】（1）证明: ∵AB是⊙O的直径，∴⊙ADB=90°，∵OC⊙BD，∴⊙AEO=⊙ADB=90°，即OC⊙AD，∴AE=ED（2）解: ∵OC⊙AD，∴AC CD=，∴⊙ABC=⊙CBD=36°，∴⊙AOC=2⊙ABC=2×36°=72°，∴7252180ACππ⨯==8．【答案】（1）证明：连接OD，∵DF和半圆相切，∴OD⊙DF，∴⊙BDF+⊙ADO=90°，∵⊙ADO=⊙OAD，∴⊙OAD+⊙BDF=90°，又⊙C=90°，∴⊙OAD+⊙B=90°，∴⊙BDF=⊙B，∴BF=DF；（2）解：过F 作FG⊙BD 于G ，则GF 垂直平分BD ， ∵1CF = ， ∴BF=DF=2，∵4AC = ， 3BC = ，⊙C=90°， ∴AB=22345+= ，∴cos⊙B= BC BG AB BF = = 35， ∴325BG = ，解得：BG= 65=DG ， ∴AD=AB-BD=135， 过点O 作OH⊙AD 于H ， ∴AH=DH=12 AD= 1310 ， ∵cos⊙BAC= 45AC AH AB AO == ， ∴AO=138， 即半圆O 的半径长为138. 9．【答案】（1）证明：连接 OM ，OC OM = ， OCM OMC ∴∠=∠ .在 Rt ABC 中， CD 是斜边 AB 上的中线，12CD AB BD ∴== ， DCB DBC ∴∠=∠ ，OMC DBC ∴∠=∠ ， //OM BD ∴ ，MN BD ⊥ ， MN OM ∴⊥ ，MN ∴ 是 O 的切线.（2）解：连接 ,DM CE ，易知 ,DM BC CE AB ⊥⊥ ， 由（1）可知 5BD CD == ，故M 为 BC 的中点，3sin 5B = ，4cos 5B ∴=， 在 Rt BMD 中， cos 4BM BD B =⋅= ，28BC BM ∴== .在 Rt CEB 中， 32cos 5BE BC B =⋅=， 327555ED BE BD ∴=-=-= . 10．【答案】（1）证明：如图，连接OA ，∵AE⊙CD ，∴⊙DAE+⊙ADE=90°． ∵DA 平分⊙BDE ， ∴⊙ADE=⊙ADO ， 又∵OA=OD ， ∴⊙OAD=⊙ADO ， ∴⊙DAE+⊙OAD=90°， ∴OA⊙AE ， ∴AE 是⊙O 切线；（2）解：如图，取CD 中点F ，连接OF ，∴OF⊙CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt⊙OFD中，OF=AE=4，∴2222435OD OF DF=+=+=，在Rt⊙AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴22224225AD AE DE=++=∴AD的长是511．【答案】（1）解：如图，连接BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴⊙BAD+⊙C=180°，∵⊙C=120°，∴⊙BAD=60°，∵AB=AD，∴⊙ABD是等边三角形，∴⊙ABD=60°，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴⊙AED+⊙ABD=180°，∴⊙AED=120°；（2）解：连接OA，∵⊙ABD=60°，∴⊙AOD=2⊙ABD=120°，∵⊙DOE=90°，∴⊙AOE=⊙AOD﹣⊙DOE=30°，∴360=1230n=.12．【答案】（1）证明：∵AD为直径，AD⊙BC，∴BD CD = ∴BD=CD（2）解：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．理由：由（1）知：BD CD = ，∴⊙BAD=⊙CBD ，又∵BE 平分⊙ABC ，∴⊙CBE=⊙ABE ，∵⊙DBE=⊙CBD+⊙CBE ，⊙DEB=⊙BAD+⊙ABE ，⊙CBE=⊙ABE ， ∴⊙DBE=⊙DEB ， ∴DB=DE ． 由（1）知：BD=CD ∴DB=DE=DC ．∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上13．【答案】（1）解：∵BC=DC ，∴⊙CBD=⊙CDB=39°，∵⊙BAC=⊙CDB=39°，⊙CAD=⊙CBD=39°， ∴⊙BAD=⊙BAC+⊙CAD=39°+39°=78° （2）证明：∵EC=BC ， ∴⊙CEB=⊙CBE ，而⊙CEB=⊙2+⊙BAE ，⊙CBE=⊙1+⊙CBD ， ∴⊙2+⊙BAE=⊙1+⊙CBD ， ∵⊙BAE=⊙BDC=⊙CBD ， ∴⊙1=⊙214．【答案】（1）证明：如图，连接 OD ， AD ，∵AB 是直径， ∴90ADB ∠=︒ .∴AD BC ⊥ . ∵AB AC = ， ∴2BAC BAD ∠=∠ ， ∴2BAC BDE ∠=∠ ， ∴BDE BAD ∠=∠ . ∵OA OD = ， ∴BAD ADO ∠=∠ . ∵90ADO ODB ∠+∠=︒ ， ∴90BDE ODB ∠+∠=︒ . ∴90ODE ∠=︒ ，即 DF OD ⊥ . 又 OD 是 O 的半径， ∴DF 是O 的切线.（2）解：∵,AB AC AD BC =⊥ ， ∴BD CD = . ∵BO AO = ， ∴//OD AC . ∴EOD EAF ∽ ， ∴OD EOAF EA= . 设 OD x = ，∵2CF = ， 3BE = ，∴OA OB x == ， 22AF AC CF x =-=- ， 3EO x =+ ， 23EA x =+ . ∴32223x x x x +=-+ .解得 6x = .经检验 6x = 是所列分式方程的解. ∴2210AF x =-= .15．【答案】（1）解：证明：连接OD ，如图：∵OE=OD ，∴⊙OED=⊙ODE ， ∵DE⊙OA ，∴⊙OED=⊙AOC ，⊙ODE=⊙AOD ， ∴⊙AOC=⊙AOD. 在⊙AOD 和⊙AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴⊙AOD⊙⊙AOC ， ∴⊙ADO=⊙ACO. ∵AC 与⊙O 相切于点C ， ∴⊙ADO=⊙ACO=90°， 又∵OD 是⊙O 的半径， ∴AB 是⊙O 的切线； （2）解：∵CE=6， ∴OE=OD=OC=3.在Rt⊙ODB 中，BD=4，OD=3， ∴222BD OD BO += ， ∴BO=5， ∴BC=BO+OC=8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切， ∴AD=AC.在Rt⊙ACB 中， 222AC BC AB += ， 即： 2228(4)AC AC +=+ ， 解得：AC=6；16．【答案】（1）证明:如图所示,连接AD,∵AC 是圆 O 的切线，∴⊙BAE=90° ∴⊙BAD+⊙DAE=90°, ∵AB 是圆 O 的直径， ∴⊙ADB=⊙ADC=90°. ∵点 E 是 AC 的中点， ∴AE=DE. ∴⊙DAE=⊙ADE, ∴⊙BAD+⊙ADE =90°. ∵OD=OA, ∴⊙BAD=⊙ODA. ∴⊙ODA+⊙ADE =90°. 即⊙ODE=90°. ∴OD DE ⊥ .（2）解：证明:如图所示,连接OE,取OE 的中点P,连接PA,PD. 由(1)可知⊙OAE=ODE=90°, ∵点P 是OE 的中点, ∴PA=PO=PE=PD, ∴,,,O A E D 四点共圆.（3）解：当 ABC ∆ 是等腰直角三角形时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切. 理由如下:如图所示：设⊙P 为经过 ,,,O A E D 的圆. ∵ABC ∆ 是等腰直角三角形,∴AB=AC,⊙B=⊙C=45°. ∵OB=OD, ∴⊙B=⊙ODB=45°.∵O,E 分别为AB,AC 的中点， ∴OE⊙BC.∴⊙POD=⊙ODB=45°. ∵PO=PD ，∴⊙PDO=⊙POD=45°.∴⊙PDB=⊙PDO+⊙ODB =45°+45°=90°. 即PD⊙BC ， ∴BC 与圆P 相切.即当 ABC ∆ 是等腰直角三角形时，经过 ,,,O A E D 的圆与 BC 相切17．【答案】（1）解：∵点A 为（6 ，0），点B 为（0，－ 2 ） ∴OA= 6OB=2∴根据Rt⊙AOB 的勾股定理可得：AB=22∴M 的半径r=12AB= 2 .（2）证明：根据同弧所对的圆周角相等可得：⊙ABD=⊙COD ∵⊙COD=⊙CBO ∴⊙ABD=⊙CBO ∴BD 平分⊙ABO （3）解：如图，由（2）中的角平分线可得⊙ABE⊙⊙HBE ∴BH=BA=22∴OH=2 2 － 2 =2在Rt⊙AOB 中，3OAOB=∴⊙ABO=60° ∴⊙CBO=30° 在Rt⊙HBE 中，HE=2633=∴点E 的坐标为（ 263 ， 2 ）18．【答案】（1）解：结论：DE 是⊙O 的切线．理由：∵四边形OABC是平行四边形，又∵OA=OC，∴四边形OABC是菱形，∴OA=OB=AB=OC=BC，∴⊙ABO，⊙BCO都是等边三角形，∴⊙AOB=⊙BOC=⊙COF=60°，∵OB=OF，∴OG⊙BF，∵AF是直径，CD⊙AD，∴⊙ABF=⊙DBG=⊙D=⊙BGC=90°，∴四边形BDCG是矩形，∴⊙OCD=90°，∴DE是⊙O的切线．（2）①证明由（1）可知：⊙COF=60°，OC=OF，∴⊙OCF是等边三角形，∴CF=OC．②解：在Rt⊙OCE中，∵OC=12，⊙COE=60°，⊙OCE=90°，∴OE=2OC=24，EC=12 3，∵OF=12，∴EF=12，∴CF的长= 6012180π⋅=4π，∴阴影部分的周长为4π+12+12 3．19．【答案】（1）证明：∵⊙ADC=90°，DE平分⊙ADC，∴⊙ADE=⊙CDE=12⊙ADC=90°=45°，∴⊙ABE=⊙ADE=45°，∴⊙ABC是半直角三角形.（2）证明：∵四边形ABDE 是⊙M 的内接四边形， ∴⊙DEA+⊙DBA=180°，DB=DA ， ∴⊙DBA=⊙DAB ，又∵⊙DEC+⊙DEB=180°，⊙DEB=⊙DAB ， ∴⊙DBA=⊙DEB ， ∴⊙DEC+⊙DBA=180°， ∴⊙DEA=⊙DEC.（3）解：①∵点D 的坐标为（0,8），∴OM=8-R ，又∵ OM 2+OA 2=MA 2，∴ （8-R ）2+42=R 2，∴R=5 ，∴⊙M 的半径为5 ，连接ME,MA ，∴⊙EMA=90°，∴EA 2=MA 2+ME 2=25+25=50，∴2，②由（1）知⊙ADE=⊙CDE ，由（2）知⊙DEA=⊙DEC ，又∵DE=DE ，∴⊙CDE⊙⊙ADE （ASA ），∴CD=AD ，又∵OD=8，OA=OB=4，∴5又∵S⊙ABD=12.AB.OD=12.AD.h ，∴45=1655，∴ACF BCAS S =ACFABFACFS SS+ =121122AF CDAF h AF CD ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯ 45165455+ =59.20．【答案】（1）解：连接OE ，∵PA 、PB 与圆O 相切， ∴PA=PB=6，同理可得：AC=CE ，BD=DE ，⊙PCD 的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12.（2）解：∵PA PB 与圆O 相切， ∴⊙OAP=⊙OBP=90°⊙P=50°，∴⊙AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°， 在Rt⊙AOC 和Rt⊙EOC 中，OA OEOC OC =⎧⎨=⎩∴Rt⊙AOC⊙Rt⊙EOC （HL ）， ∴⊙AOC=⊙COE ， 同理：⊙DOE=⊙BOD ， ∴⊙COD=12⊙AOB=65°．。
中考重点三角形的外接圆与内切圆
中考重点三角形的外接圆与内切圆中考重点：三角形的外接圆与内切圆三角形是中考数学中的一个重要内容，其中与三角形相关的圆也是必须掌握的知识点。
本文将重点讨论三角形的外接圆与内切圆。
一、外接圆外接圆指的是一个圆能够完全围住一个三角形，并且三角形的三个顶点均在这个圆上。
我们下面以直角三角形和一般三角形来介绍外接圆的求解方法。
1. 直角三角形在直角三角形中，外接圆的圆心位于斜边的中点，并且半径等于斜边的一半。
这个性质可以通过勾股定理来进行推导。
假设直角边分别为a和b，斜边为c，斜边的中点坐标为(M, N)。
首先根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²由于斜边的中点坐标为(M, N)，根据坐标推导，我们可以得到：M = (a + b) / 2N = (a - b) / 2根据外接圆的性质，斜边的中点与外接圆圆心重合，即斜边的中点坐标即为外接圆圆心的坐标。
所以外接圆的圆心坐标为(M, N)。
而外接圆的半径等于斜边的一半，即半径R = c / 2。
2. 一般三角形对于一般三角形，我们可以利用三角形的垂心来求解外接圆的圆心和半径。
垂心是三角形的三条高所共有的交点，即三条高的交点称为垂心。
垂心到三角形三个顶点的距离分别等于它到三个高的距离。
首先，我们需要求解出三角形的垂心坐标。
求解过程中可以利用垂心的性质：三条高的交点到三个顶点的距离乘积相等。
假设三角形的三个顶点坐标分别为(Ax, Ay)，(Bx, By)，(Cx, Cy)，垂心的坐标为(Dx, Dy)。
首先我们可以计算三角形三条边的长度：a = √((By-Cy)² + (Bx-Cx)²)b = √((Ay-Cy)² + (Ax-Cx)²)c = √((Ay-By)² + (Ax-Bx)²)然后我们可以根据垂心的性质，求解垂心的坐标：Dx = (a²*Ax + b²*Bx + c²*Cx) / (a² + b² + c²)Dy = (a²*Ay + b²*By + c²*Cy) / (a² + b² + c²)根据垂心的坐标，我们就可以求得外接圆的圆心坐标，同时外接圆的半径等于垂心到任意一个顶点的距离。
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15. 已知，如图， AB 是 的直径，弦
于点 E，G
是 上一点， AG 与 DC 的延长线交于点 F．
如
，
求证：
，求 的半径长； ．
16. 如图， AN 是 的直径，
轴， AB 交 于点 C．
若点
，
，
，求
的度数；
若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是 的切线．
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17. 如图，以
的一边 AB为直径的半圆与其它两边 AC， BC的交点分别为 D、E，且
．
试判断
的形状，并说明理由．
已知半圆的半径为 5，
，求
的值．
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答案和解析
【答案】
1. B
2. C
3. D
4. A
5. 144
6.
表示为
亦可
7.
8. 证明： 四边形 ABCD 是矩形，
，
在
中，
，
，
解得
．
证明：连接 AD ， 弦
，
， 四边形 ADCG 是圆内接四边形，
， ．
10. 解：
的坐标为
，
，
，
，
是 的直径，
，
∽
，
，
，
，
，
连接 MC，
NC
是 的直径，
，
，
在
中， D 为 NB 的中点，
，
，
即
．
直线 CD 是
，
， ， ，
的切线．
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1. 解： 为 CD 边的中点，
，半径为 2 的 切 BC 于点 C，
若将 在 CB 上向右滚动，则当滚动到
与 CA 也
相切时，圆心 O 移动的水平距离为
的值为
D. 3
A.
B.
C.
D. 4
5. 如图，已知 E、 F 分别为正方形 ABCD 的边 AB， BC 的中 点， AF 与 DE 交于点 M， O 为 BD 的中点，则下列结论：
；
其中正确结论的个数是
6. A. 5 个
B. 4 个
C. 3 个
D. 2 个如图，在矩形 ABCD 中，
， E 为 CD 边的中点，将
时针旋转
，点 D 的对应点为 C，点 A 的对应点为 F，过点 E 作
于点 M ，连接 AM、 BD 交于点 N，现有下列结论：
故选： B．
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根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出
；根据
∽ 得出
，且
，即可得出
不成立；根据
，再根据
，即可
，
，运用射影定理即可得出
，据此可得
是
的外心．
成立；根据 N 不是 AM 的中点，可得点 N 不
本题主要考查了相似三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质， 矩形的性质以及
12. 如图，
是边长为 1 的等边三角形 取 BC 边中点 E，
作
，
，得到四边形 EDAF ，它的面积记
作 ；取 BE 中点 ，作
，
，得到四
边形
，它的面积记作 照此规律作下去，则
______ ．
13. 如图，在
中，点 D ，E， F 分别在 AB， AC，BC 上，
，
，已知四边形 DECF 的面积为 m，则
，故 正确；
把
代入
把
代入
得： 得：
，故 ，把
错误； 代入
得：
，
则
，故 错误；
不正确的是
；
故选： C．
由抛物线的开口方向判断
a 的符号，由抛物线与
y 轴的交点得出 c 的值，然后根据图象
经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，
，
又
，
，
≌ ，
，
，
又
，
垂直平分 AF，
，
，故 正确；
如图，延长 CB 至 G，使得
由
，
，可得
可设
，
由
，
，
，
，
，
，
，
，则
，可得
∽
，
由
∽
，可得
，
而
，
，
，
即
，
不成立，故 错误；
，
，
，
又
，
，
，故 正确；
，
是
的外接圆的直径，
，
当
时，
，
不是 AM 的中点，
点 N 不是
的外心，故 错误．
综上所述，正确的结论有 2 个，
，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
四边形 BMDN 是平行四边形，
，
平行四边形 BMDN 是菱形．
解： 四边形 BMDN 是菱形，
，
设 MD 长为 x，则
，
在
中，
即
，
解得：
，
即
．
菱形 BMDN 的面积
，
菱形 BMDN 的面积
， ，
．
9. 解：连接 设 的半径为 R．
，
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，则
的度数是
相交于 C，D 两点，点 E
A.
B.
C.
D.
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9. 如图， AB 是 一点，且满足
的直径，弦
于点 点 F 是 CD 上
，连接 AF 并延长交
于点 连接
AD、 DE ，若 ∽
， ；
给出下列结论：
；
；
．
其中正确的是
A.
B.
C.
D.
10. 如图， 的半径为 2，弦
；
；
；
点N为
的外心．
其中正确的个数为
绕点 E 顺 交 BC
A. 1 个
B. 2 个
7. 二次函数 论： ； ； ； ． 其中不正确的有
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
C. 3 个
的图象如图，下列结
D. 4 个
8. 如图， PA、 PB 分别切 是 CD 中点，若
于 A、 B 两点，射线 PD 与
的面积为 ______．
，且
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14. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M ，与 BD 相交于点 O，与 BC 相交于
点 N，连接 BM、 DN ．
求证：四边形 BMDN 是菱形；
若
，
线 MN 的长．
，求菱形 BMDN 的面积和对角
旋转的性质的综合应用， 解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角
形的对应边成比例进行推导， 解题时注意： 三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平
分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．
2. 解：抛物线的开口向上，则
；
对称轴为
，即
，故
，故 错误；
抛物线交 y 轴于负半轴，则
，点 A 是优弧 BC 上一
动点 不包括端点 ，
的高 BD 、CE 相交于点 F，连结
下列四个结论：
始终为 ；
当
时，
；
当
为锐角三角形时，
；
线段 ED 的垂直平分线必平分弦 BC．
其中正确的结论是 ______ 把你认为正确结论的序号都填上
11. 将一个半径为 6cm，母线长为 15cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的 侧面展开图的圆心角是 ______度
学习 ----- 好资料 1. 如图，一个正方体切去一个三棱锥后所得几何体的俯视图是
A. B. C. D.
2. 如图，在三角形 ABC 中，
的周长是 7，
于 F，
中点，则
A.
B.
C.
D. 7
，
，三角形 DEF
于 E，且点 D 是 AB 的
3. 若 ， 是一元二次方程
A.
B. 0
的两个根，则
C. 2
4. 如图，