2020中考数学专题复习——相似三角形

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初三数学相似知识点

初三数学相似知识点
1. 相似三角形：相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

相似三角形的对
应边长成比例，对应角度相等。

2. 相似比例：相似三角形的边长比值称为相似比例。

如果两个三角形的对应边长分别
为a:b:c和ka:kb:kc，那么它们的相似比例为a:b:c。

3. 相似三角形定理：包括AAA相似定理、AA相似定理和对应角边比相等定理。

其中，AAA相似定理指出如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似；AA相似定理指出如果两个三角形的两个对应角度相等，那么它们相似；对应角边比相等定理指出如果
两个三角形的两个对应角度相等，并且对应边长之比相等，那么它们相似。

4. 相似三角形的性质：相似三角形的相似比例等于对应边长之比；相似三角形的相似
比例等于对应角度的正弦值、余弦值或正切值；相似三角形的高线、中线等与对应边
长成等比例；相似三角形的面积与边长平方成比例。

5. 相似三角形的应用：相似三角形的定理在解决实际问题中有很多应用，如利用相似
三角形进行测量、解决影子问题、求解高度、求解距离等。

6. 图形的相似：除了三角形，其他图形（如矩形、圆、椭圆等）也有相似的概念和相
似关系，可以利用相似关系解决相关问题。

这些内容是初三数学中关于相似的主要知识点，希望对你有帮助！如有其他问题，请
随时提问。

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)

中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。

下面给出几个几何问题。

1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。

2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。

3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。

2020年上海中考数学相似三角形专题(含答案)

相似三角形专题一选择题1.在下列4×4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中△ ABC 相似的三角形所在的网格图（）（A ）（B ）（C ）（D ）2.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CH 、CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论不正确．．．的是（） A ．AB 2= AC 2+BC 2； B ．CH 2=AH ·HB ； C ．CM =12AB ； D ．CB =12AB ．3.如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠； ②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=；④2AC AD AB =．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（）（A ）1 （B ）2（C ）3（D ）44．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =△△，9AD =，那么BC 的长是（）（A ）4；（B ）6；（C ）213；（D ）310．5. 如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形有（） ( A)1对； (B)2对； ( C)3对； ( D)4对.6.如图，已知ABC △和DEF △，点E 在BC 边上，点A 在DE 边上，边EF 和边AC 交于点G ．如果AE =EC ，B AEG ∠=∠．那么添加下列一个条件后，仍无法判定DEF △与ABC △一定相似的是( )（A ）EF DE BC AB =；（B ）GEGFAE AD =；图1 第4题图A D CB ACD B 第3题第2题（第6题图）AB C DEF O 第5题图第18题E D C BA （C ）EF EG AC AG =；（D ）EAEGEF ED =．二填空题7．如果两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为50°和60°，那么另一个三角形的最大角为度．8．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么这两个三角形的周长的比是9.在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 的延长线上，∠E=∠B ，AC=2，BC=3，CE=6，那么CD= ．10 .如果两个相似三角形的对应角平分线比为2︰3，两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为 cm ．11.如图，已知⊿ABC 中，P 是AB 上的一点，∠ACP =∠B ，AB=9，AC=6，那么AP= . 12.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上， ADE C ∠=∠，如果=2AE ，△ADE 的面积是4，四边形BCED 的面积是5，那么AB 的长是．13.如图,R t ΔA B C 中,∠A C B =900,C D ⊥A B ,A C =8,B C =6,则AD=__ _ 14.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果21==EC AE DB AD ，那么△ADE 与△ABC 面积的比是．15.已知等腰梯形的上、下两底长分别为4cm 和6cm ，将它的两腰分别延长交于一点，这个交点到上、下两底的距离之比为．16.△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上，AD ＝2，在AB 上找一点E ，使 △ADE 与△ABC 相似，则AE 的长为． 17.如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠交边BC 于点D ，AD BD =，3=AB ，2=AC ，那么AD 的长是 _． 18.如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且AE=4ED ，且BE ⊥CE ，则AB:BC=______________.三解答题19．如图，已知AB ⊥AD ，BD ⊥DC ，且BC AB BD ⋅=2，求证：∠ABD=∠DBC.E D C BA第12题BACD第14题A 第11题 B CP 第13题第17题20. 已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2；（2）DAC DCE ∠=∠．21如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在边AD 上， CE 与BD 相交于点F ， AD =4，AB =5，BC =BD =6，DE =3．（1）求证：△DFE ∽△DAB ；（2）求线段CF 的长．22.如图，在AH ABC 中，∆是BC 边上的高，矩形DEFG 内接于ABC ∆（即点G F E D 、、、都在ABC ∆的边上），6,18==AH BC ，矩形DEFG 的周长是20． ACDEBBCD AEF求：DEFG S 矩形的值．23．如图，已知△ABC 中，AB=AC=10,BC=16，点P 、D 分别在边BC 、AC 上， BP=12，∠APD=∠B ，求CD 的长.24.如图：在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，E 是斜边AB 延长线上一点，且∠ECB=∠BCD （1）求证：⊿ECB ∽⊿EAC ；（2）若AC=，AB=5cm ，求BE 的长.EDBCA相似三角形专题参考答案一、1、B ，2、D ，3、C ，4、C ，5、C ，6、C二、7、70， 8、1:2 9、4 10、40 11、4，12、3 13、6.4 14、1:9 15 、2：3 16、23或38 17、5103 18、2:5．三、19、证明Rt△DBC ∽△ABD Rt20、(1)证明∽△ADB △BDE ；(2)由DB=DC 可得DC 2=DE*DA ，可证∽△ADC △CDE 21、(1)由AD//BC 可得21==BF DF BC DE ，∴31=BD DF ,得DF=2, ∴BD DEAD DF =再由BDA EDF ∠=∠可证 (2)由1的结论可求EF=2.5,再可得CF=2EF=522、设AH 与DG 相交于M ，由∽△ABC △ADG 可得AHAMBC DG =可算出DE=4,DG=6 S=2423、证∽△PBA △DCP 可得ABCPBP CD =可得CD=4.8 24、1、证A BCD ECB ∠=∠=∠2、由勾股定理可求BC=5 ,由1的结论可得21===AE EC EC BE AC BC ,可得41=AE BE ，得BE=35。

2020年中考数学专题24相似三角形判定与性质

【答案】见解析。【解析】根据平行四边形的性质得到 AD∥CD，AD＝BC，得到△EBF∽△EAD，根据相似三角形的性质证明即可；根据相似三角形的性质列式计算即可．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，AD＝BC， ∴△EBF∽△EAD， ∴ ＝＝，
∴BF＝ AD＝ BC， ∴BF＝CF；（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥CD，
C．4
D．
【答案】B 【解析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．由 S△ABC＝16.S△A′EF＝9 且 AD 为 BC 边的中线知 S△A′DE＝ S△A′EF＝，S△ABD＝ S△ABC＝8，根据△
DA′E∽△DAB 知（
专题 24 相似三角形判定与性质
专题知识回顾
1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 2．三角形相似的判定方法: （1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，构成的三角形与原三角形相似。（3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。（4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。 3．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4．相似三角形的性质: （1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

中考数学专题复习：相似图形

中考数学专题复习相似图形【基础知识回顾】一、成比例线段：1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们的比，即：AB CD=2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果ab=那么四条线段叫做同比例线段，简称3、比例的基本性质：ab=cd<＝>4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线【提醒：表示两条线段的比时，必须使示用相同的，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。

】二、相似三角形：1、定义：如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似2、性质：⑴相似三角形的对应角对应边⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于1、判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似⑵两边对应且夹角的两三角形相似⑶两角的两三角形相似⑷三组对应边的比的两三角形相似【名师提醒：1、全等是相似比为的特殊相似2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】三、相似多边形：1、定义：各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形2、性质：⑴相似多边形对应角对应边⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】一、位似：1、定义：如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做这时相似比又称为2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于【名师提醒：1、位似图形一定是图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于或】【典型例题解析】考点一：比例线段考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．对应训练2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（）A．512-B．512+C．51-D．51+考点二：相似三角形的性质及其应用例 2 已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为．对应训练2．已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为．考点三：相似三角形的判定方法及其应用例3 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对考点：相似三角形的判定；正方形的性质．例4（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．对应训练3.如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定；全等三角形的性质；圆周角定理．4. 在锐角△ABC 中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转，得到△A 1BC 1．（1）如图1，当点C 1在线段CA 的延长线上时，求∠CC 1A 1的度数；（2）如图2，连接AA 1，CC 1．若△ABA 1的面积为4，求△CBC 1的面积；（3）如图3，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中，点P 的对应点是点P 1，求线段EP 1长度的最大值与最小值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：几何综合题．分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC 1A 1的度数；（2）由△ABC ≌△A 1BC 1，易证得△ABA 1∽△CBC 1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC 1的面积；（3）由①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，即可求得线段EP 1长度的最大值与最小值．解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A 1C 1B=∠ACB=45°，BC=BC 1，∴∠CC 1B=∠C 1CB=45°，..…（2分）∴∠CC 1A 1=∠CC 1B+∠A 1C 1B=45°+45°=90°．（2）∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA=BA 1，BC=BC 1，∠ABC=∠A 1BC 1，∴11BA BA BC BC ，∠ABC+∠ABC 1=∠A 1BC 1+∠ABC 1， ∴∠ABA 1=∠CBC 1，∴△ABA 1∽△CBC 1．∴1122416()()525ABA CBC S AB S BC ===△△， ∵S △ABA1=4，∴S △CBC1=254；（3）①如图1，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，∵△ABC 为锐角三角形，∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中，BD=BC×sin45°=522，当P 在AC 上运动与AB 垂直的时候，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为：EP 1=BP 1-BE=BD-BE=522-2； ②当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转，使点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时，EP 1最大，最大值为：EP 1=BC+BE=2+5=7．点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．考点四：位似例5 如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 是以AC 的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（）A ．16B ．13C ．12D ． 23考点：位似变换；坐标与图形性质．分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的对应训练5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（）A．（2，0）B．（33,)22C．(2,2)D．(2,2)考点：位似变换；坐标与图形性质．【聚焦中考】1．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F 点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A 51-B51+C3D．2考点：相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）．2．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是（）A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，-2）或（-2，3）D．（-2，3）或（2，-3）考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质．3.在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则BFFD的值是（）A．12B．13C．14D．15考点：相似三角形的判定与性质；菱形的性质．4.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组F考点：相似三角形的应用；解直角三角形的应用．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．考点：位似变换；坐标与图形性质．6．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．【备考真题过关】一、选择题1．已知513ba=，则a ba b-+的值是（）A．23B．32C．94D．492．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（）A．2 B．3 C．3D．31+3．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（）A10B13C．10D．13考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．4．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（）A．FG B．FH C．EH D．EF考点：相似图形．5.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL6.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．AB CBBD CD=D．AD ABAB AC=考点：相似三角形的判定．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9 B．10 C．12 D．13 考点：相似三角形的判定与性质．9.如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 12AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）A．17B．16C．15D．14考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理．10．（2012•钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点M B．点N C．点O D．点P11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（）A．（2，4）B．（-1，-2）C．（-2，-4）D．（-2，-1）考点：位似变换；坐标与图形性质．二、填空题14.正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．15.如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为。

中考数学专题训练------相似三角形

一、比例1．第四比例项、比例中项、比例线段； 2．比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac bc b b a =⇔=2（2）合比定理：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ba nd b m c a nm dc b a3．黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．结论：PA= AB ． 4．平行线分线段成比例定理： 5．相似三角形：（1）定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形．（2）判定方法．（3）直角三角形判定方法． 6．相似三角形性质．（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（3）周长之比等于；（4）面积之比等于． 7．相似三角形中的基本图形．（1）平行型：（A 型，X 型）（2）交错型：（3）旋转型：（4）母子三角形：二、例题解析：1．如果cm a 4=，cm b 6=，cm a 3=，则a ，b ，c 的第四比例项是．如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是． 2．已知，542c b a ==，则=-+-+bc a b c a 22 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ．E DBACAED CBFEDCBA5．如图，△ABC 中，DE ∥BD ，AD ∶DB=2∶3，则S △ADE ∶S △ECB = ．6．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ．（1）若AC=4，BC=3，则AD= ，BD= ，CD= ；（2）若AB ∶BC=9∶1，则AD ∶BD= ．7．如图，平行四边形ABCD 中，BC=18cm ，P 、Q 是三等分点，DP 延长线交BC 于E ，EQ 延长线交AD 于F ，则AF=_______．8．如图，在△ABC 中，AB>AC ，边AB 上取一点D ，边AC 上取一点E ，使AD=AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP ∶CP=BD ∶CE ．9．如图，CD 是Rt △ABC 的斜边上的高线，∠BAC 的平分线交BC ，CD 于E ，F ．求证：（1）△ACF ∽△ABE ；（2）AC ·AE= AF ·AB ．FAB CD E a b cA BCDEABCDEABCDEABCDDA BCABCDED AB CE BA BEDAPBE DCAFBEDC AF QPCBAD10．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C ．（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1），（2）条件下，若AD=3，求BF 的长．11．如图，Rt △ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AB=AC=2，点D 在BC 上运动（不能到点B ，C ），过D 作∠ADE=45°，DE 交AC 于E ．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．一、判断题：1．两个等边三角形一定相似（）2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2（） 3．两个等腰三角形一定相似（）4．若一个三角形的两个角分别是400、1000，而另一个三角形是顶角为1000的等腰三角形，则这两个三角形相似（）二、填空题：1．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，若AC ＝5cm ，CD ＝4cm ，则AD ＝ cm ，AB ＝ cm ．2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB ＝7cm ，CF ＝3cm ，则AD ∶CE ＝．FEDC B AB CE DA3．如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上的点，AE ⊥DE ，BE ＝4，EC ＝1，则AB 的长为． 4．CM 是△ABC 的中线，AB ＝12，AC ＝9，AC 上有一点N ，且∠ANM ＝∠B ，则CN ＝．NMCB AOFEDCBAFEDCBA5．梯形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过O 作EF 平行于底，与腰AD 、BC 相交于E 、F ，若DC ＝14，OF ＝8，AE ＝12，则DE ＝．6．如图，正方形ABCD 的面积为144cm 2，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，Rt △CEF 的面积为112.5cm 2，则BE 的长为 cm ．三、选择题： 1．已知21=ba ，则ba a +的值为（）（A ）21 （B ）32 （C ）31 （D ）432．如图，已知△ADE ∽△ACB ，且∠ADE=∠C ，则AD ：AC=（）（A ）AE ：AC （B ）DE ：BC （C ）AE ：BC （D ）DE ：ABABCDABCD EBF EDCABEDCABF3．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果23=DBAD ，AE=15，那么EC 的长是（）（A ） 10 （B ） 22. 5 （C ） 25 （D ） 6 4．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DCE ADE S S ∆∆=2，则 ABCADE S S ∆∆=（）（A ）41 （B ）21 （C ）32 （D ）945．如图，DE 是三角形ABC 的中位线，△ADE 的面积为3cm 2，则梯形DBCE 的面积为（）A 、6cm2B 、9cm2C 、12cm 2D 、24cm2FE DCBA第5题第6题第8题6．如图，E 是平行四边形ABCD 的边AD 上的点，AE ＝21ED ，BE 交AC 于F ，则FCAF =（） A 、21 B 、31 C 、32 D 、417．如图，△ABC 中，D 是AB 上的点，不能判定△ACD ∽△ABC 的是以下条件中的（）A 、∠ACD ＝∠B B 、∠ADC ＝∠ACB C 、AC 2＝AD ·AB D 、AD ∶AC ＝CD ∶BC 8．如图FD ∥BC ，FB ∥AC ，53=BCFE ，则FBAD ＝（）A 、52 B 、53 C 、32 D 、859．梯形ABCD 的两腰AD 和BC 延长相交于点E ，若两底的长度分别为12和8，梯形ABCD 的面积等于90，则△DCE 的面积为（）A 、50B 、64C 、72D 、5010．如图，已知△ABC 的面积为4 cm 2，它的三条中位线组成△DEF ，△DEF 的三条中位线组成△MNP ，则△MNP 的面积等于（） A 、161cm 2B 、81cm2C 、41cm2D 、1cm 2D FEC B AOD FECBA11．如图，E 是AC 的中点，C 是BD 的中点，则EDFE ＝（）A 、21 B 、31 C 、32 D 、4112．如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于点O ，若AC ＝12，则AO ＝（）A 、4B 、3C 、2.4D 、213．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2和8，则四边形AOED 的面积为（）A 、16B 、32C 、38D 、40 14．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 为对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 的值等于（）A 、2B 、35 C 、23 D 、115．如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB ，AC 于E ，F ．求证：BDBE ADAF =．ABCDEABCDE ABCD EABCDEFECADBAEF OEDCBAE FDCBA16．如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时．这个矩形的长和宽各是多少？FG HMABCDE。

2020年中考数学压轴题专题3 相似三角形的存在性问题学案(原版+解析)

专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快．【解题攻略】相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．【解题类型及其思路】相似三角形存在性问题需要注意的问题：1、若题目中问题为△ABC ∽△DEF ，则对应线段已经确定。

2、若题目中为△ABC 与 △DEF 相似，则没有确定对应线段，此时有三种情况：①△ABC ∽△DEF ,②△ABC ∽△FDE 、 ③△ABC ∽△EFD 、3、若题目中为△ABC 与 △DEF 并且有 ∠A 、 ∠D （或为90°），则确定了一条对应的线段，此时有二种情况：①、△ABC ∽△DEF ，②、△ABC ∽△DFE 需要分类讨论上述的各种情况。

【典例指引】类型一【确定符合相似三角形的点的坐标】典例指引1．（2019·贵州中考真题）如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A ，B 两点，且此抛物线与x 轴的一个交点为C ，连接AC ，BC ．已知(0,3)A ，(3,0)C -．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使MB MC-的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ PA⊥交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【举一反三】（2019·海南模拟）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（5，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线335y x=+相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．①连结PC、PD，如图1，在点P运动过程中，∥PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；②连结PB，过点C作CQ∥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得∥CNQ与∥PBM 相似?若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．类型二【确定符合相似三角形的动点的运动时间或路程等】典例指引2．（2019年广东模拟）如图，在矩形OABC 中，AO =10，AB =8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线2y ax bx c =++经过O ，D ，C 三点. (1)求AD 的长及抛物线的解析式；(2)一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似？(3)点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.【举一反三】（2019·湖南模拟）如图，已知直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y =-x 2+bx +c 经过A ，B 两点，点P 在线段OA 上，从点O 出发，向点A 以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q 在线段AB 上，从点A 出发，向点B 以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t 为何值时，∥APQ 为直角三角形；（3）过点P 作PE ∥y 轴，交AB 于点E ，过点Q 作QF ∥y 轴，交抛物线于点F ，连接EF ，当EF ∥PQ 时，求点F 的坐标；（4）设抛物线顶点为M ，连接BP ，BM ，MQ ，问：是否存在t 的值，使以B ，Q ，M 为顶点的三角形与以O ，B ，P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．类型三【确定符合相似三角形的函数解析式或字母参数的值】典例指引3．（2019·江苏中考真题）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线l ，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ．（1）点D 的坐标是 ______；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N 作直线与线段DA 、DB 分别交于点P ，Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ______．【举一反三】（2018武汉中考）抛物线L ：y =﹣x 2+bx +c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x =1交于点B ．（1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y =kx ﹣k +4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【新题训练】1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初三月考）如图1，已知抛物线；C 1：y ＝﹣1m（x +2）（x ﹣m ）（m ＞0）与x 轴交于点B 、C （点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当△BCE 的面积为6时，若点G 的坐标为（0，b ），在抛物线C 1的对称轴上是否存在点H ，使得△BGH 的周长最小，若存在，则求点H 的坐标（用含b 的式子表示）；若不存在，则请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．2．（2020·浙江初三期末）边长为2的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD ，点E 在第一象限，且DE DC ⊥，DE DC =.以直线AB 为对称轴的抛物线过C ，E 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点C 出发，沿射线CB 每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒.过点P 作PF CD ⊥于点F ，当t 为何值时，以点P ，F ，D 为顶点的三角形与COD ∆相似？（3）点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M ，N ，使得以点M ，N ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2020·长沙市长郡双语实验中学初三开学考试）如图，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c 的图象经过点C （0，﹣2），顶点D 的坐标为（1，﹣83），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和AEAB的值．（3）点C 关于x 轴的对称点为H 5FC +BF 取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2019·贵州初三）如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2020·河南初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线243y x bx c =-++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，4），已知点E （m ，0）是线段DO 上的动点，过点E 作PE ⊥x 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC 上方时，请用含m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与△DEH 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．6．（2020·浙江初三期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的对称轴为直线l ，将直线l 绕着点()0,2P 顺时针旋转α∠的度数后与该抛物线交于AB 两点（点A 在点B 的左侧），点Q 是该抛物线上一点（1）若45α∠=︒，求直线AB 的函数表达式（2）若点p 将线段分成2:3的两部分，求点A 的坐标（3）如图②，在（1）的条件下，若点Q 在y 轴左侧，过点p 作直线//l x 轴，点M 是直线l 上一点，且位于y 轴左侧，当以P ，B ，Q 为顶点的三角形与PAM ∆相似时，求M 的坐标7．（2020·上海初三）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝13x 2+mx +n 经过点B （6，1），C （5，0），且与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ ⊥OA ，交线段OA 的延长线于点Q ，如果∠PAB ＝45°．求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包含端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F ′恰好在上述抛物线上，求FF ′的长．8．（2019·江苏初三期末）如图，抛物线y ＝ax 2＋5ax ＋c （a ＜0）与x 轴负半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，D 是抛物线的顶点，过D 作DH ⊥x 轴于点H ，延长DH 交AC 于点E ，且S △ABD ：S △ACB ＝9：16，（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若△DBH 与△BEH 相似，试求抛物线的解析式．9．（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求△ACD 的面积；（3）点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ．问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019·西安市铁一中学中考模拟）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为(2,1)-，并且与y 轴交于点(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上一动点，过点E 作y 轴的平行线EF ，与抛物线交于点F ，问是否存在点E ，使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与BCO V 相似．若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019·广东中考模拟）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是32x =-且经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）①直接写出点B 的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P 为直线AC 上方的抛物线上的一点，连接PA ，PC ．求△PAC 的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．（3）抛物线上是否存在点M ，过点M 作MN 垂直x 轴于点N ，使得以点A 、M 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·江苏泗洪姜堰实验学校中考模拟）如图，抛物线2481293y x x =--与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于B 点．（1）求△AOB 的外接圆的面积；（2）若动点P 从点A 出发，以每秒2个单位沿射线AC 方向运动；同时，点Q 从点B 出发，以每秒1个单位沿射线BA 方向运动，当点P 到达点C 处时，两点同时停止运动．问当t 为何值时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△OAB 相似？（3）若M 为线段AB 上一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交抛物线于点N ． ①是否存在这样的点M ，使得四边形OMNB 恰为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．②当点M 运动到何处时，四边形CBNA 的面积最大？求出此时点M 的坐标及四边形CBAN 面积的最大值．13．（2019·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：()2y ax c a x c =+-+经过点A （-3，0）和点B （0，-6），L 关于原点O 对称的抛物线为L '. （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L '上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D .若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标.14．（2019·湖南中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．15．（2018·四川中考真题）如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2019·湖南中考真题）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧) (1)求点A 、B 的坐标；(2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.专题三相似三角形的存在性问题【考题研究】相似三角形的存在性问题是近几年中考数学的热点问题．解相似三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。

天津市2020版中考数学专题练习相似三角形50题含答案

相似三角形50题、选择题：一1.如图，DE∥BC，在下列比例式中，不能成立的是（）＝ D.＝ B.＝＝ C.A.2.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）1：．1：．1：3 C．14 D2 BA．1：( )4.5cm，那么它们的相似比为3.两个相似多边形一组对应边分别为3cm，，则BE:EC=（）BDF4.如图，是平行四边形ABCD对角线上的点，BF:FD=1:3( )相似的是15.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形（阴影部分）与△ABCA． D C B．．．6.下列各组数中，成比例的是（）A.-7,-5，14，5B.-6，-8，3，4C.3，5，9，12D.2，3，6，127.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A.4mB.6mC.8mD.12m8.下列四组图形中，一定相似的是( )A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形9.如图所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）对对 C.5 D.6对 A.3对 B.4）的长为（AB于点E，则DE 垂直平分，中，∠10.如图，在△ABCACB=90°，AC=8AB=10，DEAC交3．．A．6 B5 C．4 D的长等于（，则，已知：是位似图形，位似比为与△如图，△11.ABCDEF23AB=4DE ）A.6B.5C.9D.12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B →C和A→D20（y与xy（单位：cm），则）→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s，四边形PBDQ的面积为( )）之间函数关系可以用图象表示为x≤8≤C. B.A.D.13.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )． CA．． B D．14.如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G．图中共有n对三角形相似（相似比不等于1），则n的值是（）A.2B.3C.4D.5ACBD,xABCD15.如图,正方形的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的轴，y轴的////与正方形正方形正半轴上//////ABCD与正方形DCB,的中点是以ABCDACO为中心的位似图形已知AC=3A则正方形(1,2),的坐标为A若点,( )的相似比是 D. C. B. A.16.如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A.4对B.1对C.2对D.3对的重心，那么的值为（） AMN都是等边三角形，点M是△ABC17.如图，△ABC和△C.A.D. B.18.将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC，则的值为（）BCDF′交于点N 于点M，D. A. C. B.19.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1.P是AB边上一动点,PD⊥AC于点D,点E在P 的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动．在整个运动过程中,阴影部分面积S+S ）的大小变化情况是（21．A.一直不变B.一直减小C.一直增大D.先减小后增大20.如图,在⊙O中,AB是直径,点D是⊙O上一点,点C是弧AD的中点,弦CE⊥AB于点E,过点D 的切线交EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、CB于点P、Q,连接AC.给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③2=AE?AB；⑤CB∥GD，其中正确的结论是（）点P是△ACQ的外心；④ACA.①③⑤B.②④⑤C.①②⑤D.①③④、填空题：二21.若△ABC与△ABC的相似比为2:3，△ABC与△ABC的相似比为2:3，那么△ABC与△ABC的相似比221212111212为22.如图，(1)若AE:AB=________,则△ABC∽△AEF；(2)若∠E=_______，则△ABC∽△AEF.□的值为________．于点Q. 则交相交于点，BDO，P是BC边中点，APBD23.如图，在中，对角线ABCDAC，则C中，已知A∽△B=6，若△ABCABBABC=5AB=3ABC24.在△中，已知，。

中考数学相似三角形专题训练(含答案)

2020中考数学相似三角形专题训练（含答案）一、选择题：1. 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A．B．C．D．﹣答案：D．2.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）A．=B．=C．=D．=答案：C3. 如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①=；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④ B．①④ C．②③④D．①②③答案D．4.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF平分∠BCD，交EA的延长线于点F，且BC=4，CD=2，给出下列结论：①∠BAE=∠CAD；②∠DBC=30°；③AE=；④AF=2，其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案C．二、填空题：5.已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若=，AD=10，则AO= ．答案：4．6. 在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．答案：或．7.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为．故答案为113°或92°．8.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是．答案：1．9. （2017内江）如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE= ．答案：．10.如图，在▱ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为．故答案为3：4．三、解答题：11.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠BDE=180°﹣∠B﹣∠DEB，∠CEF=180°﹣∠DEF﹣∠DEB，∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF，∴△BDE∽△CEF；（2）∵△BDE∽△CEF，∴，∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴，∵∠DEF=∠B=∠C，∴△DEF∽△CEF，∴∠DFE=∠CFE，∴FE平分∠DFC．12.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．①求证：△DAE≌△DCF；②求证：△ABG∽△CFG．【解答】证明：①∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，∴∠ADC=∠EDF=90°，AD=CD，DE=DF，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF；②延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD=∠FCD，即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF，∵∠MAD=∠BCD=90°，∴∠EAM=∠BCF，∵∠EAM=∠BAG，∴∠BAG=∠BCF，∵∠AGB=∠CGF，∴△ABG∽△CFG．13. 如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．（1）求证：△ABF∽△BEC；（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，∵∠AFB+∠AFE=180°，∴∠C=∠AFB，∴△ABF∽△BEC；（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED=∠BAE=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE===4，在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，∵BC=AD=5，由（1）得：△ABF∽△BEC，∴，即，解得：AF=2．∵△ADF∽△DEC，14. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是　MD=ME　；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，∴MD=ME，故答案为MD=ME；（2）MD=ME，理由：如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE=，∴MD=ME．（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，在Rt△MDE中，=tan∠MDE=tan．15. （1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE 是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为　AD=AB+DC　；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D在线段AE 上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．。

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形

中考数学一轮复习专题解析—相似三角形复习目标1.了解相似图形和相似三角形的概念。

2.掌握三角形相似的判定方法和性质并学会运用。

考点梳理一、相似图形1.形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.2.比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． 3. 比例的性质基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b ad b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=．合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．4.比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．5.黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB 例1．如果0ab cd =≠，则下列正确的是（）A ．::a c b d =B ．::a d c b =C ．::a b c d =D ．::d c b a = 【答案】B【分析】根据比例的基本性质，列出比例式即可．【详解】解：∵0ab cd =≠，∵::a d c b =，故选：B ．例2．两个相似多边形的一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，那么它们的相似比为（）A ．23B C ．49 D ．94【答案】A【分析】根据相似多边形的性质求解即可；【详解】两个相似多边形一组对应边的长分别为6cm ，9cm ，∵它们的相似比为：6293=．故选A ．二、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∵”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：∵对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．∵顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．∵两个三角形形状一样，但大小不一定一样．∵全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∵ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∵'''C B A ∆，则'''C B A ∆∵ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∵C B A '∆''，且C B A '∆''∵C B A ''''''∆，则ABC ∆∵C B A ''''''∆．四、相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：五、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形(附答案)

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形（附答案）1．△ABC∽△A1B1C1，且相似比为23，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为54，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．56B．65C．56或65D．8152．如图，l1∥l2∥l3，若32ABBC，DF=6，则DE等于（）A．3 B．3.2 C．3.6 D．43．小明的身高为1.8米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为( )A．3.2米B．4.8米C．5.4米D．5.6米4．如图，在平行四边形ABCD中，E在DC边上，若DE：EC＝1：2，则△CEF与△ABF 的面积比为（）A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．1：95．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线于点F，若S△DEC=9，则S△BCF=（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，则CE：CF的值为（）A ．45B ．35C ．56D ．677．如图，∠ABD ＝∠BCD ＝900，AD ＝10，BD ＝6。

如果两个三角形相似，则CD 的长为A 、3.6B 、4.8C 、4.8或3.6D 、无法确定8．若ABC V 的各边都分别扩大到原来的2倍，得到111A B C V ，下列结论正确的是（） A ．ABC V 与111A B C V 的对应角不相等B ．ABC V 与111A B C V 不一定相似 C ．ABC V 与111A B C V 的相似比为1:2D ．ABC V 与111A B C V 的相似比为2:19．如图，已知点P 在△ABC 的边AC 上，下列条件中，不能判断△ABP ∽△ACB 的是（）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．AB 2=AP•ACD ．=10．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABP=∠CB ．∠APB=∠ABC C ．=D ．=11．如图，已知点 A 在反比例函数k y x(x ＜0) 上，作 Rt △ABC ，点 D 是斜边 AC的中点，连DB 并延长交y 轴于点E，若△BCE 的面积为12，则k 的值为_____.12．已知线段AB＝2，点C为AB的黄金分割点，且AC＜BC，那么BC＝_____．13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点（异于两个端点），AB＝2BC＝2，若BP的垂直平分线EF经过该矩形的一个顶点，则BP的垂直平分线EF与对角线AC 的夹角（锐角）的正切值为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且∠ADC＋∠B＝90°，DC＝3，BD＝6，则cosB＝．15．如图，数学趣闻：上世纪九十年代，国外有人传说：“从月亮上看地球，长城是肉眼唯一看得见的建筑物．”设长城的厚度为10m，人的正常视力能看清的最小物体所形成的视角为1'，且已知月、地两球之间的距离为380000km，根据学过的数学知识，）你认为这个传说________．（请填“可能”或“不可能”，参考数据：tan0.5'0.000145416．如图，△ABC中，AB＝AC＝4cm，点D在BA的延长线上，AE平分∠DAC，按下列步骤作图．步骤1：分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF，交BC于点G；步骤2：分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AG于点I；步骤3：连接BI并延长，交AE于点Q．若，则线段AQ的长为_____cm．17．如图，在直角坐标系中，A，B为定点，A（2，﹣3），B（4，﹣3），定直线l∥AB，P是l上一动点，l到AB的距离为6，M，N分别为P A，PB的中点下列说法中：①线段MN的长始终为1；②△P AB的周长固定不变；③△PMN的面积固定不变；④若存在点Q使得四边形APBQ是平行四边形，则Q到MN所在直线的距离必为9．其中正确的说法是_____．18．若7x=3y，则xy=_____．19．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD＝3S△ABD，则AB：AC 等于_____．20．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，把△ABE沿直线BE翻折，点A正好落在BC边上的点F处，如果四边形CDEF和矩形ABCD相似，那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是__．21．如图，在ABCV中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且12DCB EBC A ∠=∠=∠． ()1求证：BOD V ∽BAE V ；()2求证：BD CE =；()3若M 、N 分别是BE 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，线段AP 、AQ 相等吗？为什么？22．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD =∠C ，AB =6，AC =9．（1）试说明：△ABD ∽△ACB ；（2）求线段CD 的长．23．如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点P 是⊙O 外一点，连接PA 、PB 、AB 、OP ，已知PB 是⊙O 的切线．(1)求证：∠PBA=∠C ；(2)若OP ∥BC ，且OP=9，⊙O 的半径为32，求BC 的长．24．在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE ＝∠OBA ．(1)如图①，求点E 的坐标(2)如图②，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B ，BE′.①设AA′＝m ，其中0<m<2，试用含m 的式子表示A′B 2＋BE′2，并求出使A′B 2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B ＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可).25．如图，已知AC ，EC 分别为正方形ABCD 和正方形EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，连接BF ，∠CAE+∠CBE=90°．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE=1，AE=2，求CE 的长．26．如图,AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高.（1）尺规作图:作∠C 的平分线,交AB 于点E,交AD 于点F （不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母）;（2）在（1）的条件下,过F 画BC 的平行线交AC 于点H,线段FH 与线段CH 的数量关系如何?请予以证明;（3）在（2）的条件下,连结DE ､DH.求证:ED ⊥HD ．27．如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ．过点O 作OE BC ⊥于点E ，连接DE 交OC 于点F ，过点F 作FG BC ⊥于点G ，则ABC V 与FGC V 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．28．如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE的值；（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，DEBE的值为．（直接填答案）参考答案1．A【解析】∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为210=315， △A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2 ，相似比为515=412 ， ∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为105=126，故选A ．2．C【解析】试题解析：根据平行线分线段成比例定理，可得： 3,2AB DE BC EF == 设3,2,DE x EF x ==5 6.DF x ∴==解得： 1.2.x =3 3.6.DE x ∴==故选C.3．C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】据相同时刻的物高与影长成比例，设这棵树的高度为xm ，则可列比例为：1.826x =，解得，x=5.4．故选C ．【点睛】本题主要考查了同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力． 4．C【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，CD ＝AB ，∴△DFE ∽△BF A ．∵DE ：EC ＝1：2，∴EC ：DC ＝CE ：AB ＝2：3，∴△CEF 与△ABF 的面积比49=．故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．5．D【解析】【分析】由已知条件求出△DEF 的面积，根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 和△DEF ∽△BCF ，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可得到答案．【详解】∵E 是边AD 的中点，∴DE 12=AD 12=BC ，∴12EF CF =，∴△DEF 的面积13=S △DEC ＝3。

2020春中考数学一轮复习专题：相似三角形

2020春中考数学一轮复习专题：相似三角形（1）【复习目标】1.了解线段的比，成比例线段；通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割.2. 了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定及直角三角形相似的判定；会用相似三角形证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等【课堂研讨】考点一比例性质1．已知513ba=，则a ba b-+的值是2.已知三个数1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是。

3. 在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，AC=6，AD=4,则AB= .4.已知点C是线段AB的黄金分割点，若ACAB≈0．6 18，那么CBAC的近似值是_______ 5.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC=______．★6. (1)如图，AD是△ABC的中线，P是AD的中点，延长BP交AC于点F，若AC的长为6，求AF的长(2)已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长.第（1）题第（2）题BACDE1.如图，已知△ABC ∽△ADB 中，CD ＝6，AD ＝2，BD ＝3，则AB ＝_____， BC ＝_____.2.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，12AE EB =，S 梯形BCFE ＝8，则S △ABC 的值是3、如图，在△ABC 中，∠B =45°，BC =5，高AD =4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：BCEFAD AH =；（2）设EF =x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；4、如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（05≤≤t ），连接MN ．（1）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；（2）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是________（请填上编号）．2.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是 ( )A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABCC．AB CBBD CD= D．AD ABAB AC=3. 如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 14BC．图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对C．3对 D．4对4、(1)提出问题:如图①，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.(2)类比探究:如图②，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸:如图③，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点(不含端点B，C)，连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN，试探究∠ABC与∠ACN 的数量关系，并说明理由．5. 如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．相似三角形拓展提升训练一、填空题1．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图中的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，图中相似的三角形有______对.第3题第4题第5题P A4、如图，AD 是△ABC 的中线，F 在AC 上CF=3AF ，若BF 的长为6，则PF 的长为______.5、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为______________6、如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝______第6题第7题7、如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为_________________8、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，∠ABC=60°，CD=33AD=16，点P 是AD 边上的一点，∠CPB=120°.①△PCB 与△ABP 相似吗？为什么？ ②求△ABP 的面积S 。

中考数学基础复习第19课相似三角形及其性质课件

【考点剖析】【考点1】比例线段例1.如图,l1∥l2∥l3,AB=3,BC=5,DF=12,求DE和EF的长.
【解析】∵l1∥l2∥l3, ∴ AB DE (平行线分线段成比例),
AC DF
∵AB=3,BC=5,∴AC=AB+BC=8,
∵DF=12,∴ 3 DE .∴DE=4.5,
8 12
第19课类似三角形及其性质
【知识清单】一、平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段____成__比__例___. 二、类似三角形的性质性质1:类似三角形的对应角____相__等___,对应边的比____相__等___. 性质2:类似三角形周长的比等于____类__似__比___. 性质3:类似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 ____类__似__比___. 性质4:类似三角形的面积的比等于类似比的____平__方___.
b b＋2x
b（b＋2x）
b（b＋2x）
∵a>b>0,x>0,∴m-n= 2x（a－b）>0,
b（b＋2x）
∴m>n.
若图中的两个矩形类似,则需m=n.
∴图中的两个矩形不类似.
反思:利用类似多边形的性质转化为比例式求解.
【学后检测】
1.如图l1∥l2∥l3,若
AB＝3 BC 2
,DF=10,则DE=
3
则点C坐标为 ( B )
A.(-1,-1) C. (1, 4)
3
B.( 4 , 1)
3
D.(-2,-1)
3.(202X·吉林)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若△ADE的面积
为1
2
3

第18节相似三角形-中考数学一轮知识复习课件

4．(位似图形)在平面直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0).以原点 O 为位似中心，
相似比为13 ，把线段 AB 缩短，则点 A 的对应点 A'的坐标为__(_2_，_1_)_或_(_－__2，__－__1)__．
知识清单
线段的比和比例线段 1．线段的比：两条线段__长_度___的比叫做两条线段的比．注意：求两条线段的比，要求长度单位相同；线段的比与选用的长度单位无关． 2．对于四条线段 a，b，c，d，如果其中两条线段的比__等__于__另外两条线段的比，就说这四条线段是成比例线段．
＝6－6－32x －38 x2＝－38 x2＋32 x.
当 x≥2 时，S 随 x 增大而减少．
与 AC 交于点 G，则相似三角形共有( C )
A．3 对
B．5 对
C．6 对
D．8 对
针对训练 6．(2019·凉山州改编)如图，∠ABD＝∠BCD＝ 90°，DB 平分∠ADC，过点 B 作 BM∥CD 交 AD 于点 M.连接 CM 交 DB 于点 N.求证：BD2＝AD·CD.
证明：∵DB 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB. 且∠ABD＝∠BCD＝90°. ∴△ABD∽△BCD. ∴ABDD ＝BCDD . ∴BD2＝AD·CD.
4．(2020·宁夏)在平面直角坐标系中，△ ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4， 1)，C(1，1).
(1)画出△ABC 关于 x 轴成轴对称的△A1B1C1； (2)画出△ABC 以点 O 为位似中心，位似比为 1∶2 的△A2B2C2.
解：(1)(2)如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求．
(2)若AADC ＝37 ，求FAGF 的值．

中考数学考点23相似三角形总复习(原卷版)

相似三角形【命题趋势】在中考中.相似三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主；常考的3种相似模型经常以解答题形式考查.常结合二次函数、圆综合考查。

【中考考查重点】一、比例线段及性质二、相似三角形性质与判定考点1：比例线段及性质1、比例线段的有关概念：在比例式a cb d=（::a b c d =）中.a 、d 叫外项.b 、c 叫内项.a 、c 叫前项.b 、d 叫后项.d 叫第四比例项.如果b c =.那么b 叫做a 、d 的比例中项．2、把线段AB 分成两条线段AC 和BC.使2·AC AB BC =.叫做把线段AB 黄金分割.C 叫做线段AB 的黄金分割点． 3比例性质：①基本性质：a b cdad bc =⇔=； ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=； ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0； 4、平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线.所得的对应线段成比例．如图.已知1l ∥2l ∥3l .可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DF AC DF DE EF=====或或或或等．（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．由DE∥BC可得：AD AE BD EC AD AEDB EC AD EA AB AC===或或．此推论较原定理应用更加广泛．（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．那么这条直线平行于三角形的第三边．此定理给出了一种证明两直线平行方法.即：利用比例式证平行线．（4）定理：平行于三角形的一边.并且和其它两边相交的直线.所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．1．（2021秋•金安区校级期末）如图.已知直线l1∥l2∥l3.直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F.若DE＝3.DF＝8.则的值为（）A．B．C．D．2．（2021•兰州）如图.小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时.标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm.当测试距离为3m 时.最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm考点2 相似三角形的性质与判定性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形周长的比等于相似比；（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方；判定（1）两角对应相等.两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等.两三角形相似；（3）三边对应成比例.两三角形相似；三大常考相似模型模型一A字型模型二8字型模型三K型3．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）.用去一部分液体后如图2所示.此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2021秋•南岸区期末）如图.在△ABC中.D.E分别是AB和BC上的点.且DE∥AC...则△ABC与△DBE的面积之比为（）A．B．C．D．5．（2021秋•椒江区期末）如图.点D.E分别在△ABC的边AB.AC上.且满足△ADE∽△ACB.∠AED＝∠B.若AB＝10.AC＝8.AD＝4.则CE的长是（）A．2B．3C．4D．56．（2021秋•贞丰县期末）如图AC与BD相交于点E.AD∥BC．若AE：AC＝1：3.S△AED：S△CEB为（）A．1：9B．1：4C．D．7．（2021•临沂）如图.点A.B都在格点上.若BC＝.则AC的长为（）A．B．C．2D．38．（2021•韩城市模拟）如图.矩形ABCD中.E.F分别为CD.BC的中点.且AE⊥EF.BC＝2.则AC的长为（）A．B．2C．3D．2 9．（2021•安徽模拟）如图.在△ABC中.∠B＝60°.∠C＝45°.AB＝4.E为AC中点.D 为AB上一点.连接DE.当∠AED＝60°时.AD的长为（）A．2B．C．3D．10．（2020秋•长安区期末）如图.△ABC中.CD⊥AB于D.AD＝9.CD＝6.如果△ADC与△CDB相似.则BD的长度为．11．（2021•连云港）如图.BE是△ABC的中线.点F在BE上.延长AF交BC于点D．若BF＝3FE.则＝．12．（2021•安徽模拟）（1）如图.Rt△ABC中.∠A＝90°.AB＝AC.D为BC中点.E、F 分别为AB、AC上的动点.且∠EDF＝90°．求证：DE＝DF；（2）如图2.Rt△ABC中.∠BAC＝90°.AC＝4.AB＝3.AD⊥BC.∠EDF＝90°．①求证：DF•DA＝DB•DE；②求EF的最小值．13．（2021•靖西市模拟）如图.在△ABC中.点D.F.E分别在AB.BC.AC边上.DF∥AC.EF ∥AB．（1）求证：△BDF∽△FEC．（2）设．①若BC＝15.求线段BF的长；②若△FEC的面积是16.求△ABC的面积．1．（2021春•永嘉县校级期中）如图.已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC）.则下列结论正确的是（）A．B．C．AB2＝AC2+BC2D．BC2＝AC•BA2．（2021秋•南京期末）如图.在△ABC中.DE∥BC.＝.则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝3．（2021•平南县三模）如图.在△ABC中.点D在AC上.点F是BD的中点.连接AF并延长交BC点E.BE：BC＝2：7.则AD：CD＝（）A．2：3B．2：5C．3：5D．3：74．（2021•吉安模拟）如图平行四边形ABCD.F为BC中点.延长AD至E.使DE：AD＝1：3.连结EF交DC于点G.若△DEG的面积是1.则五边形DABFG的面积是（）A．11B．12C．D．5．（2021•蚌埠二模）如图.在△ABC中.点D是AB上一点.且∠A＝∠BCD.S△ADC：S△BDC＝5：4.CD＝4.则AC长为（）A．5B．6C．9D．6．（2021•东港区校级二模）如图.AB为⊙O的直径.BC为⊙O的切线.弦AD∥OC.直线CD交BA的延长线于点E.连接BD．求证：（1）△EDA∽△EBD；（2）ED•BC＝AO•BE．1．（2021•阿坝州）如图.直线l1∥l2∥l3.直线a.b与l1.l2.l3分别交于点A.B.C和点D.E.F．若AB：BC＝2：3.EF＝9.则DE的长是（）A．4B．6C．7D．12 2．（2021•巴中）两千多年前.古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割.即：如图.点P是线段AB上一点（AP＞BP）.若满足.则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见.例如：主持人在舞台上主持节目时.站在黄金分割点上.观众看上去感觉最好．若舞台长20米.主持人从舞台一侧进入.设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上.则x满足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对3．（2021•巴中）如图.△ABC中.点D、E分别在AB、AC上.且＝＝.下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．△ADE与△ABC的面积比为1：3C．△ADE与△ABC的周长比为1：2D．DE∥BC4．（2021•湘西州）如图.在△ECD中.∠C＝90°.AB⊥EC于点B.AB＝1.2.EB＝1.6.BC ＝12.4.则CD的长是（）A．14B．12.4C．10.5D．9.3 5．（2021•温州）如图.图形甲与图形乙是位似图形.O是位似中心.位似比为2：3.点A.B 的对应点分别为点A′.B′．若AB＝6.则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15 6．（2021•遂宁）如图.在△ABC中.点D、E分别是AB、AC的中点.若△ADE的面积是3cm2.则四边形BDEC的面积为（）A．12cm2B．9cm2C．6cm2D．3cm2 7．（2021•南充）如图.在△ABC中.D为BC上一点.BC＝AB＝3BD.则AD：AC的值为．8．（2021•百色）如图.△ABC中.AB＝AC.∠B＝72°.∠ACB的平分线CD交AB于点D.则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2.则BD＝．9．（2021•包头）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.过点B作BD⊥CB.垂足为B.且BD ＝3.连接CD.与AB相交于点M.过点M作MN⊥CB.垂足为N．若AC＝2.则MN的长为．10．（2021•菏泽）如图.在△ABC中.AD⊥BC.垂足为D.AD＝5.BC＝10.四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形.且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上.那么△AEM与四边形BCME的面积比为．11．（2021•玉林）如图.在△ABC中.D在AC上.DE∥BC.DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC.求的值．12．（2021•南通）如图.利用标杆DE测量楼高.点A.D.B在同一直线上.DE⊥AC.BC⊥AC.垂足分别为E.C．若测得AE＝1m.DE＝1.5m.CE＝5m.楼高BC是多少？13．（2021•滨州）如图.在⊙O中.AB为⊙O的直径.直线DE与⊙O相切于点D.割线AC ⊥DE于点E且交⊙O于点F.连接DF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求证：DF2＝EF•AB．14．（2021•盐城）如图.O为线段PB上一点.以O为圆心.OB长为半径的⊙O交PB于点A.点C在⊙O上.连接PC.满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A.求的值．1．（2021•武都区二模）如图所示.若点C是AB的黄金分割点.AB＝2.则AC的值为（）A．B．C．D．22．（2021•香洲区二模）如图.AB∥CD∥EF.AF与BE相交于点G.若BG＝2.GC＝1.CE ＝5.则的值是（）A．B．C．D．2．（2021•武进区校级模拟）如图.在△ABC中.DE∥BC..则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•镇江）如图.点D.E分别在△ABC的边AC.AB上.△ADE∽△ABC.M.N分别是DE.BC的中点.若＝.则＝．4．（2021秋•阳山县期末）如图.已知△ABC∽△AMN.点M是AC的中点.AB＝6.AC＝8.则AN＝．5．（2021•兰州模拟）如图.已知△ABE∽△CDE.AD、BC相交于点E.△ABE与△CDE 的周长之比是.若AE＝2、BE＝1.则BC的长为（）A．3B．4C．5D．6 6．（2021•云南模拟）如图.在Rt△ABC中.∠ABC＝90°.BD⊥AC于点D.AD＝4.AB＝5.则AC长为（）A．B．C．D．7．（2021•元阳县模拟）如图.点E是正方形ABCD的边CD上的一点．且＝.延长AE交BC的延长线于点F.则△CEF和四边形ABCE的面积比为（）A．B．C．D．8．（2021•滦南县二模）如图.某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔AB的高度.他们先在水平地面上一点E放置了一个平面镜.镜子与铁塔底端B的距离BE＝16m.当镜子与观测者小芳的距离ED＝2m时.小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端A.已知小芳的眼睛距地面的高度CD＝1.5m.铁塔AB的高度为（）（根据光的反射原理.∠1＝∠2）A．9m B．12m C．15m D．18m 9．（2021•城关区校级模拟）如图.AB、CD都是BD的垂线.AB＝4.CD＝6.BD＝14.P是BD上一点.联结AP、CP.所得两个三角形相似.则BP的长是．10．（2021•二道区校级一模）如图.在△ABC中.∠ACB＝90°.CD是斜边AB的中线.过点C、D分别作CE∥AB.DE∥AC交于点E.连结BE．（1）求证：四边形CDBE是菱形．（2）若AB＝10.tan A＝.则菱形CDBE的面积为．11．（2020•曹县二模）如图.AB是⊙O的直径.C为⊙O上一点.PC切⊙O于C.AE⊥PC 交PC的延长线于E.AE交⊙O于D.PC与AB的延长线相交于点P.连接AC、BC．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若PB：PC＝1：2.PB＝4.求AB的长．。

知识清单16 相似三角形- 2020年中考数学知识清单大全

知识清单16：相似三角形1. 比例线段与比例的性质2. 平行线分线段成比例3. 黄金分割4. 相似三角形的判定5. 相似三角形的性质6. 相似三角形的基本模型1.比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，则这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 即如图①所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE BC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 即如图②所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC =（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图③所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC. 图① 图② 图③名师点睛：（1）列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.（2）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k ，b=5k ，再代入所求式子，也可以把原式变形得a=35b 代入求解.例：若35a b =，则a b b +=85. 本道题考的是比例的合比性质，不过作为选择题或者填空题来说，可以直接当a=3，b=5，也可快速得出答案.（3）利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.Cl 5。