暑假二次函数综合应用
二次函数的综合运用
二次函数的综合运用二次函数是一种形式为 y = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数且a ≠ 0。
二次函数在数学中有广泛的应用，涉及到诸如物理学、经济学和工程学等多个领域。
本文将探讨二次函数在各个领域中的综合运用，包括最值问题、图像分析、实际问题的建模等。
一、最值问题对于二次函数 y = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，我们可以通过一些方法求得其最值。
为了简化讨论，我们以函数 y = x² + 2x - 3 为例。
1. 定义域和值域首先，我们需要确定该二次函数的定义域和值域。
对于二次函数 y= x² + 2x - 3，由于 x²的值始终大于等于 0，所以该函数的定义域为全体实数。
而二次函数在开口向上的情况下，其最小值即为函数的值域的下界。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点为(-1, -4)，因此该函数的最小值为 -4。
2. 求解极值点我们可以通过求导数的方法求得二次函数的极值点。
对于函数 y =x² + 2x - 3，将其对 x 求导后可得 y' = 2x + 2。
令 y' = 0，解得 x = -1。
将 x = -1 代入函数 y = x² + 2x - 3 中可得 y = -4，即函数在 x = -1 处取得极小值 -4。
同样，对于开口向下的二次函数，可以通过类似的方法求得其极大值。
二、图像分析二次函数的图像一般为抛物线，通过分析图像可以获得更多关于函数的信息。
下面以函数 y = x² + 2x - 3 为例进行具体分析。
1. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是由函数的一阶导数确定的直线，其方程形式为x = -b/(2a)。
对于函数 y = x² + 2x - 3，对称轴的方程为 x = -1。
根据二次函数的顶点公式，可以求得该函数的顶点坐标为 (-1, -4)。
二次函数在生活中的实际应用
二次函数在生活中的实际运用
在暑假，我参加了中考体育训练，其中有一个项目是投实心球，可是我发现不管我如何用力就是投不远，对此我感到十分头疼。
这时，我的体育老师走了过来，我赶忙上前去问到底如何投才是最远的。
他告诉我要往30度角投，我半信半疑不太相信按一定角度投会远一些，于是我朝30度角投了试试，发现好像真的比刚才要远一些。
回到家，我思索起了这个问题并动手验证，一个球在相同力度的情况下，球飞行的路线是一条抛物线，设顶点到地面的距离为1m。
当角度为30度时，根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：
90度所对的角=1：√3：2。
求得OB=√3m，
则OC=2OB=2√3m。
当角度为45度时，根据等腰三角形
中45度所对的角：45度角所对的角：90
度所对的角=1：1：√2。
求得OB=1m，
则OC=2OB=2m。
当角度为60度时，根据根据直角三角
形中30度所对的角：60度所对的角：90
度所对的角=1：√3：2。
求得OB=1̸3√3m，
则OC=2OB=2̸3√3m。
因为2√3m>2m>2̸3√3m，所以物体以30度角抛出去时最远。
通过自身的运算，让我牢记这个道理。
著名数学家华罗庚曾说:任何一个人，都必须养成自学的习惯，即使是今天在校的学生，也要养成自学的习惯，因为迟早要离开学校的！行路，还是要靠行路人自己。
天马学校九（四）班胡一帆
指导老师：宣淑嫒。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用二次函数的综合应用一、典例精析考点一：二次函数与方程1.已知抛物线与x轴没有交点。
1) 求$c$的取值范围；2) 确定直线$y=cx+l$经过的象限，并说明理由。
2.已知函数$y=mx-6x+1$（$m$是常数）。
⑴证明：不论$m$为何值，该函数的图象都经过$y$轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与$x$轴只有一个交点，求$m$的值。
考点二：二次函数与最大问题3、如图，二次函数$y=ax^2+bx+c$。
1）求此二次函数的解析式；2）证明：3）若是线段$AB$的图像经过点$C$，且与$x$轴交于点$D$（其中$D$是原点）；二次函数图像及轴于$AB$两点，试问：是否存在这样的点，使$y$的坐标最大；若存在，请求出点$E$的坐标；若不存在，请说明理由。
5、如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A(1,0)$,$B(-3,0)$两点。
1）求该抛物线的解析式；2）设（1）中的抛物线交$y$轴与$C$点，在该抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使得$\triangle QAC$的周长最小？若存在，求出$Q$点的坐标；若不存在，请说明理由。
3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点$P$，使$\triangle PBC$的面积最大。
若存在，求出点$P$的坐标及$\triangle PBC$的面积最大值。
若没有，请说明理由。
考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形6.如图，直线$y=x-3$与$x$轴交于$A$点，交$y$轴于$B$点，过$A$、$B$两点的抛物线交$x$轴于另一点$C$。
⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangleABQ$是等腰三角形？若存在，求出符合条件的$Q$点坐标；若不存在，请说明理由。
7、如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，$OA=1$，$OC=4$，抛物线$y=x^2+bx+c$经过$A$，$B$两点，抛物线的顶点为$D$。
二次函数的应用案例总结
二次函数的应用案例总结二次函数是一种常见的数学函数形式，它的形式为：y = ax^2 + bx + c。
在现实生活中，二次函数可以用于解决各种问题，包括物理、经济、工程等领域。
本文将总结几个常见的二次函数应用案例，以展示二次函数的实际应用。
案例一：物体自由落体的高度模型假设一个物体从高处自由落体，忽略空气阻力，我们可以用二次函数来表示物体的高度与时间之间的关系。
设物体初始高度为H，加速度为g，时间为t。
根据物理定律，物体的高度可以表示为：h(t) = -0.5gt^2 + H。
这个二次函数模型可以帮助我们计算物体在任意时间点的高度，并可以用于预测物体何时落地。
案例二：销售收入和定价策略假设一个公司生产和销售某种产品，销售价格为p（单位：元），销售量为q（单位：件）。
二次函数可以用于建立销售收入与定价策略之间的模型。
设定售价的二次函数为：R(p) = -ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，确定最佳售价，以使得销售收入最大化。
案例三：桥梁设计中的弧线形状在桥梁设计中，常常需要确定桥梁的弧线形状，以使得车辆在桥上行驶时感到平稳。
二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
设桥梁的弧线形状为y = ax^2 + bx，其中x表示桥梁长度的一半，y表示桥梁的高度。
通过调整参数a和b，可以得到不同形状的弧线，以满足设计要求。
案例四：市场需求和价格关系分析在经济学中，二次函数可以用于建立市场需求与价格之间的关系模型。
设市场需求量为D，价格为p。
根据经济理论，市场需求可以表示为：D(p) = ap^2 + bp + c，其中a、b、c为常数。
通过分析二次函数的图像、求解极值等方法，可以研究市场需求和价格之间的关系，得出不同价格下的市场需求量。
综上所述，二次函数在物理、经济、工程等领域中具有广泛的应用。
通过建立二次函数模型，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
二次函数及函数的综合运用.docx
课时19二次函数的应用【课前热身】1. 二次函数y = 2x 2—4x + 5的对称轴方程是心—；当x=_时，y 冇最小值是.2. 有一个抛物线形桥拱，其最人高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系屮（如右图），则此 抛物线的解析式为 ________________ .3. 某公司的生产利润原来是a 元，经过连续两年的增长达到了 y 万元，如果每年增氏的百分数都是x,那么y 与x 的函数关系是（ ）A. y = x 2+aB. y=a （x —1） 2 C. y=a（1 —x ）2D. y=a （1 + x ） 24. 把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD,设宽为x,面积为y.则当y 最人时，x 所取的值是（ ）A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.6【考点链接】1. ______________________________________ 二次函数的解析式：（1）一般式： ； （2）顶点式： _____________________________________（3）交点式： ___________ .2. 顶点式的儿种特殊形式.3.二次函数y = tzx 2+bx + c 通过配方可得y = a （x + —）2 + 4aC ~1^，其抛物线关于直线兀=—对「 2a 4。
称，顶点坐标为（ _______ , ________ ）.（1） _________________________ 当。
＞0时，抛物线开口向 ,冇最 （填“高"或“低”）点，当x= _______ 时，y 有戢 ____ （"大”或“小”）值是 _________ ；（2） _________________________ 当GV0时，抛物线开口向 ,有最 （填“高”或“低”）点，当x= _______ 时，y 有最 ____ （“人”或“小”）值是 ________ .⑴ ____________【典例精析】例1用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm,窗户的透光而积为y nA y与x的两数图象如图2所示.（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光血积最大？⑵当窗户透光面积最人时，窗框的另一边长是多少?图2例2橘了洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池屮央垂肯安装一个柱了0P,柱了顶端P处装上喷头, 由p处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落卜-（如图所示）.若□知0P =3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子0P的距离为1米.（1）求这条抛物线的解析式:（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不至于落在池外?【中考演练】1.（06浙江）二次函数y=分+0 — 5的最小值为_____________ .2.某飞机着陆生滑行的路程S米与时间t秒的关系式为：5 = 60r-1.5r2,试问飞机着陆后滑行米才能停止.3.矩形周长为16cm,它的一边长为xcm,面积为ycm ,则y与x之间函数关系为________ .1 °4.苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落的时间t满足s = -^gt2（g是不为0的常数）则s与t5.（08恩施）将一张边长为30 cm的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x cm的小止方形，然后折叠成一个无盖的长方体•当x収下面哪个数值时，长方体的体积最大（） A. 7 B. 6 C. 5 D. 46•下列甫数关系中，是二次函数的是（）A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x Z间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a Z间的关系D.圆心角为120。
二次函数与二次方程的综合应用
二次函数与二次方程的综合应用二次函数和二次方程都是数学中重要的概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过几个实际问题的例子，来展示二次函数和二次方程的综合应用。
一、二次函数的应用二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
它的图像是一个抛物线，有许多实际问题可以用二次函数来解决。
例1：抛物线的焦点和弦长已知抛物线y = ax^2 + bx + c的焦点为F(h, k)，任意一点P(x, y)在该抛物线上。
求抛物线上的弦长FP的最小值。
解析：首先，我们知道抛物线的对称轴与焦点的横坐标相同，即x = h。
所以，P点的坐标可以表示为(x, ax^2 + bx + c)。
根据两点间距离公式，我们可以求出FP的长度：FP = √[(x - h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2]为了求最小值，我们可以对FP进行微分，并令其导数为0：d(FP)/dx = 0通过求导并化简，得到一个关于x的二次方程，解这个方程可以得到最小值点的横坐标x。
再将x的值带入FP的表达式中，即可求出FP 的最小值。
例2：抛物线的最值问题一辆车以匀加速度行驶，已知车从静止开始行驶10秒后的速度为20m/s，行驶过程中的位移与时间的关系可以用抛物线y = ax^2 + bx + c 来描述。
求车的最大位移和此时的时间。
解析：首先，我们知道速度是位移对时间的导数，即v(x) = dy/dx = 2ax + b。
根据已知条件，当x = 10时，v(x) = 20。
这给出了两个方程：2a(10) + b = 20和a(10^2) + b(10) + c = 0。
解这个二元一次方程组，可以得到a、b的值，进而求得抛物线的函数表达式。
最大位移对应于抛物线的顶点，可以通过求导来解析求得。
最大位移发生的时间是x值，在已知函数表达式中求解即可。
二、二次方程的应用二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。
8.二次函数的综合运用
1.如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y 2 x2 2x与x轴负半轴交于点A，
m 顶点为B，且对称轴与x轴交于点C .
1 求点B的坐标 用含m的代数式表示
2 D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为0，2，求抛物线的解析式； 3 在 2 的条件下，点M 在直线BO上，且使得 AMC的周长最小，P在抛物线上，
Q在直线BC 上，若以A、M 、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.
2.如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y 2 x2 2x与x轴负半轴交于点A，
m 顶点为B，且对称轴与x轴交于点C .
1 求点B的坐标 用含m的代数式表示
2 D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为0，2，求抛物线的解析式； 3 在 2 的条件下，点M 在直线BO上，且使得 AMC的周长最小，P在抛物线上，
2.已知抛物线y x2 bx c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B.
1 如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为3，6，试确定抛物线的解析式； 2 在1 的条件下，若点M 是直线AB下方抛物线上一点，且SABM =3，求点M
的坐标；
2.已知抛物线y x2 bx c的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B.
实际问题与二次函数
教师： 廖延梅
内容提要 一 、解决综合问题的方法 二、 二次函数与一元二次方程综合的问题 三 、二次函数与几何综合的问题 四、 综合能力提升
解决综合问题的方法
1、求下列函数的最大值或最小值： (1) y x2 2x 1
y ( x 1)2 2
(2) y x2 4x y ( x 2)2 4
3 如图2，若点P在第一象限，且PA PO，过点P作PD x轴于点D，将抛物线
暑假作业第十课时 二次函数的应用
暑假作业第十课时二次函数的应用A 例题解析1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是。
3．喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x4．一个容器内盛满纯酒精50kg，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精ykg，设每次倒出的xkg，则y与x之间的函数关系式为。
5．你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m，则学6．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B 以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．7．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？8．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米．（1）求正中间的立柱OC的高度；（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．9．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距8米．（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点？B 课后作业1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是。
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用一、二次函数与几何图形问题例一：（2019 吉林中考）如图，抛物线y=(x-1)²+k与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C(0，-3)。
P为抛物线上一点，横坐标为m，且m>0。
(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时，求ΔABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围!②当h=9时，直接写出ΔBCP的面积.二、二次函数与销售问题例一：（2020 湖北中考）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元且不高于52元，某商户在销售期间发现，当销售单价定价为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元。
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）将纪念品的销售单价定位多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w最大？最大利润是多少元？（3）该商户从每天的利润中提出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的取值范围。
三、二次函数与增长率问题例一：为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进就放改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设。
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4，32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？四、二次函数与行程问题例一：（2019 江西中考）蜗牛A和蜗牛B分别从相距120厘米的甲水坑和乙水坑以相同的速度同时相向而行，相遇后，两只蜗牛继续前进，蜗牛A的速度不变，蜗牛B每分钟比原来多走1厘米，结果蜗牛B到达甲水坑后蜗牛A还需10分钟才能到达乙水坑，求两只蜗牛原来的速度是多少？五、二次函数与动点问题例一：（2019秋惠州期末）如图，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；六、二次函数与阅读理解型问题（新定义题型）例一：（2019 ）在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x，这两个函数对应的函数值记为y1、y2，恒有点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称（此三个点可以重合），由于对称中心（x，x）都在直线y=x上，所以称这两个函数为关于直线y=x的“相依函数”．例如：y=3/4*x和y=5/4*x为关于直线y=x的“相依函数”。
二次函数的应用的综合应用题
二次函数的应用的综合应用题某公司制造商品并销售，该公司的成本和收入可以用二次函数来建模。
已知该公司的成本函数为C(x) = 0.2x^2 + 800x + 10000（其中x表示产量，C(x)表示成本），收入函数为R(x) = -0.3x^2 + 1000x（其中x 表示产量，R(x)表示收入）。
现在我们要针对该模型进行一系列综合应用题的分析和求解。
1. 确定最小产量以确保盈利。
首先，我们需要确定最小产量以确保公司盈利。
公司的盈利可以通过收入减去成本来计算。
盈利函数P(x)可以表示为：P(x) = R(x) - C(x)= (-0.3x^2 + 1000x) - (0.2x^2 + 800x + 10000)= -0.5x^2 + 200x - 10000为了确保公司盈利，盈利函数P(x)需要大于零。
因此，我们可以求解以下不等式来确定最小产量：-0.5x^2 + 200x - 10000 > 0对该不等式进行求解，我们可以得到x的取值范围。
在此范围内，最小的整数值将是确保公司盈利的最小产量。
2. 确定最大产量以达到最大盈利。
要确定最大产量以达到最大盈利，我们需要计算盈利函数P(x)的顶点。
顶点对应于盈利函数的最大值，表示最大的盈利。
盈利函数P(x)是一个二次函数，二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)对于盈利函数P(x)来说，a=-0.5，b=200。
代入上述公式，我们可以计算得到最大盈利对应的产量x。
3. 计算最大盈利。
在确定最大产量之后，我们可以将该产量代入盈利函数P(x)中，计算得到最大盈利的具体金额。
P(x) = -0.5x^2 + 200x - 10000将最大产量代入上述公式，即可得到最大盈利。
4. 讨论产量对盈利的影响。
通过对盈利函数P(x)的分析，我们可以观察到产量x对盈利的影响。
当产量增加时，盈利也随之增加，但增加的幅度可能会递减。
这是因为盈利函数P(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向下的抛物线。
二次函数综合应用
二次函数综合一、知识梳理 1．二次函数如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)．2．二次函数的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线． 由y ＝ax 2(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质： (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=，顶点必在对称轴上；(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小；当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝ab 2-，y 有最小值ab ac 442-；若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜ab 2-，y 随x 的增大而增大；当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a b 2-时，y有最大值ab ac 442-；(3)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的情况：当∆＝b 2－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(2a ac b b ---和)0,24(2aacb b -+-，这两点的距离为||42a ac b -；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)0,2(ab-；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点． 4．抛物线的平移抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定．二、例题分析例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)；(2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，23)； (3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．例3 (1)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；图8－2(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：图8－3①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个例4 若|x －1|≤3，则关于y ＝－x 2＋2x －1的最值说法正确的是( )． A ．最大值是0，无最小值 B ．最小值是－9，最大值是0 C ．无最大值，最小值是－9 D ．无最大值，也无最小值例5 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )A ．47->kB ．47->k 且k ≠0C ．47-≥kD ．47-≥k 且k ≠0例6 两个不同的二次函数y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )．A ．0B ．－1C ．2D ．⋅41例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．图8－5①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________；③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________．例8 如图8－6，二次函数y ＝x mx )14(412++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．图8－6(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)；(2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x9的图象相交于点C ，且∠BAC 的正弦值为53，求这个二次函数的解析式．例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．例10 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)，C (5，0)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F )，最后沿直线运动到点A 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．三、中考压轴题例11如图8－10，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接AC，BC，A，C两点的坐标分别为A(－3，0)，)3,0(C，且当x＝－4和x ＝2时二次函数的值y相等．图8－10(1)求实数a，b，c的值；(2)若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN 沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；(3)在(2)的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．例12如图8－11，二次函数y＝x2＋px＋q(p＜0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴5交于点C(0，－1)，△ABC的面积为4图8－11(1)求该二次函数的解析式；(2)过y轴上的一点M(0，m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC的外接圆有公共点，求m 的取值范围；(3)在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．四、课后作业(一)选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )．A．a＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，b2－4ac＞0C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜02．(2007济南)已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－14所示，则y＝ax－b的图象一定经过( )．图8－14A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．图8－15A．－4＜x＜1B．－3＜x＜1C．x＜－4或x＞1D．x＜－3或x＞14．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．图8－16A．②④B．①④C．②③D．①③5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．根据下表中的二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴( )．A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点7．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )．A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋28．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(－1，3)，(1，1)两点，且它与y轴交点的纵坐标大于0且小于1，则a的取值范围是( )．A．1＜a＜3 B．1≤a≤3C．2≤a＜3 D．1＜a＜29．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．A．4元或6元B．4元C．6元D．8元(二)填空题10．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴方程为______，顶点为______，与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．11．已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是______．12．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则a＋b＋c ＝______．13．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______．14．若抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为______．15．若抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点在x轴上，则b的值为______．(三)解答题16．我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试(1)把上表中x ，y 的各组对应值作为点的坐标，在图8－17中的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y 与x 的函数关系，并求出函数关系式；图8－17(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(3)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能．．超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?17．阅读以下材料：对于三个数a ，b ，c ，用M {a ，b ，c }表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c }表示这三个数中最小的数．例如：,343321}3,2,1{=++-=-M min{－1，2，3}＝－1，min{－1，2，a }⎩⎨⎧->--≤=).1(1)1(a a a解 决下列问题：(1)填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}＝______；如果min ＝{2，2x ＋2，4－2x }＝2，则x 的取值范围为______≤x ≤______．(2)①如果M {2，x ＋1，2x }＝min{2，x ＋1，2x }，那么x ＝______；②根据①，你发现了结论“如果M {a ，b ，c }＝min{a ，b ，c }，那么______”(填a ，b ，c 的大小关系)③运用②的结论，填空：若M {2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }＝min{2x ＋y ＋2，x ＋2y ，2x －y }，则x ＋y ＝______；(3)如图8－18，在同一直线坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)2，y＝2－x的图象．通过观察图象，得出min{x＋1，(x－1)2，2－x}的最大值为______．图8－1818．如图8－19，抛物线y＝x2＋4x与x轴分别相交于点B，O，它的顶点为A，连接AB，把AB所在的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上的一个动点．图8－19(1)求点A的坐标；(2)以点A，B，O，P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标；(3)设以点A，B，O，P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当6≤+S64≤2＋82时，求x的取值范围．19．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．图8－20(1)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的直线x＝<mm与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，求线<5)10(+段MN的长(用含m的代数式表示)；(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．。
【初三数学】九年级暑假 第19讲：二次函数图像性质的应用
九年级暑假数学（学生版）最新教案1/ 20二次函数的应用内容分析二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；（3）二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状，所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；（4）二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状，则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题．当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习．知识结构2/ 20模块一：二次函数与利润最大化知识精讲1、知识点名称求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．例题解析【例1】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________．【难度】★★【答案】【解析】【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示：x 130 150 165y 70 50 35（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数；（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？【难度】★★【答案】【解析】3/ 20【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45．（1）求一次函数y = kx + b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．【难度】★★【答案】【解析】【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x 之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【难度】★★【答案】【解析】4/ 205 / 20【例5】 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ，市场调查发现：单价定于70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程每天还要支出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的形式，指出单价定为多少时日均获利最多，是多少？（3）将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪一种获总利最多，多多少？【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例6】 某商场要经营一种文具，进价为20元，当售价为25元时，每天的销售量为250件，售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）商场提出了A 、B 两种营销方案．方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】6 / 20例题解析ABCDPQ1、 知识点名称求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．【例7】 在半径为4厘米的圆面上，从中挖去一个半径为x 厘米的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y 平方厘米，则y 关于x 的函数关系式为（ ） A ．24y x π=-B ．()22y x π=- C ．()24y x π=-+D ．216y x ππ=-+【难度】★ 【答案】 【解析】【例8】 一长方体的长和宽相等，高比长多0.5米，若长方体的长和宽用x （米）表示，则长方体的表面积S （平方米）关于x 的函数关系式为________________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP AP ⊥，交DC于Q ，设PB = x ，ADQ ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系式为_________________．【难度】★★ 【答案】 【解析】模块二：二次函数与面积问题知识精讲7 / 20ABCDABCDEF G 【例10】 小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）平方厘米A ．4B ．8C ．16D ．32【难度】★★ 【答案】 【解析】【例11】 如图所示，矩形花圃ABCD 的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 40 cm ，BC = 30 cm ，在Rt ABC ∆内部作一个矩形DEFG ，其中点D 和点G 分别在AC 、BC 上，点E 、F 在AB 上．设矩形的一边EF = x cm ，设矩形的面积为y cm 2． （1）写出y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）求当x = 25 cm 时，矩形DEFG 的面积．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】 抛物线的对称轴是直线x = 1，它与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点A 、C 的坐标分别是（1-，0）、（0，32）．（1）求此抛物线对应的函数的解析式；（2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求ABP ∆面积的最大值．【难度】★★ 【答案】 【解析】8 / 20ABC DEFN M GHA BCDNM【例14】 如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE = 1，CF =43，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，设HM = x ，矩形AMHN 的面积为y ． （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？ 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】 如图，矩形ABCD 中，AB = 6厘米，BC = 12厘米．点M 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度向点B 移动，点N 从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．若点M 、N 分别从A 、B 两点同时出发，设移动时间为t （06t <<），DMN ∆的面积为S ．（1）求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最小值； （2）当DMN ∆为直角三角形时，求DMN ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】9 / 20例题解析xyO3 m4 m10 m1、 知识点名称二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题．【例16】 如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面宽AB 为12米，如图建立直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中3 1.7 ）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例17】 有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ，则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时：（1）抛物线的顶点坐标为________，这条抛物线所对应的函数解析式为________________；（2）如图，在对称轴右边3 m 处，桥洞离水面的高度为______ m ．【难度】★★ 【答案】 【解析】模块三：二次函数与拱桥问题知识精讲A BCO xy10 / 20yxO2 m4 m OPABCxy【例18】 某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示：（1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 一条隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OC 为8米，宽OA 为2米，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6米，建立如图所示的坐标系． （1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4米，宽2米，能否从该隧道内通过？请说明理由； （3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？请说明理由．【难度】★★ 【答案】 【解析】11 / 20A BOCDxy【例20】 某工厂要赶制一批蒙古包．如图，蒙古包横截面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成的，矩形长为12 m ，抛物线拱高为5.6 m ． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式；（2）现需在抛物线AOB 的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB 上，每扇窗户宽1.5 m ，高1.6 m ，相邻窗户之间的间距均为0.8 m ，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m ．请计算最多可安装几扇这样的窗户？【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD 的宽是10米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280千米（桥长忽略不计）．货车正以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时后，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时，水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否完全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？【难度】★★★ 【答案】 【解析】OABxy12 m5.6 m12 / 20xyA B CDOPM【例22】 如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米，现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系． （1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； （2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD —DC —CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】13 / 20OA BCxy1、 知识点名称与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题．【例23】 若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为232y t t =+，则t = 5秒时，该物体所经过的路程为________．【难度】★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为21251233y x x =-++（单位：米），其中点A 为出手点，点C 为铅球运行中的最高点，点B 为铅球落地点，求：（1）出手点A 离地面的高度； （2）最高点C 离地面的高度； （3）该运动员的成绩是多少米？【难度】★ 【答案】 【解析】模块四：二次函数与运行轨迹知识精讲例题解析14 / 20O yx【例25】 在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v 0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h （米）与抛出的时间t （秒）满足2012h v t gt =-（其中g 是常数，取g = 10 米/秒2）．若v 0 = 10 米/秒，则该物体在运动过程中，最高点距离地面______米．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 顽皮的小明，从10米高的窗口A 用水枪向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ） A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55y x =-+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米． （1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离是多少米？【难度】★★ 【答案】 【解析】15 / 20xyO12.44 3【例28】 足球比赛中，某足球运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是足球的飞行高度y （m ）关于飞行时间x （s ）的函数图像（不考虑空气的阻力），已知足球飞出1 s 时，足球的飞行高度是2.44 m ，足球从飞出到落地共用3 s ． （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m ？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m （如图2所示，足球的大小忽略不计）．为了能及时将足球扑出，那么足球踢出时，距离球门左门柱12 m 处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左门柱？【难度】★★★ 【答案】 【解析】16 / 20ABC【习题1】军事演习中，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足21104y x x =-+．经过______秒时间炮弹到达它的最高点，最高点的高度是______米，经过______秒时间，炮弹落到地上爆炸（假设地面是平坦的）．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB = 1，分别以AC 、CB 为边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 为AB 的三等分点时，S 最大【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题3】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少？【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测17 / 20A B CDABC Ox2y【习题4】如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的边AB 的长为x ，花圃的面积为S 平方米．（1）请求出S 与x 的函数关系式．（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是48 m 2．若能，求出的x 值；若不能，请说明理由．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】已知一隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为211584y x =-+，一辆卡车高3米，宽4米，该车__________（选填“能”或“不能”）通过隧道．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y （m ）与水平距离x（m ）之间的关系用如图所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求出铅球被推出的距离；（3）若铅球到达的最大高度的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积．【难度】★★ 【答案】 【解析】18 / 20F10 m 20 mABCOxy6 m【习题7】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6 m ，跨度20 m ，相邻两支柱间的距离均为5 m ．（1）将抛物线放在如图的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m 、高3 m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】19/ 20xyA BO【作业1】某商品的进货单价为40元，售价为60元时，能售出100个，如果这种商品涨价1元，其销售量就减少3个，则销售量y与售价x的关系式为___________，利润W与售价x的关系式为____________，x的取值范围为__________．【难度】★【答案】【解析】【作业2】一场足球比赛，一球员在球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，若球门高2.44米，则______（填“能”或“不能”）射中球门．【难度】★★【答案】【解析】【作业3】用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的长为______米，宽为______米．【难度】★★【答案】【解析】【作业4】如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系．求：（1）以这一部分抛物线为图像的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高4米的货车能否通过此隧道？【难度】★★【答案】【解析】课后作业20 / 20xyO球洞【作业5】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）． （1）设一天订出的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】小智参加一次高尔夫球集训，一次练习中，他在某处击球，球的飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）代表球的飞行高度，x （m ）代表球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m ． （1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）求出球飞行的最大水平距离；（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
二次函数实际问题中的综合运用
类型一：二次函数在实际问题中的综合应用在生活实际问题中，常常要解决最大、最小、最省、最合适等最值问题，如果这些问题与二次函数有关，那么一般解题步骤如下：①选择恰当的自变量，列出二次函数的解析式；②把这些实际问题转化为二次函数的最值问题；③对于给定区间上（即x有范围限制）的二次函数，不一定在时取得最值，针对不同的区间给予讨论，讨论的依据还是借助二次函数的图象，根据图像上函数值的大小直观得出最值，或通过配方直接得出。
【典型例题】1、某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？2、某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售量x(千件)的关系为：若在国外销售，平均每件产品的利润y2(元)与国外的销售数量t(千件)的关系为(1)用x的代数式表示t为：t＝________；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2＝________；当________＜x＜________时，y2＝100；(2)求每年该公司销售这种健身产品的总利润w(千元)与国内销售数量x(千件)的函数关系式，并指出x的取值范围；(3)该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？【变式训练】1、科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，数、一次函数和二次函数中的一种．(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果．2、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用x的代数式来表示销售量yx应定为多少元．(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？3、某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新销售量p(件) P＝50－x当1≤x≤20时，；当销售单价q(元/件)21≤x≤40时，(2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式．(3)这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？类型二：二次函数与几何综合的存在问题二次函数与几何综合的形式之一，就是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其构成特殊图形（特殊三角形、特殊平行四边形等），这类问题具有较强的综合性，需要综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化化归思想等加以解决，解决此类问题的一般思路是：先假设结论存在，然后再特定的已知条件下，探索某种图形或数学关系是否存在。
二次函数综合应用 知识归纳+真题解析
二次函数综合应用 知识归纳＋真题解析【知识归纳】一．二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax 2+bx+c(c ≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴的公共点有三种情况： 公共点（即有两个交点）， 公共点， 公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有 个不等实根△=b 2-4ac 0。
⇔(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一2b a -⇔元二次方程ax 2+bx+c=0有 实根， 122b x x a==-⇔(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0 根△⇔=b 2-4ac 0.二．二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.【知识归纳答案】一．二次函数与一元二次方程的关系两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：(1)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个公共点(x 1，0)(x 2，0)，一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不等实根△=b 2-4ac ＞0。
⇔(2)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0) 一元2b a -⇔二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根，122b x x a==-⇔240b ac -=(3)抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴没有公共点，一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根△⇔=b 2-4ac ＜0.二．二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.真题解析一．选择题（共5小题）1．设直线x=1是函数y=ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a＜0）的图象的对称轴，（ ）A．若m＞1，则（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，则（m﹣1）a+b＜0C．若m＜1，则（m﹣1）a+b＞0D．若m＜1，则（m﹣1）a+b＜0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据对称轴，可得b=﹣2a，根据有理数的乘法，可得答案．【解答】解：由对称轴，得b=﹣2a．（m+1）a+b=ma+a﹣2a=（m﹣1）a，当m＞1时，（m﹣1）a＜0，（m﹣1）a+b与0无法判断．当m＜1时，（m﹣1）a＞0，（m﹣1）a+b＞0．故选：C．2．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对下列结论①ab＞0，②abc＞0，③＜1，其中错误的个数是（ ）A．3B．2C．1D．0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线的开口方向，判断a的符号，对称轴在y轴的右侧判断b 的符号，抛物线和y轴的交点坐标判断c的符号，以及抛物线与x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∴ab＜0，故①错误；∵抛物线和y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴＜1，故③正确；故选C．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（ ）A．①②B．②④C．①③D．③④【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】①由抛物线开口向上可得出a＞0，结论①正确；②由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴可得出c＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由抛物线的对称轴在y轴右侧，可得出﹣＞0，结论④错误．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，结论①正确；②∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，结论④错误．故选C．4．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y=x2（x≥0）和抛物线C2：y=（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（ ）A．B．C．D．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】可以设A、B横坐标为a，易求得点E、F、D的坐标，即可求得OE、CE、AD、BF的长度，即可解题．【解答】解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线y=x2上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为a2，∵点D是抛物线y=上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=a，CE=a2，OE=a2，∴则==×=，故选D．5．如图，将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）A．B．C．D．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A 作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，∴A（1，1），B（4，3），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=9，∴AA′=3，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+4．故选D．二．填空题（共5小题）6．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，因此，min{﹣，﹣}= ﹣ ；若min{（x﹣1）2，x2}=1，则x= 2或﹣1 ．【考点】H3：二次函数的性质；2A：实数大小比较．【分析】首先理解题意，进而可得min{﹣，﹣ }=﹣，min{（x﹣1）2，x2}=1时再分情况讨论，当x=0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．【解答】解：min{﹣，﹣ }=﹣，∵min{（x﹣1）2，x2}=1，当x=0.5时，x2=（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2=1，x﹣1=±1，x﹣1=1，x﹣1=﹣1，解得：x1=2，x2=0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2=1，解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=﹣1，故答案为：；2或﹣1．7．若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则a的值可能是 ﹣1 ．（写一个即可）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次项系数小于0，二次函数图象开口向下解答．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，∴a＜0，∴a的值可能是﹣1，故答案为：﹣1．8．已知抛物线：y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），B（2，4）两点，顶点坐标为（m，n），有下列结论：①b＜1；②c＜2；③0＜m＜；④n≤1．则所有正确结论的序号是 ①②④ ．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出b=﹣a+1、c=﹣2a+2，结合a＞0，可得出b＜1、c＜2，即结论①②正确；由抛物线顶点的横坐标m=﹣，可得出m=﹣，即m＜，结论③不正确；由抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），可得出n≤1，结论④正确．综上即可得出结论．【解答】解：∵抛物线过点A（﹣1，1），B（2，4），∴，∴b=﹣a+1，c=﹣2a+2．∵a＞0，∴b＜1，c＜2，∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为（m，n），∴m=﹣=﹣=﹣，∴m＜，结论③不正确；∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，1），顶点坐标为（m，n），∴n≤1，结论④正确．综上所述：正确的结论有①②④．故答案为：①②④．9．已知正方形ABCD中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是 2≤m≤8 ．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据向下平移横坐标不变，分别代入B的横坐标和D的横坐标求得对应的函数值，即可求得m的取值范围．【解答】解：设平移后的解析式为y=y=（x+1）2﹣m，将B点坐标代入，得4﹣m=2，解得m=2，将D点坐标代入，得9﹣m=1，解得m=8，y=（x+1）2向下平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是2≤m≤8，故答案为：2≤m≤8．10．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是 ②⑤ ．（只填写序号）【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，所以②⑤正确，故答案为②⑤．三．解答题（共7小题）11．设a、b是任意两个实数，用max{a，b}表示a、b两数中较大者，例如：max{﹣1，﹣1}=﹣1，max{1，2}=2，max{4，3}=4，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5，2}= 5 ，max{0，3}= 3 ；（2）若max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，求x的取值范围；（3）求函数y=x2﹣2x﹣4与y=﹣x+2的图象的交点坐标，函数y=x2﹣2x﹣4的图象如图所示，请你在图中作出函数y=﹣x+2的图象，并根据图象直接写出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；F3：一次函数的图象；F5：一次函数的性质；H2：二次函数的图象．【分析】（1）根据max{a，b}表示a、b两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}的最小值．【解答】解：（1）max{5，2}=5，max{0，3}=3．故答案为：5；3．（2）∵max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，∴3x+1≤﹣x+1，解得：x≤0．（3）联立两函数解析式成方程组，，解得：，，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．画出直线y=﹣x+2，如图所示，观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．（2）当y=0时（x+a）（x﹣a﹣1）=0，解得x1=﹣a，x2=a+1，y1的图象与x轴的交点是（﹣a，0），（a+1，0），当y2=ax+b经过（﹣a，0）时，﹣a2+b=0，即b=a2；当y2=ax+b经过（a+1，0）时，a2+a+b=0，即b=﹣a2﹣a；（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而增大，（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，由m＜n，得0＜x0≤；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得＜x0＜1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围0＜x0＜1．13．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP=4S△COE，求P点坐标．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x 轴的交点．【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c 的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【解答】解：（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3），∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=×1×3=，S△ABP=×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．14．如图，△AOB的顶点A、B分别在x轴，y轴上，∠BAO=45°，且△AOB的面积为8．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）过点A、B的抛物线G与x轴的另一个交点为点C．①若△ABC是以BC为腰的等腰三角形，求此时抛物线的解析式；②将抛物线G向下平移4个单位后，恰好与直线AB只有一个交点N，求点N 的坐标．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）首先证明OA=OB，利用三角形的面积公式，列出方程即可求出OA、OB，由此即可解决问题；（2）①首先确定A、B、C的坐标，再利用的待定系数法即可解决问题；②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，可得抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，可得16m2+16m=0，求出m的值即可解决问题．【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵∠BAO=45°，∴AO=BO，∴•OA•OB=8，∴OA=OB=4，∴A（4，0），B（0，4）．（2）①由题意抛物线经过C（﹣4，0），B（0，4），A（4，0），顶点为B（0，4），时抛物线解析式为y=ax2+4，（4，0）代入得到a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．②抛物线G向下平移4个单位后，经过原点（0，0）和（4，﹣4），设抛物线的解析式为y=mx2+nx，把（4，﹣4）代入得到n=﹣1﹣4m，∴抛物线的解析式为y=mx2+（﹣1﹣4m）2x，由，消去y得到mx2﹣4mx﹣4=0，由题意△=0，∴16m2+16m=0，∵m≠0，∴m=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x，由，解得，∴N（2，2）．15．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H6：二次函数图象与几何变换．【分析】（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题；【解答】解：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为x=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；16．湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【考点】HE：二次函数的应用．当50＜t≤100时，设y与t的函数解析式为y=k2t+n2，将点（50，25）、代入，得：，解得：，∴y与t的函数解析式为y=﹣t+30；②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（t+15）﹣=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；当50＜t≤100时，W=（﹣t+30）﹣=﹣10t2+1100t+150000=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．17．我市雷雷服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况，进行了为期30天的跟踪调查，其中实体商店的日销售量y1（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示，网上商店的日销售量y2（百件）与时间t（t为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．0510********时间t（天）025*********日销售量y1（百件）（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与t的变化规律，并求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（2）求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y（百件），求y与t的函数关系式；当t为何值时，日销售总量y达到最大，并求出此时的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入即可得到结论；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，求得y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t ≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得到y2与t的函数关系式为：y2=k+30，（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，得到y最大=80；当10＜t≤30时，得到y最大=91.2，于是得到结论．【解答】解（1）根据观察可设y1=at2+bt+c，将（0，0），（5，25），（10，40）代入得：，解得，∴y1与t的函数关系式为：y1=﹣t2+6t（0≤t≤30，且为整数）；（2）当0≤t≤10时，设y2=kt，∵（10，40）在其图象上，∴10k=40，∴k=4，∴y2与t的函数关系式为：y2=4t，当10≤t≤30时，设y2=mt+n，将（10，40），（30，60）代入得，解得，∴y2与t的函数关系式为：y2=k+30，综上所述，y2=；（3）依题意得y=y1+y2，当0≤t≤10时，y=﹣t2+6t+4t=﹣t2+10t=﹣（t﹣25）2+125，∴t=10时，y最大=80；当10＜t≤30时，y=﹣t2+6t+t+30=﹣t2+7t+30=﹣（t﹣）2+，∵t为整数，∴t=17或18时，y最大=91.2，∵91.2＞80，∴当t=17或18时，y最大=91.2（百件）．。
专题08 二次函数的应用(解析版)
数学八年级下暑假预习专题训练专题八二次函数的应用（解析版）【专题导航】目录【考点一二次函数的最值】 (1)【考点二根据实际问题列二次函数关系式】 (8)【考点三二次函数的实际应用】 (13)【聚焦考点1】二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．【典例剖析1】【典例1-1】已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．【分析】（1）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据m+n＝0，可以解答本题；（2）根据题意可以用用含a，b的代数式表示m、n，然后根据mn＝2，记M为m，n中的最大者，可以求得M的最小值．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，∴y1+y2≥m+n，∵m+n＝0，∴y1+y2≥0；（2））∵y 1＝ax 2+4x +b ＝a （x +）2+，∴m ＝，∵y 2＝bx 2+4x +a ＝b （x +）2+，∴n ＝，∵mn ＝2，m ，n 均大于0，∴•＝2，解得，ab ＝2（舍去）或ab ＝8，∴，∴m ＝，n ＝，∵M 为m ，n 中的最大者，∴当0＜a ＜2时，M ＝＞，当a ＝2时，M ＝，当a ＞2时，M ＝由上可得，M 的最小值是．【点评】本题考查二次函数的最值，解题的关键是明确题意，可以将函数的一般式化为顶点式，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答问题．【典例1-2】如图，在矩形ABCD 中，BC ＝6cm ，AB ＝4cm ，S 是AD 中点，点E 以每秒2cm 的速度从点B 出发沿折线BS ﹣SD ﹣DC 匀速运动，同时点F 以每秒1cm 的速度从点C 出发沿CB 运动．设点E 、F 出发t 秒（0＜t ＜6）时，△EBF 的面积为ycm 2．（1）求y 与t 的函数关系式；（2）当t 为何值时，y 取得最大值，并求出此最大值．【分析】（1）分点E在BS上、点E在SD上和点E在DC上讨论解答即可；（2）根据（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）点E在BS上（当0＜t≤2.5时），，点E在SD上（当2.5≤t≤4时），y＝12﹣2t；点E在DC上（当4≤t≤6时），y＝t2﹣12t+36；（2）当0＜t≤2.5时，，对称轴t＝3，y随x的增大而增大，∴t＝2.5，y的最大值为7；当2.5≤t≤4时，y＝12﹣2t，是减函数，∴t＝2.5时，y有最大值为7；当4≤t≤6时，y＝t2﹣12t+36，对称轴为t＝6，y随x的增大而减小，∴t＝4，y有最大值为4．综上所述，t＝2.5时，y有最大值为7．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．针对训练1【变式1-1】当k分别取﹣1，1，2时，函数y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．【分析】当k分别取﹣1，1，2时，函数y＝（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．【解答】解：k可取值﹣1，1，2（1）当k＝1时，函数为y＝﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k＝2时，函数为y＝x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k＝﹣1时，函数为y＝﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y＝﹣2x2﹣4x+6＝﹣2（x+1）2+8，则当x＝﹣1时，函数有最大值为8．【点评】本题考查了二次函数的最值．需要根据k的不同取值进行分类讨论，这是容易失分的地方．【变式1-2】如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E，F分别为边BC，CD上的点，且CE＝CF．（1）设CF＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；（2）当x为多少时△AEF面积能够取得最大值，最大值是多少？【分析】（1）根据正方形性质得出BC＝DC，再根据△AEF的面积＝正方形面积﹣△ABE的面积﹣△ADF 的面积﹣△CEF的面积，列出关系式整理即可；（2）根据二次函数的性质及一般式的顶点坐标求出△AEF面积最大值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∵CE＝CF＝x，∴BE＝DF＝8﹣x，∴y＝64﹣（8﹣x）×2﹣x2＝﹣x2+8x（0＜x≤8）；（2）y＝﹣x2+8x（0＜x≤8），∵a＝﹣＜0，∴x＝8时，y有最大值，最大值是32，∴x为8时△AEF面积能够取得最大值，最大值是32．【点评】本题考查了二次函数的最值、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握这三个知识点的综合应用，其中求出y关于x的函数解析式是解题关键．【能力提升1】【提升1-1】定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它们的相关函数为y＝．（1）已知点A（﹣5，8）在一次函数y＝ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣．①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值和最小值．【分析】（1）写出y＝ax﹣3的相关函数，代入计算；（2）①写出二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数，代入计算；②根据二次根式的最大值和最小值的求法解答．【解答】解：（1）y＝ax﹣3的相关函数y＝，将A（﹣5，8）代入y＝﹣ax+3得：5a+3＝8，解得a＝1；（2）二次函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数为y＝，①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x+得m2﹣4m+＝，解得：m＝2+（舍去），或m＝2﹣，当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x﹣得：﹣m2+4m﹣＝，解得：m＝2+或m＝2﹣．综上所述：m＝2﹣或m＝2+或m＝2﹣；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x+，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小，∴此时y的最大值为，当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣，抛物线的对称轴为x＝2，当x＝0有最小值，最小值为﹣，当x＝2时，有最大值，最大值y＝，综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x﹣的相关函数的最大值为，最小值为﹣．【点评】本题考查的是互为相关函数的定义，掌握二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．【提升1-2】如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值．【分析】设DN＝x，BM＝y，将△DNA绕点A顺时针旋转90°至△ABF，证明△ANM≌△AFM（SSS），△DAN≌△EAN（AAS），在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，从而得出xy+x+y﹣1＝0，，将②③代入①并整理可得④，解不等式即可求得S的最小值．再用x和y表示的S△ANM【解答】解：设DN＝x，BM＝y，＝NC+CM+NM＝2，∴NC＝1﹣x，MC＝1﹣y，C△NCM∴NM＝x+y．将△DNA绕点A顺时针旋转90°至△ABF，则NM＝MF，AM＝MA，AN＝AF，∴△ANM≌△AFM（SSS）．∴∠NAM＝45°，∠DNA＝∠AFB＝∠ANE．过点A作AE⊥NM，垂足为E，∵∠AEN＝∠D，∠DNA＝∠ANE，AN为公共边，∴△DAN≌△EAN（AAS），∴AE＝AD＝1，∵在Rt△CNM中，由勾股定理得：CN2+CM2＝NM2，∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，∴化简得：xy+x+y﹣1＝0，①＝（x+y）②．∴S△ANM∵（x﹣y）2≥0，∴（x+y）2≥4xy，∴xy≤，③∴将②③代入①并整理可得S2+2S﹣1≥0，④∴（S+1）2≥2．∵S＞0，∴S≥﹣1，∴△MAN的面积的最小值为﹣1．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、二次函数与不等式的运算等知识点，熟练掌握相关性质及定理并综合运用是解题的关键．【提升1-3】某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，在此价格基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售y（件）与价格x（元/件）满足关系y＝kx+b．（1）确定k，b的值；（2）为了使每月获得利润为1920元，问商品价格应是每件多少元？1920元是最大利润吗？【分析】（1）可根据题意用待定系数法，求出k，b的值．（2）利润＝单件的利润×销售的数量．然后根据函数的性质来求出利润最大的方案．【解答】解：（1）由题意可知：，解得：k＝﹣30，b＝960．（2）由（1）可知：y与x的函数关系应该是y＝﹣30x+960设利润为W，由题意可得W＝（x﹣16）（﹣30x+960）＝﹣30x2+1440x﹣15360．∵﹣30＜0，＝1920∴当x＝﹣＝24时利润最大，W最大答：当定价为24元时利润最大，最大的利润为1920元．【点评】考查了二次函数的最值，此类应用题常出现于销售、收费、行程等实际问题当中，利用函数求最值时，主要应用函数的性质．【聚焦考点2】根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．【典例剖析2】【典例2-1】有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．求这条抛物线的解析式．【分析】根据图象可以得到抛物线的顶点坐标和过x轴上的点（10，0），从而可以设出抛物线的顶点式，进而求得抛物线的解析式．【解答】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为（5，4），过点（10，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣5）2+4，则0＝a（10﹣5）2+4，解得，a＝﹣，即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，设出抛物线的解析式，利用数形结合的思想解答问题．【典例2-2】某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为≥550个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550进而得出答案；（2）前100件单价为P，当进货件数大于等于550件时，P＝51，则当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62﹣得到P为分段函数，写出解析式即可；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，表示出L与x的函数关系式，然后令x ＝500，1000即可得到对应的利润．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x个，则x＝100+＝550，根据实际出厂单价不能低于51元，因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．故答案为：≥550；（2）当0＜x≤100时，P＝60当100＜x＜550时，P＝60﹣0.02（x﹣100）＝62﹣当x≥550时，P＝51所以P＝；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝（P﹣40）x＝，当x＝500时，L＝22×500﹣＝6000（元）；当x＝1000时，L＝11×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．针对训练2【变式2-1】为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【分析】根据矩形的面积公式列出关于二次函数解析式；根据墙长、x、y所表示的实际意义来确定x的取值范围．【解答】解：由题意得：y＝x×＝﹣x2+20x，自变量x的取值范围是0＜x≤25．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，注意在求自变量x的取值范围时，要根据函数中自变量所表示的实际意义来确定．【变式2-2】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．（1）求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若墙的最大可用长度为9米，求此时自变量x的取值范围．【分析】（1）花圃的面积＝AB×（篱笆长﹣3AB），根据边长为正数可得自变量的取值范围；（2）结合（1）及AD不大于9可得自变量的公共取值．【解答】解：（1）S＝BC×AB＝（24﹣3x）x＝﹣3x2+24x由题意得：0＜x＜8（2）∵24﹣3x≤9∴x≥5结合（1）得，5≤x＜8．【点评】考查一次函数的应用；得到AD边长的关系式是解决本题的突破点；得到自变量的取值是解决本题的易错点．【能力提升2】【提升2-1】如图1，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25m，喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1m处达到距地面最大高度2.25m，试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线水流对应的二次函数关系式．学生小龙在解答图1所示的问题时，具体解答如下：①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；②设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；③根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（﹣1，1）；④代入y＝ax2得﹣1＝a•1，所以a＝﹣1；⑤所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝﹣x2．数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的”．（1）请指出小龙的解答从第③步开始出现错误，错误的原因是什么？（2）请你写出完整的正确解答过程．【分析】（1）第③步开始出现错误，B点坐标错误；（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，通过最高点和B点的坐标求得函数关系式．【解答】解：（1）第③步开始出现错误，B点坐标错误；（2）以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图2所示的平面直角坐标系；设抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝ax2；根据题意可得B点与x轴的距离为1m，故B点的坐标为（﹣1，﹣1）；代入y＝ax2得﹣1＝a•（﹣1）2，所以a＝﹣1；所以抛物线水流对应的二次函数关系式为y＝﹣x2．【点评】本题考查了同学们根据函数图象求函数关系式的能力．【提升2-2】在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子．镜子的长与宽的比是2：1．已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元．设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是x米．（1）求y与x之间的关系式．（2）如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽．【分析】（1）依题意可得总费用＝镜面玻璃费用+边框的费用+加工费用，可得y＝6x×30+45+2x2×120化简即可．（2）根据共花了195元，即玻璃的费用+边框的费用+加工费＝195元，即可列出方程求解．【解答】解：（1）y＝（2x+2x+x+x）×30+45+2x2×120＝240x2+180x+45；（2）由题意可列方程为240x2+180x+45＝195，整理得8x2+6x﹣5＝0，即（2x﹣1）（4x+5）＝0，解得x1＝0.5，x2＝﹣1.25（舍去）∴x＝0.5，∴2x＝1，答：镜子的长和宽分别是1m和0.5m．【点评】本题是一道一元二次方程的应用题，解这类题关键是理解题意，建立恰当的关系式予以求解．【聚焦考点3】二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【典例剖析3】【典例3-1】某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）解方程组即可得到结论；（2）分两种情况求出函数最值，然后比较得出结论即可．【解答】解：（1）由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+920；综上所述，y＝；（2）设每天的销售利润为w元，当10＜x≤14时w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，∵k＝640＞0，∴w随着x的增大而增大，∴当x＝14时，w＝4×640＝2560元；当14＜x≤30时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，∵﹣20＜0，14＜x≤30，∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6480，∵2560＜6480，∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6480元．【点评】本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．【典例3-2】某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【分析】（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合题意的解，即可得x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，根据墙的长度为10，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质即得当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【解答】解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2，答：此时x的值为2；（2）设矩形养殖场的总面积是ym2，∵墙的长度为10m，∴0＜x≤，根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点评】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程及函数关系式．【典例3-3】如图1的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A 与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2的平面直角坐标系．（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案．（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可．（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，延长BA交x轴于点E，则Q（t，t），用含t的式子表示出PQ关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入，得400a+10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2+10．即y＝﹣x2+x．（2）石块能飞越防御墙AB，理由如下：把x＝30代入y＝﹣x2+x，得y＝﹣×900+30＝7.5，∵7.5＞3+3，∴石块能飞越防御墙AB．（3）设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直线OA的解析式为y＝x．如图：设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，交x轴于点D，则Q（t，t），∴PQ＝﹣t2+t﹣t，＝﹣t2+t＝﹣（t﹣18）2+8.1．∵二次项系数为负，∴图象开口向下，PQ有最大值∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．针对训练3【变式3-1】某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120，∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＜0时，w随x的增大而增大，∵20≤x≤38，∴当x＝38时，w有最大值，最大值为792，∴售价定为38元/件时，每天最大利润为792元．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式．【变式3-2】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长22米，设苗圃ABCD的一边CD长为x米．（1）苗圃ABCD的另一边BC长为（24﹣3x）米（用含x的代数式表示）；（2）若苗圃ABCD的面积为45m2，求x的值；（3）当x为何值时，苗圃ABCD的面积最大，最大面积为多少平方米？【分析】（1）根据木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，即得BC 长为（24﹣3x）米；（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，即可解得x的值；（3）w＝x•（24﹣3x）＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函数性质可得答案．【解答】解：（1）∵木栏总长22米，两处各留1米宽的门，设苗圃ABCD的一边CD长为x米，∴BC长为22﹣3x+2＝24﹣3x，故答案为：（24﹣3x）；（2）根据题意得：x•（24﹣3x）＝45，解得x＝3或x＝5，∵x＝3时，24﹣3x＝15＞14，∴x＝3舍去，∴x的值为5；（3）设苗圃ABCD的面积为w，则w＝x•（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴x＝4时，w最大为48，答：当x为4米时，苗圃ABCD的最大面积为48平方米．【点评】本题考查二次函数的应用，解题得关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．【变式3-3】图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？（结果保留根号）【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图：由一直可得抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式为y＝ax2+2，将A（﹣2，0）代入得：0＝4a+2，解得：a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，∴水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了（2﹣4）米，答：水面宽度增加（2﹣4）米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【能力提升3】【提升3-1】神韵随州，一见钟情．为迎接全市文旅产业发展大会，某景区研发一款纪念品，每件成本30元，投放景区内进行销售，销售一段时间发现，每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分图象如图．（1）直接写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当销售单价为多少元时，每天的获利最大？最大利润是多少？（3）“文旅大会”结束后，物价部门规定该纪念品销售单价不能超过m元，在日销售量y（件）与销售单价x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，若要求该纪念品的日销售最大利润是1200元，求m的值．【分析】（1）根据图中的数据，利用待定系数法得关系式．（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求出最值．（3）将1200元代入新函数，先求解x的值，再根据最大利润为1250元进行检验即可得到的m．【解答】解：（1）设解析式为y＝kx+b，根据图象可知，点（30，100）、（50，60）在y＝kx+b上∴，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+160；（2）设每天获利w元，根据题意得w＝（x﹣30）⋅（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，∴当x＝55时，w取最大值为1250，答：当销售单价55元/件时，每天获利最大，最大利润为1250元．（3）由（2）知，当w最大＝1200时，﹣2（x﹣55）2+1250＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∴m的值为50即m＝50．【点评】本题考查的是一次函数和二次函数的综合问题，正确找出题目中的等量关系是解决问题的关键．【提升3-2】振华公司对其办公楼大厅一块6×6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形EFGH，用材料乙装修）．两种材料的成本如下：材料甲乙单价（元/米2）800600设矩形的较短边AM的长为x米，装修材料的总费用为y元．（1）求y与x之间的关系式；（2）当中心区域的边长EF不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由．【分析】（1）根据图形边长即可表示出MN的长；根据正方形和长方形的面积乘以每平方米的单价即可写出函数解析式；（2）根据题意确定x的取值范围，根据函数的增减性即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，得AD＝AB＝6，AM＝MN＝x，四周阴影部分是八个全等的矩形，∴EF＝6﹣4x．y＝800×8x（6﹣2x）+600（6﹣4x）2＝﹣3200x2+9600x+21600．答：y关于x的函数解析式为y＝﹣3200x2+9600x+21600．（2）∵MN不小于2，∴6﹣4x≥2，∴0＜x≤1．y＝﹣3200x2+9600x+21600，＝﹣3200（x﹣）2+28800，∵﹣3200＜0，图象开口向下．当y＝28000时，即﹣3200（x﹣）2+28800＝28000，解得x1＝2，x2＝1．根据图象可知：0≤x≤1时，y的最大值不超过28000．答：预备材料的购买资金28000元够用．【点评】本题考查了二次函数的应用，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确。
2023暑假初三A第9讲二次函数与实际问题
4
4
E．
（1）求直线 BC 的解析式．
y
C E N
AM O
Bx
例2
（2）若点 M 在线段 AB 上以每秒1个单位长度的速度从 A 向 B 运动 （不与 A ， B 重合），同时，点 N 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长 度的速度从 B 向 C 运动．设运动时间为 t 秒，请写出 MNB 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求出点 M 运动多少时间时， MNB 的面积 最大，最大面积是多少？
y
AO B
x
C
附加题
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4，0) ， B(0， 4) ， C(2，0) 三点． （1）求抛物线的解析式；
附加题
（2）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y x 上的动点， 判断有几个位置能够使得点 P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为 平行四边形，请求出相应的点 Q 的坐标．
例7
如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20m ，水位上升 3m 就达到警戒线 CD ，这时水面宽度为10m ． （2）若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开 始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
附加题
如图，直线 y x 1与抛物线 y＝ax2＋bx－4 都经过点 A(-1，0) 、 C(3， 4) ． （1）求抛物线的解析式；
y
AO P
E
Bx C
附加题
（2）动点 P 在线段 AC 上，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 E，求线段 PE 长度的最大值；
y
AO P
E
Bx C
附加题
（3）当线段 PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点 Q， 使 PCQ 是以 PC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出 Q 点的坐
二次函数综合应用题(有答案)
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
（一般式化为定点式）最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890， 当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
二次函数综合应用-学生版
⼆次函数综合应⽤-学⽣版⼆次函数⼀、⼆次函数的概念⼀般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做⼆次函数．⼆、⼆次函数解析式的三种形式（1）⼀般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是⼆次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、⼆次函数的图象及性质1．⼆次函数的图象与性质开⼝向上开⼝向下2.四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移⽅法如下：3．注意⼆次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；⼆次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系1．⼆次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了⼀元⼆次⽅程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0?⽅程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0?⽅程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有⼀个交点；（3）b2–4ac<0?⽅程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、⼆次函数的综合1、函数存在性问题解决⼆次函数存在点问题，⼀般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后⽤该点的坐标表⽰出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题⼲中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两⼤类：⼀是动点函数图象问题；⼆是与动点、存在点、相似等有关的⼆次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进⽽确定函数图象；解答⼆次函数综合题，要把⼤题拆分，做到⼤题⼩做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决⼆次函数动点问题，⾸先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表⽰出与动点有关的线段长度，最后结合题⼲中与动点有关的条件进⾏计算．命题点⼆次函数综合探究1.（2019年徐州中考第17题3分）已知⼆次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．2.（2019年淮安中考第26题12分）如图，已知⼆次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为（5，0），点D的坐标为（1，3）．（1）求该⼆次函数的表达式.（2）点E是线段BD上的⼀点，过点E作x轴的垂线，垂⾜为F，且ED＝EF，求点E的坐标．（3）试问在该⼆次函数图象上是否存在点G，使得△ADG的⾯积是△BDG的⾯积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2019年泰州中考第22题10分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy中，⼆次函数图象的顶点坐标为（4，﹣3），该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．（1）求该⼆次函数的表达式；（2）求tan∠ABC．4.（2019年南通中考第26题10分）已知：⼆次函数．（1）请写出该⼆次函数图像的三条性质；（2）在同⼀直⾓坐标系中，若该⼆次函数的图像在的部分与⼀次函数的图像有两个交点，求a的取值范围．5.（2019年苏州中考第28题10分）如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知ABC ?的⾯积为6. （1）求a 的值；（2）求ABC ?外接圆圆⼼的坐标；（3）如图②，P 是抛物线上⼀点，点Q 为射线CA 上⼀点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ?的⾯积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.（图①）（图②）6.（2019年⽆锡中考第27题10分）已知⼆次函数(a ＞0)的图像与x 轴交于A 、B两点，（A 在B 左侧，且OA ＜OB ），与y 轴交于点C 、D 为顶点，直线AC 交对称轴于点E ，直线BE 交y 轴于点F ，AC ：CE ＝2：1．（1）求C 点坐标，并判断b 的正负性；（2）设这个⼆次函数的图像的对称轴与直线AC 交于点D ，已知DC ：CA ＝1：2，直线BD 与y 轴交于点E ，连接BC ．①若△BCE 的⾯积为8，求⼆次函数的解析式；②若△BCD 为锐⾓三⾓形，请直接写出OA 的取值范围．xy BCAOxy B CAOQP7.（2019年连云港中考第26题12分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，抛物线L 1：过点C(0，﹣3)，与抛物线L 2：的⼀个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q 分别是抛物线L 1、抛物线L 2上的动点．（1）求抛物线L 1对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平⾏四边形，求出点P 的坐标；（3）设点R 为抛物线L 1上另⼀个动点，且CA 平分∠PCR ，若OQ ∥PR ，求出点Q 的坐标．xy OxyO8.（2019年宿迁中考第28题12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满⾜∠P AB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下⽅抛物线上任意⼀点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．9.（2019年盐城中考第27题14分）如图所⽰，⼆次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与⼀次函数y＝kx ﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k ＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三⾓形，求k的值；（3）⼆次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．10.（2019年镇江中考第27题10分）如图，⼆次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，⼀次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上⼀点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每⼀个确定的n的值，有且只有⼀个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围．11.（2019年常州中考第27题10分）如图，⼆次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第⼀象限，过点P作PH⊥x轴，垂⾜为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标⼩于3，过点P作PQ⊥BD，垂⾜为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB ＝2S△QRB，求点P的坐标．苏州市5年中考真题⾼频考点⼆次函数综合探究1.（2019年苏州中考第28题10分）如图①，抛物线2(1)=-++-与x轴交于A、B两点（点y x a x aA位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知ABC的⾯积为6.（1）求a的值；（2）求ABC外接圆圆⼼的坐标；（3）如图②，P是抛物线上⼀点，点Q为射线CA上⼀点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ?的⾯积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.（图①）（图②）2.（2018年苏州中考第25题8分）如图，已知抛物线24y x =-与x 轴交于点A ，B (点A 位于点B 的左侧)，C 为顶点.直线y x m =+经过点A ，与y 轴交于点D . (1)求线段AD 的长; (2)平移该抛物线得到⼀条新抛物线，设新抛物线的顶点为'C .若新抛物线经过点D ，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线'CC 平⾏于直线AD ，求新抛物线对应的函数表达式.3.（2017年苏州中考第28题10分）如图，⼆次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，C OB =O ．点D 在函数图像上，CD//x 轴，且CD 2=，直线l 是抛物线的对称轴，E 是抛物线的顶点．（1）求b 、c 的值；（2）如图①，连接BE ，线段C O 上的点F 关于直线l 的对称点F '恰好在线段BE 上，求点F 的坐标；（3）如图②，动点P 在线段OB 上，过点P 作x 轴的垂线分别与C B 交于点M ，与抛物线交于点N ．试问：抛物线上是否存在点Q ，使得Q ?P N 与?APM 的⾯积相等，且线段Q N 的长度最⼩？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，说明理由．4.（2016年苏州中考第28题10分）如图，直线:33l y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线224(0)y ax ax a a =-++<经过点B ． (1)求该地物线的函数表达式；(2)已知点M 是抛物线上的⼀个动点，并且点M 在第⼀象限内，连接AM 、BM ．设点M 的横坐标为m ，△ABM 的⾯积为S ．求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最⼤值； (3)在(2)的条件下，当S 取得最⼤值时，动点M 相应的位置记为点M '. ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针⽅向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停⽌旋转．在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ．设点B 、M '到直线l '的距离分别为1d 、2d ，当12d d +最⼤时，求直线l '旋转的⾓度（即∠BAC 的度数）．5.（2015年苏州中考第27题10分）如图，已知⼆次函数()21y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接P A 、PC ，P A =PC ．（1）∠ABC 的度数为°；（2）求P 点坐标（⽤含m 的代数式表⽰）；（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三⾓形与△P AC 相似，且线段PQ 的长度最⼩？如果存在，求出所有满⾜条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．年⽉⽇1.（2019年苏州⼯业园区⼀模第26题10分）如图，已知抛物线232333y x x =-与x 轴相交于O 、A 两点，B 为顶点，点C 是第⼆象限内抛物线上⼀点，且120AOC ∠=? .(1)求点C 的坐标;(2)向下平移该抛物线得到⼀条新抛物线，设新抛物线与x 轴相交于点'O 、'A (点'A 在点'O 的右侧).问:是否存在以点'A 、A 、B 为顶点且与OBC ?相似的三⾓形?若存在，求出新抛物线对应的函数表达式;若不存在，请说明理由.yxOPCBAl2.（2019年苏州景范中学⼆模第28题10分）已知抛物线经过点A（-1，0）、点B（3，0）、点C （0，3），点D为抛物线在第⼀象限内图像上⼀动点，连接AD，交y轴于点E，将点C关于线段AC．AD作轴对称，对称点为'C，连接'（1）求抛物线的解析式；（2）如图1如果点'C落在x轴，求点E坐标；（3）如图2，连接AC、BC，BC与AD交于点F，拖动点D，点'C落在第四象限，作FG∥AC，交AC于点G，若∠AGF=90°，求点M的横坐标．x轴于点M，交'3.（2019年苏州市区⼀模第28题10分）如图，在平⾯直⾓坐标系中，⼀次函数3y x =-的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 关于x 轴的对称点是C ，⼆次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 和点C . (1)求⼆次函数的表达式;(2)如图1，平移线段AC ，点A 的对应点D 落在⼆次函数在第四象限的图像上，点C 的对应点E 落在直线AB 上，求此时点D 的坐标;图1图2(3)如图2，在(2)的条件下，连接CD ，交CD 轴于点M ，点P 为直线AC 上⽅抛物线上⼀动点，过点P 作PF AC ⊥，垂⾜为点F ，连接PC ，是否存在点P ，使得以点,,P C F 为顶点的三⾓形与COM ?相似?若存在，求点P 的横坐标:若不存在，请说明理由.4.（2019年苏州昆⼭⼀模第28题10分）如图，抛物线23(0)y ax ax c a =-+≠与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，其中A （－1，0），C （0，3）. (1) 求抛物线的解析式(2) 点P 是线段BC 上⽅抛物线上⼀动点（不与B ，C 重合），过点P 作PD ⊥x 轴，垂⾜为D ，交BC 于点E ，作PF ⊥直线BC 于点F ，设点P 的横坐标为x ，△PEF 的周长记为l ,求l 关于x 的函数关系式，并求出l 的最⼤值及此时点P 的坐标(3) 点H 是直线AC 上⼀点，该抛物线的对称轴上⼀动点G ，连接OG ，GH ，则两线段OG ，GH 的。
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二次函数综合训练
姓名：_____________
一、选择题
1. （2014•海南）将抛物线y =x 2平移得到抛物线y =（x +2）2，则这个平移过程正确的是（ ） A ． 向左平移2个单位 B ． 向右平移2个单位 C ． 向上平移2个单位 D ． 向下平移2个单位
2. （2014•绥化）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，且过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是x =1，下列结论正确的是（ ）
A ． b 2＞4ac
B ． a c ＞0
C ． a ﹣b +c ＞0
D ． 4a +2b +c ＜
3. （2014•宜昌）二次函数y =ax 2+b （b ＞0）与反比例函数y =在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4. （2014•江西）已知反比例函数k y x
=
的图像如右图所示，则二次函数2224y kx x k =-+的图像大致为（ ）．
5、（2014•宁夏）已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y =ax 与y =ax 2的图象有可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．(2014•陕西)二次函数y =ax 2
+bx +c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A ． c ＞﹣1
B ． b ＞0
C ． 2a +b ≠0
D ． 9a +c ＞3b
7．（2014•成都）将二次函数y =x 2﹣2x +3化为y =（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ） A ． y =（x +1）2+4 B ． y =（x +1）2+2 C ． y =（x ﹣1）2+4 D ． y =（x ﹣1）2+2
8．（2014•哈尔滨）将抛物线y =﹣
2x 2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A ． y =﹣2（x +1）2﹣1
B ． y ﹣2（x +1）2+3
C ． y =﹣2（x ﹣1）2+1
D ． y =﹣2（x ﹣1）2+3
9. (2014.黄石) 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，则函数值y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A ． x ＜﹣1
B ． x ＞3
C ．﹣1＜x ＜3
D ． x ＜﹣1或x ＞3
10. （2014•荆门）将抛物线y =x 2﹣6x +5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A ． y =（x ﹣4）2﹣6
B ． y =（x ﹣4）2﹣2
C ． y =（x ﹣2）2﹣2
D ．y =（x ﹣1）2﹣3
二、填空题
1. （2014•绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．
2．(2014.安顺)如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3．与y轴负半轴交于点C，在下面五个结论中：
①2a﹣b=0；②a+b+c＞0；③c=﹣3a；④只有当a=时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有四个．其中正确的结论是．（只填序号）
三、解答题
1.（2014•龙东）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C （0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（1）请直接写出D点的坐标．
（2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
2. （2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．。