二次函数导学案-二次函数综合应用

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人教版数学九年级上册第22章《二次函数》全章导学案

22.1.4 二次函数y ax2bx c 的图象学习目标：1. 能经过配方把二次函数y ax 2bx c 化成 y a( x h)2 + k 的形式，进而确立张口方向、对称轴和极点坐标。

2．熟记二次函数y ax 2bx c 的极点坐标公式；3．会画二次函数一般式学习要点：掌握二次函数y ax 2bx c 的图象．y ax2bx c 的图象和性质.学习难点：运用二次函数y ax2bx c 的图象和性质解决实质问题 .学习方法：问题式五步教课法 .学习过程一、出示目标二、预习检测1. 抛物线y2；对称轴是直2 x 31的极点坐标是线；当 x =时 y 有最值是；当 x时，y 随x的增大而增大；当x时， y 随x的增大而减小。

2.二次函数分析式 y a(x h)2 +k 中，很简单确立抛物线的极点坐标为，所以这类形式被称作二次函数的极点式。

三、怀疑互动：（1）你能直接出函数y x22 x 2的像的称和点坐？（2）你有法解决（ 1）？解：y x22x 2 的点坐是，称是.（3）像我能够把一个一般形式的二次函数用的方法化点式进而直接获得它的像性 .（4）用配方法把以下二次函数化成点式：① y x 22x 2② y 1 x22x 5③2y ax2bx c（5）：二次函数的一般形式y ax 2bx c 能够用配方法化成点式：，所以抛物y ax2bx c 的点坐是；称是，（6）用点坐和称公式也能够直接求出抛物的点坐和称，种方法叫做公式法。

用公式法写出以下抛物的张口方向、称及点坐。

① y 2x 23x 4② y2x 2x 2③ yx 24x四、达用描点法画出 y 1 x2 2 x 1的像 .（1）点坐2；（2）列表：点坐填在；（列表一般以称中心，称取．）x⋯⋯y1 x2 2x 1 ⋯2（3）描点，并：6 y5 4 3 21 x7654321O1 2 312 3 4（4）察：① 象有最点，即x =，y 有最是；② x，y 随 x 的增大而增大；xy 随x 的增大而减小。

二次函数全章导学案(不分版本,通用)

26.1二次函数§26.1.1《二次函数》导学案【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念.2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。

3. 确定实际问题中二次函数的关系式。

【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。

【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。

2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。

【活动二】自主交流探究新知（25分钟）1.用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = .2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________.3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是。

4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？。

5.归纳：一般地，形如，（,,a b c a 是常数，且）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________.【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）（1）二次项系数a 为什么不等于0？答：。

（2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： . 【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-.这六个式子中二次函数有。

6.4二次函数的应用(3)导学案

BAh6.4二次函数的应用（3）学习目标：1、能运用二次函数的解析式解决简单的实际问题。

2、结合具体情景体会二次函数的意义，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型，了解数学的建模思想。

3、在数学的学习过程中培养情感体验，了解数学给人们带来价值及美感。

学习过程：一、情景创设拱桥造型美，应用广，常见的桥孔形状除半圆形，椭圆形，马蹄形，还有抛物线形，下面请大家欣赏一组图片。

二、探索活动问题1: 河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，所示的坐标系，其函数的表达式为y= －251x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽 AB = 30这时水面离桥顶的高度h 是（）A 、5米B 、6米；C 、8米；D 、9米问题2: AB 宽20m ，水位上升到警戒线CD 时，CD 到拱桥顶O 的距离仅为1m,这时水面宽度为10m 。

⑴在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； ⑵若洪水到来时，水位以每小时0.3m 的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒水位线？三、典型例题。

问题3：如图，一座抛物线拱桥架在一条河流上,这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m ，水面AB 宽6m 时，能建立适当的平面直角坐标系吗？并求出相应的函数关系式。

BAA思考与交流当水位上升1m 时，水面宽多少（精确到0.1m ）?四、拓展与延伸一艘装满防汛器材的船,在“问题3”所说的河流中航行，露出水面部分的高为0.5米、宽为4米，当水位上升1米时 ,这艘船能从桥下通过吗?六、巩固练习1、闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱跨37.02m ，拱高7.23m 。

试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线桥拱对应的二次函数关系式。

2、我国台湾南投县附近的高速公路，有一座结构柔和典雅的钢拱桥，索塔为抛物线，塔高60m ，塔底宽85m 。

试在恰当的直角坐标系中求出与该抛物线过塔对应的函数关系式，并与同学交流。

七、课堂作业1、如图所示，桥拱形状为抛物线，其函数关系式为y =－41x 2,当水位线在AB 位置时，水面的宽度为12m ，这时水面离桥拱顶的高度h 是（）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m2、如图所示，一桥拱呈抛物线形，桥的最大高度为16m，跨度为40m，在线段AB上离中点5m的地方M处桥的高度为m。

二次函数(导学案)九年级数学上册同步备课系列(人教版)(解析版)

22.1.1二次函数学习目标：1）从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，经一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2）理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。

学习重点：二次函数的概念和解析式。

学习难点：用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

1）学习过程一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.目前，我们已经学习了哪种类型的函数？问题一正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为a，表面积为S，则S与a之间有什么关系？问题二n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

比赛的场次数m与球队数有什么关系？问题三某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。

如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x之间的关系应怎样表示？观察这三个式子你发现了什么？等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是22)归纳小结一般地，形如�=ax2+푏 +�(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax2＋c2)当c＝0时，y＝ax2＋bx3)当b＝0，c＝0时，y＝ax23)自我测试（基础）1．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x 的函数关系式为（）A．y＝100（1﹣x）B．y＝100﹣x2C．y＝100（1+x）2D．y＝100（1﹣x）2【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，故选：D．2．线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系D．反比例函数关系，二次函数关系【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C3．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y＝2x﹣5B．y＝ax2+bx+c C．h＝t22D．y＝x2+1x【详解】解：A.是一次函数，故此选项错误；B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误；C.是二次函数，故此选项正确；D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误；故选：C．4．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（）A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC．当a=0时，一次函数是y=bx+c D．以上说法都不对【详解】A.当b=0，a≠0时．二次函数是y=ax2+c，故此选项错误；B.当c=0，a≠0时，二次函数是y=ax2+bx，故此选项错误；C.当a=0，b≠0时．一次函数是y=bx+c，故此选项错误；D.以上说法都不对，故此选项正确．故选D．5．设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【详解】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．6．y=mx m2+1是二次函数，则m的值是（）A．m≠0B．m＝±1C．m＝1D．m＝﹣1【详解】解：∵y=mx m2+1是二次函数，∴m≠0且m2+1=2，解得：m＝±1．故选：B．7．已知函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．-2D．m为全体实数【详解】解：∵函数y=m−2x m2−2+2x−7是二次函数∴m-2≠0，m2−2=2，解得：m=-2．故选：C．4）巩固练习（提高）8．一个二次函数y=(k−1)x k2−3k+4+2x−1．（1）求k的值．（2）求当x=3时，y的值？【详解】解：（1）依题意有k2−3k+4=2k−1≠0，解得：k=2，∴k的值为2；（2）把k=2代入函数解析式中得：y=x2+2x−1，当x=3时，y=14，∴y的值为14．5）本节课的收获、体会及存在问题。

初中数学《二次函数的应用》导学案

二次函数的应用第1课时
学习目标：
1、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系；
2、会用二次函数知识求出实际问题的最值。

一、创意引入
问题1：如图，现有一块直角三角形废料，要想在它内部截一个面积最大的矩形，应该怎样截才符合要求？
问题2：生活中经常遇到“最大面积”“成本最低”“最划算”等问题，怎样用数学知识加以解决？这将是本节课我们一起探讨的问题。

二、知识生成
问题：求二次函数2422++=x x y 的最值。

追问（1）在上题中，如果增加一个条件：12≤≤-x ，其最值又是多少？
（2）如果取值范围变为25-≤≤-x 呢？
（3）如果取值范围变为4
171≤
≤x ，且x 为整数呢？
三、知识应用
例1、如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形
菜园，墙长32米，这个矩形的长、宽各位多少时，菜园的面积最大，
最大是多少？
变式训练：
1.引例
2.引例变式
四、反思感悟
五、当堂检测。

二次函数(2)导学案

二次函数（2）导学案一、学习目标1．使学生会用描点法画出二次函数c bx ax y ++=2的图象； 2．使学生能结合图象确定抛物线c bx ax y ++=2的对称轴与顶点坐标；二、课前准备：（一）自主学习：下面通过画二次函数216212+-=x x y 的图像，讨论一般的怎样画二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像。

配方可得：216212+-=x x y ）（）（+=221x y由此可知，抛物线216212+-=x x y 开口向，顶点坐标是，对称轴是利用对称性画21612+-=x x y 的图像。

（二)交流合作：（1）列表时选值，应以为中心，函数值y 可由对称性得到．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出，并用虚线画，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索:对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？配方可得：c bx ax y ++=2 ）（）（+=2xa y 由此可知，抛物线c bx ax y ++=2对称轴，顶点坐标．（三）尝试运用：1．二次函数x x y 22--=的对称轴是． 2.二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是，当x 时，y 随x 的增大而减小．3.抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．4．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a = ．c= ．（四）性质归纳：（1）c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标（2）抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象上： ①当a>0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而．对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而．函数有最值，最值y= ．②当a<0时，抛物线c bx ax y ++=2开口向．对称轴左侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而．对称轴右侧（即x ）, 函数值y 随x 的增大而．函数有最值，最值y= ．（五）尝试运用：1.抛物线顶点为（2，3）过（3，1）,求抛物线方程。

6.4二次函数的应用(4)导学案

6.4二次函数的应用（4）学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．学习难点:难点在于能正确理解题意，找准数量关系．学习方法:在教师的引导下自主学习。

学习过程:一、有关利润问题：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。

预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440－2x ）元。

试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？二、做一做：某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。

现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，树之间的距离和每一棵树所接收的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

⑴假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ ⑵如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式；⑶y 与x 是怎样的函数关系？自变量x 的取值范围有何限制？三、举例：【例题】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg ；单价每降低1元，日均多售出2kg ．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x 元，日均获利为y 元．（1）求y 关于x 的二次函数表达式，并注明x 的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a （x ＋a b 2）2＋ab ac 442 的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多？是多少？（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多少？四、随堂练习：1．某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?2．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？五、课后练习1．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？2．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．3．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y与x（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x （10万元）函数表达式；（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？。

二次函数(1)导学案

mm xm y -+=2)1(二次函数——导学案一、学习目标：1、理解并掌握二次函数的概念；2、会用描点法和平移法画出二次函数2ax y =的图象；3、结合图像归纳并记住二次函数2ax y =性质；二、学前准备（一）梳理知识点1、概念：二次函数：我们把形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。

其中：ax 2叫做，a ，bx 叫做 ;b 为 ;c 为2、思考：（1）“一元二次方程”和“二次函数”在形式上有什么异同？（2）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)中，为什么要规定a ≠0，b 和c 是否可以为零？（3）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0) 当a,b,c 满足什么条件时(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x 3+2x 2; (2)y=2x 2-2x+1; (3)y=x 2-x(1+x); (4)y=x -2+x. (5)y ＝(x ＋2)(2-x) (6) 652++=x x y (7)12312++=x x y 4、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;例1: 关于x 的函数是二次函数求m 的值.（一）自主探究：利用描点法画二次函数2x y =、221x y =和22x y =的图像。

注意：列表时自变量取值要均匀和对称。

练习：画二次函数2x y -=、221x y -=和22x y -=的图像。

… -2 -1 0 1 2 …2x y -=22x y -=221x y -=… -2 -1 0 1 2 … 2x y =22x y =221x y =结合所画图像填空： 1、二次函数图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做；这些抛物线都关于轴对称，轴是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点叫做。

二次函数的应用的综合应用题

二次函数的应用的综合应用题某公司制造商品并销售，该公司的成本和收入可以用二次函数来建模。

已知该公司的成本函数为C(x) = 0.2x^2 + 800x + 10000（其中x表示产量，C(x)表示成本），收入函数为R(x) = -0.3x^2 + 1000x（其中x 表示产量，R(x)表示收入）。

现在我们要针对该模型进行一系列综合应用题的分析和求解。

1. 确定最小产量以确保盈利。

首先，我们需要确定最小产量以确保公司盈利。

公司的盈利可以通过收入减去成本来计算。

盈利函数P(x)可以表示为：P(x) = R(x) - C(x)= (-0.3x^2 + 1000x) - (0.2x^2 + 800x + 10000)= -0.5x^2 + 200x - 10000为了确保公司盈利，盈利函数P(x)需要大于零。

因此，我们可以求解以下不等式来确定最小产量：-0.5x^2 + 200x - 10000 > 0对该不等式进行求解，我们可以得到x的取值范围。

在此范围内，最小的整数值将是确保公司盈利的最小产量。

2. 确定最大产量以达到最大盈利。

要确定最大产量以达到最大盈利，我们需要计算盈利函数P(x)的顶点。

顶点对应于盈利函数的最大值，表示最大的盈利。

盈利函数P(x)是一个二次函数，二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)对于盈利函数P(x)来说，a=-0.5，b=200。

代入上述公式，我们可以计算得到最大盈利对应的产量x。

3. 计算最大盈利。

在确定最大产量之后，我们可以将该产量代入盈利函数P(x)中，计算得到最大盈利的具体金额。

P(x) = -0.5x^2 + 200x - 10000将最大产量代入上述公式，即可得到最大盈利。

4. 讨论产量对盈利的影响。

通过对盈利函数P(x)的分析，我们可以观察到产量x对盈利的影响。

当产量增加时，盈利也随之增加，但增加的幅度可能会递减。

这是因为盈利函数P(x)是一个二次函数，它的图像是一个开口向下的抛物线。

2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。

1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。

2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。

3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。

(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。

二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。

请根据本节课所学知识解答。

1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。

4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。

苏科版九年级数学第六章《二次函数》全章导学案

《6.1 二次函数》导学案学习目标：1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

一、知识准备：1.设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。

2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中的图像是直线，的图像是双曲线。

我们得到它们图像的方法和步骤是：① ；② ；③ 。

3. 形如___________y =，（）的函数是一次函数，当______0=时，它是函数，图像是经过的直线；形如k y x=，（）的函数是函数，它的表达式还可以写成：① 、② 二、提出问题（展示交流）：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是。

2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。

3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是。

三、归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？。

一般地，形如，（，且）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，函数。

四、例题精讲（小组讨论交流）：例1 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m 的取值例2．下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系五、课堂训练1．下列函数中，二次函数是（） A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋12．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（） AS=2π（x ＋3）2B.S=9π＋xC.S=4πx 2＋12x ＋9 D S=4πx 2＋12πx ＋9π4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.5.已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系_________．6.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2，则___________y =，其中x 的取值范围是。

015二次函数的综合应用复备

课题二次函数的综合应用课标与教材： l 、理解二次函数与一元二次方程的关系。

2、用二次函数的图象与性质解决一些实际问题。

学情分析：学生对二次函数的图象、性质及关系式的确定有了一定基础，但应用起来会有困难，应多引导。

教学目的:l 、会用二次函数与一元二次方程的关系解决简单的问题。

2、能用二次函数的知识解决一些实际问题。

教学重点、难点：用二次函数的有关内容去解决实际问题。

教学过程：知识点1：二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个实数根，抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程中b 2-4ac 来判定： (1)b 2-4ac ＞0⇔抛物线与x 轴有个交点；(2)b 2-4ac = 0⇔抛物线与x 轴只有个交点，此交点即； (3)b 2-4ac ＜0⇔抛物线与x 轴交点.1.已知函数y=x 2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 y ≥1成立的x 的取值范围是（） A ．-1≤x≤3B ．-3≤x≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥32. 已知二次函数y =kx 2-7x -7的图象和x 轴有两个交点，则k 的取值范围是( )A. k ＞-74B. k ≥-74C. k ＞-74且k ≠0D. k ≥-74且k ≠0 3、若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ；知识点2：二次函数的综合应用：（最大利润问题）例1 华联商场以每件30元购进一种商品，试销售中发现每天的销售量y (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数y =162-3x ；(1)写出商场每天的销售利润w (元)与每件的销售价x (元)的函数关系式；(2)如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元时最合适？最大销售利润为多少？（几何问题）例2.如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点(第3题图)4.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）课后作业A 组1.在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 2.二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示，根据图中信息可得到m 的值是．B 组3．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 4. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（） . A ．无实数根 B ．有两个相等实数根 C ．有两个异号实数根 D ．有两个同号不等实数根C 组5.如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线223y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线52x =上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，当四边形ABCD 是菱形时，试判断点C 和点D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M 点是CD 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N ．设点M 的横坐标为t ，MN 的长度为l ．求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M第4题图。

苏教版九年级上册《二次函数》导学案

二次函数§1 二次函数所描述的关系◆导学目标1、二次函数的定义2、能够表示简单变量之间的二次函数关系3、（1）创设情景，激发学生学习兴趣与热情，体会“生活中处处留心皆数学”的真理。

（2）让学生能够全身心地投入到数学活动中去，能积极与同伴合作交流，培养学生自主探索的意识和团结协作的精神。

◆课堂导学例1、某果园有100颗橙子树，每一颗树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一颗树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一颗树，平均每颗树就会少结5个橙子。

⑴问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？⑵假设果园增种x 颗橙子树，那么果园共有多少颗橙子树？这时平均每颗树结多少个橙子？⑶如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式。

知识点：一般地，形如_________________________的函数叫做二次函数例2、下列各函数中，y 是x 的二次函数的是（）（A ）01=-+y x （B ）2)1()1)(1(---+=x x x y （C ）211x y ++= （D ）023)1(22=-+-y x 思路点拨：以二次函数定义的一般形式y=ax 2+bx+c (a ≠0)例3、在例1问题中，种多少颗橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？◆当堂导练1、下列函数中，哪些是二次函数？2232251,22,2521,321t t s x y x x y x y ++=+=+-=+-=2、圆的半径是1㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝2， ⑴写出y 与x 之间的关系式；⑵当圆的半径分别增加1㎝，2㎝，2㎝时，圆的面积增加多少？3、某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m. ⑴长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？⑵如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？右手栏◆课后练习基础训练1、下列函数中，是二次函数的是（）（A ）162+=x y （B ）16+=x y （C ）16+=x y （D ）162+=xy 2、已知二次函数)0(2≠=a ax y ，若当5=x 时，25=y ，则当1=x 时，y 的值为________。

人教版数学九年级上册《二次函数》导学案

九年级数学上册课题： 22.3实质问题与二次函数 3 课时：12九年级 ____ __ 班姓名：知学习目标：会成立直角坐标系解决桥洞水面宽度等实质问题识一、自主研究（课前导学）链1．以抛物线的极点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴成立直角坐标接系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．：1 x22．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y，当拱桥下水位线C y4Eh 是在 AB地点时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度x（）A O F BA ．3m B．2 6m C ．4 3m D．9m三、议论沟通（展现评论）3．下列图是抛物线拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m ，水面宽4m，用二次函数的知识解决拱桥类问题要注意①成立适合的平面水面降落 1m ，水面宽度增添多少？直角坐标系 .②抛物线的分析式假定适合会给解决问题带来方便 .③擅长依据已知条件看抛物线上某些特别点的坐标，求出分析式 .四、讲堂检测（当堂训练）1 、如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8m ，拓展延长（课外练习）：1.如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8水位上升 3m ，就达到戒备水位 CD ，这时水面宽 4m ，若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，求水过戒备水位后几小时淹到桥拱顶．2.某学校九年级的一场篮球竞赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高20 米，与篮圈中心的水平距离为7 米，当9球出手后水平距离为 4 米时抵达最大高度 4 米，设篮球运转轨迹为抛物线，篮圈距地面 3 米．（1 ）成立如图 2 的平面直角坐标系，问此球可否正确投中？（2 ）此时，若对方队员乙在甲眼前 1 米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 米，那么他可否获取成功？y双侧距地面 4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ．求学二、合作研究（讲堂导学）这个门洞的高度．（精准到0.1m ）实验研究：一个涵洞成抛物线形，它的法截面如图，现测得，当水面宽指AB 1.6m时，涵洞极点与水面的距导离为 2.4m ．这时，走开水面 1.5m 处，：涵洞宽 ED 是多少？能否会超出(第 13 题)AB 的宽是1m ？ 2 、如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面分析依据已知条件，要求 ED 宽，图20m，假如水位上升 3m 时，水面 CD 的宽为10m，只需求出 FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只需求出点）成立如下图的直角坐标系，求此抛物线的分析式；D 的横坐标．由于点 D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可获取点D（2）现有一辆载有营救物质的货车从甲地出发，要经过此桥开的纵坐标，因此利用抛物线的函数关系式能够进一步算出点 D 的横坐往乙地，已知甲标．你会求吗？地到此桥 280km ，（桥长忽视不计）货车以 40km/ h 的速度开往乙地，当行驶到 1 小不时，突然接到紧迫通知，前面连降大雨，4m3mO4m3m x3 、一男生在校运会的竞赛中推铅球，铅球的前进高度y（m）与水平距离x（ m ）之间的关系用如图 2 所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求 y 与 x 之间的函数关系式．⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球抵达的最大高度的地点为点B，落地址为 C ，求四边形 OABC 的面积．做一做：连结着汉口集家咀的江汉三桥 ( 晴川桥 )，是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥 .它如同一道漂亮的彩虹超越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观 . 桥的拱肋 ACB 视为抛物线的一部分，桥面 (视为水平的 )与拱肋用垂直于桥面的系杆连结，相邻系杆之间的间距均为 5m (不考虑系杆的粗细 )，拱肋的跨度 AB 为280m，距离拱肋的右端70m处的系杆 EF 的长度为42m.以 AB 所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴成立如图（2）所示的平面直角坐标系.（1）求抛物线的分析式；（2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？能否存在一根系杆的长度恰巧是 OC 长度的一半？请说明原因 .造成水位以 0.25m / h 的速度连续上升，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达、到桥拱最高点O时，严禁车辆通行。

二次函数的应用(3)

B A O二次函数应用导学案一、情景创设例 1 如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？例 2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮如图所示，已知球出手时离地面920m ，与篮筐中心的水平距离是7m,当球运行的水平距离是4m 时，达到最大高度4m 。

设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m 。

⑴问此球能否投中？⑵此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m ，他如何做才能盖帽成功？巩固练习1、如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。

建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A （0，1.25），水流路线最高处B （1，2.25），则该抛物线的表达式为。

如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。

2、小明是学校田径队的运动员，根据测试资料分析，他掷铅球的出手高度（铅球脱手时离地面的高度）为2m 。

如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x(m)与高度y （m ）之间的关系为二次函数y=a(x －4)2+3，那么小明掷铅球的出手点与铅球落地点之间的水平距离是多少（精确到0.1m ）？六、课堂作业1、在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛出，在不计空阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足s= v 0t －21gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若v 0=10m/s ，则该物体在运动至最高点时距离地面 m.2、如图所示，小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出院满意的成绩，函数h=3.51－4.9t 2+0.5(t 的单位：s ，h 的单位：m)可以描述他跳远时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高所用的时间大约是A ．0.71sB ．0.70sC ．0.63sD ．0.6s3、某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个装饰柱OA ，O恰在水面中心，柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，形状如图①。

二次函数导学案(全章)

第1课时二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。

【课时类型】概念课【学习过程】一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k ≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是的常数)。

二、解读教材——数学知识源于生活3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。

现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。

根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。

4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。

那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？。

5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数。

它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)2321x y +-= (2)112+=x y(3)x y 222+=(4)251t t s ++= (5)22)3(xx y -+= (6)210rs π=即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y(4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s三、挖掘教材6．对二次函数定义的深刻理解及运用例2 若函数1232++=+-kx x y k k是二次函数，求k 的值。

二次函数全章导学案(史上最全!)

导学案【2 】26.1.1二次函数（第一课时）一．预习检测案一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数.个中x是________,a是__________,b是___________,c是_____________．二．合作探讨案：问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,假如正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系. 问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有如何的关系?提醒：多边形有n条边,则有几个极点？从一个极点动身,可以连几条对角线？问题3: 某工场一种产品如今的年产量是20件,筹划往后两年增长产量.假如每年都比上一年的产量增长x倍,那么两年后这种产品的数目y将随筹划所定的x的值而定,y与x之间的关系如何表示?问题4：不雅察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特色?小组交换.评论辩论得出结论：经化简后都具有的情势.问题5：什么是二次函数？形如.问题6：函数y=ax²+bx+c,当a.b.c知足什么前提时,(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？例1: 关于x的函数mmxmy-+=2)1(是二次函数, 求m的值.留意:二次函数的二次项系数必须是的数.三．达标测评案：1．下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2;(3)y=3x3+2x2;(4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x);(6)y=x-2+x.2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( )A.a＝1B.a＝±1C.a≠1D.a≠－13.必定前提下,若物体活动的路段s(米)与时光t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经由的旅程为A.28米B.48米C.68米D.88米4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.5．一个圆柱的高级于底面半径,写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式.6.n支球队参加竞赛,每两支之间进行一场竞赛.写出竞赛的场数m与球队数n之间的关系式.7.已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.26.1.2 二次函数y ＝ax 2的图象与性质（第二课时）一．预习检测案：画二次函数y ＝x 2的图象．【提醒：绘图象的一般步骤：①列表;②描点;③连线（用腻滑曲线）．】由图象可得二次函数y ＝x 2的性质： 1．二次函数y ＝x 2是一条曲线,把这条曲线叫做______________．2．二次函数y ＝x 2中,二次函数a ＝_______,抛物线y ＝x 2的图象启齿__________． 3．自变量x 的取值规模是____________．4．不雅察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y 值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称．5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ , ）叫做抛物线y ＝x 2的_________．是以,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”）．二．合作探讨案：例1 在统一向角坐标系中,画出函数y ＝12x 2,y ＝x 2,y ＝2x 2的图象．y ＝x 2的图象刚画过,再把它画出来．归纳：抛物线y ＝12x 2,y ＝x 2,y ＝2x 2的二次项系数a_______0;极点都是__________;对称轴是_________;极点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12x 2 ……x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2……例2 请在统一向角坐标系中画出函数y ＝－x 2,y ＝－12x 2, y ＝－2x 2的图象．归纳：抛物线y ＝－x 2,y ＝－12x 2, y ＝－2x 2的二次项系数a______0,极点都是________, 对称轴是___________,极点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．总结：抛物线y ＝ax 2的性质1．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称,是以,抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______ 对称,启齿大小_______________．2．当a ＞0时,a 越大,抛物线的启齿越___________; 当a ＜0时,｜a ｜越大,抛物线的启齿越_________;是以,｜a ｜越大,抛物线的启齿越________,反之,｜a ｜越小,抛物线的启齿越________．三．达标测评案：1．填表：2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1,－2）,则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象启齿向下,则m____________． 4．如图,① y ＝ax 2② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比较a.b.c.d 的大小,用“＞”衔接． ___________________________________x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y ＝-x 2… … y=－12x 2… … y ＝－2x 2 ……图象(草图) 启齿偏向极点对称轴有最高或最低点最值a ＞0当x ＝____时,y 有最___值,是______. a ＜0当x ＝____时,y 有最____值,是______.启齿偏向极点对称轴有最高或低点最值y ＝23x 2当x ＝____时,y 有最_____值,是______. y ＝－8x 25．函数y ＝37x 2的图象启齿向_______,极点是__________,对称轴是________,当x ＝___________时,有最_________值是_________． 6．二次函数y ＝mx22 m 有最低点,则m ＝___________．7．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示,则k 的取值规模为___________．8．写出一个过点（1,2）的函数表达式_________________．26.1.3二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质(第三课时)一．预习检测案：在统一向角坐标系中,画出二次函数y ＝x 2＋1,y ＝x 2－1的图象. 解:先列表描点并绘图1.不雅察图像得：2.可以发明,把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位,就得到抛物线y ＝x 2＋1;把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位,就得到抛物线y ＝x 2－1. 3.抛物线y ＝x 2,y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的外形_____________.二．合作探讨案：1. y ＝ax 2y ＝ax 2＋k启齿偏向极点对称轴有最高(低)点最值a ＞0时,当x ＝______时,y 有最____值为________; a ＜0时,当x ＝______时,y 有最____值为________.增减性2.抛物线y ＝2x 2向上平移x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1……启齿偏向极点对称轴有最高(低)点最值3个单位,就得到抛物线__________________;抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.是以,把抛物线y ＝ax 2向上平移k(k ＞0)个单位,就得到抛物线_______________; 把抛物线y ＝ax 2向下平移m(m ＞0)个单位,就得到抛物线_______________. 3.抛物线y ＝－3x 2与y ＝－3x 2＋1是经由过程平移得到的,从而它们的外形__________, 由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的外形__________________. 三．达标测评案：1.填表函数草图启齿偏向极点对称轴最值对称轴右侧的增减性y ＝3x 2y ＝－3x 2＋1 y ＝－4x 2－52.将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________. 3.写出一个极点坐标为(0,－3),启齿偏向与抛物线y ＝－x 2偏向相反,外形雷同的抛物线解析式____. 4.抛物线y ＝－13x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的.5.抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________,与x 轴的交点坐标为_________.26.1.3二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质（第四课时）教授教养目的:会画二次函数y ＝a(x-h)2的图象,控制二次函数y ＝a(x-h)2的性质,并要会灵巧运用.一．预习检测案：画出二次函数y ＝－12(x ＋1)2,y －12(x －1)2的图象,并斟酌它们的启齿偏向.对称轴.极点以及最值.增减性.x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……先列表:描点并绘图. 请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去(草图).①抛物线y ＝－12(x ＋1)2 ,y ＝－12x 2,y ＝－12(x －1)2的外形大小____________.②把抛物线y ＝－12x 2向左平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2 ;把抛物线y ＝－12x 2向右平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2 .总结常识点：函数启齿偏向极点对称轴最值增减性y ＝－12(x ＋1)2y ＝－12(x －1)21. y＝ax2y＝ax2＋k y＝a (x-h)2启齿偏向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)3.对于二次函数的图象,只要｜a｜相等,则它们的外形_________,只是_________不同.三．达标测评案：1.抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.2.把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为____________________.3.将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为____________.4.抛物线y＝2 (x＋3)2的启齿___________;极点坐标为____________;对称轴是_________; 当x＞－3时,y______________;当x＝－3时,y有_______值是_________.26.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质（第五课时）一．预习检测案：画出函数y＝－12(x＋1)2－1的图象,指出它的启齿偏向.对称轴及极点.最值.增减性.列表二．合作探讨案2.把抛物线y＝－12x2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y＝－12(x＋1)2－1.总结常识点： 1.填表（a>0)函数关系式图象(草图) 启齿偏向极点对称轴最值对称轴右侧的增减性y＝1 2 x2y＝－5 (x＋3)2 y＝3 (x－3)2x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 …y＝－12(x＋1)2－1 ……函数启齿偏向极点对称轴最值增减性y＝－12(x＋1)2－12.用配办法求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的极点与对称轴.二．教室探讨案：(a>0)y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 启齿偏向极点对称轴最值增减性(对称轴左侧)三.常识点运用例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标.3.a.b.c以及△＝b2－4ac对图象的影响.(1)a决议:启齿偏向.外形 (2)c决议与y轴的交点为(0,c) (3)a与－b2a配合决议b的正负性 (4)△＝b2－4ac⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx例3 如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9.①当k为何值时,对称轴为y轴;②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.四．达标测评案：1. 用极点坐标公式和配办法求二次函数y＝12x2－2－1的极点坐标.2.二次函数y＝2x2＋bx＋c的极点坐标是(1,－2),则b＝________,c＝_________.3.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;当x＝________时,y 有______值是_____.4.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.5.求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.6.抛物线y＝4x2－2x＋m的极点在x轴上,则m＝__________.26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式（第七课时）3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),设两根式:y＝a(x－x1)(x－x2) .(个中x1.x2是抛物线与x轴交点的横坐标)现实问题中求二次函数解析式：例4 要建筑一个圆形喷水池,在池中间竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中间的程度距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中间3m,水管应多长？三．达标检测案：1.已知二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.2.已知二次函数的图象的极点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的极点坐标.4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12mm,BC＝24mm,动点P从点A开端沿边AB向B以2mm/s 的速度移动,动点Q从点B开端沿边BC向C以4mm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,那么△PBQ的面积S随动身时光t若何变化？写出函数关系式及t的取值规模.26.2 用函数的不雅点看一元二次方程（第八课时）教授教养目的:1.知道二次函数与一元二次方程的关系.2.会用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式△＝b 2－4ac 断定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点的个数. 一．预习检测案：1.问题:如图,以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的偏向击出时,球的飞翔路线将是一条抛物线.假如不斟酌空气阻力,球的飞翔高度h(单位:m)与飞翔时光t(单位:s)之间具有关系h ＝20t －5t 2.斟酌以下问题:(1)球的飞翔高度可否达到15m ？如能,须要若干飞翔时光？ (2)球的飞翔高度可否达到20m ？如能,须要若干飞翔时光？ (3)球的飞翔高度可否达到20.5m ？为什么？ (4)球从飞出到落地要用若干时光？2.不雅察图象:(1)二次函数y ＝x 2＋x －2的图象与x 轴有____个交点,则一元二次方程x 2＋x －2＝0的根的判别式△＝_______0;(2)二次函数y ＝x 2－6x ＋9的图像与x 轴有_ __个交点,则一元二次方程x 2－6x ＋9＝0的根的判别式△＝_____0;(3)二次函数y ＝x 2－x ＋1的图象与x 轴________公共点,则一元二次方程x 2－x ＋1＝0的根的判别式△_______0.二．合作探讨案：1.已知二次函数y ＝－x 2＋4x 的函数值为3,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程__________________.反之,解一元二次方程－x 2＋4x ＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x 的值.一般地:已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为m,求自变量x 的值,可以看作解一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝m.反之,解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝m 又可以看作已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值为m 的自变量x 的值.2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的地位关系:一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式△＝b 2－4ac.(1)当△＝b 2－4ac ＞0时抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴有两个交点; (2)当△＝b 2－4ac ＝0时抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴只有一个交点; (3)当△＝b 2－4ac ＜0时抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点.QPCBA用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化,当l 是若干4．一块三角形废料如图所示,∠A ＝30°,∠C ＝90°,AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形何订价才能使利润最大？剖析：调剂价钱包括涨价和降价两种情形,用如何的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元,则每礼拜少卖_________件,现实卖出_________件,设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元,则每礼拜多卖_________件,现实卖出__________件．四.达标测评案：1．某种商品每件的进价为30元,在某段时光内若以每件x元出售,可卖出（100－x）件,应若何订价才能使利润最大？2．蔬菜基地栽种某种蔬菜,由市场行情剖析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时光x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时光x/（月份）1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这种蔬菜每千克的栽种成本y（元/千克）与上市时光x（月份）知足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时光x（月份）的一次函数关系式;（2）若图中抛物线过A.B.C三点,写出抛物线对应的函数关系式;（3）由以上信息剖析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为若干？（收益＝市场售价－栽种成本）3. 某宾馆客房部有60个房间供旅客栖身,当每个房间的订价为天天200元时,房间可以住满．当每个房间天天的订价每增长10元时,就会有一个房间空间．对有旅客入住的房间,宾馆需对每个房间天天支出20元的各类费用．设每个房间天天的订价增长x元,求：（1）房间天天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式;（2）该宾馆天天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式;（3）该宾馆客房部天天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式,当每个房间的订价为若干元时,w有最大值？最大值是若干？。