2019-2020年高考数学二轮复习“12+4”限时提速练(四)
2019届(浙江)高考数学(理科)二轮专题训练：“12+4”提速专练卷(四)(含答案)
“12＋4”提速专练卷(四)一、选择题1．若i 为虚数单位，则复数z ＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A z ＝5i(3－4i)＝20＋15i ，则复数对应的点在第一象限．2.已知全集U ＝R ，函数y ＝1x 2－4的定义域为M ，N ＝{x|log 2(x －1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是( )A ．{x|－2≤x<1}B ．{x|－2≤x≤2}C ．{x|1<x≤2}D ．{x|x<2}解析：选C 集合M ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∁U M ＝[－2,2]，集合N ＝(1,3)，所以(∁U M)∩N＝(1,2]． 3．(2018·泉州模拟)满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选C 因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ， a n ＝2n －1，S n ＝2n－1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.4．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选A 由|AB ＋AC |＝|AB －AC |，得AB ·AC ＝0，所以AM 为直角三角形ABC 斜边上的中线，所以|AM |＝12|BC |＝2.5．(2018·合肥模拟)给出 A ． B ． C ． D ．解析：选D 若直线l 1与直线l 2平行，则必满足a(a ＋1)－2×3＝0，解得a ＝－3或a ＝2，但当a ＝2时两直线重合，所以l 1∥l 2⇔a ＝－3，所以6．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B 因为圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标为(－1,2)，又直线3x ＋y ＋a ＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋a ＝0，解得a ＝1.7．如图，三行三列的方阵中有九个数，a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12a 13a 21 a 22 a 23a 31a32a 33A.37B.47C.114D.1314解析：选D 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝9×8×71×2×3＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 12＝6，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314.8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A.＋π36B.＋2π36C.＋π36D.＋2π36解析：选A 该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成，且高都为3，因此该几何体的体积为V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π×12×3＋13×(2×2)×3＝3π6＋433＝＋π36.9．(2018·长春模拟)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝( ) A ．11 B ．12 C ．14D ．16解析：选C 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3.a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.10．给定命题p ：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4和函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的图像关于原点对称；命题q ：当x ＝k π＋π2(k ∈Z)时，函数y ＝2(sin 2x ＋cos 2x)取得极小值．下列说法正确的是( ) A ．p ∨q 是假命题 B ．(綈p)∧q 是假命题 C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p)∨q 是真命题解析：选B 命题p 中y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－π2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ( 2x －⎭⎪⎫π4与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4关于原点对称，故p 为真命题；命题q 中y ＝2(sin 2x ＋cos 2x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4取极小值时，2x ＋π4＝2k π－π2，则x ＝k π－3π8，k ∈Z ，故q 为假 11．若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，并且x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：选D x ＋2y ＝(x ＋2y)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝x y ，即4y 2＝x 2时等号成立．x ＋2y>m2＋2m 恒成立，则m 2＋2m<8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m<2.12．已知抛物线y 2＝8x 的准线与双曲线x 2m－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( )A.21B.212C ．2D ．2 5解析：选B 抛物线的准线方程为x ＝－2，设准线与x 轴的交点为D(－2,0)，由题意得∠AFB ＝90°，故|AB|＝2|DF|＝8，故点A 的坐标为(－2,4)．由点A 在双曲线x 2m －y 2＝1上，可得－2m －42＝1，解得m ＝417.故c2＝m ＋1＝2117，故双曲线的离心率e ＝ca＝214＝212. 二、填空题13．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝(cos C,2a －c)，b ＝(b ，－cos B)且a ⊥b ，则B ＝________.解析：由a ⊥b ，得a·b＝bcos C －(2a －c)cos B ＝0，利用正弦定理，可得sin Bcos C －(2sin A －sin C)cos B ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C －2sin Acos B ＝0，即sin(B ＋C)＝sin A ＝2sin Acos B ，故cos B ＝12，因此B ＝π3.答案：π314．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．解析：画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M(3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a<35.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3515．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235，4<235<6，故满足题意的点P 有2个．答案：216．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆x 2－4x ＋y 2＝0(2≤x≤4)上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当OA ·OC ＝20时，则点C 的纵坐标的取值范围是________．解析：如图所示，当点A 位于点B 时，点C 的纵坐标最大；当点A 位于点D 时，点C 的纵坐标最小．由图像可知B(2,2)，D(2，－2)．当点A 位于点B 时，OB ＝22，因为OA ·OC ＝|OA |·|OC |＝20，所以此时|OC |＝5 2.由相似性可知BM y c ＝OBOC ，解得y c ＝5；同理，当点A 位于点D 时，解得y c ＝－5，所以点C 的纵坐标的取值范围是－5≤y c ≤5，即[－5,5]．答案：[－5,5]。
2019年高考数学“12+4”限时提速练4
“12＋4”限时提速练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝( B ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．∅解析：集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．2．已知复数z 满足z ＝2＋a i 1＋i (i 为虚数单位，a ∈R )，若复数z 对应的点位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上，则a 的值为( A )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：复数z 满足z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋a 2＋a －22i ，复数z对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋a 2，a －22位于直角坐标平面内的直线y ＝－x 上，∴－2＋a 2＝a －22，解得a ＝0.3．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( B )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈q解析：由已知得p 真，q 假，故綈q 真，∴p ∧綈q 真．4．中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( A )A.2 B ．4 C ．5D ．6解析：由茎叶图可得，获“诗词达人”称号的有8人，据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为8×1040＝2(人)．5．在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝1，B ＝60°，则△ABC 的面积为( A )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．3解析：∵AC ＝13，BC ＝1，B ＝60°，∴由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ，即13＝AB 2＋1－AB ，解得AB ＝4或－3(舍去)，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×4×1×32＝ 3.6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4(O 为坐标原点)经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为( B )A.x 24＋y 22＝1 B.x 28＋y 24＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 232＋y 216＝1解析：由题意得b ＝2，c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8. ∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( B ) A ．3 3 B. 3 C.43 3D.53 3解析：由三视图可得，几何体是底面为直角梯形，高为3的四棱锥，体积为13×(1＋2)×22×3＝ 3.8．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 的值为7，第二次输入的x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为( D )A ．0,0B ．1,1C ．0,1D ．1,0解析：第一次输入x 的值为7，流程如下：22<7,7不能被2整除，b ＝3,32>7，a ＝1.第二次输入x 的值为9，流程如下：22<9,9不能被2整除，b ＝3，b 2＝9>x ＝9不成立，9能被3整除，a ＝0.9．已知|AB →|＝3，|AC →|＝23，∠BAC ＝30°，且2AC →＋3DC →＝5BC →，则AC →·CD →等于( B )A ．－2B ．3C ．4D ．－5解析：由2AC →＋3DC →＝5BC →得2AB →＝3BD →，即AD →＝53AB →，AC →·CD →＝AC →·(CA →＋AD →)＝－12＋|AC →|·|AD →|cos A ＝3.10．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式是( A )A ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 D ．2cos2x解析：∵由图象知A ＝2，14T ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4，∴T ＝π⇒ω＝2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2， ∴可得2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . ∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.f (x )的图象向右平移π6个单位后得到的图象解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.11．已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( B )A ．500B ．600C ．700D ．800解析：由题意，可知公差最大值时，S 15最大；公差最小值，S 15最小．可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差d ＝4是最大值，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435.当a 2＝5，a 5＝8，此时d ＝1是最小值，a 1＝4，m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165.M ＋m ＝435＋165＝600.12．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )＋1>0，f (1)＝6，则不等式f (lg x )<1lg x ＋5的解集为( D )A ．(10，10)B ．(0,10)C ．(10，＋∞)D ．(1,10)解析：设g (x )＝f (x )－1x －5，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x 2＝x 2f ′(x )＋1x 2>0，故函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，故g (x )<0的解集为(0,1)，即f (x )<1x ＋5的解集为(0,1)．由0<lg x <1，得1<x <10，则所求不等式的解集为(1,10)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是－2.解析：画出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，联立⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解得A (2,2)，z ＝yx －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率．∵k P A ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3的最小值等于－2.14．在平面直角坐标系中，直线x ＝32与双曲线x 23－y 2＝1的两条渐近线分别交于点P ，Q .其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是2 3.解析：由双曲线方程x 23－y 2＝1知a ＝3，b ＝1，c ＝2， 所以渐近线方程为y ＝±13x ＝±33x ，将直线x ＝32代入渐近线方程，得P ，Q 纵坐标的绝对值|y 0|＝32.又|F 1F 2|＝2c ＝4.所以S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3， 则S 四边形F 1PF 2Q ＝2S △F 1PF 2＝2 3.15．已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是2＋1.解析：设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1， ∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心、1为半径的圆．∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)， 则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离．又点P (－1，－1)在圆C 的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|AC |＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为36π.解析：取SC 的中点O ，连接OA ，OB ，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，所以V A-SBC＝13×S△SBC ×OA＝13×12×2r×r×r＝13r3，所以13r3＝9⇒r＝3，所以球的表面积为4πr2＝36π.。
2019版二轮复习数学(理·普通生)通用版检测：附：4套“12+4”限时提速练
2019年4月附：4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{2,3}D ．{0,2,4}详细分析：选B ∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i详细分析：选C 因为(1＋i)z ＝2i ， 所以z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－13D ．－3 详细分析：选A 因为a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，a ∥b ， 所以2m ＝m ＋1，解得m ＝1.4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8详细分析：选B 由题意可得，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，又a m ＝a 41q 6＝210，所以m ＝10.5．已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝16B ．x 2＋(y －6)2＝72 C.⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009D.⎝⎛⎭⎫x ＋832＋y 2＝1009详细分析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009. 6．若⎝⎛⎭⎫x －2y n 的展开式中所有项的系数的绝对值的和为243，则⎝⎛⎭⎫x －2y n 的展开式中第3项的系数为( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40详细分析：选C 令x ＝1，y ＝－1，得3n ＝243，故n ＝5，所以T 3＝C 25x 3⎝⎛⎭⎫－2y 2＝40x 3y －2，故选C.7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为2的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )A ．2B ．2 2C ．3D.2＋1详细分析：选D 因为正方形的边长为2，所以正方形的对角线长为2， 设俯视图中圆的半径为R ， 如图，可得R ＝2＋1.8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49详细分析：选B 第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16； 第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32；第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40，不满足a ≤32，退出循环，输出S 的值为81.9.函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)A ＞0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数详细分析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．10.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，点E ，F 分别为棱B 1B ，C 1C 上的点(异于端点)，且EF ∥BC ，则四棱锥A 1-AEFD 的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．12详细分析：选D 连接AF ，易知四棱锥A 1-AEFD 的体积为三棱锥F -A 1AD 和三棱锥F -A 1AE 的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则VF -A 1AD ＝13×12×a ×h ×a＝16a 2h ，V F -A 1AE ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为13a 2h ，又a 2h ＝36，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为12.11．函数f (x )＝(2x 2＋3x )e x 的图象大致是( )详细分析：选A 由f (x )的解+析式知，f (x )只有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除B 、D ；又f ′(x )＝(2x 2＋7x ＋3)e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，故选A. 12．已知函数f (x )＝ln x ＋x 与g (x )＝12ax 2＋ax －1(a ＞0)的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，23B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫1，32 详细分析：选D 设T (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －12ax 2－ax ＋1，由题意知，当x ＞0时，T (x )有且仅有1个零点．T ′(x )＝1x ＋1－ax －a ＝x ＋1x －a (x ＋1)＝(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫1x －a ＝(x ＋1)·1x ·(1－ax )． 因为a ＞0，x ＞0，所以T (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，如图， 当x →0时，T (x )→－∞，x →＋∞时，T (x )→－∞， 所以T ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，即ln 1a ＋1a －12a －1＋1＝0， 所以ln 1a ＋12a＝0.因为y ＝ln 1x ＋12x 在x ＞0上单调递减，所以ln 1a ＋12a ＝0在a ＞0上最多有1个零点．当a ＝12时，ln 1a ＋12a >0，当a ＝1时，ln 1a ＋12a ＝12＞0，当a ＝32时，ln 1a ＋12a ＜0，当a ＝2时，ln 1a ＋12a ＜0，所以a ∈⎝⎛⎭⎫1，32. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______.详细分析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0， 得x 2＋ax x 3＋x 2－ax －x 3＝0，即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3x －5y ＋25≥0，x ＋4y －3≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________．详细分析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋y ＝0，平移该直线， 当直线经过点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3x －5y ＋25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝225，所以z max ＝3×(－1)＋225＝75.答案：7515．在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线，焦点位于x 轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．详细分析：与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 23－y 2＝λ，因为双曲线焦点在x 轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2， 所以λ＝4，所求方程为x 212－y 24＝1.答案：x 212－y 24＝116．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26，若BE ＝2DE ，S △ADE ＝423，则sin ∠BAE sin ∠DAE＝________.详细分析：因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26， 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠ABC ＝223.又∠ABC 为锐角，所以cos ∠ABC ＝13.因为BE ＝2DE ，所以S △ABE ＝2S △ADE . 又因为S △ADE ＝423，所以S △ABD ＝4 2.因为S △ABD ＝12×BD ×AB ×sin ∠ABC ，所以BD ＝6.由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos ∠ABD ，可得AD ＝4 2. 因为S △ABE ＝12×AB ×AE ×sin ∠BAE ，S △DAE ＝12×AD ×AE ×sin ∠DAE ，所以sin ∠BAEsin ∠DAE ＝2×ADAB ＝4 2.答案：4 2“12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2详细分析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x ＜ 2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]详细分析：选A ∵12≤2x ＜ 2，∴－1≤x ＜12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ＜12.∵ln x ≤0，∴0＜x ≤1，∴B ＝{x |0＜x ≤1}， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12.3．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23详细分析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数，所以函数f (x )的值域是(0,1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－(－1)＝13.4．已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C )，其中|AB |＝2，则 AC ―→·AB ―→＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4详细分析：选D 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ，AC ―→在AB ―→上的投影|AC ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝|AB ―→|＝2， ∴AC ―→·AB ―→＝|AC ―→||AB ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝4. 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3 B.32C ．3D ．4详细分析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y＝0，平移该直线，当直线过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以B (2，－1)，故z max ＝2×2－1＝3.6．执行如图所示的程序框图，若输出的s ＝25，则判断框中可填入的条件是( )A ．i ≤4?B ．i ≥4?C ．i ≤5?D ．i ≥5?详细分析：选C 执行程序框图，i ＝1，s ＝100－5＝95；i ＝2，s ＝95－10＝85；i ＝3，s ＝85－15＝70；i ＝4，s ＝70－20＝50；i ＝5，s ＝50－25＝25；i ＝6，退出循环．此时输出的s ＝25.结合选项知，选C.7．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3详细分析：选B 根据题意可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又φ＞0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里详细分析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤132×152－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋152－14222＝84(平方里)．故选C.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6详细分析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6.10．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23 B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤13，1详细分析：选B ∵函数f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋1＋b ＝0，∴b ＝1，函数f (x )的定义域为[－2,2]， 又函数f (x )在[－2,0]上单调递增，∴函数f (x )在[0,2]上单调递减， ∵f (x －1)≤f (2x )，∴f (|x －1|)≤f (|2x |)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，|x －1|≥|2x |，解得－1≤x ≤13.11．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝81，则1a 6＋4a 8的最小值是( )A.73B ．9C ．1D ．3详细分析：选C 因为{a n }为等比数列，所以a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝81，又因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 6＋a 8＝9， 所以1a 6＋4a 8＝19(a 6＋a 8)⎝⎛⎭⎫1a 6＋4a 8＝195＋a 8a 6＋4a 6a 8≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 8a 6×4a 6a 8＝1， 当且仅当a 8a 6＝4a 6a 8，a 6＋a 8＝9，即a 6＝3，a 8＝6时等号成立，所以1a 6＋4a 8的最小值是1.12．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若 △ABC 为正三角形，则其边长为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14详细分析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 设线段AB 的中点为M ，则M (2k,2k 2＋1)， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)(16k 2＋16)＝4(1＋k 2)．设C (m ，－1)，连接MC ， ∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m ＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |，∴|km ＋2|1＋k 2＝32×4(1＋k 2)， 即2k 4＋4k 2＋21＋k 2＝23(1＋k 2)，解得k ＝±2， ∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．从长度分别为1,2,3,4,5的五条线段中，任取三条的不同取法有n 种，在这些取法中，若以取出的三条线段为边可组成钝角三角形的取法种数为m ，则mn ＝________.详细分析：由题意得n ＝C 35＝10，结合余弦定理可知组成钝角三角形的有(2,3,4)，(2,4,5)，共2个，所以m ＝2，故m n ＝210＝15.答案：1514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．详细分析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．详细分析：由F (－c,0)，A (0，b )， 得直线AF 的方程为y ＝bc x ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎨⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bc c －a. 由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ， 所以bc c －a ＝4b ，化简得3c ＝4a ，所以离心率e ＝43.答案：4316．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．详细分析：记该直角三角形为△ABC ，且AC 为斜边．法一：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 取AC 的中点O ，连接BO ， ∴BO ＝12AC ，∴AC 取得最小值即BO 取得最小值，即点B 到平面ADEF 的距离． ∵△AHD 是边长为2的正三角形， ∴点B 到平面ADEF 的距离为3， ∴AC 的最小值为2 3.法二：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 设BH ＝m (m ≥0)，CD ＝n (n ≥0)，∴AB 2＝4＋m 2，BC 2＝4＋(n －m )2，AC 2＝4＋n 2. ∵AC 为Rt △ABC 的斜边， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即4＋m 2＋4＋(n －m )2＝4＋n 2， ∴m 2－nm ＋2＝0，∴m ≠0，n ＝m 2＋2m ＝m ＋2m ，∴AC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫m ＋2m 2≥4＋8＝12，当且仅当m ＝2m ，即m ＝2时等号成立， ∴AC ≥23，故AC 的最小值为2 3. 答案：2 3“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a ，b ∈R ，复数a ＋b i ＝2i1－i，则a ＋b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－2详细分析：选C 因为a ＋b i ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.2．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)详细分析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 3．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32B.12C ．－32D ．－12详细分析：选C 因为sin5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32， 所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 所以sin α＝－32. 4．从某校的一次数学考试中，随机抽取50名同学的成绩，算出平均分为72分，若本次成绩X 服从正态分布N (μ，196)，则该校学生本次数学成绩在86分以上的概率约为( )(附：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Z ＜μ＋σ)＝0.682 7, P (μ－2σ＜Z ＜μ＋2σ)＝0.954 5) A ．0.022 8 B ．0.045 5 C ．0.158 7D ．0.317 3详细分析：选C 这50名同学成绩的平均数为72，由题意知X 服从正态分布N (72,142)， 故P (72－14<X <72＋14)＝0.682 7， ∴P (X >86)＝12(1－0.682 7)≈0.158 7.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )A.33B.233C. 3D ．2详细分析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图，该四棱锥的高h ＝3，底面ABCD 是边长分别为2，3的矩形，所以该四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ×h ＝13×2×3×3＝2.故选D.6．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2详细分析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，|AC |＝6，∠ACD ＝60°，所以|CD |＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |(3)2＋1＝62，解得m ＝3±6.7．在如图所示的程序框图中，如果输入a ＝1，b ＝1，则输出的S ＝( )A ．7B ．20C ．22D ．54详细分析：选B 执行程序，a ＝1，b ＝1，S ＝0，k ＝0，k ≤4，S ＝2，a ＝2，b ＝3；k ＝2，k ≤4，S ＝7，a ＝5，b ＝8；k ＝4，k ≤4，S ＝20，a ＝13，b ＝21；k ＝6，不满足k ≤4，退出循环．则输出的S ＝20.8．若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 详细分析：选B 由正切函数的图象知，直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象没有公共点时，a ＝12，所以tan x ≥2a ，即tan x ≥1，其解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z . 9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017详细分析：选B 由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，所以b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2.当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x ＜1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]详细分析：选C 法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e.由方程f (x )＝2有两个解知，当x ＜1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x ＜1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)＜0，得a ＜5，故选C.法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x ＜1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图象知，要使f (x )＝2有两个解，则 a －3<2，得a <5.11．已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|Q F |，且∠PF Q ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13B.12C.33D.22详细分析：选C 设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，Q F 1.根据对称性，线段FF 1与线段P Q 在点O 处互相平分，所以四边形PF Q F 1是平行四边形，|F Q |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PF Q ＝60°，根据椭圆的定义得|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|Q F |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos 60°，化简得c 2a 2＝13，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.12．已知函数f (x )＝e xx2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(0,2]D ．[2，＋∞)详细分析：选A f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋k (2－x )x ＝(x －2)(e x －kx 2)x 3(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x ＞0)．由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立或e x ≤kx 2(x ＞0)恒成立， 由y ＝e x (x ＞0)和y ＝kx 2(x ＞0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立． 当x ＞0时，由e x≥kx 2，得k ≤e xx2.设g (x )＝e xx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝e x (x －2)x 3，得当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|2a ＋b |＝22，则|b |＝________.详细分析：法一：因为|2a ＋b |＝22， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又|a |＝1，所以4×1＋4×0＋b 2＝8，所以|b |＝2. 法二：如图，作出OA ―→＝2a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝2a ＋b ，因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ，因为|a |＝1，|2a ＋b |＝22， 所以|OA ―→|＝2，|OC ―→|＝22， 所以|OB ―→|＝|b |＝2.法三：因为a ⊥b ，所以以O 为坐标原点，以a ，b 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a |＝1，所以a ＝(1,0)，设b ＝(0，y )(y ＞0)，则2a ＋b ＝(2，y )，因为|2a ＋b |＝22，所以4＋y 2＝8，解得y ＝2，所以|b |＝2.答案：214．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x －y ＋4≥0，2x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．详细分析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，并平移该直线，当直线经过点A (0，4)时，目标函数z ＝x ＋3y 取得最大值，且z max ＝12.答案：1215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B，则△ABC 的面积等于________． 详细分析：由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，得sin A cos A ＝sin Bcos B ，即tan A ＝tan B ，所以A ＝B ，即a ＝b .由cos C ＝14且c ＝3，结合余弦定理a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，得a ＝b ＝6，又sin C＝1－cos 2 C ＝154，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3154. 答案：315416．如图，等腰三角形PAB 所在平面为α，PA ⊥PB ，AB ＝4，C ，D 分别为PA ，AB 的中点，G 为CD 的中点．平面α内经过点G 的直线l 将△PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P ′(P ′∉平面α)．若点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段P ′H 的长度的取值范围是________．详细分析：在等腰三角形PAB 中，∵PA ⊥PB ，AB ＝4， ∴PA ＝PB ＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD . 连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝⎛⎭⎫1022－HG 2， ∴0＜P ′H ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝2＋i1－i的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限详细分析：选D 复数z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i 2＝12＋32i ，则复数z 的共轭复数为z＝12－32i ，所以复数z 的共轭复数对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫12，－32，该点位于第四象限． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≥1，N ＝{}y |y ＝1－x 2，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]详细分析：选B 由2x ≥1得x －2x ≤0， 解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}； 函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]， 则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( ) A ．52 B ．78 C ．104D ．208详细分析：选C 依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝ －2x ，则f (1)＋f (4)等于( )A.32 B ．－32C ．－1D ．1详细分析：选B 由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数， 又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( ) A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5详细分析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5. 6．若二项式⎝⎛⎭⎫55x 2＋1x 6的展开式中的常数项为m ，则⎠⎛1m (x 2－2x)d x ＝( )A.13 B ．－13C ．－23D.23详细分析：选D 因为二项式的通项公式为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫55x 26－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫556－r C r6x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，所以m ＝⎝⎛⎭⎫552C 46＝3，所以⎠⎛1m (x 2－2x )d x ＝⎠⎛13(x 2－2x)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪31＝⎝⎛⎭⎫13×33－32－⎝⎛⎭⎫13－1＝23，故选D.7．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x 的概率为( )A .34 B.23C .12D.14详细分析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示，故所求概率P (y ≤2x)＝12×12×11×1＝14.8．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )A .12B.24C .22D.32详细分析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 9．已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B.153 C ．2D.102详细分析：选A 根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称， 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，所以⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x22a2－y 22b2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即y 21－y 22 x 21－x 22＝b 2a2， 因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y 2 x 1－x 2·－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22 x 21－x 22＝b 2a 2＝13， 所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a2＝ 1＋13＝233.10．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.32B.12C ． －12D ．－32详细分析：选D 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32. 11．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为( )A ．48πB ．32πC ．20πD ．12π详细分析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋(23)2＋42＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝32π.12．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则方程f [f (x )]＝1的实根的个数是( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3详细分析：选A 依题意得f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，且 f (－1)＝f (2)＝2，f (1)＝－2，f (±3)＝f (0)＝0.在平面直角坐标系内画出直线y ＝1与函数y ＝f(x )的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，记这三个交点的横坐标由小到大依次为x 1，x 2，x 3， 则－3<x 1<－1<x 2<0，3<x 3<2.再画出直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3，结合图象可知，直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3与函数y ＝f (x )的图象的交点个数均为3，且这些交点的横坐标各不相同，所以方程f [f (x )]＝1的实根个数是9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________. 详细分析：因为当x <0时，f (x )＝2x ，令x >0，则－x <0，故f (－x )＝2－x ，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－2－x ，又因为log 49＝log 23>0，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1314．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 详细分析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516.答案：151615．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，若△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积为1283，则抛物线的方程为________．详细分析：如图，可得|BF |＝2p3，则由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3，又△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x16．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．详细分析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，所以a n ＋1＋b n ＋1a n ＋b n＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列， 即a n ＋b n ＝2n ，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n相乘，得a n ＋1b n ＋1a n bn＝2，所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练一理.doc
“12＋4”小题提速练(一)一、选择题1．设全集U ＝R ，集合M ＝{y |y ＝lg(2＋10)}，N ＝{|0<<2}，则N ∩(∁U M )＝( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(1,2)D ．∅解析：选A 由M ＝{y |y ＝lg(2＋10)}得M ＝{y |y ≥1}，所以∁U M ＝(－∞，1)，故N ∩(∁U M )＝(0,1)，故选A.2．已知复数满足(＋1)(2＋3i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则复数的虚部为( ) A ．－1913B ．1913C ．－913D.913解析：选A 由(＋1)(2＋3i)＝5－2i ，得＝5－2i 2＋3i －1＝5－2i2－3i 2＋3i 2－3i －1＝4－19i 13－1＝－913－1913i ，所以复数的虚部为－1913.3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3B ．－2 C.23D ．2解析：选D 因为a ∥b ，所以3sin α＝cos α⇒tan α＝13，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13＋11－13＝2，选D.4．(2018·合肥一模)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( ) A ．112 B ．51 C ．28D ．18解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋77－12d ＝7×13－7×9＝28，故选C.5．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝4或2＝12yB ．y 2＝4C ．y 2＝4或2＝－12yD ．2＝－12y解析：选C 设焦点在轴上的抛物线的标准方程为y 2＝a ，将点(1，－2)代入可得a ＝4，故抛物线的标准方程是y 2＝4；设焦点在y 轴上的抛物线的标准方程为2＝by ，将点(1，－2)代入可得b ＝－12，故抛物线的标准方程是2＝－12y .综上可知，过点(1，－2)的抛物线的标准方程是y 2＝4或2＝－12y .6．(2019届高三·广州五校联考)已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954 5) A ．0.045 6 B ．0.135 9 C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B 因为P (－3<ξ<3)＝0.682 7，P (－6<ξ<6)＝0.954 5， 所以P (3<ξ<6)＝12[P (－6<ξ<6)－P (－3<ξ<3)]＝12(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，故选B. 7．(2018·长郡中学月考)执行如图所示的程序框图，若输入的i ＝1，S ＝0，则输出的i 为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B 依题意，执行程序框图，i ＝1，S ＝0<2，S ＝ln 3，i ＝3，S <2；S ＝ln 5，i ＝5，S <2；S ＝ln 7，i ＝7，S <2；S ＝ln 9，i ＝9，S >2，此时结束循环，输出的i ＝9，选B.8．(2018·郑州模拟)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 3解析：选B 由三视图知该几何体为底面为长方形的四棱锥，记为四棱锥A BDD 1B 1，将其放在长方体中如图所示，则该几何体的体积V ＝V 长方体ABCD A 1B 1C 1D 1－V 三棱锥A A 1B 1D 1－V 三棱柱BCD B 1C 1D 1＝3×4×5－13×12×3×4×5－12×3×4×5＝20(cm 3)，故选B. 9．《周易》历;被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100 010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.10.(2018·成都模拟)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2 B ．32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，c 2＝a 2＋52a ＝9，得a ＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.11．(2018·山东德州模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋bc ，a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．1B ． 3 C.3＋1D ．3解析：选B 因为a 2＝b 2＋c 2＋bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.又A 为△ABC 的内角，所以0<A <π，所以A ＝2π3.所以b sin B ＝c sin C ＝asin A＝3sin2π3＝2，故b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，所以S ＋3cos B cos C ＝12bc sin A ＋3cos B cos C ＝34bc ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2π3，所以B －C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，所以cos(B －C )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，当B ＝C 时，cos(B －C )＝1，所以S ＋3cos B cos C ∈⎝⎛⎦⎥⎤32，3，即S ＋3cos B cos C 的最大值为 3. 12．(2018·广州模拟)对于定义域为R 的函数f ()，若满足①f (0)＝0；②当∈R ，且≠0时，都有f ′()>0；③当1<0<2，且|1|＝|2|时，都有f (1)<f (2)，则称f ()为“偏对称函数”．现给出四个函数：f 1()＝－3＋322；f 2()＝e －－1；f 3()＝⎩⎨⎧lnx ＋1x ≤0，2x ，x >0；f 4()＝⎩⎨⎧x ⎝⎛⎭⎪⎫12x－1＋12，x ≠0，0，x ＝0.则其中是“偏对称函数”的函数个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C f 1(0)＝0，f 2(0)＝e 0－0－1＝0，f 3(0)＝ln 1＝0，f 4(0)＝0，即四个函数均满足条件①.f 1′()＝－32＋3，f 1′()＝(－32＋3)＝－32(－1)，当>1时，f 1′()<0，不满足条件②，则函数f 1()不是“偏对称函数”；f 2′()＝e －1，f 2′()＝(e －1)，当≠0时，恒有f 2′()>0，故满足条件②；f 3′()＝⎩⎨⎧－11－x ，x ≤0，2，x >0，故f 3′()＝⎩⎨⎧－x1－x ，x ≤0，2x ，x >0，故f 3′()>0在≠0时恒成立，故满足条件②；因为当≠0时，f 4()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝·2＋2x －122x －1＝x 2·2x ＋12x －1，所以f 4(－)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝－x 2·12x ＋112x－1＝x 2·2x ＋12x －1＝f 4()，所以当≠0时，f 4()是偶函数，所以当1<0<2，且|1|＝|2|时，有f 4(1)＝f 4(2)，不满足条件③，所以f 4()不是“偏对称函数”；当1<0<2，且|1|＝|2|时，有f 2(2)－f 2(1)＝e 2－2－1－e 1＋1＋1＝e 2－e －2－22，构造函数H ()＝e －e －－2，则有H ′()＝e ＋e －－2≥2e x ×e －x －2＝0，当且仅当＝0时取等号，即H ()是(0，＋∞)上的增函数，则∈(0，＋∞)时，H ()>H (0)＝0，故f 2(2)－f 2(1)>0恒成立，所以f 2()满足条件③；当1<0<2，且|1|＝|2|时，有f 3(2)－f 3(1)＝22－ln(－1＋1)＝22－ln(2＋1)，构造函数T ()＝2－ln(1＋)，则当∈(0，＋∞)时，T ′()＝2－11＋x ＝1＋2x 1＋x>0，所以T ()是(0，＋∞)上的增函数，则当∈(0，＋∞)时，T ()>T (0)＝0，故f 3(2)－f 3(1)>0恒成立，故f 3()满足条件③.综上可知“偏对称函数”有2个，选C.二、填空题13．(2018·辽宁五校联考)已知，y 满足⎩⎨⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则＝－3＋y 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎨⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，B (1,3)．显然目标函数＝－3＋y 在点B 处取得最小值，min ＝－3×1＋3＝0.答案：014．过点P (－3，0)作直线l 与圆O ：2＋y 2＝1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，设∠AOB ＝θ，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当△AOB 的面积为34时，直线l 的斜率为________． 解析：由题意得|OA |＝|OB |＝1， ∵△AOB 的面积为34， ∴12×1×1×sin θ＝34，∴sin θ＝32， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π3，∴△AOB 为正三角形， ∴圆心(0,0)到直线l 的距离为32， 设直线l 的方程为y ＝(＋3)，即－y ＋3＝0， ∴|3k |k 2＋1＝32，∴＝±33.答案：±3315.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋c cos A＝b sin B ，A ＝π6，如图，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________.解析：由a cos C ＋c cos A ＝b sin B 及余弦定理得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝b sin B ，即b ＝b sin B⇒sin B ＝1⇒B ＝π2，又∠CAB ＝π6，∴∠ACB ＝π3.BC ＝a ，则AB ＝3a ，AC ＝2a ，S △ABC ＝12×a ×3a ＝32a 2.在△ACD 中，cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝13－4a 212，∴a 2＝13－12cos D 4.又S △ACD ＝12AD ·CD sin D ＝3sinD ，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝32a 2＋3sin D ＝32×13－12cos D 4＋3sin D ＝3sin D －332cos D ＋1338＝372⎝ ⎛⎭⎪⎫27sin D －37cos D ＋1338＝372sin(D －θ)＋1338⎝ ⎛⎭⎪⎫其中θ满足tan θ＝32，∴当D －θ＝π2，即D ＝π2＋θ时，S 四边形ABCD 最大，此时sin D ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝27＝277.答案：27716．已知函数f ()＝⎩⎨⎧2＋log 2x ，x ≥1，3x －2，x <1，若f [f (0)＋]>2，则实数的取值范围是________．解析：因为f (0)＝－2，所以f (－2＋)>2.当－2＋<1，即<3时，令f (－2＋)＝3(－2)－2>2，无解；当－2＋≥1，即≥3时，令f (－2＋)＝2＋log 2(－2)>2，得log 2(－2)>0，即－2>1，解得>3.故实数的取值范围是(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019年高考数学“12+4”限时提速练2
“12＋4”限时提速练(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |4<x 2<9}，B ＝{x |x ＋1>0}，则A ∩B ＝( C ) A ．(－2,3) B ．(－1,2) C ．(2,3)D ．(－3，－2)解析：由4<x 2<9得A ＝(－3，－2)∪(2,3)，由x ＋1>0得B ＝(－1，＋∞)，则A ∩B ＝(2,3)．2.－3i 1＋3i ＝( A ) A ．－34－34i B ．－34＋34i C ．－12＋32iD ．－12－32i解析：z ＝－3i1＋3i ＝－3i (1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－3－3i 4＝－34－34i.3．已知向量m ＝(2，－4)，n ＝(－2，x )，p ＝2m －3n ，若p ∥m ，则实数x 的值为( D )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：由题意知，p ＝(10，－8－3x )，∵p ∥m ，∴10×(－4)＝2×(－8－3x )，解得x ＝4.4．下列说法中正确的是( C )A ．数据5,4,4,3,5,2的众数是4B ．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C ．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半D ．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 解析：5.已知双曲线x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为2，则ba ＝( B )A. 2B. 3 C ．2D ．3 解析：双曲线的右焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为b ，双曲线的右顶点(a,0)到渐近线y ＝b a x 的距离为abc ，∴b ＝2·ab c ，c ＝2a ，∴b a ＝c 2－a 2a 2＝ 3.6．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为( A ) A ．1＋2 B ．1＋22 C.22D ．0解析：分析程序框图，结合已知条件，可知y ＝sin π4x 以8为周期，且y ＝sin0＋sin π4＋sin 2π4＋…＋sin 7π4＝0，所以S ＝sin 16π4＋sin 17π4＋sin 18π4＋sin 19π4＋sin 20π4＝sin0＋sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋sinπ＝1＋ 2.7．图①是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到，图②是第1代“勾股树”，重复图②的作法，得到图③为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为( D )A．n B．n2C．n－1 D．n＋1解析：最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，当n＝2时，所有正方形面积的和为3，……以此类推，所有正方形面积的和为n＋1.8．若函数y＝f(x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，f(－5)＝0，则f(3＋x)>0的解集为(A)A．(－∞，－8)∪(2，＋∞)B．(－∞，－8)C．(2，＋∞)D．(－8,2)解析：因为函数y＝f(x)为偶函数，所以f(5)＝f(－5)＝0.f(3＋x)>0⇒f(3＋x)>f(5)⇒f(|3＋x|)>f(5)⇒|3＋x|>5⇒x>2或x<－8.9．某几何体的三视图如图所示，当xy的值最大时，该几何体的体积为(C)A．967 B．487C．167 D．87解析：由三视图可知，该几何体为三棱锥P -ABC ，如图，底面ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，P A ⊥平面ABC ，且AB ＝y ，DC ＝x ，PB ＝10，BC ＝27，依题意得，P A 2＋y 2＝102，P A 2＋(27)2＝x 2，两式相减得y＝128－x 2，则xy ＝x128－x 2≤x 2＋(128－x 2)22＝64，当且仅当x ＝128－x 2，即x ＝8时，等号成立，此时y ＝8，P A ＝6，所以V P -ABC＝13×12×6×27×8＝167.10．在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C 且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 为( A )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：因为tan B ·tan C ＝1－2，即sin B ·sin Ccos B ·cos C ＝1－2，则cos B ·cos C ＝－(2＋1)sin B ·sin C ，由积化和差公式得，12[－cos A ＋cos(B －C )]＝－(2＋1)12·[cos(B －C )＋cos A ]，∴cos(B －C )＝－cos A2＋1，所以sin A ＝－2cos B ·cos C ＝－22·[－cos A ＋cos(B －C )]＝cos A ，所以tan A ＝1，即A ＝π4.11．如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上，半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( B )解析：依题意，当0<t ≤1时，圆心到直线l 2的距离为1－t ，所以圆心角θ满足cos θ2＝1－t ，所以圆心角为cos θ＝2cos 2θ2－1＝2(1－t )2－1＝2t 2－4t ＋1，而所截弧长x ＝θ，所以y ＝cos x ＝cos θ＝2t 2－4t ＋1，此时y ＝f (t )，是对称轴为1的二次函数，故选B.12．设经过点C (－1,0)的直线交椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，且满足CA →＝3BC →，e ＝63，若直线的斜率为1，则椭圆的长轴长为( C )A.76B.72 C.7 D ．27解析：由e ＝c a ＝63，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程：x 23b 2＋y 2b 2＝1，将直线y ＝x ＋1代入并整理得：4x 2＋6x ＋3－3b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－32，x 1·x 2＝3－3b 24，∵C (－1,0)，∴CA →＝(x 1＋1，y 1)，BC →＝(－1－x 2，－y 2)，由CA →＝3BC →得：x 1＋1＝3(－1－x 2)，即x 1＝－4－3x 2代入x 1＋x 2＝－32得x 2＝－54，从而x 1＝－14，代入x 1·x 2＝3－3b 24，∴3b 2＝74，∴a 2＝74，∴a ＝72，∴2a ＝7.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，x ＋2y －3≥0，则z ＝x －2y 的最大值是3.解析：作出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数z ＝x －2y 所对应的直线过点A (3,0)时，z 取得最大值3.14．(ax ＋x )9的展开式中x 3的系数为18，则实数a ＝2.解析：二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(a x)9－r (x )r ＝C r 9a 9－r x 3r 2－9，令3r 2－9＝3，解得r ＝8，故C 89a 9－8＝18，解得a ＝2. 15．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则AC 1的长为 6.解析：四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，∴AC 1→2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2|AB →|·|AD →|·cos ∠BAD ＋2|AB →|·|AA 1→|·cos ∠A 1AB ＋2|AD →|·|AA 1→|·cos ∠A 1AD ＝1＋1＋1＋1＋1＋1＝6，∴AC 1的长为|AC 1→|＝ 6.16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋ln x x，x >0，log 2|x |，x <0，方程f 2(x )＋mf (x )＝0(m ∈R )有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是(－1,0)．解析：当x >0时，f (x )＝1＋ln x x ，则f ′(x )＝－ln xx 2.当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，且f (x )>0.在此段上f (x )的最大值为f (1)＝1；当x <0时，f (x )＝log 2(－x )，所以可作出y ＝f (x )的图象如图所示，对于方程f 2(x )＋mf (x )＝0(m ∈R )可化简为f (x )[f (x )＋m ]＝0，可得f (x )＝0或f (x )＝－m ，当f (x )＝0时，由图象可知有两个不相等的根，当f (x )＝－m 时有三个不相等的根，此时0<－m <1，解得－1<m <0.。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4)
12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i 为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2019的虚部为( )A.－1B.1C.－2D.2答案 C解+析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i ＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ， ∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |1<x <2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |1≤x <2} D.{x |1≤x <4}答案 C解+析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A.－15B.15C.30D.－30 答案 B解+析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2 5C.离心率为133D.渐近线方程为2x ±3y ＝0答案 D解+析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β 其中正确的命题是( ) A.②③B.①③C.①④D.③④ 答案 C解+析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β. ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β，正确. m ⊥α且m ∥n ，可得出n ⊥α，又n ∥β，故得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A.60种B.54种C.48种D.24种 答案 D解+析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数且p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A.p ＝q <v <r B.p ＝v <q <r C.p ＝v <r <q D.p <v <q <r答案 B解+析 由题意可得，p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )＝12(ln a ＋ln b )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2>ln ab ＝p ，v ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )， ∴p ＝v ＜q ，∵a 2＋b 22>a ＋b2， ∴r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝12ln a 2＋b22>ln a ＋b 2＝q .故p ＝v <q <r .8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是( )A.n <7?B.n ≤7?C.n <8?D.n ≤8? 答案 D解+析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n . ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8？.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧(左)视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S 1，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S 2，则S 1∶S 2为( )A.5∶1B.5∶2C.5∶4D.10∶1 答案 B解+析 由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥底面ABC ，且底面△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，SA ＝5.故三棱锥外接球的球心在过BC 的中点O 1且与底面垂直的直线上，设为点O ，则有OO 1＝12SA＝52，设球半径为R ，则有R 2＝OO 21＋O 1C 2＝252. 故三棱锥的外接球表面积S 1＝4×π×252＝50π.俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积S 2＝12×(2π×4)×5＝20π.∴S 1S 2＝50π20π＝52. 10.将函数f (x )＝sin ωx (ω是正整数)的图象向右平移π6个单位长度，所得曲线在区间⎝⎛⎫4π3，3π2内单调递增，则ω的值为( ) A.3B.4C.5D.6 答案 A解+析 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π6个单位长度，可得f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所得曲线在⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，可得2k π－π2≤ω⎝⎛⎭⎫4π3－π6＜ω⎝⎛⎭⎫3π2－π6≤2k π＋π2， 求得12k 7－37≤ω≤3k 2＋38，由12k 7－37<3k 2＋38，得k <154且k ∈Z ，又∵ω为正整数，∴取k ＝2，得ω＝3.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为( ) A.155 B.154C.153 D.152答案 C解+析 由题意知等腰△ABP 中，|AB |＝|AP |＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ，∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －|AP |cos 2θ＝－11a 5，y ＝|AP |sin 2θ＝8a5， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－11a 5，8a5. 由点P 在双曲线上，得⎝⎛⎭⎫－11a 52a 2－⎝⎛⎭⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解+析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0.∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确，故选C.13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8解+析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2，2)， 又|OA |＝|OB |＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.14.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解+析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， 又∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.15.(2018·河北衡水金卷模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解+析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316.16.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为______. 答案 S n ＝3n －2n解+析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝⎛⎭⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n .。
通用版2019版高考数学(文)二轮复习：4套“12+4”限时提速练(含解析)
4套“12＋4”限时提速练“12＋4”限时提速练(一) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知N 是自然数集，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |6x ＋1∈N ，B ＝{0,1,2,3,4}，则A ∩B ＝( )A ．{0,2}B ．{0,1,2}C ．{2,3}D ．{0,2,4}解析：选B ∵6x ＋1∈N ，∴x ＋1应为6的正约数，∴x ＋1＝1或x ＋1＝2或x ＋1＝3或x ＋1＝6，解得x ＝0或x ＝1或x ＝2或x ＝5，∴集合A ＝{0,1,2,5}，又B ＝{0,1,2,3,4}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选B.2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则z ＝( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋iD ．1－i解析：选C 因为(1＋i)z ＝2i ， 所以z ＝2i1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i.3．设向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，若a ∥b ，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－13D ．－3 解析：选A 因为a ＝(1,2)，b ＝(m ，m ＋1)，a ∥b ， 所以2m ＝m ＋1，解得m ＝1.4．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2.若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N *)，则m ＝( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 由题意可得，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，又a m ＝a 41q 6＝210，所以m ＝10.5．已知圆C 的圆心在坐标轴上，且经过点(6,0)及椭圆x 216＋y 24＝1的两个顶点，则该圆的标准方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝16B ．x 2＋(y －6)2＝72 C.⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009D.⎝⎛⎭⎫x ＋832＋y 2＝1009解析：选C 由题意得圆C 经过点(0，±2)， 设圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 由a 2＋4＝r 2，(6－a )2＝r 2， 解得a ＝83，r 2＝1009，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －832＋y 2＝1009.6.据统计，2018年春节期间，甲、乙两个抢红包群抢红包的金额(单位：元)的茎叶图如图所示，其中甲群抢得红包金额的平均数是88元，乙群抢得红包金额的中位数是89元，则m ，n 的等差中项为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 因为甲群抢得红包金额的平均数是88， 所以78＋86＋84＋88＋95＋(90＋m )＋927＝88，解得m ＝3.因为乙群抢得红包金额的中位数是89，所以n ＝9. 所以m ，n 的等差中项为m ＋n 2＝3＋92＝6.7．某几何体的三视图如图所示，俯视图是一个圆，其内有一个边长为2的正方形，正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，它们的底边长和圆的直径相等，它们的内接矩形的长和圆内正方形的对角线长相等，宽和正方形的边长相等，则俯视图中圆的半径是( )A ．2B ．2 2C ．3D.2＋1解析：选D 因为正方形的边长为2，所以正方形的对角线长为2， 设俯视图中圆的半径为R ， 如图，可得R ＝2＋1.8．我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”设每层外周枚数为a ，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )A ．121B ．81C ．74D ．49解析：选B 第一次循环：S ＝1，n ＝2，a ＝8；第二次循环：S ＝9，n ＝3，a ＝16； 第三次循环：S ＝25，n ＝4，a ＝24；第四次循环：S ＝49，n ＝5，a ＝32； 第五次循环：S ＝81，n ＝6，a ＝40，不满足a ≤32，退出循环，输出S 的值为81. 9.函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)A ＞0，|θ|≤π2的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B 由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，∴2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．10.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为36，点E ，F 分别为棱B 1B ，C 1C 上的点(异于端点)，且EF ∥BC ，则四棱锥A 1-AEFD 的体积为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选D 连接AF ，易知四棱锥A 1-AEFD 的体积为三棱锥F -A 1AD 和三棱锥F -A 1AE 的体积之和．设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，则V F -A 1AD ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，V F -A 1AE ＝13×12×a ×h ×a ＝16a 2h ，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为13a 2h ，又a 2h ＝36，所以四棱锥A 1-AEFD 的体积为12.11．函数f (x )＝(2x 2＋3x )e x 的图象大致是( )解析：选A 由f (x )的解析式知，f (x )只有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除B 、D ；又f ′(x )＝(2x 2＋7x ＋3)e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，故选A. 12．已知函数f (x )＝ln x ＋x 与g (x )＝12ax 2＋ax －1(a ＞0)的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，23B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫32，2D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选D 设T (x )＝f (x )－g (x )＝ln x ＋x －12ax 2－ax ＋1，由题意知，当x ＞0时，T (x )有且仅有1个零点．T ′(x )＝1x ＋1－ax －a ＝x ＋1x －a (x ＋1)＝(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫1x －a ＝(x ＋1)·1x ·(1－ax )． 因为a ＞0，x ＞0，所以T (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，如图，当x →0时，T (x )→－∞，x →＋∞时，T (x )→－∞， 所以T ⎝⎛⎭⎫1a ＝0，即ln 1a ＋1a －12a －1＋1＝0， 所以ln 1a ＋12a＝0.因为y ＝ln 1x ＋12x 在x ＞0上单调递减，所以ln 1a ＋12a ＝0在a ＞0上最多有1个零点．当a ＝12时，ln 1a ＋12a >0，当a ＝1时，ln 1a ＋12a ＝12＞0，当a ＝32时，ln 1a ＋12a＜0，当a ＝2时，ln 1a ＋12a ＜0，所以a ∈⎝⎛⎭⎫1，32. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若函数f (x )＝x 2＋axx 3是奇函数，则常数a ＝______.解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 则由f (x )＋f (－x )＝0， 得x 2＋ax x 3＋x 2－ax －x 3＝0，即ax ＝0，则a ＝0. 答案：014．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，3x －5y ＋25≥0，x ＋4y －3≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示， 作出直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3x －5y ＋25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝225，所以z max ＝3×(－1)＋225＝75.答案：7515．在平面直角坐标系xOy 中，与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线，焦点位于x 轴上，且焦点到渐近线距离为2的双曲线的标准方程为________．解析：与双曲线x 23－y 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程可设为x 23－y 2＝λ，因为双曲线焦点在x 轴上，故λ＞0，又焦点到渐近线的距离为2， 所以λ＝4，所求方程为x 212－y 24＝1.答案：x 212－y 24＝116．如图所示，在△ABC 中，∠ABC 为锐角，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26，若BE ＝2DE ，S △ADE ＝423，则sin ∠BAE sin ∠DAE＝________.解析：因为在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝8，sin ∠ACB ＝26， 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，所以sin ∠ABC ＝223.又∠ABC 为锐角，所以cos ∠ABC ＝13.因为BE ＝2DE ，所以S △ABE ＝2S △ADE . 又因为S △ADE ＝423，所以S △ABD ＝4 2. 因为S △ABD ＝12×BD ×AB ×sin ∠ABC ，所以BD ＝6.由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos ∠ABD ，可得AD ＝4 2. 因为S △ABE ＝12×AB ×AE ×sin ∠BAE ，S △DAE ＝12×AD ×AE ×sin ∠DAE ，所以sin ∠BAE sin ∠DAE＝2×ADAB ＝4 2.答案：4 2“12＋4”限时提速练(二) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x ＜ 2，B ＝{x |ln x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．[－1,1]解析：选A ∵12≤2x ＜ 2，∴－1≤x ＜12，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ＜12.∵ln x ≤0，∴0＜x ≤1，∴B ＝{x |0＜x ≤1}， ∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12.3．已知函数f (x )＝2x (x ＜0)，其值域为D ，在区间(－1,2)上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是( )A.12B.13C.14D.23解析：选B 因为函数y ＝2x 是R 上的增函数， 所以函数f (x )的值域是(0,1)，由几何概型的概率公式得，所求概率P ＝1－02－(－1)＝13.4．已知B 是以线段AC 为直径的圆上的一点(异于点A ，C )，其中|AB |＝2，则 AC ―→·AB ―→＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 连接BC ，∵AC 为直径，∴∠ABC ＝90°，∴AB ⊥BC ，AC ―→在AB ―→上的投影|AC ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝|AB ―→|＝2， ∴AC ―→·AB ―→＝|AC ―→||AB ―→|cos 〈AC ―→，AB ―→〉＝4. 5．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．－3 B.32C ．3D ．4解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以B (2，－1)，故z max ＝2×2－1＝3.6．执行如图所示的程序框图，若输出的s ＝25，则判断框中可填入的条件是( )A ．i ≤4?B ．i ≥4?C ．i ≤5?D ．i ≥5?解析：选C 执行程序框图，i ＝1，s ＝100－5＝95；i ＝2，s ＝95－10＝85；i ＝3，s ＝85－15＝70；i ＝4，s ＝70－20＝50；i ＝5，s ＝50－25＝25；i ＝6，退出循环．此时输出的s ＝25.结合选项知，选C.7．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值为( )A.π12 B.π6C.π4D.π3解析：选B 根据题意可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，将其图象向左平移φ个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋2φ的图象，因为该图象所对应的函数恰为奇函数，所以2π3＋2φ＝k π(k ∈Z)，φ＝k π2－π3(k ∈Z)，又φ＞0，所以当k ＝1时，φ取得最小值，且φmin ＝π6，故选B.8．南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就提出了已知三角形的三边求其面积的公式：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方，得积．”即△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，其中△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，并举例“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何？”则该三角形沙田的面积为( )A ．82平方里B ．83平方里C ．84平方里D ．85平方里解析：选C 由题意知三角形沙田的三边长分别为15里、14里、13里，代入三角形的面积公式可得三角形沙田的面积S ＝14×⎣⎡⎦⎤132×152－⎝⎛⎭⎫132＋152－14222＝84(平方里)．故选C.9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．5π＋18B ．6π＋18C ．8π＋6D ．10π＋6解析：选C 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和两个半球构成的，故该几何体的表面积为2×12×4π×12＋2×12×π×12＋2×3＋12×2π×1×3＝8π＋6.10．已知f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≤f (2x )的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，23 B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤13，1解析：选B ∵函数f (x )是定义在[－2b,1＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋1＋b ＝0，∴b ＝1，函数f (x )的定义域为[－2,2]， 又函数f (x )在[－2,0]上单调递增，∴函数f (x )在[0,2]上单调递减，∵f (x －1)≤f (2x )，∴f (|x －1|)≤f (|2x |)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －1≤2，－2≤2x ≤2，|x －1|≥|2x |，解得－1≤x ≤13.11．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝81，则1a 6＋4a 8的最小值是( )A.73 B ．9 C ．1D ．3解析：选C 因为{a n }为等比数列，所以a 1a 11＋2a 5a 9＋a 4a 12＝a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝81，又因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 6＋a 8＝9， 所以1a 6＋4a 8＝19(a 6＋a 8)⎝⎛⎭⎫1a 6＋4a 8＝195＋a 8a 6＋4a 6a 8≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 8a 6×4a 6a 8＝1， 当且仅当a 8a 6＝4a 6a 8，a 6＋a 8＝9，即a 6＝3，a 8＝6时等号成立，所以1a 6＋4a 8的最小值是1.12．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在直线y ＝－1上，若 △ABC 为正三角形，则其边长为( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：选B 由题意可知，焦点F (0,1)，易知过焦点F 的直线的斜率存在且不为零，则设该直线方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx ＋1，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， 设线段AB 的中点为M ，则M (2k,2k 2＋1)， |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)(16k 2＋16)＝4(1＋k 2)． 设C (m ，－1)，连接MC ， ∵△ABC 为等边三角形，∴k MC ＝2k 2＋22k －m＝－1k ，m ＝2k 3＋4k ，点C (m ，－1)到直线y ＝kx ＋1的距离|MC |＝|km ＋2|1＋k 2＝32|AB |， ∴|km ＋2|1＋k 2＝32×4(1＋k 2)， 即2k 4＋4k 2＋21＋k 2＝23(1＋k 2)， 解得k ＝±2， ∴|AB |＝4(1＋k 2)＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以f ′(1)＝2，又因为点M (1，f (1))也在直线y ＝2x ＋1上，所以f (1)＝2×1＋1＝3，所以f (1)＋f ′(1)＝3＋2＝5.答案：514．甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与体育委员的年龄不同，体育委员比乙的年龄小，据此推断班长是________．解析：若甲是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故丙是体育委员，乙是学习委员，但这与丙比学习委员的年龄大矛盾，故甲不是班长；若丙是班长，由于体育委员比乙的年龄小，故甲是体育委员，这和甲与体育委员的年龄不同矛盾，故丙不是班长；若乙是班长，由于甲与体育委员的年龄不同，故甲是学习委员，丙是体育委员，此时其他条件均成立，故乙是班长．答案：乙15．已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB ―→＝3FA ―→，则此双曲线的离心率为________．解析：由F (－c,0)，A (0，b )， 得直线AF 的方程为y ＝bc x ＋b .根据题意知，直线AF 与渐近线y ＝ba x 相交，联立得⎩⎨⎧y ＝bcx ＋b ，y ＝ba x ，消去x 得，y B ＝bc c －a. 由AB ―→＝3FA ―→，得y B ＝4b ，所以bcc －a＝4b ，化简得3c ＝4a ， 所以离心率e ＝43.答案：4316．一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．解析：记该直角三角形为△ABC ，且AC 为斜边． 法一：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合， 取AC 的中点O ，连接BO ， ∴BO ＝12AC ，∴AC 取得最小值即BO 取得最小值，即点B 到平面ADEF 的距离． ∵△AHD 是边长为2的正三角形， ∴点B 到平面ADEF 的距离为3， ∴AC 的最小值为2 3.法二：如图，不妨令点A 与正三棱柱的一个顶点重合，设BH ＝m (m ≥0)，CD ＝n (n ≥0)，∴AB 2＝4＋m 2，BC 2＝4＋(n －m )2，AC 2＝4＋n 2. ∵AC 为Rt △ABC 的斜边， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即4＋m 2＋4＋(n －m )2＝4＋n 2， ∴m 2－nm ＋2＝0，∴m ≠0，n ＝m 2＋2m ＝m ＋2m，∴AC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫m ＋2m 2≥4＋8＝12，当且仅当m ＝2m ，即m ＝2时等号成立， ∴AC ≥23，故AC 的最小值为2 3. 答案：2 3“12＋4”限时提速练(三) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知a ，b ∈R ，复数a ＋b i ＝2i1－i，则a ＋b ＝( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－2解析：选C 因为a ＋b i ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，所以a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.2．设集合A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ，可得A ⊆B ，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥2. 3．若点⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α＝( ) A.32B.12C ．－32D ．－12解析：选C 因为sin 5π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝ －32， 所以点⎝⎛⎭⎫12，－32在角α的终边上，且该点到角α顶点的距离r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1， 所以sin α＝－32. 4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．搜索指数越大，表示网民搜索该关键词的次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年来，某个关键词的搜索指数变化的统计图．根据该统计图判断，下列结论正确的是( )A ．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年来，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差D ．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值 解析：选D 由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数变化的周期性并不显著，排除A ；由统计图可知，这半年来，该关键词的搜索指数的整体减弱趋势不显著，排除B ；由统计图可知，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，所以2017年10月的方差大于11月的方差，排除C ；由统计图可知，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于10 000，该月平均值大于10 000，2018年1月该关键词的搜索指数大多低于10 000，该月平均值小于10 000，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )A.33B.233C. 3D ．2解析：选D 由三视图知，该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图，该四棱锥的高h ＝3，底面ABCD 是边长分别为2，3的矩形，所以该四棱锥的体积V ＝13S 四边形ABCD ×h ＝13×2×3×3＝2.故选D.6．在如图所示的程序框图中，如果输入a ＝1，b ＝1，则输出的S ＝( )A ．7B ．20C ．22D ．54解析：选B 执行程序，a ＝1，b ＝1，S ＝0，k ＝0，k ≤4，S ＝2，a ＝2，b ＝3；k ＝2，k ≤4，S ＝7，a ＝5，b ＝8；k ＝4，k ≤4，S ＝20，a ＝13，b ＝21；k ＝6，不满足k ≤4，退出循环．则输出的S ＝20.7．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为( )A ．3＋6或3－ 6B ．3＋26或3－2 6C ．9或－3D ．8或－2解析：选A 由题知圆C 的圆心为C (0,3)，半径为6，取AB 的中点为D ，连接CD ，则CD ⊥AB ，在△ACD 中，|AC |＝6，∠ACD ＝60°，所以|CD |＝62，由点到直线的距离公式得|－3＋m |(3)2＋1＝62，解得m ＝3±6. 8．若直线x ＝a π(0＜a ＜1)与函数y ＝tan x 的图象无公共点，则不等式tan x ≥2a 的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ＜k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ＜k π＋π2，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：选B 由正切函数的图象知，直线x ＝a π(0<a <1)与函数y ＝tan x 的图象没有公共点时，a ＝12，所以tan x ≥2a ，即tan x ≥1，其解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z. 9．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018的值是( )A.4 0352 018B.4 0332 017C.2 0172 018D.2 0162 017解析：选B 由S n ＋1＝2S n 可知，数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝2，公比为2的等比数列，所以S n ＝2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，所以b n ＝log 2a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n －1，n ≥2.当n ≥2时，1b n b n ＋1＝1(n －1)n ＝1n －1－1n ， 所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 2 017b 2 018＝1＋1－12＋12－13＋…＋12 016－12 017＝2－12 017＝4 0332 017.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋a ，x ＜1，ln x ＋1，x ≥1，若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－∞，5)D ．(－∞，5]解析：选C 法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e.由方程f (x )＝2有两个解知，当x ＜1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x ＜1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)＜0，得a ＜5，故选C.法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x ＜1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图象知，要使f (x )＝2有两个解，则 a －3<2，得a <5.11．已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|Q F |，且∠PF Q ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13 B.12C.33D.22解析：选C 设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，Q F 1.根据对称性，线段FF 1与线段P Q 在点O 处互相平分，所以四边形PF Q F 1是平行四边形，|F Q |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PF Q ＝60°，根据椭圆的定义得|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|Q F |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝⎛⎭⎫23a 2＋⎝⎛⎭⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos 60°，化简得c 2a 2＝13， 所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.12．已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e 24 B.⎝⎛⎦⎤－∞，e2 C ．(0,2] D ．[2，＋∞)解析：选A f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋k (2－x )x ＝(x －2)(e x －kx 2)x 3(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或e x ＝kx 2(x ＞0)．由x ＝2是函数f (x )的唯一极值点知e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立或e x ≤kx 2(x ＞0)恒成立， 由y ＝e x (x ＞0)和y ＝kx 2(x ＞0)的图象可知，只能是e x ≥kx 2(x ＞0)恒成立． 当x ＞0时，由e x≥kx 2，得k ≤e xx2.设g (x )＝e xx2，则k ≤g (x )min .由g ′(x )＝e x (x －2)x 3，得当x ＞2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，所以g (x )min ＝g (2)＝e 24，所以k ≤e 24.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|2a ＋b |＝22，则|b |＝________. 解析：法一：因为|2a ＋b |＝22， 所以4a 2＋4a ·b ＋b 2＝8. 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0.又|a |＝1，所以4×1＋4×0＋b 2＝8，所以|b |＝2. 法二：如图，作出OA ―→＝2a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝2a ＋b ，因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ，因为|a |＝1，|2a ＋b |＝22， 所以|OA ―→|＝2，|OC ―→|＝22，所以|OB ―→|＝|b |＝2.法三：因为a ⊥b ，所以以O 为坐标原点，以a ，b 的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，因为|a |＝1，所以a ＝(1,0)，设b ＝(0，y )(y ＞0)，则2a ＋b ＝(2，y )，因为|2a ＋b |＝22，所以4＋y 2＝8，解得y ＝2，所以|b |＝2.答案：214．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x －y ＋4≥0，2x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋3y ＝0，并平移该直线，当直线经过点A (0，4)时，目标函数z ＝x ＋3y 取得最大值，且z max ＝12.答案：1215．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B，则△ABC 的面积等于________． 解析：由a cos A ＝b cos B 及正弦定理，得sin A cos A ＝sin Bcos B ，即tan A ＝tan B ，所以A ＝B ，即a ＝b .由cos C ＝14且c ＝3，结合余弦定理a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，得a ＝b ＝6，又sin C ＝1－cos 2 C ＝154，所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3154. 答案：315416．如图，等腰三角形PAB 所在平面为α，PA ⊥PB ，AB ＝4，C ，D 分别为PA ，AB 的中点，G 为CD 的中点．平面α内经过点G 的直线l 将△PAB 分成两部分，把点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P ′(P ′∉平面α)．若点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段P ′H 的长度的取值范围是________．解析：在等腰三角形PAB 中，∵PA ⊥PB ，AB ＝4，∴PA ＝PB ＝2 2.∵C ，D 分别为PA ，AB 的中点， ∴PC ＝CD ＝2且PC ⊥CD .连接PG ，P ′G ，∵G 为CD 的中点，∴PG ＝P ′G ＝102. 连接HG ，∵点P ′在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上， ∴P ′H ⊥平面α，∴P ′H ⊥HG ，∴HG ＜P ′G ＝102. 易知点G 到线段AB 的距离为12，∴HG ≥12，∴12≤HG ＜102.又P ′H ＝⎝⎛⎭⎫1022－HG 2， ∴0＜P ′H ≤32.答案：⎝⎛⎦⎤0，32“12＋4”限时提速练(四) (满分80分，限时45分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．复数z ＝2＋i1－i的共轭复数对应的点在复平面内位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D 复数z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋3i 2＝12＋32i ，则复数z 的共轭复数为z ＝12－32i ，所以复数z 的共轭复数对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫12，－32，该点位于第四象限． 2．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≥1，N ＝{}y |y ＝1－x 2，则M ∩N ＝( )A ．(－∞，2]B ．(0,1]C ．[0,1]D ．(0,2]解析：选B 由2x ≥1得x －2x ≤0，解得0<x ≤2，则M ＝{x |0<x ≤2}； 函数y ＝1－x 2的值域是(－∞，1]，则N ＝{y |y ≤1}，因此M ∩N ＝{x |0<x ≤1}＝(0,1]．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( )A ．52B ．78C ．104D ．208解析：选C 依题意得3a 7＝24，a 7＝8，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝104，选C. 4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝ －2x ，则f (1)＋f (4)等于( )A.32 B ．－32C ．－1D ．1解析：选B 由f (x ＋4)＝f (x )知f (x )是周期为4的周期函数， 又f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (4)＝f (0)＝－1，f (1)＝f (－1)，又－1∈[－2,0]，所以f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (1)＝－12，f (1)＋f (4)＝－32.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( ) A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5， 因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5. 6．某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将60个同学按01,02,03，…，60进行编号，然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读，则选出的第6个个体是( )(注：下表为随机数表的第8行和第9行)⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 第9行A ．07B ．25C ．42D ．52解析：选D 依题意得，依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52，…因此选出的第6个个体是52.7．在平面区域{(x ，y )|0≤x ≤1,1≤y ≤2}内随机投入一点P ，则点P 的坐标(x ，y )满足y ≤2x的概率为( )A .34 B.23C .12D.14解析：选D 作出不等式表示的平面区域如图所示， 故所求概率P (y ≤2x)＝12×12×11×1＝14.8．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2，23，4，则其外接球的表面积为( )A ．48πB ．32πC ．20πD ．12π解析：选B 依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R ，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R ＝1222＋(23)2＋42＝22，因此三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝32π.9．已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233B.153 C ．2D.102解析：选A 根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)，所以⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x22a2－y 22b2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，即y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB ＝y 1－y 2 x 1－x 2·－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋b 2a2＝ 1＋13＝233. 10．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后的图象关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A.32B.12C ．－12D ．－32解析：选D 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－32. 11．某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为( )A .12 B.24 C .22D.32解析：选C 依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a ，则斜边长为2a ，圆锥的底面半径为22a 、母线长为a ，因此其俯视图中椭圆的长轴长为2a 、短轴长为a ，其离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫a 2a 2＝22. 12．已知函数f (x )＝x 3－3x ，则方程f [f (x )]＝1的实根的个数是( ) A ．9 B ．7 C ．5D ．3解析：选A 依题意得f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x>1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，且f(－1)＝f (2)＝2，f (1)＝－2，f (±3)＝f (0)＝0.在平面直角坐标系内画出直线y ＝1与函数y ＝f(x )的图象(图略)，结合图象可知，它们共有三个不同的交点，记这三个交点的横坐标由小到大依次为x 1，x 2，x 3， 则－3<x 1<－1<x 2<0，3<x 3<2.再画出直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3，结合图象可知，直线y ＝x 1，y ＝x 2，y ＝x 3与函数y＝f (x )的图象的交点个数均为3，且这些交点的横坐标各不相同，所以方程f [f (x )]＝1的实根个数是9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝2x ，则f (log 49)＝________. 解析：因为当x <0时，f (x )＝2x ，令x >0，则－x <0，故f (－x )＝2－x ，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－2－x ，又因为log 49＝log 23>0，所以f (log 49)＝f (log 23)＝－2－log 23＝－2log 213＝－13.答案：－1314．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________. 解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)， 所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件； 由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151615．已知点A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 为其焦点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交准线于B ，C 两点，若△FBC 为正三角形，且△ABC 的面积为1283，则抛物线的方程为________．解析：如图，可得|BF |＝2p3，则由抛物线的定义知点A 到准线的距离也为2p 3，又△ABC 的面积为1283，所以12×2p 3×2p 3＝1283，解得p ＝8，故抛物线的方程为y 2＝16x .答案：y 2＝16x16．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n ＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n＋b n )，所以a n ＋1＋b n ＋1a n ＋b n＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n ， 将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘，得a n ＋1b n ＋1a n b n ＝2， 所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036. 答案：4 036。
2019高考数学二轮复习 第一部分 题型专项练“12+4”小题综合提速练(四)文
“12＋4”小题综合提速练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2018·湘潭联考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,2)B ．[2,4]C ．(－∞，－1)D ．(－∞，4]解析：集合A ＝{x |log 2x ≤2}＝{x |0＜x ≤4}，B ＝{x |(x －2)(x ＋1)≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}．∁U B ＝{x |－1＜x ＜2}．所以A ∩∁U B ＝{x |0＜x ＜2}＝(0,2)．故选A. 答案：A2．(2018·广西三校联考)已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．－3解析：a ＋2ii＝a ＋2i ii2＝2－a i ＝b ＋i ，所以b ＝2，a ＝－1，a －b ＝－3，故选D.答案：D3．(2018·大连八中模拟)设向量a ，b 满足|a|＝2，|b |＝|a ＋b |＝3，则|a ＋2b |＝( ) A ．6 B ．3 2 C ．10D ．4 2解析：|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝4＋9＋2a ·b ＝9，a ·b ＝－2， |a ＋2b |2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×(－2)＋36＝32， |a ＋2b |＝42，选D. 答案：D4．设a ＝log 23，b ＝43，c ＝log 34，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．c ＜b ＜a解析：∵a ＝log 23＞＝43＝b ，b ＝43＝＞log 34＝c ，∴a ，b ，c 的大小关系为c ＜b ＜a . 答案：D5．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，b n ＝2a n ，数列{b n }的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．(A ＋B )－C ＝B 2D ．(B －A )2＝A (C －B )解析：∵{a n }是公差不为0的等差数列，∴{b n }是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得A ，B －A ，C －B 成等比数列，∴可得(B －A )2＝A (C －B )，故选D. 答案：D6．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：对于选项A ，因为y ＝－sin 2x ，T ＝2π2＝π，且图象关于原点对称，故选A.答案：A7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.43＋π cm 3B.23＋π cm 3C.4＋π3cm 3D.4＋2π3cm 3解析：由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为12×π×12×2＝π，四棱锥体积为13×4×1＝43，所以该几何体体积为43＋π，故选A.答案：A8．(2018·珠海市模拟)在线段AB 上任取一点P ，点P 恰好满足|AP |＞23|AB |的概率是( )A.23B.49 C.19D.13解析：设|AB |＝3，则|AP |∈(2,3]，所以点P 恰好满足|AP |＞23|AB |的概率是3－23＝13.故选D.答案：D9．(2018·吉林百校联考)运行如图所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1,2，…，10)分别为1.5、2.6、3.7、4.8、7.2、8.6、9.1、5.3、6.9、7.0，则输出的值为( )A.49B.25C.12D.59解析：阅读流程图可得，流程图中的k 记录输入的数据中大于等于6.8的数据的个数，i ＋1记录的输入数据的总个数，10个数据中，大于等于6.8的数据的个数是5， 据此可得：输出的值为510＝12.答案：C10．(2018·邢台质检)已知f (n )表示正整数n 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1,2,3,4 ,6,12，则f (12)＝3；21的因数有1,3,7,21，则f (21)＝21，那么∑100i ＝51f (i )的值为( )A ．2 488B ．2 495C ．2 498D ．2 500解析：由f (n )的定义知f (n )＝f (2n )，且若n 为奇数，则f (n )＝n ，则∑100i ＝1f (i )＝f (1)＋f (2)＋…＋f (100) ＝1＋3＋5＋…＋99＋f (2)＋f (4)＋…＋f (100)＝50×1＋992＋f (1)＋f (2)＋…＋f (50)＝2 500＋∑50i ＝1f (i )， ∴∑100i ＝51f (i )＝∑100i ＝1f (i )－∑50i ＝1f (i )＝2 500. 选D. 答案：D11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(5－12，1) B ．(0，5－12) C ．(3－12，1) D ．(0，3－12) 解析：设正方形的边长为2m ，∵椭圆的焦点在正方形的内部，∴m ＞c ，又正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，∴m 2a 2＋m 2b 2＝1≥c 2a 2＋c 2b 2＝e 2＋e 21－e 2，e 4－3e 2＋1≥0，e 2≤3－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122， ∴0＜e ＜5－12，故选B. 答案：B12．(2018·宣城市调研)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}；②M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}；③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }；④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中为“好集合”的序号是( ) A ．①②④ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析：对于①，y ＝1x是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90˚，所以在同一支上，任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，满足“好集合”的定义；在另一支上对任意(x 1，y 1)∈M ，不存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，所以不满足“好集合”的定义，不是“好集合”． 对于②，M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}，如图(1)中的直角始终存在，对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，例如取M (0，－1)，则N (ln 2，0)，满足“好集合”的定义，所以是“好集合”；②正确.对于③，M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }，如图(2)，对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，例如(0,1)、(π，0)，满足“好集合”的定义，所以M 是“好集合”；③正确.对于④，M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }，如图(3)，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“好集合”．所以②③正确． 故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上)13．(2018·洛阳市联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，3x ＋4y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：作出可行域：∵设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，令s ＝y ＋1x ＋1， s 表示动点P (x ，y )与定点(－1，－1)连线的斜率，当点P 在B (0,0)时，s 最小，即z 的最小值为1＋2＝3； 当点P 在A (0,3)时，s 最大，即z 的最大值为1＋8＝9. 答案：[3,9]14．(2018·海南省八校联考)已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，过F 的直线l 与直线x ＋3y －1＝0垂直，且直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，∴F (4,0)，又过F 的直线l 与直线x ＋3y －1＝0垂直， ∴直线l 的方程为y ＝3(x －4)，代入抛物线C ：y 2＝16x ，易得： 3x 2－40x ＋48＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝403，x 1x 2＝16，|AB |＝1＋3x 1＋x 22－4x 1x 2＝643.答案：64315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＝(2a －c )sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π2，且b ＝3，记h 为AC 边上的高，则h 的取值范围为________．解析：由b cos C ＝(2a －c )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2得b cos C ＋c cos B ＝2a cos B ⇒a ＝2a cos B ⇒cos B ＝12，∴3＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥ac .∵S ＝12ac sin B ＝12bh ，∴h ＝12ca ∈(0，32]．答案：(0，32]16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n 2＋n2，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：N (n,3)＝12n 2＋12n ；正方形数：N (n,4)＝n 2；五边形数：N (n,5)＝32n 2－12n ；六边形数：N (n ，6)＝2n 2－n ，…，由此推测N (8,8)＝________. 解析：原已知式子可化为：N ＝(n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数：N ＝(n,4)＝22n 2＋0n ，五边形数：N ＝(n,5)＝32n 2－12n ，六边形数：N ＝(n,6)＝42n 2－22n ，……由此推测由归纳推理可得N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，故N (8,8)＝62×82－42×8＝176.答案：176。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练四理.doc
“12＋4”小题提速练(四)一、选择题1．(2018·湖州模拟)已知复数满足(3－4i)＝25，则＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4iD ．3＋4i解析：选D 由已知可得＝253－4i ＝253＋4i3－4i 3＋4i＝3＋4i ，故选D. 2．(2018·贵阳模拟)设集合A ＝{|(－1)(＋2)<0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －3<0，则A ∪B ＝( ) A ．(－2,1) B ．(－2,3) C ．(－1,3)D ．(－1,1)解析：选B A ＝{|－2<<1}，B ＝{|－1<<3}，A ∪B ＝{|－2<<3}，故选B.3．(2018·张掖模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8D ．－10解析：选B ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝a 1(a 1＋6)，∴a 1＝－8，∴a 2＝－8＋2＝－6.4．(2018·唐山模拟)执行如图所示的程序框图，当输入的n 为7时，输出的S 的值是( )A ．14B ．210C ．42D ．840解析：选B n ＝7，S ＝1,7<5？，否，S ＝7×1＝7，n ＝6,6<5？，否，S ＝6×7＝42，n ＝5,5<5？，否，S ＝5×42＝210，n ＝4,4<5？，是，退出循环，输出的S 的值为210，选B.5．(2018·河北五个一名校联考)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落在阴影部分(曲线C 的方程为2－y ＝0)的点的个数约为( )A ．3 333B ．6 667C ．7 500D ．7 854解析：选B 题图中阴影部分的面积为⎠⎛01(1－2)d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33⎪⎪⎪10＝23，正方形的面积为1，设落在阴影部分的点的个数为n ，由几何概型的概率计算公式可知，231＝n10 000，n ≈6 667，故选B.6．已知函数f ()＝2x －1，则下列结论正确的是( ) A ．函数f ()的图象关于点(1,0)中心对称 B ．函数f ()在(－∞，1)上是增函数 C ．函数f ()的图象关于直线＝1对称D ．函数f ()的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥轴 解析：选A 由题知，函数f ()＝2x －1的图象是由函数y ＝2x的图象向右平移1个单位长度得到的，可得函数f ()的图象关于点(1,0)中心对称，选项A 正确；函数f ()在(－∞，1)上是减函数，选项B 错误；易知函数f ()＝2x －1的图象不关于直线＝1对称，选项C 错误；由函数f ()的单调性及函数f ()的图象，可知函数f ()的图象上不存在两点A ，B ，使得直线AB ∥轴，选项D 错误．故选A.7．已知双曲线C ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，左、右焦点分别为F 1，F 2，则双曲线C 上满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 构成的图形的面积为( )A.285 B ．565C.745D.965解析：选D 由题意得m >0，m ＋m 2＋4m＝5，解得m ＝2，所以双曲线C ：x 22－y 28＝1，设M(0，y 0)，则x 202－y 208＝1，因为MF 1―→·MF 2―→＝0，所以20＋y 20＝10，故y 0＝±4105，0＝±3105，所以满足条件的点M 共有四个，构成一个矩形，长为8105，宽为6105，故面积为965.8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C 的离心率为( )A.52B ．62C. 3D. 5解析：选B 设双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，则∠F 1A F 2＝120°，得cb ＝t an 60°，即c ＝3b ，a ＝2b ，所以双曲线C 的离心率e ＝62. 9．我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－π2B ．8－4π3C ．8－πD ．8－2π解析：选C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图的几何体体积相等．根据题设所给的三视图，可知图中的几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱，正方体的体积为23＝8，半圆柱的体积为12×(π×12)×2＝π，因此该不规则几何体的体积为8－π，故选C.10．(2018·西安三模)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选C 设BC 的中点为D ，则由OP ―→＝OA ―→＋λ(AB ―→＋AC ―→)，可得AP ―→＝λ(AB ―→＋AC ―→)＝2λAD ―→，所以点P 在△ABC 的中线AD 所在的射线上，所以动点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．故选C.11．已知三棱锥S ABC 的每个顶点都在球O 的表面上，SA ⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝215，且二面角S BC A 的正切值为4，则球O 的表面积为( )A ．240πB ．248πC ．252πD ．272π解析：选D 取BC 的中点D ，连接SD ，AD ，易知AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，所以∠SDA 是二面角S BC A 的平面角，于是有t an ∠SDA ＝4，即SA ＝4AD ＝442152＝4.在△ABC 中，sin ∠ABC ＝AD AB ＝14，由正弦定理得△ABC 的外接圆半径r ＝AC2si n ∠ABC＝8. 可将三棱锥S ABC 补形成一个直三棱柱ABCSB ′C ′，其中该直三棱柱的底面为△ABC ，高为SA ＝4，因此三棱锥S ABC 的外接球的半径R ＝22＋82＝68，因此三棱锥S ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝272π，选D.12．(2018·武昌模拟)已知函数f ()＝l n xx－在区间[e 41，e]上有两个不同的零点，则实数的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14e ，12e B ．⎝⎛⎭⎪⎫14e ，12e C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，14eD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，1e 解析：选A 令f ()＝l n x x－＝0，则＝l n x x2，令g()＝l n x x2，则g ′()＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l n x x 2′＝1－2l n x x3，令g ′()＝0，解得＝e 21∈[e41，e]．因为当∈(e 41，e 21)时，g ′()>0，所以g()在(e 41，e 21)上单调递增；当∈(e 21，e)时，g ′()<0，所以g()在(e 21，e)上单调递减．所以当＝e 21时，g()取得最大值g(e 21)＝l n e 21e 212＝12e.由题意函数f ()＝l n x x －在区间[e 41，e]上有两个不同的零点，知直线y ＝与g()＝l n xx2的图象在区间[e 41，e]上有两个不同的交点，又g(e 41)＝l n e 41e 412＝14e ，g(e)＝l n e e 2＝1e 2，因为1e 2<14e ，所以14e≤<12e ，故选A.二、填空题13．若f ()＝2－2－4l n ，则f ′()>0的解集为________．解析：f ′()＝2－2－4x ＝2x 2－x －2x (>0)，由f ′()>0得2x 2－x －2x>0，解得－1<<0或>2，又>0，∴f ′()>0的解集为{|>2}．答案：(2，＋∞)14．已知圆O ：2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．解析：设直线l ：y ＝＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋2)2＋2b ＋b 2－4＝0，设P(1，y 1)，Q(2，y 2)，则1＋2＝－2k b 1＋k 2，12＝b 2－41＋k 2，OP ·OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋b x 2＝2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k b b 2－4＋b 21＋k 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由OP ·OQ ＝2，得b 2－4k2b 2－4＝2，解得＝±1. 答案：±115．(2019届高三·南宁、柳州联考)若，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，等差数列{a n }满足a 1＝，a 5＝y ，其前n 项和为S n ，则S 5－S 2的最大值为________．解析：作出约束条件⎩⎨⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．因为a 1＝，a 5＝y ，所以公差d ＝y －x4，S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝3(a 5－d )＝34＋94y .设＝34＋94y ，作出直线34＋94y ＝0，平移该直线，当该直线经过点B (2,3)时，取得最大值334，即S 5－S 2的最大值为334. 答案：33416．(2019届高三·湘东五校联考)已知f ()＝(3sin ω＋cos ω)cos ω－12，其中ω>0，f ()的最小正周期为4π.(1)则函数f ()的单调递增区间是________________；(2)锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2a －c)cos B ＝b cos C ，则f (A)的取值范围是____________．解析：f ()＝(3sin ω＋cos ω)cos ω－12＝32sin 2ω＋12cos 2ω＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f ()的最小正周期为4π，∴2ω＝2π4π＝12，可得f ()＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.(1)令2π－π2≤12＋π6≤2π＋π2，∈，可得4π－4π3≤≤4π＋2π3，∈，∴f ()的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，∈.(2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， ∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin A ，又sin A ≠0，∴cos B ＝12，B ＝π3，∵三角形ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2， ∴π4<12A ＋π6<5π12，22<f (A )<6＋24. 答案：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，∈(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，6＋24。
2019届高考数学二轮复习客观题提速练四文(含答案)
客观题提速练四(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2018·吉林省实验中学模拟)已知N是自然数集,集合A={x∈N},B={0,1,2,3,4},则A∩B等于( )(A){0,2} (B){0,1,2}(C){2,3} (D){0,2,4}2.(2018·四川宜宾一诊)当<m<1时,复数(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3.(2018·石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x,则f(-)+f(4)等于( )(A)-+2 (B)1(C)3 (D)+24.(2018·全国名校第四次大联考)已知直线ax+2y-2=0与圆(x-1)2+(y+1)2=6相交于A,B两点,且A,B关于直线x+y=0对称,则a的值为( )(A)1 (B)-1 (C)2 (D)-25.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( )(A)f(x)的最小正周期为π,最大值为3(B)f(x)的最小正周期为π,最大值为4(C)f(x)的最小正周期为2π,最大值为3(D)f(x)的最小正周期为2π,最大值为46.(2018·东北三省四市教研联合体一模)已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B AD C,则过A,B,C,D四点的球的表面积为( )(A)3π(B)4π(C)5π(D)6π7.(2017·衡水金卷二模)若点P是以F1,F2为焦点的双曲线x2-=1(b>0)上一点,PF1⊥PF2,且|PF1|=2|PF2|,则此双曲线的标准方程是( )(A)x2-=1 (B)x2-=1(C)x2-=1 (D)x2-=18.(2018·南充三模)表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35,那么表中t的值为( )(A)39.(2018·四川宜宾一诊)已知{a n}是等差数列,S n为{a n}的前n项和,若a1=5,S4=8,则nS n的最大值为( )(A)16 (B)25 (C)27 (D)3210.(2018·太原一模)函数f(x)=的图象大致为( )11.(2017·承德期末)在四棱锥P ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=2BC,E是CD上一点,若AE⊥平面PBD,则的值为( )(A)(B)(C)3 (D)412.(2018·山东、湖北名校联盟)定义在{x|x≠0}上的函数f(x)满足f(x)-f(-x)=0,f(x)的导函数为f′(x),且满足f(1)=0,当x>0时,xf′(x)<2f(x),则使得不等式f(x)>0的解集为( )(A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(1,+∞) (D)(-1,0)∪(0,1)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·山东、湖北名校联盟)一只小虫在半径为3的球内自由飞行,若在飞行中始终保持与球面的距离大于1,称为“安全距离”,则小虫安全的概率为.14.(2018·济南调研)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为.15.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)设实数x,y满足则的最小值是.16.(2018·上高模拟)定义在实数集R上的函数f(x),如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.给出如下四个结论:①对于给定的函数f(x),其承托函数可能不存在,也可能有无数个;②定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数;③g(x)=2x为函数f(x)=|3x|的一个承托函数;④g(x)=x为函数f(x)=x2的一个承托函数.其中所有正确结论的序号是.1.B 因为A={x∈N}={0,1,2,5},B={0,1,2,3,4},所以A∩B={0,1,2}.故选B.2.D 因为<m<1,所以2<3m<3,0<3m-2<1,而m-1<0,故(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应的点位于第四象限,故选D.3.D 因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log24=2,所以f(-)+f(4)=+2.4.D 由几何关系可得直线x+y=0,经过圆(x-1)2+(y+1)2=6的圆心,且与直线ax+2y-2=0垂直,由直线垂直的充要条件得a×1+2×1=0,所以a=-2.选D.5.B 因为f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为π,最大值为4.故选B.6.C 如图所示.边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕,将△ABC折成直二面角B AD C,则AD=,BD=CD=1,设球的半径为r,则(2r)2=1+1+3=5,解得r2=,所以S=4πr2=4π·=5π,故选C.7.A 因为|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,因为PF1⊥PF2,|F1F2|=2c,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以c2=5a2,因为a=1,所以c2=5,b2=4,故双曲线的方程为x2-=1.故选A.8.A 因为==4.5,=,因为(,)满足回归方程,所以=0.7×4.5+0.35,解得t=3,故选A.9.D 设等差数列{a n}的公差为d,由已知得解得d=-2.所以S n=na1+=5n-n(n-1)=-n2+6n,nS n=-n3+6n2.设f(x)=-x3+6x2(x>0),f′(x)=-3x2+12x=-3x(x-4),(x>0),f(x)在(0,4)上递增,在(4,+∞)上递减,又因为n∈N,所以当n=4时,nS n取最大值32.故选D.10.A 函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以f(-x)===-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故排除B,因为f(1)==,f(2)==,所以f(1)<f(2),故排除C,当x→+∞时,f(x)→0,故排除D,故选A.11.C 因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AE,又AE⊥平面PBD,所以AE⊥BD,此时△ABD∽△DAE,则=,因为AB=2BC,所以DE=AB=CD,所以=3.故选C.12.D 当x>0时,xf′(x)<2f(x),令g(x)=,x>0时,g′(x)==<0,所以g(x)在(0,+∞)上递减,又g(x)为偶函数,且g(1)=0,所以g(x)>0时,-1<x<0或0<x<1,从而f(x)>0时,-1<x<0或0<x<1.所以f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1).故选D.13.解析:由题意得安全的区域为以球中心为球心,半径为2的球的内部,故p==. 答案:14.解析:全体志愿者共有=50(人),所以第三组志愿者有0.36×1×50=18(人),因为第三组中没有疗效的有6人,所以有疗效的有18-6=12(人).答案:1215.解析:不等式组对应的可行域如图,令u=1+,则u在点(3,1)处取得最小值,u min=1+=,在点(1,2)处取得最大值,u max=1+2=3,所以=()=()u,它的最小值为()3=.答案:16.解析:对于①,由题意可知,如果存在函数g(x)=Ax+B(A,B为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,那么对于f(x)=B来说,不存在承托函数,当f(x)=2x,g(x)=x,则此时f(x)有无数个承托函数;对于②,定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数,因为一个函数本身就是自己的承托函数.故错误;对于③,因为f(x)=|3x|≥2x恒成立,则可知g(x)=2x为函数f(x)=|3x|的一个承托函数,故正确;对于④,如果g(x)=x为函数f(x)=x2的一个承托函数.则必然有x2≥x并非对任意实数都成立,只有当x≥或x≤0时成立,因此错误.综上可知正确结论的序号为①③.答案:①③。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理201902203141
公众号：惟微小筑本资源的初衷 ,是希望通过网络分享 ,能够为广阔读者提供更好的效劳 ,为您 水平的提高提供坚强的动力和保证 .内容由一线名师原创 ,立意新 ,图片精 ,是 非常强的一手资料 ."12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2021·成都一模)设集合 A＝{x|－1<x<3} ,B＝{x|x2＋x－2>0} ,那么 A∩B＝( )A．(2,3)B．(1,3)C．(－∞ ,－2)∪(1,3)D．(－∞ ,－2)∪(1 ,＋∞)解析：选 B 由 x2＋x－2>0 ,得 x<－2 或 x>1 ,即 B＝(－∞ ,－2)∪(1 ,＋∞) ,所以 A∩B＝(1,3) ,应选 B.2．(2021·洛阳模拟)假设 m＋i＝(1＋2i)·ni(m ,n∈R ,i 是虚数单位) ,那么 n－m等于( )A．3B．2C．0D．－1m＝－2n 解析：选 A 由 m＋i＝(1＋2i)·ni＝－2n＋ni ,得1＝nm＝－2 ⇒ n＝1故n－m＝1－(－2)＝3 ,应选 A.3．(2021·洛阳尖子生统考)在等比数列{an}中 ,a3 ,a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的根 ,那么a2aa916的值为()A．－2＋2 2B．－ 2C. 2D．－ 2或 2解析：选 B 因为等比数列{an}中 a3 ,a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的根 ,所以 a3·a15＝a29＝2 ,a3＋a15＝－6 ,所以 a3<0 ,a15<0 ,那么 a9＝－ 2 ,所以a2aa916＝aa299＝a9＝－ 2 ,应选 B.4．(2021·广州模拟)x－21x9 的展开式中 x3 的系数为()公众号：惟微小筑A．－221B．－92C.92D.221解析：选 A 二项展开式的通项 Tr＋1＝Cr9x9－r－21xr＝－12rCr9x9－2r ,令 9－2r＝3 ,得 r＝3 ,展开式中 x3 的系数为－123C39＝－18×93× ×82× ×17＝－221 ,选 A.5．(2021·潍坊模拟)角 α 的顶点为坐标原点 O ,始边为 x 轴正半轴 ,终边在第二象限 ,A(x ,y)是其终边上一点 ,向量 m＝(3,4) ,假设 m⊥―O→A ,那么 tanα＋π4 ＝()A．71 B．－7C．－7D.17解析：选 D 由 m⊥―O→A ,得 3x＋4y＝0 ,即 y＝－34x ,所以 tan α＝－34 ,tanα＋π4 tan α＋tan ＝1－tan αtanπ34π4 ＝t1a－ntaαn＋α1＝1－－4＋－134＝17,选 D.6．(2021·成都二模)执行如下图的程序框图 ,输出的结果是( )A．13B．14C．15D．17解析：选 C 程序在运行过程中 a 的值变化如下：a＝1；a＝2×1＋1＝3 ,不满足 a>10；a＝2×3＋1＝7 ,不满足 a>10；a＝2×7＋1＝15 ,满足 aa＝15 ,应选 C.7．函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线 x＝π3 对称 ,且 f71π2 ＝0 ,那么 ω 取最|小值时 ,φ 的值为( )A.π6B．π3公众号：惟微小筑C.2π3D.5π 6解析：选 D 由71π2 －π3 ＝π4 ≥14×2ωπ ,解得 ω≥2 ,故 ω 的最|小值为 2 ,此时sin2×71π2 ＋φ＝0 ,即 sinπ6 ＋φ＝0 ,又 0<φ<π ,所以 φ＝56π. 8．(2021·武昌模拟)点 P 在双曲线xa22－yb22＝1(a>0 ,b>0)上 ,PF⊥x 轴(其中 F 为双曲线的右焦点) ,点 P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13 ,那么该双曲线的离心率为()A.2 3 3B． 3C.2 5 5D. 5解析：选 Ac 由题意知 F(c,0),由 PF⊥x 轴,不妨设点 P 在第|一象限,那么Pba2 ,b·c－a·ba2双曲线渐近线的方程为bx±ay＝0,由题意a2＋b21,得b·c＋a·ba2＝3,解得c＝2b,又c2＝a2a2＋b2＋b2 ,所以 a＝3b,所以双曲线的离心率 e＝ca＝2b 2 3＝ 3b3,应选 A.9．古代数学名著?张丘建算经?中有如下问题： "今有仓 ,东西袤一丈二尺 ,南北广七 尺 ,南壁高九尺 ,北壁高八尺 ,问受粟几何 ?〞题目的意思是："有一粮仓的三视图如下图 (单位：尺) ,问能储存多少粟米 ?〞1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 ,估算粮仓可以储存的 粟米约有(取整数)( )A．410 斛 C．430 斛B．420 斛 D．441 斛公众号：惟微小筑解析：选 D 粮仓的形状为一个如下图的直四棱柱 ,其体积为 V＝9＋2 8×7×12＝714(立方尺) ,又17.1642≈441 ,所以可以储存粟米约为 441 斛．10．(2021·浙江六校联考)双曲线xa22－yb22＝1(a>0 ,b>0)的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,P 为双曲线上任一点,且―PF→1 ·―PF→2 的最|小值的取值范围是－43c2 －12c2,那么该双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1 , 2]B．[ 2 ,2]C．(1 , 2)D．[2 ,＋∞)解析：选 B设 P(m,n)m2 n2 ,那么a2－b2＝1,即m2＝a21＋nb22,设 F1(－c,0),F2(c,0),那么―PF→1 ＝(－c－m ,－n) ,―PF→2 ＝(c－m ,－n) , 那么―PF→1 ·―PF→2 ＝m2－c2＋n2＝a21＋nb22－c2＋n2＝n21＋ab22＋a2－c2≥a2－c2(当 n＝0 时取等号) ,那么―PF→1 ·―PF→2 的最|小值为 a2－c2 ,由题意可得－34c2≤a2－c2≤－12c2 ,即14c2≤a2≤12c2 ,即12c≤a≤ 22c ,即 2≤e≤2 ,应选 B. 11．(2021·武汉调研)不等式 3x2－y2>0 所表示的平面区域内一点 P(x ,y)到直线 y＝ 3x 和直线 y＝－3x的垂线段分别为PA,PB,假设△PAB33 的面积为 16,那么点 P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A．(2,0)B．(3,0)C．(0,2)D．(0,3)解 析 ： 选 A 不 等 式 3x2 － y2>0 ⇒ ( 3 x － y)( 3 x ＋ y)>0 ⇒ 3x－y>0 3x＋y>0 3x－y<0 或 3x＋y<0其表示的平面区域如图中阴影局部所公众号：惟微小筑示．点 P(x ,y)到直线 y＝3x 和直线 y＝－3 x 的距离分别为|PA|＝|3x－y| ＝3＋1|3x－y| 2,|PB|＝|3x＋y|＝| 3＋13x＋y| 2,∵∠AOB＝120° ,∴∠APB＝60° ,∴S△PAB＝12×|PA|×|PB|sin60°＝3 3x2－y2 4× 4,又 S△PAB＝3163,3 3x2－y2 3 3 ∴ 4 × 4 ＝ 16 , ∴3x2－y2＝3 ,即 x2－y32＝1 ,∴P 点轨迹是双曲线 ,其焦点为(±2,0) ,应选 A.12．(2021·陕师大附中模拟)点 A(1 ,－1) ,B(4,0) ,C(2,2) ,平面区域 D 由所有满足―A→P ＝λ―A→B ＋μ―A→C (λ∈[1 ,a] ,μ∈[1 ,b])的点 P(x ,y)组成．假设区域 D 的面积为8 ,那么 a＋b 的最|小值为( )A.32B．2C．4D．8解析：选 C 如下图 ,延长 AB 到点 N ,延长 AC 到点 M ,使得 AN＝aAB ,AM＝bAC ,作 NG∥AM ,MG∥AN ,CH∥AN 且交 NG 于点 H ,BF∥AM 且交 MG 于点 F ,BF 交 CH 于点 E ,那么四边形 ABEC ,ANGM ,EHGF均为平行四边形．由题意知 ,点 P(x ,y)组成的区域 D 为图中的阴影局 部 ( 包 括 边 界 ) ． 因 为 ―A→B ＝ (3,1), ―A→C ＝ (1,3),所以cos∠CAB＝―A→C ·―A→B |―A→C ||―A→B |＝6 10×3 10＝5,所以 sin∠CAB＝45.由|―A→B |＝10 ,|―A→C |＝10 ,可得 EH＝BN＝AN－AB＝10(a－1) ,EF＝CM＝AM－AC＝ 10(b－1)．又区域 D 的面积为 8 ,所以 10(a－1)× 10(b－1)×45＝8 ,即(a－1)(ba>1 ,b>1 ,所以 a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2a－1b－1＋2＝4 ,当且仅当 a＝b＝2 时不等式取等号．故 a＋b 的最|小值为 4.应选 C.二、填空题3 m 13．(2021·长郡中学模拟)设 a＝4 m ,b＝14 ,且 a·b＝1,那么|b|＝________.公众号：惟微小筑解析：依题意得 a·b＝34m＋m4＝m＝1 ,|b|＝m2＋116＝17 4.17 答案： 414．(2021·福州模拟)△ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 3(acos C－ccos A)＝b ,B＝60° ,那么 A 的大小为________．解析：由正弦定理及 3(acos C－ccos A)＝b ,得 3(sin Acos C－sin Ccos A)＝sinB ,所以3sin(A－C)＝sinB,由 B＝60°,得 sinB＝3 2,所以 sin(A－C)＝12.又 A－C＝120°－2C∈(－120° ,120°) ,所以 A－C＝30° ,又 A＋C＝120° ,所以 A＝75°.答案：75°15．(2021·德阳模拟)椭圆：x42＋yb22＝1(0<b<2)的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 A ,B 两点 ,假设|BF2|＋|AF2|的最|大值为 5 ,那么 b 的值是________． 解析：由椭圆的方程可知 a＝2 ,由椭圆的定义可知 ,|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8 ,所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3 ,由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中 ,通径最|短 ,那么 2ab2b2＝3 ,即 b＝ 3.答案： 316．在数列{an}中 ,首|项不为零 ,且 an＝ 3an－1(n∈N* ,n≥2 ,Sn 为数列{an}的前 n 项 和．令 Tn＝10Sann－＋1S2n ,n∈N* ,那么 Tn 的最|大值为________．解析：依题意得 an＝a1×( 3)n－1 ,又 a1≠0 ,所以数列{an}是以 3为公比的等比数列 ,所以Sn＝a1×[1－ 1－3 3n],S2n＝a1×[1－ 1－3 32n],Tn＝10Sn－S2n an＋1＝3＋1 [10× 3 n－ 2× 3 n32n－9] ＝3＋1 210－3 n－9 3n . 因 为 10 －( 3)n－9 3 n≤10－23 n×9 3n＝4 ,Tn＝ 32＋110－3 n－9 3n≤3＋1 2 ×4＝2(3＋1) ,当且仅当(3)n＝9 3n ,即 n＝2 时取等号 ,因此 Tn 的最|大值是2( 3＋1)．答案：2( 3＋1)。
精品-2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a2a16a9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a2a16a9＝a29a9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝Cr 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r Cr9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A. 5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6B ．π3 C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B ．3C.255D.5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·c－a·b2a a2＋b2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·c＋a·b2a a2＋b2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF1―→·PF2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c2，－12c2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m2a2－n2b2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n2b2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF1―→＝(－c －m ，－n )，PF2―→＝(c －m ，－n )，则PF1―→·PF2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n2b2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a2b2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF1―→·PF2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ，即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y>0，3x ＋y>0或⎩⎨⎧3x －y<0，3x ＋y<0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y|3＋1＝|3x －y|2，|PB |＝|3x ＋y|3＋1＝|3x ＋y|2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x2－y24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x2－y24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF ∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2－－＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________.解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m2＋116＝174.答案：174二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________.解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m2＋116＝174.答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x24＋y2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案：316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10Sn －S2n an ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a1×[1－31－3，S 2n ＝a1×[1－31－3，T n ＝10Sn －S2nan ＋1＝3＋3－3－9]3＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3－93.因为10－(3)n－93≤10－2393＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3－93≤3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F(c,0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a，双曲线渐近线的方程为bx±ay＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·c－a·b2aa2＋b2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b·c＋a·b2aa2＋b2＝13，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝3b，所以双曲线的离心率e＝ca＝2b3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A．410斛B．420斛C．430斛D．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上任一点，且PF1―→·PF2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c2，－12c2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A．(1，2] B．[2，2]C．(1，2) D．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －1b －1＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋1[10×3n－32n－9]2×3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
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2019-2020年高考数学二轮复习“12＋4”限时提速练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i1－i是实数，则a 的值为( )A ．－4B ．2C ．－2D ．42．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，x 2，x ≤0，若f (4)＝2f (a )，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．2C ．－1D ．－23．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3x＜1，集合B ＝{y |y ＝t －2t －3}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，2]B ．(3，＋∞)C ．[2，3)D ．(0，3)4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 016的值为( ) A ．3 B ．1 C.13D ．32 0155．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0.则目标函数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ×4y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝2cos 2x 的图象，那么φ可以取的值为( )A.π2 B.π3 C.π4 D.π67．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝e xC ．f (x )＝ln x ＋x ＋2D ．f (x )＝x 28．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.π3 B.23 C ．π D.4π39．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 过点(1，0)且与直线x －y ＋1＝0垂直．若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 210．在掷一个骰子的试验中，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为( )A.13B.12C.23D.5611．已知A 1，A 2分别为双曲线x 24－y 29＝1的左、右顶点，P 为双曲线上第一象限内的点，直线l ：x ＝1与x 轴交于点C ，若直线PA 1，PA 2分别交直线l 于B 1，B 2两点，且△A 1B 1C 与△A 2B 2C 的面积相等，则直线PA 1的斜率为( )A.33 B.12 C.32 D.1312．已知函数f (x )的定义域为R ，且f ′(x )＋f (x )＝2x e －x，若f (0)＝1，则函数f ′（x ）f （x ）的取值范围为( )A ．[－1，0]B ．[－2，0]C ．[0，1]D ．[0，2]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝________. 14．为了了解某校xx 年高考报考体育特长生的学生体重(单位：kg)情况，将所得的数据整理后，画出的频率分布直方图如图所示．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为12，则该校报考体育特长生的学生人数为________．15．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．16．设f 1(x )＝21＋x ，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2，则a 2 017＝________.“12＋4”限时提速练(四)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：选D 依题意，复数2i －a i 1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.故选D.2．解析：选A f (4)＝log 24＝2，因而2f (a )＝2，即f (a )＝1，当a ＞0时，f (a )＝log 2a ＝1，因而a ＝2，当a ≤0时，f (a )＝a 2＝1，因而a ＝－1，故选A.3．解析：选B 由3x ＜1，得x －3x＞0，因而x ＞3或x ＜0，即A ＝(－∞，0)∪(3，＋∞)，设m ＝t －3≥0，则t ＝m 2＋3，因而y ＝m 2＋3－2m ＝(m －1)2＋2，所以B ＝[2，＋∞)，从而A ∩B ＝(3，＋∞)，故选B.4．解析：选C 由已知，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1a n －1＝a n (n ≥2)，则a 1a 3＝a 2，从而a 3＝3，又a 2a 4＝a 3，∴a 4＝1，同理a 5＝13，a 6＝13，a 7＝1，a 8＝3，那么数列{a n }为周期数列，且周期为6，∴a 2 016＝a 6＝13，故选C.5．解析：选A 通过不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5≥0，2x －y ≤0，x ≥0，y ≥0作出可行域如图中阴影部分所示，其中A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53，求z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x×4y ＝22y －x的最小值，可转化为求2y －x 的最小值，当x ＝y ＝0时，2y －x 取得最小值0，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x×4y的最小值为1，故选A.6．解析：选C 将y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1的图象，此时y ＝sin[2(x ＋φ)]＋1＝2cos 2x ，即sin[2(x ＋φ)]＝cos 2x ，因而2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，那么，由选项可知φ可以取的值为π4，故选C.7．解析：选C 当输入f (x )＝sin x 时，由于是奇函数，因而执行输出“是奇函数”，然后结束；当输入f (x )＝e x时，f (x )＝e x不是奇函数，但恒为正，因而输出“非负”，然后结束；当输入f (x )＝ln x ＋x ＋2时，f (x )＝ln x ＋x ＋2既不是奇函数，又不恒为非负，因而输出该函数；而当输入f (x )＝x 2时，由于f (x )＝x 2是偶函数，且非负，因而输出“非负”．故选C.8．解析：选C 由已知三视图，可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体，即如图所示的下半部分，则其体积为圆柱的一半，因而V ＝12×π×12×2＝π.故选C. 9．解析：选A 因为圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，其方程为x ＋y －1＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2， 弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝22，又坐标原点O 到AB 的距离为12，所以S △OAB ＝12×22×12＝1.10．解析：选C 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13.B 表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23.11．解析：选B 法一：由已知，显然直线PA 1的斜率存在，故可设直线PA 1的方程为y＝k (x ＋2)，由已知k ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24－y 29＝1得(9－4k 2)y 2－36ky ＝0，易知9－4k 2≠0，因而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋8k29－4k 2，36k 9－4k 2，所以kPA 2＝94k ，则直线PA 2的方程为y ＝94k (x －2)，直线PA 1，PA 2与直线l 分别交于B 1(1，3k )，B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，－94k ，因而12×3×3k ＝12×1×94k ，得k ＝12. 法二：由已知，P 为双曲线x 24－y 29＝1上的点，则kPA 1·kPA 2＝94，又直线PA 1的方程为y＝kPA 1(x ＋2)，交直线l 于B 1(1，3kPA 1)，直线PA 2的方程为y ＝kPA 2(x －2)，交直线l 于B 2(1，－kPA 2)，由于P 为第一象限内的点，因而kPA 1＞0，则12×3×3kPA 1＝12×1×kPA 2，即9k 2PA 1＝kPA 1kPA 2，从而kPA 1＝12，故选B.12．解析：选B 由f ′(x )＋f (x )＝2x e －x，得e x f ′(x )＋e xf (x )＝2x ， ∴[e xf (x )]′＝2x ，设e xf (x )＝x 2＋c ，由于f (0)＝1，因而c ＝1，∴f (x )＝x 2＋1ex ，f ′(x )＝2x e x －（x 2＋1）e x e 2x ＝－（x －1）2ex， ∴f ′（x ）f （x ）＝－（x －1）2x 2＋1＝－1＋2x x 2＋1，当x ＝0时，f ′（x ）f （x ）＝－1， 当x ≠0时，2x x 2＋1＝2x ＋1x∈[－1，1]，当x ＝－1时取得最小值，当x ＝1时取得最大值，从而f ′（x ）f （x ）的取值范围为[－2，0]，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分) 13．解析：将sin α＋cos α＝33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝53，因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋cos α＝－153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53. 答案：－5314．解析：由频率分布直方图可得前3个小组的频率之和为1－(0.013＋0.037)×5＝0.75，又它们的频率之比为1∶2∶3，所以第2小组的频率为13×0.75＝0.25，已知第2小组的频数为12，所以该校报考体育特长生的学生人数为120.25＝48. 答案：4815．解析：由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. 答案：4316．解析：由题意得f 1(0)＝21＋0＝2，a 1＝f 1（0）－1f 1（0）＋2＝14＝122；f 2(0)＝f 1(f 1(0))＝f 1(2)＝23，a 2＝f 2（0）－1f 2（0）＋2＝－18＝－123；f 3(0)＝f 1(f 2(0))＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝65，a 3＝f 3（0）－1f 3（0）＋2＝116＝124；同理可推出a4＝－125，a5＝126，a6＝－127，…，由此可得a n＝(－1)n＋112n＋1(n∈N*)，所以a2 017＝122 018.答案：122 018。