2014-2015学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷(文科)(每题详解)
重庆南开中学2014—2015学年度(下)初2017级期末考试(含答案)
重庆南开中学2014—2015学年度（下）初2017级期末考试英语试题温馨提示：1、本试卷共11个大题，100分，120分钟完卷；2、第I卷答案请用2B铅笔填涂在机读卡上；第II卷请用钢笔或签字笔把答案填写在答题卷上。
第I卷（55分）I．听力测试。
（共15分）（略）II．单项选择。
（每小题1分，共15分）请根据句意和语法，从A、B、C、D中选出最佳答案，并把机读卡上对应题目的答案标号涂黑。
16. Eric is going to Nanjing by __________ train.A. theB. aC. anD. /17. Come on, children. Have some __________ if you like.A. fishes and chickenB. potato and soupC. fish and juiceD. tomatoes and chickens18. – Why are you standing, Alice?-- I can’t see the blackboard. The two tall boys are __________ me.A. across fromB. next toC. behindD. in front of19. – Would you like __________ Jane, my aunt?-- Oh, nice to meet you, Jane. Would you like __________ juice?A. meeting; someB. to meet; someC. meet; anyD. to meet; any20. —Where is Jack? He __________ here just now.—Jack? Now he __________ volleyball on the playground.A. was; playsB. is; playedC. was; is playingD. is; is playing21. —Why is she so __________?—You don’t know? TF-boys are coming! Come!A. excitingB. relaxingC. excitedD. relaxed22. We went to UME yesterday. The movie was __________ good __________ we all want to see it again.A. too, thatB. so, toC. so, thatD. very, that23. – Does Miss Wang have long or short hair?-- __________.A. Long hairB. Yes, she has long hairC. No, she doesn’tD. She is tall24. I am looking for a birthday gift for my mother. But I didn’t find __________ good in the market. This is not good, either. Can you show me __________ one?A. anything; anotherB. something; anotherC. something; the otherD. anything; other25. – Who went to the mountains with you?-- Jerry __________.A. doesB. didC. doD. went26. – Hey, Mary. How’s it going?-- __________. We are having a great time in the museum.A. TerribleB. GreatC. It’s a good ideaD. No problem27. It’s 7 o’clock, the kids are still sleeping. __________!A. Wake them upB. Put them onC. Put on themD. Wake up them28. – May I take your order, sir?-- __________.A. I have no moneyB. No, go awayC. Yes, I’d like some noodlesD. You’re welcome29. __________ a book in the bookstore, you need to ask for help.A. To findB. FindC. FindingD. Finds30. I need to talk to her. Please tell me __________.A. where does she liveB. she lives whereC. where she livesD. where is sheIII．完形填空。
重庆市南开中学2014-2015学年高二下学期半期考试数学文试卷
重庆南开中学高2016级高二下半期考试(数学)文科一．选择题(共12题．每题5分，总分60)1．已知集合(){}122=+=y x y x A ，，集合(){}x y y x B ==，，则B A 的元素个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知命题R x P ∈∃0:，1tan 0≥x ，则它的否定为( ) A ．R x ∈∀，1tan ≥x B ．R x ∈∃0，1tan 0＞x C ．R x ∈∀，1tan ＜x D ．R x ∈∃0，1tan 0＜x 3．“1=m ”是“函数()()2244x m m x f +-=”为幂函数的( )条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 4．已知函数()⎩⎨⎧+-≤+=1311＞，，x x x x x f ，那么⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛25f f =( ) A ．21 B ．23 C ．25 D ．275．函数()()()a x x xx f -+=12为奇函数，则实数=( )A ．21 B ．32 C ．43 D ．16．函数xx y 9lg -=的零点所在的区间大致是( )A ．(6，7)B ．(7，8)C ．(8，9)D ．(9，l0) 7．已知函数()()32log 22--=x x x f ，则使()x f 为减函数的的区间是( )A ．(-∞，1)B ．(-1，1)C ．(1，3)D ．(-∞，-l)8．已知函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=42x f y 的定义域为[]222，-∈x ，则函数()x f y =的定义域为( )A ．[]11，-B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡221， C ．[]20，D ．[]30， 9．若方程m xx=+-1212log 2在[]21，∈x 上有解，则实数的取值范围为( ) A ．[]21， B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡532312log log ， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-312log ， D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+，532log 10．若函数()⎪⎩⎪⎨⎧--≤=01＞，，x x x a x e x f x在区间[-2，2]上的最大值为l ，则实数的取值范围是( )A ．[)∞+，3 B ．[]3,0 C ．(]3，∞- D ．(]4，∞- 11．已知定义在上的奇函数()x f 满足()()x f e x f -=+2，且在区间[]e e 2，上是减函数，又1213log 6lg 22＜，，-⎪⎭⎫⎝⎛==c b a 且1ln ＜c ，则有( ) A ．()()()c f b f a f ＜＜ B ．()()()a f c f b f ＜＜ C ．()()()b f a f c f ＜＜ D ． ()()()a f b f c f ＜＜12．已知()x f 是上的奇函数，当0＞x 时，()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=222120121-x ＞，＜，x x f x x f ，则函数在上的所有零点之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10 二．填空题(共4题，每题5分，总分20) 13．不等式215≥-+x x 的解集为14．曲线()13lnx ·+=x y 在1=x 处的切线方程为： 15．若实数，满足：422=+y x ，则232+-y x 的最大值为：16．已知函数()1222-+-=a ax x x f ，若关于的不等式()()0＜x f f 的解集为φ，则实数的取值范围： 三．解答题17．已知0＞c ，且1≠c ，设：p 函数xc y =在上单调递减，函数()122+-=cx x x f在⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21上是增函数，若“q p ∨”为假，求实数的范围。
重庆市南开中学2015届高三12月月考数学(文)试题Word版含答案
重庆南开中学高2015级高三12月月考数学试题(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个备选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1．圆122=+y x C ：关于直线2=x 对称的圆的方程为( ) A ．()1422=+-y x B ．()1422=++y xC ．()1422=-+y x D ．()1422=++y x2．已知(){}2,x y y x A ==，(){}x y y x B ==,，则B A = ( )A ．RB ．[0，+∞)C ．(1，1)D ．()(){}1100，，，3．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B 样本恰好是A 样本每个数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差4．已知等比数列{}n a 满足253=a a ，则7241a a a 的值是( )A ．2B ．4C ．8D ． 165．某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为( )`A ．32B ．6C ．22D ．3 6．下列说法错误的是( )A ．若命题“q p ∧”为真命题，则“q p ∨”为真命题B ．命题“若0＞m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆命题为真命题C ．命题“022=-∈∃x x R x ，”的否定是“022≠-∈∀x x R x ，”D ．“1＞x ”是“0＞x ”的充分不必要条件7．已知平面点集()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+=2211y x y x y x y x M ，，平面点集(){}122≤+y x y x ，，在集合M中任取一点P ，则点P 落在集合N 中的概率为( ) A ．122-π B ．1232-π C ．62-π D ．632-π 8．已知()x f y =是定义域为R 的奇函数，且当0＞x 时，()423-+=x x f x ，若存在I x ∈0，使得()00=x f ，则区间I 不可能是( )A ．()12--，B ．()11，-C ．()21， D ．()01，- 9．阅读右面的程序框图，若输入的n 是100，则输出的变量S 和T 的 值依次是( )A ．2450，2500B ．2550，2450C ．2500，2550D ．2550，250010．已知双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为21k k ，，当2121ln ln 2k k k k ++最小时，双曲线离心率为( )A ．2B ．3C ．2+1D ．2第Ⅱ卷(非选择题，共l00分)二．填空题：本大题共5小题，每小题5分。
2014年重庆市南开中学高三文科二模数学试卷
2014年重庆市南开中学高三文科二模数学试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 设集合M=x x2−2x−3<0，N=x log21−x<1，则M∩∁R N等于 A. −1,1B. −1,0C. 1,3D. 0,12. 已知直线l1:x+ky−2k=0与l2:kx−k−2y+1=0垂直，则k的值是 A. 1B. 3C. 1或−2D. 0或33. 已知数列a n满足：a m=12a m−1+a m+1m>1,m∈N，a4=4，则a3+a4+a5= A. 4B. 8C. 12D. 164. 已知x，y的取值如下表，从所得的散点图分析，y与x线性相关，则y=1.1x+a，则a=x0134y1236A. −0.4B. 0.8C. −1D. −1.25. 若a>0，b>0，且函数f x=4x3−ax2−2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A. 2B. 3C. 6D. 96. 执行如图所示程序框图，可以输出的函数为 A. 2ln xB. e xC. cos xD. 1x27. 已知命题P：函数f x=x−2lg3−x的定义域为2,3，命题Q：已知a，b为非零向量，则“函数f x= a x+b 2为偶函数”是“a⊥b”的充分但不必要条件．则下列命题为真命题的有A. P∧QB. P∧¬QC. ¬P∧QD. ¬P∨Q8. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦点为F1，F2，渐近线为l1，l2，过点F2且与l1平行的直线交l2于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为 A. 2B. 2C. 3D. 59. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b−a=c−b=1且C=2A，则cos C= A. 12B. 14C. 16D. 1810. 定义在−∞,0∪0,+∞的函数f x=ax 2+b log2 x2+1+x −1x+ca>0为奇函数，且当x∈1,+∞时，f x min=0，平面上的点P m,n使关于x的方程xf x+mx+n+1=0有实根，且根都落在区间−1,1上，那么这样的点P的集合在平面内的区域的形状是 A. B.C. D.二、填空题（共5小题；共25分）11. 已知复数z=1+2ii5，则它的模z等于．12. 已知函数f x=−2x2+ax+b，若a，b都是在区间0,4中任取的一个数，则f1>0的概率是．13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14. 已知a，b，c均为单位向量，且满足a⋅b=0，则 a+b+c⋅a+c的最大值为．15. 已知f x=4x−m⋅2x+1，g x=2x−12+1，若存在实数a，b同时满足方程g a+g b=0和f a+f b=0，则实数m的取值范围为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设f x=ax2−6ln x，其中a∈R，曲线y=f x在点1,f1处的切线与y轴相交于点0,3．（1）确定a的值；（2）求函数f x的单调区间与极值．17. 某生物技术公司研制出一种治疗乙肝的新药，为测试该药的有效性（若该药有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司在医院选定了2000个乙肝患者作为样本分成三组，测试结果如下表：A组B组C组新药有效673x y新药无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组新药有效的概率是0.33．（1）求x的值；（2）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．18. 已知数列a n的前n项和为S n，其中a1=1．已知向量a=2,a n，b=n+1,S n n∈N∗，且存在常数λ，使a=λb．（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足a1b1+a2b2+⋯+a n b n=2+n−1⋅2n+1n∈N∗，求数列a n+b n 的前n项和T n．19. 已知函数f x=4cos ωx−π6sinωx−cos2ωx+πω>0，其图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为π．（1）若g x=f34x+π4，求g x在0,π上的单调递增区间；（2）若fα+fπ2−α =4+212，且α∈π4,π2222sin α+π的值．20. 如图，正三棱柱ABC−A1B1C1底面边长为2，AA1=42，AC1=2AF，AD⊥B1D，AE=12B1E．（1）证明：DF∥平面ABB1A1；（2）求三棱锥A−DEF的体积．21. 已知F1，F2是椭圆E:x2a +y2b=1a>b>0的左右焦点，过F2作长轴的垂线，在第一象限和椭圆交于点H，且tan∠HF1F2=34．（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆的准线方程为x=±45，一条过原点O的动直线l1与椭圆交于A，B两点，N为椭圆上满足NA=NB的一点，试求1OA +1OB+2ON的值；（3）设动直线l2:y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q，若x 轴上存在一定点M1,0，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．答案第一部分1. C 【解析】因为集合M=x x2−2x−3<0=x−1<x<3，N=x log21−x< 1=x0<1−x<2=x−1<x<1，所以∁R N= x x≤−1,或x≥1，所以M∩∁R N=1,3．2. D 【解析】因为直线l1:x+ky−2k=0与l2:kx−k−2y+1=0垂直，所以k+−k−2⋅k=0，解得k=0或k=3．3. C 【解析】由a m=12a m−1+a m+1m>1,m∈N，得数列a n是等差数列，所以a3+a4+ a5=3a4，又a4=4，所以a3+a4+a5=3×4=12．4. B 【解析】由题意，x=0+1+3+44=2，y=1+2+3+64=3，因为y与x线性相关，且y=1.1x+a，所以3=1.1×2+a，所以a=0.8．5. D【解析】fʹx=12x2−2ax−2b，fʹ1=12−2a−2b=0，即a+b=6，又a>0，b>0，所以ab≤a+b24=9，当且仅当a=b=3时等号成立．6. C 【解析】由程序框图知：算法的功能是求存在零点的偶函数，因为y=ln x,x>0，为非奇非偶函数，所以 A选项函数不满足；因为y=e x 是偶函数，但不存在零点，所以 B 选项函数不满足；因为y=cos x是偶函数，且存在零点，所以 C 选项函数满足条件；因为y=1x2不存在零点，所以 D 选项函数不满足条件．7. B 【解析】①因为函数f x=x−2+lg3−x的定义域为2,3，故命题p为真命题；②若函数f x= a x+b 2为偶函数，则a⋅b=0，即a⊥b，反之若a⊥b，则a⋅b=0，则函数f x= a x+b 2为偶函数，故“函数f x= a x+b 2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故命题q为假命题；故A中，P∧Q为假命题；B中，P∧¬Q为真命题；C中，¬P∧Q为假命题；D中，¬P∨Q为假命题．8. A 【解析】不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba x−c，与y=−bax联立，可得交点M c2,−bc2a，因为点M在以线段F1F2为直径的圆上，所以c 24+b2c24a2=c2，所以b=3a，所以c=2+b2=2a，所以e=ca=2．9. D 【解析】由b−a=c−b=1，得到b=a+1，c=a+2，所以cos C=a 2+b2−c22ab=a2+a+12−a+222a a+1=a−32a，cos A=b2+c2−a22bc=a+12+a+22−a22a+1a+2=a+52a+2，因为C=2A，所以cos C=cos2A=2cos2A−1，即a−32a =2a+52a+22−1，解得：a=4，所以cos C=a−32a =18．10. D【解析】因为f x为奇函数，所以f−x=−f x，所以−x−c ax2+b log2 x2+1+x −1=−x+c ax2+b log2 x2+1−x −1，所以2bx log2 x2+1+x =2acx2−2c=2c ax2−1，因为a≠0，所以b=c=0，所以f x=ax 2−1x=ax−1x，因为a>0，所以f x在1,+∞上为增函数，所以 f xmin=f1=a−1=0，所以a=1，所以f x=x 2−1x，因为xf x+mx+n+1=0有实根，所以x2+mx+n=0有实根，所以Δ=m2−4n≥0, ⋯⋯①因为x∈−1,1，所以f−1≥0, f1≥0,所以1−m+n≥0,1+m+n≥0, ⋯⋯②结合①②得点P的集合取值情况如下图所示：只有选项D符合条件．第二部分11. 5【解析】因为复数z=1+2ii =1+2ii，所以z=1+2ii =1+2ii=1+22=5．12. 78【解析】因为函数f x=−2x2+ax+b，所以f1=−2+a+b，由f1>0，得−2+a+b>0，即a+b−2>0．因为a，b都是在区间0,4内任取一个数，所以0≤a≤4，0≤b≤4，可得点M a,b所在的区域是由a=0，a=4，b=0，b=4四条直线围成的正方形．设满足f1>0的点为N，则N所在的区域是正方形内，且在直线a+b−2=0的上方，如图，即五边形ABCDF的内部，因为正方形面积为S=4×4=16，五边形ABCDF的面积为S1=S正方形−S△OAF=16−12×2×2=14，所以事件“f1>0”的概率为：P=S1S =1416=78．13. 108+3π【解析】由三视图可知，该几何体由两个长方体和一个圆柱组成．所以V=2×6×6×32+π×12×3=108+3π．14. 5+2【解析】因为a，b，c均为单位向量，满足a⋅b=0，所以可设a=1,0，b=0,1，c=cosθ,sinθ，所以a+b+c⋅a+c=1+cosθ,1+sinθ⋅1+cosθ,sinθ=1+cosθ2+1+sinθsinθ=sinθ+2cosθ+2=5sinθ+φ+2≤5+2,tanφ=2，当且仅当sinθ+φ=1时取等号，所以 a+b+c⋅a+c的最大值为5+2．15. 12,+∞【解析】若g a+g b=0，则2a−12a+1+2b−12b+1=2a−12b+1+2a+12b−12a+12b+1=0，整理得2a+b+1=2，即a+b+1=1，则a+b=0，即b=−a，所以f a+f b=0等价为f a+f−a=0有解，即4a−m⋅2a+1+4−a−m⋅2−a+1=0，则m=4a+4−a2a+1+2−a+1，因为4a+4−a 2a+1+2−a+1=22a+2−2a22a+2−a=2a+2−a2−222a+2−a=2a+2−a−1a−a,设t=2a+2−a，则t≥2，则2a+2−a2−12a+2−a=12t−1t，在t≥2时，单调递增，即m=4a+4−a2+2≥12×2−12=12，所以要使m=4a+4−a2a+1+2−a+1有解，则m≥12．第三部分16. （1）因为fʹx=2ax2−6xx>0，所以fʹ1=2a−6，又f1=a，所以切线方程为：y−a=2a−6x−1，令x=0，得：y=6−a，所以6−a=3，所以a=3；（2）由（1）得fʹx=6x+1x−1xx>0，令fʹx>0，解得：x>1，令fʹx<0，解得：0<x<1，所以f x在0,1递减，在1,+∞递增，所以f x的极小值是f1=3，无极大值．17. （1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B组新药有效的概率是0.33．所以x=2000×33%=660．（2）由题意知本题是一个等可能事件的概率，设测试不能通过事件为M，C组疫苗有效与无效的可能情况有465,35，466,34，467,33，468,32，469,31，470,30共有6种结果，满足条件的事件是465,35，466,34共有2个，根据等可能事件的概率知P=26=13．18. （1）因为存在常数λ，使a=λb，所以a∥b，所以2S n=n+1a n, ⋯⋯①所以2S n+1=n+2a n+1, ⋯⋯②②−①，得：2a n+1=n+2a n+1−n+1a n，整理，得a n+1n+1=a nn对任意的n∈N∗恒成立，所以a nn是常数列，所以a nn =a11=1，所以a n=n．（2）因为a1b1+a2b2+⋯+a n b n=2+n−1⋅2n+1n∈N∗，所以a1b1+a2b2+⋯+a n+1b n+1=2+n⋅2n+2n∈N∗，两式相减，得a n+1b n+1=n+1⋅2n+1，由（1）知a n+1=n+1，所以b n+1=2n+1，所以b n=2n，n≥2，因为a1b1=2，所以b1=2，所以b n=2n n∈N∗．所以T n=1+2+3+⋯+n+2+22+23+⋯+2n=n n+1+21−2n=n n+12+2n+1−2.19. （1）因为函数f x=4cos ωx−π6sinωx−cos2ωx+π，所以函数f x=4cosωx cos π6+sinωx sinπ6sinωx+cos2ωx=3sin2ωx+1−cos2ωx+cos2ωx=3sin2ωx+1,因为T=2π2ω=2π，所以ω=12，所以f x=x+1所以g x=f34x+π4=3sin34x+π4+1，因为x∈0,π，所以34x+π4∈π4,π ，令t=34x+π4，所以y=3sin t+1的单调递增区间为π4,π2，因为π4≤34x+π4≤π2，所以x∈0,π3，所以g x的单调递增区间为0,π3．（2）根据（1），所以3sinα+cosα+2=4+212，所以sinα+cosα=72，所以cosα−sinα=−12，sinαcosα=38，因为5sin2α+11cos2α−8tanα+cotα2sin α+π4=6cos2α−31sinαcosαsinα+cosα=3cos2α−sin2αsinα+cosα⋅1sinαcosα=3cosα−sinα=3 −1238=−4.22 2sin α+π的值是 −4．20. （1） 如图：连接 A 1B ，A 1C ，因为 ABC −A 1B 1C 1 是正三棱柱， 所以 AD ⊥BB 1，又因为 AD ⊥B 1D ，BB 1∩B 1D =B 1， 所以 AD ⊥平面BB 1C 1， 因为 △ABC 为正三角形， 所以 D 为 BC 的中点， 因为 F 为 A 1C 的中点， 所以 DF ∥A 1B ，因为 DF ⊄平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1， 所以 DF ∥平面ABB 1A 1；（2）V A−DEF =V D−AEF=16V D−AB 1C 1=16V A−DB 1C 1=13⋅16⋅S △B 1C 1D ⋅AD =2 69.21. （1） 由题意知 tan ∠HF 1F 2=b 2a2c=b 22ac =a 2−c 22ac=34，所以 2a 2−2c 2−3ac =0， 所以 2−2e 2−3e =0， 解得 e =12 或 e =−2（舍）， 所以 e =12．（2） 因为椭圆准线方程为 x =±a 2c，所以 a2c =4 5， 又由（1）知 e =ca =12，且a2=b2+c2，解得a2=20，b2=15，所以椭圆方程为x 220+y215=1，由NA=NB，知N在线段AB的垂直平分线上，又由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，①若A，B在椭圆的短轴的顶点上，则点N在椭圆的长轴顶点上，此时12+12+22=12+12+22=21a2+1b2=7,若A，B在椭圆的长轴顶点上，则点N在椭圆的短轴顶点上，此时1 OA2+1OB2+2ON2=1a2+1a2+2b2=212+12=730,②当A，B，N不是椭圆顶点时，设l1:y=kx，k≠0，A x1,y1，则直线ON:y=−1kx，由y=kx,x220+y215=1,解得x12=604k2+3，y12=60k24k2+3，所以OA2=OB2=x12+y12=60k2+14k2+3，用−1k 代替k得到ON2=60k2+13k2+4，所以1 OA2+1OB2+2ON2=2×4k2+360k2+1+3k2+430k2+1=730,综上，1OA +1OB+2ON=730．（3）因为b2a2=34，设b2=3t，a2=4t，所以椭圆的方程为3x2+4y2−12t=0，由3x2+4y2−12t=0,y=kx+m得3+4k2x2+8kmx+4m2−12t=0，因为动直线y=kx+m与椭圆有且只有一个公共点P，所以Δ=0，即64k2m2−43+4m24m2−12t=0，整理，得m2=3t+4k2t，设P x1,y1，则x1=−8km23+4k =−4km3+4k，y1=kx1+m=3m3+4k，所以P −4km3+4k ,3m3+4k，又M1,0，Q4,4k+m，若x轴上存在一定点M1,0，使得PM⊥QM，所以1+4m3+4k ,−3m3+4k⋅ −3,34k+m=0恒成立，整理，得3+4k2=m2，所以3+4k2=3t+4k2t恒成立，故t=1．所以所求椭圆方程为x 24+y23=1．。
2015年重庆市南开中学高二下学期期中数学试卷与解析答案(文科)
2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期中数学试卷（文科）一．选择题（共12题．每题5分，总分60）1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）已知命题P：∃x0∈R，tanx0≥1，则它的否定为（）A．∀x∈R，tanx≥1 B．∃x0∈R，tanx0＞1C．∀x∈R，tanx＜1 D．∃x0∈R，tanx0＜13．（5分）“m=1”是“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（5分）已知函数f（x）=，那么f（f（））=（）A．B．C．D．5．（5分）若函数为奇函数，则a=（）A．B．C．D．16．（5分）函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7） B．（7，8） C．（8，9） D．（9，10）7．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则使f（x）为减函数的x的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣∞，﹣l）8．（5分）已知y=f（）的定义域为[﹣，2]，则y=f（x）的定义域为（）A．[﹣1，1]B．[，2]C．[0，2]D．[0，3]9．（5分）若方程log2=m在x∈[1，2]上有解，则实数m的取值范围为（）A．[1，2]B．[log2，log2]C．[﹣∞，log2]D．[log2，+∞]10．（5分）若函数f（x）=在区间[﹣2，2]上的最大值为1，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞]B．[0，3]C．[﹣∞，3]D．[﹣∞，4]11．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）=﹣f（x）（其中e为自然对数的底），且在区间[e，2e]上是减函数，又a=lg6，b=log23，（）c﹣2＜1且lnc＜1，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f （b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）12．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的所有零点之和为（）A．7 B．8 C．9 D．10二．填空题（共4题，每题5分，总分20）13．（5分）不等式的解集是．14．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．15．（5分）若实数x，y满足：x2+y2=4，则x2﹣3y+2的最大值为：．16．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是．三．解答题17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．18．（12分）设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣2，2]时，f（x）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．20．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（1）求f（x）在（e，f（e））处的切线方程（2）若存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（a+1）x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在（0，e）内有极小值，求a的值．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点p（2，c）处有相同的切线（p为切点），求实数a，b的值．（2）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调减区间为[﹣，﹣]；①求函数h（x）在区间（﹣∞，﹣1]上的最大值M（a）．②若|h（x）|≤3在x∈[﹣2，0]上恒成立，求实数a的取值范围．2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共12题．每题5分，总分60）1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：由，解得：或，∴A∩B的元素的个数是2个，故选：B．2．（5分）已知命题P：∃x0∈R，tanx0≥1，则它的否定为（）A．∀x∈R，tanx≥1 B．∃x0∈R，tanx0＞1C．∀x∈R，tanx＜1 D．∃x0∈R，tanx0＜1【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题为：∀x∈R，tanx＜1，故选：C．3．（5分）“m=1”是“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：若“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数，则m2﹣4m+4=1，即m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3，则“m=1”是“函数f（x）=（m2﹣4m+4）x2”为幂函数的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）已知函数f（x）=，那么f（f（））=（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（f（））=f（）=，故选：B．5．（5分）若函数为奇函数，则a=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵f（x）为奇函数∴f（﹣1）=﹣f（1）∴=∴1+a=3（1﹣a）解得a=故选：A．6．（5分）函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（6，7） B．（7，8） C．（8，9） D．（9，10）【解答】解：由于函数y=f（x）=lgx﹣在（0，+∞）上是增函数，f（9）=lg9﹣1＜0，f（10）=1﹣=＞0，f（9）•f（10）＜0，故函数y=lgx﹣的零点所在的大致区间是（9，10），故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3），则使f（x）为减函数的x的区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，1）C．（1，3） D．（﹣∞，﹣l）【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0解得，x＞3或x＜﹣1，则函数的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），令y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即函数y在（﹣∞，﹣1）是减函数，在（3，+∞）是增函数，∵函数y=log2x在定义域上是增函数，∴函数f（x）的减区间是（﹣∞，﹣1）．故选：D．8．（5分）已知y=f（）的定义域为[﹣，2]，则y=f（x）的定义域为（）A．[﹣1，1]B．[，2]C．[0，2]D．[0，3]【解答】解：∵y=f（）的定义域为[﹣，2]，∴﹣≤x≤2，∴0≤x2≤8，∴0≤≤2；∴y=f（x）的定义域为[0，2]．故选：C．9．（5分）若方程log2=m在x∈[1，2]上有解，则实数m的取值范围为（）A．[1，2]B．[log2，log2]C．[﹣∞，log2]D．[log2，+∞]【解答】解：∵log2=m，∴=2m，又∵=1﹣，又∵x∈[1，2]，∴≤≤；∴≤2m≤；∴m∈[log2，log2]，故选：B．10．（5分）若函数f（x）=在区间[﹣2，2]上的最大值为1，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞]B．[0，3]C．[﹣∞，3]D．[﹣∞，4]【解答】解：当x≤0，e x≤e0=1，当x＞0时，a﹣x﹣=a﹣（x+）≤a﹣2；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）故a﹣2≤1；故a≤3；故选：C．11．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）=﹣f（x）（其中e为自然对数的底），且在区间[e，2e]上是减函数，又a=lg6，b=log23，（）c﹣2＜1且lnc＜1，则有（）A．f（a）＜f（b）＜f（c） B．f（b）＜f（c）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f （b）D．f（c）＜f（b）＜f（a）【解答】解：由（）c﹣2＜1且lnc＜1得2＜c＜e，∵f（x）是奇函数，∴f（x+2e）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数f（x）关于x=e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上是减函数，∴f（x）在区间[0，e]上是增函数，∵0＜lg6＜1，1＜log23＜2，∴0＜a＜b＜c，∵f（x）在区间[0，e]上是增函数，∴f（a）＜f（b）＜f（c），故选：A．12．（5分）已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=，则函数g（x）=xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的所有零点之和为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．又∵函数g（x）=xf（x）﹣1，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）﹣1=（﹣x）[﹣f（x）]﹣1=xf（x）﹣1=g（x），∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数g（x）在[﹣6，6]上所有的零点的和为0，∴函数g（x）在[﹣6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．由0＜x≤2时，f（x）=2|x﹣1|﹣1，故有f（x）=，∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[0，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1．又∵当x＞2时，f（x）=f（x﹣2），∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[，]，函数f（x）在（4，6]上的值域为[，]，函数f（x）在（6，8]上的值域为[，]，当且仅当x=8时，f（x）=，函数f（x）在（8，10]上的值域为[，]，当且仅当x=10时，f（x）=，故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）﹣1在（8，10]上无零点，同理g（x）=xf（x）﹣1在（10，12]上无零点，依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点．综上函数g（x）=xf（x）﹣1在[﹣6，+∞）上的所有零点之和为8，故选：B．二．填空题（共4题，每题5分，总分20）13．（5分）不等式的解集是（1，7] ．【解答】解：不等式，移项得：，即，解得：1＜x≤7，则原不等式的解集为（1，7]．故答案为：（1，7]．14．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．15．（5分）若实数x，y满足：x2+y2=4，则x2﹣3y+2的最大值为：．【解答】解：实数x，y满足：x2+y2=4，可得y∈[﹣2，2]．则x2﹣3y+2=﹣y2﹣3y+6=﹣（y﹣）2+6+≤，当且仅当y=时，表达式取得最大值．故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是a≤﹣2．【解答】解：f（x）=x2﹣2ax+a2﹣1=x2﹣2ax+（a﹣1）（a+1）=[x﹣（a﹣1）][x ﹣（a+1）]由f（x）＜0即[x﹣（a﹣1）][x﹣（a+1）]＜0解得a﹣1＜x＜a+1，那么不等式f（f（x））＜0⇒a﹣1＜f（x）＜a+1 （*）又f（x）=（x﹣a）2﹣1当x=a时，f（x）取得最小值﹣1即函数的值域为[﹣1，+∞）若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，那么（a﹣1，a+1）与值域的交集为空集所以a+1≤﹣1所以a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．三．解答题17．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．（5分）又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[（10分）]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．（12分）18．（12分）设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣2，2]时，f（x）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：由已知条件得，x∈[﹣2，2]时，m＜f（x）恒成立，∴m＜f（x），x∈[﹣2，2]；minf′（x）=3x2﹣x﹣2，令f′（x）=0得，x=﹣，或1；∴时，f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；∴f（x）在[﹣2，2]上的，极小值是f（1）=，又f（﹣2）=﹣1；∴在[﹣2，2]上，f（x）min=﹣1，∴m＜﹣1；∴实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．19．（12分）已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即对任意实数x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]从而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表达式为．（2）由（Ⅰ）知，所以g'（x）=﹣x2+2，令g'（x）=0解得则当时，g'（x）＜0从而g（x）在区间，上是减函数，当，从而g（x）在区间上是增函数，由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，而，因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．20．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3（1）求f（x）在（e，f（e））处的切线方程（2）若存在x∈[1，e]时，使2f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=xlnx，可得f'（x）=lnx+1，所以f'（e）=2，f（e）=2．所以f（x）在（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即y=2x﹣e；（2）令h（x）=2f（x）﹣g（x）=2xlnx+x2﹣ax+3≥0，则a≤2lnx+x+，令φ（x）=2lnx+x+，x∈[1，e]，∵φ′（x）=≥0，∴φ（x）在[1，e]上单调递增，∴φmax（x）=φ（e）=2+e+，∴a≤2+e+．21．（12分）已知函数f（x）=﹣（a+1）x+alnx（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在（2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）在（0，e）内有极小值，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴在（2，+∞）恒成立，即x2﹣（a+1）x+a≥0在（2，+∞）恒成立，即（1﹣x）a+x2﹣x≥0在（2，+∞）恒成立，即（1﹣x）a≥x﹣x2在（2，+∞）恒成立，即a≤x在（2，+∞）恒成立，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．（Ⅱ）f（x）定义域为（0，+∞），，①当a＞1时，令f'（x）＞0，结合f（x）定义域解得0＜x＜1或x＞a，∴f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，在（1，a）上单调递减，此时，若f（x）在（0，e）内有极小值，则1＜a＜e，但此时矛盾．②当a=1时，此时f'（x）恒大于等于0，不可能有极小值．③当a＜1时，不论a是否大于0，f（x）的极小值只能是，令，即a=﹣1，满足a＜1．综上所述，a=﹣1．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点p（2，c）处有相同的切线（p为切点），求实数a，b的值．（2）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调减区间为[﹣，﹣]；①求函数h（x）在区间（﹣∞，﹣1]上的最大值M（a）．②若|h（x）|≤3在x∈[﹣2，0]上恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），则f′（x）=2ax，k1=4a，g（x）=x3+bx，则f′（x）=3x2+b，k2=12+b，由（2，c）为公共切点，可得：4a=12+b；又f（2）=4a+1，g（2）=8+2b，∴4a+1=8+2b，与4a=12+b联立可得：a=，b=5；（2）①由h（x）=f（x）+g（x）=x3+ax2+bx+1，则h′（x）=3x2+2ax+b，因函数h（x）的单调递减区间为[﹣，﹣]，∴当x∈[﹣，﹣]时，3x2+2ax+b ≤0恒成立，此时，x=﹣是方程3x2+2ax+b=0的一个根，得3（﹣）2+2a（﹣）+b=0，得a2=4b，∴h（x）=x3+ax2+a2x+1；令h′（x）=0，解得：x1=﹣，x2=﹣；∵a＞0，∴﹣＜﹣，列表如下：，﹣﹣∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在（﹣，﹣）单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增；若﹣1≤﹣，即a≤2时，最大值为h（﹣1）=a﹣；若﹣＜﹣1＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为h（﹣）=1；若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）=1．综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h（﹣1）=a﹣；当a∈（2，+∞）时，最大值为h（﹣）=1．②由①知，函数h（x）在（﹣∞，﹣）单调递增，在（﹣，﹣）单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增；故h（﹣）为极大值，h（﹣）=1；h（﹣）为极小值，h（﹣）=﹣+1；∵|h（x）|≤3，在x∈[﹣2，0]上恒成立，又h（0）=1．∴，∴a的取值范围：4﹣2≤a≤6．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}2．（5分）若命题p：∃x∈Z，e x＜1，则¬p为（）A．∀x∈Z，e x＜1B．∀x∉Z，e x＜1C．∀x∈Z，e x≥1D．∀x∉Z，e x≥1 3．（5分）已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的（）A．a|c|≥bc B．|a|c≥bc C．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|4．（5分）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格．后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程＝1.6x+a，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A．8B．9C．10D．115．（5分）已知m，n是两条不同的直线，σ，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥βB．若m不垂直于σ，则m不可能垂直于σ内的无数条直线C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥βD．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）A．B．14πC．D．7π7．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π8．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第15个整数对是（）A．（5，1）B．（4，2）C．（6，1）D．（5，2）9．（5分）已知△ABC为等边三角形，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B．C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）11．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|﹣|BF|＝（）A．2B．4C．6D．812．（5分）设直线y＝x+3与曲线C：y＝x3+3ax2相交于点A，B，且曲线C在点A，B处的切线斜率都为k，则k＝（）A．1B．3C．6D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+2ax在区间（）上单调递增，则实数a的取值范围是．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的最小值为13，则实数k＝．15．（5分）若正数x，y满足＝1，则的最小值为．16．（5分）若不等式（x+m2）2+（x+am﹣3）2＞对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知c＞0，设命题p：＜1，命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立．（1）若p为真命题，求c的取值范围；（2）若p或q为真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．18．（12分）某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；（2）完成下面2×2列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？附：临界值表及参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．19．（12分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，DD1＝2，E为DD1的中点，M为AC1的中点，连结C1E，CE，AC，AE，ME，CM．（1）求证：ME⊥平面ACC1；（2）求点C1到平面AEC的距离．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点为F（c，0），且a2，b2，c2成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于点M，N，直线l2与椭圆C交于点P，Q，且l1⊥l2，求四边形MPNQ面积的最小值．21．（12分）（1）已知t＞1，x∈（0，+∞），证明：x t≥1+t（x﹣1）；（2）设0＜a≤b＜1，证明：a a+b b≥a b+b a．请考生在22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB＝∠ADC．延长DA到E使BD ＝AE，连结EC．（1）求证：CE＝CD；（2）若AC⊥BC，CD＝1，求AD+BD的值．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的最大值．24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：xf（x）＜x；（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B＝[﹣2，1]，∵A＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1}，故选：D．2．（5分）若命题p：∃x∈Z，e x＜1，则¬p为（）A．∀x∈Z，e x＜1B．∀x∉Z，e x＜1C．∀x∈Z，e x≥1D．∀x∉Z，e x≥1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈Z，e x＜1，则￢p为：∀x∈Z，e x≥1，故选：C．3．（5分）已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的（）A．a|c|≥bc B．|a|c≥bc C．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|【解答】解：a＝0，b＝﹣1，c＝﹣1，可得A，B，D不正确；由于|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，故选：C．4．（5分）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格．后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程＝1.6x+a，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由题意，＝6，＝84，代入＝1.6x+a，可得84＝9.6+a，∴a＝74.4∴＝1.6x+74.4，＝90时，90＝1.6x+74.4，∴x≈10，故选：C．5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，σ，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥βB．若m不垂直于σ，则m不可能垂直于σ内的无数条直线C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥βD．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ【解答】解：A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥β或者n与平面相交，或n 在平面内，故A错误，B．若m不垂直于σ，则m有可能垂直于σ内的无数条直线，比如人在上楼梯的过程中，人和楼梯的台阶满足垂直关系，故B错误，C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥β，正确，D．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ或m⊂σ，故D错误，故选：C．6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）A．B．14πC．D．7π【解答】解：由已知，可得该几何体是3条侧棱互相垂直的三棱锥，将其扩充为长方体，长宽高分别为1，2，3，其对角线长为＝，多面体的外接球的直径等于长方体的对角线长．∴多面体的外接球的半径为，∴多面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝14π．故选：B．7．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π【解答】解：∵圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为×4×4＝8＞4，∴圆锥的轴截面为锐角三角形，∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积，则×2r×＝4（r为圆锥底面半径），解得r＝2或r＝2（舍去）．∴侧面展开图扇形圆心角θ＝•2π＝•2π＝π．∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π．故选：D．8．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第15个整数对是（）A．（5，1）B．（4，2）C．（6，1）D．（5，2）【解答】解：按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…则前5组共有1+2+3+4+5＝15个有序实数对．第15项应在第5组中，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）中的第5个，因此第15项为（5，1）．故选：A．9．（5分）已知△ABC为等边三角形，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：以BC为直径作圆，与AB，AC分别相交于E，D，则P在图中阴影部分，即使得△BCP为钝角三角形，设等边三角形吧边长为2，则阴影部分的面积为2×+＝，等边三角形的面积为，由几何概型的概率公式得到△BCP为钝角三角形的概率为：；故选：B．10．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B．C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）【解答】解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x，得f′（x）＝3x2+2ax+2．∵函数f（x）＝x3﹣ax2+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，∴f′（x）＝0在[0，2]上应有两个不同实数根．∴，解得﹣3.5＜a＜．∴实数a的取值范围是﹣3.5＜a＜．故选：D．11．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|﹣|BF|＝（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：y2＝4x的焦点为F（1，0），假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），与抛物线y2＝4x，联立得k2（x2﹣2x+1）＝4x，即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵∠PBF＝90°，∴（x1﹣1）（x1+1）+y12＝0，∴x12+y12＝1，∴x12+4x1﹣1＝0（x1＞0），∴x1＝﹣2+，∵x1x2＝1，∴x2＝2+，∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，故选：B．12．（5分）设直线y＝x+3与曲线C：y＝x3+3ax2相交于点A，B，且曲线C在点A，B处的切线斜率都为k，则k＝（）A．1B．3C．6D．9【解答】解：由y＝x3+3ax2，得y′＝3x2+6ax，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12+6ax1，3x22+6ax2，由题意可得3x12+6ax1＝3x22+6ax2＝k，∴x1，x2是方程3x2+6ax﹣k＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵＝＝＝2a3，而（）3+3a（）2＝（）3+3a（）2＝2a3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2＝﹣2a，知线段的中点为（﹣a，﹣a+3），∴﹣a+3＝﹣a3+3a•（﹣a）2＝2a3，即为（a﹣1）（2a2+2a+3）＝0，解得a＝1，由y＝x+3代入函数y＝x3+3x2，可得（x﹣1）（x+1）（x+3）＝0，解得x＝﹣3或﹣1或1，即有x1＝﹣3，x2＝1．则k＝﹣3x1x2＝9．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+2ax在区间（）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣，+∞）．【解答】解：f（x）＝x3+x2+2ax，∴f′（x）＝x2+x+2a＝（x﹣）2++2a，若f（x）在区间（）上单调递增，则x2+x+2a≥0在（）恒成立，即2a≥﹣x2﹣x在（）恒成立，令h（x）＝﹣x2﹣x，x∈（），h（x）在（，+∞）递减，∴h（x）≤h（）＝﹣，∴2a≥﹣，a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的最小值为13，则实数k＝．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由可得A（2，4），由可得B（，），由可得C（，），由目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的几何意义：z表示直线在y轴上截距的k倍．可能为直线z＝x+ky经过B，C两点取得最小值13．即有+k＝13或+k＝13，解得k＝5或k＝，若k＝5，则+k＝＜13，不成立舍去；若k＝，则+k＝＞13，成立．故答案为：．15．（5分）若正数x，y满足＝1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数x，y满足+＝1，∴＝1﹣＝，∴（y＞1），∴x﹣1＝（x＞1）．则+＝（y﹣1）+≥2＝2，当且仅当y﹣1＝，即y﹣1＝时取等号．∴的最小值为2．故答案为：216．（5分）若不等式（x+m2）2+（x+am﹣3）2＞对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是a＜2或a＞5．【解答】解：设P（x，x）Q（﹣m2，3﹣am），P在y＝x直线上．不等式左边的几何意义是PQ两点距离的平方．只要Q到y＝x的距离平方大于，即可．d2＝∴m2+3﹣am＞1或m2+3﹣am＜﹣1分离常数可得：．在m∈[1，3]恒成立用基本不等式解得：故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知c＞0，设命题p：＜1，命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立．（1）若p为真命题，求c的取值范围；（2）若p或q为真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．【解答】解：（1）由c＞0，命题p：＜1，则0＜log 2c≤1，解得1＜c≤2．∴c 的取值范围是（1，2]．（2）命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立，化为，∴，解得c．∵p或q为真命题，p且q是假命题，∴p与q必然一真一假，∴或，解得或c＞2．综上c的取值范围是：或c＞2．18．（12分）某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；（2）完成下面2×2列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？附：临界值表及参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）高一年级学生竞赛的众数为55（分），…（2分）高二年级学生竞赛平均成绩为（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）；…（4分）（2）2×2列联表如下：∴K2＝≈8.333＞7.879，…（11分）∴有99.5%的把握认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”．…（12分）．19．（12分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，DD1＝2，E为DD1的中点，M为AC1的中点，连结C1E，CE，AC，AE，ME，CM．（1）求证：ME⊥平面ACC1；（2）求点C1到平面AEC的距离．【解答】（1）证明：∵EC1＝EC＝EA＝，C1M＝AM∴EM⊥AC1，∵C1M＝CM，EM＝EM，EC1＝EC，∴△C1ME≌△CME，∴∠C1ME＝∠CME＝90°，∴ME⊥CM，∵EM⊥C1M∴ME⊥平面ACC1；（2）解：∵AE＝CE＝AC＝，∴△ACE是正三角形，∴S△ACE＝，∵C1E＝CE＝，CC1＝2，∴∠C1EC＝90°，∴＝1，设点C1到平面AEC的距离为h．∵AD⊥平面C1EC，∴，∴h＝．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点为F（c，0），且a2，b2，c2成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于点M，N，直线l2与椭圆C交于点P，Q，且l1⊥l2，求四边形MPNQ面积的最小值．【解答】解：（1）由题意可得：2a＝2，2b2＝a2+c2，a2＝b2+c2．联立解得a＝，b＝，c＝1．∴椭圆C的方程为：+＝1．（2）若l1与l2的一个斜率不存在，则四边形MPNQ面积S＝4．若l1与l2的斜率都存在，设l1：y＝k（x﹣1），l2：y＝﹣（x﹣1），其中k≠0，（x i，y i）（i＝1，2，3，4时分别对应点M，N，P，Q）．联立l1与椭圆方程可得：（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝．|MN|＝＝．同理可得：|PQ|＝＝，则四边形MPNQ面积S＝＝．令1+k2＝t＞1，则S＝＝≥＝，时等号成立，即k＝±1．综上所述可得：四边形MPNQ的面积的最小值为．21．（12分）（1）已知t＞1，x∈（0，+∞），证明：x t≥1+t（x﹣1）；（2）设0＜a≤b＜1，证明：a a+b b≥a b+b a．【解答】证明：（1）令f（x）＝x t﹣1﹣t（x﹣1），f′（x）＝t（x t﹣1﹣1），∵t＞1，∴t﹣1＞0，x∈（0，1）时，x t﹣1≤1，f′（x）≤0，函数单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝1是f（x）的唯一极小值点，∴f（x）≥f（1）＝0，即：x t≥1+t（x﹣1）；（2）当a＝b，不等式显然成立；当a≠b时，不妨设a＜b，则a a+b b≥a b+b a⇔a a﹣a b≥b a﹣b b，令φ（x）＝x a﹣x b，x∈[a，b]下证φ（x）是单调减函数．∵φ′（x）＝ax a﹣1﹣bx b﹣1＝ax b﹣1（x a﹣b﹣）易知a﹣b∈（﹣1，0），1+a﹣b∈（0，1），＞1，由（1）知当t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a，b]，∴＝＞1+＝＞a，∴b＞a1+a﹣b，∴＞a a﹣b≥x a﹣b，∴φ'（x）＜0，∴φ（x）在[a，b]上单调递减．∴φ（a）＞φ（b），即a a﹣a b＞b a﹣b b，∴a a+b b＞a b+b a．综上，a a+b b≥a b+b a成立．请考生在22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB＝∠ADC．延长DA到E使BD ＝AE，连结EC．（1）求证：CE＝CD；（2）若AC⊥BC，CD＝1，求AD+BD的值．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ADC＝∠ABC，∴AC＝BC．∵∠EAC＝∠DBC，AE＝DB，∴△EAC≌△DBC，∴EC＝DC；（2）解：∵AC⊥BC，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ADC＝45°．∵EC＝CD，∴∠E＝45°，∴，∴AD+BD＝AD+DE＝DE＝．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的最大值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ＝，即为ρ＝1+ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝，可得＝1+x，化简可得y2＝1+2x；（2）设A（ρ1，θ），①A在y轴上，即A（ρ1，），则B（ρ2，π），则＝1﹣cos+1﹣cosπ＝1+2＝3；②A不在y轴上，且B（ρ2，θ+），则＝1﹣cosθ+1﹣cos（θ+）＝2+sinθ﹣cosθ＝2+sin（θ﹣）≤2+，当且仅当θ＝+2kπ，k∈Z时取得等号；③A不在y轴上，且B（ρ2，θ﹣），则＝1﹣cosθ+1﹣cos（θ﹣）＝2﹣sinθ+cosθ＝2﹣sin（θ+）≤2+，当且仅当θ＝﹣+2kπ，k∈Z时取得等号．综上可得，的最大值为2+．24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：xf（x）＜x；（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a＝2，原不等式可化为或，∴x＜0或1＜x＜3，∴不等式的解集为{x|x＜0或1＜x＜3}；（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，可化为|x﹣a|+|x+a|≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，∵|x﹣a|+|x+a|≥|2a，∴2a≥|a|﹣|a﹣1|+3，∴|a|+|a﹣1|≥3．a＜0时，﹣a﹣a+1≥3，∴a≤﹣1；0≤a≤1时，a﹣a+1≥3，不成立；a＞1时，a+a﹣1≥3，∴a≥2．综上所述，a≤﹣1或a≥2．。
重庆市南开中学2013-2014学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案
重庆南开中学高2015级高二（上）期末测试数学试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，1O 小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求） 1．已知x x f sin )(=，则)3('πf 的值为( )A ．21-B ．21C ．23-D ．232．已知命题2|2:|<-x p ，命题082:2<--x x q ，则命题p 是命题q 的( > A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件3．若命题112],3,3[:0200≤++-∈∃x x x p ，则对命题p 的否定是( ) A ．012],3,3[0200>++-∈∀x x xB. 012),,3()3,(0200>+++∞⋃-∞∈∀x x x C. 012),,3()3,(0200≤+++∞⋃-∞∈∃x x x D. 012],3,3[0200<++-∈∃x x x4．设l 、m 是两条不同的直线，βα、是两个不同的平面，则下列正确的是( ) A ．若l // m ，m //α，则l //α B ．若l //α，α⊥β，则l ⊥βC.若l ⊥α，l ⊥β，则βα//D.若α⊥β，α∩β = l ，l ⊥ m ，则m ⊥α5．双曲线145:22=-y x C 的焦点为椭圆12222=+by a x 的焦点，且椭圆的短轴长为32，则该椭圆的标准方程为( )A ．13422=+y x B. 13922=+y x C. 191222=+y x 131222=+y x 6．函数]2,0[23)(3∈+-=x x x x f 在的最小值为( ) A. -1 B ． 0 C ．2 D ．4 7．已知F 是抛物线241:x y C =的焦点，P 是抛物线C 上一点，若抛物线C 在点P 处的切线的倾斜角为3π，则|PF |=( )A.1649B ．132+C ．4D ．6 8．已知函数y=f (x )是定义在R 上的可导函数，且对R x ∈∀不等式：0)(')(<+x xf x f 恒成立，若)3(3f a ⋅=，)31(31f b ⋅=b ，)2()2(-⋅-=fc ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A. a>c>bB. c>a>bC. a>b>cD. c>b>a 9．长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中AB BB BC 211==，A 1C 与平面AB 1D 1、平面C 1BD 交于 E ，F 两点，点P 为线段BC 1上一动点，给出下列命题：(1)点E ，F 为线段A 1C 的两个三等分点；(2)点E 为△AB 1D 1的垂心； (3)三棱锥A -D 1PC 体积不变；(4) DP ⊥BC 1其中真命题为( )A. (2)(3)B. (1)(3)C. (1)(3)(4)D. (1)(2)10．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-≤≤141ln 241ln )(x x x x x f ，若函数F (x )=f (x ) - kx 在区间[4,41]上恰好有一个零点，则实数k 的取值范围为( ) A. (2ln 16,1e ]∪{0} B ．[+∞,1e）∪{0}C ．(2ln 16,22ln )∪{0} D ．（2ln 16,22ln ]∪{0} 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置（只填结果，不写过程）．11.己知球O 的表面积为l6π，则球O 的体积为___ _．12.曲线y=e x+2x 在点(0,1)处的切线方程为___ _．13.一个几何体的三视图如右图所示，主视图与俯视图 是全等的矩形，侧视图为圆心角为直角的扇形，部分 边长如图所示，则此几何体的体积为___ _．14．已知椭圆12322=+y x ，斜率为k （k ≠0）且不过原点的直线l 交椭圆于A ,B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC 交椭圆左准线为点D (x 0，y 0)，则x 02+y 02+k 2的最小值为___ _.15．双曲线1222=-by x 的两条渐近线分别为l 1,l 2，右焦点为F ，在双曲线右支上存在一点P ，设点P 到l 1的距离为d 1，点P 到l 2的距离为d 2，若d 1、||23PF 、 d d 2依次成等比数列，则该双曲线的离心率e 的取值范围是___ _. 三、解答题：（本大题6个小题，共75分）备题解答必须答在答题卡Ⅱ上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16.（本小题满分13分）已知命题p :关于x 的不等式012≥+-ax x 对任意x ∈R 恒成立；命题q :函数]1,1[231)(23-∈+--=x ax x x x f 在上是增函数，若“p ∨q 留”为真命题， “p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．17.（本小题满分13分）已知直三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC = 90°，且AB= AA 1， D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． (1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求证：且F ⊥平面AEF ；18．（本小题满分13分）已知函数x e a x x x f ⋅+-=)2()(2f ，函数f (x )图像在(O ，f (0))处切线的斜率为-1； (1)求实数a 的值；(2)求函数f(x )的单调区间和极值． 19．（本小题满分12分） 直角梯EFCB 中，EF //BC ，EF=BE=21BC=2，∠BEF 90°，点A 是平面BEF 外一点， AE ⊥面BCFE ，且AE=BE ，G 、M 分别是BC 、AG 的中点． (1)求证：CF ⊥平面BMF ； (2)求三棱锥B -MFG 的体积．20．（本小题满分12分）如图，已知离心率为23的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点M (2,1)，O 为坐标原点，平行于OM 的直线，交椭圆C 于不同的两点A 、B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)记直线MB 、MA 与x 轴的交点P 、Q ， 证明：△MPQ 为等腰三角形21.（本小题满分12分）已知+∈R a ，函数x a x x f ln 2)(2-=.(1)若函数f (x )在x=2处取得极值，求实数a 的值。
2014-2015年重庆市南开中学高一(下)期末数学试卷(解析版)
2014-2015学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）已知点A（10，1），B（2，y），向量，若，则实数y的值为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）已知过点（﹣2，3）可以作圆（x﹣a）2+（y﹣2）2＝9的两条切线，则a的范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．C．（﹣3，3）D．3．（5分）执行如图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是（）A．3B．C．4D．24．（5分）已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，则点（﹣1，1）到直线l的距离为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5+7a11＝5，S n是{a n}的前n项和，则S9+S21＝（）A．5B．10C．15D．207．（5分）如图所示，矩形ABCD和一个圆心角为90°的扇形拼在一起，其中AB＝2，BC ＝AE＝1，则以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．7πB．5πC．9πD．8π8．（5分）若向量满足：，，，则＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，b n＝log3a n，则数列{b n}的前10项和等于（）A．10B．45C．55D．3910．（5分）若第一象限的点（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点在直线2x+y+3＝0上，则的最小值是（）A．1B．3C．D．11．（5分）若正实数x，y满足＝1，则xy的最小值是（）A．9B．12C．15D．1812．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，直线l：x+2y﹣5＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN＝60°，则x0的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为14．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0相交于A、B两点，若|AB|＝，则m的值是．15．（5分）已知x，y满足，则x2+y2的取值范围是．16．（5分）数列{a n}满足直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，数列{b n}的前n项和记为S n，其中b n＝，若，则满足条件的正整数对（m，n）＝．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5＝10，S6＝15，（1）求{a n}的通项公式；（2）b n＝，求数列{b n}的前10项和．18．（12分）（1）求垂直于直线x+y﹣1＝0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程：（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．19．（12分）如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G为EF中点．（1）求证：AG⊥CD：（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+y2＝1（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．22．（12分）已知点列A n（x n，0）满足：＝a﹣1其中n∈N*，又已知x0＝﹣1，x1＝1，（1）若a＝0，数列x n的通项公式（n∈N*）；（2）若a＝2，点，记a n＝|BA n|（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜．2014-2015学年重庆市南开中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．（5分）已知点A（10，1），B（2，y），向量，若，则实数y的值为（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：A（10，1），B（2，y），∴＝（﹣8，y﹣1），向量，∵，∴﹣8+2y﹣2＝0∴y＝5故选：A．2．（5分）已知过点（﹣2，3）可以作圆（x﹣a）2+（y﹣2）2＝9的两条切线，则a的范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．C．（﹣3，3）D．【解答】解：由题意（﹣2，3）在圆外，∴（﹣2﹣a）2+（3﹣2）2＞9，解得a＜﹣2﹣2或a＞﹣2+2，故选：B．3．（5分）执行如图的程序，若输出结果为2，则输入的实数x的值是（）A．3B．C．4D．2【解答】解：若y＝x﹣1＝2，则x＝3，与不满足条件x＞1矛盾；若y＝log2x＝2，则x＝4，满足条件x＞1，符合题意，∴输入的实数x的值是4．故选：C．4．（5分）已知四个条件，①b＞0＞a②0＞a＞b③a＞0＞b④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵b＞0＞a，∴，因此①能推出成立；②∵0＞a＞b，∴ab＞0，∴，∴，因此②能推出成立；③∵a＞0＞b，∴，因此③不能推出；④∵a＞b＞0，∴，∴，因此④能推出成立．综上可知：只有①②④能推出成立．故选：C．5．（5分）直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，则点（﹣1，1）到直线l的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直线l经过（2，﹣3）和（﹣10，6）两点，∴直线方程为＝，即3x+4y+6＝0，∴点（﹣1，1）的直线l的距离d＝＝，故选：D．6．（5分）已知等差数列{a n}中，3a5+7a11＝5，S n是{a n}的前n项和，则S9+S21＝（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：在等差数列中，S9+S21＝+＝×2a5+×2a11＝9a5+21a11＝3（3a5+7a11）＝3×5＝15，故选：C．7．（5分）如图所示，矩形ABCD和一个圆心角为90°的扇形拼在一起，其中AB＝2，BC ＝AE＝1，则以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为（）A．7πB．5πC．9πD．8π【解答】解：由已知可得：以AB所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球与圆柱的组合体，半球的半径和圆柱底面的半径为1，圆柱的高为2，故半球面的面积为：2πr2＝2π，圆柱的底面面积为：πr2＝π，圆柱的侧面积为：2πrh＝4π，故组合体的表面积为：7π，故选：A．8．（5分）若向量满足：，，，则＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：因为，，所以＝0，＝0，所以，所以＝2，所以；故选：B．9．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，b n＝log3a n，则数列{b n}的前10项和等于（）A．10B．45C．55D．39【解答】解：∵a1＝1，a n+1﹣3a n＝0，∴数列{a n}是以1为首项、3为公比的等比数列，∴a n＝＝1•3n﹣1＝3n﹣1，∴b n＝log3a n＝＝n﹣1，∴数列{b n}是以0为首项、1为公差的等差数列，∴其前10项和为：＝45，故选：B．10．（5分）若第一象限的点（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点在直线2x+y+3＝0上，则的最小值是（）A．1B．3C．D．【解答】解：设A（a，b）关于直线x+y﹣2＝0的对称点B（x0，y0）在直线2x+y+3＝0上，∴线段AB的中点（，）在直线x+y﹣2＝0上，由题意得：，∴a+2b＝9，∴+＝+＝++≥+2＝，当且仅当：＝即b＝2a时“＝”成立，故选：C．11．（5分）若正实数x，y满足＝1，则xy的最小值是（）A．9B．12C．15D．18【解答】解：由＝1，得：xy＝2x+y+6，由条件利用基本不等式可得xy＝2x+y+6≥2+6，令xy＝t2，即t＝＞0，可得t2﹣2t﹣6≥0．即得到（t﹣3）（t+）≥0可解得t≤﹣，t≥3．又注意到t＞0，故解为t≥3，所以xy≥18．故选：D．12．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，直线l：x+2y﹣5＝0，点P（x0，y0）在直线l上，若存在圆C上的两点M，N，使得∠MPN＝60°，则x0的取值范围是（）A．[1，2]B．C．D．【解答】解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为PE，PF，则∠EPF为60°时，∠ECF为120°，∴在Rt△PEC中，PC＝2．故问题转化为在直线x+2y﹣5＝0上找到一点，使它到点C的距离为2．设P（x0，2.5﹣0.5x0），∵C（1，0），∴|PC|2＝（x0﹣1）2+（2.5﹣0.5x0）2＝4∴x0＝1或．∴点P的横坐标x0的取值范围是[1，]故选：B．二、填空题（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝×2×2＝2，高h＝3，故几何体的体积V＝Sh＝2，故答案为：214．（5分）已知圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0相交于A、B两点，若|AB|＝，则m的值是1或﹣3．【解答】解：由圆O：x2+y2＝1和圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0，可得直线AB的方程﹣2x﹣4y+m+1＝0，圆O到直线AB的距离为d＝＝，∵|AB|＝，∴2＝，解得m＝1或﹣3．故答案为：1或﹣3．15．（5分）已知x，y满足，则x2+y2的取值范围是[，6+2]．【解答】解：由题意，x，y满足的平面区域如图阴影部分，则在阴影部分（包括边界）的点中到原点距离，最小值为原点到直线的距离为：；最大值为＝1+，所以x2+y2的取值范围是[，6+2]．故答案为：[，6+2]．16．（5分）数列{a n}满足直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，数列{b n}的前n项和记为S n，其中b n＝，若，则满足条件的正整数对（m，n）＝（1，1）．【解答】解：∵直线：x+ny+2＝0和直线：3x+a n y+3＝0平行，∴＝，即a n＝3n，∴b n＝23n＝8n，∴S n＝＝•8n+1﹣，∴，即＜，∴＜，∴＜，∴当m＝1时，只需＜成立即可，又∵n＝1是上述不等式的一个解，∴正整数对（1，1）满足条件，故答案为：（1，1）．注：此题答案不唯一．三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（10分）S n是等差数列{a n}的前n项和，若S5＝10，S6＝15，（1）求{a n}的通项公式；（2）b n＝，求数列{b n}的前10项和．【解答】解：（1）记数列{a n}的公差为d，∵S5＝5a1+d＝5（a1+2d）＝10，∴a3＝a1+2d＝2，又∵S6＝15，∴a6＝S6﹣S5＝15﹣10＝5，∴d＝＝＝1，∴a1＝a3﹣2d＝2﹣2＝0，∴数列{a n}的通项a n＝a1+（n﹣1）d＝n﹣1；（2）∵a n＝n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前10项和为：1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．18．（12分）（1）求垂直于直线x+y﹣1＝0且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程：（2）求经过点P（1，2）的直线，且使A（2，3），B（0，﹣5）到它的距离相等的直线方程．【解答】解：∵直线方程x+y﹣1＝0，∴直线的斜率k＝﹣1，则垂直直线x+y﹣1＝0的斜率k＝1，设所求直线的方程为y＝x+b，∴直线在x轴上的截距为﹣b，在y轴上的截距为b，∵与l垂直且与两坐标轴围成的三角形的面积为，∴S＝|b||﹣b|＝，即b2＝1解得b＝±1，∴所求的直线方程为y＝x+1或y＝x﹣1．（2）所求直线经过点（2，3）和（0，﹣5）的中点或与点（2，3）和（0，﹣5）所在直线平行．①直线经过点A（2，3）和B（0，﹣5）的中点（1，﹣1）时，直线方程为x＝1；②当A（2，3），B（0，﹣5）在所求直线同侧时，所求直线与AB平行，∵k AB＝4，∴y﹣2＝4（x﹣1），即4x﹣y﹣2＝0所以满足条件的直线为4x﹣y﹣2＝0或x＝119．（12分）如图的多面体中，ABCD为矩形，且AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE的中点，AE⊥BE．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥E﹣BDC的体积．【解答】（1）证明：设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．（2）解：取AB的中点O，连接EO，则EO⊥平面ABCD，EO＝，∴三棱锥E﹣BDC的体积＝＝．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥AD，平面ADEF ⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，点G为EF中点．（1）求证：AG⊥CD：（2）在线段AC上是否存在点M，使得GM∥平面ABF？若存在，求出AM：MC的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）证明：因为AE＝AF，点G是EF的中点，所以AG⊥EF．又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．因为CD⊂平面ABCD，所以AG⊥CD．（2）存在点M在线段AC上，且＝，使得：GM∥平面ABF．证明：如图，过点M作MN∥BC，且交AB于点N，连结NF，因为＝，所以＝＝，因为BC＝2EF，点G是EF的中点，所以BC＝4GF，又因为EF∥AD，四边形ABCD为正方形，所以GF∥MN，GF＝MN．所以四边形GFNM是平行四边形．所以GM∥FN．又因为GM⊄平面ABF，FN⊂平面ABF，所以GM∥平面ABF．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：（x﹣3）2+y2＝1（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）由于A（2，0）在圆C1上，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k（x﹣2），圆C1的圆心到l的距离为d，所以d＝．由点到直线l的距离公式得d＝＝，即k2＝1，解得k＝1或﹣1，所以直线l的方程为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，即x﹣y﹣2＝0，或x+y﹣2＝0；（2）设点P（a，b）满足条件，由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，不妨设直线l1的方程为y﹣b＝k（x﹣a），k≠0则直线l2方程为：y﹣b＝﹣（x﹣a），∵⊙C1和的半径r1＝2，⊙C2的半径为r1＝1，圆心距O102＝3，直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，∴⊙C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即＝2×整理得k（a+2b）+2a﹣b﹣6＝0或（2b﹣a）k++2a+b﹣6＝0，∵k的取值有无穷多个，∴或解得或，这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（，）经检验点P1和P2满足题目条件22．（12分）已知点列A n（x n，0）满足：＝a﹣1其中n∈N*，又已知x0＝﹣1，x1＝1，（1）若a＝0，数列x n的通项公式（n∈N*）；（2）若a＝2，点，记a n＝|BA n|（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【解答】（1）解：∵＝﹣1其中n∈N*，又x0＝﹣1，x1＝1，∴（x n+1，0）•（x n+1﹣1，0）＝﹣1，∴（x n+1）（x n+1﹣1）＝﹣1，化为＝1，∴数列为等差数列，首项为1，公差为1，∴＝1+（n﹣1）＝n，∴x n＝．（2）证明：当a＝2时，＝2﹣1，可得：（x n+1）（x n+1﹣1）＝1，化为x n+1＝＞1，a n+1＝＝＝，（只有n＝1时取等号）．∴a n+1＜…＜＝．∴S n＝a1+a2+…+a n＜＝＜＝．∴S n＜．。
南开中学初2015级13-14学年(下)期末试题——数学
重庆南开中学2013—2014学年度（下）初2015级期末考试数学试题（满分150分 考试时间120分钟）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案写到答题卷上．．．．．．。
1、下列图形是中心对称图形的是（ ）A B C D2、若分式23x x -+的值为零，则x 的值为（ ） A 、2 B 、2- C 、3D 、3- 3、下列关于x 的一元二次方程中，有两个相等实数根的方程是（ ）A 、24410x x -+= B 、240x += C 、230x x ++=D 、2210x x +-=4、若反比例函数ky x=的图象经过()2,4-，则k 的值为（ ） A 、8B 、8-C 、4D 、4-5、如图，小明从路灯的底部A 点向前走了6米到达D 点，他发现自己在地面上的影长DE 是2米。
如果小明的身高为1.7米，那么路灯离地面的高度AB 是（ ） A 、4.8米 B 、6米 C 、6.8米 D 、9.6米6、若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则a 的值为（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、27、如图，ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，ADE C ∠=∠，如果3AE =，ADE ∆的面积为9，四边形BCED 的面积为16，那么AB 边的长为（ ） A 、4B 、143C 、163D 、58、若1x =-是关于x 的一元二次方程()2200ax bx a +-=≠的一个根，则代数式201422a b -+的值等于（ ）A 、2010B 、2012C 、2014D 、20189、如图，在88⨯的正方形网格中，5个三角形的顶点均在格点上，则图中与ABC ∆相似的三角形是（ ） A 、DEF ∆B 、MNS ∆C 、PQR ∆D 、GHK ∆10、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 位于坐标轴上，已知()()5,0,0,3A C ，E 为AB 边上的一点，连接CE ，将CBE ∆沿直线CE 翻折，点B 刚好与x 轴上的点D 重合，则点E 的坐标为（ ）A 、()5,2B 、35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、45,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、()5,111、如图，在平面直角坐标系中，()()()()1,4,1,1,7,1,3,1A B C D -，点E 是平面内一点，以B 、D 、E 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则点E 的坐标不可能是（ ） A 、()3,3-B 、()3,9-C 、()1,3D 、()3,5-12、如图，菱形OABC 在平面直角坐标系中，已知()4,0,A OB -=，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过第三象限内的点C ，则k 的值为（ ）A 、4B 、C 、6D 、二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请把每小题的正确答案直接填在答题卷中对应的横线上．．．．．．．．．．。
重庆市南开中学11—12下学期高二数学(文科)期末考试试卷
重庆南开中学高2013级高二(下)期末测试数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求)1．集合A ＝{0，2，a }，},1{2a B =．若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．42．已知)1,(),2,1(x b a ==，且a b a //)2(+，则 x 的值为( ) A ．1B ．2C ．31D ．21 3．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若459=S ，则a 3＋a 7＝( ) A ．5B ．10C ．15D ．204．将函数y ＝sin2x (x ∈R )的图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图像的解析式为( )A ．)6πsin(+=x y B ．)6π4sin(+=x y C ．)3πsin(+=x yD ．)3π4sin(+=x y5．条件p ：|x －4|＞1，条件q ：131>-x，则p 是q 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若A (a ，2)，B (1，b )，C (3，4)，O 为坐标原点，若在方向上的投影与 在OC 方向上的投影互为相反数，则a 与b 满足的关系式为( )A ．4a ＋3b ＋10＝0B ．3a －4b ＋5＝0C ．3a ＋4b ＋11＝0D ．a －2b ＋8＝07．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若336=S S ，则69S S ＝( )A．2 B．37C．38D．38．已知)sin,2(cosαα=a，)1sin2,1(-=αb，π),2π(∈α，若52=⋅ba，则)4πtan(+α的值为( )A．43-B．53C．71D．79．设)21,1(=OM，)1,0(=ON，则满足条件10≤⋅≤OMOP，10≤⋅≤ONOP的动点P的变动范围(图中阴影部分，含边界)是( )10．已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，且∠A＝θ，AOmACBCABCB2sincossincos=+，则m＝( )A．sinθB．2sinθC．cosθD．2cosθ第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题： (本大题5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上相应位置(只填结果，不写过程)．11．cos600°＝_________12．如图，在△ABC中，aAB=，bAC=，CACN41=，CBCM43=，则=MN________(用ba,表示)13．设函数xy2πcos=的图象位于y轴右侧的所有的对称中心从左依次为,,,,,21nAAA则50A的横坐标为________．14．如图，它满足：(1)第一行为1；(2)第n(n≥2)行首尾两数均为n；(3)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数为__________．15．已知)sin )(cos cos sin 1(sin 21)(2x x x x xx f -+-=，则f (x )的最大值为__三、解答题： (本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡Ⅱ上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程)16．设函数x x x x f 23cos 2)23cos 23(sin )(22++=(1)求y ＝f (x )的单调增区间(2)当]4π,2π[--∈x 时，求y ＝f (x )的最值 17．已知向量a ，b 满足,2||,2||==a 与b 的夹角为45°，(1)若)(a b -λ⊥a ，求实数λ的值 (2)b a -与b a +夹角的余弦值18．已知等差数列}{n a ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列．等比数列}{n b 满足，22a b =，165=b(1)分别求出数列}{n a 、}{n b 的通项公式 (2)求数列}{n n b a 的前n 项和n S19．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋c sin C ＋a sin C ＝b sin B ．(1)求B(2)若32=∆ABC S ，42=b 求a ，c20．已知函数xa x x f -=ln )( (1)当a ＝－1时，求f (x )在定义域上的单调区间 (2)若f (x )在[1，e ]上的最小值为23，求a 的值．21．已知函数)12(432)(-+=x x x f(1)求证y ＝f (x )图像是关于点)41,21(对称的 (2)数列}{n a 满足)1()1()2()1()0(f nn f n f n f f a n +-++++= ，(n ∈N *)，求n a (3))2(448+=n na b n n ，记n T 为数列}{n b 的前n 项和，若m m T n 42+<对任意的n ∈N*恒成立，求m 的取值范围。
数学文卷·2014届重庆市南开中学高二下学期期末考试(2013.07)word版
对称轴 x = -
3 < -1 2
\ 只需
\ a > 1 或 a < -1 ．
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21． （本小题满分 12 分）
解： （Ⅰ）易知
e1 = e2
a2 - b2 a = 2 a + b2 a
a 2 - b2 2 ，又因为 a > 2b > 0 ， = 1- 2 2 2 a a +b +1 b2
2
.
k Î B ,在集合 A 中不存在原象,则 k 的取值范围是
2
.
（14）已知函数 f ( x) = x + 1 + x ，若 a > 0, b > 0 且 f (a ) = f (1 - b) ，则 为 .
2
1 4 + 的最小值 a b
（15）已知函数 f ( x) = ax - (1 + 5a) x + 3 满足 f (2) > f (1) > f (3) > f (0) ，则实数 a 的取 值范围为 ．
1 3
（B）
1 4
（C）
1 2
（D）
2 5
（10）若 $k Î [-
2 2 , ] 使 a (1 + k 2 ) £ | k | 1 - k 2 成立，则实数 a 的取值范围是 2 2
（B） ( -¥ , ]
（A） ( -¥ ,0 ]
1 4
（C） (-¥,
2 ] 4
（D） (-¥,
2 ] 8
第 2 页 共 8 页
p 3 , ) 处的切线的斜率为 3 2
1 2
2023-2024学年重庆市南开中学高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x||log 2x|<1},B ={x|1−x x +2>0}，则A ∩B =( )A. (12,1)B. (1,2)C. (−2,12)D. (12,2)2.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞)，则函数g(x)=f(e x )x 的定义域为( )A. (1,+∞) B. [1,+∞) C. (0,+∞) D. [0,+∞)3.已知命题p ：|x|+|x +1|≥a 对∀x ∈R 恒成立，命题q ：函数f(x)=ln (1−ax)在[0,1]上单调递减，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知a >b >1，则下列不等式不一定成立的是( )A. a a +1>bb +1 B. log a b <log b a C. log a b +log b a >2 D. a b >b a5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=e x −e −x xB. f(x)=ln(x 2+1)C. f(x)=e x −e x 2D. f(x)=x 2ln |x|6.已知a =log 232,b =log 1343,c =log 1454，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. c <a <b7.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为( )A. 15B. 310C. 25D. 128.已知m ，n ，k 均为正实数，m >2k ，且3k 2−(3m +2n)k +mn =0，若(3m +n)t−3k ≥0恒成立，则实数t 的最小值为( )A. 115B. 15C. 34D. 63二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市南开中学高二数学下学期期末试卷 文(含解析)
2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A． P B． Q C． {﹣1，1} D． [0，1] 2．若点（t，27）在函数y=x3的图象上，则tan的值为（）A． 0 B． 1 C．D．3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1] 4．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5．已知“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A． [2，+∞）B． [1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．设α为第二象限角，若tanα=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．8．函数f（x）=，g（x）=3x﹣1则使不等式f（g（x））≥0成立的区间为（）A． [1，+∞）B． [1n3，+∞）C． [1，ln3] D． [﹣1，ln3）9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个长度单位10．若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣l B． 0 C． 1 D． 211．己知a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°，b=，lnc=4﹣c2则a，b，c的大小关系为（）A． a＜b＜c B． b＜c＜a C． a＜c＜b D． c＜a＜b 12．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则=（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=sinx﹣cosx+1的值域为．14．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且f（）=1，当sinα=时，则f（4cos2α）= ．16．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为．三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17．已知f（x）=（1）若tanx=，计算f（x）的值；（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．18．已知函数f（x）=x3+bx2+（b+3）x，在x=1处取极值；（1）求b及f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．19．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．（1）求角A；（2）若f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A），求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1﹣f（x）•f′（x）．（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；（2）若不等式|g（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．21．已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=﹣x2﹣2，（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞﹣成立．四、选做题：10分．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．选修4-4：坐标系与参数方程2015春•重庆校级期末）已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρ=；（1）曲线C1，C2是否有公共点，为什么？（2）将曲线C1向右移动m个单位，使得C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，求m的值．选修4-5：不等式选讲2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A． P B． Q C． {﹣1，1} D． [0，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先依据余弦函数的值域化简集合B，再利用交集的定义求两个集合的公共元素即得P∩Q．解答：解：∵Q={y|y=cosx，x∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，又∵P={﹣1，0，1}，∴P∩Q={﹣1，0，1}．故选A．点评：本小题主要交集及其运算、三角函数的值域等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．2．若点（t，27）在函数y=x3的图象上，则tan的值为（）A． 0 B． 1 C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据点（t，27）在函数y=3x的图象上，代入函数解析式并解之得t=3，从而得到tan即为所求，不难得到正确选项．解答：解：∵点（t，27）在函数y=3x的图象上，∴3t=27，解之得t=3，因此，tan=tan=，故选：D．点评：本题给出指数函数图象上点的坐标，叫我们根据该点的横坐标求三角函数的值，着重考查了指数式的意义和特殊三角函数的值等知识，属于基础题．3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．解答：解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．点评：本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．4．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：正弦函数的奇偶性；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数的解析式为 2cos2x，再根据余弦函数的周期性性和奇偶性得出结论．解答：解：∵函数=2cos2x，∴此函数为偶函数，且最小正周期为=π，故选B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，余弦函数的周期性性和奇偶性，属于中档题．5．已知“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A． [2，+∞）B． [1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：解不等式＜0求出x的范围，结合充分必要条件的定义，从而求出k的范围．解答：解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜1，或x＞2，∵“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，∴k≥2，∴则k的取值范围是[2，+∞），故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．6．设α为第二象限角，若tanα=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+）的值．解答：解：∵α为第二象限角，tanα==﹣，sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）﹣×=﹣，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．7．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．解答：解：∵△ABC中∴根据正弦定理得∴故选B；点评：本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用8．函数f（x）=，g（x）=3x﹣1则使不等式f（g（x））≥0成立的区间为（）A． [1，+∞）B． [1n3，+∞）C． [1，ln3] D． [﹣1，ln3）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先求出f（x）≥0的解集，进而结合指数函数的图象和性质，可得使不等式f（g（x））≥0成立的区间．解答：解：∵函数f（x）=，令f（x）≥0，则x≥2，或x≤﹣2，又∵g（x）=3x﹣1＞﹣1，故不等式f（g（x））≥0成立时，g（x）=3x﹣1≥2，即x≥1，即使不等式f（g（x））≥0成立的区间为[1，+∞），故选：A点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象和性质，一次函数和二次函数的图象和性质，难度不大，属于中档题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，函数f（x）=sin（2x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得函数g（x）=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣l B． 0 C． 1 D． 2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵f（x）=acosx+sinx，g（x）=x2+bx+1∴f′（x）=﹣a•si nx+cosx，g′（x）=2x+b∵曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1且f′（0）=1=g′（0）=b即a=1，b=1，∴a+b=2故选D．点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出f （0）=g（0）且f′（0）=g′（x）是解答的关键．11．己知a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°，b=，lnc=4﹣c2则a，b，c的大小关系为（）A． a＜b＜c B． b＜c＜a C． a＜c＜b D． c＜a＜b考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦函数的单调性求得a＜，再根据正切函数的单调性可得btan80°＞tan75°=2+＞2，根据函数y=lnx和 y=4﹣x2的图象可得2＞c＞1，从而得到a、b、c的大小关系．解答：解：∵a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°=cos（46°﹣14°）=cos32°＜，b==tan（45°+35°）=tan80°＞tan75°=tan（45°+30°）==2+＞2，根据函数y=lnx和 y=4﹣x2的图象可得c＞1，再根据ln＜4﹣，可得x=时，函数y=lnx的图象在 y=4﹣x2的图象的下方，故c＞．再根据c＜2，可得b＞c＞a，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的单调性，属于基础题．12．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则=（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由+=，两边同乘以x2+y2得到=；把=代入上式得=，再将四个答案逐一代入判断，可得答案．解答：解：∵θ∈（，），∴tanθ＞1，∵=，∴==tanθ＞1，故可排除A，C，又由+=，两边同乘以x2+y2得到=；把=代入上式得=，当==tanθ=时，sinθ=，cosθ=，代入=满足条件，故B正确，D错误；故选：B．点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系，难度较大，属于难题．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=sinx﹣cosx+1的值域为[﹣2，2] ．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式求得函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得f（x）的值域．解答：解：函数y=sinx﹣cosx+1=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），故函数的值域为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．14．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为（0，）．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．解答：解：对于函数y=x3﹣2ax+a，求导可得y′=3x2﹣2a，∵函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，∴y′=3x2﹣2a=0，则其有一根在（0，1）内，当a＞0时，3x2﹣2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．当a=0时，3x2﹣2a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．当a＜0时，3x2﹣2a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜，故答案为：（0，）．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且f（）=1，当sinα=时，则f（4cos2α）= ﹣1 ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）得函数f（x）为奇函数，由f（1+x）=f（1﹣x）得函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化即可．解答：解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，∵f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），∴f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=f（x），函数的周期为4，∵sinα=，∴4cos2α=4（1﹣2sin2α）=4×（1﹣2×）=，则f（4cos2α）=f（）=f（﹣4）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性以及周期性，结合三角函数的倍角公式进行求值是解决本题的关键．综合考查函数的性质．16．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：构造函数g（x），由已知条件，判断g（x）是单调递减，且g（1）=0，得x2＞1，求得不等式的解集．解答：解：令t=x2，f（x2）＜，即⇔，令，∴＜0，∴g（x）在R上单调递减，又∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣=0，∴⇒t＞1，即x2＞1，得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了，不等式求解，函数的单调性，导数，运用了等价转换和构造思想．属于基础题．三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17．已知f（x）=（1）若tanx=，计算f（x）的值；（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的自习室以及诱导公式化简已知条件，通过正切函数值求解．（2）利用函数的函数的表达式，通过分式不等式求解即可．解答：解：（1）tanx=，∴f（x）=====．（2）f（x）=，f（x）＞1，可得，即，即解得tanx∈（﹣，0）．点评：本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，分式不等式的解法，考查计算能力．18．已知函数f（x）=x3+bx2+（b+3）x，在x=1处取极值；（1）求b及f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数f（x）的导数，通过f′（1）=0，求出b的值即可；（2）问题转化为m≥3x2﹣4x+1在[﹣2，2]恒成立，令h（x）=3x2﹣4x+1，x∈[﹣2，2]，利用二次函数的性质，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+b+3，∵函数f（x）在x=1处取极值，∴f′（1）=3+2b+b+3=0，解得：b=﹣2，∴f（x）=x3﹣2x2+x，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴函数f（x）在[﹣1，）递增，在（，1]递减，∴f（x）的最小值是f（﹣1）或f（1），而f（﹣1）=﹣4，f（1）=0，∴函数f（x）的最小值是﹣4；（2）g（x）=f（x）﹣mx=x3﹣2x2+x﹣mx，∴g′（x）=3x2﹣4x+1﹣m，若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，则：g′（x）≤0在[﹣2，2]上恒成立，即：m≥3x2﹣4x+1在[﹣2，2]恒成立，令h（x）=3x2﹣4x+1，x∈[﹣2，2]，对称轴x=，∴h（x）在[﹣2，）递减，在（，2]递增，∴h（x）的最大值是：f（﹣2）=21，∴m≥21．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．19．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．（1）求角A；（2）若f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A），求f（x）的单调递增区间．考点：余弦函数的单调性；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由，得，即a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理，得，可得A的值．（2）化简f（x）=，由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），求得f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）由，得，即a2=b2+c2﹣bc，又由余弦定理可知a2=b2+c2﹣2bccosA，，得，∴．（2）f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A）===．由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得，故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，利用余弦函数的单调性，求出角A的值，是解题的关键．20．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1﹣f（x）•f′（x）．（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；（2）若不等式|g（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，图象的对称性求得g（x）的最小正周期和对称轴．（2）由题意可得g（x）﹣2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，从而得到m的范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），g（x）=1﹣（ sinx+cosx ）（cosx﹣sinx ）=1﹣（sinxcosx﹣sin2x+cos2x﹣3sinxcosx）=1﹣（cos2x﹣sin2x）=1﹣2sin（﹣2x）=1+2sin（2x﹣），故g（x）的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，可得函数g（x）的图象的对称轴为 x=+，k∈z．（2）由不等式|g（x）﹣m|＜2 横成立，可得﹣2＜m﹣g（x）＜2横成立，即 g（x）﹣2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[，]，可得2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，g（x）∈[2，3]，∴0＜m＜5．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．21．已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=﹣x2﹣2，（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞﹣成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥﹣x2﹣2恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，由导数的运算法则可得：f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，可得x=．对m分类讨论：当时，及当时，分别研究其单调性极值与最值即可得出．（3）问题等价于证明，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x 的最小值是，当且仅当时取得，设G（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性极值与最大值，只要证明：f min（x）＞G max（x）即可．解答：解：（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥﹣x2﹣2恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，则==，在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F min（x）=F（x）=3，∴﹣a≤3，∴a≥﹣3．（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=．①当时，在x∈上f′（x）＜0；在x∈上f′（x）＞0．因此，f（x）在处取得极小值，也是最小值．f min（x）=﹣．由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．因此，f max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．②当，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，∴f min（x）=f（m）=m（lnm+1），f max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．（3）证明：问题等价于证明，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取得，设G（x）=，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到，但，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．四、选做题：10分．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE2=DB•DA；（2）由圆中相交弦定理得C E•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．解答：解：（1）连接OF，∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°，∴∠OFC+∠CFD=90°，∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC，∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°，∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE，∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA；（2），CO=，，∵CE•EF=AE•EB=（+2）（﹣2）=8，∴EF=2点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于基础题之列．选修4-4：坐标系与参数方程2015春•重庆校级期末）已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρ=；（1）曲线C1，C2是否有公共点，为什么？（2）将曲线C1向右移动m个单位，使得C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）把曲线C1的参数方程、曲线C2的极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线l的距离d与半径r的关系，判断曲线C1，C2的公共点数；（2）曲线C1向右移动m个单位，得到圆的方程，由圆心到直线的距离，求出m的值．解答：解：（1）把曲线C1的参数方程（α为参数）化为普通方程是x2+y2=1；又曲线C2的极坐标方程ρ=可化为ρ•（sinθ+cosθ）=1，化为普通方程是y+x=1，化简得x+y﹣=0；所以圆心O（0，0）到直线l的距离为d==1=r，∴直线l与圆O相切，即曲线C1，C2有一个公共点；（2）将曲线C1向右移动m个单位，得圆的方程为（x+m）2+y2=1C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，∴圆心（﹣m，0）到直线x+y﹣=0的距离为d==，解得m=﹣±1．点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是基础题目．选修4-5：不等式选讲2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的图象与图象变化．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0，即|x﹣2|＞+1，即x﹣2＞+1 或x﹣2＜﹣（+1 ），由此求得它的解集．（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，画出图形，数形结合求得m的范围．解答：解：（1）关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0，即|x﹣2|＞+1，∴x﹣2＞+1 或x﹣2＜﹣（+1 ）．求得 x＞4或 x＜，故不等式的解集为{x|x＞4或 x＜ }．（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，如图所示：故有m＜5．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．。
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2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A．P B．Q C．{﹣1，1} D．[0，1]2．若点（t，27）在函数y=x3的图象上，则tan的值为（）A．0 B．1 C．D．3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]4．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数5．已知“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]6．设α为第二象限角，若tanα=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．7．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．8．函数f（x）=，g（x）=3x﹣1则使不等式f（g（x））≥0成立的区间为（）A．[1，+∞）B．[1n3，+∞）C．[1，ln3]D．[﹣1，ln3）9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个长度单位10．若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣l B．0 C．1 D．211．己知a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°，b=，lnc=4﹣c2则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b12．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则=（）A．B．C．D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=sinx﹣cosx+1的值域为．14．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且f（）=1，当sinα=时，则f（4cos2α）=．16．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为．三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17．已知f（x）=（1）若tanx=，计算f（x）的值；（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．18．已知函数f（x）=x3+bx2+（b+3）x，在x=1处取极值；（1）求b及f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．19．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．（1）求角A；（2）若f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A），求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1﹣f（x）•f′（x）．（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；（2）若不等式|g（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．21．已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=﹣x2﹣2，（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞﹣成立．四、选做题：10分．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．选修4-4：坐标系与参数方程2015春•重庆校级期末）已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρ=；（1）曲线C1，C2是否有公共点，为什么？（2）将曲线C1向右移动m个单位，使得C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，求m的值．选修4-5：不等式选讲2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2014-2015学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A．P B．Q C．{﹣1，1} D．[0，1]考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先依据余弦函数的值域化简集合B，再利用交集的定义求两个集合的公共元素即得P∩Q．解答：解：∵Q={y|y=cosx，x∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，又∵P={﹣1，0，1}，∴P∩Q={﹣1，0，1}．故选A．点评：本小题主要交集及其运算、三角函数的值域等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．2．若点（t，27）在函数y=x3的图象上，则tan的值为（）A．0 B．1 C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：根据点（t，27）在函数y=3x的图象上，代入函数解析式并解之得t=3，从而得到tan即为所求，不难得到正确选项．解答：解：∵点（t，27）在函数y=3x的图象上，∴3t=27，解之得t=3，因此，tan=tan=，故选：D．点评：本题给出指数函数图象上点的坐标，叫我们根据该点的横坐标求三角函数的值，着重考查了指数式的意义和特殊三角函数的值等知识，属于基础题．3．函数的定义域为（）A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，1]考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：由题意知，解得﹣1＜x＜1，由此能求出函数的定义域．解答：解：由题意知，函数的定义域为，解得﹣1＜x＜1，故选C．点评：本题考查对数函数的定义域，解题时要注意不等式组的解法．4．函数是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：正弦函数的奇偶性；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数的解析式为2cos2x，再根据余弦函数的周期性性和奇偶性得出结论．解答：解：∵函数=2cos2x，∴此函数为偶函数，且最小正周期为=π，故选B．点评：本题主要考查诱导公式的应用，余弦函数的周期性性和奇偶性，属于中档题．5．已知“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，则k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：解不等式＜0求出x的范围，结合充分必要条件的定义，从而求出k的范围．解答：解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＞0，解得x＜1，或x＞2，∵“x＞k”是“＜0”的充分不必要条件，∴k≥2，∴则k的取值范围是[2，+∞），故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．6．设α为第二象限角，若tanα=﹣，则cos（α+）=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和cosα的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+）的值．解答：解：∵α为第二象限角，tanα==﹣，sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，则cos（α+）=cos cosα﹣sin sinα=×（﹣）﹣×=﹣，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．7．△ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若，则cosB=（）A．B．C．D．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：通过正弦定理得出sinA和sinB的方程组，求出cosB的值．解答：解：∵△ABC中∴根据正弦定理得∴故选B；点评：本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用8．函数f（x）=，g（x）=3x﹣1则使不等式f（g（x））≥0成立的区间为（）A．[1，+∞）B．[1n3，+∞）C．[1，ln3]D．[﹣1，ln3）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：先求出f（x）≥0的解集，进而结合指数函数的图象和性质，可得使不等式f（g（x））≥0成立的区间．解答：解：∵函数f（x）=，令f（x）≥0，则x≥2，或x≤﹣2，又∵g（x）=3x﹣1＞﹣1，故不等式f（g（x））≥0成立时，g（x）=3x﹣1≥2，即x≥1，即使不等式f（g（x））≥0成立的区间为[1，+∞），故选：A点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象和性质，一次函数和二次函数的图象和性质，难度不大，属于中档题．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象可得A=1，==﹣，求得ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，函数f（x）=sin（2x+）．故把f（x）的图象向右平移个单位长度，可得函数g（x）=sin2（x﹣）+]=sin2x的图象，故选：A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10．若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则a+b=（）A．﹣l B．0 C．1 D．2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：若曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于a，b的方程，解方程可得答案．解答：解：∵f（x）=acosx+sinx，g（x）=x2+bx+1∴f′（x）=﹣a•sinx+cosx，g′（x）=2x+b∵曲线f（x）=acosx+sinx与曲线g（x）=x2+bx+1在交点（0，m）处有公切线，∴f（0）=a=g（0）=1且f′（0）=1=g′（0）=b即a=1，b=1，∴a+b=2故选D．点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出f（0）=g（0）且f′（0）=g′（x）是解答的关键．11．己知a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°，b=，lnc=4﹣c2则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b考点：两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用正弦函数的单调性求得a＜，再根据正切函数的单调性可得btan80°＞tan75°=2+＞2，根据函数y=lnx和y=4﹣x2的图象可得2＞c＞1，从而得到a、b、c的大小关系．解答：解：∵a=cos46°cos14°﹣sin46°sin14°=cos（46°﹣14°）=cos32°＜，b==tan（45°+35°）=tan80°＞tan75°=tan（45°+30°）==2+＞2，根据函数y=lnx和y=4﹣x2的图象可得c＞1，再根据ln＜4﹣，可得x=时，函数y=lnx的图象在y=4﹣x2的图象的下方，故c＞．再根据c＜2，可得b＞c＞a，故选：C．点评：本题主要考查两角和差的三角公式，三角函数的单调性，属于基础题．12．已知x，y均为正数，θ∈（，），且满足=，+=，则=（）A．B．C．D．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由+=，两边同乘以x2+y2得到=；把=代入上式得=，再将四个答案逐一代入判断，可得答案．解答：解：∵θ∈（，），∴tanθ＞1，∵=，∴==tanθ＞1，故可排除A，C，又由+=，两边同乘以x2+y2得到=；把=代入上式得=，当==tanθ=时，sinθ=，cosθ=，代入=满足条件，故B正确，D错误；故选：B．点评：本题考查的知识点是三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系，难度较大，属于难题．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y=sinx﹣cosx+1的值域为[﹣2，2]．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和的正弦公式求得函数的解析式，再利用正弦函数的值域求得f（x）的值域．解答：解：函数y=sinx﹣cosx+1=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），故函数的值域为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．点评：本题主要考查两角和的正弦公式、正弦函数的值域，属于基础题．14．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围为（0，）．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，求导可得，导函数在（0，1）内至少有一个实数根，分a＞0、a=0、a＜0三种情况，求得实数a的取值范围．解答：解：对于函数y=x3﹣2ax+a，求导可得y′=3x2﹣2a，∵函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，∴y′=3x2﹣2a=0，则其有一根在（0，1）内，当a＞0时，3x2﹣2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a＜．当a=0时，3x2﹣2a=0两根相等，均为0，f（x）在（0，1）内无极小值．当a＜0时，3x2﹣2a=0无根，f（x）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a＜，故答案为：（0，）．点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（1+x）=f（1﹣x），且f（）=1，当sinα=时，则f（4cos2α）=﹣1．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）=﹣f（x）得函数f（x）为奇函数，由f（1+x）=f（1﹣x）得函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性的性质进行转化即可．解答：解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，∵f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），∴f（x+2）=﹣f（x），即f（x+4）=f（x），函数的周期为4，∵sinα=，∴4cos2α=4（1﹣2sin2α）=4×（1﹣2×）=，则f（4cos2α）=f（）=f（﹣4）=f（﹣）=﹣f（）=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性以及周期性，结合三角函数的倍角公式进行求值是解决本题的关键．综合考查函数的性质．16．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜（x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：构造函数g（x），由已知条件，判断g（x）是单调递减，且g（1）=0，得x2＞1，求得不等式的解集．解答：解：令t=x2，f（x2）＜，即⇔，令，∴＜0，∴g（x）在R上单调递减，又∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣=0，∴⇒t＞1，即x2＞1，得x＜﹣1或x＞1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）点评：本题考查了，不等式求解，函数的单调性，导数，运用了等价转换和构造思想．属于基础题．三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17．已知f（x）=（1）若tanx=，计算f（x）的值；（2）若f（x）＞1，求tanx的范围．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的自习室以及诱导公式化简已知条件，通过正切函数值求解．（2）利用函数的函数的表达式，通过分式不等式求解即可．解答：解：（1）tanx=，∴f（x）=====．（2）f（x）=，f（x）＞1，可得，即，即解得tanx∈（﹣，0）．点评：本题考查两角和与差的三角函数，诱导公式的应用，分式不等式的解法，考查计算能力．18．已知函数f（x）=x3+bx2+（b+3）x，在x=1处取极值；（1）求b及f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：（1）先求出函数f（x）的导数，通过f′（1）=0，求出b的值即可；（2）问题转化为m≥3x2﹣4x+1在[﹣2，2]恒成立，令h（x）=3x2﹣4x+1，x∈[﹣2，2]，利用二次函数的性质，求出h（x）的最大值，从而求出m的范围．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2bx+b+3，∵函数f（x）在x=1处取极值，∴f′（1）=3+2b+b+3=0，解得：b=﹣2，∴f（x）=x3﹣2x2+x，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，∴函数f（x）在[﹣1，）递增，在（，1]递减，∴f（x）的最小值是f（﹣1）或f（1），而f（﹣1）=﹣4，f（1）=0，∴函数f（x）的最小值是﹣4；（2）g（x）=f（x）﹣mx=x3﹣2x2+x﹣mx，∴g′（x）=3x2﹣4x+1﹣m，若函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[﹣2，2]上为减函数，则：g′（x）≤0在[﹣2，2]上恒成立，即：m≥3x2﹣4x+1在[﹣2，2]恒成立，令h（x）=3x2﹣4x+1，x∈[﹣2，2]，对称轴x=，∴h（x）在[﹣2，）递减，在（，2]递增，∴h（x）的最大值是：f（﹣2）=21，∴m≥21．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．19．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若．（1）求角A；（2）若f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A），求f（x）的单调递增区间．考点：余弦函数的单调性；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）由，得，即a2=b2+c2﹣bc，由余弦定理，得，可得A的值．（2）化简f（x）=，由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），求得f（x）的单调递增区间．解答：解：（1）由，得，即a2=b2+c2﹣bc，又由余弦定理可知a2=b2+c2﹣2bccosA，，得，∴．（2）f（x）=cos2（x+A）﹣sin2（x﹣A）===．由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），得，故f（x）的单调递增区间为，k∈Z．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，利用余弦函数的单调性，求出角A的值，是解题的关键．20．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1﹣f（x）•f′（x）．（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；（2）若不等式|g（x）﹣m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，图象的对称性求得g（x）的最小正周期和对称轴．（2）由题意可得g（x）﹣2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，求得g （x）的范围，从而得到m的范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），g（x）=1﹣（sinx+cosx ）（cosx﹣sinx ）=1﹣（sinxcosx﹣sin2x+cos2x﹣3sinxcosx）=1﹣（cos2x﹣sin2x）=1﹣2sin（﹣2x）=1+2sin（2x﹣），故g（x）的最小正周期为=π，令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，可得函数g（x）的图象的对称轴为x=+，k∈z．（2）由不等式|g（x）﹣m|＜2 横成立，可得﹣2＜m﹣g（x）＜2横成立，即g（x）﹣2＜m＜g（x）+2横成立．再根据x∈[，]，可得2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，g（x）∈[2，3]，∴0＜m＜5．点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．21．已知f（x）=xlnx+ax，g（x）=﹣x2﹣2，（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，求函数f（x）在[m，m+3]（m＞0）上的最小值和最大值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx+1＞﹣成立．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥﹣x2﹣2恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，由导数的运算法则可得：f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，可得x=．对m分类讨论：当时，及当时，分别研究其单调性极值与最值即可得出．（3）问题等价于证明，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取得，设G（x）=，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性极值与最大值，只要证明：f min （x）＞G max（x）即可．解答：解：（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥﹣x2﹣2恒成立，即在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+，则==，在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F min（x）=F（x）=3，∴﹣a≤3，∴a≥﹣3．（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=．①当时，在x∈上f′（x）＜0；在x∈上f′（x）＞0．因此，f（x）在处取得极小值，也是最小值．f min（x）=﹣．由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．因此，f max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．②当，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，∴f min（x）=f（m）=m（lnm+1），f max（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．（3）证明：问题等价于证明，x∈（0，+∞）．由（Ⅱ）知a=﹣1时，f（x）=xlnx+x的最小值是，当且仅当时取得，设G（x）=，x∈（0，+∞），则，易知，当且仅当x=1时取到，但，从而可知对一切x∈（0，+∞），都有成立．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．四、选做题：10分．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的点，OC垂直于直径AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D、连接CF交AB于E点，（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若⊙O的半径为，OB=OE，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理即可证明DE2=DB•DA；（2）由圆中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，结合直角三角形中边的关系，先求出AE和EB，从而求出EF的长．解答：解：（1）连接OF，∵DF切⊙O于F，∴∠OFD=90°，∴∠OFC+∠CFD=90°，∵OC=OF，∴∠OCF=∠OFC，∵CO⊥AB于O，∴∠OCF+∠CEO=90°，∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，∴DF=DE，∵DF是⊙O的切线，∴DF2=DB•DA，∴DE2=DB•DA；（2），CO=，，∵CE•EF=AE•EB=（+2）（﹣2）=8，∴EF=2点评：本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于基础题之列．选修4-4：坐标系与参数方程2015春•重庆校级期末）已知在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1：（α为参数），曲线C2：ρ=；（1）曲线C1，C2是否有公共点，为什么？（2）将曲线C1向右移动m个单位，使得C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，求m的值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）把曲线C1的参数方程、曲线C2的极坐标方程化为普通方程，利用圆心到直线l的距离d与半径r的关系，判断曲线C1，C2的公共点数；（2）曲线C1向右移动m个单位，得到圆的方程，由圆心到直线的距离，求出m的值．解答：解：（1）把曲线C1的参数方程（α为参数）化为普通方程是x2+y2=1；又曲线C2的极坐标方程ρ=可化为ρ•（sinθ+cosθ）=1，化为普通方程是y+x=1，化简得x+y﹣=0；所以圆心O（0，0）到直线l的距离为d==1=r，∴直线l与圆O相切，即曲线C1，C2有一个公共点；（2）将曲线C1向右移动m个单位，得圆的方程为（x+m）2+y2=1C1与C2是交于A，B两点，|AB|=，∴圆心（﹣m，0）到直线x+y﹣=0的距离为d==，解得m=﹣±1．点评：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是基础题目．选修4-5：不等式选讲2015春•重庆校级期末）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数的图象与图象变化．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0，即|x﹣2|＞+1，即x﹣2＞+1 或x﹣2＜﹣（+1 ），由此求得它的解集．（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，画出图形，数形结合求得m的范围．解答：解：（1）关于x的不等式f（x）﹣x﹣1＞0，即|x﹣2|＞+1，∴x﹣2＞+1 或x﹣2＜﹣（+1 ）．求得x＞4或x＜，故不等式的解集为{x|x＞4或x＜}．（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，如图所示：故有m＜5．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．。