2012年高考第一轮总复习精品导学课件：12.1数学归纳法及其应用(第2课时)
高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.1 矩阵与变换教案(含解析)
第十二章系列4选讲考试内容等级要求矩阵的概念 A二阶矩阵与平面向量 B常见的平面变换 A变换的复合与矩阵的乘法 B二阶逆矩阵 B二阶矩阵的特征值与特征向量 B二阶矩阵的简单应用 B坐标系的有关概念 A简单图形的极坐标方程 B极坐标方程与直角坐标方程的互化 B参数方程 B直线、圆及椭圆的参数方程 B参数方程与普通方程的互化 B参数方程的简单应用 B不等式的基本性质 B含有绝对值的不等式的求解 B不等式的证明(比较法、综合法、分析法) B算术—几何平均不等式与柯西不等式 A利用不等式求最大(小)值 B运用数学归纳法证明不等式 B§12.1矩阵与变换考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．1．乘法规则 (1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 12a 21a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11 a 12a 21a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22. (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB )C ＝A (BC )，AB ≠BA ，由AB ＝AC 不一定能推出B ＝C .一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换(1)恒等变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 001； (2)伸压变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 12；(3)反射变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100－1； (4)旋转变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos θ－sin θsin θcos θ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1000，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 010； (6)切变变换：如⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1k 01(k ∈R ，且k ≠0)． 3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1.4．特征值与特征向量设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ，称为A 的特征多项式．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .( √ )(2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －12 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 021＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3－1 61.( √ )(3)若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则(AB )－1＝B －1A －1.( × )(4)矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3652的特征值为8和－3.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P52例3]已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 345，则A 的逆矩阵A －1＝________. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1解析 因为det(A )＝2×5－3×4＝－2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 3242－22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－52 32 2 －1.3．[P11习题T7]已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 21，其中a ∈R .若点P (1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P ′(－4,0)，实数a 的值为________． 答案 3 解析由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a 2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，解得a ＝3.4．[P39例1(1)]已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，求AB . 解AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 题组三 易错自纠5．A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 01，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－110，则AB 的逆矩阵为________．答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0， ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 110. 6．设椭圆的方程为x 2＋y 2a ＝1，若它在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a ＝________. 答案 4解析 设P (x ，y )为椭圆上任意一点，变换后为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 12y，所以x ＝x ′，y ＝2y ′，代入椭圆的方程，得x ′2＋4y ′2a＝1.因为它表示圆，所以a ＝4.7．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 02，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120 6，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 1， 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 题型一 矩阵与变换1．已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1所对应的变换将直线x－y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a b1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求直线l 的方程．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则有⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234. (2)设直线l 上任意一点P (x ，y )，在矩阵M 的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ， 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4， 整理得x ＋y ＋2＝0，所以直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解． 题型二 求逆矩阵例1已知矩阵det(A )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 －1. (1)求A 的逆矩阵A －1； (2)求矩阵C ，使得AC ＝B .解 (1)因为|A |＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－4222＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 －12－2 1.(2)由AC ＝B 得(A －1A )C ＝A －1B ，故C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 32 －12－2 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 10 －1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 2－2 －3.思维升华求逆矩阵的方法 (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ≠0，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |. 跟踪训练1已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 2－2，矩阵B 的逆矩阵B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －120 2，求矩阵AB .解 B ＝(B －1)－1＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤22 1220212＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤114012.∴AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20－2 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 140 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 540－1.题型三 特征值与特征向量例2已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 11 2. (1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解 (1)因为矩阵A 是矩阵A －1的逆矩阵，且|A －1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A ＝13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －1－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －13－1323. (2)矩阵A －1的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －1 λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f (λ)＝0，得矩阵A －1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1是矩阵A －1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A －1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量的步骤 (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应特征的向量．跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，(0,1)分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M .(1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的特征值．解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－324， 得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 －32－4 4. (2)设矩阵M 的特征多项式为f (λ)，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 32 4 λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6 ＝λ2－7λ＋6.令f (λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1．已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1562，求A 的特征值． 解 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A 的特征值为7和－4.2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－2 03，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 方法一 设矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以a ＝－1,2a ＋6b ＝－2，c ＝0,2c ＋6d ＝3. 解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 012. 根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 方法二在A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 206＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1， 得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3. 设A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －2 0 3， 所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6. 解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 2. 3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2101，向量b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2.求向量a ，使得A 2a ＝b . 解 A2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤210 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 30 1， 设a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，由A2a ＝b ，得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4301 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝10，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以a ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12.4．(2018·宿迁期中)已知变换T 把直角坐标平面上的点A (3，－4)，B (0,5)分别变换成点A ′(2，－1)，B ′(－1,2)，求变换T 对应的二阶矩阵M . 解设矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－4＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1， 且⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤05＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧5b ＝－1，5d ＝2.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝－15，c ＝15，d ＝25，所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －151525. 5．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1201的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程．解 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 20 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋2y 2＝1. 6．(2015·江苏)已知x ，y ∈R ，向量α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x1y0的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值． 解 由已知，得Aα＝－2α，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x －1 y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2，y ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11 20. 从而矩阵A 的特征多项式f (λ)＝(λ＋2)(λ－1)， 所以矩阵A 的另一个特征值为1.7．求曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解 设点(x 0，y 0)为曲线|x |＋|y |＝1上的任一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13对应的变换作用下得到的点为(x ′，y ′)， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x 0，y ′＝13y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′，y 0＝3y ′，所以曲线|x |＋|y |＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 13对应的变换作用下得到的曲线为|x |＋3|y |＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy 中，A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值． 解由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k001⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 k 1 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 0 k 0 －2 －2， 可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2，即k ＝±2.9．(2018·高邮考试)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1a1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 解(1)∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1a1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3， ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0－3，∴a ＝－4. (2)∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －1－41，∴f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3， 对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＝0，4x －2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，因此α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，4x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，因此α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．∴矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3， 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2.10．设a >0，b >0，若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a00b 把圆C ：x 2＋y 2＝1变换为椭圆E ：x 24＋y 23＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求矩阵A 的逆矩阵A －1.解 (1)设点P (x ，y )为圆C ：x 2＋y 2＝1上任意一点， 经过矩阵A 变换后对应点为P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax by ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝by ，因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆E ：x 24＋y 23＝1上，所以a 2x 24＋b 2y 23＝1，这个方程即为圆C 方程，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，又因为a >0，b >0，所以a ＝2，b ＝ 3.(2)由(1)得A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 003，所以A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200 33. 11．(2017·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 2. (1)求AB ；(2)若曲线C 1：x 28＋y 22＝1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解(1)因为A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2， 所以AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0110 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤021 0.(2)设Q (x 0，y 0)为曲线C 1上任意一点，它在矩阵AB 对应的变换作用下变为点P (x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 21 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧2y 0＝x ，x 0＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝x2.因为点Q (x 0，y 0)在曲线C 1上，所以x 208＋y 202＝1，从而y 28＋x 28＝1，即x 2＋y 2＝8.因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2＋y 2＝8.12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系；(3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解(1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两个方程组，解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 244. (2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2. 设矩阵M 的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ， 解得2x ＋y ＝0.(3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换作用下对应的点的坐标为(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤624 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝x ′，4x ＋4y ＝y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程化简，得x ′－y ′＋2＝0， 即x －y ＋2＝0.。
2012年高考数学总复习一轮《名师一号》课件第1讲集合的概念与运算
• 第一讲 集合的概念与运算
• 回归课本
• 1.集合中的元素有三个明显的特征：(1)确定性； (2)互异性；(3)无序性．
• 2．元素与集合的关系有属于和不属于两种．
• 考点陪练
• 1.(2010· 浙 江 )设P＝ {x|x<4} ， Q＝ {x|x2<4} ， 则
()
• A．P⊆Q
B．Q⊆P
• C．P⊆∁RQ
D．Q⊆∁RP
• 解析：集合Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.
• 答案：B
• 2．(2010·江西)若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝ {y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝( )
• (2)若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2. • 当a＝0时，a＋2＝2，(a＋1)2＝1，a2＋3a＋3＝
3，符合题意， • 当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1. • ∴a＝－2不符合题意； • (3)若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2， • 由(1)(2)可知，a＝－1，a＝－2都不符合题意． • 综上可知，实数a的值为0.
• A．不可能有两个元素 • B．至多有一个元素 • C．不可能只有一个元素 • D．必含无数个元素
• 快解：集合M是过点(1,1)的一条直线，集合N是 圆心为(0,1)，半径为1的圆，如图所示，由于直 线的斜率存在，故直线与圆必有两个交点．
• 名师作业·练全能
(2)∵A＝{3,5}，且 B⊆A， 故若 B＝∅，则方程 ax－1＝0 无解，有 a＝0； 若 B≠∅，则 a≠0， 由 ax－1＝0，得 x＝1a， ∴1a＝3 或1a＝5，即 a＝13或 a＝15. 故 C＝{0，13，15}．
2013届高考数学第1轮总复习12.1数学归纳法及其应用(第2课时)课件理(广西专版)
k
1
1
.
k
1
2
k
2 ak
1
3 2
ak
.
因为
k
2
ak＞0，1
3 2
ak＞1
3 2
k
1
1
1
3 2k
＞0， 2
所以
k
2 ak
(1
3 2
ak
)
［
k
2 ak
1
3 2
ak
2
］2
1 ［
k
2
1
•即
a12
a22
ak2
1成 立1 .
2 4k
• 则当n=k+1时，
a12
a22
ak2
a2 k 1
1 2
1 4k
4
1 k 1
2
1 2
1［ 1 4k
k
1
1
2
］
1 2
1 k2 k 1
4
· k
k
12
• 所以＜当12 n=14k·k+k1k2时，1k2不等12 式14成 k立 1. .
1， 7 . 2
• •
证(2)明假:设(1当)当nn==k时1时结，论a1 成 3立，11即2 a结1k，论3成k1立2 ..
2012高考数学文一轮复习(人教A版)精品课件选考第1章
[课堂记录] 因为四边形 ABCD为平行四边形， 所以 AB∥DC， AD∥BC. 所以△ABF∽△GCF， △GCF∽△GDA. 所以△ABF∽△GDA. AF BF 从而有 ＝ ，即AF· AD＝ AG· BF. AG AD
[思维拓展]
一般地，证明等积式成立，可先将其化成比例式，再根据三角形
相似证明其成立．三角形相似具有传递性，如果△A1B1C1∽△A2B2C2， △A2B2C2∽△A3B3C3，那么△A1B1C1∽△A3B3C3.本题就是利用其传递性来解决问题 的．
答案：90°
5．如右图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°， CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为 ________．
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2＝AB·AD. 设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，
∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0.
解得x＝4(舍去负值)，∴AD＝4. 答案：4
OE OE 2OE 2OE EF EF (3)由 (2)知 ＋ ＝ 1，∴ ＋ ＝ 2.又 EF＝ 2OE，∴ ＋ ＝ 2， AD BC AD BC AD BC 1 1 2 ∴ ＋ ＝ . AD BC EF
即时训练： 如图，△ABC中，D为 BC中点，E在CA上且AE＝2CE， AD、 AF BF BE相交于点F，求 ， . FD FE
__________成比例． 对应线段
3．相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定 定义 ______________，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三 对应角相等 角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)． 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构
人教版高中数学高考一轮复习--数学归纳法(课件)
=
+
3+1
=
4
.
13
第三环节
学科素养提升
用数学归纳法证明整除问题
典例
用数学归纳法证明当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
证明:(1)当n=1时,xn+yn=x+y,显然能被x+y整除,命题成立.
(2)假设当n=k(k∈N*,且k为奇数)时,命题成立,
即xk+yk能被x+y整除.
那么当n=k+2时,xk+2+yk+2=x2(xk+yk)+yk+2-x2yk=x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y).
时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,
这种证明方法称为数学归纳法(mathematical induction).
温馨提示能使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件:
(1)第一块骨牌倒下;
(2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下.
【知识巩固】
又根据假设,xk+yk能被x+y整除,
所以x2(xk+yk)能被x+y整除.
又yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,
所以x2(xk+yk)-yk(x+y)(x-y)能被x+y整除,
即当n=k+2时,命题成立.
由(1)(2)可知,当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
解题心得用数学归纳法证明整除问题时,第一从要证的n=k+1的式子中拼
2
(1 + )
2012高中数学一轮复习课件《数学归纳法》
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、 分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想．
第三阶段:操作阶段
布置课后作业, 巩固延伸铺垫
1 2 即n＝k＋1时等式也成立．
数学归纳法及其应用举例
2.1 数学归纳法及其应用举例
问题1
问题2
教 问题学3
教
材 生 学 数学归纳法定义
分 学 目 证明步骤:(1)
析
情 (2) 标
例题(猜想,证明过程的板书)
练方习1
教 练习2板
法 学 书 (练习请两位同学上黑板板演)
手程设
段序计
教 材
地学位作用教 生学
数学归纳法学习是数列知识的深入与
方 教 板 扩展,也是一种重要的数学方法,可以使 法 学 书 学生学会一种研究数学的科学方法．
分学 目 手 程 设
析
重情点难点标
重点：段归纳法意义序的认识和数学计归纳法
产生过程的分析．
难点：数学归纳法中递推思想的理解．
数学归纳法及其应用举例
知识准备
学生对等差（比）数列、数列求和、 二项式定理等知识有较全面的把握和 较深入的理解，同时也具备一定的从 特殊到一般的归纳能力，但对归纳的 概念是模糊的．
学生经过中学五年的数学学习，已具
教
能学力储备教
方 教 板 有一定的推理能力，数学思维也逐步
向理性层次跃进，并逐步形成了辨证
材
生
学 思维体法系．但学生学自主探究问书题的能
第一阶段:输入阶段 回顾数学旧知，追溯归纳意识
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所以(a1+d)(a1+7d)=(a1+3d)2，
则a1=d，所以an=nd.
b1a4 a4 4， (1)当n=1时， 所以4a1S1=b1a4成立. a1 S1 a1
(2)假设当n=k时，4a1Sk=bkak+3成立,
bk ak 3 即 Sk . 4a1
第十二章
第
极限与导数
讲
（第二课时）
题型3
用数学归纳法探求数列的通项公式
an(an+1-1)=n(an+1- an)(n≥2)，求数列{an}的通项 公式.
解：由已知可得 an1
n an 1 a2 1 ， 因为 a1=1，a2= ，所以 a3 4 2 a2 1 7 2a3 1 . a4 ， 由此猜想：an 3n - 2 3 - a3 10
证法1：(1)当n=1时，
1 1 ， 因为 0＜a1＜ 所以不等式成立. 2 11 1 (2)假设当n=k时不等式成立，即 0＜ak＜ . k 1 3 2 3 则ak 1 ak ak ak (1 ak ) 2 2 1 3 k 2 ak 1 ak . k2 2
则当n=k+1时，
所以当n=k+1时，结论也成立.综合(1)(2)知，
1 ( n N *). 数列{an}的通项公式是 an 3n 2
点评：“归纳—猜想—证明”是求数列 的通项公式与前n项和公式的常用方法，也是 近几年高考理科数学试卷中数列问题的一个 主要类型，应引起足够的重视.
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
2
2
所以当n=k+1时不等式成立.
1 a 综合(1)(2)知， n＜ 对任意n∈N*都成立. n1
证法3：(1)同证法1.
(2)假设当n=k时，不等式成立，
1 1 即 0＜ak＜ k 1 . 若 0＜ak k 2， 3 2 1 则ak 1 ak 2 ak＜ak k 2 . 1 1 ＜ak＜ , 若 k2 k 1
2
所以不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立，
1 1 即 0＜ak＜ . k 1 3 3 2 因为函数 f x x x 2 1 在［0， ］上是增函数， 3 1 )， 所以 f (ak )＜f ( k 1
1 3 1 1 即 ak 1＜f k 1 k 1 2 k 1 2k 1 k 2 2k 1 1 2 2 k2 2 k 1 2 k 1 1 2k 3k 2 1 2 ＜ . k 2 2k 4k 2 k 2
3 1 3 1 (1 ) 则 ak 1 ak (1 ak )＜ 2 k 1 2 k2 1 2k 1 1 2k 1 1 ＜ . k 1 2 k 2 k 2 2k 2 k 2 1 所以当n=k+1时，不等式ak 1＜ k 2 成立. 1 a 综合(1)(2)知，n＜ n1
2
所以当n=k+1时，不等式成立. 综合(1)(2)知，对任意n∈N*， 不等式都成立.
1. 数学归纳法原理类似于“多米诺骨牌游 戏”，其实质是逐一验证对一切从n0开始的正 整数，命题都成立，它是一种从有限验证无穷 的数学方法. 2. 归纳法是推理的方法，数学归纳法是证 明的方法，由归纳法得出的结论不一定正确， 只有用数学归纳法证明后才能确定其真实性. 3. “归纳——猜想——证明”是求解某些探 索性问题的一种重要的思想方法，它在数列问 题中有着广泛的应用，必须熟练掌握.
1 1. 已知数列{an}满足：a1=1，a2= ， 4
n 1 an ( n 2).
1 a 1， 证明: (1)当n=1时，1 结论成立. 31 2 1 (2)假设当n=k时结论成立，即 ak 3k 2 .
1 k 1 ak k 1 3k 2 k 1 ak 1 1 k ak k 3k 2 1 k 3k 2 k 1 k 1 1 1 2 . 3k 2k 1 3k 1 k 1 3k 1 3 k 1 2
2 2
1 . 所以ak 1＜ 即当n=k+1时， k2
不等式成立.综合(1)(2)知，
1 an＜ 对任意n∈N*都成立. n1 证法2：(1)当n=1时， ＜a1＜ 1 1 ， 0 2 11
所以不等式成立. 当n=2时，
3 2 3 1 1 1 1 1 a2 a1 a1 a1 ＜ ， 2 2 3 6 6 3 21
4. 数学归纳法应用中的存在性问题，应先 取特殊值，求得参数取值，然后再用数学归纳 法严格证明，不需再考虑参数其他取值情况.
5. 在用数学归纳法证明数列不等式时，需 要从问题要证的结论出发去寻找出过渡命题， 探索并证明过渡命题成为此类问题的中心环节， 而这一过渡命题又恰好是证明原命题的关键.这 就是说，为方便用数学归纳法证明数列不等式， 有时需要运用“变更命题”的技巧，这在证明 数列不等式问题中经常用到.
2. 已知两个数列{an}、{bn}满足：a1=2，
试推测an+bn的变化规律，并证明你的结论.
解：当n=1时，a1+b1=1.
b1 1 2 ，a2 a1b2 ， 因为 b2 2 1 a1 3 3
所以a2+b2=1，…由此猜测：an+bn=1.
证明：(1)当n=1时，a1+b1=1显然成立.
点评：探求数列中的有关性质，一般是 先观察n=1，2，3时的命题的性质，对这几 项进行归纳、分析，猜想出一般性的结论， 然后用数学归纳法来证明.
已知数列{an}是公差不为零的等差数列， 且a4是a2与a8的等比中项，设bn=anan+1an+2，Sn 为数列{bn}的前n项和，试推断是否存在常数p， 使对一切n∈N*都有pa1Sn=bnan+3成立？说明 你的理由. 解：设数列{an}的公差为d(d≠0).
(2)假设当n=k时，ak+bk=1，
即bk=1-ak成立， 则ak+1+bk+1=akbk+1+bk+1=(ak+1)bk+1
bk bk ak 1 1. 2 1 ak 1 ak
所以当n=k+1时，结论成立. 故an+bn=1，为定值.
综合(1)(2)知，对任意n∈N*，都有an+bn=1.
(2)证明:①当n=1时，a1=1，结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，
2k 1 即 a k k 1 . 2
那么当n=k+1(k≥1且k∈N*)时，
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.
所以2ak+1=2+ak, 所以 ak 1
3 3 1 3 因为 k 2 ak＞0， ak＞1 1 1 ＞0， 2 2 k 1 2k 2
3 3 2 所以 k 2 ak (1 ak ) k 2 ak 1 ak ］ ［ 2 2 k 1 1 1 1 ak 1 (k ) 2 ］ ［ 2 2 2 k 1］ ［ ＜ 2 2 2k 1 2 11 1 2 k 2 ＜ 1， 2 2
即n=k+1时，有4a1Sn=bnan+3成立. 综合(1)(2)知，存在常数p=4， 使对一切n∈N*， 都有pa1Sn=bnan+3成立.
题型5
用数学归纳法证数列不等式
1 3. 已知数列{an}满足: 0＜a1＜ ， 2 3 2 an1 an an ( n N *)， 证明：n＜ 1 . a 2 n1
对任意n∈N*都成立.
点评：用数学归纳法证明不等式的关 键是“变形”，即在归纳假设的基础上通 过放缩、比较、综合等证明不等式的方法， 得到要证明的目标不等式.
1 已知数列{an}的通项 an ， 2n 2 2 求证：12 a2 an 1 1 . a 2 4n 证明：(1)当n=1时， 12 1 1 1 ， a 4 2 41
2k 1 2 k 1 2 ak 2 k 1 1 2 , k 2 2 2
这表明n=k+1时，结论也成立.
2n 1 由①②知，猜想an n1 ( n N *)成立. 2
题型4
用数学归纳法探求数列的有关性质
bn1 ( n 2)， b1=-1，且an=an-1· bn b=， 2 1 an 1
则S
bk ak 3 ak bk 11 bk 1 bk 1 k 1 S k bk 1 4a1 4a
ak 4a1 ak 4d 4 ak 4bk 1 bk 1 bk 1 ， 4a1 a1 4a1
所以4a1Sk+1=bk+1ak+4，
所以不等式成立.
(2)假设n=k时，不等式成立，
1 1 即 a a a 成立. 2 4k
2 1 2 2 2 k
则当n=k+1时，
a a a a
2 1 2 2 2 k 2 k 1
1 1 1 2 4k 4k 1 ［ ］ · 2 2 4 k k 1 2 4 k k 1 2 1 1 k k 1 1 ＜ · k 1 . 2 2 4 k k 1 2 4
解：(1)当n=1时，a1=S1=2-a1,所以a1=1;