2019届高中数学 4教师教案大全 5.(2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)
高中数学必修四教案-2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(2)-人教A版
《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教学设计【教材内容地位】本课时的内容包括“向量的正交分解及坐标表示”，向量基本定理实际上是建立向量坐标的一个逻辑基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算。
2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容：1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。
本节教学的内容是本单元的第2节。
本节内容是向量进行坐标运算的理论基础，是将向量由几何属性转变为代数属性的转折点，具有非常总要的意义。
【三维目标】知识与技能：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，具体要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，具体要求：（1）知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（2）向量的坐标等于终点减去起点坐标。
3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中体会由特殊到一般的研究问题的方法，体会由“形”到“数”的数形结合思想及与点与坐标关系的类比思想。
情感态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立探索、参与讨论交流，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
教学重点：平面向量坐标表示的定义突破办法：渗透从特殊到一般的归纳，由“形”到“数”的数形结合的思想.教学难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解突破办法：设置情景问题，注意过程分析与引导，力求自然、合理【教学过程】（一）回顾旧知：回顾向量基本定理，构造建立直角坐标系条件，为研究问题做铺垫。
12a e e λμ=+【设计说明】回顾平面向量基本定理，为本节内容做铺垫，特别强调基底的系数是唯一确定的。
（二）情境引入：光滑斜面上的物体匀速下滑，欲求物体受到的滑动摩擦力和支持力，该如何对重力进行分解?【设计说明】利用学生熟知的物理背景类比引出本节课题。
人教版高中数学必修4第二章平面向量-《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》教案(5)
2.3.2《平面向量的正交分解及坐标表示》教学案一、教学任务分析 （１）、通过力的分解问题，感受平面向量的正交分解与现实的紧密联系；掌握平面向量的正交分解． （２）、类比平面直角坐标系中，点用有序实数对表示，掌握平面向量的坐标表示． 二、教学重点、难点重点：平面向量的正交分解及坐标表示． 难点：平面向量的正交分解及坐标表示． 三、教学过程 (一)、温故知新平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， ，使 ．我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． （二）创设情境问题1 如图(1)，光滑斜面上一个木块受到重力的作用，会产生哪两个效果？一是 ；一是 ．图（1）问题 2 由平面向量基本定理，对于平面内的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量吗？（三）、讲授新课1．平面向量的正交分解把一个向量 ，叫做把向量正交分解． 练习1．如图(2)，请把导弹刚发射后某时刻的速度正交分解．图(2)思考：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？2．平面向量的坐标表示如图(3)，在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、作为基底．对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知， ，使得． ①这样，平面内的任一向量都可由x 、y 唯一确定，我们 把有序数对),(y x 叫做向量的坐标，记作② 图（3）其中 叫做在x 轴上的坐标， 叫做在y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示．巩固提高：练习２．请写出下列各向量的坐标= ，= ，= ．练习３．若向量=，则向量的坐标是 ．练习４．若向量=(x -2,3)与向量=(1, y +2)相等，则( ) A ．x =1, y =3 B ．x =3, y =1 C ．x =1, y =-5 D ．x =5, y =-1练习5．如图(4)，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底，请用j i 、表示向量OB OA 、，并求它们的坐标．问题3 （1）．如图(5)，在平面直角坐标平面中，向量OA 的坐标与终点A 的坐标之间有什么关系？（2）．如图(6)，若向量A 的起点不在原点，怎样得到B A 的坐标？因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．（四）、典例剖析图(5)图(6)如图(7)，分别用基底、表示向量，并求它们的坐标．变式练习：如图(8)，正方形ABCD 中，O 为中心， 且=（-1，-1），试求,,的坐标．（五）、小结（六）布置作业已知O 是坐标原点，点A 在第一象限, 34 ，∠xOA =60°，求向量的坐标．图(8)。
高中数学_《平面向量的正交分解及坐标表示,坐标运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的正交分解及坐标表示，坐标运算》教学设计一、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学4》（人教A版）第二章第三节的第二课时（2.3.2）《平面向量的正交分解及坐标表示》1.教材内容地位本节课内容包括“向量的正交分解及坐标表示”及“平面向量的坐标运算”两部分，其中向量的正交分解具有承上启下的作用，与上一节平面向量基本定理内容紧密关联。
本节课引出的向量的坐标表示，与坐标运算，实际上是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化。
这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射，从而实现向量的“量化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想．这将为后面三角函数学习，及之后的几何学习与代数紧密联系起来。
2.教学目标(1)了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示的定义：①能够写出给定向量的坐标。
②给出坐标能够画出表示向量的有向线段。
(2)掌握两个向量和（差）及向量数乘的坐标的运算法则：①知道起点在坐标原点时，向量的坐标就是终点的坐标。
②一个向量坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。
二、学科核心素养本节课主要涉及以下三大类共六项，我将从以下几个方面设计本节课内容。
1、数学的一般特性(1)数学抽象：从物理方面的重力分解出发，舍去其相关物理属性，引出向量的正交分解，并在坐标系中用坐标表示出对应向量。
(2)直观想象：利用图、形结合的方式，展示向量在坐标系中的运算，以及向量与有向线段的关系。
2、数学思维的严谨性(1)逻辑推理：以i 、j为基底，根据向量的可以任意平移的特性，推导出向量的坐标表示。
(2)数学运算：通过向量线性运算的结合律和分配律，严谨的推导出向量的坐标运算，以及运用已有的向量加减的知识推导出，向量的坐标与表示此向量的有向线段的坐标的关系。
3、数学的实用性(1)数学建模：将向量与力与位移等矢量结合起来，通过坐标运算位移大小与力的大小等内容。
三、教学重点难点教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示：教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.四、学习者分析学生已经掌握的平面向量的基本定理为本节课的学习提供了知识准备；学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成与分解，坐标中点的表示方式已经熟练掌握，同时作图习惯已经养成这些都为本节课的学习提供认知准备；同时学生具备了一定的归纳推理能力以及分析问题、解决问题的能力，但要学生从向量坐标的方法解决几何问题依然具有一定的难度。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(教学设计)-高中数学人教A版(2019)必修第二册
教学设计课题名称平面向量的正交分解及坐标表示课时计划：课时第课时授课日期：教学目标1．借助于平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．2．理解向量坐标的概念，会用坐标表示平面向量的加法和减法运算．重点难点重点：掌握向量和、差运算法则．难点：理解向量坐标的概念.教学方法教师讲授、师生互动、学生主导科组模式板书设计作业布置课后反思教学设计教学环节教师活动(可附带学生活动)一、平面向量的正交分解及坐标表示板书设计1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．3．坐标表示：a＝(x，y)．4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．注意点：(1)点的坐标表示与向量的坐标表示不同，A(x，y)，a＝(x，y)．(2)当向量的起点在原点时，向量的坐标与向量终点的坐标相同．一、平面向量的坐标表示例1如图，设{},i j为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．a b c d，并求出它们的坐标跟踪训练1如图，分别用基底{},i j表示向量,,,二、平面向量的坐标运算例2 如图，已知()1,3A -，()1,3B -，()4,1C ，()3,4D ，求向量OA ，OB ，AO ，CD 的坐标．跟踪训练2 已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)三、平面向量的坐标应用例3 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,2A -，()4,3B ，()3,6C ，()AP AB R AC λλ=+∈. （1）试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上；（2）若点P 在第三象限内，求实数λ的取值范围.跟踪训练3 已知点A (2，3)，B (5，4)，AC →＝(5λ，7λ).若AP →＝AB →＋AC →(λ∈R )，试求λ为何值时：(1)点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)点P 在第三象限内？1．知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示．(2)平面向量加、减运算的坐标表示．(3)平面向量坐标运算的应用．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：已知A ，B 两点求AB →的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标．。
2.3.2向量正交分解及坐标表示（教学建议和反思）
§2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 教学建议（一）、复习引入：问题1、指出平面向量基本定理的内容及意义设计意图：复习旧知，为下一步将基底特殊化引出新课做准备。
指出注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 （二）、讲解新课： 1、平面向量的正交分解问题2、平面向量基本定理在物理学中有哪些作用？试举例说明。
设计意图：建立数学知识与物理知识的联系，感受数学定理的实际模型，有助于理解向量的正交分解概念及意义。
指出在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解，正交分解是向量分解中常见的一种情形，这样会给我们研究问题带来很大的方便。
2、平面向量的坐标表示问题3、平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示。
对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？设计意图：通过类比平面直角坐标系中点用有序实数对表示，提示学生思考在直角坐标系中表示一个平面向量的方法，培养学生的迁移能力和创新意识。
问题4、如图，取与x 轴，y 轴同向的单位向量、为基底，用、表示向量。
设计意图：让学生经历知识的形成过程，从具体问题中初步感受向量的坐标表示意义和向量坐标的求法，同时为学生抽象坐标表示的定义作铺垫。
问题5、更一般地，怎样定义平面内任意一个向量的坐标？设计意图：通过学生自身对定义的抽象建构过程，加深对所学知识的理解，同时渗透由具体到抽象、由特殊到一般的认知方法，问题6、写出、、的坐标；设计意图：巩固向量坐标表示的定义，明确相等向量坐标相等，体会向量与其坐标的一一对应关系，感悟向量的坐标与点的坐标一样有正负之分。
问题7、（1）如果A(x1, y1),O为坐标原点，那么的坐标是什么？（2）如果A(x1, y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么？（1）（2）设计意图：使学生明确向量的坐标与表示该向量的有向线数起点和终点坐标之间的关系，感悟向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关。
备课教案资料(2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)
备课资料一、三角形三条中线共点的证明图10如图10所示,已知在△ABC 中,D 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点,设中线AD 、BE 相交于点P.求证:AD 、BE 、CL 三线共点.分析:欲证三条中线共点,只需证明C 、P 、L 三点共线.解:设AC =a ,AB =b ,则AL =21b ,AC AL CL -==-a +21b . 设AP =m AD ,则AC +CP =m(AC +CD ),CP =(-1+m)AC +m CD =(-1+m)a +m[21(b -a )]=(-1+21m)a +21m b . ① 又设EP =n EB ,则CP -CE =n(EC +CB ),∴CP =(1-n)CE +n CB =21-(1-n)a +n(b -a )=(21--21n)a +n b . ② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-.21.2121211n m m m 解之,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,52n m ∴CP =-32a +31b =32(-a +21b )=32CL . ∴C 、P 、L 三点共线.∴AD 、BE 、CL 三线共点.二、备用习题图111.如图11所示,已知=34,=31,用、表示,则等于( ) A.31+34 B.31-+34 C.31-OA -34OB D.31OA -34OB 2.已知e 1,e 2是两非零向量,且|e 1|=m,|e 2|=n,若c =λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2∈R ),则|c |的最大值为( )A.λ1m+λ2nB.λ1n+λ2mC.|λ1|m+|λ2|nD.|λ1|n+|λ2|m3.已知G 1、G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心,且11A A =e 1,21B B =e 2,21C C =e 3,则21C C 等于( ) A.21(e 1+e 2+e 3) B.31(e 1+e 2+e 3) C.32(e 1+e 2+e 3) D.31-(e 1+e 2+e 3) 4.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AB AB +,λ∈［0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5.(2005山东高考) 已知向量a 、b 且AB =a +2b ,BC =-5a +6b ,CD =7a-2b ,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.C 、B 、DD.A 、C 、D图126.2007浙江高考,15 如图12,平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°, OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |=|OB |=1,|OC |=23,若OC =λOA +μOB (λ,μ∈R ),则λ+μ的值为________.参考答案:1.B2.C3.B4.B5.A6.62.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得a =x i +y j .于是,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a 的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢?②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a 和b (如图2),作=a ,=b ,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.显然,当θ=0°时,a 与b 同向;当θ=180°时,a 与b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a ⊥b .由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a ,均可以分解为不共线的两个向量λ1a 1和λ2a 2,使a =λ1a 1+λ2a 2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样. ②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得 a =x ｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y) ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H、M、F所在位置,有+=+=ADDMADAM abABADDC212121+=+=AB21=b+21a.ADADABADBCAHBFABAHAFHF21312131-+=-+-+=-==a61-b.点评:以a、b为基底分解向量AM与HF,实为用a与b表示向量AM与HF.变式训练图5已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如图,任取一点O,作OA=-2.5e1,OB=3e2.(2)作OACB.故OC OC就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i、j表示a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表示为基底i、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、j表示出来,进而得到向量a的坐标.另一种方法是把向量a移到坐标原点,则向量a终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法,可以得到向量b、c、d的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A 、B 、D 三点共线,∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v ∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示.活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0. 推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,NM +=+= ∴由CM BM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++μλ3230.∴(λ+2)+(3+3μ)NM =0. 由于和不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.NM =-=∴2=+==2a .点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵=DC ,即-=AC -, ∴=21(+). 又∵=λ=λ(-), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵=μ,即-=μ(-),∴(1+μ)=+μ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32,∴=μ+11+)1(32μμ+. ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△OAB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设=h ,k =,试证:311=+kh 解:设=a ,=b ,OG 交AB 于D,则=21(+)=21(a +b )(图略).∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△ABC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,=32, 而=+=+=21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==(21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.2.∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决.课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。
高二数学(人教A版)必修4精品教案—2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
2. 3.2 平面向量的正交分解及坐标表示学习目标1、能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。
2、会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:理解平面向量的坐标表示．教学过程对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？——上节课针对这一问题我们做出了肯定的回答，接下来我们共同探究：把任意一个向量用两个互相垂直的向量来表示会给解决问题带来哪些方便。
正交分解：把向量分解为两个互相垂直的向量。
提出问题我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示？解答问题如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得=x+y①这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量的坐标,记作=(x,y) ②其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,i=(1,0), j=(0,1),0=(0,0).提出问题在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？解答问题如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作→=a，则点A的位置由→a唯一确定.设→→+=jyi xOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.例题讲解例1、如图,分别用基底i、j表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.例2、请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.课堂小结：（1）什么是正交分解？（2）平面直角坐标系中，向量与坐标有什么关系？（3）如何根据平面直角坐标系中的向量求出其坐标？如何根据给出的坐标在平面直角坐标系中画出其对应的向量？2．3．3平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：情景平台:我们用有向线段表示向量时会进行线性运算，现在我们用坐标来表示向量还能不能进行线性运算？ 讲解新课：1．平面向量的坐标运算思考1：已知：→a ),(11y x =，),(22y xb =，你能得出b a ϖϖ+、b a ϖϖ-、a ϖλ的坐标吗？结论：（1） 若),(11y x =，),(22y x =，则b a ϖϖ+),(2121y y x x ++=，b a ϖϖ- ),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 结论：（2）若),(y x =和实数λ，则),(y x λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.思考2：已知),(11y x A ，),(22y x B ，怎样求B A ϖ的坐标？结论：（3） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --==-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)=(x 2- x 1， y 2- y 1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x 2- x 1， y 2- y 1)的P 点吗？结论：（4）向量的坐标与以原点为始点、点P 为终点的向量的坐标是相同的。
高中数学平面向量教案(精选6篇)
高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。
会用基底表示平面内任一向量。
2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。
学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。
如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。
活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。
因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。
向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。
活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。
高中数学优质教案2：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计
必修四第二章平面向量2.3.2 平面向量的坐标运算教 师 活 动导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
解：由图可知：12AA AA =+u u u r u u u u r a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。
3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x , y )和实数λ,求λa 的坐标。
解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1- x 2, y 1-y 2)。
高中数学必修4公开课教案2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3平面向量的根本定理及其坐标表明2.3.1平面向量根本定理2.3.2平面向量的正交分化及坐标表明全体规划教育剖析平面向量根本定理既是本节的要点又是本节的难点.平面向量根本定理告知咱们同一平面内任一向量都可表明为两个不共线向量的线性组合,这样,假如将平面内向量的始点放在一同,那么由平面向量根本定理可知,平面内的恣意一点都能够经过两个不共线的向量得到表明,也便是平面内的点能够由平面内的一个点及两个不共线的向量来表明.这是引进平面向量根本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,笔直是一种重要的特别景象,向量的正交分化是向量分化中常用且重要的一种分化,因为在平面上,假如选取相互笔直的向量作为基底时,会给问题的研讨带来便利.联络平面向量根本定理和向量的正交分化,由点在直角坐标系中的表明得到启示,要在平面直角坐标系中表明一个向量,最便利的是别离取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,关于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量根本定理可知,有且只要一对实数x、y,使得a=x i+y j.所以,平面内的任一向量a都可由x、y仅有确认,而有序数对(x,y)正好是向量a的结尾的坐标,这样的“偶然”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起逐个映射,然后完成向量的“量化”表明,使咱们在运用向量东西时得以完成“有效能算”的思维.三维方针1.经过探求活动,能推导并了解平面向量根本定理.2.把握平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表明,了解这是使用向量处理实际问题的重要思维办法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与笔直的概念,并能使用于平面向量的正交分化中,会把向量正交分化,会用坐标表明向量.要点难点教育要点:平面向量根本定理、向量的夹角与笔直的界说、平面向量的正交分化、平面向量的坐标表明.教育难点:平面向量根本定理的运用.课时组织1课时教育进程导入新课思路1.在物理学中咱们知道,力是一个向量,力的组成便是向量的加法运算.并且力是能够分化的,任何一个巨细不为零的力,都能够分化成两个不同方向的分力之和.将这种力的分化拓宽到向量中来,会发生什么样的定论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分化为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体笔直于斜面且压紧斜面的力F2.咱们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分化为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例能够看出,把一个向量分化到两个不同的方向,特别是作正交分化,即在两个相互笔直的方向上进行分化,是处理问题的一种十分重要的手法.假如e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么联系呢？在不共线的两个向量中,笔直是一种重要的景象.把一个向量分化为两个相互笔直的向量,叫做把向量正交分化.在平面上,假如选取相互笔直的向量作为基底,是否会给咱们带来更便利的研讨呢?思路2.前面咱们学习了向量的代数运算以及对应的几许含义,假如将平面内向量的始点放在一同,那么平面内的恣意一个点或许恣意一个向量是否都能够用这两个同起点的不共线向量来表明呢？这样就引进了平面向量根本定理.教师能够经过多对几个向量进行分化或许组成,在黑板上给出图象进行演示和解说.假如条件答应,用多媒体教育,经过相应的课件来演示平面上恣意向量的分化,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行组成将会有什么样的定论？推动新课新知探求提出问题图1①给定平面内恣意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都能够用形如λ1e1+λ2e2的向量表明呢?②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,咱们经过作图研讨a与e1、e2之间的联系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a.过点C 作平行于直线OB的直线,与直线OA;过点C作平行于直线OA 的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.因为,所以a=λ1e1+λ2e2.也便是说,任一向量a都能够表明成λ1e1+λ2e2的方式.由上述进程能够发现,平面内任一向量都能够由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表明出来.当e1、e2确认后,恣意一个向量都能够由这两个向量量化,这为咱们研讨问题带来极大的便利.由此可得:平面向量根本定理:假如e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么关于这一平面内的恣意向量a,有且只要一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.定理阐明:(1)咱们把不共线向量e1、e2叫做表明这一平面内一切向量的一组基底;(2)基底不仅有,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分化;(4)基底给守时,分化方式仅有.评论成果:①能够.②a=λ1e1+λ2e2.提出问题①平面中的恣意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角相同吗？②对平面中的恣意一个向量能否用两个相互笔直的向量来表明？活动:引导学生结合向量的界说和性质,考虑平面中的恣意两个向量之间的联系是什么样的,结合图形来总结规则.教师经过发问来了解学生总结的状况,对答复正确的学生进行表彰,对答复不全面的学生给予提示和鼓舞.然后教师给出总结性的定论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,咱们规则:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.明显,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因而,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.假如a与b的夹角是90°,咱们说a与b笔直,记作a⊥b.由平面向量的根本定理,对平面上的恣意向量a,均能够分化为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,笔直是一种重要的景象.把一个向量分化为两个相互笔直的向量,叫做把向量正交分化.如上,重力G沿相互笔直的两个方向分化便是正交分化,正交分化是向量分化中常见的一种景象.在平面上,假如选取相互笔直的向量作为基底时,会为咱们研讨问题带来便利.评论成果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不相同.②能够.提出问题①咱们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表明.对直角坐标平面内的每一个向量,怎么表明呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是逐个对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,别离取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.关于平面内的一个向量a,由平面向量根本定理可知,有且只要一对实数x、y,使得a=xｉ+y j①这样,平面内的任一向量a都可由x、y仅有确认,咱们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其间x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表明.明显,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:1.向量a与有序实数对(x,y)逐个对应.2.向量a的坐标与表明该向量的有向线段的起点、结尾的具体方位没有联系,只与其相对方位有联系.如图所示,是表明a的有向线段,A1、B1的坐标别离为(x1,y1)、(x2,y2),则向量a的坐标为x=x2-x1,y=y2-y1,即a的坐标为(x2-x1,y2-y1).3.为简化处理问题的进程,把坐标原点作为表明向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表明向量a的有向线段的结尾仅有确认了,即点A的坐标便是向量a的坐标,流程表明如下:评论成果:①平面内的任一向量a都可由x、y仅有确认,咱们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).②是逐个对应的.使用示例思路1例1 如图4,ABCD,=a,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a,b为基底分化向量.图4活动:教师引导学生使用平面向量根本定理进行分化,让学生自己着手、动脑.教师能够让学生到黑板上板书进程,并对书写仔细且正确的同学提出表彰,对不能写出完好解题进程的同学给予提示和鼓舞.解:由H、M、F所在方位,有=b+a.=ab.点评:以a、b为基底分化向量与,实为用a与b表明向量与.变式操练图5已知向量e1、e2(如图5),求作向量-2.5e1+3e2.作法:(1)如图,任取一点O,作=-2.5e1,=3e2.(2)作OACB.故OC便是求作的向量.图6例2 如图6,别离用基底ｉ、j表明向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i、j表明a、b、c、d,其关键是把a、b、c、d表明为基底i、j的线性组合.一种办法是把a正交分化,看a在x轴、y轴上的分向量的巨细.把向量a用i、j表明出来,然后得到向量a的坐标.另一种办法是把向量a移到坐标原点,则向量a结尾的坐标便是向量a的坐标.相同的办法,能够得到向量b、c、d的坐标.别的,本例还能够经过四个向量之间方位的几许联系:a与b关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称,a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a=+=x i+y j,∴a=(2,3).同理,b=-2i+3j=(-2,3);c=-2i-3j=(-2,-3);d=2i-3j=(2,-3).点评:本例还能够得到启示,要充沛运用图形之间的几许联系,求向量的坐标.变式操练i,j是两个不共线的向量,已知=3i+2j,=i+λj,=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.解:∵=-=(-2i+j)-(i+λj)=-3i+(1-λ)j,又∵A、B、D三点共线,∴向量与共线.因而存在实数υ,使得=υ,即3i+2j=υ[-3i+(1-λ)j]=-3υi+υ(1-λ)j.∵i与j是两个不共线的向量,故∴∴当A、B、D三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只要一对不共线向量可作为表明该平面的基底;②一个平面内有很多多对不共线向量可作为该平面一切向量的基底;③零向量不能够作为基底中的向量,其间正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活动:这是操练学生对平面向量根本定理的正确了解,教师引导学生仔细地剖析和了解平面向量根本定理的真实内在.让学生清楚在平面中关于基底的选取是不仅有的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都能够作为基底.解:平面内向量的基底是不仅有的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内一切向量的一组基底;而零向量可当作与任何向量平行,故零向量不行作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题首要考察的是学生对平面向量定理的了解.思路2图7例1 如图7,M是△ABC内一点,且满意条件0,延伸CM交AB于N,令=a,试用a表明.活动:平面向量根本定理是平面向量的重要定理,它是处理平面向量核算问题的重要东西.由平面向量根本定理,可得到下面两个推论:推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a1,a2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则解:∵∴由=0,得0.∴=0.又∵A、N、B三点共线,C、M、N三点共线,由平行向量根本定理,设∴0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.因为和不共线,∴∴∴∴=2a.点评:这儿选取作为基底,运用化归思维,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的方式来处理.变式操练设e1与e2是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满意λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.又λa+μb=5e1-e2.由平面向量根本定理,知解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△ABC中,AD为△ABC边上的中线且AE=2EC,求的值.活动:教师让学生先仔细剖析题意,以明晰本题的真实意图,怎样把平面向量根本定理与三角形中的边相联络？使用化归思维进行转化完后,然后结合向量的持平进行求解比值.解:设∵=,即-=-,∴=(+).又∵=λ=λ(-),∴==+. ①又∵=μ,即-=μ(-),∴(1+μ)=+μ=又=,∴=+. ②比较①②,∵、不共线,∴解之,得∴点评:本例中,结构向量在同一基底下的两种不同表达方式,使用相同基向量的系数对应持平得到一实数方程组,然后进一步求得成果.变式操练过△OAB的重心G的直线与边OA、OB别离交于P、Q,设=h,,试证:解:设=a,=b,OG交AB于D,则=()=(a+b)(图略).∴==(a+b),=(a+b)-k b=a+b,=h a-k b.∵P、G、Q三点共线,∴.∴a+b=λh a-λk b.∴两式相除,得,∴=3.知能操练1.已知G为△ABC的重心,设=a,=b,试用a、b表明向量.2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与持平,其间A(1,2),B(3,2),求x.图9回答:1.如图9,=,而a+(b-a)=a+b,∴(a+b)=a+b.点评:使用向量加法、减法及数乘的几许含义.2.∵A(1,2),B(3,2),∴=(2,0).∵a=,∴(x+3,x2-3x-4)=(2,0).∴解得∴x=-1.点评:先将向量用坐标表明出来,然后使用两向量持平的条件就可使问题得到处理.讲堂小结1.先由学生回忆本节学习的数学知识:平面向量的根本定理,向量的夹角与笔直的界说,平面向量的正交分化,平面向量的坐标表明.2.教师与学生一同总结本节学习的数学办法,如待定系数法,界说法,概括与类比,数形结合,几许作图.作业讲义习题2.3 A组1.规划感触1.本节课内容是为了研讨向量便利而引进的一个新定理——平面向量根本定理.教科书首要经过“考虑”:让学生考虑关于平面内给定的恣意两个向量进行加减的线性运算时所表明的新向量有什么特色,反过来,对平面内的恣意向量是否都能够用形如λ1e1+λ2e2的向量表明.2.教师应该多提出问题,多让学生自己着手作图来发现规则,经过解题来总结办法,引导学生了解“化归”思维对解题的协助,也要让学生长于用“数形结合”的思维来处理这部分的题.3.假如条件答应,凭借多媒体进行教育会有意想不到的作用.整节课的教育主线应以学生操练为主,教师给与引导和提示.充沛让学生阅历剖析、探求并处理实际问题的进程,这也是学习数学,领会思维办法的最好载体.学生这种阅历的实践活动越多,处理实际问题的办法就越恰当而简捷.。
高中数学人教A版(2019)必修第二册《平面向量的正交分解及坐标表示》教案
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案一、教学目标1、使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程；掌握平面向量的坐标表示及其运算；2、通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；3、在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。
二、教学重难点重点：平面向量的坐标表示及坐标运算；难点：对平面向量的坐标表示生成过程的理解。
三、教具多媒体课件四、教学过程设计一、复习回顾 问题情境 【回顾】平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e【情境】光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力F 1和木块产生的垂直于斜面的压力F 2（如图）．一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，许多有关向量问题将变得较为简单．【问题】 在平面直角坐标系中，每一个点可用一对有序实数（即它的坐标）表示，那么对平面直角坐标内的每一个向量，可否用实数对来表示？又如何表示呢？二、理解概念 加深认识如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底，任作一个向量a r，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 a xi yj r r r …………○1 我们把),(y x 叫做向量a r 的（直角）坐标，记作(,)a x y r …………○2 其中x 叫做a r 在x 轴上的坐标，y 叫做a r 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。
结合定义，指导学生求出向量i r 、j r 、0r 的坐标。
（多媒体演示）如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a u u u r r ，则点A 的位置由a r 唯一确定。
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2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
整体设计
教学分析
平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.
于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.
三维目标
1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.
重点难点
教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面
向量的坐标表示.
教学难点:平面向量基本定理的运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?
思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？。