高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 48种命题素材 北师大版选修1-1
北师大版高中数学选修1-1第一章常用逻辑用语.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第一章常用逻辑用语（北京师大版选修1-1）一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分）1.下列说法中,不正确的是( )A.“若则”与“若则”是互逆命题B.“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题C.“若﹁则﹁”与“若则”是互否命题D.“若﹁则﹁”与“若则”互为逆否命题2.以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题3.若命题“使得”是假命题，则实数的取值范围是（）A.[-1,3]B.(-1,3)C.(]D.4.若集合A={1,},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设：：,若﹁是﹁的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6.命题：将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像；命题：函数的最小正周期是，则命题“或”“且”“非”中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知命题：“”,命题：，,若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（）A.或B. 或C.D.8.给出下列命题：①若“或”是假命题，则“﹁且﹁”是真命题；②；③若关于的实系数一元二次不等式的解集为，则必有且；④，其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.关于的函数有以下命题：①,；②；③，都不是偶函数；④,使f是奇函数．其中假命题的序号是（）A.①③B.①④C.②④D.②③10.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有﹁p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题11.有限集合中元素的个数记作，设A,B都是有限集合，给出下列命题：①的充要条件是=；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是，其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.312.已知命题使；命题,都有给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“﹁”是假命题；③命题“﹁”是真命题；④命题“﹁﹁”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若为定义在D上的函数，则“存在D,使得”是“函数为非奇非偶函数”的________条件. 14.已知与整数的差为的数；整数的，则是的________条件.15.已知命题p:命题q:若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________.16.下列四个结论中，正确的有(填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“＞－”是“一元二次不等式a ＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若，则关于的方程有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题：任意，，如果命题﹁是真命题，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足－4ax+3＜0，其中a＞0；q：实数x满足－－－＞（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数是R上的减函数，命题q:函数在上的值域为．若“”为假命题，“”为真命题，求的取值范围．第一章常用逻辑用语（北京师大版选修1-1）答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：第一章常用逻辑用语（北京师大版选修1-1）参考答案一、选择题1.B 解析：“若﹁则﹁”与“若则”互为逆否命题，B不正确，故选B.2.B 解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.A 解析：已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为：使得若为真命题，需方程的判别式解得4.A解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.5.A 解析：由已知得若成立，则,若成立，则.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以，所以.6.C 解析：将函数y=的图像向右平移个单位长度得到函数y==的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数,最小正周期为，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7. A 解析：若p成立，对有.因为所以即若q成立，则方程的判别式解得或因为命题“”是真命题，所以p真q真，故的取值范围为或8.B 解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若，则，若,则，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式的解集是，则必有且，所以③是假命题；当时，必有但当，y=5时，满足但，所以④是假命题.综上共有2个真命题.9. A 解析：对于命题①，若==成立，必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f，当时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10. A解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜，所以正确;B中﹁p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.11.C 解析：，即集合和集合没有公共元素，①正确；，即集合中的元素都是集合中的元素，②正确；③错误；，则集合中的元素与集合中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B 解析：因为，所以命题p是假命题，﹁是真命题；由函数y=的图像可得，命题q是真命题，﹁是假命题.所以命题“”是假命题, 命题“﹁”是假命题，命题“﹁”是真命题，命题“﹁﹁”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要解析：存在D,使得 –则函数为非奇非偶函数；若函数为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在D,使得”是“函数为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要解析：，可分别用集合表示，集合表示奇数的 ,集合表示整数的，因为Ü，所以是的充分不必要条件.15.解析：两个命题可分别表示为或，或，要使命题是命题的充分不必要条件，则，，，或，，，解得.16.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件，故○1正确.由函数与一元二次不等式的关系可知○2正确.x≠1≠1，反例：x＝－1＝1，∴○3错误.x≠0x＋|x|＞0，反例：x＝－2x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0x＞0x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件. ∴○4错误.三、解答题17.解：否命题为“若，则关于的方程没有实数根”；逆命题为“若关于的方程有实数根，则”；逆否命题为“若关于的方程没有实数根，则”.由方程根的判别式，得，此时方程有实数根．因为使，所以方程有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程有实数根，必须，不能推出，故逆命题为假,从而否命题为假.18.解：因为命题﹁是真命题，所以是假命题.又当是真命题，即恒成立时，应有，，解得，所以当是假命题时，.所以实数的取值范围是.19.解：（1）由－8x－20≤0可解得－2≤x≤10，∴P={x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴－－∴∴这样的m不存在.（2）由题意知，x∈P是x∈S的必要不充分条件，则S P.于是有－－＜或＞∴或∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：由－4ax+3＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由－－－＞得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若﹁p是﹁q的充分不必要条件，即﹁﹁q，且﹁﹁p.设A={x|﹁p},B={x|﹁q},则A B.又A={x|﹁p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|﹁q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由得.因为在上的值域为,所以.又因为“”为假命题，“”为真命题，所以,一真一假．若真假，则；若假真，则.综上可得，的取值范围是或.。
高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题作业2 北师大版选修1-1
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题1.1 命题[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是( )A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C ＝90°，则△ABC 是直角三角形”的否命题的真假性为________． 解析：该命题的否命题为“若∠C ≠90°，则△ABC 不是直角三角形”．因为∠A 、∠B 可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”．因为a ≥0，所以4a ≥0，所以方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1>0，所以方程x 2＋x －a ＝0有实根．故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，因为PO ⊥π，a π，所以PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面PAO ，PO ∩b ＝P ，所以a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，所以a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列． 原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1， 得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4. 所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论：①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________．解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确；由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确；由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③.答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2. 因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2.即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立．所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0.由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ，所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1. 当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1，即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q， S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q， 所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．。
高中数学选修1-1(北师版)第一章常用逻辑用语1.2(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案
∣ ∣
x−1∣ ∣ ⩽ 2 ，q : x2 − 2x + 1 − m 2 ⩽ 0(m > 0) ，若 p 是 q 的充分不必要条 3 ∣ ∣∣ ∣∣ x−1∣ ∣ ⩽ 2}， B = {x|x2 − 2x + 1 − m 2 ⩽ 0} ，整理得 3 ∣ A = {x| − 2 ⩽ x ⩽ 10}, B = {x|1 − m ⩽ x ⩽ 1 + m}.
（4）由于 a < b，当 b < 0 时， 下列命题为真的是______． ①“x = 3”是"x 2 = 9"的充分而不必要条件； ②设x，y ∈ R，则“x ⩾ 2” 且y ⩾ 2“是"x2 + y 2 ⩾ 4 "的充要条件； ③”m <
解：① 命题① ，x = 3 时，x 2 = 9 ；但 x2 = 9时，x = 3 或 x = −3．所以 “x = 3” 是 “
a < 1． b
a a > 1 ，当 b > 0 时， < 1 ，故 a < b 不一定有 b b a a a < 1 ；当 a > 0 ，b > 0 时， < 1 ，可以推出 a < b ；当 a < 0 ，b < 0 ， < 1 b b b 时，可以推出 a > b ．因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
件．
1 时，一元二次方程 Δ > 0 ，所以此方程有实数解； x2 + x + m = 0 有实 4 1 1 数解，所以 Δ ⩾ 0 ，即 m ⩽ ，所以“m < ” 是" 一元二次方程 x2 + x + m = 0 有实数 4 4
高中数学第一章常用逻辑用语1命题学案北师大版选修1-1(2021年整理)
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§1命__题[对应学生用书P2]命题的定义及形式观察下列语句的特点：①两个全等三角形的面积相等；②y＝2x是一个增函数；③请把门关上！④y＝tan x的定义域为全体实数吗？⑤若x〉2 013,则x〉2 014.问题1：上述哪几个语句能判断为真？提示:①②.问题2：上述哪几个语句能判断为假？提示：⑤.问题3:上述哪几个语句不是命题？你知道是什么原因吗？提示:③④.因为它们都不能判断真假．问题4：语句⑤的条件和结论分别是什么?提示：条件为“x〉2 013”，结论为“x〉2 014”．1．命题(1）可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．（2）判断为真的语句叫作真命题；判断为假的语句叫作假命题．2．命题的形式数学中,通常把命题表示成“若p，则q”的形式,其中,p是条件，q是结论.四种命题及其关系观察下列四个命题：①若f(x)是正弦函数，则f(x）是周期函数；②若f（x）是周期函数，则f(x)是正弦函数；③若f（x)不是正弦函数，则f（x）不是周期函数；④若f(x)不是周期函数，则f(x）不是正弦函数．问题1：命题①与命题②③④的条件和结论之间分别有什么关系?提示：命题①的条件是命题②的结论,且命题①的结论是命题②的条件;对于命题①③,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定;对于命题①④,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．问题2：命题①④的真假性相同吗？命题②③的真假性相同吗？提示：命题①④同为真，命题②③同为假．1．四种命题（1)互逆命题：一般地，对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫作互逆命题．其中一个命题叫作原命题,另一个命题叫作原命题的逆命题．(2)互否命题：对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,那么把这样的两个命题叫作互否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的否命题．(3)互为逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个叫作原命题的逆否命题．(4）四种命题的条件、结论之间的关系如表所示:命题条件结论原命题p q逆命题q p否命题p的否定q的否定逆否命题q的否定p的否定2．四种命题间的关系原命题和其逆否命题为互为逆否命题，否命题与逆命题为互为逆否命题,互为逆否的两个命题真假性相同．1．判断一个语句是否为命题关键看它是否符合两个条件：一是可以判断真假，二是用文字或符号表述的语句．祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．2．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．3．互为逆否命题的两个命题真假性相同．错误!命题的概念及真假判断［例1] p，则q"的形式．(1）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？（2）一个正整数不是合数就是质数;（3）三角形中，大角所对的边大于小角所对的边;（4）当x＋y是有理数时，x，y都是有理数；（5)1＋2＋3＋…＋2 014；(6)这盆花长得太好了!［思路点拨] 根据命题的概念进行判断．［精解详析] (1)（5）(6)未涉及真假，都不是命题．（2)是命题．因为1既不是合数也不是质数，故它是假命题．此命题可写成“若一个数为正整数，则它不是合数就是质数”．（3)是真命题．此命题可写成“在三角形中,若一条边所对的角大于另一边所对的角，则这条边大于另一边”．(4）是假命题．此命题可写成“若x＋y是有理数，则x,y都是有理数”．［一点通］1．判断语句是否为命题的关键是看该语句是否能判断真假．2．在说明一个命题是真命题时，应进行严格的推理证明，而要说明命题是假命题,只需举一个反例即可．1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中,可以作为命题的是（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思解析：“红豆生南国"是陈述句,所述事件在唐代是事实，所以本句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.答案：A2．给定下列命题:①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0,c＞d＞0，则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x，y中至少有一个为0.其中是真命题的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：①中Δ＝4－4（－k）＝4＋4k＞0，所以①是真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②是真命题;③如等腰梯形对角线相等,不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B。
2017年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题教案 北师大版选修1-1
命题教学目标： 1. 了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式2..熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命题真假性之间的内在联系进行推理论证3.培养学生简单推理的思维能力.教学重点： 1. 命题的改写2.四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系教学难点： 1.命题概念的理解.2.利用真假性之间的内在联系进行推理论证．授课类型：新授课教具准备：多媒体课件．教学过程：一、导入新课（用ppt给出）思考：请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；（2） 2 + 4 = 7；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）若 x2 = 1 , 则 x = 1 ；（5）两个全等的三角形面积相等；（6）3能被2整除.引导学生归纳以上语句特点：1 都是陈述句2 可以判断真假，其中，（2）（4）（6）判断为假，其它3个判断为真。
二．新课教授1. 教学命题的概念：①命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 强调，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（3）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）（4）（6）是假命题，其它3个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？、（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）对数函数是增函数吗？（4）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行（52 =-（6）x>15（学生自练→个别回答→教师点评）分析加固对命题概念的理解2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①具体分析例1中的（2）（4）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. (这种命题也可写成“如果p，那么q”“只要p，就有q”等形式例2 指出下列命题的条件p和结论q：（会区分条件p和结论q）（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分．②数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式,例如“垂直于同一条直线的两个平面平行”，但是把它的形式作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．这样，它的条件和结论就很清楚了．也便于我们判断真假。
高中数学第1章常用逻辑用语1命题课件北师大版选修1_1
原词语 等于(＝) 大于(＞) 小于(＜)
是 都是 至多有一个 至少有一个 任意的 任意两个 能
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥)
不是 不都是 至少有两个 一个也没有
某个 某两个
不能
• 1．下列语句中命题的个数为( )
• ①x＝0；②指数函数是增函数吗？③－5∈Z；④空 集是集合{1}的真子集．
• 解析： (1)是疑问句，没有对垂直于同一条直线的 两条直线是否平行作出判断，不是命题．
• (2)是假命题，如数1既不是合数也不是质数．
• (3)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中 判断．
• (4)是祈使句，不是命题，不涉及真假．
命题的结构
•
指出下列命题的条件与结论．
• (1)负数的平方是正数；
• A．1
B．2
• C．3 D．4
• 解析： ①与②无法判断真假，故不是命题，③与 ④均可以判断为真，故为命题．
• 答案： B
• 2．若x2＝1，则x＝1的否命题为( ) • A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1 • C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1 • 解析： 若x2＝1，则x＝1的否命题是：若x2≠1，则
讲课堂互动讲义
命题及其真假的判断
•
判断下列语句是否是命题，若不是，说明
理由，若是，判断其真假．
• (1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
• (2)x－2>0；
• (3)集合{a，b，c}有3个子集；
• (4)这盆花长得太好了！
• (5)x＋y为有理数，则x，y也都是有理数．
[思路导引] 是否是陈述句 ―→ 能否判定真假 ―→ 结论
高中数学第一章常用逻辑用语1.148种命题素材北师大版选修1-1
命题欧几里德?几何原本?中被证明48个命题1．在一个有限直线上作一个等边三角形。
2．由一个点〔作为端点〕作一线段等于线段。
3．两条不相等线段，试由大上边截取一条线段使它等于另外一条。
4．如果两个三角形有两边分别等于两边，而且这些相等线段所夹角相等，那么，它们底边等于底边，三角形全等于三角形，而且其余角等于其余角，即那等边所对角。
5．在等腰三角形中，两底角彼此相等；并且，假设向下延长两腰，那么在底以下两角也彼此相等。
6．如果在一个三角形中，有两角彼此相等，那么等角所对边也彼此相等。
7．在线段上〔从它两个端点〕作出相交于一点二线段，那么不可能在该线段〔从它两个端点〕同侧作出相交于另一点另二条线段，使得作出二线段分别等于前面二线段。
即每个交点到一样端点线段相等。
8．如果两个三角形一个有两边分别等于另一个两边，并且一个底等于另一个底，那么夹在等边中间角也相等。
9．二等分一个己知直线角。
10．二等分有限直线。
11．由直线上一点作一直线和直线成直角。
12．由无限直线外一点作该直线垂线。
13．一条直线和另一条直线所交成邻角，或者是两个直角或者它们等于两个直角和。
14．如果过任意直线上点有两条直线不在这一直线同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，那么这两条直线在同一直线上。
15．如果两直线相交，那么它们交成对顶角相等。
16．在任意三角形中，假设延长一边，那么外角大于任何一个内对角。
17．在任何三角形中，任何两角之和小于两直角。
18．在任何三角形中，大边对大角。
19．在任何三角形中，大角对大边。
20．在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。
21．如果由三角形一条边两个端点作相交于三角形内两条线段，由交点到两端点线段和小于三角形其余两边和。
但是，其夹角大于三角形顶角。
22．试由分别等于三条线段三条线段作一个三角形：在这样三条线段中，任二条线段之和必须大于另外一条线段。
23．在直线和它上面一点，作一个直线角等于己知直线角。
高中数学高考核心考点提醒选修1-1 第一章 常用逻辑用语
高中数学高考核心考点提醒选修1-1 第一章常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体. ,x A x A∈∉。
元素特点：互异性、无序性、确定性。
关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n 真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。
四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。
互为逆否的命题等价。
逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。
必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。
类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。
类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。
类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
一、命题及其关系1.四种命题的相互关系：（既否条件又否结论）（先逆再否）（互换条件与结论）2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性,即原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题课件北师大版选修1_1
探究三
判断命题的真假
1
1
(1)若 a>b,则 < ;
1
>
1
.
ห้องสมุดไป่ตู้
1
4
1
4
学 习 目 标
思 维 脉 络
1.理解命题的定义及
其构成,会判断一个
命题的真假.
2.理解四种命题及其
关系,掌握互为逆否
命题的等价关系及
真假判断.
π
1
【做一做 2】 已知命题 p:若 x=3 ,则 cos x=2,则命题 p 的逆命题
为
为
;否命题为
;逆否命题
.
1
π
π
1
1
π
答案:若 cos x=2,则 x=3 若 x≠3 ,则 cos x≠2 若 cos x≠2,则 x≠3
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
真
假
真
真
假
假
探究一
命题的判断
探究二
四种命题之间的关系
1
(1)若 sin α=2,则 tan α= 3;
解(1)逆命题:若 tan α= 3,则 sin
1
否命题:若 sin α≠2,则 tan α≠ 3.
1
α=2.
1
逆否命题:若 tan α≠ 3,则 sin α≠2.
高中数学第一章常用逻辑用语逻辑联结词“且”“或”“非”知识归纳素材北师大版选修1-1
逻辑联结词“且”“或”“非”
1.基本概念: “或”、“且”、“非”称为逻辑联结词.
2.在判断复合命题的真假时，先确定复合命题的构成形成，同时要掌握以下规律：
ⅰ、“非”形式的复合命题的真假与命题的真假相反；
ⅱ、“或”形式的复合命题只有当命题与同时为假时才为假，否则为真；
ⅲ、“且”形式的复合命题只有当命题与同时为真时才真，否则为假。
3.写出一个命题的否定，往往需要对正面词语进行否定，要熟悉常用的正面叙述词语及它的否定形式，比如：“至少”、“最多”、以及“至少有一个是（不是）”、“最多有一个是（不是）”、“都是（不是）”、“不都是”等。
4.逻辑中的“或”与日常生活中的“或”是有区别的:“或”在日常生活中通常有两种解释: “不可兼有”和“可兼有”.例如：“今天晚上要有一个人在值班室接电话,你去或他去”(不可兼有),“今天下午要留人出黑板报,你留或他留”（可兼有）.在数学上一般采用“可兼有”,如或. 生活中如果说“苹果是长在树上或长在地里”,就觉得不妥，但在逻辑中却是可以的且是真命题。
5.举出一些生活例子说明逻辑联结词中“或”与“且”的意义.
洗衣机在甩干时,如果“到达预定时间”或“机盖被打开”,就会停机,又如电子保险门在“钥匙插
入”且“密码正确”两个条件都满足时,才会开启.它们相应的电路是或门电路和与门电路
1。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题课件北师大选修1_1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1判断下列语句是否为命题,若是,则判断其真假;若不是, 则说明理由. (1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d. (2)对立事件一定是互斥事件. (3)函数y=cos x的最小正周期是π吗? (4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列. (5)求证:若x∈R,则x2-x+1>0. 解(1)是命题,且是真命题.(2)是命题,且是真命题.(3)是疑问句,不 是命题.(4)是命题,且是假命题,如数列-1,-2,-4,-8,…为递减数列.(5) 是祈使句,不是命题.
特别提醒1.一定要分清命题的条件和结论,注意大前提是不能作 为条件来对待的,它在四种命题形式中是不变的. 2.一定要注意条件与结论的否定形式,要掌握一些常见关键词的 否定. 3.逆命题、否命题和逆否命题都是相对原命题而言的,都是相对 的概念.
【做一做 2】 已知命题 p:若 x=3 , 则 cos x=2, 则命题 p 的逆命题 为 为 .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二
四种命题之间的关系
【例2】 写出下列各个命题的逆命题、否命题及逆否命题. 1 (1)若 sin α=2,则 tan α= 3; (2)若a+b是偶数,则a,b都是偶数; (3)等底等高的两个三角形是全等三角形; (4)当1<x<2时,x2-3+2<0; (5)若ab=0,则a=0或b=0. 分析注意分清命题的条件和结论,按照四种命题的定义写出相应 的命题,其中(2)要注意对“都是”的否定,(5)要注意对“或”的否定.
答案:若 cos x=2,则 x=3 若 x≠3 ,则 cos x≠2 若 cos x≠2,则 x≠3
高中数学选修1-1知识点及课本例题
第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1、命题（1）一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
（2）“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。
2、四种命题（1）对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题（“若p，则q”），另一个叫做原命题的逆命题（“若q，则p”）。
（2）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题（“若p⌝，则q⌝”）。
（3）对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题（“若q⌝，则p⌝”）。
3、四种命题间的相互关系例1下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）指数函数是增函数吗？（4）若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行；（5）2)2-；(2=（6）15x。
>例2指出下列命题中的条件p和结论q：（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）负数的立方是负数；（3）对顶角相等。
例4证明：若022=x，则0=+yx。
-y1.2 充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理得出q。
这是，我们就说，由p可推出q，记作qp⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件。
2、充要条件一般地，如果既有qq⇒，就记作qp⇔。
2015-2016学年高中数学 第一章 常用逻辑用语章末归纳总结课件 北师大版选修1-1
5．简单的逻辑联结词 (1)命题的三种形式：p∧q，p∨q和¬p.
(2)真值表
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假 p∨q 真 真 真 假
p 真 假
¬ p 假 真
知识结构
误区警示
1．原命题与其逆否命题同真同假，原命题的逆命题与其
否命题同真同假，但原命题与其逆命题的真假没有关系，我们
，解得 m>2.
方程 4x2＋4(m－2)x＋1＝0 无实数根．
则有 Δ＝16(m－2)2－4×4×1<0，解得 1<m<3. 当p真q 当p假q
m>2 假时，即 m≤1或m≥3 m≤2 真时，即 1<m<3
，得 m∈[3，＋∞)．
，得 m∈(1,2]．
综上所述，m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章 常用逻辑用语
第一章 章末归纳总结
1
知 识 梳 理
2
知 识 结 构
4
题 型 探 究
3
误 区 警 示
5
自 主 演 练
知识梳理
1．命题 一般地，在数学中，我们判断为真的语句叫作真命
(2)∵a<b，∴a＋c<b＋c，∴原命题是真命题，则其逆否命 题也是真命题． ∵a≥b，∴a＋c≥b＋c，∴其否命题是真命题，则其逆命题 是真命题.
(3)原命题的否定是：∃a、b、c∈R，当a<b时，a＋c≥b＋c.
[点评] 命题的否定形式与命题的否命题不同，前者只否 定原命题的结论，而后者同时否定条件和结论．
根据复合命题的真假，求参数的值或取值范围
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
（1）矩形莫非不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
高中数学第一章常用逻辑用语1.4.1-1.4.2逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”作业北师大版选修1
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1.4。
1-1.4.2 逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”[A。
基础达标]1．若“p或q”是假命题,则（）A．p是真命题，q是假命题B．p,q均为假命题C．p，q至少有一个是假命题D．p,q至少有一个是真命题解析：选B.“p或q”为假命题⇔p,q均为假命题．2．已知命题p:2＋2＝5，命题q：3〉2，则下列判断正确的是( )A．“p或q”为假，“q”为真B．“p或q”为真，“q”为真C．“p且q"为假,“p"为真D．“p且q"为真，“p或q”为假解析：选B。
易知p为假命题,q为真命题，可得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故选B。
3．若“x∈[1，5]或x∈｛x|x〈3或x〉6}”是假命题，则x的取值范围是（）A．5≤x≤6 B．5<x≤6C．5〈x〈6 D．x<5或x〉6解析：选B.因为x∈[1,5］或x∈{x｜x〈3或x>6｝，即x∈（－∞,5]∪（6，＋∞)，因为该命题是假命题，所以x的取值范围是(5，6］．4．命题p：“x〉0”是“x2〉0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中,“A>B”是“sin A〉sin B”的充要条件，则( )A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真解析：选D.命题p:x>0⇒x2>0，但x2〉0⇒/ x>0，故p为假命题;命题q：在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2R sin A>2R sin B,即sin A〉sin B，故q为真命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根";命题q：“函数f（x）＝(a2－a）x是增函数”，若“p且q"为假命题，且“p或q"为真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a〉0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析：选B。
高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题导学案北师大版选修1-1
1.1 命题学习目标 1.理解命题概念及命题构成，会判断一个命题真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题等价关系及真假判断.知识点一命题概念思考1 给出以下语句：①假设直线a∥b，那么直线a与直线b无公共点；②3＋6＝7；③偶函数图像关于y轴对称；④5能被4整除.请你找出上述语句特点.答案上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假.梳理(1)定义可以判断真假、用文字或符号表述语句叫作命题.(2)分类①真命题：判断为真语句叫作真命题；②假命题：判断为假语句叫作假命题.知识点二命题形式思考1 你能把“内错角相等〞写成“假设…，那么…〞形式吗？答案假设两个角为内错角，那么这两个角相等.思考2 “内错角相等〞是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？答案是命题，是假命题.梳理命题形式：“假设p，那么q〞，其中命题条件是p，结论是q.由p能推出q，那么为真命题.能举一反例即可确定为假命题.知识点三四种命题概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)假设x2－3x＋2＝0，那么x＝2；(3)假设x≠2，那么x2－3x＋2≠0；(4)假设x2－3x＋2≠0，那么x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)条件与结论与命题(2)条件与结论恰好互换了.命题(1)条件与结论恰好是命题(3)条件否认与结论否认.命题(1)条件与结论恰好是命题(4)结论否认与条件否认.梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题条件与结论分别是另一个命题结论与条件，那么把这两个命题叫作互逆命题.如果是另一个命题条件否认与结论否认，那么把这两个命题叫作互否命题.如果是另一个命题结论否认与条件否认，那么把这两个命题叫作互为逆否命题.把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题逆命题、否命题、逆否命题.知识点四四种命题关系及其真假判断思考1 原命题否命题与原命题逆否命题之间是什么关系？原命题逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.思考2 如果原命题是真命题，它逆命题是真命题吗？它否命题呢？它逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题.梳理(1)四种命题相互关系(2)在原命题逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性一样是逆否命题.(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们真假性没有关系.类型一命题概念例1 以下语句：(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数图像太美了！(8)4是集合{1，2，3}中元素.其中是命题是________.(填序号)答案(1)(3)(5)(8)解析此题主要考察命题判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假.(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题.故答案为(1)(3)(5)(8).反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假.其流程图如图：跟踪训练1 以下语句中，是命题为________.①红豆生南国；②作射线AB；③中国领土不可侵犯！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.答案①④解析②与③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题.类型二四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题概念例2 写出以下命题逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们真假.(1)假设m·n<0，那么方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦垂直平分线经过圆心，且平分弦所对弧；(3)假设m≤0或n≤0，那么m＋n≤0；(4)在△ABC中，假设a>b，那么∠A>∠B.解(1)逆命题：假设方程mx2－x＋n＝0有实数根，那么m·n<0，假命题.否命题：假设m·n≥0，那么方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题.逆否命题：假设方程mx2－x＋n＝0没有实数根，那么m·n≥0，真命题.(2)逆命题：假设一条直线经过圆心，且平分弦所对弧，那么这条直线是弦垂直平分线，真命题.否命题：假设一条直线不是弦垂直平分线，那么这条直线不过圆心或不平分弦所对弧，真命题.逆否命题：假设一条直线不经过圆心或不平分弦所对弧，那么这条直线不是弦垂直平分线，真命题.(3)逆命题：假设m＋n≤0，那么m≤0或n≤0，真命题.否命题：假设m>0且n>0，那么m＋n>0，真命题.逆否命题：假设m＋n>0，那么m>0且n>0，假命题.(4)逆命题：在△ABC中，假设∠A>∠B，那么a>b，真命题.否命题：在△ABC中，假设a≤b，那么∠A≤∠B，真命题.逆否命题：在△ABC中，假设∠A≤∠B，那么a≤b，真命题.反思与感悟四种命题转换方法(1)交换原命题条件与结论，所得命题是原命题逆命题.(2)同时否认原命题条件与结论，所得命题是原命题否命题.(3)交换原命题条件与结论，并且同时否认，所得命题是原命题逆否命题.跟踪训练2 命题“假设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，那么log a2<0”逆否命题是( )2<0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数a2≥0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数a2<0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数a2≥0，那么函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数a答案B解析直接根据逆否命题定义，将其条件与结论进展否认，再互换，值得注意是“是减函数〞否认不能写成“是增函数〞，而应写成不是减函数.命题角度2 四种命题相互关系例3 假设命题p：“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞否命题为q，命题q逆命题为r，那么r与p逆命题关系是( )答案B解析命题p：假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数.命题p否命题q为：假设x＋y≠0，那么x，y不互为相反数，命题q逆命题r为：假设x，y不互为相反数，那么x＋y≠0，∴r是p逆否命题，∴r是p逆命题否命题，应选B.反思与感悟(1)判断四种命题之间四种关系两种方法①利用四种命题定义判断；②巧用“逆、否〞两字进展判断，如“逆命题〞与“逆否命题〞中不同有“否〞一个字，是互否关系；而“逆命题〞与“否命题〞中不同有“逆、否〞二字，其关系为逆否关系.(2)要判断四种命题真假：首先，要熟悉四种命题相互关系，注意它们之间相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.跟踪训练3 有以下四个命题：①“假设x＋y＝0，那么x，y互为相反数〞否命题；②一个实数不是正数就是负数；③“假设x≤－3，那么x2－x－6>0”否命题；④“同位角相等〞逆命题.其中真命题个数是________.答案1解析①“假设x＋y≠0，那么x，y不是相反数〞，是真命题.②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题.③“假设x>－3，那么x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式解，故是假命题.④“相等角是同位角〞，是假命题.类型三等价命题应用例4 判断命题“a，x为实数，假设关于x不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0解集非空，那么a≥1”逆否命题真假.解方法一原命题逆否命题：a，x为实数，假设a<1，那么关于x不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0解集为∅，判断如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0，那么Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7.因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0解集为∅.故此命题为真命题.方法二 利用原命题真假去判断逆否命题真假.因为关于x 不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0解集非空， 所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74≥1， 所以原命题为真，故其逆否命题为真.引申探究判断命题“a ，x 为实数，假设关于x 不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0解集为R ，那么a <74〞逆否命题真假. 解 先判断原命题真假设下：因为a ，x 为实数，关于x 不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0解集为R ，且抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，所以a <74.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题两个命题同真同假，所以原命题逆否命题为真命题.反思与感悟由于原命题与它逆否命题有一样真假性，即互为逆否命题两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.跟踪训练4 证明：假设a2－4b2－2a＋1≠0，那么a≠2b＋1.证明“假设a2－4b2－2a＋1≠0，那么a≠2b＋1”逆否命题为“假设a＝2b＋1，那么a2－4b2－2a＋1＝0”.∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“假设a＝2b＋1，那么a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题.由原命题与逆否命题具有一样真假性可知，结论正确.1.以下语句是命题是( )A.2 014是一个大数B.假设两条直线平行，那么这两条直线没有公共点D.a≤15答案B解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.2.命题“垂直于同一条直线两个平面平行〞条件是( )答案D解析只要分清命题中条件与结论即可.3.命题“假设f(x)是奇函数，那么f(－x)是奇函数〞否命题是( )f(x)是偶函数，那么f(－x)是偶函数f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数f(－x)是奇函数，那么f(x)是奇函数f(－x)不是奇函数，那么f(x)不是奇函数答案B解析否命题是既否认条件又否认结论.因此否命题应为“假设f(x)不是奇函数，那么f(－x)不是奇函数〞. 4.命题“假设a>b，那么ac2>bc2(a，b，c∈R)〞与它逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数为( )A.0C.3答案B解析命题“假设a>b，那么ac2>bc2(a，b，c∈R)〞是假命题，那么其逆否命题是假命题.该命题逆命题为“假设ac2>bc2，那么a>b(a，b，c∈R)〞是真命题，那么其否命题是真命题.应选B.5.给出以下命题：①“假设x2＋y2≠0，那么x、y不全为零〞否命题；②“正多边形都相似〞逆命题；③“假设m>0，那么x2＋x－m＝0有实根〞逆否命题.其中为真命题是________.答案①③解析①否命题是“假设x2＋y2＝0，那么x，y全为零〞，真命题.②逆命题是“假设两个多边形相似，那么这两个多边形为正多边形〞，假命题.③∵Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.1.可以判断真假陈述句是命题，命题条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件与结论构成，可以写成“假设p，那么q〞形式.含有大前提命题写成“假设p，那么q〞形式时，大前提应保持不变.3.写四种命题时，可以按以下步骤进展：(1)找出命题条件p与结论q；(2)写出条件p否认与结论q否认；(3)按照四种命题构造写出所有命题.4.判断命题真假可以根据互为逆否命题真假性一样来判断，这也是反证法理论根底.40分钟课时作业一、选择题1.以下语句中，不能成为命题是( )A.5>12B.x>0a、b是平面向量，假设a⊥b，那么a·b＝0答案B解析A是假命题，C、D是真命题，B中含变量x，未指定x取值范围，无法判断真假，故不是命题.2.以下说法正确是( )A.命题“直角相等〞条件与结论分别是“直角〞与“相等〞B.语句“最高气温30℃时我就开空调〞不是命题C.命题“对角线互相垂直四边形是菱形〞是真命题D.语句“当a>4时，方程x2－4x＋a＝0有实根〞是假命题答案D解析对于A，改写成“假设p，那么q〞形式应为“假设有两个角是直角，那么这两个角相等〞；B所给语句是命题；C反例可以是“用边长为3等边三角形与底边为3，腰为2等腰三角形拼成四边形不是菱形〞来说明.应选D.3.命题“假设ab≤0，那么a≤0或b≤0”，那么以下结论正确是( )A.真命题，否命题：“假设ab>0，那么a>0或b>0”B.真命题，否命题：“假设ab>0，那么a>0且b>0”C.假命题，否命题：“假设ab>0，那么a>0或b>0”D.假命题，否命题：“假设ab>0，那么a>0且b>0”答案B解析“假设a>0且b>0，那么ab>0”是真命题，又“假设a>0且b>0，那么ab>0”是“假设ab≤0，那么a≤0或b≤0”逆否命题，故原命题为真命题.命题否命题是“假设ab>0，那么a>0且b>0”.4.以下命题中为真命题是( )A.命题“假设x>2 016，那么x>0”逆命题B.命题“假设xy＝0，那么x＝0或y＝0”逆否命题C.命题“假设x2＋x－2＝0，那么x＝1”D.命题“假设x2≥1，那么x≥1”逆否命题答案B解析A选项，“假设x>2 016，那么x>0”逆命题为“假设x>0，那么x>2 016”是假命题；B选项，“假设xy＝0，那么x＝0或y ＝0”逆否命题为“假设x≠0且y≠0，那么xy≠0”是真命题；C 选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“假设x2≥1，那么x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题.p否命题为q，命题p逆否命题为r，那么q与r关系是( )A.互逆命题C.互为逆否命题答案A6.命题“假设a ，b ，c 成等比数列，那么b 2＝ac 〞，在它逆命题、否命题、逆否命题中，真命题个数是( )A.0B.1 C答案 B解析 命题“假设a ，b ，c 成等比数列，那么b 2＝ac 〞是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题逆命题为“假设b 2＝ac ，那么a ，b ，c 成等比数列〞是假命题，故其否命题也是假命题，应选B.7.以下命题：(1)假设“a 2<b 2，那么a <b 〞逆命题；(2)“全等三角形面积相等〞否命题；(3)“假设a ≥0，那么ax 2－2ax ＋a ＋3>0解集为R 〞逆否命题；(4)“假设3x (x ≠0)为有理数，那么x 为无理数〞.其中正确命题是( )A.(3)(4)B.(1)(3)C.(1)(2)D.(2)(4) 答案 A解析 对于(1)，逆命题是“假设a <b ，那么a 2<b 2”，易知是假命题； 对于(2)，否命题是“假设两个三角形不全等，那么这两个三角形面积不相等〞，易知是假命题；对于(3)，结论成立条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－2a 2－4a a ＋3<0，故a ≥0，原命题与其逆否命题真假性一样，所以(3)正确；对于(4)，假设x为有理数，那么3x必为无理数，因为3x为有理数，故x为无理数，那么(4)正确，应选A.二、填空题8.命题：线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等.假设把上述命题改为“假设p，那么q〞形式，那么p是________________________________________________，q是____________________________________________________________ ____________.答案一个点在线段垂直平分线上这个点到线段两个端点距离相等p逆命题是“假设实数a，b满足a＝1且b＝2，那么a＋b<4”，那么命题p否命题是__________________________________.答案假设实数a，b满足a＋b≥4，那么a≠1或b≠2解析由命题p逆命题与其否命题互为逆否命题可得.10.在命题“假设抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下，那么{x|ax2＋bx ＋c<0}≠∅〞逆命题、否命题、逆否命题中结论成立个数是________.答案1解析原命题是真命题，那么其逆否命题是真命题，该命题逆命题是假命题，那么其否命题也是假命题，故答案为1.11.给定以下命题：①假设k>0，那么方程x2－2x－k＝0有实数根；②假设x＋y≠8，那么x≠2或y≠6；③“矩形对角线相等〞逆命题；④“假设xy＝0，那么x，y中至少有一个为零〞否命题.其中真命题序号是________.答案①②④解析①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题.②其逆否命题为真，故②是真命题.③逆命题：“对角线相等四边形是矩形〞是假命题.④否命题：“假设xy≠0，那么x，y都不为零〞是真命题.三、解答题12.判断命题：“假设b≤－1，那么关于x方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根〞逆否命题真假.解方法一因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等实根，即原命题为真，故它逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题逆否命题为“假设关于x方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，那么b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题逆否命题为真.f(x)是定义域为R增函数，a，b∈R，假设f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.证明假设a＋b<0，那么a<－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b).即f(a)＋f(b)<0.∴原命题逆否命题为真，故原命题为真.。
北师大版高中数学选修1-1第一章常用逻辑用语.docx
第一章常用逻辑用语（北京师大版选修1-1）+p＞=1，,B；；，12.已知命题p: ∃ p∈p,使sin p=√52；命题p: ∀ p∈p,都有p2+p+1>0.给出下列结论：①命题“p∧p”是真命题；②命题“p∧(﹁p)”是假命题；③命题“(﹁p)∨p”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁p)”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若p=p(p)为定义在D上的函数，则“存在p0∈D,使得[p(−p0)]2≠[p(p0)]2”是“函数p=p(p)为非奇非偶函数”的________条件.14.已知p:与整数的差为12的数；p:整数的12，则p是p的________条件.15.已知命题p:(p−3)(p+1)>0,命题q:p2−2p+1−p2>0(p>0),若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数p的取值范围是____________.16. 下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“{p＞0,p=p2－4pp≤0”是“一元二次不等式a p2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“p2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若p>0，则关于p的方程p2+p−p=0有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题p：任意p∈p，pp2+2p+3≥0，如果命题﹁p是真命题，求实数p的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|p2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足p2－4ax+3p2＜0，其中a＞0；q：实数x满足{p2－p－6≤0, p2+2p－8＞0.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若﹁p是﹁q的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数p(p)=(p−32)p是R上的减函数，命题q:函数p(p)= p2−4p+3在[0,p]上的值域为[−1,3]．若“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，求p的取值范围．答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：参考答案一、选择题1.B 解析：“若﹁p则﹁p”与“若p则p”互为逆否命题，B不正确，故选B.2.B 解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.A 解析：已知命题是假命题，则它的否定为真命题，命题的否定为：∀p∈p,使得p2+(p−1)p+1≥0.若为真命题，需方程p2+(p−1)p+1=0的判别式p=(p−1)2−4≤0,解得−1≤p≤3.4.A 解析：若m=2，A={1,4}，则A∩B={4}；反之，若A∩B={4}，则需p2=4，即m=±2.故“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.5.A 解析：由已知得若p成立，则12≤p≤1,若p成立，则p≤p≤p+1.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以{p≤12，1≤p+1.所以0≤p≤12.6.C 解析：将函数y=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=sin2(p−π3)=sin(2p−2π3)的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)=cos(π2−p−π6)cos(π3−p)=cos2(π3−p)=cos(2p−2π3)2+12,最小正周期为π，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7. A 解析：若p成立，对∀p∈[1,2],有p≤p2.因为1≤p≤2,所以1≤p2≤4,即p≤(p2)min=1.若q成立，则方程p2+2pp+2−p=0的判别式p=4p2−4(2−p)≥0,解得p≤−2或p≥1.因为命题“p∧p”是真命题，所以p真q真，故p的取值范围为{p|p≤−2或p=1}.8.B 解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若|p|>|p|，则p2>p2，若p2>p2,则|p|>|p|，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式pp2+pp+c≤0的解集是p，则必有p>0且p<0，所以③是假命题；当p>2,p>2时，必有p+p>4,pp>4.但当p= 1，y=5时，满足p+p>4,pp>4.但p<2，所以④是假命题.综上共有2个真命题.9. A 解析：对于命题①，若p(p+2π)=sin(pp+2πp+p)=sin(pp+p)成立，p必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f(p)=sin(pp+p)，当p=π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10. A 解析：A中x＞1⟹|x|＞1,|x|＞1⟹x＞1或x＜−1，所以正确;B中﹁p:∀x∈R,2p0＞0;C中否命题为：“若p2≠1，则x≠1”;D中x=14时是错误的.11.C 解析：p∩p=p，即集合p和集合p没有公共元素，①正确；p⊆p，即集合p中的元素都是集合p中的元素，②正确；③错误；p=p，则集合p中的元素与集合p中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B 解析：因为√52>1，所以命题p是假命题，﹁p是真命题；由函数y=p2+p+1的图像可得，命题q是真命题，﹁p是假命题.所以命题“p∧p”是假命题, 命题“p∧(﹁p)”是假命题，命题“(﹁p)∨p”是真命题，命题“(﹁p)∨(﹁p)”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要解析：存在p0∈D,使得[p(–p0)]2≠[p(p0)]2,则函数p=p(p)为非奇非偶函数；若函数p=p(p)为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在p0∈D,使得[p(−p0)]2≠[p(p0)]2”是“函数p=p(p)为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要解析：p，p可分别用集合p={p|p=p+12,p∈p},p={p|p=p2,p∈p}表示，集合p表示奇数的12 ,集合p表示整数的12，因为pÜp，所以p是p的充分不必要条件.15.(0,2)解析：两个命题可分别表示为p: p>3或p<−1，p: p>1+p或p<1−p，要使命题p是命题p的充分不必要条件，则{1+p≤3，1−p>−1，p>0，或{1+p<3，1−p≥−1，p>0，解得0<p<2.16. ①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件，故○1正确.由函数与一元二次不等式的关系可知○2正确.x≠1⇏p2≠1，反例：x＝－1⟹p2＝1，∴○3错误.x≠0⇏x＋|x|＞0，反例：x＝－2⟹x＋|x|＝0.但x＋|x|＞0⟹x＞0⟹x≠0，∴“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件. ∴○4错误.三、解答题17.解：否命题为“若p≤0，则关于p的方程p2+p−p=0没有实数根”；逆命题为“若关于p的方程p2+p−p=0有实数根，则p>0”；逆否命题为“若关于p的方程p2+p−p=0没有实数根，则p≤0”.由方程p2+p−p=0根的判别式p=1+4p>0，得p>−14，此时方程有实数根．因为p>0使1+4p>0，所以方程p2+p−p=0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程p2+p−p=0有实数根，必须p>−14，不能推出p>0，故逆命题为假,从而否命题为假. 18.解：因为命题﹁p是真命题，所以p是假命题.又当p是真命题，即pp2+2p+3≥0恒成立时，应有{p>0，p=4−12p≤0，解得p≥13，所以当p是假命题时，p<13.所以实数p的取值范围是{p|p<13}.19.解：（1）由p2－8x－20≤0可解得－2≤x≤10，∴P={x|－2≤x≤10}.∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴ {1－p=－2,1+p=10,∴{p=3,p=9.∴这样的m不存在.（2）由题意知，x∈P是x∈S的必要不充分条件，则S P.于是有{1－p≥－2,1+p＜10或{1−p＞−2,1+p≤10,∴p≤3或p<3,∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：由p2－4ax+3p2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0,得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若﹁p是﹁q的充分不必要条件，即﹁p⟹﹁q，且﹁p⇏﹁p.设A={x|﹁p},B={x|﹁q},则A B.又A={x|﹁p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|﹁q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由0<p−32<1得32<p<52.因为p(p)=(p−2)2−1在[0,p]上的值域为[−1,3],所以2≤p≤4.又因为“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，所以p,p一真一假．若p真p假，则32<p<2；若p假p真，则52≤p≤4.综上可得，p的取值范围是{p|32<p<2或52≤p≤4}.。
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命题
欧几里德的《几何原本》中的被证明的48个命题
1．在一个已知有限直线上作一个等边三角形。
2．由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知线段。
3．已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。
4．如果两个三角形有两边分别等于两边，而且这些相等的线段所夹的角相等，那么，它们的底边等于底边，三角形全等于三角形，而且其余的角等于其余的角，即那等边所对的角。
5．在等腰三角形中，两底角彼此相等；并且，若向下延长两腰，则在底以下的两角也彼此相等。
6．如果在一个三角形中，有两角彼此相等，则等角所对的边也彼此相等。
7．在已知线段上（从它的两个端点）作出相交于一点的二线段，则不可能在该线段（从它的两个端点）的同侧作出相交于另一点的另二条线段，使得作出的二线段分别等于前面二线段。
即每个交点到相同端点的线段相等。
8．如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边，并且一个的底等于另一个的底，则夹在等边中间的角也相等。
9．二等分一个己知直线角。
10．二等分已知有限直线。
11．由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角。
12．由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线。
13．一条直线和另一条直线所交成的邻角，或者是两个直角或者它们等于两个直角的和。
14．如果过任意直线上点有两条直线不在这一直线的同侧，且和直线所成邻角和等于二直角，则这两条直线在同一直线上。
15．如果两直线相交，则它们交成的对顶角相等。
16．在任意的三角形中，若延长一边，则外角大于任何一个内对角。
17．在任何三角形中，任何两角之和小于两直角。
18．在任何三角形中，大边对大角。
19．在任何三角形中，大角对大边。
20．在任何三角形中，任意两边之和大于第三边。
21．如果由三角形的一条边的两个端点作相交于三角形内的两条线段，由交点到两端点的线段的和小于三角形其余两边的和。
但是，其夹角大于三角形的顶角。
22．试由分别等于已知三条线段的三条线段作一个三角形：在这样的三条已知线段中，任二条线段之和必须大于另外一条线段。
23．在已知直线和它上面一点，作一个直线角等于己知直线角。
24．如果两个三角形中，一个的两条边分别与另一个的两条边相等，且一个的夹角大于另一个的夹角，则夹角大的所对的边也较大。
25．如果在两个三角形中，一个的两条边分别等于另一个的两条边，则第三边较大的所对的角也较大。
26．如果在两个三角形中，一个的两个角分别等于另一个的两个角，而且一边等于另一个的一边。
即或者这边是等角的夹边，或者是等角的对边。
则它们的其他的边也等于其他的边，且其他的角也等于其他的角。
27．如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等，则这二直线互相平行。
28．如果一直线和二直线相交所成的同位角相等，或者同旁内角的和等于二直角，则二直线互相平行。
29．一条直线与两条平行直线相交，则所成的内错角相等，同位角相等，且同旁内角的和等于二直角。
30．一些直线平行于同一条直线，则它们也互相平行。
31．过一已知点作一直线平行于已知直线。
32．在任意三角形中，如果延长一边，则外角等于二内对角的和，而且三角形的三个内角的和等于二直角。
33．在同一方向（分别）连接相等且平行的线段（的端点），它们自身也相等且平行。
34．在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。
35．在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。
36．在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等。
37．在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。
38．在等底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。
39．在同底上且在底的同一侧的相等三角形必在相同二平行线之间。
40．等底且在底的同侧的相等三角形也在相同二平行线之间。
41．如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍。
42．用已知直线角作平行四边形，使它等于已知三角形。
43．在任何平行四边形中，对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。
44．用已知线段及已知直线角作一个平行四边形，使它等于已知三角形。
45．用一个已知直线角作一平行四边形使它等于已知直线形。
46. 在已知线段上作一个正方形。
47．在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。
48．如果在一个三角形中，一边上的正方形等于这个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角。