06力线平移,力系转化
力线平移定理的名词解释
力线平移定理的名词解释力线平移定理是流体力学中的基本定理之一，它描述了在一个定常的不可压缩流体中，沿着密度相同的流线平移的两点之间的压力差等于流速在这两点之间的切向速度分量的梯度与流体密度的乘积。
1. 引言在流体力学领域中，力线是描述流体运动的一种常用方式。
力线是指一条假想的线，其切向方向与流体的速度向量方向相同，因此力线可以帮助我们更好地理解流体的运动特性。
2. 力线平移定理的内容力线平移定理是描述力线平移过程中与压力差相关的一组方程。
在一个定常的不可压缩流体中，对于沿着密度相同的流线平移的两点A和B，它们之间的压力差可以表示为以下公式：ΔP = ρ ∂v_t/∂s其中，ΔP表示两点之间的压力差，ρ表示流体的密度，v_t表示流速在流线平移方向的切向速度分量，∂v_t/∂s表示切向速度的梯度。
3. 定常流体的定义在力线平移定理中，定常流体是指流体在任意时刻的速度场和压力场都不随时间变化，但随空间位置变化的情况。
这就意味着流体在整个系统内的速度和压力分布是恒定的，不会发生剧烈的波动或变化。
4. 不可压缩流体的定义在力线平移定理中，不可压缩流体是指流体在运动过程中密度始终保持不变的情况。
不可压缩流体的特点是其体积恒定，压力在不同位置发生变化时能够迅速传递，并保持体积的不变。
5. 力线平移定理的应用力线平移定理在流体力学中的应用十分广泛。
它被广泛用于分析流体力学问题、设计流体流动设备和优化流体流动过程。
例如，在飞机翼的设计中，通过运用力线平移定理，可以最大程度地减小翼面上的压力差，提高飞行的效率和安全性。
6. 力线平移定理的重要性力线平移定理作为流体力学中的基本定理之一，具有重要的理论和实践意义。
它不仅为我们提供了研究流体运动的一种重要方法，还为我们深入理解力线和流体力学问题的关系提供了基础。
同时，力线平移定理也为工程实践提供了重要的参考依据。
7. 结论力线平移定理是流体力学中的核心概念之一，它描述了定常不可压缩流体中沿着密度相同的流线平移的两点之间的压力差与切向速度梯度的乘积之间的关系。
力的平移定理
第四章平面一般力系第一节力得平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系得合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系,首先必须解决力得作用线如何平行移动得问题。
设刚体得A点作用着一个力Ｆ(图4－３(a)）,在此刚体上任取一点O。
现在来讨论怎样才能把力F平移到O点,而不改变其原来得作用效应？为此,可在O点加上两个大小相等、方向相反,与F平行得力F′与F〞,且F′=F〞=F(图4－3(b)）根据加减平衡力系公理,F、F′与F〞与图4－3(a)得F对刚体得作用效应相同。
显然F〞与Ｆ组成一个力偶,其力偶矩为这三个力可转换为作用在O点得一个力与一个力偶（图4-3（ｃ））。
由此可得力得平移定理:作用在刚体上得力F，可以平移到同一刚体上得任一点O，但必须附加一个力偶,其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。
顺便指出，根据上述力得平移得逆过程,共面得一个力与一个力偶总可以合成为一个力,该力得大小与方向与原力相同,作用线间得垂直距离为:力得平移定理就是一般力系向一点简化得理论依据,也就是分析力对物体作用效应得一个重要方法。
例如,图4－4ａ所示得厂房柱子受到吊车梁传来得荷载F得作用,为分析F得作用效应,可将力F平移到柱得轴线上得O点上，根据力得平移定理得一个力Ｆ′，同时还必须附加一个力偶（图4-4(b）)．力F经平移后,它对柱子得变形效果就可以很明显得瞧出,力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法与结果设在物体上作用有平面一般力系F1,F2，…,F n，如图４-5(ａ）所示。
为将这力系简化，首先在该力系得作用面内任选一点O作为简化中心,根据力得平移定理,将各力全部平移到Ｏ点（图４-5(b）),得到一个平面汇交力系Ｆ１′,Ｆ２′,…，F n′与一个附加得平面力偶系.其中平面汇交力系中各力得大小与方向分别与原力系中对应得各力相同,即Ｆ１′=Ｆ1，F2′＝F2，…，F n′=F n各附加得力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩,即由平面汇交力系合成得理论可知,Ｆ１′,Ｆ2′,…，F n′可合成为一个作用于O点得力Rˊ，并称为原力系得主矢（图４－5(ｃ)),即R′＝F1′+F2′+…＋F n′＝Ｆ１+F2+…+F n=∑Fｉ（4-1）求主矢R′得大小与方向,可应用解析法。
力线平移定理
l
C h d1
A d
Fy
F
D Fx
B FBx
FBy
FB何关系较复杂不
宜确定，用合力矩定理。
M A (F ) M A (F x ) M A (F y) F co h F n si ln F (co h s nil n )
2.求B点约束力对A点的力矩MA(FB)
F' M=Fd dA
F MM
A
B
B
F A
A F
B
B
A
M
M
F' F'
F
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到 一平移力和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。此即为力线平移定理 。
任务实施
【例1】 图示刚架ABCD, 在D点作用F力,已知力F的方向角为。 求:1.F力对A点的力矩, 2.B点约束力对A点的力矩。
M A
l
B 解：1）取AB为研究对象,分析并画受力图
2）列平衡方程求解约束力
M
A
B
d
FB
FA
M 0: FBdM0 F BM d lc o M n 2 1 0 3 0 /2 5 7 .7N
FA57.7N
小结
力的平移定理
作用于刚体上的力，可以平移到刚体上的任一点，得到一平移力 和一附加力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
情境二 构件受力计算 任务一：构件受平面汇交力系作用的受力计算
力的投影、力的合成计算 平面汇交力系平衡问题1 平面汇交力系平衡问题2 力矩 平面力偶及合成 力的平移定理
知识准备： 力的平移定理
一、力的平移定理
F' F
Bd A
工程力学6 力的平移定理
M F d
F
F′
d F′
A
F
O d
A
三、力的平移定理的应用
假设在一块钢板上O点钉一个钉子， 用四根绳子用力拉，钢板将会如何 运动呢？钉子将如何受力？
F1
F2 O
F4 F3
Y
F1
Y
F2
X
O
F3 图① F4 Y R′ Mo
O 图③
根据力的平移定理 F2
M1 F1
M2 X
O
M2 M3
F4
F3 图②
根据平面汇交力系和
d
OM
F′
d
FA
A
M F，F F d M O F
因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点， 但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的 力矩。图中O称为简化中心。
1.力的平移定理
F1
F2
F3
O
F4
例题1：如图所示，假设每个方格是边长为1m的 正方形，F1=10KN、F2=10KN、F3=30KN、 F4=30KN，试求：将四个力平移至O点的结果。
B Od
b
A
F=
M B
F
O d M MO F F d
A B
O b
A
逆时针为正
M M O F F b
M 顺时针为负 F
2.力的平移定理性质
（2）力的平移定理只适用于刚体，对变形体不适用， 并且力的作用线只能在同一刚体内平移，不能平移到另 一刚体。
（3）力的平移定理的逆定理也成立。
OM
X
平面力偶系的合成
R′=F1+F2+F3+F4（矢量和） MO=M1+M2+M3+M4 （代数和）
第1节3讲平面汇交力系-力线平移分解
FR' 0, Mo 0
是平面一般力系平衡的充分和必要条件。
合力矩定理
平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用 面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的 代数和 FR‘ 证明 如右图所示。
显然有
o Mo (a ) o d
O’
M 0 ( FR ) FR d M o , M o M o ( F ), M o ( FR ) M o ( F )
2. 力系简化为合力 （1）
F’
R
FR' 0, Mo 0
FR' 0, Mo 0
就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。
（2）
力系仍可简化为一个合力，但合力的作用点不通过简化 中心。
FR’ o Mo (a )
O
FR’ o d FR‘’ (b)
O
FR o
FR
d
(c)
O
图2-5 力系简化为合力 3. 力系平衡
FR‘
FR’ FR
O’
(b) 图2-6 合力矩定理证明图示
例2-1
图示一塔示起重机。机架m1=50t，重心在o点。 已知起重机的最大起吊质量m2=25t，欲使起重 机在空载与满载时都不会翻到，平衡锤的质量 m3 应如何？
c
b
o
W1
图中 a=3m,b=1.5m, c=6m, l=10m, W=m2g, P =m3g W1=m1g。
向一点简化
平面一般力系
平面汇交力系
平面力偶系
合成
合成
F’（合力）
Mo（合力偶）
F2
Fn F2 ' M 2 Mn
o
F1
（a)
F2
力线平移
L 4L L FE sin60 F2 sin60 0 2 5 2
联立求解，可得横杆DE的拉力及铰C处的反力为
FCx 0.218kN，FCy 0.093kN，FE 0.182kN
17
【例3-4】物体重量为Q=1200N，由三杆AB、BC和CE所组成的构架以 及滑轮E支持，如图所示。已知AD = DB = 2m，CD = DE =1.5m，不计 各杆及滑轮重量。求支座A和B处的约束反力以及杆BC所受的力。
4．当 FR′=0 ，MO = 0 主矢和主矩都等于零。此时，原力系是平衡力系，物体在该力系的作用下 处于平衡状态。
8
3.2.3
合力矩定理
平面任意力系的合力对作用平面内任一点之矩等于原力系各分力 对同一点之矩的代数和。
3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
Fx 0 Fy 0 M O ( Fi ) 0
F1
C y
L/2
F1
C
C
ห้องสมุดไป่ตู้
FCx
FCy
2L / 3
D E
F2
B D E B
F2
F2
60
A
60
FE
x
E
B
L
FAx FAy
A
FBy
FBy
解：先取整体为研究对象 ，其受力分析如图所示，列出平衡方程
F 0 F F 0 F 0 F F F 0
x
Ax
2
y
Ay
By
1
L 2L F M A (F ) 0 FBy L F2 sin60 cos60 0 1 2 3
FR' F1' F2' Fn' Fi'
力线等效平移定理
力线等效平移定理，又称牛顿第二定律的平移形式定理，是牛顿力学中非常重要的定理之一。
它揭示了力的运动规律与参考系的关系，具有深刻的物理意义和重大的应用价值。
力的等效平移定理表明，在相同的力的作用下，质点的运动规律与参考系的选择无关，而只与物体的质量和所受的力的大小和方向有关。
这个定理非常重要，因为它为我们研究物体的运动提供了一个方便而简单的理论框架。
在实际应用中，力的等效平移定理可用于解决一系列复杂的运动分析问题，例如舰船导航、炮弹轨迹计算、火箭发射等。
此外，该定理还可用于研究力的作用线平移的情况，即力作用线在研究对象内移动，而不改变它对物体作用的运动效果。
通过力的作用线平移，可以将复杂的力系简化为一个简单的形式，便于进行分析和计算。
总的来说，力的等效平移定理在牛顿力学中扮演着重要的角色，对于解决运动分析和力的作用等问题具有广泛的应用价值。
力系分类与力的平移定理
示，证毕
图2-1
力系分类与力的平移定理
工 程 力 学力系的简化第2章力的平移定理是力系简化的重要依 据，在生产实践中有着大量的实际应用：例如，攻丝时，必须两手握 扳手均匀用力，如图2-2（a）所示。如果工人单手用力，如图2-2（b） 所示，则会将丝锥折断。这是因为，作用在B点的力F向C点平移后， 得到一个与之大小相等、方向相同的力F′和一个力偶M，如图2-2（c） 所示，力偶使丝锥转动，而力F′则是丝锥折断的原因。
(2-2)
工程力学
（1）平面汇交力系：力系中各力的作用线在同平面内且相交 于同一点。其中，共点力是汇交力系的一种特殊情况。
（2）平面平行力系：力系中各力的作用线在同平面内且互相 平行。
（3）平面任意力系：力系中各力的作用线共面，但既不完全 平行、也不完全相交。平面任意力系也可称为平面一般力系。
空间力系同样也可分为空间汇交力系、空间平行力系、空间任 意力系。
力系分类与力的平移定理
1.2 力的平移定理
研究任何问题，最好的方法就是由简单到复杂， 同时又要将复杂问题化繁为简。研究平面任意力系， 则希望将其用简单力系等效替换。而力的平移定理， 则是平面任意力系简化的基本方法。
力的平移定理：作用在刚体上A点的力F可以平 行移动到刚体内任意一点B，同时附加一个力偶，此 附加力偶的矩等于原来的力F对点B的矩。
工程力学
力系分类与力的平移定理
1.1 力系的分类
根据力作用线的分布情况，力系可分为平 面力系与空间力系。力系中各力的作用线都作 用在同一平面上，该力系称为平面力系。力系 中各力的作用线呈空间分布，该力系称为空间 力系。
平面力系又可分为平面汇交力系、平面平 行力系和平面任意力系。
力系分类与力的平移定理
第三章力系的简化
M O M O ( Fi )
力系若有合力，力系合力对任意轴的 矩等于力系各力对同一轴的矩的矢量和；
M x M x ( Fi )
7. 空间任意力系简化为力螺旋
简化后，若FR0，MO0，且FR与MO平行， 此时无法进一步简化。 这样力与力偶作用面垂直的情况称为力螺旋。
FR与MO同向，称右手螺旋；
4.平面任意力系的简化
1) 平面任意力系向一点简化 平面任意力系
力线平移
平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系+平面力偶系
合成
平面汇交力系合力FR
平面力偶系合力偶MO
简化点O任选，称简化中心 简化后平面汇交力系的合力FR，有：
简化后平面力偶系的合力偶MO，有：
平面任意力系向作用面内一点简化后得到一个 力和一个力偶，该力的主矢等于原力系的主矢，该 力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 简化后有以下几种情况： 1） 若FR=0，MO0，则力系合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。这种情 况下，主矩与简化中心的位置无关； 2） 若FR0，MO=0，则力系合成为一个合力， 主矢FR与原力系主矢FR相等。主矢FR通过简化 中心。合力与简化中心的位置有关，换一个简化 中心，则MO不为零。
3）结论
任意平面汇交力系：
可以简化为一合力，合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几 何和），合力的作用线通过汇交点。 用矢量表示：
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的 合力等于零。
几何法求解平面汇交力系，一般适合三个 力汇交的情况
例：如图，为汽车制动机 构的一部分。驾驶员蹬踩 力F=212N，方向与水平 面夹角α=45º。平衡时， DA垂直，BC水平，求拉 杆BC所受的力。已知， EA=24cm，DE=6cm，点 在上，机构不计自重，C、 B、D均为光滑铰链。
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
平面力系的简化
cos
FRy FR
式中： ， ——分别是 与x轴和y轴的夹角
固定端（插入端）约束。
它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全 固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。
例
（a）
图 2-13
（b）
固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个 分布力系。如图所示
O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则 d | MO | / | FR |。
情况（3）证明 其中 O 为合力 FR 的作用点，
（a）
（b）
（c）
FR FR FR M (FR ，FR) MO
图 2-15
另外，由图2-15（b）及证明过程知
n
MO (FR ) FR d MO MO (Fi ) i 1
注意
固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。 从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动， 而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动； 从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样， 用一对正交分力表示约束力的主矢之外， 还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。
点A处的力F就由点B处的力 F F 及附加力偶等效代替了， 而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。
意义
在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。 在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。
例
攻螺纹用的铰杠丝锥
图 2-11 （a）
图 2-11 （b）
二、平面力系的简化 主矢与主矩
三、简化结果的进一步讨论 合力矩定理的证明
对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，
第二章 平面力系 第一节 力线平移定理
第二章平面力系第一节力线平移定理由力的可传性可知，力可以沿其作用线滑移到刚体上任意一点，而不改变力对刚体的作用效应。
但当力平行于原来的作用线移动到刚体上任意一点时，力对刚体的作用效应便会改变，为了进行力系的简化，将力等效地平行移动，给出如下定理：力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，其力偶矩等于原力对指定点之矩。
证明：设力F作用于刚体上A点，如下图所示。
为将力F等效地平行移动到刚体上任意一点,根据加减平衡力系公理，在B点加上两个等值、反向的力F′和F"，并使F′＝F"＝F，如图(b)所示。
显然，力F、F′和F"组成的力系与原力F等效。
由于在力系F、F′和F"中，力F与力F"等值、反向且作用线平行，它们组成力偶（F、F"）。
于是作用在B 点的力F′和力偶（F、F"）与原力F等效。
亦即把作用于A点的力F平行移动到任意一点B，但同时附加了一个力偶，如图(c)所示。
由图可见，附加力偶的力偶矩为m＝F•d＝m B（F）力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，也可以将同一平面内一一个力和一个力偶合成为一个力。
应该注意，力的平移定理只适用于刚体，而不适用于变形体，并且只能在同一刚体上平行移动。
第二节平面任意力系的简化一、平面任意力系向面内任一点简化设刚体受到平面任意力系F1、F2、…、F n的作用，如图。
在力系所在的平面内任取一点O，称O点为简化中心。
应用力的平移定理，将力系中的和力依次分别平移至O点，得到汇交于O点的平面汇交力系F1′、F2′、…、F n′，此外还应附加相应的力偶，构成附加力偶系m O1、m O2、…、m On（图b）。
平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F1′＝F1 ，F2′＝F2，…，F n′＝F n所得平面汇交力系可以合成为一个力R O ，也作用于点O ，其力矢R ′等于各力矢F 1′、 F 2′、…、F n ′的矢量和，即R O ＝F 1′+ F 2′+…+F n ′＝F 1 +F 2 +…+F n ＝ΣF ＝R ′R ′称为该力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。
2.2、力线平移定理(4-1)(美化)
力系平移定理（4-1）
力离开作用线平行移动时,为保证作用效果不变,需要附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于一个力矩:平移前的力对平移后力作用点的力矩.
讨论题：
力平移时要附加一个力偶,力偶会让物体转动,所以力平移前与平移后相比.后者明显多出了一个让物体转动的力偶因素,力在平移前后对物体的作用效果还能相同吗？
判断题：
对刚体而言力是滑动矢量，但不是自由矢量。
例2.2-1两个平行力的合成问题。
证明杠杆定律的正确性；图示的两个平行F1、F2可以合成为一个力F1 2 。
现在要证明三个结论：
5
=+F F F 1212 F F F ////121212⋅=⋅F AE F BE M 1=M B (F 1)=F 1|BC |= F 1|AB |cosθ
M 1=M B (F 12)=F 12|BE|cosθ
F 1+F 2=F 12
⇒=112F AB F BE ⇒+=+112()()F AE BE F F BE 12⋅=⋅F AE F BE
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思考题：
1）可否把力F2平移至力F1作用点处？或者将两力同时平移至杠杆支点E处？
=-F F F 1212 F F F ////121212⋅=⋅F AE F BE。
理论力学第三章平面一般力系
再研究轮
mO(F)0
SAco R sM 0
X0
XOSAs in0
Y0 SAco sYO0
MPRXOPtg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
23
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§3-7 平面简单桁架的内力分析
24
工程中的桁架结构
25
工程中的桁架结构
26
工程中的桁架结构
18
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
19
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
20
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
平面力偶系的平衡方程
X 0
Y 0
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≧未知力数目—为静定
独立方程数 < 未知力数目—为静不定 五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
m B 0 , Y A 2 .5 P 1 .2 0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 0 8 1 2 2 ( k 4 )N 17
力的平移定理
目录
理论力学
Байду номын сангаас
力的平移定理不仅是力系向一点 简化的理论依据，也是分析力对物体 作用效应的一个重要方法。例如图示 厂房柱子受偏心荷载F的作用，为分 析力F的作用效应，可将力F平移至
柱的轴线上成为力F´和附加力偶M， 轴向力F´使柱压缩，而附加力偶M将
使柱弯曲 目录
平面力系\力的平移定理 再以削乒乓球为例（如图），为分析力F对球的作用效应，将
力F 和F 组成一个力偶M，其力偶矩等于原力F对O点之矩。
即
M M O(F ) Fd
目录
平面力系\力的平移定理
由此得到力的平移定理：作用于刚体上的力，可平行移动到刚 体内任一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加 一力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点之矩。
根据力的平移定理，也可以将同一平面内的一个力和一个力偶 合成为一个力，合成的过程就是上述的逆过程
理论力学
平面力系\力的平移定理
力的平移定理
为了得到平面一般力系的平衡条件和平衡方程，需要 研究平面一般力系向一点的简化。力系向一点简化的理论 基础是力的平移定理。
目录
平面力系\力的平移定理
设在刚体上A点作用一个力F，现要将其平行移动到刚体内任 一点O（图a），但不能改变力对刚体的作用效应。
根据加减平衡力系公理，可在O点加上一对平衡力F、F，力F 和F的作用线与原力F的作用线平行，且F ＝F ＝F（图b）。
力的平移定理【精选文档】
第四章平面一般力系第一节力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。
为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。
设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）)，在此刚体上任取一点O。
现在来讨论怎样才能把力F平移到O点,而不改变其原来的作用效应?为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞,且F′=F〞=F（图4－3（b)）根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。
显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。
由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。
顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原力相同，作用线间的垂直距离为:力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法.例如,图4－4a所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F的作用，为分析F的作用效应,可将力F平移到柱的轴线上的O点上，根据力的平移定理得一个力F′，同时还必须附加一个力偶(图4－４(b)）.力F经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。
第二节平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F1,F2，…，F n,如图4－5（a）所示。
为将这力系简化,首先在该力系的作用面内任选一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O点（图4－5(b）），得到一个平面汇交力系F1′，F2′，…,F n′和一个附加的平面力偶系。
其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F1′=F1，F2′=F2，…,F n′=F n各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩，即由平面汇交力系合成的理论可知，F1′，F2′,…,F n′可合成为一个作用于O点的力Rˊ,并称为原力系的主矢（图4－5（c)），即R′= F1′+F2′+…+F n′= F1+F2+…+F n=∑F i （4－１) 求主矢R′的大小和方向，可应用解析法.过O点取直角坐标系oxy，如图4－5所示.主矢R′在x轴和y轴上的投影为R x′= x1′+x2′+…+x n′=x1+x2+…+x n=∑XR y′= y1′+y2′+…+y n′=y1+y2+…+y n=∑Y式中:x i′、y i′和x i、y i分别是力F i′和F i在坐标轴x和y轴上的投影.由于F i′和F i 大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。
《工程力学》试卷及答案
《⼯程⼒学》试卷及答案《⼯程⼒学》试卷及答案班级姓名得分⼀、填空题（每空1分，共22分）1、⼒的三要素是⼒的⼤⼩、⽅向、作⽤点。
⽤符号表⽰⼒的单位是（N ）或（KN ）。
2、⼒偶的三要素是⼒偶矩的⼤⼩、转向和作⽤⾯⽅位。
⽤符号表⽰⼒偶矩的单位为（N·m ）或（KN·m ）。
3、常见的约束类型有柔性约束、光滑接触⾯约束、光滑铰链约束和固定端约束。
4、作⽤于⼀个刚体上的⼆⼒，使刚体保持平衡状态的充要条件是两个⼒⼤⼩相等、⽅向相反、作⽤线相同。
5、平⾯汇交⼒系平衡的充要条件是该⼒系的合⼒等于___零______。
6、平⾯任意⼒系的平衡条件为,0=∑ixF0=∑iy F 和___∑M 0（F ）=0。
7、当平⾯任意⼒系有合⼒时，合⼒对作⽤⾯内任意点的矩，等于⼒系中各⼒对同⼀点之矩的代数和。
8、空间⼒系根据⼒的作⽤线不同可分为空间汇交⼒系、空间平⾏⼒系和空间任意⼒系。
9、⼒在空间坐标轴上的投影有两种运算⽅法，即直接投影法和⼆次投影法。
10、⼯程中⼆⼒杆需满⾜三个条件，即⾃重不计、两端均⽤铰链连接和不受其他⼒的作⽤。
⼆、判断题：（对的画“√”，错的画“×”）（每题2分，共20分） 1、⼒的可传性定理，只适⽤于刚体。
（√ ）2、两物体间相互作⽤的⼒总是同时存在，并且两⼒等值、反向共线，作⽤在同⼀个物体上。
（ × ）3、⼒的⼤⼩等于零或⼒的作⽤线通过矩⼼时，⼒矩等于零（ √ ）4、⼒偶⽆合⼒，且⼒偶只能⽤⼒偶来等效。
（ √ ）5、共线⼒系是平⾯汇交⼒系的特殊情况，但汇交点不能确定。
（ √ ）6、⼆⼒杆的约束⼒不沿杆件两端铰链中⼼的连线，指向固定。
（ × ）7、平⾯汇交⼒系的合⼒⼀定等于各分⼒的⽮量和。
（ √ ）8、⼒使物体运动状态发⽣变化的效应称⼒的外效应。
（ √ ）9、⼒的三要素中只要有⼀个要素不改变，⼒对物体的作⽤效应就不变。
（ × ） 10、同⼀平⾯内作⽤线汇交于⼀点的三个⼒⼀定平衡。
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18
平面一般力系的简化结果 合力矩定理
简化结果可有四种情况：（1）FRˊ= 0，MO≠ 0； （2）FRˊ≠ 0， MO= 0；（3）FRˊ≠ 0， MO≠ 0；（4） FRˊ=0，MO=0。对以上进一步分析有以下三种情形。
（1）简化为一个力偶
当 FR= 0，MO≠ 0 则原力系合成为合力偶，其矩为
i1
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等 于力系中各力对于同一点之矩的代数和。
22
§4－3 分布荷载
集中力或集中荷载：力或 荷载的作用面积很小或与整个 构件的尺寸相比很小，可以认 为集中作用在一点上。例如， 道路给轮子的力等。
几种分布荷载
（1）体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部各点上。 例如，构件的自重等。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
q A
dx x
h l
q
q x q
l
B x 因此分布载荷的合力大小
F l qdx 1ql
0
2
33
F
q
座的约束反力。
M1
M1
A
B 。A
4 m M 2 60
FA
M2
d
B
FB
(a )
( b)
6
【解】作 AB 梁的受力图，如图（ b ）所示。AB梁上作用
有二个力偶组成的平面力偶系，在 A 、B 处的约束
反力也必须组成一个同平面的力偶
（ M FA
，
M
）
FB
与之平衡。
由平衡方程 M 0
得 M1 M2 FB l cos600 0
§4-1 力线平移定理
F`
F`
O.
F
.
A
O.
F``
F`=F``= F
力线平移定理：作用在刚体上的力，可平行地移动到任
意一点，得到的力大小和方向不变，但必须同时增加一
个附加力偶矩，其大小等于：M=M0(F)
10
证明：如下图所示：
M (F) Fd M M (F)
B
B
F
F Bd
F
B
d
n
M O M O (Fi ) i 1
此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶，即
n
M M O M O (Fi )
i 1
19
⑵ 简化为一个合力 当 FRˊ≠ 0， MO = 0
则原力系合成为合力，其作用线恰好通过选定的简化中心O，即
FR = FRˊ 当 FRˊ≠ 0，MO≠ 0
2
§3-2 关于力偶的概念 力偶：大小相等、反向、平行但不共线的两个力，这
样的两个力组成的力系，称为力偶。 (F, F')
力偶的特点：在任何坐标轴上投影等于零 它对物体不产生移动效应，只产生转动效应。
力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来代替。
力偶矩：力与力偶臂的乘积称为力偶矩
3
力偶的性质 ①力偶无合力，力偶只能与力偶相平衡
FRy
FR
MO MO F
x
用线的位置为：
A
x
x
M A
q l2 0
3 2l
C F ql 2 3
y
0
l
图3-14
q0 Bx
29
例题4-2 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四
个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求 以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系 的最后合成结果。
②力偶对任一点的矩完全取决于力偶矩 m =±Fd 与 矩心位置无关。
mo (F ) mo (F ) F x F (d x) Fd
+－
O. x
③只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶 中力和力臂的大小，而不改变对物体的作用
d
效果。
④力偶可在其作用平面内任意移转，而不
改变它对物体的外效应。
24
分布荷载的计算方法
（1）均布荷载：集度为常数的分布荷载。
如图4-13所示的均布荷载，其合力为：
F q l 10.9116 174.6kN,
作用线则通过梁的中点。 F
q=10.91kN/m
16 m
F A
F B
图3-10
25
（2）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。
如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载，其计 算方法见例4-1。
则原力系合成为合力，合力矢等于主矢，即 FR = FRˊ
但合力作用线不通过简化中心O，而到点O的距离d为
d MO FR
20
至于作用线在点O 哪一侧，需根据主矢方向和主矩转向确定。 如下图所示
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力 系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点 的矩的代数和。即
(
q 0 l
x x)
A
x
q 0 l
l
0
xdx
q 0
2
l
M A
M A (F )
lim ( x0
q 0 l
x x)
x
q 0 l
lx2dx 0
q l2 0 3
l
图3-13
q0 Bx
28
y
由此可见，分布荷 载合力的大小等于荷载
xc
F
集度图的面积。合力作
y
F2
A 60°
B
F3
2m
F1
O
3m
F4 C 30° x
30
解： 求向O点简化结果
y
F2
A 60°
F1
O
3m
1.求主矢 FR 。建立如图坐标系Oxy。
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598 kN
F4
FRy Fy
C 30° x F1 F2 sin 60 F4 sin 30
A
A
F
B
d AM=Fd
F”
(a)
(b)
(c)
图4-1力线平移定理的证明
11
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一 个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该 力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力 来等效替换
如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心 （球的质心），则球将平动而不旋转；但若力的作用线与 球相切——“削球”，则球将产生平动和转动。
4
结论:
n
M m1 m2 mn mi
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其合力偶矩的
大小等于各力偶矩的代数和。
平面力偶力系的平衡条件： 所有各力偶矩的代数和等于零。
n
即
mi 0
i1
5
例5 长为 4 m 的简支梁的两端 A、B 处作用有二个力 偶矩，各为M1 16 N m M 2 4N m 。求 A 、B 支
固定端约束（插入端） 在工程中常见的
雨搭
车刀
16
插入端约束受力的简化
17
固定端（插入端）约束
说明：
① 认为Fi这群力在同一平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
③ RA方向不定，可用正交分力YA, XA表示;
④ YA, XA, MA为固定端约束反力; ⑤ YA, XA限制物体平动,MA为限制
A
q
y
y
B C
26
例4-1 求图示梁上分布荷载的合力。
【解】取坐标系如图
所示。在 x 处取一 微段，其集度为
q
q0
x l
微段上的荷载为：
y
xc
F
x
A
x l
图3-12
F
q x
q0
x l
x
q0 Bx
27
以A为简化中心，有
y
xc
F
F'
F x
0
x
F
y
F y
lim x0
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
32
例题4-3 水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
大小： FR
FR
2 x
FR
2 y
(
Fx )2 (
Fy )2
主矢FR
方向： arctan FR y arctan Fy
FR x
Fx
（移动效应）
简化中心 (与简化中心位置无关)
15
主矩MO
（转动效应）
大小：M O mO (Fi )
方向：方向规定 + — 简化中心：与简化中心有关
FRy Fy P1 P2 F2 sin 670.1 kN