平面力系简化

x
A
O的合力 R' ,且
R' = Fi = Yi
o
x
(2) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且
MO = mo(Fi) = F x
(3) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R
R = R' = Fi = Yi
y
3m
C
P1
1.5m
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
5.7m
22
解: (1)取O为简化中心
ACB arctan AB 16.70 CB
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin
670.1kN
y
3m
C
P1
1.5m
原力系对于简化中心O的主矩.
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
7
结论:平面任意力系简化为主矢和主矩
力系的主矢 R'只是原力系中各力的矢量和,所以 它的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
(c) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R ,其 大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中
心点O的距离为: d M o
R
9
(d) R' = 0 , Mo = 0 原力系为平衡力系.其简化 结果与简化中心的位置无关.
(3)合力矩定理
R
当平面任意力系简化为一
个合力时,合力对力系所在平
FR
x 3.514
即： y 2.878x 10.114
F2
A
x
FR
24
再见
25
y
F1
x1
一个平面平行力系F1,F2,… R'
Fn
o
取坐标原点O为简化中心
xn x2 MO F2
Fn
x
将力系简化可得主矢R'和主
矩MO ,其中
R' = Fi = Yi
MO = mo(Fi) = F x
13
y
简化结果的讨论
R
(1) R' 0 , Mo = 0 原力系简
化为一个作用于简化中心
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
5.7m
cos(FR ,i )
Fx 0.3283 FR
(FR,i ) 70.840
cos(FR , j )
Fy 0.9446 FR
23
MO MO (F )
1 3
qm
l2
AC 2 l
3
17
例题3-3.求图示按线性规律变化的线荷载的 合力 大小和合力作用点C的位置.
b
a q1
A l
q2 B
18
AC

q1 2q2
3 q1 q2
l
R
b
qdx
a
q2
q1
A
dx C
B
l
l
解:(1) R qdx
0

l 0
q1
q2

q1

x l
dx

1 2
q1
q2 l
R
AC

l 0
qxdx

l 0
q1
q2
q1
x l
xdx

1 6
2q2
q1 l 2
AC

q1 2q2
3 q1 q2

l
19
a q1 A
l
q1 A
l
A l
b
(2)应用叠加原理
q2B R1=q1lq1 NhomakorabeaB
A
lC1
B
q2 -q1 A
B
2l / 3
R2

1 2
q2

q1
l
q2 -q1
l
C2
B
20
R
R1
q1
3 q1
2q2 q2

l
R2
利用同向平
A
行力的合成得:
C1 C C2
B
l
R
=
R1
+
R2

1 2
q1

q2 l
AC

q1 2q2
3 q1 q2
l
21
例题2-4.重力坝受力情 形如图所示，已知： P1=450kN，P2=200kN， F1=300kN，F2=70kN。 求力系向点O简化的结 果，合力与基线OA的交 点到点O的距离x，以及 合力作用线方程。
平面力系简化
教案
1
内容提要
.平面任意力系
2-3.平面任意力系向一点的简化 平行分布的线荷载
2
.力线平移定理
作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的 任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶 矩等于原来的力对此指定点的矩.
3
证明：设一力F作用于刚体 的A点上 ,且此力到指定点O 的距离为d.
F1+F2 = 0 F1 = F2 = F
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
R
42.01
11
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
12
平面平行力系的简化
设在某一物体上作用有
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn m1= mo(F1), m2= mo(F2),… mn= mo(Fn)
F1' m1 o
F2'
m2
Fn'
mn
6
将这两个力系分别进行合成.
原力系的主矢.
R' = F1' + F2' +…+ Fn' = F1 + F2 +…+ Fn R' = Fi
固定端支座: 既能限制物体移动又能限制物体转动的约束.
A
mA
XA A
YA
8
(2)简化结果的讨论.
(a) R' 0 , Mo = 0 原力系简化为一个作用于简化 中心O的合力 R' ,且
R' = Fi (b) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且 Mo = mo(Fi)
3F1 1.5P1 3.9P 2355kN
y
3m
C
(2)求合力作用线的位置
P1
1.5m
x M O 2355 3.514 m Fy 670 .1
F1
D3.9(mx,yP)2
(3)求合力作用线方程
O B
在合力作用线上任选一点D(x,y) MO
5.7m
x
y 0 tan(70.840 )
[F1 , ( F2 , F )]
F1 m od
F
AA
F2
[F1 , m = Fd] mo(F) = Fd = m
[F , m = Fd]
4
2-3.平面一般力系向一点的简化 平面一般力系向一点简化的实质是一个平面任
意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系
(1)主矢和主矩
F2
F1
A2
A1
o
An Fn
5
根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力 系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1, m2,… mn的附 加平面力偶系.其中
O
面内任一点的矩,等于力系中
d
A
各力对同一点的矩的代数和.
mo(R) = ROA = R'OA = MO MO = mo(Fi) mo(R) = mo(Fi)
10
例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及
作用线到A点的距离. 25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
b R
R qxi
B
a
q
b
q
a
C
A
C
B
l/2
xi
A
l
16
(3)按照线性规律变化的线荷载
R
b
合力大小:
qdx
R l qdx l qm xdx
0
0l

1 2
qm
l
A x
C dx
2l / 3
qm B
合力作用点C的位置
l
l
R AC qxdx
0
qm l x2dx l0

x Fi xi Fi
14
平行分布的线荷载
(1)定义 集中力;分布荷载;平行 a
分布线荷载(线荷载)
A
线荷载集度q
A
N/m ; kN/m
均布线荷载
非均布线荷载
荷载图
B
b q
B
x
qx
15
(2)均布线荷载
合力大小: R = q xi = q xi= ql
合力作用线通过中心线AB的中点C