第4章平面力系的简化

第 4章 平面力系的简化与平衡方程

建筑力学
例4.2
求例4.1中所给定的力系的合力作用线。
在前面己求出力系向点A简化的结果，且主矢和主矩都不
等于零。这说明力系可简化为一合力FR。且FR＝ F’R。 关键问题是要确定出合 力FR的作用线在坐标系 中的位置。即与x轴的交 点K的坐标xK 。
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式中Fxi，Fyi是力Fi在x轴和y轴上的投影。α,β分别代表主矢F’R与x和y 轴正向的夹角。
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主矩的解析计算：
主矩 Mo计算：
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其中xi，yi为力Fi作用点的坐标。
y
Fyi A(xi,yi)
O
Fi Fxi
x
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建筑力学
例 4.1 在边长为a＝1m的正方形的四个顶点上，作用有F1、
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
平面任意力系合力矩定理证明
建筑力学
由图易见， 合力FR对点O的矩为
Mo是该力系对于点O的主矩，等于力系中各力对简化中心O的矩的代数和。
任选简化中心O，上式普遍成立。由此可得出前面学过的合力矩定理。
平面任意力系的合力对作用面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的 矩的代数和。
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建筑力学
将这群力向作用平面内的点A简化得到一个力FA和一个力
偶MA。图c。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。 可用两个未知分力来代替。因此，在平面力系情况下，固 定端A处的约束作用力可简化为两个约束力FAx，FAy和一 个矩为MA的约束力偶。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程

建筑力学
平面任意力系简化结果的讨论
平面任意力系向简化中心o简化，一般得一力和一力偶。 可能出现的情况有四种：
1．主矢不为零，主矩为零
附加力偶系的合力偶矩为零，原力系只与一个力等效，力系简 化为一合力，此合力的矢量即为力系的主矢F’R，合力作用线恰好通 过简化中心o。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
2、平面任意力系的主矩大小和转向与简化中心O 位置有关。
主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，选取不同的点作为简化中心， 各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也有改变，所以，一般情况 下，主矩与简化中心的选择位置有关。对于给定的力系，选取不同的简 化中心，所得主矩一般不同。
因此，在说到力系的主矩时，一定要指明是力系对于哪一点的主矩。
M A 2 2 1 0 M A 4KN m
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例 2 求图示结构的支座反力。 解：取AB 杆为研究对象画受力图。 由 ∑FX = 0 ：FAX 0
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由 ∑MA = 0 ：
4 2 1 20 2 4FBY 0 FBY 12KN
建筑Байду номын сангаас学
§4-3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系的解析平衡条件
平衡方程
平面任意力系的一般简化结果为一个主矢 FR’和一个 主矩Mo 。当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零。 由主矢 FR’ = 0 ， 得： 由主矩 Mo = 0 ，得：
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平面任意力系的主矢和主矩同时为零F’R＝0，Mo=0是平面任意力系平衡 的充要条件。 平面任意力系下的解析平衡条件为：力系中所有各力在两个任选坐标轴 中每一轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数 和等于零。即必须满足下式。
右端 方程组也是平而任意力系平衡的充要条件，作为平
n
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m
i 1 n
A
( Fi ) 0 ( Fi ) 0 0
衡的必要条件，是十分明显的。那么充分性如何呢？
力系满足条件 ΣMA=0，说明该力系不可能简化为一个力
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
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几点说明： 1、 一般情况下，平面任意力系等效于一力和一力偶。
主矢一般不与原力系等效，不是原力系的合力；附加力偶系的合力偶M， 一般不与原力系等效，不是原力系的合力偶。
2、平面任意力系的主矢大小和方向与简化中心位置无关。
主矢等于各力的矢量和，由力系中各力矢量和确定，故与主矢简化中心 的选择无关。对于给定的力系，选取不同的简化中心，所得主矢相同。
下，主矩与简化中心的位置无关，向不同点简化，所得主 矩相同。
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4．主矢与主矩均为零
这种情况下，平面任意力系是一个平衡力系。

总之，对不同的平面任意力系进行简化．综合后结果
只有三种可能：
(1) 合力； (2) 合力偶； (3) 平衡。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
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例 起重机重Pl＝10 kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂
钩上挂一重为P2=40 kN的重物。如图所示。起重机的重心 C到转动轴的距离为1.5m、其他尺寸如图所示。求在止推 轴承A和轴承B处的约束力。
刚结点
分析：以起重机（可看作刚架结 构）为研究对象，它所受的主动 力有P1和P2。根据对称性，约束 力和主动力都位于同一平面内。 止推轴承A处有两个约束力FAx， FAy，轴承B处只有一个与转轴垂 直的约束力FB，约束力方向如图 所示。
2．主矢、主矩均不为零

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力系等效于一作用于简化中心o的力F’R和一力偶矩为Mo的力偶。由 力的平移定理知，一个力可以等效地变换成为一个力和一个力偶，那 么，反过来，也可将一力和一力偶等效地变换成为一个力。即，当主 矢和主矩均不为零时，可简化为一合力。合力FR与主矢F’R具有相同的 大小和方向。合力作用线不再通过简化中心o，而是位于主矢F’R的一 侧，使得合力FR对o点的矩与主矩Mo具有相同的正负号，且合力FR与主 矢F’R间的距离d可由下式确定：
原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
附加力偶系的合成结果是一个作用在同一平面内的力偶 Mo，称为
Mo= Mo(F1)+Mo(F2)+ Mo(F3)= ΣMo(Fi) 因此，平面任意力系向任意一点的简化结果为一个主 矢FR 和一个主矩M ，这个结果称为平面任意力系的一般简 化结果。
一般情形，平面任意力系向作用面内任选一点O简化，可得一个力 和一个力偶。此力等于该力系的主矢（力系中各力的矢量和），作用 线通过简化中心O 。此力偶的矩等于该力系对于点O的主矩（力系中各 力对简化中心的矩的代数和）。
由 ∑Fy = 0 ：
FAY 4 2 20 FBY 0 FAY 28 12 16KN
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例 3 求图示结构的支座反力。 解：取整个结构为研究对象 画受力图。 由 ∑FX = 0 ： 2 4 FXA 0
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FXA 8KN 由 ∑M A = 0 ： 2 4 2 4FYB 0 FYB 4KN
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力系的主矢可以用解析的方法求得。
力系的主矩可以直接用力系中各力对简化
中心O之矩的代数和求出；
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主矢的解析计算：
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主矢，主矢方向角的正切可按力多边形规则作图求得或用解析法计算。
教材符号订正： 公式(4-3，5)F‘R 撇号
用有已知主动力外，固定端约束力为FAx、FAy和约束力偶MA。 (2)列平衡方程，求解未知量。取坐标轴如图所示。
一般选取未知力交点为矩心，力求减少每一平衡方程中未知
力的数目。否则．平衡方程中的项数增多，需要求解联立方 程。因为力偶在任何轴上的投影为零，所以投影方程为
FAx＝F，FAy=2F，MA=2.5Fa
F1 F2
A2 A1
F1
F’R M1
F3
O
A3 F3
=
F2
O
M
2
M3
=
Mo
O
M Mi
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汇交力系F1、 F2、 F3 的合成结果为一作用在点O 的力F R 。这个 力矢FR’ 称为原平面任意力系的主矢。
F R= F1+ F2+ F3=ΣFi
设想将合力FR沿作用线移
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至K点，分解为两个分力 FRx和FRy。 力系向点A简化的主矩为 MA ，根据合力矩定理。
式中负号表明K点在坐标原点A的左侧。
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3．主矢为零，主矩不为零
各力向简化中心等效平移后，所得汇交力系是平衡力系，
原力系与附加力偶系等效。原力系简化为一合力偶，该力 偶的矩就是原力系相对于简化中心O的主矩Mo。此种情况
3、由平衡方程求解未知力。
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例 1 已知 q = 2KN/m ，求图示结构A支座的反力。
解：取AB 杆为研究对象画受力图。 由 ∑FX = 0 ：
FAX 0
由 ∑Fy = 0 ：
FAY 2q 0 FAY 2q 2 2 4KN
由 ∑MA = 0 （∑MB =0也可以 ） ：
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应用力向一点简化的方法分析固定端支座的约束反力。
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固定端或插入端支座：一物体的一端完全固定在另一· 物体上，这种
约束称为～。如电线杆，外伸阳台，机加工刀具固定架，工件卡盘等。
固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面 问题中，这些力为一平面任意力系，如图b所示。
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平面任意力系：力系中各力的作用线都在同一平面内，且
任意分布。

工程中的多数问题都简化为平面任意力系问题来解决。 本意内容在工程实践中应用广泛。 面任意力系来处理。
（1）当物体所受的力对称于某一平面时，可以简化为平
（2）有些结构所受的力系本不是平面任意力系，但可以

建筑力学
比较固定端支座与固定铰链支座的约束性质可见，固定端支座除了限 制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在乎面内转动。 因此，除了约束力FAx，FAy外，还有矩为MA的约束力偶。而固定铰链支 座没有约束力偶，因为它不能限制物体在平面内的转动。
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§4-2
F2、F3、F4等四个力。已知F1＝40N，F2＝60N，F3＝60 N， F4＝80 N。试求该力系向点A简化的结果。
解： 选坐标系。 求力系主矢F’R 。
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建筑力学
α,β为主矢与x和y轴正向夹角。可以用α＋β＝90进行校核。 力系相对于简化中心A的主矩计算如下，负号表明力偶为顺时针转向。
简化为平面任意力系来处理。如屋架，在忽略它与其他屋 架之间的联系之后，单独分离出来，可视为平面结构。
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屋架：忽略它与其他屋架之间的联系之后， 单独分离出来，可视为平面结构。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程 §4-1 平面任意力系向一点的简化
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主矢和主矩
力系向任意一点O 的简化 应用力的等效平移定理，将平面一般力系中的各个力 （以三个力为例）全部平行移到作用面内某一给定点O 。从 而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。 这种等效变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。
其中O是平面内任意一点。 三者必须同时为零才能平衡，
三个平衡条件互相独立，对于一个 研究对象可以求解三个未知力，且 方程组：两个投影方程＋一个取矩方程，称为 最多求解三个未知力。
一矩式平衡方程。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
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应用平衡条件求解未知力的步骤为：
1、确定研究对象，画受力图；
2、由平衡条件建立平衡方程；
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
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取坐标系如图所示，列平面任意力系的平衡方
程，即
FAy=50 kN, FB=-31 kN, FAx=31 kN
FB为负值，说明它的方向与假设的方向相反，
即应指向左。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
二矩式平衡方程的形式
其中矩心A和B两点连线不能与x轴垂直。
由 ∑Fy = 0 ： FYA FYB 0
FYA 4KN
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
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例 图示构件的A端为固定端，B端自由，求在
已知外力的作用下，固定端A的约束力。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
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解: (1)取分离体，作受力图。 取构件AB为分离体，其上除作