第4章平面力系的简化
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工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
第四章、平面任意力系
分布力系说明
q
qB
A
L 2L/3 Q1 L/3
B
A L L/2 A Q L/2
B
A
L (a)三角形分布力
厚接分布力
B L （b）均匀分布力
在以后碰到分布力时，先进行简化处理，然后再求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1
已知：梁AD的支承及受力如图所示。
F = 500N, FA = 1000N, q = 1000N/m
A、B、C是平面内不共线的任意三点.
应当指出：投影轴和矩心是可以任意选取的。 在解决实际问题时适当选取矩心与投影轴可以简化计算。
一般地说，矩心应选多个力的交点，尤其是选
未知力的交点，投影轴则尽可能选取与该力系中多数力的 后接例题 作用线平行或垂直。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 5 平面平行力系的合成与平衡
即两个力矩式一个投影式，其中A、B是平面内任意两点。 但连线不能垂直投影轴 X 。 B A x
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
平衡方程
2、平面力系任意力系的平衡方程 B
A 即三个力矩式， C
（2）三力矩形式的平衡方程
∑MA （F）= 0，
∑MB （F）= 0 ∑MC （F）= 0
即距D点的距离为a/3。
应用平面力系平衡方程求解。
第四章 平面任意力系
理 论 力 学
§4- 4 平衡条件、平衡方程
例 4-1 ∑Fx = 0 ∑Fy= 0
步骤3：取坐标系Bxy，列平衡方程
FBx+ F = 0 FBy+ FC- Fp- FA= 0
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
第四章 平面力系
第四章
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
平面力系
认识平面力系
§4-1 平面任意力系向平面内一点简化
一 、 力线的平移 作用于刚体上的力 F 的作用线可等效地 平移到任意一点 O ，但须附加一力偶，此附 加力偶等于原力对 O 点的矩。
F’ M O F
F”
d
逆过程：
平面内的一个力和一个
力偶总可以等效地被同 平面内的一个力替换， 但作用线平移一段距离
3 1 N B P qa 4 2
NB ·4 a － M － P ·2 a － q ·2 a ·a = 0
∑X = 0 , ∑Y = 0 ,
XA = 0
YA － q ·2a － P + NB = 0
P 3 YA qa 4 2
∑X = 0， F F sin 60°－3lq/2 －XA=0 XA = 316.4 kN ∑Y = 0，Fcos 60 °－P + YA = 0 YA = -100 kN ∑MA( F ) = 0， M A －3 l 2 q / 2 － M + 3 l Fsin60°－ F l sin 30°= 0 MA = -789.2 kNm
例3-2
A
， , 求该力系向
1m
F1 2 ( N)
1m
解：
1 X F1 2 F3 0 1 Y F2 F1 2 0
F1
F2
B
1m
D
3m C
M
F3
1m
即，主矢 R’= 0 , 这样可知主矩与简化中心 D 的位置无关，以 B 点为简化中心有： MD = MB = M - F3×1 = 1 N m ，主矩 MD = 1 N m
X
i 1 N
N
i
第四章 平面力系简化平衡方程
第四章 平面力系的简化与平衡方程
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
工程实例：
厂房吊车梁实例：
平面任意力系：
本章任务：
（1）掌握平面任意力系向一点的简化---主矢 和主矩 （2）掌握平面任意力系的平衡条件· 平衡方程 （3）掌握物系的平衡问题（包括了解考虑摩 擦的物系平衡问题的处理）
一、平面一般力系向一点(简化中心O点)简化：
解（1）取整体为研究对 象，作受力图如图；
（2）列平衡方程， 求解未知力。 ∑X=0，XA +qL =0 XA A
1.5L
q
B
NB
L
X
∑Y=0，YA +NB
=0
YA
∑ mA（Fi）=0 1.5LNB -0.5L×qL =0
XA =-qL(←)
NB =qL/3
YA = -qL/3(↓)
[例4-4]十字交叉梁用三个链杆支座固定，如图所示。求在 水平力P的作用下各支座的约束反力。
[例4-1] 在边长为a=1m的正方形的四个顶点上，作用有 F1、 F2 、 F3 、F4等四个力，如图所示。已知F1=40N，F2=60N， F3=60N，F4=80N。试求该力系向A点简化的结果。
解：R′x=40cos45°+60cos45°+60cos60°-80sin30°=60.7N R′y=40sin45°-60sin45°-60sin60°- 80cos30°=-106.1N R′=√(R′ x)2+(R′ y)2=122.4N cos=60.7/122.4 , =60.27°
1.若R´=0，Mo=0，原力 系为平衡力系，物体处于 平衡状态。
平衡
2．若 R´=0，Mo≠0， 原力系与一力偶等效， 其力偶矩就是原力系 的 主矩。并且简化结 果与 简化中心位置无关。
理论力学第4章-平面任意力系
FAx
FAy MA
解：（1）取悬臂刚架为研究对象，受力图。
（2）列平衡方程
Fx 0
FAx F 0
Fy 0
FAy 3q 0
解之得
MA(F) 0
M A F 4 3q 1.5 0
FAx 5kN FAy 6kN M A 11 kN m（与假设相反）
4.5.2 平面平行力系的平衡方程 作用线分布在同一平面内且相互平行的力系，称为平 面平行力系。
MO (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
力对点之矩的解析式：
MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
Fr cos Fx
r cos x
Fr sin Fy
合力矢 作用线的方程。
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
（x, y） FRx
400 x + 500 y = 2726.7
O
FRy
FR
4.5 平面任意力系、平面平行力系平衡方程 4.5.1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的
主矢以及对作用面内任一点的主矩都等于零，即
r sin y
MO (F ) xFy yFx （4-4）
y
Fy
F
y
r O d
A Fx
x
x
4.2 力线平移定理
力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
[证] 力 F
力系 F, F1, F1' 力F1 力偶（F, F1'）
静力学第4章平面一般力系
第四章 平面一般力系
【本章重点内容】
力线平移定理; 平面一般力系向作用面内一点简化; 平面一般力系简化结果分析; 平面一般力系的平衡条件与平衡方程.
第四章 平面一般力系
§4-1 工程中的平面一般力系问题
§4-1 工程中的平面一般力系问题
平面一般力系 作用在物体上诸力的作用线都分布在同一平面内，既
力线向一点平移时所得 附加力偶等于原力对平 移点之矩.
力偶M′与M 平衡.
第四章 平面一般力系
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
一、平面一般力系向作用面内一点简化
rr
F1′ = F1
rr
F2′ r
...=
F2 r
Fn′ = Fn
r M1 = MO (F1)
主矩MO
∑ MO =
MO
r (F
)
=
−1m
⋅
F1
−
3m
⋅
F2
+
2m
⋅
sin
30o
⋅
F3
+
M
= −1m ×1kN - 3m ×1kN + 2m × 1 × 2kN + 4kN ⋅ m 2
= 2kN ⋅ m
§4-4 简化结果的分析 合力矩定理
合力 方向 主矩
FR′ = 3.39kN α = −36.2°
§4-3 平面一般力系向一点简化 主矢与主矩
主矩的计算
主矩的计算方法与力矩和平面力偶系的计算方法相同. 主矩的计算
平面一般力系向一点简化，得到力对简化点的力矩和.
主矩大小
∑r
MO = MO(Fi )
第四章 平面一般力系
点O的力
， ，
（平面汇交力系）
附加力偶
（平面力偶系）
分别合成 这两个力系
（原来各力的矢量和）
（原来各力对点一 个力和一个力偶。
这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量 和
作用线通过简化中心O； 这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简 化中心O的矩的代数和
方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。
平行力系的独立平衡方程的数目 只有两个，即：
或
注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。
平面一般力系平衡的必要和充分条件
平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的 矩的代数和也等于零。
平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)
（三个方程， 求解三个未知数）
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各 以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆 DC与水平线成 角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆 的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。 解：(1)取AB梁为研究对象。 (2)画受力图。 (3)列平衡方程。 (a) (b)
解: (1)当满载时，为使起重机不 绕点B翻倒。在临界情况下 。
当空载时，为使起重机不绕点 A翻倒。在临界情况下 。
(2)当平衡荷重 的反力？
时，求满载时轨道A、B给起重机轮子
解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：
解得
利用多余的不独立方程 来校验以上计算结果是否正确。
第4章：平面一般力系
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
② 求主矩：
L O
m o
F
2F cos60 2F 3F sin30 0.5
2
3
4
（2）、求合成结果：合成为
一个合力R，R的大小、方向与 R’相同。其作用线与O点的垂
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
y A
B
F3
F4 C 30° x
B
直距离为： d Lo 0.51m R
Lo
R/ R
O d
C
x
§4–3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
4、联立求解：
MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAy
NAx= 0
A
NAx
C
T
B
NAy=-19.2 kN （向下）
MA Q
§4–4 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式： Fy 0 , mOF 0
Fx 0 :
N Ax 0
Fy 0 :
N Ay Q ND 0
mAF 0 :
3 2 Q 2ND M 0
4、联立求解：
y
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
② 求主矩：
L O
m o
F
2F cos60 2F 3F sin30 0.5
2
3
4
（2）、求合成结果：合成为
一个合力R，R的大小、方向与 R’相同。其作用线与O点的垂
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
y A
B
F3
F4 C 30° x
B
直距离为： d Lo 0.51m R
Lo
R/ R
O d
C
x
§4–3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
4、联立求解：
MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAy
NAx= 0
A
NAx
C
T
B
NAy=-19.2 kN （向下）
MA Q
§4–4 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式： Fy 0 , mOF 0
Fx 0 :
N Ax 0
Fy 0 :
N Ay Q ND 0
mAF 0 :
3 2 Q 2ND M 0
4、联立求解：
y
材料力学第4章 平面任意力系
MO
M1
M
2
M
n
(2-2)
MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (F )
由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它
反映了原力系中各力的作用线相对于点O的分布情
况，称为原力系对点O的主矩。
理论力学
静力学
平面任意力系
15
平面任意力系向作用面内任意一点简化，一般 可以得到一个力和一个力偶；该力作用于简化中心， 其大小及方向等于力系的主矢，该力偶之矩等于力 系对于简化中心的主矩。
(2)
理论力学
静力学
平面任意力系
37
例题
MA(F) 0
FT AB sin 300 P AD F AE 0
(3)
由(3)解得
FT
2P 3F 4sin 300
(2 4 3 10)kN m 4m 0.5
19
kN
以
FT
之值代入式(1)、
例如，铁轨给轮 子的力等。
理论力学
静力学
平面任意力系
28
几种分布荷载：
体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部
各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压
力、雪压力等。
线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构
件的轴线分布。
理论力学
静力学
平面任意力系
29
荷载的单位
(1) 集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。
值为多少？
理论力学
静力学
工程力学理论力学第4章
Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0 恒成立 ，所以只有两个 独立方程，只能求解两个独立 的未知数。
mA (Fi ) 0 二矩式
RB
qa 2
m a
2P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
例3. 塔式起重机翻转问题
如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W，重 心在C处；最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。 求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。
b
Q
C e
W
a
P
A
B
dd
★ 物体系统的平衡问题
例5. 如图所示，水平梁由AB和BC两部分组成，它们
在B处用铰链相连。梁的A端固定在墙上，在C处受滚 动支座支持，该支座放在倾角为α =30°的光滑斜面 上。已知P=4KN，均布载荷q=2KN/m，尺寸如图。试求 A、B、C处约束反力。
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
第四章平面一般力系
雨棚
RA MA
雨棚
XA A
MA YA
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
简化结果分析
1. R 0 , MO 0
即原力系与一合力偶等效,其
MO
矩为 M=MO。故只有在此时主矩与
O
“O”的位置 无关。
2. R 0 , MO 0
即原力系与R′等效，所以称R′为原 力系的合力，且过点“O ” 。
平面 汇交 力系
R´( 过“O” 但与“O” 无关）
体转动效果的 物理量
主矢 + 主矩
意 向“O” 简化 力 系
平面 力偶 系
MO (与“O” 有关）
描述力系 对物体移 动效果的
物理量
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
固定端约束力 固定端约束 —— 物体受约束的一端既不能沿 任何方向移动，也不能转动。如深埋在地底下 的电线杆、牢固浇筑在基础上的水泥柱及车站 的雨棚等。
MO (Fi )
即：平面任意力系的主矩MO 为力系中各个力对 点“O”力矩的代数和。
很明显，一旦“O ”的位置改变，各力偶矩的 大小和转向也随之而变，因此，MO 与“O ”有关。
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
二、 主矢和主矩
r
大小：MO mO(Fi )
主矩 MO 方向：方向规定 +
合力矩定理
R 0 , MO 0
R´
MO
O
R´
= Od R
R" O'
=
R Od
O'
R R R d MO
R
合力矩定理 Rd MO (R) MO (F )
§4-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
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其中O是平面内任意一点。 三者必须同时为零才能平衡，
三个平衡条件互相独立，对于一个 研究对象可以求解三个未知力，且 方程组：两个投影方程＋一个取矩方程，称为 最多求解三个未知力。
一矩式平衡方程。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
应用平衡条件求解未知力的步骤为：
1、确定研究对象，画受力图；
2、由平衡条件建立平衡方程；
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
力系的主矢可以用解析的方法求得。
力系的主矩可以直接用力系中各力对简化
中心O之矩的代数和求出；
第 4章 平面力系的简化与平衡方程向角的正切可按力多边形规则作图求得或用解析法计算。
教材符号订正： 公式(4-3，5)F‘R 撇号
由 ∑Fy = 0 ：
FAY 4 2 20 FBY 0 FAY 28 12 16KN
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
例 3 求图示结构的支座反力。 解：取整个结构为研究对象 画受力图。 由 ∑FX = 0 ： 2 4 FXA 0
建筑力学
FXA 8KN 由 ∑M A = 0 ： 2 4 2 4FYB 0 FYB 4KN
F1 F2
A2 A1
F1
F’R M1
F3
O
A3 F3
=
F2
O
M
2
M3
=
Mo
O
M Mi
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
汇交力系F1、 F2、 F3 的合成结果为一作用在点O 的力F R 。这个 力矢FR’ 称为原平面任意力系的主矢。
F R= F1+ F2+ F3=ΣFi
右端 方程组也是平而任意力系平衡的充要条件，作为平
n
建筑力学
m
i 1 n
A
( Fi ) 0 ( Fi ) 0 0
衡的必要条件，是十分明显的。那么充分性如何呢？
力系满足条件 ΣMA=0，说明该力系不可能简化为一个力
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
例 起重机重Pl＝10 kN，可绕铅直轴AB转动；起重机的挂
钩上挂一重为P2=40 kN的重物。如图所示。起重机的重心 C到转动轴的距离为1.5m、其他尺寸如图所示。求在止推 轴承A和轴承B处的约束力。
刚结点
分析：以起重机（可看作刚架结 构）为研究对象，它所受的主动 力有P1和P2。根据对称性，约束 力和主动力都位于同一平面内。 止推轴承A处有两个约束力FAx， FAy，轴承B处只有一个与转轴垂 直的约束力FB，约束力方向如图 所示。
简化为平面任意力系来处理。如屋架，在忽略它与其他屋 架之间的联系之后，单独分离出来，可视为平面结构。
建筑力学
屋架：忽略它与其他屋架之间的联系之后， 单独分离出来，可视为平面结构。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程 §4-1 平面任意力系向一点的简化
建筑力学
主矢和主矩
力系向任意一点O 的简化 应用力的等效平移定理，将平面一般力系中的各个力 （以三个力为例）全部平行移到作用面内某一给定点O 。从 而这力系被分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系。 这种等效变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。
设想将合力FR沿作用线移
建筑力学
至K点，分解为两个分力 FRx和FRy。 力系向点A简化的主矩为 MA ，根据合力矩定理。
式中负号表明K点在坐标原点A的左侧。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
3．主矢为零，主矩不为零
各力向简化中心等效平移后，所得汇交力系是平衡力系，
原力系与附加力偶系等效。原力系简化为一合力偶，该力 偶的矩就是原力系相对于简化中心O的主矩Mo。此种情况
2．主矢、主矩均不为零
建筑力学
力系等效于一作用于简化中心o的力F’R和一力偶矩为Mo的力偶。由 力的平移定理知，一个力可以等效地变换成为一个力和一个力偶，那 么，反过来，也可将一力和一力偶等效地变换成为一个力。即，当主 矢和主矩均不为零时，可简化为一合力。合力FR与主矢F’R具有相同的 大小和方向。合力作用线不再通过简化中心o，而是位于主矢F’R的一 侧，使得合力FR对o点的矩与主矩Mo具有相同的正负号，且合力FR与主 矢F’R间的距离d可由下式确定：
由 ∑Fy = 0 ： FYA FYB 0
FYA 4KN
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
例 图示构件的A端为固定端，B端自由，求在
已知外力的作用下，固定端A的约束力。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
解: (1)取分离体，作受力图。 取构件AB为分离体，其上除作
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
几点说明： 1、 一般情况下，平面任意力系等效于一力和一力偶。
主矢一般不与原力系等效，不是原力系的合力；附加力偶系的合力偶M， 一般不与原力系等效，不是原力系的合力偶。
2、平面任意力系的主矢大小和方向与简化中心位置无关。
主矢等于各力的矢量和，由力系中各力矢量和确定，故与主矢简化中心 的选择无关。对于给定的力系，选取不同的简化中心，所得主矢相同。
F2、F3、F4等四个力。已知F1＝40N，F2＝60N，F3＝60 N， F4＝80 N。试求该力系向点A简化的结果。
解： 选坐标系。 求力系主矢F’R 。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
α,β为主矢与x和y轴正向夹角。可以用α＋β＝90进行校核。 力系相对于简化中心A的主矩计算如下，负号表明力偶为顺时针转向。
下，主矩与简化中心的位置无关，向不同点简化，所得主 矩相同。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
4．主矢与主矩均为零
这种情况下，平面任意力系是一个平衡力系。
总之，对不同的平面任意力系进行简化．综合后结果
只有三种可能：
(1) 合力； (2) 合力偶； (3) 平衡。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
比较固定端支座与固定铰链支座的约束性质可见，固定端支座除了限 制物体在水平方向和铅直方向移动外，还能限制物体在乎面内转动。 因此，除了约束力FAx，FAy外，还有矩为MA的约束力偶。而固定铰链支 座没有约束力偶，因为它不能限制物体在平面内的转动。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
§4-2
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
平面任意力系合力矩定理证明
建筑力学
由图易见， 合力FR对点O的矩为
Mo是该力系对于点O的主矩，等于力系中各力对简化中心O的矩的代数和。
任选简化中心O，上式普遍成立。由此可得出前面学过的合力矩定理。
平面任意力系的合力对作用面内任意一点的矩等于力系中各力对同一点的 矩的代数和。
建筑力学
平面任意力系简化结果的讨论
平面任意力系向简化中心o简化，一般得一力和一力偶。 可能出现的情况有四种：
1．主矢不为零，主矩为零
附加力偶系的合力偶矩为零，原力系只与一个力等效，力系简 化为一合力，此合力的矢量即为力系的主矢F’R，合力作用线恰好通 过简化中心o。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
§4-3 平面任意力系的平衡条件
平面任意力系的解析平衡条件
平衡方程
平面任意力系的一般简化结果为一个主矢 FR’和一个 主矩Mo 。当物体平衡时，主矢和主矩必须同时为零。 由主矢 FR’ = 0 ， 得： 由主矩 Mo = 0 ，得：
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
平面任意力系的主矢和主矩同时为零F’R＝0，Mo=0是平面任意力系平衡 的充要条件。 平面任意力系下的解析平衡条件为：力系中所有各力在两个任选坐标轴 中每一轴上的投影代数和分别等于零，以及各力对任意一点的矩的代数 和等于零。即必须满足下式。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
应用力向一点简化的方法分析固定端支座的约束反力。
建筑力学
固定端或插入端支座：一物体的一端完全固定在另一· 物体上，这种
约束称为～。如电线杆，外伸阳台，机加工刀具固定架，工件卡盘等。
固定端支座对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面 问题中，这些力为一平面任意力系，如图b所示。
M A 2 2 1 0 M A 4KN m
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
例 2 求图示结构的支座反力。 解：取AB 杆为研究对象画受力图。 由 ∑FX = 0 ：FAX 0
建筑力学
由 ∑MA = 0 ：
4 2 1 20 2 4FBY 0 FBY 12KN
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
建筑力学
将这群力向作用平面内的点A简化得到一个力FA和一个力
偶MA。图c。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。 可用两个未知分力来代替。因此，在平面力系情况下，固 定端A处的约束作用力可简化为两个约束力FAx，FAy和一 个矩为MA的约束力偶。
第 4章 平面力系的简化与平衡方程
用有已知主动力外，固定端约束力为FAx、FAy和约束力偶MA。 (2)列平衡方程，求解未知量。取坐标轴如图所示。
一般选取未知力交点为矩心，力求减少每一平衡方程中未知
力的数目。否则．平衡方程中的项数增多，需要求解联立方 程。因为力偶在任何轴上的投影为零，所以投影方程为
FAx＝F，FAy=2F，MA=2.5Fa
2、平面任意力系的主矩大小和转向与简化中心O 位置有关。
主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，选取不同的点作为简化中心， 各力的力臂将有改变，各力对简化中心的矩也有改变，所以，一般情况 下，主矩与简化中心的选择位置有关。对于给定的力系，选取不同的简 化中心，所得主矩一般不同。