力系的简化
合集下载
第二章 力系的简化
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +… =mO (F1)+mO (F2 )+…=∑mO (Fi )
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
任意力系的简化(基本知识点)
3、刚体的重心 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系，它们必存在合力， 刚体重力系的中心称为刚体的重心。刚体的重心在刚体内或其延拓部分占有 确定位置，该位置与刚体在空间的放置情况无关。当刚体的质量分布不均匀 时，其重心和几何中心（形心）不重合。只有均质刚体的重心才与其形心重 合。通常用分割法或负面积法（或负体积法）求组合体的重心。 4、线分布载荷的简化 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷，其大小和方向用载荷集度 表示。线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度（该术语在极限意义 下使用）上的力的大小和方向，其单位为N/m。几种常见的线分布载荷的合 力大小及其作用线位置如下：
第三章
ห้องสมุดไป่ตู้
任意力系的简化
基本知识点
1．力系的简化的定义 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。 2．力的平移定理 若将作用于刚体上的力 F平移至同一刚体上不在力 F的作用线 上的其它点 o，则必须相应增加一个附加力偶，其力偶矩M等于 原力 F 对平移点 o 的矩，才能保证原力对刚体的作用效果。这一 结论称为力的平移定理。显然M垂直于由点o与原力F的作用线所 作出的平面。 上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点 o的某个 力F1与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时，则该力和 力偶可以合成为一个力F，其力矢与原长F1相同，平移的垂直方 向为F1×M方向，平移和垂直距离为M/F1。 力的平移定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。 而其逆定理则表明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效 于一个力。力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。
第2章__力系的简化
空间汇交力系
1．力在空间直角坐标轴上的投影
二次投影法
Fx F sin cos Fy F sin sin Fx F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
F Fx Fx Fx Fx i Fy j Fz k
Fy Fx F cos , cos , cos z F F F
于原力系合力矢F R ，合力F R
通过简化中心O点。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
4、若FR 0,MO 0 此时分两种情况讨论。即：①FR MO ② FR // MO ①若 FR MO时
与FR 抵消只剩下 FR 。 可进一步简化，将MO变成 FR, FR 使FR d) ( MO FR
2
xC
Ay A
i i
i
4000 100 4000 100 4000 10 70mm 4000 4000 4000
负面积法，将平面薄板看成矩形板ABCD （S4），挖去矩形板EFHG（S5）
A4 48000 mm , xC 4 100mm
2
A5 36000 mm , xC 5 110mm
求三角形荷载合力的大 小和作用线的位置 （1）求合力的大小 q( x) x q, dF q( x)dx l
FR dF q( x)dx
0 0 l l
q 1 x dx ql 0 l 2
l
（2）求合力作用线的位置
由合力矩定理
所以 ：
1 2 ql 2 h 3 l FR 3
B
3L
3L
X
2L 4L
A
Y
A
M
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
力系简化及平衡
h
*
再以AC部分为研究对象
l/8
' FC y
再以BC部分为研究对象 或
FCx
FCy
C
l/8
C
h A
P
l/2
P
B
FAx
FAy
l/2
FBx
FBy
M C (F ) 0 ,
l 3 FAy FAx h P l 0 2 8 FAx 120 kN
M C (F ) 0 ,
F
A F
B
A
B
F’ A
MB
rBA
F’
A
力的平 移定理
F
B F”
B
{F}A {F' , MB }B , F' F, MB rBA F
§3-1-2 一般力系向一点的简化 1）力向简化中心平移——得到一汇交力 系和一汇交力偶系
Fn An A2 o A1 F2
Mn
Fn'
MA
FAx A
FAy
§3-1-3力系简化的最终结果
力系向一点简化后，常见的结果有如 下几种情况：
1） FR 0, M O 0 原力系与一个力等效——合力过简化中心。
2）FR 0, M O 0 原力系与一个力偶等效——合力偶 力 偶 系 等 效 于 合 力 偶
Fn
' F1
O
' Fn
' F2
MR
O
F2
F1
这种情况下，简化结果与简化中心的位置 无关——力偶是自由矢量。
3）FR
0, M O 0
原力系可简化为：
（1）当力与力偶矩相互垂直——最终结果 为一合力； （2）当力与力偶矩相互平行——力螺旋。
力系的简化
平行力系中心C的坐标公式：
xC = yC zC
∑Fx ∑F =∑Fy ∑F =∑Fz ∑F
i i i i i i i i
i
C的位置与e的方向无关。
主矢不等于零的平行力系中各力绕其各 自的作用点同时转过一个相同的角度时， 平行力系中心的位置不变。 ● 平行分布载荷
平行分布载荷是指平行分布的表面力或体积 力，通常是一个连续分布的同向平行力系，在 工程中极为常见。
理论力学
欢迎光临!
理论力学
力系的简化
2 力系的简化
寻求一个已知力系的更简单的等效力系，称 为力系的简化(reduction of force systems)。 力系的简化是静力学研究的基本问题之一。 本章的主要内容包括: 汇交力系与力偶系的简化 空间任意力系的简化 平行力系的简化 平行力系中心和重心
(1) F'R⊥MO 合力 FR = ΣFi
合力作用线不通过简化中心O MO F'R O O A FR
FR= F'R , MO(FR) = MO
(2) F'R ⁄⁄ MO
力螺旋
(F'R , MO)
中心轴通过简化中心O
MO
O F'R 右手力螺旋 左手力螺旋
力螺旋的实例
(3) F'R 与 MO成任意角 力螺旋 (FR , MO2)
合力FR的作用点C称为平行力系中心(center of parallel forces)，下面我们要来确定它的位置。
■ 平行力系中心
由合力矩定理可知， 力系相对于C的主矩
MC = ∑MC (Fi ) = ∑riC × Fi = 0
e Fi riC ri rC O C的位置与e 的方向无关。 C FR
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第二章 力系的简化
条件： A、B、C是平面内 不共线的任意三点
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程：
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中，对汇交点建立力矩方程恒为零，所以， 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是：
Fx 0 F y 0
几何条件：
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影： F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件：
汇交力系平衡的充分必要条件是：力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭，或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知：
任取直角坐标系，则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式，得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件： 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
工程力学力系的简化
平面汇交力系的简化
利用矢量合成的方法可以将这 一力系合成为一通过O点的合 FR 力，即为力系的主矢
n
F R＝ F i i1
其解析表达式是什么？
注意：主矢与合力是两个不同的概念，主矢只有 大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可在任 意点画出；而合力有三要素，除了大小和方向之 外，还必须指明其作用点。
力系等效定理: 两个力系对刚体运动效应相等的条件是主矢相等
和对同一点的主矩相等。
FP
FP'
FP
FP´
对于运动效应二者等效
FP
FP'
对于运动效应二者依然等效
FP
FP´
对于变形效应二者不等效
注意: 力系的等效在此仅指运动效应等效
FB
MC
MD
力系1
FA
FC
力系2
ME
※怎样判断上述两个不同复杂力系是否等效，即如何 判断不同力系的运动效应是否相同？
汇交力系合成
合成—几何法
力多边形法则
合成—解析法
F R F 1 F 2 F n F i
而 FRx Fix FRy Fiy
FRz Fiz
合力的大小和方向余弦分别为
FR(Fix)2(Fiy)2(Fiz)2
coFR s,i() F F Rix coFR s,j() F F Riy
coFR s,k() F F Riz
简化的目的 简化的方法
将每个力向简化中心平移 如图将力F1向O点作力线平移
Fn
F2
M1
Fn
M1
F2
FF1 1
F1
F3
Mn
M2
注意其与平面
n
M力1 偶系主矩计
第2章 力系的简化
16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和F F R ∑=或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即R R R 111,,nnnx xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和：∑==ni i1MM合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：∑∑∑======ni ziz ni yi y ni xi x MM MM MM 111,,或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑=平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：i M M ∑=2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。
该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。
其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。
用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。
kj i F z y x F F F ∑+∑+∑=R17力系向一点简化·主矢和主矩力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。
力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。
即F F ∑='R主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。
即)(F O O M M ∑=主矩与简化中心位置有关。
力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。
它们的解析表达式分别为R1111()nni i i i n nO i O i i i ====⎫''==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。
第三章力系的简化
M O M O ( Fi )
力系若有合力，力系合力对任意轴的 矩等于力系各力对同一轴的矩的矢量和；
M x M x ( Fi )
7. 空间任意力系简化为力螺旋
简化后，若FR0，MO0，且FR与MO平行， 此时无法进一步简化。 这样力与力偶作用面垂直的情况称为力螺旋。
FR与MO同向，称右手螺旋；
4.平面任意力系的简化
1) 平面任意力系向一点简化 平面任意力系
力线平移
平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系+平面力偶系
合成
平面汇交力系合力FR
平面力偶系合力偶MO
简化点O任选，称简化中心 简化后平面汇交力系的合力FR，有：
简化后平面力偶系的合力偶MO，有：
平面任意力系向作用面内一点简化后得到一个 力和一个力偶，该力的主矢等于原力系的主矢，该 力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 简化后有以下几种情况： 1） 若FR=0，MO0，则力系合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。这种情 况下，主矩与简化中心的位置无关； 2） 若FR0，MO=0，则力系合成为一个合力， 主矢FR与原力系主矢FR相等。主矢FR通过简化 中心。合力与简化中心的位置有关，换一个简化 中心，则MO不为零。
3）结论
任意平面汇交力系：
可以简化为一合力，合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几 何和），合力的作用线通过汇交点。 用矢量表示：
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的 合力等于零。
几何法求解平面汇交力系，一般适合三个 力汇交的情况
例：如图，为汽车制动机 构的一部分。驾驶员蹬踩 力F=212N，方向与水平 面夹角α=45º。平衡时， DA垂直，BC水平，求拉 杆BC所受的力。已知， EA=24cm，DE=6cm，点 在上，机构不计自重，C、 B、D均为光滑铰链。
第二章 力系的简化
【例3-2】 如图3-8(a)所示，在柱子的A点受有吊车梁传来的集中 】 力 F = 100kN。求将这力 F 平移到柱轴上O点时所应附加的力偶矩
M ，其中e=0.4m。
【解】 根据力的平移定理，力 F 由A点平移到O点，必须附加一力偶，
M = M B ( F ) = − F × e = −100kN × 0.4m = −40kN ⋅ m
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力 FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 F = F A B 由平衡条件 ∑ M i = 0 ，得： i =1
n
FB × d − M = 0
FB × (4m × sin 30o ) − 20kN ⋅ m = 0
平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如 平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外， 下两种形式 。 二力矩式： 二力矩式：∑FX=0 ∑MA=0 条件： 连线不能垂直于X 条件：A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式： 三力矩式： ∑MA=0 ∑MB=0 条件：A、B、C不能在一条直线上 条件： ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，平 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以， 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
）、平面任意力系平衡的情形 （3）、平面任意力系平衡的情形 ）、 R′=0 ，M0′=0 则原力系是平衡力系， 则原力系是平衡力系，这种情形将在下一节中讨论
情况 向O点简化的结果 主矢R 主矩M 分类 主矢R′ 主矩MO 1 2 3 4 R′=0 R'=0 R′≠0 ′ R′≠0 ≠ MO=0 MO≠0 MO=0 MO≠0
第三章 力系的简化
FRx i + FRy j = Fix i + Fiy j
Fix i + Fiy j
（3-9）
FRx i + FRy j = Fix i + Fiy j Fix i + Fiy j
比较（3-9）式等式两端单位矢量i、j前面的系数， 可得
性质二： 力偶中的两力对力偶作用平面内任意点之矩 的和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。
这一性质是力偶与力对点之矩的主要区别。
性质三 ： 力偶矩是力偶对刚体作用效应的唯一度量，因 而在同一平面内的两力偶等效的必要与充分条件是 这两力偶矩相等，称为力偶等效性质。
由力偶的这一性质，可得出如下推论： 1）只要力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意 移动和转动，或者从一个平面平移到另一个平行的 平面中去，而不改变它对刚体的效应；
Fn
x
å
Fi
j
（3-6）
o
图3-7
建立直角坐标系并取单位矢量，则（3-6）式右 端分力的解析表达式为：
Fi = Fix i +Fiy j
(i =1,2,L , n)
（3-7）
而（3-6）式左端合力的解析表达式为：
FR = FRx i + FRy j
将（3-7）和（3-8）代入（3-6）中得
（3-8）
4）力偶对物体的转动效应取决于： ① 力偶的大小； ②在力偶作用面内力偶的转向。 因此，平面力系中可用一个代数量表示力偶的 转动效应。
5）力偶矩 在平面力系中，可以用力偶中的一个力的大小与 力偶臂的长度的乘积，并冠以适当的正负号后所得 的代数量，来表示力偶的转动效应，称为力偶矩。 用符号 m(F , F ) 表示。
第二章力系的简化理论
M
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
工程力学-力系的简化
A xC
q(x)
xB
FR q(x)dx
Bx
xA
合力作用线：
xB
q(x)xdx
x xA
C
xB
对面分布载荷，积分元改为dA
q(x)dx
xA
32
工程上常见的分布载荷：
qF
xC
l
F
xC l
q1
F
xC l
（1）均布载荷q(x)=q=常数
F=ql , xC=l/2 （2）三角形载荷
F=ql /2 , xC=2l/3
FRx FRy FRz
(力的作用线)方程: x xB y yB z zB
B(xB , yB , zB )
为合力的作用点 15
小结 力系简化的步骤：
（1）任选矩心O，求出力系 的主矢和主矩。
FR Fi MO MO (Fi )
若主矢和主矩全为零
平衡力系(零力系)
若主矢和主矩不全为零，则进一步计算(2)：
FRO
原一般力系简化为一个作用于O点的合力 FR
——最简力系
9
4.
FR 0, MO
MO 0,
FR
FR MO 0
即 FR MO
MO
FR
O
O
原力系简化为过O点的合力
FR
及合力偶，且 FR MO
B (xB,yB,zB) 合力作用线
——不是最简力系
根于据B点力的的合平力移逆FB定 理FR，，二B者点可位进置一为步简OB化为F一R F个R2M 作O 用
简化后的合力作用点B的位置为
OB
F1 M
F12
即将即F1力O平B行于F1其,O作B用线M移, 动OBO距B 离 成MF1为F
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
力系的简化
j
k
MC(F) a·Sinθ a·CosθCosα a·Sinα =- a·CosθCosαi+FaSin θj
=
0
0
0
令CB=b 则CB =bSinαj + bSinαk
e CB CB
b sin j
sin j cos k
b2 sin 2 b2 cos2
故MC(F)在AB轴上得投影
MAB(F)=MC(F )eCB=FaSinαSinθ
三. 力系向一点的简化
（一）. 空间汇交力系的简化（将其简化为一合力）
力的作用线在空间任意分布的力系成为空间任 意力系。各力作用线汇于一点的空间力系，成为空 间汇交力系。
空间汇交力系的合理等于各分力的矢量和（满足 平行四边形法则），合力作用线通过汇交点，即
FR=F1+F2+…… 又由于+FFni=xii+yij+zik
合力偶对各坐标轴得方向余弦：
cos(M,i)= Mx 0.6786 M cos(M,i)= M z 0.2811 M cos(M,i)= M z 0.6786 M
(三). 空间任意力系得简化
FacSinSin
a2 b2
例2.2 作用于手柄上的力F=100N,求①力F 对x轴的
矩 ②力F 对原点o的矩.
解:画出r , r =0.1i+0.4k
又有
z y
o
F = 100(Sin60°cos45°i+Sin60°sin45°j
-cos60°k)
x
100
2i 4
2 4
j
3k 4
0.4m
第二章 力系的简化
右手定则：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影
n
n
n
FR ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
i 1
i 1
i 1
Fx i Fy j Fz k
Z
MO Fz
FR
Mz
Fx M x O
Fy
My
MO Mxi M y j Mzk
Y
X
空间力系向一点简化的意义
1、 FR 0; M O 0
力系平衡
平衡条件对O 点成立，则对任意点成立。
首先，力系第一不变量，FR 0 对任意点成立；其次，主矢对任意两定点 之矩的关系
MO M A OA FR
于是
MA 0
其中 FR 0; M O 0
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 可以证明上述结果与简化中心无关
O
Fi
ri r2
ri
r2 r1
r1
C
rC FR
F2 F1
证明：如图，依条件有
FR Fi 0 MC ri Fi 0
ri rC ri
力系对O点之矩
Fi
ri r2
ri
r2
r1
r1
C
O
rC
FR
MO ri Fi (ri rC ) Fi
边长为d的正方形作用五个力，方向如图 已知 S1 S2 S3 S ， S4 S5 2S 求：力系的最简形式
z
S4
S1
O
d
x
S5
S3
y
S2
解：将各力向坐标轴上分解，有
z
S1 Sk S2 Si S3 Sk
S4
2( 2
2Sj
2Sk) S( j k)
S5
其中
Mi ODi Fi
——力偶矩
根据力系和力偶系的合成，最终的简化结果为过O点的一个力Fo
以及一个力偶
n
FO Fi FR i 1
力系的主矢
n
M O mO (Fi ) i 1
力系对O点的主矩
空间力系向任一点的简化
主矢和主矩的性质
力系对两个定点（简化中心）O 和A的主矢和主矩的关系
M
O
或，由于
M
O
pFR
O
M
O
B(xB , yB , zB )
以及
MO
MO
M
O
M
O
OP FR
于是
M
O
MO
OP FR
pFR
即有
FRx
FRy
FRz
1
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz ) M Oz (xFRy yFRx ) p
MO M1 M2 M3 M4 M5 Sd (i j k)
FR Sk 0
FR • MO S 2d 0
MO Sd (i j k) 0
FR MO Sd (i j) 0 FR • MO S 2d 0
右手力螺旋
z FR
S5
根据 MO M A OA FR
MO MA
FR 0
3、 FR 0; M O 0 力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
思考: 是否与简化中心O有关?
4、 FR 0; M O 0
分三种情况讨论
（1） FR 0; MO 0且FR MO (即第二不变量FR • M O 0)
主矢 FR Fi
主矩 MO mO (Fi )
对平面力系,恒有： FR M O
即 FR • MO 0
因此，平面力系不可能简化成一个力螺旋
平面力系的简化结果分析
（1）主矢等于零，主矩等于零。——力系平衡
FR Fi 0
MO mO (Fi ) 0
力系平衡——与简化中心无关
FR
• FR
F2 R
FR • OB 0
所以
OB
FR MO FR2
合力作用线方程
设作用线矢量l ，FR 作用点坐标 (xB , yB , zB ) ，P(x,y.z)为作用线上任意点
则作用线方程为
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
简化为一个合力
作用线方程
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
（2） FR • MO 0
（a） FR MO 0
中心线过简化中心O的力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
(ri Fi ) rC Fi rC FR
F2 F1
注意: (ri Fi ) MC 0
特殊力系的简化
一、平面力系的简化
各力作用线处于同一个平面内的力系，称为平面力系。
平面力系的简化，通常选取简化中心在力作用平面内。简化结果 取决于简化中心的选取，一般简化形式为
FR
M O
力螺旋参数
p FR • MO S 2d d
FR2
S2
M O
S4
MO
S1
O
M O
d
力螺旋中心轴方程
S3
-d
FRx
FRy
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz )
y
FRz
1
S2
M Oz (xFRy yFRx ) p
FR
MO
O
FR
MO O
力螺旋参数p 令 M O pFR
则 当
p M O • FR F2
R
——力螺旋参数（数量，量纲为长度）
MO // FR (MO FR 0)
时
p MO FR
力螺旋中心轴 设 P(x, y, z) 是主矢作用线上任意点
中心轴方程
Fx Fy Fz
x
y
FRx FRy FRz c x xB y yB z zB
（2）FR 0; MO 0且FR • MO 0 力系第二不变量不等于零
又分两种情况：
（a） FR MO 0
主矢与主矩平行 力系简化最简形式之一——称为力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
右手力螺旋： FR • MO 0
1、固定端约束的约束反力
Z
Z
MO O
X
FR
Mz Fz M
Mx
Y
Fx
X
y Fy Y
一般力系的最简形式分析
空间一般力系向定点O 简化，得到一个力和一个力偶。其中， 力的作用线过简化中心O ，大小和方向与力系的主矢FR相同；力 偶的力偶矩与力系对简化中心O 的主矩Mo相同。
力系简化最简形式分成以下情况：
O
F A
F F' O
rOA
F A
M F
O
A
M rOA F
力系平移定理的逆过程成立
M F
O
M F
Od F
F
B
O F
B
平移距离 d M F
平移方向 OB F M
F2
一般力系向一定点的简化
一个一般力系由作用于刚体上Di 点的力Fi （i =1，2，… n）组成。 O为刚体上任意确定点。根据力的平移定理和力的可传递性，将力 系中各力向O点平移，得到一个汇交于O的汇交力系Fi ，和一个力 偶系Mi 。
力系简化结果总结
1、 FR 0; M O 0 力系平衡
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo
3、 FR 0; M O 0 4、 FR 0; M O 0
力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
（1） FR • MO 0
F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构 成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
F1
O
3m
F4 C 30° x
2m
解： 求向O点简化结果 1.求主矢 FR 。
y
F2
A 60°
F1
FR
O
3m
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
力系的简化
一个力系对刚体的作用效果，可以用另一个力系 等效。这个过程, 称为力系的简化。
力系的简化在静力学分析中，对于研究作用于刚体上 力系的平衡条件有重要的意义。
本章内容包括： 力系的平移定理——力系可以简化的基础； 力系向一点简化结果； *简化结果分析； 特殊力系的简化。
力的平移定理
将作用于刚体上的力F 平移（大小、方向不变）至同一刚体 上且不在力F作用线上的其他点而保证F作用效果不变，则必须 增加一个附加力偶。其力偶矩 M 等于原力F对平移点之矩。
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
MO
FR
l