力系的简化
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F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构 成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。
y
F2
A 60°
B
F3
F1
O
3m
F4 C 30° x
2m
解： 求向O点简化结果 1.求主矢 FR 。
y
F2
A 60°
F1
FR
O
3m
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
简化为一个合力
作用线方程
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
（2） FR • MO 0
（a） FR MO 0
中心线过简化中心O的力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
(ri Fi ) rC Fi rC FR
F2 F1
注意: (ri Fi ) MC 0
特殊力系的简化
一、平面力系的简化
各力作用线处于同一个平面内的力系，称为平面力系。
平面力系的简化，通常选取简化中心在力作用平面内。简化结果 取决于简化中心的选取，一般简化形式为
1、 FR 0; M O 0
力系平衡
平衡条件对O 点成立，则对任意点成立。
首先，力系第一不变量，FR 0 对任意点成立；其次，主矢对任意两定点 之矩的关系
MO M A OA FR
于是
MA 0
其中 FR 0; M O 0
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 可以证明上述结果与简化中心无关
FRx FRy FRz c x xB y yB z zB
（2）FR 0; MO 0且FR • MO 0 力系第二不变量不等于零
又分两种情况：
（a） FR MO 0
主矢与主矩平行 力系简化最简形式之一——称为力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
右手力螺旋： FR • MO 0
O
F A
F F' O
rOA
F A
M F
O
A
M rOA F
力系平移定理的逆过程成立
M F
O
M F
Od F
F
B
O F
B
平移距离 d M F
平移方向 OB F M
F2
一般力系向一定点的简化
一个一般力系由作用于刚体上Di 点的力Fi （i =1，2，… n）组成。 O为刚体上任意确定点。根据力的平移定理和力的可传递性，将力 系中各力向O点平移，得到一个汇交于O的汇交力系Fi ，和一个力 偶系Mi 。
（2）主矢等于零，主矩不等于零。——力系与一个力偶等效
FR Fi 0
MO mO (Fi ) m
——与简化中心无关
（3）主矢不等于零，主矩等于零。——力系与一个合力等效
FR Fi F
MO mO (Fi ) 0
——与简化中心有关
例： 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：
主矢
FO FA
——力系第一不变量
力系的主矢与简化中心无关
n
M O mO (Fi ) i 1
n
M A m A (Fi ) i 1
力系对O点的主矩 力系对A点的主矩
MO M A OA FR
——力的平移定理
对两定点（O、A）之主矩的的性质
MO M A OA FR
力系的简化
一个力系对刚体的作用效果，可以用另一个力系 等效。这个过程, 称为力系的简化。
力系的简化在静力学分析中，对于研究作用于刚体上 力系的平衡条件有重要的意义。
本章内容包括： 力系的平移定理——力系可以简化的基础； 力系向一点简化结果； *简化结果分析； 特殊力系的简化。
力的平移定理
将作用于刚体上的力F 平移（大小、方向不变）至同一刚体 上且不在力F作用线上的其他点而保证F作用效果不变，则必须 增加一个附加力偶。其力偶矩 M 等于原力F对平移点之矩。
z
FR
MO O
P(x, y, z)
（b） FR 0; MO 0 且 FR • MO 0 主矢与主矩即不平行，也不垂直
FR MO 0
MO
M
O
FR FR
M
O
O
M
O
B
将MO 沿FR和FR垂直方向投影，得 分量M'O 和 M''O
其中
M
O
和
FR
可以向
OB
FR
M
O
等式两边点乘FR ，得
FR • MO FR • M A FR • (OA FR )
注意矢量运算关系 a • (b c) b • (c a)
所以
FR • (OA FR ) OA• (FR FR ) 0
FR • MO FR • M A
主矢对两定点之主矩的点积相等
又可以写成 FR • M C ——力系第二不变量
O
Fi
ri r2
ri
r2 r1
r1
C
rC FR
F2 F1
证明：如图，依条件有
FR Fi 0 MC ri Fi 0
ri rC ri
力系对O点之矩
Fi
ri r2
ri
r2
r1
r1
C
O
rC
FR
MO ri Fi (ri rC ) Fi
边长为d的正方形作用五个力，方向如图 已知 S1 S2 S3 S ， S4 S5 2S 求：力系的最简形式
z
S4
S1
O
d
x
S5
S3
y
S2
解：将各力向坐标轴上分解，有
z
S1 Sk S2 Si S3 Sk
S4
2( 2
2Sj
2Sk) S( j k)
S5
1、固定端约束的约束反力
Z
Z
MO O
X
FR
Mz Fz M
Mx
Y
Fx
X
y Fy Y
一般力系的最简形式分析
空间一般力系向定点O 简化，得到一个力和一个力偶。其中， 力的作用线过简化中心O ，大小和方向与力系的主矢FR相同；力 偶的力偶矩与力系对简化中心O 的主矩Mo相同。
力系简化最简形式分成以下情况：
主矢 FR Fi
主矩 MO mO (Fi )
对平面力系,恒有： FR M O
即 FR • MO 0
因此，平面力系不可能简化成一个力螺旋
平面力系的简化结果分析
（1）主矢等于零，主矩等于零。——力系平衡
FR Fi 0
MO mO (Fi ) 0
力系平衡——与简化中心无关
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
MO
FR
l
FR
O
B(xB , yB , zB ) P(x, y, z)
证明： l (x xB )i ( y yB ) j (z zB )k
FR c l
Fx i Fy j Fz k c [( x xB )i ( y yB ) j (z zB )k]
MO M1 M2 M3 M4 M5 Sd (i j k)
FR Sk 0
FR • MO S 2d 0
MO Sd (i j k) 0
FR MO Sd (i j) 0 FR • MO S 2d 0
右手力螺旋
z FR
S5
FR
MO
F2 R
F2 R
方向平移，简化为一个过B的主矢 FR
并且 FR FR
FR 进一步与
M
O
组成一个力螺旋
该力螺旋中心轴方程（相对于O点建立坐标系，P（x，y，z） 是中心轴上的一点）。
M
O
MO
FR
P（x，y，z）
FR
FRx FRy FRz x xB y yB z zB
FR
MO
O
FR
MO O
力螺旋参数p 令 M O pFR
则 当
p M O • FR F2
R
——力螺旋参数（数量，量纲为长度）
MO // FR (MO FR 0)
时
p MO FR
力螺旋中心轴 设 P(x, y, z) 是主矢作用线上任意点
中心轴方程
Fx Fy Fz
x
y
2( 2
2Si
2Sj) S(i j)
S4
S1
O
合力 FR S1 S2 S3 S4 S5
d
S5
S3
y
S2
x
FR Sk Si Sk Sj Sk Si Sj Sk
各力对O点之矩 M1 Sdj M2 Sdk M3 Sdi
对O点之主矩 M4 Sdi Sdj Sdk M5 Sdi Sdj Sdk
力系简化结果总结
1、 FR 0; M O 0 力系平衡
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo
3、 FR 0; M O 0 4、 FR 0; M O 0
力系与一Fra Baidu bibliotek力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
（1） FR • MO 0
FR
M O
力螺旋参数
p FR • MO S 2d d
FR2
S2
M O
S4
MO
S1
O
M O
d
力螺旋中心轴方程
S3
-d
FRx
FRy
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz )
y
FRz
1
S2
M Oz (xFRy yFRx ) p
根据 MO M A OA FR
MO MA
FR 0
3、 FR 0; M O 0 力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
思考: 是否与简化中心O有关?
4、 FR 0; M O 0
分三种情况讨论
（1） FR 0; MO 0且FR MO (即第二不变量FR • M O 0)
MO O
这时，可以进一步向 FR MO OB 方向平移，
FR
简化为作用线过B的一个合力，其大小和方向与主
FR 矢FR 相同。
OB 的确定: 方向:由 FR MO 确定
B
大小: 由于 MO OB FR
FR MO FR (OB FR ) (FR • FR )OB (FR • OB)FR
d
x
0
0
S
1
Sd ( yS z0) Sd (z0 xS ) Sd (x0 y0) d
y d x d
一般力系的合力矩定理
设一个一般力系可以简化为一个合力FR ，其作用线通过C点， 则该力系每一个分力对空间任意定点O的力矩和等于合力对O点 之力矩。
rC FR ri Fi
右手力螺旋： FR • MO 0
中心轴方程
Fx Fy Fz
x
y
z
（b） FR M O 0 FR • MO 0
中心轴过B点的力螺旋
中心轴方程
FRx FRy FRz x xB y yB z zB
或
FRx
FRy
FRz
1
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz ) M Oz (xFRy yFRx ) p
M
O
或，由于
M
O
pFR
O
M
O
B(xB , yB , zB )
以及
MO
MO
M
O
M
O
OP FR
于是
M
O
MO
OP FR
pFR
即有
FRx
FRy
FRz
1
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz ) M Oz (xFRy yFRx ) p
力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影
n
n
n
FR ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
i 1
i 1
i 1
Fx i Fy j Fz k
Z
MO Fz
FR
Mz
Fx M x O
Fy
My
MO Mxi M y j Mzk
Y
X
空间力系向一点简化的意义
FR
• FR
F2 R
FR • OB 0
所以
OB
FR MO FR2
合力作用线方程
设作用线矢量l ，FR 作用点坐标 (xB , yB , zB ) ，P(x,y.z)为作用线上任意点
则作用线方程为
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
其中
Mi ODi Fi
——力偶矩
根据力系和力偶系的合成，最终的简化结果为过O点的一个力Fo
以及一个力偶
n
FO Fi FR i 1
力系的主矢
n
M O mO (Fi ) i 1
力系对O点的主矩
空间力系向任一点的简化
主矢和主矩的性质
力系对两个定点（简化中心）O 和A的主矢和主矩的关系
y
F2
A 60°
B
F3
F1
O
3m
F4 C 30° x
2m
解： 求向O点简化结果 1.求主矢 FR 。
y
F2
A 60°
F1
FR
O
3m
FRx Fx
B
F3
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
简化为一个合力
作用线方程
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
（2） FR • MO 0
（a） FR MO 0
中心线过简化中心O的力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
(ri Fi ) rC Fi rC FR
F2 F1
注意: (ri Fi ) MC 0
特殊力系的简化
一、平面力系的简化
各力作用线处于同一个平面内的力系，称为平面力系。
平面力系的简化，通常选取简化中心在力作用平面内。简化结果 取决于简化中心的选取，一般简化形式为
1、 FR 0; M O 0
力系平衡
平衡条件对O 点成立，则对任意点成立。
首先，力系第一不变量，FR 0 对任意点成立；其次，主矢对任意两定点 之矩的关系
MO M A OA FR
于是
MA 0
其中 FR 0; M O 0
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 可以证明上述结果与简化中心无关
FRx FRy FRz c x xB y yB z zB
（2）FR 0; MO 0且FR • MO 0 力系第二不变量不等于零
又分两种情况：
（a） FR MO 0
主矢与主矩平行 力系简化最简形式之一——称为力螺旋
左手力螺旋： FR • MO 0
右手力螺旋： FR • MO 0
O
F A
F F' O
rOA
F A
M F
O
A
M rOA F
力系平移定理的逆过程成立
M F
O
M F
Od F
F
B
O F
B
平移距离 d M F
平移方向 OB F M
F2
一般力系向一定点的简化
一个一般力系由作用于刚体上Di 点的力Fi （i =1，2，… n）组成。 O为刚体上任意确定点。根据力的平移定理和力的可传递性，将力 系中各力向O点平移，得到一个汇交于O的汇交力系Fi ，和一个力 偶系Mi 。
（2）主矢等于零，主矩不等于零。——力系与一个力偶等效
FR Fi 0
MO mO (Fi ) m
——与简化中心无关
（3）主矢不等于零，主矩等于零。——力系与一个合力等效
FR Fi F
MO mO (Fi ) 0
——与简化中心有关
例： 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：
主矢
FO FA
——力系第一不变量
力系的主矢与简化中心无关
n
M O mO (Fi ) i 1
n
M A m A (Fi ) i 1
力系对O点的主矩 力系对A点的主矩
MO M A OA FR
——力的平移定理
对两定点（O、A）之主矩的的性质
MO M A OA FR
力系的简化
一个力系对刚体的作用效果，可以用另一个力系 等效。这个过程, 称为力系的简化。
力系的简化在静力学分析中，对于研究作用于刚体上 力系的平衡条件有重要的意义。
本章内容包括： 力系的平移定理——力系可以简化的基础； 力系向一点简化结果； *简化结果分析； 特殊力系的简化。
力的平移定理
将作用于刚体上的力F 平移（大小、方向不变）至同一刚体 上且不在力F作用线上的其他点而保证F作用效果不变，则必须 增加一个附加力偶。其力偶矩 M 等于原力F对平移点之矩。
z
FR
MO O
P(x, y, z)
（b） FR 0; MO 0 且 FR • MO 0 主矢与主矩即不平行，也不垂直
FR MO 0
MO
M
O
FR FR
M
O
O
M
O
B
将MO 沿FR和FR垂直方向投影，得 分量M'O 和 M''O
其中
M
O
和
FR
可以向
OB
FR
M
O
等式两边点乘FR ，得
FR • MO FR • M A FR • (OA FR )
注意矢量运算关系 a • (b c) b • (c a)
所以
FR • (OA FR ) OA• (FR FR ) 0
FR • MO FR • M A
主矢对两定点之主矩的点积相等
又可以写成 FR • M C ——力系第二不变量
O
Fi
ri r2
ri
r2 r1
r1
C
rC FR
F2 F1
证明：如图，依条件有
FR Fi 0 MC ri Fi 0
ri rC ri
力系对O点之矩
Fi
ri r2
ri
r2
r1
r1
C
O
rC
FR
MO ri Fi (ri rC ) Fi
边长为d的正方形作用五个力，方向如图 已知 S1 S2 S3 S ， S4 S5 2S 求：力系的最简形式
z
S4
S1
O
d
x
S5
S3
y
S2
解：将各力向坐标轴上分解，有
z
S1 Sk S2 Si S3 Sk
S4
2( 2
2Sj
2Sk) S( j k)
S5
1、固定端约束的约束反力
Z
Z
MO O
X
FR
Mz Fz M
Mx
Y
Fx
X
y Fy Y
一般力系的最简形式分析
空间一般力系向定点O 简化，得到一个力和一个力偶。其中， 力的作用线过简化中心O ，大小和方向与力系的主矢FR相同；力 偶的力偶矩与力系对简化中心O 的主矩Mo相同。
力系简化最简形式分成以下情况：
主矢 FR Fi
主矩 MO mO (Fi )
对平面力系,恒有： FR M O
即 FR • MO 0
因此，平面力系不可能简化成一个力螺旋
平面力系的简化结果分析
（1）主矢等于零，主矩等于零。——力系平衡
FR Fi 0
MO mO (Fi ) 0
力系平衡——与简化中心无关
yFRx zFRy zFRx xFRz xFRy yFRx
MO
FR
l
FR
O
B(xB , yB , zB ) P(x, y, z)
证明： l (x xB )i ( y yB ) j (z zB )k
FR c l
Fx i Fy j Fz k c [( x xB )i ( y yB ) j (z zB )k]
MO M1 M2 M3 M4 M5 Sd (i j k)
FR Sk 0
FR • MO S 2d 0
MO Sd (i j k) 0
FR MO Sd (i j) 0 FR • MO S 2d 0
右手力螺旋
z FR
S5
FR
MO
F2 R
F2 R
方向平移，简化为一个过B的主矢 FR
并且 FR FR
FR 进一步与
M
O
组成一个力螺旋
该力螺旋中心轴方程（相对于O点建立坐标系，P（x，y，z） 是中心轴上的一点）。
M
O
MO
FR
P（x，y，z）
FR
FRx FRy FRz x xB y yB z zB
FR
MO
O
FR
MO O
力螺旋参数p 令 M O pFR
则 当
p M O • FR F2
R
——力螺旋参数（数量，量纲为长度）
MO // FR (MO FR 0)
时
p MO FR
力螺旋中心轴 设 P(x, y, z) 是主矢作用线上任意点
中心轴方程
Fx Fy Fz
x
y
2( 2
2Si
2Sj) S(i j)
S4
S1
O
合力 FR S1 S2 S3 S4 S5
d
S5
S3
y
S2
x
FR Sk Si Sk Sj Sk Si Sj Sk
各力对O点之矩 M1 Sdj M2 Sdk M3 Sdi
对O点之主矩 M4 Sdi Sdj Sdk M5 Sdi Sdj Sdk
力系简化结果总结
1、 FR 0; M O 0 力系平衡
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo
3、 FR 0; M O 0 4、 FR 0; M O 0
力系与一Fra Baidu bibliotek力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
（1） FR • MO 0
FR
M O
力螺旋参数
p FR • MO S 2d d
FR2
S2
M O
S4
MO
S1
O
M O
d
力螺旋中心轴方程
S3
-d
FRx
FRy
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz )
y
FRz
1
S2
M Oz (xFRy yFRx ) p
根据 MO M A OA FR
MO MA
FR 0
3、 FR 0; M O 0 力系与一个力等效：该力过简化中心O， 大小、方向与力系的主矢相同。
思考: 是否与简化中心O有关?
4、 FR 0; M O 0
分三种情况讨论
（1） FR 0; MO 0且FR MO (即第二不变量FR • M O 0)
MO O
这时，可以进一步向 FR MO OB 方向平移，
FR
简化为作用线过B的一个合力，其大小和方向与主
FR 矢FR 相同。
OB 的确定: 方向:由 FR MO 确定
B
大小: 由于 MO OB FR
FR MO FR (OB FR ) (FR • FR )OB (FR • OB)FR
d
x
0
0
S
1
Sd ( yS z0) Sd (z0 xS ) Sd (x0 y0) d
y d x d
一般力系的合力矩定理
设一个一般力系可以简化为一个合力FR ，其作用线通过C点， 则该力系每一个分力对空间任意定点O的力矩和等于合力对O点 之力矩。
rC FR ri Fi
右手力螺旋： FR • MO 0
中心轴方程
Fx Fy Fz
x
y
z
（b） FR M O 0 FR • MO 0
中心轴过B点的力螺旋
中心轴方程
FRx FRy FRz x xB y yB z zB
或
FRx
FRy
FRz
1
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz ) M Oz (xFRy yFRx ) p
M
O
或，由于
M
O
pFR
O
M
O
B(xB , yB , zB )
以及
MO
MO
M
O
M
O
OP FR
于是
M
O
MO
OP FR
pFR
即有
FRx
FRy
FRz
1
M Ox ( yFRz zFRy ) M Oy (zFRx xFRz ) M Oz (xFRy yFRx ) p
力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影
n
n
n
FR ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
i 1
i 1
i 1
Fx i Fy j Fz k
Z
MO Fz
FR
Mz
Fx M x O
Fy
My
MO Mxi M y j Mzk
Y
X
空间力系向一点简化的意义
FR
• FR
F2 R
FR • OB 0
所以
OB
FR MO FR2
合力作用线方程
设作用线矢量l ，FR 作用点坐标 (xB , yB , zB ) ，P(x,y.z)为作用线上任意点
则作用线方程为
FRx FRy FRz c 或
M Ox
M Oy
M Oz
x xB y yB z zB
其中
Mi ODi Fi
——力偶矩
根据力系和力偶系的合成，最终的简化结果为过O点的一个力Fo
以及一个力偶
n
FO Fi FR i 1
力系的主矢
n
M O mO (Fi ) i 1
力系对O点的主矩
空间力系向任一点的简化
主矢和主矩的性质
力系对两个定点（简化中心）O 和A的主矢和主矩的关系