第2章 空间力系的简化与物体的受力分析
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= F1 cos 60° + F2 sin 30° − F4 = 0 ′ FRy = ∑ Fy
= F1 sin 60° − F2 cos 30° + F3 = F
FR
FR
r r r ′ ′ FR = FRy j = Fj
MA
r 主矩： 主矩： M A = ∑ M A F = F3 a + M − F2 h = 1.133Fa
特例： 特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2 An
主矢： 主矢： 主矢， 主矢，主矩
F2 Fn
F1 M1
=
简化中心
M2 F2 Mn O
Fn
=
附加力偶
FR MO
r r F R = Σ Fi
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
FRy FRx cos α = , sin α = FR FR
r 以 FR 点积上式 ′
r F
R′
r ′ MO
r MA
r F
R′
r rAO′
O′
A
r r r r r r r r ′ ′ ′ M A ⋅ FR = ( M O′ + rO′A × FR′ ) ⋅ FR = M O′ ⋅ FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 力 主矢与主矩的点积 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零， 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。 是合力还是力螺旋。
（2）平面柱铰
α F 销钉
o
B
Fox
o Foy
A
A 约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 r 的合力 FR 未知量： 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定 表示为两个互相垂直的未知力，
′ FRy = ∑ Fy = −G1 − G2 − F2 sin θ = −670 .1 kN
MO
O
主矩： 主矩： M O =
∑M ( )
O
r F
′ FRx
′ FR
A
= − F1 × 3 m − G1 × 1.5 m − G 2 × 3.9 m = − 2 355 kN ⋅ m
′ FRy
′ FR = FR = ( Σ Fx ) 2 + ( Σ Fy ) 2 = 709 .4 kN 合力F 的大小： 合力FR的大小：
第二章 空间力系的简化 物体的受力分析
第一节 空间力系的简化
一、等效力系的主矢与主矩
z z z 主矢，主矩
F1 M2
A1
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0
0 y x
y
Mn
Fn
x
y
x
Fn
O：简化中心
r r ′ FR = ΣFi 主矢： 主矢： r r r r 主矩： 主矩： M 0 = ΣM i = ΣM 0 ( Fi )
(3) F R ≠ 0 , M O ≠ 0 , F R ⊥ M O
MO1
力螺旋
MO1
MO
′ ϕ FR
o
r r r MO2 ( M O • FR ) FR
′ ϕ FR
o
MO1
FR
ϕ
′ FR
o
d
o’
2 FR r r r F ×M OO′ = d = R 2 O FR M O sin ϕ
r M O1 =
、 （1）
r FR
r MO
合力
FR
FR
⇔
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’ ⇔
o
d
o’
MO 平移距离： 平移距离： d = FR
r r 平移方向： 平移方向： FR × M O 的方向
（2）
r FR
r MO
M0
力螺旋
FR
r r FR 与 MO r r FR 与 MO
方向一致 右手力螺旋 方向相反 左手力螺旋
约束对物体作用的力，往往不是直接作用于一点，而是作 用于一个面（或线），因此约束力形成一个力系，它不是基本 力系就是任意力系，可以用各种力系的简化结果来简捷地表达 约束对被约束物体的作用力。
一、柔索约束
FT P
FT1 P
FT2
r 柔体约束只能受拉力 FT
由于柔体截面一般相对被约束物体很小，约束 力可看作为集中力。
未知量： 个 未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰 ）
F Az
A
F Ax
F Ay
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 r 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR
r 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角 的大小与方向均未知， r r r 未知量个数： 坐标分解的三个分量： 坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z 未知量个数：3
670.1 x + 232.9 y − 2 355 = 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束： 约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现 的 约束力：约束施加于被约束物体的力。 约束力：约束施加于被约束物体的力。 约束力是被动力 约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或 运动趋势方向相反。 运动趋势方向相反。
方向余弦
cos
(F ′ , i ) = ∑
R
Fx = 0 . 328 F R′ Fy = − 0 . 945 F R′
MO
O
C
cos (F R′ ,
∑ j)=
求合力作用线方程： 求合力作用线方程： 设合力作用线上任一点的坐标为（ 设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，将合 力作用于此点，则 力作用于此点，
9m 1.5m
F1
3m
G1
3.9m
90o
F2
θ
小和方向余弦, 小和方向余弦, 以及合力作用线方 程。 θ = ∠ ACB = arctan AB = 16 .7 o
x
B O
5.7m
G2 A
CB
C
简化中心： 解： 简化中心：O点 主矢： 主矢： FR′x = ∑ Fx = F1 − F2 cos θ = 232 .9 kN
r r r 主矢： 主矢： FR = 50(i + k ) N ′
MBy = 0 MBz = F3L2 + F4L2 = 0 1 主矩： 主矩： MBx = −FL1 + F4L2 = 2.5 N⋅ m r r r r ′ M B 不垂直于 FR M B = 2.5i N ⋅ m r r M B 向 F R′ 及其垂线方向分解：
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座 铰链支座，也称 铰链支座 固定铰支座
A A
受力特征不变
未知量： 未知量：2 个
FAx
FAy
（3）径向轴承
z
A
x
y
A
FAz
FAx
约束特征与平面柱铰相同，即约束力应在与轴线（轴y） 垂直的平面内，通过圆轴中心。 r r 同样可以用 FAx , FAz 两个分量来表示 未知量： 未知量：2 个
′ FRx
o
A
70.84
M O = M O (FR ) = xFRy − yFRx = x ∑ Fx − y ∑ Fy
代入主矢和主矩的值可得合力作用线方程： 代入主矢和主矩的值可得合力作用线方程：
′ FRy
′ FR
− 2 355 kN ⋅ m = (− 670 . 1 kN ) × x − (232 . 9 kN ) × y
( M B ) ⊥ = M B cos 45° = 1.76 N ⋅ m
( M B ) ∏ = M B sin 45° = 1.76 N ⋅ m
r M B∏ r r r r r r r r r r ( M B • FR ) FR [2.5i ⋅ 50(i + k )]50(i + k ) = = = 1.25(i + k ) r r r r 2 FR 50(i + k ) ⋅ 50(i + k )
′ FR y = F4 − F3 = 0
′ FR z = F1 = 50 N
大小： ′ 大小： FR = FR 2 + FR 2y + FR 2 = 50 2 N ′x ′ ′z 方向： 方向： cos α = 2 ,
2 cos β = 0, 2 cos γ = 2
r r r ′ FR = 50(i + k ) N
r r r r r r FR × M B 50(i + k ) × 2.5i r d= = = 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
r r 最后结果： 最后结果 FR 与 M B ∏ 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 图示平面力系，已知： ， ， 为三 角形边长， 为简化中心，试求简化的最后结果， 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 中画出。 解： 力系向A点简化 主矢： 主矢： FR′x = ∑ Fx
百度文库
(2) 光滑接触线约束
x
FN
当两柱体相接触时，约束力沿直线平行分布。
r 其合力 FN 必过分布力中心点和两物体的曲率中心，
也就是力的作用线为公法线方向。
未知量： 个 未知量：2个
(3) 光滑接触面约束
x y
FN
约束对被约束物体的约束力就分布在整个接触面上，其 每一个分布力都与接触面垂直，且指向被约束物体，形成一 个空间平行力系。 合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 r 体，是一个压力 FN
平面任意力系不存在力螺旋
例1：曲杆OABCD的OB段与y轴重合，BC段与x轴平行，已知： ： F1=F2=50 N，F3=100 N，F4=100 N，L1=100 mm，L2=75 mm。试求 力系简化的最终结果，并确定其位置。 解： 简化中心： 简化中心：B点
主矢： 主矢： F ′ = F = 50 N Rx 2
方向： 方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体 作用点： 作用点：接触点 未知量： 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束 (1)光滑接触点约束
r P
r FN
r P
r F1
r F2
r F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向： 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点： 作用点：接触点 未知量： 未知量：1个
( )
r r r ′ 合力大小和方向： FR = FR = Fj
′ 合力作用点D至A点距离：d = M A / FR = 1.133F ⋅ a / F = 1.133a
y
3m
例3 重力坝受力情况如图所示。设 重力坝受力情况如图所示。
C
G1=450kN ， G2=200kN ， F1=300 kN ， 450kN kN， 200kN kN， kN， F2=70 kN 。 试求力系的合力 FR 的大 kN。
主矩： 主矩：MO=∑Mi= ∑MO（F i） ∑
与简化中心O无关 无关， 与简化中心O有关 1、FR与简化中心 无关，MO与简化中心 有关 2、合力=主矢+主矩 合力=主矢+ 简化结果讨论： 简化结果讨论： 1、FR=0，MO≠0，一个力偶 、 ， ， 2、FR ≠0，MO=0；一个力 、 ， 一个力 3、 FR ≠0，MO≠0 、 进一步简化为作用于另一点的一个力 平面力偶系。与简化中心无关 平面力偶系。
基本力系的简化结果： 基本力系的简化结果：
{
汇交力系—过汇交点的合力 汇交力系 过汇交点的合力
力偶系—合力偶 力偶系 合力偶
根据力的空间位置： 根据力的空间位置：
空间力系、 空间力系、平面力系
平面力系是空间力系的特殊情况
空间任意力系：力系中各力的作用线既不交于一点，又不相 空间任意力系：力系中各力的作用线既不交于一点， 互平行，也不处于同一平面内，而呈空间任意分布。 互平行，也不处于同一平面内，而呈空间任意分布。
FR MO1
o
d
FR o’
FR
o d o’
d=
FR
力螺旋中力的作用线被称为力系的中心轴。显然， 力螺旋中力的作用线被称为力系的中心轴。显然，力系向 中心轴上任一点简化，所得到的力螺旋都是相等的。 中心轴上任一点简化，所得到的力螺旋都是相等的。
当主矢与主矩都不等于零的情况下，其最终简化结果， 当主矢与主矩都不等于零的情况下，其最终简化结果， 为合力或力螺旋两种可能。 为合力或力螺旋两种可能。 若取任意点A为新的简化中心 r 主矢： FR （不变量）不变 ′ 新的主矩： r r r r ′ M A = M O′ + rO′A × FR
主矢是力系的第一不变量。 主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 r r 1、 F = 0 、 平衡力系， 平衡力系，以后讨论 MO = 0 rR r 与简化中心无关 合力偶 2、 F = 0 、 R MO ≠ 0 r r 合力 3 FR ≠ 0 M O = 0 r r 、 4 FR ≠ 0 MO ≠ 0
= F1 sin 60° − F2 cos 30° + F3 = F
FR
FR
r r r ′ ′ FR = FRy j = Fj
MA
r 主矩： 主矩： M A = ∑ M A F = F3 a + M − F2 h = 1.133Fa
特例： 特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2 An
主矢： 主矢： 主矢， 主矢，主矩
F2 Fn
F1 M1
=
简化中心
M2 F2 Mn O
Fn
=
附加力偶
FR MO
r r F R = Σ Fi
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
FRy FRx cos α = , sin α = FR FR
r 以 FR 点积上式 ′
r F
R′
r ′ MO
r MA
r F
R′
r rAO′
O′
A
r r r r r r r r ′ ′ ′ M A ⋅ FR = ( M O′ + rO′A × FR′ ) ⋅ FR = M O′ ⋅ FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 力 主矢与主矩的点积 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零， 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。 是合力还是力螺旋。
（2）平面柱铰
α F 销钉
o
B
Fox
o Foy
A
A 约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 r 的合力 FR 未知量： 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定 表示为两个互相垂直的未知力，
′ FRy = ∑ Fy = −G1 − G2 − F2 sin θ = −670 .1 kN
MO
O
主矩： 主矩： M O =
∑M ( )
O
r F
′ FRx
′ FR
A
= − F1 × 3 m − G1 × 1.5 m − G 2 × 3.9 m = − 2 355 kN ⋅ m
′ FRy
′ FR = FR = ( Σ Fx ) 2 + ( Σ Fy ) 2 = 709 .4 kN 合力F 的大小： 合力FR的大小：
第二章 空间力系的简化 物体的受力分析
第一节 空间力系的简化
一、等效力系的主矢与主矩
z z z 主矢，主矩
F1 M2
A1
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0
0 y x
y
Mn
Fn
x
y
x
Fn
O：简化中心
r r ′ FR = ΣFi 主矢： 主矢： r r r r 主矩： 主矩： M 0 = ΣM i = ΣM 0 ( Fi )
(3) F R ≠ 0 , M O ≠ 0 , F R ⊥ M O
MO1
力螺旋
MO1
MO
′ ϕ FR
o
r r r MO2 ( M O • FR ) FR
′ ϕ FR
o
MO1
FR
ϕ
′ FR
o
d
o’
2 FR r r r F ×M OO′ = d = R 2 O FR M O sin ϕ
r M O1 =
、 （1）
r FR
r MO
合力
FR
FR
⇔
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’ ⇔
o
d
o’
MO 平移距离： 平移距离： d = FR
r r 平移方向： 平移方向： FR × M O 的方向
（2）
r FR
r MO
M0
力螺旋
FR
r r FR 与 MO r r FR 与 MO
方向一致 右手力螺旋 方向相反 左手力螺旋
约束对物体作用的力，往往不是直接作用于一点，而是作 用于一个面（或线），因此约束力形成一个力系，它不是基本 力系就是任意力系，可以用各种力系的简化结果来简捷地表达 约束对被约束物体的作用力。
一、柔索约束
FT P
FT1 P
FT2
r 柔体约束只能受拉力 FT
由于柔体截面一般相对被约束物体很小，约束 力可看作为集中力。
未知量： 个 未知量：3个
三、光滑铰链约束
（1） 球铰 ）
F Az
A
F Ax
F Ay
约束力分布在一部分球面上，分布力均通过球心，构 r 成一空间汇交力系系，可简化为一个通过球心的合力 FR
r 球铰的约束力 FR 的大小与方向均未知，通常用沿直角 的大小与方向均未知， r r r 未知量个数： 坐标分解的三个分量： 坐标分解的三个分量： FR x , FR y , FR z 未知量个数：3
670.1 x + 232.9 y − 2 355 = 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束： 约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现 的 约束力：约束施加于被约束物体的力。 约束力：约束施加于被约束物体的力。 约束力是被动力 约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或 运动趋势方向相反。 运动趋势方向相反。
方向余弦
cos
(F ′ , i ) = ∑
R
Fx = 0 . 328 F R′ Fy = − 0 . 945 F R′
MO
O
C
cos (F R′ ,
∑ j)=
求合力作用线方程： 求合力作用线方程： 设合力作用线上任一点的坐标为（ 设合力作用线上任一点的坐标为（x，y)，将合 力作用于此点，则 力作用于此点，
9m 1.5m
F1
3m
G1
3.9m
90o
F2
θ
小和方向余弦, 小和方向余弦, 以及合力作用线方 程。 θ = ∠ ACB = arctan AB = 16 .7 o
x
B O
5.7m
G2 A
CB
C
简化中心： 解： 简化中心：O点 主矢： 主矢： FR′x = ∑ Fx = F1 − F2 cos θ = 232 .9 kN
r r r 主矢： 主矢： FR = 50(i + k ) N ′
MBy = 0 MBz = F3L2 + F4L2 = 0 1 主矩： 主矩： MBx = −FL1 + F4L2 = 2.5 N⋅ m r r r r ′ M B 不垂直于 FR M B = 2.5i N ⋅ m r r M B 向 F R′ 及其垂线方向分解：
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座 铰链支座，也称 铰链支座 固定铰支座
A A
受力特征不变
未知量： 未知量：2 个
FAx
FAy
（3）径向轴承
z
A
x
y
A
FAz
FAx
约束特征与平面柱铰相同，即约束力应在与轴线（轴y） 垂直的平面内，通过圆轴中心。 r r 同样可以用 FAx , FAz 两个分量来表示 未知量： 未知量：2 个
′ FRx
o
A
70.84
M O = M O (FR ) = xFRy − yFRx = x ∑ Fx − y ∑ Fy
代入主矢和主矩的值可得合力作用线方程： 代入主矢和主矩的值可得合力作用线方程：
′ FRy
′ FR
− 2 355 kN ⋅ m = (− 670 . 1 kN ) × x − (232 . 9 kN ) × y
( M B ) ⊥ = M B cos 45° = 1.76 N ⋅ m
( M B ) ∏ = M B sin 45° = 1.76 N ⋅ m
r M B∏ r r r r r r r r r r ( M B • FR ) FR [2.5i ⋅ 50(i + k )]50(i + k ) = = = 1.25(i + k ) r r r r 2 FR 50(i + k ) ⋅ 50(i + k )
′ FR y = F4 − F3 = 0
′ FR z = F1 = 50 N
大小： ′ 大小： FR = FR 2 + FR 2y + FR 2 = 50 2 N ′x ′ ′z 方向： 方向： cos α = 2 ,
2 cos β = 0, 2 cos γ = 2
r r r ′ FR = 50(i + k ) N
r r r r r r FR × M B 50(i + k ) × 2.5i r d= = = 0.025 j 2 FR 5000
中心轴位置:
r r 最后结果： 最后结果 FR 与 M B ∏ 组成的力螺旋。
例2：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三 图示平面力系，已知： ， ， 为三 角形边长， 为简化中心，试求简化的最后结果， 角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图 中画出。 中画出。 解： 力系向A点简化 主矢： 主矢： FR′x = ∑ Fx
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(2) 光滑接触线约束
x
FN
当两柱体相接触时，约束力沿直线平行分布。
r 其合力 FN 必过分布力中心点和两物体的曲率中心，
也就是力的作用线为公法线方向。
未知量： 个 未知量：2个
(3) 光滑接触面约束
x y
FN
约束对被约束物体的约束力就分布在整个接触面上，其 每一个分布力都与接触面垂直，且指向被约束物体，形成一 个空间平行力系。 合成的结果必定是一个合力，这个合力指向被约束物 r 体，是一个压力 FN
平面任意力系不存在力螺旋
例1：曲杆OABCD的OB段与y轴重合，BC段与x轴平行，已知： ： F1=F2=50 N，F3=100 N，F4=100 N，L1=100 mm，L2=75 mm。试求 力系简化的最终结果，并确定其位置。 解： 简化中心： 简化中心：B点
主矢： 主矢： F ′ = F = 50 N Rx 2
方向： 方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体 作用点： 作用点：接触点 未知量： 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束 (1)光滑接触点约束
r P
r FN
r P
r F1
r F2
r F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向： 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点： 作用点：接触点 未知量： 未知量：1个
( )
r r r ′ 合力大小和方向： FR = FR = Fj
′ 合力作用点D至A点距离：d = M A / FR = 1.133F ⋅ a / F = 1.133a
y
3m
例3 重力坝受力情况如图所示。设 重力坝受力情况如图所示。
C
G1=450kN ， G2=200kN ， F1=300 kN ， 450kN kN， 200kN kN， kN， F2=70 kN 。 试求力系的合力 FR 的大 kN。
主矩： 主矩：MO=∑Mi= ∑MO（F i） ∑
与简化中心O无关 无关， 与简化中心O有关 1、FR与简化中心 无关，MO与简化中心 有关 2、合力=主矢+主矩 合力=主矢+ 简化结果讨论： 简化结果讨论： 1、FR=0，MO≠0，一个力偶 、 ， ， 2、FR ≠0，MO=0；一个力 、 ， 一个力 3、 FR ≠0，MO≠0 、 进一步简化为作用于另一点的一个力 平面力偶系。与简化中心无关 平面力偶系。
基本力系的简化结果： 基本力系的简化结果：
{
汇交力系—过汇交点的合力 汇交力系 过汇交点的合力
力偶系—合力偶 力偶系 合力偶
根据力的空间位置： 根据力的空间位置：
空间力系、 空间力系、平面力系
平面力系是空间力系的特殊情况
空间任意力系：力系中各力的作用线既不交于一点，又不相 空间任意力系：力系中各力的作用线既不交于一点， 互平行，也不处于同一平面内，而呈空间任意分布。 互平行，也不处于同一平面内，而呈空间任意分布。
FR MO1
o
d
FR o’
FR
o d o’
d=
FR
力螺旋中力的作用线被称为力系的中心轴。显然， 力螺旋中力的作用线被称为力系的中心轴。显然，力系向 中心轴上任一点简化，所得到的力螺旋都是相等的。 中心轴上任一点简化，所得到的力螺旋都是相等的。
当主矢与主矩都不等于零的情况下，其最终简化结果， 当主矢与主矩都不等于零的情况下，其最终简化结果， 为合力或力螺旋两种可能。 为合力或力螺旋两种可能。 若取任意点A为新的简化中心 r 主矢： FR （不变量）不变 ′ 新的主矩： r r r r ′ M A = M O′ + rO′A × FR
主矢是力系的第一不变量。 主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 r r 1、 F = 0 、 平衡力系， 平衡力系，以后讨论 MO = 0 rR r 与简化中心无关 合力偶 2、 F = 0 、 R MO ≠ 0 r r 合力 3 FR ≠ 0 M O = 0 r r 、 4 FR ≠ 0 MO ≠ 0