2.4 用尺规作角教案
北师大版数学七年级下册《4 用尺规作角》教案4
北师大版数学七年级下册《4 用尺规作角》教案4一. 教材分析《北师大版数学七年级下册》中的《4 用尺规作角》是学生在学习了直线、射线、角的基础知识后，进一步深入学习角的知识。
这一节内容通过讲解尺规作角的方法，使学生掌握角的作图技巧，培养学生的动手能力和几何思维。
教材通过详细的步骤和生动的图示，让学生在实践中掌握知识，提高学习的兴趣和效果。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了直线、射线、角的基本概念和一些基本的几何作图方法。
但是，对于尺规作角这一作图技巧，学生可能还比较陌生，需要通过实践来掌握。
同时，学生在学习过程中，可能对一些作图步骤和技巧的理解和应用存在困难，需要教师的引导和讲解。
三. 教学目标1.让学生了解尺规作角的定义和原理，掌握尺规作角的基本方法。
2.培养学生动手操作能力和几何思维，提高学生解决几何问题的能力。
3.通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
四. 教学重难点1.尺规作角的定义和原理的理解。
2.尺规作角的基本方法的掌握。
3.尺规作角在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用“引导式教学法”，教师通过提问、引导、讲解、示范等方式，激发学生的思考，引导学生自主探索和学习。
同时，结合“实践式教学法”，让学生通过动手操作，实践尺规作角的方法，加深对知识的理解和记忆。
六. 教学准备1.准备尺规作角的PPT，包括定义、原理、方法、实例等内容。
2.准备尺规作角的练习题，用于巩固所学知识。
3.准备尺规作角的工具，如直尺、圆规等，供学生实践使用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习直线、射线、角的基本概念，引导学生思考如何用尺规作角。
2.呈现（10分钟）呈现尺规作角的PPT，讲解尺规作角的定义、原理和方法，让学生了解尺规作角的过程。
3.操练（10分钟）学生分组进行尺规作角的实践，教师巡回指导，解答学生的疑问，帮助学生掌握尺规作角的方法。
4.巩固（10分钟）学生独立完成尺规作角的练习题，检验自己对尺规作角的掌握程度。
用尺规作角 教案
用尺规作角教案2.4 用尺规作角教学目的：1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识.2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角.教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用.教学过程：一、问题的提出：如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.(1)请过点C画出与AB平行的另一条边(2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗?二、.新课：(师生一起，边讲边练)内容一：(请按作图步骤和要求操作，别忘了留下作图痕迹哦!)(一)用尺规作一个角等于已知角.(1)已知：ang;AOB，求作：ang;AOB，使ang;AOB=ang;AOB.(2)已知：ang; ，求作：ang;AOB，使ang;AOB=ang; .(二)用尺规作一个角等于已知角的倍数：(3)已知：ang;1，求作：ang;MON，使ang;MON=2ang;1;ang;COD，使ang;COD=3ang;1.(三)用尺规作一个角等于已知角的和：(4)已知：ang;1、ang;2、ang;3.求作：①ang;AOB，使ang;AOB=ang;1+ang;2;②ang;POQ，使ang;POQ=ang;1+ang;2+ang;3;③ang;MON，使ang;MON=2ang;1+ang;2.(四)用尺规作一个角等于已知角的差：已知：ang;a、ang;beta;、ang;gamma;.求作：①ang;AOB，使ang;AOB=ang;a-ang;beta;;②ang;POQ，使ang;POQ=ang;a-ang;beta;-ang;gamma;;③求作一个角，使它等于2ang;beta;-ang;gamma;.(五)综合练习：(通过以下练习，意味着你掌握了作角的真本领，多动一下脑筋，你一定会完成得很出色的!)k(1)已知：线段AB、ang;a、ang;beta;.求作：分别过点A、点B作ang;CAB=ang;a、ang;CBA=ang;beta;.(2)如图，点P为ang;ABC的边AB上的一点，过点P 作直线EFBC.(3)已知：直线L和L外一点P，求作：一条直线，使它经过点P，并与已知直线L平行.(4)已知：△ABC，求作：直线MN，使MN经过点A，且MNBC.(5)如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在ang;ABC 外再作一个角，使其等于ang;ABC.三、小结：今天我们学习了用尺规作一个角等于已知角，它是一个基本的作图方法.四、作业：第68页习题1(1)(2)具有相反意义的量学案有理数的加法与减法3更多初一数学教案请关注。
数学知识点七年级数学下册 2.4 用尺规作角教案2(新版)北师大版
数学知识点七年级数学下册 2.4 用尺规作角教案2（新版）北师大版用尺规作角教学目标1、能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。
2、能利用尺规作角的和、差、倍。
3、在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。
学情分析在学习中学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为本节课的学习奠定了良好的知识基础。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，感受到尺规作图在数学当中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学重点能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角。
教学难点作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用。
课前准备：1、直尺、圆规。
或电子白板软件中的直尺、圆规。
2、让学生观看用尺规作图的小视频：高斯用尺规作正十七边形。
让学生理解生活中数学无处不在，并提高学生学数学的兴趣，探索数学的奥秘！教学过程一、导入：什么叫尺规作图？1、只用没有刻度的直尺和圆规作图成为尺规作图。
学生观看介绍尺规作图的短片。
2、尺规作图：延长线段BA至C，使AC=2AB。
A B全体学生参与，并可以请学生上白板演示，或者展示个别作品，教师点评。
关注学生的操作能力。
二、重点知识学习：1、作一个角等于已知角。
用尺规作一个角等于已知角教师用白板演示，学生在下面跟着画。
画图过程中可以引导学生理解以下问题：（1）要画出一个新的角，两条边都无法确定吗？学生：不是，可以事先画好一条边。
（2）另一条边一定经过哪个点？O’点。
1（3）要画出另一条边，我们要运用到什么理论？两点确定一条直线（射线）。
（4）另一个点怎么找？用到圆规和直尺。
引导学生理解所运用的理论知识，并且注意语言表达，让学生跟着老师一起说。
2.4用尺规作角
A’ A
O’
A
∠A’O’B’为所求.
∠A’O’B’为所求.
通过作同位的等角来作平行线
随堂练习
p 56—2
请用没有刻度的直尺和圆规, 在p55木板上, 过点C作AB的平行线.
B F D H
分析:若以点C为顶点 作一个与∠BAC既同位 又相等的角∠FCE, 则∠FCE的边CF 所在的直线即为所求.
A
G
● 画射线EF ● 以O为圆心,以适当长为半径画弧,交角的两边于C, D两点; ● 以E为圆心,以OC为半径画弧,交射线EF于G点; ● 再以点G为圆心,以CD为半径画弧,交原先的弧交于点H; ● 画射线EH.
B
D C
Page 9
H G
O
A
E
F
用尺规画角
圆规的作用： “造出” 一个量角器;
“卡出” 角的大小.
A
B
画一个角等于已知角 可以走两个方向画.
Page 14
C
点滴收获
● ●
本节课你学到了哪些知识？
跟你的同学交流一下用尺规画 角的步骤.
三弧两线
Page 15
课堂作业
P57 习题2.7
知识技能：1、2
Page 16
直尺的作用：
画射线
H G
B
D
C
Page 10
O
A
E
F
随堂练习
随堂练习
p 56-1
独立思考、合作交流； 口述作法、保留作图痕迹。
1、已知： ∠AOB。 利用尺规作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=2∠AOB。
作法一: B’
C B
∠AOB+∠AOB
法二:
《用尺规作角》教案
一、教学目标1. 让学生了解尺规作角的概念和基本方法。
2. 使学生掌握用尺规作角的一般步骤。
3. 培养学生的动手操作能力和观察能力，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 尺规作角的概念。
2. 尺规作角的基本方法。
3. 用尺规作角的一般步骤。
三、教学重点与难点1. 教学重点：尺规作角的概念和基本方法，用尺规作角的一般步骤。
2. 教学难点：尺规作角的精确度和操作技巧。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生直观地了解尺规作角的过程。
2. 采用分组合作法，培养学生的团队协作能力。
3. 采用问题驱动法，激发学生的思考和探究欲望。
五、教学准备1. 教具：尺、圆规、直尺、三角板、多媒体设备。
2. 学具：学生用尺、圆规、直尺、三角板、练习本。
【课堂导入】（时间：5分钟）教师通过一个实际问题引入尺规作角的概念，引导学生思考如何用尺规作角解决问题。
【新课讲解】（时间：15分钟）1. 讲解尺规作角的概念和基本方法。
2. 演示用尺规作角的一般步骤，并解释每一步的操作意义。
3. 引导学生关注尺规作角的精确度和操作技巧。
【课堂练习】（时间：10分钟）学生分组合作，用尺规作角解决问题，教师巡回指导。
【总结与反思】（时间：5分钟）教师引导学生总结课堂所学内容，反思自己在用尺规作角过程中的优点和不足。
【课后作业】1. 复习课堂所学内容，整理笔记。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
六、教学过程（时间：40分钟）1. 复习上节课所学的尺规作角的概念和基本方法。
2. 讲解用尺规作角的一般步骤，并通过实例演示。
3. 学生分组练习，用尺规作角解决问题，教师巡回指导。
七、课堂互动（时间：10分钟）1. 学生分享自己在练习过程中的心得体会。
2. 教师针对学生分享的内容进行点评和指导。
3. 学生提出疑问，教师解答。
八、拓展与应用（时间：10分钟）1. 教师提出一个实际问题，要求学生用尺规作角的方法解决。
2. 学生独立思考并操作，教师巡回指导。
学练优数学七年级(下)教学课件 2.4 用尺规作角
讲授新课
用尺规作角 利用尺规，作一个角等于已知角． 已知：∠AOB（如图）．
求作：∠A′O′B′=∠AOB．
B
O
A
作法：
(1)作射线O′A′; (2)以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点
C，交OB于点D; (3)以点O′为圆心，同样长为半径画弧，交O′A′于点C′; (4)以点C’为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于
于C，D.
4.如图，已知∠A，∠B，求作一个角，使它等于 ∠A－∠B(不用写作法，保留作图痕迹).
【解析】作∠COD=∠A,并在∠COD的内部作 ∠DOE=∠B，则∠COE就是所求作的角.
课堂小结
作一个角等于已知角可以归纳为“一线三弧” 先画一条射线,再作三次弧.其中前两次弧半径相 同,而第三次以原角的两边与弧的交点之间的距离 为半径.
课后作业
见《学练优》本课时练习
【解析】作弧必须有圆心和半径，缺一不可.
2.画一个钝角∠AOB，然后以O为顶点，以OA为一 边， 在角的内部画一条射线OC，使∠AOC＝90°， 正确的图形是( D )
【解析】由题意可知，∠AOC在∠AOB的内部，且 OA为其公共边，OA与OC的夹角为90°.
3.根据图形填空. (1)连接_A_,_B__两点. (2)延长线段__A_B___到点___C___，使BC=__A_B___. (3)在__线__段__AM上截取__A_B___=__a____. (4)以点O为__圆__心__，以m为_半__径___画弧交OA，OB分别
点D’ ；
(5) 过点D’作射线O’B’.∠A’O’B’就是所求的角.
B D
B' D'
O
CA
O'
2.4用尺规作角(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握尺规作图的基本方法和技巧，包括作等边三角形内角、等腰三角形内角、角的等分线等。
-学会运用尺规作图解决实际问题，如构造特定角度的角、等分已知角度等。
-掌握尺规作图中的几何定理和性质，如等边三角形的内角都是60度，等腰三角形的底角相等等。
举例解释：
-作等边三角形内角的步骤和技巧，强调每次作图都需要保持பைடு நூலகம்和规的使用规范，确保作图准确。
-在解决实际问题时，如何选择合适的尺规作图方法，例如在构造一个角等于已知角时，应先确定已知角的度数，然后通过尺规作图准确复制。
2.教学难点
-理解尺规作图中的精确度要求，确保作图过程中不产生误差。
-掌握角的平分线的作图方法，特别是如何准确地从一点出发作出角的平分线。
-理解并应用几何定理进行尺规作图，如等腰三角形的性质在作图中的应用。
举例解释：
-对于精确度的难点，学生会发现即使是很小的误差也可能导致整个图形的不准确。教学中需强调如何通过多次检查和校准来减少误差。
-在作角的平分线时，学生可能会困惑于如何保证平分线正好经过角的顶点。这里需要详细讲解如何使用尺规工具，以及如何通过几何性质确保平分线的准确性。
-对于几何定理的应用，难点在于如何将理论知识转化为实际操作。例如，在作等腰三角形内角时，学生需要理解等腰三角形的底角相等这一性质，并学会如何在作图中应用它。
四、教学流程
3.能够运用所学尺规作角的方法解决实际几何问题，提高几何作图能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
北师大版七年级数学下册《2.4 用尺规作角》教案
北师大版七年级数学下册《2.4 用尺规作角》教案一. 教材分析《2.4 用尺规作角》这一节主要让学生掌握用尺规作角的方法和技巧。
通过这一节的学习，学生能够了解尺规作角的原理，并能够运用尺规作任意大小的角。
教材通过具体的操作实例，引导学生探究用尺规作角的方法，培养学生的动手能力和观察能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了用直尺和圆规画线段、圆的基本知识。
但是，对于用尺规作角的方法和技巧，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际的操作，掌握用尺规作角的方法。
三. 教学目标1.了解尺规作角的原理，掌握用尺规作角的方法和技巧。
2.能够运用尺规作出任意大小的角。
3.培养学生的动手能力和观察能力。
四. 教学重难点1.尺规作角的原理的理解。
2.用尺规作角的方法和技巧的掌握。
五. 教学方法采用“问题引导法”和“实践操作法”。
通过提出问题，引导学生思考和探究，通过实际操作，让学生掌握用尺规作角的方法。
六. 教学准备1.准备直尺、圆规等作图工具。
2.准备相关的教学PPT或黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“我们如何用直尺和圆规作出一个特定的角呢？”引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT或黑板，呈现尺规作角的原理和步骤。
讲解并演示如何用尺规作角。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，尝试用尺规作出不同的角。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）学生汇报自己的操作结果，分享制作过程中的经验和问题。
教师点评并解答学生的疑问。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：除了用尺规作角，还有没有其他方法可以作出相同的角？让学生进行思考和讨论。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的知识，巩固对尺规作角的理解和掌握。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的家庭作业，让学生进一步巩固和运用所学知识。
8.板书（5分钟）教师进行板书设计，总结本节课的主要内容和知识点。
以上是整个教学过程的设计，每个环节的时间安排如上所示。
（北师大版）初中数学《用尺规作角》说课设计
（北师大版）初中数学《用尺规作角》说课设计
《尺规作图》说课稿
一、教学内容与地位
所讲的内容是《尺规作图》第二课时，它与全等知识相结合，对今后的画图作图有很大的帮助，会利用尺规作图解决实际问题。
二、教学目标
1. 学会用尺规作图作已知角的角平分线和经过一已知点作已知直线的垂线
2. 能用全等方法和类比思想探究画图过程
3.培养作图能力，语言表达能力和逻辑思维能力
三、过程与方法
1.教学过程：先利用三角形的全等引入，然后学生自主探究，教师加
以引导，再进行讲练结合加以巩固，并加以拓展延伸，最后作方法小结。
2.教学方法：引导—探究—类比—归纳
四、教学重点和难点
１．重点：作已知角的角平分线，经过一已知点作已知直线的垂线
２．难点：将几何作图与几何设计综合在一起，解决实际问题的动手作图能力。
五、教学准备
教师准备
预先准备教材、教参
学生准备
教材、同步练习册、作业本、草稿纸、作图工具等
六、教学步骤
教学流程设计
教师指导学生活动
1.引入进入新课. 1.进入学习探究状态.
2.进行引导教学归纳总结. 2.自主练习.
3.总结和指导学生练习. 3.记录相关内容,加强巩固.
教学过程设计
1、复习引入
2、探究新知
3、课时训练
4、小结
5、作业
七、课后反思
本节课基本上能够突出重点、弱化难点，在时间上也能掌控得比较合理，学生也比较积极投入学习中，但是学生好像并不是掌握得很好，在今后的教学中应该再加强关于这方面的学习。
《用尺规作角》教案
一、教学目标：1. 让学生了解尺规作角的概念和方法，掌握用尺规作角的技巧。
2. 培养学生动手操作能力，提高空间想象能力。
3. 引导学生运用数学知识解决实际问题，培养解决问题的能力。
二、教学内容：1. 尺规作角的概念：用直尺和圆规作一个角。
2. 尺规作角的方法：（1）作一个角的平分线；（2）作一个角的补角；（3）作一个角的邻补角。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：尺规作角的概念和方法。
2. 教学难点：尺规作角的技巧和应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解尺规作角的概念和方法。
2. 采用示范法，展示用尺规作角的操作过程。
3. 采用练习法，让学生动手实践，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：引导学生回顾角的概念，引出尺规作角的话题。
2. 讲解与示范：讲解尺规作角的概念和方法，展示用尺规作角的操作过程。
3. 学生练习：让学生动手实践，用尺规作角。
4. 解答疑问：解答学生在练习过程中遇到的问题。
5. 课堂小结：总结本节课所学内容，强调尺规作角的技巧。
6. 课后作业：布置有关尺规作角的练习题，巩固所学知识。
六、教学策略：1. 采用问题驱动法，激发学生探究兴趣，引导学生主动参与课堂。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示尺规作角的过程，提高学生的空间想象能力。
3. 创设生活情境，让学生体验数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
七、教学评价：1. 课堂练习：观察学生在练习中的操作准确性，评价其对尺规作角的掌握程度。
2. 课后作业：分析学生作业完成情况，了解其对课堂所学知识的巩固程度。
3. 学生互评：鼓励学生相互评价，提高学生的自我认知和团队协作能力。
八、教学拓展：1. 探讨尺规作角的拓展应用，如在几何图形的构造、实际工程测量等方面中的应用。
2. 介绍尺规作角在数学史上的发展，激发学生对数学文化的兴趣。
九、教学反思：1. 反思教学过程，总结成功与不足之处，不断提高教学质量。
2. 关注学生的学习反馈，调整教学策略，满足学生的个性化需求。
2.4《用尺规作角》 课件 (北师大版) (2)
C A B B’
O’
C’
A A’ ’等角来作平行线
随堂练习
p 67—2
请用没有刻度的直尺和圆规, 在p65的 木板上, 过点C作AB的平行线.
B F D
分析:若以点C为顶点 作一个 与∠BAC既同位又相等 倍 的角∠FCE, 速 则∠FCE的边CF 课 所在的直线即为所求. 时
你作出美丽的“邹菊图案” 吗
(1) 作射线O’A’; (2) 以点O为圆心， 任意长为半径 画弧， 交OA于点C， 交OB于点D;
B
O
D’
(3) 以点O’为圆心， 倍 同样(OC)长为半径画弧， 速 交O’A’于点C’; 课 以点C’为圆心， (4) 时 学 CD长为半径画弧， 练 交前面的弧于点D’ ， (5) 过点D’作射线O’B’.
问 题 的 本B质
D
A
C
E
倍 速 课 时 学 练
上述问题: 用尺规(无刻度的直尺和圆规)” “过直线外一点作已知直线的平行线” 相当于 “过点C作∠ECD等于已知角∠CAB.”
做一做
已知： ∠AOB。 求作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
作 法 示 D 范
3、“作一个角等于已知角”
学 练
H
A
G
C
G’ E
随堂练习
随堂练习
独立思考、合作交流； 口述作法、保留作图痕迹。
1、已知： ∠AOB。 利用尺规作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=2∠AOB。
法二:
DB C A
作法一: B’ 倍 速 课 时 学 练 C B
B’
E
O
C’ O A’ A O’ A
∠A’O’B’为所求.
∠A’O’B’为所求.
《用尺规作角》教案 (公开课)2022年
用尺规作线段和角教学案例本课时内容的设计意图：本课知识属于“空间与图形〞局部，在学会利用尺规作线段的根底上进一步运用尺规作一个角等于角。
通过这节课的学习，增强学生运用尺规作图的技能。
本课时内容的设计思路：首先展示与本课内容密切联系的问题情境，作为新知的切入点，表达“数学是现实的〞课标精神。
利用情境问题激发学生的探究意识，在探索过程中体会知识的形成过程，将新知自然渗透纳入到学生的知识体系中，在此根底上，引导学生利用所学新知解决问题，从而将数学知识转化为数学技能。
一、创设情境，激趣导入出示课件和图形，提出问题：(1)请学生拿出收集的长方形纸板模型，标出相应的线段AB和点C。
(2)请过点C画出与AB平行的另一条线。
(3)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗?学生活动：对于问题(1) (2)，学生自主完成；对于问题(3)，学生自主探索后，引导学生进行分组讨论，产生质疑。
教师活动：利用实物投影仪展示学生完成的作业，并请学生答复作图过程，针对答复的情况，师生共同给予及时适当的评价。
(设计意图：课前要求学生从生活中寻找一些废弃的长方形纸板模型。
如牙膏盒、玩具盒、各种包装盒等，让学生体验“数学知识来源于现实生活〞，并学会从实际事物中抽象出几何模型。
在问题(3)的讨论中，引发了学生的认知冲突，从而自然导入了新课。
(二)实验探究，归纳总结：∠AOB。
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB。
学生活动1：学生在教师的示范操作下，利用尺规进行画图实践。
教师活动：教师在黑板上用尺规引导学生一步步进行画图示范，利用实物投影仪展示学生的作业，针对学生的画图情况给予评价。
最后请学生概述自己的画图过程。
学生活动2：利用量角器验证自己所作的角与角是否相等，学生答复自己所验证的结果。
(设计意图：学生在教师的示范下，亲身实践，感受知识的形成过程，在画图操作中培养了学生的动手、动脑、动口的能力。
(三)解决问题，完善结构随堂练习第1题。
数学：2.4《用尺规作线段和角》课件(北师大版七年级下)
A
B
法
示
范
A’
B’
C’
做一做 做一做
如图2－13，已知 线段a 和两 条互相垂直的直线AB，CD。
a C C’ A’ A B’ O D’ B
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 利用圆规，在射线OA，OB， OC，OD上作线段O’A’，O’B’，O’C’， O’D’，使它们分别与 线段a 相等。
(2) 依次连接A’，C’ ，B’，D’，A’. 你得到了一个怎样的图形？ 与同伴进行交流。
作业
作业
教材p.64 习题2.5 第 1、2 题。
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再次耀亮咯大地,比之前更加激烈几分.华雄壹刀直接荡开咯高顺反扫而来の壹枪,高顺整个人被震出好几步,双手已经开始颤抖,体内再次被着壹股强大力道狂扫而至.见高顺被自己壹枪荡开,华雄追上紧接着发起咯如疾风壹般の攻势,使出咯如秋风扫落叶壹般の第叁招.高顺来否及提枪 格挡那壹刀,只得低头壹闪,壹道狂猛の气流掠过自己の脖颈,引出几分阴凉,若是少那半分之差,高顺此时已经身首异处.躲过第叁刀,高顺已经慢慢陷入咯被动之中,高顺见势否利,反手壹枪,化守为攻,华雄亦是否断挥舞着长刀与高顺陷入混战.两人打得火光迸射,激烈如潮,转眼间二十多 回合走过,高顺虽然处于下风,但接着灵活の躲闪,华雄壹时也无法拿下高顺,两人只能继续僵持.尤俊达绕着马车,手中铁叉四处挥舞,否断击退围上来の小卒,但终究武力只有七十出头,小卒却是源源否断,好汉架否住人多,尤俊达死撑片刻,便被众人摁倒在地绑咯起来.甄宓与秦母在车中 听到外面否断の打斗声,正欲掀帘而看,突然帘子被猛地掀开,车外壹群士卒盯着车中二人,朝华雄喊道."华将军,车中没什么钱塘王,只有两个女人."甄宓见壹群官兵将马车包围起来,连尤俊达也被绑咯起来,花容失色朝外惊呼:"高大哥,救命啊/"战斗中の高顺听到后方甄宓の呼叫,急忙回 头望去,见甄宓等人全部被围咯起来,心中壹惊,神色慌长起来."哼,决斗之时也敢分心他物？"华雄见高顺居然敢分心,冷哼壹声,手中落月刀反手壹刀凌厉地扫向咯高顺の后背.高顺心中分神,再加上武力本就否如华雄,华雄装备又胜于高顺,此时无论如何都来否及防御.砰.沉闷の撞击声 响起,甚至有骨头碎裂の声音,华雄刀背活生生劈在咯高顺の后背,高顺整个人被震飞数尺.高顺伏在地上,"啊"の壹声狂喷壹口淤血,只觉五脏六腑都破碎开来,无数の刀锋戳进心脏壹般绞痛,再也无法起身对抗,挣扎几下便晕死过去."可惜没什么钱塘王,否则本将军今日就发咯,否过看那 四人定与反贼有瓜葛,来人啊,先把那四个给我绑回济南府/"华雄壹刀震晕咯高顺,脸上扬起壹丝得意之情,却又没什么抓到钱塘王,否由得掠过壹瞬失望.便喝令手下将士将秦母,甄宓,尤俊达,高顺四人捆绑在马车之上前往济南.壹切准备就绪之后,华雄亲自提刀守着马车,前方百来士卒开 路,突然部队却听咯下来.华雄心中好生纳闷,朝前方大喝壹声问道:"前面怎么搞の,怎么停下来咯."只见壹个小卒匆匆从前方借着稀薄の月光,找到方向跑到华雄の马前,拱手说道:"回将军,前方突然出现壹骑白衣男子挡路.""什么人,竟然敢如此大胆挡本将军の路,您们给我看好咯人犯, 让我去会会他.""是/"华雄听后脸上眼中闪过否屑の神情,手中落月刀提起,驾着马慢慢往前驰去.华雄壹骑黑马来到军前,只见对面官道上出现咯壹骑白马,月光微弱看否清是何人,只能看见此人穿着壹袭白衣,瞳孔在月光下反射出几道光芒.华雄手中长刀壹横,开口吼道:"前面の是何人, 居然敢如此大胆挡本将军の路.""哼,本想去壹趟山东,却否料遇到如此否平之事,身为朝廷将官,如今天下纷乱否去镇压起义,还有心情在冤枉好人,真是狗官当道,苍天无眼."只听对面那人冷哼壹声,冷冷吐出那样壹句话来.听咯那壹番话语,华雄如何能压抑得住自己内心の怒火,刚刚是如 何の威风,现在却被那么壹个拦路人教训.华雄手中战刀壹扬,再次厉声威胁道:"小子我警告您,给您时间给我滚,否然爷爷等会反悔咯就要您の狗命."只见对面那个白衣男子,听咯华雄猖狂の威胁,手中の壹杆八宝玲珑枪慢慢在月色之下露咯出来,那壹双眼眸在月色之下,透射着冷绝如冰 の寒光.略微沉吟,白衣人手中握咯握银枪,折射着正气凛然の寒光,淡然如水地说道:"路见否平,定当拔刀相助,纵您是官,那又如何/""我看您是找死/"白衣人の回应让华雄脸角气得微微抽搐,手中落月刀提起,拍马否断卷起尘沙,直取白衣人而去.白衣人白马银枪,没什么半句废话,化作壹 道银色の闪电后发而先至,借着皎洁の月光,直冲华雄而去.阴风否断呼呼の吹刮着山边の林丛,两马在月夜之下相驰而至,靠近之时,华雄方才借着月光见到咯白衣人の面容,望见瞬间,壹股无形の威慑力袭卷而來,竟让他有种否寒而栗の错觉.心神微微震荡之时,华雄铁塔般の身躯壹正,手 中落月刀凝聚咯无数の杀气,壹刀携着开山之力横空劈下.白衣人手中八宝玲珑枪化作壹束银虹,与空气中摩擦出雷鸣般の声音,如鬼神壹般の出枪,竟是划出咯幻影,在月光之下显得格外鬼魅.寒光壹闪,没什么金属擦击声,没什么火花,只有壹声沉闷の骨肉撕裂声.两马交错而过,后方士卒 在那迷茫の月色之下寻找着胜负,终于在那慢慢泛起殷红の地面上发现咯华雄.华雄依旧是那么壹般の威武,手中战刀高高扬起,而在那铁甲上,却多咯壹个巨大の血窟窿.华雄手中长刀轰然落地,满脸骇然の回头望着白衣人艰难地问道:"那否可能,怎么可能那么快,您您究竟是谁."白衣人 风华绝代の壹枪,鬼神莫测地在壹瞬间化作壹道银光,将华雄贯穿.只见白衣人头也否回,眼神中投射の尽是厌恶之意,淡然地说道:"那便让您死得明白,我便是姜永年/"（未完待续o(∩_∩)o）壹百叁十六部分卖队友两日后,天色阴沉暗淡,落下壹点小雨,闷热在万物上の咬噬更加重咯壹股 气力.济南府,正堂.正座处,唐璧眉目紧锁,眼神飘忽否定の扫视着案台上今早仆人在后院发现羽箭上插着の信条.从头到尾扫视壹遍,唐璧眉头越皱越紧,已经挤成咯壹个川,脸上分明写着凝重二字.字条上大大地写着一些字:单某今日带二贤庄之众前来秦家,大反山东.唐璧猛地壹拍案桌, 怒声骂道:"单通小儿,安敢如此挑衅我/"就在昨夜,曹操再次命许褚前来济南府前将箭矢射入院内,将字条绑在咯羽箭之上.就在唐璧气愤之时,杂乱の脚步声响起,壹个前晚与华雄壹起出去伏兵捉钱塘王の亲兵壹身是血,脚步慌乱の跑进堂中.见其跑咯进来,唐璧脸上先是壹惊,转而问道:" 您怎么会那个样子,华将军呢？"只见那个亲兵眼神中满是恐惧,好似从地狱中回来壹样,颤颤巍巍地说道:"回唐大人,华将军华将军他."见亲兵说话吞吞吐吐,唐璧急忙上前催道:"华将军他怎么咯,您倒是说啊.""华将军他被杀咯,数百兄弟也全部被杀咯/"壹道惊雷,当头轰落.唐璧只觉眼 前壹黑,几乎稳否住身子要跌倒下去."唐大人"两旁侍卫急上前壹步,将唐璧扶住.勉强站稳の唐璧,心中尽是否敢相信,自己先是折损咯来护儿,又是折损咯华雄,华雄打遍山东无敌手,又怎么可能会被杀.唐璧壹把揪住亲兵の铠甲,喝问道:"您个我说清楚,华将军究竟是怎么回事/""回大人, 前夜华将军击败反贼,将要将车中两人押送回济南府之时,突然出现壹个白衣男子挡路,壹条银枪使得神出鬼没,壹招就把华将军给杀咯,然后再杀入我军群中,只有我壹个人跑回来报信,其他人……"唐璧壹脸の否敢相信,居然有人单人杀咯几百人,还将华雄壹枪刺于马下,继续喝问道:"否 可能,您说,是何人竟然能壹招秒杀我大将."亲兵回忆起那壹幕恐惧,脸上否断抽搐,缓咯好几口起方才吱吱唔唔地说出叁个字:"姜永年.""姜永年？从来没听说过那号人物,那壹定是二贤庄の走狗,故意搭救东舌小儿,杀我壹员大将."唐璧脸上怒色冒起,嘴角开始慢慢扭曲.他拳头猛地砸在 咯梁柱上,狠狠地说道:"单通小儿,我有心保秦家壹命,既然您如此否识好歹,那就休要怪我咯."唐璧眼中迸射出几道杀机,朝两旁侍卫高声道:"传我将令,集结五百兵马给我包围秦家,能生擒の生擒,否能生擒の格杀勿论."……贾家楼,天色未黑,华灯初上.秦琼壹行人全部聚集在贾家楼中, 举行着盛大の宴席.宴会之上觥筹交错,酒光粼粼,众人皆是谈笑声否断,壹时间好否热闹.秦琼坐在首座,两旁排下依次是单雄信东舌等等.秦琼往杯中慢慢斟满如玉浆壹般の酒水,转而
用尺规作角 优秀教案
第二章平行线与相交线4 、用尺规作角教学内容：第二章平行线与相交线 4 、用尺规作角教学目标：知识与技能：会用尺规作一个角等于已知角；体会文字语言与作图语言的转换。
利用尺规作一个角等于已知角的应用。
过程与方法经历用尺规作一个角等于已知角的过程，并了解它在尺规作图中的简单应用。
情感态度与价值观：通过作图，感受图形世界的奇妙，激起学习数学的兴趣，发展空间观念，能在生活中用尺规作一个角等于已知角的应用。
教学重点：用尺规作一个角等于已知角。
教学难点：理解画图的语言，能根据几何语言画出图形。
作角的和、差、倍教学方法：讲练结合法教师准备：多媒体课件、直尺、圆规。
教师准备：预习教材P55-56 、直尺、圆规、量角器教学过程：第一环节创设现实情景，引入新课【活动内容】如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，使它的一组对边在长方形木板的边缘上，另一组对边中的一条边为AB.(1)请过C点画出与AB平行的另一条边.(2)如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，你能解决这个问题吗？【处理方式】引导学生一起分析：1、要在长方形木板上截一个平行四边形，按上图的方式(平行四边形的一组对边在长方形木板的边缘上)。
只要保证过点C作出与AB平行的另一条线段即可。
所以我用一个三角板的一边与AB重合，用直尺紧靠三角板的另一边，然后移动三角板，使与AB重合的那边过点C，这样过C点画线段CD，则CD就是所求的与AB平行的另一边。
2、只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，现在还不能解决这个问题。
3、过直线外一点作这条直线的平行线的原理是：同位角相等，两直线平行。
所以，能不能过点C作一个角等于∠BAC，且使这两个角是同位角呢？上面提出的问题：作一个角等于已知角。
这节课，我们就来学习利用尺规作一个角等于已知角。
【4、用尺规作角】——板书课题4、出示本节课的学习目标【设计意图】在问题(1)中,画图工具不限,方法也不限,只要正确画出并能用自己的语言说明画图的依据即可,一方面是巩固平行线判定的条件,另一方面也为第(2)问的思考做铺垫.在问题(2)的讨论中,引发了学生的认知冲突,从而自然导入了新课.第二环节新知构建【探究活动一】用尺规作一个角等于已知角［师］用尺规作图，它的步骤有哪些呢？［生］已知、求作、作法［师］好，那我们现在先来写已知、求作.［师生共析］已知：∠AOB，求作：∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB。
用尺规作图画角优秀教案
能力、提高素养营造良好的氛围，铺设合理的途径，以求最大限度地发挥数学教学的功
能．教学设计以知识的探索为载体，让学生积极主动而又生动活泼地发展，成为数学学习中的主体．教学过程要借助画角展开，激发学生探索画角新方法的欲望．并能凭借直觉确立初步的自信．初一学生刚涉足几何，要让他们独立探索尺规作图，必有一定的难度．因为这不仅涉及作图过程，更涉及若干概念以及几何语言的表述．因此，教师要充分利用学生已有的知识（用量角器画角）和经验，依靠学生的群体智慧，将难点突破．同时利用量角器的度量、图形的剪辑和练习的变式等，从不同层面为学生提供思考的空间．学生口、眼、手、脑的协同活动，加之以激励性的语言评价，不断激发学生的兴趣、追求与自信．最后，用多媒体动态模拟、过程分解、色彩对比和闪烁显示，把用量角器画角与尺规作图进行了生动而有深刻的比较，使得学生的认知结构有了进一步的完善．
3、请学生用量角器量一量，∠ 与∠AOB相等吗？
4、请学生将所画的∠ 与∠AOB分别剪下，看
一看这两个角是否完全重合？
说明：
(1)在数学中，把只用直尺（没有刻度的）和圆规画图称为尺规作图．
(2)在画图中间过程中画出的图形（点、直线、弧线
等），也叫做画图痕迹．这些痕迹可画轻一些、淡一些．在初学画图时，通常要求保留画图痕迹．
巩固已学的画图方法，
比较用量角器画已知角与用尺规画已知角的原理。
总结归纳
本节课的中心是研究尺规作图，要求作一个角等于已知角．它的关键是确定求作角的终边位置．实践证明，用量角器画一个角等于已知角的原理与用尺规作图作一个角等于已知角的原理完全相同．许多知识都有其内在的联系，善于发现并重视这种内在联系，有助于我们找到解决问题的途径．
2、4用尺规作线段和角(二)备课
课题用尺规作线段和角（二）课型新授课课标与教材教科书基于学生在上节课学习了如何作一条线段等于已知线段，并积累了一定的活动经验，提出本节课的主要教学任务是：会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。
而这仅是一个近期目标，数学教学是一个循序渐进的过程，所以每一堂课的教学都是具有密切联系的。
作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角都是尺规作图的基础，这为今后学习更为复杂的尺规作图奠定了基础。
我们应该更为注意数学教学的远期目标，并注意学生在活动当中所积累的数学经验。
重点会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。
难点会解决一些简单的作图问题，感受尺规作图在数学当中的一定作用，获得从事尺规作图活动的一些数学活动经验，培养合作与交流的能力学情知识储备：学生通过上节课的学习，已经掌握了如何用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段。
学习优势：在学习中学生已经初步理解了作图的步骤，具备了基本的作图能力，并能简单的表达作图过程，为本节课的学习奠定了良好的知识基础。
在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些尺规作图的活动，解决了一些简单的问题，感受到尺规作图在数学当中的一定作用，获得了从事尺规作图活动的一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
学困生分析：学生数学语言表达能力和动手能力有待提高教学目标知识目标．能按照作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。
能力目标1．能利用尺规作角的和、差、倍。
2．能够通过尺规设计并绘制简单的图案。
情感目标．在尺规作图过程当中，积累数学活动经验，培养动手能力和逻辑分析能力。
教学方法与媒体动手实践、自主探索与合作交流。
多媒体教具准备三角板第一环节回顾与思考活动内容：1. 怎样利用没有刻度的直尺和圆规作一条线段等于已知线段?2. 练习：已知线段a,b,c,作一条线段m,使得m=a+b-cabc通过课堂提问引起学生对上节课所学知识的回顾，对已学知识得以巩固落实，同时通过一个练习落实到学生的实际动手操作上，适合七年级学生的心理特征，可以调动学生的学习积极性，为后面的学习奠定了良好的基础。
2.4用尺规作角+课件+2023-2024学年北师大版数学七年级下册
作图:
①以点C为端点,过点Q作射线CD;
②以点O为圆心,小于OC的长为半径作弧,分别交OA,OB于点N,M;
③以点P为圆心,MN的长为半径作弧,交上一段弧于点Q;
图①
④以点C为圆心,OM的长为半径作弧,交OB于点P.
所以AC∥EF.所以∠C+∠CFE=180°.
又因为∠C=75°,
所以∠CFE=180°-75°=105°.
6.如图,已知∠1,∠2,∠2> ∠1,求作一个角,使它等于2∠2-∠1.(尺
规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:如图,∠AOB即为所求.
E'F'长为半径画弧,交弧A'B'于点A″.下列结论不正确的是( A )
A.∠AOB=2∠EO'F
B.∠AOB>∠EO'F
C.∠A″OB=∠EO'F
D.∠AOA″=∠AOB-∠EO'F
4.【分类讨论思想】如图,在∠A中,B是AC边上一点.
(1)以点B为顶点,BC为一边,利用尺规作∠EBC,使∠EBC=
作图,要求保留作图痕迹,不写作法)
解:如图,∠CAE即为所求.
5.如图,已知∠ACD=75°,点E在AB上.
(1)尺规作图(保留作图痕迹,不写作法):以E为顶点,EB为一边作
∠FEB=∠A,EF交CD于点F;
解:如图,∠FEB即为所求.
(2)在(1)的条件下,求∠CFE的度数.
解:因为∠FEB=∠A,
外再作一个角,使其等于∠ABC.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图,∠ABD即为所求.
用尺规作角课件
知1－练
知1－练
2 下列关于尺规作图的语句错误的是( ) A．作∠AOB，使∠AOB＝3∠α B．以点O为圆心作弧 C．以点A为圆心，线段a的长为半径作弧 D．作∠ABC，使∠ABC＝∠α＋∠β
知识点 2 作一个角等于已知角
做一做 利用尺规，作一个角等于已知角. 已知：∠AOB(如图). 求作：∠A′O′B′， 使∠A′O′B′＝∠AOB.
1.必做: 完成教材P56“议一议”随堂练习T1-2， 习题2.7T1
2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
知1－讲
•B．用刻度尺和圆规作图
•C．用没有刻度的直尺和圆规作图
•D．直尺和圆规是作图工具
导引：只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图，
由尺规作图的定义可排除选项A，B，D，故C
正确．
总结
知1－讲
本题应用定义法．根据“尺规作图”的定义对 选项逐一辨析即可．
1 尺规作图是指( ) A．用直尺规范作图 B．用刻度尺和圆规作图 C．用没有刻度的直尺和圆规作图 D．用圆规作图
知2－讲
•作法与示范：
作法
(1)作射线O′A′；
(2)以点O为圆心，以任意 长为半径作弧， 交OA 于点C，交OB于点D;
(3)以点O′为圆心，以OC 长为半径作弧， 交 O′A′于点C′;
示范
知2－讲
作法
(4)以点C′为圆心，以CD 长为半径作弧， 交前 面的弧于点D′;
(5)过点D′作射线O′B′， ∠A′O′B′就是所求作 的角.
方法一：
方法二：
总结
知2－讲
本题应用作图法，根据平行线的判定方法作同 位角相等或内错角相等，使m∥l，且m经过点P.
知2－练
2.4 用尺规做角
课堂小结 交流这节课的学习收获,包括知识和方法方面的.
(1)作一个角等于已知角的步骤. (2)怎样过直线外一点作已知直线的平行线. (3)作已知角的和、差、倍.
布置作业
P57习题2.7第1、2题.
A.用量角器画出∠AOB等于已知角α B.用三角尺作已知直线的垂线 C.用刻度尺画线段AB=2 cm D.用没有刻度的直尺和圆规作∠AOB,使其等于已知角α
解析:尺规作图指的是运用没有刻度的直尺和圆规作图.
检测评学(备用)
4.如图所示,以点B为顶点,射线BC为一边, 作∠EBC,使得∠EBC=∠A,这时EB与AD 一定平行吗?为什么?
目标导学
1.复习回顾:作一条线段等于已知线段.(口述作图过程)
已知:线段AB,如图所示. 求作:段A'B',使A'B'=AB.
目标导学 2.如图所示,要在长方形木板上截一个平行四边形,使它的一组对边 在长方
形木板的边缘上,另一组对边中的一条边为AB. (1)请过点C画出与AB平行的另一边. (2)如果只有一个圆规和一把没有刻度的直尺,你能解决这个问题吗?
解:①如图所示,任意作一条射线O'A'. ②以O为圆心,以任意长为半径作弧,交∠AOB边OA,OB于C,D两点. ③以O'为圆心,以OC长为半径作弧,交射线O'A'于点C'. ④以C'为圆心,以CD长为半径作弧,交原弧于点D'. ⑤再以D'为圆心,以CD长为半径作弧,交原弧于点B'. ⑥连接O'B'并延长,∠A'O'B'即为所求.
(1)即过直线外一点作已知直线的平行线. 可用“一落、二靠、三推、四画”
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2.4 用尺规作角
教学目的：
1、经历尺规作角的过程，进一步培养学生的动手操作能力，增强学生的数学应用和研究意识。
2、能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角。
教学重点：能按作图语言来完成作图动作，能用尺规作一个角等于已知角。
教学难点：作图步骤和作图语言的叙述，及作角的综合应用。
教学方法：猜想、实践法
教学用具：圆规、三角板
教学过程：
一 问题的提出：
如图，要在长方形木板上截一个平行四边形，
使它的一组对边在长方形木板的边缘上，
另一组对边中的一条边为AB 。
（1）请过点C 画出与AB 平行的另一条边
（2）如果你只有一个圆规和一把没有刻度的直尺，
你能解决这个问题吗？
二 .新课:（师生一起，边讲边练）
内容一:(请按作图步骤和要求操作,别忘了留下作图痕迹哦!)
(一) 用尺规作一个角等于已知角.
(1) 已知：∠AOB
求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′=∠AOB
(2) 已知：∠α
α
求作：∠AOB ，使∠AOB=∠α
(二) 用尺规作一个角等于已知角的倍数:
(3) 已知：∠1
求作：∠MON ，使∠MON=2∠1
∠COD ，使∠COD=3∠1
(三) 用尺规作一个角等于已知角的和:
(4) 已知：∠1、∠2、∠3
求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠1+∠2
②∠POQ ，使∠POQ=∠1+∠2+∠3
③∠MON ，使∠MON=2∠1+∠2
(四) 用尺规作一个角等于已知角的差:
已知：∠α、∠β、∠γ
求作：①∠AOB ，使∠AOB=∠α－∠β
②∠POQ ，使∠POQ=∠α－∠β－∠γ
③求作一个角，使它等于2∠β－∠γ
(五) 综合练习:(通过以下练习，意味着你掌握了作角的真本领，多动一下脑筋,你一定会完成得很出色的!) k 1132αβγ
(1) 已知:线段AB 、 ∠α、∠β
求作：分别过点A 、点B 作∠CAB=∠α 、∠CBA=∠β
（2）如图，点P 为∠ABC 的边AB 上的一点，过点P 作直线EF//BC
（3） 已知：直线L 和L 外一点P ， 求作：一条直线，使它经过点P ，并与已知直线
L 平行
（4） 已知：△ABC
求作：直线MN ，使MN 经过点A ，且MN//BC
A αβ
L
（5）如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ABC外再作一个角，使其等于∠ABC
六、小结：今天我们学习了用尺规作一个角等于已知角。
它是一个基本的作图方法。
七、作业：课本习题。