高考数学压轴专题专题备战高考《数列》难题汇编及答案

数学高考《数列》试题含答案
一、选择题
1．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9
C ．8或9
D ．8.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=
． ∴a n ＝2561
1()2
n -⨯=29﹣n ．
T n ＝28•27•……•2
9﹣n
＝2
8+7+…+9﹣n
()217
289[)89242
2
22
n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝
⎦==．
∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
3．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分
B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
4．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．
34
B ．
23
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】
∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24
S S S S S -=--=，
∴15510513 44
S S S S =+=， ∴1553:4
S S =． 故选A ． 【点睛】
在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
5．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920202S a =+
B ．201920212S a =+
C ．201920201S a =-
D ．201920211S a =-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为
1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，
所以201920211S a =-，选D. 【点睛】
本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.
6．已知数列{}n a 中，12a =，2
11n n n a a a +=-+，记12111n n
A a a a =
++⋯+，12111
n n
B a a a =
⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．201920191
2
A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2
1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．
（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=
+=，20192121116
B A a a <=⋅=， 所以2019201912
A B ->
. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：
（1）2
111211111111
111
11n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒
=
-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）2
11n n n a a a +=-+等价于2
111
1
n n n
a a a +=
--， 所以
111
1
n n n a a a +-=-， 故
12111111
n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是12121111111n n a a a a a a ⎛⎫
⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭
， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.
7．已知数列{}n a 的通项公式是2
21sin 2n n a n π+⎛⎫=
⎪⎝⎭
，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55
C ．66
D ．78
【答案】D 【解析】 【分析】
先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】
解：由题意得，当n 为奇数时，
213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛
⎫=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2
n a n =，
所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+
22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-
(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122
⨯=
（）
78= 故选：D 【点睛】
此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.
8．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）
A ．
2542
B ．
3764
C ．
1730
D ．
67
【答案】A 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当
6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知， 第1次循环时1
13
S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =
+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435
S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546
S =
++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；
第5次循环时111111324354657
S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出
111111324354657
S =
++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 111125
1226742
⎛⎫=
+--=
⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．
9．定义“穿杨二元函数”如：
(,)248n C a n a a a a =++++L 1444244
43个
.例如：()3,436122445C =+++=.若a Z +∃∈，满足(),C a n n =，则整数n 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．不存在满足条件的
n
【答案】B 【解析】 【分析】
由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112
n
n C a n a a -=⨯=--,然后根据(),C a n n =结合条件分析得出答案.
【详解】
由(,)248n C a n a a a a =++++L 144424443个，得()()12,2112
n
n C a n a a -=⨯=-- 由(),C a n n =，可得()
21n
a n -=.
当0n =时，对任意a Z +∈都满足条件. 当0n ≠时, 21
n
n
a =
-,由a Z +∈，当1n =时，1a =满足条件. 当2n ≥且n Z ∈时，设()21x
f x x =--，则()2ln 21x
f x '=-在2x ≥上单调递增. 所以()()24ln 210f x f ''>=->，所以()f x 在2x ≥上单调递增. 所以()()24120f x f >=-->，即当2n ≥且n Z ∈时，恒有21n n ->.
则()0,121
n
n
a =∈-这与a Z +∈不符合.所以此时不满足条件. 综上：满足条件的n 值为0或1.
故选：B 【点睛】
本题考查新定义，根据定义解决问题，关键是理解定义，属于中档题.
10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012
S x =，153
4
S x =
，从而得到155:S S 的值． 【详解】
解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得101
2
S x =， 1051122S S x x x ∴-=
-=-，151014S S x ∴-=，15113
244
S x x x ∴=+=， 故155
334:4
x
S S x ==， 故选：A ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.
11．已知数列{}n a 的前n 项和为212
343
n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )
A ．数列{}n a 是等差数列
B ．数列{}n a 是递增数列
C ．1a ，5a ，9a 成等差数列
D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列
【答案】D 【解析】 【分析】
由2*
123()43
n S n n n N =++∈，2n …
时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误． 【详解】
解：由2*
123()43
n S n n n N =++∈，
2n ∴…时，221121215
3[(1)(1)3]4343212
n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．
1n =时，114712
a S ==
，1n =时，15
212n a n =+，不成立．
∴数列{}n a 不是等差数列．
21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．
51915471543
22(5)(9)021*******
a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数
列．
631535
(456)32124S S -=⨯+++⨯=．
961553
(789)32124S S -=⨯+++⨯=．
1291571
(101112)32124
S S -=⨯+++⨯=．
Q
5323571
0444
⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．
故选：D ． 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r + B ．17[(1)(1)]a
r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a
r r r
+-+
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可. 【详解】 解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +， 孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +，
⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和， 此时将存款（含利息）全部取回， 则取回的钱的总数：
1717
16
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a
S a r a r a r r r r r
++-=++++⋯⋯++==+-++-；
故选：D ． 【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
13．在递减等差数列{}n a 中，2
1324a a a =-．若113a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．
24143
B ．
1143
C ．
2413
D ．
613
【答案】D 【解析】
设公差为,0d d < ，所以由2
1324a a a =-，113a =，得
213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和等于
1111116
()()213213213261313
n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类
隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或
1
(2)
n n +.
14．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得
111242a a q a q >+,化简后可得()
2
1210q a -<.
因为(
)
2
2
1
0q -≥
所以不等式的解集为10a < 若210n S -<
当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.
15．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列
1(1)(1)n n n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭
的前n 项和是（ ） A ．11
121n +-
-
B ．1
121
n -
+ C ．1
121
n
-
+ D ．1
121
n
-
- 【答案】A 【解析】
由等比数列的性质可得：2
153364,8a a a a ==∴=，
则数列的公比：2q =
==， 数列的通项公式：112n n
n a a q -==，
故：
()()()()
111211
1121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，
则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭
的前n 项和是：
122311
1111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L .
本题选择A 选项.
点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
16．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10 B ．14-
C ．–18
D ．–20
【答案】D 【解析】 【分析】
利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当
4n =或5时，n S 取到最小值.
【详解】
根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，
由134,,a a a 成等比数列，可得2
314a a a =，
∴1112
()4(6)a a a ++=，解得18a =-.
∴22(1)981
829()224
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.
17．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3
214633
f x x x x =
-+-的极值点，则2020
a =（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得. 【详解】
解：依题意1a 、4039a 是函数()3
214633
f x x x x =
-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根
∴140396a a =
又{}n a
是正项等比数列，所以2020a =
∴20201a ==.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
18．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A
．[； B
．(,-∞
C
．)
+∞
D
．(,)-∞⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得
1
1322
a d a =--， 当10a >
时，1111332222a a d a a ⎛⎫=--=-+≤-= ⎪⎝⎭
1a 时等号成立； 当10a <
时，1
1322a d a =--≥=
1a =立；
∴实数d
的取值范围为(,)-∞⋃+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >
④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >
其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【解析】 【分析】
先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】
Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，
∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，
∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，
12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.
故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
20．执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出的S 的值是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．
【详解】
由程序框图可知，输入，，，
第一次运算：，；
第二次运算：，；
第三次运算：，；
第四次运算：，；
第五次运算：，；
第六次运算：，；
第七次运算：，；
第八次运算：，；
第九次运算：，；
第十次运算：，，
综上所述，输出的结果为，故选B．
【点睛】
本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。