2020年海淀区九年级上期末数学试卷

2019-2020学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷

A. B. C. D.
6.如图，交于点，切于点，点在上．若＝，则为（）
A. B. C. D.
7.在同一平面直角坐标系中，函数＝与的图象可能是（）
A. B.
C. D.
8.在平面直角坐标系中，将横纵坐标之积为的点称为“好点”，则函数＝的图象上的“好点”共有（）
A. 个B. 个C. 个D. 个
①若点在直线上，则点的倍相关圆的半径为________．
②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值．
参考答案与试题解析
2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷
如图，在与中，，且＝．求证：．
某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
如图，在中，，于点，于点．
（1）求证：＝；
（1）在点，中，存在倍相关圆的点是________，该点的倍相关圆半径为________．
（2）如图，若是轴正半轴上的动点，点在第一象限内，且满足＝，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明．
（3）如图，已知点的，，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
反比例函数的图象经过，两点，则．（填“ ”，“＝”或“ ”）
如果关于的一元二次方程＝的一个解是＝，则＝________．

2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，1．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k＝（）A．2B．3C．﹣6D．62．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．3．（3分）不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．14．（3分）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB为（）A．9B．6C．3D．5．（3分）在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A．x﹣1＝0B．x2+x＝0C．x2﹣1＝0D．x2+1＝06．（3分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（）A．πB．πC．πD．π7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4B．﹣2C．0D．28．（3分）下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（）A．长度为线段B．斜边为3的直角三角形C．面积为4的菱形D．半径为，圆心角为90°的扇形二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是．10．（3分）若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a b（填“＞”、“＝”或“＜”）．11．（3分）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为（填“相交”、“相切”或“相离”）．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为．13．（3分）某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是（结果保留小数点后一位）．14．（3分）如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝m．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为，CE的长为．16．（3分）已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k0，b0（填“＞”，“＝”或“＜”）．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．18．（5分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．19．（5分）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．1.如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝cm；用含r的代数式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20．（5分）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：混入“HB”铅笔数012盒数6m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系；（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．21．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B （4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．（1）求证：OA＝OB；（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m＜0时，y1与y2的大小关系；（2）若只有当m≥1时，满足y1•y2≤0，求此时二次函数的解析式．24．（7分）已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是；（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25．（7分）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P 为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个，1．【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，3），∴k＝2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．2．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是，故选：A．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．4．【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，据此可得结论．【解答】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC，∴＝，即，解得AB＝6，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．5．【分析】根据题意一次项系数为0且Δ＞0．【解答】解：A、x﹣1＝0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵Δ＝0﹣4×1×1＝﹣4＜0，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的根的判别式．6．【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB＝360°×＝60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，弧BC的长为＝π．故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．7．【分析】利用抛物线的对称性确定（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y＝2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1.5，∴点（0，2）关于直线x＝﹣1.5的对称点为（﹣3，2），当﹣3＜x＜0时，y＞2，即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜0．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8．【分析】根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．【解答】解：半径为1的圆的直径为2，A、∵＞2，∴长度为线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；B、∵3＞2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；C、∵面积为4的菱形的长的对角线＞2，∴面积为4的菱形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；D、∵半径为，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．【分析】根据二次函数有最小值，即可得出a＞0，据此写出一个二次函数即可．【解答】解：∵二次函数有最小值，∴a＞0，∴这个二次函数的解析式可以是y＝x2，故答案为y＝x2．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．10．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝4＞0，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，且2＞1，∴a＞b，故答案为：＞．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．11．【分析】连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO 平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE＝OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O 的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．【解答】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE＝OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为相切．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．12．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，∴x＝1满足一元二次方程x2﹣3x+m＝0，∴1﹣3+m＝0，解得，m＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13．【分析】根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．【解答】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故答案为：0.9．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．14．【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∴＝，∴DE＝9（m），故答案为：9．【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15．【分析】由旋转的性质可得旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，连接CE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC＝45°，AD＝AE＝2，∴BE＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：45°，．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；（2）根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．【解答】解：（1）∵双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．∴y1＝﹣，y2＝﹣，∵x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，∴y2＝﹣＝﹣＝﹣y1，∴y1+y2＝0，故答案为0；（2）∵双曲线y＝﹣在二、四象限，∴设A（x1，y1）在第二象限，B（x2，y2）在第四象限．则x1＜0，y1＞0，x2＞0，y2＜0，∵x1+x2＞0，y1+y2＞0，∴|x2|＞|x1|，|y1|＞|y2|，如图，∴直线y＝kx+b经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故答案为＜，＞．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．18．【分析】（1）由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，再由∠B＝∠ACD＝90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出BC＝3，再由相似三角形的性质求出CD即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，∴BC＝＝＝3，由（1）得：△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CD＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．19．【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．【解答】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝452+（r﹣15）2，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20．【分析】（1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可；（2）①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，故答案为：m+n＝14；（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，∴＝，∴m＝5，n＝9．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．21．【分析】（1）将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；（2）先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；（3）先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D（8，4），由（2）知，C（2，4），∴直线CD的解析式为y＝4，∵点M的横坐标为m，则M（m，4），N（m，），∴MN＝|4﹣|，∵A（1，2），B（4，2），∴AB＝3，∵MN≥AB，∴|4﹣|≥3，∴m≥8或m≤，即0＜m≤或m≥8．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．22．【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到结论；（2）设⊙O的半径为r，先证明AO平分∠BAC，再证明∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，所以AC＝OC＝r，利用勾股定理得到（r）2+（2r）2＝（）2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA＝OB；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE＝OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC＝∠OAB，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，在Rt△OAC中，AC＝OC＝r，在Rt△ACD中，（r）2+（2r）2＝（）2，解得r＝1，即⊙O的半径为1．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质．23．【分析】（1）①待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数y＝﹣x+4的图像，根据图像即可得到结论；（2）由题意可知，只有二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），才能满足m≥1时，y1•y2≤0，然后根据待定系数法求得即可．【解答】解：（1）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，4），（4，4），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+4，∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴图象的顶点坐标为（2，0）；②画出函数的图像如图：由图像可知，m＜0时，y1＞y2；（2）由题意可知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），把（1，0）和点（4，0）代入得，解得，∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4．【点评】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，明确题意是解题的关键．24．【分析】（1）易证△ABD是等腰三角形，得AB＝AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD＝∠BAC＝45°，则∠BAD＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，由AAS 证得△BFC≌△DEC，得出BF＝DE，CF＝CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF ＝AF，推出AF＝DE，即可得出结论；（3）过点B作BF⊥AM于F，同（2）△BFC≌△DEC（AAS），得出BF＝DE，CF＝CE，证得AF＝DE，即可得出结果．【解答】（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AC＝CD＝CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC＝DE，故答案为：AC＝DE；（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，∴2AC＝AE+DE；（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25．【分析】（1）①分别以B为圆心，BO，BC，BA为半径作圆，观察图像根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与直线OA的公共点都在线段OA上，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．【解答】解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，观察图像可知，满足条件的n的值为1≤n≤8．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点F作FN⊥y轴于N．∵E（4，2），∴OH＝4，EH＝2，∴OE＝＝2，当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，∵∠EOF＝∠NOH＝90°，∴∠FON＝∠EOH，∵∠FNO＝∠OHE＝90°，∴△FNO∽△EHO，∴＝＝，∴＝＝，∴FN＝，ON＝，∴F（﹣，），观察图像可知当﹣≤m≤0时，满足条件．作点F关于点O的对称点F′（，﹣），当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），∴∠EOH＝∠OEF″，∴PE＝OP，s3PE＝OP＝t，在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，解得t＝，∴OP＝，PH＝PF″＝，可得F″（，﹣），观察图像可知，当≤m≤．综上所述，满足条件的m的值为﹣≤m≤0或≤m≤．【点评】本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

北京市海淀区2020届上学期初中九年级期末学业水平调研数学理试卷

北京市海淀区2020届上学期初中九年级期末学业水平调研数学试卷本调研卷满分100分。

考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D2. 五张完全相同的卡片上，分别写有数字l ，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是A.51 B. 52 C. 53 D.54 3. 关于方程0132=--x x 的根的情况，下列说法正确的是A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法判断4. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，AF 与BE 交于点O ，AE=2，BF=1，则△AOE 与△BOF 的面积之比为A.21B.41C. 2D. 45. 若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为 A.2πB. πC. 2πD. 4π6. 如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上。

若∠A=40°，则∠C 为A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7. 在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1+=kx y 与xky =（k ≠0）的图象可能是8. 在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数3||-=x y 的图象上的“好点”共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 反比例函数xy 2=的图象经过A （2，y 1），B （3，y 2）两点，则y 1______y 2。

（填“>”，“=”或“<”）10. 如果关于x 的一元二次方程012=-+bx ax 的一个解是1=x ，则2020-a-b=________。

北京市海淀区2019-2020学年上学期九年级期末考试数学试题(含解析)

2020年北京市海淀区初三期末数学考试逐題解析一、选择题(本题共16分，每小题2分〉第Z题均有四个选项，符合题意得选项只有一个.1.卜列凶形中既是轴对称图形，乂是中心对称图比的足ARCD【答案】C【解析】依据轴対称定义可知A, C为轴对称图形,依据中心对祢定义可知B, C为中心对称图形,故C正确.2.五张完全相同的卡片上,分别写彳j数字1, 2, 3, 4, 5,现从中Hj机抽取一张,抽到的卡片上所写数字小丁•3的概率足A・ 2 B. - C. - D.-SSSS【答案】B【解析】山题盘町知THr 5科结果，其中数字小干3的姑果右抽到1和2两种,所以P = -,故B止确.53・关丁•方FIx-3—O的根的惜况，下列说法正丽的是A.冇两个不和等的实数根B.右两个和等的实数很C.没有实数根D・无法判断【答案】A【解析】一元二次方F例断根的情况∕F∣JJljΛ=Λ2-4^∙ = 9-4xlx(-l) =13>0jλ∣为A>0所以肓浙个不等实数根，故A止确.1>4. 如妙在四边形AB(JD 中■ ADflBC.点応"分别是边血λ BC 上的点.AF 与BE交于点0,畑2, BF-X.则与△从护的面枳之比为【答案】D 【解析】山和似八字模型易证Δ4(M~ΔR 加所以柑似比为2, W 为面枳比为相以比的半方，所以血= 22 = 4,故D 疋确.Ss ħOF5. 若扇形的半径为2, EI 心角为90。

,则这个扇形的而积为 A< —B. πC. 2π D ∙ 4兀2【答知BIm O <扇形而枳公式S=雲二竺M “，故B 止确.360 3606. 如图,04 交Co J-点 B, AD W OO J-点 D,点 C 在0(91.若=40% !4'JZC 为【答案】BB. C. 2 D ∙4A. 20°B. 25° D. 35。

A- O【解析】山切线性质可知仞丄心所以Z∕Λ>M=900-Z4=50o,山同弧所对圆周ft]是関心允的一半，nJ 得ZCMZZDQ4 = 25。

2019-2020学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）A．B．C．D．3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（）A．B．C．2D．45．（2分）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A．B．πC．2πD．4π6．（2分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）10．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝．11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则EC的长为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则点D的坐标为．13．（2分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为．14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．（5分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．19．（5分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？20．（5分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．22．（5分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．23．（6分）如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）若BE＝3，求CF的长；（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值；（2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，①抛物线G的对称轴为x＝；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和实数k（k＞0），给出如下定义：当ka+b＞0时，将以点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的k倍相关圆．例如，在如图1中，点P（1，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，2为半径的圆．（1）在点P1（2，1），P2（1，﹣3）中，存在1倍相关圆的点是，该点的1倍相关圆半径为．（2）如图2，若M是x轴正半轴上的动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，判断直线ON与点M 的倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A的（0，3），B（1，m），反比例函数y＝的图象经过点B，直线l与直线AB关于y轴对称．①若点C在直线l上，则点C的3倍相关圆的半径为．②点D在直线AB上，点D的倍相关圆的半径为R，若点D在运动过程中，以点D为圆心，hR为半径的圆与反比例函数y＝的图象最多有两个公共点，直接写出h的最大值．2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．2．【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率为，故选：B．3．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，∴△AOE∽△FOB，∴＝（）2＝4．故选：D．5．【解答】解：这个扇形的面积＝＝π．故选：B．6．【解答】解：∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，故选：B．7．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，没有正确的选项；当k＜0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，D选项正确，故选：D．8．【解答】解：当x≥0时，x（x﹣3）＝1，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；当x＜0时，x（﹣x﹣3）＝1，解得：x3＝，x4＝．∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．故选：C．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＝2＞0，∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小，又∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．10．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，所以a+b＝1，所以2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019．故答案为2019．11．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：EC＝4；故答案为：4．12．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），∴点D的坐标为（6×，3×），即（3，），故答案为：（3，）．13．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．14．【解答】解：∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DAE＝∠DBC，∴∠DAE＝∠ABD，∵∠ADE＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，故答案为△CBE，△BDA．15．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，由题意可得，四边形BEF A是矩形，∵函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），∴矩形BEOM面积为：1，矩形MOF A面积为：3，则矩形BEF A的面积为4，则△ABN的面积为：S矩形BEF A＝2．故答案为：2．16．【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED＝＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为．故答案为：．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．18．【解答】解：：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴△ABC∽△ADE．19．【解答】解：（1）由题意得，两地路程为80×6＝480（km），故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝．（2）由v＝，得t＝，又由题知：t≤5，∴≤5．∵v＞0∴480≤5v．∴v≥96．答：返程时的平均速度不能低于96 km/h．20．【解答】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝OC＝1，∴CD＝＝＝，∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，同理可得，△OCE的面积＝×OD×CD＝，∴四边形DOEC的面积＝+＝．21．【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1∵方程有一个根为负数，∴m﹣1＜0．∴m＜1．22．【解答】解：（1）由题意画出树状图如下：所有可能情况如下：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，标号之和为奇数的概率是：，标号之和为偶数的概率是：，因为≠，所以不公平．23．【解答】解：（1）∵BC＝8，BE＝3，∴EC＝C＝BC﹣BE＝5，∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵CD⊥BC，∴∠ECF＝90°，∴△BAE∽△ECF，∴＝，即＝，解得：CF＝；（2）设BE为x，则EC＝8﹣x．由（1）可得＝，∴＝，∴2CF＝x（8﹣x），∴CF＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，∴当x＝4，即BE＝4时，CF的值最大，CF的最大值为8．24．【解答】解：（1）根据题意作图如下：设A点坐标是（x，x+），∵点A是第一象限内的点，且AB＝AC，∴x＝x+解得x＝3即A（3，3）∵点A在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝9（2）因为A（x，x+）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，所以k＝．①当点A在第一象限时，AB＞AC，即x+＞x（x＞0），解得0＜x＜3；代入k＝得0＜k＜9．②当点A在第二象限时，AB＞AC，即﹣x﹣＞﹣x（x＜0），无解；③当点A在第三象限时，AB＞AC，即x+＞﹣x（x＜0），解得﹣1＜x＜0；代入k＝得﹣1＜k＜0．综上所述，k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．答：k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．25．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．26．【解答】解：（1）①抛物线G的对称轴为x＝1，故答案为1；②抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；故答案为：m＞2或m＜0；（2）∵抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的对称轴为x＝1，且对称轴与x轴交于点M，∴点M的坐标为（1，0）．∵点M与点A关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点M右移3个单位得到点B，∴点B的坐标为（4，0）．依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣；把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣；把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4．根据所画图象可知抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得：﹣＜a≤﹣或a＝4．27．【解答】（1）解：①补全图形如图所示．②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1，∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴AD＝＝，∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠P AD＝90°，∴P A＝AD•tan60°＝2，∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ，∴△PDA≌△PDQ（SAS），∴PQ＝P A＝2．故答案为2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．∵P A⊥AD，∴∠P AD＝90°．由题意可知∠ADP＝45°．∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP，∴P A＝PD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∵AH⊥PF，PF⊥BQ，∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形，∴∠CAH＝90°，AH＝CF，∵∠ACH＝∠DAP＝90°，∴∠CAD＝∠P AH，．又∵∠ACD＝∠AHP＝90°，∴△ACD≌△AHP（AAS），∴AH＝AC＝1，∴CF＝AH＝1，∵BD＝，BC＝1，B，Q关于点D对称，∴CD＝BD﹣BC＝，DQ＝BD＝，∴DF＝CF﹣CD＝＝DQ，∴F为DQ中点．∴PF垂直平分DQ．∴PQ＝PD．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，∵PD＝PQ，PF⊥DQ，∴DF＝FQ＝x∵四边形AHFC是矩形，∴AH＝CF＝CD+DF＝（x﹣t）+x＝x﹣t，∵△ACB∽△P AD，∴＝，∴＝，∴P A＝，∵△P AH∽△DAC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴BD＝．28．【解答】解：（1）由题意知，k＝1，针对于P1（2，1），a＝2，b＝1，∴ka+b＝2+1＝3＞0，∴点P1（2，1）的1倍相关圆为以点P为圆心，3为半径的圆，针对于P2（1，﹣3），a＝1，b＝﹣3，∴ka+b＝1﹣3＝﹣2＜0，∴点P2（1，﹣3）不存在1倍相关圆故答案为：P1；3；（2）如图2中，结论：直线ON与点M的倍相关圆的位置关系是相切．理由：设点M的坐标为（n，0），过M点作MP⊥ON于点P，∴点M的倍相关圆半径为n．∴OM＝n．∵MP⊥ON，∴∠OPM＝90°，∵∠MON＝30°，∴MP＝OM＝n，∴点M的倍相关圆的半径为MP，∴直线ON与点M的倍相关圆相切；（3）①如图3中，记直线AB与x轴的交点为E，直线l与x轴的交点为F，∵B（1，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝6，∴B（1，6）∵A（0，3），∴直线AB的解析式为y＝3x+3，令y＝0，则3x+3＝0，∴x＝﹣1，∴E（﹣1，0），∵直线l是直线AB关于y轴对称，∴点F与点E关于y轴对称，∴F（1，0），∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3，∵点C在直线l上，∴设C（c，﹣3c+3），由题意知，k＝3，∴3c+（﹣3c+3）＝3，∴点C的3倍相关圆的半径是3，故答案为：3；②∵点D在直线AB上，设D（m，3m+3），由题意知，k＝，∴R＝m+（3m+3）＝m+3＞0，∴m＞﹣．联立直线AB和反比例函数表达式并解得：x＝1或﹣2，故点H（﹣2，﹣3）、B（1，6），圆与反比例函数y＝的图象最多有两个公共点，则圆和第三象限部分的图象没有交点，因为随着m的增大与第一象限部分早晚有交点，即hR＜DH，而DH＝＝（m+2）＝m+2，hR＝h（+3）＜m+2，则h≤或h≤，故h≤满足条件，故h的最大值为：．。

2019-2020学年北京海淀区九年级上学期期末数学试卷解析版

第 1 页共 18 页
2019-2020学年北京海淀区九年级上学期期末数学试卷解析版
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C ．
2．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的
卡片上所写数字小于3的概率是（）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45 【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率为25，故选：B ．
3．方程x 2﹣3x ﹣1＝0的根的情况是（）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【解答】解：∵方程x 2﹣3x ﹣1＝0中，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
4．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，AF 与BE 交
于点O ，AE ＝2，BF ＝1，则△AOE 与△BOF 的面积之比为（）。

2023-2024学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．下图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是.()A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是.()A. B. C. D.3.若关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为.()A.3B.0C.D.4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为.()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图，在中，AB为直径，C，D为圆上的点，若，则的大小为.()A. B. C. D.6.如图，的半径为2，将的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A 经过的路径长为.()A.2B.C.D.7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，统计数据如下：移植总数m1027075015003500700014000成活数n823566213353180629212628成活的频率结果保留小数点后三位下列说法正确的是.()A.若移植10棵幼树，成活数将为8棵B.若移植270棵幼树，成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多，成活率越高D.随着移植总数的增加，幼树移植成活的频率总在左右摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为8.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是，或；④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中，所有正确结论的序号是.()A.①②B.②③C.①②③D.①②④二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。

初三数学专题-2020.1海淀区初三数学期末试卷及答案

2初三第一学期期末学业水平调研数学 2018．1学校姓名准考证号一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线()212y x =-+的对称轴是A ．1x =-B ．1x = C．2x =-D ．2x=2．在△ABC 中，∠C =90°．若AB =3，BC =1，则sin A 的值为A ．13B ．C ．3D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B ∠的大小为 A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是 A ．32OB CD=B ．32αβ= C ．1232S S =D ．1232C C =EB C DADECBAD OA BC26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过 A ．点M B ．点N C ．点P D ．点Q7．如图，反比例函数k y x=的图象经过点A （4，1），当1y <时，x 的取值范围是A ．0x <或4x >B ．04x <<C ．4x <D ．4x >8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中AC =DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间x （单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是yx9.687.491.09O COD A B17.12图1 图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点D D ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径xy41AOxy–1–2–3–4–5–6123456–1–2–3–4–512345PQN MAOCDA OB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程220x x -=的根为． 10．已知∠A为锐角，且tan A =A 的大小是 °．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是．（写出一个即可） 12．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P =60°，P A=，则AB 的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为．停止线信号灯16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：2sin 30°2cos 45-°18．已知1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根，求(2)1m m +的值． 19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB=AC =5，sin 35C =，求BC 的长． CB A20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v = ；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．EB C DA22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．AB B' C' CAB B'(C')C B C' B' C A在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()ABB BAB'=，()AC C CAC'=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ． 23．如图，函数ky x=（0x <）与y ax b =+的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）．（1）求k ，a ，b 的值；图1 图2 图3（2）直线x m =与ky x=（0x <）的图象交于点P ，与1y x =-+的图象交于点Q ，当90PAQ ∠>︒时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EF =DE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若 AD =4，DE =5，求DM 的长．25．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，40C ∠=°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD '，连接BD '．已知AB =2cm ，设BD 为x cm ，B D '为y cm ．D'B D CA小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ，，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PAQA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO ∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．28．在△ABC 中，∠A =90°，AB =AC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q，请判断“QB =”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接P A ，PB ，且PB=A ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP =30°，求∠P AB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC =α，∠BPC =β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．PPEDQB CAB CAB CA图1 图2 图3初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准 2018．1一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．0或2 10．60 11．1y x=（答案不唯一） 12．（2-，0） 13．614．2 15．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A =，A ∠为锐角，30A ∠=︒.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式 = 1222⨯-+ (3)分 = 1= 1+ ………………5分 18．解：∵ 1x =是关于x 的方程2220x mx m --=的一个根， ∴ 2120m m --=.∴ 221m m +=. ………………3分 ∴ 2(2)211m m m m =++=.………………5分 19．解：作AD ⊥BC 于点D ， ∴ ∠ADB =∠ADC =90°. ∵ AC =5，3sin 5C =， B∴ sin 3AD AC C =⋅=. ………………2分 ∴ 在Rt △ACD中，4CD ==. ………………3分∵ AB=∴ 在Rt △ABD中，3BD ==. ………………4分∴ 7BC BD CD =+=. ………………5分 20．解：（1）240t. ………………3分（2）由题意，当5t =时，24048v t==. ………………5分答：平均每天要卸载48吨. 21．证明：∵ ∠B =90°，AB =4，BC =2，∴ AC == ∵ CE =AC ， ∴CE = ∵ CD =5， ∴AB ACCE CD=. ………………3分 ∵ ∠B =90°，∠ACE =90°，∴ ∠BAC +∠BCA =90°，∠BCA +∠DCE =90°.∴ ∠BAC =∠DCE .∴ △ABC ∽△CED . ………………5分 22．BC ，BC ，()BC BB CC ''+ ………………3分116………………5分 23．解：（1）∵ 函数ky x=（0x <）的图象经过点B （-2， 1）， ∴12k=-，得2k =-. ………………1分 ∵ 函数ky x=（0x <）的图象还经过点A （-1，n ），∴ 221n -==-，点A 的坐标为（-1，2）. ………………2分 EB C DA∵ 函数y ax b =+的图象经过点A 和点B ， ∴ 2,2 1.a b a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,3.a b =⎧⎨=⎩ ………………4分（2）20m -<<且1m ≠-. ………………6分 24．（1）证明：∵ BD 平分∠ABC ， ∴ ∠ABD =∠CBD . ∵ DE ∥AB ， ∴ ∠ABD =∠BDE .∴ ∠CBD =∠BDE . ………………1分 ∵ ED =EF ，∴ ∠EDF =∠EFD . ∵∠EDF +∠EFD +∠EDB +∠EBD =180°， ∴ ∠BDF =∠BDE +∠EDF =90°.∴ OD ⊥DF . ………………2分 ∵OD 是半径，∴ DF 是⊙O 的切线. ………………3分（2）解：连接DC ，∵ BD 是⊙O 的直径， ∴ ∠BAD =∠BCD =90°. ∵ ∠ABD =∠CBD ，BD =BD ， ∴ △ABD ≌△CBD . ∴ CD =AD =4，AB =BC. ∵ DE =5，∴3CE ==，EF =DE =5. ∵ ∠CBD =∠BDE ， ∴ BE =DE =5.∴ 10BF BE EF =+=，8BC BE EC =+=.∴ AB =8. ………………5分 ∵ DE ∥AB ， ∴ △ABF ∽△MEF . ∴AB BF ME EF=.∴ ME =4.∴ 1DM DE EM =-=. ………………6分25．（1）0.9. ………………1分（2）如右图所示. ………………3分（3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分 26．解：（1）2． ………………1分（2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分（3）4. ………………6分 27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan 2OAM ∠=，并在AM 上取点N ，使AM =MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段MN 和M N ''上的点是满足条件的点B .作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，∴ ∠MHA =90°，即∠OAM +∠AMH =90°. ∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴ ∠OAM =∠HMC .112O∴ 1tan tan 2HMC OAM ∠=∠=. ∴12MH HC HA MH ==. 设MH y =，则2AH y =，12CH y =， ∴ 522AC AH CH y =+==，解得45y =，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t ≤≤. ………………3分由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：8455t -≤≤-.………………4分∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t -≤≤-或4855t ≤≤.（3）41b -≤-或14b ≤≤ ………………7分 28．解：（1）否. ………………1分（2）① 作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA =90°， ∵ ∠ABP =30°， ∴ 12PD BP =. ………………2分 ∵PB =， ∴PD =. ∴sin 2PD PAB PA ∠==. 由∠P AB 是锐角，得∠P AB =45°. ………………3分另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',','BP P A PP ，则',',','P BA PBA P AB PAB BP BP AP AP ∠=∠∠=∠==.∵∠ABP =30°，∴'60P BP ∠=︒. ∴△'P BP 是等边三角形.∴'P P BP =.BBC∵PB =，∴'P P =. ………………2分 ∴222''P P PA P A =+. ∴'90PAP ∠=︒.∴45PAB ∠=︒. ………………3分② 45αβ+=︒，证明如下： ………………4分作AD ⊥AP ，并取AD =AP ，连接DC ，DP . ∴ ∠DAP =90°. ∵ ∠BAC =90°，∴ ∠BAC +∠CAP =∠DAP +∠CAP , 即 ∠BAP =∠CAD . ∵ AB =AC ，AD =AP ， ∴ △BAP ≌△CAD .∴ ∠1=∠2，PB =CD . ………………5分 ∵ ∠DAP =90°，AD =AP ，∴PD =，∠ADP =∠APD =45°. ∵PB =， ∴ PD =PB =CD . ∴ ∠DCP =∠DPC . ∵ ∠APC =α，∠BPC =β，∴ 45DPC α∠=+︒，12αβ∠=∠=-. ∴ 31802902DPC α∠=︒-∠=︒-. ∴ 139045ADP αβ∠=∠+∠=︒--=︒.∴ 45αβ+=︒. ………………7分B。

2019—2020海淀区九年级上册数学期末试卷

D EA2019—2020海淀区九年级上册数学期末试卷数学 2017.1学校班级姓名成绩一、选择题（本题共30分；每小题3分）下面各题均有四个选项；其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项填涂在答题卡相应的位置．1．抛物线2(1)3y x =-+的顶点坐标是A ．(1；3)B ．(1-；3)C ．(1-；3-)D ．(1；3-) 2．如图；在△ABC 中；D 为AB 中点；DE ∥BC 交AC 于E 点；则△ADE 与△ABC 的面积比为 A ．1:1 B ．1:2 C ．1:3D ．1:43．方程20x x -=的解是A ．0x =B ．1x =C ．1201x x ==，D ．1201x x ==-， 4．如图；在△ABC 中；∠A =90°．若AB =8；AC =6；则cos C 的值为A ．35B ．45C ．34D ．435．下列各点中；抛物线244y x x =--经过的点是A ．(0；4)B ．(1；7-)C ．(1-；1-)D ．(2；8)6．如图；O 是△ABC 的外接圆；40OCB ∠=︒；则A ∠的大小为CA BAOA ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒7．一个扇形的圆心角是120°；面积为3πcm 2；那么这个扇形的半径是A ．1cmB ．3cmC ．6cmD ．9cm 8．反比例函数3y x=的图象经过点（1-；1y ）；（2；2y ）；则下列关系正确的是 A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．不能确定9．抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4；则t 的值是 A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-10．当温度不变时；气球内气体的气压P （单位：kPa ）是气体体积V （单位：m 3）的函数；下表记录了一组实验数据：P 与V 的函数关系可能是 A．96P V =B ．16112P V =-+C ．21696176P V V =-+D ．96P V=二、填空题（本题共18分；每小题3分） 11．已知A ∠为锐角；若sin 2A =；则A ∠的大小为度．12．请写出一个图象在二；四象限的反比例函数的表达式． 13．如图；比例规是一种画图工具；它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成；利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上；使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA =3OD ；OB =3OC ）；然后张开两脚；使A ；B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上；若 3.2CD =cm ；则AB 的长为 cm ．14．如图；在平面直角坐标系xOy 中；以原点为位似中心；线段AB与线段A B ''是位似图形；若A (1-；2)；B (1-；0)；A '(2-；4)则B '的坐标为．EC15．若关于x 的方程20x mx m -+=有两个相等实根；则代数式2281m m -+的值为．16．下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．请回答：该画图的依据是______________________________________________________．三、解答题（本题共72分；第17~26题；每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）17．计算：22sin 30-°0(π3)--+．18．如图；在△ABC 中；∠C =90°；E 是BC 上一点；ED ⊥AB ；垂足为D ．求证：△ABC ∽△EBD ．19．若二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0 1)，和(1 2)-，两点；求此二次函数的表达式．20．已知蓄电池的电压U 为定值；使用蓄电池时；电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）I是反比例函数关系；它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ；那么用电器的可变电阻R21．已知矩形的一边长为x ；且相邻两边长的和为10．（1）求矩形面积S 与边长x 的函数关系式；并写出自变量的取值范围；（2）求矩形面积S 的最大值．22．如图；热气球探测器显示；从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°；看这栋楼底部C 处的俯角为60°；热气球与楼的水平距离AD 为100米；试求这栋楼的高度BC ．23．在矩形ABCD 中；AB =3；BC =6；P 为BC 边上一点；△APD 为等腰三角形．（1）小明画出了一个满足条件的△APD；其中P A =PD ；如图1所示；则tan BAP ∠的值为；（2）请你在图2中再画出一个满足条件的△APD （与小明的不同）；并求此时tan BAP ∠的值．图1 图224．如图；直线4(0)y ax a =-≠与双曲线ky x=只有一个公共点A (1；2-)．（1）求k 与a 的值；（2）若直线+(0)y ax b a =≠与双曲线k y x=有两个公共点；请直接写出b 的取值范围．25．如图；AB 是⊙O 的直径；弦CD ⊥AB 于点E ；AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM 是⊙O 的切线；（2）若∠D = 60°；AD = 2；射线CO 与AM 交于N写出求ON 长的思路．26．有这样一个问题：探究函数1(1)(2)(3)2y x x x x =---+的性质．（1）先从简单情况开始探究：① 当函数为1(1)2y x x =-+时；y 随x 增大而（填“增大”或“减小”）； ② 当函数为1(1)(2)2y x x x =--+时；它的图象与直线y x =的交点坐标为；（2）当函数为1(1)(2)(3)2y x x x x =---+时；下表为其y 与x 的几组对应值．①如图；在平面直角坐标系xOy 中；描出了上表中各对对应值为坐标的点；请根据描出的点；画出该函数的图象；②根据画出的函数图象；写出该函数的一条性质：．27．在平面直角坐标系xOy 中；抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A ．（1）求点A 的坐标；（2）将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''．①直接写出点O '和A '的坐标；②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO'有且只有两个公共点；结合函数的图象；求m 值范围．28．在△ABC 中；AB =AC ；∠BAC =α；点P 是△ABC 内一点；且2PAC PCA α∠+∠=．连接PB ；试探究P A ；PB ；PC 满足的等量关系．PAB CP'AB C P（1）当α=60°时；将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP '△；连接PP '；如图1所示．由ABP △≌ACP '△可以证得'APP △是等边三角形；再由30PAC PCA ∠+∠=︒可得∠APC 的大小为度；进而得到CPP '△是直角三角形；这样可以得到P A ； PB ；PC 满足的等量关系为；（2）如图2；当α=120°时；请参考（1）中的方法；探究P A ；PB ；PC 满足的等量关系；并给出证明；（3）P A ；PB ；PC 满足的等量关系为．图1 图229．定义：点P 为△ABC 内部或边上的点；若满足△P AB ；△PBC ；△P AC 至少有一个三角形与△ABC 相似（点P 不与△ABC 顶点重合）；则称点P 为△ABC 的自相似点．例如：如图1；点P 在△ABC 的内部；∠PBC =∠A ；∠PCB =∠ABC ；则△BCP ∽△ABC ；故点P 为△ABC 的自相似点．在平面直角坐标系xOy 中；（1）点A 坐标为(2；； AB ⊥x 轴于B 点；在E (2；1)；F (32；2)；G (12；2)这三个点中；其中是△AOB 的自相似点的是（填字母）；（2）若点M 是曲线C ：k y x=（0k >；0x >）上的一个动点；N 为x 轴正半轴上一个动点； ①如图2；k =；M 点横坐标为3；且NM=NO ；若点P 是△MON 的自相似点；求点P 的坐标；②若1k =；点N 为(2；0)；且△MON 的自相似点有2个；则曲线C 上满足这样条件的点M 共有个；请在图3中画出这些点（保留必要的画图痕迹）．PB CA图1图2海淀区九年级第一学期期末练习数学答案 2017．1一、选择题（本题共30分；每小题3分）二、填空题（本题共18分；每小题3分） 11．45；12．1y x =-（答案不唯一）；13．9.6；14．（2-；0）；15．1；16．90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.三、解答题（本题共72分；第17~26题；每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）17．解：原式=22112-⨯- --------------------4分． ----------------------------------5分 18．证明：∵ED ⊥AB ；∴∠EDB =90°． --------------------------1分 ∵∠C =90°； ------------------------------2分 ∴∠EDB =∠C ． --------------------------3分 ∵∠B =∠B ； ----------------------------4分 ∴ABC △∽EBD △． -------------------5分19．解：∵二次函数2y x bx c =++的图象经过（0；1）和（1；2-）两点；∴121c b c =⎧⎨-=++⎩，．---------------------------2分解得41b c =-⎧⎨=⎩，．--------------------------------4分EC∴二次函数的表达式为241y x x =-+． -------------5分 20．（1）解：设反比例函数的表达式为()0I UU R=≠；由图象可知函数()0I UU R=≠的图象经过点（9；4）； ∴49U =． -------------------------------------------1分∴36U =． ---------------------------------------2分∴反比例函数的表达式为36I R=（0R >）． ------------3分（2） 3.6R ≥．（答 3.6R >得1分；其它错误不得分） ----------------5分 21．解：（1）()10S x x =-； -------------------------------------------2分其中010x <<； ----------------------------------------3分（2）()10S x x =-=()2525x --+． -----------------------4分∴当5x =时；S 有最大值25． ---------------------------5分22．解：∵90ADB ADC ∠=∠=°；30BAD ∠=°；60CAD ∠=°；AD =100；---2分∴在Rt ABD △中；tan BD AD BAD =⋅∠=----3分在Rt ACD △中；tan CD AD CAD =⋅∠= ----4分∴3BC BD CD =+=． --------------------5分 23．（1）1． -----------------------------------2分（2）解法一：B P CA D--------------------3分∵矩形ABCD ； ∴90B ∠=°．∵AP =AD =6；AB =3；∴在Rt ABP △中；BP == -----------4分∴tan BAP BPAB∠==． ----------------------5分解法二：B P CA D-----------------------3分∵矩形ABCD ； ∴90B C ∠=∠=°．∵PD =AD =BC =6；AB =CD =3；∴在Rt CPD △中；CP == ---------4分∴6BP BC CP =-=-∴在Rt ABP △中；tan 2BAP BPAB∠==． ---------------5分 24．（1）∵直线4y ax =-与双曲线y kx=只有一个公共点A （1；2-）； ∴2421a k-=--=⎧⎪⎨⎪⎩，． ----------------------------------1分 ∴22a k ==-⎧⎨⎩，．（2）4b <-或4b >．（答对一个取值范围得1分） ----------------------5分 25．（1）证明：∵AB ⊥CD ；AB 是⊙O 的直径；∴BC BD =．∴112CAD ∠=∠．∵AM 是∠DAF 的角平分线；∴212DAF ∠=∠．21MNFAC D EBO---------------------------------------------------2分 ------------------------------------------------------3分∵180CAD DAF ∠+∠=°； ∴1290OAM ∠=∠+∠=°． ∴OA ⊥AM ．∴AM 是⊙O 的切线．----------------------------2分（2）思路：①由AB ⊥CD ；AB 是⊙O 的直径；可得BC BD =；AC AD =；1132CAD AC AD ∠=∠=∠=，；②由60D ∠=°；=2AD ；可得ACD △为边长为2的等边三角形；1330∠=∠=°；③由OA OC =；可得3430∠=∠=°； ④由3120CAN OAN ∠=∠+∠=°；可得5430∠=∠=°；2AN AC ==；⑤由OAN △为含有30°的直角三角形；可求ON 的长．（本题方法不唯一） -------------------------5分26．（1）①增大； ---------------------------------------------1分 ②（1；1）；（2；2）； ------------------------------3分（2）①54321MN FAC D EBO----------------------------------4分（2）该函数的性质：①y 随x 的增大而增大；②函数的图象经过第一、三、四象限； ③函数的图象与x 轴y 轴各有一个交点． ……（写出一条即可） --------------------------------5分27．（1）∵()()2244323y m x x m x =-++=-+；∴抛物线的顶点A 的坐标为（2；3）． --------------------2分（2）O '（2；0）； ------------------------------------------------3分A '（4；3）． ------------------------------------------4分（3）依题意；0m <． --------------------------------------5分将（0；0）代入2443y mx mx m =-++中；得34m =-. -------------------6分∴304m -<<． --------------------------------------7分28．（1）150；----------------------------1分222PA PC PB +=． ----------------------------------3分（2）如图；作120PAP '∠=°；使AP AP '=；连接PP '；CP '．过点A 作AD ⊥PP '于D 点．∵120BAC PAP '∠=∠=°；即BAP PAC PAC CAP '∠+∠=∠+∠； ∴BAP CAP '∠=∠． ∵AB =AC ；AP AP '=；∴BAP CAP '△≌△. --------------------------------4分 ∴P C PB '=；180302APD AP D PAP '∠=∠='-∠=°．∵AD ⊥PP '； ∴90ADP ∠=°.∴在Rt APD △中；cos 2PD AP APD AP =⋅∠=.∴2PP PD '==． ∵60PAC PCA ∠+∠=°；∴180120APC PAC PCA ∠=∠-∠=-°. ∴90P PC APC APD '∠=∠-∠=°． ∴在Rt P PC '△中；222P P PC P C ''+=.∴2223PA PC PB +=． ----------------------------------------6分（3）22224sin 2PA PC PB α+=． -------------------------------7分29．（1）F ；G ．（每对1个得1分） -------------------------------------2分（2）①如图1；过点M 作MH ⊥x 轴于H 点． ∵M 点的横坐标为3；∴3y ==.∴3M （.∴OM =OM的表达式为3y x =． ∵MH ⊥x 轴；∴在Rt △MHN 中；90MHN ∠=°；222NH MH MN +=．设NM =NO =m ；则3NH OH ON m =-=-.DP'PB CA∴()2223m m -+=.∴ON =MN =m =2． --------------------------------------------3分如图2； 1PON △∽NOM △；过点1P 作1PQ ⊥x 轴于Q 点； ∴11PO P N =；112OQ ON ==． ∵1P 的横坐标为1；∴133y ==.∴11P ⎛ ⎝⎭． ------------------------------------------------4分如图3；2P NM NOM △∽△； ∴2P N MNON MO=.∴2P N =．∵2P 的纵坐标为3；=. ∴2x =.∴22P ⎛ ⎝⎭． ----------------------------------------5分综上所述；1P ⎛ ⎝⎭或2⎛⎝⎭． ②4． --------------------------------------------6分（每标对两个点得1分）-------------------------------------8分。

2020年海淀区九年级上期末数学试卷

海淀九上期末数学试卷2010.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2. 将抛物线2x y =平移得到抛物线=y 25x -，叙述正确的是( )A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位3.如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC .若3:2:=BC DE ，则ABC ADE S S ∆∆:为（） A. 4:9 B. 9:4 C. 3:2 D. 3:24.抛物线2(1)7y x =-+的顶点坐标为( )A ．)1,7(B ．(1,7)C ．(1,7)-D ．(1,7)-5．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦.若∠BAD =23°，则ACD ∠的大小为（）A.23°B.57°C.67°D.77°6．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．240b ac -> B ． 0a <C ．0c >D ．0b >7. 如图，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△''AC B ，则tan 'B 的值为( )A. 14B. 13C. 12D. 1AOBDCEAB CD8.一种胸花图案的制作过程如图1—图3，图1中每个圆的半径均为1. 将图1绕点O 逆时针旋转60︒得到图2，再将图2绕点O 逆时针旋转30︒得到图3，则图3中实线的长为( )图1 图2 图3A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．函数21-=x y 中自变量x 的取值范围是． 10.若二次函数223y x =-的图象上有两个点),1(m A 、(2,)B n ，则m n （填“<”或“=”或“>”）.11.如图，△ABO 与△'''A B O 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．12. 图1中的“箭头”是以AC 所在直线为对称轴的轴对称图形，90BAD ∠=︒，2AB =.图2到图4是将“箭头”沿虚线剪拼成正方形的过程，则图1中BC 的长为 .图1 图2 图3 图4三、解答题（本题共30分，每小题5分）13. 计算：()112cos30201032-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭14. 解方程：2250x x .15．化简：4-4)212-3(2x x x ÷++．16．如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在AC 、AB 两边上，ABC ADE ∠=∠，3,7==AD AB ， 2.7AE =,求AC 的长．17. 已知：k 是方程01232=--x x 的一个根，求代数式7)1)(1(2)1(2+-++-k k k 的值.18. 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）m 的值为；（2）求这个二次函数的解析式.四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．将两个大小不同的含45︒角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B 、C 、E 三点在同一条直线上，连结DC ．求证:△ABE ≌△ACD .20．圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形建筑物.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.21.已知：在△ABC 中，B ∠为锐角，4sin 5B =，15AB =，13AC =，求BC 的长.22. 如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E .(1)求证:DE 是⊙O 的切线；(2)若21cos =C , 6DE =, 求⊙O 的直径.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 如图1，已知四边形ABCD ，点P 为平面内一动点. 如果PAD PBC ∠=∠，那么我们称点P 为四边形ABCD 关于A 、B 的等角点.如图2，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，点C 的横坐标为6.（1）若A 、D 两点的坐标分别为(0,4)A 、(6,4)D ，当四边形ABCD 关于A 、B 的等角点P 在DC 边上时，则点P 的坐标为；（2）若A 、D 两点的坐标分别为(2,4)A 、(6,4)D ，当四边形ABCD 关于A 、B 的等角点P 在DC 边上时，求点P 的坐标；（3）若A 、D 两点的坐标分别为(2,4)A 、(10,4)D ，点(,)P x y 为四边形ABCD 关于A 、B 的等角点，其中2>x ，0y >，求y 与x 之间的关系式.图1 图2备用图1 备用图224．当060α<<时，下列关系式中有且仅有一个正确.A. 2sin(30)sin αα+=+B. 3sin 2)30sin(2+=︒+ααC. 2sin(30)3cos ααα+=+ （1）正确的选项是；（2）如图1，△ABC 中， 1=AC ，∠B ＝30，α=∠A ，请利用此图证明（1）中的结论；（3）两块分别含4530和的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD =ADC S ∆.图1图225．已知：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(8,0)B ，与y 轴交于点)4,0(-C .直线y x m =+与抛物线交于点D 、E （D 在E 的左侧），与抛物线的对称轴交于点F . (1) 求抛物线的解析式；(2) 当2m =时，求DCF ∠的大小；(3) 若在直线y x m =+下方的抛物线上存在点P ，使得45DPF ∠=︒，且满足条件的点P 只有两个，则m 的值为 .（第（3）问不要求写解答过程）备用图1 备用图2海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共32分，每小题4分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABABCABD二、填空题（本题共16分，每小题4分）题号 9101112答案2≠x<(6,0)5三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：()112cos30201032-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭解：原式321232=⨯-+分 231=.-------------------------------------5分14．解方程：2250xx .解法一：522=+x x .15122+=++x x .--------------------------------------------------2分 6)1(2=+x .------------------------------------------3分 61±=+x . 16-±=x . ∴161-=x ，162--=x .-----------------------------------------5分解法二：521-===c b a ，，.△=ac b 42-)5(1422-⨯⨯-=204+==240>.-------------------------------2分∴2x a=221-±=⨯----------------------------3分22-±=1=-±.∴161-=x ，162--=x .-------------------------------------------5分15.化简：2314()-22-4x x x +÷+．解：原式=23624[](2)(2)(2)(2)4x x x x x x x +-+÷-+-+-------------------------------------2分2236+2-4-44x x x x +-=⋅ ---------------------------------3分 2244-4-44x x x +=⋅ -----------------------------------4分 1x =+.-----------------------------------5分解法二：原式=2234142424x x x x --⋅+⋅-+--------------------------------------2分=36244x x +-+-----------------------------------------------------------4分=444x +=1x +.-----------------------------------------------5分 16．解：在△ABC 和△ADE 中，∵ ABC ADE ∠=∠，,A A ∠=∠∴ △ABC ∽△ADE .-------------------------------2分 ∴AB AC ADAE=.----------------------------3分∴ AB AE AC AD⋅=7 2.73⨯=----------------------------4分6.3=.---------------------------------5分17. 解： ∵ k 是方程01232=--x x 的一个根，∴ 23210k k --=.---------------------------1分 ∴ 2321k k -=.原式22212(1)7k k k =-++-+ ----------------------------3分2221227k k k =-++-+2326k k =-+ ----------------------------4分16=+7=.----------------------------5分18．解：（1）0 ；----------------------------2分（2）解法一：设这个二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-.----------------------------3分∵ 点(0,3)-在函数图象上，∴ 3(01)(03)a -=+-.解得 1a =.----------------------------4分∴ 这个二次函数的解析式为(1)(3)y x x =+-.----------------------------5分解法二：设抛物线的解析式为2(1)4y a x =--.-------------------------3分 ∵ 抛物线经过点(1,0)-，∴ 20(11)4a =---.解得 1a =.----------------------------4分∴ 这个二次函数的解析式为2(1)4y x =--.----------------------------5分四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 证明： ∵ △ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴ ,,AB AC AD AE == ︒=∠=∠90DAE BAC .--------2分即 BAC CAE DAE CAE ∠+∠=∠+∠.∴ CAD BAE ∠=∠.-------------------3分在△ABE 和△ACD 中，,,,AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABE ≌△ACD .----------------------5分20. 解：解法一：如图所示建立平面直角坐标系. --------------------1分此时，抛物线与x 轴的交点为C (100,0)-，D (100,0).设这条抛物线的解析式为(100)(100)y a x x =-+.--------------------2分 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，可得 150(50100)(50100)a =-+ . 解得 501-=a . ∴ 抛物线的解析式为)100)(100(501+--=x x y . 当0x =时，200y =.-----------------------4分∴ 拱门的最大高度为200米. --------------------------5分解法二：如图所示建立平面直角坐标系. -----------------------1分设这条抛物线的解析式为2ax y =.-------------2分设拱门的最大高度为h 米，则抛物线经过点).,100(),150,50(h D h B -+-可得 22100,15050.h a h a ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得,.200501⎪⎩⎪⎨⎧=-=h a .----------------------4分∴ 拱门的最大高度为200米.--------------------5分21.解：过点A 作AD ⊥BC 于D .-------------------1分在△ADB 中，90ADB ∠=︒,∵ sin B =54，15AB =， ∴ AD =sin AB B ⋅41512.5=⨯=------------2分由勾股定理,可得 22BD AB AD =-=221215-9=.-------------3分在△ADC 中，90ADC ∠=︒,13,12,AC AD ==由勾股定理,可得222213125DC AC AD =-=-=.∵ ,AD AC AB <<∴ 当C B 、两点在AD 异侧时,可得 9514BC BD CD =+=+=.------------4分当C B 、两点在AD 同侧时,可得 954BC BD CD =-=-=.∴ BC 边的长为14或4.--------------------5分22. 证明：(1)如图，连结OD ． -------------------------1分∵ AC DE ⊥,∴ ︒=∠90DEC .∵ O 为AB 中点，D 为BC 中点,∴ OD 为△ABC 的中位线.∴ OD ∥AC .D AB C∴ ︒=∠=∠90DEC ODE .即 OD ⊥DE .∵ 点D 在⊙O 上,∴ DE 是⊙O 的切线． -------------------------------2分(2) ∵ 21cos =C , ∴ ︒=∠60C . -------------------------------3分∵ OD ∥AC ,∴ ︒=∠=∠60C BDO .∵ OD OB =,∴ ︒=∠=∠60ODB B .∴ △ABC 为等边三角形.∵ 在△EDC 中，90DEC ∠=︒, 6DE =，∴ 43DC =.----------------------------- 4分∵ D 为BC 中点,∴ 283BC DC ==.∴ AB =38.∴ ⊙O 的直径为38. ------------------------------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23. 解：（1）P (6,2)；----------------------------2分（2）依题意可得90D BCD ∠=∠=︒，PAD PBC ∠=∠,4,4, 6.AD CD BC === ∴ △PAD ∽△PBC .----------------------------3分∴ 4.6PD AD PC BC == ∵ 4,PD PC CD +==∴ 125PC =. ∴ 点P 的坐标为12(6,)5. --------------------4分（3）根据题意可知，不存在点P 在直线AD 上的情况；当点P 不在直线AD 上时，分两种情况讨论： ① 当点P 在直线AD 的上方时，点P 在线段BA 的延长线上，此时有2y x =； ② 当点P 在直线AD 的下方时，过点P 作MN ⊥x 轴，分别交直线AD 、BC 于M 、N 两点.与（2）同理可得 △PAM ∽△PBN ,4PM PN +=.由点P 的坐标为(,)P x y ，可知M 、N 两点的坐标分别为(,4)M x 、(,0)N x .∴ PM AM PN BN=. 可得42y x y x --=. ∴ 21x y x =-. 综上所述，当2>x ，0y >时，y 与x 之间的关系式为2y x =或21x y x =-.-----7分（注：第（3）问中，当点P 不在直线AD 上时，只要写对一种情况就给2分）24. 解：（1）C .-----------------------2分（2）如图, 过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D .∵ ∠B ＝30︒，BAC α∠=，1=AC ，∴ 30ACD α∠=+︒.∴ 在△ADC 中，90ADC ∠=︒，sin sin(30)AD AC ACD α=⋅∠=+︒.∵ 在△ABD 中，90ADB ∠=︒，∠B ＝30︒，∴ 2AB AD =2sin(30)α=+︒.------------3分过点C 作CE ⊥AB 于E .∴ 在△CEA 中，90AEC ∠=︒，sin ,cos CE AE αα==.在△BEC 中，90BEC ∠=︒，EB α==.---------------4分∴ cos AB AE BE αα=+=.∴ 2sin(30)cos AB ααα=+︒=+.-----------------------5分（3)由上面证明的等式易得sin(30)α+︒=. 如图，过点A 作AG ⊥CD 交CD 的延长线于点G . -----------------6分∵ △ABD 和△BCD 是两个含4530︒︒和的直角三角形，BD =∴ 75ADG ∠=︒，8AD =，42CD =. ∵ sin 75sin(4530)︒=︒+︒3sin 45cos 452︒+︒= 624+=. ∴ 在△ADG 中，90AGD ∠=︒，sin 8sin 752622AG AD ADG =⋅∠=⨯︒=+.------------------7分 ∴ ADC S ∆=12CD AG ⋅= 1422⨯⨯(2622)+=838+.------------------8分25. 解：（1）依题意，设抛物线的解析式为(2)(8)y a x x =+-.∵ 抛物线与y 轴交于点)4,0(-C ， ∴ 4(02)(08)a -=+-.解得 14a =. ∴ 抛物线的解析式为1(2)(8)4y x x =+-，即213442y x x =--.-------------2分（2）由（1）可得抛物线的对称轴为3x =.∵ 2m =，∴ 直线的解析式为2y x =+.∵ 直线2y x =+与抛物线交于点D 、E ，与抛物线的对称轴交于点F ，∴ F 、D 两点的坐标分别为(3,5),(2,0)F D -.设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M .可得 5.CM FM MD ===∴ F 、D 、C 三点在以M 为圆心，半径为5的圆上. ---------------------4分 ∴ DCF ∠=︒=∠4521DMF .---------------------5分（3） 54m =-.--------------------------------------------7分（注：由于题目的解法可能不唯一，因此请老师根据评分标准酌情给分）。

2020年北京市海淀区初三上册数学期末试题有答案

北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分。

考试时间120分钟。

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．1．抛物线212y x 的对称轴是A ．1x B ．1x C ．2x D ．2x 2．在△ABC 中，∠C90°．若AB 3，BC1，则sin A 的值为A ．13B ．22C ．223D ．33．如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB4，AD 2，DE 1.5，则BC 的长为A ．1 B ．2 C ．3D ．44．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则B 的大小为A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°5．如图，△OAB ∽△OCD ，OAOC 32，∠A α，∠C β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是A ．32OB CDB ．32C ．1232S S D ．1232C C 6．如图，在平面直角坐标系Oy 中，点A 从（3，4）出发，绕点O 顺时针旋转一周，则点A 不．经过A ．点MB ．点NC ．点PD ．点QEB C DADECBAxy–１–２–３–４–５–６123456–１–２–３–４–５12345PQNMAO DOA BC7．如图，反比例函数k yx的图象经过点A （4，1），当1y 时，的取值范围是A ．0x 或4x B ．04x C ．4x D ．4x8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，小兰从点C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点C ，两人的运动路线如图1所示，其中ACDB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y 与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是yx9.687.491.09O CODA B17.12图1图2A ．小红的运动路程比小兰的长B ．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点DD ．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程220xx 的根为．10．已知∠A 为锐角，且tan 3A，那么∠A 的大小是°．11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是．（写出一个即可）12．如图，抛物线2y axbx c 的对称轴为1x，点P ，点Q 是抛物线与轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为．xyPx=1Oxy41AOCDA OB13．若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为．14．如图，AB 是⊙O 的直径，P A ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，点C ，若∠P60°，P A3，则AB 的长为．15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则的最小值为．绿黄红停止线交通信号灯0.8mx m3.2m10m20m16．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ．求作：∠A ，使得∠A30°．作法：如图，（1）作射线AB ；（2）在射线AB 上取一点O ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线AB 相交于点C ；（3）以C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点D ，作射线AD ．∠DAB 即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：2sin 30°2cos 45°8．18．已知1x 是关于的方程2220xmx m的一个根，求(2)1m m 的值．OCBA PDC BOA19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角，AB 32，AC5，sin 35C，求BC 的长．CB A20．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（1）直接写出v 关于t 的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）（2）如果船上的货物5天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ABC 中，∠B90°，AB4，BC2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC 为锐角，图2中BAC 为直角，图3中BAC 为钝角）．AB B' C' CAB B'(C')C B C' B' CA在△ABC 的边BC 上取B ，C 两点，使AB BAC CBAC ，则ABC △∽B BA △∽C AC △，AB B BAB，AC C CAC，进而可得22ABAC；（用BB CC BC ，，表示）若AB=4，AC=3，BC=6，则B C．图1图2 图3EB C DA23．如图，函数k yx（0x ）与yax b 的图象交于点A （-1，n ）和点B （-2，1）．（1）求，a ，b 的值；（2）直线xm 与k yx（0x ）的图象交于点P ，与1yx 的图象交于点Q ，当90PAQ时，直接写出m 的取值范围．24．如图，A ，B ，C 三点在⊙O 上，直径BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ∥AB 交弦BC 于点E ，在BC 的延长线上取一点F ，使得EFDE ．（1）求证：DF 是⊙O 的切线；（2）连接AF 交DE 于点M ，若AD 4，DE 5，求DM 的长．DB EC FOA25．如图，在△ABC 中，90ABC，40C°，点D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点A 顺时针旋转50°至AD ，连接BD ．已知AB2cm ，设BD 为cm ，B D 为y cm ．小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（1）通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：yxBAOD'B D CA/cm x 00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3/cmy 1.71.31.10.70.91.1（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．xyO12312（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段BD 的长度的最小值约为__________；若BDBD ，则BD 的长度的取值范围是_____________．26．已知二次函数243y axax a ．（1）该二次函数图象的对称轴是；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x时，y 的最大值是2，求当14x时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ，，22() Q x y ，，当1+1t x t ，25x 时，均满足12y y ，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q（点Q 可以与点P 重合），且12PA QA，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”．已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan 2BAO，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b 与轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．xyA–１–２–３12345–１–２–３–４–５–６12345O xyA–１–２–３12345–１–２–３–４–５–６12345O28．在△ABC 中，∠A90°，ABAC ．（1）如图1，△ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“2QBQA ”是否正确：________（填“是”或“否”）；（2）点P 是△ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB ，且PB 2PA ．①如图2，点P 在△ABC 内，∠ABP30°，求∠PAB 的大小；②如图3，点P 在△ABC 外，连接PC ，设∠APC α，∠BPC β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．PPEDQB CAB CAB CA图1 图2 图3北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）1 2 3 4 5 6 7 8 BACBDCAD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．0或210．60 11．1y x（答案不唯一）12．（2，0）13．614．215．1016．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，1sin 2A，A 为锐角，30A .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解：原式= 12222222………………3分= 1222= 12………………5分18．解：∵1x 是关于的方程2220xmxm的一个根，∴2120mm .∴221m m. ………………3分∴2(2)211m mm m .………………5分19．解：作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB=∠ADC =90°. ∵AC=5，3sin 5C，CDBA∴sin 3AD AC C .………………2分∴在Rt △ACD 中，224CD ACAD.………………3分∵AB32，∴在Rt △ABD 中，223BD ABAD. ………………4分∴7BCBD CD .………………5分20．解：（1）240t. ………………3分（2）由题意，当5t 时，24048vt.………………5分答：平均每天要卸载48吨.21．证明：∵∠B=90°，AB=4，BC=2，∴2225AC ABBC.∵CE=AC ，∴25CE.∵CD=5，∴AB AC CECD. ………………3分∵∠B=90°，∠ACE=90°，∴∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴∠BAC=∠DCE. ∴△ABC ∽△CED.………………5分22．BC ，BC ，BC BBCC………………3分116………………5分23．解：（1）∵函数k yx（0x ）的图象经过点B （-2，1），∴12k ，得2k . ………………1分∵函数k yx（0x）的图象还经过点A （-1，n ），∴221n，点A 的坐标为（-1，2）.………………2分EB C DA∵函数y ax b 的图象经过点A 和点B ，∴2,2 1.a b a b 解得1,3.a b………………4分（2）20m 且1m.………………6分24．（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD. ∵DE ∥AB ，∴∠ABD=∠BDE. ∴∠CBD=∠BDE. ………………1分∵ED=EF ，∴∠EDF =∠EFD.∵∠EDF +∠EFD +∠EDB+∠EBD=180°，∴∠BDF =∠BDE+∠EDF =90°. ∴OD ⊥DF. ………………2分∵OD 是半径，∴DF 是⊙O 的切线.………………3分（2）解：连接DC ，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD=∠BCD=90°. ∵∠ABD=∠CBD ，BD=BD ，∴△ABD ≌△CBD. ∴CD=AD=4，AB=BC.∵DE=5，∴223CEDEDC，EF=DE=5.∵∠CBD=∠BDE ，∴BE=DE=5. ∴10BF BE EF ，8BC BE EC .∴AB=8. ………………5分∵DE ∥AB ，∴△ABF ∽△MEF. ∴AB BF MEEF.∴ME=4. ∴1DMDE EM .………………6分MAO BFDEC25．（1）0.9.………………1分（2）如右图所示. ………………3分（3）0.7，………………4分00.9x . ………………6分26．解：（1）2．………………1分（2）∵该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x ，∴当2x时，y 取到在14x 上的最大值为 2.∴4832a a a.∴2a ，2286y xx . ………………3分∵当12x时，y 随的增大而增大，∴当1x 时，y 取到在12x 上的最小值0.∵当24x时，y 随的增大而减小，∴当4x 时，y 取到在24x上的最小值6.∴当14x时，y 的最小值为6.………………4分（3）4.………………6分27．解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分（2）如图，在轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan2OAM，并在AM 上取点N ，使AM=MN ，并由对称性，将MN 关于轴对称，得M N ，则由题意，线段MN 和M N 上的点是满足条件的点 B.作MH ⊥轴于H ，连接MC ，∴∠MHA =90°，即∠OAM+∠AMH =90°. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠AMC =90°，即∠AMH +∠HMC =90°. ∴∠OAM =∠HMC. ∴1tantan 2HMC OAM. ∴12MH HC HAMH.yx12123OyxCH N'M'NMAO设MH y ，则2AH y ，12CHy ，∴522AC AH CHy ，解得45y，即点M 的纵坐标为45.又由2AN AM ，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为85，故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：4855t. ……………3分由对称性，在线段M N 上，点B 的纵坐标t 满足：8455t .……………4分∴点B 的纵坐标t 的取值范围是8455t或4855t.（3）431b 或143b .………………7分28．解：（1）否.………………1分（2）①作PD ⊥AB 于D ，则∠PDB =∠PDA=90°，∵∠ABP=30°，∴12PD BP .………………2分∵2PB PA ，∴22PDPA . ∴2sin2PD PABPA.由∠P AB 是锐角，得∠P AB=45°.………………3分另证：作点P 关于直线AB 的对称点'P ，连接',',B P P A P P ，则',',','P B AP B A P A BP A BB PB PA PA P. ∵∠ABP=30°，∴'60P BP .∴△'P BP 是等边三角形. ∴'P P BP . ∵2PB PA ，∴'2P P PA .………………2分DPABCP'BCAP∴222''P P PAP A .∴'90PAP . ∴45PAB.………………3分②45，证明如下：………………4分作AD ⊥AP ，并取AD=AP ，连接DC ，DP. ∴∠DAP=90°. ∵∠BAC=90°，∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP, 即∠BAP=∠CAD. ∵AB=AC ，AD=AP ，∴△BAP ≌△CAD. ∴∠1=∠2，PB=CD. ………………5分∵∠DAP=90°，AD=AP ，∴2PD PA ，∠ADP =∠APD=45°. ∵2PBPA ，∴PD=PB=CD. ∴∠DCP=∠DPC. ∵∠APC α，∠BPC β，∴45DPC ，12.∴31802902DPC.∴139045ADP.∴45.………………7分321EDACBP。

2019-2020学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）A．B．C．D．3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（）A．B．C．2D．45．（2分）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A．B．πC．2πD．4π6．（2分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°7．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）10．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b ＝．11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD ＝AE＝2，则EC的长为．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则点D的坐标为．13．（2分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为．14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每题5分，第23～26题，每题6分，第27~28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．18．（5分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．19．（5分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？20．（5分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．22．（5分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．23．（6分）如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）若BE＝3，求CF的长；（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值；（2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，①抛物线G的对称轴为x＝；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）28．（7分）系统找不到该试题2019-2020学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（2分）五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）A．B．C．D．【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率为，故选：B．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．3．（2分）方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．4．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE交于点O，AE＝2，BF＝1，则△AOE与△BOF的面积之比为（）A．B．C．2D．4【分析】由AD∥BC可得出∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，进而可得出△AOE∽△FOB，再利用相似三角形的性质即可得出△AOE与△BOF的面积之比．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠OAE＝∠OFB，∠OEA＝∠OBF，∴△AOE∽△FOB，∴＝（）2＝4．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．（2分）若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（）A．B．πC．2πD．4π【分析】直接利用扇形的面积公式计算．【解答】解：这个扇形的面积＝＝π．故选：B．【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．6．（2分）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵AD切⊙O于点D，∴OD⊥AD，∴∠ODA＝90°，∵∠A＝40°，∴∠DOA＝90°﹣40°＝50°，由圆周角定理得，∠BCD＝∠DOA＝25°，故选：B．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．7．（2分）在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】分k＞0和k＜0两种情况讨论即可．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，没有正确的选项；当k＜0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，D选项正确，故选：D．【点评】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的图象的性质，掌握一次函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分x≥0及x＜0两种情况，利用“好点”的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”的坐标为（x，y），当x≥0时，则y＝x﹣1，所以，x（x﹣3）＝1，解得：x1＝（不合题意，舍去），x2＝；当x＜0时，则y＝﹣x﹣3，所以，x（﹣x﹣3）＝1，解得：x3＝，x4＝．∴函数y＝|x|﹣3的图象上的“好点”共有3个．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及解一元二次方程，分x≥0及x＜0两种情况，找出关于x的一元二次方程是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）反比例函数y＝的图象经过（2，y1），（3，y2）两点，则y1＞y2．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．【解答】解：∵反比例函数y＝，k＝2＞0，∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小，又∵2＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键．10．（2分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝2019．【分析】利用一元二次方程解的定义得到a+b＝1，然后把2020﹣a﹣b变形为2020﹣（a+b），再利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，所以a+b＝1，所以2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019．故答案为2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．11．（2分）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD ＝AE＝2，则EC的长为4．【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得：EC＝4；故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．12．（2分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则点D的坐标为（3，）．【分析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩短为线段CD，B（6，3），∴点D的坐标为（6×，3×），即（3，），故答案为：（3，）．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．13．（2分）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为0.9．【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该植物的种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，连结AD，BD，其中BD与AC交于点E．写出图中所有与△ADE相似的三角形：△CBE，△BDA．【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．【解答】解：∵＝，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠DAE＝∠DBC，∴∠DAE＝∠ABD，∵∠ADE＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，∴△AED∽△BEC，故答案为△CBE，△BDA．【点评】本题考查相似三角形的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），点M为y轴正半轴上一点，N为x轴上一点，过M作y轴的垂线分别交y1，y2的图象于A，B两点，连接AN，BN，则△ABN的面积为2．【分析】直接利用反比例函数的性质结合矩形的性质得出矩形BEOM面积为：1，矩形MOF A面积为：3，则矩形BEF A的面积为4，进而得出答案．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，由题意可得，四边形BEF A是矩形，∵函数y1＝（x＞0）和y2＝﹣（x＜0），∴矩形BEOM面积为：1，矩形MOF A面积为：3，则矩形BEF A的面积为4，则△ABN的面积为：S矩形BEF A＝2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确得出各矩形面积是解题关键．16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为﹣1．【分析】取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，求出DE长即可求出答案．【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，∵点A（1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴OE＝2，∴ED＝＝，∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上，∴线段CD长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识，确定C，D两点的位置是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每题5分，第23～26题，每题6分，第27~28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）解一元二次方程：x2﹣2x﹣3＝0．【分析】先把方程左边分解，原方程转化为x+1＝0或x﹣3＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．18．（5分）如图，在△ABC与△ADE中，＝，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC～△ADE．【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．19．（5分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80km/h的平均速度用6h到达目的地．（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5h，那么返程时的平均速度不能小于多少？【分析】（1）直接求出总路程，再利用路程除以时间＝速度，进而得出关系式；（2）由题意可得≤5，进而得出答案．【解答】解：（1）由题意得，两地路程为80×6＝480（km），故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v＝．（2）由v＝，得t＝，又由题知：t≤5，∴≤5．∵v＞0∴480≤5v．∴v≥96．答：返程时的平均速度不能低于96 km/h．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．20．（5分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．（1）求证：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四边形DOEC的面积．【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；（2）根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD＝CE；（2）解：∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，∵∠CDO＝90°，∴∠OCD＝30°，∴OD＝OC＝1，∴CD＝＝＝，∴△OCD的面积＝×OD×CD＝，同理可得，△OCE的面积＝×OE×CE＝，∴四边形DOEC的面积＝+＝．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法求出两根，然后列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2∵（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）由题意可知：x＝m﹣1或x＝1∵方程有一个根为负数，∴m﹣1＜0．∴m＜1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．22．（5分）一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3．小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等情况数即可；（2）根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．【解答】解：（1）由题意画出树状图如下：所有可能情况如下：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）．（2）由（1）可得：标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，标号之和为奇数的概率是：，标号之和为偶数的概率是：，因为≠，所以不公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（6分）如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）若BE＝3，求CF的长；（2）当BE的长为何值时，CF的长最大，并求出这个最大值．【分析】（1）证明△BAE∽△ECF，得出＝，即可得出答案；（2）设BE为x，则EC＝8﹣x．由（1）可得＝，得出CF＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，由二次函数的性质即可得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝8，BE＝3，∴EC＝C＝BC﹣BE＝5，∵∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵CD⊥BC，∴∠ECF＝90°，∴△BAE∽△ECF，∴＝，即＝，解得：CF＝；（2）设BE为x，则EC＝8﹣x．由（1）可得＝，∴＝，∴2CF＝x（8﹣x），∴CF＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，∴当x＝4，即BE＝4时，CF的值最大，CF的最大值为8．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质；证明三角形相似是解题的关键．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y＝x+上一点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点B和点C，反比例函数y＝的图象经过点A．（1）若点A是第一象限内的点，且AB＝AC，求k的值；（2）当AB＞AC时，直接写出k的取值范围．【分析】（1）设A点坐标是（x，x+），由于点A是第一象限内的点，且AB＝AC，可得出x＝x+，解出x的值，代入反比例函数解析式求k值．（2）由于A点可能在一二三象限，所以要分类讨论，再每个象限建立|AB|＞|AC|不等式，即|x+|＞|x|，计算求k值取值范围即可．【解答】解：（1）根据题意作图如下：设A点坐标是（x，x+），∵点A是第一象限内的点，且AB＝AC，∴x＝x+ 解得x＝3即A（3，3）∵点A在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝9（2）因为A（x，x+）在反比例函数y＝（k≠0）图象上，所以k＝．①当点A在第一象限时，AB＞AC，即x+＞x（x＞0），解得0＜x＜3；代入k＝得0＜k＜9．②当点A在第二象限时，AB＞AC，即x+＞﹣x（x＜0），解得﹣1＜x＜0；代入k＝得﹣1＜k＜0．③当点A在第三象限时，AB＞AC，即﹣x﹣＞﹣x（x＜0），无解；综上所述，k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．答：k的取值范围是﹣1＜k＜9且k≠0．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧妙地解设交点坐标是解题的第一步，也是关键的一步．另外，本题涉及到了分类讨论这一重要数学思想，考生一定要根据实际情况展开必要的分类讨论，这在初中数学阶段是非常重要的．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线MC与⊙O相切于点C．过点A作MC的垂线，垂足为D，线段AD与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是∠DAB的平分线；（2）若AB＝10，AC＝4，求AE的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到∠OCM＝90°，得到OC∥AD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；（2）连接BC，连接BE交OC于点F，根据勾股定理求出BC，证明△CFB∽△BCA，根据相似三角形的性质求出CF，得到OF的长，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵直线MC与⊙O相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADM＝90°，∴∠OCM＝∠ADM，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAB，即AC是∠DAB的平分线；（2）解：连接BC，连接BE交OC于点F，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵AB＝10，AC＝4，∴BC＝＝＝2，∵OC∥AD，∴∠BFO＝∠AEB＝90°，∴∠CFB＝90°，F为线段BE中点，∵∠CBE＝∠EAC＝∠CAB，∠CFB＝∠ACB，∴△CFB∽△BCA．∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴OF＝OC﹣CF＝3．∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，∴AE＝2OF＝6．【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0）．（1）当a＝1时，①抛物线G的对称轴为x＝1；②若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；（2）抛物线G的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向右平移3个单位得到点B，若抛物线G与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）把a＝1代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线G的对称轴；②根据二次函数的图象和性质，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1进而可得m的取值范围；（2）根据题意先求出点M、A、B的坐标，再结合图象，即可求a的取值范围．【解答】解：（1）①抛物线G的对称轴为x＝1，故答案为1；②抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；故答案为：m＞2或m＜0；（2）∵抛物线G：y＝ax2﹣2ax+4（a≠0的对称轴为x＝1，且对称轴与x轴交于点M，∴点M的坐标为（1，0）．∵点M与点A关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点M右移3个单位得到点B，∴点B的坐标为（4，0）．依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，把点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣；把点B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝﹣；把点M（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，可得a＝4．根据所画图象可知抛物线G与线段AB恰有一个公共点时可得：﹣＜a≤﹣或a＝4．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为2；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出P A，再利用全等三角形的性质证明PQ＝P A即可．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．【解答】（1）解：①补全图形如图所示．②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1，∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，∴AD＝＝，∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠P AD＝90°，∴P A＝AD•tan60°＝2，∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ，∴△PDA≌△PDQ（SAS），∴PQ＝P A＝2．故答案为2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．∵P A⊥AD，∴∠P AD＝90°．由题意可知∠ADP＝45°．∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP，∴P A＝PD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°，∵AH⊥PF，PF⊥BQ，∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形，∴∠CAH＝90°，AH＝CF，∵∠ACH＝∠DAP＝90°，∴∠CAD＝∠P AH，．又∵∠ACD＝∠AHP＝90°，∴△ACD≌△AHP（AAS），∴AH＝AC＝1，∴CF＝AH＝1，∵BD＝，BC＝1，B，Q关于点D对称，∴CD＝BD﹣BC＝，DQ＝BD＝，∴DF＝CF﹣CD＝＝DQ，∴F为DQ中点．∴PF垂直平分DQ．∴PQ＝PD．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，AD＝，∵PD＝PQ，PF⊥DQ，∴DF＝FQ＝x∵四边形AHFC是矩形，∴AH＝CF＝CD+DF＝（x﹣t）+x＝x﹣t，∵△ACB∽△P AD，∴＝，∴＝，∴P A＝，∵△P AH∽△DAC，∴＝，∴＝，解得x＝，∴BD＝．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．28．（7分）系统找不到该试题。

16人教版·北京市海淀区期末九年级上册数学试题

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，3），则k＝（）A．2B．3C．﹣6D．62．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．3．不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．14．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE∥BC．若AE＝2，AC＝4，AD＝3，则AB为（）A．9B．6C．3D．5．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（）A．x﹣1＝0B．x2+x＝0C．x2﹣1＝0D．x2+1＝06．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则的长为（）A．πB．πC．πD．π7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是（）A．﹣4B．﹣2C．0D．28．下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是（）A．长度为线段B．斜边为3的直角三角形C．面积为4的菱形D．半径为，圆心角为90°的扇形二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是．10．若点（1，a），（2，b）都在反比例函数y＝的图象上，则a，b的大小关系是：a b （填“＞”、“＝”或“＜”）．11．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O 的位置关系为（填“相交”、“相切”或“相离”）．12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为1，则m的值为．13．某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是（结果保留小数点后一位）．14．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝m．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为，CE的长为．16．已知双曲线y＝﹣与直线y＝kx+b交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）若x1+x2＝0，则y1+y2＝；（2）若x1+x2＞0时，y1+y2＞0，则k0，b0（填“＞”，“＝”或“＜”）．三、解答题（本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题5分，第24-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣4x+3＝0．18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．（1）证明：△ABC∽△ACD；（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼•考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝cm；用含r的代数式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：混入“HB”铅笔数012盒数6m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系；（2）从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，求m和n的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B 在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．（1）求证：OA＝OB；（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．23.在平面直角坐标系xOy中，点P（m，y1）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，点Q（m，y2）在一次函数y＝﹣x+4的图象上．（1）若二次函数图象经过点（0，4），（4，4）．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m＜0时，y1与y2的大小关系；（2）若只有当m≥1时，满足y1•y2≤0，求此时二次函数的解析式．24.已知∠MAN＝45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点（不与点A重合），点D在线段BC的延长线上，且CD＝CB，过点D作DE⊥AM于点E．（1）当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是；（2）当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC＝AE+DE；（3）在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A（7，0），点B在直线y＝x+1上．①若点B（3，4），点C（3，0），则在点O，C，A中，点是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点D（2，0），点E（4，2），将点D绕原点O旋转得到点F．若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．D 2．A 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．D．二．填空题（共8小题）9．y＝x2 10．＞11．相切12．2 13．0.914．9 15．45°，16．＜，＞．三．解答题17．解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0，x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．18.（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，∴BC＝＝＝3，由（1）得：△ABC∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CD＝．19.解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝45cm；用含r的代数式表示OD，OD＝（r﹣15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2＝452+（r﹣15）2，解得r＝75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，（r﹣15），452+（r﹣15）2．20.解：（1）观察表格发现：6+m+n＝20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n＝14，故答案为：m+n＝14；（2）①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为，∴＝，∴m＝5，n＝9．21.解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D（8，4），由（2）知，C（2，4），∴直线CD的解析式为y＝4，∵点M的横坐标为m，则M（m，4），N（m，），∴MN＝|4﹣|，∵A（1，2），B（4，2），∴AB＝3，∵MN≥AB，∴|4﹣|≥3，∴m≥8或m≤，即0＜m≤或m≥8．22.（1）证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA＝OB；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE＝OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC＝∠OAB，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，在Rt△OAC中，AC＝OC＝r，在Rt△ACD中，（r）2+（2r）2＝（）2，解得r＝1，即⊙O的半径为1．23.解：（1）①∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（0，4），（4，4），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+4，∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴图象的顶点坐标为（2，0）；②画出函数的图像如图：由图像可知，m＜0时，y1＞y2；（2）由题意可知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0）和点（4，0），把（1，0）和点（4，0）代入得，解得，∴此时二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+4．24.（1）解：∵CD＝CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB＝AD，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝45°+45°＝90°，∴AC＝CD＝CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC＝DE，故答案为：AC＝DE；（2）证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴AE+DE＝AF+CF+CE+DE＝AC+CF+AF＝AC+AC＝2AC，∴2AC＝AE+DE；（3）解：能，2AC+AE＝DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC＝∠DEC＝90°，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，CF＝CE，∵∠MAN＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF＝AF，∴AF＝DE，∴2AC+AE＝AC+CE＝AC+CF＝AF＝DE．25.解：（1）①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B（0，1）时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B（7，8）时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．∵E（4，2），∴OH＝4，EH＝2，∴OE＝＝2，当OF⊥OE时，点O是△OEF关于点E的内联点，∵∠EOF＝∠NOH＝90°，∴∠FON＝∠EOH，∵∠FNO＝∠OHE＝90°，∴△FNO∽△EHO，∴＝＝，∴＝＝，∴FN＝，ON＝，∴F（﹣，），观察图像可知当﹣≤m≤0时，满足条件．作点F关于点O的对称点F′（，﹣），当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，∵∠EF″O＝∠EHO＝90°，OE＝EO，EH＝OF″，∴Rt△OHE≌△EF″O（HL），∴∠EOH＝∠OEF″，∴PE＝OP，s3PE＝OP＝t，在Rt△PEH中，则有t2＝22+（4﹣t）2，解得t＝，∴OP＝，PH＝PF″＝，可得F″（，﹣），观察图像可知，当≤m≤．综上所述，满足条件的m的值为﹣≤m≤0或≤m≤．。

2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学测试卷

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学测试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.分别写有数字0，−1，−2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，将卡片背面朝上洗匀后从中任意抽取一张，那么抽到正数的概率是()A. 15B. 25C. 35D. 453.方程2x2−5x−3=0根的情况是()A. 方程有两个不相等的实根B. 方程有两个相等的实根C. 方程没有实根D. 无法判断4.如图，已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的一点，DE//BC，且AD︰AB=1︰2，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为()A. 1:4B. 1:3C. 1:2D. 2:35.圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是()A. πcm2B. 3πcm2C. 9πcm2D. 6πcm26.如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=70°，∠C=()A. 70°B. 55°C. 110°D. 140°7.当a≠0时，函数y=ax+1与函数y=a在同一坐标系中的图象可能是()xA. B.C. D.x+2的图象上．则m的值为()8.若点(3,m)在函数y=−13A. 0B. 1C. 2D. 3第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若反比例函数y=−3的图象上有两点A(−1,y1)、B(−2,y2)，则y1______y2(填“>”、x“<”或“=”)．10.若一元二次方程ax2−bx−2016=0有一根为x=−1，则a+b=______．11.如图，在△ABC中，DE//BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是______．12.在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，相似，把△ABO缩小，则点A的对应点Aˈ的坐标是____．比为1213.在同样的条件下对某种小麦进行发芽试验，统计发芽种子数，获得频数及频率如下表：试验种子数n(粒) 1 5 50 200 500 1000 3000发芽频数m 0 4 45 188 476 951 2850发芽频率m n0 0.8 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95由表估计该麦种的发芽概率是______ ．14. 如图，AD 是⊙O 的直径，AB⏜=CD ⏜，若∠AOB =40°，则圆周角∠BPC 的度数是______．15. 如图，点A 、C 在反比例函数y =ax 的图像上，点B 、D 在反比例函数y =bx 的图像上，a >b >0，AB//CD//x 轴，AB 、CD 在x 轴的两侧，AB =34，CD =32，AB 与CD 间的距离为6，则a −b 的值是．16. 如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0,4)，直线y =34x −3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.17.解下列一元二次方程．(1)x2−8x+1=0；(2)2x2+1=3x．18.如图，△ABC中，D是AC上一点，E是BD上一点，∠A=∠CBD=∠DCE．(1)求证：△ABC∽△CDE；(2)若BD=3DE，试求的值．19.一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80km/ℎ的平均速度用了6ℎ到达乙地．(1)当他按原路返回时，求汽车平均速度υ(km/ℎ)与时间t(ℎ)之间的函数表达式；(2)如果该司机返回时用了4.8ℎ，求汽车返回时的平均速度．20.如图，已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．(1)求证：直径AD平分∠BAC．(2)若BC经过半径OA的中点E，点F是CD⏜的中点，点G是BF⏜的中点，⊙O的半径为1.求GF的长．21.关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0，求证：方程总有两个实数根．22.小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4(背面完全相同)，现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．(1)请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为6的概率．(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．23.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，BC=200mm，高AD=150mm，要把它加工成一矩形零件，使矩形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．(1)设PN=x，矩形PQMN的面积为S，求S关于x的函数表达式，指出x的取值范围．(2)当x为何值时，矩形PQMN的面积最大？最大值是多少？(x>0)图象与直线y=x−2交于点24.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kxA(3,m)。

北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷 (3)

北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．80°3．（3分）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（2，1）4．（3分）若点A（a，b）在双曲线上，则代数式ab﹣4的值为（）A．﹣12B．﹣7C．﹣1D．15．（3分）如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．B．C．D．6．（3分）抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=2（x+1）2+3B．y=2（x+1）2﹣3C．y=2（x﹣1）2﹣3D．y=2（x﹣1）2+37．（3分）已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）在双曲线上，当x1＜0＜x2＜x3时，y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y18．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点．若BC=8，，则AB的长为（）A．B．C．D．129．（3分）在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，）B．（4，）C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）10．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点，若AB=3，则点M到直线l 的距离为（）A．B．C．2D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．12．（3分）已知关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A′B′C′顶点的横、纵坐标都是整数．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心的坐标是．14．（3分）如图，正比例函数y=mx（m≠0）与反比例函数y=的图象交于A、B两点，若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是．15．（3分）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．16．（3分）正方形CEDF的顶点D、E、F分别在△ABC的边AB、BC、AC上．（1）如图，若tanB=2，则的值为；（2）将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′、CC′．若，则tanB 的值为．三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．（5分）计算：sin30°+3tan60°﹣cos245°．18．（5分）解方程：x2+2x﹣5=0．19．（5分）如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：△ABC∽△DAE．20．（5分）已知m是方程x2+x﹣1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m ﹣1）的值．21．（5分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣2，0），求点B的坐标．22．（5分）如图，矩形ABCD为某中学课外活动小组围建的一个生物苗圃园，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长度为16米的篱笆（虚线部分）围成．设AB边的长度为x米，矩形ABCD的面积为y平方米．（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）求矩形ABCD的最大面积．23．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．（1）求cos∠ADE的值；（2）当DE=DC时，求AD的长．24．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=kx﹣2交于点A（3，1）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）直线y=kx﹣2与x轴交于点B，点P是双曲线y=上一点，过点P作直线PC∥x轴，交y轴于点C，交直线y=kx﹣2于点D．若DC=2OB，直接写出点P的坐标为．25．（5分）如图，小嘉利用测角仪测量塔高，他分别站在A、B两点测得塔顶的仰角α=45°，β=50°．AB为10米．已知小嘉的眼睛距地面的高度AC为1.5米，计算塔的高度．（参考数据：sin50°取0.8，cos50°取0.6，tan50°取1.2）26．（5分）如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF．（1）求证：∠CBE=∠A；（2）若⊙O的直径为5，BF=2，tanA=2，求CF的长．27．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，定义直线x=m与双曲线y n=的交（m、n为正整数）为“双曲格点”，双曲线y n=在第一象限内的部分点A m，n沿着竖直方向平移或以平行于x轴的直线为对称轴进行翻折之后得到的函数图象为其“派生曲线”．的坐标为；②若线段A4，3A4，n的长为1个单位长（1）①“双曲格点”A2，1度，则n=；（2）图中的曲线f是双曲线y1=的一条“派生曲线”，且经过点A2，3，则f的解析式为y=；（3）画出双曲线y3=的“派生曲线”g（g与双曲线y3=不重合），使其经过“双曲、A3，3、A4，b．格点”A2，a28．（8分）（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=2，BC=1，则△BCD的周长为；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF 的周长等于AD的长．①在图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②在图3中补全图形，求∠EOF的度数；③若，则的值为．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B 两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．A；2．B；3．D；4．C；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C；10．B；二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．y=﹣；12．m＜9；13．（8，0）；14．（﹣1，﹣2）；15．（x﹣2）2+（x ﹣4）2=x2；16．；；三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题6分，第28题8分，第29题8分）17．；18．；19．；20．；21．；22．y=﹣x2+16x；23．；24．P（，2）或（﹣，﹣6）；25．；26．；27．（2，）；7；+1；28．3；；29．（3，0）；或；。

2019-2020学年海淀区初三期末数学试卷(附答案)

初三第一学期期末学业水平调研数学2020.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是A B C D2．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是A ．15B ．25C ．35D ．453．关于方程2310x x --=的根的情况，下列说法正确的是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断 4.如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点, AF 与BE 交于点O ，AE=2，BF=1，则AOE △与BOF △的面积之比为A ．12B ．14C ．2D ．45.若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为A ．π2B ．πC ．2πD ．4π6.如图，OA 交⊙O 于点B ，AD 切⊙O 于点D ，点C 在⊙O 上. 若∠A ＝40°，则∠C 为A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°B7．在同一平面直角坐标系xOy 中，函数1y kx =+与(0)k y k x =≠的图象可能是 AB C D 8.在平面直角坐标系xOy 中，将横纵坐标之积为1的点称为“好点”，则函数||3y x =-的图象上的“好点”共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．反比例函数2y x=的图象经过12(2,),(3,)y y 两点，则1y ______2y .（填“>”，“=”或“<”） 10.如果关于x 的一元二次方程210ax bx +-=的一个解是1x =，则2020a b --=_______.11.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，//,1,2DE BC AD BD AE ===, 则EC 的长为__________. 12.如图，在平面直角坐标系中有两点A (6,0)和B (6,3)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把线段AB 缩短为线段 CD ，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在 y 轴右侧，则点D 的坐标为 .13．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______.14.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆， D 是AC 的中点，连结AD , BD ，其中BD 与AC 交于点E . 写出图中所有与△ADE 相似的三角形：___________.C A15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知函数()130y x x => 和()210y x x=-<，点M 为y 轴正半轴上一点，N 为x 轴上一点，过M 作y 轴的垂线分别交1y ，2y 的图象于A , B两点，连接AN BN ，，则ABN △的面积为． 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0), B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为__________.三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解一元二次方程：2230x x --=．18．如图，在ABC △与ADE △中，AB AC AD AE=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE △∽△． 19.某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h 的平均速度用6 h 到达目的地.（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v 与时间t 有怎样的函数关系？（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过5 h ，那么返程时的平均速度不能小于多少？B CED A20.如图，在O 中，AC CB =，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E .（1）求证：CD =CE ；（2）若∠AOB =120°，OA =2，求四边形DOEC 的面积.21．已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m -+-.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.22.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球, 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.23.如图，90ABC ∠=︒，2,8AB BC ==，射线CD ⊥BC 于点C ，E 是线段BC 上一点，F 是射线CD上一点，且满足90AEF ∠=︒.（1）若3BE =，求CF 的长；（2）当BE 的长为何值时，CF 的长最大，并求出这个最大值.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是直线1322y x =+上一点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为点B 和点C ，反比例函数k y x=的图象经过点A ．（1）若点A 是第一象限内的点，且AB AC =，求k 的值；（2）当AB AC >时，直接写出k 的取值范围．E DFCB A25．如图，AB 是O 的直径，直线MC 与O 相切于点C . 过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段AD 与O 相交于点E .（1）求证：AC 是∠DAB 的平分线；（2）若10,AB AC ==AE 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =-+≠（.（1）当a =1时，①抛物线G 的对称轴为x =_____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y >，则m 的取值范围是____________；（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.27．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1, 记∠ABC=α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为_____________；（2）如图2，当α=45°，且43BD 时, 求证：PD=PQ；（3）设BC = t, 当PD=PQ时，直接写出BD的长.（用含t的代数式表示）图 1图 2备用图28.在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______．（2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直线ON 与点M 的12倍相关圆的位置关系，并证明．（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6y x =的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关于y 轴对称．①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为． ②点D 在直线AB 上，点D 的31倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆心，hR 为半径的圆与反比例函数6y x=的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.图 1图 2图 3。