三角形任意两边和大于一边
三角形的概念与性质
三角形的概念与性质三角形是几何学中重要的概念，它具有独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨三角形的定义、分类以及一些基本性质。
一、三角形的定义三角形是由三个线段组成的图形，这三个线段称为它的边。
三个边的交点称为三角形的顶点。
三角形的边可以是任意长度，但需要满足以下条件：1. 任意两边之和大于第三边；2. 任意两边之差小于第三边。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度，我们可以将三角形分为以下几类：1. 等边三角形等边三角形的三条边均相等，三个内角也均相等，每个角度都为60度。
2. 等腰三角形等腰三角形有两条边相等，两个对应角度也相等。
等腰三角形的顶角是两个底角的对边，两个底角的度数相等。
3. 直角三角形直角三角形有一个内角为90度，我们将斜边定义为最长的一条边，而与直角相邻的两边称为直角腿。
直角三角形的两个直角腿的长度可以相等，也可以不等。
4. 锐角三角形锐角三角形的三个内角均小于90度。
5. 钝角三角形钝角三角形有一个内角大于90度。
三、三角形的性质三角形具有多种性质，下面我们将介绍其中一些重要的性质。
1. 内角和性质三角形的三个内角的和为180度。
无论三角形的形状如何，无论是锐角、直角还是钝角三角形，它们的内角和都是固定的。
2. 外角性质以三角形的一个顶点为中心，作另外两边所在直线的延长线，与该顶点不相邻的两个外角的和等于第三个外角。
3. 边与角的关系三角形的任意两边之间的夹角大小与它们的边长有关，可以通过三角函数进行计算。
三角函数有正弦、余弦和正切等。
4. 相似三角形性质如果两个三角形的对应角相等，那么它们被称为相似三角形。
相似三角形的对应边的长度比例相等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过海伦公式或底边高公式来计算，其中海伦公式适用于已知三边长的情况，而底边高公式适用于已知底边及高的情况。
结论三角形作为几何学中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
通过理解三角形的概念和性质，我们可以更好地应用几何学知识解决实际问题。
三角形边长的计算公式
三角形边长的计算公式三角形是一个具有三条边和三个顶点的平面图形。
根据三角形的边长，我们可以计算出三角形的面积、角度和周长等重要属性。
三角形的边长计算公式可以根据给定的信息和条件分为以下几种情况：1.三边已知：当三角形的三边的长度都已知时，我们可以使用海伦公式来计算三角形的面积。
海伦公式可以表示为：S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s为三角形的半周长，s=(a+b+c)/2，a、b、c分别为三角形的三边的长度。
2. 已知两边和夹角：当我们已知三角形的两边的长度和这两边夹角的度数时，可以利用余弦定理来计算出第三边的长度。
余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中a、b为两边的长度，C为两边夹角的度数。
3. 已知两边和非夹角的度数：当我们已知三角形的两边的长度和一个非夹角的度数时，可以利用正弦定理来计算三角形的第三边的长度。
正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b为两边的长度，A、B为两边夹角的度数。
4.已知一边和与该边相邻的两个夹角：当我们已知三角形的一边的长度以及与该边相邻的两个夹角的度数时，可以利用正弦定理或余弦定理来计算出其他的边长。
除了以上基本情况之外，我们还可以利用符合三角形的边长关系来计算边长。
1.三角不等式：对于任意三角形来说，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
即a+b>c，a+c>b，b+c>a。
根据这个关系，我们可以通过对边长进行比较来判断三条边能否构成一个三角形。
2.等边三角形：等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
对于等边三角形来说，三边的长度相等，可以通过任一边的长度来计算其他两边的长度。
综上所述，通过以上各种情况下的计算公式和关系，我们可以根据已知的信息来计算出三角形的边长。
当给定任意一种情况的边长信息时，可以根据对应的计算公式进行计算。
三角形中的边角关系、命题与证明
高效学案4、三角形中的重要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.三、经典例题【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >21(AB+AC+BC)．【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm【例3】已知△ABC 中：（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．E DA 2 1 ABC 【变式】如图把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在四边形BCDE 的内部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找出这个规律，你发现的规律是（ ）A.∠A=∠2＋∠1B.2∠A=∠2＋∠1C.3∠A=2∠1＋∠2D.3∠A=2∠1＋2∠2【例4】如图，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且α：β：γ= 2：3：4，则α =__________．【变式1】如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数．【变式2】已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关 ；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．利用（1）的结论，试求∠P 的度数；（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？【例5】如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________．【例6】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，BC=5cm ，AC=8cm ，BE=3cm .（1）求△ABC 的面积；（2）画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值．【例7】已知：如图AB//CD 直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于P ，求证 90=∠P ．【变式】如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．∠BAO=45°则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【例8】如图，△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A=70°，则∠BOC= 度．【变式】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？四、方法归纳1、三角形的边的关系，只需验证：两个较短的边之和大于第三边即可.2、三角形的两边长分别为b a ,，则第三边长c 的取值范围是：b a c b a +<<-.3、三角形的几种“心”.（1）重心：三条中线的交点.（2）外心：三边垂直平分线的交点.（3）内心：三条内角平分线的交点.（4）垂心：三条高线的交点.五、课后作业【作业1】1.如图所示，共有_______个三角形，以AD 为一边的三角形有___________________，∠C 是△ADC 的________边的对角，AE 是△ABE 中∠_____的对边.2.一个三角形周长为27cm ，三边长为2：3：4，则最长边为______cm.3.已知在△ABC 中，5=a ，3=b ，那么第三边c 的取值范围是_____________.4.在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形.5.在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，则∠A=_______.6.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD =_________.7.等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________.8.一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是__________.9.在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交与点O ，若∠BOC=132°，则∠A=________.10.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A 等于（ ）A.60°B.45°C.30°D.20°11.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定12.一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ）A.4，6B.4，6，8C.6，8D.6，8，1013.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高线D.以上都不对14.在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形15.如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 数.（提示：先证明∠DAF=21（∠C －∠B ））16.如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点.求证：∠BIC=90°＋21∠A.17.如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数.18.如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？【作业2】1.如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的中线、高、角平分线.则：BD=___=21___；∠___=∠___=90°；∠___=∠___=21∠___. 2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=______.3.如图，AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD 与△ACD 的周长的差是_________，△ACD 与△ABD 的面积关系为__________.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题4.如图，△ABC 的周长是21cm ，AB=AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，则AB= ，BC=_________.5.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________.6.在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________.7.△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________.第8题 第9题 第10题8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法不正确的是（ ）A.三角形面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.边AB 的长度随之增大D.BC 边上的高随之增大9.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A.118°B.119°C.120°D.121°10.如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BOC 与∠A 的大小关系是（ ）A.∠BOC=2∠AB.∠BOC=90°+∠AC.∠BOC=90°+21∠A D.∠BOC=90°21-∠A11.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，已知∠A=50°，求∠BDC的度数．13.如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．14.如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．15.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．16.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC x =°.21（1）如图1，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是 ；②当∠BAD=∠ABD 时，=x ；当∠BAD=∠BDA 时，=x ．（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．第二节：命题与证明一、课堂导入有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。
三角形知识点
知识点一：不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形 知识点二： 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.1、四组线段的长度分别为2，3，4；3，4，7； 2，6，4；7，10，2。
其中能摆成三角形的有（ ）A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是多少厘米？3．已知线段a b c 满足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,问能否以a 、b 、 c 为三边组成三角形，如果能，试求出这三边，如果不能，请说明理由。
知识点三：三角形分类： (1)三角形按边分类如下:三角形 不等三角形 等腰三角形底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形斜三角形 锐角三角形 钝角三角形⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩1、如图，在△ABC 中，∠BAC=600，∠C=400，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADC 的度数。
2、如图，CM 是△ABC 的中线，△BCM 的周长比△ACM 的周长大3cm,BC=8cm,求AC 的长。
1．如图，AE 、AH 分别为△ABC 的角平分线和高，∠B=∠BAC ， ∠C=360。
求∠BAE 和∠HAE 的度数。
知识点五：三线交点位置 1.三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.2.三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.3.无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形, 它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.知识点六：三角形的高、中线和角平分线都代表线段, 这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上. 知识点七：三角形内角和为180度1、 在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，求三角形各角的度数，并判断它是什么三角形。
三角形边长与角的关系
三角形边长与角的关系
三角形边长与角的关系
一、三角形边长关系
1. 边长关系互相制约
三角形的三条边长之间存在着一定的关系。
根据三角形的定义，任意两边之和大于第三边，即
a+b>c
，
a+c>b
和
b+c>a
，其中 a、b 和 c 分别表示三角形的三条边的长度。
2. 两边之和大于第三边
这个关系的意义在于，如果一个三角形的两边的长度之和等于或小于第三边的长度，那么这三条边无法构成一个三角形。
3. 两边之差小于第三边
同样地，如果一个三角形的两边的长度之差大于或等于第三边的长度，那么这三条边也无法构成一个三角形。
二、三角形角的关系
1. 三角形内角和为180度
对于任意一个三角形，它的三个内角的度数之和恒为180度。
2. 锐角三角形
当一个三角形的三个内角都是锐角时，这样的三角形被称为锐角
三角形。
3. 直角三角形
当一个三角形的一个内角为90度时，这样的三角形被称为直角三角形。
直角三角形的两条边相互垂直，且满足勾股定理的关系。
4. 钝角三角形
当一个三角形的一个内角为钝角时，这样的三角形被称为钝角三
角形。
5. 三角形的角度之间的关系
根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得出以下关系：
•三角形的一个角是直角，则另外两个角的度数之和必然为90度；•三角形的一个角是钝角，则另外两个角的度数之和必然小于90度；
•三角形的三个角都是锐角时，这个三角形被称为锐角三角形。
综上所述，三角形的边长与角度之间存在着一些重要的关系，通过这些关系，我们可以更好地理解和研究三角形的性质和特点。
三角形边和角公式
三角形边和角公式在咱们的数学世界里，三角形那可是个相当重要的角色。
说起三角形的边和角公式，那可真是一套神奇的“魔法咒语”，能帮咱们解开好多难题呢！先来说说三角形的内角和公式吧，这可是个相当基础但又超级重要的知识点。
不管是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，它们的内角和永远都是 180 度。
就好像上次我去朋友家，他家小朋友正在做数学作业，被一道三角形内角和的题目给难住了。
我就告诉他，你可以把三角形的三个角剪下来，拼在一起试试看。
小朋友真的照做了，然后惊喜地发现三个角刚好拼成了一个平角，也就是 180 度。
从那以后，他对这个知识点记得可牢了。
接下来，咱们再聊聊三角形的边的关系。
有一个重要的定理叫做“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”。
比如说，有一个三角形，三条边分别是 3 厘米、4 厘米和 5 厘米。
咱们来验证一下，3 + 4 = 7 大于 5，3 + 5 = 8 大于 4，4 + 5 = 9 大于 3，这就满足两边之和大于第三边。
再看两边之差，5 - 3 = 2 小于 4，5 - 4 = 1 小于 3，4 - 3 = 1 小于 5，这又满足两边之差小于第三边。
这个定理在判断三条线段能否组成三角形的时候特别管用。
还有一个跟三角形边和角有关的重要公式，那就是正弦定理。
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等。
哎呀，这说起来有点抽象，咱们来举个例子。
有一个三角形 ABC，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，那么就有 a/sinA = b/sinB = c/sinC 。
比如说，已知一个角和它所对的边，再知道另外一个角，就能通过这个定理求出对应的边。
余弦定理也是不能忽略的。
对于任意三角形，有 a² = b² + c² -2bc×cosA ，b² = a² + c² - 2ac×cosB ，c² = a² + b² - 2ab×cosC 。
三角求边公式
三角求边公式
三角形的边长计算公式主要有：
1.勾股定理：对于直角三角形，直角边的边长可以通过勾股定理进行计算。
公式如下：c²=a²+b²，其中c是斜边，a和b是直角边。
2.三角形的三边关系：对于任意三角形，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
这是三角形三边关系的基本定理。
3.三角形的余弦定理：对于任意三角形，其边长可以通过余弦定理进行计算。
公式如下：c²=a²+b²-2abcosC，其中C是角C的余弦值，a、b、c分别是三角形的三边。
以上公式仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询专业人士获取更多关于三角形边长计算的公式和技巧。
三角形的边长关系与角度关系
三角形的边长关系与角度关系在几何学中，三角形是最基本和最常见的形状之一。
它由三条线段组成，被称为边。
三角形的边之间存在一定的关系，这些关系反映了边长与角度之间的相互依赖关系。
本文将探讨三角形的边长关系与角度关系。
一、三角形的边长关系在任意三角形ABC中，存在着严格的边长关系：任意两边之和大于第三边。
即AC + BC > AB，AB + BC > AC，AB + AC > BC。
这个不等式关系被称为三角形的三边不等式。
它表明了三角形的任意两边之和必须大于第三边。
如果存在一边的长等于另外两边长度之和，那么这三条线段不能构成三角形。
二、三角形的角度关系除了边长关系之外，三角形的角度也有一定的关系。
根据三角形内角和公式，三角形的三个内角的和等于180度。
设三角形的三个内角分别为∠A、∠B和∠C，则有∠A + ∠B +∠C = 180°。
这一关系表明，如果我们已知了三个角度中的两个，就可以通过计算得出第三个角度的大小。
这在解决三角形相关问题时非常有用。
三、三角形的角度与边长之间的关系三角形的三个内角与三条边的关系不仅仅局限于角度之间的关系，还可以通过边长来推导。
这里介绍几个常见的关系：1. 正弦定理在任意三角形ABC中，设∠A、∠B和∠C为三个内角，BC、AC和AB分别为对应边的长度。
根据正弦定理，我们可以得到以下关系式：sin∠A/AB = sin∠B/BC = sin∠C/AC = 2R (R为三角形的外接圆半径)2. 余弦定理在任意三角形ABC中，设∠A、∠B和∠C为三个内角，BC、AC和AB分别为对应边的长度。
根据余弦定理，我们可以得到以下关系式：AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2BC·AC·cos∠ABC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB·AC·cos∠BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB·BC·cos∠C3. 正切定理在任意三角形ABC中，设∠A、∠B和∠C为三个内角，BC、AC和AB分别为对应边的长度。
三角形的边角性质
三角形的边角性质甲内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。
用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 乙例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。
(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。
基本不等式和余弦定理求三角形周长取值范围
基本不等式和余弦定理求三角形周长取值范围在数学的世界里，有些东西总是让人感到既神秘又有趣。
今天咱们来聊聊三角形的周长，还有那个不常见但又很有用的基本不等式和余弦定理。
相信我，这绝对是个值得一探究竟的话题，尽管听起来可能有点干，但我会尽量让它变得轻松点儿。
想象一下你在阳光明媚的日子里，和朋友们在公园里玩耍。
突然，你们发现了一个三角形的图案，心血来潮想要测量它的周长。
周长就是三角形三条边加起来的长度。
简单吧？但是，三角形的边长可不是随便的哦。
它们之间可是有很多讲究的，特别是涉及到基本不等式。
根据这个不等式，三角形的任意两边之和必须大于第三边。
这听起来像是个老生常谈，但它可是三角形存在的基础。
想想吧，假如你有两根绳子，分别长3米和4米。
如果你试图把它们拼成一个三角形，第三根绳子要多长呢？不得不说，第三根绳子的长度必须小于7米，也得大于1米。
这样，才能保证这三根绳子真的能围成一个三角形。
太有趣了，对吧？你看看，如果你把这两条边长都变长，第三条边的限制也会跟着变。
这就是基本不等式的魅力所在。
它就像是一位严厉但又充满智慧的老师，时刻提醒着我们要遵循规则。
说到这里，余弦定理就悄悄地走进了我们的视线。
想象一下，如果你要计算一个三角形的周长，但又不想先量出每一条边的长度，你就可以借助余弦定理了。
这个定理告诉我们，如果你知道了三条边的长度，还可以通过其中任意两边和夹角来算出第三边。
这就像是玩拼图游戏，只要找对位置，就能把整个图案拼出来。
余弦定理还让我们能轻松算出三角形的角度。
比如说，知道两边的长度和夹角，就能算出另外一边。
这对那些喜欢解谜的朋友来说，真是个大杀器。
不信你试试，随便给个数字，把它们放进去，你会发现原来数学也可以这么好玩！感觉就像是在玩“猜谜语”，猜对了就能获得快乐，没猜对也无妨，反正咱们还有下次。
再说回周长，假如你已经通过基本不等式和余弦定理找到了边的长度，那么计算周长就变得简单无比。
想象一下，你和朋友们一起在海边，搭了个三角形的沙堡。
三角形两边之和大于等于第三边证明
三角形是初中数学中常见的一个图形，它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时，我们经常会碰到一个重要的定理，即三角形两边之和大于等于第三边。
这个定理在解决三角形相关问题时起着非常重要的作用，下面我们就来详细证明一下这个定理。
证明思路：1. 三角形的定义2. 三角形两边之和不小于第三边的证明3. 三角形两边之和等于第三边的情况4. 三角形两边之和小于第三边的情况5. 结论1. 三角形的定义在开始证明之前，首先我们来回顾一下三角形的定义。
三角形是由三条线段组成的一个几何图形，其中任意两边之和大于第三边。
三角形有三个顶点和三条边，分别记为AB、BC、CA，三个内角分别记为∠A、∠B、∠C。
2. 三角形两边之和不小于第三边的证明假设有一个三角形ABC，我们要证明AB+BC≥AC，BC+AC≥AB，AC+AB≥BC。
假设AB+BC<AC，则连接点A和点C，由于AB+BC<AC，所以AC就成了线段AB和BC的另一边。
这与三角形的定义相矛盾，所以不成立。
同理可证BC+AC≥AB，AC+A B≥BC。
3. 三角形两边之和等于第三边的情况当AB+BC=AC时，三角形ABC是一个等腰三角形，其中∠A=∠B。
当BC+AC=AB时，三角形ABC是一个等腰三角形，其中∠B=∠C。
当AC+AB=BC时，三角形ABC是一个等腰三角形，其中∠A=∠C。
4. 三角形两边之和小于第三边的情况如果AB+BC<AC，则三角形中BC的邻边AB之和小于AC，这个时候三角形无法构成。
如果BC+AC<AB，则三角形中AC的邻边BC之和小于AB，同样的，三角形无法构成。
如果AC+AB<BC，则三角形中AB的邻边AC之和小于BC，同样的，三角形无法构成。
5. 结论根据以上证明，我们可以得出结论：三角形两边之和大于等于第三边。
这个定理在初中数学中是非常重要的，我们可以利用这个定理来判断三条线段能否构成一个三角形，也可以应用在解题时的推理和证明中。
三角形共边定理
三角形共边定理三角形共边定理，也称为两边之和大于第三边定理，是几何学中一个基本的定理。
它指出：三角形的任意两边之和大于第三边。
这个定理对于我们研究和解决三角形问题非常重要。
它提供了一个判断三条线段是否可以构成三角形的条件，也帮助我们理解三角形的性质和特点。
让我们来看一下这个定理的几何证明。
假设我们有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别为三边。
我们要证明，AB + BC > AC。
我们可以通过画一条平行于AC的直线段DE，使得DE与BC相交于F点，与AB相交于G点。
这样，我们就得到了两个三角形，即三角形ABF和三角形CBF。
根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应边是平行的，即AB和CF平行，BF和AF平行。
根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应角是相等的，即∠ABF = ∠CBF。
根据三角形内角和定理，我们知道∠ABF + ∠BAC + ∠CBF = 180°。
将上述两个结论代入上式，得到∠BAC + ∠ABF + ∠CBF = 180°。
由于∠ABF = ∠CBF，所以可以得到∠BAC + 2∠ABF = 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道三角形ABC的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。
将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - 2∠ABF = 0。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = 2∠ABF。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
因此，我们可以得到∠ABF + ∠BFC + ∠CFB = 180°。
将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - (∠BFC + ∠CFB) = 0。
化简后得到∠ABC + ∠ACB = ∠BFC + ∠CFB。
根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。
三角形的不等式和锐角关系
三角形的不等式和锐角关系三角形是几何学中的一种基本图形，其具有丰富的性质和关系。
在数学中，三角形的不等式和锐角关系是研究三角形性质的重要内容之一。
本文将探讨三角形的不等式和锐角关系，以便更好地理解和应用这些性质。
首先，我们先来了解一下三角形的不等式。
在三角形ABC中，根据三角恒等定理，我们可知，三角形的任意两边之和大于第三边的长度。
换句话说，对于任意三角形ABC的边长a、b和c，有以下不等式成立：a +b > cb +c > ac + a > b这些不等式的意义在于，它们保证了三角形的存在性。
如果这些不等式不成立，那么就无法构成一个三角形。
其次，我们来探讨三角形的锐角关系。
在三角形ABC中，如果一个角的度数小于90°（即锐角），那么我们可以得到一些有趣的关系。
首先，由于锐角三角形的边长均为正数，我们有以下不等式成立：1. sin A < 12. cos A < 1这两个不等式表明，锐角的正弦值和余弦值始终小于1，即它们的取值范围在0和1之间。
除此之外，我们还可以通过三角函数的性质推导出一些有关锐角的重要关系。
例如，根据正弦函数的性质，我们有以下不等式成立：sin A < A < tan A这个不等式表明，锐角的正弦值小于该角的度数小于其正切值。
这意味着锐角的正弦值是该角的度数的下界，而其正切值是该角的度数的上界。
此外，我们还可以探讨三角形中的最大角和最小角之间的关系。
在锐角三角形ABC中，最大角必然小于90°。
由于三角形内角和等于180°，我们可以得到以下不等式：A +B +C = 180°其中A、B和C分别表示三角形ABC的三个角度。
由于最大角小于90°，我们可以得到以下不等式成立：A +B < 90°这个不等式表明，锐角三角形中两个角度的和小于90°。
这是因为如果两个角的和大于或等于90°，那么最大角将大于90°，与前面的假设相矛盾。
构成三角形的条件
构成三角形的条件三角形的组成条件为:1、组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和。
2、三角形由同一平面内且不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的封闭的内角和为180度的几何图形。
可以根据数学公式进行判断。
一、数学定理。
要构成三角形，必须要任意两边和大于第三边。
进行判断的时候，其实只需要判断最小的两边和大于最长一边即可。
二、算法设计。
根据数学定理，在获取到三个边长后，可以有多种方法进行判断。
判断三条线段能否组成三角形的依据是三角形三边关系的定理：“三角形任何两边的和大于第三边”和它的推论：“三角形任何两边的差小于第三边”。
即若三角形的三边是a,b,c，则有：a<b+c，①b<a+c，②c<a+b，③以及a>c－b（且a>b－c），④b>a－c（且b>c－a），⑤c>a－b（且c>b－a）。
⑥在具体应用时，一般要在给出的三条线段中，找出一条最长的线段与另两条线段的和进行比较，如果适合定理，另外5个不等式就自然成立。
扩展资料：性质1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
孙贵和三角形三边关系-概述说明以及解释
孙贵和三角形三边关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容：孙贵和三角形的关系是一个重要的数学问题。
三角形是几何学中常见的形状，而孙贵则是一种特殊的三角形，其三边之间存在着一些重要的关系。
在本文中，我们将探讨三角形三边关系的定义和性质，并研究它对孙贵的影响。
通过深入研究这一话题，我们可以更好地理解孙贵以及三角形的本质。
由于三角形在数学和几何学中具有广泛的应用，了解三角形三边关系对于解决实际问题和推导数学公式非常重要。
通过研究孙贵和三角形三边关系，我们可以探索各种数学定律和性质，从而推动数学领域的发展。
本文将以引言、正文和结论三个部分展开。
引言部分将对孙贵和三角形三边关系的概念进行介绍，包括文章结构和目的。
正文将详细讨论孙贵和三角形三边关系的定义，以及它们之间的关联和性质。
结论部分将对整篇文章进行总结，并展望三角形三边关系在未来的应用。
通过本文的研究，我们希望能够增进对孙贵和三角形三边关系的理解，为数学研究和实际应用提供有益的知识和见解。
我们相信，孙贵和三角形三边关系的研究将对我们的数学学科和实际问题的解决产生积极的影响。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的主要目的是为读者提供一个清晰的指导，使他们能够更好地理解和掌握本文的主要内容。
本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面。
在概述部分，将简要介绍孙贵和三角形三边关系的背景和基本概念，以引起读者的兴趣。
文章结构部分则是对整篇文章的整体安排进行说明，提供给读者一个清晰的阅读指南。
最后，在目的部分，明确说明本文的目的是为了深入研究孙贵和三角形三边关系，并探索其在实践中的应用价值。
正文部分是本文的主体，主要分为孙贵和三角形的关系以及三角形三边关系的定义两个部分。
在孙贵和三角形的关系部分，将详细介绍孙贵与三角形之间的联系，探讨孙贵几何学中的相关定义、性质和定理等内容。
而在三角形三边关系的定义部分，将着重阐述三角形三边之间的关系和性质，例如三条边的和、差、积等方面的特点，并给出相应的证明和例子，以加深读者对该关系的理解。
直角三角形边与面积的关系及应用
直角三角形边与面积的关系及应用
如果直角三角形两直角边分别为A和B，斜边为C，那么 A2+B2=C2。
直角三角形三边关系：任意两边长度之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
①三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（三角形两边之和大于第三边中的两边是指两条较小的边，两边之差小于第三边的两边是指两条较大的边。
）
②在一个直角三角形中，若一个角等同于30度，则30度角面元的直角边就是斜边的一半。
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
勾股定理逆定理：如果三角形的.三边长a，b，c满足用户a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
④三角形的三条角平分线缴于一点，三条高线的所在直线缴于一点，三条中线处设一点。
⑤三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
⑥等底同低的三角形面积成正比。
⑦底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
⑧三角形的任一一条中线将这个三角形分成两个面积成正比的三角形。
⑨等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
三角形和边倍数关系
三角形和边倍数关系是指三角形中任意两边之和大于第三边的长度关系。
具体来说，如果一个三角形的三边长分别为a、b 和c，那么a、b和c之间的倍数关系可以表示为b/a=c/(a+b)。
这个关系说明了在三角形中，任意一边的长度都是其他两边长度之和减去另一条边的长度，即每一边都与另一条边的两倍相加后减去它自己。
这种倍数关系是三角形的基本性质之一，也是三角形的几何特性之一。
在解决三角形问题时，倍数关系可以用来表示三角形中边的关系，从而简化问题的描述和分析。
同时，倍数关系也可以用来解决一些实际问题，如三角形的稳定性、三角形的面积计算等。
三角形关系
三角形关系
三角形三边关系是三角形三条边关系的定则，具体内容是在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等同于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等同于斜边与斜边接中的乘积。
等腰直角三角形
三边之比：1：1：根号二求解直角三角形（横三角形特定情况）：
勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a 和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。
比如：3，4，5。
他们分别是3，4和5的倍数。
解斜三角形：
在三角形abc中，角a,b,c的对边分别为a,b,c.则有
（1）正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r(r为三角形外接圆半径)
（2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosa b^2=a^2+c^2-2ac*cosb c^2=a^2+b^2-
2ab*cosc注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
（3）余弦定理变形公式cosa=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac
cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab。
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三角形任意两边的和大于第三边
教学目标：
1.探究三角形三边的关系，知道三角形任意两条边的和大于第三边。
2.根据三角形三边的关系解释生活中的现象，提高运用数学知识解决实际问题的能力；提高观察、思考、抽象概括能力和动手操作能力。
3.积极参与探究活动，在活动中获得成功的体验，产生学习的兴趣。
教学重点：探究三角形三边的关系。
教学难点：对三角形任意两条边的和大于第三边的判断方法。
教学过程：
一、复习导入
二、创设情境
1.出示：课本63页例3情境图。
（1）这是小明同学上学的路线。
请大家仔细观察，他可以怎样走？（2）在这几条路线中哪条最近？为什么？
2.大家都认为走中间这条路最近，这是什么原因呢？
请大家看，连接小明家、商店、学校三地，近似一个什么图形？连接小明家、邮局、学校三地，同样也近似一个什么图形？那么走中间这条路，走过的路程是三角形的一条边，走旁边的路走过的路程实质上是三角形的另两条边的和，根据刚才大家的判断，走三角形的两条边的和要比第三边大，那么，是不是所有的三角形的三条边都有这样的关系呢？
两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
三、实验探究
1、剪出下面4组纸条（单位：cm）。
（1）6、7、8。
（2）4、5、9。
（3）3、6、10。
（4）8、11、11。
用每组纸条摆三角形。
请大家随意拿三根来摆三角形，看看有什么发现?
学生动手操作，发现（1）（4）能摆成三角形，（2）（3）不能摆成三角形。
2、进一步探究三根小棒在什么情况下摆不成三角形。
请不能摆成三角形的同学说出不能摆成三角形的三根小棒的长度。
接着引导学生观察和比较摆不成三角形的三根小棒，寻找原因，深入思考。
再请能摆成三角形的学生汇报用哪些尺寸的小棒摆成了三角形。
学生汇报。
3、师生归纳总结：三角形任意两边的和大于第三边。
三、巩固练习
1. 通过实验，我们知道了三角形三条边的一个规律，你能用它来解释小明家到学校哪条路最近的原因吗？
2. 请学生独立完成练习十五6——8题
四、反思回顾
在这节课里，你有什么收获？学会了什么知识？是怎样学习的？
教学反思：在教学三角形“任意两边之和大于第三边”这一课时，可以分两个层次教学：先是让学生从五根小棒中任意抓三根围一围，让学生直观感知到有些是可以围成的，有些是围不成的，同时使学生产生一种空间直觉，当两条较短的边合起来小于最长边是围不成的，当两条较短的边合起来大于最长边是可以围成的；接着让学生边围边有序地记录每根小棒的长度，并对此进行必要的分类；最后让学生在空间直觉引领下形成的三边关系几何模型和基于数据寻找三边关系的代数模型这两者的相互作用中抽象出三角形三边之间的关系。