三角形两边的和与差
三角形三边关系三角形内角与定理
三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+c a-b ＜c ＜a+b给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
第24讲 两角和与差的三角函数
【变式探究】
π 3π 12 3 1．已知 <β<α< ，cos(α－β)＝ ，sin(α＋β)＝－ ，求sin 2α. 2 4 13 5
π 3π π 3π 解：因为 <β<α< ，所以0<α－β< ，π<α＋β< ， 2 4 4 2 5 4 所以sin(α－β)＝ ，cos(α＋β)＝－ ， 13 5 所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)] ＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) 3 12 4 5 56 ＝－ × ＋(－ )× ＝－ . 5 13 5 13 65
a ， cos φ＝ 2 2 a ＋b b ， 其中 sin φ＝ 2 2 a ＋ b b tan φ＝ ， a
角 φ 称为辅助角．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
1 3 1．若cos(α＋β)＝ ，cos(α－β)＝ ，则tan α·tan β的值为( 5 5 1 A. 2 B. 1 3 C. 1 5 1 D. 15
① ②
①2＋②2，得1＝2－2(cos αcos β＋sin αsin β)， 1 即cos(α－β)＝ . 2 π 因为sin α＋sin γ＝sin β，且α、β、γ∈(0， )， 2 π 所以sin α<sin β，故α<β，所以α－β＝－ . 3
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
1． 对公式的掌握， 既要能正用， 还要进行逆用及变形使用． 记 忆公式要注意角、 三角函数名称排列以及连接符号“＋”“－” 的变化特点，要掌握一些常见的变形使用 ，如 tan(α ＋ β) ＝ tan α＋tan β 的变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α· tan β)等． 1－tan αtan β 2．明确变形目标，重视角的变换，注意角的范围．确定变 形的目标和方向很重要， 根据所求目标及条件常可对角进行一些 变换，如 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β) π π －β，α＋ ＝(α＋β)－(β－ )等等，再根据条件确定角的范围，计 3 3 算有关函数值．
初中数学知识归纳三角形的三边关系与角平分线
初中数学知识归纳三角形的三边关系与角平分线初中数学知识归纳：三角形的三边关系与角平分线三角形是初中数学中的重要概念之一，而了解三角形的几何特性对于解决与之相关的问题至关重要。
本文将对三角形的三边关系以及角平分线的性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些数学知识。
一、三角形的三边关系在任意一个三角形ABC中，三条边分别为a, b和c，三个内角分别为A, B和C。
根据三边关系的性质，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 三角形两边之和大于第三边：a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这一结论可以通过数学推导进行证明，也可以从几何直观上理解。
当任意两条边之和小于或等于第三条边时，无法构成一个封闭的三角形，因此两边之和必须大于第三边。
2. 三角形两角之和小于180度：A + B < 180度，B + C < 180度，C + A < 180度。
同样地，这个结论可以通过几何推理或者解三角形的内角和定理进行证明。
由于一个完整的平面角为360度，这意味着三角形的内角和必然小于180度。
3. 三角形两边之差小于第三边：|a - b| < c，|b - c| < a，|c - a| < b。
这个结论可以通过几何推理和绝对值的性质进行证明。
当两条边之差大于或等于第三条边时，无法形成一个封闭的三角形，因此两边之差必须小于第三边。
二、三角形的角平分线在三角形ABC中，角的平分线是指从角的顶点出发，将角分为两个相等的角的线段。
根据角平分线的性质，我们可以得到以下几个重要的结论：1. 角平分线将对边分成相等的线段。
当一条角的平分线将一个三角形的内角分为两个相等的角时，它同时也将对边分为两个相等的线段。
这是因为角平分线将角分成两个相等的部分，从而将对边也分成相等的部分。
2. 三角形的三个角的平分线交于一点。
对于一个三角形ABC来说，三个角的平分线AA'、BB'和CC'交于一点O，称为三角形的内心。
三角形的所有性质
三角形的性质1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点性质：到三边的距离相等。
界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
7.一个三角形最少有2个锐角。
8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a??+b??=c??那么这个三角形就一定是直角三角形。
三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数、解三角形 第三节 两角和与差的三角函数
π
2
(1)sin α- 6
π
2α-3
cos
1
=1- cos
2
π
2
+sin α+ 6
+cos
1
α= ,故选
2
2
2α-sin
π
2α+ 3
π
3
1-cos (2 - )
-sin2α=
-sin
1
α=12
2
2
2cos
+
π
3
1-cos (2+ )
π
2α·cos3
2
-sin2α=
-sin2α
A.
(2)(1+tan α)(1+tan β)=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+tan(α+β)(1-tan αtan β)
π
,π
2
,求 tan α 的值.
解 由已知得 2sin αcos α=-sin α,因此 cos
故 tan α=- 3.
1
α=-2,又
π
α∈(2 ,π),所以
sin
3
α= 2 ,
研考点 精准突破
考点一
和、差、倍角公式的简单应用
题组(1)(2023·江苏扬州高三模拟)已知 sin
A.- 3
B.-
3
3
π
- 2 ,0
π
-α
2
,则 tan 2α=(
3
D.±3
,且 2cos 2α=sin
π
α+ 4
)
3
B.4
3
A.-4
初中数学几何图形的性质与判定方法总结
初中数学几何图形的性质与判定方法总结初中数学中，几何图形是重要的学习内容之一，它们具有各种性质和特点，也有相应的方法来判定它们。
本文将对初中数学中常见的几何图形的性质和判定方法进行总结和讨论。
一、三角形的性质与判定方法三角形是初中数学中最基本的几何图形之一，它具有以下性质：1. 三角形的内角和为180度：对于任意三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形的外角和为360度：三角形的三个外角和等于360度。
3. 三角形的边长关系：在△ABC中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
4. 等边三角形：三条边的边长相等的三角形。
5. 等腰三角形：两边的长度相等的三角形。
6. 直角三角形：其中一个角为90度的三角形。
三角形的判定方法主要有以下几种：1. 三边判定法：如果三条边的边长满足任意两边之和大于第三边的关系则可构成三角形。
2. 两边夹角大于第三边判定法：如果两边之间的夹角大于第三边的夹角则可构成三角形。
3. 两角和大于直角判定法：如果两个角之和大于90度则可构成三角形。
4. 两角差小于直角判定法：如果两个角之差小于90度则可构成三角形。
二、四边形的性质与判定方法四边形是由四条线段构成的几何图形，它具有以下性质：1. 四边形的内角和为360度：对于任意四边形ABCD，有∠A+∠B+∠C+∠D=360°。
2. 平行四边形：具有两组对边平行的四边形。
3. 矩形：具有四个内角都是90度的平行四边形。
4. 菱形：具有四条边都相等的平行四边形。
5. 正方形：具有四个内角都是90度且四条边都相等的矩形。
对于四边形的判定方法主要有以下几种：1. 两组对边平行判定法：如果四边形的两组对边都平行，则可判定为平行四边形。
2. 具有相等邻边且对角线互相平分判定法：如果四边形的相对边相等且对角线互相平分，则可判定为菱形。
3. 具有相等邻边且相对边垂直判定法：如果四边形的相对边相等且相对边垂直，则可判定为矩形。
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
三角形法则和平行四边形法则
三角形法则和平行四边形法则三角形法则和平行四边形法则是解决几何问题中常用的两个重要原理。
三角形法则用来解决三角形的问题，而平行四边形法则则用来解决平行四边形的问题。
本文将深入探讨这两个法则的详细应用，以及它们在几何学中的重要性。
一、三角形法则1.三角形内角和的性质：在任意一个三角形中，三个内角的和等于180度。
这是三角形法则的基础性质，也是解决许多三角形问题的前提。
2.三角形外角和的性质：在一个三角形的每一个外角上，满足外角等于两个相对内角之和。
即三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。
3.三角形的三边关系：a)三角形的两边之和大于第三边。
这是三角形存在的必要条件，也是解决三边关系问题的重要依据。
b)三角形两边之差小于第三边。
这是三角形能够有两边之差的最大值，也是解决三边关系问题的关键。
c)三角形两边之和与两边之差的关系。
根据三角形两边关系的性质，可以得出两边之和与两边之差的关系：两边之和大于两边之差，但小于两边之和与两边之差的和。
平行四边形法则主要包括两部分，即平行四边形的边、角关系和平行四边形的对角线关系。
下面将分别对这两个部分进行详细介绍。
1.平行四边形的边、角关系：a)相对边相等。
一个平行四边形的相对边相等，这是平行四边形的基本性质。
b)邻边互补。
一个平行四边形的邻边互补，即相邻的两个内角之和等于180度。
c)同位角相等。
一个平行四边形的同位角相等，即平行四边形任意两个对角线的交点与四边形的各内角形成的角相等。
2.平行四边形的对角线关系：a)对角线互相平分。
一个平行四边形的对角线互相平分，即对角线的交点相互平分彼此。
b)对角线互相垂直。
一个平行四边形的对角线互相垂直，即对角线的交点相互垂直。
三、三角形法则和平行四边形法则在几何学中的重要性三角形法则可以帮助我们计算三角形中各个角度的大小、边长的关系以及三边的关系，如角的相互关系、根据边关系求出边长等。
而平行四边形法则可以帮助我们理解平行四边形的特点、各边、角的关系，以及平行四边形的对角线特性。
两角和与差正切公式
sec(α-β) = secαsecβ - tanαtanβ
两角和余割公式
csc(α+β) = cscαcscβ - cotαcotβ
两角差余割公式
csc(α-β) = cscαcscβ + cotαcotβ
04
两角和与差正切公式的实际应用
在物理中的应用
电磁波传播
在电磁波传播的研究中，两角和与差 正切公式常用于计算不同角度下的波 幅和相位变化。
波动方程
在研究波动方程时，两角和与差正切 公式用于分析波的干涉和衍射现象， 例如在声波、光波等领域。
在工程中的应用
信号处理
在信号处理中，两角和与差正切公式用于分析信号的频率、相位和振幅变化，例如在通信、雷达和声 呐等领域。
结构设计
在结构设计领域，两角和与差正切公式用于分析结构的应力、应变和稳定性，例如在桥梁、建筑和航 空航天等领域。
两角和与差正切公式
• 两角和与差正切公式的基本概念 • 两角和与差正切公式的应用 • 两角和与差正切公式的扩展
• 两角和与差正切公式的实际应用 • 两角和与差正切公式的注意事项
01
两角和与差正切公式的基本概念
两角和正切公式
公式定义
01
tan(α+β) = (tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
02
两角和与差正切公式的应用
在三角函数计算中的应用
计算两角和与差的三角函数值
利用两角和与差正切公式，可以方便地计算出任意两个角的和与差的三角函数 值。
化简复杂的三角函数表达式
通过两角和与差正切公式，可以将复杂的三角函数表达式进行化简，简化计算 过程。
在三角恒等式证明中的应用
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
三角形2边之和大于第三条边原理
三角形2边之和大于第三条边原理三角形是初中数学中一个比较基础的知识点，三条边的长短决定了三角形的形态和性质。
三角形的三条边有一定的关系，其中一条基本原理就是“任意两边之和大于第三边”。
这个原理非常重要，不仅仅是因为在初中数学中经常会用到，更是因为它帮助我们理解三角形的性质，从而对几何知识有更深入的理解。
先来看一下这个原理是什么意思。
三角形有三条边，分别为a、b、c，三边之间有如下关系：a+b>cb+c>ac+a>b这三个式子表明，三角形的任意两边之和要大于第三边。
如果出现某条边的长度大于或等于另外两条边长度之和，那么这三条线段就无法组成一个三角形。
这个原理的证明很简单，我们可以用勾股定理来证明。
假设三角形的三边分别是a、b、c，而且c是三角形的斜边。
那么根据勾股定理，我们有：a² + b² = c²如果a和b的长度之和小于c，那么有：a +b < c(a + b)² < c²a² + 2ab + b² < c²a² + b² < c² - 2ab这与勾股定理矛盾。
同样的方式，a+b>c的证明也可以用勾股定理来完成，b+c>a和c+a>b的证明也是类似的。
三角形2边之和大于第三条边原理是物理自然现象和几何知识相互印证的一个典型案例。
物理学中有一个原理，叫做“法向分解原理”，它表明给定一条力的方向和大小，该力可以被分解成与一个平面垂直的向量和平行于该平面的向量。
这个原理可以用来解释为什么三角形是三个力从同一点出发作用于一个质点时的平衡状态。
假设三个力分别是F1、F2和F3，并且F1和F2的方向与F3的方向不同。
我们可以通过法向分解将F1和F2分解成两个方向垂直的向量，然后将这四个向量表示在同一个平面内，就得到了一个三角形。
因为这四个向量的长度与它们所表示的力的大小成比例，所以这个三角形的三条边的长度和原来的三个力的大小成比例。
三角形三边关系、三角形内角和定理
三角形三边关系、三角形内角与定理三角形边得性质(1)三角形三边关系定理及推论定理:三角形两边得与大于第三边、推论:三角形两边得差小于第三边。
(2)表达式:△ABC中,设a＞b＞c则b—c＜a＜b+cａ－ｃ＜b＜a＋cﻫ a-b＜c＜a+b(3)应用１、给出三条线段得长度,判断它们能否构成三角形。
方法(设a、b、c为三边得长)ﻫ①若a＋b＞c,a+c＞b,b+c〉a都成立,则以a、b、ｃ为三边得长可构成三角形;②若c为最长边且a+b>c,则以ａ、b、c为三边得长可构成三角形;ﻫ③若c为最短边且c＞|ａ－b|,则以ａ、ｂ、ｃ为三边得长可构成三角形、ﻫ 2、已知三角形两边长为a、b,求第三边x得范围:｜a-b｜＜x＜ａ+b。
３、已知三角形两边长为a、ｂ(a>b),求周长L得范围:2a〈Ｌ＜2(a+b)、4、证明线段之间得不等关系、ﻫ复习巩固,引入新课1画出下列三角形就是高2、已知:如图△ABＣ中AG就是BC中线,AB=５ｃm AＣ=3cｍ,则△ＡBG与△ＡCG得周长得差为多少?△ＡBＧ与△ACG得面积有何关系？3、三角形得角平分线、中线、高线都就是( )ﻫ A、直线Ｂ、线段C、射线Ｄ、以上都不对ﻫ4、三角形三条高得交点一定在( )Ａ、三角形得内部Ｂ、三角形得外部C、顶点上D、以上三种情况都有可能５、直角三角形中高线得条数就是( )Ａ、3 B、２ C、1 D、0６、判断:（1）有理数可分为正数与负数、（2）有理数可分为正有理数、正分数、负有理数与负分数。
７、现有１0cｍ得线段三条,15ｃm得线段一条,20ｃm得线段一条,将它们任意组合可以得到几种不同形状得三角形？三角形三边得关系一、三角形按边分类(见同步辅导二)练习１、两种分类方法就是否正确:不等边三角形不等三角形三角形三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形２、如图,从家A上学时要走近路到学校Ｂ,您会选哪条路线？３、下列各组里得三条线段组成什么形状得三角形？(1)3ｃm ４ｃm６ｃｍ(2)4cm 4ｃm 6cm(３)7cm ７cm 7cm (4)3ｃｍ３cm７cｍ应用举例1已知△ABC中,a=6,b=14,则c边得范围就是练习１、三角形得两边为3cm与5cｍ,则第三边x得范围就是２、果三角形得两边长分别为７与２,且它得周长为偶数,那么第三边得长为3、长度分别为１2cm,10cｍ,5cm,4cm得四条线段任选三条线段组成三角形得个数为( )A、1 Ｂ、2 C、3 Ｄ、４ﻫ4、具备下列长度得各组线段中能够成三角形得就是( )A、5,９,3B、5,7,3C、5,２,3D、5,8,３应用举例２1、已知一个等腰三角形得两边分别就是8cｍ与6ｃm,则它得周长就是_＿___＿cｍ。
两角和差公式与解三角形
一、两角和与差的正弦、余弦和正切1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α－β): cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C(α＋β): cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β): sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β): sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T(α＋β): tan(α＋β)＝； (6)T(α－β): tan(α－β)＝。
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α: sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α: cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)T2α: tan 2α＝。
3.有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos2α＝, sin2α＝；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2,sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4。
4.函数f(α)＝acos α＋bsin α(a, b 为常数), 可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ), 其中φ可由a, b 的值唯一确定。
两个技巧(1)拆角、拼角技巧: 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－。
(2)化简技巧: 切化弦、“1”的代换等。
三个变化(1)变角: 目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角, 其手法通常是“配凑”。
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的, 其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等。
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形, 使其更贴近某个公式或某个期待的目标, 其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等。
三角形的边角性质
三角形的边角性质甲内容提要三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。
用式子表示如下：a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180六边形内角和=4×180 n 边形内角和=(n －2) 1803. 边与角的关系① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，△ABC 中∠C=Rt ∠222c b a =+⇔(勾股定理及逆定理) △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 30A Rt C a ：b ：c=1：3：2 △ABC 中⇔⎭⎬⎫=∠∠=∠ 45A Rt C a ：b ：c=1：1：2 乙例题例1.要使三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形求a 的取值范围。
(1988年泉州市初二数学双基赛题)解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧+>-+-->-++->++-141312131214121413a a a a a a a a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->>51135.1a a ∴1.5<a<5答当1.5<a<5时，三条线段3a －1,4a+1,12－a 能组成一个三角形例2.如图A B C DAB=x ，AC=y, AD=z 若以AB 和CD 分别绕着点B 和点C 旋转，使点A 和D 重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？① x<2z , ②y<x+2z , ③y<2z 解由已知AB=x, BC=y －x, CD=z －x 要使AB ，BC ，CD 组成三角形，必须满足下列不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+->-+x y z x y x y y z x y z x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧>>+>x z y z x z y 2222∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<>222z x z x y z y 答y<x+2z 和y<2z 必须满足。
三角形的三边关系定理
三角形的三边关系定理
三角形的三边关系定理：三角形第三边小于两边之和，大于两边之差。
可以表示为两边之差＜第三边＜两边之和。
设三边为a,b,c,则有
a+b>c
a+c>b
b+c>a
三边关系推论：a>b-c c>b-a b>a-c
①判断三条已知线段能否组成三角形；
②当已知两边时，可确定第三边的范围；
③证明线段不等关系。
直角三角形
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
等腰直角三角形
等腰直角三角形三边之比：1：1：根号二。
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sin两角和差公式
sin两角和差公式辬两角和差公式是初中数学中的重要内容，是解决三角函数计算问题的基础。
它是通过正弦函数的性质推导出来的，可以用来计算任意两个角的正弦值之和或差。
本文将详细介绍sin两角和差公式的推导方法和应用场景。
一、sin两角和差公式的推导方法sin两角和差公式的推导方法是通过正弦函数的性质来实现的。
正弦函数的定义是：对于任意实数x，sinx等于对边与斜边的比值，即sinx=opposite/hypotenuse。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下公式：sin(A+B)=opposite/hypotenusesin(A-B)=opposite/hypotenuse其中，A和B为两个角，opposite为A+B或A-B的对边，hypotenuse 为A+B或A-B的斜边。
我们可以将这两个公式相加或相减，得到sin(A+B)+sin(A-B)或sin(A+B)-sin(A-B)的值。
然后，我们可以将这些值化简成更简单的形式，得到sin两角和差公式。
具体来说，我们可以将sin(A+B)+sin(A-B)的值化简成2sinAcosB的形式，将sin(A+B)-sin(A-B)的值化简成2cosAsinB的形式。
这样，我们就得到了sin两角和差公式的两种形式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB其中，sin(A+B)和sin(A-B)分别表示两个角的正弦值之和和差，sinA和cosA分别表示第一个角的正弦值和余弦值，sinB和cosB分别表示第二个角的正弦值和余弦值。
二、sin两角和差公式的应用场景sin两角和差公式的应用场景非常广泛，可以用于解决各种三角函数计算问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 计算正弦函数的值sin两角和差公式可以用来计算任意两个角的正弦值之和或差。
例如，如果已知sin30°和cos60°的值，可以使用sin(A+B)和sin(A-B)的公式来计算sin(30°+60°)和sin(60°-30°)的值。