指数对数函数函数的奇偶性函数的单调性
函数基础知识
1、函数基础知识：函数分类：二次函数，指数函数，对数函数，三角函数，抽象函数，复合函数，反函数逆，反比例函数常用知识点：顶点公式，根的个数，求根公式，韦达定理，单调性（证明，做减法，除法），奇偶性，图像平移，对称轴公式，周期函数。
函数考查内容：定义域范围，值域，单调性，利用单调性求最值和值域，利用单调性奇偶求参数取值范围，求解析式，对称性比较大小，抽象函数。
2、指数函数、对数函数指数函数图像，定义域，值域，过定点。
对数函数图像，三个公式，定义域，值域，过定点3、抽象函数（一般二次函数无抽象函数，赋值，配凑）一次，指数，对数函数的抽象函数表达试：4、反函数（存在反函数必单调）一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x、 y 的关系，用x 表示y，得到x= g(y)。
若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量，是y的函数，这样的函数x= g(y)(x∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。
反函数y=f-1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
注意：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.反函数题型：存在反函数的条件，反函数的求法，定义域值域，选择图像，方程求值。
5、反比例函数形如函数（k为常数且k≠0）叫反比例函数，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数。
反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域为(-∞,0)∪(0,+∞)。
6、求函数的定义域一般有三种类型：(1)实际问题中函数定义域必须有实际意义。
(2)①分式的分母不得为零; ②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零; ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.7、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问引入变量，建立函数关系。
指、对、幂函数知识点
（1指、对、幂函数知识点）指数函数轴对称 比较指数式大小的方法：1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较（2）对数函数(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.（3）幂函数=叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．一般地，函数y xα幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； 幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性： 当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈）， 若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数； 若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数； 若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点(0,0),(1,1)； （2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，α>1时，图象是“抛物线”型的；α<<01时，图象是“眉毛”型的； （4）在第一象限内，过点(1,1)后，图象向右上方无限伸展。
幂函数、指函数与对函数PPT课件
D. b > a > 1 O
思路二:
1b a
x
数形结合
26
题型三：幂函数性质的应用
3.比较下列各组数的大小：
< 1
1
(1)1.32 ____ 1.4 2
解后反思 两个数比较
(2)0.261
_>____
0.271
大小，何时 用幂函数模
(3)(5.2)2 _<____(5.3)2
型，何时用 指数函数模
即 log2 a log2 b 0 log2 1
a b 1 所以答案选C． 25
能力提升
变②：若0 < loga 2 < logb 2,则
C
()
A. 0 < a < b < 1 y
B. 0 < b < a < 1
1
C. a > b > 1
x=2
y= logb x
y= loga x
解析式 y = a x ( a > 0, a≠1)
y
图 象 0<a<1
y a>1
1
（描点）
1
0
x
0
x
y = log a x ( a > 0, a≠1)
y 0<a<1
y a>1
01
x
01
x
定义域
R
(0 , +∞)
值域
(0 , +∞)
R
定点
都过点(0,1)
都过点(1,0)
范围
x<0时,y>1；x>0时,y>10；<x<1时 x>0时 x<0时 y>0
常见特殊函数性质归纳
常见特殊函数性质归纳一、常见特殊函数列表在数学中，常见的特殊函数包括正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等。
这些函数在各种数学问题中都有重要的应用，其性质也各不相同。
二、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，其周期都是$2\\pi$。
正弦函数的取值范围在[−1,1]之间，是奇函数；而余弦函数的取值范围也在[−1,1]之间，是偶函数。
两者的关系可以用三角关系式$\\sin^2(x) + \\cos^2(x) = 1$来表示。
三、指数函数和对数函数指数函数以自然对数e为底，表达式为y=e x，其图像呈现指数增长的特点。
对数函数则是指数函数的反函数，以e为底时称为自然对数函数。
对数函数的定义域需要是正实数，而自然对数函数定义域则是全体实数。
四、特殊函数的性质总结1.特殊函数的周期性：正弦函数和余弦函数周期为$2\\pi$，指数函数没有周期性，而对数函数的定义域限制导致其不具备周期性。
2.特殊函数的奇偶性：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，指数函数和对数函数均为奇函数。
3.特殊函数的单调性：正弦函数和余弦函数在各自的定义域内是周期性单调函数，指数函数和对数函数在其定义域内分别是增函数和减函数。
4.特殊函数的导数和积分：正弦函数和余弦函数的导数仍为正弦函数和余弦函数，对数函数的导数是1/x，指数函数的导数是其本身；积分则尊从各种函数的积分规则进行计算。
5.特殊函数的极限性质：各种特殊函数在不同趋近点的极限计算和性质会有所不同，需要具体逐个考察。
五、结语常见特殊函数的性质归纳是数学中基础的一环，对于理解数学问题和解题具有重要意义。
在具体运用中，针对每种特殊函数的性质，要有系统地理解和掌握，才能更好地应用于解决实际问题。
函数初高中总结知识点
函数初高中总结知识点一、初中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念函数是一种对应关系，它将每一个自变量的取值都对应唯一的一个因变量的取值。
数学上通常用字母来表示一个函数，比如y=f(x)。
其中y是因变量，x是自变量，f(x)表示函数关系的表达式。
2. 函数的性质（1）定义域和值域函数的定义域是所有可能的自变量值的集合，值域是所有可能的因变量值的集合。
在初中阶段，我们通常研究的是一元函数，也就是函数的自变量只有一个。
（2）奇函数和偶函数当函数f(x)满足f(-x)=-f(x)时，称函数f(x)为奇函数；当函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，称函数f(x)为偶函数。
奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
（3）单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递增的；如果对于定义域上的任意两个不同的自变量值x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)>f(x2)，则称函数f(x)在定义域上是递减的。
3. 函数的图像初中阶段，我们接触到的函数的图像，一般是一元一次函数、一元二次函数和一元绝对值函数的图像。
一元一次函数的图像是一条直线；一元二次函数的图像是一个抛物线；一元绝对值函数的图像是一个V形。
以上就是初中阶段的函数知识点总结，接下来我们来看一下高中阶段的函数知识点。
二、高中阶段的函数知识点总结1. 函数的概念在高中阶段，我们将学习更多种类的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数都是我们在高中数学中要重点学习的内容。
2. 函数的性质（1）函数的奇偶性除了初中阶段学习的奇函数和偶函数外，高中阶段还要学习更多类型的奇偶函数，如正弦函数、余弦函数等。
这些函数的奇偶性对于函数的图像和性质具有很大的影响。
（2）周期性在高中阶段，我们还要学习到周期函数的性质。
幂、指、对函数的知识要点及提醒
幂、指、对数函数的知识要点及提醒一、幂函数幂函数)(Q k x y k ∈=的定义域、值域、奇偶性、单调性因幂指数的不同而不同. 0>k 时，函数的图像都经过点)0,0(和)1,1(，在),0(+∞上是增函数.0<k 时，函数的图像都经过点)1,1(，在),0(+∞上是减函数.0=k 时，函数的图像是直线1=y ，去掉点)1,0(.能画出幂函数k x y =⎭⎬⎫⎩⎨⎧----∈31,21,31,21,3,2,3,2,1,0k 的图像.二、指数函数指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的定义域为R .值域为),0(+∞.恒过定点)1,0(.当1>a 时，在R 上是增函数，当10<<a 时，在R 上是减函数(增减性)，指数函数既不是奇函数也不是偶函数.指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x 对任意实数y x ,满足)()()(y f x f y x f =+.三、对数的概念及运算1 如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作N b a log =. 根据定义可知：对数的真数N 的范围是),0(+∞，底数a 的范围是),1()1,0(+∞ . 对数的性质：01log =a ，1log =a a ，b a b a =log ，N a N a =log .注意：任意一个实数都可以写成对数的形式，如233log 2-=-；任意一个正实数都可以写成指数的形式，如3log 223=.2 已知R n N M a a ∈>>≠>,0,0,1,0，则 N M N M a a a log log )(log +=⋅. N M N M a a alog log log -=. N n N a n a log log =. 3 换底公式：)1,0,1,0(log log log ≠>≠>=b b a a aN N b b a . 1log log =⋅a b b a ,)0(log log ≠=m b mn b a n a m .特别地, )0(log log ≠=n b b a n a n . 四、反函数 (1)若函数)(x f y =存在反函数，则)(1x f y -=的定义域为)(x f y =的值域.)(1x f y -=的值域为)(x f y =的定义域.(2) 求反函数的步骤：①由)(x f y =求得)(1y fx -=.②求)(x f y =的值域.③交换y x ,写出)(1x f y -=，并注明其定义域.(3) 互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称.点),(b a P 关于直线x y =对称的对称点为),(a b Q .若点),(b a P 在函数)(x f y =的图像上，则点),(a b Q 在)(1x fy -=的图像上. (4) 若函数)(x f y =的反函数是它本身，即)()(1x f x f=-，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称.反之，也成立.五、对数函数(1) 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的定义域为),0(+∞，值域为R . 1>a 时在),0(+∞上是增函数；10<<a 时在),0(+∞上是减函数. 对数函数既不是奇函数也不是偶函数.(2) 对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像在y 轴右侧，恒过点)0,1(.函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a 对任意正实数y x ,都有)()()(y f x f xy f +=成立.六、简单的指数方程和对数方程)1,0(≠>=a a b a x ，若0≤b ，方程无解；若0>b ，b x a log =.换元(令)1,0(≠>=a a a t x )转化为关于t 的一元二次方程02=++r qt pt .注意t 的范围！ )1,0(log ≠>=a a b x a 的解为b a x =.换元(令)1,0(log ≠>=a a x t a )转化为关于t 的一元二次方程02=++r qt pt . 解对数方程一定要检验！七、图像变换平移变换：将)(x f y =的图像沿x 轴方向平移h 个单位，得到)(h x f y +=的图像.0>h 是向左平移，0<h 是向右平移.将)(x f y =的图像沿y 轴方向平移k 个单位，得到k x f y +=)(的图像.0>k 是向上平移，0<k 是向下平移.翻折变换：)(x f y =的图像关于y 轴对称，它在y 轴右侧的图像与)(x f y =的图像一样. )(x f y =的图像都在x 轴及其上方，)(x f y =的图像在x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方.。
函数的奇偶性、指数函数、对数函数
函数的奇偶性、指数函数、对数函数知识精要一、函数的奇偶性一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)那么函数f(x)就叫做偶函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)和f(-x)=f(x)，(x∈D,且D 关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x ，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
奇偶函数图像的特征定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y 轴的轴对称图形。
f(x)为奇函数＜＝＞f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数＜＝＞f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
指数对数函数基本知识点
1 基本初等函数知识点知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.次方根的性质：(1)当为奇数时，；当为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.4.有理数指数幂的运算性质：(1) (2) (3)知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.2奇偶性 非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的 变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.知识点三：对数与对数运算1.对数的定义 (1)若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.(2)负数和零没有对数.(3)对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，，.3.常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).4.对数的运算性质 如果，那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域.函数名称对数函数定义 函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小.1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.2.幂函数的性质(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2)过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.(3)单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数.如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.(4)奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当(其中互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数.(5)图象特征：幂函数，当时，若，其图象3在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方.补充：函数1. 映射定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合A 中任一元素x，在集合B中有唯一元素y与之对应，则称f是从集合A到集合B的映射。
高考数学常用公式：指数函数与对数函数公式汇总
【导语】锲⽽舍之，朽⽊不折；锲⽽不舍，⾦⽯可镂。
备考也需要这样持之以恒的精神。
⽆忧考为您提供⾼考数学常⽤公式，平时巩固所学知识并灵活运⽤，考试时会更得⼼应⼿，快来看看吧！ 指数函数与对数函数公式汇总 (1)定义域、值域、对应法则 (2)单调性 对于任意x1，x2∈D 若x1 若x1f(x2)，称f(x)在D上是减函数 (3)奇偶性 对于函数f(x)的定义域内的任⼀x，若f(-x)=f(x)，称f(x)是偶函数 若f(-x)=-f(x)，称f(x)是奇函数 (4)周期性 对于函数f(x)的定义域内的任⼀x，若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数(1)分数指数幂 正分数指数幂的意义是 负分数指数幂的意义是 (2)对数的性质和运算法则 loga(MN)=logaM+logaN logaMn=nlogaM(n∈R) 指数函数对数函数 (1)y=ax(a>0，a≠1)叫指数函数 (2)x∈R，y>0 图象经过(0，1) a>1时，x>0，y>1;x<0，0 0 a>1时，y=ax是增函数 0 (2)x>0，y∈R 图象经过(1，0) a>1时，x>1，y>0;0 0 a>1时，y=logax是增函数 0 指数⽅程和对数⽅程 基本型 logaf(x)=bf(x)=ab(a>0，a≠1) 同底型 logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)>0(a>0，a≠1) 换元型f(ax)=0或f(logax)=0。
高等数学函数
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
但是并非每个方程都表示一个单值函数.
y 1 x2 如 x y 1
2 2
高等数学
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5、反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数x ( y )
y0
W
W
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. ( 记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
高等数学
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
y a0 a1 x an x n 不是初等函数
y e sin x 1
x 2
为初等函数
x x0 不是初等函数 y x 1 x 0
高等数学
47
x, x 0 例1 y x x , x 0
复合而成的复合函数
是由y u和u x 2
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
高等数学
x
2．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 高等数学 x
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
对数函数与指数函数的基本概念与性质
对数函数与指数函数的基本概念与性质一、对数函数的基本概念与性质对数函数是指数函数的逆运算，用来描述指数运算的反向过程。
对数函数的基本概念与性质如下：1. 对数的定义对于任意正数a（a>0）且a≠1，对数函数y=logₐx表示以a为底数，x为真数的对数，其中x是正数。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2. 对数的性质（1）对数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）对数的真数必须是正数，即x>0。
（3）对数函数的图像是一条曲线，称为对数曲线。
（4）对数函数的图像在x轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于logₐ1=0。
（5）对数函数的图像在y轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于logₐa=1。
3. 对数函数的性质（1）对数函数的单调性：当0<a<1时，对数函数是递减的；当a>1时，对数函数是递增的。
（2）对数函数的奇偶性：当a>1时，对数函数是奇函数；当0<a<1时，对数函数是偶函数。
（3）对数函数的定义域：对数函数的定义域是正实数集，即x>0。
（4）对数函数的值域：对数函数的值域是实数集。
二、指数函数的基本概念与性质指数函数是以一个固定的正数为底数，自变量为指数的函数。
指数函数的基本概念与性质如下：1. 指数的定义指数函数y=aˣ表示以a为底数，x为指数的指数函数，其中a是正数且a≠1，x是实数。
指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。
2. 指数的性质（1）指数的底数必须是正数且不等于1，即a>0且a≠1。
（2）指数函数的图像是一条曲线，称为指数曲线。
（3）指数函数的图像在x轴上有一个水平渐近线，即y=0，对应于a⁰=1。
（4）指数函数的图像在y轴上有一个垂直渐近线，即x=0，对应于1ˣ=1。
3. 指数函数的性质（1）指数函数的单调性：当0<a<1时，指数函数是递减的；当a>1时，指数函数是递增的。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
信号处理
在信号处理中，指数和对数的复合函数被用来进行 信号的调制和解调，以及滤波和频谱分析等操作。
控制工程
在控制工程中，指数和对数的复合函数可以 用来描述系统的动态响应和稳定性，以及进 行系统分析和设计。
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偶函数与偶函数的复合仍为偶函 数。
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指数和对数的复合函数的最值问题
最值的定义
最值定义
函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值点
函数取得最值的点。
端点值
函数在区间端点的函数值。
求最值的方法
导数法
通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和端点 值，确定最大值和最小值。
不等式法
利用不等式性质，通过比较函数在不同点的函数值来 求最值。
导数法
通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0 ，函数单调递减。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值满足递增或递减关 系，则函数在该区间内单调。
复合函数的单调性
同增异减：如果内外层函数单调性相 同（都递增或都递减），则复合函数 单调递增；如果内外层函数单调性不 同，则复合函数单调递减。
判断复合函数单调性的关键则进行判断。
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指数和对数的复合函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函 数。
VS
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
高中数学-指数函数对数函数知识点
高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
判断单调性的5种方法
1.用定义证明函数的单调性，可以用作差法，也可以用作商法。
无论是作差还是作商，步骤都是一样的，一共是四步。
第一步：取值，在题干指定的区间内，取x1 ，x2 ，令x1小于 x2。
第二步：变形，作差或者作商，并把式子进行变形，变形的方法有因式分解、配方、通分、分母有理化。
变形的方向是作差法方便与0比较，作商法方便与1比较。
第三步：定号，确定作差或者作商的结果。
如果不能确定，考虑分类讨论。
第四步：定论，根据x1与x2 的大小关系，f(x1)与 f(x2)的大小关系，结合单调性定义得出结论。
2.图像法图像法确定函数的单调性，一定要先化简函数解析式，再画出它的草图，最后根据函数的定义域并结合草图，确定函数的单调区间。
当函数的解析式中含有绝对值时，要利用绝对值内等于0的分界点讨论，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数。
要想能画出图，学生一定要掌握二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的基本性质。
比如二次函数的开口，对称轴。
3.根据对称性函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称等同于f(x+a)=f(a-x)等同于f(x)=f(2a-x)。
到对称轴距离相等的自变量对应的函数值相等。
函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称。
4.根据奇偶性 -“奇同偶异”奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性，可以简记为"奇同偶异"。
5.复合函数的单调性 -“同增异减”判断复合函数y=f(g(x))的单调性的步骤，第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数 y=f(g(x))的单调性。
如何比较指数、对数函数式的大小
方法集锦比较函数式大小问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现在各类试卷中，其中比较指数、对数函数式的大小问题较为复杂，此类问题侧重于考查指数、对数函数的单调性、奇偶性、图象以及运算性质.比较函数式大小的常用方法有作差比较法、作商比较法、函数性质法、中价值法、公式法等.本文重点谈一谈比较指数、对数函数式大小的两种常用途径.一、利用函数的单调性我们知道，指数、对数函数具有单调性，当0<a <1时，指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减；当a >1时，指数函数y =a x在R 上单调递增.当0<a <1时，对数函数y =log a x (a >0，且a ≠1)在()0,+∞上单调递减；当a >1时，指数函数y =log a x 在()0,+∞上单调递增.在比较指数、对数函数式的大小时，可将两个函数转化为底数、指数、真数相同的指数、对数函数式，再根据指数、对数函数的性质来进行比较.例1.已知a >b ，则().A.ln ()a -b >0B.3a <3bC.a 3-b 3>0D.||a <||b 解：对于A 项，根据y =ln x 的值域为R ，可知ln ()a -b 与0的大小关系无法判断，则A 项错误；对于B 、C 两项，可根据指数函数y =3x 在R 上单调递增判断3a>3b，则B 项错误，C 项正确；对于D 项，根据绝对值的性质无法判断||a 、||b 的大小关系.故本题选C 项.例2.（2020年全国Ⅰ卷理科,第12题）若2a+log 2a=4b+2log 4b ，则().A.a>2bB.a<2bC.a >b 2D.a <b 2分析：不等号两边的式子都是一个指数函数式和一个对数函数式的和，其结构相同，于是将其变形2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b ，构造同底数的函数式f (x )=2x+log 2x ，再讨论f (x )在()0,+∞上的单调性，便可根据函数的单调性来比较a 、2b 的大小，从而选择出正确的选项.解：设f (x )=2x+log 2x ，则f (x )为增函数，因为2a +log 2a =4b +2log 4b =22b+log 2b所以f (a )-f (2b )=2a+log 2a -(22b+log 22b )=22b +log 2b -(22b +log 22b )=log 212=-1<0，所以f (a )<f (2b )，所以a <2b .f (a )-f (b 2)=2a +log 2a -(2b 2+log 2b 2)=22b +log 2b -(2b 2+log 2b 2)=22b -2b 2-log 2b ，当b =1时，f (a )-f (b 2)=2>0，此时f (a )>f (b 2)，有a >b 2，当b =2时，f (a )-f (b 2)=-1<0，此时f (a )<f (b 2)，有a <b 2，所以C 、D 两项错误.故本题选B 答案.有些要比较大小的式子很复杂，但是仔细一看就会发现其中有很多重复或者是相似的地方，可从中找到一些“端倪”，据此构造新函数，根据新函数的单调性来比较函数式的大小.二、取中间值运用中间值法比较两个指数、对数函数式的大小，通常要与放缩法相结合，即以中间值作为“桥梁”，根据不等式的传递性来将要比较的式子进行放缩，以便快速比较出各个指数、对数函数式与中间值的大小.例3.已知a =log 52,b =log 0.50.2,c =0.50.2，则a ，b ，c的大小关系为().A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b解：因为a =log 52<log 55=12，b =log 0.50.2<log 0.50.25=2，又12=0.51<0.50.2<0.50=1，故12<c <1，因此a <12<c <1<2<b ，所以a <c <b ，故A 选项正确.运用中间值法比较指数、对数函数式的大小，关键要选取合适的中间值.在选取中间值时，将要比较的式子进行合理变形，尽量将其与0,1，12等便于变形的数值靠拢.由于a =log 52<log 55=12，b =log 0.50.2<log 0.50.25=2，所以本题选取12和2作为中间值.相比较而言，第一种途径较为简单，且较为常用，第二种途径较为灵活，且较为复杂，常用于求解较为复杂的，且没有任何共同点的函数问题.在比较指数、对数函数式的大小时，同学们要有敏锐的观察力和较强的分析能力，这样才能根据函数式的特点快速选出合适的方法来求解.（作者单位：闽南师范大学数学与统计学院）43。
指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性
一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：一、指数与对数函数:1、指数的运算法则：(1)sr sa a a ；r s(2) arsa ；(4) mn n ma wa ； m(5)a n1rr r(3) ab a b ；n n(6) Va\ aa, n 奇 | a |, n 偶n m4log a a 1 ； logal 0 ; ln e 1 ； lnl 0 ； lg10 1 ； lg1 0(1) 互化: a b Nb log a(2)恒等:a loga NN(3) 换底： log a blog clog c a1log b a 推论 2 log a b ? log b c log a c(4)log MN log a M loglog a log a M log a N(5)lognlog a M推论3 loga m bnn .— log mb(m 0) 3、对数函数的运算法则b推论ilog a10. 若log m 9<log n 9<0，那么m,n 满足的条件是( )(A) m>n>1(B) n>m>1(C) 0<n<m<1(D) 0<m<n<15 1 111. 气 2lg2 烦)1 ------------------------------- 。
1 31.设牌Foo，则 f (f( 2))A.1 B. -42.设 a 1g e,b (1g e)2,c 1ge 则(A) a(B) acab(D) c b3.已知函数f (x)2乂 1 2,x log 2(x 1),x f (a)a)(B)(C)1 (D)-44.设函数f (x)2xlog 2 (2 1 ,xx),x ‘则f( 2) f (log 212)(A) 3(B) 6(C) 95.设 a= log 36, b= log s 10, c= log 714，贝U ((D) 12 ).A . c> b>aB . b> c> a C. a>c> bD. a> b> c6.设 a= log 32, b= log 52, c= log 23,则(). A . a>c>b B. b>c>aC. c>b>aD . c> a> b7.已知 x ln , y(A) x y z (B) z x y(C) z y x (D) y z x9.设a ln 2, c log 32 ,则B. b c aC. c b alog 2 3 log 2 3, b log 2 9 log 2、3, clog 遍J 3,则a,b,c 的大小关系(B. a b cC. a b c、函数的奇偶性(1) 、奇函数：1、定义域关于原点对称2、f(x)+f( - x)=03、图像关于原点对称 (2)、常见的奇函数1、y kx2、y- 3、y kx n(n 为奇数)4、y sin x5、ytanxx6、y x xa a(3 )、偶函数：1、 TE 义域关于原点对称4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是5.下列函数为奇函数的是()x xsinx C. y cosx D. y e e6. 下列函数为奇函数的是((4 )、1、 52、 f (x)=f( - x)3、 图像关于y 轴对称常见的偶函数： kx n (n 为偶数)y-般为偶次藉、含有绝对值的函数(5)、奇偶函数的运算 2、 y x3、 y a cosx(具体情况看题4、lnx奇+奇=奇 奇X 奇=偶 偶+偶=偶偶X 偶=偶 奇+偶=非奇非偶函数 奇X 偶=奇(6)、练习1.下列函数中为偶函数的是(A. y x 2 sin x2x cosxC.lnxD.2.下列函数中，既不是奇函数, 也不是偶函数的是2x3.下列函数中，既不是奇函数, 也不是偶函数的是A. y x 2sin xB. y x 2cosxC.2x1 2Xsin 2x(A) y=lnx(B)x 2 1y=sinx (D) y=cosx—x x xA. y J xB. y eC. y cosx D . y e e,,1 ， ............. ... ......7.设函数f(x) ln(1 |x|) 一，则使得f(x) f (2x 1)成立的x 的取值范围是( )A. 1,1B.,1 1, C.1,- D. ，1 U ［，333 3 338.设 f (x) x sin x ，贝U f (x)( )A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数10. 若函数f(x) = xln(x+ j a —)为偶函数，贝U a=x11. 已知f(x)是定义在 豚的奇函数，且当x 0时，f (x) 2，则f (log 4 9)的值为 12. 已知函数g(x) f (x 1) x 2是定义在R 上的奇函数，且 f(0)2,则 f( 2) .三、函数的单调性 (1)定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 XI , x 2,当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2) ( f(x 〔)>f(x 2))，那么就说f(x)在区间D 上是 增函数(减函数)；注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；@ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量x 1, x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)(2)如果函数 y=f(x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做y=f(x)的单调区间。
专题抽象函数的单调性与奇偶性的证明
特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)4. 已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
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一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名教学主题指数对数函数、函数的奇偶性、函数的单调性上次作业检查本次上课表现本次作业一、指数与对数函数：1、指数的运算法则：（1）r s r sa a a+=；（2）()s r rsa a=；（3）()r r rab a b=；（4）mn mna a=；（5）mnn maa-=（6）,||,n na naa n⎧=⎨⎩奇偶2.指数函数的图像与性质：指数函数0<a<1 a>1 图象3、对数函数的运算法则 （1） 互化：N b N aa blog =⇔=（2） 恒等：N aNa =log（3）换底：abb c c a log log log =推论1 ab b a log 1log =推论2 log log log a b a b c c •=（4）N M MN a a a log log log += log log log aa a MM N N=- （5）M n M a na log log ⋅= 推论3log log m n a a nb bm=)0(≠m4、对数函数的图像与性质 表达式x y a =定义域 R 值 域(0,)+∞过定点 (0,1)对数函数 0<a<1 a>1注：1log =a a ；01log =a ；1ln =e ；01ln =；110lg =；01lg =1.设1,0()2,0xx x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．322.设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >>3.已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=图 象表达式 log a y x =定义域 (0,)+∞ 值 域 R过定点 (1，0)单调性 单调递减单调递增（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14-4.设函数211log (2),1,()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩则2(2)(log 12)f f -+=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 5.设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 6.设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )．A ．a ＞c ＞bB ．b ＞c ＞aC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b7.已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（ ）（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 8.已知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则 （ ） A ．«Skip Record If...» B ．«Skip Record If...» C ．«Skip Record If...» D ．«Skip Record If...»9.设22222log 3log 3,log 9log 3,log3,a b c =+=-=则,,a b c 的大小关系( )A ．a b c =<B ．a b c =>C ．a b c <<D ．a b c >> 10.若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（ ）（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0<n<m<1 （D ）0<m<n<1 11. =-+-1)21(2lg 225lg。
12. 32-，123，2log 5三个数中最大数的是 ．二、函数的奇偶性（1）、奇函数：1、定义域关于原点对称 2、f (x )+f (－x )=0 3、图像关于原点对称 （2）、常见的奇函数： 1、kx y = 2、xk y = 3、)(为奇数n kx y n= 4、x y sin = 5、x y tan = 6、xxa a y --=（3）、偶函数：1、定义域关于原点对称 2、f (x )=f (－x ) 3、图像关于y 轴对称 （4）、常见的偶函数：1、)(为偶数n kx y n= 2、x y cos = 3、xxa a y -+= 4、x y ln =5、一般为偶次幂、含有绝对值的函数（具体情况看题目） （5）、奇偶函数的运算奇+奇=奇 奇X 奇=偶 偶+偶=偶 偶X 偶=偶 奇+偶=非奇非偶函数 奇X 偶=奇 （6）、练习1.下列函数中为偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2x y -= 2.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A ．xe x y += B ．x x y 1+= C ．x xy 212+= D ．21x y +=3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+ D ．sin 2y x x =+ 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )（A ）y=lnx （B ）21y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx 5.下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-6.下列函数为奇函数的是( ) A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-7.设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数9.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数10.若函数f (x )＝xln (x 2a x +为偶函数，则a ＝11. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2xf x =,则4(log 9)f 的值为12.已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，且2)0(-=f ，则=-)2(f .三、函数的单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间 具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
（3）设复合函数y = f [g(x )]，其中u =g(x ) , A 是y = f [g(x )]定义域的某个区间，B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集：①若u =g(x ) 在 A 上是增（或减）函数，y = f (u )在B 上也是增（或减）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是增函数；②若u =g(x )在A 上是增（或减）函数，而y = f (u )在B 上是减（或增）函数，则函数y = f [g(x )]在A 上是减函数。
（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）； ○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（5）简单性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
（6）．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法： ○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 1．证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x 1、x 2(x 1≠x 2)， 令△x=x 2-x 1>0则∵x 1>0，x 2>0，∴ ∴上式<0，∴△y=f(x 2)-f(x 1)<0∴上递减.(2)y=x 2-3|x|+21、如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤答案：一、1-5 CBACD 6-10 DDBBD 11. -1二、1-5 BAADD 6-9 DABA 10. a=1 11. -1/3 12. 0 四、命题1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨；⑶非（not ）：命题形式p ⌝. pq p q ∧ p q ∨ p ⌝ 真真 真 真 假 真假 假 真 假 假真 假 真 真 假 假 假 假 真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。