等差数列的前n项和学案

【学习目标】1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用．

2．掌握等差数列前n 项和的最值问题．

3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n .

【学法指导】1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为：

a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1 n ＝1，S n －S n －1 n≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解

时，要分类讨论．

2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问

题的一个重要应用．

3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境

界处理等差数列的前n 项和问题．

一．知识导学

1．前n 项和S n 与a n 之间的关系

对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

n ＝1， n≥2. 2．等差数列前n 项和公式：S n ＝ ＝ .

3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝_ __，B ＝ ，C ＝ .

4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．

二．探究与发现

[问题情境]

1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗如果确定了，那么如何求它的通项公式应注意一些什么问题

2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c(a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗

3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和

这一节课我们就来解答上面的问题．

【探究点一】数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系

问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和

S n ，能否求出它的通项公式a n

探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c(a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这

个数列一定是等差数列吗

【探究点二】等差数列前n 项和的最值

问题 由于S n ＝na 1＋nn －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，当d ＝0时，S n ＝na 1；当d≠0时，此解析式可以看作

二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 的二次函数，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋

(a 1－d 2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N *)．

因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：

(1)若a 1＞0，d ＜0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值．

(2)若a 1＜0，d ＞0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值； 特别地，若a 1＞0，d ＞0，则S 1是{S n }的最 值;若a 1＜0，d ＜0，则S 1是{S n }的最 值．

【典型例题】

例 1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .

小结 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，

最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．

跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ，求a n .

例2 在等差数列{a n }中，a n ＝2n －14，试用两种方法求该数列前n 项和S n 的最小值．

小结在等差数列中，求S n的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．

跟踪训练2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值

例3若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.

小结等差数列{a n}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．

跟踪训练3已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|}的前n 项和T n.

三．巩固训练

1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a n等于()

A．n B．n2 C．2n＋1 D．2n－1

2．数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是

()

A．－2 B．－1 C．0 D．1

3．设数列{a n}的通项为a n＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________.

四．小结

1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f(n)时，要分n ＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．

2．求等差数列前n 项和的最值

(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次

函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．

(2)通项法：当a 1>0，d<0，⎩

⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值； 当a 1<0，d>0，⎩⎪⎨⎪⎧

a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值． 3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．