等差数列前n项和公式教学设计

《等差数列的前n项和》教学设计

一、设计理念

让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．

二、背景分析

本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．

三、学情分析

1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。

2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。

3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭

建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。

四、教学目标

1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；

2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题；

3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；

4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；

五、教学重点与难点

1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用

2、教学难点：公式推导的思路

3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，通过教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。

六、教学过程设计

（一）创设情景，提出问题

欣赏图片——泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建。它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。

问题1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？

教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。

学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题1.

活动预设：

（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以1为公差依次递增，构成等差数列。

（2）需要解决的问题：100层中究竟共有多少颗宝石？

【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学

生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。

（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。

（二）探究等差数列前n 项和公式

教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，让学生讲高斯故事。

学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。

问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？

教师活动：指导学生快速找出规律。

学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=？ 活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，

所以原式=50×（1+101）=5050

问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？

教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。

学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。

活动预设：构造数列：12991001,2,99,100a a a a ====L ，则有性质：

等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+。

【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前n 项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。

问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？

方法：倒序相加法 （借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，由此引入倒序相加法）

教师活动：：

12321n n n n

S a a a a a a --=++++++L 12321n n n n S a a a a a a --=++++++L

12132231212()()()()()()n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ----=++++++++++++L 由性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+”可得：

11()2()2

n n n n n a a S n a a S +=+⇒=（等差数列前n 项和公式） 【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；

（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；

（三）公式理解和深化 公式一、1()2

n n n S a a =+ 问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？

教师活动：引导学生找出变量

学生活动：观察公式，找出变量。

活动预设：此公式中，共有四个变量：1,,,n n S n a a ，可知三求一。

【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。

问题2：此公式还可进行怎样的变形？

教师活动：引导学生从n a 下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。

学生活动：尝试对公式进行变形。