人教新课标版数学高一必修1学案 2.3幂函数
高中数学 2.3 幂函数教案 新人教A版必修1
2.3 幂函数
一、教材分析
本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.3 幂函数的内容
二、三维目标
1．知识与技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用.
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.
3．情感、态度与价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
三、教学重点
教学重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
四、教学难点
教学难点：从幂函数的图象中概括其性质
五、教学策略
1.学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
2.教学用具：多媒体
六、教学准备
引入新知
阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
（1）它们的对应法则分别是什么？
（2）以上问题中的函数有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论
答：1、（1）乘以1 （2）求平方（3）求立方
（4）求算术平方根（5）求－1次方
=，其中x是自变量，α是常数.
2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y xα
七、教学环节
材料三：幂函数性质归纳．
八、板书设计
第二章基本初等函数（I）
2.3 幂函数
九、教学反思
通过本堂课的学习，同学们能够独立完成相关习题。
高中数学《幂函数》教案 新人教A版必修1
高中数学《幂函数》教案新人教A版必修1【教学目标】【知识与技能】1.理解幂函数的概念.2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.【过程与方法】通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.【情感、态度价值观】1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.【重点难点】重点：通过六个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．难点：画六个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.【突破方式】教师引导学生动手作图、媒体演示多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆.【教学策略】【教学顺序】复习引入，归纳定义，研究图象，归纳性质，应用性质.【教学方法与手段】1．采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.2．利用投影仪及计算机辅助教学.超级链接到课件3.3幂函数（1）（个人独立制作）【教学过程】创设情境前面我们学习了函数定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数.函数这个大家庭有很多成员，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等.它们在数学中的都承担着各自的任务，每个成员又都有它们各自鲜活的个性.今天，我们利用研究指数函数、对数函数的研究方法，再来认识一位新成员.请大家看如下问题.（板书：.,,,,,12132 -=====x y x y x y x y x y ）抽取这几个解析式结构上的共同特征：我们能够发现它们的右端都是幂的形式，并且底数是自变量x ，幂指数是常数. 也就是说，它们可以写成ax y =的形式，这种形式的函数就是幂函数.（板书课题：幂函数） 探究新知幂函数的定义（形式定义）一般地，形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中α是常数.自变量x 是幂的底数，换句话说，幂的底数是单变量x ，幂指数是个常数，幂的系数是1，符合上述形式的函数，就是幂函数.请同学们举出一个具体的幂函数.从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0.幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 课堂练习1．指出下列函数中的幂函数..,,,,5xy x y x y x x y xy 51222===+==探究新知按照从特殊到一般的原则，我们先来研究几个具有代表意义的幂函数..,,,,,212132--======x y x y x y x y x y x y请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数y x =与2y x =的性质，它们的图象已经呈现在坐标纸中了，在这里，我们只画出余下四个函数的图象.（时间关系，分四组）根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下四个问题： 1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线） 2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致； 3.讨论在画图象过程中出现的问题；4.探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质.通过刚才观察同学们作图，其中几个同学的图象特别规范，请看. 变化趋势. 首先可以很明显的看到，上述六个幂函数的图象都过同一个定点（1，1）.从这些函数的图象我们可以看到，幂函数随着幂指数的取值不同，它们的性质和图象也存在着差异，请同学们根据这个表格，寻找这6个幂函数的共性？定义域不同，但有公共区间（0，+∞）.为了更好地观察函数图象特征，总结幂函数的性质，我们把6个幂函数的图象画在同一平面直角坐标系中.（这是幂函数……的图象……）总结性质虽然这6个幂函数图象所分布的象限不同，但是我们还是不难发现它们共同的特征.这6个幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）.注意到这6个幂函数在第一象限内的单调性的差异，我们来观察当0>α时的函数图象，（演示几何画板，隐藏0<α时图象）很明显，它们的图象除了过点（1，1）外，还过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．再来观察当0<α时的函数图象，（演示几何画板，显示0<α时图象，隐藏0>α时图象）幂函数在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当自变量x 取值从右边趋于0时，图象在y 轴右方无限地靠近y 轴，但不与y 轴相交，当自变量x 取值趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴，但不与x 轴相交．演示画板，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数0>α时，幂函数都过原点，在),0[+∞上是增函数；当幂指数0<α时，在),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．0>α 0<α在（0,+∞）有定义，图象过点（1,1）；在),0[+∞上是增函数 在),0(+∞上是减函数 图象过原点在第一象限内，当x 从右边趋向于0时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴．下面我们应用幂函数的性质来解决问题. 例题解析例1 比较下列两个代数式值的大小：.2,)2)(4(;,)1)(3(;)3(,)2)(2(;4.2,3.2)1(323225.15.123234343----++a a a分析：观察所给的两个代数式，都是幂的形式.又因为幂指数相同，而底数不同，所以想到要利用幂函数的性质解决此类问题.（1）解：考察幂函数43x y =，因为43x y =在（0，+∞）上单调递增，而且2.3<2.4,所以43434.23.2<.以下各题同理可解：.2)2)(4(;)1)(3(;)3()2)(2(323225.15.12323----≤+>+>a a a例2 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性． 解：要使3232x x y ==有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．∵f （－x ）＝3232)(x x =-＝f （x ）， ∴函数32x y =是偶函数； x1 2 3 4 … y x = 01 1.59 2.08 2.52 …幂函数32x y =在［0，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减．思考与讨论幂函数)(R x y ∈=αα，当,5,,3,1 =α（正奇数）时，函数有哪些性质？ （演示画板）定义域为R ，值域为R ，是奇函数，在（-∞，+∞）上是增函数. 当,6,,4,2 =α（正偶数）时，这类幂函数的性质和特点，留做同学们课下讨论. 课堂练习2．幂函数43x y =的单调递增区间是________.答案：[)+∞,0 3．2121211.1,9.0,2.1===-c b a 的大小关系是________.答案a >b >c归纳小结本节课我们学习了幂函数的定义，通过作出6个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法. 布置作业作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明.通过本节课的学习，相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后，让我们在悠扬的音乐声中给大家展示一个数学公式，这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用，用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示xe ——泰勒公式.)(!!3!2132R x n x x x x e nx∈++++++=。
必修1教案2.3幂函数
2.3 幂函数（一）教学目标1．知识与技能（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 21的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.2．过程与方法（1）通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力.（2）使学生进一步体会数形结合的思想.3. 情感、态度、价值观（1）通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣.（2）利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望.（二）教学重点、难点重点：常见幂函数的概念、图象和性质.难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小.（三）教学方法采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.（四）教学过程然后再在多面体屏幕上弹出）.师板演．几个函数表达式有什么共同特征？（引入新课，书写课题）师：请同学们举出几个具体的.研究幂函数的图像x-1律，；找出原因吗？）吗？）..备选例题例1 已知221(22)23m y m m xn -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.【解析】由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠-=-+0320112222n m m m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=233n m ， 所以23,3=-=n m .【小结】做本题时，常常忽视m 2 + 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0这些条件.表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x x y ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.例2 比例下列各组数的大小. （1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1；（4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和.【解析】（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在(0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数， 又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3.（3）幂函数y = x –0.1在(0, +∞)上为减函数，又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1； 53)9.1(-＜0， ∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【小结】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.。
人教课标版高中数学必修一《幂函数》教案(1)-新版
2.3 幂函数一、教学目标（一）核心素养类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，由特殊到一般，得到幂函数的图象和性质.让学生进一步把握函数的基本研究方法，利用函数性质画函数图像、利用函数图像得函数性质，掌握并运用函数章节中的的“数形”结合. （二）学习目标1．知识技能（1）理解幂函数的定义；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，归纳一般情况下幂函数的图象和性质.2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后通过数形结合研幂函数的图象和性质.（三）学习重点1．幂函数的定义．2．幂函数的图像和性质．（四）学习难点1．幂函数的对称性．2．幂函数图象的变化规律．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材2.3 幂函数，填空：一般地，我们把形如y xα=的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，α是实常数．（2）画一画、填一填：试画出1yx=，0y x=，12y x=，y x=，2y x=的图象，试根据五个函数的图象完成下表．2．预习自测（1）下列函数为幂函数的是（ ） A ．21y x=B ．2(1)y x =-C ．32y x = D ．1y = 【知识点】幂函数的定义. 【解题过程】221y y x x-=⇔=，故A 是幂函数；2(1)y x =-底数部分不是x ，故B 不是；32y x =中3x 的系数不是1，故C 不是；1y =不是幂函数，因为定义域的变化，00没有意义，故D 不是.【思路点拨】形如a y x =的函数才是幂函数，系数为1,a 是实常数． 【答案】A（2）下列函数中，定义域为(0,)+∞的是（ ）A ．16y x = B ．98-=x y C ．89-=x y D ．25x y = 【知识点】幂函数的定义和性质【解题过程】A 选项16y x =，∴0x ≥；B 选项98-=x y，∴0x ≠；C 选项89-=x y，∴0x >；D 选项25x y =，∴0x ≥.故只有C 选项的定义域为(0,)+∞.【思路点拨】将幂函数进一步转化成根式进行判断.【答案】C ．（3）幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则(8)f 的值为 ． 【知识点】幂函数的概念、解析式.【解题过程】设幂函数为ay x =，由条件可知42a=，∴12a =.则幂函数为12y x =，∴(8)f =128【思路点拨】先用待定系数法求出a 的值,再将已知点代入求解.【答案】． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）复习幂的概念．（2）复习二次函数、指对函数的研究方法及过程． 2．问题探究探究一 创设情境，建构概念 ●活动① 归纳提炼概念前面我们已经学习了指数函数、对数函数，你能根据自己所具备的函数知识指出1y x=，0y x =，12y x =，y x =，2y x =的这五个函数的共同特征吗？我们可以看出这五个函数都是幂的形式，但没有一个是对数函数，对数函数是以指数为自变量，而这五个函数虽是幂的形式但是底数为自变量．及这五个函数具备一个统一表达形式y x α=（α为常数）．一般地，我们把形如y x α= 的函数称为幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是实常数．【设计意图】从学生所具备的经验出发，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 辨析概念、分析幂函数特性 例1．下列函数为幂函数的是 ．①21y x=②2(1)y x =- ③32y x = ④y = ⑤1(0)y x =≠ 【知识点】幂函数的定义． 【数学思想】 【解题过程】221y y x x-=⇔=，故①是；2(1)y x =-底数部分不是x ，故②不是；32y x =中3x 的系数不是1，故③不是，明显④是；1(0)y x =≠实际上是0y x =，故⑤是（1y =却不是幂函数，因为定义域的变化，00没有意义）． 【思路点拨】形如y x α=的函数才是幂函数，系数为1，α是实常数． 【答案】①④⑤．同类训练 已知函数221()(2)m m f x m m x +-=+，m 为何值时，()f x 是幂函数．【知识点】幂函数的定义． 【数学思想】【解题过程】221m m +=，解得1m =-±．【思路点拨】形如y x α= 的函数才是幂函数，系数为1，α是实常数．【答案】1m =-±．【设计意图】巩固幂函数的定义，强调幂函数的固定形式． 探究二 探究幂函数的图象和性质 ●活动①动手操作 探究整理将学生分成三组，引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域，单调性等，一组画函数3y x =、2y x =的图象，二组画函数y =、y =的图象，三组画函数2y x -=，1y x -=图象.每组画完图象最后，让学生通过观察图像，相互讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数，对函数的方法研究幂函数的图象及性质.通过观察图像，引导同学完成下表.完成表格后，教师利用电脑软件画出以上六个函数的图像，并补充出特殊幂函数y x =的图象，并阐述其临界作用.【设计意图】引导学生利用现有的知识体系、知识经验完成相关探索，让学生体会发现的快乐、研究的快乐.分三组学生活动，让学生相互交流，相互取长补短.分三组分别讨论给后期归纳幂函数性质时，要有分类讨论的思想埋下伏笔. ●活动②归纳梳理、理解提升根据上述六个函数的图象和性质，你能否归纳出一般的幂函数y x α=的性质及图象特征呢？引导学生先整体，后分类描述幂函数y x α=（α为常数）的图象和性质： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点(1,1)（原因：11x =），要注意不同幂函数的定义域可能不一样，记住负数不能开偶次方根，00无意义； （2）0α>时，幂函数的图象都通过原点(0,0)，并且在[0,)+∞ 上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当1α>，(0,1)x ∈，y x α=的图象都在y x =图象的下方； 当1α>，(1,)x ∈+∞，y x α=的图象都在y x =图象的上方； 当01α<<，(0,1)x ∈，y x α=的图象都在y x =图象的上方； 当01α<<，(1,)x ∈+∞，y x α=的图象都在y x =图象的下方；（3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是减函数，x 轴、y 轴作为函数图象的渐进线.（4）定义域关于原点对称的幂函数都是有奇偶性的，奇偶性取决于指数α，例如mny x =（,m n 为正整数，且互质），如果m 为偶数，则m ny x =为偶函数；如果m 为奇数，n 为偶数，则mn y x =为非奇非偶函数；如果m 、n 均为奇数，则m ny x =为奇函数.（5）通过电脑演示参数α对幂函数y x α=图象的影响.【设计意图】通过六个具体幂函数的图像和性质，引导学生分类讨论不同类型的幂函数的图象及性质.训练学生有特殊到一般思维能力，分类讨论的操作能力，由整体到局部的观察能力. ●活动③ 巩固基础、检查反馈例2.研究函数23y x -=的定义域、对称性、单调性，并画出该函数图象草图. 【知识点】幂函数的图象和性质． 【数学思想】数形结合的数学思想．【解题过程】函数23y x -=的定义域为{}0x x ≠，恒过(1,1)，偶函数，(0,)+∞为其减区间．故只需做出其在(0,)+∞上的函数图象即可．【思路点拨】研究23y x -=定义域，单调性，奇偶形，特殊点解决问题． 【答案】草图略同类训练 已知幂函数的图象过点1(2,)4，则该函数的单调递增区间是 ．【知识点】幂函数的定义及性质． 【数学思想】【解题过程】显然幂函数为2y x -=，由其图象可知其单调递增区间为(,0)-∞． 【思路点拨】先确定幂函数的解析式，再根据解析式确定函数的单调区间． 【答案】(,0)-∞．【设计意图】巩固幂函数的性质，强调幂函数性质的研究手段，这也作为一般函数的研究思路和手段． ●活动④ 强化提升、灵活应用 例3 比较下列各组数的大小：（1）54(2)a + 54a ；（2）223(3)a -+ 233-； （3）0.50.4 0.40.5；（4）0.60.32 0.50.34． 【知识点】幂函数的单调性． 【数学思想】数形结合的数学思想．【解题过程】（1）引入函数54y x =，其在(0,)+∞上单调递增，又2a a +>，则5544(2)a a +>；（2）引入函数23y x -=，其在(0,)+∞上单调递减，又233a +≥，则22233(3)3a --+≤；（3）由0.4x y =在R 上单减，0.4y x =在(0,)+∞单增，故0.50.40.40.40.40.5<<；（4）类似于（3）0.60.50.50.320.320.34<<，（4）由学生独立完成．【思路点拨】根据不同结构引入函数，利用函数单调性比较大小． 【答案】>，≤，<，<．同类训练 若1133(2)(32)a a +<-，求a 的取值范围． 【知识点】幂函数的单调性． 【数学思想】【解题过程】引入函数13y x =，该函数为奇函数且在R 上单调递减，11331(2)(32)2323a a a a a +<-⇔+>-⇔>．故所求a 的取值范围为13a >．【思路点拨】恰当引入幂函数，利用幂函数的单调性解不等式，这一类型问题一定不能忽略幂函数的定义域问题．【答案】13a >．【设计意图】巩固幂函数的图像及性质，强调幂函数的性质解决问题． 例4 已知函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．【知识点】幂函数的图象和性质．【数学思想】数形结合、分类讨论的数学思想． 【解题过程】()f x 为偶函数，则223m m -++必为偶数．又(3)(5)f f <，即22232335mm mm -++-++<，整理得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，故2323012m m m -++>⇒-<<，又m Z ∈，则0m =或1m =．当0m =时，223m m -++为奇数，舍去；当1m =时，223m m -++必为偶数 故1m =，f(x)=x 2【思路点拨】函数223()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，则223m m -++必为偶数，且m Z ∈，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．【答案】1m =,f (x )=x 2同类训练 已知幂函数13()a f x x-=在(,0)-∞上时增函数，在(0,)+∞上时减函数，那么最小的正整数a = ． 【知识点】幂函数的图象和性质． 【数学思想】【解题过程】1a -为偶数，且101a a -<⇔>，最小的正整数3a =满足要求． 【思路点拨】根据题意该幂函数一定是一个偶函数，1a -势必为负偶数． 【答案】3a =．【设计意图】幂函数性质的综合运用，对学生要求较高，训练学生的综合解决问题的能力． 3.课堂总结这节课我们研究了幂函数的定义及性质，同时通过对一些特殊的幂函数的研究，又一次体验了研究一类函数的一般方法.掌握了幂函数在第一象限图象的特征，在研究过程中我们应当认识到，重要的不是去记忆某个具体幂函数的图象与性质，而应当注意掌握研究幂函数的一般方法和过程，这也是研究所有函数的方法和过程. 知识梳理（1）幂函数的定义. （2）幂函数的图象及性质. 重难点归纳重点：幂函数的定义.难点：研究幂函数的一般方法和过程，幂函数性质的灵活运用. （三）课后作业 基础型 自主突破1．下列函数中，是幂函数的是（ ） A ．2y x = B ．32y x = C ．1y x= D ．2x y = 【知识点】幂函数的定义． 【数学思想】【解题过程】A 、B 选项多了系数2，D 选项为指数函数，故选C ． 【思路点拨】形如y x α=的函数才是幂函数，系数为1，α是实常数． 【答案】C ．2．下列结论正确的是（ ） A ．幂函数的图象一定过原点B ．当0<α时，幂函数y x α=是减函数C ．当0>α时，幂函数y x α=是增函数D ．函数1y x=既是反比例函数，也是幂函数 【知识点】幂函数的性质． 【数学思想】【解题过程】由于幂函数1y x=不过原点选项A 错；2y x -=在(,0)-∞上单调递增故选项B 错；2y x =不是增函数故选项C 错；由排除法选D ． 【思路点拨】利用幂函数的性质解决问题． 【答案】D ．3．下列函数中，在(,0)-∞是增函数的是（ ）A ．y =B ．2y x = C ．1y x= D ．32y x =【知识点】幂函数的性质． 【数学思想】【解题过程】y =是(,0)-∞是增函数． 【思路点拨】根据幂函数的图象即可解决问题． 【答案】A4．函数23y x =图象的大致形状是（ ）【知识点】幂函数的图象． 【数学思想】数形结合的数学思想．【解题过程】由于23y x ==y 轴对称，则排除B 、C ，由于213<，则当(0,1)x ∈时函数图象在直线y x =上方，故选D ． 【思路点拨】利用幂函数的图象性质结合排除法解题． 【答案】D ．5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，那么这个幂函数的解析式为 ． 【知识点】幂函数的解析式． 【数学思想】【解题过程】设所求函数的解析式为()y f x x α==2n =，∴12n =，∴ 12y x =． 【思路点拨】有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数，然后求解． 【答案】12y x =．6．若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围为 ．【知识点】幂函数的单调性．【数学思想】分类讨论的数学思想．【解题过程】（1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332m <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，，解得1m <-． 综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 【思路点拨】这一类不等式通常通过函数的单调性解，但是函数1(0)y x x -=≠虽然在区间(0)-，∞和(0)+，∞上分别具有单调性，但在区间(0)(0)-+，，∞∞上不具有单调性，因而分类讨论确定1m +、32m -的符号后再利用单调性解决问题． 【答案】23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，∞． 能力型 师生共研7．如图,曲线1C 、2C 分别是函数m y x =和n y x =在第一象限的图象,那么一定有A ．0m n <<B ．0n m <<C ．0m n >>D ．0n m >>【知识点】幂函数的图象．【数学思想】数形结合．【解题过程】取2x =，从图中有122m n >>，由指数函数2x y =在R 是单调递增的，则0n m <<，故选B ．【思路点拨】利用特殊点出函数值进行区别图象．【答案】B8.若幂函数()1p nm y x -⋅=（m 、n 、p 均为正整数，且m 、n 互质）的图象在第一、二象限，且不过原点，则（ ）A.p 、n 为奇数，m 为偶数B.p 、m 为奇数，n 为偶数C.p 、n 为偶数，m 为奇数D.p 、m 为偶数，n 为奇数【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】【解题过程】由于不过原点，则p 是奇数．图象在第一、二象限，可判断该幂函数只能是偶函数且m 、n 互质，则n 为偶数，m 为奇数．【思路点拨】可判断该幂函数只能是偶函数，由于不过原点，则p 是奇数，再根据奇偶性对m 、n 的要求进行选择．【答案】B探究型 多维突破9.函数1222(42)(1)y mx x m x mx -=++++-+的定义域是全体实数,求实数m 的取值范围．【知识点】幂函数的性质、函数的定义域．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由题得2420mx x m +++>对x 恒成立，则（1）当0m >时，20164(2)16480m m m m ∆<⇒-+=--<，则2240m m +->，得：1m >-+1m <--，又因为0m >，则1m >-51+->∴m ．（2）当0m >时 不可能（3）当0m =时 不可能综上所述：1m >-+【思路点拨】由于定义域是全体实数，由幂函数的性质可知2420mx x m +++>对x 恒成立，注意该恒成立问题0m =容易被忽略．【答案】1m >-+10.点2)在幂函数()f x 的图象上，点12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭在幂函数()g x 的图象上，问当x 为何值时，有：（1）()()f x g x >；（2）()()f x g x =；（3）()()f x g x <．【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】【解题过程】设()f x x α=，则由题意得2α=，∴2α=，即2()f x x =； 设()g x x β=，则由题意得1(2)4β=-，∴2β=-，即2()g x x -=． 在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，利用元素与集合的关系分类讨论． 如图所示：由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．【思路点拨】由幂函数的定义，求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可，但是要注意本题中()g x 的定义域为{0}x x ≠，所以（3）中不包含0x =这一元素．【答案】（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．自助餐1．下列关于幂函数的命题中不正确的是（ ）A ．幂函数的图象都经过点(1,1)B ．幂函数的图象不可能在第四象限内C ．当n y x =的图象经过原点时,一定有0n >D ．若(0)n y x n =<是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数【知识点】幂函数的性质．【数学思想】【解题过程】幂函数2y x -=在区间(,0)-∞上单调递增．【思路点拨】利用的性质解决问题．【答案】D2．设α∈{－1，1，12，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为（ ）A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】【解题过程】用幂函数图象及性质检验．【思路点拨】利用的定义域结构、性质、草图解决问题．【答案】A3 .已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则该函数的图象关于（ ）对称 A ．原点 B ．y 轴 C ．x 轴 D ．直线y x =【数学思想】【解题过程】设函数()f x 的解析式为a y x =，幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，则2a =-，该函数为偶函数，故选B ．【思路点拨】幂函数的解析式．【答案】B4. 已知幂函数)(x f y =的图像过点1(2，则)2(log 2f 的值为（ ） A ．21 B ．12- C ．1- D ．1 【知识点】幂函数的解析式．【数学思想】【解题过程】设函数()f x 的解析式为a y x =，幂函数()y f x =的图象过点1(2，则12a =，21log (2)2f =该函数为偶函数，故选A ． 【思路点拨】幂函数的解析式．【答案】A ．5.若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．【知识点】幂函数的图象及性质．【数学思想】数形结合【解题过程】根据幂函数4y x =的图象．由图象知此函数在(0)(0)-+，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x =．于是有44(1)(32)m m +<-，即44132m m +<-．又∵幂函数4y x =在(0)+，∞上单调递增，∴132m m +<-， 解得23m <或4m >．【思路点拨】根据幂函数4y x =的单调性及对称性解决问题． 【答案】23m <或4m >．6.讨论函数2221()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】（1）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（2）当2210k k --=时，1k =-或1k =（3）220210k k k k ⎧+>⎨--<⎩，即01k <<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小；（4）当220210k k k k ⎧+>⎨-->⎩，即1k <-或1k >+时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（5）当220210k k k k ⎧+<⎨--<⎩，即10k -<<时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；（6）当220210k k k k ⎧+<⎨-->⎩，即11k -<<时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小．【思路点拨】利用系数与指数对目标函数的单调性影响解决问题，小心遗忘常函数的特殊情况．含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．【答案】略。
人教A版数学必修一教案：§2.3幂函数
§2.3 幂函数一．教学目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 77的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x =（4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.2y x =3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则 12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x x x +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？ 作业：P 79 习题 2.3 第2、3 题小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教高中数学必修一 第二章 23 幂函数教学设计
幂 函 数一、课程标准要求1.了解幂函数的概念；2.结合函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解它们的变化情况.二、教材分析教材内容是高中数学人教A 版教材必修1课本§2.3幂函数.幂函数作为基本初等函数之一，之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质，研究了三个特殊函数：二次函数、指数函数和对数函数，对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法．从教材的整体编排来看，环环紧扣，非常紧凑，充分体现了知识的发生、发展过程，编者想通过幂函数的教学主要是使学生进一步较系统的掌握幂函数的图象性质和研究函数的一般方法，为今后学习三角函数等其他函数打下一个良好的基础．教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三：第一，幂函数中有一特殊函数21x y =，学生在没有学习分数指数幂之前，不能从根本上理解此式；第二，学生在初中已经学习了12,,-===x y x y x y 三个简单的幂函数，在第一章中也通过信息技术应用知晓了函数3x y =，对它们的图象和性质已经有了一定的直观认知，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成系统的知识结构；第三，有了之前的铺垫，幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数函数的研究方法，渗透分类讨论、数形结合的数学思想，达到培养学生归纳、概括的能力的目的，使学生熟练的利用它们解决一些实际问题，体会从特殊到一般的研究过程，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未知函数的意识，以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤，从这个角度看，本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测，是对之前研究函数的一个升华.三、教学目标鉴于课程标准的要求以及上述对教材的分析，制定如下的教学目标：1.知识与技能目标了解幂函数的概念, 会画五个简单的幂函数12132,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，能根据图象概括出幂函数的一般性质，同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题； 2.过程与方法目标引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性，培养学生的识图能力和抽象概括能力，培养学生数形结合的意识；通过对幂函数的学习，了解类比法在研究问题中的作用，使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法；3.情感、态度与价值观目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，引导学生主动参与作图、分析图象的特征，培养学生合作、交流、探究的意志品质，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美，同时信息技术的应用也会激发学生的求知欲望.四、教学重难点：重点：通过具体实例认识幂函数的概念，研究其性质，体会图象的变化规律． 难点：幂函数的图象与性质的简单应用 重、难点突破措施： 1.以情感人，以理醒人创设情境中：问题开题，扣人心弦；层层探究中：分类探究，步步为营，丝丝入扣.2.数形结合现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联，突破重难点.五、设计理念与任务分析本节课遵循教师为主导，以学生为主体的原则，采用学生自主探究式的教学方法，重视思维发生的过程，注重提高学生的数学思维能力，注重发展学生的创新意识，注重信息技术与数学课程的有效整合，充分体现数学的应用价值、思维价值.围绕本节课的教学重点，教学过程中以“问题串” 的形式展开教学，逐步引导学生观察、思考、归纳、总结。
高中数学 2.3幂函数教案 新人教A版必修1 教案
2.3 幂函数（两课时）教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．教学过程与操作设计：环节教学内容设计师生双边互动创设情境阅读教材P90的具体实例（1）~（5），思考下列问题：1．它们的对应法则分别是什么？2．以上问题中的函数有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）开方；（5）取倒数（或求－1次方）．2．上述问题中涉及到的函数，都是形如αxy=的函数，其中x是自变量，是α常数．生：独立思考完成引例．师：引导学生分析归纳概括得出结论．师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同．组织探究材料一：幂函数定义及其图象．一般地，形如αxy=)(Ra∈的函数称为幂函数，其中α为常数．下面我们举例学习这类函数的一些性质．作出下列函数的图象：（1）xy=；（2）21xy=；（3）2xy=；（4）1-=xy；（5）3xy=．[解] ○1列表（略）○2图象师：说明：幂函数的定义来自于实践，它同指数函数、对数函数一样，也是基本初等函数，同样也是一种“形式定义”的函数，引导学生注意辨析．生：利用所学知识和方法尝试作出五个具体幂函数的图象，观察所图象，体会幂函数的变化规律．师：引导学生应用画函数的性质画图象，如：定义域、奇偶性．师生共同分析，强调画图象易犯的错误．环节教学内容设计师生双边互动组织探究材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．材料三：观察与思考观察图象，总结填写下表： x y = 2x y = 3x y =21x y = 1-=xy 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点材料五：例题 [例1]（教材P 92例题） [例2]比较下列两个代数值的大小： （1）5.1)1(+a ，5.1a（2）322)2(-+a ，322-[例3] 讨论函数32x y =的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．师：引导学生回顾讨论函数性质的方法，规范解题格式与步骤．并指出函数单调性是判别大小的重要工具，幂函数的图象可以在单调性、奇偶性基础上较快描出．生：独立思考，给出解答，共同讨论、评析．环节呈现教学材料师生互动设计尝 试 练 习1．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小：（1）433.2，434.2；（2）5631.0，5635.0；（3）23)2(-，23)3(-；（4）211.1-，219.0-．2．作出函数23x y =的图象，根据图象讨论这个函数有哪些性质，并给出证明．3．作出函数2-=x y 和函数2)3(--=x y 的图象，求这两个函数的定义域和单调区间．4．用图象法解方程：（1）1-=x x ； （2）323-=x x ．探 究 与 发 现1．如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为： ．2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）3-=xy 和31-=xy ；（2）45x y =和54x y =．规律1：在第一象限，作直线)1(>=a a x ，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y =对称．。
人教新课标版数学高一-数学必修1训练 指数与指数幂的运算(一)
数学·必修1(人教A版)本章概述学习内容1.指数函数(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．2．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(3)了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．3．幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y ＝x α⎝⎛⎭⎪⎫α＝1，2，3，12，－1的图象，了解它们的变化情况．4．学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题(1)指数幂的学习，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，理解有理指数幂及其运算性质，了解实数指数幂的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．(2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)和对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.知识结构2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算(一)►基础达标1．化简下列各式：(1) 6(3－π)6＝______________；答案：π－3(2) 5a10＝______________.答案：a2答案：C解析：(2n ＋1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋14n·8－2＝22n ＋2－(2n ＋1)22n －6＝21－2n ＋6＝27－2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －7. 答案：D5．设a ≥0，化简：3a 6＝____________ ，由此推广可得：p a mp ＝________(m ，n ，p ∈N *)．答案：a 2 a m►巩固提高6．若8＜x <12，则(x －8)2＋(x －12)2＝_______________________________________________________.解析：(x－8)2＋(x－12)2(∵8＜x＜12)＝x－8＋12－x＝4. 答案：47．设a，b∈R，下列各式总能成立的是()A．(6a－6b)6＝a－bB.8(a2＋b2)8＝a2＋b2C.4a4－4b4＝a－bD.10(a＋b)10＝a＋b答案：B►巩固提高10．已知0<2x －1<3，化简1－4x ＋4x 2＋2|x －2|.解析：由0<2x －1<3，得12<x <2，∴1－4x ＋4x 2＋2|x －2|＝(2x －1)2＋2|x －2|＝2x －1－2(x －2)＝3.1．熟记整数幂的运算性质． 2．理解n 次方根与根式的概念．3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．。
人教版数学必修1《幂函数》优质课教案附教学反思
人教版必修1幂函数的教学设计设计理念：新课程理念强调：倡导积极主动、勇于探索的学习方式。
本节课通过“欣赏建筑图片及几何图形中的几组关系”，从趣味性、探究性、科学性、教育性四个方面创设问题串，使学生类比指数函数获得幂函数这个概念，并通过五个幂函数图象概括其性质，体会数形结合的思想方法。
教材分析：《幂函数》位于人教版必修1第二章第三节，本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的性质。
课标要求教学时只需对它们的图象与基本性质进行认识，不必在一般的幂函数上作引伸和过多的介绍。
为使学生更好地通过五个幂函数图象概括其性质，特将学习过程设计如下：1、欣赏建筑图片，体会数学美；2、设计问题串，获得幂函数概念；3、小组合作学习，概括幂函数性质；4、深化新知，在例题中引申拓展；5、课堂小结，知识系统化；6、巩固新知，作业分层次。
学情分析：我校是一所普通高级中学，学生基础普遍比较薄弱，注意力容易分散。
从建筑图片出发，可激发学生学习动力。
通过前几节课的学习，学生已理解指、对数函数的概念，初步掌握它们的图象及性质，在此基础上本节课类比指数函数中底数a与性质的关系概括幂函数的性质，实现知识的拓展和迁移。
教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的的概念,掌握五个幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。
过程与方法能够类比研究一般函数如指数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质，发展学生的抽象、概括能力。
情感、态度、价值观体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性,通过实例使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。
教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
教学方法：探究性学习、小组合作学习。
课前准备：多媒体课件，幂函数学案（见附录1）。
教学过程：一、欣赏建筑图片，激发学习兴趣（PPT）展示建筑图片：国家大剧院、国家体育馆、杭州湾跨海大桥、2012伦敦奥运场馆。
必修1第二章第3节幂函数
一、学习目标：1、了解幂函数的概念。
2、会画幂函数的图象，并理解它们的性质。
二、重点、难点：重点是32,,x y x y x y ===，1x y -=，21x y =五种幂函数的图象和它们的性质。
难点是幂函数的图象。
三、考点分析：1、了解幂函数的概念。
会画32,,x y x y x y ===，1xy -=，21x y =五种幂函数的图象，并理解它们的性质。
2、现今对幂函数的要求有所降低，考试中不会超出上述五种情况，在学习中不要盲目挖深加难。
1、幂函数的概念一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数；其定义域是使x α有意义的x 值的集合。
2、幂函数的图象和性质 图象：结合以上特征得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在(0)+，∞上都有定义，并且图象都过点(11)，；（2）如果0α>，则幂函数的图象过点(00)，和(11)，，并且在区间[)0+，∞上是增函数； （3）如果0α<，则幂函数的图象过点(11)，，并在区间(0)+，∞上是减函数。
在第一象限内，当x 从+∞趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数。
知识点一：幂函数的定义例1：已知幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--，且当(0)x ∈+，∞时()f x 为减函数。
求幂函数()f x 的解析式。
思路分析：首先要正确理解幂函数的概念，然后理解幂函数的图象与性质。
解答过程：由于2223(1)m m y m m x--=--为幂函数，所以211m m --=，解得2m =，或1m =-。
当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在(0)+，∞上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，01(0)y x x ==≠在(0)+，∞上为常函数，不合题意，舍去。
高中数学2.3.1幂函数的图像、性质及应用课件新人教A必修1
f(x)＝x3.
点评：幂函数y＝xα(α∈R)其中α为常数，其本质特征是以幂的
底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为
幂函数的重要依据和唯一标准．对例1来说，还要根据单调性验
根，以免增根．
►跟踪训练
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，
则实数m的值是____．
2．3 幂 函 数 2．3.1 幂函数的图象、性质与应用
栏 目 链 接
1．通过具体实例了解幂函数的图象和性质．
2．类比研究指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂 函数的图象和性质．
3．体会幂函数图象的变化规律及蕴含其中的对称性，并 能进行简单的应用．
栏 目 链 接
题型1 幂函数概念的理解应用
解析：∵f(x)为幂函数，∴2m2＋m＝1，得m＝21或m＝－1.
栏
当m＝12时，f(x)＝x－41＝
1 4
，
目 链 接
x
定义域为x＞0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝x1是奇函数．
答案：－1
题型2 利用你幂函数的性质比较大小
例2 比较下列各组中两个数的大小：
6
6
(1)0.611与0.711；
间数31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5，∴
31.4<51.5.
题型3 求幂函数的解析式
例3 幂函数f(x)的图象过点(3，4 27)，求f(x)的表达式．
解析：设f(x)＝y＝xα(α∈R)，则4 27 ＝3α，
栏 目 链
即334＝3α，∴α＝43，故f(x)＝x43.
即－17023>－ 22－23>1.1－43.
《幂函数》教案范文
《幂函数》教案目标：1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．重点：常见幂函数的概念、图象和性质；教学难点：幂函数的单调性及其应用．教学方法：采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．教学过程：一、问题情境情境：我们以前学过这样的函数：＝x，＝x2，＝x1，试作出它们的图象，并观察其性质．问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？二、数学建构1．幂函数的定义：一般的我们把形如＝x(R)的'函数称为幂函数，其中底数x是变量，指数是常数．2．幂函数＝x 图象的分布与的关系：对任意的 R，＝x在第I象限中必有图象；若＝x为偶函数，则＝x在第II象限中必有图象；若＝x为奇函数，则＝x在第III象限中必有图象；对任意的 R，＝x的图象都不会出现在第VI象限中．3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：（1）定点：＞0时，图象过(0，0)和(1，1)两个定点；≤0时，图象过只过定点(1，1)．（2）单调性：＞0时，在区间[0，＋)上是单调递增；＜0时，在区间(0，＋)上是单调递减．三、数学运用例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性（1）＝；（2）＝；（3）＝；（4）＝．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.50.5与1.70.5 （2）3.141与π1（3）(－1.25)3与(－1.26)3（4）3 与2例3 幂函数＝x；＝xn；＝x1与＝x在第一象限内图象的排列顺序如图所示，试判断实数，n与常数－1，0，1的大小关系．练习：（1）下列函数：①＝0.2x；②＝x0.2；③＝x3；④＝3x2．其中是幂函数的有（写出所有幂函数的序号）．（2）函数的定义域是．（3）已知函数，当a＝时，f(x)为正比例函数；当a＝时，f(x)为反比例函数；当a＝时，f(x)为二次函数；当a＝时，f(x)为幂函数．（4）若a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数按从小到大的顺序排列为．四、要点归纳与方法小结1．幂函数的概念、图象和性质；2．幂值的大小比较方法．五、作业课本P90-2，4，6．高中数学幂函数教案设计篇二教学目标1. 知识目标：(1)了解幂函数的概念；(2)会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；(3)了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。
人教版高中数学必修1幂函数教案学案
班级 姓名： 小组序号： 组长评价： 教师评价课题：幂函数（第1课时）【学习目标】1、能记住幂函数的概念 ，能绘出函数y=x ，y=x 2，y=x 12，y=x1，y=x 3的图像； 2、会利用函数图像总结幂函数的性质；3、体会类比思想和数形结合的方法。
【学习重点与难点】学习重点：幂函数的概念；幂函数的图像学习难点：画五个具体幂函数的图像并由图像概况其性质 【使用说明与学法指导】 1、带着预习案中问题导学中的问题自主设计预习提纲，通读教材P 77-P 78页内容，阅读XXX 资料XXX 页内容，对幂函数及其图像等进行梳理，作好必要的标注和笔记。
2、认真完成基础知识梳理，在“我的疑惑”处填上自己不懂的知识点，在“我的收获”处填写自己对本课自主学习的知识及方法收获。
3、熟记、XXX 基础知识梳理中的重点知识。
预习案一、问题导学1、如何理解幂函数的概念？2、结合幂函数y=x ，y=x 2，y=x 12，y=x -1，y=x 3的图像，你能在同一个坐标系画出它们的图像。
3、在第一象限内，幂函数的图像变化规律与其指数有什么关系？ 二、知识梳理1、一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数.2、幂函数的性质定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 x y =2x y = 3x y = 21x y =1-=x y三、预习自测1、下列函数是幂函数的是① y=0.2x ；① y=2x 2；① y=x 2+x ；① y=-x 3；⑤ y=x -3；⑥ y=1 2、幂函数过点)2,2(，函数解析式是3、设}3,21,1,1{-∈α，则使αx y =的定义域为R 的奇函数的所有α的值为（ ）（A ）1，3 （B ）1-，1 （C ）1-，3 （D ）1-，1，3我的疑惑： 我的收获：探究案一、合作探究探究1、指数函数xa y =（)1,0≠>a a 且与幂函数y x α=()a R ∈两种函数最大的区别是什么？探究2、已知幂函数的图像过点P （1/2,4） (1)求y=f(x)函数解析式(2）讨论y=f(x)的定义域、值域、奇偶性，并画出草图。
2019人教A版数学必修一 2.3 《幂函数》导学案
2019人教A 版数学必修一 2.3 《幂函数》导学案【学习目标】1．知识与技能：（1）了解简单幂函数的概念；会利用定义证明简单幂函数的奇偶性（2）了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法。
2．过程与方法：类比研究一般函数的方法，研究幂函数的图像与性质3．情感、态度、价值观：引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图与画图中获得学习的快乐。
【学习重点】幂函数的概念和奇偶函数的概念【学习难点】简单的幂函数的图像性质。
函数奇偶性的判断。
一、【学习过程】知识链接：1.如何画函数图象？2.如何研究一个函数？研究函数性质从那几方面入手？二、预习：1.幂函数的定义： 2.在同一坐标系中画出下列函数图象：y=x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x 21、y ＝x 1-三、新课探究(一)、情景设置：阅读材料并填空：(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p = 元(2) 如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积 S=(3) 如果立方体的边长为a ,那么立方体的体积V=(4)如果一个正方形场地的面积为S ,那么这个正方形的边长a=(5)如果人t 秒内骑车行进了1 km ,那么他骑车的平均速度v=若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是:(二)、新课探究1.幂函数： 强调结构：2.图像与性质○.所有的幂函数在 都有定义,并且函数图象都通过点 ; ○2.如果a>0,则幂函数的图象过点 并在(0,+∞)上为 (增、减)函数;○3.如果a<0,则幂函数的图象过点 ,并在(0,+∞)上为 (增、减)函数; 例1.已知幂函数y ＝f(x)的图像过点(3，1/9)求函数解析式3、奇偶函数的概念一般地，图像关于原点对称的函数叫奇函数，即有 如f(x)=x 3图像关于轴对称的函数叫偶函数，即有 如f(x)=x 2例、判断函数f(x)=-2x 5和f(x)=-x 4+2的奇偶性 练习：1.P80动手实践 完成书中图2-302.求下列幂函数的定义域：（1）y ＝x 52 （2）y ＝x 31 （3）y ＝x 43（4）y ＝x 2-（四）、随堂练习1.如图所示，曲线是幂函数 y = x k在第一象限内的图象，已知 k 分别取 212,1,1-，四个值，则相应图象依次为:________2．比较下列各组中两个值的大小①0.7521，0.7621；②(-0.95)31，(-0.96)31；③0.313.2，0.314.23．通过图像求下列函数的定义域和值域4．(1)y ＝x 23 (2)y ＝x 72 (3)y ＝x 53。
高一数学《幂函数》学案
高一数学《幂函数》学案班级: 姓名:课前预习案1.课程标准：理解幂函数的定义，会用描点法画幂函数的图象.掌握幂函数的性质及简单运用2.学习重点：幂函数的定义、性质，用描点法画幂函数的图象3.学习难点：幂函数单调性的证明，幂函数的图象4.问题解决：渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法.提高归纳与概括能力5.情感态度：培养积极思考、自主探索新知识的学习习惯和科学严谨的学习态度6.前置补偿：1：复习函数的单调性的定义及证明, 分别采用作差法和作商法证明y=在(0,)+∞上是增函数○1请用作差法证明○2请用作商法证明2：完成下列7个小问○1如果某人购买了每个1元的包子x个，那么他支付的钱y= 元。
○2如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=○3如果正方体的边长为x，那么这个正方体的体积y=○4如果正方形纸片的面积为x，那么这个正方形的边长y=○5如果正方体盒子的体积为x，那么这个正方体的边长y=○6如果正方体盒子的体积为2x，那么这个正方体的边长y=○7如果某人x秒内骑车行进了1Km，那么他骑车的平均速度y=思考：是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？你的回答：3：121.1，121.4，131.1的大小关系为4：判断下列函数的奇偶性1 y x-=12y x=2y x=3y x=你的回答：,y x=2,y x=3,y x=13,y x=1y x-=一：创设情境：教师出示投影○1：将预习案2中的7个小问的答案给出，让学生检查并订正，并引导学生进行总结,得出这七个函数解析式有什么样的共同特征？ 你的回答：二：概念形成：以引出的实例出发、归纳：幂函数的定义： 幂函数的特点是：幂函数与指数函数的区别：你学过的幂函数有哪些，还能举一些幂函数的实例吗？ 下列函数中哪些是幂函数？21y x=2y x x =+ 3y x =- 212y x=3xy = 45y x =你的回答：三：概念深化引导：有了概念，接下来做什么？探究性质，对不熟悉的函数通过什么方式探索性质？（要求学生回答）用PPT 展示在同一坐标系下,y x =2,y x =3,y x =13,y x =1y x -=的草图 为使作图准确：(老师提醒)1）可先分析函数的什么？2）怎样便于看幂函数的定义域（写成根式）3）观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？ 你的回答：通过预习案订正P78探究中的表格后引导学生一起讨论、回答幂函数的性质有 引导学生注意应用图像归纳性质的一般步骤有 拓展提升 由00∂>∂< 判断幂函数的单调性是由∂得奇偶性判断幂函数的奇偶性四：迁移拓展，能力提升1：订正预习案中第一题2:幂函数2(33)m y m m x =--在区间(0,)+∞上是增函数，求m 的值？3：已知1122(1)(32)a a +<-，求a 的取值范围？4：幂函数的图象过（2,8）点，求该幂函数？五：总结反思 1：知识点 2：题型3：思想方法课后巩固案必做作业：课本习题P79 1、2题选做作业: 练习册P59-60（自己取舍）。
高中数学 2.3 幂函数教材分析 新人教A版必修1
1、善思则能“从无字句处读书”。读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。读大海，读出了它气势磅礴的豪情。读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获.幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
2.3幂函数教材分析
《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。是基本初等函数之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好的基础．在初中曾经研究过y＝x，y＝x2，y＝x-1三种幂函数。这节内容，是对初中有关内容的进
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的பைடு நூலகம்量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
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2.3 幂函数自主学习1．掌握幂函数的概念．2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质．3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．1．一般地，幂函数的表达式为________________；其特征是以幂的________为自变量，________为常数．2．幂函数的图象及性质在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象如图．结合图象，填空．(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．(2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________．(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．(4)当α为奇数时，幂函数图象关于________________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称．(5)幂函数在第________象限无图象．对点讲练理解幂函数的概念【例1】 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．规律方法 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．变式迁移1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．幂函数单调性的应用【例2】 比较下列各组数的大小 (1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78与－⎝⎛⎭⎫1978.规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．变式迁移2 比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫－23－23与⎝⎛⎭⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23.幂函数性质的综合应用【例3】 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的范围．规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．变式迁移3 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数nm中的m 是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数．y ＝x α，当α＝nm (m 、n ∈N *，m 、n 互质)时，有：2.幂函数y ＝x n m 的单调性，在(0，＋∞)上，n m >0时为增函数，nm <0时为减函数．课时作业一、选择题 1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤ 2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 23．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －15．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 二、填空题6．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f (25)＝________. 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是____________．8. 如图所示是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α依次为________________．三、解答题9．已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )； (2)f (x )＝g (x )； (3)f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．§2.3 幂函数 答案自学导引1．y ＝x α 底数 指数2．(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四 对点讲练【例1】 解 根据幂函数定义得 m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3. 变式迁移1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.【例2】 解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52.(2)－8－78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978， 从而－8－78<－⎝⎛⎭⎫1978. 变式迁移2 解 (1)⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23， ⎝⎛⎭⎫－π6－23＝⎝⎛⎭⎫π6－23，∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，又∵23>π6，∴⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23<⎝⎛⎭⎫π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫－π6－23. (2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，(－1.9)35<0，所以(－1.9)35<3.8－23<4.125.【例3】 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，∴m ＝1,2. 又函数图象关于y 轴对称， ∴3m －9为偶数，故m ＝1， ∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.又∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.变式迁移3 解 由已知，得m 2－2m －3≤0，∴－1≤m ≤3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝－1,0,1,2,3，当m ＝0或m ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不符合题意． ∴m ＝－1,1,3.当m ＝－1或m ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图①所示． 当m ＝1时，y ＝x －4，其图象如图②所示．课时作业1．D 2.A 3.A 4.B5．B [由已知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0得m ＝1或m ＝2.] 6.15解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12.∴f (25)＝25－12＝15.7．[2，＋∞)解析 f (x ＋t )≥2f (x )，即(x ＋t )2≥2x 2. 即x 2－2tx －t 2≤0在x ∈[t ，t ＋2]上恒成立， 又对称轴为x ＝t ，只须g (t ＋2)≤0，∴t ≥ 2. 8．2，12，－12，－29．解 设f (x )＝x α，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2， ∴f (x )＝x 2.同理可求：g (x )＝x －2，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )． (2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )．(3)当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )． 10．解 由幂函数的性质，知m 2－2m －3<0， ∴(m ＋1)(m －3)<0.∴－1<m <3. 又∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.当m ＝0或2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵(－x )－3＝－x －3， ∴y ＝x －3是奇函数．又∵－3<0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数． 当m ＝1时，y ＝x －4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵(－x)－4＝1(－x)4＝1x4＝x－4，∴函数y＝x－4是偶函数．∵－4<0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又∵y＝x－4是偶函数，∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函数．综上，当m＝0或2时，y＝x－3，此函数是奇函数，且在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当m＝1时，y＝x－4，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．。