最短路线问题——标数法的应用
【思维拓展】数学六年级思维拓展之标数法(附答案)
六年级思维拓展之标数法求最短路线数1.阿雅和天天到图书馆参加活动。
如果他们从学校出发，共有多少种不同的最短路线？2.球球从A步行到Z，行走方向都是向右或者向下，路线如图所示。
那么球球一共有多少种不同的行走路线？3.下图是阿雅学校附近小区的平面图。
今天阿雅放学，要去同学家写作业。
请问：从学校到同学家有多少种不同的最短路线？4.B点有一群小羊在吃草，大灰狼在A点，它想到B点吃羊，最短路线有多少条？5.皮皮和天天准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路（城市的街道如图所示），他们从学校到养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，你们知道吗？6.下图是天天家附近小区的平面图。
今天下雨，路口G有积水，不能通过。
请问：今天天天从家去学校有多少种不同的最短路线可供选择？7.天天上学需要先经过K路口去买书。
请问：天天经过K路口到达学校有多少种不同的最短路线？8.如图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？9.城市街道如下图所示，有几处街区有积水不能通行。
那么从A到B的最短路线有几条？10.天天和皮皮结伴骑车去图书馆看书，他们先去公园看大熊猫再去图书馆。
聪明的小朋友们，请你帮天天和皮皮想想他们的最短路线有多少种不同的走法？参考答案1.【解答】标数法：三步走（1）确定方向；（2）从起点出发的两个方向上每个点标1；（3）其他点来源相加。
如下图所示。
一共有10种不同的最短路线。
2.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有13种不同的路线。
3.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有10种不同的路线。
4.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有12种不同的路线。
5.【解答】分析：标数，断点型标数法，不能通过的点打叉或者标0如下图所示。
一共有132种不同的路线。
6.【解答】分析：标数，如下图所示。
一共有11种不同的路线。
7.【解答】分析：标数，必经点型——可标“×”或者画大圈排除，简化标数图。
最短路径数学建模案例及详解
最短路径数学建模案例及详解最短路径问题是指给定一个有向图，找到其中两个节点之间的最短路径。
这个问题可以通过数学建模来解决。
以下是一个关于最短路径的案例及详解：案例：某个城市有多个地点，这些地点之间有高速公路相连。
现在需要找出两个地点之间的最短路径，以便安排货物的运输。
假设已知这个城市的高速公路网络以及每个道路的长度。
解决方案：1. 定义变量和参数：- 变量：设定一个变量x[i, j]，表示从节点i到节点j的路径长度。
这个变量需要求解。
- 参数：给出每个节点之间的长度，可以用一个矩阵表示。
设长度矩阵为A。
2. 建立数学模型：- 目标函数：最小化总路径长度。
可以定义目标函数为：min x[i, j]。
- 约束条件：- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]必须是非负的：x[i, j] ≥ 0。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]等于路径长度x[j, i]：x[i, j] = x[j, i]。
- 对于任意两个节点i和j来说，路径长度x[i, j]需要满足下面的约束条件：x[i, j] ≤ x[i, k] + x[k, j]，其中k是任意的节点。
这个约束条件保证了路径长度的传递性。
即，如果从i到j的路径经过节点k，那么整条路径的长度应该不小于x[i, k] + x[k, j]。
3. 求解：- 编写数学建模的代码，并使用求解器（如线性规划求解器）求解最优解。
- 分析优化结果，并得到最短路径的长度以及具体的路径。
总结：通过定义变量和参数，建立数学模型的方式来解决最短路径问题，可以帮助我们找到两个节点之间的最短路径。
数学建模可以提供一个系统化的框架，帮助我们理解问题，并找到最优解。
这种方法在物流、交通规划等领域都有广泛的应用。
最短路径问题应用案例
最短路径问题应用案例最短路径算法是图论中的一项重要算法，它被广泛应用于各个领域，包括交通规划、电路设计、物流配送等。
本文将通过几个实际案例来介绍最短路径问题的应用。
案例一：交通规划在城市交通规划中，最短路径算法可以用于规划最佳的行车路线，减少交通拥堵和行车时间。
例如，某城市交通局需要规划一条从A地到B地的最短路径，他们可以使用最短路径算法来解决这个问题。
通过将城市道路网络抽象成一个图，将交叉口作为图的节点，道路作为图的边，然后使用最短路径算法找到旅行时间最短的路径。
案例二：电路设计在电路设计中，最短路径算法可以用于找到电路中两个节点之间的最短路径，以便优化电路的布局和设计。
例如，在手机电路板设计中，设计师需要找到两个关键节点之间的最短路径，以便减少信号传输的延迟和电路板的复杂性。
通过将电路图抽象成一个图，将电路中的连接线作为图的边，电路节点作为图的节点，然后使用最短路径算法找到路径长度最短的路径。
案例三：物流配送在物流配送中，最短路径算法可以用于优化货物的配送路径，减少配送成本和时间。
例如，在一家快递公司中，他们需要将货物从仓库快速送达到不同的目的地，他们可以使用最短路径算法来规划货物的配送路线。
通过将仓库、配送站点和目的地抽象成一个图，将配送路径作为图的边，配送站点和目的地作为图的节点，然后使用最短路径算法找到总配送距离最短的路径。
总结：最短路径问题是图论中的一个重要问题，在各个领域都有广泛的应用。
本文通过交通规划、电路设计、物流配送三个实际案例，介绍了最短路径算法在实际应用中的用途和方法。
通过将问题抽象成图，将节点和边的关系表示出来，并利用最短路径算法找到最优解，可以帮助解决各种实际问题。
最短路径算法的应用，不仅可以提高工作效率，还可以减少成本和资源的浪费。
最短路线问题——标数法的应用
计数的基本方法——标数法
例1：沿着下图所显示的线段，从A 点到B 点，有多少条最短路线？
例2：沿着下图所显示的线段，从A 点到B 点，有多少条最短路线？ (1)
(2)
F
I
C
A
G
E
B
B
A
A
B
例3：沿下图所示的线段，从A 步行到Z ，但行走方向只能向东或向南，他有多少种不同的行走路线？
例4：如图，求A 到B 沿网格线的最短路线数： （1） 必须经过点C ； （2） 必须经过线段EF ； （3） 不经过点C ； （4） 不经过线段EF ；
例5：按下图箭头所指的方向行走，从A 到达Z 有多少种不同行走路线？
A
Z
A
Z
B
A
C
F
E
本章小结：
1.什么是标数法？
答：在每个点上标记出从起点出发到此点的路线数的一种计数方法。
2.如何使用标数法解决长方形网络图中的最短路线问题？
答：
1.确定标数的方向；
2.将与起点共直线的点上标上数字1；
3.画出每个小方格对角线；
4.把每个小方格内对角线顶点上的两个数字相加，和标记在剩下的那个点上；
2.如何使用标数法解决路线数问题？
答：
1.从某一点出发到另一点只有一条路线的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相
同；
2.如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个或几个点时，则该点上标记的数字是能
够到达这一点的相邻的两个或几个点上标记的数字之和。
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 5 11 11 11 1 3 1 4 1 5 5 1 6 11 11 11 22
B
4. 采用标数法（如图） ．可得从学校到少年宫共有 90 种走法．
少年宫 90 42 48 20 6 1 28 14 5 1
14 14 9 4 1 5 5 3 1 2 2 1 1 学校
【例 6】 图中的“我爱希望杯”有多少种不同的读法。
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
1.
一只蚂蚁在长方形格纸上的 A 点， 它想去 B 点玩， 但是不知走哪条路最近． 小朋友们， 你能给它找到几条这样的最短路线呢？
A
B
2. 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先 去公园看大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪 明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的 走法？
【例 4】
下图是大宽学校附近小区的平面图，今天从家里去上学需要先去 G 路口 办点事。请问：大宽经过 G 路口上学有多少种不同的最短路线？
【例 5】 (第七届小机灵杯三年级第 10 题) 下图中有 10 个编好号码的房间，你可以从小号码的房间周围到相邻的大号码的 房间，但是不能从大号码的房间走到小号码的房间，从 1 号房间走到 10 号房间共有 ( )种不同的走法。
1 1 n 4 t 10 i s 1
3 s 10 e 30 n
【例 1】
蚂蚁小蓝在长方形格纸上的 A 点，它想去 B 点玩，但是不知走哪条路最 近。小朋友们，你能给它找到几条最短的路线呢？
下图是海淀区某街道的平面图，大宽要从家到学校。请问，大宽有多少种不同的最短路线 可供选择？
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
行测数量关系技巧：标数法进阶篇
行测数量关系技巧：标数法进阶篇通过标数法基础篇的学习相信大家已经基本掌握了标数法这一解题方法，并在涉及到最短路线的方法数这类题型中运用自如。
随着行测考试的日渐成熟，数学运算中的各种方法或多或少有一些延伸或变形，标数法也是如此，本文主要讲解标数法的进阶题型。
首先，回顾一道标准的标数法题目。
例1.小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道(软件公司在华兴园的东北方)。
假如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有：A.12种B.15种C.20种D.10种通过标数法基础篇的学习，我们已经了解了标数法是指将到达每个点的方法数标注在点的旁边的一种解题方法，通常运用在求最短路线方法数的题目中。
标数法的核心步骤是观察一个点能从哪些点走过来就把这些点的数加起来作为该点的方法数。
这道例题中规定了只能向东或者向北走，按照要求走就不会存在绕路的情况，那么这样从华兴园到软件公司的走法就是最短路线。
我们可以利用标数法的核心对原图进行标数：在路线方向和路线经过的点明确的情况下，我们能够利用标数法很快得出结果，上述例题从华兴园到到软件公司的方法数为10种，故答案为D。
其次，我们来学习标数法延伸后的第一类题目。
此类题目中不直接给出路线方向或路线经过的点，需要考生自行理解转化为标数模型求解。
例2.如图所示，有两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1号蜂房开始去8号蜂房，假设只朝右上或右下逐个爬行。
则不同的走法有：A.16种B.18种C.21种D.24种例题二中并没有给出明确的路线方向也没有路线中经过的点，需要我们根据题目的表述进行理解。
我们可以把每一个蜂房理解为路线中经过的点，路线方向是左下角的蜂房可以朝右侧相邻的两个蜂房移动(注意“只朝右上或右下逐个爬行”中的右上或右下应理解为整体观察的情况，即只向右侧的蜂房爬行)。
然后我们再采取标数法进行解题，如下图所示。
故从1号蜂房到8号蜂房共有21种方法，此题选C。
再次，我们来学习标数法延伸后的第二类题目。
-标号法求最短路径问题
2021年4月14日4时52分
南昌工学院
永永久久标标号号 临时标号
v1
0,0
例题1：v1出发到v8去，使总费用最小的旅行路线
v2 v1,6 1
v5
M,
∞ 2
v9 M, ∞
6 2
3 v3 v1,3
6
1
2
10
v4
v1,1
6
3
4 10
4
v6
2
v7
M, ∞
M, ∞
3
v8M, ∞
s并sttte将eeppvp314：2变：：在为始所其永点有久余临v标各1时号标点标永标号久的临标节时点号标中（号找0出,0数）值最小的节点v4,
v5
可用D于ij求ks解tra指算v定法1 两是点由间v荷2 的兰最科短v学3 路家问Div题j4ks，tr或a在从1指95定9年点提到出其的余， 各点的最短路问题。由于其以标号为主要特征，又称为标 号法。
条件：当所有 wij ≥0 时，用来求给定点vs到任一个点vj 最短 路的公认的最好方法。 原理：如果P是D中从vs到vj的最短路，vi是P中的一个点，那 么，从vs沿P到vi的路是从vs到vi的最短路。最短路的子路是最短路
5
V2
V5 5
1
V1 2
4
4
5
2
V4
7
4
1
V6 5
V3
8
V7
3
V8
2021年4月14日4时52分
南昌工学院
2021年4月14日4时52分
南昌工学院
永久标号 临时标号
v1
0,0
v2 v1,6 1
v5 M, ∞ 2
v9 M, ∞
最短路径与标号法
最短路径与标号法前面我们学习过动态规划的应用，图中没明显阶段求最短路径的问题属于无明显阶段的动态规划，通常用标号法求解，求最短路径问题是信息学奥赛中很重要的一类问题，许多问题都可转化为求图的最短路径来来解，图的最短路径在图论中有经典的算法，本章介绍求图的最短路径的dijkstra算法、Floyed算法，以及标号法。
一、最短路径的算法1、单源点最短路径（dijkstra算法）给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是一个非负实数，另外，还给定V中的一个顶点，称为源点。
求从源点到所有其他各顶点的最短路径长度。
这个问题称为单源最短路径问题。
求单源最短路径可用dijkstra算法求解。
（dijkstra算法）算法思想：设源点为x0，dist[i]表示顶点i到源点x0的最短路径长度，map[i,j]表示图中顶点i到顶点j的长度，用数组mark对所有的顶点作标记，已求出源点到达该点J的最短路径的点J记为mark[j]=true,否则标记为false。
初始时，对源点作标记，然后从未作标记的点中找出到源点路径长度最短的顶点minj，对该顶点作标记，并对其它未作标记的点K作判断：if dist[minj]+map[minj,k]<dist[k] then dist[k]= dist[minj]+map[minj,k]。
重复处理，直到所有的顶点都已作标记，这时求出了源点到所有顶点的最短路径。
算法过程：const maxn=100;varmap: array[1..maxn,1..maxn] of integer;dist: array[1..maxn] of integer;mark: array[1..maxn] of Boolean;n,k: integer;procedure dijkstra;var I,j,min,minj,temp:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),0);for I:=1 to n do dist[i]:=maxint;dist[k]:=0;for I:=1 to n-1 dobeginmin:=maxint;for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (dist[j]<min) thenbeginmin:=dist[j]; minj:=j;end;mark[minj]:=true;for j:=1 to n doif (not mar[j]) and (map[minj,j]>0) thenbegintemp:=dist[minj]+map[minj,j];if temp<dist[j] then dist[j]:=temp;end;end;end;以上只是求出了从源点到其它所有点的最短路径长度，所经过的具体路径没有保存，如果要求出具体的路径来，那么在求最短路径的过程中要将经过的中间点记录下来。
标数法： 用来解决计算最短路线问题的方法,在给出的图形中
5. 用“标数”求出：从学校到养老院共 126 条．必经过市中心的 60 条，所以可行的路有： 126 60 66 （条） ．
“为什么蜈蚣出门要这么长时间呢？” “因为它要穿鞋呀… …”
养老院
1 1 1 1
学校
养老院
5 4 3 2 1
15 10 6 3 1
35 20
70 35
126 56 21 6 1
10 10
30 20
60 30 10
10 市中心 15 4 1 5 1
1 1
学校
3 2 1
6 3 1
10 市中心 10
4 1
6. 通过标数法我们可以得出从 A 到 I 共有 29 条不同的路径。 7. 蜜蜂“每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行”这意味着它只能从小号码 的蜂房爬进相邻的大号码的蜂房．明确了行走路径的方向，就可运用标准法进行计算．
1 A 2 3 4 5 6 7 8 9 B 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
如图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 89 种不同的回家方法．
8. 要想拼出英语“ APPLE ”的单词，必须按照“ A P P L E ”的次序拼写．在 图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径． 如下图所示， 运用标数法原理标数不难 得出共有 31 种不同的路径． 9. 因为“ Einstein ”的拼读顺序为“ E i n s t e i n ” ，每一种拼法都对应 着网络图中的一条最短路径，所以可以运用标数法来解决． 如上图右所示， 从 E 点到 n 点的最短路径有 30 条， 所以共有 30 30 60 (种)不同拼法.
学校
公园
图书馆
标数法知识点总结
标数法模块一、知识点一、标数法利用加法原理解决最短路线有几条的方法二、过程1. 确定目标方向2. 起点开始横竖标“1”3. 做加法PS:每个点的数，表示从起点到这个点最短路线的条数三、类型1. 基本型(“田”字型)2. 非“田”字型3. 必过：套框；必不过：标0或去线4. 拼读文字、字母型5. 蜂房型模块二、例题精讲【基本型】如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，共有多少种不同的最短路线?B[解答] B在A的右上方，每次只能向右或向上，标数可得共有10种不同的最短路线A【非田型】小君家到学校的道路如图所示.从小君家到学校有种不同的走法. (只能沿图中向右向下的方向走)小君家学校[解析]标数法如图，共10条不同走法. 只要每次都想一下，它上一步在哪里，它可以从哪个点过过来!【必过、必不过型】艾迪和薇儿准备去看望养老院的李奶奶，如下图(1) 他们从学校经过市中心到养老院的最短路线共有几条呢?[解析]先要到达市中心，可以先把市中心当成终点，然后再从市中心出发到达养老院，标数可得有60种方法。
养老院(2) 他们从学校不经过市中心到养老院的最短路线共有几条呢?[解析]不经过市中心，说明到达市中心的方法为0,可以直接标0;可以把周围4条线去掉，标数可得有66种方法。
(也可以用到达终点的所有方法，减去经过市中心的方法)养老院(3)傍晚时，市中心附近下了一场大雨，附近的路均无法通行，请问到养老院的最短路线共有几条呢学校[解析]里面每个点标0,得到有35条。
养老院【拼读型】如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”, 按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”[解析]由E→i→n→s→t→e→i→n拼读顺序，进行标数可得：30+30=60种【蜂房型】一只蜜蜂从A处出发, 回到家里B处,每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行, 共有多少种回家的方法?[解析]向右指的正右、右上、右下都可以，所以标数得，有89种.。
标数法和枚举法
第九讲 有序枚举与其它组合方法主要方法：1.标数法标数法是用来解决最短路线问题的方法。
如：从A 点出发去B 点，问最短的路线有多少条？AB 116方法：1.先确定大方向，即向右和向下2.标出各条线段的小箭头3.一行一行的标数，得出到达每个点的路线数2.树形图树形图能形象直观，条理分明，简炼易懂的表示出所有可能的情形。
特别适用于找出所有的情形或结果的题目。
如：暑假里，一个学生在A 、B 、C 三个城市游览。
他今天在这个城市，明天就到另一个城市。
假如他第一天在A 市，第五天又回到A 市，问他有几种不同的游览方案？[分析]根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三天可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市 如此考虑，极有可能会把自己弄糊涂了。
但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案。
[方法]共有6种不同的游览方案，可以用下面的树形图表示：3.分类枚举分类枚举就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型，一一列举出来。
分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。
例题：把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？【分析】：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：【方法】1、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只；②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。
2、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只；②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。
3、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。
所以共有放法：4+3+1=8（只）。
计数之标数法经典例题讲解【三篇】
计数之标数法经典例题讲解【三篇】如图所示，小蜜蜂从A出发到B处共有89种不同的回家方法。
【第二篇】
例1．按图中箭头所指的方向行走，从A到I共有多少条不同的路线？
解答：
第1步：在起点A处标1。
再观察点B，要想到达点B，只有一个入口A，所以在B点也标1。
第2步：再观察点C，要想到达点C,它有两个入口A和B，所以在点C处标1＋1＝2。
同理重复点F，点D，点E，点G，点H，点I
【第三篇】
分析:既然要走最短路线,自然是不能回头走,所以从A地到B地的过程中只能向右或向下走.
我们首先来确认一件事,如下图
从A地到P点有m种走法,到Q点有n种走法,那么从A地到B 地有多少种走法呢?
就是用加法原理,一共有m+n种走法.
这个问题明白了之后,我们就可以来解决这道例题了:
首先由于只能向右或向下走,那么最上面一行和最左边一列的每一个点都只能有一种走法,(因为不可以走回头路).
我们就在这些交点的旁边标记上一个数字,代表走到这个位置有多少种方法.。
最短路径的算法标号法
5.2.1 配送的类型和形式
（3) 定时定量配送
•定时定量配送指按照规定的配送时间和配送数量进行配送，兼有定时、 定量两种方式的优点，是一种精密的配送服务方式。 •这种方式要求有较高的服务质量水平，组织工作难度很大，通常针对固 定客户进行这项服务。 •成本较高，在用户有特殊要求时采用，不是一种普遍适用的方式。 •它兼有定时和定量配送方式的特点，对配送企业的要求比较严格，管理 和作业的难度较大。 •需要配送企业有较强的计划性和准确度。 •定时定量配送方式在大量而且稳定生产的汽车、家用电器、机电产品的 供应物流里面取得了成功。 •这种方式的管理和运作，是靠配送双方事先的一定时期的协议为依据来 执行，也常常采用“看板方式”来决定配送的时间和数量。
5.1.2 配送的产生和发展史
1. 配送制的形成
配送是由送货逐渐发展过来的，随着社会化大生产走向健全。 第二次世界大战之后，日本的经济得到迅速的复苏，但随后就出现 了物流分散,生产企业自备车辆，出行混乱，道路拥挤，使企业收集 和发送货物的效率明显降低，物流成本增加。日本政府为了解决这 个矛盾，政府和企业一起筹划建立物流中心和“物流团地”(节点) 的同时，还积极推行“共同配送制度”。经过不断的尝试和改革， 一种被日本实业界称为“配送”的运营体制诞生了。 美国企业把曾在“二战”时应用在军事战争中的“军事后勤”的思 想引入到企业的经营管理中来，把原来的旧式的仓库改造成现代的 配送中心，统一了装卸、分拣、包装，运输等物流作业标准。不少 的公司还设立了新的流通机构，将独立、分散的物流活动统一集中， 促成了新的送货方式。这不仅降低了物流成本，而且节约了社会资 源。
思考题
1.沃尔玛的经营优势在哪些方面？ 2.沃尔玛的物流配送方式属于什么方式？
同 行观 摩
标号法求最短路径问题
运筹学
教案
标题：标号法求最短路径问题
教学目标：
1.通过本节学习，使学生掌握标号法的步骤；
2.通过本节学习，学生能够应用标号法求解配送路径问题
教学重点及难点：
重点：标号法的求解步骤；难点：标号法在配送路径问题中的应用
教学内容（教学时数：2 ）
一、标号法的概念
标号法也称Dijstra算法，是荷兰科学家Dijstra于1959年提出的求解指定两点间最短路径的有效算法。
二、标号法的适用范围和原理
条件：网络中所有的边（弧）的权重值 w
ij
≥0；
范围：指定两点间或指定一点到另一点的最短路径问题；
原理：最短路的子路还是最短路。
三、标号法的思想
从起点v
s 开始，逐步给每个结点v
j
标号[d
j
,v
i
]，其中d
j
为起点
v s 到v
j
的最短距离， v
i
为该最短路线上的前一节点。
若给终点v
t
标上号[d
t
,v
i
], 表示已求出v
1
至v
t
的最短路其最
短路长为d
t ，最短路径可根据标号v
i
反向追踪而得。
四、标号法的求解步骤
备注：
五、例题讲解与练习
求解过程详见PPT。
练习：利用标号法求V
1
到V
8
的最短路径
备注：作业、讨论题、思考题：完成课本158页的第1、2题。
排列组合第阶表格最短路径问题
1. 如图，在某个城市中，M，N两地之间有南北街道5条、东西街道4条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从M走到N，则不同的走法共有35种．【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】根据题意，从M到N的最短路程，只能向右、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从M到N的最短路程，只能向右、向下运动，从M到N，最短的路程需要向下走3次，向右走4次，即从7次中任取3次向下，剩下4次向右，有C73=35种情况，故答案为：35【点评】本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案．2. 如图，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成．现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法？【考点】排列组合．【专题】传统应用题专题．【分析】利用逐步分析点的路线，列出表格，求得数据即可解决问题．【解答】解：用标数法可以求出一共有120种走法．答：共有120种不同走法．【点评】本题从每个交叉点得出有2条路可走是关键，然后利用标数法得出共有的走法就比较容易了，注意C不能通过．3.某城市有7条南北向的街，5条东西向的街.（1）如果从城的O点走向A点，最短的走法有几种？（2）从O点出发经过B点走向A点，最短的走法有几种？（3）从O点出发，不经过B、C两点，走向A点，最短的走法有几种？ACBO4.如图，沿着箭头从P 走到Q，有________种不同的最短路径【考点】标数法【答案】12问题16：查找表格的功能介绍与操作？一个族文件往往包含若干个类型，每一个类型都拥有自己的参数，手动复制修改每一个参数类型将会是一个很繁琐的事情，软件提供了查找表格的功能来自动控制这些不同类型的参数值，下面将带着大家一起看看查找表格的功能介绍。
1.如下图所示，打开一个常规T形三通族文件；2.点击“创建”选项卡下的“族类型”命令，打开“族类型”对话框；观察族类型对话框，T形三通用到了查找表格功能，使用的查找表格名称为“Tee - Generic”（软件安装完成，查找表格的文件被默认放置在了电脑系统盘，默认路径为：C:\ProgramData\Autodesk\RVT 2021\Lookup Tables），打开查找表格文件；打开默认路径发现有两个表格，“Conduit”表示线管表格，“Pipe”表示给排水管道表格；3.打开“Tee - Generic”文件（文件格式为：CSV格式）；上图即为T形三通的查找表格文件，第一列是用来区分该管件类型名称的参数；观察表头“ND##length##millimeters”，“ND”是“Nominal Diameter”（公称直径）的缩写；“length”（长度）是ND的参数属性；“millimeters”是该列参数的单位；第三列“POD”表示管件外径；“CtE”表示中心到端点的距离。
行测数量关系技巧：标数法进阶篇
行测数量关系技巧：标数法进阶篇行测数量关系技巧：标数法进阶篇通过标数法根底篇的学习相信大家已经根本掌握了标数法这一解题方法，并在涉及到最短道路的方法数这类题型中运用自如。
随着行测考试的日渐成熟，数学运算中的各种方法或多或少有一些延伸或变形，标数法也是如此，本文主要讲解标数法的进阶题型。
首先，回忆一道标准的标数法题目。
例1.小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道(软件公司在华兴园的东北方)。
假设他只能向东或者向北行走，那么他上班不同走法共有：A.12种B.15种C.20种D.10种通过标数法根底篇的学习，我们已经理解了标数法是指将到达每个点的方法数标注在点的旁边的一种解题方法，通常运用在求最短道路方法数的题目中。
标数法的核心步骤是观察一个点能从哪些点走过来就把这些点的数加起来作为该点的方法数。
这道例题中规定了只能向东或者向北走，按照要求走就不会存在绕路的情况，那么这样从华兴园到软件公司的走法就是最短道路。
我们可以利用标数法的核心对原图进展标数：在道路方向和道路经过的点明确的情况下，我们可以利用标数法很快得出结果，上述例题从华兴园到到软件公司的方法数为10种，故答案为D。
其次，我们来学习标数法延伸后的第一类题目。
此类题目中不直接给出道路方向或道路经过的点，需要考生自行理解转化为标数模型求解。
例2.如下图，有两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1号蜂房开场去8号蜂房，假设只朝右上或右下逐个爬行。
那么不同的走法有：A.16种B.18种C.21种D.24种例题二中并没有给出明确的道路方向也没有道路中经过的点，需要我们根据题目的表述进展理解。
我们可以把每一个蜂房理解为道路中经过的点，道路方向是左下角的蜂房可以朝右侧相邻的两个蜂房挪动(注意“只朝右上或右下逐个爬行”中的右上或右下应理解为整体观察的情况，即只向右侧的蜂房爬行)。
然后我们再采取标数法进展解题，如下列图所示。
故从1号蜂房到8号蜂房共有21种方法，此题选C。
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计数的基本方法——标数法例1：沿着下图所显示的线段，从A点到B点，有多少条最短路线
C
I
例2：沿着下图所显示的线段，从A点到B点，有多少条最短路线Array
(1)
(2)
例3：沿下图所示的线段，从A步行到Z，但行走方向只能向东或向南，他有多少种不同的行走路线
例4：如图，求A到B沿网格线的最短路线数：
（1）必须经过点C；
（2）必须经过线段EF；
（3）不经过点C；
（4）不经过线段EF；
例5：按下图箭头所指的方向行走，从A到达Z有多少种不同行走路线
本章小结：
1.什么是标数法
答：在每个点上标记出从起点出发到此点的路线数的一种计数方法。
2.如何使用标数法解决长方形网络图中的最短路线问题
答：
1.确定标数的方向；
2.将与起点共直线的点上标上数字1；
3.画出每个小方格对角线；
4.把每个小方格内对角线顶点上的两个数字相加，和标记在剩下的那个点上；
2.如何使用标数法解决路线数问题
答：
1.从某一点出发到另一点只有一条路线的时候，则后点上标记的数字应该和前一点相同；
2.如果到达某一点必须经过与这个点相邻的两个或几个点时，则该点上标记的数字是能够
到达这一点的相邻的两个或几个点上标记的数字之和。