标数法和枚举法
计数专题 枚举法 竞赛篇
枚举法
知识纲要
标数法：用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出到达该点的方法数，最后利用相加的原则求出到达目的地的方法数。
树形图法：是借助树状结构分层的特征来罗列所有可能情况的一种方法。
【例1】在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？
【例2】如下图，沿着“我们爱数学”的顺序走（要求只能沿着水平和竖直方向走），一共有多少种不同的走法？
我
我们我
我们爱们我
爱数爱
学
【例3】如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这九个字，要求选择的九个字里能连续（即相邻的字在表中是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的读法？
我们学习好
们学习好玩
学习好玩的
习好玩的数
好玩的数学
【例4】(第六届“走美”试题)一个学生假期往A，B，C三个城市旅游，他今天在这个城市，明天就到另一个城市。
假如他第一天在A市，第五天又回到A市，请问：他的游览路线共有几种不同的方案？
【例5】甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定谁先胜三场谁胜。
第一场甲胜。
问到决出最后胜负为止，共有几种不同的情形？其中甲胜的情形有几种？
【本讲知识总结】
枚举法：是一种重要的计数方法，即将被计数对象分门别类，按一定顺序和策略有序列举。
标数法：用来解决最短路线问题的方法，在给出的图形中的每一个结点标出到达该点的方法数，最后利用相加的原则求出到达目的地的方法数。
树形图法：是借助树状结构分层的特征来罗列所有可能情况的一种方法。
注意：不管用任何方法，都要做到枚举完整，不重不漏。
奥数-计数体系
奥数-计数体系一、加乘原理1.1 加法原理：[类类独立，分类相加]1.1.1 定义：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
每一种方法都能够直接达成目标。
1.2.1 方法：1.2.1.1 枚举法分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。
[例1] 把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？解：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：1）鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1、1、8；②1、2、7；③1、3、6；④1、4、5只。
2）鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2、2、6；②2、3、5；③2、4、4。
3）鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3、3、4。
所以共有放法：4+3+1=8（只）。
1.2.1.2标数法（解决最短路线问题的方法）对于网格形的最短路线问题（从起点A到终点B），首先确定大方向（若起点A在左下，则大方向为向上或向右）；其次从起点A开始，向上一列全标1，向右一行也全标1；再次网格的每条可达线段标上方向箭头；最后从起点A开始，逐级对节点标数，给节点的数字为所有箭头指向该节点的相邻节点的数字和。
[例2] 如图为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有几条？1.2.1.3 树形图法当要进行三步以上的操作，且各种结果出现的可能性相同时，可以采用树形图法逐步展开所有的可能性。
[例3] 暑假里，一个学生在A、B、C三个城市游览。
他今天在这个城市，明天就到另一个城市。
小升初计数高频考点汇总与方法总结-精品
【例2】（★★★）
小悦买了10块相同的巧克力，每天最少吃一块，直到吃完， 共有多少种吃法?
【例3】（★★★★）
用1至9这9个数字组成一个没有重复数字的九位数，满足以下要 求：每一位上的数字要么大于它前面的所有数字，要么小于它前 面的所有数字。请问：这样的九位数共有多少个?
【例4】（★★★）
正方形内部共有2016个点(结合正方形4个顶点，共2020个点，其 中任意三点，不在同一条直线上)任意两点间可剪一刀，将正方 形剪成以2020个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？
五、常见方法 1．标数法——加法原理 2．递推法——枚举归纳 3．对应法 4．整体法 5．排除法
六、概率与统计 1．古典概型 2．概率可乘性
重点例题：例1，例3，例4，例6 3
小升初计数高频考点汇总与方法总结
加油站
一、枚举归纳
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加法原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
【本讲总结】
一、枚举归纳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分类枚举——有序，规律 树形枚举——对应，对称
二、加乘原理
分类用加：结合容斥，合理分类 分步用乘：特殊位置，优先考虑
三、排列组合 1．排列，组合意义，计算方法 2．三种经典方法：捆绑法，插空法，挡板法 3．先选后排思想
四、容斥原理 1．容斥计算公式——单层要加，双层要减 2．韦恩图及意义——各区域具体含义
【例5】（★★★★）
小升初奥数枚举法
枚举法我们在课堂上遇到的数学问题，一般都可以列出算式，然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，由于找不到计算它们的算式，似乎无从下手。
但是，如果题目所述的情况或满足题目要求的对象能够被一一列举出来，或能被分类列举出来，那么问题就可以通过枚举法获得解决。
所谓枚举法，就是根据题目要求，将符合要求的结果不重复、不遗漏地一一列举出来，从而解决问题的方法。
其主要方法有：⑴简单枚举⑵分类枚举⑶标数法例1 小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。
若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。
试判断他们两人谁获胜的可能性大。
例2 数一数，右图中有多少个三角形。
例3下图中有多少个正方形？例 4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。
那么，共有多少种不同的展开图？例 5 小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同一门。
如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的安排？例6 一次数学课堂练习有3道题，老师先写出一个，然后每隔5分钟又写出一个。
规定：（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。
解完各题的不同顺序共有多少种可能？例7 是否存在自然数n，使得n2＋n＋2能被3整除？练习1.将6拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？2.小明有10块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？3.用五个1×２的小矩形纸片覆盖右图的2×５的大矩形，共有多少种不同盖法？4.15个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？5.数数右图中共有多少个三角形？6.甲、乙比赛乒乓球，五局三胜。
已知甲胜了第一盘，并最终获胜。
问：各盘的胜负情况有多少种可能？7.经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。
小学奥数7-1-3 加法原理之树形图及标数法.专项练习及答案解析
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： ① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，小数报【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式．同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【答案】10【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况． 【答案】14例题精讲【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
【奥赛】小学数学竞赛：加法原理之树形图及标数法.学生版解题技巧 培优 易错 难
【例 5】如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的 处沿最短的路线走到东北角 出，由于修路，十字路口 不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．
【例 6】如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？
【例 7】如图 为一幅街道图，从 出发经过十字路口 ，但不经过 走到 的不同的最短路线有条.
枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．
分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．
模块一、树形图法
“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．
（二）不规则图形的标数法
【例 11】在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？
【巩固】小群家到学校的道路如图4所示。从小君家到学校有_________种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走）
如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．
【巩固】右图中的“我爱希望杯”有______种不同的读法.
【例 13】如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？
【例 14】如图所示，科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”.
【例 12】在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？
小学奥数各年级基本分类
小学奥数没有一个具体明确的内容区分,各类不同的学习教材和训练习题有不同编排,大致内容汇总如下：一、计算专题：1整数2多位数3小数4分数5数列6数表7分数数列8比较大小9估算10定义新运算二、数字迷专题：1竖式2横式3位值4幻方5数阵图三、计数专题：1加法原理2乘法原理3排列4组合5容斥6几何计数7枚举法8标数法9概率初步四、几何专题：1图形剪拼2格点和割补3直线形4曲线形5立体图形五、数论专题：1奇数与偶数2质数与合数3约数与倍数4整除5余数6周期7进位制8取整9不定方程六、应用题专题：1和差倍分2还原问题3年龄问题4平均数问题5比例6工程问题7浓度问题8经济问题9牛吃草七、行程专题：1一般相遇追及问题2多人相遇追及问题3多次相遇追及问题4火车问题5间隔发车6流水行船7环形问题8钟表问题9平均速度10沙漠往返问题11校车问题12自动扶梯13十字路口问题八、组合专题：1抽屉原理2统筹与对策3逻辑推理4最值问题5构造论证类就近几年“希望杯”试题分析来看,内容源于基础而难于基础,灵活性大,综合性强;平时训练内容大致可安排如下：四年级：1.整数的四则运算、运算定律、简便运算、等差数列求和；2.基本图形、图形的拼组分、合、移、补、图形的变换、折叠与展开；3.角的概念与度量、长方形、正方形的周长和面积、平行四边形、梯形的概念和周长计算；4.整数概念、数的整除特征、带余除法、平均数；5.小数意义和性质、分数的初步认识；6.应用题植树问题、年龄问题、鸡兔同笼问题、工程问题、行程问题；7.几何计数、找规律、归纳、统计与可能性；8.数迷、分析推理能力、数位、十进制表示方法；9.生活数学钟表、时间、人民币、位置与方向、长度、质量单位;五年级：1.小数的四则运算、巧算与估算、小数近似、小数与分数的互换；2.因数与倍数、质数与合数、奇偶的性质、数与数位；3.三角形、平行四边形、梯形、多边形的面积；4.长方体和正方体的表面积、体积、三视图、图形的变换；5.简易方程；6.应用题还原问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题等；生活数学；7.包含与排除、分析推理能力、加法原理、乘法原理；8.几何计数、找规律、归纳、统计与可能性;六年级：1.分数的意义和性质、四则运算、巧算与估算；2.百分数、百分率涉及图形统计；3.比和比例；4.计数问题、找规律、统计图表、可能性；5.圆的周长和面积、圆柱与圆锥；6.抽屉原理的简单应用；7.应用题行程问题、工程问题、牛吃草问题、钟表问题；8.统筹问题、最值问题、逻辑推理;历年的几个高频考点：一、计算1.分数、小数四则混合运算、速算巧算、等差数列求和、裂项；2.定义新运算；基本方法1抓住本质 2照猫画虎二、应用题1分数应用题需要注意的是：（1）单位“1”的选取和统一（2）量的对应2.行程问题画图法普通和固定思维法特殊3.工程问题4.图形统计应用题；5.经济问题、浓度问题、基本应用题鸡兔同笼,年龄,还原等等三、计数1.枚举法：主要用树形图标法和分类法2.标数法3.排列组合：主要有插空法和捆绑法4.容斥原理四、几何1.直线型几何2.曲线型几何3.立体几何五、位置原理。
【奥赛】小学数学竞赛：几何计数(三).学生版解题技巧 培优 易错 难
【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？
【例 5】如图所示，在边长为1的小正方形组成的4×4方格图中，共有25个格点。在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有个。
【例 6】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例 7】下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？
【巩固】图中每个小正方形的边长都是l厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形(顶点在图中交叉点上的三角形)____个。
【例 11】九个大小相等的小正方形拼成了右图．现从点A走到点B，每次只能沿着小正方形的对角线从一个顶点到另一个顶点，不允许走重复路线（如图的虚线就是一种走法）．那么从点A走到点B共有________种不同的走法．
【例 12】国际象棋中“马”的走法如图所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中．在5×5个方格的国际象棋棋盘上（如右图）放入四枚白马（用○表示）和四枚黑马（用●表示）．要求将四枚白马移至四枚黑马的位置，将四枚黑马移至四枚白马的位置，而且必须按照国际象棋的规则，棋子只能移动到空格中，每个格最多放一枚棋子．那么最少需要__________步．
标数法和枚举法
第九讲 有序枚举与其它组合方法主要方法：1.标数法标数法是用来解决最短路线问题的方法。
如：从A 点出发去B 点，问最短的路线有多少条？AB 116方法：1.先确定大方向，即向右和向下2.标出各条线段的小箭头3.一行一行的标数，得出到达每个点的路线数2.树形图树形图能形象直观，条理分明，简炼易懂的表示出所有可能的情形。
特别适用于找出所有的情形或结果的题目。
如：暑假里，一个学生在A 、B 、C 三个城市游览。
他今天在这个城市，明天就到另一个城市。
假如他第一天在A 市，第五天又回到A 市，问他有几种不同的游览方案？[分析]根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三天可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市 如此考虑，极有可能会把自己弄糊涂了。
但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案。
[方法]共有6种不同的游览方案，可以用下面的树形图表示：3.分类枚举分类枚举就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型，一一列举出来。
分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。
例题：把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？【分析】：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：【方法】1、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只；②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。
2、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只；②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。
3、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。
所以共有放法：4+3+1=8（只）。
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五年级下册数学奥数讲义-思维训练：加法原理-通用版
知识点1.枚举法：分类要全、枚举要清：分类不全，就会造成遗漏；枚举不清，就会有重复。
2、树形图法（枚举树）：树形图就是借助树状结构的分层特征来罗列所有可能的方法，适用于层次结构鲜明的题型利用树形图法进行枚举的一般步骤和技巧：(1)明确条件：分析枚举对象满足的限制条件；(2)确定范围：根据限制条件缩小枚举的范围；(3)确定次序：一般按照由少到多的原则，采用合适的分类保证枚举的完整；(4)逐一枚举：借助树形图的分层特征，按次序逐次画图枚举，直到求解完毕．3．标数法：一般标数法：适用于求从 A 到 B的最短路线的条数标数法的核心思想是：从起点到任何一点的最短线路数，都等于从起点出发到与这一点相邻的点的最短线路数之和。
4．几何计数合理使用各种己学的计数方法来解决几何计数问题：学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类：掌握方格表中图形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算。
图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。
长方形和正方形的计数就属于公式计算法。
（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有n个点，那么线段总数是（n－1）＋（n＋2）＋…＋3＋2＋1（2）如果一个长方形的长边上有n个小格，宽边上有m个小格，那么长方形的总数是（1＋2＋3＋…＋n）×（1＋2＋…＋m）（3）如果把正方形各边都n等分，那么正方形的总数是n2＋（n－1）2＋（n－2）2＋…＋32＋22＋12上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。
例题【例 1】从1分，2分，5分的硬币各有5枚的一堆硬币中取出一些，合成1角钱，共有不同的取法__________种．【巩固】用一个5元纸币，四个2元纸币，八个1元纸币买一张龙年8元邮票，共有多少种付款方式【例 2】如图，有10克、25克、50克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有__________种．【巩固】有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出种不同的质量。
小学思维数学讲义：几何计数(一)-带答案解析
几何计数（一）1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n条直线最多将平面分成21223(2)2n n n++++=++……个部分；n个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE上有15条线段，每条线段的两端点与点A相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【考点】简单的几何计数【难度】1星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题教学目标例题精讲知识要点【解析】如图：6条．【答案】6条【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A） 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【考点】简单的几何计数【难度】2星【题型】选择【关键词】华杯赛，初赛，第1题【解析】通过观察可知，第1，2，5这三张图片是有对称轴的，其他的5张图片都没有对称轴，所以没有对称轴的个数为5，正确答案是C。
小学奥数 加法原理之树形图及标数法 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，小数报【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式． 同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【答案】10【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？ 【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：例题精讲图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．【答案】14【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
计数方法之枚举法
【例6】 (★★★★★)
从1至9这9个数字中选出6个不同的数填在图中的6个圆圈内，使 得任意相邻两个圆圈内的数字之和都是质数。请问：共能找出多 少种不同的选法？(所填的6个数字相同，只是排列次序不同，都 个数字相同 只是排列次序不同 都 算同一种选法。)
2
【例7】 (★★★) 小新和关关两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利。 如果最后小新获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？
大海点睛 一、本讲重点知识回顾 枚举法 (1)分类枚举：有序枚举，不重不漏 (2)树形图 二、本讲经典例题 本讲 典例题 例3，例4，例5，例6
3
【例5】 (★★★★) 某工厂生产一批玩具，玩具为一条圆环上均匀安装着13个小球， 其中3个是红球，10个是白球.如果2个圆环通过翻转，旋转后可以 叠放在 起 使得红球对红球 白球对白球 这样的两个圆环就 叠放在一起，使得红球对红球、白球对白球，这样的两个圆环就 认为是相同的。那么一共可以生产多少种不同的圆环？
计数方法之枚举法 大海传功
枚举法 (1)分类枚举：有序枚举，不重不漏 (2)树形图 (3)标数法
(★★) 【例1】 两个海盗分20枚金币。请问： (1)如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？ (2)如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？
【例2】 (★★★) (1)刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图所示。 一段时间后，他们觉得每天做同样的位置太无聊，每人都要换 到与原来座位不相邻的位置上 那么有多少种换座位的方法？ 到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
【例2】 (★★★) (2)甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图所示，如果每人 都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上， 那么有多少种换座位的方法？
(精品)小学奥数7-1-3 加法原理之树形图及标数法.专项练习
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则： ① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚知识要点教学目标7-1-3.加法原理之树形图及标数法举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．模块一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 1】 A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2005年，小数报 【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式． 同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AB A B CCBA【答案】10【巩固】 一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【答案】6【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【考点】加法原理之树形图法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一例题精讲共有 7＋7=14（种）可能的情况． 【答案】14【例 3】 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有 种不同的走法。
小升初数学拔高之计数方法之枚举法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小升初数学拔高之计数方法之枚举法1 、分类枚举。
2 、树状图。
3、标数法。
本讲主线、标数法。
本讲主线一轮复习计数方法之枚举法【知识要点- 讲解】1、分类枚举：⑴ 找到分类依据。
⑵ 一边枚举，一边观察规律。
、分类枚举：⑴ 找到分类依据。
⑵ 一边枚举，一边观察规律。
2、树状图：⑴ 前后相互关联，后者受前者影响。
⑵ 一般横向画图，注意层次的数量。
、树状图：⑴ 前后相互关联，后者受前者影响。
⑵ 一般横向画图，注意层次的数量。
⑴ 数一数下图中有多少条线段？【课前小练习】⑴ 数一数下图中有多少条线段？【课前小练习】( ★)F E DC B A⑵ 数一数下图中有多少个三角形？F EDCBA【课前小练习】( ★)1【例1】】( ★☆)1 / 4两个海盗分20 枚金币.请问：⑴ 如果每个海盗最少分到请问：⑴ 如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？⑵ 如果每个海盗最多分到枚金币，一共有多少种不同的分法？⑵ 如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？例题精讲枚金币，一共有多少种不同的分法？例题精讲【例2】】( ★★☆) 图形计数.数一数，下图中有_______ 个正方形？【例3】】( ★★★) 一个三位数，若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值，则称它是好数，则好数总共有多少个？一个三位数，若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值，则称它是好数，则好数总共有多少个？】【拓展】( ★★★) 今有一角币1 张、贰角币1 张、伍角币1 张、一元币4 张、五元币2张，这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？张，这些纸币任意付款，可以付出多少种不同数额的款？2【例4】】( ★★★☆) 称n 个相同的数a 相乘叫做a 的n次方，记作次方，记作? ? ，并规定，并规定? ? =1 ，如果某个自然数可以写成2 的两个不同次方( 包括零次方) 的和，我们就称这样的数为双子数，如9=? ? + ? ? ，它们都是双子数. 那么小于1040 的双子数有_____ 个。
奥数的七大模块介绍
奥数的七大模块介绍奥数的七大模块介绍所有的奥数知识,总的来分可以分为七大模块,各类试题都由这七大模块而来。
那么,奥数都有哪些模块呢?下面是店铺帮大家整理的奥数的七大模块介绍，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的.性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
数学常用计数方法知识点
数学常用计数方法知识点数学这门学科啊，就像一个神秘的魔法世界，里面充满了各种神奇的知识和技巧。
今天咱们就来聊聊数学中常用的计数方法，这可真是个有趣的话题！先来说说最基础的“枚举法”。
枚举法呢，简单来说就是一个一个地把情况罗列出来。
比如说，你要找出从 1 到 10 之间所有的奇数，那你就可以一个一个数过去：1、3、5、7、9，这就把奇数都找出来啦！这方法虽然看起来有点笨，但在一些简单的问题中，那可是超级实用的。
我记得有一次，我和朋友玩猜数字的游戏。
朋友在心里想了一个 1到 20 之间的数字，让我来猜。
我一开始没啥头绪，就只能用枚举法。
我从 1 开始，一个一个地猜，朋友说大了就往小了猜，说小了就往大了猜。
虽然过程有点漫长，但最后我还真就猜中啦！那时候可把我高兴坏了，觉得枚举法真是个不错的办法。
再说说“加法原理”。
这就像是在走不同的路，最后到达同一个目的地，把每条路的走法加起来就是总的走法。
比如说，从 A 地到 B 地有3 条路，从 B 地到 C 地有4 条路，那从 A 地经过 B 地到 C 地一共有多少种走法呢？很简单，3×4 ＝ 12 种！我想起有一次去商场，商场有两个门可以进去，进去后有三部电梯可以到达我想去的楼层。
我就在想，我能有几种不同的方式到达那个楼层呢？用加法原理一算，2×3 ＝ 6 种！感觉数学知识在生活中还真是无处不在。
还有“乘法原理”，它和加法原理有点像兄弟，但又不太一样。
乘法原理是说，如果一件事情需要分几个步骤完成，那么完成这件事的总方法数就是把每个步骤的方法数相乘。
比如，从 1 到 9 中选一个数字作为十位，从 0 到 9 中选一个数字作为个位，能组成多少个两位数？那就是 9×10 ＝ 90 个。
有一次学校组织活动，要求每个班出一个节目。
我们班决定排一个舞蹈和一个小品。
舞蹈有 5 种不同的编排方式，小品有 4 种不同的剧本选择。
那我们班能有多少种不同的节目组合呢？用乘法原理一算，5×4 ＝ 20 种！这可让我们纠结了好久，不知道该选哪种组合才好。
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第九讲 有序枚举与其它组合方法
主要方法：
1.标数法
标数法是用来解决最短路线问题的方法。
如：从A 点出发去B 点，问最短的路线有多少条？
A
B 116
方法：1.先确定大方向，即向右和向下
2.标出各条线段的小箭头
3.一行一行的标数，得出到达每个点的路线数
2.树形图
树形图能形象直观，条理分明，简炼易懂的表示出所有可能的情形。
特别适用于找出所有的情形或结果的题目。
如：暑假里，一个学生在A 、B 、C 三个城市游览。
他今天在这个城市，明天就到另一个城市。
假如他第一天在A 市，第五天又回到A 市，问他有几种不同的游览方案？
[分析]根据游览要求，第二天可能是B市或C市，若为B市，第三
天可能是A市或C市；若为C市，第三天可能是A市或B市 如此考虑，极有可能会把自己弄糊涂了。
但画一个树形图，则会清晰明了地显示出所有的游览方案。
[方法]共有6种不同的游览方案，可以用下面的树形图表示：
3.分类枚举
分类枚举就是依据一定的标准把题目的答案分为几种类型，一一列举出来。
分类枚举的方法主要用来解决一些排列组合的问题，列举时要有序分类，保证答案既不遗漏又不重复。
例题：把10只鸽子关在3个同样的笼子里，使得每个笼子里都有鸽子，可以有多少种不同的放法？
【分析】：这里笼子都是同样的，因此3只笼子是无序的。
因为10÷3=3……1，根据题中条件，可得鸽子最少的那个笼子里的鸽子不多于3只，不少于1只，我们可以这样分为三类：
【方法】
1、鸽子最少的那个笼子里有1只鸽子，共有4种放法：①1只、1只、8只；
②1只、2只、7只；③1只、3只、6只；④1只、4只、5只。
2、鸽子最少的那个笼子里有2只鸽子，共有3种放法：①2只、2只、6只；
②2只、3只、5只；③2只、4只、4只。
3、鸽子最少的那个笼子里有3只鸽子，共有1种放法：①3只、3只、4只。
所以共有放法：4+3+1=8（只）。