二次函数经典例题与解答

、中考导航图

顶点 对称轴

1. 二次函数的意义 ;

2. 二次函数的图象 ;

3. 二次函数的性质 开口方向 增减性

顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0)

4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0)

两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)

5. 二次函数与一元二次方程的关系。

6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。

三、中考知识梳理

1.

二次函数的图象

在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a

公式来求得顶点坐标 .

2.

理解二次函数的性质

抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小

b

4ac-b 2

反之当 a

2a 4a

3.

待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法

一般地 , 在所给的三个条件是任意三点 ( 或任意三对 x,y? 的值 )? 可设解析式为

y=ax 2+bx+c, 然后组成三元一次方程组来求解 ; 在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大 值

时 , 可设解析式为 y=a(x-h) 2+k; 在所给条件中已知抛物线与 x? 轴两交点坐标或已知抛物 线与

x 轴一交点坐标和对称轴 ,则可设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2) 来求解 . 4.

二次函数与一元二次方程的关系

抛物线 y=ax 2+bx+c 当 y=0 时抛物线便转化为一元二次方程 ax 2+bx+c=0, 即抛物线与 x 轴

有两个交点时 , 方程 ax 2+bx+c=0 有两个不相等实根 ; 当抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴有一个 交点 , 方程 ax 2+bx+c=0 有两个相等实根 ; 当抛物线 y=ax 2+bx+c 与 x 轴无交点 ,? 方程

ax 2+bx+c=0 无实根 . 5.

抛物线 y=ax 2+bx+c 中 a 、b 、c 符号的确定

a 的符号由抛物线开口方向决定 ,当 a>0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向

下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a

二次函数

4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a

(- 2b

a

4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点

4a

在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大

简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a

最小值=

4ac-b 2 4a

的符号相同; 当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与 a 的符号相反;? 简记左同右异.

6. 会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,? 应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.

四、中考题型例析

1. 二次函数解析式的确定

例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式

(1) 图象经过A(-1,3) 、B(1,3) 、C(2,6);

(2) 图象经过A(-1,0) 、B(3,0), 函数有最小值-8;

(3) 图象顶点坐标是(-1,9), 与x 轴两交点间的距离是 6.

分析: 此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式, 列出方程或方程组来求解.

(1) 解:设解析式为y=ax2+bx+c, 把A(-1,3) 、B(1,3) 、C(2,6) 各点代入上式得

3 a b c, a 1,

3 a b c, 解得b 0,

6 4a 2b c. c 2.

∴解析式为y=x 2+2.

(2) 解法1: 由A(-1,0) 、B(3,0) 得抛物线对称轴为x=1, 所以顶点为(1,-8).?

设解析式为y=a(x-h) 2+k, 即y=a(x-1) 2-8.

把x=-1,y=0 代入上式得0=a(-2) 2-8, ∴ a=2.

即解析式为y=2(x-1) 2-8, 即y=2x 2-4x-6.

解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3), 确定顶点为(1,-8) 同上,

把x=1,y=-8? 代入上式得-8=a(1+1)(1-3). 解得a=2,

∴解析式为y=2x2-4x-6.

解法3: ∵图象过A(-1,0),B(3,0) 两点, 可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.

2

4a( 3a) ( 2a)2=-8.

∴

4a

又∵ a≠ 0, ∴ a=2.

∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.

(3) 解: 由顶点坐标(-1,9) 可知抛物线对称轴方程是x=-1,

又∵图象与x 轴两交点的距离为6, 即AB=6.

由抛物线的对称性可得A、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),

设出两根式y=a(x-x 1) · (x-x 2),

将A(-4,0),B(2,0) 代入上式求得函数解析式为y=-x 2-2x+8.

点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为

y=ax2+bx+c, 组成三元一次方程组来求解;? 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用y=a(x-h) 2+k来求解;若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).

2. 二次函数的图象

例 2 (2003 ·孝感)y=ax 2+bx+c(a ≠0) 的图象如图所示

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

分析: 由图可知:

抛物线开口向上a>0.

抛物线与y轴负半轴相交 c 0

b bc>0.

对称轴x 在y轴右侧 b 0

2a

∴点M(a,bc) 在第一象限.

答案:A.

点评: 本题主要考查由抛物线图象会确定a、b、 c 的符号.

例 3 (2003 ·岳阳)已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0), 它们在同一坐

分析: 一次函数y=ax+c, 当a>0 时, 图象过一、三象限; 当a<0 时, 图象过二、?四象限;c>0 时,直线交y轴于正半轴;当c<0时,直线交y轴于负半轴;?对于二次函数y=?ax2+bx+c(a ≠ 0)来讲:

开口上下决定a的正负

左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符

与a的符号相同;) 来判别b的符号

抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c的正负